大一上学期(第一学期)高数期末考试题
大一上学期(第一学期)高数期末考试题(有标准答案)详解
大一上学期高数期末考试、单项选择题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)1 设 f ( X )cos x (x sin x ),则在 x 0 处有( (A) f(0)2(B) f (0)1 (C) f (0)° c 设(x) 1 x , (x) 3 33 x » 则当 x1 时(2. 1X(A)g 与M是同阶无穷小,但不是等价无穷小;是等价无穷小;(C)(X )是比(x)高阶的无穷小;(D)无穷小・(A) 函数F (x )必在X 0处取得极大值; (B) 函数F (x)必在x 0处取得极小值;(C) 函数F(x)在xo 处没有极值,但点(o,F (o ))为曲线yF(x)的拐点;(D)函数F”)在xO 处没有极值,点(:F (o ))也干是曲线YF(x)的拐点。
4设f (x)是连续函数,且 "X )22XX、僅產题(本夫龊右4小题'28. 斥曰二 ' 解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分)exy sin(xy)19.设函数y y (x)由方程确定,求y (x)以及y (0). 求I X10.x(心3•若Ff(x)(X) 0 (2t x)f(t )dt ,其中f (x)在区间上(")二阶可导且)・(D) MX)不可导.)(B) (X)与(X)(X )是比(x)高阶的2of(t)dt,则 f(x)((D)®4分,共16分)5.lim (1 3x)办x0\/6.已知沪空是f(X)的一个原函数XI r COSX则7.limn —(cos 2— n ncos3 ) n2x arcsin x i dxx 21 V1A2xy四、解答题(本大题10分)14.已知上半平面内一曲线yy (x )(xo ),过点®),且曲线上任一点M (Xo,yo )处切线斜率 数值上等于此曲线与X 轴、y 轴、直线X X 。
所围成面积的2倍与该点纵坐标之和,求此曲线方程.五、解答题(本大题10分)15. 过坐标原点作曲线y"x 的切线,该切线与曲线yin X 及X 轴围成平面图形D.(1 )求D 的面积A ;⑵求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V.六、证明题(本大题有2小题,每小题4分,共8分)16. 设函数“)在“上连续且单调递减,证明对任意的q 【o, J ,q1f (x ) d x q f (x )dx 0 0f ( x ) d x 0 f (x )cos x dx 017. 设函数”x )在0,上连续,且。
大一(第一学期)高数期末考试题及答案
大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .(A )(0)2f '= (B )(0)1f '=(C )(0)0f '= (D )()f x 不可导.2. )时( ,则当,设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.(A )()()x x αβ与是同阶无穷小,但不是等价无穷小; (B )()()x x αβ与是等价无穷小;(C )()x α是比()x β高阶的无穷小; (D )()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰,其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ,则( ).(A )函数()F x 必在0x =处取得极大值; (B )函数()F x 必在0x =处取得极小值;(C )函数()F x 在0x =处没有极值,但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点; (D )函数()F x 在0x =处没有极值,点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(10=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数,且设(A )22x (B )222x+(C )1x - (D )2x +.二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 5. =+→xx x sin 2)31(lim .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221L n n nnn n ππππ .8. =-+⎰21212211arcsin -dx xx x .三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分)9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定,求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. . 求,, 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续,=⎰10()()g x f xt dt,且→=0()limx f x A x ,A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题(本大题10分)14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ,过点(,)01,且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和,求此曲线方程. 五、解答题(本大题10分)15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线,该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ;(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题(本大题有2小题,每小题4分,共8分)16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减,证明对任意的[,]∈01q ,1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续,且0)(0=⎰πx d x f ,0cos )(0=⎰πdx x x f .证明:在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ,使.0)()(21==ξξf f (提示:设⎰=xdxx f x F 0)()()解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)5. 6e . 6.c x x +2)cos (21 .7. 2π. 8.3π.三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分) 9. 解:方程两边求导(1)cos()()0x y e y xy xy y +''+++= cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==,(0)1y '=-10. 解:767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11. 解:1033()x f x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰03()x xd e --=-+⎰⎰0232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰ 令3214e π=--12. 解:由(0)0f =,知(0)0g =。
大一(第一学期)高数期末考试题及答案
大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .(A )(0)2f '= (B )(0)1f '=(C )(0)0f '= (D )()f x 不可导.2. )时( ,则当,设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.(A )()()x x αβ与是同阶无穷小,但不是等价无穷小; (B )()()x x αβ与是等价无穷小;(C )()x α是比()x β高阶的无穷小; (D )()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰,其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ,则( ).(A )函数()F x 必在0x =处取得极大值; (B )函数()F x 必在0x =处取得极小值;(C )函数()F x 在0x =处没有极值,但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点; (D )函数()F x 在0x =处没有极值,点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(10=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数,且设(A )22x (B )222x+(C )1x - (D )2x +.