新北师大八年级数学上二次根式
北师大版八年级数学上册：2.7《二次根式》教学设计1
北师大版八年级数学上册：2.7《二次根式》教学设计1一. 教材分析《二次根式》是北师大版八年级数学上册第2.7节的内容，本节主要介绍二次根式的概念、性质和运算。
二次根式在数学中占有重要地位，它不仅是学习更高深数学的基础，也是解决实际问题的重要工具。
通过学习二次根式，学生可以更好地理解和掌握数学的本质。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经学习了实数、有理数和无理数等基础知识，对数的运算也有一定的了解。
但二次根式作为一种新的数学对象，其概念和性质需要学生通过实例去感受和理解。
同时，学生需要将已有的知识运用到新的领域，进行二次根式的运算。
三. 教学目标1.了解二次根式的概念和性质。
2.掌握二次根式的运算方法。
3.能够运用二次根式解决实际问题。
四. 教学重难点1.二次根式的概念和性质。
2.二次根式的运算方法。
五. 教学方法采用问题驱动法和案例教学法，通过设置问题和实例，引导学生主动探索和理解二次根式的概念和性质。
同时，通过小组讨论和合作交流，培养学生解决问题的能力和团队协作精神。
六. 教学准备1.PPT课件。
2.相关练习题和实例。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过设置问题：“你能用已学的知识解释水的沸腾吗？”引导学生思考和探索二次根式的概念和性质。
2.呈现（10分钟）通过PPT课件，展示二次根式的实例，引导学生观察和分析，总结出二次根式的概念和性质。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实例，运用刚学的知识进行分析和运算。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）出示一组练习题，让学生独立完成，检验学生对二次根式的理解和掌握程度。
5.拓展（10分钟）让学生运用二次根式解决实际问题，如计算物理中的速度、路程等问题。
6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课所学内容，巩固二次根式的概念和性质，以及运算方法。
7.家庭作业（5分钟）布置适量作业，让学生进一步巩固和提高二次根式的理解和运用能力。
北师大版八年级数学上册：2.7《二次根式》说课稿
北师大版八年级数学上册：2.7《二次根式》说课稿一. 教材分析北师大版八年级数学上册第2.7节《二次根式》是学生在学习了实数、有理数、无理数等相关知识的基础上，进一步深入研究根式的一种拓展。
本节内容主要介绍了二次根式的定义、性质和运算规则，旨在培养学生对根式的理解和运用能力。
教材通过例题和练习题的形式，使学生能够熟练掌握二次根式的相关知识，并能够运用到实际问题中。
二. 学情分析学生在学习本节内容之前，已经掌握了实数、有理数、无理数等基础知识，对于根式的概念和性质有一定的了解。
但二次根式作为一种特殊的根式，其定义和性质与一次根式有所不同，需要学生进行进一步的学习和理解。
此外，学生需要掌握二次根式的运算规则，并能够灵活运用到实际问题中。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解二次根式的定义，掌握二次根式的性质和运算规则，并能够运用到实际问题中。
2.过程与方法目标：通过小组合作、讨论交流等学习方式，培养学生的团队协作能力和问题解决能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学学科的兴趣和热爱，培养学生的自信心和自主学习能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：二次根式的定义、性质和运算规则。
2.教学难点：二次根式的运算规则的理解和运用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例分析法、小组合作法等教学方法，引导学生主动探索、讨论和解决问题。
2.教学手段：利用多媒体课件、板书、练习题等教学手段，帮助学生理解和掌握二次根式的相关知识。
六. 说教学过程1.导入：通过复习一次根式的相关知识，引导学生思考二次根式的定义和性质。
2.讲解：讲解二次根式的定义、性质和运算规则，通过例题和练习题的形式，使学生能够理解和掌握相关知识。
3.小组合作：学生分组讨论，通过解决实际问题，运用二次根式的相关知识，培养学生的团队协作能力和问题解决能力。
4.总结：对本节内容进行总结，强调二次根式的定义、性质和运算规则的重要性和运用。
北师大版八年级数学上册：2.7《二次根式》教学设计
北师大版八年级数学上册：2.7《二次根式》教学设计一. 教材分析《二次根式》是北师大版八年级数学上册第2.7节的内容，本节主要介绍二次根式的概念、性质和运算。
二次根式是中学数学中的重要内容，它不仅出现在代数、几何等领域，还是学习高中数学的基础。
本节内容为学生提供了理解二次根式的基础知识，为后续学习二次根式的运算和应用打下基础。
二. 学情分析八年级的学生已经学习了实数、有理数、无理数等基础知识，对数学概念和运算有一定的理解。
但二次根式作为一种新的数学对象，其概念和性质与已有知识有很大的不同，需要学生进行一定的适应和理解。
同时，学生需要掌握二次根式的运算方法，这需要他们在课堂上进行充分的练习和思考。
三. 教学目标1.理解二次根式的概念和性质；2.掌握二次根式的运算方法；3.能够应用二次根式解决实际问题。
四. 教学重难点1.二次根式的概念和性质；2.二次根式的运算方法；3.二次根式在实际问题中的应用。
五. 教学方法采用讲授法、案例教学法、练习法、小组合作学习法等。
通过具体的例子和练习，让学生理解和掌握二次根式的概念、性质和运算方法。
六. 教学准备1.PPT课件；2.练习题；3.小组讨论工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入二次根式的概念，例如：“一个正方形的对角线长为8cm，求正方形的面积。
