山西太原万柏林三中2013-2014学年九年级上第二次月考数学试卷(北师大版)
北师大九年级上第二次月考数学试卷有答案
北师大九年级上第二次月考数学试卷有答案一. 选择题（每题2分共16分）1、如图，已知菱形ABCD的边长为3，∠ABC＝60°，则对角线AC的长是 ( )A．12 B．9 C．6 D．32、将一元二次方程5x2－1=4x化成一般形式后，二次项的系数和一次项系数分别是（）A、5，－1B、5,4C、5，－4D、5,13、如图，转盘中四个扇形的面积都相等．小明随意转动转盘2次，当转盘停止转动时，二次指针所指向数字的积为偶数的概率为（）A．B．C．D．1题 3题 4题 6题 8题4．如图，在△ABC中，若DE∥BC，AD=5，BD=10，DE=4，则BC的值为（）A．8 B．9 C．10 D．125．如图所示几何体的左视图是（）A．B．C．D．6、如图，反比例函数y＝(k≠0)的图象上有一点A，AB平行于x轴交y轴于点B，△ABO的面积是1，则反比例函数的解析式是（）A. y＝B. y＝C. y＝D. y＝7、在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝35，BC＝6，则AB＝ ( ) A．4 B．6 C．8 D．108、如图，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠ADC=120°，点E，F同时由A，C两点出发，分别沿AB，CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为（）A．1 B．C．D．二、填空题（每题3分共24分）9．方程x2﹣5x=0的解是．10．方程2x﹣4=0的解也是关于x的方程x2+mx+2=0的一个解，则m的值为．11．把一袋黑豆中放入100粒黄豆，搅匀后取出100粒豆子，其中有黄豆4粒，则该袋中约有黑豆．12．如图，AD是△ABC的中线，E是AD上的一点，且AE=AD，CE交AB于点F。
若AF=1.2cm，则AB= cm．题号一二三四总分得分班级姓名考号12题 13题 14题13．如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，设∠ADE ＝α，且sin α＝45，AB ＝4，求AD 的长为14、图，为测量学校旗杆的高度，小东用长为3.2m 的竹竿做测量工具．移动竹竿，全竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距8m ，与旗杆相距22米，则旗杆的高为_________m ． 15、平面直角坐标系中，点C ，D 的坐标分别为C(2，3)，D(1，0)．现以原点为位似中心，将线段CD 放大得到线段AB ，若点D 的对应点B 在x 轴上且OB ＝2，则点C 的对应点A 的坐标为 ． 16、如图，在平面直角坐标系中，正方形A 1B 1C 1D 1、D 1E 1E 2B 2、A 2B 2C 2D 2、D 2E 3E 4B 3、A 3B 3C 3D 3，…，按图示的方式放置，其中点B 1在y 轴上，点C 1、E 1、E 2、C 2、E 3、E 4、C 3，…，在x 轴上，已知正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O=60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3，…，则正方形A 22018B 2018C 2018D 2018的边长是三计算题（17题每题4分18题5分共17分）17解方程：（1）x 2+4x+2=0 （2）3x 2+2x ﹣1=0；（3）计算：sin cos cot tan tan 3060456030︒+︒-︒-︒⋅︒18、作图题如图，在正方形网格中，每一个小正方形的边长都为1，△OAB 的顶点分别为O （0，0），A （1，2），B （2，﹣1）．（1）以点O （0，0）为位似中心，按位似比1：3在位似中心的同侧将△OAB 放大为△OA ′B ′，放大后点A 、B 的对应点分别为A ′、B ′，请在图中画出△OA ′B ′；（3分）（2）在（1）中，若C （a ，b ）为线段AB 上任一点，写出变化后点C 的对应点C'的坐标 ；（1分） （3）直接写出四边形ABA ′B ′的面积是 ．（1分）四解答题(19题6分20题5分，21-24每题6分25题8分共43分）19．（6分）某商场为了吸引顾客，设计了一种促销活动．在一个不透明的箱子里放有4个完全相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“30元”和“50元”的字样．规定：顾客在本商场同一日内，消费每满300元，就可以从箱子里先后摸出两个球（每次只摸出一个球，第一次摸出后不放回）．商场根据两个小球所标金额之和返还相应价格的购物券，可以重新在本商场消费．某顾客消费刚好满300元，则在本次消费中：（1）该顾客至少可得元购物券，至多可得元购物券；（2分）（2）请用画树状图或列表法，求出该顾客所获购物券的金额不低于50元的概率．（4分）20（5分）如图所示，晚上小亮在广场上乘凉，图中线段AB表示站立在广场上的小亮，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯．（1）请你在图中画出小亮在照明灯下的影子；（2分）（2）若灯高12 m，小亮身高1.6 m，小亮与灯杆的距离为13 m，求小亮影子的长度．（3分）21.（6分）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（3分）（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长．（3分）22（6分）甲、乙两楼相距45米,从甲楼顶部观测乙楼顶部的俯角为30°,观测乙楼的底部的俯角为45°,试求两楼的高.23（6分）西瓜经营户以 2 元/千克的价格购进一批小型西瓜，以 3 元/千克的价格出售，每天可售出 200 千克.为了促销，该经营户决定降价销售.经调查发现，这种 小型西瓜每降价 0.1 元/千克，每天可多售出 40 千克.另外，每天的房租等固定成本 共 24 元.1）若将这种西瓜每千克的售价降低x 元，则每天的销售量是 千克（用含x 的代数式表示）（2分） 2）销售这种水果要想每天盈利200元且使每天的销售量较大，需将每千克的售价降低多少元？（4分）24．（6分）如图，一次函数y 1＝ax －1(a ≠0)的图象与反比例函数y 2＝kx(k ≠0)的图象相交于A 、B 两点，且点A 的坐标为(2，1)，点B 的坐标为(－1，n)．(1)分别求两个函数的解析式；（2分） (2)求△AOB 的面积．（2分）（3）直接写出y1＞y2时自变量x 的取值范围．（2分）300450A rE D B C25．（8分）如图，在Rt ABC ∆中，,900=∠BAC 现在有一足够大的直角三角板，它的直角顶点D 是BC 边上一点，另两条直角边分别交AB 、AC 于点E 、F.（1）如图1，若DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，求证：四边形AEDF 是矩形（2分）（2）在（1）条件下，若点D 在BAC ∠的角平分线上，试判断此时四边形AEDF 形状，并说明理由；（2分） （3）若点D 在BAC ∠的角平分线上，将直角三角板绕点D 旋转一定的角度，使得直角三角板的两条边与两条直角边分别交于点E 、F （如图2），试证明AD AF AE 2=+.（尝试作辅助线）（4分）ABCEF 图1 A C EF图2D九年级（上）第一次月考数学试卷一选择题（每题2分共16分）1、( D )2、（ C ）3、（ A ）4．（ D ）5．（ B ）6、（C ）7、(D )8、（ D ）填空题（每题3分共24分）9． x1=0，x2=5 10．-3．11．2400 ．12．6cm．201713 16314、12__m．15、(4，6)或(－4，－6)．1617．（1）x1=-2+，x2=-2﹣（2）x1=，x2=﹣1（3） 1；18、如图，△OA′B′即为所求作三角形；（2）C'的坐标为：（3a，3b）；（3）∴四边形ABA′B′的面积是S△A′OB′﹣S△AOB=20，答案为：20．四解答题19．解: （1 ）10 ，80．（2 ）方法一：树状图法：方法二：列表法：从上面的树状图或表格可以看出，两次摸球可能出现的结果共有12种，每种结果出现的可能性相同，而所获购物券的金额不低于50元的结果共有6种． 所以该顾客所获购物券的金额不低于50 元的概率是.20解：（1）如图所示：线段BC 是所求，；（2）∵PO∥AB，∴△CAB∽△CPO，∴，设BC 长为xm ，则，∴x=2.4（m ）．21.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴∠B +∠C=180°，∠ADF=∠DEC ． ∵∠AFD +∠AFE=180°，∠AFE=∠B∴∠AFD=∠C ∴△ADF ∽△DEC ；∴CD=AB=4，由（1）知△ADF ∽△DEC ，∴，∴DE=12…在Rt △ADE 中，由勾股定理得：==6．…22解过D 做DE ⊥AB 于E∵∠MAC=45° ∴∠ACB=45° BC=45在Rt ΔACB 中,BCABtgACB =)(4545米=⋅=∴ tg BC AB在Rt ΔADE 中,∠ADE=30°DE AE tgADE =315334530=⋅=⋅=∴tg DE AE )(31545米-=-=∴AE AB CD 答:甲楼高45米,乙楼高31545-米. 300450ArED B C23（1）200+400x（2）设应将每千克小型西瓜的售价降低x 元，根据题意，得[（3-2）-x]（200+-24=200可化为：50x 2-25x+3=0，解这个方程，得x 1=0.2，x 2=0.3．为使每天的销量较大，应降价0.3元，即定价3-0.3=2.7元/千克． 答：应将每千克小型西瓜的售价定为2.7元/千克．24．(1)∵一次函数y ＝ax －1(a ≠0)的图象与反比例函数y ＝kx(k ≠0)的图象相交于A 、B 两点，且点A 的坐标为(2，1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a －1＝1，k 2＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，k ＝2.∴一次函数的解析式是y ＝x －1，反比例函数的解析式是y ＝2x .(2)设AB 与y 轴交于点C ，当x ＝0时，y ＝－1，即C(0，－1)．∴S △AOB ＝S △AOC ＋S △BOC ＝12×|－1|×2＋12×|－1|×|－1|＝1＋12＝32.（3）x ＞2或 －1＜x ＜024．1）在Rt ABC ∆中，,900=∠BAC∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ∴,900=∠=∠AFD AED ∴四边形AEDF 是矩形（3）作DM ⊥AB ，DN ⊥AC ∵AD 是BAC ∠角平分线∴四边形MDNA 是正方形（已证） ∴AM=AN=MD在Rt MED ∆和Rt NFD ∆中EDN MDN MDE ∠-∠=∠EDN EDF NDF ∠-∠=∠∵090=∠=∠EDF MDN∵NDF MDE ∠=∠ 又∵MD=DN090=∠=∠FND EMDAB CEF D 图2（2）连接AD ∵AD 是BAC ∠角平分线∴045902121=⨯=∠=∠BAC EAD∵090=∠AED ∴045=∠EDA ∴EDA EAD ∠=∠∴ED=AE ∴矩形AEDF 是正方形NFD MED ∆≅∆ ∴ME=NF∴AE+AF=AM-ME+AN+NF=AM+AN=2AMRt MAD ∆中，AM=MD ∴222AD MD AM =+ ∴222AD AM =∴AM AD 2= ∴AM AD 22= ∴AD AF AE 2=+。
万柏林三中九年级上12月月考数学试卷及答案
万柏林三中九年级第二次月考试卷（本试卷满分：100分，时间：80分钟）一、选择题（每小题3分，共24分）1. 下列方程中，不是一元二次方程的是（ ）A ．01232=++y yB ．x x 31212-=C ．032611012=+-a a D ．223x x x =-+2.下列四个点，在反比例函数xy 6=图象上的是（ ）A ．（1，－6）B ．（2，4）C ．（3，－2）D ．（―6，―1） 3.如图所示的物体有两个紧靠在一起的圆柱体组成，它的主视图是（ ）4. 某火车站的显示屏每间隔4分钟显示一次火车班次的信息，显示时间持续1分钟，某人到达该车站时，显示屏正好显示火车班次信息的概率是（ ）A ．61B ．51C ．41D ．315. 如图：在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，过D 作DF ⊥BC 于F ， 若AD ＝2，BC ＝4，DF ＝2，则DC 的长为（ ）A ． 5B ．3C ．1D ．2 6.某年爆发世界金融危机，某商品原价为200元，连续两次降价a%后，售价为148元，则下面所列方程正确的是（ ）A ．148%)1(2002=+aB ． 148%)1(2002=-aC ．148%)21(200=-aD ． 148%)1(200=-a 7. 如图，AC 、BD 是矩形ABCD 的对角线，过点D 作DF ∥AC交BC 的延长线于F ，则图中与△ABC 全等的三角形共有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ． 4个8、已知：如图在△ABC，△ADE 中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC ，AD=AE ，点C ，D ，E 三点在同一条直线上，连接BD ，BE ．以下四个结论： ①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°； ④BE 2=2（AD 2+AB 2），其中结论正确的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 写出一个以－1为一个根的一元二次方程 ．10. 已知直角三角形中30°角所对的直角边长是2cm ，则斜边的长是 ． 11. 如图所示是小红在某天四个时刻看到一个棒及其影子的情况，那么她看到的先后顺序是 ． 12. 如图，△ABC 中，D 为AB 中点，E 在AC 上，且BE⊥AC．若DE=10，AE=16， 则BE 的长度为 .13. 如图，在△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点．若DE=3，则BC= ．14. 如图：双曲线xky =上有一点A ，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，△AOB 的面积为2，则该双曲线的关系式为 ． 15.某地区为估计该地区的绵羊只数，先捕捉20只绵羊给它们分别做上记号，然后放还，待有标记的绵羊完全混合于羊群后第二次捕捉40只绵羊，发现其中有2只有记号，从而估计这个地区有绵羊 只．16. 如图，矩形ABCD 在第一象限，AB 在x 轴正半轴上，AB=3，BC=1，直线y=12x-1A ．B ．C ．D ． 第3题图第5题图第7题图 第14题图第12题图第13题图第16题图经过点C 交x 轴于点E ，双曲线ky x=经过点D ，则k 的值为________. 三、解答题（17、18题10分， 19、20题8分， 21题10分，22题6分）17.解下列方程：（1）62)3(2+=+x x （2）084)1(2=+--x x18．如图所示△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D 为AB 上一点. （1）求证：△ACE≌△BCD（2）若AD ＝5，BD ＝12，求DE 的长.19. 小勇搜集了我省四张著名的旅游景点图片（大小、形状及背面完全形同）：太原以南的壶口瀑布和平遥古城，太原以北的云冈石窟和五台山，他与爸爸玩游戏：把这四张图片背面朝上洗匀，随机抽取一张（不放回），再抽取一张，若抽到的两个景点都在太原以南或都在太原以北，则爸爸同意带他到这两个景点旅游，否则只能去一个景点旅游，请你用列表或画树状图的方法求小勇能去两个景点旅游的概率（四张图片分别用H 、P 、Y 、W 表示）20．小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元．请问她购买了多少件这种服装？21．已知正比例函数y=ax 与反比例函数的图象有一个公共点A （1，2）．（1）求这两个函数的表达式； （2）画出草图，根据图象写出正比例函数值大于反比例函数值 时x 的取值范围．22．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为)2(>a a 的正方形ABCD 各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1，当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时，求正方形MNPQ 的面积。
北师大版九年级上册第二次月考试数学试卷(解析版) (精选5套试题) (1)
北师大版九年级上学期第二次月考数学试卷一、选择题1．下列命题中，假命题是（）A．平行四边形的两组对边分别相等B．矩形的对角线相等C．两组对边分别相等四边形是平行四边形;D．对角线相等的四边形是矩形2．下列说法正确的是（）A．有一组对角是直角的四边形一定是矩形; B．对角线互相平分的四边形是矩形C．有一组邻角是直角的四边形一定是矩形; D．对角互补的平行四边形是矩形3．矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3和5两部分，则该矩形的周长是（）A．16 B．22或16 C．26 D．22或264．一元二次方程x（x﹣2）=2﹣x的根是（）A．x=2 B．x1=0，x2=﹣2 C．x1=2，x2=﹣1 D．x=﹣15．三角形两边长分别为6和5，第三边是方程x2﹣6x+8=0的解，则这个三角形的周长是（）A．15或13 B．15 C．15或17 D．136．关于x的方程（3m2+1）x2+2mx﹣1=0的一个根是1，则m的值是（）A．0 B．﹣C．D．0或，7．用配方法解方程x2+4x=﹣2下列配方正确的是（）A．（x+4）2=14 B．（x+2）2=6 C．（x+2）2=2 D．（x﹣2）2=2 8．顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则下列四边形满足条件的是（）①平行四边形；②菱形；③等腰梯形；④对角线互相垂直的四边形．A．①③B．②③C．③④D．②④9．某公司今年一月产值200万元，现计划扩大生产，使今后两年的产值都比前一年增长一个相同的百分数，这样三年（包括今年）的总产值就达到了1400万元．设这个百分数为x，则可列方程为（）A．200（1+x）2=1400 B．200+200（1+x）+200（1+x）2=1400 C．1400（1﹣x）2=200 D．200（1+x）3=140010．在一个不透明的口袋中，装有5个红球3个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为（）A．B．C．D．11．有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（）A．x（x﹣1）=45;B．x（x+1）=45 ;C．x（x﹣1）=45 D．x（x+1）=45 12．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．①④二、填空题13．已知m是关于x的方程x2﹣2x﹣3=0的一个根，则2m2﹣4m=．14．一只袋中装有三只完全相同的小球，三只小球上分别标有1，﹣2，3，第一次从袋中摸出一只小球，把这只小球的标号数字记作一次函数y=kx+b中的k，然后放回袋中搅匀后，再摸出一只小球，把这只小球的标号数字记作一次函数y=kx+b中的b．则一次函数y=kx+b的图象经过一，二，三象限的概率．15．如图，沿矩形ABCD的对角线折叠，先折出折痕AC，再折叠AB，使AB落在对角线AC上，折痕AE，若AD=8，AB=6．则BE=．16．如图，已知四边形ABCD是边长为4cm的菱形，∠BAD=60°，对角线AC与BD交于点O，过点O的直线EF交AD于点E，交BC于点F，当∠EOD=30°时，CE的长是．三、解答题17．解方程：（1）（x+1）（2x﹣4）=0 （2）（x+1）（2﹣x）=1 （3）（20﹣x）（4x+20）=600．18．在一个不透明的盒子中，共有“一白三黑”4个围棋子，它们除了颜色之外没有其他区别．（1）随机地从盒中提出1子，则提出黑子的概率是多少？（2）随机地从盒中提出两子，请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果，并求恰好提出“一黑一白”子的概率．19．梦想商店进了一批服装，进货单价为50元，如果按每件60元出售，可销售800件，如果每件提价1元出售，其销售量就减少20件．（1）现在获利12000元，且销售成本不超过24000元，问这种服装销售单价应定多少元？这时应进多少服装？（2）当销售单价应定多少元时，该商店获得最大利润？最大利润是多少元？20．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m 长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？21．如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若AB=3，AC=5，求四边形AECF的面积．22．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，直线EF直线EF过点O与AD、BC相交于点E、F，（1）求证：OE=OF．（2）若直线EF与DC、BA的延长线相交于F、E，请为（1）结论是否还成立吗？如成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）若平行四边形的面积为20，BC=10，CD=6，直线EF在绕点O旋转的过程中，线段EF何时最短？并求出EF的最小值？23．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A在y轴正半轴上，边AB、OA（AB ＞OA）的长分别是方程x2﹣11x+24=0的两个根，D是AB上的点，且满足．（1）矩形OABC的面积是，周长是．（2）求直线OD的解析式；（3）点P是射线OD上的一个动点，当△P AD是等腰三角形时，求点P的坐标．参考答案与试题解析一、选择题1．下列命题中，假命题是（）A．平行四边形的两组对边分别相等B．矩形的对角线相等C．两组对边分别相等四边形是平行四边形D．对角线相等的四边形是矩形【考点】命题与定理．【分析】利用平行四边形的判定、矩形的性质及矩形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、平行四边形的两组对边分别相等，正确，是真命题；B、矩形的对角线相等，正确，是真命题；C、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确，是真命题；D、对角线相等的平行四边形是矩形，故错误，是假命题，故选D．2．下列说法正确的是（）A．有一组对角是直角的四边形一定是矩形B．对角线互相平分的四边形是矩形C．有一组邻角是直角的四边形一定是矩形D．对角互补的平行四边形是矩形【考点】矩形的判定．【分析】利用矩形的判定定理分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、有一组对角是直角的平行四边形一定是矩形，故错误，不符合题意；B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故错误，不符合题意；C、有一组邻角是直角的四边形也可能是直角梯形，故错误，不符合题意；D、对角互补的平行四边形是矩形，正确，符合题意，故选D．3．矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3和5两部分，则该矩形的周长是（）A．16 B．22或16 C．26 D．22或26【考点】矩形的性质．【分析】根据矩形性质得出AD=BC，AB=CD，AD∥BC，求出AE=AB，分为当AE=3或AE=5两种情况，求出即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD，AD∥BC，∴∠AEB=∠EBC，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，∴∠AEB=∠ABE，∴AE=AB，①当AE=3，DE=5时，AD=BC=3+5=8，AB=CD=AE=3，即矩形ABCD的周长是AD+AB+BC+CD=8+3+8+3=22；②当AE=5，DE=3时，AD=BC=3+5=8，AB=CD=AE=5，即矩形ABCD的周长是AD+AB+BC+CD=8+5+8+5=26；即矩形的周长是22或26，故选D．4．一元二次方程x（x﹣2）=2﹣x的根是（）A．x=2 B．x1=0，x2=﹣2 C．x1=2，x2=﹣1 D．x=﹣1【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．【分析】先移项得到x（x﹣2）+（x﹣2）=0，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：x（x﹣2）+（x﹣2）=0，（x﹣2）（x+1）=0，x﹣2=0或x+1=0，所以x1=2，x2=﹣1．故选C．5．三角形两边长分别为6和5，第三边是方程x2﹣6x+8=0的解，则这个三角形的周长是（）A．15或13 B．15 C．15或17 D．13【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；三角形三边关系．【分析】先利用因式分解法解方程x2﹣6x+8=0得到x1=2，x2=4，再利用三角形三边的关系得到三角形第三边为2或4，然后计算三角形的周长．【解答】解：（x﹣2）（x﹣4）=0，x﹣2=0或x﹣4=0，所以x1=2，x2=4，当三角形第三边为2时，这个三角形的周长为2+6+5=13，当三角形第三边为4时，这个三角形的周长为4+6+5=15．故选A．6．关于x的方程（3m2+1）x2+2mx﹣1=0的一个根是1，则m的值是（）A．0 B．﹣C．D．0或，【考点】一元二次方程的解．【分析】一元二次方程的根就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．【解答】解：把1代入方程得3m2+1+2m﹣1=0，解得m=0或，故选：D．7．用配方法解方程x2+4x=﹣2下列配方正确的是（）A．（x+4）2=14 B．（x+2）2=6 C．（x+2）2=2 D．（x﹣2）2=2【考点】解一元二次方程﹣配方法．【分析】两边配上一次项系数一半的平方即可得．【解答】解：∵x2+4x=﹣2，∴x2+4x+4=﹣2+4，即（x+2）2=2，故选：C．8．顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则下列四边形满足条件的是（）①平行四边形；②菱形；③等腰梯形；④对角线互相垂直的四边形．A．①③ B．②③ C．③④ D．②④【考点】矩形的判定；三角形中位线定理．【分析】连接平行四边形各边的中点得平行四边形；连接菱形、对角线互相垂直的四边形，各边的中点得矩形，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形推得；连接等腰梯形各边的中点得菱形．【解答】解：由一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得①是平行四边形；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形推得②④是矩形；根据四条边形等的四边形为菱形得③是菱形．故选D．9．某公司今年一月产值200万元，现计划扩大生产，使今后两年的产值都比前一年增长一个相同的百分数，这样三年（包括今年）的总产值就达到了1400万元．设这个百分数为x，则可列方程为（）A．200（1+x）2=1400 B．200+200（1+x）+200（1+x）2=1400C．1400（1﹣x）2=200 D．200（1+x）3=1400【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】三年的总产值=今年的产值+明年的产值+后年的产值，要明确每一年的产值的表达式．根据此等量关系列方程求解即可．【解答】解：设这个百分数为x，则有200+200（1+x）+200（1+x）2=1400．故选C．10．在一个不透明的口袋中，装有5个红球3个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为（）A．B．C．D．【考点】概率公式．【分析】用白球的个数除以球的总个数即可求得摸到白球的概率．【解答】解：∵在一个不透明的口袋中，装有5个红球3个白球，它们除颜色外都相同，∴从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为=．故选D．11．有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（）A．x（x﹣1）=45 B．x（x+1）=45 C．x（x﹣1）=45 D．x（x+1）=45【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】先列出x支篮球队，每两队之间都比赛一场，共可以比赛x（x﹣1）场，再根据题意列出方程为x（x﹣1）=45．【解答】解：∵有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，∴共比赛场数为x（x﹣1），∴共比赛了45场，∴x（x﹣1）=45，故选A．12．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（）A．①② B．②③ C．①③ D．①④【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．【分析】求出BE=2AE，根据翻折的性质可得PE=BE，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出∠APE=30°，然后求出∠AEP=60°，再根据翻折的性质求出∠BEF=60°，根据直角三角形两锐角互余求出∠EFB=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得EF=2BE，判断出①正确；利用30°角的正切值求出PF=PE，判断出②错误；求出BE=2EQ，EF=2BE，然后求出FQ=3EQ，判断出③错误；求出∠PBF=∠PFB=60°，然后得到△PBF是等边三角形，判断出④正确．【解答】解：∵AE=AB，∴BE=2AE，由翻折的性质得，PE=BE，∴∠APE=30°，∴∠AEP=90°﹣30°=60°，∴∠BEF===60°，∴∠EFB=90°﹣60°=30°，∴EF=2BE，故①正确；∵BE=PE，∴EF=2PE，∵EF＞PF，∴PF＜2PE，故②错误；由翻折可知EF⊥PB，∴∠EBQ=∠EFB=30°，∴BE=2EQ，EF=2BE，∴FQ=3EQ，故③错误；由翻折的性质，∠EFB=∠EFP=30°，∴∠BFP=30°+30°=60°，∵∠PBF=90°﹣∠EBQ=90°﹣30°=60°，∴∠PBF=∠PFB=60°，∴△PBF是等边三角形，故④正确；综上所述，结论正确的是①④．故选：D．二、填空题13．已知m是关于x的方程x2﹣2x﹣3=0的一个根，则2m2﹣4m=6．【考点】一元二次方程的解．【分析】根据m是关于x的方程x2﹣2x﹣3=0的一个根，通过变形可以得到2m2﹣4m值，本题得以解决．【解答】解：∵m是关于x的方程x2﹣2x﹣3=0的一个根，∴m2﹣2m﹣3=0，∴m2﹣2m=3，∴2m2﹣4m=6，故答案为：6．14．一只袋中装有三只完全相同的小球，三只小球上分别标有1，﹣2，3，第一次从袋中摸出一只小球，把这只小球的标号数字记作一次函数y=kx+b中的k，然后放回袋中搅匀后，再摸出一只小球，把这只小球的标号数字记作一次函数y=kx+b中的b．则一次函数y=kx+b 的图象经过一，二，三象限的概率．【考点】列表法与树状图法；一次函数图象与系数的关系．【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，再出k＞0，b＞0的结果数，然后根据一次函数的性质和概率公式求解．【解答】解：画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中k＞0，b＞0的结果数为4，所以一次函数y=kx+b的图象经过一，二，三象限的概率=．故答案为．15．如图，沿矩形ABCD的对角线折叠，先折出折痕AC，再折叠AB，使AB落在对角线AC上，折痕AE，若AD=8，AB=6．则BE=3．【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．【分析】如答图所示AB沿AE折叠后点B的对应点为F．利用勾股定理列式求出AC，设BE=x，表示出CE，根据翻折的性质可得BE=EF，AF=AB，再求出CF，然后利用勾股定理列方程求出x即可．【解答】解：如图所示：AB沿AE折叠后点B的对应点为F．由勾股定理得，AC===10．设BE=x，则CE=8﹣x．由翻折的性质得：BE=EF=x，AF=AB=6，所以CF=10﹣6=4．在Rt△CEF中，由勾股定理得，EF2+CF2=CE2，即x2+42=（8﹣x）2，解得x=3，即BE=3．故答案为：3．16．如图，已知四边形ABCD是边长为4cm的菱形，∠BAD=60°，对角线AC与BD交于点O，过点O的直线EF交AD于点E，交BC于点F，当∠EOD=30°时，CE的长是．【考点】菱形的性质．【分析】根据菱形的对角线平分一组对角求出∠DAO=30°，然后求出∠AEF=90°，然后求出AO的长，再求出EF的长，然后在Rt△CEF中，利用勾股定理列式计算即可得解．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，∴∠DAO=∠BAD=×60°=30°，∵∠EOD=30°，∴∠AOE=90°﹣30°=60°，∴∠AEF=180°﹣∠DAO﹣∠AOE=180°﹣30°﹣60°=90°，∵菱形的边长为4，∠DAO=30°，∴OD=AD=×4=2，∴AO==2，∴AE=CF=2×=3，∵菱形的边长为4，∠BAD=60°，∴高EF=4×=2，在Rt△CEF中，CE==，故答案为：．三、解答题17．解方程：（1）（x+1）（2x﹣4）=0（2）（x+1）（2﹣x）=1（3）（20﹣x）（4x+20）=600．【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣公式法．【分析】（1）根据方程得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）先整理，再代入公式求出即可；（3）整理后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）（x+1）（2x﹣4）=0，x+1=0，2x﹣4=0，x1=﹣1，x2=2；（2）（x+1）（2﹣x）=1，整理得：x2﹣x﹣1=0，x=，x1=，x2=；（3）（20﹣x）（4x+20）=600，整理得：x2﹣15x+50=0，（x﹣10）（x﹣5）=0，x﹣10=0，x﹣5=0，x1=10，x2=5．18．在一个不透明的盒子中，共有“一白三黑”4个围棋子，它们除了颜色之外没有其他区别．（1）随机地从盒中提出1子，则提出黑子的概率是多少？（2）随机地从盒中提出两子，请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果，并求恰好提出“一黑一白”子的概率．【考点】列表法与树状图法．【分析】（1）由共有“一白三黑”4个围棋子，利用概率公式直接求解即可求得答案；（2）首先画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好提出“一黑一白”子的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案【解答】解：（1）∵共有“一白三黑”4个围棋子，∴P（黑子）=；（2）画树状图得：∵共有12种等可能的结果，恰好提出“一黑一白”子的有6种情况，∴P（一黑一白）==．19．梦想商店进了一批服装，进货单价为50元，如果按每件60元出售，可销售800件，如果每件提价1元出售，其销售量就减少20件．（1）现在获利12000元，且销售成本不超过24000元，问这种服装销售单价应定多少元？这时应进多少服装？（2）当销售单价应定多少元时，该商店获得最大利润？最大利润是多少元？【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．【分析】（1）设这种服装提价x元，首先用代数式表示出每件的盈利，以及可销售的件数，根据每件的盈利×销售的件数=获利12000元，即可列方程求解；（2）根据（1）中的等量关系，可得出关于总利润和调高的价格的函数关系式，然后根据函数的性质，求出函数的最大值．【解答】解：（1）设这种服装提价x元，由题意得：（60﹣50+x）=12000，解这个方程得：x1=10，x2=20．当x1=10时，800﹣20×10=600，50×600=30 000＞24 000，舍去；故x=20，800﹣20×20=400，60+20=80．答：这种服装销售单价确定为80元为宜，这时应进400件服装；（2）设利润为y=（10+x）=﹣20（x﹣15）2+12500，当x=15，定价为60+x=75元时，可获得最大利润：12500元．20．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m 长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？【考点】一元二次方程的应用．【分析】设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为（25﹣2x+1）m．根据矩形的面积公式建立方程求出其解就可以了．【解答】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为（25﹣2x+1）m，由题意得x（25﹣2x+1）=80，化简，得x2﹣13x+40=0，解得：x1=5，x2=8，当x=5时，26﹣2x=16＞12（舍去），当x=8时，26﹣2x=10＜12，答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m．21．如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若AB=3，AC=5，求四边形AECF的面积．【考点】翻折变换（折叠问题）；平行四边形的判定与性质；矩形的性质．【分析】（1）首先证明△ABE≌△CDF，则DF=BE，然后可得到AF=EC，依据一组对边平行且相等四边形是平行四边形可证明AECF是平行四边形；（2）由AB=3，AC=5，可得BC=4，设CE=x，则EM=4﹣x，CM=5﹣3=2，在Rt△CEM中，利用勾股定理可解得x，由平行四边形的面积公式可得结果．【解答】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，AD∥BC，∠B=∠D=90°，∠BAC=∠DC A．由翻折的性质可知：∠EAB=∠BAC，∠DCF=∠DC A．∴∠EAB=∠DC A．在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF，∴DF=BE．∴AF=E C．又∵AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形；（2）∵AB=3，AC=5，∴BC==4，设CE=x，则EM=4﹣x，CM=5﹣3=2，在Rt△CEM中，依据勾股定理得：（4﹣x）2+22=x2，解得：x=2.5，∴四边形AECF的面积的面积为：EC•AB=2.5×3=7.5．22．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，直线EF直线EF过点O与AD、BC相交于点E、F，（1）求证：OE=OF．（2）若直线EF与DC、BA的延长线相交于F、E，请为（1）结论是否还成立吗？如成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）若平行四边形的面积为20，BC=10，CD=6，直线EF在绕点O旋转的过程中，线段EF何时最短？并求出EF的最小值？【考点】四边形综合题．【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，易证得△AOF≌△COE（ASA），即可得OE=OF；（2）由四边形ABCD是平行四边形，易证得△AOE≌△COF（AAS），即可证得OE=OF；（3）根据平行线间距离最短判断出EF⊥BC时，EF最短，最后根据平行四边形的面积即可确定出结论．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AD∥BC，∴∠OAE=∠OCF，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF，∴OE=OF；（2）成立．理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AB∥CD，∴∠E=∠F，在△OAE和△OCF中，，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OE=OF；（3）①当直线EF在绕点O旋转的过程中，直线EF与AD，BC相交时，EF⊥BC时，EF 最短，∵平行四边形的面积为20，BC=10，=BC•EF=10×EF=20，∴S平行四边形ABCD∴EF=2．∴直线EF在绕点O旋转的过程中，EF⊥BC时，EF最短，EF的最小值为2．②当直线EF在绕点O旋转的过程中，直线EF与DC、BA的延长线相交时，EF⊥AD时，EF最短，同①的方法，得出EF最小值为=，即：直线EF在绕点O旋转的过程中，EF⊥BC时，EF最短，EF的最小值为2．23．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A在y轴正半轴上，边AB、OA（AB ＞OA）的长分别是方程x2﹣11x+24=0的两个根，D是AB上的点，且满足．（1）矩形OABC的面积是24，周长是22．（2）求直线OD的解析式；（3）点P是射线OD上的一个动点，当△P AD是等腰三角形时，求点P的坐标．【考点】相似形综合题；解一元二次方程﹣因式分解法；待定系数法求正比例函数解析式；等腰三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【分析】（1）根据边AB、OA（AB＞OA）的长分别是方程x2﹣11x+24=0的两个根，即可得到AO=3，AB=8，进而得出矩形OABC的面积以及矩形OABC的周长；（2）根据，AB=8，可得AD=3，再根据AO=3，进而得出D（﹣3，3），再根据待定系数法即可求得直线OD的解析式；（3）根据△P AD是等腰三角形，分4种情况讨论：当AD=AP1=3时，当DA=DP2=3时，当AP3=DP3时，当DA=DP4=3时，分别根据等腰直角三角形的性质，求得点P的坐标．【解答】解：（1）∵x2﹣11x+24=0，∴（x﹣3）（x﹣8）=0，∴x1=3，x2=8，∵AB、OA（AB＞OA）的长分别是方程x2﹣11x+24=0的两个根，∴AO=3，AB=8，∴矩形OABC的面积=3×8=24，矩形OABC的周长=2（3+8）=22，故答案为：24，22；（2）∵，AB=8，∴AD=3，又∵AO=3，∴D（﹣3，3），设直线OD解析式为y=kx，则3=﹣3k，即k=﹣1，∴直线OD的解析式为y=﹣x；（3）∵AD=AO=3，∠DAO=90°，∴△AOD是等腰直角三角形，∴∠ADO=45°，DO=3，根据△P AD是等腰三角形，分4种情况讨论：①如图所示，当AD=AP1=3时，点P1的坐标为（0，0）；②如图所示，当DA=DP2=3时，过P2作x轴的垂线，垂足为E，则OP2=3﹣3，△OEP2是等腰直角三角形，∴P2E=OE==3﹣，∴点P2的坐标为（﹣3+，3﹣）；③如图所示，当AP3=DP3时，∠DAP3=∠ADO=45°，∴△ADP3是等腰直角三角形，∴DP3==，∴P3O=3﹣=，过P3作x轴的垂线，垂足为F，则△OP3F是等腰直角三角形，∴P3F=OF=，∴点P3的坐标为（﹣，）；④如图所示，当DA=DP4=3时，P4O=3+3，过P4作x轴的垂线，垂足为G，则△OP4G是等腰直角三角形，∴P4G=OG=+3，∴点P4的坐标为（﹣3﹣，3+）；综上所述，当△P AD是等腰三角形时，点P的坐标为（0，0）、（﹣3+，3﹣）、（﹣，）、（﹣3﹣，3+）．北师大版九年级上学期第二次月考数学试卷一、选择题（每题2分，共计18分）将正确答案的选项填入答题纸的表中）1．一元二次方程x2=4x的解是( )A．x=0B．x=4C．x1=2，x2=﹣2D．x1=0，x2=42．对角线互相垂直平分且相等的四边形一定是( )A．正方形B．菱形C．矩形D．等腰梯形3．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的( )A．B．C．D．4．已知关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣4=0的一个根为2，则另一根是( )A．4B．1C．2D．﹣25．随机掷一枚均匀的硬币两次，两次都是正面的概率是( )A．B．C．D．无法确定6．不能判断四边形ABCD是平行四边形的是( )A．AB=CD，AD=BCB．AB=CD，AB∥CDC．AB=CD，AD∥BCD．AB∥CD，AD∥BC7．若四边形的两条对角线相等，则顺次连结各边中点所得的四边形是( )A．梯形B．正方形C．矩形D．菱形8．下列说法不正确的是( )A．一组邻边相等的矩形是正方形B．对角线相等的菱形是正方形C．对角线互相垂直的矩形是正方形D．有一个角是直角的平行四边形是正方形9．整数K＜5，△ABC的三边长均满足方程x2﹣3x+8=0，则△ABC的周长是( ) A．6B．10C．12D．6或10或12二、填空题（每小题3分，共27分）10．请你给出一个m值，当m=__________，使方程x2+m=0有整数根．11．如图，菱形ABCD的周长为24cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于__________．12．如图所示，某小区规划在一个长为40 m、宽为26 m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的甬路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．若使每一块草坪的面积为144 m2，求甬路的宽度．若设甬路的宽度为xm，则x满足的方程为__________．13．菱形的两条对角线的长分别是8cm和6cm，则菱形的周长是__________，面积是__________．14．袋子里有8个白球，n个红球，经过大量实验，从中任取一个球恰好是白球的概率是，则n的值是__________．15．某商品经过两次降价，由每件100元降至81元，则平均每次降价的百分率为__________．16．已知m是方程x2+3x﹣1=0的一个根，则代数式2m2+6m﹣3的值为__________．17．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1=0的一个根是0，那么a的值为__________．18．如图，菱形ABCD中，P为对角线AC上一动点，E，F分别为AB、BC中点，若AC=8，BD=6，则PE+PF的最小值为__________．三、简答题（本大题共24分）19．（16分）解方程：（1）（x﹣1）2+2x（x﹣1）=0；（2）（2x﹣5）2﹣（x+4）2=0；（3）2x2+3x﹣1=0；（4）（x﹣1）（x+2）=70．20．用如图所示的两个分格均匀的转盘做游戏：分别转动两个转盘，若转盘停止后，指针指向一个数字（若指针恰好停在分格线上，则重转一次），用所指的两个数字作乘积，请用列表法或树状图求乘积大于10的概率．四、证明题：（本题共10分）21．如图，正方形ABCD边长为1，G为CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连接DE交BG的延长线于点H．（1）求证：BH⊥DE；（2）当BH垂直平分DE时，求CG的长度？请说明理由．（提示：要有辅助线哟？）22．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？23．如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O，E、F、G、H分别是AD，BD，BC，AC 的中点．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）当四边形ABCD满足一个什么条件时，四边形EFGH是菱形？并证明你的结论．（3）当AB和CD满足什么条件时，四边形EFGH是正方形．（直接写出结论，不必写证明过程）一、选择题（每题2分，共计18分）将正确答案的选项填入答题纸的表中）1．一元二次方程x2=4x的解是( )A．x=0B．x=4C．x1=2，x2=﹣2D．x1=0，x2=4考点：解一元二次方程-因式分解法．专题：计算题．分析：方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．解答：解：方程移项得：x2﹣4x=0，分解因式得：x（x﹣4）=0，解得：x1=0，x2=4．故选D．点评：此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握解法是解本题的关键．2．对角线互相垂直平分且相等的四边形一定是( )A．正方形B．菱形C．矩形D．等腰梯形考点：正方形的判定；线段垂直平分线的性质．专题：证明题．分析：根据特殊四边形的判定方法：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形判断即可．解答：解：根据正方形的判别方法知，对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．故选A点评：本题是考查正方形的判别方法．判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．3．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的( )A．B．D．考点：矩形的性质．分析：本题主要根据矩形的性质，得△EBO≌△FDO，再由△AOB与△OBC同底等高，△AOB 与△ABC同底且△AOB的高是△ABC高的得出结论．解答：解：∵四边形为矩形，∴OB=OD=OA=OC，在△EBO与△FDO中，∵，∴△EBO≌△FDO（ASA），∴阴影部分的面积=S△AEO+S△EBO=S△AOB，∵△AOB与△ABC同底且△AOB的高是△ABC高的，∴S△AOB=S△OBC=S矩形ABC D．故选：B．点评：本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．4．已知关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣4=0的一个根为2，则另一根是( )A．4B．1C．2D．﹣2考点：根与系数的关系．分析：可将该方程的已知根2代入两根之积公式，解方程即可求出方程的另一根．解答：解：设方程的另一根为x1，又∵x=2，∴x1•2=﹣4，解得x1=﹣2．故选D．点评：解决此类题目时要认真审题，确定好各系数的数值与正负，然后确定选择哪一个根与系数的关系式．5．随机掷一枚均匀的硬币两次，两次都是正面的概率是( )A．B．。
九年级上学期第二次月考数学试题 (含答案) (精选5套试题) (1)
北师大版九年级上学期第二次月考数学试卷注意事项：1.本试卷共8页，三大题，满分120分，考试时间100分钟.请用铅笔或圆珠笔直接答在试卷上.2.答题前将密封线内的项目填写清楚.一、选择题（每小题3分，共18分）下面各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确的代号字母填入题后的括号内.1.下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是 （ ） A ．03=+x B ．y x x =-32C ．52-=x D ． 112=+x x2.的值为则的根是方程若c a a cx x a a +=++≠,0)0(2 （ ）A ．－1B ．0C ．1D ．23．一架长2.5m 的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子底端距墙底端0.7m ，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m ，那么梯子底端将滑动 （ ） A ．0.9m B ．1.5m C ．0.5m D ．0.8m4. 如图，l 1、l 2、l 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有（ ）A 、一处B 、二处C 、三处D 、四处 5．给出下列命题，正确的有 （ ）①等腰三角形的角平分线、中线和高重合；②等腰三角形两腰上的高相等；③等腰三角形最小边是底边；④等边三角形的高、中线、角平分线都相等；⑤等腰三角形都是锐角三角形；A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6.如果等腰三角形的底和腰是方程2680x x -+=的两个实数根，则这个三角形的周长为 （ ） A ．8 B.10 C.8或10 D.不能确定二、填空题（每小题3分，共27分）7. 命题：“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题为 . 8.若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为 .9. 如下图，在ABC △中，点D 是BC 上一点，80BAD ∠=°，AB AD DC ==，则C ∠= __________度．10. 如下图，∠AOB 是一钢架，且∠AOB=10°，为了使钢架更牢固，需在其内部添加一些钢管EF 、FG 、GH ……添加的钢管长度都与OE 相等，则最多能添加这样的钢管 根 ．班级 姓名 考场 考号题号 一 二 三 总分 16 17 18 19 20 21 22 23 分数 得分 评卷人 得分 评卷人ACBD80第9题第10题第4题11.已知m 是方程0132=-+x x 的一个根，则代数式3622-+m m 的值为 ． 12.在实数范围内定义一个新运算*，其规则为22*a b a b =-，根据这个规则，方程(2)*50x +=的解是 .13.小军同学家开了一个商店，今年1月份的利润是1000元，3月份的利润是1210元，请你帮助小军同学算一算，他家的这个商店这两个月的利润平均月增长率是___________.14. 如图,点P 是∠AOB 的角平分线上一点，过点P 作PC ∥OA 交OB 于点C 。
北师大版九年级上册数学第二次月考试数学试卷(解析版) (2)
第_____试室班级：_______ _ 姓名：_______ _____ 班座号：_________考试座位号：_______ ………………………………装………………………………订………………………………线………………………………北师大版九年级上学期第二次月考数学试卷（满分120分，考试时间90分钟）一、选择题（每小题3分，共15分）1．一元二次方程x2－4＝0的解是（）A．x1＝2，x2＝－2 B．x＝－2 C．x＝2 D．x1＝2，x2＝02．用配方法解一元二次方程x2－2x－3=0时，方程变形正确的是（）A．（x－1）2=2 B．（x－1）2=4 C．（x－1）2=1 D．（x－1）2=73．依次连接任意四边形各边的中点，得到一个特殊图形（可认为是一般四边形的性质），则这个图形一定是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．梯形4．关于x的一元二次方程22(1)10a x x a-++-=的根为0，则a的值为（）A．1 B．－1 C．1或－1 D．125．三角形两边长分别为3和6，第三边是方程2680x x-+=的解，则这个三角形的周长是（）A．11 B．13 C．11或13 D．11和13二、填空题（每小题3分，共24分）6．如图：DE是△ABC的中位线BC=8，则DE=________。
7．一元二次方程4X²=3的二次项系数是，一次项系数是，常数项系数是。
8．已知关于x的一元二次方程x2﹣23x+k=0有两个相等的实数根，则k值为．9．方程2327x x=的根是____________．10．在四边形ABCD中AD∥BC，但是AD≠BC，使它成为等腰梯形，须添加的条件是___________________(填一个).11．已知一元二次方程22310x x--=的两根为1x，2x，则12x x=．12．菱形的两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为．13．如上图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF、再以对角线AE为边作笫三个正方形AEGH，如此下去…．若正方形ABCD的边长记为a1，按上述方法所作的正方形的边长依次为a2，a3，a4，…，a n，则a n= ．三、解答下列各题（本题有10小题，共81分。
九年级数学上册第二次月考试题期中测试题1含答案(前四章特殊平行四边形一元二次方程概率相似)新北师大版
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1
1.前两页为预览页，下载后将前两页内容删除后就可打印使用，后面附有答案。 欢迎批评指正！ 2.本套试题是新北师大版，前四章（特殊平行四边形和一元二次方程、概率、相 似图形）的综合测试，适合九年级上学期期中考试或月考使用。 3.本套试题选用的近三年来全国各地的中考真题和常见习题组合而成，难度适 中。
(2)若 AF，BE 分别是∠DAB，∠CBA 的平分线，求证：DF＝EC.