二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 5. =+→xx x sin 2)31(lim .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221L n n nnn n ππππ .8. =-+⎰21212211arcsin -dx xx x .三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分)9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定,求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. . 求,, 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续,=⎰10()()g x f xt dt,且→=0()limx f x A x ,A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题(本大题10分)14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ,过点(,)01,且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和,求此曲线方程. 五、解答题(本大题10分)15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线,该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ;(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题(本大题有2小题,每小题4分,共8分)16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减,证明对任意的[,]∈01q ,1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续,且0)(0=⎰πx d x f ,0cos )(0=⎰πdx x x f .证明:在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ,使.0)()(21==ξξf f (提示:设⎰=xdxx f x F 0)()()解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)5. 6e . 6.c x x +2)cos (21 .7. 2π. 8.3π.三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分) 9. 解:方程两边求导(1)cos()()0x y e y xy xy y +''+++= cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==,(0)1y '=-10. 解:767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11. 解:101233()2x f x dx xe dx x x dx---=+-⎰⎰⎰0123()1(1)x xd e x dx--=-+--⎰⎰0232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰ 令3214e π=--12. 解:由(0)0f =,知(0)0g =。
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大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .(A )(0)2f '= (B )(0)1f '=(C )(0)0f '= (D )()f x 不可导.2. )时( ,则当,设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα. (A )()()x x αβ与是同阶无穷小,但不是等价无穷小; (B )()()x x αβ与是等价无穷小;(C )()x α是比()x β高阶的无穷小; (D )()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰,其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ,则( ).(A )函数()F x 必在0x =处取得极大值; (B )函数()F x 必在0x =处取得极小值;(C )函数()F x 在0x =处没有极值,但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点; (D )函数()F x 在0x =处没有极值,点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数,且设(A )22x (B )222x +(C )1x - (D )2x +.二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 5. =+→xx x sin 2)31(l i m .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnn n ππππ .8. =-+⎰21212211arcsin -dx xx x .三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分)9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定,求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. . 求,, 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续,=⎰10()()g x f xt dt,且→=0()limx f x A x ,A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题(本大题10分)14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ,过点(,)01,且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和,求此曲线方程. 五、解答题(本大题10分)15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线,该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ;(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题(本大题有2小题,每小题4分,共8分)16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减,证明对任意的[,]∈01q ,1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续,且0)(0=⎰πx d x f ,0cos )(0=⎰πdx x x f .证明:在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ,使.0)()(21==ξξf f (提示:设⎰=xdxx f x F 0)()()解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)5. 6e . 6.c x x +2)cos (21 .7. 2π. 8.3π.三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分) 9. 解:方程两边求导(1)c o s ()()x ye y xy xy y +''+++= cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==,(0)1y '=-10. 解:767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11. 解:112330()2xf x dx xe dx x x dx---=+-⎰⎰⎰123()1(1)xxd e x dx--=-+--⎰⎰00232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰ 令3214e π=--12. 解:由(0)0f =,知(0)0g =。
大一上学期(第一学期)高数期末考试题(有答案)
大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f 。
(A)(0)2f '= (B )(0)1f '=(C )(0)0f '= (D )()f x 不可导。
2. )时( ,则当,设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα。
