山西省孝义三中高二数学上学期期中试题(无答案)新人教A版
山西省孝义三中1011学年高二单元测试(一)(数学)(答案不全)
山西省孝义三中10-11学年高二单元测试（一）（数学）一、选择题（本题包括8个小题，每小题5分，共40分）在每小题列出的四个选项中，只有一项．．．．是最符合题目要求的，请将正确选项的字母填在下列表格中。
1．在ABC ∆中，1,45,6000===c B C ，则此三角形的最小边长为（ ）A ．36B ．26C ．21D ．23 2. 已知△ABC 中，a ＝4，b ＝43，∠A ＝30°，则∠B 等于( )A ．30°B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120°3．在△ABC 中，若bc a c b c b a 3))((=-+++则A ∠等于（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°4．若数列{}n a 的通项公式n a =2（n+1）+3，则此数列（ ）A.是公差为2的等差数列B. 是公差为3的等差数列C.是公差为5的等差数列D.不是等差数列5． 等差数列{}n a 的前m 项的和是30，前2m 项的和是100，则它的前3m 项的和是（ ）A ．130B ．170C ．210D ．2606. 设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则111213a a a ++=( )A ．120B ．105C ．90D ．757. 若数列{}n a 中，n a = 43-3n ，则n S 取最大值时n = ( )A ．13B ．14C ．15D ．14或158.已知锐角三角形三边分别为3，4，a ，则a 的取值范围为（ ）A ．15a <<B ．17a <<C 5a <<D 7a <<二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)9．等差数列{}n a 中，n S =40，1a =13，d=-2 时，n=______________。
山西省孝义三中高二数学上学期第一次月考试题新人教A版
高二数学考试时间：120分钟 试卷满分：150分)一、选择题 ：(本大题共12小题 ，每小题5分，共60分 )1. 已知直线经过点A(0,3)和点B （1，2），则直线AB 的斜率为（ ）A. -1B.1C. 3D. 不存在 2. 若a ∥α，⊂b α，则a 和b 的关系是( )A.平行 B ．相交 C ．平行或异面 D ．以上都不对 3．如图⑴、⑵、⑶、⑷为四个几何体的三视图，根据三视图可以判断这四个几何体依次分别为（ ）A ．三棱柱、四棱锥、圆锥、圆台B ．三棱台、三棱锥、圆锥、圆台C ．三棱台、三棱柱、圆锥、圆台D ．三棱柱、三棱台、圆锥、圆台4. △ABC 是边长为1的正三角形，那么△ABC 的斜二测平面直观图C B A '''∆的面积为（ ）A ．43 B ．83 C ．166D ．86 5．已知直线01)1(=-+-y x a a 与直线012=++ay x 垂直，则实数a 的值等于（ ）Ａ．21 B ． 23 C ． 0，23 D ．0，21 6．设正方体的表面积为242cm ，一个球内切于该正方体， 那么这个球的体积是 （ ）（4）（3）（1）俯视图 俯视图 俯视图侧视图侧视图侧视图侧视图正视正视图正视图正视图（2）俯视图·A. π63cm B ．π343cm C ．π383cm D ．π3323cm7．在空间四边形ABCD 的各边AB ，BC ，CD ，DA 上依次取点E ，F ，G ，H ，若EH 、FG 所在直线相交于点P ，则( )A ．点P 必在直线AC 上B ．点P 必在直线BD 上C ．点P 必在平面DBC 外D ．点P 必在平面ABC 内 8．在如图所示的正方体中，M 、N 分别为棱BC 和棱CC 1的中点， 则异面直线AC 和MN 所成的角为（ ）A ．30°B ．45°C ．90°D ．60° 9. 设m 、n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若，，则 ②若，，，则③若，，则 ④若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ 其中正确命题的个数是 ( ) A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10．已知直线m 的倾斜角是直线0333=--y x 的倾斜角的2倍，且直线m 在x 轴上的截距是－3，则直线m 的方程是( )A ．0333=+-y xB ．0333=+-y xC ．033=--y xD ．033=+-y x 11．如果AC>0，BC>0，那么直线Ax+By+C=0不通过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12. 如图所示，已知AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，则图中互相垂直的平面有（ ）A. 0对 B ．1对 C ．2对 D. 3对二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分） 13．直线y=2x 与直线x+y=3的交点坐标是 ． 14. 已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，BDCA1 D 1 B 1 A 1M DB A BDCA则该三棱锥的体积等于 __________cm 3．15. 过点（1，3）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 16．已知△ABC 为直角三角形，且090=∠ACB ，AB=8，点P 是平面ABC 外一点，若PA=PB=PC ，且P Ｏ⊥平面ABC ，Ｏ为垂足，则ＯＣ=__________________． 三、解答题(本大题共6小题，共70分) 17．（本题10分）已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边为6，高为4的等腰三角形，求该几何体的表面积．18．（本题12分）求经过直线L 1：3x + 4y – 2 = 0与直线L 2：x – 3y + 8 = 0的交点M ，且满足下列条件的直线方程 （1）与直线2x + y + 5 = 0平行 ； （2）与直线2x + y + 5 = 0垂直；19．（本题12分）如图,在三棱锥S-ABC 中， ABC ∆为直角三角形，且︒=∠90ACB ，SC AD ABC SA ⊥⊥,平面． 求证：AD ⊥平面SBC ．20．（本题12分）如图，四棱锥S- ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，M 是SB 上一点，试探求点M 的位置，使SD//平面MAC ，并证明．答：点M 的位置是 ． 证明：21．（本题12分）过点P(2,1)的直线l 交x 轴、y 轴正半轴于A 、B 两点，求使：△AOB 面积最小时l 的方程BDASSDCBA(俯视图)22.（本题12分）已知△BCD 中，∠BCD =90°，BC =CD =1，AB ⊥平面BCD ，∠ADB =60°，E 、F 分别是AC 、AD 上的动点，且(01).AE AFAC ADλλ==<< （Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ；（Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF ⊥平面ACD ？孝义三中2013-2014学年上学期第一次月考高二数学答题纸一．选择题（每小题5分，共60分）二．填空题（每小题5分，共20分）13． __________ 14． _____ 15．__________________ 16．__________________三．解答题（本大题共6小题，共70分。
2021-2022年高二数学上学期期中试题 文 新人教A版
2021-2022年高二数学上学期期中试题 文 新人教A 版（满分：150分，考试时间：120分钟）一、选择题（每小题5分，共60分） 1． 双曲线：的渐近线方程是（ ） A ． B ． C ． D ．2．抛物线y ＝ax 2的准线方程为y ＝1，则实数a 的值为（ ）A 4BCD －4 3. 抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（ ）A B C D4．设抛物线上一点P 到轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是（ ）A ．12B ．8C ．6D ．45． 若实数k 满足0<k <5，则曲线x 216－y 25－k ＝1与曲线x 216－k －y 25＝1的( )A ．实半轴长相等B ．虚半轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等6. 设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得(|PF 1|－|PF 2|)2＝b 2－3ab ，则该双曲线的离心率为( )A. 2B. 15 C ．4 D. 177． 双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则C 的焦距等于( )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 28. 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为4 3，则C 的方程为( )A. x 23＋y 22＝1B. x 23＋y 2＝1 C. x 212＋y 28＝1 D. x 212＋y 24＝19． 已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( )A. x 25－y 220＝1B. x 220－y 25＝1C. 3x 225－3y 2100＝1D. 3x 2100－3y225＝110． 已知是抛物线上任意一点，则当点到直线的距离最小时，点与该抛物线的准线的距离是( )A ．2B ．1C ．D ．11．已知双曲线 的一条渐近线方程是 ，它的一个焦点在抛物线 的准线上，则双曲线线的方程为( )A ．B ．C ．D ．12．椭圆)320(112222<<=+b by x 与渐近线为的双曲线有相同的焦点,为它们的一个公共点,且,则椭圆的离心率为（ )A B C D 二、填空题（每小题5分，共20分）13. 设双曲线C 的两个焦点为(－3,0)，(3,0)，一个顶点是(2，0)，则C 的方程为________． 14．与双曲线有共同的渐近线，且过点(－3,4)的双曲线方程是________.15．设抛物线C 1的方程为y ＝x 2，它的焦点F 关于原点的对称点为E ．若曲线C 2上的点到E 、F 的距离之差的绝对值等于6，则曲线C 2的标准方程为_______．16．已知椭圆+=1(a>b>0)与抛物线y 2=2px(p>0)有相同的焦点,P 、Q 是椭圆与抛物线的交点,若PQ 经过焦点F,则椭圆+=1(a>b>0)的离心率为 .三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．在等差数列中，.（1）求数列的通项公式； （2）若数列的前项和，求的值.18．在中，角所对的边分别为，且()()bc 3a c b a c b =++-+．（Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）若成等比数列，试判断的形状． 19．（12）设焦点在轴上的双曲线渐近线方程为,且离心率为2，已知点A （） （1）求双曲线的标准方程；（2）过点A 的直线L 交双曲线于M,N 两点，点A 为线段MN 的中点，求直线L 方程。
2021年高二数学上学期期中试题 新人教A版
