2011届高考文科数学临考练兵测试题50

2011届新课标版高考临考大练兵（文50）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1.不等式|2|x -≤1的解集是 ．2.函数21x y =-的反函数为 ．3.方程2sin 2sin 0x x -=的解集为 ．4.约束条件0,0,2x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域的面积为 ．5.若复数z 满足1i i z +=(i 是虚数单位)，则2z 的值为 ．6.若关于x , y 的线性方程组的增广矩阵为0603m n ⎛⎫⎪⎝⎭，方程组的解为3,4.x y =-⎧⎨=⎩ 则mn 的值为 ．7.某算法的流程图如图所示，则该算法输出的n 值 是 ．8.在261(2)x x+的展开式中，常数项为 ． 9.已知π02α<<,π02β-<<,3cos()5αβ-=，且 3tan 4α=，则sin β= ．10.一长方形的四个顶点在直角坐标平面内的射影的 坐标分别为(1,2),-(3,3),(3,5),-(1,6)，则此长方形 的中心在此坐标平面内的射影的坐标是 ．11．某船在A 处看灯塔S 在北偏东30︒方向，它以每小时30海里的速度向正北方向航行，经过40分钟航行到B 处，看灯塔S 在北偏东75︒方向，则此时该船到灯塔S 的距离约为 海里（精确到0.01海里）．12.已知抛物线22(0)y px p =>，过定点(,0)p 作两条互相垂直的直线12, l l ，1l 与抛物线 交于,P Q 两点，2l 与抛物线交于,M N 两点，设1l 的斜率为k ．若某同学已正确求得 弦PQ 的中垂线在y 轴上的截距为32p pk k+，则弦MN 的中垂线在y 轴上的截距为 ．13．已知向量OA ，OB 的夹角为π3，||4OA =，||1OB =，若点M 在直线OB 上，则||OA OM - 的最小值为 ．14.已知集合(21)cos,n A x x n m -π⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭Z ，当m 为2011时，集合A 的元素个数 为 ．（第7题图）二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．“πϕ=”是“函数()sin()f x x ϕ=+是奇函数”的 （ ） A ．充分非必要条件 B ． 必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件16．已知数列{}n a 是无穷等比数列，其前n 项和是n S ，若232a a +=，341a a +=，则l i m n n S →∞的值为 （ ） A ．23 B ．43 C ．83D ．163 17．已知复数z满足|z 12i ||z 2i |---++=i 是虚数单位），若在复平面内复数z 对应的点为Z ，则点Z 的轨迹为 （ ） A ．双曲线的一支 B ．双曲线 C ．一条射线 D ．两条射线18．已知23411()123411x x x x f x x =+-+-+⋅⋅⋅+，23411()123411x x x x g x x =-+-+-⋅⋅⋅-，若 函数()f x 有唯一零点1x ，函数()g x 有唯一零点2x ，则有 （ ） A ．12(0,1),(1,2)x x ∈∈ B ．12(1,0),(1,2)x x ∈-∈ C ．12(0,1),(0,1)x x ∈∈ D ．12(1,0),(0,1)x x ∈-∈三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤． 19．（本题满分12分）已知矩形ABCD 内接于圆柱下底面的圆O ，PA 是圆柱的母线，若6AB =，8AD =， 异面直线PB 与CD 所成的角为arctan 2，求此圆柱的体积．20．（本题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分8分．某校15名学生组成该校“科技创新周”志愿服务队（简称“科服队”），他们参加活动的有关数据统计如下：（1）从“科服队”中任选3人，使得这3人参加活动次数各不相同，这样的选法共有多少种？（2）从“科服队”中任选2人，求这2人参加活动次数之和大于3的概率．21．（本题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分7分．已知椭圆E ：22221x y a b+=(0a b >>)过点(3, 1)P ，其左、右焦点分别为12,F F ，且126F P F P ⋅=-．（1）求椭圆E 的方程；（2）若,M N 是直线5x =上的两个动点，且12F M F N ⊥，圆C 是以MN 为直径的圆，其面积为S ，求S 的最小值以及当S 取最小值时圆C 的方程．22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9分．已知数列c b a ,,是各项均为正数的等差数列，公差为d （d >0）．