(A)()()x x αβ与是同阶无穷小,但不是等价无穷小; (B )()()x x αβ与是等价无穷小;(C)()x α是比()x β高阶的无穷小; (D )()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰,其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ,则( )。
(A )函数()F x 必在0x =处取得极大值; (B )函数()F x 必在0x =处取得极小值;(C)函数()F x 在0x =处没有极值,但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点; (D )函数()F x 在0x =处没有极值,点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点.4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数,且设(A)22x (B )222x+(C)1x - (D)2x +.二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 5. =+→xx x sin 2)31(lim .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则。
7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ 。
8. =-+⎰21212211arcsin -dx xx x 。
三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分)9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定,求'()y x 以及'(0)y 。
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大一上学期(第一学期)高数期末考试题(有答案)------------------------------------------作者xxxx------------------------------------------日期xxxx大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .(A )(0)2f '= (B )(0)1f '=(C )(0)0f '= (D )()f x 不可导.2. )时( ,则当,设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.(A )()()x x αβ与是同阶无穷小,但不是等价无穷小; (B )()()x x αβ与是等价无穷小;(C )()x α是比()x β高阶的无穷小; (D )()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰,其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ,则( ).(A )函数()F x 必在0x =处取得极大值; (B )函数()F x 必在0x =处取得极小值;(C )函数()F x 在0x =处没有极值,但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点;(D )函数()F x 在0x =处没有极值,点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数,且设(A )22x (B )222x+(C )1x - (D )2x +.二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 5. =+→xx x sin 2)31(l i m .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f x x =⋅⎰x x xx f d cos )(则 .7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .8. =-+⎰21212211arcsin -dx xx x .三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分)9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定,求'()y x 以及'(0)y .10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. . 求,, 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续,=⎰10()()g x f xt dt,且→=0()limx f x A x ,A 为常数.求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题(本大题10分)14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ,过点(,)01,且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和,求此曲线方程. 五、解答题(本大题10分)15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线,该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ;(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V . 六、证明题(本大题有2小题,每小题4分,共8分)16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减,证明对任意的[,]∈01q ,1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续,且0)(0=⎰πx d x f ,cos )(0=⎰πdx x x f .证明:在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ,使.0)()(21==ξξf f (提示:设⎰=xdxx f x F 0)()()解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)5. 6e . 6.c x x +2)cos (21 .7. 2π. 8.3π.三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分) 9. 解:方程两边求导(1)cos()()0x ye y xy xy y +''+++=cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==,(0)1y '=-10. 解:767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11. 解:1033()x f x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰3()x xd e --=-+⎰⎰00232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰令3214e π=--12. 解:由(0)0f =,知(0)0g =。
大一上学期(第一学期)高数期末考试题(有标准答案)详解
、单项选择题
1设f(x)cos x(x sin x),则在x 0处有(
).
(A)f(0)
2(B)f(0)1(C)f(0)0(D)
f(X)不可导.
c设(x)1
2.1
X,(x) 3 33x,则当x1时(
X
)
(A)(x)与
(x)是同阶无穷小,但不是等价无穷小;
(B)(X)与(X)
是等价无穷小;
(C)(X)是比(x)高阶的无穷小;(D)(X)是比(x)高阶的
无穷小.
Xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(X)0 (2t x)f(t)dt,其中f(x)在区间上(1,1)二阶可导且
0,则().
函数F(x)必在x0处取得极大值;
函数F(x)必在x0处取得极小值;
函数F(x)在x0处没有极值,但点(0,F(0))为曲线yF(x)的拐点;
17.设函数f(x)在0,上连续,且0
证明:在0,内至少存在两个不同的点1,2,使f(1)f( 2)0.(提
x
F(x) f(x)dx
示:设0
解答
一、单项选择题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)
1、D2、A3、C4、C
、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)
9.解:方程两边求导
x y
e(1y)cos(xy)(xy y) 0
四、解答题(本大题10分)
14.已知上半平面内一曲线y y(x) (x0),过点(01),且曲线上任一点M(X0,y0)处切线斜率数值上等于此曲线与x轴、y轴、直线xX。所围成 面积的2倍与该点纵坐标之和,求此曲线方程.