”让学生思考如何解决这个问题，引出二次根式的概念。
2.呈现（10分钟）讲解二次根式的概念和性质，通过PPT课件展示二次根式的图形和性质，让学生理解和掌握二次根式的基本概念和性质。
3.操练（10分钟）让学生进行二次根式的运算练习，提供一些练习题，让学生独立完成，然后进行讲解和解析。
4.巩固（10分钟）通过一些综合性的练习题，让学生应用二次根式的概念和运算方法，巩固所学知识。
5.拓展（5分钟）讲解二次根式在实际问题中的应用，提供一些实际问题，让学生思考如何运用二次根式解决这些问题。
6.小结（5分钟）对本节课的内容进行小结，让学生回顾和巩固所学知识。
北师大版数学八年级上册7《二次根式》教学设计4
北师大版数学八年级上册7《二次根式》教学设计4一. 教材分析《二次根式》是北师大版数学八年级上册第七章的内容，本章主要让学生了解二次根式的概念、性质和运算方法。
通过本章的学习，学生能理解二次根式的实际意义，掌握二次根式的基本性质和运算规律，为后续学习更高深的数学知识打下基础。
二. 学情分析学生在七年级时已经学习了实数和分数，对数的运算有一定的基础。
但是，对于二次根式这一概念，学生可能较为陌生，需要通过实例和练习来逐步理解和掌握。
此外，学生对于抽象的数学概念，有时难以理解其内涵，需要教师通过具体例子和生活中的实际问题来进行引导。
三. 教学目标1.了解二次根式的概念和性质。
2.掌握二次根式的运算方法。
3.能运用二次根式解决实际问题。
四. 教学重难点1.二次根式的概念和性质。
2.二次根式的运算方法。
3.二次根式在实际问题中的应用。
五. 教学方法采用讲授法、案例分析法、问题驱动法、小组讨论法等，结合多媒体教学，引导学生通过观察、思考、讨论、实践等方式，掌握二次根式的概念、性质和运算方法。
六. 教学准备1.教材、教案、课件。
2.相关的生活实例和练习题。
3.多媒体教学设备。
七. 教学过程1. 导入（5分钟）教师通过引入实际问题，如“一个物体从地面上抛出，上升到最高点后再落下，求物体上升的最大高度。
”让学生思考如何用数学方法来解决这个问题。
2. 呈现（10分钟）教师通过讲解和展示课件，介绍二次根式的概念和性质，如“二次根式是一个形如√a的数学表达式，其中a是一个非负实数。
”并通过实例来引导学生理解二次根式的实际意义。
3. 操练（10分钟）教师给出一些二次根式的运算题目，如“计算√8 + √2”，让学生独立完成，然后进行讲解和解析。
4. 巩固（10分钟）教师通过一些练习题，让学生运用二次根式的运算方法，如“计算（√2 + √3）^2”，并引导学生理解二次根式的运算规律。
5. 拓展（10分钟）教师引导学生思考二次根式在实际问题中的应用，如“一个物体从地面上抛出，上升到最高点后再落下，求物体上升的最大高度。
北师大版数学八年级上册 二次根式的运算
的值. 解：由题意得 32mn21n2，3， 解得
m
n
4, 3 1, 2
即 mn 4 1 6 .
32 3
归纳 确定可以合并的二次根式中字母取值的方法：利 用被开方数相同，指数都为 2 ，列关于待定字母的方 程求解即可.
【变式题】如果最简二次根式 2 3a 8与 17 2a 可以合
并，那么要使式子 4a 2x 有意义，求 x 的取值范围.
3. 下列二次根式，不能与 12 合并的是__②__⑤___ (填
序号）.
① 48 ；②- 125 ；③ 11 ；④ 3 ；⑤ 18.
3
2
例7
已知 a，b，c 满足 a
2
8
b5 c3
2 0.
(1) 求 a，b，c 的值；
(2) 以 a，b，c 为三边长能否构成三角形？若能构成
三角形，求出其周长；若不能，请说明理由. 解分：析(：1)(1由)若题几意个得非a 负 式8 的 2和2为，零b ， 5则，这c 几3个2非. 负式 (必2)然能都. 理为由零如；下(2：)根∵据2三2角＜3形2的＜三5，边即关a＜系c来＜判b.断.
又∵ a c 5 2 5，∴ a + c＞b.
∴ 能够成三角形，周长为 a b c 5 2 5.
【变式题】有一个等腰三角形的两边长分别为
5 2，2 6，求其周长. 解：当腰长为 5 2 时， ∵ 5 2 5 2 10 2＞2 6， ∴ 此时能构成三角形，周长为 10 2+2 6； 当腰长为 2 6 时， ∵ 2 6 2 6 4 6＞5 2， ∴ 此时能构成三角形，周长为 5 2+4 6.
C. 2 3 5
D. 4 5 5 5 20 5
3. 计算：
八年级上册数学北师大版二次根式
八年级上册数学北师大版二次根式
八年级上册数学北师大版二次根式指的是在北师大版八年级上册数学教材中，介绍的二次根式的概念、性质、运算等内容。
这些内容包括根号的定义、根式的简化、根式的性质、根式的运算等。
以下是二次根式的一些示例：
1.根号的定义：例如，√4 = 2，表示4的平方根是2。
2.根式的简化：例如，化简√(3/4) = (√3) / (√4) = (√3) / 2。
3.根式的性质：例如，对于任何正数a，有√a^2 = a；对于任何负数b，有√
b^2 = |b|。
4.根式的运算：例如，√5 + √2 和√5 - √2 的结果不是最简二次根式，需要
进行化简。
总之，八年级上册数学北师大版二次根式是学习二次根式的基本概念和运算法则的重要内容，通过掌握这些知识，学生可以更好地理解数学中的数形结合思想，提升数学素养和应用能力。
北师大版八年级数学上册第二章 二次根式的计算
18
解：(1)
＝
3
(3)
1
35÷
3
15；
18
＝
6.
3
32
32
(2)
＝
＝
4＝2.
8
8
1
3
16 5
(3) 35÷ 15＝
5 ×8＝ 2.
3 ab3 3
(4)
2＝
2 ab 2
ab3 3
ab2＝2 b.
3 ab3
(4)
.
2 ab2
题型二
二次根式的加减
5 2
例 2：计算 8＋ 18的结果是________．
1
－ 2
变式 1：计算 8－6
的结果是__________．
2
变式 2：计算：(1)( 3＋ 2)－ 2； (2)2 3＋3 2－5 3－3 2；
(3)( 8＋ 12)－(2 3－ 2)．
解：(1)原式＝ 3＋ 2－ 2＝ 3.
(2)原式＝(2 3－5 3)＋(3 2－3 2)＝－3 3.
