大一上学期(第一学期)高数期末考试题(有标准答案)详解

大一上学期高数期末考试
、单项选择题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)
1 设 f ( X )cos x (x sin x )，则在 x 0 处有( (A) f
(0)
2
(B) f (0)1 (C) f (0)° c 设(x) 1 x , (x) 3 33 x » 则当 x
1 时(
2. 1
X
(A)
g 与
M
是同阶无穷小，但不是等价无穷小；
是等价无穷小；
(C)
(X )是比(x)高阶的无穷小；
(D)
无穷小・
(A) 函数F (x )必在X 0处取得极大值； (B) 函数F (x)必在x 0处取得极小值；
(C) 函数F(x)在xo 处没有极值，但点(o,F (o ))为曲线yF(x)的拐点；
(D)
函数F”)在xO 处没有极值，点(：F (o ))也干是曲
线YF(x)的拐点。

4设f (x)是连续函数，且 "X )
22
X
X
、僅產题(本夫龊右4小题'
2
8. 斥曰
二 ' 解答题(本大题有
5小题，每小题8分，共40分)exy sin(xy)1
9.
设函数y y (x)由方程确定，求y (x)以及y (0). 求I X
10.
x(心
3•若F
f(x)
(X) 0 (2t x)f(t )dt ,其中f (x)在区间上(")二阶可导且
)・
(D) MX)不可导.
)
(B) (X)与(X)
(X )是比(x)高阶的
2of(t)dt,则 f(x)(
(D)®
4分，共16分)
5.
lim (1 3x)办
x0\
/
6.
已知沪空是f(X)的一个原函数
X
I r COS
X
则
7.
lim
n —(cos 2
— n n
cos3 ) n
2
x arcsin x i dx
x 2
1 V1
A
2
xy
四、解答题（本大题10分）
14.
已知上半平面内一曲线yy （x ）（xo ），过点®），且曲线上任一点M （Xo,yo ）处切线斜率 数值上等于此曲线与X 轴、y 轴、直线X X 。

所围成面积的2倍与该点纵坐标之
和，求此曲线方程.
五、解答题（本大题10分）
15. 过坐标原点作曲线y"x 的切线，该切线与曲线yin X 及X 轴围
成平面图形D.
（1 ）求D 的面积A ；⑵求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V.
六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）
16. 设函数“）在“上连续且单调递减，证明对任意的q 【o, J ，
q
1
f （x ） d x q f （x ）dx 0 0
f （ x ） d x 0 f （x ）cos x dx 0
17. 设函数”x ）在0,上连续，且。

证明：在。

，内至少存在两个不同的点
J 2
,使”1）
f （2）°・（提
X
F （x ） f （x ）dx
示：设 °
解答
一、单项选择题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）
1、D
2、A
3、C
4、C
、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）
1 ,COSX\2
5.
・6.2（cOS”）° 7.
2. 8. 3
11.
设 f (x)
xe
0x1 af(x)dx.
g （x ）
12.设函数f （x ）连续，
f (xt)dt
lim
且X 0
空A X ，A 为常数•
求
g (x )并讨论g (x)在x
o 处的连续性. 13.求微分方程xy 2『
xlnx 满足 y
（1）
9的解.
三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9•解：方程两边求导
e (1 y) cos(xy)(xy y) 0
9
y(x) e xy ycos(xy) e xy x cos(xy) 0y(0)
10•
解： 7
U X
6
7x dx
du
原式
1 (1 u). du
7 u(1 u) 7 1
7仲u 2ln |u
11)
1 , j2,-
In |x 7
I In |1
X 7
1
九解：
3 f(x)dx
3
xe xdx 0 3Xd(
0 1 (x 1 )2dx
00
X
xe
3
-cos 2 d (令
2
4
12 •
解：
由 f
(°)
g （o ）
X
xt
(u)du
XO, y
x 2 dx
f (xt )dt
g(x)
x
1 sin )
(x
0)
g(x)
X
xf (x) f (u)du
_____ 0
2
X
（
X
0)
f(u)du
g
（o ）
lim
X
Kx} 2x xf(x)
IITTl ~xTF
X f (u)du
-------
10o gw
x m 0
A
2 , g （x ）在X。

处连
续。

dy 13 •解
严
In
ye
-dx x ■d x
e x
In xdx c) •xln
. 3 1
y （n 聾 9
四、解答题（本大题10
Cx 2
*xln 3
9
将此方程尖于X求导得y2yy
特征方程:"2 。

解出特征根： 1 2 其通解为y c i e x
c2e2x
代入初始条件y（。

）,（。

）1'得c,
2 x 2x
故所求曲线方程为：
五、解答题（本大题1
吩）
y 3e
15•解：（1）根据题意，先设切点为（x°M X。

）
V In x。

'切謹方
1
(X X°)
X。

1 y x e
由于切线过原点，解出x。

1
「从而切线方程为：
A （3 则平面图形面积°
1 ey)dy 1
曲线y为卩x与x轴及直线x = e所围成的图形绕直线x= e 一周所得旋转体体积
ev)2dy
WiV2x = e旋转一周所得旋转体的体积严12e3）D绕直线（本大题有
六、证明题q2小题，每小题4分，共12分）
f(x)dx 1 q 1
o
q f (x)dx f (x) d x q( f (x) d x f (x)dx)
16•证明:o
1o
q
q (1 q) f(x)d x
o 1
q f(x)dx a
i[°,q]2[q,1] 1）f（2）q(i q) f( 0 q(i q) f( 2) °故有：
q
f (x) d x f(x)dx
o证
17. 毕o
F(x) %
o
证：构造辅助函。

其满足在
1%】上连续，在
14懈：由已知且y 2 oyd x y
（2）三角形绕直线x=e
一周所得圆锥体体积记为
Va(e
数：
f（x），且F（。

）F() 上可导。

F（x）
0 f (x)cosxdx cos xdF (x) F (x)cosxi sin x F(x)dx
由题设，有00° 0，
F (x)sin xdx 0 有o，由积分中值定理，存在(°，)，使F()sino艮卩F()0 综上可知F(o)F () F() 0, (0,)・在区间[0,],[,]上分别应用罗尔定理，知存在
“0J 和2(・)，使F(1)O 及F(2>0 ,即。