(鲁京津琼专用)2020版高考数学一轮复习专题4三角函数、解三角形第29练正弦定理、余弦定理练习
2020版高考数学(鲁京津琼)新增分大一轮讲义：第四章4.3三角函数的图象与性质Word版含解析
§4.3 三角函数的图象与性质最新考纲 1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性.2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]，正切函数在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x 轴交点等)．1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)．(2)在余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )概念方法微思考1．正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是多少？相邻两个对称中心的距离呢？ 提示 正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是半个周期；相邻两个对称中心的距离也为半个周期．2．思考函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0，ω≠0)是奇函数，偶函数的充要条件？ 提示 (1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z )；(2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z )．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)y ＝sin x 在第一、第四象限是增函数．( × )(2)由sin ⎝⎛⎭⎫π6＋2π3＝sin π6知，2π3是正弦函数y ＝sin x (x ∈R )的一个周期．( × ) (3)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．( × ) (4)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( × ) (5)y ＝sin|x |是偶函数．( √ ) 题组二 教材改编2．函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的最小正周期是． 答案 π3．y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域是． 答案 ⎣⎡⎦⎤－32，3 解析 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6， sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， 故3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－32，3， 即y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的值域为⎣⎡⎦⎤－32，3. 4．函数y ＝－tan ⎝⎛⎭⎫2x －3π4的单调递减区间为．⎝8282解析 由－π2＋k π<2x －3π4<π2＋k π(k ∈Z )，得π8＋k π2<x <5π8＋k π2(k ∈Z )， 所以y ＝－tan ⎝⎛⎭⎫2x －3π4的单调递减区间为 ⎝⎛⎭⎫π8＋k π2，5π8＋k π2(k ∈Z )．题组三 易错自纠5．下列函数中最小正周期为π且图象关于直线x ＝π3对称的是( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 答案 B解析 函数y ＝2sin ⎝⎛⎫2x －π6的最小正周期T ＝2π2＝π， 又sin ⎝⎛⎭⎫2×π3－π6＝1， ∴函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象关于直线x ＝π3对称． 6．函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调递减区间是． 答案 ⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋512π(k ∈Z ) 解析 f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 所以要求f (x )的单调递减区间，只需求y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间． 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π(k ∈Z )，得－π12＋k π≤x ≤512π＋k π(k ∈Z )． 所以函数f (x )的单调递减区间是⎣⎦12127．cos23°，sin68°，cos97°的大小关系是． 答案 sin68°>cos23°>cos97° 解析 sin68°＝cos22°，又y ＝cos x 在[0°，180°]上是减函数， ∴sin68°>cos23°>cos97°.题型一 三角函数的定义域1．函数f (x )＝－2tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠π6 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－π12 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π6(k ∈Z ) D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2＋π6(k ∈Z ) 答案 D解析 由正切函数的定义域，得2x ＋π6≠k π＋π2，k ∈Z ，即x ≠k π2＋π6(k ∈Z )，故选D.2．函数y ＝sin x －cos x 的定义域为． 答案 ⎣⎡⎦⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z ) 解析 方法一 要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示．在[0,2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z .方法二 利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图中阴影部分所示)．所以定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z . 3．函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π<x ≤2k π＋π3，k ∈Z 解析 要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x －12≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π，k ∈Z ，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π，k ∈Z ，所以2k π<x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π<x ≤2k π＋π3，k ∈Z . 思维升华三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．题型二 三角函数的值域(最值)例1 (1)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( ) A ．2－3B ．0C ．－1D ．－1－ 3 答案 A解析 因为0≤x ≤9，所以－π3≤πx 6－π3≤7π6，所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3≤1，则－3≤y ≤2.所以y max ＋y min ＝2－ 3.(2)函数y ＝cos2x ＋2cos x 的值域是( ) A ．[－1,3] B.⎣⎡⎦⎤－32，3 C.⎣⎡⎦⎤－32，－1 D.⎣⎡⎦⎤32，3答案 B解析 y ＝cos2x ＋2cos x ＝2cos 2x ＋2cos x －1＝2⎝⎛⎭⎫cos x ＋122－32，因为cos x ∈[－1,1]，所以原式的值域为⎣⎡⎦⎤－32，3. 思维升华求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型：(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，再求值域(最值)； (2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)； (3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．