(3)原式＝(2 2＋2 3)－(2 3－ 2)＝2 2＋2 3－2
小组展示
越展越优秀
提疑惑：你有什么疑惑？
知识点1：二次根式的乘除(重点)
1．乘法法则： a· b＝ ab
(a≥0，b≥0)，即两个二次根式相乘，
根指数不变，只把被开方数相乘．
注意：(1)在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要
注意：公式中a，b都必须是非负数；
(2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：
8＋ 18
8
18
(5)
＝ ＋＝ 4＋ 9＝2＋源自＝5222
问题1：你能直接写出下列式子的结果吗？
2.7.2+二次根式的运算++课件++++2024-2025学年北师大版八年级数学上册
= （ ≥0，b ≥0 ）
＝ （
≥0，b ＞0 ）
自主探究
结合课本43页，自主思考下列问题：
分别把下面两个式子
= （ ≥0，b ≥0 ），
＝ （
≥0，b ＞0 ）
等号的左边与右边对换，就得到二次根式的乘法法则和除法
法则：
二次根式的乘法法则和除法法则：
先算乘方，再算乘除，再算加减，有括号先算括号内
合作促学
下列是同类二次根式的是？
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
18与 2
3与 2
9与2 2
12与 3
5 + 1与 5 − 1
例4 计算：
（1）3 2 × 2 3
（2） 12 × 3 − 5
1
8+ 18
）× 3
（6）
3
2
解：（1） × = × × × =
（4）（2 3 − 1）2 （5）（ 27 +
1
）×
3
3
6.课本45页随堂练习
计算：
（6）
27− 12
3
（8） （
9
2
−
（7） 3 3 − 75
98
）
3
×2 2
谢谢观看
A. 3 + 2 = 5
B. 5 5 − 2 2= 3 3
C. 2 3 × 3 3 = 6 3
D. 2 ÷ 3=
5. 计算 18 + 2的结果是
A. 4 2
C. 2 3 + 2
B.7 2
北师大版八年级数学上册：2.7《二次根式》教案2
北师大版八年级数学上册：2.7《二次根式》教案2一. 教材分析《二次根式》是北师大版八年级数学上册第2章第7节的内容，本节课的主要目的是让学生理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质和运算方法。
教材通过引入二次根式，让学生在已有的一次根式知识基础上，进一步拓展对根式的认识。
本节课的内容对于学生来说是一个新的知识点，也是后续学习更高阶根式的基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习过一次根式的相关知识，对根式的概念和运算方法有一定的了解。
但二次根式与一次根式在概念和运算上有很大的区别，学生可能需要一定的时间来消化和理解。
此外，学生可能对二次根式的实际应用场景还不够了解，需要在课堂上进行引导和拓展。
三. 教学目标1.理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质。
2.学会二次根式的运算方法，能够进行二次根式的化简和计算。
3.能够运用二次根式解决实际问题，提高解决问题的能力。
四. 教学重难点1.二次根式的概念和性质。
2.二次根式的运算方法。
3.二次根式在实际问题中的应用。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过设置问题引导学生思考，通过案例让学生理解二次根式的应用，通过小组合作学习法让学生在讨论中巩固知识。
六. 教学准备1.PPT课件。
2.相关案例和练习题。
3.小组合作学习的相关材料。
七. 教学过程导入（5分钟）通过一个实际问题引入二次根式的概念：某立方体体积为8立方厘米，求该立方体的棱长。
解决这个问题需要用到二次根式，从而引出本节课的主题。
呈现（15分钟）1.介绍二次根式的概念，讲解二次根式的性质。
2.通过PPT展示二次根式的各种形式，让学生对二次根式有一个直观的认识。
3.通过案例讲解二次根式的运算方法，让学生学会如何进行二次根式的化简和计算。
操练（10分钟）1.让学生进行一些二次根式的化简和计算练习，巩固所学知识。
2.引导学生发现二次根式运算的规律，提高运算速度和准确性。
巩固（5分钟）通过一些实际问题，让学生运用二次根式进行解决问题，巩固二次根式的应用。
北师大版数学八年级上册 2.7 二次根式
问题 你还记得单项式乘单项式法则吗？
提示：可
试回顾如何计算 3a2·2a3 = 6a5 . 类比上面
例3 计算：
的计算哦！
(1)2 5 3 7；
(2)4
27
－
1 2
3 .
解：(1)2 5 3 7 23 5 7 =6 35.
(2)4
27
1 2
3
4
1 2
27 3 29 18.
二次根式
定义
带有二次根号 被开方数为非负数
在有意义条 件下求字母 的取值范围
抓住被开方数必须为非 负数，从而建立不等式 求出其解集.
二次根式的 双重非负性
最简二次根式
二次根式 a中,a≥0 且 a ≥0
北师大版数学八年级上册
第二章 实数
2.7 二次根式
第2课时 二次根式的运算
1. 满足什么条件的根式是最简二次根式?试化简下列二次 根式： 8 ，18 ，80 ，0.5 ，1 ，20 .
前者 x 为全体实数，后者 x 为非负数.
问题2 二次根式 a 的被开方数 a 的取值范围是什么？ 它本身的取值范围又是什么？
当 a＞0 时， a 表示 a 的算术平方根，因此 a ＞0； 当 a = 0时， a 表示 0 的算术平方根，因此 a = 0. 这就是说，当 a≥0 时， a ≥0.
