合肥工业大学大一上学期高数期末考试题

咼数期末考试

一、填空题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)

2

.lim (1 + 3x)sin

x =

1. x -0

_______________________________________

.

已知cosx

是f(x)的一个原函数， 则

2.

x

x

兀

2兀

2

2兀 2 n — 1

lim — (cos 2

— + cos 2 ——+||| + cos 2

兀)= 3. “世 n n n n ______________ .

1 2 2

x arcsin x 1 , dx 二

2

—

1

书1 一 X

4. _ 运

______________________ .

二、单项选择题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)

设口(x) = —x

, P (x)=3-3%'x ,则当 X T 1 时(

)

5.

1 x

.

(A)

〉(x)与-(x)

是同阶无穷小，但不是等价无穷小； (B )〉(x)与］(x)

是等价无穷小；

(C (X)是比-(x)高阶的无穷小； (D ) -(x)

是比〉(X)高阶的

无穷小.

6 设 f (x) = cos x( x + sin x ),则在 x = 0处有

(

A C

) ■ (D ) f(x)

不可导. x

7.若

F (x )

二0( 2

—x ) f

( t ) dt ，其中f (x)在区间上(-1,1)二阶可导且

f (x)

，则(

).

(A) 函数F(x)必在x=0处取得极大值； (B) 函数F (x)必在x = 0处取得极小值； (C) 函数

F(x)在x=0处没有极值，但点(0, F(0))为曲线y = F(x)的拐点；

(D) 函数F

(x)在x=0处没有极值，点(0

，F(0)

)也不是曲线y 二F(x)的拐点。

1

设f (x)是连续函数，且 f (x) = x + 2 j° f (t)dt ,贝U f (x)=(

(A ) 2

解答题(本大题有5小题，每小题8分，共40分)

10. 设函数厂y (x)

由方程e x y

-

sin(x

y)二1

确定，求y (x)

以及y (°).

1 - x 7

8. 2

—+2

(B ) 2

(C ) x 1 (D ) x 2.

9.

三

求—dx.

11.x(1 x )

y(1) =

14.求微分方程

xy 2

^

xlnx

满足

9的解.

四、解答题(本大题10分)

15. 已知上半平面内一曲线 y 二y(x

)(x 一0)

，过点(0,1

)，且曲线上任一点

M&o ’y 。)处切线斜率数值上等于此曲线与 x 轴、y 轴、直线x = x °所围成 面积的

2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题(本大题10分)

16. 过坐标原点作曲线

“

ln x 的切线，该切线与曲线

y

=

ln x

及x 轴

围

成平面图形D.

(1)求D 的面积A ； (2)求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积 V. 六、证明题(本大题有2小题，每小题4分，共8分)

17. 设函数

f(x)

在-0,1上连续且单调递减，证明对任意的q ，

［0,1］

，

q

1

f (x ) d x — q f (x ) dx

■

JI

JI

匸 i

Jf(x)dx=0 Jf(x) cos x dx = 0

18. 设函数f(x)在0,二上连续，且0

,0 证明：在0,二内至少存在两个不同的点1 , 2，使

f(

1)= f( 2)= 0

・(提

x

F (x)二 f (x)dx

示：设

解答

一、单项选择题(本大题有4小题，每小题4分，共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C

设f(x)二

12.

2

—X

xe 一 , x - x ,

0 X < 1

1

f(xt)d t

求；f (x)dx •

13•设函数f(x)连续，咖=

g(x

)并讨论g(x)在x = o 处的连续性.

，且叫于"，A 为常数.求

二、填空题(本大题有4小题，每小题

1 ,COSX\2

6 -( ) C

5. e.

6. 2 x .

7.

三、解答题(本大题有5小题，每小题

9.解：方程两边求导

e x y( 1 y ) c cxy( xy) ( y =)4

分,

兀

2 .

8

分,

共16分)

JI

8. 3

共40

分)