(4)一些复杂的三角函数，可考虑利用导数确定函数的单调性，然后求最值．跟踪训练1(1)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1，则实数a 的取值范围是． 答案 ⎣⎡⎦⎤π3，π解析 ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，∴x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，a ＋π6， ∵当x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，π2时，f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴由函数的图象(图略)知，π2≤a ＋π6≤7π6，∴π3≤a ≤π. (2)(2018·长沙质检)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为． 答案 ⎣⎡⎦⎤－12－2，1解析 设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x ·cos x ，sin x cos x ＝1－t22，且－2≤t ≤ 2.∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1，t ∈[－2，2]．当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－2时，y min ＝－12－ 2.∴函数的值域为⎣⎡⎦⎤－12－2，1. 题型三 三角函数的周期性与对称性例2 (1)若函数f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎫kx ＋π3的最小正周期T 满足1<T <2，则自然数k 的值为________． 答案 2或3解析 由题意得1<πk <2，k ∈N ，∴π2<k <π，k ∈N ， ∴k ＝2或3.(2)(2018·武汉模拟)若函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω∈N *)图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π6，0，则ω的最小值为___________． 答案 2解析 由题意知ωπ6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，∴ω＝6k ＋2(k ∈Z )，又ω∈N *，∴ωmin ＝2.思维升华 (1)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0，ω≠0)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点． (2)求三角函数周期的方法 ①利用周期函数的定义．②利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.跟踪训练2 (1)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象( ) A ．关于原点对称B ．关于点⎝⎛⎭⎫－π6，0对称 C ．关于y 轴对称 D ．关于直线x ＝π6对称答案 B解析 ∵当x ＝－π6时，函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π6×2＋π3＝0， ∴函数图象关于点⎝⎛⎭⎫－π6，0对称． (2)若直线x ＝54π和x ＝94π是函数y ＝cos(ωx ＋φ)(ω>0)图象的两条相邻对称轴，则φ的一个可能取值为( ) A.34πB.π2C.π3D.π4 答案 A解析 由题意，函数的周期T ＝2×⎝⎛⎭⎫94π－54π＝2π，∴ω＝2πT ＝1，∴y ＝cos(x ＋φ)，当x ＝54π时，函数取得最大值或最小值，即cos ⎝⎛⎭⎫54π＋φ＝±1，可得54π＋φ＝k π，k ∈Z ，∴φ＝k π－54π，k ∈Z .当k ＝2时，可得φ＝34π.题型四 三角函数的单调性命题点1 求三角函数的单调区间例3(1)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的单调递减区间为． 答案 ⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) 解析 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫2x －π3 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故所求函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )．(2)函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的单调递增区间是． 答案 ⎝⎛⎭⎫k π2－5π12，k π2＋π12(k ∈Z ) 解析 由k π－π2<2x ＋π3<k π＋π2(k ∈Z )，得k π2－5π12<x <k π2＋π12(k ∈Z )， 所以函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的单调递增区间为 ⎝⎛⎭⎫k π2－5π12，k π2＋π12(k ∈Z )．(3)函数y ＝12sin x ＋32cos x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的单调递增区间是． 答案 ⎣⎡⎦⎤0，π6 解析 ∵y ＝12sin x ＋32cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， 由2k π－π2≤x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得2k π－5π6≤x ≤2k π＋π6(k ∈Z )．∴函数的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π－5π6，2k π＋π6(k ∈Z )， 又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴函数的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，π6. 命题点2 根据单调性求参数例4已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是． 答案 ⎣⎡⎦⎤12，54解析 由π2<x <π，ω>0，得ωπ2＋π4<ωx ＋π4<ωπ＋π4， 又y ＝sin x 的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2，k ∈Z ， 所以⎩⎨⎧ωπ2＋π4≥π2＋2k π，ωπ＋π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得4k ＋12≤ω≤2k ＋54，k ∈Z .又由4k ＋12－⎝⎛⎭⎫2k ＋54≤0，k ∈Z 且2k ＋54>0，k ∈Z ，得k ＝0，所以ω∈⎣⎡⎦⎤12，54. 引申探究本例中，若已知ω>0，函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递增，则ω的取值范围是． 答案 ⎣⎡⎦⎤32，74解析 函数y ＝cos x 的单调递增区间为[－π＋2k π，2k π]，k ∈Z ，则⎩⎨⎧ωπ2＋π4≥－π＋2k π，ωπ＋π4≤2k π，k ∈Z ，解得4k －52≤ω≤2k －14，k ∈Z ，又由4k －52－⎝⎛⎭⎫2k －14≤0，k ∈Z 且2k －14>0，k ∈Z ， 得k ＝1，所以ω∈⎣⎡⎦⎤32，74.思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错． (2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解． 跟踪训练3 (1)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－2x ，则函数f (x )的单调递减区间为( ) A.⎣⎡⎦⎤3π8＋2k π，7π8＋2k π(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤－π8＋2k π，3π8＋2k π(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤3π8＋k π，7π8＋k π(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤－π8＋k π，3π8＋k π(k ∈Z ) 答案 D解析 函数的解析式可化为f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4. 