考试范围：前四章特殊平行四边形一元二次方程概率相似
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6
得分
评卷人
21． （10 分） 某商店购进 600 个旅游纪念品，进价为每个 6 元，第一周 以每个 10 元的价格售出 200 个，第二周若按每个 10 元的价格销售仍可 售出 200 个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查， 单价每降低 1 元， 可多售出 50 个， 但售价不得低于进价） ， 单价降低 x 元销售销售一周后， 商店对剩余旅游纪念品清仓处理， 以每个 4 元的价格全部售出， 如果这批旅游纪念品共获 利 1250 元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？3
3. 一个盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中红球 1 个、绿球 1 个、白球 2 个，小明 摸出一个球不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是（ A． B． C． D． ）
4. 已知四边形 ABCD 是平行四边形， 再从①AB=BC， ②∠ABC=90° ， ③AC=BD， ④AC⊥BD 四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形 ABCD 是正 方形，现有下列四种选法，其中错误的是（ A．选①② C．选①③ B．选②③ D．选②④ ）
考试范围：前四章特殊平行四边形一元二次方程概率相似
北师大版九年级上学期第二次月考试数学试卷(解析版) (精选5套试题) (4)
北师大版九年级上学期第二次月考数学试卷A卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列方程：（1）﹣x2+2=0；（2）2x2﹣3x=0；（3）﹣3x2=0；（4）x2+=0；（5）+5x=0；（6）2x2﹣1=2（x﹣2）（x+1）+5x中一元二次方程有（）A．2个B．3个C．4个 D．5个2．若关于x的方程mx2﹣（2m﹣1）x+m=0有实数根，则（）A．m≥B．m≥且m≠0; C．m≤D．m≤且m≠03．如图，ABCD是平行四边形，则图中与△DEF相似的三角形共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．设k===，则直线y=kx+k必经过第（）象限．A．一，二B．二，三C．三，四D．一，四5．点M（﹣sin60°，cos60°）关于x轴对称的点的坐标是（）A．（）;B．（﹣）;C．（﹣）;D．（﹣）6．如果∠A为锐角，且cosA=，那么∠A的范围是（）A．0°＜∠A≤30°B．30°＜∠A＜45°C．45°＜∠A＜60°D．60°＜∠A＜90°7．如图，在矩形ABCD中，CE⊥BD于点E，BE=2，DE=8，设∠ACE=α，则tanα的值为（）A．B．C．D．28．已知反比例函数y=（a﹣2）的图象位于第二、四象限，则a的值为（）A．1 B．3 C．﹣1 D．﹣39．一次函数y=﹣kx+4与反比例函数的图象有两个不同的交点，点（﹣，y1）、（﹣1，y2）、（，y3）是函数图象上的三个点，则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y2＜y3＜y1B．y1＜y2＜y3C．y3＜y1＜y2D．y3＜y2＜y110．（北师大版）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点G，E为AD的中点，连接BE交AC于F，连接FD，若∠BFA=90°，则下列四对三角形：①△BEA与△ACD；②△FED 与△DEB；③△CFD与△ABG；④△ADF与△CF B．其中相似的为（）A．①④B．①②C．②③④D．①②③二、填空题（每小题4分，共20分）．11．关于x的方程（1﹣2k）x2﹣2x﹣1=0有两不等实根，则k的取值范围是．12．如图，△ABC中，CE⊥AB，BF⊥AC，若∠A=60°，BC=4，则EF的长为．13．已知tanα=3，则=．14．等腰三角形的两边是4和6，则底角的正弦值为．15．如图，矩形AOCB的两边OC、OA分别位于x轴、y轴上，点B的坐标为（﹣，5），D是AB边上一点，将△ADO沿直线OD翻折，使点A恰好落在对角线OB上的E点处，若E点在反比例函数y=的图象上，则k=．三、计算题（每题4分，共12分）16．（1）2x2+7x﹣3=0 （2）3（x﹣2）2=x（x﹣2）（3）（）﹣2+×（sin21°13'﹣tan21°）0﹣．四、解答题17．m是什么整数时，方程（m2﹣1）x2﹣6（3m﹣1）x+72=0有两个不相等的正整数根．18．如图，直线y=2x与双曲线相交于点A、E，另外一条过点A的直线与双曲线交于另一点B，与x轴、y轴分别交于点C、D，且=，直线EB交x轴于F．（1）求A、B两点坐标；（2）求证△COD∽△CBF．19．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，∠C=120°，AD=，BC=4，求CD的长．20．如图，甲、乙两只捕捞船同时从A港出海捕鱼，甲船以每小时千米的速度沿北偏西60°方向前进，乙船以每小时15千米的速度沿东北方向前进，甲船航行2小时到达C处，此时甲船发现渔具丢在乙船上，于是甲船加快速度（匀速）沿北偏东75°的方向追赶，结果两船在B处相遇．（1）甲船从C处追赶上乙船用了多少时间？（2）求甲船加快速度后，追赶乙船时的速度．（结果保留根号）21．Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是BC中点，∠FGE=45°．（1）求证：AO•OD=OB•OG；（2）求证：∠EBC=∠GAO；（3）若E为AC中点，求EF：F D．B卷一、填空题（每小题4分，共20分）22．已知实数a≠b，且满足（a+1）2=3﹣3（a+1），3（b+1）=3﹣（b+1）2．则的值为．23．△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，它的两个锐角的正弦值是一元二次方程m（x2﹣2x）+5（x2+x）+12=0的两根，则Rt△ABC的两直角边的长为．24．如图，在△ABC中，AB=6，BC=5，AC=4，AP是它的一条角平分线，AP的垂直平分线EF与AP相交于点E，与BC的延长线相交于F，则AF的长为．25．如图，△P1OA1，△P2A1A2是等腰直角三角形，点P1，P2在函数y=（x＞0）的图象上，斜边OA1，A1A2都在x轴上，则点A2的坐标是．26．在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图象过点P（1，1），与x 轴交于点A，与y轴交于点B，且tan∠ABO=3，那么点A的坐标是．二、解答题27．在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A，∠B、∠C的对边，若关于x的方程c（x2+1）﹣2bx﹣a（x2﹣1）=0的两根平方和为10，求的值．28．如图，已知直线y=x与双曲线y=（k＞0）交于A，B两点，且点A的横坐标为4．（1）求k的值；（2）若双曲线y=（k＞0）上一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积；（3）过原点O的另一条直线l交双曲线y=（k＞0）于P，Q两点（P点在第一象限），若由点A，B，P，Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标．29．如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，▱ABCD的顶点A的坐标为（﹣2，0），点D的坐标为（0，），点B在x轴的正半轴上，点E为线段AD的中点，过点E的直线l与x轴交于点F，与射线DC交于点G．（1）求∠DCB的度数；（2）当点F的坐标为（﹣4，0）时，求点G的坐标；（3）连接OE，以OE所在直线为对称轴，△OEF经轴对称变换后得到△OEF′，记直线EF′与射线DC的交点为H．①如图2，当点G在点H的左侧时，求证：△DEG∽△DHE；②若△EHG的面积为，请直接写出点F的坐标．参考答案与试题解析A卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列方程：（1）﹣x2+2=0；（2）2x2﹣3x=0；（3）﹣3x2=0；（4）x2+=0；（5）+5x=0；（6）2x2﹣1=2（x﹣2）（x+1）+5x中一元二次方程有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【考点】一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证．【解答】解：（1）﹣x2+2=0是一元二次方程；（2）2x2﹣3x=0是一元二次方程；（3）﹣3x2=0是一元二次方程；（4）x2+=0是分式方程；（5）+5x=0是一元二次方程；（6）2x2﹣1=2（x﹣2）（x+1）+5x是一元一次方程；故选：C．2．若关于x的方程mx2﹣（2m﹣1）x+m=0有实数根，则（）A．m≥B．m≥且m≠0C．m≤ D．m≤且m≠0【考点】根的判别式．【分析】先要分类讨论：当m=0时，方程为一元一次方程，有一个实根；当m≠0时，原方程为一元二次方程，通过△≥0求m的范围；最后合并起来得到m的范围．【解答】解：当m=0时，原方程变为x=0，此时原方程的实数根为x=0；当m≠0时，原方程为一元二次方程，要使原方程有实根，只须△=[﹣（2m﹣1）]2﹣4m•m=﹣4m+1≥0时，即m≤．所以当m≤时，原方程有实数根．故选C．3．如图，ABCD是平行四边形，则图中与△DEF相似的三角形共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】相似三角形的判定；平行四边形的性质．【分析】有两个，分别是△CEB、△ABF，可通过相似三角形的判定方法进行验证．【解答】解：∵DE∥AB∴△DEF∽△BAF；∵AD∥BC∴△EDF∽△ECB；因此与△DEF相似的三角形为△CEB、△ABF；故选B．4．设k===，则直线y=kx+k必经过第（）象限．A．一，二B．二，三C．三，四D．一，四【考点】一次函数图象与系数的关系．【分析】由k===，得c=k（a+b）①；a=k（b+c）②，b=k（c+a）③，三式相加，求得k，从而得出答案．【解答】解：k===，∴c=k（a+b）①；a=k（b+c）②，b=k（c+a）③，∴①+②+③得，2k（a+b+c）=a+b+c，（1）∵k≠0，∴a+b+c=0，∴a+b=﹣c，∵k=﹣1，∴直线为y=﹣x﹣1，则该直线经过第二、三、四象限；（2）当a+b+c≠0时，则k=，∴直线为y=x+，则该直线经过第一、二、三象限；综上所述直线y=kx+k必经过第二、三象限．故选：B．5．点M（﹣sin60°，cos60°）关于x轴对称的点的坐标是（）A．（）B．（﹣）C．（﹣）D．（﹣）【考点】特殊角的三角函数值；关于x轴、y轴对称的点的坐标．【分析】先根据特殊三角函数值求出M点坐标，再根据对称性解答．【解答】解：∵sin60°=，cos60°=，∴点M（﹣）．∵点P（m，n）关于x轴对称点的坐标P′（m，﹣n），∴M关于x轴的对称点的坐标是（﹣）．故选：B．6．如果∠A为锐角，且cosA=，那么∠A的范围是（）A．0°＜∠A≤30°B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90°【考点】锐角三角函数的增减性．【分析】首先明确cos60°=；再根据锐角的余弦是减函数，进行求解．【解答】解：∵cos60°=，＜，而锐角的余弦是减函数，故锐角A的范围是60°＜∠A＜90°．故选D．7．如图，在矩形ABCD中，CE⊥BD于点E，BE=2，DE=8，设∠ACE=α，则tanα的值为（）A．B．C．D．2【考点】矩形的性质；锐角三角函数的定义．【分析】根据矩形的对角线互相平分，可将对角线一半的长度求出，根据BE的长，可将点E到两条对角线交点的距离求出，再根据勾股定理求CE的长，进而可求tan∠ACE的值．【解答】解：设AC和BD相交于点O，∵BD=BE+DE=10，∴OB=OC=5．∵BE=2，∴OE=3．在Rt△OCE中，CE===4，∴tan∠ACE==．故选C．8．已知反比例函数y=（a﹣2）的图象位于第二、四象限，则a的值为（）A．1 B．3 C．﹣1 D．﹣3【考点】反比例函数的性质．【分析】根据反比例函数的定义得出a2﹣4a+2=﹣1，再由函数图象在第二、四象限内，可得出a﹣2＜0，两者联立，解方程及不等式即可得出结论．【解答】解：依题意得：，解得：a=1．故选A．9．一次函数y=﹣kx+4与反比例函数的图象有两个不同的交点，点（﹣，y1）、（﹣1，y2）、（，y3）是函数图象上的三个点，则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y2＜y3＜y1B．y1＜y2＜y3C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；根的判别式；反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】先根据一次函数y=﹣kx+4与反比例函数的图象有两个不同的交点，判断出2k2﹣9＜0，得到反比例函数在第二、四象限，再根据反比例函数的性质比较y1、y2、y3的大小关系．【解答】解：一次函数y=﹣kx+4与反比例函数的图象有两个不同的交点，即：﹣kx+4=有解，∴﹣kx2+4x﹣k=0，△=16﹣4k2＞0，k2＜4，∴2k2﹣9＜﹣1＜0，∴函数图象在二、四象限，如图，在每个象限内，y随x的增大而增大，∵﹣1＜﹣，0＜y2＜y1，∵当x=时，y3＜0，∴y3＜y2＜y1，故选D．10．（北师大版）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点G，E为AD的中点，连接BE交AC于F，连接FD，若∠BFA=90°，则下列四对三角形：①△BEA与△ACD；②△FED 与△DEB；③△CFD与△ABG；④△ADF与△CF B．其中相似的为（）A．①④B．①②C．②③④D．①②③【考点】相似三角形的判定；矩形的性质．【分析】根据判定三角形相似的条件对选项逐一进行判断【解答】解：根据题意得：∠BAE=∠ADC=∠AFE=90°∴∠AEF+∠EAF=90°，∠DAC+∠ACD=90°∴∠AEF=∠ACD∴①中两三角形相似；容易判断△AFE∽△BAE，得=，又∵AE=ED，∴=而∠BED=∠BED，∴△FED∽△DE B．故②正确；∵AB∥CD，∴∠BAC=∠GCD，∵∠ABE=∠DAF，∠EBD=∠EDF，且∠ABG=∠ABE+∠EBD，∴∠ABG=∠DAF+∠EDF=∠DFC；∵∠ABG=∠DFC，∠BAG=∠DCF，∴△CFD∽△ABG，故③正确；所以相似的有①②③．故选D．二、填空题（每小题4分，共20分）．11．关于x的方程（1﹣2k）x2﹣2x﹣1=0有两不等实根，则k的取值范围是k＜2且k≠．【考点】根的判别式．【分析】根据方程有两个不相等的实数根结合二次项系数不为0即可得出关于k的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．【解答】解：方程（1﹣2k）x2﹣2x﹣1=0有两不等实根，∴，解得：k＜2且k≠．故答案为：k＜2且k≠．12．如图，△ABC中，CE⊥AB，BF⊥AC，若∠A=60°，BC=4，则EF的长为2．【考点】相似三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．【分析】先判定△AFB∽△AEC，进而证明△AEF∽△ACB，得到=，再证明AB=2AF，问题即可解决．【解答】解：∵CE⊥AB，BF⊥AC，∴∠AFB=∠AEC=90°，又∵∠A=∠A，∴△AFB∽△AEC，∴=，即=，又∵∠A=∠A，∴△AEF∽△ACB，∴=，∵BF⊥AC，且∠A=60°，∴∠ABF=30°，∴AF=AB，∴EF=BC=2．故答案为：2．13．已知tanα=3，则=．【考点】同角三角函数的关系．【分析】首先将分子分母同除以cosα，原始可变形为：，继而求得答案．【解答】解：∵tanα=3，∴====．故答案为：．14．等腰三角形的两边是4和6，则底角的正弦值为或．【考点】等腰三角形的性质；解直角三角形．【分析】首先过点A作AD⊥BC于点D，然后分别从若AB=AC=4，BC=6，与若AB=AC=6，BC=4，去分析求解即可求得答案．【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，①若AB=AC=4，BC=6，则BD=BC=3，∴AD==，∴sin∠B=；②若AB=AC=6，BC=4，则BD=BC=2，∴AD==4，∴sin∠B==．∴底角的正弦值为：或．故答案为：或．15．如图，矩形AOCB的两边OC、OA分别位于x轴、y轴上，点B的坐标为（﹣，5），D是AB边上一点，将△ADO沿直线OD翻折，使点A恰好落在对角线OB上的E点处，若E 点在反比例函数y=的图象上，则k=﹣12．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化-对称；翻折变换（折叠问题）．【分析】先作EF⊥CO，垂足为点F，连接OD，构造全等三角形，再由勾股定理和相似三角形的性质，求出E点坐标，利用待定系数法解答即可．【解答】解：过E点作EF⊥OC于F由条件可知：OE=OA=5，=tng∠BOC===∴EF=3，OF=4，则E点坐标为（﹣4，3）∴k=﹣4×3=﹣12故答案为﹣12．三、计算题（每题4分，共12分）16．（1）2x2+7x﹣3=0（2）3（x﹣2）2=x（x﹣2）（3）（）﹣2+×（sin21°13'﹣tan21°）0﹣．【考点】解一元二次方程-因式分解法；零指数幂；负整数指数幂；分母有理化；特殊角的三角函数值．【分析】（1）先找出公式中的a，b，c，求出b2﹣4ac的值，再代入求根公式即可得出答案；（2）先进行移项，再进行因式分解，然后求解即可；（3）根据负整数指数幂、零指数幂和特殊角的三角函数值分别进行计算，然后把所得的结果相加即可．【解答】解：（1）2x2+7x﹣3=0，∵a=2，b=7，c=﹣3，∴b2﹣4ac=72﹣4×2×（﹣3）=73＞0，x==，∴x1=，x2=；（2）3（x﹣2）2=x（x﹣2），3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）=0，（x﹣2）[3（x﹣2）﹣x]=0，（x﹣2）（2x﹣6）=0，x1=2，x2=3；（3）（）﹣2+×（sin21°13'﹣tan21°）0﹣=4+×1﹣=4+（﹣2﹣4）﹣1﹣2=﹣4﹣1．四、解答题17．m是什么整数时，方程（m2﹣1）x2﹣6（3m﹣1）x+72=0有两个不相等的正整数根．【考点】一元二次方程的整数根与有理根；一元二次方程的定义；根的判别式．【分析】首先根据已知条件可得m2﹣1≠0，进而得到m≠±1，然后根据根的判别式△＞0，可得m≠3；再利用求根公式用含m的式子表示x，因为，方程有两个不相等的正整数根，所以分情况讨论m的值即可．【解答】解：∵m2﹣1≠0∴m≠±1∵△=36（m﹣3）2＞0∴m≠3用求根公式可得：x1=，x2=∵x1，x2是正整数∴m﹣1=1，2，3，6，m+1=1，2，3，4，6，12，解得m=2．这时x1=6，x2=4．18．如图，直线y=2x与双曲线相交于点A、E，另外一条过点A的直线与双曲线交于另一点B，与x轴、y轴分别交于点C、D，且=，直线EB交x轴于F．（1）求A、B两点坐标；（2）求证△COD∽△CBF．【考点】反比例函数综合题．【分析】（1）由于点A在直线y=2x与双曲线上，∴解方程组可得点A坐标．∵点B在双曲线上且=，∴解方程组可得点B坐标；（2）欲证△COD∽△CBF，已有∠OCD=∠BCF，再有一角对应相等即可，求出直线AB、EB 解析式，根据系数可判定他们垂直，即解．【解答】解：（1）由题意得：解得，或∴A（﹣2，﹣4）E（2，4）∵点B在上，∴∴B（4，2）；（2）设直线EB的解析式为y=k1x+b1，直线AB的解析式为y=k2x+b2，则有，，解得：k1=﹣1，k2=1，b1=6，b2=﹣2，∵k1•k2=﹣1，∴AB⊥EF，∴∠CBF=∠DOC=90°∵∠OCD=∠BCF∴△COD∽△CBF．19．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，∠C=120°，AD=，BC=4，求CD的长．【考点】梯形．【分析】作AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F，则四边形AEFD是矩形，在直角△ABE和直角△CDF 中利用三角函数，可以用x表示出BE，CF，然后根据EF=BC+CF﹣BE列方程求得x的值，再在直角△CDF中利用三角函数求得CD的长．【解答】解：作AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F，则四边形AEFD是矩形，AE=DF，EF=AD=．设AE=DF=x，∵直角△ABE中，∠B=45°，∴BE===x．∵在直角△CDF中，∠DCF=180°﹣120°=60°，∴CF===．又∵EF=BC+CF﹣BE，∴=4+x ﹣x，解得：x=4．在直角△CDF中，CD====．20．如图，甲、乙两只捕捞船同时从A港出海捕鱼，甲船以每小时千米的速度沿北偏西60°方向前进，乙船以每小时15千米的速度沿东北方向前进，甲船航行2小时到达C处，此时甲船发现渔具丢在乙船上，于是甲船加快速度（匀速）沿北偏东75°的方向追赶，结果两船在B处相遇．（1）甲船从C处追赶上乙船用了多少时间？（2）求甲船加快速度后，追赶乙船时的速度．（结果保留根号）【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．【分析】（1）过点A作AD⊥BC于D，利用锐角三角函数关系得出AC的长，进而得出AB 的长即可得出答案；（2）利用（1）求出BD的长，再利用速度=，求出答案即可．【解答】解：（1）过点A作AD⊥BC于D，由题意得：∠B=30°，∠BAC=105°，则∠BCA=45°，AC=30千米，在Rt△ADC中，CD=AD=A C．cos45°=30（千米），在Rt△ABD中，AB=2AD=60千米，t==4（时）．4﹣2=2（时），答：甲船从C处追赶上乙船用了2小时；（2）由（1）知：BD=AB•cos30°=30千米，∴BC=30+30（千米），v=（30+30）=（15+15）千米/时．答：甲船加快速度后，追赶乙船时的速度为：（15+15）千米/时．21．Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是BC中点，∠FGE=45°．（1）求证：AO•OD=OB•OG；（2）求证：∠EBC=∠GAO；（3）若E为AC中点，求EF：F D．【考点】相似形综合题．【分析】（1）先证明∠BAD=45°，然后证明△AOB∽△GOD得到AO：OG=OB：OD，然后利用比例性质可得到结论；（2）利用比例性质由AO•OD=OB•OG得到=，加上∠AOG=∠BOD，则可判断△AOG∽△BOG，从而根据相似三角形的性质即可得到结论；（3）设AB=AC=2a，则AE=a，利用勾股定理计算出BE=a，再证明△ADC为等腰直角三角形得到∠C=45°，CD=AC=a，接着利用（2）的结论证明∠AGO=∠ODB=90°，则可证明△EAG∽△EBA，利用相似比可表示出GE=a，然后证明△FEG∽△FDC，则利用相似比可计算出EF：FD的值．【解答】（1）证明：∵AB=AC，D是BC中点，∴AD平分∠BAC，即∠BAD=45°，∵∠OGD=∠FGE=45°，∴∠BAO=∠OGD，而∠AOB=∠GOD，∴△AOB∽△GOD，∴AO：OG=OB：OD，∴AO•OD=OB•OG；（2）证明：∵AO•OD=OB•OG，∴=，而∠AOG=∠BOD，∴△AOG∽△BOG，∴∠OAG=∠OBD，即∠EBC=∠GAO；（3）解：连结DE，如图，设AB=AC=2a，则AE=a，∴BE==a，∵AD平分BC，∴AD⊥BC，∴△ADC为等腰直角三角形，∴∠C=45°，CD=AC=a，∵∠EBC=∠GAO，∴∠AGO=∠ODB=90°，∵∠AEG=∠BEA，∴△EAG∽△EBA，∴AE：BE=GE：AE，即a：a=GE：a，∴GE=a，∵∠FGE=∠C，∠GFE=∠CFD，∴△FEG∽△FDC，∴===．B卷一、填空题（每小题4分，共20分）22．已知实数a≠b，且满足（a+1）2=3﹣3（a+1），3（b+1）=3﹣（b+1）2．则的值为﹣23．【考点】根与系数的关系；二次根式的化简求值．【分析】根据已知条件“（a+1）2=3﹣3（a+1），3（b+1）=3﹣（b+1）2”求出a+1、b+1是关于x的方程x2+3x﹣3=0的两个根，然后再根据根与系数的关系求得a+b=﹣5，ab=1；最后将其代入化简后的二次根式并求值即可．【解答】解：∵（a+1）2=3﹣3（a+1），3（b+1）=3﹣（b+1）2．∴（a+1）2+3（a+1）﹣3=0，（b+1）2+3（b+1）﹣3=0，显然，a+1、b+1是关于x的方程x2+3x﹣3=0的两个根，∴x1+x2=﹣3，即a+1+b+1=﹣3，∴a+b=﹣5；x1•x2=﹣3，即（a+1）（b+1）=ab+（a+b）+1=﹣3，∴ab=1，∴a=，b=；∴，=b|b|+a|a|，=﹣[（b+a）2﹣2ab]，=﹣25+2，=﹣23；故答案是：﹣23．23．△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，它的两个锐角的正弦值是一元二次方程m（x2﹣2x）+5（x2+x）+12=0的两根，则Rt△ABC的两直角边的长为6cm/8cm．【考点】勾股定理；锐角三角函数的定义．【分析】根据勾股定理和一元二次方程的根与系数的关系求得m的值后，再求得方程的解，即可得出结果．【解答】解；∵一元二次方程m（x2﹣2x）+5（x2+x）+12=0，∴整理得：（m+5）x2+（5﹣2m）x+12=0，∵两个锐角的正弦值是一元二次方程m（x2﹣2x）+5（x2+x）+12=0的两根，∴sinA+sinB=，sinA•sinB=，∵sin2A+cos2B=1，sinB=cosA，∴（）2﹣2×=1，解得：m=20，或m=﹣2（舍去），∴m=20，∴方程为25x2﹣35x+12=0，解得：x=，或x=，若sinA=，∵AB=10cm，∴BC=8cm，∴AC=6cm；若sinB=，∵AB=10cm，∴AC=8cm，∴BC=6cm；综上所述：Rt△ABC的两直角边的长为6cm、8cm；故答案为：6cm、8cm．24．如图，在△ABC中，AB=6，BC=5，AC=4，AP是它的一条角平分线，AP的垂直平分线EF与AP相交于点E，与BC的延长线相交于F，则AF的长为6．【考点】相似三角形的判定与性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．【分析】由AP是△ABC的一条角平分线，AP的垂直平分线EF与AP相交于点E，易证得∠FAC=∠B，即可证得△AFC∽△BFA，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．【解答】解：∵EF是AP的垂直平分线，∴AF=PF，∴∠FAP=∠FPA，∵∠FAP=∠FAC+∠CAP，∠FPA=∠B+∠BAP，∵AP平分∠BAC，∴∠BAP=∠CAP，∴∠FAC=∠B，∵∠AFC=∠BFA，∴△AFC∽△BFA，∴====，设CF=2x，则AF=3x，BF=BC+CF=5+2x，∴AF2=CF•BF，∴（3x）2=2x（5+2x），解得：x=2，∴AF=6．故答案为：6．25．如图，△P1OA1，△P2A1A2是等腰直角三角形，点P1，P2在函数y=（x＞0）的图象上，斜边OA1，A1A2都在x轴上，则点A2的坐标是（，0）．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；等腰直角三角形．【分析】作P1B⊥y轴，P1A⊥x轴，根据等腰直角三角形的性质解答即可．【解答】解：作P1B⊥y轴，P1A⊥x轴，∵△P1OA1，△P2A1A2是等腰直角三角形，∴AP1=BP1，A1D=DA2=DP2，则OA•OB=4，∴OA=OB=AA1=2，OA1=4，设A1D=x，则有（4+x）x=4，解得x=﹣2+2，或x=﹣2﹣2（舍去），则OA2=4+2x=4﹣4+4=4，A2坐标为（4，0）．故答案为：（4，0）．26．在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图象过点P（1，1），与x 轴交于点A，与y轴交于点B，且tan∠ABO=3，那么点A的坐标是（﹣2，0）或（4，0）．【考点】待定系数法求一次函数解析式；锐角三角函数的定义．【分析】已知tan∠ABO=3就是已知一次函数的一次项系数是或﹣．根据函数经过点P，利用待定系数法即可求得函数解析式，进而可得到A的坐标．【解答】解：在Rt△AOB中，由tan∠ABO=3，可得OA=3OB，则一次函数y=kx+b中k=±．∵一次函数y=kx+b（k≠0）的图象过点P（1，1），∴当k=时，求可得b=；k=﹣时，求可得b=．即一次函数的解析式为y=x+或y=﹣x+．令y=0，则x=﹣2或4，∴点A的坐标是（﹣2，0）或（4，0）．故答案为：（﹣2，0）或（4，0）．二、解答题27．在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A，∠B、∠C的对边，若关于x的方程c（x2+1）﹣2bx﹣a（x2﹣1）=0的两根平方和为10，求的值．【考点】根与系数的关系．【分析】将原方程整理为一元二次方程的一般形式，设方程两根为x1，x2，再根据两根平方和为10，列出等式并变形，将两根关系整体代入即可．【解答】解：原方程整理为（c﹣a）x2﹣2bx+（c+a）=0，设x1，x2是方程的两个根，则x12+x22=10，即（x1+x2）2﹣2x1x2=10，把方程根公式代入，得（）2﹣2×=10，即4b2﹣（c2﹣a2）=5（c﹣a）2，由勾股定理得：c2﹣a2=b2，代入以上方程整理后有3b2=5（c﹣a）2．∵c是斜边，∴c＞a，两边开平方，得b+a=c，两边同时平方得，3b2+5a2+2ab=5c2，再次将勾股定理代入得，3b2+5a2+2ab=5a2+5b2，2b2=2ab，∴=．28．如图，已知直线y=x与双曲线y=（k＞0）交于A，B两点，且点A的横坐标为4．（1）求k的值；（2）若双曲线y=（k＞0）上一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积；（3）过原点O的另一条直线l交双曲线y=（k＞0）于P，Q两点（P点在第一象限），若由点A，B，P，Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标．【考点】反比例函数综合题．【分析】（1）先根据直线的解析式求出A点的坐标，然后将A点坐标代入双曲线的解析式中即可求出k的值；（2）由（1）得出的双曲线的解析式，可求出C点的坐标，由于△AOC的面积无法直接求出，因此可通过作辅助线，通过其他图形面积的和差关系来求得．（解法不唯一）；（3）由于双曲线是关于原点的中心对称图形，因此以A、B、P、Q为顶点的四边形应该是平行四边形，那么△POA的面积就应该是四边形面积的四分之一即6．可根据双曲线的解析式设出P点的坐标，然后参照（2）的三角形面积的求法表示出△POA的面积，由于△POA 的面积为6，由此可得出关于P点横坐标的方程，即可求出P点的坐标．【解答】解：（1）∵点A横坐标为4，把x=4代入y=x中得y=2，∴A（4，2），∵点A是直线y=x与双曲线y=（k＞0）的交点，∴k=4×2=8；（2）解法一：如图，∵点C在双曲线上，当y=8时，x=1，∴点C的坐标为（1，8）．过点A、C分别做x轴、y轴的垂线，垂足为M、N，得矩形DMON．∵S矩形ONDM=32，S△ONC=4，S△CDA=9，S△OAM=4．∴S△AOC=S矩形ONDM﹣S△ONC﹣S△CDA﹣S△OAM=32﹣4﹣9﹣4=15；解法二：如图，过点C、A分别做x轴的垂线，垂足为E、F，∵点C在双曲线上，当y=8时，x=1，∴点C的坐标为（1，8）．∵点C、A都在双曲线上，∴S△COE=S△AOF=4，∴S△COE+S梯形CEFA=S△COA+S△AOF．∴S△COA=S梯形CEF A．∵S梯形CEFA=×（2+8）×3=15，∴S△COA=15；（3）∵反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形，∴OP=OQ，OA=OB，∴四边形APBQ是平行四边形，∴S△POA=S平行四边形APBQ×=×24=6，设点P的横坐标为m（m＞0且m≠4），得P（m，），过点P、A分别做x轴的垂线，垂足为E、F，∵点P、A在双曲线上，∴S△POE=S△AOF=4，若0＜m＜4，如图，∵S△POE+S梯形PEFA=S△POA+S△AOF，∴S梯形PEFA=S△POA=6．∴（2+）•（4﹣m）=6．∴m1=2，m2=﹣8（舍去），∴P（2，4）；若m＞4，如图，∵S△AOF+S梯形AFEP=S△AOP+S△POE，∴S梯形PEFA=S△POA=6．∴（2+）•（m﹣4）=6，解得m1=8，m2=﹣2（舍去），∴P（8，1）．∴点P的坐标是P（2，4）或P（8，1）．29．如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，▱ABCD的顶点A的坐标为（﹣2，0），点D的坐标为（0，），点B在x轴的正半轴上，点E为线段AD的中点，过点E的直线l与x轴交于点F，与射线DC交于点G．（1）求∠DCB的度数；（2）当点F的坐标为（﹣4，0）时，求点G的坐标；（3）连接OE，以OE所在直线为对称轴，△OEF经轴对称变换后得到△OEF′，记直线EF′与射线DC的交点为H．①如图2，当点G在点H的左侧时，求证：△DEG∽△DHE；②若△EHG的面积为，请直接写出点F的坐标．【考点】相似形综合题．【分析】（1）由于平行四边形的对角相等，只需求得∠DAO的度数即可，在Rt△OAD中，根据A、D的坐标，可得到OA、OD的长，那么∠DAO的度数就不难求了．（2）根据点E、F的坐标求得直线EF的方程，然后将点G的纵坐标代入该直线方程即可求得点G的横坐标．（3）①根据A、D的坐标，易求得E点坐标，即可得到AE、OE的长，由此可判定△AOE 是等边三角形，那么∠OEA=∠AOE=∠EOF′=60°，由此可推出OF′∥AE，即∠DEH=∠OF′E，根据轴对称的性质知∠OF′E=∠EFA，通过等量代换可得∠EFA=∠DGE=∠DEH，由此可证得所求的三角形相似．②过E作CD的垂线，设垂足为M，则EM为△EGH中GH边上的高，根据△EGH的面积即可求得GH的长，在①题已经证得△DEG∽△DHE，可得DE2=DG•DH，可设出DG的长，然后表示出DH的值，代入上面的等量关系式中，即可求得DG的长，根据轴对称的性质知：DG=AF，由此得到AF的长，进而可求得F点的坐标，需注意的是，在表示DH的长时，要分两种情况考虑：一、点H在G的右侧，二、点H在G的左侧．【解答】解：（1）在直角△OAD中，∵tan∠OAD==，∴∠A=60°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠C=∠A=60°；（2）∵点A的坐标为（﹣2，0），点D的坐标为（0，），点E为线段AD的中点，∴点E的坐标是（﹣1，）．设直线EF的方程为y=kx+b（k≠0），则，解得，，∴直线EF的解析式是：y=x+．又∵点G的纵坐标是2，∴2=x+．解得，x=2，∴点G的坐标是（2，2）；（3）①证明：∵E（﹣1，），AE=DE=2，OE=OA=2，∴△OAE是等边三角形，则∠AOE=∠AEO=60°；根据轴对称的性质知：∠AOE=∠EOF′，故∠EOF′=∠AEO=60°，即OF′∥AE，∴∠OF′E=∠DEH；∵∠OF′E=∠OFE=∠DGE，∴∠DGE=∠DEH，又∵∠GDE=∠EDH，∴△DGE∽△DEH．②过点E作EM⊥直线CD于点M，∵CD∥AB，∴∠EDM=∠DAB=60°，∴EM=DE•sin60°=2×=，∵S△EGH=GH•ME=×GH=3，∴GH=6；∵△DHE∽△DEG，∴=即DE2=DG•DH，当点H在点G的右侧时，设DG=x，DH=x+6，∴4=x（x+6），解得：x1=﹣3+，x2=﹣3﹣（舍去），∴点F的坐标为（1﹣，0）；当点H在点G的左侧时，设DG=x，DH=x﹣6，∴4=x（x﹣6），x2﹣6x﹣4=0解得：x1=3+，x2=3﹣（舍去），∵△DEG≌△AEF，∴AF=DG=3+，∵OF=AO+AF=3++2=5+，∴点F的坐标为（﹣﹣5，0），综上可知，点F的坐标有两个，分别是F1（1﹣，0），F2（﹣﹣5，0）．北师大版九年级上学期第二次月考数学试卷一、选择题（每题2分，共计18分）将正确答案的选项填入答题纸的表中）1．一元二次方程x2=4x的解是( )A．x=0B．x=4C．x1=2，x2=﹣2D．x1=0，x2=42．对角线互相垂直平分且相等的四边形一定是( )A．正方形B．菱形C．矩形D．等腰梯形3．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的( )A．B．C．D．4．已知关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣4=0的一个根为2，则另一根是( )A．4B．1C．2D．﹣25．随机掷一枚均匀的硬币两次，两次都是正面的概率是( )A．B．C．D．无法确定6．不能判断四边形ABCD是平行四边形的是( )A．AB=CD，AD=BCB．AB=CD，AB∥CDC．AB=CD，AD∥BCD．AB∥CD，AD∥BC7．若四边形的两条对角线相等，则顺次连结各边中点所得的四边形是( )A．梯形B．正方形C．矩形D．菱形8．下列说法不正确的是( )A．一组邻边相等的矩形是正方形B．对角线相等的菱形是正方形C．对角线互相垂直的矩形是正方形D．有一个角是直角的平行四边形是正方形9．整数K＜5，△ABC的三边长均满足方程x2﹣3x+8=0，则△ABC的周长是( ) A．6B．10C．12D．6或10或12二、填空题（每小题3分，共27分）10．请你给出一个m值，当m=__________，使方程x2+m=0有整数根．11．如图，菱形ABCD的周长为24cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于__________．12．如图所示，某小区规划在一个长为40 m、宽为26 m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的甬路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．若使每一块草坪的面积为144 m2，求甬路的宽度．若设甬路的宽度为xm，则x满足的方程为__________．13．菱形的两条对角线的长分别是8cm和6cm，则菱形的周长是__________，面积是__________．14．袋子里有8个白球，n个红球，经过大量实验，从中任取一个球恰好是白球的概率是，则n的值是__________．15．某商品经过两次降价，由每件100元降至81元，则平均每次降价的百分率为__________．16．已知m是方程x2+3x﹣1=0的一个根，则代数式2m2+6m﹣3的值为__________．17．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1=0的一个根是0，那么a的值为__________．18．如图，菱形ABCD中，P为对角线AC上一动点，E，F分别为AB、BC中点，若AC=8，BD=6，则PE+PF的最小值为__________．三、简答题（本大题共24分）19．（16分）解方程：（1）（x﹣1）2+2x（x﹣1）=0；（2）（2x﹣5）2﹣（x+4）2=0；（3）2x2+3x﹣1=0；（4）（x﹣1）（x+2）=70．20．用如图所示的两个分格均匀的转盘做游戏：分别转动两个转盘，若转盘停止后，指针指向一个数字（若指针恰好停在分格线上，则重转一次），用所指的两个数字作乘积，请用列表法或树状图求乘积大于10的概率．四、证明题：（本题共10分）21．如图，正方形ABCD边长为1，G为CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG 为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连接DE交BG的延长线于点H．（1）求证：BH⊥DE；（2）当BH垂直平分DE时，求CG的长度？请说明理由．（提示：要有辅助线哟？）五、应用题22．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？六、探索证明23．如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O，E、F、G、H分别是AD，BD，BC，AC的中点．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）当四边形ABCD满足一个什么条件时，四边形EFGH是菱形？并证明你的结论．（3）当AB和CD满足什么条件时，四边形EFGH是正方形．（直接写出结论，不必写证明过程）一、选择题（每题2分，共计18分）将正确答案的选项填入答题纸的表中）1．一元二次方程x2=4x的解是( )A．x=0B．x=4C．x1=2，x2=﹣2D．x1=0，x2=4考点：解一元二次方程-因式分解法．专题：计算题．分析：方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．解答：解：方程移项得：x2﹣4x=0，分解因式得：x（x﹣4）=0，解得：x1=0，x2=4．故选D．点评：此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握解法是解本题的关键．2．对角线互相垂直平分且相等的四边形一定是( )A．正方形B．菱形C．矩形D．等腰梯形考点：正方形的判定；线段垂直平分线的性质．专题：证明题．分析：根据特殊四边形的判定方法：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形判断即可．解答：解：根据正方形的判别方法知，对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．故选A点评：本题是考查正方形的判别方法．判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．3．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的( )。
北师大版九年级上学期第二次月考试数学试卷(解析版) (精选5套试题) (2)
北师大版九年级上学期第二次月考数学试卷一、选择题（每题2分，共计18分）将正确答案的选项填入答题纸的表中）1．一元二次方程x2=4x的解是( )A．x=0B．x=4C．x1=2，x2=﹣2D．x1=0，x2=42．对角线互相垂直平分且相等的四边形一定是( )A．正方形B．菱形C．矩形D．等腰梯形3．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的( )A．B．C．D．4．已知关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣4=0的一个根为2，则另一根是( )A．4B．1C．2D．﹣25．随机掷一枚均匀的硬币两次，两次都是正面的概率是( )A．B．C．D．无法确定6．不能判断四边形ABCD是平行四边形的是( )A．AB=CD，AD=BCB．AB=CD，AB∥CDC．AB=CD，AD∥BCD．AB∥CD，AD∥BC7．若四边形的两条对角线相等，则顺次连结各边中点所得的四边形是( )A．梯形B．正方形C．矩形D．菱形8．下列说法不正确的是( )A．一组邻边相等的矩形是正方形B．对角线相等的菱形是正方形C．对角线互相垂直的矩形是正方形D．有一个角是直角的平行四边形是正方形9．整数K＜5，△ABC的三边长均满足方程x2﹣3x+8=0，则△ABC的周长是( ) A．6B．10C．12D．6或10或12二、填空题（每小题3分，共27分）10．请你给出一个m值，当m=__________，使方程x2+m=0有整数根．11．如图，菱形ABCD的周长为24cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于__________．12．如图所示，某小区规划在一个长为40 m、宽为26 m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的甬路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．若使每一块草坪的面积为144 m2，求甬路的宽度．若设甬路的宽度为xm，则x满足的方程为__________．13．菱形的两条对角线的长分别是8cm和6cm，则菱形的周长是__________，面积是__________．14．袋子里有8个白球，n个红球，经过大量实验，从中任取一个球恰好是白球的概率是，则n的值是__________．15．某商品经过两次降价，由每件100元降至81元，则平均每次降价的百分率为__________．16．已知m是方程x2+3x﹣1=0的一个根，则代数式2m2+6m﹣3的值为__________．17．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1=0的一个根是0，那么a的值为__________．18．如图，菱形ABCD中，P为对角线AC上一动点，E，F分别为AB、BC中点，若AC=8，BD=6，则PE+PF的最小值为__________．三、简答题（本大题共24分）19．（16分）解方程：（1）（x﹣1）2+2x（x﹣1）=0；（2）（2x﹣5）2﹣（x+4）2=0；（3）2x2+3x﹣1=0；（4）（x﹣1）（x+2）=70．20．用如图所示的两个分格均匀的转盘做游戏：分别转动两个转盘，若转盘停止后，指针指向一个数字（若指针恰好停在分格线上，则重转一次），用所指的两个数字作乘积，请用列表法或树状图求乘积大于10的概率．四、证明题：（本题共10分）21．如图，正方形ABCD边长为1，G为CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连接DE交BG的延长线于点H．（1）求证：BH⊥DE；（2）当BH垂直平分DE时，求CG的长度？请说明理由．（提示：要有辅助线哟？）22．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？23．如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O，E、F、G、H分别是AD，BD，BC，AC 的中点．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）当四边形ABCD满足一个什么条件时，四边形EFGH是菱形？并证明你的结论．（3）当AB和CD满足什么条件时，四边形EFGH是正方形．（直接写出结论，不必写证明过程）一、选择题（每题2分，共计18分）将正确答案的选项填入答题纸的表中）1．一元二次方程x2=4x的解是( )A．x=0B．x=4C．x1=2，x2=﹣2D．x1=0，x2=4考点：解一元二次方程-因式分解法．专题：计算题．分析：方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．解答：解：方程移项得：x2﹣4x=0，分解因式得：x（x﹣4）=0，解得：x1=0，x2=4．故选D．点评：此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握解法是解本题的关键．2．对角线互相垂直平分且相等的四边形一定是( )A．正方形B．菱形C．矩形D．等腰梯形考点：正方形的判定；线段垂直平分线的性质．专题：证明题．分析：根据特殊四边形的判定方法：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形判断即可．解答：解：根据正方形的判别方法知，对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．故选A点评：本题是考查正方形的判别方法．判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．3．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的( )A．B．D．考点：矩形的性质．分析：本题主要根据矩形的性质，得△EBO≌△FDO，再由△AOB与△OBC同底等高，△AOB 与△ABC同底且△AOB的高是△ABC高的得出结论．解答：解：∵四边形为矩形，∴OB=OD=OA=OC，在△EBO与△FDO中，∵，∴△EBO≌△FDO（ASA），∴阴影部分的面积=S△AEO+S△EBO=S△AOB，∵△AOB与△ABC同底且△AOB的高是△ABC高的，∴S△AOB=S△OBC=S矩形ABC D．故选：B．点评：本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．4．已知关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣4=0的一个根为2，则另一根是( )A．4B．1C．2D．﹣2考点：根与系数的关系．分析：可将该方程的已知根2代入两根之积公式，解方程即可求出方程的另一根．解答：解：设方程的另一根为x1，又∵x=2，∴x1•2=﹣4，解得x1=﹣2．故选D．点评：解决此类题目时要认真审题，确定好各系数的数值与正负，然后确定选择哪一个根与系数的关系式．5．随机掷一枚均匀的硬币两次，两次都是正面的概率是( )A．B．D．无法确定考点：概率公式．分析：列举出所有情况，看两次都是正面的情况占总情况的多少即可．解答：解：随机掷一枚均匀的硬币两次，共4种情况：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）；两次都是正面是其中的一种情况；所以两次都是正面的概率是．故选C．点评：此题考查概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．6．不能判断四边形ABCD是平行四边形的是( )A．AB=CD，AD=BCB．AB=CD，AB∥CDC．AB=CD，AD∥BCD．AB∥CD，AD∥BC考点：平行四边形的判定．分析：A、B、D，都能判定是平行四边形，只有C不能，因为等腰梯形也满足这样的条件，但不是平行四边形．解答：解：根据平行四边形的判定：A、B、D可判定为平行四边形，而C不具备平行四边形的条件，故选：C．点评：平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．7．若四边形的两条对角线相等，则顺次连结各边中点所得的四边形是( )A．梯形B．正方形C．矩形D．菱形考点：中点四边形．分析：顺次连接对角线相等的四边形各边中点，所得四边形是菱形，理由为：根据题意画出四边形ABCD，E，F，G，H分别为各边的中点，写出已知，求证，由E，H分别为AB，AD的中点，得到EH为三角形ABD的中位线，根据三角形的中位线定理得到EH平行于BD，且等于BD的一半，同理FG平行于BD，且等于BD的一半，可得出EH与FG平行且相等，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得出EFGH为平行四边形，再由EF为三角形ABC的中位线，得出EF等于AC的一半，由EH等于BD的一半，且AC=BD，可得出EH=EF，根据邻边相等的平行四边形为菱形可得证．解答：解：顺次连接对角线相等的四边形各边中点，所得四边形是菱形，如图所示：已知：E，F，G，H分别为四边形ABCD各边的中点，且AC=BD，求证：四边形EFGH为菱形，证明：∵E，F，G，H分别为四边形ABCD各边的中点，∴EH为△ABD的中位线，FG为△CBD的中位线，∴EH∥BD，EH=BD，FG∥BD，FG=BD，∴EH∥FG，EH=FG=BD，∴四边形EFGH为平行四边形，又EF为△ABC的中位线，∴EF=AC，又EH=BD，且AC=BD，∴EF=EH，∴四边形EFGH为菱形．故选D点评：此题考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定，以及菱形的判定，利用了数形结合及等量代换的思想，灵活运用三角形中位线定理是解本题的关键．8．下列说法不正确的是( )A．一组邻边相等的矩形是正方形B．对角线相等的菱形是正方形C．对角线互相垂直的矩形是正方形D．有一个角是直角的平行四边形是正方形考点：正方形的判定．