五、解答题(本大题10分)
15.过坐标原点作曲线y ln x的切线,该切线与曲线y ln x及x轴围
大一(第一学期)高数期末考试题及答案
大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .(A )(0)2f '= (B )(0)1f '=(C )(0)0f '= (D )()f x 不可导.2. )时( ,则当,设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.(A )()()x x αβ与是同阶无穷小,但不是等价无穷小; (B )()()x x αβ与是等价无穷小;(C )()x α是比()x β高阶的无穷小; (D )()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰,其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ,则( ).(A )函数()F x 必在0x =处取得极大值;(B )函数()F x 必在0x =处取得极小值;(C )函数()F x 在0x =处没有极值,但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点; (D )函数()F x 在0x =处没有极值,点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
(A )22x (B )222x +(C )1x - (D )2x +.二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 4.=+→xx x sin 2)31(lim .5. ,)(cos 的一个原函数是已知x f x x =⋅⎰x x x x f d cos )(则 .6.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .7. =-+⎰21212211arcsin -dx xx x .三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分)8. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定,求'()y x 以及'(0)y . 9.设函数)(x f 连续,=⎰1()()g x f xt dt,且→=0()limx f x A x ,A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.10. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题(本大题10分)11. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ,过点(,)01,且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和,求此曲线方程.五、解答题(本大题10分)12. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线,该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ;(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题(本大题有2小题,每小题4分,共8分)13. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减,证明对任意的[,]∈01q ,1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.14. 设函数)(x f 在[]π,0上连续,且0)(0=⎰πx d x f ,0cos )(0=⎰πdx x x f .证明:在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ,使.0)()(21==ξξf f (提示:设⎰=xdxx f x F 0)()()解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)1、D2、A3、C4、C二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)5. 6e . 6.c x x +2)cos (21 .7. 2π. 8.3π.三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分) 9. 解:方程两边求导0,0x y ==,(0)1y '=-10. 解:767u x x dx du == 11. 解:101233()2xf x dx xe dx x x dx---=+-⎰⎰⎰12. 解:由(0)0f =,知(0)0g =。
大一(第一学期)高数期末考试题及答案
大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .(A )(0)2f '= (B )(0)1f '=(C )(0)0f '= (D )()f x 不可导.2. )时( ,则当,设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.(A )()()x x αβ与是同阶无穷小,但不是等价无穷小; (B )()()x x αβ与是等价无穷小;(C )()x α是比()x β高阶的无穷小; (D )()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰,其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ,则( ).(A )函数()F x 必在0x =处取得极大值; (B )函数()F x 必在0x =处取得极小值;(C )函数()F x 在0x =处没有极值,但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点; (D )函数()F x 在0x =处没有极值,点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数,且设(A )22x (B )222x +(C )1x - (D )2x +.二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 5. =+→xx x sin 2)31(lim .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .8. =-+⎰21212211arcsin -dx xx x .三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分)9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定,求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. . 求,, 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续,=⎰10()()g x f xt dt,且→=0()limx f x A x ,A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题(本大题10分)14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ,过点(,)01,且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和,求此曲线方程. 五、解答题(本大题10分)15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线,该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ;(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题(本大题有2小题,每小题4分,共8分)16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减,证明对任意的[,]∈01q ,1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续,且0)(0=⎰πx d x f ,0cos )(0=⎰πdx x x f .证明:在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ,使.0)()(21==ξξf f (提示:设⎰=xdxx f x F 0)()()解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)5. 6e . 6.c x x +2)cos (21 .7. 2π. 8.3π.三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分) 9. 解:方程两边求导(1)cos()()0x y e y xy xy y +''+++= cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==,(0)1y '=-10. 解:767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11. 解:1033()x f x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰3()x xd e --=-+⎰⎰0232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰ 令3214e π=--12. 解:由(0)0f =,知(0)0g =。