由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得－π8＋k π≤x ≤3π8＋k π(k ∈Z )，即函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤－π8＋k π，3π8＋k π(k ∈Z )． (2)(2018·武汉联考)若函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6在区间⎣⎡⎦⎤0，a 3和⎣⎡⎦⎤4a ，7π6上均单调递增，则实数a 的取值范围是．答案 ⎣⎡⎭⎫π6，7π24解析 由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，可得 k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )， ∴g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )． 又∵函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，a 3和⎣⎡⎦⎤4a ，7π6上均单调递增， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 3≤π6，4a ≥2π3，4a <7π6，解得π6≤a <7π24.三角函数的图象与性质纵观近年高考中三角函数的试题，其有关性质几乎每年必考，题目较为简单，综合性的知识多数为三角函数本章内的知识，通过有效地复习完全可以对此类题型及解法有效攻破，并在高考中拿全分．例(1)在函数①y ＝cos|2x |；②y ＝|cos x |；③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6；④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③答案 A解析 ①y ＝cos|2x |＝cos2x ，最小正周期为π；②由图象知y ＝|cos x |的最小正周期为π；③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的最小正周期T ＝2π2＝π； ④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4的最小正周期T ＝π2，故选A. (2)(2017·全国Ⅲ)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( ) A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称 C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减答案 D解析 A 项，因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的周期为2k π(k ∈Z )，所以f (x )的一个周期为－2π，A 项正确； B 项，因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象的对称轴为直线x ＝k π－π3(k ∈Z )， 所以y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称，B 项正确； C 项，f (x ＋π)＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋4π3.令x ＋4π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π－5π6(k ∈Z )，当k ＝1时，x ＝π6， 所以f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6，C 项正确； D 项，因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋2π3(k ∈Z )， 单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋2π3，2k π＋5π3(k ∈Z )， 所以⎝⎛⎭⎫π2，2π3是f (x )的单调递减区间，⎣⎡⎭⎫2π3，π是f (x )的单调递增区间，D 项错误． 故选D.(3)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为．答案 ⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 解析 由图象知，周期T ＝2×⎝⎛⎭⎫54－14＝2，。
(鲁京津琼专用)高考数学大一轮复习第四章三角函数、解三角形阶段强化练(三)(含解析)
（鲁京津琼专用）高考数学大一轮复习第四章三角函数、解三角形阶段强化练（三）（含解析）阶段强化练(三)一、选择题1．(2019·福建闽侯五校期中联考)sin 215°－cos 215°等于( ) A.－12B.12C ．－32D.32答案 C解析 sin 215°－cos 215°＝－(cos 215°－sin 215°) ＝－cos30°＝－32.故选C. 2．若sin α＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－22cos α等于( ) A.225B ．－225 C.425D ．－425答案 A解析 sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－22cos α＝sin αcos π4＋cos αsin π4－22cos α＝45×22＝225.3．(2019·安徽皖中名校联考)已知sin α＝－45，且α是第四象限角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α的值为( )A.5210B.325C.7210D.425 答案 C解析 由同角三角函数基本关系可得cos α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－452＝35，结合两角差的正弦公式可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin π4cos α－cos π4sin α＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫35＋45＝7210.故选C. 4．(2019·长春质检)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin x 的最大值为( )A.3B ．2C ．23D ．4答案 A解析 函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin x＝12sin x ＋32cos x ＋sin x ＝32sin x ＋32cos x ＝3⎝⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤ 3.故f (x )的最大值为 3. 故选A.5．已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)－1⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π8，其图象与直线y ＝1相邻两个交点的距离为4π3，若f (x )＞0对x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，π4恒成立，则φ的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，0B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－π8，－π24C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π12，π8 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12答案 B解析 由已知得函数f (x )的最小正周期为4π3，则ω＝32，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，π4时，32x ＋φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π16＋φ，3π8＋φ， 因为f (x )＞0，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋φ＞12，所以⎩⎪⎨⎪⎧－3π16＋φ≥－π3＋2k π，3π8＋φ≤π3＋2k π(k ∈Z )，解得－7π48＋2k π≤φ≤－π24＋2k π(k ∈Z )，又|φ|＜π8，所以－π8＜φ≤－π24，故选B.6．