2021年高二数学上学期期中试题 新人教A 版【解析】试题分析：这个是斐波那契数列，满足的规律的从第三项开始，后面的每一项都等于与它相邻的前两项之和，所以得x=5+8=13．故选C ．考点：归纳推理思想．2．若9-x 2＜0，则 （ )A ．0＜x ＜3B ．-3＜x ＜0C ．-3＜x ＜3D ．x ＜-3或x>3【答案】D【解析】试题分析：本题是一元二次不等式的求解，由9-x 2＜0，得x 2>9，解得x ＜-3或x>3，故选D ．考点：一元二次不等式．3．等差数列-3，1，5，…的第15项的值是（ ）A ．40B ．53C ．63D ．76【答案】B【解析】试题分析：根据数列，可得首项是=-3，公差是d=4，则=+14d=53．故选B ．考点：等差数列．4．若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】试题分析：若A 为△ABC 的内角，则，所以可知，只有>0．故选A ．考点：三角函数值的象限符号．5．等差数列9}{,27,39,}{963741前则数列中n n a a a a a a a a =++=++项的和等于（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】试题分析：根据等差中项，，代入，可得，所以()()()1946999913999222a a a a S +++====，故选B ． 考点：等差数列的性质．6．等比数列中，则的前项和为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】试题分析：根据得，解得=3，q=3，所以的前项和，故选B．考点：等比数列．7．在等比数列中，，则项数n为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】试题分析：由1131192122,83333n nnna a q---⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭得，得n=4，故选B．考点：等比数列．8．若a>b，c>d，则下列不等关系中不一定成立的是（）A．a-b>d-c B．a+d>b+c C．a-c>b-c D．a-c＜a-d【答案】B【解析】试题分析：由a>b，c>d，得a+c>b+d，移项得，a-b>d-c，A正确；由a>b得a-c>b-c，C正确；由c>d得-c＜-d，所以a-c＜a-d，D正确；而C中，取值检验，当a=1，b=3，c=2，d=3，此时a+d＜b+c，则B不一定成立．故选B．考点：不等式的性质．9．在△中，若，则等于（）A． B．C． D．【答案】D【解析】试题分析：由b=2asinB，运用正弦定理，得sinB=2sinAsinB，因为sinB≠0，得sinA=，所以A=．故选D．考点：正弦定理．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）10．在△ABC 中，若，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】试题分析：在△ABC 中，由C=90°，B=30°，得A=60°，又a=6，得64cos cos602 3.sin sin 60a cbc A A ====⋅== 则=，故选C ．考点：直角三角形的边角关系．11．不等式（x+1）（2-x)＜0的解集为【答案】x>2 或x ＜-1 【解析】试题分析：由（x+1）（2-x)＜0，得（x+1）（x-2)>0，所以得不等式的解集为x>2 或x ＜-1． 考点：解一元二次不等式．12．等差数列中， 则的公差为 ．【答案】8【解析】试题分析：根据等差数列，得．考点：等差数列的性质．13．在△ABC 中，若 ．【答案】A=120°【解析】试题分析：已知，得，所以得A=120°．考点：余弦定理．14．已知数列｛2n-11｝，那么的最小值是 ．【答案】-25【解析】试题分析：设=2n-11，可得所以得n=5时，最小，为=-25．考点：等差数列性质．三、解答题（题型注释）15．求x -2x-3>0的解集．【答案】x>3或x ＜-1【解析】试题分析：本题主要考查的一元二次不等式的求解，先对代数式因式分解得（x+1)（x-3)>0，然后可以得到解集的端点值为-1，3，最后根据不等式的解集．试题解析：由x2-2x-3>0，得x+1)（x-3)>0，所以，得x>3 或x＜-1即：x2-2x-3>0的解集x>3 或x＜-1．考点：一元二次不等式的解法．16．在等差数列中，a1=1，a3=3，求的值【答案】100【解析】试题分析：本题是根据等差数列的性质来解答的，先运用通项公式，由a1=1，a3=3，求出公差d和a20，对整理，运用等差中项，可得= 5a20，即可得出结果．．试题解析：已知在等差数列中，a1=1，a3=3，得d=1，a20=20，所以 =5a20=100．考点：等差中项，等差数列的通项公式．17．在等比数列{a n}中，若a1=1，a4=27，求：（1）a3（2）数列通项公式a n．（3）数列{a n}的前5项的和S5．【答案】（1）=9；（2）；（3）．【解析】试题分析：本题主要是根据等比数列的知识来解答的，根据a1=1，a4=27，可计算出公比q，然后根据等比数列的通项公式及求和公式，可计算出，，．试题解析：设等比数列的公比是q，根据a1=1，a4=27，得，解得q=3，所以，，．考点：等比数列的通项公式，以及求和公式．18．叙述并证明余弦定理。
2022-2023学年人教A版高二上数学期中试卷(含解析)
2022-2023学年高中高二上数学期中试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 已知集合，，则等于( )A.B.C.D.2. 中，点、、分别为、、的中点，则 A.B.C.D.3. 吃开河鱼，是北京人迎接春天的仪式．开河鱼又叫“活人参”，随着冰雪的消融，这个时间打捞上来的鱼，肉质极为鲜美滑嫩，并且营养价值极高．从河里打捞上来的条开河鱼的重量（单位：千克）分别为，，，，，则这组数据的中位数是________.A.B.C.D.4. 设，，则“”是“”的( )A.充要条件A ={x|<4}2xB ={x|y =}x −1−−−−−√A ∩B (2,+∞)[1,+∞)(1,2)[1,2)△ABC D E F AB BC CA −=(AF −→−DB −→−)FD−→−FC−→−FE−→−BE−→−61.58 1.43 1.63 1.85 1.71 1.67.1.631.671.641.65x >0y ∈R x >y x >|y |B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件5. 从装有个红球和个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ）A.至少有一个黑球与都是黑球B.至少有一个黑球与至少有一个红球C.恰有一个黑球与恰有两个黑球D.至少有一个黑球与都是红球6. （理）在正方体中，点在上，且，则（ ）A.B.C.D.7. 定义在上的偶函数满足，且在区间上是增函数，若，是锐角三角形的两个内角，则( )A.B.C.D.8. 以和为端点的线段的中垂线方程是（ ）A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）22ABCD −A 1B 1C 1D 1E A 1C 1|E |=||A 114A 1C 1=x +y +z AE −→−AA 1−→−AB −→−AD −→−x =1,y =，z =1212x =，y =1，z =1212x =1,y =，z =1312x =1,y =，z =1414R f (x)f (x +2)=f (−x)[−3,−2]A B f (sin A)>f (cos B)f (sin A)<f (cos B)f (sin A)>f (sin B)f (cos A)>f (cos B)A(1,3)B(−5,1)AB 3x −y +8=0x −3y +8=03x +y +8=03x +y +4=09. 甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次，下列说法正确的是 A.目标恰好被命中一次的概率为B.目标恰好被命中两次的概率为C.目标被命中的概率为D.目标被命中的概率为10. 已知函数 若，且，则下列结论正确的是( )A.B.C.D.11. 已知是边长为的等边三角形，，分别是， 上的两点，且，，与交于点，则下列说法正确的是( )A.B.C.D.在方向上的投影为12. 已知动点在双曲线上，双曲线的左、右焦点分别为，，下列结论正确的是( )A.的离心率为B.的渐近线方程为1213()+1213×1213×+×122312131−×1223f(x)={−−2x ，x ≤0，x 2|x|，x >0，log 2<<<x 1x 2x 3x 4f()=f()=f()=f()x 1x 2x 3x 4+=−1x 1x 2=1x 3x 41<<2x 40<<1x 1x 2x 3x 4△ABC 2D E AC AB =AE −→−EB −→−=2AD −→−DC −→−BD CE O ⋅=−1AB −→−CE −→−+=OE −→−OC −→−0→|++|=OA −→−OB −→−OC −→−3–√2ED −→−BC −→−76P C:−=1x 2y 23C F 1F 2C 2C y =±x 3–√3C.动点到两条渐近线的距离之积为定值D.当动点在双曲线的左支上时，的最大值为卷II（非选择题）三、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）13. 如图，已知正方形边长为，点，分别为线段，上一点，且，，为内一点（含边界），设（，为实数），则的最大值为________．14. 已知直线，直线．若直线的倾斜角为，则________；若，则两平行直线间的距离为________．15. 已知函数的图像恒过定点，若点在一次函数的图像上，其中，则的最小值是________．16. 已知棱长为的正方体的各顶点都在同一个球面上，则该球的体积为________四、解答题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）17. 已知两直线与，求与间的距离．18. 已知甲袋中装有只白球，只黑球；乙袋中装有只白球，只黑球．在甲袋中任取球，求取出的两球颜色不同的概率；若在甲、乙两袋中各取一球，求取出的两球颜色相同的概率．19. 已知函数图象的对称中心到对称轴的最短距离为．将的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，得到函数的图象，其中点是函数图象的一个对称中心．求的解析式；若，且，求的值．20. 如图，在长方体中，底面是边长为的正方形．PP C|P|F1|PF2|214OABC3M N BC AB2BM=MC AN=NB P△BNM=λ+μOP−→−OA−→−OC−→−λμλ−μ13:ax+y−1=0l1:x−y−3=0l2l1π3a= //l1l2A A2:6x−8y−3=0l1:3x−4y+6=0l2l1l22423(1)2(2)f(x)=sin(ωx+φ)−cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)π8f(x)2π3g(x)(,0)π12g(x)(1)g(x)(2)g(A)=6–√3<A<5π243π4cos2AABCD−A1B1C1D1ABCD2证明：平面；求异面直线与所成角的大小．21. 某学校为了了解学生对新冠病毒的传播和预防知识的掌握情况，学校决定组织一次有关新冠病毒预防知识竞答．竞答分为必答题（共题）和选答题（共题）两部分．每位同学答题相互独立，且每道题答对与否互不影响．已知甲同学答对每道必答题的概率为，答对每道选答题的概率为.求甲恰好答对道必答题的概率；在选答阶段，若选择回答且答对奖励分，答错扣分，选择放弃回答得分．已知甲同学对于选答的两道题，选择回答和放弃回答的概率均为，试求甲同学在选答题阶段，得分的分布列． 22. 如图，在四棱锥中，，，且，，，和分别是棱和的中点．求证：；求直线与平面所成的角的正弦值．(1)//A 1C 1ACD 1(2)CD AD 1524525(1)4(2)52012X P −ABCD ∠PAB =90°AB //CD PB =BC =BD =6–√CD =2AB =22–√∠PAD =120∘E F CD PC (1)CD ⊥BF (2)PB PCD参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二上数学期中试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】D【考点】交集及其运算【解析】可以求出集合，，然后进行交集的运算即可．【解答】解：，，所以．故选．2.【答案】D【考点】向量的减法及其几何意义【解析】本题考查的知识点是向量的减法及其几何意义，由、、分别为、、的中点，我们易得，然后根据图形分析答案中的四个变量，易求出与相等的向量，即可求出答案．【解答】解：如下图所示：A B A ={x|<4}={x|x <2}2x B ={x|y =}={x|x ≥1}x −1−−−−−√A ∩B ={x|1≤x <2}=[1,2)D D E F AB BC CA −==AF −→−DB −→−12BC −→−DF −→−DF −→−中，点、、分别为、、的中点则．故选．3.【答案】D【考点】众数、中位数、平均数、百分位数【解析】此题暂无解析【解答】解：将条开河鱼的重量按照从小到大的顺序排列为，，，，，1.，则中位数为.故答案为：.4.【答案】C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】直接根据必要性和充分判断即可．