归纳总结
一定是二次根式的有 A. 3 个 B. 4 个
C. 5 个
（ B） D. 6 个
2.(1)若式子
x
2
1
在实数范围内有意义，则
x
的取值
范围是__x_≥__1__；
(2)若式子 1 x 在实数范围内有意义，则 x 的
北师大版数学八年级上册7《二次根式》教案5
北师大版数学八年级上册7《二次根式》教案5一. 教材分析《二次根式》是北师大版数学八年级上册第七章的内容。
本节内容是在学生已经掌握了有理数的乘除法、平方根的基础上进行的。
二次根式是数学中的基本概念，它在几何、物理等领域有广泛的应用。
本节课的主要内容是二次根式的定义、性质和运算规则，旨在培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对平方根的概念和运算有一定的了解。
但二次根式相对于平方根来说，其概念和运算更为复杂，需要学生进行一定的抽象和推理。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，引导学生理解二次根式的本质，掌握其运算规则。
三. 教学目标1.理解二次根式的定义和性质。
2.掌握二次根式的运算规则。
3.能够运用二次根式解决实际问题。
四. 教学重难点1.二次根式的定义和性质。
2.二次根式的运算规则。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过提出问题，引导学生思考和探索；通过案例分析，让学生了解二次根式的应用；通过小组合作学习，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.PPT课件。
2.相关案例材料。
3.练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一些生活中的实例，如计算物体体积、求解方程等，引导学生思考这些实例与二次根式的关系。
2.呈现（10分钟）介绍二次根式的定义和性质，通过PPT展示相关公式和定理。
让学生初步了解二次根式的基础知识。
3.操练（10分钟）让学生进行一些简单的二次根式运算，如化简、求值等。
教师在这个过程中要注意引导学生掌握运算规则，并及时解答学生的问题。
4.巩固（10分钟）让学生运用二次根式解决一些实际问题，如计算物体体积、求解方程等。
教师在这个过程中要注意引导学生将所学知识运用到实际问题中，提高学生的解决问题的能力。
5.拓展（10分钟）让学生探讨二次根式在实际生活中的应用，如物理、化学等领域。
教师在这个过程中要注意引导学生思考和探索，培养学生的创新能力。
八年级数学上册 2.7.1 二次根式教案 (新版)北师大版-(新版)北师大版初中八年级上册数学教案
课题：二次根式教学目标：1.认识二次根式和最简二次根式的概念.积的算术平方根与商的算术平方根的性质．积的算术平方根和商的算术平方根的性质将二次根式化为最简二次根式．4.通过利用二次根式的性质进行计算，理解最简二次根式的含义.在探究中培养学生的思维能力和归纳概括的意识．教学重点与难点：重点：二次根式的概念、性质及二次根式的化简.难点：（a≥0，b≥0）=（a≥0， b＞0）．并用它们进行二次根式化简.教学过程：一、创设情境，导入新课活动内容：求下列各数，思考下面的两个问题:1.我校有两个正方形的花坛，一个面积为8平方米，一个面积为2平方米，大家说这两个正方形的边长是多少？2. 5的算术平方根是多少？3.一个正数的平方是，这个数多少？4.直角三角形的斜边长是c，一条直角边是b，那么另一条直角边的长为多少？问题1：它们的值有什么共同特点?问题2：它们的值是最简形式吗？处理方式：学生独立完成，然后同伴交流所提出的两个问题。
引入我们今天要学习的内容.设计意图：由生活中的数学引出新课要探究的数学问题，一是，使学生感知数学在生活中的应用，激发学生的求知欲，为下一环节奠定了良好的基础．二是加强前后知识间的联系，使学生认识到学习的必要性，从而增强学习的积极性.同时也顺利的引入了新课.二、探究学习，感悟新知活动内容1：（多媒体出示）观察下列各数并思考下面的问题：5，11，2.7，12149，))((b c b c -+（其中b=24,c=25），上述式子有什么共同特征？处理方式：以小组为单位，让学生充分讨论后回答，只要学生回答的合情合理均给予肯定和鼓励，通过式子的特点介绍二次根式的概念. 一般地，式子)0(≥a a 叫做二次根式.a 叫做被开方数．强调条件：0≥a ．设计意图：学生通过观察并与小组成员的讨论这些式子的共同点，使学生能够形成二次根式的概念，初步感知二次根式的形态.同时教会学生在探究中培养学生的思维能力和归纳概括的意识，使学生学会学习．练一练：1.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式?2.当x X 围内有意义？3.m 能取得最小整数值是（）. 参考答案：， 2. 13x ≥ 3. 1处理方式：学生独立完成后进行交流讨论，使学生对二次根式有一个较深刻、全面的认识.使学生认识到：看一个式子是否为二次根式，关键看是否满足)0(≥a a 的形式.即:二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号；第二，被开方数是非负数.设计意图：通过练习，让学生加强对二次根式定义的认识. 第1题着眼于弄清二次根式的形式，巩固二次根式有意义的条件.第2题和第3题都是用不同的形式来考察学生对二次根式有意义的理解.让学生在练习中发现乐趣，掌握知识.1x活动内容2：（多媒体出示）计算下列各题，你发现了什么规律？(1). 计算下列各式，你能得到哪些猜想？94⨯＝； 94⨯＝，2516⨯＝2516⨯＝，；处理方式：让学生完成题目后交流，发现算式的特点及规律.设计意图：引导学生发现算式的特点及规律，并产生猜想, 增强学生的求知欲．(2). 猜猜76⨯＝76⨯＝，也有类似的关系吗？你还能举出类似的例子吗？并用计算器验证.设计意图：引导学生验证猜想，得出规律,使学生获得成功的喜悦.并且收获了研究数学问题的探究方法．问题1：你能用字母表示这个规律吗？问题2：能用语言描述这个结论的意义吗?处理方式：小组内交流展示，重点引导学生认识算式的特点及二次根式有意义的条件.小组总结出结论a b = ( a ≥0，b ≥0)，这里应强调a ,b 的取值X 围.预设：如果不能得出a ,b 的取值X 围，教师应及时引导学生根据二次根式有意义的条件去发现。
北师大版数学八年级上册7《二次根式》教学设计4
北师大版数学八年级上册7《二次根式》教学设计4一. 教材分析《二次根式》是北师大版数学八年级上册第七章的内容。
本章主要介绍了二次根式的概念、性质和运算。
通过本章的学习，学生能够理解二次根式的意义，掌握二次根式的性质和运算方法，并为后续学习二次根式的应用打下基础。
二. 学情分析学生在学习本章内容前，已经掌握了实数、有理数和无理数的相关知识，具备了一定的代数基础。
但是，对于二次根式这一概念，学生可能较为陌生，需要通过实例和练习来逐渐理解和掌握。
三. 教学目标1.理解二次根式的概念和性质；2.掌握二次根式的运算方法；3.能够运用二次根式解决实际问题。
四. 教学重难点1.二次根式的概念和性质；2.二次根式的运算方法；3.二次根式在实际问题中的应用。
五. 教学方法采用讲授法、案例分析法、练习法、小组合作法等教学方法。
通过实例引入二次根式，引导学生思考和探索，通过练习和案例分析，让学生巩固知识和提高解题能力。
六. 教学准备1.教材和教学参考书；2.投影仪和教学课件；3.练习题和案例分析题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入二次根式的概念。
例如，一辆汽车以每小时20公里的速度行驶，行驶10小时后，行驶了多少公里？引导学生思考和探索，从而引入二次根式。
2.呈现（10分钟）介绍二次根式的概念和性质。
通过示例和讲解，让学生理解二次根式的意义，掌握二次根式的性质。
3.操练（10分钟）进行二次根式的运算练习。
给出一些简单的二次根式运算题，让学生独立完成，并及时给予指导和讲解。
4.巩固（10分钟）通过一些案例分析题，让学生运用二次根式解决实际问题。
引导学生思考和探索，巩固二次根式的应用。
5.拓展（10分钟）介绍二次根式的进一步应用。