专题：证明题．分析：根据正方形的判定方法对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形对各个选项进行分析，从而得到答案．解答：解：A、矩形是对边平行且相等，加上一组邻边相等，正好属于正方形，故A选项正确；B、菱形的对角线是相互垂直的，加上对角线相等，正好符合对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形这一性质，故B选项正确；C、矩形的对角线是相等且相互平分的，加上互相垂直，正好符合对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形这一性质，故C选项正确；D、有一个角是直角的平行四边形，是符合矩形的判定方法，故D选项不正确；故选D．点评：此题主要考查学生对正方形的判定方法的理解及运用．9．整数K＜5，△ABC的三边长均满足方程x2﹣3x+8=0，则△ABC的周长是( ) A．6B．10C．12D．6或10或12考点：根的判别式；三角形三边关系．分析：根据题意得k≥0且（3）2﹣4×8≥0，而整数k＜5，则k=4，方程变形为x2﹣6x+8=0，解得x1=2，x2=4，由于△ABC的边长均满足关于x的方程x2﹣6x+8=0，所以△ABC的边长可以为2、2、2或4、4、4或4、4、2，然后分别计算三角形周长．解答：解：根据题意得k≥0且（3）2﹣4×8≥0，解得k≥，∵整数k＜5，∴k=4，∴方程变形为x2﹣6x+8=0，解得x1=2，x2=4，∵△ABC的边长均满足关于x的方程x2﹣6x+8=0，∴△ABC的边长为2、2、2或4、4、4或4、4、2．∴△ABC的周长为6或12或10．故选D．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了因式分解法解一元二次方程以及三角形三边的关系．二、填空题（每小题3分，共27分）10．请你给出一个m值，当m=﹣1，使方程x2+m=0有整数根．考点：根的判别式．专题：开放型．分析：由于x2=﹣m，所以﹣m是完全平方数且为正数．解答：解：把方程变形得：x2=﹣m，∵方程有整数根，∴﹣m必须是完全平方数且为正数．∴当m=﹣1时，方程x2+m=0有整数根．故答案为：﹣1．点评：本题考查了一元二次方程的解，属于开放题，注意答案的不唯一性，同时本题还考查了一元二次方程根的判别式的应用．11．如图，菱形ABCD的周长为24cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于3cm．考点：菱形的性质；直角三角形斜边上的中线．分析：由菱形ABCD的周长为24cm，根据菱形的性质，可求得AD的长，AC⊥BD，又由E 是AD的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可求得线段OE的长．解答：解：∵菱形ABCD的周长为24cm，∴AD=6cm，AC⊥BD，∵E是AD的中点，∴OE=AD=3（cm）．故答案为：3cm．点评：此题考查了菱形的性质以及直角三角形斜边的中线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．12．如图所示，某小区规划在一个长为40 m、宽为26 m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的甬路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．若使每一块草坪的面积为144 m2，求甬路的宽度．若设甬路的宽度为xm，则x满足的方程为（40﹣2x）（26﹣x）=144×6．考点：由实际问题抽象出一元二次方程．专题：几何图形问题．分析：如果设甬路的宽度为xm，那么草坪的总长度和总宽度应该为40﹣2x，26﹣x；那么根据题意即可得出方程．解答：解：设甬路的宽度为xm，那么草坪的总长度和总宽度应该为40﹣2x，26﹣x；根据题意即可得出方程为：（40﹣2x）（26﹣x）=144×6．点评：本题考查一元二次方程的运用，弄清“草坪的总长度和总宽度”是解决本题的关键．13．菱形的两条对角线的长分别是8cm和6cm，则菱形的周长是20cm，面积是24cm2．考点：菱形的性质；勾股定理．专题：计算题．分析：根据菱形的对角线互相垂直平分，求出对角线的一半，然后利用勾股定理求出菱形的边长，然后根据周长公式计算即可求解；根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可求解．解答：解：∵菱形的两条对角线的长分别是8cm和6cm，∴两条对角线的长的一半分别是4cm和3cm，∴菱形的边长为=5cm，∴菱形的周长是：5×4=20cm；面积是×8×6=24cm2．故答案为：20cm，24cm2．点评：本题考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质以及勾股定理的应用，菱形的面积的特殊求法，熟练掌握性质是解题的关键．14．袋子里有8个白球，n个红球，经过大量实验，从中任取一个球恰好是白球的概率是，则n的值是4．考点：概率公式．分析：根据概率公式列出从中任取一个球恰好是红球的概率公式，求出n的值即可．解答：解：袋子里有8个白球，n个红球，若从中任取一个球恰好是白球的概率是，根据题意可得：=，解得n=4．故答案为：4．点评：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．15．某商品经过两次降价，由每件100元降至81元，则平均每次降价的百分率为10%．考点：一元二次方程的应用．专题：增长率问题；压轴题．分析：此题可设平均每次降价的百分率为x，那么第一次降价后的单价是原来的（1﹣x），那么第二次降价后的单价是原来的（1﹣x）2，根据题意列方程解答即可．解答：解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程得100×（1﹣x）2=81解得x1=0.1，x2=1.9（不符合题意，舍去），所以本题答案为0.1，即10%．点评：找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．16．已知m是方程x2+3x﹣1=0的一个根，则代数式2m2+6m﹣3的值为﹣1．考点：一元二次方程的解；代数式求值．专题：方程思想；整体思想．分析：一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．把x=m入方程即可得到m2+3m的形式，再整体代入m2+3m=1，即可求解．解答：解：根据题意得：m2+3m﹣1=0∴m2+3m=1∴2m2+6m﹣3=2（m2+3m）﹣3=2﹣3=﹣1故答案是﹣1．点评：此题主要考查了方程解的定义和代数式求值，此类题型的特点是，利用方程解的定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值．17．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1=0的一个根是0，那么a的值为﹣1．考点：一元二次方程的解．专题：计算题．分析：由题意知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1=0的一个根是0，所以直接把一个根是0代入一元二次方程（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1=0中即可求出a．解答：解：∵0是方程（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1=0的一个根，∴a2﹣1=0，∴a=±1，但a=1时一元二次方程的二次项系数为0，舍去，∴a=﹣1．故答案为：﹣1．点评：此题主要考查一元二次方程的定义，比较简单，直接把x=0代入方程就可以解决问题，但求出的值一点要注意不能使方程二次项系数为0．18．如图，菱形ABCD中，P为对角线AC上一动点，E，F分别为AB、BC中点，若AC=8，BD=6，则PE+PF的最小值为5．考点：轴对称-最短路线问题；菱形的性质．分析：取CD的中点F′，由菱形的性质可知点F′和F关于AC对称，故PF=PF′，由两点之间线段最短可知当E、P、F′在一条直线上时，PE+PF有最小值，然后求得EF′的长度即可．解答：解：取CD的中点F′，连接EF′交BD于点P．∵四边形ABCD为菱形，∴AP⊥PB，P A=AC=4，PB=BD=3．在Rt△ABP中，AB==5．∵ABCD为菱形，E、F′分别是AD、CD的中点，∴PF=PF′．∴PE+PF=PE+PF′．两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时，PE+PF的最小值．∵EF′=AB，∴PE+PF的最小值为5．故答案为：5．点评：本题主要考查的是菱形的性质、轴对称﹣﹣路径最短问题、勾股定理的应用，明确当E、P、F′在一条直线上时PE+PF有最小值是解题的关键．三、简答题（本大题共24分）19．（16分）解方程：（1）（x﹣1）2+2x（x﹣1）=0；（2）（2x﹣5）2﹣（x+4）2=0；（3）2x2+3x﹣1=0；（4）（x﹣1）（x+2）=70．考点：解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-公式法．专题：计算题．分析：（1）方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解；（2）方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解；（3）找出a，b，c的值，代入求根公式即可求出解；（4）方程整理后分解因式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解解答：解：（1）分解因式得：（x﹣1）（x﹣1+2x）=0，即（x﹣1）（3x﹣1）=0，解得：x1=1，x2=；（2）分解因式得：（2x﹣5+x+4）（2x﹣5﹣x﹣4）=0，即（x﹣9）（3x﹣1）=0，解得：x1=9，x2=；（3）这里a=2，b=3，c=﹣1，∵△=9+4=17，∴x=，则x1=，x2=；（4）方程整理得：x2+x﹣72=0，分解因式得：（x﹣8）（x+9）=0，解得：x1=8，x2=﹣9．点评：此题考查了解一元二次方程﹣分解因式法，以及公式法，熟练掌握各自解法是解本题的关键．20．用如图所示的两个分格均匀的转盘做游戏：分别转动两个转盘，若转盘停止后，指针指向一个数字（若指针恰好停在分格线上，则重转一次），用所指的两个数字作乘积，请用列表法或树状图求乘积大于10的概率．考点：列表法与树状图法．专题：计算题．分析：先画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出两数乘积大于10的结果数，然后根据概率公式求解．解答：解：画树状图：共有6种等可能的结果数，其中两数乘积大于10的结果数为2，所以乘积大于10的概率==．点评：本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．四、证明题：（本题共10分）21．如图，正方形ABCD边长为1，G为CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连接DE交BG的延长线于点H．（1）求证：BH⊥DE；（2）当BH垂直平分DE时，求CG的长度？请说明理由．（提示：要有辅助线哟？）考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．分析：（1）先由四边形ABCD和CGFE是正方形求证△DCE≌△BCG，再得出BG⊥DE．（2）连接BD，解题关键是利用垂直平分线的性质得出BD=BE，从而找到BD=，CE=BE ﹣BC=﹣1，根据全等三角形的性质求解即可．解答：（1）证明：∵正方形ABCD，∴∠BCD=90°，BC=CD，同理：CG=CE，∠GCE=90°，∴∠BCD=∠GCE=90°，，∴△BCG≌△DCE，∴∠GBC=∠CDE，在Rt△DCE中∠CDE+∠CED=90°，∴∠GBC+∠BEH=90°，∴∠BHE=180°﹣（∠GBC+∠BHE）=90°，∴BH⊥DE；（2）当CG=﹣1时BH垂直平分DE，理由如下：若BH垂直平分DE，连接BD，∴BD=BE，∵BD=∴CG=CE=BE﹣BC=﹣1．点评：此题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．特殊图形的特殊性质要熟练掌握．五、应用题22．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？考点：一元二次方程的应用．专题：增长率问题．分析：（1）设每千克核桃降价x元，利用销售量×每件利润=2240元列出方程求解即可；（2）为了让利于顾客因此应下降6元，求出此时的销售单价即可确定几折．解答：（1）解：设每千克核桃应降价x元．…1分根据题意，得（60﹣x﹣40）（100+×20）=2240．…4分化简，得x2﹣10x+24=0 解得x1=4，x2=6．…6分答：每千克核桃应降价4元或6元．…7分（2）解：由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价6元．此时，售价为：60﹣6=54（元），．…9分答：该店应按原售价的九折出售．…10分点评：本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程．六、探索证明23．如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O，E、F、G、H分别是AD，BD，BC，AC 的中点．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）当四边形ABCD满足一个什么条件时，四边形EFGH是菱形？并证明你的结论．（3）当AB和CD满足什么条件时，四边形EFGH是正方形．（直接写出结论，不必写证明过程）考点：正方形的判定；三角形中位线定理；平行四边形的判定；菱形的判定．分析：（1）根据三角形中位线的性质可得EF平行且等于AB，GH=AB，GH∥AB，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论；（2）根据临边相等的平行性四边形是菱形可得当四边形ABCD满足AB=CD时，EFGH是菱形；（3）根据有一个角为直角的菱形是正方形可得当AB和CD垂直且相等时，四边形EFGH 是正方形．解答：证明：（1）∵E、F、G、H分别是AB，BD，BC，AC的中点．∴EF是△ABD的中位线，∴EF平行且等于AB，同理GH=AB，GH∥AB，∴EF∥GH，EF=GH，∴四边形EFGH是平行四边形．（2）当四边形ABCD满足AB=CD时，EFGH是菱形，因为，E、F、G、H分别是AB，BD，BC，AC的中点．∴EF是△ABD的中位线，∴EF平行且等于AB，同理EH平行且等于CD，∴EF=EH，∵四边形EFGH是平行四边形．∴平行四边形EFGH是菱形；（3）当AB和CD垂直且相等时，四边形EFGH是正方形．延长BA、CD交于M，∵AB=CD时，EFGH是菱形，∵AB⊥CD，∴∠M=90°，∵EF∥AB，EH∥CD，∴∠FEH=∠M=90°，∴四边形EFGH是正方形．故梯形ABCD满足AB⊥BD条件时，四边形EFGH是正方形．图1 点评：此题主要考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定、菱形和正方形的判定，关键是掌握平行四边形的判定、菱形和正方形的判定定理．北师大版九年级上学期第二次月考数学试卷（考试时间：100分钟，满分：120分）一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列方程是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ．02=++c bx axB ．162-+x x C ．02142333=--x x D ．032)3(22=-++x x m 2．分别以下列四组数为一个三角形的边长① 6，8，10 ② 5，12，13 ③ 8，15，16④ 4，5，6，其中能构成直角三角形的有（ ）A ．①④B ．②③C ．①②D ．②④3．有三条公路相交如图1，现计划修建一个油库，要求到三条公路的距离相等，则符合条件的油库的位置有（ ）A ．1处B ．2处C ．3处D ．4处4．根据下表的对应值，判断方程02=++c bx ax （c b a a ,,,0≠为常数）的一个解x 的范围是（ ） x 3.233.24 3.25 3.26 c bx ax ++2－0.06 －0.02 0.03 0.09 A ．3＜x ＜3.33 B ．3.23＜x ＜3.24 C ．3.24＜x ＜3.25 D. 3.25＜x ＜3.265．方程0422=-+x x 的根的情况是（ ）A ．有两个不相等实数根 B. 有两个相等实数根C. 有一个实数根D.没有实数根6．关于x 的一元二次方程0122=-+x kx 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．1->k B. 1>k C. 0≠k D. 1->k 且0≠k7．已知等腰三角形的一个内角为30°，则这个等腰三角形的顶角．．为（ ）A. 30°B. 75°C. 75°或120°D. 30°或120°8．九年级（2）的每个同学都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了2550张，若全班有x 名学生，根据题意列方程为（ ） A.2550)1(=+x x B.2550)1(=-x x C.2550)1(2=+x xD.25502)1(⨯=-x x9．如图2，在△ABC 与△DEF 中，已有条件AB ＝DE ，还需添加两个条件才能使△ABC ≌△DEF ，不能．．添加的一组条件是（ ） A ．∠B ＝∠E ，BC ＝EF B. BC ＝EF ，AC ＝DFC . ∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E D. ∠A ＝∠D ，BC ＝EF10．如图3，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝30°，线段AC 的垂直平分线交AC 于D ，交AB 于E ，连接CE ，则∠BCE 等于（ ）A.70°B.60°C.45°D.50° 二、填空题（每小题4分，共24分）11．22____)(_____8-=+-x x x12．已知等腰△ABC 的腰AB ＝AC ＝10㎝，底BC ＝12㎝，则∠A 的平分线长是________㎝。
北师大版九年级上学期第二次月考数学试题 (含答案) (4)
北师大版九年级上学期第二次月考数学试卷一、选择题（每题3分，共24分，每小题只有一个正确答案，请将正确答案的序号填在答题卡上）1．下列命题中，正确命题的序号是（）①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;②一组邻边相等的平行四边形是正方形;③对角线相等的四边形是矩形; ④对角线相等的梯形是等腰梯形．A．①②B．②③C．③④D．①④2．把方程x2﹣8x+3=0化成（x+m）2=n的形式，则m，n的值是（）A．4，13 B．﹣4，19 C．﹣4，13 D．4，19 3．如图，在矩形ABCD中，AB=2BC，在CD上取一点E，使AE=AB，则∠EBC的度数为（）A．30°B．15°C．45°D．不能确定4．甲，乙，丙三家超市为了促销一种定价均为m元的商品，甲超市连续两次降价20%，乙超市一次性降价40%，丙超市第一次降价30%，第二次降价10%，此时顾客要购买这种商品最划算应到的超市是（）A．甲B．乙C．丙D．乙或丙5．如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（）A．AB∥CD B．AB=CD C．AC⊥BD D．AC=BD 6．已知：如图，在矩形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．若AB=2，AD=4，则图中阴影部分的面积为（）A．3 B．4 C．6 D．87．如图所示，四边形OABC为正方形，边长为6，点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D在OA上，且D的坐标为（2，0），P是OB上的一动点，试求PD+P A和的最小值是（）A．2B．C．4 D．68．有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（）A．8人B．9人C．10人D．11人二、填一填（每小题3分，共18分）：9．把下列方程中一元二次方程的序号填在横线上：．①x2=4; ②2x2+y=5 ; ③x+x2﹣1=0; ④5x2=0; ⑤3x2++5=0; ⑥3x3﹣4x2+1=0．10．若|b﹣1|+=0，且一元二次方程kx2+ax+b=0有实数根，则k的取值范围是．11．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠AOB=60°，AB=4cm，则AC 的长为cm．12．如图．边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是．13．如图，矩形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，连接DE和BF，分别取DE、BF的中点M、N，连接AM，CN，MN，若AB=2，BC=2，则图中阴影部分的面积为．14．将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖直线记成，定义：，上述记号叫做2阶行列式．若，则x=．三.共四小题，（每小题6分，共24分）．15．2x2﹣x﹣1=0．（用配方法解）16．4x2﹣3x+1=0．（用公式法解）17．9（2x+3）2=4（2x﹣5）2．（用因式分解法）18．关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+mx﹣1=0是一元二次方程，求m的值．四.简答题.19．试证明关于x的方程（a2﹣8a+20）x2+2ax+1=0无论a取何值，该方程都是一元二次方程．20．已知直线经过点﹙1，2﹚和点﹙3，0﹚，求这条直线的解析式．21．阅读下面的例题，范例：解方程x2﹣|x|﹣2=0，解：（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2=0，解得：x1=2，x2=﹣1（不合题意，舍去）．（2）当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2=0，解得：x1=﹣2，x2=1（不合题意，舍去）．∴原方程的根是x1=2，x2=﹣2请参照例题解方程x2﹣|x﹣1|﹣1=0．22．如图，四边形ABCD是正方形，点G是BC边上的任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F，求证：AF﹣BF=EF．23．某旅游景点为了吸引游客，推出的团体票收费标准如下：如果团体人数不超过25人，每张票价150元，如果超过25人，每增加1人，每张票价降低2元，但每张票价不得低于100元，阳光旅行社共支付团体票价4800元，则阳光旅行社共购买多少张团体票．24．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC外角∠ACM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？丙给出证明．参考答案与试题解析一、选择题（每题3分，共24分，每小题只有一个正确答案，请将正确答案的序号填在答题卡上）1．下列命题中，正确命题的序号是（）①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形②一组邻边相等的平行四边形是正方形③对角线相等的四边形是矩形④对角线相等的梯形是等腰梯形．A．①② B．②③ C．③④ D．①④【考点】命题与定理．【分析】利用平行四边形、正方形、矩形及等腰梯形的性质分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，正确；②一组邻边相等的平行四边形是菱形，故错误；③对角线相等的平行四边形是矩形，故错误；④对角线相等的梯形是等腰梯形，正确，正确的有①④，故选D．2．把方程x2﹣8x+3=0化成（x+m）2=n的形式，则m，n的值是（）A．4，13 B．﹣4，19 C．﹣4，13 D．4，19【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．【解答】解：∵x2﹣8x+3=0∴x2﹣8x=﹣3∴x2﹣8x+16=﹣3+16∴（x﹣4）2=13∴m=﹣4，n=13故选C．3．如图，在矩形ABCD中，AB=2BC，在CD上取一点E，使AE=AB，则∠EBC的度数为（）A．30°B．15°C．45°D．不能确定【考点】含30度角的直角三角形；矩形的性质．【分析】先作EF⊥AB，再根据矩形和直角三角形的性质，进行做题．【解答】解：作EF⊥AB于F，则EF=BC，又∵AB=2BC，AE=AB，∴AE=2EF，∴∠EAF=30°，∵AE=AB∴∠ABE=∠AEB=75°，∴∠EBC=90°﹣75°=15°．故选B．4．甲，乙，丙三家超市为了促销一种定价均为m元的商品，甲超市连续两次降价20%，乙超市一次性降价40%，丙超市第一次降价30%，第二次降价10%，此时顾客要购买这种商品最划算应到的超市是（）A．甲B．乙C．丙D．乙或丙【考点】有理数大小比较．【分析】根据各超市降价的百分比分别计算出此商品降价后的价格，再进行比较即可得出结论．【解答】解：降价后三家超市的售价是：甲为（1﹣20%）2m=0.64m，乙为（1﹣40%）m=0.6m，丙为（1﹣30%）（1﹣10%）m=0.63m，因为0.6m＜0.63m＜0.64m，所以此时顾客要购买这种商品最划算应到的超市是乙．故选：B．5．如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（）A．AB∥CD B．AB=CD C．AC⊥BD D．AC=BD【考点】中点四边形；矩形的判定．【分析】根据三角形的中位线定理和平行四边形的判定定理得到四边形EFGH是平行四边形，根据矩形的判定定理解答即可．【解答】解：∵E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点，∴EH=BD，EH∥BD，FG=BD，FG∥BD，∴EH=FG，EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形，当AC⊥BD时，AC⊥EH，∴EH⊥EF，∴四边形EFGH为矩形，故选：C．6．已知：如图，在矩形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．若AB=2，AD=4，则图中阴影部分的面积为（）A．3 B．4 C．6 D．8【考点】矩形的性质；三角形中位线定理．【分析】阴影部分的面积等于矩形面积减去四个直角三角形的面积．【解答】解：矩形的面积=2×4=8；S△AEF=×1×2=1；∴阴影部分的面积=8﹣1×4=4．故选B．7．如图所示，四边形OABC为正方形，边长为6，点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D在OA上，且D的坐标为（2，0），P是OB上的一动点，试求PD+P A和的最小值是（）A．2B． C．4 D．6【考点】轴对称-最短路线问题；勾股定理．【分析】要求PD+P A和的最小值，PD，P A不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PD，P A 的值，从而找出其最小值求解．【解答】解：连接CD，交OB于P．则CD就是PD+P A和的最小值．∵在直角△OCD中，∠COD=90°，OD=2，OC=6，∴CD==2，∴PD+P A=PD+PC=CD=2．∴PD+P A和的最小值是2．故选A．8．有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（）A．8人B．9人C．10人D．11人【考点】一元二次方程的应用．【分析】本题考查增长问题，应理解“增长率”的含义，如果设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，那么由题意可列出方程，解方程即可求解．【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，第一轮过后有（1+x）个人感染，第二轮过后有（1+x）+x（1+x）个人感染，那么由题意可知1+x+x（1+x）=100，整理得，x2+2x﹣99=0，解得x=9或﹣11，x=﹣11不符合题意，舍去．那么每轮传染中平均一个人传染的人数为9人．故选B．二、填一填（每小题3分，共18分）：9．把下列方程中一元二次方程的序号填在横线上：①③④⑤．①x2=4②2x2+y=5③x+x2﹣1=0④5x2=0⑤3x2++5=0⑥3x3﹣4x2+1=0．【考点】一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0选择正确的选项即可．【解答】解：①x2=4是一元二次方程；②2x2+y=5不是一元二次方程；③x+x2﹣1=0是一元二次方程；④5x2=0是一元二次方程；⑤3x2++5=0是一元二次方程；⑥3x3﹣4x2+1=0不是一元二次方程；是一元二次方程的有①③④⑤，故答案为①③④⑤．10．若|b﹣1|+=0，且一元二次方程kx2+ax+b=0有实数根，则k的取值范围是k≤4且k≠0．【考点】根的判别式；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．【分析】根据非负数的性质求出a、b的值，转化成关于k的不等式即可解答．【解答】解：∵|b﹣1|+=0，∴b=1，a=4，∴原方程为kx2+4x+1=0，∵该一元二次方程有实数根，∴△=16﹣4k≥0，解得：k≤4，∵方程kx2+ax+b=0是一元二次方程，∴k≠0，k的取值范围是：k≤4且k≠0，故答案为：k≤4且k≠0．11．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠AOB=60°，AB=4cm，则AC 的长为8cm．【考点】矩形的性质；等边三角形的判定与性质．【分析】由四边形ABCD为矩形，根据矩形的对角线互相平分且相等，可得OA=OB，又∠AOB=60°，根据有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可得三角形AOB为等边三角形，根据等边三角形的每一个角都相等都为60°可得出∠BAO为60°，在直角三角形ABC中，根据直角三角形的两个锐角互余可得∠ACB为30°，根据30°角所对的直角边等于斜边的半径，由AB的长可得出AC的长．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴OA=OC，OB=OD，且AC=BD，∠ABC=90°，∴OA=OB=OC=OD，又∵∠AOB=60°，∴△AOB为等边三角形，∴∠BAO=60°，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°，∠BAO=60°，∴∠ACB=30°，∵AB=4cm，则AC=2AB=8cm．故答案为：812．如图．边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是﹣1．【考点】正方形的性质；旋转的性质．【分析】连接D′C，根据旋转的性质及正方形的性质分别求得△ABC与△CD′E的面积，从而不难求得重叠部分的面积．【解答】解：连接D′C，∵绕顶点A顺时针旋转45°，∴∠D′CE=45°，∵ED′⊥AC，∴∠CD′E=90°，∵AC==，∴CD′=﹣1，∴正方形重叠部分的面积是×1×1﹣×（﹣1）（﹣1）=﹣1．故答案为：﹣1．13．如图，矩形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，连接DE和BF，分别取DE、BF的中点M、N，连接AM，CN，MN，若AB=2，BC=2，则图中阴影部分的面积为2．【考点】矩形的性质．【分析】根据矩形的中心对称性判定阴影部分的面积等于空白部分的面积，从而得到阴影部分的面积等于矩形的面积的一半，再根据矩形的面积公式列式计算即可得解．【解答】解：∵点E、F分别是AB、CD的中点，M、N分别为DE、BF的中点，∴矩形绕中心旋转180°阴影部分恰好能够与空白部分重合，∴阴影部分的面积等于空白部分的面积，∴阴影部分的面积=×矩形的面积，∵AB=2，BC=2，∴阴影部分的面积=×2×2=2．故答案为：2．14．将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖直线记成，定义：，上述记号叫做2阶行列式．若，则x=．【考点】整式的混合运算；解一元一次方程．【分析】根据题中已知的新定义化简已知的方程，然后利用和与差的完全平方公式化简，得到关于x的一元二次方程，开方即可求出x的值．【解答】解：根据题意可知：=（x+1）2﹣（1﹣x）（x﹣1）=（x+1）2+（x﹣1）2=2x2+2=6，即x2=2，解得：x=或x=﹣．故答案为：±．三.共四小题，（每小题6分，共24分）．15．2x2﹣x﹣1=0．（用配方法解）【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】移项，系数化成1，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：2x2﹣x﹣1=0，2x2﹣x=1，x2﹣x=，x2﹣x+（）2=+（）2，（x﹣）2=，x﹣=，x1=1，x2=﹣．16．4x2﹣3x+1=0．（用公式法解）【考点】解一元二次方程-公式法．【分析】先求出△的值，判断方程的根的情况即可得．【解答】解：∵a=4，b=﹣3，c=1，∴△=9﹣4×4×1=﹣7＜0，∴方程无实数根．17．9（2x+3）2=4（2x﹣5）2．（用因式分解法）【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】移项后利用平方差公式分解可得．【解答】解：9（2x+3）2﹣4（2x﹣5）2=0，即[3（2x+3）+2（2x﹣5）][3（2x+3）﹣2（2x﹣5）]=0，即（10x﹣1）（2x+19）=0，∴10x﹣1=0或2x+19=0，解得：x=或x=﹣．18．关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+mx﹣1=0是一元二次方程，求m的值．【考点】一元二次方程的定义．【分析】本题根据一元二次方程的定义，必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．据此即可求解．【解答】解：根据题意得，|m﹣1|=2，且m+1≠0，解得：m=3，答：m的值为3．四.简答题.19．试证明关于x的方程（a2﹣8a+20）x2+2ax+1=0无论a取何值，该方程都是一元二次方程．【考点】一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程的定义，只需证明此方程的二次项系数a2﹣8a+20不等于0即可．【解答】证明：∵a2﹣8a+20=（a﹣4）2+4≥4，∴无论a取何值，a2﹣8a+20≥4，即无论a取何值，原方程的二次项系数都不会等于0，∴关于x的方程（a2﹣8a+20）x2+2ax+1=0，无论a取何值，该方程都是一元二次方程．20．已知直线经过点﹙1，2﹚和点﹙3，0﹚，求这条直线的解析式．【考点】待定系数法求一次函数解析式．【分析】设出解析式，利用待定系数法即可求得解析式．【解答】解：设函数的解析式是：y=kx+b．根据题意得：解得：故函数的解析式是：y=﹣x+3．21．阅读下面的例题，范例：解方程x2﹣|x|﹣2=0，解：（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2=0，解得：x1=2，x2=﹣1（不合题意，舍去）．（2）当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2=0，解得：x1=﹣2，x2=1（不合题意，舍去）．∴原方程的根是x1=2，x2=﹣2请参照例题解方程x2﹣|x﹣1|﹣1=0．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】分为两种情况：（1）当x≥1时，原方程化为x2﹣x=0，（2）当x＜1时，原方程化为x2+x﹣2=0，求出方程的解即可．【解答】解：x2﹣|x﹣1|﹣1=0，（1）当x≥1时，原方程化为x2﹣x=0，解得：x1=1，x2=0（不合题意，舍去）．（2）当x＜1时，原方程化为x2+x﹣2=0，解得：x1=﹣2，x2=1（不合题意，舍去）．故原方程的根是x1=1，x2=﹣2．22．如图，四边形ABCD是正方形，点G是BC边上的任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F，求证：AF﹣BF=EF．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】因为AF=AE+EF，则可以通过证明△ABF≌△DAE，从而得到AE=BF，便得到了AF=BF+EF．【解答】证明：∵ABCD是正方形，∴AD=AB，∠BAD=90°∵DE⊥AG，∴∠AED=90°∴∠ADE+∠DAE=90°又∵∠BAF+∠DAE=∠BAD=90°，∴∠ADE=∠BAF．∵BF∥DE，∴∠AFB=∠DEG=∠AE D．在△ABF与△DAE中，，∴△ABF≌△DAE（AAS）．∴BF=AE．∵AF=AE+EF，∴AF﹣BF=EF．23．某旅游景点为了吸引游客，推出的团体票收费标准如下：如果团体人数不超过25人，每张票价150元，如果超过25人，每增加1人，每张票价降低2元，但每张票价不得低于100元，阳光旅行社共支付团体票价4800元，则阳光旅行社共购买多少张团体票．【考点】一元二次方程的应用．【分析】先计算购买票是否超过25张，超过25张时，建立方程求解．设购买x张，则每张票价为150﹣2（x﹣25），团体票价为x×[150﹣2（x﹣25）]．解方程即可．【解答】解：∵150×25=3750＜4800，∴购买的团体票超过25张，设共购买了x张团体票，由题意列方程得x×[150﹣2（x﹣25）]=4800，x2﹣100x+2400=0，解得x1=60，x2=40，当x1=60时，超过25人的人数为35人，票价降70元，降价后为150﹣70=80元＜100元，不符题意，舍去，x2=40符合题意，∴x=40，答：共购买了40张团体票．24．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC外角∠ACM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？丙给出证明．【考点】矩形的判定；等腰三角形的性质；正方形的判定．【分析】（1）由在△ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线，可得AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，又由AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，可得∠DAE=90°，又由CE⊥AN，即可证得：四边形ADCE为矩形；（2）根据正方形的判定，我们可以假设当AD=BC，由已知可得，DC=BC，由（1）的结论可知四边形ADCE为矩形，所以证得，四边形ADCE为正方形．【解答】（1）证明：∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，∴∠ADC=90°，∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，∴∠MAN=∠CAN，∴∠DAE=90°，∵CE⊥AN，∴∠AEC=90°，∴四边形ADCE为矩形；（2）当△ABC满足∠BAC=90°时，四边形ADCE是正方形．证明：∵AB=AC，∴∠ACB=∠B=45°，∵AD⊥BC，∴∠CAD=∠ACD=45°，∴DC=AD，∵四边形ADCE是矩形，∴矩形ADCE是正方形．北师大版九年级上学期第二次月考数学试卷一、精心选一选，相信你一定能选对！（每题3分，共36分）1．如图，在平行四边形ABCD中，AB=2，BC=3，∠ABC、∠BCD的平分线分别交AD于点E、F，则EF的长是（）A．3 B．2C．1.5D．12．如图，EF过▱ABCD对角线的交点O，并交AD于E，交BC于F，若AB=4，BC=5，OE=1.5，则四边形EFCD的周长是（）A．16 B．14 C．12 D．10 3．平行四边形一边长为10，那么它的对角线长度和可以为（）A．8和12B．20和30 C．6和8 D．4和6 4．不能判定四边形ABCD为平行四边形的题设是（）A．AB平行且等于CD B．∠A=∠C，∠B=∠DC．AB=AD，BC=CD D．AB=CD，AD=BC5．下面性质中菱形有而矩形没有的是（）A．邻角互补B．内角和为360°C．对角线相等D．对角线互相垂直6．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．对角线相等B．对角线互相垂直平分C．对角线平分一组对角D．四条边相等7．顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形一定是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形8．下列各图中，不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．9．下列命题中，真命题是（）A．有两边相等的平行四边形是菱形B．有一个角是直角的四边形是直角梯形C．四个角相等的菱形是正方形D．两条对角线相等的四边形是矩形10．如图，四边形ABCD为矩形纸片，把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E 处，折痕为AF，若CD=6，则AF等于（）A．B．C．D．811．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边AB、CD上移动，且AE=CF，则四边形不可能是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．梯形12．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AC=8cm，BD=6cm，则菱形的高为（）A．cm B．cm C．cm D．cm二、细心填一填，相信你填得又快又准！（每题4分，共20分）13．▱ABCD中，∠A=50°，则∠B=，∠C=，∠D．14．已知菱形两条对角线的长分别为5cm和8cm，则这个菱形的面积是cm2．15．矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和3cm两部分，则这个矩形的面积为cm2．16．对角线长为2的正方形的周长为，面积为．17．等腰梯形的上、下底分别是3cm和5cm，一个角是135°，则等腰梯形的面积为．三、用心做一做，培养你的综合运用能力，相信你是最棒的18．如图，E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，且AE=CF．求证：△ADF≌△CBE．19．已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F是直线AC上的两点，并且AE=CF．求证：四边形BFDE是平行四边形．20．已知：如图中，AD是∠A的角平分线，DE∥AC，DF∥A B．求证：四边形AEDF是菱形．21．如图，已知E是▱ABCD中BC边的中点，连接AE并延长AE交DC的延长线于点F．（1）求证：△ABE≌△FCE．（2）连接AC、BF，若∠AEC=2∠ABC，求证：四边形ABFC为矩形．22．证明：等腰梯形上底的中点与下底两端点的距离相等．23．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥B D．求证：四边形OCED是菱形．24．等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，DE⊥BC与E，AE=BE，BF⊥AE与F，线段BF与图中的哪一条线段相等？先写出您的猜想，再加以证明．25．如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于E．（1）试说明EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论；（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论．参考答案与试题解析一、精心选一选，相信你一定能选对！（每题3分，共36分）1．如图，在平行四边形ABCD中，AB=2，BC=3，∠ABC、∠BCD的平分线分别交AD于点E、F，则EF的长是（）A．3 B．2 C． 1.5D．1考点：平行四边形的性质；角平分线的定义；等腰三角形的判定与性质．专题：数形结合．分析：根据平行四边形的性质可知∠DFC=∠FCB，又因为CF平分∠BCD，所以∠DCF=∠FCB，则∠DFC=∠DCF，则DF=DC，同理可证AE=AB，那么EF就可表示为AE+FD﹣BC=2AB﹣BC，继而可得出答案．解答：解：∵平行四边形ABCD，∴∠DFC=∠FCB，又CF平分∠BCD，∴∠DCF=∠FCB，∴∠DFC=∠DCF，∴DF=DC，同理可证：AE=AB，∴2AB﹣BC=AE+FD﹣BC=EF=1cm．故选D．点评：本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题，难度不大，关键是解题技巧的掌握．2．如图，EF过▱ABCD对角线的交点O，并交AD于E，交BC于F，若AB=4，BC=5，OE=1.5，则四边形EFCD的周长是（）A．16 B．14 C．12 D．10考点：平行四边形的性质．分析：先利用平行四边形的性质求出AB、CD、BC、AD的值，可利用全等的性质得到△AEO ≌△CFO，即可求出四边形的周长．解答：解：已知AB=4，BC=5，OE=1.5，根据平行四边形的性质，AB=CD=4，BC=AD=5，在△AEO和△CFO中OA=OC，∠OAE=∠OCF，∠AOE=∠COF，所以△AEO≌△CFO，OE=OF=1.5，则EFCD的周长=ED+CD+CF+EF=（DE+CF）+AB+EF=5+4+3=12．则EFCD的周长是12．故选C．点评：本题考查平行四边形的性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．3．平行四边形一边长为10，那么它的对角线长度和可以为（）A．8和12 B．20和30 C．6和8 D．4和6考点：平行四边形的性质；三角形三边关系．分析：平行四边形的长为10的一边，与两条对角线的一半构成的三角形的另两边应满足三角形的三边关系，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．根据这个结论可以判断选择哪一个．解答：解：如图，设两条对角线的长度是x，y，即三角形的另两边是x，y，那么得到不等式组，解得．所以符合条件的对角线只有20和30它的两条对角线的长度可以是20和30．故选B．点评：本题主要考查平行四边形对角线互相平分的性质以及三角形的三边关系，有关“对角线范围”的题，应联系“三角形两边之和、差与第三边关系”知识点来解决．4．不能判定四边形ABCD为平行四边形的题设是（）A．AB平行且等于CD B．∠A=∠C，∠B=∠DC．AB=AD，BC=CD D．AB=CD，AD=BC考点：平行四边形的判定．分析：根据平行四边形的判断定理，逐项分析，作出判断即可．解答：解：A、AB平行且等于CD，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故选项正确；B、∠A=∠C，∠B=∠D，两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故选项正确；C、AB=AD，BC=CD，AB与AD、BC与CD属于邻边，不能判定四边形为平行四边形，故选项错误；D、AB=CD，AD=BC，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故选项正确．故选C．点评：本题考查平行四边形的判定方法．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形．5．下面性质中菱形有而矩形没有的是（）A．邻角互补B．内角和为360°C．对角线相等D．对角线互相垂直考点：菱形的性质；矩形的性质．分析：本题要熟知菱形以及矩形的性质方能解答要对比两者之间的相同点以及不同点．解答：解：A、∵平行四边形的邻角互补，∴矩形的邻角互补．故矩形和菱形的邻角均互补，故A错；B、平行四边形的内角和为360，矩形内角和为360度．故矩形和菱形的内角和都是360°，故B错；C、矩形的对角线相等，菱形的对角线互相垂直且平分，故C错；D、菱形对角线互相垂直，矩形的对角线不互相垂直．故选D．点评：根据菱形对角线互相垂直和矩形对角线相等的性质解答．6．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．对角线相等B．对角线互相垂直平分C．对角线平分一组对角D．四条边相等考点：正方形的性质；菱形的性质．分析：根据正方形与菱形的性质即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．解答：解：正方形的性质有：四条边都相等，四个角都是直角，对角线互相平分垂直且相等，而且平分一组对角；菱形的性质有：四条边都相等，对角线互相垂直平分．∴正方形具有而菱形不一定具有的性质是：对角线相等．故选A．点评：此题考查了正方形与菱形的性质．此题比较简单，解题的关键是熟记正方形与菱形的性质定理．7．顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形一定是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形考点：平行四边形的判定；三角形中位线定理．分析：顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形，一组对边平行并且等于原来四边形某一对角线的一半，说明新四边形的对边平行且相等．所以是平行四边形．解答：解：连接BD，已知任意四边形ABCD，E、F、G、H分别是各边中点．∵在△ABD中，E、H是AB、AD中点，∴EH∥BD，EH=B D．∵在△BCD中，G、F是DC、BC中点，∴GF∥BD，GF=BD，∴EH=GF，EH∥GF，∴四边形EFGH为平行四边形．故选：A．点评：本题三角形的中位线的性质考查了平行四边形的判定：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．8．下列各图中，不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．考点：中心对称图形；生活中的旋转现象．分析：根据中心对称图形的概念和各图形的结构特点求解．解答：解：A、C、D都既是轴对称图形，也是中心对称图形；B、只是轴对称图形．故选：B．点评：掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要明确中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后重合．9．下列命题中，真命题是（）A．有两边相等的平行四边形是菱形B．有一个角是直角的四边形是直角梯形C．四个角相等的菱形是正方形D．两条对角线相等的四边形是矩形考点：正方形的判定；菱形的判定；矩形的判定；直角梯形．分析：做题时首先知道各种四边形的判定方法，然后作答．解答：解：A、邻边相等的平行四边形是菱形，有两边相等的平行四边形是菱形，并没有说明是邻边，故A错误；B、有一个角是直角的四边形是直角梯形，还可能是正方形或矩形，故B错误；C、四个角相等的菱形是正方形，故C正确；D、两条对角线相等的四边形是矩形，还可能是梯形或正方形，故D错误．故选：C．点评：本题主要考查各种四边形的判定，基础题要细心．10．如图，四边形ABCD为矩形纸片，把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E 处，折痕为AF，若CD=6，则AF等于（）A．B．C．D．8考点：矩形的性质．专题：操作型．分析：先图形折叠的性质得到BF=EF，AE=AB，再由E是CD的中点可求出ED的长，再求出∠EAD的度数，设FE=x，则AF=2x，在△ADE中利用勾股定理即可求解．解答：解：由折叠的性质得BF=EF，AE=AB，因为CD=6，E为CD中点，故ED=3，又因为AE=AB=CD=6，所以∠EAD=30°，则∠F AE=（90°﹣30°）=30°，设FE=x，则AF=2x，在△AEF中，根据勾股定理，（2x）2=62+x2，x2=12，x1=2，x2=﹣2（舍去）．AF=2×2=4．故选：A．点评：解答此题要抓住折叠前后的图形全等的性质解答．11．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边AB、CD上移动，且AE=CF，则四边形不可能是（）。