【解答】解：设，，△ABC D E F AB BC CA−AF −→−DB −→−=−12AC −→−12AB−→−=(−)12AC −→−AB −→−===12BC −→−DF −→−BE −→−D 6 1.43 1.581.63 1.67 1.7185(1.63+1.67)=1.65121.65x >0y ∈R x >|y |当，时，满足，但不满足，故“”推不出“”，充分性不成立；而“”“”，必要性成立，故“”是“”的必要不充分条件.故选.5.【答案】C【考点】互斥事件与对立事件【解析】列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可【解答】对于：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：两个都是黑球，∴这两个事件不是互斥事件，∴不正确对于：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴不正确对于：事件：“恰好有一个黑球”与事件：“恰有两个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是红球，∴两个事件是互斥事件但不是对立事件，∴正确对于：事件：“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生，∴这两个事件是对立事件，∴不正确6.【答案】D【考点】空间向量的基本定理及其意义【解析】利用向量的加减运算，借助于空间向量的基本定理，空间任意一个向量都可用不共面的基向量唯一表示可求．【解答】解：由题意，，故选．7.【答案】x =1y =−1x >y x >|y |x >y x >|y |x >|y |⇒x >y x >y x >|y |C A A B B C C D D =+=+=+(+)AE −→−AA 1−→−E A 1−→−AA 1−→−14A 1C 1−→−−AA 1−→−14AB −→−AD −→−DB【考点】函数的周期性运用诱导公式化简求值函数奇偶性的性质函数单调性的性质【解析】【解答】解：因为偶函数满足，所以，即函数是周期为的函数，又在区间上是增函数，所以在区间上是增函数，因为偶函数关于轴对称，所以在区间上是减函数；又，是锐角三角形的两个内角，所以即，因此，即，所以 .故选．8.【答案】D【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系直线的一般式方程【解析】先求出线段的中垂线的斜率，再求出线段的中点的坐标，点斜式写出的中垂线得方程，并化为一般式．f (x)f (x +2)=f (−x)f (x +2)=f (−x)=f (x)f (x)2f (x)[−3,−2]f (x)[−1,0]y f (x)[0,1]A BA +B >，π20<A <，π20<B <，π20<−B <A <π2π20<sin(−B)<sin A <1π20<cos B <sin A <1f (sin A)<f (cos B)B AB AB AB【解答】解：直线的斜率为，所以线段的中垂线得斜率，又线段的中点为，所以线段的中垂线得方程为即，故选：．二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】B,D【考点】相互独立事件【解析】①目标恰好被命中一次即是：甲中而乙不中，乙中而甲不中，再依据结论：若，相互独立，则，即可得到正确结论；②目标恰好被命中两次表示甲中并且乙中，再依据结论，即可得到正确结论；③目标被命中包括恰好被命中一次，恰好被命中两次，再依据结论，即可；④结合题意，目标没命中为目标被命中的对立事件，依据结论：若，相互对立，则，即可得到正确结论．【解答】解：由题意知，甲、乙两人射击是否命中目标相互独立．目标恰好被命中一次的概率为，故错误；由于目标恰好被命中两次，则两人全部命中，其概率为，故正确；由于目标被命中包括恰好被命中一次，恰好被命中两次，则其概率为，故错误；由于目标没命中的概率是，则目标被命中的概率为，故正确．故答案为．10.【答案】B,C,D【考点】分段函数的应用函数的图象AB =1−3−5−113AB k =−3AB (−2,2)AB y −2=−3(x +2)3x +y +4=0D A B P(AB)=P(A)⋅P(B)A B P(A)=1−P(B)×(1−)+×(1−)12131312×1213×(1−)+×(1−)+×121313121213(1−)×(1−)=×121312231−×1223BD【解析】此题暂无解析【解答】解：画出函数的大致图象如下图，得出，，故错误，正确；由图可知，故正确；因为，，所以，故正确．故选．11.【答案】B,C,D【考点】向量的模向量的加法及其几何意义平面向量数量积向量的投影【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意可知，为中点，则，如图，以为原点，，分别为轴， 轴正方向建立平面直角坐标系．f(x)+=−2x 1x 2=1x 3x 4A B 1<<2x 4C −2<<−1x 1=(−2−)x 1x 2x 1x 1=−−2=−(+1+1∈(0,1)x 21x 1x 1)2=∈(0,1)x 1x 2x 3x 4x 1x 2D BCD E AB CE ⊥AB E EA EC x y所以，，，，.设，，因为，，而，所以 ，解得，所以，所以是的中点.选项， ，所以，故选项错误；选项，因为是的中点，所以，故选项正确；选项， ，所以，故选项正确；选项， ，，所以在方向上的投影为：，故选项正确．故选．12.【答案】A,C【考点】双曲线的渐近线双曲线的离心率基本不等式在最值问题中的应用点到直线的距离公式E (0,0)A (1,0)B (−1,0)C (0,)3–√D (,)1323–√3O (0,y)y ∈(0,)3–√=(1,y)BO −→−=(−,y −)DO −→−1323–√3//BO −→−DO −→−y −=−y 23–√213y =3–√2O(0,)3–√2O CE A ⊥AB −→−CE −→−⋅=0AB −→−CE −→−A B O CE +=OE −→−OC −→−0→B C ++=2+=OA −→−OB −→−OC −→−OE −→−OC −→−OE −→−|++|=||=OA −→−OB −→−OC −→−OE −→−3–√2C D =(,)ED −→−1323–√3=(1,)BC −→−3–√ED −→−BC −→−==⋅ED −→−BC −→−|BC|+213276D BCD【解析】此题暂无解析【解答】解：对于双曲线 ，，，，∴双曲线的离心率为，渐近线方程为，故选项正确，选项错误；设点的坐标为，则，双曲线的两条渐近线方程分别为：和，则点到两条渐近线的距离之积为： ，故选项正确；当动点在双曲线的左支上时， ，，，当且仅当时，等号成立，所以，的最大值为，故选项错误．故选．三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】向量在几何中的应用【解析】如图，以为轴，以为轴，建立直角坐标系，表示各点的坐标，根据向量的坐标运算得到，构造目标函数，利用可行域即可求出最值．【解答】C :−=1x 2y 23a =1b =3–√c =2C e ==2cay =±x 3–√A B P (,)x 0y 0−=1x 20y 203C x −y =03–√3x +y =03–√3P |−||+|x 03√3y 0x 03√3y 01+()3√32−−−−−−−−−√1+(−)3√32−−−−−−−−−−√==|−|x 20y 2034334C P C |P |≥c −a =1F 1|P |=2a +|P |=|P |+2F 2F 1F 1|P |F 1|PF 2|2=|P |F 1(|P |+2)F 12=|P |F 1|P +4+4|P |F 1|2F 1=1|P |++4F 14|P |F 1≤=12+4|P |⋅F 14|P |F 1−−−−−−−−−−√18|P |=2F 1|P |F 1|PF 2|218D AC 56OA x OC y λ−μ=−=(3x −y)13x 3y 919OA OC解：如图，以为轴，以为轴，建立直角坐标系，则，，，，∵，，∴，，设，∵（，为实数），∴，∴，即，∴，令，即，由，，得到直线的方程为，则，满足的区域为，如图所示，当目标函数，过点时，最大，则，∴故答案为：14.【答案】,【考点】两条平行直线间的距离直线的倾斜角【解析】此题暂无解析【解答】解：根据题意，对于直线，变形可得，若其倾斜角为，则其斜率，则有，即．对于直线，直线，若，则有，解得，则的方程可以变形为．OA x OC y O(0,0)A(3,0)C(0.3)B(3,3)2BM =MC AN =NB M(1,3)N(3,)32P(x,y)=λ+μOP −→−OA −→−OC −→−λμ=λ(3,0)+μ(0,3)=(3λ,3μ)OP −→−{x =3λy =3μλ=x 3μ=y3λ−μ=−=(3x −y)13x 3y 919z =3x −y y =3x −z M(1,3)N(3,)32MN 3x +4x −15=0x y1≤x ≤3≤y ≤3323x +4y −15≥0z =3x −y N(3,)32Z =3×3−=9−=z max 3232152(λ−μ)max =×=13191525656−3–√22–√:ax +y −1=0l 1y =−ax +1π3k =tan =π33–√−a =3–√a =−3–√:ax +y −1=0l 1:x −y −3=0l 2//l 1l 2a ×(−1)+1×1=0a =−1l 1x −y +1=0==2|1−(−3)|则两平行直线间的距离．故答案为：；．15.【答案】【考点】函数的概念及其构成要素空间两点间的距离公式【解析】可得定点，代入一次函数得，利用展开由基本不等式求解．【解答】由可得当时，，故点在一次函数的图像上，，即．当且仅当，即时等号成立，故的最小值是故答案为：16.【答案】【考点】球的表面积和体积【解析】此题暂无解析【解答】四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）d ==2|1−(−3)|+(−112)2−−−−−−−−−√2–√−3–√22–√8A (4,1)2m +n =1+=(+)(2m +n)1m 2n 1m 2ny =(x −3)+1(a >0,a ≠1)log a x =4y =1A (4,1)A y =x +n m 21=×4+n m22m +n =1m >0,n >0+=(+)(2m +n)=++4≥2+4=81m 2n 1m 2n n m 4m n ⋅n m 4m n−−−−−−−√=n m 4m n m =,n =1412+1m 2n 8.8.【答案】解：，，把的方程化为，与间的距离．【考点】两条平行直线间的距离【解析】【解答】解：，，把的方程化为，与间的距离．18.【答案】解：设甲袋中白球为，，黑球为，，，，从中抽取球，可能抽取的情况如下：，，，，，，，，，，，，，，共种情况，两球颜色不同共有种，所以．在甲袋中取一个球，白球的概率为，黑球的概率为；在乙袋中取一个球，白球的概率为，黑球的概率为，设在甲、乙两袋中各取一球，取出的两球颜色相同为事件，∴．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率古典概型及其概率计算公式【解析】∵=≠63−8−4−36∴//l 1l 2l 26x −8y +12=0l 1l 2d ===|12+3|+6282−−−−−−√151032∵=≠63−8−4−36∴//l 1l 2l 26x −8y +12=0l 1l 2d ===|12+3|+6282−−−−−−√151032(1)a 1a 2b 1b 2b 3b 42(,)a 1a 2(,)a 1b 1(,)a 1b 2(,)a 1b 3(,)a 1b 4(,)a 2b 1(,)a 2b 2(,)a 2b 3(,)a 2b 4(,)b 1b 2(,)b 1b 3(,)b 1b 4(,)b 2b 4(,)b 2b 4(,)b 3b 4158P =815(2)13232535A P (A)=×+×=13252335815无【解答】解：设甲袋中白球为，，黑球为，，，，从中抽取球，可能抽取的情况如下：，，，，，，，，，，，，，，共种情况，两球颜色不同共有种，所以．在甲袋中取一个球，白球的概率为，黑球的概率为；在乙袋中取一个球，白球的概率为，黑球的概率为，设在甲、乙两袋中各取一球，取出的两球颜色相同为事件，∴．19.【答案】解：，由题意可知，所以．于是，，．因为点是函数图象的一个对称中心，所以，，即，．因为，所以．故函数的解析式为．由，得，因为，所以 ，因为，所以．所以 ．