在b a ,之间和b,c 之间共插入n 个实数，使得这3n +个数构成等比数列，其公比为q ． （1）求证：||1q >；（2）若1=a ,1n =，求d 的值；（3）若插入的n 个数中，有s 个位于a,b 之间，t 个位于b,c 之间，且,s t 不都为奇数，试比较s 与t 的大小，并求插入的n 个数的乘积（用,,a c n 表示）.23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．对于定义域为D 的函数()y f x =，若有常数M ，使得对任意的1x D ∈，存在唯一的2x D ∈满足等式12()()2f x f x M +=，则称M 为函数y =f (x )的“均值”． （1）判断0是否为函数()2(1f x x =-≤x ≤1)的“均值”，请说明理由；（2）若函数2()2(12,f x ax x x =-<<a 为常数）存在“均值”，求实数a 的取值范围； （3）已知函数()f x 是单调函数，且其值域为区间I ．试探究函数()f x 的“均值”情况（是否存在、个数、大小等）与区间I 之间的关系，写出你的结论（不必证明）．参考答案一、选择题：（每小题4分）1. [1,3]2.2log (1)y x =+3. {|,}Ζx x k k =π∈4. 25. 2i6. 24-7. 5 8．60 9.725-10.(0,4) 11．14.14 12. 32pk pk -- 13． 14.1006 二．选择题（每小题5分）15．A 16．D 17．C 18． B19．解：设圆柱下底面圆O 的半径为r ，连AC ，由矩形ABCD 内接于圆O ，可知AC 是圆O 的直径，……2分于是210r AC ==，得5r =， ……………4分 由AB ∥CD ，可知PBA ∠就是异面直线PB 与CD 所成的角， 即arctan 2PBA ∠=，故tan 2PBA ∠=． ………………7分 在直角三角形PAB 中，tan 12PA AB PBA =∠=，…………9分 故圆柱的体积22512300V r PA =π⋅=π⨯⨯=π．……………12分 20．解：（1）在参加活动次数为1,2,3的三组学生中各取一个人，则选法种数为111348C C C 96=．故3人参加活动次数各不相同的选法共有96种． ……………………………5分 （2）2人参加活动次数之和不大于3的概率为2113341215C +C C 1C 7P ==， ……………………………10分 故他们参加活动次数之和大于3的概率为21161177P P =-=-=． 所以，2人参加活动次数之和大于3的概率67． ……………………………13分 （另法：（2）中可用直接法来求解）21．解：（1）设点12,F F 的坐标分别为(,0),(,0)(0)c c c ->，则12(3,1),(3,1),F P c F P c =+=-故212(3)(3)1106F P F P c c c ⋅=+-+=-=-，可得4c =， …………………2分所以122||||a PF PF =+=， ………………4分故22218162a b a c ==-=-=，所以椭圆E 的方程为221182x y +=． ……………………………6分 （2）设,M N 的坐标分别为(5,),(5,)m n ，则12(9,),(1,)F M m F N n ==，又12F M F N ⊥，可得1290F M F N mn ⋅=+=，即9mn =-， ……………………8分又||||||||6MN m n m n =-=+≥， ……………………10分 （当且仅当||||m n =时取等号）故2min 6π()9π2S ==，且当S 取最小值时， ……………………11分 有3,3m n ==-或3,3m n =-=，此时圆C 的方程为22(5)9x y -+=． ……………………13分 （另法：（1）中也可以直接将点P 坐标代入椭圆方程来进行求解） 22．解：（1）由题意知2n cq a +=，2c a d =+， 又0,0a d >>，可得2211n c d q a a+==+>， ………………………………2分 即2||1n q +>，故2||1n q +>，又2n +是正数，故||1q >．………………………………4分 （2）由,,a b c 是首项为1、公差为d 的等差数列，故d c d b 21,1+=+=， 若插入的这一个数位于,a b 之间，则21q d =+，321q d =+， 消去q 可得32)1()21(d d +=+，即320d d d --=，其正根为251+=d ．………7分 若插入的这一个数位于,b c 之间，则q d =+1，321q d =+，消去q 可得3)1(21d d +=+，即3230d d d ++=，此方程无正根．