北师大版九年级上学期第二次月考试数学试卷(解析版) (精选5套试题) (3)
北师大版九年级上学期第二次月考数学试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．下列关系式中，属于二次函数的是（x为自变量）（）A．y=x2B．y=C．y=D．y=a2x22．二次函数y=x2﹣4x+7的最小值为（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣33．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，sinA=，则AB的长为（）A．B．6 C．12 D．84．若锐角α满足cosα＜且tanα＜，则α的范围是（）A．30°＜α＜45°B．45°＜α＜60°C．60°＜α＜90°D．30°＜α＜60°5．如图，若一次函数y=ax+b的图象经过二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx的图象可能是（）A．B．C．D．6．在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是（）A．B．C．D．7．我们常用“y随x的增大而增大（或减小）”来表示两个变量之间的变化关系．有这样一个情境：如图，小王从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他与路灯C的距离y随他与点A之间的距离x的变化而变化．下列函数中y与x之间的变化关系，最有可能与上述情境类似的是（）A．y=x B．y=x+3 C．y=D．y=（x﹣3）2+3 8．△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA=，cosB=，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．不能确定9．如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（）A．B．C．D．10．如图，小阳发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上．量得CD=8米，BC=20米，CD与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为（）A．9米B．28米C．（7+）米D．（14+2）米11．如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=BD，连接AC，若tanB=，则tan∠CAD的值（）A．B．C．D．12．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法：①2a+b=0;②当﹣1≤x≤3时，y＜0;③若（x1，y1）、（x2，y2）在函数图象上，当x1＜x2时，y1＜y2;④9a+3b+c=0;其中正确的是（）A．①②④B．①④C．①②③D．③④二．填空题（每小题3分，共36分）13．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12cm，BC边上的中线AD=10cm，则sinB=．14．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线．若AB=6，则点D到AB的距离是．15．已知二次函数y=（x﹣2）2+3，当x时，y随x的增大而减小．16．如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）两点，则它的对称轴为．17．将二次函数y=x2的图象沿x轴向左平移2个单位，则平移后的抛物线对应的二次函数的表达式为．18．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则a0，b0，c0．19．若抛物线y=x2﹣2x﹣2的顶点为A，与y轴的交点为B，则过A，B两点的直线的解析式为．20．图中直线是由直线l向上平移1个单位，向左平移2个单位得到的，则直线l对应的一次函数关系式为．21．抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是．22．某同学用描点法y=ax2+bx+c的图象时，列出了表：x…﹣2 ﹣1 0 1 2 …y…﹣11 ﹣2 1 ﹣2 ﹣5 …由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的y值是．23．孔明同学在距某电视塔塔底水平距离500米处，看塔顶的仰角为20°（不考虑身高因素），则此塔高约为米（结果保留整数，参考数据：sin20°≈0.3420，sin70°≈0.9397，tan20°≈0.3640，tan70°≈2.7475）．24．如图，机器人从A点，沿着西南方向，行了4个单位到达B点后，观察到原点O在它的南偏东60°的方向上，则原来A的坐标为（结果保留根号）．三．解答下列各题25．计算：①2cos30°+|﹣3|﹣0+（﹣1）2011②sin230°+sin45°tan60°+cos230°﹣tan30°．26．先化简，再求代数式的值，其中x=cos30°+．27．若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是（2，1），且经过点B（1，0），求该抛物线的函数解析式和它的对称轴．28．数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含45°的三角板的斜边与含30°的三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板直角顶点重合拼放在一起，点B，C，E在同一直线上，若BC=2，求AF的长．请你运用所学的数学知识解决这个问题．29．一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，AB=3m，已知木箱高BE=，斜面坡角为30°，求木箱端点E距地面AC的高度EF．30．随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高．某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y1与投资量x成正比例关系，如图①所示；种植花卉的利润y2与投资量x成二次函数关系，如图②所示（注：利润与投资量的单位：万元）（1）分别求出利润y1与y2关于投资量x的函数关系式；（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润，他能获取的最大利润是多少？参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．下列关系式中，属于二次函数的是（x为自变量）（）A．y=x2B．y=C．y=D．y=a2x2【考点】二次函数的定义．【分析】根据二次函数的定义判定即可．【解答】解：A、y=x2，是二次函数，正确；B、y=，被开方数含自变量，不是二次函数，错误；C、y=，分母中含自变量，不是二次函数，错误；D、a=0时，a2=0，不是二次函数，错误．故选A．2．二次函数y=x2﹣4x+7的最小值为（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3【考点】二次函数的最值．【分析】本题考查利用二次函数顶点式求最小（大）值的方法．【解答】解：∵原式可化为y=x2﹣4x+4+3=（x﹣2）2+3，∴最小值为3．故选C．3．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，sinA=，则AB的长为（）A．B．6 C．12 D．8【考点】锐角三角函数的定义．【分析】根据三角函数定义就可以解决．【解答】解：∵sinA==，∴AB=6．故选B．4．若锐角α满足cosα＜且tanα＜，则α的范围是（）A．30°＜α＜45°B．45°＜α＜60°C．60°＜α＜90°D．30°＜α＜60°【考点】锐角三角函数的增减性．【分析】先由特殊角的三角函数值及余弦函数随锐角的增大而减小，得出45°＜α＜90°；再由特殊角的三角函数值及正切函数随锐角的增大而增大，得出0＜α＜60°；从而得出45°＜α＜60°．【解答】解：∵α是锐角，∴cosα＞0，∵cosα＜，∴0＜cosα＜，又∵cos90°=0，cos45°=，∴45°＜α＜90°；∵α是锐角，∴tanα＞0，∵tanα＜，∴0＜tanα＜，又∵tan0°=0，tan60°=，0＜α＜60°；故45°＜α＜60°．故选B．5．如图，若一次函数y=ax+b的图象经过二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】二次函数的图象；一次函数图象与系数的关系．【分析】根据一次函数的性质判断出a、b的正负情况，再根据二次函数的性质判断出开口方向与对称轴，然后选择即可．【解答】解：∵y=ax+b的图象经过二、三、四象限，∴a＜0，b＜0，∴抛物线开口方向向下，∵抛物线对称轴为直线x=﹣＜0，∴对称轴在y轴的左边，纵观各选项，只有C选项符合．故选C．6．在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．【分析】根据一次函数和二次函数的解析式可得一次函数与y轴的交点为（0，2），二次函数的开口向上，据此判断二次函数的图象．【解答】解：当a＜0时，二次函数顶点在y轴负半轴，一次函数经过一、二、四象限；当a＞0时，二次函数顶点在y轴正半轴，一次函数经过一、二、三象限．故选C．7．我们常用“y随x的增大而增大（或减小）”来表示两个变量之间的变化关系．有这样一个情境：如图，小王从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他与路灯C的距离y随他与点A之间的距离x的变化而变化．下列函数中y与x之间的变化关系，最有可能与上述情境类似的是（）A．y=x B．y=x+3 C．y=D．y=（x﹣3）2+3【考点】中心投影．【分析】根据从A到路灯的正下方前他与路灯的距离逐渐减少，经过路灯后他与路灯的距离逐渐增加，可得答案．【解答】解：由题意，得从A到路灯的正下方前他与路灯的距离逐渐减少，经过路灯后他与路灯的距离逐渐增加．A、y随x的增加而增加，与题意不符，故A错误；B、y随x的增加而增加，与题意不符，故B错误；C、y随x的增加而减少，与题意不符，故C错误；D、当x＜3时，y随x的增加而减少；当x＞3时，y随x的增加而增加，故D正确；故选：D．8．△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA=，cosB=，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．不能确定【考点】特殊角的三角函数值．【分析】先根据特殊角的三角函数值求出∠A、∠B的度数，再根据三角形内角和定理求出∠C即可作出判断．【解答】解：∵△ABC中，∠A、∠B都是锐角，sinA=，cosB=，∴∠A=∠B=30°．∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣30°﹣30°=120°．故选：B．9．如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（）A．B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理；勾股定理的逆定理．【分析】过B点作BD⊥AC，得AB的长，AD的长，利用锐角三角函数得结果．【解答】解：过B点作BD⊥AC，如图，由勾股定理得，AB==，AD==2cosA===，故选：D．10．如图，小阳发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上．量得CD=8米，BC=20米，CD与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为（）A．9米B．28米C．（7+）米D．（14+2）米【考点】相似三角形的应用；解直角三角形的应用．【分析】先构造相应的直角三角形，利用勾股定理及影长与实物比求解．【解答】解：如图，延长AD交BC的延长线于点F，过点D作DE⊥BC的延长线于点E．∵∠DCE=30°，CD=8米，∴CE=CD•cos∠DCE=8×=4（米），∴DE=4米，设AB=x，EF=y，∵DE⊥BF，AB⊥BF，∴△DEF∽△ABF，∴=，=…①，∵1米杆的影长为2米，根据同一时间物高与影长成正比可得=…②，①②联立，解得x=（14+2）米．故选D．11．如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=BD，连接AC，若tanB=，则tan∠CAD的值（）A．B．C．D．【考点】解直角三角形．【分析】延长AD，过点C作CE⊥AD，垂足为E，由tanB=，即=，设AD=5x，则AB=3x，然后可证明△CDE∽△BDA，然后相似三角形的对应边成比例可得：，进而可得CE=x，DE=，从而可求tan∠CAD==．【解答】解：如图，延长AD，过点C作CE⊥AD，垂足为E，∵tanB=，即=，∴设AD=5x，则AB=3x，∵∠CDE=∠BDA，∠CED=∠BAD，∴△CDE∽△BDA，∴，∴CE=x，DE=，∴AE=，∴tan∠CAD==．故选D．12．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法：①2a+b=0②当﹣1≤x≤3时，y＜0③若（x1，y1）、（x2，y2）在函数图象上，当x1＜x2时，y1＜y2④9a+3b+c=0其中正确的是（）A．①②④ B．①④C．①②③ D．③④【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征．【分析】①函数图象的对称轴为：x=﹣==1，所以b=﹣2a，即2a+b=0；②由抛物线的开口方向可以确定a的符号，再利用图象与x轴的交点坐标以及数形结合思想得出当﹣1≤x≤3时，y≤0；③由图象可以得到抛物线对称轴为x=1，由此即可确定抛物线的增减性；④由图象过点（3，0），即可得出9a+3b+c=0．【解答】解：①∵函数图象的对称轴为：x=﹣==1，∴b=﹣2a，即2a+b=0，故①正确；②∵抛物线开口方向朝上，∴a＞0，又∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点为（﹣1，0）、（3，0），∴当﹣1≤x≤3时，y≤0，故②错误；③∵抛物线的对称轴为x=1，开口方向向上，∴若（x1，y1）、（x2，y2）在函数图象上，当1＜x1＜x2时，y1＜y2；当x1＜x2＜1时，y1＞y2；故③错误；④∵二次函数y=ax2+bx+c的图象过点（3，0），∴x=3时，y=0，即9a+3b+c=0，故④正确．故选：B．二．填空题（每小题3分，共36分）13．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12cm，BC边上的中线AD=10cm，则sinB=．【考点】勾股定理；锐角三角函数的定义．【分析】首先在Rt△ACD中，利用勾股定理求得AC的长度；然后在Rt△ABC中，利用勾股定理求得AB的长度；最后利用锐角三角函数的定义进行解答．【解答】解：如图，∵BC=12cm，AD是BC边上的中线，∴CD=BC=6cm．∴在Rt△ACD中，∠C=90°，CD=6cm，AD=10cm，∴由勾股定理得AC===8（cm）．∴在Rt△ABC中，由勾股定理得AB===4（cm）．∴sinB===．故答案是：．14．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线．若AB=6，则点D到AB的距离是．【考点】角平分线的性质．【分析】求出∠ABC，求出∠DBC，根据含30度角的直角三角形性质求出BC，CD，问题即可求出．【解答】解：∵∠C=90°，∠A=30°，∴∠ABC=180°﹣30°﹣90°=60°，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠DBC=∠ABC=30°，∴BC=AB=3，∴CD=BC•tan30°=3×=，∵BD是∠ABC的平分线，又∵角平线上点到角两边距离相等，∴点D到AB的距离=CD=，故答案为：．15．已知二次函数y=（x﹣2）2+3，当x＜2时，y随x的增大而减小．【考点】二次函数的性质．【分析】根据二次函数的性质，找到解析式中的a为1和对称轴；由a的值可判断出开口方向，在对称轴的两侧可以讨论函数的增减性．【解答】解：在y=（x﹣2）2+3中，a=1，∵a＞0，∴开口向上，由于函数的对称轴为x=2，当x＜2时，y的值随着x的值增大而减小；当x＞2时，y的值随着x的值增大而增大．故答案为：＜2．16．如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）两点，则它的对称轴为直线x=2．【考点】二次函数的性质．【分析】点（1，0），（3，0）的纵坐标相同，这两点一定关于对称轴对称，那么利用两点的横坐标可求对称轴．【解答】解：∵点（1，0），（3，0）的纵坐标相同，∴这两点一定关于对称轴对称，∴对称轴是：x==2．故答案为：直线x=2．17．将二次函数y=x2的图象沿x轴向左平移2个单位，则平移后的抛物线对应的二次函数的表达式为y=x2+4x+4．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】利用平移规律：左加右减，确定出平移后二次函数解析式即可．【解答】解：平移后二次函数解析式为：y=（x+2）2=x2+4x+4，故答案为：y=x2+4x+418．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则a＜0，b＜0，c＞0．【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：由抛物线的开口方向向下可推出a＜0；因为对称轴在y轴左侧，对称轴为x=＜0，又因为a＜0，∴b＜0；由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c＞0．19．若抛物线y=x2﹣2x﹣2的顶点为A，与y轴的交点为B，则过A，B两点的直线的解析式为y=﹣x﹣2．【考点】二次函数的性质；待定系数法求一次函数解析式．【分析】已知抛物线解析式，可求顶点坐标及y轴的交点坐标，由待定系数法求直线解析式即可．【解答】解：∵抛物线y=x2﹣2x﹣2=（x﹣1）2﹣3∴抛物线顶点坐标为（1，﹣3），与y轴的交点坐标为（0，﹣2），即A（l，﹣3），B（0，﹣2）设所求直线的解析式为y=kx+b则，解得，∴所求直线的解析式为y=﹣x﹣2，故答案为：y=﹣x﹣2．20．图中直线是由直线l向上平移1个单位，向左平移2个单位得到的，则直线l对应的一次函数关系式为y=x﹣2．【考点】一次函数图象与几何变换．【分析】先求得图中直线方程，然后利用平移的性质来求直线l的解析式．【解答】解：如图，设该直线的解析式为y=kx+1（k≠0），则0=﹣k+1，解得k=1．则该直线的解析式为y=x+1．∵图中直线是由直线l向上平移1个单位，向左平移2个单位得到的，∴由该直线向下平移1个单位，向右移2个单位得到直线l，∴直线l的解析式为：y=x+1﹣1﹣2=x﹣2．故答案为：y=x﹣2．21．抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是（1，2）．【考点】二次函数的性质．【分析】已知抛物线的解析式是一般式，用配方法转化为顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．【解答】解：∵y=x2﹣2x+3=x2﹣2x+1﹣1+3=（x﹣1）2+2，∴抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是（1，2）．故答案为：（1，2）．22．某同学用描点法y=ax2+bx+c的图象时，列出了表：x…﹣2 ﹣1 0 1 2 …y…﹣11 ﹣2 1 ﹣2 ﹣5 …由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的y值是﹣5．【考点】二次函数的性质．【分析】根据关于对称轴对称的自变量对应的函数值相等，可得答案．【解答】解：由函数图象关于对称轴对称，得（﹣1，﹣2），（0，1），（1，﹣2）在函数图象上，把（﹣1，﹣2），（0，1），（1，﹣2）代入函数解析式，得，解得．故函数解析式为y=﹣3x2+1．x=2时y=﹣11．故答案为﹣5．23．孔明同学在距某电视塔塔底水平距离500米处，看塔顶的仰角为20°（不考虑身高因素），则此塔高约为182米（结果保留整数，参考数据：sin20°≈0.3420，sin70°≈0.9397，tan20°≈0.3640，tan70°≈2.7475）．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】作出图形，可得AB=500米，∠A=20°，在Rt△ABC中，利用三角函数即可求得BC 的长度．【解答】解：在Rt△ABC中，AB=500米，∠BAC=20°，∵=tan20°，∴BC=ABtan20°=500×0.3640=182（米）．故答案为：182．24．如图，机器人从A点，沿着西南方向，行了4个单位到达B点后，观察到原点O在它的南偏东60°的方向上，则原来A的坐标为（结果保留根号）．【考点】坐标与图形性质；解直角三角形．【分析】过点B作y轴的垂线，垂足为点C．由题可知∠BAC=45°，则AC=BC=4；因为∠OBC=30°，所以OC=，所以AO=AC+CO=4+．【解答】解：过点B作y轴的垂线，垂足为点C．在Rt△ABC中，∵AB=4，∠BAC=45°，∴AC=BC=4．在Rt△OBC中，∵∠OBC=30°，∴OC=BC•tan30°=，∴AO=AC+CO=4+．∴A（0，4+）．三．解答下列各题25．计算：①2cos30°+|﹣3|﹣0+（﹣1）2011②sin230°+sin45°tan60°+cos230°﹣tan30°．【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】①原式利用特殊角的三角函数值，绝对值的代数意义，零指数幂，乘方的意义计算即可得到结果；②原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【解答】解：①原式=2×+3﹣﹣1=2；②原式=+×+﹣=1+．26．先化简，再求代数式的值，其中x=cos30°+．【考点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值．【分析】先将括号内的分式通分，然后进行加减，再将除法转化为乘法进行计算，然后化简x=cos30°+，将所得数值代入化简后的分式即可．【解答】解：原式=•=•=x+1，∵x=cos30°+=×+=+=2，∴原式=2+1=3．27．若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是（2，1），且经过点B（1，0），求该抛物线的函数解析式和它的对称轴．【考点】待定系数法求二次函数解析式．【分析】由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式y=a（x﹣2）2+1，然后把B点坐标代入求出a即可得到抛物线解析式，再利用二次函数的性质写出对称轴方程．【解答】解：设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+1，把B（1，0）代入得a+1=0，解得a=﹣1，所以抛物线解析式为y=﹣（x﹣2）2+1，即y=﹣x2+4x﹣3，抛物线的对称轴为直线x=2．28．数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含45°的三角板的斜边与含30°的三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板直角顶点重合拼放在一起，点B，C，E在同一直线上，若BC=2，求AF的长．请你运用所学的数学知识解决这个问题．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】根据正切的定义求出AC，根据正弦的定义求出CF，计算即可．【解答】解：在Rt△ABC中，BC=2，∠A=30°，AC==2，则EF=AC=2，∵∠E=45°，∴FC=EF•sinE=，∴AF=AC﹣FC=2﹣．29．一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，AB=3m，已知木箱高BE=，斜面坡角为30°，求木箱端点E距地面AC的高度EF．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】连接AE，在Rt△ABE中求出AE，根据∠EAB的正切值求出∠EAB的度数，继而得到∠EAF的度数，在Rt△EAF中，解出EF即可得出答案．【解答】解：连接AE，在Rt△ABE中，AB=3m，BE=m，则AE==2m，又∵tan∠EAB==，∴∠EAB=30°，在Rt△AEF中，∠EAF=∠EAB+∠BAC=60°，∴EF=AE×sin∠EAF=2×=3m．答：木箱端点E距地面AC的高度为3m．30．随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高．某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y1与投资量x成正比例关系，如图①所示；种植花卉的利润y2与投资量x成二次函数关系，如图②所示（注：利润与投资量的单位：万元）（1）分别求出利润y1与y2关于投资量x的函数关系式；（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润，他能获取的最大利润是多少？【考点】二次函数的应用；一次函数的应用．【分析】（1）可根据图象利用待定系数法求解函数解析式；（2）根据总利润=树木利润+花卉利润，列出函数关系式，再求函数的最值．【解答】解：（1）设y1=kx，由图①所示，函数y1=kx的图象过（1，2），所以2=k•1，k=2，故利润y1关于投资量x的函数关系式是y1=2x（x≥0）；∵该抛物线的顶点是原点，∴设y2=ax2，由图②所示，函数y2=ax2的图象过（2，2），∴2=a•22，，故利润y2关于投资量x的函数关系式是：y=x2（x≥0）；（2）设这位专业户投入种植花卉x万元（0≤x≤8），则投入种植树木（8﹣x）万元，他获得的利润是z万元，根据题意，得z=2（8﹣x）+x2=x2﹣2x+16=（x﹣2）2+14，当x=2时，z的最小值是14，∵0≤x≤8，∴﹣2≤x﹣2≤6，∴（x﹣2）2≤36，∴（x﹣2）2≤18，∴（x﹣2）2+14≤18+14=32，即z≤32，此时x=8，答：当x=8时，z的最大值是32．北师大版九年级上学期第二次月考数学试卷一、选择题（每题2分，共计18分）将正确答案的选项填入答题纸的表中）1．一元二次方程x2=4x的解是( )A．x=0B．x=4C．x1=2，x2=﹣2D．x1=0，x2=42．对角线互相垂直平分且相等的四边形一定是( )A．正方形B．菱形C．矩形D．等腰梯形3．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的( )A．B．C．D．4．已知关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣4=0的一个根为2，则另一根是( )A．4B．1C．2D．﹣25．随机掷一枚均匀的硬币两次，两次都是正面的概率是( )A．B．C．D．无法确定6．不能判断四边形ABCD是平行四边形的是( )A．AB=CD，AD=BCB．AB=CD，AB∥CDC．AB=CD，AD∥BCD．AB∥CD，AD∥BC7．若四边形的两条对角线相等，则顺次连结各边中点所得的四边形是( )A．梯形B．正方形C．矩形D．菱形8．下列说法不正确的是( )A．一组邻边相等的矩形是正方形B．对角线相等的菱形是正方形C．对角线互相垂直的矩形是正方形D．有一个角是直角的平行四边形是正方形9．整数K＜5，△ABC的三边长均满足方程x2﹣3x+8=0，则△ABC的周长是( ) A．6B．10C．12D．6或10或12二、填空题（每小题3分，共27分）10．请你给出一个m值，当m=__________，使方程x2+m=0有整数根．11．如图，菱形ABCD的周长为24cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于__________．12．如图所示，某小区规划在一个长为40 m、宽为26 m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的甬路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．若使每一块草坪的面积为144 m2，求甬路的宽度．若设甬路的宽度为xm，则x满足的方程为__________．13．菱形的两条对角线的长分别是8cm和6cm，则菱形的周长是__________，面积是__________．14．袋子里有8个白球，n个红球，经过大量实验，从中任取一个球恰好是白球的概率是，则n的值是__________．15．某商品经过两次降价，由每件100元降至81元，则平均每次降价的百分率为__________．16．已知m是方程x2+3x﹣1=0的一个根，则代数式2m2+6m﹣3的值为__________．17．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1=0的一个根是0，那么a的值为__________．18．如图，菱形ABCD中，P为对角线AC上一动点，E，F分别为AB、BC中点，若AC=8，BD=6，则PE+PF的最小值为__________．三、简答题（本大题共24分）19．（16分）解方程：（1）（x﹣1）2+2x（x﹣1）=0；（2）（2x﹣5）2﹣（x+4）2=0；（3）2x2+3x﹣1=0；（4）（x﹣1）（x+2）=70．20．用如图所示的两个分格均匀的转盘做游戏：分别转动两个转盘，若转盘停止后，指针指向一个数字（若指针恰好停在分格线上，则重转一次），用所指的两个数字作乘积，请用列表法或树状图求乘积大于10的概率．四、证明题：（本题共10分）21．如图，正方形ABCD边长为1，G为CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连接DE交BG的延长线于点H．（1）求证：BH⊥DE；（2）当BH垂直平分DE时，求CG的长度？请说明理由．（提示：要有辅助线哟？）五、应用题22．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？六、探索证明23．如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O，E、F、G、H分别是AD，BD，BC，AC 的中点．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）当四边形ABCD满足一个什么条件时，四边形EFGH是菱形？并证明你的结论．（3）当AB和CD满足什么条件时，四边形EFGH是正方形．（直接写出结论，不必写证明过程）一、选择题（每题2分，共计18分）将正确答案的选项填入答题纸的表中）1．一元二次方程x2=4x的解是( )A．x=0B．x=4C．x1=2，x2=﹣2D．x1=0，x2=4考点：解一元二次方程-因式分解法．专题：计算题．分析：方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．解答：解：方程移项得：x2﹣4x=0，分解因式得：x（x﹣4）=0，解得：x1=0，x2=4．故选D．点评：此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握解法是解本题的关键．2．对角线互相垂直平分且相等的四边形一定是( )A．正方形B．菱形C．矩形D．等腰梯形考点：正方形的判定；线段垂直平分线的性质．专题：证明题．分析：根据特殊四边形的判定方法：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形判断即可．解答：解：根据正方形的判别方法知，对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．故选A点评：本题是考查正方形的判别方法．判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．3．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的( )A．B．D．考点：矩形的性质．分析：本题主要根据矩形的性质，得△EBO≌△FDO，再由△AOB与△OBC同底等高，△AOB 与△ABC同底且△AOB的高是△ABC高的得出结论．解答：解：∵四边形为矩形，∴OB=OD=OA=OC，在△EBO与△FDO中，∵，∴△EBO≌△FDO（ASA），∴阴影部分的面积=S△AEO+S△EBO=S△AOB，∵△AOB与△ABC同底且△AOB的高是△ABC高的，∴S△AOB=S△OBC=S矩形ABC D．故选：B．点评：本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．4．已知关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣4=0的一个根为2，则另一根是( )A．4B．1C．2D．﹣2考点：根与系数的关系．分析：可将该方程的已知根2代入两根之积公式，解方程即可求出方程的另一根．解答：解：设方程的另一根为x1，又∵x=2，∴x1•2=﹣4，解得x1=﹣2．故选D．点评：解决此类题目时要认真审题，确定好各系数的数值与正负，然后确定选择哪一个根与系数的关系式．5．随机掷一枚均匀的硬币两次，两次都是正面的概率是( )A．B．D．无法确定考点：概率公式．分析：列举出所有情况，看两次都是正面的情况占总情况的多少即可．解答：解：随机掷一枚均匀的硬币两次，共4种情况：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）；两次都是正面是其中的一种情况；所以两次都是正面的概率是．故选C．点评：此题考查概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．6．不能判断四边形ABCD是平行四边形的是( )A．AB=CD，AD=BCB．AB=CD，AB∥CDC．AB=CD，AD∥BCD．AB∥CD，AD∥BC考点：平行四边形的判定．分析：A、B、D，都能判定是平行四边形，只有C不能，因为等腰梯形也满足这样的条件，但不是平行四边形．解答：解：根据平行四边形的判定：A、B、D可判定为平行四边形，而C不具备平行四边形的条件，故选：C．点评：平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．7．若四边形的两条对角线相等，则顺次连结各边中点所得的四边形是( )A．梯形B．正方形C．矩形D．菱形考点：中点四边形．分析：顺次连接对角线相等的四边形各边中点，所得四边形是菱形，理由为：根据题意画出四边形ABCD，E，F，G，H分别为各边的中点，写出已知，求证，由E，H分别为AB，AD的中点，得到EH为三角形ABD的中位线，根据三角形的中位线定理得到EH平行于BD，且等于BD的一半，同理FG平行于BD，且等于BD的一半，可得出EH与FG平行且相等，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得出EFGH为平行四边形，再由EF为三角。
北师大版九年级上学期第二次月考数学试题 (含答案) (5)
北师大版九年级上学期第二次月考数学试卷一、选择题（每小题3分，共45分）1．平行四边形ABCD是正方形需增加的条件是（）A．邻边相等B．邻角相等C．对角线互相垂直D．对角线互相垂直且相等2．正方形具备而菱形不具备的性质是（）A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线相等D．每条对角线平分一组对角3．下列命题是真命题的是（）A．有一个角是直角的四边形是矩形B．有一组邻边相等的四边形是菱形C．有三个角是直角的四边形是矩形D．有三条边相等的四边形是菱形4．依次连接菱形的各边中点，得到的四边形是（）A．矩形B．平行四边形C．菱形D．梯形5．在平行四边形、菱形、矩形、正方形中，能使一个点到各顶点距离相等的图形是（）A．菱形和矩形B．菱形和正方形C．矩形和正方形D．平行四边形和菱形6．菱形的边长是2cm，一条对角线的长是2cm，则另一条对角线的长是（）A．4cm B．cm C．2cm D．2cm7．矩形的对角线长10cm，顺次连结矩形四边中点所得四边形的周长为（）A．40 cm B．10 cm C．5 cm D．20 cm8．如图，正方形ABCD的对角线AC是菱形AEFC的一边，则∠F AB等于（）A．135°B．45°C．22.5°D．30°9．方程2x（x﹣3）=5（x﹣3）的根是（）A．x=B．x=3 C．x1=，x2=3 D．x1=﹣，x2=310．一元二次方程x2﹣x+2=0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．无实数根D．只有一个实数根11．要使分式的值为0，则实数x为（）A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．412．已知一个三角形的两边长是方程x2﹣8x+15=0的两根，则第三边y的取值范围是（）A．y＜8 B．3＜y＜5 C．2＜y＜8 D．无法确定13．用配方法解方程：x2﹣4x+2=0，下列配方正确的是（）A．（x﹣2）2=2 B．（x+2）2=2 C．（x﹣2）2=﹣2 D．（x﹣2）2=6 14．二次三项式x2﹣8x+22的最小值为（）A．5 B．6 C．7 D．815．若方程（x﹣4）2=a有实数解，则a的取值范围是（）A．a≤0B．a≥0C．a＞0 D．无法确定二、填空题：（每小题3分，共30分）16．正方形的对角线长为10cm，则正方形的边长是．17．如图，矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边上，如果∠BAE=50°，则∠DAF=．18．如图所示，把两个大小完全一样的矩形拼成“L”形图案，则∠F AC=度，∠FCA=度．19．菱形的对角线长分别为6和8，则此菱形的周长为，面积为．20．若等腰三角形腰长为4cm，腰上的高为2cm，该等腰三角形的顶角为．21．已知x=﹣1是关于x的方程2x2+ax﹣a2=0的一个根，则a=．22．把方程x2﹣4x=﹣5整理成一般形式后，得其中常数项是．23．方程是一元二次方程，则m=．24．若式子4x2﹣nx+1是一个完全平方式，则n的值为．25．已知x2+4x﹣2=0，那么3x2+12x+2002的值为．三、解答与证明题（共75分）26．用适当的方法解方程：（1）x2+4x=﹣3 （2）2x2+3x﹣4=0（3）25x2﹣36=0 （4）（x+4）2=5（x+4）27．已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，且BE=DF．求证：（1）△ABE≌△ADF；（2）∠AEF=∠AFE．28．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥B D．求证：四边形OCED是菱形．29．已知：如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为∠ACB的平分线，DE⊥BC于点E，DF⊥AC 于点F．求证：四边形CEDF是正方形．30．如图，在矩形ABCD中，AB=20 cm，动点P从点A开始沿AB边以4 cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CD边以1 cm/s的速度运动，点P和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，运动点的运动时间为t s，则当t为何值时，四边形APQD 是矩形？31．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1=0有两个相等的实数根，求m的值及方程的根．参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共45分）1．平行四边形ABCD是正方形需增加的条件是（）A．邻边相等 B．邻角相等C．对角线互相垂直D．对角线互相垂直且相等【考点】正方形的判定；平行四边形的性质．【分析】可以针对正方形的判定方法，由给出条件四边形ABCD为平行四边形，加上条件AC=BD根据对角线相等的平行四边形为矩形，得到ABCD为矩形，再加上对角线AC与BD 垂直，根据对角线垂直的矩形是正方形即可得证．【解答】解：如图所示：添加的条件是AC=BD且AC⊥BD，平行四边形ABCD为正方形；理由如下：添加的条件时AC=BD且AC⊥BD时；∵四边形ABCD是平行四边形．又AC=BD，∴四边形ABCD是矩形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，∴四边形ABCD是正方形；故选：D．2．正方形具备而菱形不具备的性质是（）A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线相等D．每条对角线平分一组对角【考点】正方形的性质；菱形的性质．【分析】正方形具有矩形和菱形的性质，故根据正方形和菱形的性质即可解题．【解答】解：（1）平行四边形的对角线互相平分，所以菱形和正方形对角线均互相平分，故本选项错误；（2）菱形和正方形的对角线均互相垂直，故本选项错误；（3）正方形对角线相等，而菱形对角线不相等，故本选项正确；（4）对角线即角平分线是菱形的性质，正方形具有全部菱形的性质，所以本选项错误．故选C．3．下列命题是真命题的是（）A．有一个角是直角的四边形是矩形B．有一组邻边相等的四边形是菱形C．有三个角是直角的四边形是矩形D．有三条边相等的四边形是菱形【考点】菱形的判定；矩形的判定；命题与定理．【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【解答】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故选项错误；B、四条边都相等的四边形是菱形，故选项错误；C、有三个角是直角的四边形是矩形，故选项正确；D、四条边都相等的四边形是菱形，故选项错误．故选C．4．依次连接菱形的各边中点，得到的四边形是（）A．矩形 B．平行四边形C．菱形 D．梯形【考点】中点四边形．【分析】连接EF、FG、GH、HE，根据菱形的性质得到AC⊥BD，根据三角形中位线定理得到FG⊥HG，GH⊥EH，HE⊥EF，根据矩形的判定定理解答即可．【解答】解：连接EF、FG、GH、HE，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵E，F，G，H是中点，∴EF∥BD，FG∥AC，∴EF⊥FG，同理：FG⊥HG，GH⊥EH，HE⊥EF，∴四边形EFGH是矩形．故选：A．5．在平行四边形、菱形、矩形、正方形中，能使一个点到各顶点距离相等的图形是（）A．菱形和矩形B．菱形和正方形C．矩形和正方形 D．平行四边形和菱形【考点】正方形的性质；平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质．【分析】若四边形的对角线互相平分且相等，则它们的对角线的交点到各顶点的距离相等，据此进行判断即可．【解答】解：∵矩形、正方形的对角线互相平分且相等，∴它们的对角线的交点到各顶点的距离相等，在平行四边形、菱形、矩形、正方形中对角线相等且互相平分的只有：矩形和正方形．故选：C．6．菱形的边长是2cm，一条对角线的长是2cm，则另一条对角线的长是（）A．4cm B．cm C．2cm D．2cm【考点】菱形的性质；勾股定理．【分析】根据菱形对角线互相平分，可得BO=OD=cm，且AB2=AO2+BO2，已知AB，BO 即可求AO的值，即可解题．【解答】解：已知AB=2cm，∵菱形对角线互相平分，∴BO=OD=cm在Rt△ABO中，AB2=AO2+BO2AB=2cm，BO=cm，∴AO=1cm，故菱形的另一条对角线AC长为2AO=2cm，故选C．7．矩形的对角线长10cm，顺次连结矩形四边中点所得四边形的周长为（）A．40 cm B．10 cm C．5 cm D．20 cm【考点】中点四边形．【分析】本题主要根据矩形的性质以及三角形中位线定理进行做题．【解答】解：因为矩形的对角线相等，所以AC=BD=10cm，∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD、的中点，∴EH=GF=BD=×10=5cm，EF=GH=AC=×10=5cm，故顺次连接矩形四边中点所得的四边形周长为EH+GF+EF+GH=5+5+5+5=20cm．故选D．8．如图，正方形ABCD的对角线AC是菱形AEFC的一边，则∠F AB等于（）A．135°B．45°C．22.5° D．30°【考点】正方形的性质；菱形的性质．【分析】根据正方形的对角线平分一组对角求出∠BAC=45°，根据菱形的对角线平分一组对角可得∠F AB=∠BAC，计算即可得解．【解答】解：∵AC是正方形的对角线，∴∠BAC=×90°=45°，∵AF是菱形AEFC的对角线，∴∠F AB=∠BAC=×45°=22.5°．故选C．9．方程2x（x﹣3）=5（x﹣3）的根是（）A．x= B．x=3 C．x1=，x2=3 D．x1=﹣，x2=3【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．【分析】先把方程变形为：2x（x﹣3）﹣5（x﹣3）=0，再把方程左边进行因式分解得（x ﹣3）（2x﹣5）=0，方程就可化为两个一元一次方程x﹣3=0或2x﹣5=0，解两个一元一次方程即可．【解答】解：方程变形为：2x（x﹣3）﹣5（x﹣3）=0，∴（x﹣3）（2x﹣5）=0，∴x﹣3=0或2x﹣5=0，∴x1=3，x2=．故选C．10．一元二次方程x2﹣x+2=0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．无实数根 D．只有一个实数根【考点】根的判别式．【分析】先计算出根的判别式△的值，根据△的值就可以判断根的情况．【解答】解：△=b2﹣4ac=（﹣1）2﹣4×1×2=﹣7，∵﹣7＜0，∴原方程没有实数根．故选C．11．要使分式的值为0，则实数x为（）A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．4【考点】分式的值为零的条件．【分析】直接利用分式的值为0，则分子为0，分母不能为0，进而得出答案．【解答】解：要使分式的值为0，则x2﹣4=0，x+2≠0，解得：x=2．故选：A．12．已知一个三角形的两边长是方程x2﹣8x+15=0的两根，则第三边y的取值范围是（）A．y＜8 B．3＜y＜5 C．2＜y＜8 D．无法确定【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；三角形三边关系．【分析】求出方程的两根确定出三角形两条边，即可求出第三边的范围．【解答】解：方程x2﹣8x+15=0，分解因式得：（x﹣3）（x﹣5）=0，可得x﹣3=0或x﹣5=0，解得：x1=3，x2=5，∴第三边的范围为5﹣3＜y＜5+3，即2＜y＜8．故选C13．用配方法解方程：x2﹣4x+2=0，下列配方正确的是（）A．（x﹣2）2=2 B．（x+2）2=2 C．（x﹣2）2=﹣2 D．（x﹣2）2=6【考点】解一元二次方程﹣配方法．【分析】在本题中，把常数项2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣4的一半的平方．【解答】解：把方程x2﹣4x+2=0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣4x=﹣2，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣4x+4=﹣2+4，配方得（x﹣2）2=2．故选：A．14．二次三项式x2﹣8x+22的最小值为（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】配方法的应用；非负数的性质：偶次方．【分析】将x2﹣8x+22配方成（x﹣4）2+6的形式后即可确定最值．【解答】解：∵x2﹣8x+22=x2﹣8x+16﹣16+22=（x﹣4）2+6，∴最小值为6，故选B．15．若方程（x﹣4）2=a有实数解，则a的取值范围是（）A．a≤0B．a≥0C．a＞0 D．无法确定【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法．【分析】利用直接开平方法解方程，然后根据二次根式的被开方数的非负数列出关于a的不等式方程，然后求得a的取值范围．【解答】解：∵方程（x﹣4）2=a有实数解，∴x﹣4=±，∴a≥0；故选B．二、填空题：（每小题3分，共30分）16．正方形的对角线长为10cm，则正方形的边长是5cm．【考点】正方形的性质．【分析】根据勾股定理列式计算即可．【解答】解：如图，设正方形的边长为a，则AB=BC=a，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得：a2+a2=AC2，∵AC=10，∴2a2=102=100，a2=50，a=，∵a＞0，∴a=5，∴正方形的边长为5cm，故答案为：5cm．17．如图，矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边上，如果∠BAE=50°，则∠DAF=20°．．【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．【分析】先依据直角三角形两锐角互余求得求得∠BAE的度数，然后依据平行线的性质可求得∠EAD的度数，然后依据翻折的性质得到∠EAF=∠DAF．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠B=90°，AD∥B C．∵∠B=90°，∠BAE=50°，∴∠AEB=40°．∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EAD=40°．由翻折的性质可知：∠EAF=∠DAF．∴∠DAF=20°．故答案为：20°．18．如图所示，把两个大小完全一样的矩形拼成“L”形图案，则∠F AC=90度，∠FCA= 45度．【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】两个大小完全一样的矩形拼成“L”形图案所构成的△AFG≌△CAB，所以AF=AC，∠F AC=90°，∠FCA=45度．【解答】解：由已知△AFG≌△CAB，∴∠AFG=∠CAB，AF=AC∵∠AFG+∠F AG=90°，∴∠CAB+∠F AG=90°，∴∠F AC=90°．又∵AF=AC，∴∠FCA=×=45°．故答案为：90；45．19．菱形的对角线长分别为6和8，则此菱形的周长为20，面积为24．【考点】菱形的性质．【分析】由菱形的对角线长分别为6和8，根据菱形的面积等于对角线积的一半，可求得菱形的面积，由勾股定理可求得AB的长，继而求得周长．【解答】解：如图，AC=6，BD=8，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=AC=3，OB=BD=4，∴AB==5，∴菱形的周长是：4AB=4×5=20，面积是：AC•BD=×6×8=24．故答案为：20，24．20．