【考点】正弦函数的周期性两角和与差的余弦公式函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换正弦函数的对称性(1)a 1a 2b 1b 2b 3b 42(,)a 1a 2(,)a 1b 1(,)a 1b 2(,)a 1b 3(,)a 1b 4(,)a 2b 1(,)a 2b 2(,)a 2b 3(,)a 2b 4(,)b 1b 2(,)b 1b 3(,)b 1b 4(,)b 2b 4(,)b 2b 4(,)b 3b 4158P =815(2)13232535A P (A)=×+×=13252335815(1)f(x)=sin(ωx +φ)−cos(ωx +φ)=sin(ωx +φ−)2–√π4T =×4=π8π2ω==42ππ2f (x)=sin(4x +φ−)2–√π4g(x)=sin(2x +φ−)2–√11π12(,0)π12g(x)2×+φ−=kππ1211π12k ∈Z φ=kπ+3π4k ∈Z 0<φ<πφ=3π4g(x)g(x)=sin(2x −)2–√π6(2)g(A)=sin(2A −)=2–√π66–√3sin(2A −)=π63–√3<A <5π243π4<2A −<π4π64π3<3–√32–√2cos(2A −)=−π66–√3cos 2A =cos[(2A −)+]π6π6=−×−×6–√33–√23–√312=−3+2–√3–√6同角三角函数间的基本关系函数解析式的求解及常用方法【解析】（1）答案未提供解析．【解答】解：，由题意可知，所以．于是，，．因为点是函数图象的一个对称中心，所以，，即，．因为，所以．故函数的解析式为．由，得，因为，所以 ，因为，所以．所以 ．20.【答案】（1）证明：在长方体中，∵，，∴四边形是平行四边形，∴，∵不在平面内，平面，∴平面．（2）异面直线与所成角为．【考点】二面角的平面角及求法异面直线及其所成的角【解析】此题暂无解析(1)f(x)=sin(ωx +φ)−cos(ωx +φ)=sin(ωx +φ−)2–√π4T =×4=π8π2ω==42ππ2f (x)=sin(4x +φ−)2–√π4g(x)=sin(2x +φ−)2–√11π12(,0)π12g(x)2×+φ−=kππ1211π12k ∈Z φ=kπ+3π4k ∈Z 0<φ<πφ=3π4g(x)g(x)=sin(2x −)2–√π6(2)g(A)=sin(2A −)=2–√π66–√3sin(2A −)=π63–√3<A <5π243π4<2A −<π4π64π3<3–√32–√2cos(2A −)=−π66–√3cos 2A =cos[(2A −)+]π6π6=−×−×6–√33–√23–√312=−3+2–√3–√6A =C A 1C 1A//C A 1C 1AC A 1C 1//AC A 1C 1A 1C 1ACD 1AC ⊂ACD 1//A 1C 1ACD 1CD AD 190∘【解答】解：（1）证明：在长方体中，∵，，∴四边形是平行四边形，∴，∵不在平面内，平面，∴平面．（2）解：∵平面，平面，∴，∴异面直线与所成角为．21.【答案】解：甲恰好答对道必答题的概率为依题意，每道题选择回答并答对的概率为，选择回答且答错的概率为，选择放弃回答的概率为．甲得分的可能性为分，分，分，分，分和分．所以，，，，，．所以的分布列为【考点】相互独立事件的概率乘法公式离散型随机变量及其分布列【解析】【解答】解：甲恰好答对道必答题的概率为A =C A 1C 1A//C A 1C 1AC A 1C 1//AC A 1C 1A 1C 1ACD 1AC ⊂ACD 1//A 1C 1ACD 1CD ⊥ADD 1A 1A ⊂D 1ADD 1A 1CD ⊥AD 1CD AD 190∘(1)4P =()=.C 45()45415256625(2)×=122515×=123531012−4−203510P(X =−4)=9100P(X =−2)=××()=C 12121235310P(X =0)=×=121214P(X =3)=××()×()=C 1212122535325P(X =5)=××()=C 1212122515P(X =10)=××(=121225)2125X (1)4P =()=.C 45()45415256625=121依题意，每道题选择回答并答对的概率为，选择回答且答错的概率为，选择放弃回答的概率为．甲得分的可能性为分，分，分，分，分和分．所以，，，，，．所以的分布列为22.【答案】证明：∵，为中点，∴，∵，，∴，且，∴四边形为矩形，∴，，，而，又，∴平面，∴平面，又∵平面，平面，∴，且，又∵在平面中，，于是，∵，平面，平面，又，∴平面，∵平面，∴．解：以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系如图所示，∵，，且，，∵，，(2)×=122515×=123531012−4−203510P(X =−4)=9100P(X =−2)=××()=C 12121235310P(X =0)=×=121214P(X =3)=××()×()=C 1212122535325P(X =5)=××()=C 1212122515P(X =10)=××(=121225)2125X (1)BC =BD E CD BE ⊥CD AB //CD CD =2AB AB //DE AB =DE ABED BE //AD BE =AD AB ⊥AD AB ⊥PA PA ∩AD =A AB ⊥PAD CD ⊥PAD PD ⊂PAD AD ⊂PAD CD ⊥PD CD ⊥AD PCD EF //PD CD ⊥EF EF ∩BE =E FE ⊂BEF BE ⊂BEF CD ⊥BE CD ⊥BEF BF ⊂BEF CD ⊥BF (2)A AB x AD y A ABCD z AB ⊥PA AB //CD PB =BC =BD =6–√CD =2AB =22–√∠PAD =120∘AB ⊥AD PA ==26−2−−−−√AD ==26−2−−−−√∴，，，，，，设平面的一个法向量，则令，则.设直线与平面所成的角为，又，∴.∴直线与平面所成的角的正弦值为.【考点】用空间向量求直线与平面的夹角两条直线垂直的判定【解析】（1）推导出四边形为矩形，从而平面，进而平面，由此能证明．（2）以为原点，为轴，为轴，过作平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与平面所成的角的正弦值．【解答】证明：∵，为中点，∴，∵，，∴，且，∴四边形为矩形，∴，，，而，又，∴平面，∴平面，又∵平面，平面，∴，且，又∵在平面中，，于是，∵，平面，平面，又，∴平面，∵平面，∴．解：以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系如图所示，PA ==26−2−−−−√AD ==26−2−−−−√P(0,−1,)3–√C(2,2,0)2–√B(,0,0)2–√D(0,2,0)PCD =(x,y,z)n → ⋅=0，n →PD −→−⋅=0，n →CD −→−y =1=(0，1，)n →3–√PB PCD θ=(,1,−)PB −→−2–√3–√sin θ=|cos , |=n →PB −→−|⋅|n →PB −→−||⋅||n →PB −→−==2⋅2+1+3−−−−−−−√1+3−−−−√6–√6PB PDC 6–√6ABED AB ⊥PAD CD ⊥BEF CD ⊥BF A AB x AD y A ABCD z PD PBC (1)BC =BD E CD BE ⊥CD AB //CD CD =2AB AB //DE AB =DE ABED BE //AD BE =AD AB ⊥AD AB ⊥PA PA ∩AD =A AB ⊥PAD CD ⊥PAD PD ⊂PAD AD ⊂PAD CD ⊥PD CD ⊥AD PCD EF //PD CD ⊥EF EF ∩BE =E FE ⊂BEF BE ⊂BEF CD ⊥BE CD ⊥BEF BF ⊂BEF CD ⊥BF (2)A AB x AD y A ABCD z∵，，且，，∵，，∴，，，，，，设平面的一个法向量，则令，则.设直线与平面所成的角为，又，∴.∴直线与平面所成的角的正弦值为.AB ⊥PA AB //CD PB =BC =BD =6–√CD =2AB =22–√∠PAD =120∘AB ⊥AD PA ==26−2−−−−√AD ==26−2−−−−√P(0,−1,)3–√C(2,2,0)2–√B(,0,0)2–√D(0,2,0)PCD =(x,y,z)n →⋅=0，n →PD −→−⋅=0，n →CD −→−y =1=(0，1，)n →3–√PB PCD θ=(,1,−)PB −→−2–√3–√sin θ=|cos , |=n →PB −→−|⋅|n →PB −→−||⋅||n →PB −→−==2⋅2+1+3−−−−−−−√1+3−−−−√6–√6PB PDC 6–√6。
高二数学上学期期中试题试题 (2)(共4页)
"三中2021-2021学年高二数学上学期(xuéqī)期中试题〔无答案〕新人教版 "m]本套试卷总分100分，HY答题时间是120分钟选择题：〔12*3=36〕1．数列的一个通项公式是〔〕.A． B．C． D．2．△ABC中，a＝3，b＝，c＝2，那么B等于〔〕A．30°B．45°C．60°D．120°3．在△ABC中，〔〕A．-2 B．2 C． 4 D． 2 4．(文)在△ABC中，假设，那么∠A=〔〕A． B． C． D．(理)假如把直角三角形的三边都增加同样的长度，那么这个新的三角形的形状为〔〕A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、由增加的长度决定5．〔文〕在△ABC中，sin A:sin B:sin C=3:2: 4，那么cos C的值是〔〕A． B．－23C． D．－14〔理〕在ABC中，a=80,b=100,A=450,那么此三角形的解的情况是〔〕A.一解 B. 二解 C. 无解 D. 无数解6．向量(xiàngliàng),〔-1，k〕，=0 ,那么k=〔〕A．-12 B．-6 C． 6 D．127．数列的首项，且，那么＝〔〕.A．15 B．31 C．62 D．638．在等比数列中，，那么项数n为〔〕A．6 B．5 C．4 D．39. 数列-30，x，y，30构成等差数列，那么x+y=〔〕A．20 B． 10 C．0 D．4010.假设数列{}n a的前项和为，那么通项为〔〕A．B．C． D．11．〔文〕等差数列的前n项和为，，，那么=〔〕A．40 B．50 C．60 D．70二、填空题〔4*4=16〕13．在△ABC中，假设，那么其面积s= ．14．在等比数列(děnɡ bǐ shù liè){a n}中，S n=3n+b，那么b的值是_______ ．15．设S为等差数列的前n项和，假设，那么n。
高二数学上学期期中试题44(共9页)
高二数学上学期(xu éq ī)期中试题文一、选择题：〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分，〕 1．数列，那么是它的 〔 〕2．以下选项里面错误的选项是〔 〕 A ．假设，那么 B ．假设，那么ba 11< C ．假设，那么D ．假设，那么3．的内角的对边分别为，，那么c 边长为〔 〕．．．．解集为〔 〕A B ．C D ．的前n 项和为,假设=184，那么+=〔 〕A ．12B ．14C ．16D ．18 6. 在ABC ∆中，，那么此三角形是 〔 〕A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．直角或者等腰三角形7．在一座20m 高的观测台顶测得对面一水塔仰角为，塔底俯角为，那么这座塔的高为( ) A ．m B ．m C ．m D ．m8. 等比数列(d ěn ɡ b ǐ sh ù li è){}n a 中,， 为方程 的两根，那么的值是 〔 〕A ． 16B ．8C ．D ．9.不等式组表示的平面区域面积为2，那么 的值是〔 〕A ．B ．C ． 1D ．210． ，那么的最小值是〔 〕A ．B ．4C ．D .定义如下表，数列满足，且对任意的自然数均有，那么等于( )A ．1B ．2C ．4D ．512.在R 上定义运算：⎝⎛⎭⎪⎫ab cd ＝ad －bc .假设不等式≥-1对任意实数x 恒成立，那么实数a 的最大值为( )A ．－12B ．－1C ．32D ．2二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分. 13．边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为___________x 1 2 3 4 5f(x) 51342，满足(mǎnzú)约束条件那么目的函数的最大值为___________15.数列的通项公式，假设前n项的和为11，那么n=_________________.16. 以下命题中，正确命题的序号是。
高二数学上学期期中试题 7 (2)(共6页)