故所求公差251+=d ． ………………………………………9分（3）由题意得1s b a d q a a ++==，12t c a dq b a d++==+，又0,0a d >>， 故220()a d a d d a a d a a d ++-=>++， ………………………………………11分可得2a d a d a a d ++>+，又20a da d+>+，故110s t q q ++>>，即11||||s t q q ++>又||1q >，故有11s t +>+，即s t >． ………………………………………13分 设3n +个数所构成的等比数列为}{n a ，则123,,2t n a ca a ab ac +++====， 由413(2,3,4,k n k n a a a a ac k +-+===…，2)n +，可得32(a a …222231)()()n n n a a a a a +++=…11322()()()n n n a a a a ac +++=， …………………16分又10s b q a +=>，01>=+bcq t ，由,s t 不都为奇数，可得1,1s t ++不都为偶数， 所以q 必为正数，从而}{n a 中的项也都为正数，故23a a …2n a +12()n ac +=，可得所插入n 个数的乘积为122()n ac a c++．………………18分 （另法：由又10s b q a +=>，01>=+bcq t ，由,s t 不都为奇数，可知1,1s t ++不都为偶数， 所以q 必为正数，又20n cq a+=>， …………………15分 故23a a …2n a +23()()()aq aq aq =…(1)(2)112()n n n n aqa q++++=111121222()()()n n n n n n c aqaac a++++++===， 所以插入n 个数的乘积为122()n ac a c++． …………………18分） 23．解：（1）对任意的1[1,1]x ∈-，有1[1,1]x -∈-，当且仅当21x x =-时，有121212()()22022f x f x x x x x ++==+=，故存在唯一2[1,1]x ∈-，满足12()()02f x f x +=， ……………………2分所以0是函数()2(11)f x x x =-≤≤的“均值”． ……………………4分 (另法：对任意的1[1,1]x ∈-，有1[1,1]x -∈-，令21x x =-，则2[1,1]x ∈-，且1212()()22022f x f x x x ++==，若2[1,1]x '∈-，且12()()02f x f x '+=，则有22()()f x f x '=，可得22x x '=， 故存在唯一2[1,1]x ∈-，满足12()()02f x f x +=， ……………………2分所以0是函数()2(11)f x x x =-≤≤的“均值”． ……………………4分） （2）当0a =时，()2(12)f x x x =-<<存在“均值”，且“均值”为3-；…………5分 当0a ≠时，由2()2(12)f x ax x x =-<<存在均值，可知对任意的1x ，都有唯一的2x 与之对应，从而有2()2(12)f x ax x x =-<<单调，故有11a ≤或12a ≥，解得1a ≥或0a <或102a <≤， ……………………9分 综上，a 的取值范围是12a ≤或1a ≥． ……………………10分（另法：分0,a =1111,12,2a a a≤<<≥四种情形进行讨论）（3）①当I (,)a b =或[,]a b 时，函数()f x 存在唯一的“均值”． 这时函数()f x 的“均值”为2a b+； …………………12分 ②当I 为(,)-∞+∞时，函数()f x 存在无数多个“均值”．这时任意实数均为函数()f x 的“均值”； ……………………14分③当I (,)a =+∞或(,)a -∞或[,)a +∞或(,]a -∞或[,)a b 或(,]a b 时，函数()f x 不存在“均值”． ……………………16分 [评分说明：若三种情况讨论完整且正确，但未用等价形式进行叙述，至多得6分；若三种情况讨论不完整，且未用等价形式叙述，至多得5分]①当且仅当I 形如(,)a b 、[,]a b 其中之一时，函数()f x 存在唯一的“均值”． 这时函数()f x 的“均值”为2a b+； ……………………13分 ②当且仅当I 为(,)-∞+∞时，函数()f x 存在无数多个“均值”．这时任意实数均为函数()f x 的“均值”； ……………………16分③当且仅当I 形如(,)a +∞、(,)a -∞、[,)a +∞、(,]a -∞、[,)a b 、(,]a b 其中之一时，函数()f x 不存在“均值”． ……………………18分 （另法：①当且仅当I 为开区间或闭区间时，函数()f x 存在唯一的“均值”．这时函数()f x 的均值为区间I 两端点的算术平均数； ……………………13分②当且仅当I 为(,)-∞+∞时，函数()f x 存在无数多个“均值”．这时任意实数均为函数()f x 的“均值”； ……………………16分③当且仅当I 为除去开区间、闭区间与(,)-∞+∞之外的其它区间时，函数()f x 不存在“均值”． ……………………18分） [评分说明：在情形①与②中，等价关系叙述正确但未正确求出函数“均值”，各扣1分]。