大一(第一学期)高数期末考试题及答案【呕心沥血整理版】
大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f 。
(A )(0)2f '= (B)(0)1f '=(C )(0)0f '= (D )()f x 不可导.2. )时( ,则当,设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.(A)()()x x αβ与是同阶无穷小,但不是等价无穷小; (B )()()x x αβ与是等价无穷小;(C )()x α是比()x β高阶的无穷小; (D )()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰,其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ,则( ).(A )函数()F x 必在0x =处取得极大值; (B )函数()F x 必在0x =处取得极小值;(C )函数()F x 在0x =处没有极值,但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点; (D )函数()F x 在0x =处没有极值,点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点.4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数,且设(A )22x (B )222x+(C )1x - (D )2x +。
二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 5. =+→xx x sin 2)31(l i m .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则。
7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ 。
8. =-+⎰21212211arcsin -dx xx x 。
三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分)9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定,求'()y x 以及'(0)y 。
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大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .(A )(0)2f '= (B )(0)1f '=(C )(0)0f '= (D )()f x 不可导.2. )时( ,则当,设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.(A )()()x x αβ与是同阶无穷小,但不是等价无穷小; (B )()()x x αβ与是等价无穷小;(C )()x α是比()x β高阶的无穷小; (D )()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰,其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ,则( ).(A )函数()F x 必在0x =处取得极大值; (B )函数()F x 必在0x =处取得极小值;(C )函数()F x 在0x =处没有极值,但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点; (D )函数()F x 在0x =处没有极值,点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数,且设(A )22x (B )222x+(C )1x - (D )2x +.二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 5. =+→xx x sin 2)31(lim .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .8. =-+⎰21212211arcsin -dx xx x .三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分)9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定,求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. . 求,, 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续,=⎰10()()g x f xt dt,且→=0()limx f x A x ,A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题(本大题10分)14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ,过点(,)01,且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和,求此曲线方程. 五、解答题(本大题10分)15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线,该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ;(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题(本大题有2小题,每小题4分,共8分)16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减,证明对任意的[,]∈01q ,1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续,且0)(0=⎰πx d x f ,0cos )(0=⎰πdx x x f .证明:在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ,使.0)()(21==ξξf f (提示:设⎰=xdxx f x F 0)()()解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)5. 6e . 6.c x x +2)cos (21 .7. 2π. 8.3π.三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分) 9. 解:方程两边求导(1)cos()()0x y e y xy xy y +''+++= cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==,(0)1y '=-10. 解:767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11. 解:1033()x f x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰03()x xd e --=-+⎰⎰0232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰ 令3214e π=--12. 解:由(0)0f =,知(0)0g =。
大一上学期(第一学期)高数期末考试题(有答案)
0
V V1 V2 D 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积
(5e2 12e 3) 6
六、证明题(本大题有 2 小题,每小题 4 分,共 12 分)
q
1
q
q
1
f ( x) d x q f (x)dx f ( x) d x q( f ( x) d x f (x)dx)
16. 证明: 0
0
0
0
q
q
求 1
1
f ( x )dx.
3
1
g( x )
12. 设函数 f (x) 连续,
f ( xt ) dt
f ( x) lim
0
,且 x 0 x
A ,A 为常数 . 求
g(x) 并讨论 g( x) 在 x 0 处的连续性 .
13. 求微分方程 xy 2 y x ln x 满足 y(1)
1 9 的解 .
四、 解答题(本大题 10 分)
二、填空题(本大题有 4 小题,每小题 4 分,共 16 分)
5.
e6
1 (cosx ) 2 c
. 6. 2 x
.7. 2 . 8.
3
.