仁寿中学(zhōngxué)2021-2021学年高二数学上学期期中试题无答案一、选择题〔每一小题5分，一共50分〕1．直线的倾斜角与其在轴上的截距分别是( )A．B．C．D．2．是两条不同的直线，是两个不同的平面，那么以下命题正确的选项是〔〕，那么 B．假设，那么C．假设，那么 D. 假设，那么3．以下说法的正确的选项是〔〕A．经过定点的直线都可以用方程表示B．经过定点的直线都可以用方程表示C．不经过原点的直线都可以用方程表示D．经过任意两个不同的点的直线都可以用方程表示4. 在正方体中，异面直线与所成的角为〔〕A. B. C． D.5，两直线与平行，那么它们之间的间隔为〔〕A． B． C． D．6．三棱锥S—ABC的三条侧棱两两垂直，且SA=2，SB=SC=4，那么该三棱锥的外接球的半径为( )A． 36 B．6 C．3D．97．一个空间(kōngjiān)几何体的三视图如下图，那么该几何体的外表积为( )．A．48 B．32＋817C．48＋817 D．809．点，假设直线过点与线段相交，那么直线l的斜率的取值范围是〔〕A． B． C． D．10．如图,边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G,平面ABC)是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形,有以下命题:①平面⊥平面ABC;②BC∥平面;③三棱锥-DEF的体积最大值为;④动点'A在平面(píngmiàn)ABC上的射影在线段AF上;⑤二面角'A-DE-F大小的范围是.其中正确的命题个数是〔 )A．①③④ B. ①②③④ C. ①②③⑤ D. ②③④⑤二、填空题〔每一小题5分，一共25分〕12.如图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，A，B，C是展开图上的三点，那么在正方体盒子中，∠ABC的值是________．14题13. 点在直线上，那么的最小值是________________14．一几何体的三视图如下图,那么该几何体的体积为____15.如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1的中点，那么以下结论成立的是________．①EF与BB1垂直(chuízhí)；②EF与BD垂直；③EF与CD异面；④EF与A1C1异面．三、解答题16．三角形ABC的顶点A〔5，1〕，AB边上的中线CM所在直线方程为2x-y-5=0，AC边上的高BH所在直线方程为x-2y-5=0．(1)求顶点C的坐标；(2)求直线BC直线方程.17E、F、G、H为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点,且ＥＨ∥ＦＧ．求证：EH∥BD.18．如图,四棱锥的底面是正方形,棱底面ABCD,=1,是的中点.(1)证明平面平面;(2)求二面角的余弦值.19.某工厂(gōngchǎng)有A、B两种配件消费甲、乙两种产品，每消费一件甲产品使用4个A 配件耗时1h,每消费一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天8h计算，设甲、乙两种产品分别消费x、y件,假设消费一件甲产品获利2万元，消费一件乙产品获利3万元，采用哪种消费安排利润最大？中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，与20．如图，在四棱锥P ABCD平面ABCD所成角的正切值依次是和，，依次是的中点. (1〕求证：；(2〕求直线与平面所成角的正弦值.21、△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面(píngmiàn)BCD，∠ADB=60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且〔Ⅰ〕求证：不管λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；〔Ⅱ〕当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD？内容总结（1）③EF与CD异面。
2022-2023学年山西省太原市高二年级上册学期期中数学试题【含答案】
2022-2023学年山西省太原市高二上学期期中数学试题一、单选题1．直线20x y ++=的倾斜角为（ ） A ．4π B ．34π C ．πD ．2π B【分析】把直线化为斜截式方程即可得到答案. 【详解】2y x =--的斜率为1-，则倾斜角为34π 故选：B.2．已知直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，若(1,0,1)a =--，(1,0,1)n =，则直线l 与平面α（ ） A ．垂直 B ．平行C ．相交但不垂直D ．位置关系无法确定A【分析】根据题意得出//a n 可判断. 【详解】(1,0,1)a =--，(1,0,1)n =，即a n =-，//a n ∴，故直线l 与平面α垂直. 故选：A.3．已知焦点在y 轴上的椭圆2214x y m +=的离心率为12，则m =（ ）A ．3B ．C ．12D ．2A【分析】根据椭圆的性质，求出,,a b c ，得到12c a ==，进而可求出m 值.【详解】焦点在y 轴上的椭圆2214x ym +=，可得2,a b c ===椭圆的离心率为12，可得：12c a ==，解得3m =. 故选：A4．已知点()3,4,5A 在坐标平面Oxy 内的射影为点B ，则点B 与点()3,2,6C -的距离为（ ）A ．B ．CDB【分析】结合题意可得()3,4,0B ，再利用空间中两点距离公式即可求解. 【详解】因为点()3,4,5A 在坐标平面Oxy 内的射影为点B ，所以()3,4,0B ，故点B 与点()3,2,6C -的距离为BC =故选：B.5．已知椭圆C 的一个焦点为()1,0，且过点(，则椭圆C 的标准方程为（ ） A ．22123x y +=B ．22143x y +=C ．22132x y +=D ．22134x y +=B【分析】设出椭圆方程，结合已知条件，即可容易求得结果.【详解】根据题意，椭圆的焦点在x 轴上，故设其方程为：22221(0)x ya b a b+=>>，显然1c =，b = 则2224a b c =+=，故椭圆方程为22143x y +=. 故选：B.6．下列说法不正确的是（ ）A ．直线的方程都可以表示为0(Ax By C AB ++=､不同时为0) B ．若直线y kx b =+经过一､三象限，则0k >C ．若直线l 的横纵截距相等，则直线l 的斜率为1或过原点D ．若直线l 的方程为()00Ax By C B ++=≠，则直线l 的斜率为AB- C【分析】根据直线方程的表示，直线的几何特点结合截距以及斜率的定义，对选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A ：直线的方程都可以表示为0(Ax By C A B ++=､不同时为0)，故A 正确； 对B ：若直线y kx b =+经过一､三象限，则0k >，故B 正确；对C ：若直线l 的横纵截距相等，则直线l 的斜率为1-或过原点，故C 错误； 对D ：若直线l 的方程为()00Ax By C B ++=≠，即A Cy x B B =--，则其斜率为A B-，故D 正确. 故选：C.7．如图，在四面体ABCD 中，E 为CD 的中点，点F 在线段AE 上，且2AF FE =，若BF x AB y AC z AD =++，则(),,x y z =（ ）A ．111,,22⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．111,,33⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．111,,266⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．111,,366⎛⎫ ⎪⎝⎭B【分析】利用向量加法运算即可求出答案. 【详解】22111()33233BF BA AF AB AE AB AD AC AB AD AC =+=-+=-+⨯+=-++ 则111,,33x y z =-==故选：B.8．直线l 的方向向量为()2,3，直线m 过点()1,1且与l 垂直，则直线m 的方程为（ ） A ．2350x y +-= B ．2310x y -+= C ．3250x y +-= D ．3210x y --=A【分析】先由直线l 的方向向量求得l k ，再利用直线垂直的性质求得m k ，从而利用点斜式即可求得直线m 的方程.【详解】因为直线l 的方向向量为()2,3，所以32l k =， 又因为直线m 与l 垂直，所以1l m k k =-，故23m k =-，所以由直线m 过点()1,1可得，直线m 的方程为()2113y x -=--，即2350x y +-=. 故选：A.9．已知{},,a b c 是空间的一个基底，那么下列选项中不可作为基底的是（ ） A ．{},,a b a c + B ．{},,2a b a b + C ．{}2,,a c b c + D ．{},,a a b a c ++B【分析】根据共面向量的判断方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断. 【详解】对A ：设a c ma nb +=+，即()1c m a nb =-+，因为,,a b c 不共面， 故不存在实数1,m n -满足()1c m a nb =-+，则,,a b a c +不共面，可以作为基底； 对B ：因为存在实数1,2，使得22a b a b +=+，故,,2a b a b +共面，不可作为基底； 对C ：设2a c mb nc +=+，即()2a mb n c =+-，因为,,a b c 不共面,故不存在实数,2m n -满足()2a mb n c =+-，则2,,a c b c +不共面，可以作为基底； 对D ：设()a c ma n ab +=++，即()1c m n a nb =+-+，因为,,a b c 不共面，故不存在实数1,m n n +-满足()1c m n a nb =+-+，则,,a a b a c ++不共面，可以作为基底. 故选：B.10．设12,F F 为椭圆22:1167x yC +=的左､右焦点，M 为椭圆C 上一点且在第一象限，若12MF F △为等腰三角形，则12MF F △的面积为（ ） A ．2 B ．83C ．17 DD【分析】结合题意可知112=MF F F ，由此结合椭圆的定义及解三角形的知识即可求得12MF F △的面积.【详解】因为椭圆22:1167x y C +=，所以2216,7a b ==，则24,9a c ==，即3c =，如图，因为M 为椭圆C 上一点且在第一象限，12MF F △为等腰三角形，所以112=MF F F ，不妨设12,MF m MF n ==，则有122826m n a m F F c +==⎧⎨===⎩，解得62m n =⎧⎨=⎩，所以2221212364361cos 22626m n F F F MF mn+-+-∠===⨯⨯，又120πF MF <∠<，故12sin F MF ∠==，所以121216212in s 2MF F Sn F MF m ∠=⨯=⨯=故选：D..11．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为11,CD A B 的中点，则下列结论正确的是（ ）①点F 到点E 2； ②点F 到直线1ED 30； ③点F 到平面1AED 6 ④平面1BFC 到平面1AED 26. A ．①②④ B ．②③④C ．①④D ．①②③D【分析】建立如图所示的空间直角坐标，利用向量法逐一判断即可.【详解】以D 为原点，分别以1,,DA DC DD 的正方向为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 由题意知()1,0,0A ，()1,1,0B ，10,,02E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()10,1,1C ，()10,0,1D ，11,,12F ⎛⎫⎪⎝⎭，()1,0,1FE =--，110,,12ED ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()11,0,1AD =-，11,,02AE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭设面1AED 的法向量为(),,n x y z =，所以1012AD n x z AE n x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，可得面1AED 的一个法向量为()1,2,1n =，所以点F 到点E 的距离为22112+=，故①正确；点F 到直线1ED 的距离为222111302552FE ED FE ED ⎛⎫⎛⎫ ⎪⋅ ⎪ ⎪-=-= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，故②正确； 点F 到平面1AED 的距离为2636FE n d n⋅===，故③正确； 由正方体的性质可知平面1//BFC 平面1AED ，平面1BFC 到平面1AED 的距离即F 到平面1AED 的距离为63d =，故④错误； 故选：D.12．