若等腰三角形腰长为4cm，腰上的高为2cm，该等腰三角形的顶角为30°或150°．．【考点】含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质．【分析】根据题意作出图形分两种情况，高线在三角形内、高线在三角形外，然后再解直角三角形即可．【解答】解：由题意我们可作图（1）∵AC=4，CD=2，CD⊥AB，∴sin∠A==，∴∠A=30°，（2）∵AC=4，CD=2，CD⊥BD，∴sin∠CAD==，∴∠DAC=30°，∴∠BAC=150°．故答案为：30°或150°．21．已知x=﹣1是关于x的方程2x2+ax﹣a2=0的一个根，则a=﹣2或1．【考点】一元二次方程的解．【分析】方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值，把x=﹣1代入方程，即可得到一个关于a的方程，即可求得a的值．【解答】解：根据题意得：2﹣a﹣a2=0解得a=﹣2或1．故答案为：﹣2或1．22．把方程x2﹣4x=﹣5整理成一般形式后，得其中常数项是5．【考点】一元二次方程的一般形式．【分析】一元二次方程ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）的a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项．【解答】解：x2﹣4x=﹣5整理成一般形式为x2﹣4x+5=0．其中常数项是5，故答案为：5．23．方程是一元二次方程，则m=﹣2．【考点】一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，未知数的次数为2，可得m的取值范围．【解答】解：∵关于x的方程是一元二次方，∴，解得：m=﹣2．故答案为：﹣2．24．若式子4x2﹣nx+1是一个完全平方式，则n的值为±4．【考点】完全平方式．【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出n的值．【解答】解：∵4x2﹣nx+1是完全平方式，∴n=±4，故答案为：±425．已知x2+4x﹣2=0，那么3x2+12x+2002的值为2008．【考点】代数式求值．【分析】把代数式3x2+12x+2002变形为x2+4x形式，再代入求值即可．【解答】解：∵x2+4x﹣2=0，∴x2+4x=2，∴原式=3（x2+4x）+2002=6+2002=2008．故答案为：2008．三、解答与证明题（共75分）26．用适当的方法解方程：（1）x2+4x=﹣3（2）2x2+3x﹣4=0（3）25x2﹣36=0（4）（x+4）2=5（x+4）【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣直接开平方法；解一元二次方程﹣配方法．【分析】（1）先移项，然后根据因式分解法可以解答此方程；（2）根据公式法可以解答此方程；（3）根据因式分解法可以解答此方程；（4）先移项，然后根据提公因式法可以解答此方程．【解答】解：（1）x2+4x=﹣3x2+4x+3=0，∴（x+3）（x+1）=0，∴x+3=0或x+1=0，解得，x1=﹣3，x2=﹣1；（2）2x2+3x﹣4=0∵a=2，b=3，c=﹣4，∴△=32﹣4×2×（﹣4）=41＞0，∴x==，∴x1=，x2=；（3）25x2﹣36=0（5x+6）（5x﹣6）=0∴5x+6=0或5x﹣6=0，解得，x1=﹣，x2=；（4）（x+4）2=5（x+4）（x+4）2﹣5（x+4）=0（x+4）（x+4﹣5）=0（x+4）（x﹣1）=0∴x+4=0，x﹣1=0，解得，x1=﹣4，x2=1．27．已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，且BE=DF．求证：（1）△ABE≌△ADF；（2）∠AEF=∠AFE．【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】在菱形中，由SAS求得△ABF≌△ADF，再由等边对等角得到∠AEF=∠AFE．【解答】证明：（1）∵ABCD是菱形，∴AB=AD∠B=∠D．又∵BE=DF，∴△ABE≌△ADF．（2）∵△ABE≌△ADF，∴AE=AF，∴∠AEF=∠AFE．28．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥B D．求证：四边形OCED是菱形．【考点】菱形的判定；矩形的性质．【分析】首先根据两对边互相平行的四边形是平行四边形证明四边形OCED是平行四边形，再根据矩形的性质可得OC=OD，即可利用一组邻边相等的平行四边形是菱形判定出结论．【解答】证明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴OC=OD，∴四边形OCED是菱形．29．已知：如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为∠ACB的平分线，DE⊥BC于点E，DF⊥AC 于点F．求证：四边形CEDF是正方形．【考点】正方形的判定；角平分线的性质；矩形的判定．【分析】要证四边形CEDF是正方形，则要先证明四边形DECF是矩形，已知CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，故可根据有三个角是直角的四边形是矩形判定，再根据正方形的判定方法判这四边形CEDF是正方形．【解答】证明：∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，∴DE=DF，∠DFC=90°，∠DEC=90°，又∵∠ACB=90°，∴四边形DECF是矩形，∵DE=DF，∴矩形DECF是正方形．30．如图，在矩形ABCD中，AB=20 cm，动点P从点A开始沿AB边以4 cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CD边以1 cm/s的速度运动，点P和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，运动点的运动时间为t s，则当t为何值时，四边形APQD 是矩形？【考点】矩形的判定与性质．【分析】如图，根据题意表示出AP=4t，DQ=20﹣t；根据菱形的对边相等，求出t的值，即可解决问题．【解答】解：由题意得：AP=4t，DQ=20﹣t；∵四边形APQD是矩形，∴AP=DQ，即4t=20﹣t，解得：t=4（s）．即当t=4s时，四边形APQD是矩形．31．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1=0有两个相等的实数根，求m的值及方程的根．【考点】根的判别式．【分析】首先根据原方程根的情况，利用根的判别式求出m的值，即可确定原一元二次方程，进而可求出方程的根．【解答】解：由题意可知△=0，即（﹣4）2﹣4（m﹣1）=0，解得m=5．当m=5时，原方程化为x2﹣4x+4=0．解得x1=x2=2．所以原方程的根为x1=x2=2．北师大版九年级上学期第二次月考数学试卷一、精心选一选，相信你一定能选对！（每题3分，共36分）1．如图，在平行四边形ABCD中，AB=2，BC=3，∠ABC、∠BCD的平分线分别交AD于点E、F，则EF的长是（）A．3 B．2C．1.5D．12．如图，EF过▱ABCD对角线的交点O，并交AD于E，交BC于F，若AB=4，BC=5，OE=1.5，则四边形EFCD的周长是（）A．16 B．14 C．12 D．103．平行四边形一边长为10，那么它的对角线长度和可以为（）A．8和12B．20和30 C．6和8 D．4和64．不能判定四边形ABCD为平行四边形的题设是（）A．AB平行且等于CD B．∠A=∠C，∠B=∠DC．AB=AD，BC=CD D．AB=CD，AD=BC5．下面性质中菱形有而矩形没有的是（）A．邻角互补B．内角和为360°C．对角线相等D．对角线互相垂直6．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．对角线相等B．对角线互相垂直平分C．对角线平分一组对角D．四条边相等7．顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形一定是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形8．下列各图中，不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．9．下列命题中，真命题是（）A．有两边相等的平行四边形是菱形B．有一个角是直角的四边形是直角梯形C．四个角相等的菱形是正方形D．两条对角线相等的四边形是矩形10．如图，四边形ABCD为矩形纸片，把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E 处，折痕为AF，若CD=6，则AF等于（）A．B．C．D．811．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边AB、CD上移动，且AE=CF，则四边形不可能是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．梯形12．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AC=8cm，BD=6cm，则菱形的高为（）A．cm B．cm C．cm D．cm二、细心填一填，相信你填得又快又准！（每题4分，共20分）13．▱ABCD中，∠A=50°，则∠B=，∠C=，∠D．14．已知菱形两条对角线的长分别为5cm和8cm，则这个菱形的面积是cm2．15．矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和3cm两部分，则这个矩形的面积为cm2．16．对角线长为2的正方形的周长为，面积为．17．等腰梯形的上、下底分别是3cm和5cm，一个角是135°，则等腰梯形的面积为．三、用心做一做，培养你的综合运用能力，相信你是最棒的18．如图，E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，且AE=CF．求证：△ADF≌△CBE．19．已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F是直线AC上的两点，并且AE=CF．求证：四边形BFDE是平行四边形．20．已知：如图中，AD是∠A的角平分线，DE∥AC，DF∥A B．求证：四边形AEDF是菱形．21．如图，已知E是▱ABCD中BC边的中点，连接AE并延长AE交DC的延长线于点F．（1）求证：△ABE≌△FCE．（2）连接AC、BF，若∠AEC=2∠ABC，求证：四边形ABFC为矩形．22．证明：等腰梯形上底的中点与下底两端点的距离相等．23．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥B D．求证：四边形OCED是菱形．24．等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，DE⊥BC与E，AE=BE，BF⊥AE与F，线段BF与图中的哪一条线段相等？先写出您的猜想，再加以证明．25．如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于E．（1）试说明EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论；（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论．参考答案与试题解析一、精心选一选，相信你一定能选对！（每题3分，共36分）1．如图，在平行四边形ABCD中，AB=2，BC=3，∠ABC、∠BCD的平分线分别交AD于点E、F，则EF的长是（）A．3 B．2 C． 1.5D．1考点：平行四边形的性质；角平分线的定义；等腰三角形的判定与性质．专题：数形结合．分析：根据平行四边形的性质可知∠DFC=∠FCB，又因为CF平分∠BCD，所以∠DCF=∠FCB，则∠DFC=∠DCF，则DF=DC，同理可证AE=AB，那么EF就可表示为AE+FD﹣BC=2AB﹣BC，继而可得出答案．解答：解：∵平行四边形ABCD，∴∠DFC=∠FCB，又CF平分∠BCD，∴∠DCF=∠FCB，∴∠DFC=∠DCF，∴DF=DC，同理可证：AE=AB，∴2AB﹣BC=AE+FD﹣BC=EF=1cm．故选D．点评：本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题，难度不大，关键是解题技巧的掌握．2．如图，EF过▱ABCD对角线的交点O，并交AD于E，交BC于F，若AB=4，BC=5，OE=1.5，则四边形EFCD的周长是（）A．16 B．14 C．12 D．10考点：平行四边形的性质．分析：先利用平行四边形的性质求出AB、CD、BC、AD的值，可利用全等的性质得到△AEO ≌△CFO，即可求出四边形的周长．解答：解：已知AB=4，BC=5，OE=1.5，根据平行四边形的性质，AB=CD=4，BC=AD=5，在△AEO和△CFO中OA=OC，∠OAE=∠OCF，∠AOE=∠COF，所以△AEO≌△CFO，OE=OF=1.5，则EFCD的周长=ED+CD+CF+EF=（DE+CF）+AB+EF=5+4+3=12．则EFCD的周长是12．故选C．点评：本题考查平行四边形的性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．3．平行四边形一边长为10，那么它的对角线长度和可以为（）A．8和12 B．20和30 C．6和8 D．4和6考点：平行四边形的性质；三角形三边关系．分析：平行四边形的长为10的一边，与两条对角线的一半构成的三角形的另两边应满足三角形的三边关系，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．根据这个结论可以判断选择哪一个．解答：解：如图，设两条对角线的长度是x，y，即三角形的另两边是x，y，那么得到不等式组，解得．所以符合条件的对角线只有20和30它的两条对角线的长度可以是20和30．故选B．点评：本题主要考查平行四边形对角线互相平分的性质以及三角形的三边关系，有关“对角线范围”的题，应联系“三角形两边之和、差与第三边关系”知识点来解决．4．不能判定四边形ABCD为平行四边形的题设是（）A．AB平行且等于CD B．∠A=∠C，∠B=∠DC．AB=AD，BC=CD D．AB=CD，AD=BC考点：平行四边形的判定．分析：根据平行四边形的判断定理，逐项分析，作出判断即可．解答：解：A、AB平行且等于CD，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故选项正确；B、∠A=∠C，∠B=∠D，两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故选项正确；C、AB=AD，BC=CD，AB与AD、BC与CD属于邻边，不能判定四边形为平行四边形，故选项错误；D、AB=CD，AD=BC，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故选项正确．故选C．点评：本题考查平行四边形的判定方法．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形．5．下面性质中菱形有而矩形没有的是（）A．邻角互补B．内角和为360°C．对角线相等D．对角线互相垂直考点：菱形的性质；矩形的性质．分析：本题要熟知菱形以及矩形的性质方能解答要对比两者之间的相同点以及不同点．解答：解：A、∵平行四边形的邻角互补，∴矩形的邻角互补．故矩形和菱形的邻角均互补，故A错；B、平行四边形的内角和为360，矩形内角和为360度．故矩形和菱形的内角和都是360°，故B错；C、矩形的对角线相等，菱形的对角线互相垂直且平分，故C错；D、菱形对角线互相垂直，矩形的对角线不互相垂直．故选D．点评：根据菱形对角线互相垂直和矩形对角线相等的性质解答．6．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．对角线相等B．对角线互相垂直平分C．对角线平分一组对角D．四条边相等考点：正方形的性质；菱形的性质．分析：根据正方形与菱形的性质即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．解答：解：正方形的性质有：四条边都相等，四个角都是直角，对角线互相平分垂直且相等，而且平分一组对角；菱形的性质有：四条边都相等，对角线互相垂直平分．∴正方形具有而菱形不一定具有的性质是：对角线相等．故选A．点评：此题考查了正方形与菱形的性质．此题比较简单，解题的关键是熟记正方形与菱形的性质定理．7．顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形一定是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形考点：平行四边形的判定；三角形中位线定理．分析：顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形，一组对边平行并且等于原来四边形某一对角线的一半，说明新四边形的对边平行且相等．所以是平行四边形．解答：解：连接BD，已知任意四边形ABCD，E、F、G、H分别是各边中点．∵在△ABD中，E、H是AB、AD中点，∴EH∥BD，EH=B D．∵在△BCD中，G、F是DC、BC中点，∴GF∥BD，GF=BD，∴EH=GF，EH∥GF，∴四边形EFGH为平行四边形．故选：A．点评：本题三角形的中位线的性质考查了平行四边形的判定：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．8．下列各图中，不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．考点：中心对称图形；生活中的旋转现象．分析：根据中心对称图形的概念和各图形的结构特点求解．解答：解：A、C、D都既是轴对称图形，也是中心对称图形；B、只是轴对称图形．故选：B．点评：掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要明确中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后重合．9．下列命题中，真命题是（）A．有两边相等的平行四边形是菱形B．有一个角是直角的四边形是直角梯形C．四个角相等的菱形是正方形D．两条对角线相等的四边形是矩形考点：正方形的判定；菱形的判定；矩形的判定；直角梯形．分析：做题时首先知道各种四边形的判定方法，然后作答．解答：解：A、邻边相等的平行四边形是菱形，有两边相等的平行四边形是菱形，并没有说明是邻边，故A错误；B、有一个角是直角的四边形是直角梯形，还可能是正方形或矩形，故B错误；C、四个角相等的菱形是正方形，故C正确；D、两条对角线相等的四边形是矩形，还可能是梯形或正方形，故D错误．故选：C．点评：本题主要考查各种四边形的判定，基础题要细心．10．如图，四边形ABCD为矩形纸片，把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E 处，折痕为AF，若CD=6，则AF等于（）A．B．C．D．8考点：矩形的性质．专题：操作型．分析：先图形折叠的性质得到BF=EF，AE=AB，再由E是CD的中点可求出ED的长，再求出∠EAD的度数，设FE=x，则AF=2x，在△ADE中利用勾股定理即可求解．解答：解：由折叠的性质得BF=EF，AE=AB，。
北师大版九年级上学期第二次月考试数学试卷(解析版) (精选5套试题) (1)
北师大版九年级上学期第二次月考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在各小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡上指定的位置填符合要求的选项字母代号.）1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（）A．3（x+1）2=2（x+1）;B．C．ax2+bx+c=0 D．x2+2x=x2﹣12．一元二次方程x2+3x=0的解是（）A．x=﹣3 B．x1=0，x2=3 C．x1=0，x2=﹣3 D．x=33．下列一元二次方程中，没有实数根的方程是（）A．x2﹣3x+1=0 B．x2+2x﹣1=0 C．x2﹣2x+1=0 D．x2+2x+3=04．解方程（5x﹣1）2=3（5x﹣1）的适当方法是（）A．开平方法B．配方法C．公式法D．因式分解法5．已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜﹣2 B．k＜2 C．k＞2 D．k＜2且k≠16．函数y=﹣2（x﹣3）2+6的顶点坐标是（）A．（﹣3，6）B．（3，﹣6）C．（3，6）D．（6，3）7．若函数y=a是二次函数且图象开口向上，则a=（）A．﹣2 B．4 C．4或﹣2 D．4或38．下列说法错误的是（）A．二次函数y=3x2中，当x＞0时，y随x的增大而增大B．二次函数y=﹣6x2中，当x=0时，y有最大值0C．a越大图象开口越小，a越小图象开口越大D．不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2（a≠0）的顶点一定是坐标原点9．若A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（﹣3，y3）为二次函数y=ax2（a＜0）的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y210．如图，把抛物线y=x2沿直线y=x平移个单位后，其顶点在直线上的A处，则平移后的抛物线解析式是（）A．y=（x+1）2﹣1 B．y=（x+1）2+1 C．y=（x﹣1）2+1 D．y=（x﹣1）2﹣1二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.只需要将结果直接填写在答题卡对应题号处的横线上，不必写出解答过程，不填、错填，一律得0分）11．把函数y=2x2的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的二次函数解析式是．12．方程（2x+5）2=0的解是．13．若二次函数y=mx2+x+m（m﹣2）的图象经过原点，则m的值为．14．在一次同学聚会上，见面时两两握手一次，共握手28次，设共有x名同学参加聚会，则所列方程为，x=．15．二次函数y=ax2（a＞0）对称轴是．16．函数y=（x﹣1）2+3的最小值为．17．关于x的方程（m﹣）﹣x+3=0是一元二次方程，则m=．18．以（2，3）为顶点且开口向下的二次函数的解析式为（写出一个即可）．19．对于二次函数y=ax2（a≠0），当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值为．20．在平面直角坐标系中，点A是抛物线y=a（x﹣3）2+k与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且AB∥x轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为．三、解答题（共60分）21．用适当的方法解下列一元二次方程（1）（3x+2）2=25 （2）4x2﹣12x+9=0（3）（2x+1）2=3（2x+1）（4）2x2﹣3x+2=0．22．阅读题：通过学习，爱好思考的小明发现，一元二次方程的根完全由它的系数确定，即一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2﹣4ac≥0时有两个实数根：x1=，x2=，于是：x1+x2=﹣，x1x2=这就是著名的韦达定理．请你运用上述结论解决下列问题：关于x的一元二次方程x2+kx+k+1=0的两实数根分别为x1、x2，且x12+x22=1，求：k的值是多少？23．汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设．某汽车销售公司2013年盈利1500万元，到2015年盈利2160万元，且从2013年到2015年，每年盈利的年增长率相同．（1）求该公司2014年盈利多少万元？（2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2016年盈利多少万元？24．阅读下面的例题，范例：解方程x2﹣|x|﹣2=0，解：（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2=0，解得：x1=2，x2=﹣1（不合题意，舍去）．（2）当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2=0，解得：x1=﹣2，x2=1（不合题意，舍去）．∴原方程的根是x1=2，x2=﹣2请参照例题解方程x2﹣|x﹣1|﹣1=0．25．如图，已知二次函数y=ax2﹣4x+c的图象经过点A（﹣1，﹣1）和点B（3，﹣9）．（1）求该二次函数的表达式；（2）用配方法求该抛物线的对称轴及顶点坐标；（3）点C（m，m）与点D均在该函数图象上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值；（4）在（3）的条件下，试问在该抛物线的对称轴上是否存在一点P，使PC+PB的值最小，若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在各小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡上指定的位置填符合要求的选项字母代号.）1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（）A．3（x+1）2=2（x+1）B．C．ax2+bx+c=0 D．x2+2x=x2﹣1【考点】一元二次方程的定义．【分析】一元二次方程有四个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程．（4）二次项系数不为0．【解答】解：A、3（x+1）2=2（x+1）化简得3x2+4x﹣4=0，是一元二次方程，故正确；B、方程不是整式方程，故错误；C、若a=0，则就不是一元二次方程，故错误；D、是一元一次方程，故错误．故选：A．【点评】判断一个方程是否是一元二次方程：首先要看是否是整式方程；然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．这是一个需要识记的内容．2．一元二次方程x2+3x=0的解是（）A．x=﹣3 B．x1=0，x2=3 C．x1=0，x2=﹣3 D．x=3【考点】解一元二次方程-因式分解法；因式分解-十字相乘法等；解一元一次方程．【专题】计算题．【分析】分解因式得到x（x+3）=0，转化成方程x=0，x+3=0，求出方程的解即可．【解答】解：x2+3x=0，x（x+3）=0，x=0，x+3=0，x1=0，x2=﹣3，故选：C．【点评】本题主要考查对解一元二次方程，解一元一次方程，因式分解等知识点的理解和掌握，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．3．下列一元二次方程中，没有实数根的方程是（）A．x2﹣3x+1=0 B．x2+2x﹣1=0 C．x2﹣2x+1=0 D．x2+2x+3=0【考点】根的判别式．【分析】根据根的判别式△=b2﹣4ac，逐一分析四个选项中方程根的判别式的符号，由此即可得出结论．【解答】解：A、△=b2﹣4ac=9﹣4=5＞0，∴方程x2﹣3x+1=0有两个不相等的实数根；B、△=b2﹣4ac=4+4=8＞0，∴方程x2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根；C、△=b2﹣4ac=4﹣4=0，∴方程x2﹣2x+1=0有两个相等的实数根；D、△=b2﹣4ac=4﹣12=﹣8＜0，∴方程x2+2x+3=0没有实数根．故选D．【点评】本题考查了根的判别式，熟练掌握当△=b2﹣4ac＜0时方程没有实数根是解题的关键．4．解方程（5x﹣1）2=3（5x﹣1）的适当方法是（）A．开平方法 B．配方法C．公式法D．因式分解法【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】移项后提公因式，即可得出选项．【解答】解：（5x﹣1）2=3（5x﹣1）（5x﹣1）2﹣3（5x﹣1）=0，（5x﹣1）（5x﹣1﹣3）=0，即用了因式分解法，故选D．【点评】本题考查了对解一元二次方程的解法的应用．5．已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜﹣2 B．k＜2 C．k＞2 D．k＜2且k≠1【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．【专题】计算题；压轴题．【分析】根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围．【解答】解：根据题意得：△=b2﹣4ac=4﹣4（k﹣1）=8﹣4k＞0，且k﹣1≠0，解得：k＜2，且k≠1．故选：D．【点评】此题考查了根的判别式，以及一元二次方程的定义，弄清题意是解本题的关键．6．函数y=﹣2（x﹣3）2+6的顶点坐标是（）A．（﹣3，6）B．（3，﹣6）C．（3，6） D．（6，3）【考点】二次函数的性质．【分析】根据二次函数的性质直接求解．【解答】解：二次函数y=﹣2（x﹣3）2+6的顶点坐标是（3，6）．故选C．【点评】此题主要考查了利用二次函数顶点式求顶点坐标，此题型是中考中考查重点，同学们应熟练掌握．7．若函数y=a是二次函数且图象开口向上，则a=（）A．﹣2 B．4 C．4或﹣2 D．4或3【考点】二次函数的定义．【分析】根据二次函数的定义得到a2﹣2a﹣6=2，由抛物线的开口方向得到a＞0，由此可以求得a 的值．【解答】解：∵函数y=a是二次函数且图象开口向上，∴a2﹣2a﹣6=2，且a＞0，解得a=4．故选：B．【点评】本题考查了二次函数的定义．二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．8．下列说法错误的是（）A．二次函数y=3x2中，当x＞0时，y随x的增大而增大B．二次函数y=﹣6x2中，当x=0时，y有最大值0C．a越大图象开口越小，a越小图象开口越大D．不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2（a≠0）的顶点一定是坐标原点【考点】二次函数的性质．【分析】抛物线y=ax2（a≠0）是最简单二次函数形式．顶点是原点，对称轴是y轴，a＞0时，开口向上，a＜0时，开口向下；开口大小与|a|有关．【解答】解：A、二次函数y=3x2图象开口向上，对称轴是y轴，当x＞0时，y随x的增大而增大，正确；B、二次函数y=﹣6x2中开口向下，顶点（0，0），故当x=0时，y有最大值0，正确；C、|a|越大，图象开口越小，|a|越小图象开口越大，错误；D、抛物线y=ax2的顶点就是坐标原点，正确．故选C．【点评】此题考查了二次函数的性质：增减性（单调性），最值，开口大小以及顶点坐标．9．若A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（﹣3，y3）为二次函数y=ax2（a＜0）的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y2【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】由a＜0可得出：当x＜0时，y随x的增大而增大．再结合﹣3＜﹣2＜﹣1即可得出结论．【解答】解：∵二次函数y=ax2中a＜0，∴当x＜0时，y随x的增大而增大，∵﹣3＜﹣2＜﹣1，∴y3＜y1＜y2．故选C．【点评】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质找出函数的单调区间是解题的关键．10．如图，把抛物线y=x2沿直线y=x平移个单位后，其顶点在直线上的A处，则平移后的抛物线解析式是（）A．y=（x+1）2﹣1 B．y=（x+1）2+1 C．y=（x﹣1）2+1 D．y=（x﹣1）2﹣1【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】压轴题．【分析】首先根据A点所在位置设出A点坐标为（m，m）再根据AO=，利用勾股定理求出m的值，然后根据抛物线平移的性质：左加右减，上加下减可得解析式．【解答】解：∵A在直线y=x上，∴设A（m，m），∵OA=，∴m2+m2=（）2，解得：m=±1（m=﹣1舍去），m=1，∴A（1，1），∴抛物线解析式为：y=（x﹣1）2+1，故选：C．【点评】此题主要考查了二次函数图象的几何变换，关键是求出A点坐标，掌握抛物线平移的性质：左加右减，上加下减．二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.只需要将结果直接填写在答题卡对应题号处的横线上，不必写出解答过程，不填、错填，一律得0分）11．把函数y=2x2的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的二次函数解析式是y=2（x﹣3）2﹣2．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律．【解答】解：y=2x2的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得y=2（x﹣3）2﹣2．故填得到的二次函数解析式是y=2（x﹣3）2﹣2．【点评】考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．12．方程（2x+5）2=0的解是x1=x2=﹣．【考点】解一元二次方程-直接开平方法．【分析】直接开平方解方程得出答案．【解答】解：∵（2x+5）2=0，∴2x+5=0，解得：x1=x2=﹣．故答案为：x1=x2=﹣．【点评】此题主要考查了直接开平方法解方程，正确开平方是解题关键．13．若二次函数y=mx2+x+m（m﹣2）的图象经过原点，则m的值为2．【考点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的定义．【分析】本题中已知了二次函数经过原点（0，0），因此二次函数与y轴交点的纵坐标为0，即m （m﹣2）=0，由此可求出m的值，要注意二次项系数m不能为0．【解答】解：根据题意得：m（m﹣2）=0，∴m=0或m=2，∵二次函数的二次项系数不为零，即m≠0，∴m=2．故答案是：2．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的定义．此题属于易错题，学生们往往忽略二次项系数不为零的条件．14．在一次同学聚会上，见面时两两握手一次，共握手28次，设共有x名同学参加聚会，则所列方程为x（x﹣1）=28×2，x=8．【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】应用题．【分析】每个学生都要和他自己以外的学生握手一次，但两个学生之间只握手一次，所以等量关系为：学生数×（学生数﹣1）=总握手次数×2，把相关数值代入即可求解．【解答】解：参加此会的学生为x名，每个学生都要握手（x﹣1）次，∴可列方程为x（x﹣1）=28×2，解得x1=8，x2=﹣7（不合题意，舍去）．∴x=8．故答案为：x（x﹣1）=28×2；8．【点评】本题考查用一元二次方程解决握手次数问题，得到总次数的等量关系是解决本题的关键．15．二次函数y=ax2（a＞0）对称轴是y轴．【考点】二次函数的性质．【分析】由二次函数解析式可直接确定其对称轴．【解答】解：∵y=ax2，∴二次函数是以y轴为对称轴的抛物线，故答案为：y轴．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的对称轴是解题的关键，注意不同形式的表达式所对应的对称轴．16．函数y=（x﹣1）2+3的最小值为3．【考点】二次函数的最值．【专题】常规题型．【分析】根据顶点式得到它的顶点坐标是（1，3），再根据其a＞0，即抛物线的开口向上，则它的最小值是3．【解答】解：根据非负数的性质，（x﹣1）2≥0，于是当x=1时，函数y=（x﹣1）2+3的最小值y等于3．故答案为：3．【点评】本题考查了二次函数的最值的求法．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．17．关于x的方程（m﹣）﹣x+3=0是一元二次方程，则m=．【考点】一元二次方程的定义．【分析】由一元二次方程的定义回答即可．【解答】解：∵方程（m﹣）﹣x+3=0是一元二次方程，∴m2﹣1=1且m﹣≠0．解得m=．故答案为：．【点评】本题主要考查的是一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．18．以（2，3）为顶点且开口向下的二次函数的解析式为y=﹣（x﹣2）2+3（写出一个即可）．【考点】二次函数的性质．【专题】开放型．【分析】根据题意抛物线的顶点坐标是（2，3），故设出抛物线的顶点式方程y=a（x﹣2）2+3，再有开口向下可知a＜0，故可取a=﹣1，即得结果．【解答】解：∵抛物线的顶点坐标为（2，3）∴可设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+3，又∵抛物线的开口向下，∴a＜0，故可取a=﹣1，∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣2）2+3．故答案为：y=﹣（x﹣2）2+3．【点评】此题考查了二次函数的解析式的求法，关键是要由顶点坐标正确设出抛物线的解析式．理解开口向下的含义．19．对于二次函数y=ax2（a≠0），当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值为0．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】判断出二次函数图象对称轴为y轴，再根据二次函数的性质判断出x1，x2关于y轴对称，然后解答即可．【解答】解：二次函数y=ax2的对称轴为y轴，∵x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，∴x1，x2关于y轴对称，∴x1+x2=0，∴当x取x1+x2时，函数值为0．故答案为：0．【点评】本题考查了二次函数的性质，熟记性质并判断出x1，x2关于y轴对称是解题的关键．20．在平面直角坐标系中，点A是抛物线y=a（x﹣3）2+k与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且AB∥x轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为18．【考点】二次函数的性质；等边三角形的性质．【专题】压轴题．【分析】根据抛物线解析式求出对称轴为x=3，再根据抛物线的对称性求出AB的长度，然后根据等边三角形三条边都相等列式求解即可．【解答】解：∵抛物线y=a（x﹣3）2+k的对称轴为x=3，且AB∥x轴，∴AB=2×3=6，∴等边△ABC的周长=3×6=18．故答案为：18．【点评】本题考查了二次函数的性质，等边三角形的周长计算，熟练掌握抛物线的对称轴与两个对称点之间的关系是解题的关键．三、解答题（共60分）21．用适当的方法解下列一元二次方程（1）（3x+2）2=25（2）4x2﹣12x+9=0（3）（2x+1）2=3（2x+1）（4）2x2﹣3x+2=0．【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-直接开平方法．【分析】（1）利用直接开方法求出x的值即可；（2）把方程左边化为完全平方公式的形式，求出x的值即可；（3）把方程左边化两个因式积的形式，求出x的值即可；（4）求出△的值即可得出结论．【解答】解：（1）方程两边直接开方得，3x+2=±5，故x1=1，x2=﹣；（2）原方程可化为（2x﹣3）2=0，故2x﹣3=0，解得x=；（3）原方程可化为（2x+1）（2x﹣2）=0，故2x+1=0或2x﹣2=0，解得x1=﹣，x2=1；（4）∵△=9﹣16=﹣7＜0，∴此方程无解．【点评】本题考查的是利用因式分解法解一元二次方程，在解答此类题目时要注意完全平方公式的灵活应用．22．（10分）（2016秋•喀左县校级月考）阅读题：通过学习，爱好思考的小明发现，一元二次方程的根完全由它的系数确定，即一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2﹣4ac≥0时有两个实数根：x1=，x2=，于是：x1+x2=﹣，x1x2=这就是著名的韦达定理．请你运用上述结论解决下列问题：关于x的一元二次方程x2+kx+k+1=0的两实数根分别为x1、x2，且x12+x22=1，求：k的值是多少？【考点】根与系数的关系；根的判别式．【分析】根据韦达定理可得x1+x2=﹣k，x1x2=1，将其代入到x12+x22=1，即（x1+x2）2﹣2x1x2=1，解关于k的方程可得k的值，再代回方程检验可得．【解答】解：∵方程x2+kx+k+1=0的两实数根分别为x1、x2，∴x1+x2=﹣k，x1x2=k+1，∵x12+x22=1，即（x1+x2）2﹣2x1x2=1，∴k2﹣2（k+1）=1，解得：k=﹣1或k=3，当k=﹣1时，方程为x2﹣x=0，解得：x=0或x=1；当k=3时，方程为x2+3x+4=0，方程无解，∴k=﹣1．【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握韦达定理是解题的关键．23．汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设．某汽车销售公司2013年盈利1500万元，到2015年盈利2160万元，且从2013年到2015年，每年盈利的年增长率相同．（1）求该公司2014年盈利多少万元？（2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2016年盈利多少万元？【考点】一元二次方程的应用．【专题】增长率问题．【分析】（1）需先算出从2013年到2015年，每年盈利的年增长率，然后根据2013年的盈利，算出2014年的利润；（2）相等关系是：2016年盈利=2015年盈利×（1+每年盈利的年增长率）．【解答】解：（1）设每年盈利的年增长率为x，根据题意得1500（1+x）2=2160，解得x1=0.2，x2=﹣2.2（不合题意，舍去），则1500（1+x）=1500（1+0.2）=1800．答：该公司2014年盈利1800万元．（2）2160×（1+0.2）=2592（万元）．答：预计2016年盈利2592万元．【点评】本题的关键是需求出从2013年到2015年，每年盈利的年增长率．等量关系为：2013年盈利×（1+年增长率）2=2015．24．阅读下面的例题，范例：解方程x2﹣|x|﹣2=0，解：（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2=0，解得：x1=2，x2=﹣1（不合题意，舍去）．（2）当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2=0，解得：x1=﹣2，x2=1（不合题意，舍去）．∴原方程的根是x1=2，x2=﹣2请参照例题解方程x2﹣|x﹣1|﹣1=0．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【专题】阅读型．【分析】分为两种情况：（1）当x≥1时，原方程化为x2﹣x=0，（2）当x＜1时，原方程化为x2+x ﹣2=0，求出方程的解即可．【解答】解：x2﹣|x﹣1|﹣1=0，（1）当x≥1时，原方程化为x2﹣x=0，解得：x1=1，x2=0（不合题意，舍去）．（2）当x＜1时，原方程化为x2+x﹣2=0，解得：x1=﹣2，x2=1（不合题意，舍去）．故原方程的根是x1=1，x2=﹣2．【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能正确去掉绝对值符号．25．如图，已知二次函数y=ax2﹣4x+c的图象经过点A（﹣1，﹣1）和点B（3，﹣9）．（1）求该二次函数的表达式；（2）用配方法求该抛物线的对称轴及顶点坐标；（3）点C（m，m）与点D均在该函数图象上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值；（4）在（3）的条件下，试问在该抛物线的对称轴上是否存在一点P，使PC+PB的值最小，若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）由条件可知点A和点B的坐标，代入解析式可得到关于a和c的二元一次方程组，解得a和c，可写出二次函数解析式；（2）利用对称轴为x=﹣，顶点坐标为（﹣，）计算出其顶点坐标即可；（3）把点的坐标代入可求得m的值．（4）存在．如图，由（2）可知C（6，6），作点B关于对称轴的对称点B′（1，﹣9），连接CB′与对称轴的交点即为所求的点P．求出直线CB′的解析式即可解决问题．【解答】解：（1）将A（﹣1，﹣1），B（3，﹣9）代入，得，∴a=1，c=﹣6，∴y=x2﹣4x﹣6；（2）∵﹣=﹣=2，==﹣10，∴对称轴：直线x=2，顶点坐标：（2，﹣10）；（3）∵点P（m，m）在函数图象上，∴m2﹣4m﹣6=m，∴m=6或﹣1．∵m＞0，∴m=6．（3）存在．如图，由（2）可知C（6，6），作点B关于对称轴的对称点B′（1，﹣9），连接CB′与对称轴的交点即为所求的点P．设直线CB′的解析式为y=kx+b，把A、B代入得到，解得，∴直线CB′的解析式为y=3x﹣12，∴P（2，﹣6）．∴当点P坐标为（2，﹣6）时，PB+PC最小．【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数、待定系数法、最短问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用对称解决最值问题，属于中考压轴题．北师大版九年级上学期第二次月考数学试卷一、选择题（每题2分，共计18分）将正确答案的选项填入答题纸的表中）1．一元二次方程x2=4x的解是( )A．x=0B．x=4C．x1=2，x2=﹣2D．x1=0，x2=42．对角线互相垂直平分且相等的四边形一定是( )A．正方形B．菱形C．矩形D．等腰梯形3．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的( )A．B．C．D．4．已知关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣4=0的一个根为2，则另一根是( )A．4B．1C．2D．﹣25．随机掷一枚均匀的硬币两次，两次都是正面的概率是( )A．B．C．D．无法确定6．不能判断四边形ABCD是平行四边形的是( )A．AB=CD，AD=BCB．AB=CD，AB∥CDC．AB=CD，AD∥BCD．AB∥CD，AD∥BC7．若四边形的两条对角线相等，则顺次连结各边中点所得的四边形是( )A．梯形B．正方形C．矩形D．菱形8．下列说法不正确的是( )A．一组邻边相等的矩形是正方形B．对角线相等的菱形是正方形C．对角线互相垂直的矩形是正方形D．有一个角是直角的平行四边形是正方形9．整数K＜5，△ABC的三边长均满足方程x2﹣3x+8=0，则△ABC的周长是( )A．6B．10C．12D．6或10或12二、填空题（每小题3分，共27分）10．请你给出一个m值，当m=__________，使方程x2+m=0有整数根．11．如图，菱形ABCD的周长为24cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于__________．12．如图所示，某小区规划在一个长为40 m、宽为26 m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的甬路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．若使每一块草坪的面积为144 m2，求甬路的宽度．若设甬路的宽度为xm，则x满足的方程为__________．13．菱形的两条对角线的长分别是8cm和6cm，则菱形的周长是__________，面积是__________．14．袋子里有8个白球，n个红球，经过大量实验，从中任取一个球恰好是白球的概率是，则n的值是__________．15．某商品经过两次降价，由每件100元降至81元，则平均每次降价的百分率为__________．16．已知m是方程x2+3x﹣1=0的一个根，则代数式2m2+6m﹣3的值为__________．17．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1=0的一个根是0，那么a的值为__________．18．如图，菱形ABCD中，P为对角线AC上一动点，E，F分别为AB、BC中点，若AC=8，BD=6，则PE+PF的最小值为__________．三、简答题（本大题共24分）19．（16分）解方程：（1）（x﹣1）2+2x（x﹣1）=0；（2）（2x﹣5）2﹣（x+4）2=0；（3）2x2+3x﹣1=0；（4）（x﹣1）（x+2）=70．20．用如图所示的两个分格均匀的转盘做游戏：分别转动两个转盘，若转盘停止后，指针指向一个数字（若指针恰好停在分格线上，则重转一次），用所指的两个数字作乘积，请用列表法或树状图求乘积大于10的概率．四、证明题：（本题共10分）21．如图，正方形ABCD边长为1，G为CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连接DE交BG的延长线于点H．（1）求证：BH⊥DE；（2）当BH垂直平分DE时，求CG的长度？请说明理由．（提示：要有辅助线哟？）五、应用题22．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？六、探索证明23．如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O，E、F、G、H分别是AD，BD，BC，AC的中点．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）当四边形ABCD满足一个什么条件时，四边形EFGH是菱形？并证明你的结论．（3）当AB和CD满足什么条件时，四边形EFGH是正方形．（直接写出结论，不必写证明过程）一、选择题（每题2分，共计18分）将正确答案的选项填入答题纸的表中）1．一元二次方程x2=4x的解是( )A．x=0B．x=4C．x1=2，x2=﹣2D．x1=0，x2=4考点：解一元二次方程-因式分解法．专题：计算题．分析：方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．解答：解：方程移项得：x2﹣4x=0，分解因式得：x（x﹣4）=0，解得：x1=0，x2=4．故选D．点评：此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握解法是解本题的关键．2．对角线互相垂直平分且相等的四边形一定是( )A．正方形B．菱形C．矩形D．等腰梯形考点：正方形的判定；线段垂直平分线的性质．专题：证明题．分析：根据特殊四边形的判定方法：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形判断即可．解答：解：根据正方形的判别方法知，对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．故选A点评：本题是考查正方形的判别方法．判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．3．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的( )A．B．C．D．考点：矩形的性质．分析：本题主要根据矩形的性质，得△EBO≌△FDO，再由△AOB与△OBC同底等高，△AOB与△ABC 同底且△AOB的高是△ABC高的得出结论．解答：解：∵四边形为矩形，∴OB=OD=OA=OC，在△EBO与△FDO中，∵，∴△EBO≌△FDO（ASA），∴阴影部分的面积=S△AEO+S△EBO=S△AOB，∵△AOB与△ABC同底且△AOB的高是△ABC高的，∴S△AOB=S△OBC=S矩形ABC D．故选：B．点评：本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．4．已知关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣4=0的一个根为2，则另一根是( )A．4B．1C．2D．﹣2考点：根与系数的关系．分析：可将该方程的已知根2代入两根之积公式，解方程即可求出方程的另一根．解答：解：设方程的另一根为x1，又∵x=2，∴x1•2=﹣4，解得x1=﹣2．故选D．点评：解决此类题目时要认真审题，确定好各系数的数值与正负，然后确定选择哪一个根与系数的关系式．5．随机掷一枚均匀的硬币两次，两次都是正面的概率是( )A．B．C．D．无法确定考点：概率公式．分析：列举出所有情况，看两次都是正面的情况占总情况的多少即可．解答：解：随机掷一枚均匀的硬币两次，共4种情况：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）；两次都是正面是其中的一种情况；所以两次都是正面的概率是．故选C．点评：此题考查概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．6．不能判断四边形ABCD是平行四边形的是( )A．AB=CD，AD=BCB．AB=CD，AB∥CDC．AB=CD，AD∥BCD．AB∥CD，AD∥BC考点：平行四边形的判定．分析：A、B、D，都能判定是平行四边形，只有C不能，因为等腰梯形也满足这样的条件，但不是平行四边形．。