给出一些综合性的题目，让学生小组合作完成，并进行交流和讨论。
6.小结（5分钟）对本节课的内容进行总结，强调二次根式的概念、性质和应用。
让学生整理笔记，明确学习重点。
7.家庭作业（5分钟）布置一些二次根式的练习题，让学生巩固所学知识。
北师大版八年级数学上册：2.7《二次根式》教学设计3
北师大版八年级数学上册：2.7《二次根式》教学设计3一. 教材分析《二次根式》是北师大版八年级数学上册第2章第7节的内容，本节内容主要介绍二次根式的概念、性质和运算。
二次根式是中学数学中的重要内容，它在解决实际问题和其他学科中有着广泛的应用。
通过学习二次根式，学生能够更好地理解和掌握数学中的根式概念，提高解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了实数、有理数和无理数的基本概念，具备了一定的代数基础。
但学生对二次根式这一概念可能较为陌生，需要通过实例和练习来逐步理解和掌握。
同时，学生可能对二次根式的运算规则和性质理解不够深入，需要在教学过程中进行引导和讲解。
三. 教学目标1.理解二次根式的概念和性质；2.掌握二次根式的运算规则；3.能够应用二次根式解决实际问题；4.培养学生的抽象思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.二次根式的概念和性质；2.二次根式的运算规则；3.二次根式在实际问题中的应用。
五. 教学方法采用问题驱动法和案例教学法，通过实例和练习引导学生理解二次根式的概念和性质，通过讲解和练习让学生掌握二次根式的运算规则，通过实际问题让学生应用二次根式解决问题。
六. 教学准备1.PPT课件；2.相关例题和练习题；3.教学黑板和粉笔。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过PPT展示一些实际问题，如计算物体体积、求解方程等，引导学生思考如何利用二次根式解决这些问题。
让学生认识到二次根式在实际问题中的重要性。
2.呈现（10分钟）讲解二次根式的概念和性质，通过PPT展示相关定义和性质，让学生理解二次根式的基本特点。
同时，给出一些例子，让学生加深对二次根式的认识。
3.操练（10分钟）让学生进行二次根式的运算练习，如化简、求值等。
教师引导学生运用二次根式的性质和运算规则，解答练习题。
在此过程中，教师应及时解答学生的疑问，并进行讲解和指导。
4.巩固（10分钟）让学生运用二次根式解决实际问题，如计算物体体积、求解方程等。
新北师大版数学八上(教案)：2.7.二次根式
1.理论介绍：首先，我们要了解二次根式的定义和性质。二次根式是形如√a（a≥0）的表达式，它表示的是非负实数的平方根。它在数学运算和解决实际问题中有广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例，如计算√18的值。这个案例展示了二次根式在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
举例：化简√(18) = √(9*2) = 3√2。
（3）二次根式的乘除运算：熟练掌握二次根式的乘除法则，如√a * √a = a，以及√a / √b = √(a/b)等。
举例：计算√2 * √8 = √(2*8) = √16 = 4。
（4）二ห้องสมุดไป่ตู้根式的加减运算：掌握合并同类二次根式的方法，如√2 + √8 = 3√2。
五、教学反思
在今天的二次根式教学中，我尝试了多种方法来引导学生理解和掌握这一概念。首先，通过日常生活中的问题导入新课，我发现学生们对于无法直接开平方的情况确实感到好奇，这为接下来的教学奠定了良好的兴趣基础。然而，我也注意到，在理论介绍环节，部分学生对二次根式的定义和性质理解不够深入，需要我在这里多花一些时间，用更直观的例子来帮助他们理解。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《二次根式》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过无法直接开平方的情况？”（如计算面积时遇到根号下的数字不是完全平方数）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次根式的奥秘。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
北师大版八年级数学上册：2.7《二次根式》教学设计
北师大版八年级数学上册：2.7《二次根式》教学设计一. 教材分析《二次根式》是北师大版八年级数学上册第2章第7节的内容，本节内容是在学生已经掌握了实数、有理数、无理数等知识的基础上进行学习的。
二次根式是数学中的重要概念，它不仅在日常生活中有广泛的应用，而且是学习高中数学的基础。
本节课的主要内容是让学生了解二次根式的概念，学会化简二次根式，并能够运用二次根式解决一些实际问题。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于实数、有理数、无理数等概念已经有了一定的了解。
但是，学生对于二次根式这一概念可能还比较陌生，需要通过具体例子和实际应用来理解和掌握。
此外，学生可能对于二次根式的化简和运算还有一定的困难，需要通过大量的练习和老师的引导来逐步掌握。
三. 教学目标1.让学生了解二次根式的概念，能够正确地识别和书写二次根式。
2.让学生学会化简二次根式，能够运用二次根式解决一些实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和运算能力，提高学生的数学素养。
四. 教学重难点1.二次根式的概念和识别。
2.二次根式的化简和运算。
3.二次根式在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过引导学生思考和探索，让学生自主地学习和掌握二次根式的概念和化简方法。
2.通过具体的例子和实际应用，让学生了解二次根式在日常生活中的应用，提高学生的学习兴趣和动力。
3.采用分组讨论和合作学习的方式，让学生在交流和合作中学习，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT和教学素材，包括图片、实例等。
2.准备一些实际的例子和应用问题，用于引导学生学习和巩固二次根式的知识和技能。
3.准备一些练习题，用于巩固和检验学生的学习效果。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些实际的例子，如物体的高度、物体的速度等，让学生感受到二次根式在日常生活中的应用，激发学生的学习兴趣。
同时，引导学生思考和探索二次根式的概念和特点。
新北师大版八年级数学上册《二次根式》(第2课时)精品课件
•7、“教师必须懂得什么该讲，什么该留着不讲，不该讲的东西就好比是学生思维的器，马上使学生在思维中出现问题。”“观察是 思考和识记之母。”2021/11/82021/11/8November 8, 2021
第二章 实数
7. 二次根式（第2课时）
b（a 0，b 0）
0
）
ab
a b
≥
≥
a
a b ≥
＞
b
例1 计算：
（1） 6 2 3
（2） 6 3 2
（3） 2 3
判断：
（1） 2 3 5 （ × ）
（2） 2 22 2 （ ×）
（3） 8 4 2
（ ×）
中考链接：
（重庆/常德·中考）：
•8、普通的教师告诉学生做什么，称职的教师向学生解释怎么做，出色的教师示范给学生，最优秀的教师激励学生。 2021/11/82021/11/82021/11/82021/11/8
计算 8 2 的结果是（ D ）
A. 6
B. 6
C. 2
D. 2
当堂检测：
（1） 2
5
（2）
2
２
5
（3）5 123 3（4） 24
1 6
•1、“手和脑在一块干是创造教育的开始，手脑双全是创造教育的目的。” •2、一切真理要由学生自己获得，或由他们重新发现，至少由他们重建。 •3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 •4、好的教师是让学生发现真理，而不只是传授知识。 •5、数学教学要“淡化形式，注重实质.
