大一上学期(第一学期)高数期末考试题(有标准答案)详解

大一上学期高数期末考试

、单项选择题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)

1 设 f ( X )cos x (x sin x )，则在 x 0 处有( (A) f

(0)

2

(B) f (0)1 (C) f (0)° c 设(x) 1 x , (x) 3 33 x » 则当 x

1 时(

2. 1

X

(A)

g 与

M

是同阶无穷小，但不是等价无穷小；

是等价无穷小；

(C)

(X )是比(x)高阶的无穷小；

(D)

无穷小・

(A) 函数F (x )必在X 0处取得极大值； (B) 函数F (x)必在x 0处取得极小值；

(C) 函数F(x)在xo 处没有极值，但点(o,F (o ))为曲线yF(x)的拐点；

(D)

函数F”)在xO 处没有极值，点(：F (o ))也干是曲

线YF(x)的拐点。4设f (x)是连续函数，且 "X )

22

X

X

、僅產题(本夫龊右4小题'

2

8. 斥曰

二 ' 解答题(本大题有

5小题，每小题8分，共40分)exy sin(xy)1

9.

设函数y y (x)由方程确定，求y (x)以及y (0). 求I X

10.

x(心

3•若F

f(x)

(X) 0 (2t x)f(t )dt ,其中f (x)在区间上(")二阶可导且

)・

(D) MX)不可导.

)

(B) (X)与(X)

(X )是比(x)高阶的

2of(t)dt,则 f(x)(

(D)®

4分，共16分)

5.

lim (1 3x)办

x0\

/

6.

已知沪空是f(X)的一个原函数

X

I r COS

X

则

7.

lim

n —(cos 2

— n n

cos3 ) n

2

x arcsin x i dx

x 2

1 V1

A

2

xy

四、解答题（本大题10分）

14.

已知上半平面内一曲线yy （x ）（xo ），过点®），且曲线上任一点M （Xo,yo ）处切线斜率 数值上等于此曲线与X 轴、y 轴、直线X X 。所围成面积的2倍与该点纵坐标之

和，求此曲线方程.

五、解答题（本大题10分）

15. 过坐标原点作曲线y"x 的切线，该切线与曲线yin X 及X 轴围

成平面图形D.

（1 ）求D 的面积A ；⑵求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V.

六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）

16. 设函数“）在“上连续且单调递减，证明对任意的q 【o, J ，

q

1

f （x ） d x q f （x ）dx 0 0

f （ x ） d x 0 f （x ）cos x dx 0

17. 设函数”x ）在0,上连续，且。 证明：在。，内至少存在两个不同的点

J 2

,使”1）

f （2）°・（提

X

F （x ） f （x ）dx

示：设 °

解答

一、单项选择题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）

1、D

2、A

3、C

4、C

、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）

1 ,COSX\2

5.

・6.2（cOS”）° 7.

2. 8. 3

11.

设 f (x)

xe

0x1 af(x)dx.

g （x ）

12.设函数f （x ）连续，

f (xt)dt

lim

且X 0

空A X ，A 为常数•

求

g (x )并讨论g (x)在x

o 处的连续性. 13.求微分方程xy 2『

xlnx 满足 y

（1）

9的解.

三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9•解：方程两边求导

e (1 y) cos(xy)(xy y) 0

9

y(x) e xy ycos(xy) e xy x cos(xy) 0y(0)

10•

解： 7

U X

6

7x dx

du

原式

1 (1 u). du

7 u(1 u) 7 1

7仲u 2ln |u

11)

1 , j2,-

In |x 7

I In |1

X 7

1

九解：

3 f(x)dx

3

xe xdx 0 3Xd(

0 1 (x 1 )2dx

00

X

xe

3

-cos 2 d (令

2

4

12 •

解：

由 f

(°)

g （o ）

X

xt

(u)du

XO, y

x 2 dx

f (xt )dt

g(x)

x

1 sin )

(x

0)

g(x)

X

xf (x) f (u)du

_____ 0

2

X

（

X

0)

f(u)du

g

（o ）

lim

X

Kx} 2x xf(x)

IITTl ~xTF

X f (u)du

-------

10o gw

x m 0

A

2 , g （x ）在X

。处连

续。

dy 13 •解

严

In

ye

-dx x ■d x

e x

In xdx c) •xln

. 3 1

y （n 聾 9

四、解答题（本大题10

Cx 2

*xln 3