下列结论正确的个数是（ ）①已知点()()()4,00,00,3A B C ､､，则ABC 外接圆的方程为22325(2)24x y ⎛⎫-+-=⎪⎝⎭； ②已知点()()1,01,0A B -､，动点P 满足2PA PB =，则动点P 的轨迹方程为2210103x y x +-+=； ③已知点M 在圆22:9O x y +=上，()9,0P ，且点N 满足12MN NP =，则点N 的轨迹方程为22(3)4x y -+=.A ．0B ．1C ．2D ．3D【分析】对于①，由已知圆的两个弦，求得两条中垂线，求得圆心以及半径，可得答案； 对于②，设动点的坐标，由题意，根据两点之间距离公式，建立方程，可得答案；对于③，设动点的坐标，利用向量数乘的坐标运算，根据换元法，表示出点M 的坐标，代入圆的方程，可得答案.【详解】对于①，线段AB 的中垂线的直线方程为2x =，线段BC 的中垂线的直线方程为32y =，故圆心为32,2⎛⎫⎪⎝⎭，半径为()223524022⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，即圆的方程为()22325224x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，故①正确； 对于②，设(),P x y ，由2PA PB =，则()()2222121x y x y ++=-+，整理可得2210103x y x +-+=，故②正确；对于③，设(),N x y ，()00,M x y ，则()9,NP x y =--，()00,MN x x y y =--， 由12MN NP =，则()()0019212x x x y y y ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，即00392232x x y y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，M 在229x y +=上，223939222x y ⎛⎫⎛⎫∴-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理可得()2234x y -+=，故③正确.故选：D.二、填空题13．过点()1,3，斜率0k =的直线方程为__________.3y =【分析】利用点斜式方程，即可得到答案. 【详解】()301y x -=-，即3y =. 故答案为.3y =14．如图，在正三棱柱111ABC A B C 中，若12,1AB AA ==，则1AB 与1BC 所成角的大小为__________.90︒##2π【分析】利用空间向量11AB BC ⋅得0，即可得到答案.【详解】()()1111AB B AB BB BC CC C =+⋅⋅+1111AB BC BB BC AB CC BB CC =⋅+⋅+⋅+⋅21cos1200012102AB ⎛⎫=+++=⨯-+= ⎪⎝⎭即可得到1AB 与1BC 所成角为90︒. 故答案为.90︒15．在平面直角坐标系中，若直线l 过点()000,P x y ，且以(),A B μ=为法向量（与直线方向向量垂直的向量），则直线l 上任意一点(),P x y 满足.()()000A x x B y y -+-=请你大胆类比猜想：在空间直角坐标系中，若平面α过点()0000,,Q x y z ，且以(),,v a b c =为法向量，则平面α上任意一点(),,P x y z 满足：__________.()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=.【分析】根据已知条件将平面中的关系式类比到空间中的关系式. 【详解】根据题意可得平面α上任意一点(),,P x y z 满足：()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=，故答案为; ()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=.16．已知长方体1111ABCD A B C D -中，12,1,AB AD AA P ===为底面ABCD （含边界）上的动点，且满足11AC A P ⊥，则点P 轨迹的长度为__________. 22【分析】建立空间直角坐标系，找到点P 轨迹的解析式得是一条线段，即可求出答案. 【详解】以1DA 为x 轴，1BA 为y 轴，1AA 为z 轴建立空间直角坐标系如下图11(0,0,1),(2,2,0)(0,0,0)A C A ，设(,,1)P x y则1(2,2,1)AC =-，1(,,1)A P x y = 11AC A P ⊥2210x y ∴+-=()02,02x y ≤≤≤≤则点P .故答案为三、解答题17．已知()()()0,1,2,1,5,3A B C --三点. (1)求AB 边上中线所在直线的方程； (2)求ABC 的面积. (1)210x y -+=； (2)3.【分析】（1）求出AB 边中点坐标，再利用两点式求出AB 边上中线所在直线的方程； （2）利用点C 到直线AB 的距离求出边AB 的高，再利用三角形面积公式即可得到答案. 【详解】（1）设AB 边的中点为D ，则点(1,0)D -，则AB 边上中线过点(1,0)D -与点()5,3C ，则()()103051x y ---=---，即210x y -+=.（2）直线10:101120y x AB x y --=⇒-+=----，点()5,3C 到直线AB 的距离为d =AB =132ABCSAB d .18．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1114,5,60AB AD AA DAB DAA BAA ∠∠∠======.(1)求1AC 的长； (2)求证.1AC BD ⊥ 113(2)证明见解析.【分析】（1）利用()()2211AC AB AD CC =++，即可求出答案.（2）利用10AC BD ⋅=，即可证明答案. 【详解】（1）111AC AC CC AB AD CC =+=++()()()()()2222211111222113AC AB AD CC AB AD CC AB AD AD CC AB CC ∴=++=+++⋅+⋅+⋅=则1113AC （2）证明：()11AC BD AC CC BD ⋅=+⋅ ()()1AC CC BA AD =+⋅+ ()()1AB AD CC BA AD =++⋅+11AB BA AB AD AD BA AD AD CC BA CC AD =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅ 1601600=-+++=故1AC BD ⊥.19．已知直线l 过点()1,2，且被圆22:4O x y +=截得的弦AB 的长为3(1)求直线l 的方程；(2)若直线l 的斜率存在，圆C 过,A B 两点，且圆心在10x y +-=上，求圆C 的方程. (1)1x =或3450x y -+= (2)226860x y x y ++-+=【分析】（1）分类讨论直线l 斜率存在与不存在两种情况，利用弦长公式与点线距离公式即可得解； （2）利用两圆相减得到公共弦所在直线的结论，假设圆C 的方程，从而由圆的一般方程可得圆心C ，将其代入10x y +-=，由此可求得圆C 的方程.【详解】（1）当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 方程为1x =，易得与圆O 的交点为()()1,3,1,3-，此时弦长为23，满足条件；当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 方程()21y k x -=-，即20kx y k --+=，因为圆22:4O x y +=，所以圆心()0,0O ，半径2r =，设圆心O 到直线 l 的距离为d ， 因为23AB =，所以由弦长公式222AB r d =-得22324d =-，得1d =， 所以200211k d k --+==+，解得34k =， 所以，直线 l 方程为332044x y --+=，即3450x y -+=，综上：直线 l 的方程为1x =或3450x y -+=.（2）由（1）得直线l 的方程为3450x y -+=，圆22:4O x y +=，根据题意知直线l 是圆O 与圆C 的公共弦所在直线，而公共弦所在直线方程可由两圆方程相减得到，故设圆C 的方程为()2243450x y x y λ+-+-+=，即2234540x y x y λλλ++-+-=，则其圆心C 坐标为3,22λλ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为圆心C 在10x y +-=上，所以32102λλ-+-=，解得2λ=， 所以圆C 的方程为226860x y x y ++-+=.20．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形.PA ⊥平面ABCD ，点,M N 分别为,BC PA 的中点，且1,2AB AC AD ===.(1)若1PA =，求直线MN 与平面PBC 所成角的正弦值；(2)若直线AC 与平面PBC 所成角为6π，求平面PBC 与平面ABCD 的夹角的大小. (1)13； (2)4π.【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面PBC 的法向量，直线MN 与平面PBC 所成角的正弦值为直线MN 与平面PBC 的法向量夹角的余弦值的绝对值；（2）建立空间直角坐标系，设点P 坐标，再利用直线AC 与平面PBC 所成角为6π求出点P 坐标，在计算平面PBC 与平面ABCD 的法向量，即可求出平面PBC 与平面ABCD 的夹角.【详解】（1）由1,2AB AC AD ===得AB AC ⊥,以AB 为x 轴，AC 为y 轴，PA 为z 轴建立空间直角坐标系，(0,0,1),(1,0,0),(0,1,0)P B C 点,M N 分别为,BC PA 的中点 111(0,0,),(,,0)222N M ∴设面PBC 的法向量为(,,)m x y z = (1,0,1),(0,1,1)PB PC =-=-0(1,1,1)00PB m x z m y z PC m ⎧⋅=-=⎧⎪⇒⇒=⎨⎨-=⋅=⎩⎪⎩ 111(,,)222NM =-设直线MN 与平面PBC 所成角为θ，则1sin cos ,3NM mNM m NM m θ⋅===⋅直线MN 与平面PBC 所成角的正弦值13.（2）以AB 为x 轴，AC 为y 轴，PA 为z 轴建立空间直角坐标系，设(0,0,)P h ，(1,0,0),(0,1,0)B C ，(0,0,0)A (0,1,0)AC =，设平面PBC 的法向量为(,,)m x y z =(1,0,),(0,1,)PB h PC h =-=-0(,,1)00PB m x hz m h h y hz PC m ⎧⋅=-=⎧⎪⇒⇒=⎨⎨-=⋅=⎩⎪⎩由于直线AC 与平面PBC 所成角为6π222sin61m AC h m ACh h π⋅==⇒=⋅++则平面PBC 的法向量为22(,2m = 设面ABCD 的法向量为(0,0,1)n = 设平面PBC 与平面ABCD 的夹角为ϕ 2cos 2m n m nϕ⋅==⋅ 则平面PBC 与平面ABCD 的夹角为4π. 21．如图，在四棱椎P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，点,M N 分别为,BC PA 的中点，且1,2AB AC AD ===.(1)若1PA =，求直线MN 与平面PBC 所成角的正弦值；(2)若直线AC 与平面PBC 所成角的正弦值的取值范围为3⎛ ⎝⎦，求平面PBC 与平面ABCD 的夹角的余弦值的取值范围. (1)13(2)3⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】（1）根据题意，建立空间直角坐标系，从而求得平面PBC 的法向量n 与MN ，由此可求得直线MN 与平面PBC 所成角的正弦值；（2）设PA h =，从而分别求得平面PBC 与平面ABCD 的法向量m 与0n 及AC ，从而由题意条件求得(0,1]h ∈，进而可求得平面PBC 与平面ABCD 的夹角的余弦值的取值范围. 