北师大版八年级上册2.7《二次根式》
2.类比合并同类项的方法，想想如何计算：
80 45 解： 80 45 4 5 3 5 5.
3. 3 5 能不能再进行计算?为什么? 答：不能，因为它们都是最简二次根式，被开方数 不相同，所以不能合并.
练一练
判断下列代数式中哪些是二次根式.
⑴
1 2
，
⑵ 16,
(3) a 2 2a 2 ， (4) x （ x） 0,
(5) m 32 .
自主探究
例2 求下列二次根式中字母的取值范围：
1 a 1.
2 1 .
1- 2a
3 a 32 .
【解析】（1）由于被开方数是非负数，可
提醒 如果算式当中有个别二次根式化简最简二次根式仍不能与其它 最简二次根式合并同类项，结果中可保留，不必化为最简式.
要点归纳
二次根式的混合运算，一般先将二 次根式转化为最简二次根式，再灵活运 用乘法公式等知识来简化计算.
二次根式的化简求值
问题：化简
1 a
b
ab ，其中a=3，b=2.你是怎么做的？
已知 10 的整数部分是a,小数部分是b,求a2+b2的值.
解： 3 10 4
a 3, b 10 3 . a2 b2 32 ( 10 3)2 9 19 6 3 28 6 3 .
二次根式的应用 思考：如图，图中小正方形的边长为1，试求图中 梯形ABCD的面积.你有哪些方法？
第二章 ·实数
第7节二次根式
知识回顾
1.什么叫做一个数的算术平方根？如何表示？
北师大版八上数学实数和二次根式
专题二实数和二次根式【知识网络】要点一、平方根和立方根类型项目平方根立方根被开方数非负数任意实数符号表示a ±3a性质一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零；负数没有平方根；一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零；重要结论⎩⎨⎧<-≥==≥=)0()0()0()(22a a a a a a a a a 333333)(aa a a aa -=-==要点二、无理数与实数（有理数和无理数统称为实数）.1.实数的分类实数⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎭⎪⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数正无理数无理数无限不循环小数负无理数要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．等；②有特殊意义的数，如π；③有特定结构的数，如0.1010010001…（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.2.实数与数轴上的点一一对应数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.3.实数的三个非负性及性质在实数范围内，正数和零统称为非负数。
我们已经学习过的非负数有如下三种形式：（1）任何一个实数a 的绝对值是非负数，即|a |≥0；（2）任何一个实数a 的平方是非负数，即2a ≥0；0≥(0a ≥).非负数具有以下性质：（1）非负数有最小值零；（2）有限个非负数之和仍是非负数；（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.4.实数的运算数a 的相反数是－a ；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.5.实数的大小的比较有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.法则1.实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；法则3.两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.要点三、二次根式的相关概念和性质1.二次根式0)a ≥等式子，都叫做二次根式.要点诠释：有意义的条件是0a ≥，即只有被开方数0a ≥时，才有意义.2.二次根式的性质（1）；（2）；（3）.要点诠释：（1）一个非负数a 可以写成它的算术平方根的平方的形式，即a 2=（0a ≥），如22212;;3x ===（0x ≥）.（2）中a 的取值范围可以是任意实数，即不论aa ，再根据绝对值的意义来进行化简.2的异同不同点：a 可以取任何实数，而2中的a =a ，2=a （0a ≥）.相同点：被开方数都是非负数，当a 2.3.最简二次根式（1）被开方数是整数或整式；（2)被开方数中不含能开方的因数或因式.等都是最简二次根式.要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，=显然是同类二次根式.要点四、二次根式的运算1.乘除法（1）乘除法法则：类型法则逆用法则二次根式的乘法0,0)a b=≥≥积的算术平方根化简公式：0,0)a b=≥≥二次根式的除法0,0)a b=≥>商的算术平方根化简公式：0,0)a b=≥>要点诠释：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如=.（2）被开方数a b、≠.2.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.要点诠释：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次(13+=+-.【典型例题】类型一、有关方根的问题1、下列命题：①负数没有立方根；②一个实数的算术平方根一定是正数；③一个正数或负数的立方根与这个数同号；④如果一个数的算术平方根是这个数本身，那么这个数是1或0；⑤如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0，其中错误的有（）A.2个B.3个C.4个D.5个举一反三：【变式】下列运算正确的是（）2=±=2=-D．|2|2--=2、若102.0110.1=，则± 1.0201＝若7160.03670.03=，542.1670.33=，则_____________3673=类型二、与实数有关的问题3、把下列各数填入相应的集合：－1、3、π、－3.14、9、26-、22-、7.0 ．（1）有理数集合｛｝；（2）无理数集合｛｝；（3）正实数集合｛｝；（4）负实数集合｛｝．【变式】在实数5，π，38-，227，0.3，其中无理数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4、计算（1）233)32(1000216-++（2）23)451(12726-+-（3）32)131)(951()31(--+举一反三：【变式】计算(1)333000216.0008.012726----(2)()223323)3()21()4()4(2--⨯-+-⨯-5、若0,0<<ab a ，化简334+----a b b a 举一反三：【变式1】实数a 、b 在数轴上所对应的点的位置如图所示：化简2a ＋∣a －b ∣＝.【变式2】实数a 在数轴上的位置如图所示，则2,1,,a aa a -的大小关系是：；类型三、二次根式概念与运算6、当________时，二次根式在实数范围内有意义.2x =-=成立的条件是___________.7、化简20102011+⋅.8、已知1,x =+【变式】已知a b +=-3,ab =1,求abb a +的值.【基础练习】一.选择题1.下列说法正确的是（）A．数轴上任一点表示唯一的有理数B．数轴上任一点表示唯一的无理数C．两个无理数之和一定是无理数D．数轴上任意两点之间都有无数个点2．下列说法中，正确的是（）．A．0.4的算术平方根是0.2B．