三、解答题(本大题有 5 小题,每小题 8 分,共 40 分)
9. 解:方程两边求导
ex y ( 1 y ) c oxsy( xy) ( y
大一上学期(第一学期)高数期末考试题(有答案)详解
大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .(A )(0)2f '= (B )(0)1f '=(C )(0)0f '= (D )()f x 不可导.2. )时( ,则当,设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.(A )()()x x αβ与是同阶无穷小,但不是等价无穷小; (B )()()x x αβ与是等价无穷小;(C )()x α是比()x β高阶的无穷小; (D )()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰,其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ,则( ).(A )函数()F x 必在0x =处取得极大值; (B )函数()F x 必在0x =处取得极小值;(C )函数()F x 在0x =处没有极值,但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点; (D )函数()F x 在0x =处没有极值,点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数,且设(A )22x (B )222x +(C )1x - (D )2x +.二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 5. =+→xx x sin 2)31(l i m .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .8. =-+⎰21212211arcsin -dx xx x .三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分)9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定,求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. . 求,, 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续,=⎰10()()g x f xt dt,且→=0()limx f x A x ,A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题(本大题10分)14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ,过点(,)01,且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和,求此曲线方程. 五、解答题(本大题10分)15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线,该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ;(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题(本大题有2小题,每小题4分,共8分)16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减,证明对任意的[,]∈01q ,1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续,且)(0=⎰πx d x f ,cos )(0=⎰πdx x x f .证明:在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ,使.0)()(21==ξξf f (提示:设⎰=xdxx f x F 0)()()解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)1、D2、A3、C4、C二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)5. 6e .6.cx x +2)cos (21 .7. 2π. 8.3π.三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分) 9. 解:方程两边求导(1)c o s ()()x ye y xy xy y +''+++=cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==,(0)1y '=-10. 解:767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11.解:133()xf x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰3()x xd e --=-+⎰⎰00232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰ 令3214e π=--12. 解:由(0)0f =,知(0)0g =。
大一上学期(第一学期)高数期末考试题(有答案)
大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)1.)(0),sin (cos )( =+=x x x x x f .(A )(0)2f '= (B )(0)1f '=(C )(0)0f '= (D )()f x 不可导.2. 133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.(A )()()x x αβ与是同阶无穷小,但不是等价无穷小; (B )()()x x αβ与是等价无穷小;(C )()x α是比()x β高阶的无穷小;(D )()x β是比()x α高阶的无穷小.3.若()()()02xF x t x f t dt=-⎰,其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ,则().(A )函数()F x 必在0x =处取得极大值;(B )函数()F x 必在0x =处取得极小值;(C )函数()F x 在0x =处没有极值,但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点;(D )函数()F x 在0x =处没有极值,点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f (A )22x (B )222x +(C )1x - (D )2x +.二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)5.=+→xx x sin 2)31(lim.6.,)(cos x f xx=⋅⎰x x x x f d cos )( .7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221L n n nnn n ππππ.8.=-+⎰21212211arcsin dx xx x .三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分)9.设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定,求'()y x 以及'(0)y .10..d )1(177x x x x ⎰+- 11. ⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=132)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12.设函数)(x f 连续,=⎰10()()g x f xt dt,且→=0()limx f x A x ,A 为常数.求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13.求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题(本大题10分)14.已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ,过点(,)01,且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和,求此曲线方程.五、解答题(本大题10分)15.过坐标原点作曲线x y ln =的切线,该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1)求D 的面积A ;(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题(本大题有2小题,每小题4分,共8分)16.设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减,证明对任意的[,]∈01q ,1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17.设函数)(x f 在[]π,0上连续,且0)(0=⎰πx d x f ,cos )(0=⎰πdx x x f .证明:在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ,使.0)()(21==ξξf f (提示:设⎰=xdxx f x F 0)()()解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)5.6e . 6.c x x +2cos (21 .7. 2π. 8.3π.三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分)9.解:方程两边求导(1)cos()()0x y e y xy xy y +''+++=cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==,(0)1y '=-10.解:767u x x dx du== 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰ 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++7712ln ||ln |1|77x x C =-++11.解:10330()x f x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰030()xxd e --=-+⎰⎰00232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰ 3214e π=--12.解:由(0)0f =,知(0)0g =。