北师大版九年级上册第二次月考试数学试卷(解析版) (精选5套试题) (4)
北师大版九年级上学期第二次月考数学试卷一、选择题1．用配方法解一元二次方程x2﹣4x+2=0时，可配方得（）A．（x﹣2）2=6 B．（x+2）2=6 C．（x﹣2）2=2 D．（x+2）2=22．方程（m+2）x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则（）A．m=±2 B．m=2 C．m=﹣2 D．m≠±23．方程（x﹣2）（x+3）=0的解是（）A．x=2 B．x=﹣3 C．x1=﹣2，x2=3 D．x1=2，x2=﹣34．方程x2﹣ax+4=0有两个相等的实数根，则a的值为（）A．2 B．±2 C．±4 D．45．若关于x的一元二次方程为ax2+bx+5=0（a≠0）的解是x=1，则2016﹣a﹣b的值是（）A．2018 B．2011 C．2014 D．20216．生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，如果全组有x名同学，则根据题意列出的方程是（）A．x（x+1）=182 B．x（x﹣1）=182 C．x（x+1）=182×2 D．x（x﹣1）=182×27．如果关于x的一元二次方程ax2+x﹣1=0有实数根，则a的取值范围是（）A．a＞﹣B．a≥﹣C．a≥﹣且a≠0D．a＞且a≠08．平行四边形ABCD中，AC、BD是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD 是矩形，那么这个条件是（）A．AB=BC B．AC=BD C．AC⊥BD D．AB⊥BD9．下列四边形中，对角线一定相等的是（）A．菱形B．矩形C．平行四边形D．梯形10．顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则下列四边形中满足条件的是（）①平行四边形；②菱形；③矩形；④对角线互相垂直的四边形．A．①③B．②③C．③④D．②④11．已知一矩形的两边长分别为10cm和15cm，其中一个内角的平分线分长边为两部分，这两部分的长为（）A．6cm和9cm B．5cm和10cm C．4cm和11cm D．7cm和8cm12．如图，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片先按照从左向右对折，再按照从下向上的方向对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下（如图1），再打开，得到如图2所示的小菱形的面积为（）A．10cm2B．20cm2C．40cm2D．80cm2二、填空题13．若方程mx2+3x﹣4=3x2是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是．14．一元二次方程（x+1）（3x﹣2）=10的一般形式是．15．方程x2=3x的解为：．16．如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=2，则矩形的对角线AC的长是．17．如图，点E在正方形ABCD的边CD上．若△ABE的面积为8，CE=3，则线段BE的长为．18．如图，菱形ABCD的周长为8cm，高AE长为cm，则对角线AC长和BD长之比为．三、解答题（共60分）19．解方程：①x2﹣4x﹣3=0 ②（x﹣3）2+2x（x﹣3）=0．20．有一面积为150m2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18 m），另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的总长为35 m，求鸡场的长与宽各为多少？21．如图，在△ABC中，∠B=90°，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，Q从点B 开始沿BC边向C点以2cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、B同时出发，几秒钟后，△PBQ 的面积等于8cm2？22．如图，AB=AC，AD=AE，DE=BC，且∠BAD=∠CAE．求证：四边形BCDE是矩形．23．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE⊥AE，垂足为E．（1）求证：△ABD≌△CAE；（2）连接DE，线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系？请证明你的结论．24．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，MN过点O且与边AD、BC分别交于点M和点N．（1）请你判断OM和ON的数量关系，并说明理由；（2）过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，当AB=6，AC=8时，求△BDE的周长．参考答案与试题解析一、选择题1．用配方法解一元二次方程x2﹣4x+2=0时，可配方得（）A．（x﹣2）2=6 B．（x+2）2=6 C．（x﹣2）2=2 D．（x+2）2=2【考点】解一元二次方程-配方法．【专题】压轴题．【分析】根据配方法的方法，先把常数项移到等号右边，再在两边同时加上一次项一般的平方，最后将等号左边配成完全平方式，利用直接开平方法就可以求解了．【解答】解：移项，得x2﹣4x=﹣2在等号两边加上4，得x2﹣4x+4=﹣2+4∴（x﹣2）2=2．故C答案正确．故选C．【点评】本题是一道一元二次方程解答题，考查了解一元二次方程的基本方法﹣﹣配方法的运用，解答过程注意解答一元二次方程配方法的步骤．2．方程（m+2）x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则（）A．m=±2 B．m=2 C．m=﹣2 D．m≠±2【考点】一元二次方程的定义．【专题】压轴题．【分析】本题根据一元二次方程的定义，必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．据此即可求解．【解答】解：由一元二次方程的定义可得，解得：m=2．故选B．【点评】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．3．方程（x﹣2）（x+3）=0的解是（）A．x=2 B．x=﹣3 C．x1=﹣2，x2=3 D．x1=2，x2=﹣3【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】根据已知得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：（x﹣2）（x+3）=0，x﹣2=0，x+3=0，x1=2，x2=﹣3，故选D．【点评】本题考查了解一元关键是能把一元一次方程和解一元二次方程的应用，关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程．4．方程x2﹣ax+4=0有两个相等的实数根，则a的值为（）A．2 B．±2 C．±4 D．4【考点】根的判别式．【分析】利用方程有两个相等的实数根时，△=0，建立关于a的等式，求出a的值．【解答】解：由题意知，方程有两个相等的实数根．则△=a2﹣16=0∴a=±4故选C【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．5．若关于x的一元二次方程为ax2+bx+5=0（a≠0）的解是x=1，则2016﹣a﹣b的值是（）A．2018 B．2011 C．2014 D．2021【考点】一元二次方程的解．【分析】根据方程解的定义，求出a+b，利用整体代入的思想即可解决问题．【解答】解：∵关于x的一元二次方程为ax2+bx+5=0（a≠0）的解是x=1，∴a+b+5=0，∴a+b=﹣5，∴2016﹣a﹣b=2016﹣（a+b）=2016+5=2021故选D．【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是理解方程的解的定义，属于基础题，中考常考题型．6．生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，如果全组有x名同学，则根据题意列出的方程是（）A．x（x+1）=182 B．x（x﹣1）=182 C．x（x+1）=182×2 D．x（x﹣1）=182×2【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】先求每名同学赠的标本，再求x名同学赠的标本，而已知全组共互赠了182件，故根据等量关系可得到方程．【解答】解：设全组有x名同学，则每名同学所赠的标本为：（x﹣1）件，那么x名同学共赠：x（x﹣1）件，所以，x（x﹣1）=182．故选B．【点评】本题考查一元二次方程的实际运用：要全面、系统地弄清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．7．如果关于x的一元二次方程ax2+x﹣1=0有实数根，则a的取值范围是（）A．a＞﹣B．a≥﹣C．a≥﹣且a≠0D．a＞且a≠0【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．【分析】在判断一元二次方程根的情况的问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）在有实数根的情况下必须满足△=b2﹣4ac≥0．【解答】解：依题意列方程组，解得a≥﹣且a≠0．故选C．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．8．平行四边形ABCD中，AC、BD是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD 是矩形，那么这个条件是（）A．AB=BC B．AC=BD C．AC⊥BD D．AB⊥BD【考点】矩形的判定；平行四边形的性质．【专题】证明题；压轴题．【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形判断．【解答】解：A、是邻边相等，可得到平行四边形ABCD是菱形，故不正确；B、是对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故正确；C、是对角线互相垂直，可得到平行四边形ABCD是菱形，故不正确；D、无法判断．故选B．【点评】本题主要考查的是矩形的判定定理．但需要注意的是本题的知识点是关于各个图形的性质以及判定．9．下列四边形中，对角线一定相等的是（）A．菱形 B．矩形 C．平行四边形D．梯形【考点】多边形．【分析】根据菱形、矩形、平行四边形、梯形的性质对各个选项进行判断即可．【解答】解：菱形的对角线不一定相等，A错误；矩形的对角线一定相等，B正确；平行四边形的对角线不一定相等，C错误；梯形的对角线不一定相等，D错误；故选：B．【点评】本题考查的是特殊四边形的性质，掌握菱形、矩形、平行四边形、梯形的性质是解题的关键．10．顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则下列四边形中满足条件的是（）①平行四边形；②菱形；③矩形；④对角线互相垂直的四边形．A．①③ B．②③ C．③④ D．②④【考点】中点四边形．【分析】有一个角是直角的平行四边形是矩形，根据此可知顺次连接对角线垂直的四边形是矩形．【解答】解：AC⊥BD，E，F，G，H是AB，BC，CD，DA的中点，∵EH∥BD，FG∥BD，∴EH∥FG，同理；EF∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形．∵AC⊥BD，∴EH⊥EF，∴四边形EFGH是矩形．所以顺次连接对角线垂直的四边形是矩形．而菱形、正方形的对角线互相垂直，则菱形、正方形均符合题意．故选：D．【点评】本题考查矩形的判定定理和三角形的中位线的定理，从而可求解．11．已知一矩形的两边长分别为10cm和15cm，其中一个内角的平分线分长边为两部分，这两部分的长为（）A．6cm和9cm B．5cm和10cm C．4cm和11cm D．7cm和8cm【考点】矩形的性质．【分析】根据已知条件以及矩形性质证△ABE为等腰三角形得到AB=AE，注意“长和宽分别为15cm 和10cm”说明有2种情况，需要分类讨论．【解答】解：∵矩形ABCD中，BE是角平分线．∴∠ABE=∠EB C．∵AD∥B C．∴∠AEB=∠EB C．∴∠AEB=∠ABE∴AB=AE．当AB=15cm时：则AE=15cm，不满足题意．当AB=10cm时：AE=10cm，则DE=5cm．故选B．【点评】此题考查了矩形的性质与等腰三角形的判定与性质．注意出现角平分线，出现平行线时，一般出现等腰三角形，需注意等腰三角形相等边的不同．12．如图，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片先按照从左向右对折，再按照从下向上的方向对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下（如图1），再打开，得到如图2所示的小菱形的面积为（）A．10cm2B．20cm2C．40cm2D．80cm2【考点】剪纸问题．【分析】利用折叠的方式得出AC，BD的长，再利用菱形面积公式求出即可．【解答】解：如图2，由题意可得：AC=4cm，BD=5cm，故小菱形的面积为：×4×5=10（cm2）．故选：A．【点评】此题主要考查了菱形的性质以及剪纸问题，得出菱形对角线的长是解题关键．二、填空题13．若方程mx2+3x﹣4=3x2是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是m≠3．【考点】一元二次方程的定义．【分析】一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．【解答】解：把方程mx2+3x﹣4=3x2转化成一般形式，（m﹣3）x2+3x﹣4=0，（m﹣3）是二次项系数不能为0，即m﹣3≠0，得m≠3．故答案为：m≠3．【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．14．一元二次方程（x+1）（3x﹣2）=10的一般形式是3x2+x﹣12=0．【考点】一元二次方程的一般形式．【分析】先把一元二次方程（x+1）（3x﹣2）=10的各项相乘，再按二次项，一次项，常数项的顺序进行排列即可．【解答】解：∵一元二次方程（x+1）（3x﹣2）=10可化为3x2﹣2x+3x﹣2=10，∴化为一元二次方程的一般形式为3x2+x﹣12=0．【点评】去括号的过程中要注意符号的变化，不要漏乘，移项时要注意符号的变化．注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号．15．方程x2=3x的解为：x1=0，x2=3．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】首先把方程移项，把方程的右边变成0，然后对方程左边分解因式，根据几个式子的积是0，则这几个因式中至少有一个是0，即可把方程转化成一元一次方程，从而求解．【解答】解：移项得：x2﹣3x=0，即x（x﹣3）=0，于是得：x=0或x﹣3=0．则方程x2=3x的解为：x1=0，x2=3．故答案是：x1=0，x2=3．【点评】本题考查了因式分解法解二元一次方程，理解因式分解法解方程的依据是关键．16．如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=2，则矩形的对角线AC的长是4．【考点】矩形的性质．【分析】根据矩形性质得出AC=2AO，BD=2BO，AC=BD，推出AO=OB，得出等边三角形AOB，求出AO，即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=2AO，BD=2BO，AC=BD，∴AO=OB，∵∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB=AO=2，即AC=2AO=4，故答案为：4．【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，矩形的性质的应用，注意：矩形的对角线互相平分且相等．17．如图，点E在正方形ABCD的边CD上．若△ABE的面积为8，CE=3，则线段BE的长为5．【考点】正方形的性质；三角形的面积；勾股定理．【分析】根据正方形性质得出AD=BC=CD=AB，根据面积求出EM，得出BC=4，根据勾股定理求出即可．【解答】解：过E作EM⊥AB于M，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC=CD=AB，∴EM=AD，BM=CE，∵△ABE的面积为8，∴×AB×EM=8，解得：EM=4，即AD=DC=BC=AB=4，∵CE=3，由勾股定理得：BE===5，故答案为：5．【点评】本题考查了三角形面积，正方形性质，勾股定理的应用，解此题的关键是求出BC的长，难度适中．18．如图，菱形ABCD的周长为8cm，高AE长为cm，则对角线AC长和BD长之比为1：．．【考点】菱形的性质．【分析】首先设设AC，BD相较于点O，由菱形ABCD的周长为8cm，可求得AB=BC=2cm，又由高AE长为cm，利用勾股定理即可求得BE的长，继而可得AE是BC的垂直平分线，则可求得AC的长，继而求得BD的长，则可求得答案．【解答】解：如图，设AC，BD相较于点O，∵菱形ABCD的周长为8cm，∴AB=BC=2cm，∵高AE长为cm，∴BE==1（cm），∴CE=BE=1cm，∴AC=AB=2cm，∵OA=1cm，AC⊥BD，∴OB=（cm），∴BD=2OB=2cm，∴AC：BD=1：．故答案为：1：．【点评】此题考查了菱形的性质以及勾股定理．注意菱形的四条边都相等，对角线互相平分且垂直．三、解答题（共60分）19．解方程：①x2﹣4x﹣3=0②（x﹣3）2+2x（x﹣3）=0．【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．【分析】①利用配方法解方程：将常数项﹣3移到等式的右边，然后在等式的两边同时加上一次项系数一半的平方；②利用“提取公因式法”对等式的左边进行因式分解，将原等式转化为两因式之积为零的形式．【解答】解：①由原方程，得x2﹣4x=3，等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，得x2﹣4x+4=7，配方，得（x﹣2）2=7，∴x﹣2=±，解得，x1=2+，x2=2﹣；②由原方程，得3（x﹣3）（x﹣1）=0，∴x﹣3=0或x﹣1=0，解得，x=3或x=1．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法、因式分解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．20．有一面积为150m2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18 m），另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的总长为35 m，求鸡场的长与宽各为多少？【考点】一元二次方程的应用．【专题】几何图形问题．【分析】设养鸡场的宽为xm，则长为（35﹣2x），根据矩形的面积公式即可列方程，列方程求解．【解答】解：设养鸡场的宽为xm，则长为（35﹣2x），由题意得x（35﹣2x）=150解这个方程；x2=10当养鸡场的宽为时，养鸡场的长为20m不符合题意，应舍去，当养鸡场的宽为x1=10m时，养鸡场的长为15m．答：鸡场的长与宽各为15m，10m．【点评】本题考查的是一元二次方程的应用，难度一般．21．如图，在△ABC中，∠B=90°，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，Q从点B 开始沿BC边向C点以2cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、B同时出发，几秒钟后，△PBQ 的面积等于8cm2？【考点】一元二次方程的应用．【专题】几何动点问题．【分析】本题中根据直角三角形的面积公式和路程=速度×时间进行求解即可．【解答】解：设x秒钟后，△PBQ的面积等于8cm2，其中0＜x＜6，由题意可得：2x（6﹣x）÷2=8解得x1=2，x2=4．经检验均是原方程的解．答：2或4秒钟后，△PBQ的面积等于8cm2．【点评】找到关键描述语“△PBQ的面积等于8cm2”，找到等量关系是解决问题的关键．22．如图，AB=AC，AD=AE，DE=BC，且∠BAD=∠CAE．求证：四边形BCDE是矩形．【考点】矩形的判定；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】求出∠BAE=∠CAD，证△BAE≌△CAD，推出∠BEA=∠CDA，BE=CD，得出平行四边形BCDE，根据平行线性质得出∠BED+∠CDE=180°，求出∠BED，根据矩形的判定求出即可．【解答】证明：∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAD﹣∠BAC=∠CAE﹣∠BAC，∴∠BAE=∠CAD，∵在△BAE和△CAD中∴△BAE≌△CAD（SAS），∴∠BEA=∠CDA，BE=CD，∵DE=CB，∴四边形BCDE是平行四边形，∵AE=AD，∴∠AED=∠ADE，∵∠BEA=∠CDA，∴∠BED=∠CDE，∵四边形BCDE是平行四边形，∴BE∥CD，∴∠CDE+∠BED=180°，∴∠BED=∠CDE=90°，∴四边形BCDE是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质和判定，平行线的性质全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，注意：有一个角是直角的平行四边形是矩形．23．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE⊥AE，垂足为E．（1）求证：△ABD≌△CAE；（2）连接DE，线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系？请证明你的结论．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）运用AAS证明△ABD≌△CAE；（2）易证四边形ADCE是矩形，所以AC=DE=AB，也可证四边形ABDE是平行四边形得到AB=DE．【解答】证明：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠ACD，∵AE∥BC，∴∠EAC=∠ACD，∴∠B=∠EAC，∵AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∵CE⊥AE，∴∠ADC=∠CEA=90°在△ABD和△CAE中∴△ABD≌△CAE（AAS）；（2）AB=DE，AB∥DE，如右图所示，∵AD⊥BC，AE∥BC，∴AD⊥AE，又∵CE⊥AE，∴四边形ADCE是矩形，∴AC=DE，∵AB=AC，∴AB=DE．∵AB=AC，∴BD=DC，∵四边形ADCE是矩形，∴AE∥CD，AE=DC，∴AE∥BD，AE=BD，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AB∥DE且AB=DE．【点评】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，矩形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质，难度不大，比较灵活．24．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，MN过点O且与边AD、BC分别交于点M和点N．（1）请你判断OM和ON的数量关系，并说明理由；（2）过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，当AB=6，AC=8时，求△BDE的周长．【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．【专题】计算题；矩形菱形正方形．【分析】（1）根据四边形ABCD是菱形，判断出AD∥BC，AO=OC，即可推得OM=ON．（2）首先根据四边形ABCD是菱形，判断出AC⊥BD，AD=BC=AB=6，进而求出BO、BD的值是多少；然后根据DE∥AC，AD∥CE，判断出四边形ACED是平行四边形，求出DE=AC=6，即可求出△BDE的周长是多少．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AO=OC，∴，∴OM=ON．（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AD=BC=AB=6，∴BO==2，∴，∵DE∥AC，AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形，∴DE=AC=8，∴△BDE的周长是：BD+DE+BE=BD+AC+（BC+CE）=4+8+（6+6）=20即△BDE的周长是20．【点评】（1）此题主要考查了菱形的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．（2）此题还考查了三角形的周长的含义以及求法，以及勾股定理的应用，要熟练掌握．北师大版九年级上学期第二次月考数学试卷一、选择题（每题2分，共计18分）将正确答案的选项填入答题纸的表中）1．一元二次方程x2=4x的解是( )A．x=0B．x=4C．x1=2，x2=﹣2D．x1=0，x2=42．对角线互相垂直平分且相等的四边形一定是( )A．正方形B．菱形C．矩形D．等腰梯形3．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的( )A．B．C．D．4．已知关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣4=0的一个根为2，则另一根是( )A．4B．1C．2D．﹣25．随机掷一枚均匀的硬币两次，两次都是正面的概率是( )A．B．C．D．无法确定6．不能判断四边形ABCD是平行四边形的是( )A．AB=CD，AD=BCB．AB=CD，AB∥CDC．AB=CD，AD∥BCD．AB∥CD，AD∥BC7．若四边形的两条对角线相等，则顺次连结各边中点所得的四边形是( )A．梯形B．正方形C．矩形D．菱形8．下列说法不正确的是( )A．一组邻边相等的矩形是正方形B．对角线相等的菱形是正方形C．对角线互相垂直的矩形是正方形D．有一个角是直角的平行四边形是正方形9．整数K＜5，△ABC的三边长均满足方程x2﹣3x+8=0，则△ABC的周长是( )A．6B．10C．12D．6或10或12二、填空题（每小题3分，共27分）10．请你给出一个m值，当m=__________，使方程x2+m=0有整数根．11．如图，菱形ABCD的周长为24cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于__________．12．如图所示，某小区规划在一个长为40 m、宽为26 m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的甬路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．若使每一块草坪的面积为144 m2，求甬路的宽度．若设甬路的宽度为xm，则x满足的方程为__________．13．菱形的两条对角线的长分别是8cm和6cm，则菱形的周长是__________，面积是__________．14．袋子里有8个白球，n个红球，经过大量实验，从中任取一个球恰好是白球的概率是，则n的值是__________．15．某商品经过两次降价，由每件100元降至81元，则平均每次降价的百分率为__________．16．已知m是方程x2+3x﹣1=0的一个根，则代数式2m2+6m﹣3的值为__________．17．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1=0的一个根是0，那么a的值为__________．18．如图，菱形ABCD中，P为对角线AC上一动点，E，F分别为AB、BC中点，若AC=8，BD=6，则PE+PF的最小值为__________．三、简答题（本大题共24分）19．（16分）解方程：（1）（x﹣1）2+2x（x﹣1）=0；（2）（2x﹣5）2﹣（x+4）2=0；（3）2x2+3x﹣1=0；（4）（x﹣1）（x+2）=70．20．用如图所示的两个分格均匀的转盘做游戏：分别转动两个转盘，若转盘停止后，指针指向一个数字（若指针恰好停在分格线上，则重转一次），用所指的两个数字作乘积，请用列表法或树状图求乘积大于10的概率．四、证明题：（本题共10分）21．如图，正方形ABCD边长为1，G为CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连接DE交BG的延长线于点H．（1）求证：BH⊥DE；（2）当BH垂直平分DE时，求CG的长度？请说明理由．（提示：要有辅助线哟？）五、应用题22．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？六、探索证明23．如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O，E、F、G、H分别是AD，BD，BC，AC的中点．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）当四边形ABCD满足一个什么条件时，四边形EFGH是菱形？并证明你的结论．（3）当AB和CD满足什么条件时，四边形EFGH是正方形．（直接写出结论，不必写证明过程）一、选择题（每题2分，共计18分）将正确答案的选项填入答题纸的表中）1．一元二次方程x2=4x的解是( )A．x=0B．x=4C．x1=2，x2=﹣2D．x1=0，x2=4考点：解一元二次方程-因式分解法．专题：计算题．分析：方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．解答：解：方程移项得：x2﹣4x=0，分解因式得：x（x﹣4）=0，解得：x1=0，x2=4．故选D．点评：此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握解法是解本题的关键．2．对角线互相垂直平分且相等的四边形一定是( )A．正方形B．菱形C．矩形D．等腰梯形考点：正方形的判定；线段垂直平分线的性质．专题：证明题．分析：根据特殊四边形的判定方法：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形判断即可．解答：解：根据正方形的判别方法知，对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．故选A点评：本题是考查正方形的判别方法．判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．3．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的( )A．B．C．D．考点：矩形的性质．分析：本题主要根据矩形的性质，得△EBO≌△FDO，再由△AOB与△OBC同底等高，△AOB与△ABC 同底且△AOB的高是△ABC高的得出结论．解答：解：∵四边形为矩形，∴OB=OD=OA=OC，在△EBO与△FDO中，∵，∴△EBO≌△FDO（ASA），∴阴影部分的面积=S△AEO+S△EBO=S△AOB，∵△AOB与△ABC同底且△AOB的高是△ABC高的，∴S△AOB=S△OBC=S矩形ABC D．故选：B．点评：本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．4．已知关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣4=0的一个根为2，则另一根是( )A．4B．1C．2D．﹣2考点：根与系数的关系．分析：可将该方程的已知根2代入两根之积公式，解方程即可求出方程的另一根．解答：解：设方程的另一根为x1，又∵x=2，∴x1•2=﹣4，解得x1=﹣2．故选D．点评：解决此类题目时要认真审题，确定好各系数的数值与正负，然后确定选择哪一个根与系数的关系式．5．随机掷一枚均匀的硬币两次，两次都是正面的概率是( )A．B．C．D．无法确定考点：概率公式．分析：列举出所有情况，看两次都是正面的情况占总情况的多少即可．解答：解：随机掷一枚均匀的硬币两次，共4种情况：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）；两次都是正面是其中的一种情况；所以两次都是正面的概率是．故选C．点评：此题考查概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．6．不能判断四边形ABCD是平行四边形的是( )A．AB=CD，AD=BCB．AB=CD，AB∥CDC．AB=CD，AD∥BCD．AB∥CD，AD∥BC考点：平行四边形的判定．分析：A、B、D，都能判定是平行四边形，只有C不能，因为等腰梯形也满足这样的条件，但不是平行四边形．解答：解：根据平行四边形的判定：A、B、D可判定为平行四边形，而C不具备平行四边形的条件，故选：C．点评：平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．7．若四边形的两条对角线相等，则顺次连结各边中点所得的四边形是( )A．梯形B．正方形C．矩形D．菱形考点：中点四边形．分析：顺次连接对角线相等的四边形各边中点，所得四边形是菱形，理由为：根据题意画出四边形ABCD，E，F，G，H分别为各边的中点，写出已知，求证，由E，H分别为AB，AD的中点，得到EH为三角形ABD的中位线，根据三角形的中位线定理得到EH平行于BD，且等于BD的一半，同理FG平行于BD，且等于BD的一半，可得出EH与FG平行且相等，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得出EFGH为平行四边形，再由EF为三角形ABC的中位线，得出EF等于AC 的一半，由EH等于BD的一半，且AC=BD，可得出EH=EF，根据邻边相等的平行四边形为菱形可得证．解答：解：顺次连接对角线相等的四边形各边中点，所得四边形是菱形，如图所示：。
北师大版九年级上册第二次月考试数学试卷(解析版) (精选5套试题) (6)
北师大版九年级上学期第二次月考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂）1．sin30°的值为（）A．B．C．D．2．一个圆柱体钢块，正中央被挖去了一个长槽，其俯视图如图所示，则此圆柱体钢块的左视图是（）A．B．C．D．3．若反比例函数y=（k≠0）的图象经过点（﹣1，2），则这个函数的图象一点经过（）A．（﹣2，1）B．（，2）C．（﹣2，﹣1）D．（，2）4．近视眼镜的度数s（度）是镜片焦距d（米）的反比例函数，其大致图象是（）A．B．C．D．5．下列投影中，是平行投影的是（）A．B．C．D．6．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+k=0有两个不相等的实数根，则k的值可以是（）A．3 B．4 C．5 D．67．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，在原点的同一旁，把△ABO缩小，相似比为，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（﹣2，1）B．（﹣8，4）C．（﹣4，1） D．（﹣2，2）8．如图，点B，C分别是锐角∠A两边上的点，AB=AC，分别以点B，C为圆心，以AB的长为半径画弧，两弧相交于点D，连接BD，C D．则根据作图过程判定四边形ABDC是菱形的依据是（）A．一组邻边相等的四边形是菱形B．四边相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形; D．对角线平分一组对角的四边形是菱形9．某商场将每件进价为20元的玩具以30元的价格出售时，每天可售出300件．经调查当单价每涨1元时，每天少售出10件．若商场想每天获得3750元利润，设每件玩具涨x 元，可列方程为：（30+x﹣20）=3750．对所列方程中出现的代数式，下列说法错误的是（）A．（30+x）表示涨价后玩具的单价B．10x表示涨价后少售出玩具的数量C．表示涨价后销售玩具的数量D．（30+x﹣20）表示涨价后的每件玩具的单价10．如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点P是双曲线y=（x ＞0）上的一个动点，PB⊥y轴于点B，当点P的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB的面积将会（）A．逐渐增大B．不变C．逐渐减小D．先增大后减小二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．请将答案填入答题卡的相应位置）11．若，则=．12．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，CD=2cm，则AB=．13．如图，李明晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知李明的身高是1.5米，则BC=米．14．反比例函数y=在每一个象限内，y的值随x值的增大而增大，则满足条件的一个数值k为．15．如图，在▱ABCD中，E是AD边上的中点，连接BE，并延长BE交CD的延长线于点F，若△EDF的周长为9，则△BCF的周长为．16．如图，反比例函数y=（x＞0）的图象和矩形ABCD都在第一象限内，AD与x轴平行，已知点A的坐标是（2，6），AB=2，AD=4．现将矩形ABCD向下平移m个单位，要使矩形ABCD与反比例函数y=（x＞0）的图象有交点，则m的取值范围是．三、解答题（本大题有9小题，共58分．请在答题卡的相应位置作答）17．解方程：x2﹣2x﹣1=0．18．“低碳生活，绿色出行”，自行车日益成为人们喜爱的交通工具．某商场2013年销售自行车3万辆，2015年销售自行车3.63万辆．求这两年的年均增长率．19．用如图所示的A，B两个转盘进行“配紫色”游戏（红色和蓝色在一起配成了紫色）．小亮和小刚同时转动两个转盘，若配成紫色，小亮获胜，否则小刚获胜．这个游戏对双方公平吗？画树状图或列表说明理由．20．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC=16，BD=12．（1）求菱形ABCD的周长；（2）过点O作OE⊥AB于点E，求sin∠BOE的值．21．如图，已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=的图象交于A（﹣1，m），B（n，﹣1）两点．（1）若C（x1，y1），D（x2，y2）是反比例函数的图象上的两点，且0＜x1＜x2，试比较y1，y2的大小得y1y2；（2）求这个一次函数点的表达式．22．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣3，4）C（﹣2，6）（1）画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1（2）以原点O为位似中心，画出将△A1B1C1三条边放大为原来的2倍后的△A2B2C2．23．如图，已知四边形ABCD中，∠B=∠C，AB=8，BC=10，CD=3，E是BC上一点，BE=4．（1）求证：△ABE∽△ECD；（2）求证：∠AED=∠B；（3）已知点F在BC上，且∠AFD=∠AE D．请画出∠AFD，并简要叙述画法，说明理由．24．（1）问题情境，如图1，已知△ABC与△ABD的面积相等，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由．（2）探究发现：如图2，直线y=ax+b（a＜0）与反比例函数y=（k＞0）的图象交于M，N两点，过点M作ME⊥y轴，过点N作NF⊥x轴，垂足分别为E、F，连接EF．你发现（1）EF与MN有怎样位置关系？（2）ME与NF有什么数量关系？九年级（上）第二次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂）1．sin30°的值为（）A．B．C．D．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】根据特殊角的三角函数值，可以求得sin30°的值．【解答】解：sin30°=，故选A．2．一个圆柱体钢块，正中央被挖去了一个长槽，其俯视图如图所示，则此圆柱体钢块的左视图是（）A．B． C．D．【考点】由三视图判断几何体．【分析】左视图是从物体左面看所得到的图形．【解答】解：从物体左面看，是一个矩形，因为里面有一个长方体孔，所以有一条虚线表示的看不到的棱，故选D．3．若反比例函数y=（k≠0）的图象经过点（﹣1，2），则这个函数的图象一点经过（）A．（﹣2，1）B．（，2）C．（﹣2，﹣1）D．（，2）【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】先利用待定系数法求出反比例函数比例系数k的值，再根据反比例函数图象上点的坐标特征求解即可．【解答】解：∵反比例函数y=（k≠0）的图象经过点（﹣1，2），∴k=﹣1×2=﹣2．A、∵﹣2×1=﹣2，∴这个函数的图象一点经过（﹣2，1）；B、∵﹣×2=﹣1≠﹣2，∴这个函数的图象一点不经过（﹣，2）；C、∵﹣2×（﹣1）=2≠﹣2，∴这个函数的图象一点不经过（﹣2，﹣1）；D、∵×2=1≠﹣2，∴这个函数的图象一点不经过（，2）；故选A．4．近视眼镜的度数s（度）是镜片焦距d（米）的反比例函数，其大致图象是（）A．B．C．D．【考点】反比例函数的图象．【分析】根据反比例函数的图象可排除A、B选项，再根据s、d均为正值，由此即可得出结论．【解答】解：∵近视眼镜的度数s（度）是镜片焦距d（米）的反比例函数，∴A、B不符合题意．又∵s、d均为大于0的数，∴反比例函数图象在第一象限．故选C．5．下列投影中，是平行投影的是（）A．B．C．D．【考点】平行投影．【分析】连接影子的顶端和树的顶端得到投影线，若投影线平行则为平行投影．【解答】解：如图，只有B中的投影线是平行的，故选B．6．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+k=0有两个不相等的实数根，则k的值可以是（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】根的判别式．【分析】根据判别式的意义得到△=（﹣4）2﹣4k＞0，然后解不等式即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+k=0有两个不相等的实数根，∴△=（﹣4）2﹣4k＞0，解得k＜4．k的值可以是3，故选A．7．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，在原点的同一旁，把△ABO缩小，相似比为，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（﹣2，1）B．（﹣8，4）C．（﹣4，1）D．（﹣2，2）【考点】位似变换；坐标与图形性质．【分析】利用位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，把A点的横纵坐标分别乘以即可得到点A的对应点A′的坐标．【解答】解：点A（﹣4，2）的对应点A′的坐标是（﹣2，1）．故选A．8．如图，点B，C分别是锐角∠A两边上的点，AB=AC，分别以点B，C为圆心，以AB的长为半径画弧，两弧相交于点D，连接BD，C D．则根据作图过程判定四边形ABDC是菱形的依据是（）A．一组邻边相等的四边形是菱形B．四边相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．对角线平分一组对角的四边形是菱形【考点】菱形的判定．【分析】由AE=AF=ED=DF，根据四条边都相等的四边形是菱形，即可证得：四边形AEDF 是菱形．【解答】解：根据作图过程判定四边形ABDC是菱形的依据是：四边相等的四边形是菱形，理由如下：∵根据题意得：AE=AF=ED=DF，∴四边形AEDF是菱形，故选B．9．某商场将每件进价为20元的玩具以30元的价格出售时，每天可售出300件．经调查当单价每涨1元时，每天少售出10件．若商场想每天获得3750元利润，设每件玩具涨x元，可列方程为：（30+x﹣20）=3750．对所列方程中出现的代数式，下列说法错误的是（）A．（30+x）表示涨价后玩具的单价B．10x表示涨价后少售出玩具的数量C．表示涨价后销售玩具的数量D．（30+x﹣20）表示涨价后的每件玩具的单价【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】设涨价x元，然后分别表示出销量和涨价后的单价即可列出方程求解．【解答】解：设涨价x元，根据题意可得：A、∵（30+x）表示涨价后玩具的单价，∴A选项正确；B、∵10x表示涨价后少售出玩具的数量，∴B选项正确；C、∵表示涨价后销售玩具的数量，∴C选项正确；D、∵（30+x﹣20）表示涨价后的每件玩具的利润，故D选项错误，故选D．10．如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点P是双曲线y=（x ＞0）上的一个动点，PB⊥y轴于点B，当点P的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB的面积将会（）A．逐渐增大 B．不变 C．逐渐减小 D．先增大后减小【考点】反比例函数系数k的几何意义．【分析】由双曲线y=（x＞0）设出点P的坐标，运用坐标表示出四边形OAPB的面积函数关系式即可判定．【解答】解：设点P的坐标为（x，），∵PB⊥y轴于点B，点A是x轴正半轴上的一个定点，∴四边形OAPB是个直角梯形，∴四边形OAPB的面积=（PB+AO）•BO=（x+AO）•=+=+•，∵AO是定值，∴四边形OAPB的面积是个减函数，即点P的横坐标逐渐增大时四边形OAPB的面积逐渐减小．故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．请将答案填入答题卡的相应位置）11．若，则=．【考点】比例的性质．【分析】根据分比定理【分比定理：如果a：b=c：d，那么（a﹣b）：b=（c﹣d）：d（b、d≠0）】解答．【解答】解：∵，∴==．故答案为：．12．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，CD=2cm，则AB=4cm．【考点】直角三角形斜边上的中线．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AB=2C D．【解答】解：∵∠ACB=90°，D是AB的中点，∴AB=2CD=2×2=4cm．故答案为：4cm．13．如图，李明晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知李明的身高是1.5米，则BC=3米．【考点】相似三角形的应用；中心投影．【分析】根据在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的光线三者构成的两个直角三角形相似解答．【解答】解：∵=，当李明在CG处时，Rt△DCG∽Rt△DBA，即=，当李明在EH处时，Rt△FEH∽Rt△FBA，即==，∴=，∵CG=EH=1.5米，CD=1米，CE=3米，EF=2米，设AB=x，BC=y，∴=，解得：y=3，经检验y=3是原方程的根．则BC=3（m）．故答案为：3．14．反比例函数y=在每一个象限内，y的值随x值的增大而增大，则满足条件的一个数值k为﹣1．【考点】反比例函数的性质．【分析】根据反比例函数的单调性即可得出k＜0，取其内的任意一个数即可得出结论．【解答】解：∵反比例函数y=在每一个象限内，y的值随x值的增大而增大，∴k＜0．∵﹣1＜0，∴可以取k=﹣1．故答案为：﹣1．15．如图，在▱ABCD中，E是AD边上的中点，连接BE，并延长BE交CD的延长线于点F，若△EDF的周长为9，则△BCF的周长为18．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】只要证明△FED∽△FBC，推出=，再证明BC=2DE，即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DE∥BC，AD=BC，∴△FED∽△FBC，∴=∵AE=DE，∴BC=2DE，∵△EDF的周长为9，∴△FBC的周长为18．故答案为18．16．如图，反比例函数y=（x＞0）的图象和矩形ABCD都在第一象限内，AD与x轴平行，已知点A的坐标是（2，6），AB=2，AD=4．现将矩形ABCD向下平移m个单位，要使矩形ABCD与反比例函数y=（x＞0）的图象有交点，则m的取值范围是1≤m≤5．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】根据矩形性质得出AB=CD=2，AD=BC=4，即可得出B（2，4），C（6，4），D（6，6），根据向下平移横坐标不变，分别代入B的横坐标和D的横坐标求得对应的函数值，即可求得m的取值范围．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，平行于x轴，且AB=2，AD=4，点A的坐标为（2，6）．∴AB=CD=2，AD=BC=4，∴B（2，4），C（6，4），D（6，6）；当B点落在反比例函数的图象上时，把x=2代入y=得，y=3，∴m=4﹣3=1，当D点落在反比例函数的图象上时，把x=6代入y=得，y=1，∴m=6﹣1=5，∴要使矩形ABCD与反比例函数y=（x＞0）的图象有交点，则m的取值范围是1≤m≤5．故答案为1≤m≤5．三、解答题（本大题有9小题，共58分．请在答题卡的相应位置作答）17．解方程：x2﹣2x﹣1=0．【考点】解一元二次方程﹣公式法．【分析】先整理成一元二次方程的一般形式再利用求根公式求解，或者利用配方法求解皆可．【解答】解：解法一：∵a=1，b=﹣2，c=﹣1∴b2﹣4ac=4﹣4×1×（﹣1）=8＞0∴∴，；解法二：（x﹣1）2=2∴∴，．18．“低碳生活，绿色出行”，自行车日益成为人们喜爱的交通工具．某商场2013年销售自行车3万辆，2015年销售自行车3.63万辆．求这两年的年均增长率．【考点】一元二次方程的应用．【分析】设这两年的年均增长率为x．等量关系为：2013年的销售量×（1+增长率）2=2015年的销售量，把相关数值代入求解即可．【解答】解：设这两年的年均增长率为x，根据题意列方程：3（1+x）2=3.63，解得x1=﹣210%（不合题意，舍去），x2=10%．