16的平方根是4C．的立方根是4D．的立方根是3.18的同类二次根式是（）.A.27 B.24 C.72D.1084.3387=-a ，则a 的值是（）A.87 B.87-C.87±D.512343-5.若式子3112x x -+-有意义,则x 的取值范围是().A.21≥x B.1≤x C.121≤≤x D.以上答案都不对.6.下列说法中错误的是（）A.3a 中的a 可以是正数、负数或零.B.a 中的a 不可能是负数.C.数a 的平方根有两个.D.数a 的立方根有一个.7.数轴上A，B 两点表示实数a ，b ，则下列选择正确的是（）A.0>+b a B.0ab > C.0a b -> D.||||0a b ->8.估算219+的值在（）A.5和6之间B.6和7之间C.7和8之间D.8和9之间二.填空题9.2005的整数部分是a ，则其小数部分用a 表示为．10．当x时，32-x 有意义.11．=--32)125.0(.43a b +与2a-b+6a b +的值为___________.13．3343的平方根是.14.若1.1001.102=，则=±0201.1.15.比较大小：2112-，5-22-，33216.数轴上离原点距离是5的点表示的数是.三.解答题17．计算：(1)(2)23232327264b a ab a a b a-+(2)=2ab 3a 332ab a ab a -+原式=532aba .18.已知：，求的值.19.已知：表示a 、b 两个实数的点在数轴上的位置如图所示，请你化简()2b a b a ++-20.阅读题：阅读下面的文字，解答问题.大家知道2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此2的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用2－1表示2的小数部分，你同意小明的表示方法吗?事实上，小明的表示方法是有道理的，因为2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分.请解答：已知：10＋3＝y x +，其中x 是整数，且10<<y ,求y x -的相反数.【巩固练习】一.选择题1．已知a 、b 是实数，下列命题结论正确的是（）A．若a ＞b ，则2a ＞2bB．若a ＞｜b ｜，则2a ＞2bC．若｜a ｜＞b ，则2a ＞2b D．若3a ＞3b ，则2a ＞2b 2.下列说法正确的有（）①无限小数不一定是无理数；②无理数一定是无限小数；③带根号的数不一定是无理数；④不带根号的数一定是有理数.A ①②③B ②③④C ①③④D ①②④x <<，那么满足上述条件的整数x 的个数是（）.A．4 B.5C.6D.74.若x ＜0，则的结果是().A．0B．-2C．0或-2D．25.若10<<x ，则x ，x1，2x 的大小关系是（）A.21x x x << B.21x xx <<C.xx x 12<< D.x x x<<216.下列运算中正确的是（）+= B.12622-82==）（ C.24±= D.∣32-∣＝23-7.已知:a a 则，且,68.2868.82.62333=-=＝（）A.2360B.－2360C.23600D.－236008.－27的算术平方根的和是（）A．0B．6C．6或－12D．0或6二.填空题9.下列命题中正确的有(填序号)(1)若,b a >那么b a 22>;(2)两数的和大于等于这两数的差;(3)若,b a >那么22b a >;(4)若,b a >c b >则c a >;(5))()(c b a c b a ++=++(6)一个数越大,这个数的倒数越小;(7)有理数加有理数一定是有理数;(8)无理数加无理数一定是无理数;(9)无理数乘无理数一定是无理数;10.0x ≠，yx＝_________．11.若22)3(-=a ，则a ＝，若23)3(-=a ，则a ＝.12.已知:===00236.0,536.136.2,858.46.23则.13.若x x -+有意义，则=+1x ________.14.阅读下列材料：设0.30.333x == …①，则10 3.333x =…②，则由②－①得：93x =，即13x =.所以0.30.333= …1=3.根据上述提供的方法把下列两个数化成分数.0.7 ＝ 1.3＝；15.方程361(12)164x +-=的解x ＝_________.16.若,19961995a a a =-+-则21995-a 的值等于_________.三.解答题17．计算：(1)ba b÷-(2)18.已知：19.把下列无限循环小数化成分数：（1）0.6∙（2）0.23∙∙（3）0.107∙∙20．细心观察右图，认真分析各式，然后解答问题：O.....S 5S 4S 3S 2S 1111111A 6A 5A 4A 3A 2A 1()()212211122===+，S ；()()223312222===+，S ；()()234413322===+，S ；……，……；（1）请用含n(n 为正整数)的等式表示上述变化规律；（2）观察总结得出结论：三角形两条直角边与斜边的关系，用一句话概括为：；（3）利用上面的结论及规律，请作出等于7的长度；（4）你能计算出210232221S S S S ++++ 的值吗？。
北师大版数学八年级上册7《二次根式》教案2
北师大版数学八年级上册7《二次根式》教案2一. 教材分析《二次根式》是北师大版数学八年级上册7章的内容，本节课主要让学生了解二次根式的概念，掌握二次根式的性质和运算方法。
教材通过引入二次根式，让学生体会数学与实际生活的联系，培养学生的数学应用能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了实数、有理数、无理数等基础知识，对负数、正数有了一定的认识。
但二次根式相对较为抽象，学生可能存在理解上的困难。
因此，在教学过程中，要注重引导学生从实际问题中抽象出二次根式，激发学生的学习兴趣。
三. 教学目标1.了解二次根式的概念，掌握二次根式的性质和运算方法。
2.能够运用二次根式解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
3.培养学生的抽象思维能力，提高学生的数学素养。
四. 教学重难点1.二次根式的概念及其性质。
2.二次根式的运算方法。
3.二次根式在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生从实际问题中抽象出二次根式。
2.运用实例讲解法，让学生掌握二次根式的性质和运算方法。
3.采用小组合作学习法，培养学生团队合作精神，提高学生的解决问题能力。
六. 教学准备1.准备相关实际问题，用于导入新课。
2.准备PPT课件，展示二次根式的概念、性质和运算方法。
3.准备练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出实际问题，引导学生从实际问题中抽象出二次根式。
例如：一个正方形的边长为a，求它的对角线的长度。
2.呈现（10分钟）通过PPT课件，呈现二次根式的概念、性质和运算方法。
让学生了解二次根式，并掌握其基本性质和运算方法。
3.操练（10分钟）让学生通过练习题，运用所学知识进行二次根式的运算。
教师巡回指导，解答学生疑问。
4.巩固（10分钟）让学生通过小组合作学习，共同解决实际问题。
例如：一个正方形的边长为a，求它的对角线的长度。
5.拓展（10分钟）让学生运用二次根式解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
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做一做：完成课本41页内容
一、计算下列各式，你能得到什么猜想?