【详解】（1）因为1,2AB AC AD ===222AB AC AD +=，即AB AC ⊥， 又因为PA ⊥平面ABCD ，所以,PA AB PA AC ⊥⊥，故建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则111(0,0,1),(1,0,0),(0,1,0),,,0,0,0,222P B C M N ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故111(1,0,1),(1,1,0),,,222PB BC MN ⎛⎫=-=-=-- ⎪⎝⎭，设平面PBC 的一个法向量为()111,,n x y z =，则00PB n BC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111100x z x y -=⎧⎨-+=⎩，令11x =，则111,1==y z ，故(1,1,1)n =，设直线MN 与平面PBC 所成角为θ，则112sin cos ,3332MN n θ-===⨯， 所以直线MN 与平面PBC 所成角的正弦值为13..（2）设()0PA h h =>，则()()()0,0,,1,0,0,0,1,0P h B C ，故(1,0,),(1,1,0)PB h BC =-=-， 设平面PBC 的一个法向量为()222,,m x y z =，则00PB m BC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222200x z h x y -=⎧⎨-+=⎩，令2x h =，则22,1y h z ==，故(,,1)m h h =，易得平面ABCD 的一个法向量为0(0,0,1)n =，又(0,1,0)AC =， 设直线AC 与平面PBC 所成角为α，则23sin cos ,21AC m h α⎛==+⎝⎦，即23021h <≤+01h <≤， 设平面PBC 与平面ABCD 的夹角为β，则02cos cos ,21n m h β==+，因为01h <≤，所以21213h <+≤，则21213h <+23121h ≤<+3cos 1β<. 所以平面PBC 与平面ABCD 的夹角的余弦值的取值范围为3⎡⎫⎪⎢⎣⎭.22．已知平而上动点(),M x y 与定点()1,0的距离和M 到定直线2x =的距离的比是常数22，动点M 的轨迹为曲线C .直线l 的斜率存在，且与曲线C 交于()()1122,,,P x y Q x y 两个不同的点. (1)求曲线C 的方程； (2)若OPQ △22212x x +为定值. (1)2212x y +=(2)证明见解析【分析】（1）求出MF =M 到定直线2x =的距离2x -，相除化简可得答案；（2）设其直线l 方程为y kx m =+，与椭圆方程联立，利用韦达定理求出1212,x x x x +，求出原点到直线y kx m =+的距离d 、PQ ，可得OPQ △的面积为12=d PQ ，化简可得2212m k =+，代入()2221212122x x x x x x +=+-化简可得答案.【详解】（1）动点(),M x y 与定点()1,0F的距离为MF =M 到定直线2x =的距离为2x -=2212x y +=， 曲线C 的方程为2212x y +=；（2）由（1）曲线C 的方程为2212x y +=，因为直线l 的斜率存在，设其方程为y kx m =+，与椭圆方程联立 2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222124220k x kmx m +++-=， ()()()2222244122216880∆=-+-=-+>km k m k m ， 2121222422,1212km m x x x x k k --+==++，原点到直线y kx m=+的距离为d =，PQ== 所以OPQ △的面积为122==P d Q ， 化简得224224844144-+=++k m m m k k ，即()222210⎡⎤--=⎣⎦m k ，2212m k =+， ()222221212221212444212+=+-=--⎛⎫-= ⎪++⎝⎭km x x x x x x m k k ()()()()2222224422222221116442218168222212121212⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪++-+⎝⎭⎝⎭=-===++++k k k k k k k k k k k，所以22122x x +=为定值.思路点睛：通过联立直线和椭圆方程得到一个一元二次方程，然后根据根与系数的关系，求出PQ ，然后用点到直线的距离求出三角形的高，进而用三角形面积公式得到2212m k =+的方程，代入2212x x +，考查了学生分析问题、解决问题和计算能力.23．已知平面上动点(),M x y 与定点()1,0的距离和M 到定直线2x =2，动点M 的轨迹为曲线C .直线l 与曲线C 交于()()1122,,,P x y Q x y 两个不同的点. (1)若直线l 的方程为22y x =+，求OPQ △的面积； (2)若OPQ △22212x x +和2212y y +均为定值. 210(2)证明见解析.【分析】（1）由题知曲线C 的方程为2212x y +=，进而直线l 的方程与椭圆方程联立结合弦长公式得102PQ =22y x =+的距离为25d =，再计算面积即可；（2）先考虑直线斜率存在时的情况，设其方程为y kx m =+，进而与椭圆方程联立，结合弦长公式得2212m k =+，再计算2212x x +，2212y y +即可证明. 【详解】（1）解：动点(),M x y 与定点()1,0F 的距离为()221MF x y =-+M 到定直线2x =的距离为2x -，()22122x y x -+=-，化简得2212x y +=，所以，曲线C 的方程为2212x y +=；所以，联立方程221222x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得291660x x ++=，400∆=>所以，1212162,93x x x x +=-=， 所以，原点到直线22y x =+的距离为d ==，PQ ===，所以，OPQ △的面积1122S d PQ ===所以，OPQ △ （2）解：由（1）曲线C 的方程为2212x y +=，因为直线l 的斜率存在，设其方程为y kx m =+，与椭圆方程联立2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222124220k x kmx m +++-=， ()()()2222244122216880∆=-+-=-+>km k m k m ， 2121222422,1212km m x x x x k k --+==++，原点到直线y kx m =+的距离为d=，PQ== 所以OPQ △的面积为12==P d Q ， 化简得224224844144-+=++k m m m k k ，即()222210⎡⎤--=⎣⎦m k ，2212m k =+， ()222221212221212444212+=+-=--⎛⎫-= ⎪++⎝⎭km x x x x x x m k k()()()()2222224422222221116442218168222212121212⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪++-+⎝⎭⎝⎭=-===++++k k k k k k k k k k k， 所以22122x x +=为定值.所以，()()()()222222121221222122kx m kx m k y x x km x m y x =+++=+++++()()2222222222212821242221212k k k m m k km k km m k k+-++-=+⋅+=++ ()()()()2222222222222128211121224*********k k k k k k k k k k k k ⎛⎫⎛⎫+-++ ⎪ ⎪+-++⎝⎭⎝⎭=+++=+ 所以，22121y y +=为定值.当斜率不存在时，设其方程为(00x x x =<， 与椭圆方程联立02212x x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得y =所以，00,,P x Q x ⎛⎛ ⎝⎝所以，PQ =所以，OPQ △的面积为012x x ⨯⨯01x =±， 所以，02122222x x x +==，2222012011222x y y x ⎪+-⎛⎫=- ⎝⎭== 综上，22122x x +=为定值，22121y y +=为定值.。
山西省吕梁市汾阳中学、孝义中学、文水中学2020-2021学年高二上学期期中数学试题
姓名________________ 准考证号_______________秘密★启用前高二数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有．．一．项．是符合题目要求的．1．直线10l y -+=的倾斜角为（ ） A ．0 B ．6π C ．4π D ．3π2．如果一个正方形的边长为4，那么用斜二测画法画出其直观图的面积是（ ）A ．B ．C ．8D ．163．关于空间两条直线,a b 和平面α，下列命题正确的是（ ） A ．若//,//a b αα，则//a b B ．若,a b αα⊥⊥，则//a b C ．若//,//a b b α，则//a α D ．若,a b b α⊥⊥，则//a α4．在空间直角坐标系O xyz -中，点(1,0,3)A -关于坐标原点的对称点为B ，则||AB =（ ）A ．2BC ．D ．5．如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）A ．43 B ．2 C ．83D ．8 6．下列命题中正确的是（ ） A ．每一条直线都有斜截式方程 B ．方程12y k x +=-与方程1(2)y k x +=-可表示同一直线 C ．直线l 过点()00,P x y ，倾斜角为90°，则其方程为0y y = D ．倾斜角是钝角的直线，其斜率为负数7．若直线:10l x y -+=与圆22210x y ay +--=相切，则实数a =（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．28．若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则该圆的面积为（ ） A ．π或4π B ．π或9π C ．π或16π D ．π或25π9．已知,AB CD 是某一棱长为2的正方体展开图中的两条线段，则原正方体中几何体ABCD 的表面积为（ ）A ．2++B ．2+C ．2+D ．2+10．如图，在棱长均为2的四棱锥S ABCD -中，E 为SB 的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为（ ）A ．-B C D 11．已知,,,A B C D 为球O 的球面上的四个点，圆1O 为ABC 的外接圆．若圆1O 的面积为4π，DA DB DC AB BC AC =====,则球O 的体积为（ ）A ．B ．C ．18πD ．12．已知P 为圆22:1O x y +=上一个动点，O 为坐标原点，过点P 作圆O 的切线与圆221:28190O x y x y +---=相交于两点,A B ，则||AB 最小值是（ ）A 1B 1C ．2D ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知直线3230x y --=和610x my ++=互相垂直，则m =________．14．已知圆锥的顶点与底面的圆心分别为,S O ，过直线SO 的正三角形，则该圆锥的表面积为________．15．如图，在正方体中，,,,A B C D 分别是顶点或所在棱的中点，则,,,A B C D 四点共面的图形有____（填上所有正确答案的序号）．16．在平面直角坐标系内，与点(1,)A a 的距离为1，且与点(3,1)B 的距离为2的直线共有4条，则实数a 的取值范围是__________．三、解答题：本题共6小题，共0分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）求满足下列条件的直线的方程：（1）经过点(2,3)A -，且它的斜率等于直线2y x =的斜率的2倍；（2）平行于直线20x y --=，且与它的距离为． 18．（12分）在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面,,,ABC AB BC E F ⊥分别是1,AC B C 的中点，13,4,AB BC AA AC ===．