答：这两年的年均增长率为10%．19．用如图所示的A，B两个转盘进行“配紫色”游戏（红色和蓝色在一起配成了紫色）．小亮和小刚同时转动两个转盘，若配成紫色，小亮获胜，否则小刚获胜．这个游戏对双方公平吗？画树状图或列表说明理由．【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．【分析】游戏是否公平，关键要看游戏双方取胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等即可．【解答】解：游戏不公平，理由如下：游戏结果分析如下：“√”表示配成紫色，“×”表示不能够配成紫色．红蓝绿红×√×蓝√××P（配紫色）=，P（没有配紫色）=，∵，∴这个游戏对双方不公平．20．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC=16，BD=12．（1）求菱形ABCD的周长；（2）过点O作OE⊥AB于点E，求sin∠BOE的值．【考点】菱形的性质；解直角三角形．【分析】（1）由已知条件可求出菱形的边长，进而可求出其周长；（2）由△AOB的面积为菱形面积的四分之一，可求出OE的长，进而可求出sin∠BOE的值．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，AC=16，BD=12，∴AC⊥BD，AO=OC=AC=8，BO=BD=BD=6，在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB==10，∴菱形ABCD的周长=4AB=40；（2）∵菱形ABCD的面积=AC•BD=96，∴△AOB的面积=×96=24，∴OE==4.8，∴BE=3.6，∴sin∠BOE==．21．如图，已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=的图象交于A（﹣1，m），B（n，﹣1）两点．（1）若C（x1，y1），D（x2，y2）是反比例函数的图象上的两点，且0＜x1＜x2，试比较y1，y2的大小得y1＜y2；（2）求这个一次函数点的表达式．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）根据反比例函数的性质即可直接判断；（2）首先把A和B的坐标代入反比例函数解析式求得m和n的值，然后利用待定系数法求得函数解析式．【解答】解：（1）∵比例系数k=﹣2＜0，∴当且0＜x1＜x2时，y1＜y2．故答案是：＜；（2）把A（﹣1，m）和B（n，﹣1）代入y=﹣得：m=2，n=2．则A的坐标是（﹣1，2），B的坐标是（2，﹣1）．根据题意得，解得：，则一次函数的解析式是y=﹣x+1．22．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣3，4）C（﹣2，6）（1）画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1（2）以原点O为位似中心，画出将△A1B1C1三条边放大为原来的2倍后的△A2B2C2．【考点】作图﹣位似变换；作图﹣旋转变换．【分析】（1）由A（﹣1，2），B（﹣3，4）C（﹣2，6），可画出△ABC，然后由旋转的性质，即可画出△A1B1C1；（2）由位似三角形的性质，即可画出△A2B2C2．【解答】解：如图：（1）△A1B1C1即为所求；（2）△A2B2C2即为所求．23．如图，已知四边形ABCD中，∠B=∠C，AB=8，BC=10，CD=3，E是BC上一点，BE=4．（1）求证：△ABE∽△ECD；（2）求证：∠AED=∠B；（3）已知点F在BC上，且∠AFD=∠AE D．请画出∠AFD，并简要叙述画法，说明理由．【考点】相似三角形的判定与性质；作图—相似变换．【分析】（1）由AB=8，BC=10，CD=3，BE=4，易得AB：EC=BE：CD，又由∠B=∠C，即可证得：△ABE∽△ECD；（2）由△ABE∽△ECD，可得∠BAE=∠CED，然后由三角形外角的性质，证得结论；（3）根据同弧所对的圆周角相等，可得作△ADE的外接圆⊙O，则⊙O与BC的交点即为点F．【解答】证明：（1）∵BC=10，BE=4，∴EC=BC﹣BE=6，∵AB=8，CD=3，∴AB：EC=8：6=4：3，BE：CD=4：3，∴AB：EC=BE：CD，∵∠B=∠C，∴△ABE∽△ECD；（2）∵△ABE∽△ECD，∴∠BAE=∠CED，∵∠B+∠BAE=∠AED+∠CED，∴∠AED=∠B；（3）如图，作△ADE的外接圆⊙O，则⊙O与BC的交点即为点F．24．（1）问题情境，如图1，已知△ABC与△ABD的面积相等，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由．（2）探究发现：如图2，直线y=ax+b（a＜0）与反比例函数y=（k＞0）的图象交于M，N两点，过点M作ME⊥y轴，过点N作NF⊥x轴，垂足分别为E、F，连接EF．你发现（1）EF与MN有怎样位置关系？（2）ME与NF有什么数量关系？【考点】反比例函数综合题．【分析】（1）分别过点C、D作CG⊥AB、DH⊥AB，垂足为G、H，根据三角形的面积求出CG=DH，推出平行四边形CGDH即可；（2）①证△EMF和△NEF的面积相等，根据（1）即可推出答案；②设出M、N的坐标，根据M、N分别为直线与反比例函数的交点，代入两解析式可得到ME和NF的关系．【解答】（1）证明：分别过点C、D作CG⊥AB、DH⊥AB，垂足为G、H，如图①，则∠CGA=∠DHB=90°．∵CG⊥AB、DH⊥AB，∴∠CGA=∠DHA=90°，∴∠CGA+∠DHA=180°，∴CG∥DH．∵△ABC与△ABD的面积相等，∴CG=DH，∴四边形CGHD为平行四边形，∴AB∥CD；（2）①证明：连接MF，NE，如图②，设点M的坐标为（x1，y1），点N的坐标为（x2，y2），∵点M，N在反比例函数y=（k＞0）的图象上，∴x1y1=k，x2y2=k，∵ME⊥y轴，NF⊥x轴，∴OE=y1，OF=x2，∴S△EFM=x1y1=k，S△EFN=x2y2=k，∴S△EFM=S△EFN，由（1）中的结论可知：MN∥EF；②设点M的坐标为（x1，y1），点N的坐标为（x2，y2），∵直线y=ax+b（a＜0）与反比例函数y=（k＞0）的图象交于M，N两点，∴，消去b可得y1﹣y2=a（x1﹣x2）（*），且，代入（*）式可得﹣=a（x1﹣x2），整理可得k（x2﹣x1）=a（x1﹣x2）x1x2，∴k=﹣ax1x2，∴=﹣ax1，即y2=﹣ax1，∴NF=﹣aME．北师大版九年级上学期第二次月考数学试卷一、选择题（每题2分，共计18分）将正确答案的选项填入答题纸的表中）1．一元二次方程x2=4x的解是( )A．x=0B．x=4C．x1=2，x2=﹣2D．x1=0，x2=42．对角线互相垂直平分且相等的四边形一定是( )A．正方形B．菱形C．矩形D．等腰梯形3．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的( )A．B．C．D．4．已知关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣4=0的一个根为2，则另一根是( )A．4B．1C．2D．﹣25．随机掷一枚均匀的硬币两次，两次都是正面的概率是( )A．B．C．D．无法确定6．不能判断四边形ABCD是平行四边形的是( )A．AB=CD，AD=BCB．AB=CD，AB∥CDC．AB=CD，AD∥BCD．AB∥CD，AD∥BC7．若四边形的两条对角线相等，则顺次连结各边中点所得的四边形是( )A．梯形B．正方形C．矩形D．菱形8．下列说法不正确的是( )A．一组邻边相等的矩形是正方形B．对角线相等的菱形是正方形C．对角线互相垂直的矩形是正方形D．有一个角是直角的平行四边形是正方形9．整数K＜5，△ABC的三边长均满足方程x2﹣3x+8=0，则△ABC的周长是( ) A．6B．10C．12D．6或10或12二、填空题（每小题3分，共27分）10．请你给出一个m值，当m=__________，使方程x2+m=0有整数根．11．如图，菱形ABCD的周长为24cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于__________．12．如图所示，某小区规划在一个长为40 m、宽为26 m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的甬路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．若使每一块草坪的面积为144 m2，求甬路的宽度．若设甬路的宽度为xm，则x满足的方程为__________．13．菱形的两条对角线的长分别是8cm和6cm，则菱形的周长是__________，面积是__________．14．袋子里有8个白球，n个红球，经过大量实验，从中任取一个球恰好是白球的概率是，则n的值是__________．15．某商品经过两次降价，由每件100元降至81元，则平均每次降价的百分率为__________．16．已知m是方程x2+3x﹣1=0的一个根，则代数式2m2+6m﹣3的值为__________．17．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1=0的一个根是0，那么a的值为__________．18．如图，菱形ABCD中，P为对角线AC上一动点，E，F分别为AB、BC中点，若AC=8，BD=6，则PE+PF的最小值为__________．三、简答题（本大题共24分）19．（16分）解方程：（1）（x﹣1）2+2x（x﹣1）=0；（2）（2x﹣5）2﹣（x+4）2=0；（3）2x2+3x﹣1=0；（4）（x﹣1）（x+2）=70．20．用如图所示的两个分格均匀的转盘做游戏：分别转动两个转盘，若转盘停止后，指针指向一个数字（若指针恰好停在分格线上，则重转一次），用所指的两个数字作乘积，请用列表法或树状图求乘积大于10的概率．四、证明题：（本题共10分）21．如图，正方形ABCD边长为1，G为CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连接DE交BG的延长线于点H．（1）求证：BH⊥DE；（2）当BH垂直平分DE时，求CG的长度？请说明理由．（提示：要有辅助线哟？）22．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？23．如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O，E、F、G、H分别是AD，BD，BC，AC 的中点．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）当四边形ABCD满足一个什么条件时，四边形EFGH是菱形？并证明你的结论．（3）当AB和CD满足什么条件时，四边形EFGH是正方形．（直接写出结论，不必写证明过程）一、选择题（每题2分，共计18分）将正确答案的选项填入答题纸的表中）1．一元二次方程x2=4x的解是( )A．x=0B．x=4C．x1=2，x2=﹣2D．x1=0，x2=4考点：解一元二次方程-因式分解法．专题：计算题．分析：方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．解答：解：方程移项得：x2﹣4x=0，分解因式得：x（x﹣4）=0，解得：x1=0，x2=4．故选D．点评：此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握解法是解本题的关键．2．对角线互相垂直平分且相等的四边形一定是( )A．正方形B．菱形C．矩形D．等腰梯形考点：正方形的判定；线段垂直平分线的性质．专题：证明题．分析：根据特殊四边形的判定方法：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形判断即可．解答：解：根据正方形的判别方法知，对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．故选A点评：本题是考查正方形的判别方法．判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．3．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的( )A．B．D．考点：矩形的性质．分析：本题主要根据矩形的性质，得△EBO≌△FDO，再由△AOB与△OBC同底等高，△AOB 与△ABC同底且△AOB的高是△ABC高的得出结论．解答：解：∵四边形为矩形，∴OB=OD=OA=OC，在△EBO与△FDO中，∵，∴△EBO≌△FDO（ASA），∴阴影部分的面积=S△AEO+S△EBO=S△AOB，∵△AOB与△ABC同底且△AOB的高是△ABC高的，∴S△AOB=S△OBC=S矩形ABC D．故选：B．点评：本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．4．已知关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣4=0的一个根为2，则另一根是( )A．4B．1C．2D．﹣2考点：根与系数的关系．分析：可将该方程的已知根2代入两根之积公式，解方程即可求出方程的另一根．解答：解：设方程的另一根为x1，又∵x=2，∴x1•2=﹣4，解得x1=﹣2．故选D．点评：解决此类题目时要认真审题，确定好各系数的数值与正负，然后确定选择哪一个根与系数的关系式．5．随机掷一枚均匀的硬币两次，两次都是正面的概率是( )A．B．D．无法确定考点：概率公式．分析：列举出所有情况，看两次都是正面的情况占总情况的多少即可．解答：解：随机掷一枚均匀的硬币两次，共4种情况：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）；两次都是正面是其中的一种情况；所以两次都是正面的概率是．故选C．点评：此题考查概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．6．不能判断四边形ABCD是平行四边形的是( )A．AB=CD，AD=BCB．AB=CD，AB∥CDC．AB=CD，AD∥BCD．AB∥CD，AD∥BC考点：平行四边形的判定．分析：A、B、D，都能判定是平行四边形，只有C不能，因为等腰梯形也满足这样的条件，但不是平行四边形．解答：解：根据平行四边形的判定：A、B、D可判定为平行四边形，而C不具备平行四边形的条件，故选：C．点评：平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．7．若四边形的两条对角线相等，则顺次连结各边中点所得的四边形是( )A．梯形B．正方形C．矩形D．菱形考点：中点四边形．分析：顺次连接对角线相等的四边形各边中点，所得四边形是菱形，理由为：根据题意画出四边形ABCD，E，F，G，H分别为各边的中点，写出已知，求证，由E，H分别为AB，AD的中点，得到EH为三角形ABD的中位线，根据三角形的中位线定理得到EH平行于BD，且等于BD的一半，同理FG平行于BD，且等于BD的一半，可得出EH与FG平行且相等，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得出EFGH为平行四边形，再由EF为三角形ABC的中位线，得出EF等于AC的一半，由EH等于BD的一半，且AC=BD，可得出EH=EF，根据邻边相等的平行四边形为菱形可得证．解答：解：顺次连接对角线相等的四边形各边中点，所得四边形是菱形，如图所示：已知：E，F，G，H分别为四边形ABCD各边的中点，且AC=BD，求证：四边形EFGH为菱形，证明：∵E，F，G，H分别为四边形ABCD各边的中点，∴EH为△ABD的中位线，FG为△CBD的中位线，∴EH∥BD，EH=BD，FG∥BD，FG=BD，∴EH∥FG，EH=FG=BD，∴四边形EFGH为平行四边形，又EF为△ABC的中位线，∴EF=AC，又EH=BD，且AC=BD，∴EF=EH，∴四边形EFGH为菱形．故选D点评：此题考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定，以及菱形的判定，利用了数形结合及等量代换的思想，灵活运用三角形中位线定理是解本题的关键．8．下列说法不正确的是( )A．一组邻边相等的矩形是正方形B．对角线相等的菱形是正方形C．对角线互相垂直的矩形是正方形D．有一个角是直角的平行四边形是正方形考点：正方形的判定．专题：证明题．分析：根据正方形的判定方法对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形对各个选项进行分析，从而得到答案．解答：解：A、矩形是对边平行且相等，加上一组邻边相等，正好属于正方形，故A选项正确；B、菱形的对角线是相互垂直的，加上对角线相等，正好符合对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形这一性质，故B选项正确；C、矩形的对角线是相等且相互平分的，加上互相垂直，正好符合对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形这一性质，故C选项正确；。
北师大版九年级上册第二次月考试数学试卷(解析版) (精选5套试题) (5)
北师大版九年级上学期第二次月考数学试卷一、选择题1．下列给出的方程：①（x+1）（x﹣1）﹣x2=0；②x2+1=0；③y2﹣2y﹣1=0；④x2﹣1=．其中是一元二次方程的是（）A．①②③B．②③④C．①②④D．②③2．根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c为常数）一个解的范围是（）x 3.23 3.24 3.25 3.26ax2+bx+c﹣0.06 ﹣0.02 0.03 0.09A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24 C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.263．下列一元二次方程中，有实数根的方程是（）A．x2﹣x+1=0 B．x2﹣2x+3=0 C．x2+x﹣1=0 D．x2+4=04．如图，矩形ABCD的对角线AC=8cm，∠AOD=120°，则AB的长为（）A．cm B．2cm C．2cm D．4cm5．关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+x+a2﹣4=0的一个根是0，则a的值为（）A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．06．如图，在菱形ABCD中，已知∠A=60°，AB=5，则△ABD的周长是（）A．10 B．12 C．15 D．207．把方程x2﹣6x+2=0配方成（x+p）2=q的形式后，p与q的值分别是（）A．3，7 B．﹣3，7 C．9，7 D．﹣3，98．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形CODE的周长（）A．4 B．6 C．8 D．109．关于x的一元二次方程（m﹣6）x2﹣6x﹣1=0有两个不相等的实数根，则m满足（）A．m≥﹣3 B．m＞﹣3且m≠6C．m≥﹣3且m≠6D．m≠610．如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME=MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为（）A．B．C．D．二、填空题11．一元二次方程3x（x﹣3）=2x2+1化为一般形式为．12．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=8，E是AB的中点，则OE的长等于．13．如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为．14．已知矩形两边长分别是方程x2﹣50x+35=0的两根，则矩形的面积为．15．如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB的中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE，则∠CDE的度数为．16．如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+．其中正确的序号是（把你认为正确的都填上）．三、解答题（共6题，共52分）17．解下列方程（1）x2﹣2x+1=0 （2）x2+3x+1=0（3）x2﹣6x﹣18=0（配方法）（4）x（5x+4）=5x+4．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、C D．求证：EF=C D．19．如图，AD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC和AB的平行线，交AB于点E，交AC于点F．求证：四边形AEDF是菱形．20．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？21．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，将矩形纸片折叠，使点C与点A重合，请在图中画出折痕，并求折痕的长．22．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5，∠C=30°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．（1）求证：AE=DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题1．下列给出的方程：①（x+1）（x﹣1）﹣x2=0；②x2+1=0；③y2﹣2y﹣1=0；④x2﹣1=．其中是一元二次方程的是（）A．①②③B．②③④C．①②④D．②③【考点】一元二次方程的定义．【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）二次项系数不为0；（4）是整式方程．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【解答】解：①由（x+1）（x﹣1）﹣x2=0得到：﹣1=0，不是方程，且不成立，故错误；②x2+1=0；③y2﹣2y﹣1=0符合一元二次方程的定义，故正确；④x2﹣1=属于分式方程，故错误；故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程的定义．判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．这是一个需要识记的内容．2．根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c为常数）一个解的范围是（）x 3.23 3.24 3.25 3.26ax2+bx+c﹣0.06 ﹣0.02 0.03 0.09A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24 C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26【考点】图象法求一元二次方程的近似根．【分析】根据函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax2+bx+c=0的根，再根据函数的增减性即可判断方程ax2+bx+c=0一个解的范围．【解答】解：函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax2+bx+c=0的根，函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的纵坐标为0；由表中数据可知：y=0在y=﹣0.02与y=0.03之间，∴对应的x的值在3.24与3.25之间，即3.24＜x＜3.25．故选：C．【点评】掌握函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点与方程ax2+bx+c=0的根的关系是解决此题的关键所在．3．下列一元二次方程中，有实数根的方程是（）A．x2﹣x+1=0 B．x2﹣2x+3=0 C．x2+x﹣1=0 D．x2+4=0【考点】根的判别式．【分析】只要判断每个方程的根的判别式的值与零的关系就可以了．【解答】解：A、△=（﹣1）2﹣4×1×1=﹣3＜0，没有实数根；B、△=（﹣2）2﹣4×1×3=﹣8＜0，没有实数根；C、△=12﹣2×1×（﹣1）=3＞0，有实数根；D、△=0﹣4×1×4=﹣16＜0，没有实数根．故选C．【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．4．如图，矩形ABCD的对角线AC=8cm，∠AOD=120°，则AB的长为（）A．cm B．2cm C．2cm D．4cm【考点】矩形的性质；等边三角形的判定与性质．【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得AO=BO=AC，再根据邻角互补求出∠AOB的度数，然后得到△AOB是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可得解．【解答】解：在矩形ABCD中，AO=BO=AC=4cm，∵∠AOD=120°，∴∠AOB=180°﹣120°=60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB=AO=4cm．故选D．【点评】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，判定出△AOB是等边三角形是解题的关键．5．关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+x+a2﹣4=0的一个根是0，则a的值为（）A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．0【考点】一元二次方程的解．【分析】由一元二次方程的定义，可知a﹣2≠0；一根是0，代入（a﹣2）x2+x+a2﹣4=0可得a2﹣4=0．a 的值可求．【解答】解：∵（a﹣2）x2+x+a2﹣4=0是关于x的一元二次方程，∴a﹣2≠0，即a≠2①由一个根是0，代入（a﹣2）x2+x+a2﹣4=0，可得a2﹣4=0，解之得a=±2；②由①②得a=﹣2．故选B．【点评】本题考查一元二次方程的定义应用，二次项系数不为0．解题时须注意，此为易错点．否则选C就错了．6．如图，在菱形ABCD中，已知∠A=60°，AB=5，则△ABD的周长是（）A．10 B．12 C．15 D．20【考点】菱形的性质；等边三角形的判定与性质．【分析】根据菱形的性质可得判断△ABD是等边三角形，继而根据AB=5求出△ABD的周长．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，又∵∠A=60°，∴△ABD是等边三角形，∴△ABD的周长=3AB=15．故选C．【点评】本题考查了菱形的性质，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握菱形的四边相等的性质．7．把方程x2﹣6x+2=0配方成（x+p）2=q的形式后，p与q的值分别是（）A．3，7 B．﹣3，7 C．9，7 D．﹣3，9【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】直接对一元二次方程配方，然后把常数项移到等号右边即可．【解答】解：x2﹣6x=﹣2，x2﹣6x+9=﹣2+9，（x﹣3）2=7，∴p=﹣3，q=7故选：B．【点评】本题考查了配方法解一元二次方程，用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．8．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形CODE 的周长（）A．4 B．6 C．8 D．10【考点】菱形的判定与性质；矩形的性质．【分析】首先由CE∥BD，DE∥AC，可证得四边形CODE是平行四边形，又由四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得OC=OD=2，即可判定四边形CODE是菱形，继而求得答案．【解答】解：∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形CODE是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD=4，OA=OC，OB=OD，∴OD=OC=AC=2，∴四边形CODE是菱形，∴四边形CODE的周长为：4OC=4×2=8．故选C．【点评】此题考查了菱形的判定与性质以及矩形的性质．此题难度不大，注意证得四边形CODE是菱形是解此题的关键．9．关于x的一元二次方程（m﹣6）x2﹣6x﹣1=0有两个不相等的实数根，则m满足（）A．m≥﹣3 B．m＞﹣3且m≠6C．m≥﹣3且m≠6 D．m≠6【考点】根的判别式．【分析】根据根的判别式结合二次项系数非0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解不等式组即可得出m的取值范围．【解答】解：∵方程（m﹣6）x2﹣6x﹣1=0有两个不相等的实数根，∴，解得：m＞﹣3且m≠6．故选B．【点评】本题考查了根的判别式，根据根的判别式结合二次项系数非0列出关于m的一元一次不等式组是解题的关键．10．如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME=MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为（）A．B．C．D．【考点】正方形的性质；勾股定理．【分析】利用勾股定理求出CM的长，即ME的长，有DE=DG，可以求出DE，进而得到DG的长．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，M为边DA的中点，∴DM=AD=DC=1，∴CM==，∴ME=MC=，∵ED=EM﹣DM=﹣1，∵四边形EDGF是正方形，∴DG=DE=﹣1．故选：D．【点评】本题考查了正方形的性质和勾股定理的运用，属于基础题目．二、填空题11．一元二次方程3x（x﹣3）=2x2+1化为一般形式为x2﹣9x﹣1=0．【考点】一元二次方程的一般形式．【分析】根据一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项可得答案．【解答】解：一元二次方程3x（x﹣3）=2x2+1化为一般形式为x2﹣9x﹣1=0，故答案为：x2﹣9x﹣1=0．【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．12．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=8，E是AB的中点，则OE的长等于4．【考点】菱形的性质；三角形中位线定理．【分析】由在菱形ABCD中，AB=8，E是AB的中点，易求得BC的长，证得OE是△ABC的中位线，然后利用三角形中位线的性质求解即可求得答案．【解答】解：∵在菱形ABCD中，AB=8，∴BC=AB=8，OA=OC，∵E是AB的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴OE=BC=4．故答案为：4．【点评】此题考查了菱形的性质以及三角形中位线的性质．注意证得OE是△ABC的中位线是关键．13．如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为14．【考点】勾股定理；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线．【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，CD=BD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE=CE=AC，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解．【解答】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，BC=8，∴AD⊥BC，CD=BD=BC=4，∵点E为AC的中点，∴DE=CE=AC=5，∴△CDE的周长=CD+DE+CE=4+5+5=14．故答案为14．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．14．已知矩形两边长分别是方程x2﹣50x+35=0的两根，则矩形的面积为35．【考点】根与系数的关系．【分析】设方程x2﹣50x+35=0的两根分别为a，b，根据根与系数的关系可得出a+b=50、ab=35，再根据矩形的面积公式即可得出结论．【解答】解：设方程x2﹣50x+35=0的两根分别为a，b，则：a+b=50，ab=35，∵a、b是矩形两边，∴矩形的面积为35．故答案为：35．【点评】本题考查了根与系数的关系以及矩形的面积公式，熟练掌握“两根之积为”是解题的关键．15．如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB的中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE，则∠CDE的度数为45°．【考点】翻折变换（折叠问题）；菱形的性质．【分析】连接BD，由菱形的性质及∠A=60°，得到三角形ABD为等边三角形，P为AB的中点，利用三线合一得到DP为角平分线，得到∠ADP=30°，∠ADC=120°，∠C=60°，进而求出∠PDC=90°，由折叠的性质得到∠CDE=∠PDE=45°．【解答】解：连接BD，∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°，∴△ABD为等边三角形，∠ADC=120°，∠C=60°，∵P为AB的中点，∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP=∠BDP=30°，∴∠PDC=90°，∴由折叠的性质得到∠CDE=∠PDE=45°故答案为：45°【点评】此题考查了翻折变换（折叠问题），菱形的性质，等边三角形的性质，以及内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．16．如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+．其中正确的序号是①②④（把你认为正确的都填上）．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．【专题】压轴题．【分析】根据三角形的全等的知识可以判断①的正误；根据角角之间的数量关系，以及三角形内角和为180°判断②的正误；根据线段垂直平分线的知识可以判断③的正误，利用解三角形求正方形的面积等知识可以判断④的正误．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∵△AEF是等边三角形，∴AE=AF，在Rt△ABE和Rt△ADF中，，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE=DF，∵BC=DC，∴BC﹣BE=CD﹣DF，∴CE=CF，∴①说法正确；∵CE=CF，∴△ECF是等腰直角三角形，∴∠CEF=45°，∵∠AEF=60°，∴∠AEB=75°，∴②说法正确；如图，连接AC，交EF于G点，∴AC⊥EF，且AC平分EF，∵∠CAF≠∠DAF，∴DF≠FG，∴BE+DF≠EF，∴③说法错误；∵EF=2，∴CE=CF=，设正方形的边长为a，在Rt△ADF中，AD2+DF2=AF2，即a2+（a﹣）2=4，解得a=，则a2=2+，S正方形ABCD=2+，④说法正确，故答案为：①②④．【点评】本题主要考查正方形的性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的证明以及辅助线的正确作法，此题难度不大，但是有一点麻烦．三、解答题（共6题，共52分）17．解下列方程（1）x2﹣2x+1=0（2）x2+3x+1=0（3）x2﹣6x﹣18=0（配方法）（4）x（5x+4）=5x+4．【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．【分析】（1）左边利用完全平方公式进行因式分解，然后通过开平方解方程；（2）利用配方法把左边配成完全平方式，右边化为常数；（3）把常数项﹣18移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣6的一半的平方；（4）先移项，然后利用提取公因式（5x+4）进行因式分解．【解答】解：（1）由原方程，得（x﹣1）2=0，解得x1=x2=1；（2）移项得x2+3x=﹣1，配方得x2+3x+（）2=﹣1+（）2，即（x+）2=，开方得x+=±，∴x1=，x2=．（3）由原方程移项，得x2﹣6x=18，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得x2﹣6x+9=27，配方，得（x﹣3）2=27，开方，得x﹣3=±3，解得，x1=3+3，x2=3﹣3．（4）由原方程，得（x﹣1）（5x+4）=0，则x﹣1=0或5x+4=0，解得，x1=1，x2=﹣【点评】此题考查了配方法和因式分解法解一元二次方程，用配方法解一元二次方程的步骤：（1）形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．（2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、C D．求证：EF=C D．【考点】矩形的判定与性质；三角形中位线定理．【专题】证明题．【分析】由DE、DF是△ABC的中位线，可证得四边形DECF是平行四边形，又由在Rt△ABC中，∠ACB=90°，可证得四边形DECF是矩形，根据矩形的对角线相等，即可得EF=C D．【解答】证明：∵DE、DF是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DF∥AC，∴四边形DECF是平行四边形，又∵∠ACB=90°，∴四边形DECF是矩形，∴EF=C D．【点评】此题考查了矩形的判定与性质以及三角形中位线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．19．如图，AD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC和AB的平行线，交AB于点E，交AC于点F．求证：四边形AEDF是菱形．【考点】菱形的判定．【专题】证明题．【分析】由已知易得四边形AEDF是平行四边形，由角平分线和平行线的定义可得∠FAD=∠FDA，根据等角对等边可得AF=DF，再根据邻边相等的四边形是菱形可得结论．【解答】证明：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAD=∠FAD，∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∠EAD=∠ADF，∴∠FAD=∠FDA，∴AF=DF，∴四边形AEDF是菱形．【点评】此题主要考查了菱形的判定，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形．20．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？【考点】一元二次方程的应用．【专题】几何图形问题．【分析】设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为（25﹣2x+1）m．根据矩形的面积公式建立方程求出其解就可以了．【解答】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为（25﹣2x+1）m，由题意得x（25﹣2x+1）=80，化简，得x2﹣13x+40=0，解得：x1=5，x2=8，当x=5时，26﹣2x=16＞12（舍去），当x=8时，26﹣2x=10＜12，答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m．【点评】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用及一元二次方程的解法的运用，解答时寻找题目的等量关系是关键．21．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，将矩形纸片折叠，使点C与点A重合，请在图中画出折痕，并求折痕的长．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】利用勾股定理列式求出AC，根据翻折变换的性质可得AC⊥EF，OC=AC，然后利用∠ACB 的正切列式求出OF，再求出△AOE和△COF全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=OF．【解答】解：∵AB=6cm，BC=8cm，∴AC===10cm，∵折叠后点C与点A重合，∴AC⊥EF，OC=AC=×10=5cm，∵tan∠ACB==，∴=，解得OF=，∵矩形对边AD∥BC，∴∠OAE=∠OCF，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE=OF=，∴折痕EF=+=．【点评】本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，全等三角形的判定与性质，熟记各性质是解题的关键．22．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5，∠C=30°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．（1）求证：AE=DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．【考点】菱形的性质；含30度角的直角三角形；矩形的性质；解直角三角形．【专题】几何图形问题；压轴题；动点型．【分析】（1）在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，由已知条件求证；（2）求得四边形AEFD为平行四边形，若使▱AEFD为菱形则需要满足的条件及求得；（3）①∠EDF=90°时，四边形EBFD为矩形．在直角三角形AED中求得AD=2AE即求得．②∠DEF=90°时，由（2）知EF∥AD，则得∠ADE=∠DEF=90°，求得AD=AE•cos60°列式得．③∠EFD=90°时，此种情况不存在．【解答】（1）证明：在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，∴DF=t．又∵AE=t，∴AE=DF．（2）解：能．理由如下：∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF．又AE=DF，∴四边形AEFD为平行四边形．∵AB=BC•tan30°=5=5，∴AC=2AB=10．∴AD=AC﹣DC=10﹣2t．若使▱AEFD为菱形，则需AE=AD，即t=10﹣2t，t=．即当t=时，四边形AEFD为菱形．（3）解：①∠EDF=90°时，四边形EBFD为矩形．在Rt△AED中，∠ADE=∠C=30°，∴AD=2AE．即10﹣2t=2t，t=．②∠DEF=90°时，由（2）四边形AEFD为平行四边形知EF∥AD，∴∠ADE=∠DEF=90°．∵∠A=90°﹣∠C=60°，∴AD=AE•cos60°．即10﹣2t=t，t=4．③∠EFD=90°时，此种情况不存在．综上所述，当t=秒或4秒时，△DEF为直角三角形．【点评】本题考查了菱形的性质，考查了菱形是平行四边形，考查了菱形的判定定理，以及菱形与矩形之间的联系．难度适宜，计算繁琐．北师大版九年级上学期第二次月考数学试卷一、选择题（每题2分，共计18分）将正确答案的选项填入答题纸的表中）1．一元二次方程x2=4x的解是( )A．x=0B．x=4C．x1=2，x2=﹣2D．x1=0，x2=42．对角线互相垂直平分且相等的四边形一定是( )A．正方形B．菱形C．矩形D．等腰梯形3．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的( )A．B．C．D．4．已知关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣4=0的一个根为2，则另一根是( )A．4B．1C．2D．﹣25．随机掷一枚均匀的硬币两次，两次都是正面的概率是( )A．B．C．D．无法确定6．不能判断四边形ABCD是平行四边形的是( )A．AB=CD，AD=BCB．AB=CD，AB∥CDC．AB=CD，AD∥BCD．AB∥CD，AD∥BC7．若四边形的两条对角线相等，则顺次连结各边中点所得的四边形是( )A．梯形B．正方形C．矩形D．菱形8．下列说法不正确的是( )A．一组邻边相等的矩形是正方形B．对角线相等的菱形是正方形C．对角线互相垂直的矩形是正方形D．有一个角是直角的平行四边形是正方形9．整数K＜5，△ABC的三边长均满足方程x2﹣3x+8=0，则△ABC的周长是( )A．6B．10C．12D．6或10或12二、填空题（每小题3分，共27分）10．请你给出一个m值，当m=__________，使方程x2+m=0有整数根．11．如图，菱形ABCD的周长为24cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于__________．12．如图所示，某小区规划在一个长为40 m、宽为26 m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的甬路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．若使每一块草坪的面积为144 m2，求甬路的宽度．若设甬路的宽度为xm，则x满足的方程为__________．13．菱形的两条对角线的长分别是8cm和6cm，则菱形的周长是__________，面积是__________．14．袋子里有8个白球，n个红球，经过大量实验，从中任取一个球恰好是白球的概率是，则n的值是__________．15．某商品经过两次降价，由每件100元降至81元，则平均每次降价的百分率为__________．16．已知m是方程x2+3x﹣1=0的一个根，则代数式2m2+6m﹣3的值为__________．17．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1=0的一个根是0，那么a的值为__________．18．如图，菱形ABCD中，P为对角线AC上一动点，E，F分别为AB、BC中点，若AC=8，BD=6，则PE+PF的最小值为__________．三、简答题（本大题共24分）19．（16分）解方程：（1）（x﹣1）2+2x（x﹣1）=0；（2）（2x﹣5）2﹣（x+4）2=0；（3）2x2+3x﹣1=0；（4）（x﹣1）（x+2）=70．20．用如图所示的两个分格均匀的转盘做游戏：分别转动两个转盘，若转盘停止后，指针指向一个数字（若指针恰好停在分格线上，则重转一次），用所指的两个数字作乘积，请用列表法或树状图求乘积大于10的概率．四、证明题：（本题共10分）21．如图，正方形ABCD边长为1，G为CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连接DE交BG的延长线于点H．（1）求证：BH⊥DE；（2）当BH垂直平分DE时，求CG的长度？请说明理由．（提示：要有辅助线哟？）五、应用题22．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？六、探索证明23．如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O，E、F、G、H分别是AD，BD，BC，AC的中点．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）当四边形ABCD满足一个什么条件时，四边形EFGH是菱形？并证明你的结论．（3）当AB和CD满足什么条件时，四边形EFGH是正方形．（直接写出结论，不必写证明过程）一、选择题（每题2分，共计18分）将正确答案的选项填入答题纸的表中）1．一元二次方程x2=4x的解是( )A．x=0B．x=4C．x1=2，x2=﹣2D．x1=0，x2=4考点：解一元二次方程-因式分解法．专题：计算题．分析：方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．解答：解：方程移项得：x2﹣4x=0，分解因式得：x（x﹣4）=0，解得：x1=0，x2=4．故选D．点评：此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握解法是解本题的关键．2．对角线互相垂直平分且相等的四边形一定是( )A．正方形B．菱形C．矩形D．等腰梯形考点：正方形的判定；线段垂直平分线的性质．专题：证明题．分析：根据特殊四边形的判定方法：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形判断即可．解答：解：根据正方形的判别方法知，对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．故选A点评：本题是考查正方形的判别方法．判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．3．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的( )A．B．C．D．考点：矩形的性质．分析：本题主要根据矩形的性质，得△EBO≌△FDO，再由△AOB与△OBC同底等高，△AOB与△ABC 同底且△AOB的高是△ABC高的得出结论．解答：解：∵四边形为矩形，∴OB=OD=OA=OC，在△EBO与△FDO中，∵，∴△EBO≌△FDO（ASA），∴阴影部分的面积=S△AEO+S△EBO=S△AOB，∵△AOB与△ABC同底且△AOB的高是△ABC高的，∴S△AOB=S△OBC=S矩形ABC D．故选：B．点评：本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．4．已知关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣4=0的一个根为2，则另一根是( )A．4B．1C．2D．﹣2考点：根与系数的关系．分析：可将该方程的已知根2代入两根之积公式，解方程即可求出方程的另一根．解答：解：设方程的另一根为x1，又∵x=2，∴x1•2=﹣4，解得x1=﹣2．故选D．点评：解决此类题目时要认真审题，确定好各系数的数值与正负，然后确定选择哪一个根与系数的关系式．5．随机掷一枚均匀的硬币两次，两次都是正面的概率是( )A．B．C．D．无法确定考点：概率公式．分析：列举出所有情况，看两次都是正面的情况占总情况的多少即可．解答：解：随机掷一枚均匀的硬币两次，共4种情况：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）；两次都是正面是其中的一种情况；所以两次都是正面的概率是．故选C．点评：此题考查概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．6．不能判断四边形ABCD是平行四边形的是( )A．AB=CD，AD=BCB．AB=CD，AB∥CDC．AB=CD，AD∥BCD．AB∥CD，AD∥BC考点：平行四边形的判定．分析：A、B、D，都能判定是平行四边形，只有C不能，因为等腰梯形也满足这样的条件，但不是平行四边形．解答：解：根据平行四边形的判定：A、B、D可判定为平行四边形，而C不具备平行四边形的条件，故选：C．点评：平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．7．若四边形的两条对角线相等，则顺次连结各边中点所得的四边形是( )A．梯形B．正方形C．矩形D．菱形考点：中点四边形．分析：顺次连接对角线相等的四边形各边中点，所得四边形是菱形，理由为：根据题意画出四边形ABCD，E，F，G，H分别为各边的中点，写出已知，求证，由E，H分别为AB，AD的中点，得到EH为三角形ABD的中位线，根据三角形的中位线定理得到EH平行于BD，且等于BD的一半，同理FG平行于BD，且等于BD的一半，可得出EH与FG平行且相等，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得出EFGH为平行四边形，再由EF为三角形ABC的中位线，得出EF等于AC 的一半，由EH等于BD的一半，且AC=BD，可得出EH=EF，根据邻边相等的平行四边形为菱形可得证．解答：解：顺次连接对角线相等的四边形各边中点，所得四边形是菱形，如图所示：已知：E，F，G，H分别为四边形ABCD各边的中点，且AC=BD，求证：四边形EFGH为菱形，证明：∵E，F，G，H分别为四边形ABCD各边的中点，∴EH为△ABD的中位线，FG为△CBD的中位线，∴EH∥BD，EH=BD，FG∥BD，FG=BD，。