（ 1）
49
4 9
36 6
2 3
（ 2）
4 9 23 6
2 4 3 9
（ 3）
（ 4）
ab
a b
a
b
(a 0, b 0)
1、积的算术平方根等于各因式算术平方根的积；
a ( a 0, b 0) b
3、化简：
9 3 2 （4） 13 13 13 2
4、一个直角三角形的斜边长为15cm，一条直角边长为10cm， 求另一条直角边长。
通过这节课的学习， 谈谈你掌握了什么？
二次根式
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式。
二次根式
最简二次根式特点：
被开方数a≥0； 根指数为2.
1、被开方数不含分母， 2、被开方数不含能开得尽方的因数或因式， 3、分母不含根号。
2、商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式 的算术平方根。
小试牛刀：
例1：化简
（ 1）
81 64
（ 2）
25 6
（ 3）
5 9
解：（1）
（2）
81 64 81 64 9 8 72
25 6 25 6 5 6
5 9 5 9 5 3
观察例一的化简结 果（关键看被开方 数），想一想有什 么共同特征？
二次根式的性质：
1、积的算术平方根等于各因式算术平方根的积；
ab
a
b
(a 0, b 0)
2、商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式 的算术平方根。
a b a ( a 0, b 0) b
努力提高
化简： 12 （ 1 ） 32； （ 2） 72； （ 3） ； 7 1 （4） 1.5； （ 5） 。 5
探讨判断一个式子是不是二次根式的依据是什么？ 1、看形式；二次根式必须形如 " "，根指数为2； 2、看被开方数；二次根式的被开方数必须为非负数；分 母不能为零； 3 如： 21 根指数不是2，所以它不是二次根式；
a b ab 被开方数a-b﹤0，所以它不是二次根式；
探讨一个二次根式有意义的条件是什么？ 只要是二次根式，那么它的被开方数所含的数或式必须 为非负数，且分母不能为零；
（3）
概念归纳：
最简二次根式概念： 一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的 因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式。
最简二次根式特点： 1、被开方数不含分母， 2、被开方数不含能开得尽方的因数或因式， 3、分母不含根号。
试一试
下列各式是最简二次根式吗？
（1） 0.7
x （4） 3
（2） xy
（5） 12n
2 5
2 （3） 2m
（6） 50
巩固练习：
例2：化简
2 1 （ 1 ） 50；（2） ；（ 3） 7 3
议一议：
（ 1 ）你是怎么发现 50含有开得尽方的因数？ 14 你是怎么判断 是最简二次根式的？ 7 （2）将二次根式化成最简 二次根式，你有哪 些经验与体会？与同伴 进行交流。
讨论、点拨、更正2
讨论： 你是怎么发现
50含有开方开得尽的因数？
怎么判断 14 是最简二次根式？ 7 点拨： 当被开方数是数时，可以对被开方数进行分解因数，看 是否含有因数的平方，如：50=52x2；因此， 50 含有开 方开的尽的因数。 因为 14 分母中不含根号，分子上根式中的被开方数不
14 含平方因数，所以 是最简二次根式； 7
0的平方根为“0”记作
0 0
探究新知
观察下列代数式：
（1）
5
49 121
（ 2）
11
（ 3）
7.2
（4）
（5）
(c b)(c b) (其中b=24，c=25)
共同特征： 都含有开方运算，并且被开方数都是非负数。
概念归纳：
一般地，形如 a (a 0)的式子叫做二次根式
二次根式必须具备特点： 1、带有二次根号，即根指数为2。 2、被开方数必须是非负数。 3、a可以是数，也可以是代数式。
我来也
1 1
边长为１的正方形， 它的对角线长为 2
3
1
2
4 2
2 3
长方形的面积为多少呢？
另一直角边呢？
像 2 , 3 这样的无理数在现实世界中随处可见， 还有许多关于开方运算的实际问题需要我们去解决， 例如，如何计算上图长方形的面积？
知识回顾 ⑴什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫 做a的平方根。 a的平方根表示为
想一想： 10 、 -5 、 8 a2+0.1
3
5 3 、 (-2)2
a (a＜0﹚、
、 -a (a＜0﹚是不是二次根式？
试一试
下列各式是二次根式吗？
（1）
6
2
（2）
18
（3）
18
3 （4）
8
（5） x 1 （8）
（6） b
a (a 0)
3 （7）1 3 4
xy ( x, y异号)
讨论、点拨、更正
7
当堂训练
1、若
a 是二次根式，则a、b应满足（ b
B）
A、a、b均为非负数 C、 a、b同号 2、下列各式中，二次根式有（ A）
① A. 1个
( 3) 2；②
3 ；③ a 1
2
B. D. a≥0，b＞0
5 x.
a b ≥0
8 ；④
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B. 2个
C.3个
D. 4个
1 ( 3 ) 3 3 （ 2 ） 27 （ 1） 9 49 21 2
a
⑵什么是一个数的算术平方根？如何表示？ 正数的正的平方根叫做它的算术平方根,0 的算术平方根平方根是0. a的算术平方根表示为
a
（3）0的平方根有哪些？
0的平方根有且只有一个：0
（4）负数有没有平方根？ 由于任何数的平方都等于正数或 0，因此负数没有平方根．
一个正数 a 有两个平方根，它们互为相反数，其中一个平方根是 正数，记作 a 称它为 a 的算术平方根。