（1）求证：//EF 平面11AB C ； （2）求点C 到平面11AB C 的距离． 19．（12分）已知三条直线123121323:20,:20,:210,,,l x y l x l x y l l A l l B l l C -=+=+-=⋂=⋂=⋂=． （1）求ABC 外接圆的方程；（2）若圆22:20D x y ax +-=与ABC 的外接圆相交，求a 的取值范围． 20．（12分）如图，在三棱锥P ABC -中，90,ACB PA ︒∠=⊥底面ABC ．（1）求证：BC PC ⊥；（2）M 是PB 的中点，2PN NC =，求AMN 将三棱锥P ABC -分成上下两部分的体积比． 21．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，侧面PAD ⊥底面,ABCD PA PD =．（1）求证：平面PAD ⊥平面PCD；（2）若PB 与底面ABCD 所成的角为60°，求侧面PBC 与底面ABCD 所成二面角的余弦值． 22．（12分）已知圆22:(1)(1)2C x y -+-=．（1）过点(1,0)的直线l 截圆C 的周长为1:2的两部分，求直线l 的方程（2）直线m 与圆C 相切，且与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于,A B 两点，求OAB （O 为坐标原点）面积的最小值．秘密★启用前2020-2021学年度高二年级第一学期期中测评考试试题数学参考答案及评分参考一、选择题1．D 2．B 3．B 4．C 5．C 6．D 7．A 8．D 9．A 10．B 11．B 12．C二、填空题13．9 14．3π 15．①③④ 16．(,1(1)-∞-⋃+∞三、解答题17．（10分）解：（1）因为直线2y x =的斜率为2，所以过点(2,3)A -斜率为4的直线方程是34(2)y x +=-，即4110x y --=． 5分（2）设所求直线l 的方程为0x y m -+=． 直线l 与直线20x y --=的距离d =． 7分= 解得2m =，或6m =-． 9分因此，与直线20x y --=平行，且与它的距离为20x y -+=，或60x y --=． 10分18．（12分）（1）证明：因为,E F 分别是1,AC B C 的中点，所以1//EF AB ，又EF ⊂/平面111,AB C AB ⊂平面11AB C ，所以EF ∥平面11AB C ． 6分（2）解：由题意得，115,AA AC AB ===1AC =2221111AB B C AC +=，所以1190AB C ︒∠=，1112555,43411222ACC AB C SS =⨯⨯==⨯⨯= 9分 易知点1B 到平面1ACC 的距离为125，设点C 到平面11AB C 的距离为h ，由1111C AB C B ACC V V --=可得1125123325h ⨯=⨯⨯，解得h =．所以点C 到平面11AB C 的距离为34． 12分 19．（12分）解：（1）2l 平行于y 轴，1l 与3l 互相垂直，三交点,,A B C 构成直角三角形，经过,,A B C 三点的圆就是以AC为直径的圆． 解方程组20,20,x y x -=⎧⎨+=⎩得2,1.x y =-⎧⎨=-⎩所以点A 的坐标是(2,1)--．解方程组20,210,x x y +=⎧⎨+-=⎩得2,5.x y =-⎧⎨=⎩所以点C 的坐标是(2,5)-． 4分线段AC 的中点坐标是(2,2)-，又||6AC =，所以ABC 外接圆的方程为22(2)(2)9x y ++-=． 6分 （2）因为圆222:()D x a y a -+=，两圆相交，所以|3|||43||a a -<<+，化简得6||146||1a a a -+<<+， 8分 当0a <时，21a <-；当0a >时，101a >． 11分 综上可得，a 的取值范围是11,,210⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 12分 20．（12分）（1）证明：因为90ACB ︒∠=，所以AC BC ⊥，又因为PA ⊥底面ABC ，所以PA BC ⊥， 因为PA AC A ⋂=，所以BC ⊥平面PAC ，又PC ⊂平面PAC ，故BC PC ⊥． 4分 （2）解：因为点M 是PB 的中点，所以12PAMPABSS =，又因为2PN NC =，所以23PN PC =， 设点N 到平面PAB 的距离为1h ，点C 到平面PAB 的距离为2h ，则1223h h =， 7分 因为1211,33N PAM PAM C PABPAB V S h V S h --=⨯⨯=⨯⨯，所以13N PAM C PAB V V --=，故12N PAM A BCNM V V --=， 11分则AMN 将三棱锥P ABC -分成上下两部分的体积比为12． 12分 21．（12分）（1）证明：因为底面ABCD 为正方形，所以CD AD ⊥，又因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，所以CD ⊥平面PAD ，因为CD ⊂平面PCD ，所以平面PAD ⊥平面PCD ． 6分（2）解：如图，作PE AD ⊥于点E ，由条件知E 为AD 的中点，连接BE ，由题意知，PE ⊥底面ABCD，则60PBE ∠=︒， 设2AB a =，则,tan 60PEBE BE︒===PE =． 8分 设BC 的中点为F ，连接,EF PF ，则,EF BC PF BC ⊥⊥，所以PFE ∠为侧面PBC 与底面ABCD 所成二面角的平面角， 10分因为90,2PEF EF a ︒∠==，所以PF =，故cosPFE ∠==，所以侧面PBC 与底面ABCD 所成二面角的余弦值为19． 12分22．（12分）解：（1）设l 与圆C 相交于,E F 两点，由题意知120ECF ︒∠=．又||||CE CF ==所以点C 到l 的距离为2． 2分设:1l x ny =+，由点到直线的距离公式得，2d ==，解得1n =±． 所以直线l 的方程为10x y +-=或10x y --=． 6分（2）设直线:1(0,0)x ym a b a b+=>>．由于直线m 与圆C= 8分即2222222222222a b a b ab a b ab a b +++--=+．所以222222()24a b ab a b ab a b ab +=++++ 解得16ab ．当且仅当a b =时，等号成立． 10分 此时OAB 的面积182S ab =． 故OAB 面积的最小值为8． 12分。
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高二数学
考试时间：120分钟 试卷满分：150分
一、选择题(共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的)
1
．直线03=++a y x 的倾斜角α为 （ ） A ．60
B ．120
C ．150
D ．与a 的取值有关
2．已知圆x 2
＋y 2
－2x +4y －4＝0，则圆心P 为 （ ） A ．(－2，4) B ．(2，－4) C ．(1，-2) D ． (-1，2) 3．如果直线x ＋2y －1＝0和kx-y-3＝0互相平行，则实数k 的值为( )．
A ．－21
B ．－2
C ．2
D ．2
1 4．下图（1）所示的圆锥的俯视图为 （ ）
5．经过两点（3，5）、（-1，1）的直线在x 轴上的截距为（ ） A ．23
-
B ．-2
C ．2
3 D ．2
6．下列叙述中，正确的是（ ） A ．因为,P Q αα∈∈，所以PQ ∈α
B ．因为P α∈，Q β∈，所以αβ⋂=PQ
C ．因为AB α⊂，C ∈AB ，
D ∈AB ，所以CD ∈α D ．因为P α
β∈且l αβ=，所以P l ∈；
7．已知A （1，0，2），B （1，,3-1），点M 在y 轴上且到A 、B 两点的距离相等，则M 点坐标为（ ） A ．（-1，0，0）
B ．（0，-1，0）
C ．（0，0，1）
D ．（0，1，0）
8．长方体共顶点的三个面的面积分别是632、、，则长方体外接球的表面积是（ ）． A ．π6
B ．π24
C ．π6
D ．都不对
9．在空间中，a ，b 是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列条件中可推出a ∥b 的是( )． A ．a ⊂
，b ⊂，∥ B ．a ∥，b ⊂
正视图
侧视图
图（1） A C B • D
•
C ．a ⊥，b ⊥
D ．a ⊥，b ⊂
10．如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，
俯视图是一个圆，那么这个几何体的表面积．．．
为（ ）．
A ．
4π B ．5
4
π C ．π D ．3
2
π
11．在空间四边形ABCD 中，,,,E F G H 分别是,,,AB BC CD DA 的中点，若
AC BD a ==，且AC 与BD 所成的角为︒45，则四边形EFGH 的面积为 （ ）
A ．
2
16
2a B ．
2
8
2a C ．
2
4
2a D ．
22
2a 12．若直线k 24kx y ++=与曲线2
x 4y -=有两个交点，则k 的取值范围是（ ）．
A ． )4
3
,1[--
B ．)43,(--∞
C ．)4
3,1(--
D ．]4
3,(--∞
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置) 13．点M （2，2）到直线330l x y --=的距离是 14．圆x 2
＋y 2
＝1和圆x 2
＋y 2
－6y ＋5＝0的位置关系是_______________
15．直线3x+4y-4=0与圆9)3()2(2
2=++-y x 交于E 、F 两点，则△EOF （O ．是原点．．．
）的面积为___________ 16．如图，三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，侧棱AA 1⊥底面A 1B 1C 1，底面三角形A 1B 1C 1 是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述不正确的是______________ A ．CC 1与B 1E 是异面直线 B ．AC ⊥平面A 1B 1BA C ．AE 、B 1C 1为异面直线，且AE ⊥B 1C 1 D ．A 1C 1∥平面AB 1E
三、解答题(本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解
答写在答卷纸的相应位置上)
17．（本小题满分10分）如图，已知正四棱锥V －ABCD 中，
AC BD M VM 与交于点，是棱锥的高，若AC=8cm ，
5cm VC =，求正四棱锥V -ABCD 的体积．
A
B
C
A
B
E
C
(第16题)
A B
D V
M
18．（本小题满分12分）光线自点M （3，4）射到点()1,0N 后被x 轴反射，求该光线及反
射光线所在的直线方程。
（请用直线的一般方程表示解题结果） 19．（本小题满分12分）如图，在三棱锥P —ABC 中，PC ⊥底面
ABC ，AB ⊥BC ，D ，E 分别是AB 、PB 的中点． (1)求证：DE ∥平面PAC ； (2)求证：AB ⊥PB ；
20．（本小题满分12分）求圆心在03:1=-x y l 上，与x 轴相切，且被直线0:2=-y x l 截
得弦长为74的圆的方程．
21. （本小题满分12分）如图，在棱长为a 的正方体ABCD D C B A -1111中， （1）作出面11A BC 与面ABCD 的交线l ，判断l 与线11A C 位置关系，并给出证明； （2）证明1B D ⊥面11A BC ； （3）求线AC 到面11A BC 的距离；
A
C
P
B
D
E
(第19题)
22．（本小题满分12分）已知半径为5的圆C的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x＋3y－29＝0相切．
(1)求圆C的方程；
(2)设直线ax－y＋5＝0与圆C相交于A，B两点，求实数a的取值范围；
(3) 在(2)的条件下，是否存在实数a，使得过点P(－2，4)的直线l垂直平分弦AB？
若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．
高二数学期中考试答题纸
13． __________14． ___________ 15． _____16．__________________
本大题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
） 17．（10分） 18．（12分）
19．(12分)
20．(12分) A
C
P
B
D
E
(第19题)
21．(12分)
22．(12分)。