北师大版九年级第一学期第二次月考数学模拟试题及答案 (精选5套试题) (30)
北师大版九年级上学期第二次月考数学试卷一、选择题1．方程x2=3x的解是（）A．x=3 B．x1=0，x2=3 C．x1=1，x2=3 D．x=02．已知直角三角形的两条直角边分别是3和4，则它斜边上的中线长为（）A．2.4 B．2.5 C．3 D．53．下列关于x的一元二次方程有实数根的是（）A．x2+1=0 B．x2+x+1=0 C．x2﹣x+1=0 D．x2﹣x﹣1=04．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，且DE∥BC，若AD：DB=3：1，AE=6，则AC等于（）A．3 B．4 C．6 D．85．设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两根，则x12+x22=（）A．6 B．8 C．10 D．126．如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（）A．∠ABD=∠ACB; B．∠ADB=∠ABC C．AB2=AD•AC D．=7．下列命题中，假命题的是（）A．四边形的外角和等于内角和B．所有的矩形都相似C．对角线相等的菱形是正方形D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形8．关于x的方程kx2+2x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≥﹣1 B．k≥﹣1且k≠0C．k≤﹣1 D．k≤1且k≠09．顺次连结对角线相等的四边形的四边中点所得图形是（）A．正方形B．矩形C．菱形D．以上都不对10．如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为x 米，则可以列出关于x 的方程是（ ）A ．x 2+9x ﹣8=0B ．x 2﹣9x ﹣8=0C ．x 2﹣9x +8=0D ．2x 2﹣9x +8=011．下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC 相似的三角形所在的网格图形是（ ）A ．B ．C ．D ．12．如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 边的中点，BE ⊥AC 于点F ，连接DF ，分析下列四个结论：①△AEF ∽△CAB ； ②CF =2AF ； ③DF =DC ； ④S 四边形CDEF =S △AEF ， 其中正确的结论有（ ）个．A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①②③④二、填空题：13．若===3（b +d +f ≠0），则= ．14．已知关于x 的方程x 2+3x +a =0有一个根为﹣2，则另一个根为 ．15．已知三角形两边的长是6和8，第三边的长是方程x 2﹣16x +60=0的一个根，则该三角形的面积是 ． 16．如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点E 、F 分别在边AB ，BC 上，且AE =BF =1，则OC = ．三、解答题（本大题有7题，共52分）17．用适当的方法解下列方程（1）x2+6x﹣7=0 （2）2x2+4x﹣3=0．18．如图，已知菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点C作CE∥BD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E．（1）求证：四边形CODE是矩形；（2）若AB=5，AC=6，求四边形CODE的周长．19．已知：如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D，E分别为BC，AB边上一点，∠ADE=∠C．（1）求证：△BDE∽△CAD；（2）若CD=2，求BE的长．20．某超市经销一种成本为40元/kg的水产品，市场调查发现，按50元/kg销售，一个月能售出500kg．经市场调查，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品的销售情况，超市在月成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，请你帮忙算算，销售单价定为多少？21．如图，有长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料造了宽为1米的两个小门．（1）设花圃的宽AB为x米，请你用含x的代数式表示BC的长米；（2）若此时花圃的面积刚好为45m2，求此时花圃的宽．22．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，动点P从点B出发以2cm/s速度向点c移动，同时动点Q从C出发以1cm/s的速度向点A移动，设它们的运动时间为t．（1）根据题意知：CQ=，CP=；（用含t的代数式表示）（2）t为何值时，△CPQ的面积等于△ABC面积的？（3）运动几秒时，△CPQ与△CBA相似？23．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个根，且OA＞O B．（1）求A、B的坐标．（2）求证：射线AO是∠BAC的平分线．（3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出F点的坐标，若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题1．方程x2=3x的解是（）A．x=3 B．x1=0，x2=3 C．x1=1，x2=3 D．x=0【考点】解一元二次方程－因式分解法．【分析】移项，分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：x2=3x，x2﹣3x=0，x（x﹣3）=0，x=0，x﹣3=0，x1=0，x2=3，故选B．【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．2．已知直角三角形的两条直角边分别是3和4，则它斜边上的中线长为（）A．2.4 B．2.5 C．3 D．5【考点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线．【分析】利用勾股定理列式求出斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．【解答】解：由勾股定理得，斜边==5，所以，斜边上中线长=×5=2.5．故选：B．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，是基础题，熟记性质是解题的关键．3．下列关于x的一元二次方程有实数根的是（）A．x2+1=0 B．x2+x+1=0 C．x2﹣x+1=0 D．x2﹣x﹣1=0【考点】根的判别式．【专题】计算题．【分析】计算出各项中方程根的判别式的值，找出根的判别式的值大于等于0的方程即可．【解答】解：A、这里a=1，b=0，c=1，∵△=b2﹣4ac=﹣4＜0，∴方程没有实数根，本选项不合题意；B、这里a=1，b=1，c=1，∵△=b2﹣4ac=1﹣4=﹣3＜0，∴方程没有实数根，本选项不合题意；C、这里a=1，b=﹣1，c=1，∵△=b2﹣4ac=1﹣4=﹣3＜0，∴方程没有实数根，本选项不合题意；D、这里a=1，b=﹣1，c=﹣1，∵△=b2﹣4ac=1+4=5＞0，∴方程有两个不相等实数根，本选项符合题意；故选D【点评】此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．4．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，且DE∥BC，若AD：DB=3：1，AE=6，则AC等于（）A．3 B．4 C．6 D．8【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可得到答案．【解答】解：∵AD：DB=3：1，∴AD：AB=3：4，∵DE∥BC，∴，∴AC=8，故选D．【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理的运用，熟练利用平行线分线段成比例定理是解题关键．5．设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两根，则x12+x22=（）A．6 B．8 C．10 D．12【考点】根与系数的关系．【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=2，x1•x2=﹣3，再变形x12+x22得到（x1+x2）2﹣2x1•x2，然后利用代入计算即可．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两根是x1、x2，∴x1+x2=2，x1•x2=﹣3，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1•x2=22﹣2×（﹣3）=10．故选C．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．6．如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（）A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABC C．AB2=AD•AC D．=【考点】相似三角形的判定．【分析】根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可．【解答】解：A、∵∠ABD=∠ACB，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；B、∵∠ADB=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；C、∵AB2=AD•AC，∴=，∠A=∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；D、=不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的判定，利用了有两个角对应相等的三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．7．下列命题中，假命题的是（）A．四边形的外角和等于内角和B．所有的矩形都相似C．对角线相等的菱形是正方形D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形【考点】命题与定理．【分析】利用多边形的外角和、相似图形的判定、正方形的判定及菱形的判定分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、四边形的外角和与内角和相等，正确，是真命题；B、所有的矩形都相似，错误，是假命题；C、对角线相等的菱形是正方形，正确，是真命题；D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确，是真命题，故选B．【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解多边形的外角和、相似图形的判定、正方形的判定及菱形的判定，难度不大．8．关于x的方程kx2+2x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≥﹣1 B．k≥﹣1且k≠0C．k≤﹣1 D．k≤1且k≠0【考点】根的判别式．【分析】由于k的取值范围不能确定，故应分k=0和k≠0两种情况进行解答．【解答】解：（1）当k=0时，﹣6x+9=0，解得x=；（2）当k≠0时，此方程是一元二次方程，∵关于x的方程kx2+2x﹣1=0有实数根，∴△=22﹣4k×（﹣1）≥0，解得k≥﹣1，由（1）、（2）得，k的取值范围是k≥﹣1．故选：A．【点评】本题考查了根的判别式，解答此题时要注意分k=0和k≠0两种情况进行讨论．9．顺次连结对角线相等的四边形的四边中点所得图形是（）A．正方形B．矩形 C．菱形 D．以上都不对【考点】中点四边形．【分析】作出图形，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF=AC，GH=AC，HE=BD，FG=BD，再根据四边形的对角线相等可可知AC=BD，从而得到EF=FG=GH=HE，再根据四条边都相等的四边形是菱形即可得解．【解答】解：如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，根据三角形的中位线定理，EF=AC，GH=AC，HE=BD，FG=BD，连接AC、BD，∵四边形ABCD的对角线相等，∴AC=BD，所以，EF=FG=GH=HE，所以，四边形EFGH是菱形．故选C．【点评】本题考查了菱形的判定和三角形的中位线的应用，熟记性质和判定定理是解此题的关键，注意：有四条边都相等的四边形是菱形．作图要注意形象直观．10．如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为x米，则可以列出关于x的方程是（）A．x2+9x﹣8=0 B．x2﹣9x﹣8=0 C．x2﹣9x+8=0 D．2x2﹣9x+8=0【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】几何图形问题．【分析】设人行道的宽度为x米，根据矩形绿地的面积之和为60米2，列出一元二次方程．【解答】解：设人行道的宽度为x米，根据题意得，（18﹣3x）（6﹣2x）=60，化简整理得，x2﹣9x+8=0．故选C．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用两块相同的矩形绿地面积之和为60米2得出等式是解题关键．11．下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（）A．B．C．D．【考点】相似三角形的判定．【专题】网格型．【分析】根据勾股定理求出△ABC的三边，并求出三边之比，然后根据网格结构利用勾股定理求出三角形的三边之比，再根据三边对应成比例，两三角形相似选择答案．【解答】解：根据勾股定理，AB==2，BC==，AC==，所以△ABC的三边之比为：2：=1：2：，A、三角形的三边分别为2，=，=3，三边之比为2：：3=：：3，故A选项错误；B、三角形的三边分别为2，4，=2，三边之比为2：4：2=1：2：，故B选项正确；C、三角形的三边分别为2，3，=，三边之比为2：3：，故C选项错误；D、三角形的三边分别为=，=，4，三边之比为：：4，故D选项错误．故选：B．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与网格结构的知识，根据网格结构分别求出各三角形的三条边的长，并求出三边之比是解题的关键．12．如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 边的中点，BE ⊥AC 于点F ，连接DF ，分析下列四个结论： ①△AEF ∽△CAB ； ②CF =2AF ； ③DF =DC ； ④S 四边形CDEF =S △AEF ，其中正确的结论有（ ）个．A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①②③④【考点】四边形综合题．【分析】①四边形ABCD 是矩形，BE ⊥AC ，则∠ABC =∠AFB =90°，又∠BAF =∠CAB ，于是△AEF ∽△CAB ，故①正确；②由AE =AD =BC ，又AD ∥BC ，所以==，故②正确；③过D 作DM ∥BE 交AC 于N ，得到四边形BMDE 是平行四边形，求出BM =DE =BC ，得到CN =NF ，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故③正确；④根据△AEF ∽△CBF 得到==，求出S △AEF =S △ABF ，S △ABF =S 矩形ABCD S 四边形CDEF =S △ACD ﹣S △AEF =S 矩形ABCD ﹣S 矩形ABCD =S 矩形ABCD ，即可得到S 四边形CDEF =S △ABF ，故④正确． 【解答】解：过D 作DM ∥BE 交AC 于N ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∠ABC =90°，AD =BC ，∵BE ⊥AC 于点F ，∴∠EAC =∠ACB ，∠ABC =∠AFE =90°，∴△AEF ∽△CAB ，故①正确；∵AD ∥BC ，∴△AEF ∽△CBF ，∴==，∵AE =AD =BC ，∴=，∴CF =2AF ，故②正确，∵DE ∥BM ，BE ∥DM ，∴四边形BMDE 是平行四边形，∴BM =DE =BC ，∴BM =CM ，∴CN =NF ，∵BE ⊥AC 于点F ，DM ∥BE ，∴DN ⊥CF ，∴DF =DC ，故③正确；∵△AEF ∽△CBF ，∴==，∴S △AEF =S △ABF ，S △ABF =S 矩形ABCD∴S △AEF =S 矩形ABCD ，又∵S 四边形CDEF =S △ACD ﹣S △AEF =S 矩形ABCD ﹣S 矩形ABCD =S 矩形ABCD ， ∴S 四边形CDEF =S △ABF ，故④正确；故选D ．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．二、填空题：13．若===3（b +d +f ≠0），则= 3 ． 【考点】比例的性质．【分析】根据等比性质，可得答案．【解答】解：===3（b+d+f≠0），则=3，故答案为：3．【点评】本题考查了比例的性质，利用等比性质是解题关键．14．已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣2，则另一个根为﹣1．【考点】根与系数的关系．【分析】设方程的两个根为a、b，由根与系数的关系找出a+b=﹣3，代入a=﹣2即可得出b值．【解答】解：设方程的两个根为a、b，∴a+b=﹣3，∵方程的一根a=﹣2，∴b=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了跟与系数的关系，根据方程的系数找出a+b=﹣3时解题的关键．15．已知三角形两边的长是6和8，第三边的长是方程x2﹣16x+60=0的一个根，则该三角形的面积是24或．【考点】解一元二次方程－因式分解法；三角形的面积；三角形三边关系．【专题】分类讨论．【分析】先解出方程x2﹣16x+60=0的根；再结合三角形的三边关系判断是否能构成三角形及是否为特殊三角形等；最后计算三角形的面积．【解答】解：∵x2﹣16x+60=0，∴（x﹣10）（x﹣6）=0，∴x=6或10，∵三角形两边的长是6和8，∴8﹣6＜第三边＜6+8∴2＜第三边＜14∴第三边的长为6或10．∴三角形有两种：①当三边为6、6、8时，三角形为等腰三角形，面积==8，②当三边为6、8、10时，三角形为直角三角形，面积==24．【点评】本题是综合题，涉及知识点较多包括方程、三角形等，而且答案不唯一．易错点是漏解．16．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在边AB，BC上，且AE=BF=1，则OC=．【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质．【分析】首先证明△BEC≌△CFD，即可证明OC⊥DF，然后利用直角三角新的面积公式即可求得OC的长．【解答】解：∵正方形ABCD中，AB=BC=CD=4，∠B=∠DCF，又∵AE=BF，∴BE=CF=4﹣1=3，DF===5，则在直角△BEC和直角△CFD中，，∴△BEC≌△CFD，∴∠BEC=∠CFD，又∵直角△BCE中，∠BEC+∠BCE=90°，∴∠CFD+∠BCE=90°，∴∠FOC=90°，即OC⊥DF，=CD•CF=OC•DF，∴S△CDF∴OC===．故答案是：．【点评】本题考查了正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质，证明△BEC≌△CFD是解题的关键．三、解答题（本大题有7题，共52分）17．用适当的方法解下列方程（1）x2+6x﹣7=0（2）2x2+4x﹣3=0．【考点】解一元二次方程－因式分解法．【分析】（1）直接利用十字相乘法分解因式进而得出答案；（2）直接利用公式法解方程得出答案．【解答】解：（1）x2+6x﹣7=0（x﹣1）（x+7）=0，解得：x1=1，x2=﹣7；（2）2x2+4x﹣3=0b2﹣4ac=16+24=40＞0，则x=，解得：x1=，x2=．【点评】此题主要考查了一元二次方程的解法，灵活应用各种解题方法是解题关键．18．如图，已知菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点C作CE∥BD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E．（1）求证：四边形CODE是矩形；（2）若AB=5，AC=6，求四边形CODE的周长．【考点】菱形的性质；矩形的判定．【分析】（1）如图，首先证明∠COD=90°；然后证明∠OCE=∠ODE=90°，即可解决问题．（2）如图，首先证明CO=AO=3，∠AOB=90°；运用勾股定理求出BO，即可解决问题．【解答】解：（1）如图，∵四边形ABCD为菱形，∴∠COD=90°；而CE∥BD，DE∥AC，∴∠OCE=∠ODE=90°，∴四边形CODE是矩形．（2）∵四边形ABCD为菱形，∴AO=OC=AC=3，OD=OB，∠AOB=90°，由勾股定理得：BO2=AB2﹣AO2，而AB=5，∴DO=BO=4，∴四边形CODE的周长=2（3+4）=14．【点评】该题主要考查了菱形的性质、矩形的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题；解题的关键是牢固掌握菱形的性质、矩形的性质，这是灵活运用解题的基础和关键．19．已知：如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D，E分别为BC，AB边上一点，∠ADE=∠C．（1）求证：△BDE∽△CAD；（2）若CD=2，求BE的长．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）由题中条件可得∠B=∠C，所以由已知条件，求证∠BDE=∠CAD即可；（2）由（1）可得△BDE∽△CAD，进而由相似三角形的对应边成比例，即可求解线段的长．【解答】（1）证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵∠ADE+∠BDE=∠ADB=∠C+∠CAD，∠ADE=∠C，∴∠BDE=∠CA D．∴△BDE∽△CA D．（2）解：由（1）得．∵AB=AC=5，BC=8，CD=2，∴DB=BC﹣CD=6．∴．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定及性质问题，能够掌握并熟练运用．20．某超市经销一种成本为40元/kg的水产品，市场调查发现，按50元/kg销售，一个月能售出500kg．经市场调查，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品的销售情况，超市在月成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，请你帮忙算算，销售单价定为多少？【考点】一元二次方程的应用．【专题】销售问题．【分析】先根据销售利润=每件利润×数量，再设出单价应定为x元，再根据这个等式列出方程，即可求出答案．【解答】解：设销售单价定为x元，根据题意得：（x﹣40）[500﹣（x﹣50）×10]=8000．解得：x1=60（舍去），x2=80，所以x=80．答：销售单价定为80元．【点评】此题考查了一元二次方程的应用，根据销售利润=每件利润×数量这个等式列出方程是解决本题的关键．21．如图，有长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料造了宽为1米的两个小门．（1）设花圃的宽AB为x米，请你用含x的代数式表示BC的长（24﹣3x）米；（2）若此时花圃的面积刚好为45m2，求此时花圃的宽．【考点】一元二次方程的应用．【专题】几何图形问题．【分析】（1）设花圃的宽AB为x米，由矩形面积S=长×宽，列出函数解析式即可；（2）由在BC上用其他材料造了宽为1米的两个小门，故长变为22﹣3x+2，令面积为45，解得x．【解答】解：（1）BC=22+2﹣3x=24﹣3x．故答案为（24﹣3x）；（2）x（24﹣3x）=45，化简得：x2﹣8x+15=0，解得：x1=5，x2=3．当x=5时，24﹣3x=9＜14，符合要求；当x=3时，24﹣3x=15＞14，不符合要求，舍去．答：花圃的宽为5米．【点评】本题主要考查二次函数及一元二次方程的应用，解题的关键是从实际问题中整理出二次函数模型并运用二次函数解决实际问题，比较简单．22．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，动点P从点B出发以2cm/s速度向点c移动，同时动点Q从C出发以1cm/s的速度向点A移动，设它们的运动时间为t．（1）根据题意知：CQ=t，CP=4﹣2t；（用含t的代数式表示）（2）t为何值时，△CPQ的面积等于△ABC面积的？（3）运动几秒时，△CPQ与△CBA相似？【考点】一元二次方程的应用；相似三角形的判定．【专题】几何动点问题．【分析】（1）结合题意，直接得出答案即可；（2）根据三角形的面积列方程即可求出结果；（2）设经过t秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解：①若Rt△ABC∽Rt△QPC，②若Rt△ABC∽Rt△PQC，然后列方程求解．【解答】解：（1）经过t秒后，PC=4﹣2t，CQ=t，（2）当△CPQ的面积等于△ABC面积的时，即（4﹣2t）•t=××3×4，解得；t=或t=；答：经过或秒后，△CPQ的面积等于△ABC面积的；（3）设经过t秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解，①若Rt△ABC∽Rt△QPC则=，即=，解得t=1.2；②若Rt△ABC∽Rt△PQC则=，即=，解得t=；由P点在BC边上的运动速度为2cm/s，Q点在AC边上的速度为1cm/s，可求出t的取值范围应该为0＜t ＜2，验证可知①②两种情况下所求的t均满足条件．答：要使△CPQ与△CBA相似，运动的时间为1.2或秒．【点评】本题考查一元二次方程的实际运用，动点问题，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，掌握相似三角形的性质是解决问题的关键；特别是（3）注意分类讨论．23．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个根，且OA＞O B．（1）求A、B的坐标．（2）求证：射线AO是∠BAC的平分线．（3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出F点的坐标，若不存在，请说明理由．【考点】四边形综合题．【分析】（1）先解出一元二次方程，即得出OA，OB，即可得出点A，B坐标；（2）先得出BC=AD=6，求出OC，再判断出，△AOB≌△AOC即可；（3）根据菱形的性质，分AC与AF是邻边并且点F在射线AB上与射线BA上两种情况，以及AC与AF 分别是对角线的情况分别进行求解计算．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个根，∴x=3或x=4，∵OA＞OB，∴OA=4，OB=3，∴A（0，4），B（﹣3，0）；∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=6，∵B（﹣3，0），∴C（3，0），∴OC=OB，在△AOB和△AOC中，，∴△AOB≌△AOC，∴∠BAO=∠CAO，∴射线AO是∠BAC的平分线（3）根据计算的数据，OB=OC=3，∴AO平分∠BAC，①AC、AF是邻边，点F在射线AB上时，AF=AC=5，所以点F与B重合，即F（﹣3，0），②AC、AF是邻边，点F在射线BA上时，M应在直线AD上，且FC垂直平分AM，点F（3，8）．③AC是对角线时，做AC垂直平分线L，AC解析式为y=﹣x+4，直线L过（，2），且k值（平面内互相垂直的两条直线k值乘积为﹣1），L解析式为y=x+，联立直线L与直线AB求交点，∴F（﹣，﹣），④AF是对角线时，过C做AB垂线，垂足为N，根据等积法求出CN=，勾股定理得出，AN=，做A关于N的对称点即为F，AF=，过F做y轴垂线，垂足为G，FG=，∴F（﹣，﹣）综上所述，满足条件的点有四个：F1（3，8）；F2（﹣3，0）；F3（﹣，﹣）；F4（﹣，）．【点评】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，待定系数法，菱形的性质，判断出AO平分∠BAC，难点是分类讨论．北师大版九年级上学期第二次月考数学试卷一.选一选（每题3分，共30分）1．矩形，菱形，正方形都具有的性质是（）A．每一条对角线平分一组对角B．对角线相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直2．关于x的一元二次方程x2﹣k=0有实数根，则（）A．k＜0B．k＞0 C．k≥0D．k≤03．如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠ABC=120°，则对角线BD等于（）A．20 B．15 C．10 D．54．把方程x2﹣8x+3=0化成（x+m）2=n的形式，则m，n的值是（）A．4，13 B．﹣4，19 C．﹣4，13 D．4，195．矩形的边长为10cm和15cm，其中一内角平分线分长边为两部分，这两部分的长为（）A．6cm和9cm B．5cm和10cm C．4cm和11cm D．7cm和8cm6．方程（x﹣2）2=（3﹣2x）2可化为（）A．x﹣2=3﹣2x B．x﹣2=2x﹣3C．x﹣2=3﹣2x或x﹣2=2x﹣3 D．以上都不对7．若正方形的对角线长为2cm，则这个正方形的面积为（）A．4cm2B．2cm2C．cm2D．2cm28．根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c为常数）一个解的范围是（）x 3.23 3.24 3.25 3.26ax2+bx+c﹣0.06 ﹣0.02 0.03 0.09A．3＜x＜3.23 B． 3.23＜x＜3.24 C． 3.24＜x＜3.25 D． 3.25＜x＜3.269．若a为方程x2+x﹣5=0的解，则a2+a+1的值为（）A．12 B．6 C．9 D．1610．已知正方形ABCD的边长是10cm，△APQ是等边三角形，点P在BC上，点Q在CD上，则BP的边长是（）A．cm B．cm C．cm D．cm二．填一填（每题3分，共24分）11．已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，那么这个条件可以是．12．把一元二次方程3x（x﹣2）=4化为一般形式是．13．直角三角形两条直角边分别是6、8，则斜边上的中线长．14．关于x的方程（m﹣1）﹣x+3=0是一元二次方程，则m=．15．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=24，BD=10，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点O到边AB的距离．16．已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1=0的两根为x1，x2，则x1+x2=，x1﹣x2=．17．如图，矩形ABCD的两条线段交于点O，过点O作AC的垂线EF，分别交AD、BC于点E、F，连接CE，已知△CDE的周长为24cm，则矩形ABCD的周长是cm．18．如图，正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，AE平分∠DAC，则下列结论：①∠E=22.5°；②∠AFC=112.5°；③∠ACE=135°；④AC=CE；⑤AD：CE=1：2．其中正确的有个．三、解答题（共5小题，满分46分）19．按规定的方法解下列方程：（1）（x+1）2﹣144=0（直接开平方法）；（2）x2=8x+9（配方法）；（3）2y2+7y+3=0（公式法）；（4）3（x﹣2）2=x（x﹣2）（因式分解法）．20．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，Q从点B开始沿BC边向C点以2cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、B同时出发，几秒钟后，△PBQ的面积等于8cm2？21．如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E是BC边上的一点，且AF平分∠DAE，求证：AE=EC+C D．22．如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于O，AE平分∠BAD交BC于E，若∠CAE=15°，求∠BOE的度数．23．如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2AD，点E、F分别是AB、CD的中点，过点A作AG∥BD，交CB的延长线于点G．（1）求证：四边形DEBF是菱形；（2）请判断四边形AGBD是什么特殊四边形？并加以证明．参考答案与试题解析一.选一选（每题3分，共30分）1．矩形，菱形，正方形都具有的性质是（）A．每一条对角线平分一组对角B．对角线相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直考点：矩形的性质；菱形的性质；正方形的性质．分析：矩形，菱形，正方形都是特殊的平行四边形，因而平行四边形具有的性质就是矩形，菱形，正方形都具有的性质．解答：解：矩形，菱形，正方形都具有的性质：对角线互相平分．故选C．点评：本题主要考查的是对矩形，矩形，菱形，正方形的性质的理解．2．关于x的一元二次方程x2﹣k=0有实数根，则（）A．k＜0 B．k＞0C．k≥0 D．k≤0考点：解一元二次方程-直接开平方法．分析：根据直接开平方法的步骤得出x2=k，再根据非负数的性质得出k≥0即可．解答：解：∵x2﹣k=0，∴x2=k，∴一元二次方程x2﹣k=0有实数根，则k≥0，故选：C．点评：此题考查了直接开平方法解一元二次方程，用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．3．如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠ABC=120°，则对角线BD等于（）A．20 B．15 C．10 D．5考点：菱形的性质．分析：首先利用菱形的性质得出∠A=60°，AB=AD，再利用等边三角形的判定与性质得出即可．解答：解：∵在菱形ABCD中，AB=5，∠ABC=120°，∴∠A=∠C=60°，AB=AD，∴△ABD是等边三角形，∴AB=AD=BD=5．故选：D．点评：此题主要考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质，得出△ABD是等边三角形是解题关键．4．把方程x2﹣8x+3=0化成（x+m）2=n的形式，则m，n的值是（）A．4，13 B．﹣4，19 C．﹣4，13 D．4，19考点：解一元二次方程-配方法．分析：此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．解答：解：∵x2﹣8x+3=0∴x2﹣8x=﹣3∴x2﹣8x+16=﹣3+16∴（x﹣4）2=13∴m=﹣4，n=13故选C．点评：配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．5．矩形的边长为10cm和15cm，其中一内角平分线分长边为两部分，这两部分的长为（）A．6cm和9cm B．5cm和10cm C．4cm和11cm D．7cm和8cm考点：矩形的性质．分析：作出草图，根据角平分线的定义求出∠BAE=45°，然后判断出△ABE是等腰直角三角形，然后求出BE=AB，再求出CE即可得解．解答：解：如图，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=45°，又∵∠B=90°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴BE=AB=10cm，∴CE=BC﹣AB=15﹣10=5cm，即这两部分的长为5cm和10cm．故选B．点评：本题考查了矩形的性质，角平分线的定义，熟记性质判断出△ABE是等腰直角三角形是解题的关键．6．方程（x﹣2）2=（3﹣2x）2可化为（）A．x﹣2=3﹣2x B．x﹣2=2x﹣3C．x﹣2=3﹣2x或x﹣2=2x﹣3 D．以上都不对考点：解一元二次方程-因式分解法．专题：计算题．分析：先移项得到（x﹣2）2﹣（3﹣2x）2=0，然后利用平方差公式把方程左边分解，这样原方程可化为x﹣2+3﹣2x=0或x﹣2﹣3+2x=0．解答：解：（x﹣2）2﹣（3﹣2x）2=0，（x﹣2+3﹣2x）（x﹣2﹣3+2x）=0，x﹣2+3﹣2x=0或x﹣2﹣3+2x=0．故选C．点评：本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解．7．若正方形的对角线长为2cm，则这个正方形的面积为（）A．4cm2 B．2cm2 C．cm2 D．2cm2考点：正方形的性质．分析：根据正方形的性质得出AC⊥BD，AC=BD=2cm，根据面积公式求出即可．。
北师大版九年级上册第二次月考数学模拟试题及答案 (精选4套试题)
图1北师大版九年级上学期第二次月考数学试卷（考试时间：100分钟，满分：120分）一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列方程是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ．02=++c bx ax B ．162-+x xC ．02142333=--x x D ．032)3(22=-++x x m 2．分别以下列四组数为一个三角形的边长① 6，8，10 ② 5，12，13 ③ 8，15，16④ 4，5，6，其中能构成直角三角形的有（ ）A ．①④B ．②③C ．①②D ．②④3．有三条公路相交如图1，现计划修建一个油库，要求到三条公路的距离相等，则符合条件的油库的位置有（ ）A ．1处B ．2处C ．3处D ．4处4．根据下表的对应值，判断方程02=++c bx ax （c b a a ,,,0≠为常数）的一个解x 的范围是（ ）x3.23 3.24 3.25 3.26 c bx ax ++2－0.06－0.020.030.09A ．3＜x ＜3.33B ．3.23＜x ＜3.24C ．3.24＜x ＜3.25 D. 3.25＜x ＜3.26 5．方程0422=-+x x 的根的情况是（ ）A ．有两个不相等实数根 B. 有两个相等实数根C. 有一个实数根D.没有实数根6．关于x 的一元二次方程0122=-+x kx 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．1->k B. 1>k C. 0≠k D. 1->k 且0≠k 7．已知等腰三角形的一个内角为30°，则这个等腰三角形的顶角．．为（ ） A. 30° B. 75° C. 75°或120° D. 30°或120°8．九年级（2）的每个同学都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了2550张，若全班有x 名学生，根据题意列方程为（ ）A.2550)1(=+x xB.2550)1(=-x xC.2550)1(2=+x xD.25502)1(⨯=-x x 9．如图2，在△ABC 与△DEF 中，已有条件AB ＝DE ，还需添加两个条件才能使△ABC ≌△DEF ，不能．．添加的一组条件是（ ） A ．∠B ＝∠E ，BC ＝EF B. BC ＝EF ，AC ＝DFC . ∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E D. ∠A ＝∠D ，BC ＝EF10．如图3，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝30°，线段AC 的垂直平分线交AC 于D ，交AB 于E ，连接CE ，则∠BCE 等于（ ）A.70°B.60°C.45°D.50° 二、填空题（每小题4分，共24分）11．22____)(_____8-=+-x x x12．已知等腰△ABC 的腰AB ＝AC ＝10㎝，底BC ＝12㎝，则∠A 的平分线长是________㎝。
北师大版九年级数学上 第二次月考试题
1东北ABC北师大版九年级第二次阶段考试数学试卷（本试卷满分120分，考试时间120分钟）得分一、选择题（本题共8个小题，每小题3分，共24分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 题号 12345678选项2．既是轴对称，又是中心对称图形的是 （ ）A ．矩形B ．平行四边形C ．正三角形D ．等腰梯形3． 如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，DC = 3 cm ，∠A=60°，BD 平分∠ABC ，则这个梯形的周长是…（ ） A. 21 cm B. 18 cm C. 15 cm D. 12 cm4．在同一时刻的阳光下，小明的影子比小强的影子长，那么在同一路灯下（ ）A ．小明的影子比小强的影子长 B.小明的影长比小强的影子短 C.小明的影子和小强的影子一样长 D.无法判断谁的影子长 5．下列左边的主视图和俯视图对应右边的哪个物体 （ ）6．若反比例函数的图象经过（2，-2），（m ，1）,则m=（ ） A ． 1 B ． -1 C ． 4 D ． -47．如图，两个同心圆中，大圆的半径是小圆半径的2倍，把一粒大米抛到 圆形区域中，则大米落在小圆内的概率为（ ）A ． 21B ．31C ． 41D ．无法确定8．如果矩形的面积为6cm 2，那么它的长y cm 与宽x cm 之间的函数关系用图象表示大致 （ ）A B C D9.如图,从A 地沿北偏东30°方向走100m,到B 地再从B 地向西走200m 到C 地,这时小明离A 地 （ ） 。
A. 150m B.1003 m C. 100m D. 503 m 10．某地区为估计该地区黄羊的只数，先捕捉20只黄羊给它们分别作上标志，然后放回，待有标志的黄羊完全混合于黄羊群后，第二次捕捉40只黄羊，发现其中两只有标志。
从而估计该地区有黄羊（ ）A ．200只B 400只 C800只 D1000只 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）11．一架客机从合肥飞往相距450千米的上海，它飞行的时间t （小时）与速度v （千米/小时）之间的函数关系式为 12．已知，如图，把一矩形纸片ABCD 沿BD 对折，落在E 处，BE 与AD 交于M点，写出一组相等的线段__________ ___（不包括AB ＝CD 和AD ＝BC ）。
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山西太原万柏林三中2013-2014学年九年级第二次月考
数学试卷（北师大版）
（本试卷满分：100分，时间：80分钟）
一、选择题（每小题3分，共24分）
1. 下列方程中，不是一元二次方程的是（ ）
A ．01232=++y y
B ．x x 312
1
2-=
C ．03
2
611012=+-a a D ．223x x x =-+
2.下列四个点，在反比例函数x
y 6
=图象上的是（ ）
A ．（1，－6）
B ．（2，4）
C ．（3，－2）
D ．（―6，―1） 3.如图所示的物体有两个紧靠在一起的圆柱体组成，它的主视图是（ ）
4. 某火车站的显示屏每间隔4分钟显示一次火车班次的信息，显示时间持续1分钟，某人到达该车站时，显示屏正好显示火车班次信息的概率是（ ）
A ．61
B ．51
C ．41
D ．3
1
5. 如图：在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，过D 作DF ⊥BC 于F ， 若AD ＝2，BC ＝4，DF ＝2，则DC 的长为（ ）
A ． 5
B ．3
C ．1
D ．2 6.某年爆发世界金融危机，某商品原价为200元，连续两次降价a%后，售价为148元，则下面所列方程正确的是（ ）
A ．148%)1(2002=+a
B ． 148%)1(2002=-a
C ．148%)21(200=-a
D ． 148%)1(200=-a 7. 如图，AC 、BD 是矩形ABCD 的对角线，过点D 作DF ∥AC
交BC 的延长线于F ，则图中与△ABC 全等的三角形共有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ． 4个
8、已知：如图在△ABC，△ADE 中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC ，AD=AE ，点C ，D ，E 三点在同一条直线上，连接BD ，BE ．以下四个结论： ①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°； ④BE 2=2（AD 2+AB 2），其中结论正确的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 写出一个以－1为一个根的一元二次方程 ．
10. 已知直角三角形中30°角所对的直角边长是2cm ，则斜边的长是 ． 11. 如图所示是小红在某天四个时刻看到一个棒及其影子的情况，那么她看到的先后顺序是 ． 12. 如图，△ABC 中，D 为AB 中点，E 在AC 上，且BE⊥AC．若DE=10，AE=16， 则BE 的长度为 .
13. 如图，在△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点．若DE=3，则BC= ．
14. 如图：双曲线x
k
y =
上有一点A ，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，△AOB 的面积为2，则该双曲线的关系式为 ．
15.某地区为估计该地区的绵羊只数，先捕捉20只绵羊给它们分别做上记号，然后放
A ．
B ．
C ．
D ． 第3题图
第5题图
第7题图 第14题图
第12题图
第13题图
第16题图
还，待有标记的绵羊完全混合于羊群后第二次捕捉40只绵羊，发现其中有2只有记号，从而估计这个地区有绵羊 只．
16. 如图，矩形ABCD 在第一象限，AB 在x 轴正半轴上，AB=3，BC=1，直线y=1
2
x-1
经过点C 交x 轴于点E ，双曲线k
y x
=经过点D ，则k 的值为________.
三、解答题（17、18题10
分， 19、20题8分， 21题10分，22题6分）
17.解下列方程：
（1）62)3(2+=+x x （2）084)1(2=+--x x
18．如图所示△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D 为AB 上一点
. （1）求证：△ACE≌△BCD
（2）若AD ＝5，BD ＝12，求DE 的长.
19. 小勇搜集了我省四张著名的旅游景点图片（大小、形状及背面完全形同）：太原以南的壶口瀑布和平遥古城，太原以北的云冈石窟和五台山，他与爸爸玩游戏：把这四张图片背面朝上洗匀，随机抽取一张（不放回），再抽取一张，若抽到的两个景点都在太原以南或都在太原以北，则爸爸同意带他到这两个景点旅游，否则只能去一个景点旅游，请你用列表或画树状图的方法求小勇能去两个景点旅游的概率（四张图片分别用H 、P 、Y 、W 表示）
20．小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元．请问她购买了多少件这种服装？
21．已知正比例函数y=ax 与反比例函数
的图象有一个公共点A （1，2）．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）画出草图，根据图象写出正比例函数值大于反比例函数值 时x 的取值范围．
22．阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为)2(>a a 的正方形ABCD 各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1，当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时，求正方形MNPQ 的面积。
小明发现：分别延长QE ，MF ，NG ，PH ，交FA ，GB ，HC ，ED 的延长线于点R ，S ，T ，W ，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE 是四个全等的等腰直角三角形（如图2） 请回答：
（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙，不重叠），则
这个新的正方形的边长为__________； （2）正方形MNPQ 的面积为 。
参考小明思考问题的方法，解决问题：
（3）如图3，在等边△ABC 各边上分别截取AD=BE=CF ，
再分别过点D ，E ，F 作BC ，AC ，AB 的垂线，得到等边△RPQ ，若3
3
=∆RPQ S ，则AD 的长为__________。
万柏林三中九年级第二次月考 数学试题答案
（本试卷满分：100分，时间：80分钟）
一、选择题（每小
题3分，总计24分）
二、填空题（每
小题3分，总计24分）
9、 x 2 =1 (不唯一)． 10、___4cm__ ，11、⑷⑶⑴⑵__
12、 12 . 13、 6 ，14、x y 4
-=
15、 400 ．16、 1 ．
三、解答题（总计52分）
17.（10分）解下列方程： （1）62)
3(2
+=+x x （2）084)1(2=+--x x
解：（x+3）2-2(x+3）=0 解：x 2-6x+9=0
（x+3）（x+1）=0 （x-3）2 =0 x+3=0或x+1=0 ∴x 1=x 2=3 ∴ x 1=-3，x 2=-1，
20、（8分） 解答： 解：设购买了x 件这种服装，根据题意得出：
[80﹣2（x ﹣10）]x=1200， 解得：x 1=20，x 2=30，
当x=30时，80﹣2（30﹣10）=40（元）＜50不合题意舍去；
密 封 线 内 请 不 要 答 卷 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………
21、（10分）
（1）解：（1）把A （1，2）代入y=ax 得a=2，
所以正比例函数解析式为y=2x ；
把A （1，2）代入y= 得b=1×2=2， 所以反比例函数解析式为y= ；
（2）如图，当﹣1＜x ＜0或x ＞1时， 正比例函数值大于反比例函数值．
22、（6分）
（1） a ，（2） 2 ，（3）
3
2。