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大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .(A )(0)2f '= (B )(0)1f '=(C )(0)0f '= (D )()f x 不可导.2. )时( ,则当,设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.(A )()()x x αβ与是同阶无穷小,但不是等价无穷小; (B )()()x x αβ与是等价无穷小;(C )()x α是比()x β高阶的无穷小; (D )()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰,其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ,则( ).(A )函数()F x 必在0x =处取得极大值; (B )函数()F x 必在0x =处取得极小值;(C )函数()F x 在0x =处没有极值,但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点; (D )函数()F x 在0x =处没有极值,点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数,且设(A )22x (B )222x+(C )1x - (D )2x +.二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 5. =+→xx x sin 2)31(lim .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .8. =-+⎰21212211arcsin -dx xx x .三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分)9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定,求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. . 求,, 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续,=⎰10()()g x f xt dt,且→=0()limx f x A x ,A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题(本大题10分)14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ,过点(,)01,且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和,求此曲线方程. 五、解答题(本大题10分)15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线,该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ;(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题(本大题有2小题,每小题4分,共8分)16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减,证明对任意的[,]∈01q ,1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续,且0)(0=⎰πx d x f ,0cos )(0=⎰πdx x x f .证明:在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ,使.0)()(21==ξξf f (提示:设⎰=xdxx f x F 0)()()解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分)5. 6e . 6.c x x +2)cos (21 .7. 2π. 8.3π.三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分) 9. 解:方程两边求导(1)cos()()0x ye y xy xy y +''+++=cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==,(0)1y '=-10. 解:767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11. 解:1330()xf x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰3()xxd e --=-+⎰⎰00232cos (1sin )x xxe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰令3214e π=--12. 解:由(0)0f =,知(0)0g =。
===⎰⎰1()()()xxt uf u dug x f xt dt x(0)x ≠02()()()(0)xxf x f u dug x x x-'=≠⎰20()()A(0)lim lim22xx x f u duf xg x x →→'===⎰02()()lim ()lim22xx x xf x f u duA Ag x A x→→-'==-=⎰,'()g x 在=0x 处连续。
13. 解:2ln dy y x dx x +=22(ln )dx dx x x y e e xdx C -⎰⎰=+⎰211ln 39x x x Cx -=-+1(1),09y C =-=,11ln 39y x x x=- 四、 解答题(本大题10分)14. 解:由已知且02d xy y x y'=+⎰,将此方程关于x 求导得y y y '+=''2特征方程:022=--r r 解出特征根:.2,121=-=r r其通解为 xx e C e C y 221+=-代入初始条件y y ()()001='=,得31,3221==C C故所求曲线方程为:xx e e y 23132+=-五、解答题(本大题10分)15. 解:(1)根据题意,先设切点为)ln ,(00x x ,切线方程:)(1ln 000x x x x y -=-由于切线过原点,解出e x =0,从而切线方程为:x e y 1=则平面图形面积⎰-=-=1121)(e dy ey e A y(2)三角形绕直线x = e 一周所得圆锥体体积记为V 1,则2131e V π=曲线x y ln =与x 轴及直线x = e 所围成的图形绕直线x = e 一周所得旋转体体积为V 2⎰-=122)(dye e V y πD 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积)3125(6221+-=-=e e V V V π六、证明题(本大题有2小题,每小题4分,共12分)16. 证明:1()()qf x d x q f x dx -⎰⎰1()(()())qqqf x d x q f x d x f x dx =-+⎰⎰⎰10(1)()()qqq f x d x q f x dx=--⎰⎰1212[0,][,1]()()12(1)()(1)()0q q f f q q f q q f ξξξξξξ∈∈≥=---≥故有:1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx证毕。
17.证:构造辅助函数:π≤≤=⎰x dt t f x F x0,)()(0。
其满足在],0[π上连续,在),0(π上可导。
)()(x f x F =',且0)()0(==πF F由题设,有⎰⎰⎰⋅+===ππππ0)(sin cos )()(cos cos )(0|dxx F x x x F x xdF xdx x f ,有⎰=π00sin )(xdx x F ,由积分中值定理,存在),0(πξ∈,使0sin )(=ξξF 即0)(=ξF综上可知),0(,0)()()0(πξπξ∈===F F F .在区间],[,],0[πξξ上分别应用罗尔定理,知存在),0(1ξξ∈和),(2πξξ∈,使0)(1='ξF 及0)(2='ξF ,即0)()(21==ξξf f .。