(2019·山师大附中模拟)设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)在x ＝π6时取得最大值，则函数g (x )＝cos(2x ＋φ)的图象( )A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称 B ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称C ．关于直线x ＝π6对称D ．关于直线x ＝π3对称答案 A解析 因为当x ＝π6时，f (x )＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)取得最大值，所以φ＝π6，即g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π6，0，k ∈Z ，对称轴x ＝k π2－π12，k ∈Z ，故选A. 7．(2019·沈阳东北育才学校模拟)如图平面直角坐标系中，角α⎝⎛⎭⎪⎫0<α<π2，角β⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<β<0的终边分别交单位圆于A ，B 两点，若B 点的纵坐标为－513，且满足S △AOB ＝34，则sin α2·⎝⎛⎭⎪⎫3cos α2－sin α2＋12的值为( )A ．－513B.1213C ．－1213D.513答案 B解析 由图易知∠xOA ＝α，∠xOB ＝－β. 由题可知，sin β＝－513.由S △AOB ＝34知∠AOB ＝π3，即α－β＝π3， 即α＝π3＋β.则sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫3cos α2－sin α2＋12＝3sin α2cos α2－sin 2α2＋12＝32sin α－12(1－cos α)＋12＝32sin α＋12cos α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋β＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＝cos β＝1－sin 2β＝1213.故选B.8．(2019·重庆铜梁一中月考)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，2π3的图象如图，若f (x 1)＝f (x 2)，且x 1≠x 2，则f (x 1＋x 2) 的值为( )A.3B.2C ．1D ．0 答案 C解析 由图象得3T 4＝2π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，∴T ＝π，ω＝2πT＝2，由2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×2＋φ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝2，得π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，∴φ＝π6＋2k π(k ∈Z )， 由x 1＋x 2＝π6×2＝π3，得f (x 1＋x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋π6＋2k π＝1，故选C. 9．(2019·重庆巴蜀中学期中)已知f (x )＝sin(ωx ＋θ) ⎝ ⎛⎭⎪⎫其中ω>0，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝0，|x 1－x 2|的最小值为π2，f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ，将f (x )的图象向左平移π6个单位长度得g (x )，则g (x )的单调递减区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋5π6(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π12，k π＋7π12(k ∈Z ) 答案 A解析 ∵f (x )＝sin(ωx ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中ω>0，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，由f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝0可得x 1，x 2是函数的极值点， ∵|x 1－x 2|的最小值为π2，∴12T ＝πω＝π2，∴ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋θ)， 又f (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫π3－x ，∴f (x )的图象的对称轴为x ＝π6，∴2×π6＋θ＝k π＋π2，k ∈Z ，又θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴θ＝π6，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 将f (x )的图象向左平移π6个单位长度得g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋π6＝cos2x 的图象，令2k π≤2x ≤2k π＋π，k ∈Z ，∴k π≤x ≤k π＋π2，k ∈Z ，则g (x )＝cos2x 的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )，故选A. 10．(2019·成都七中诊断)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(其中ω>0)的最小正周期为π，函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋3f (x )，若对∀x ∈R ，都有g (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，则φ的最小正值为( )A.π3B.2π3C.4π3D.5π3 答案 B解析 由函数f (x )的最小正周期为π，可求得ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋φ)，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋3f (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋φ＋3sin(2x ＋φ)＝cos(2x ＋φ)＋3sin(2x ＋φ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π6，∴g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π6，又g (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，∴x ＝π3是g (x )的一条对称轴，代入2x ＋φ＋π6中，有2×π3＋φ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )，解得φ＝－π3＋k π(k ∈Z )，当k ＝1时，φ＝2π3，故选B.11．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若S △ABC ＝23，a ＋b ＝6，a cos B ＋b cos Ac＝2cos C ，则c 等于( )A ．27B ．4C ．23D ．3 3 答案 C 解析 ∵a cos B ＋b cos Ac＝2cos C ，由正弦定理，得sin A cos B ＋cos A sin B ＝2sin C cos C ， ∴sin(A ＋B )＝sin C ＝2sin C cos C ，由于0<C <π，sin C ≠0，∴cos C ＝12，∴C ＝π3，∵S △ABC ＝23＝12ab sin C ＝34ab ，∴ab ＝8，又a ＋b ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝2，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋16－8＝12，∴c ＝23，故选C.12．(2019·河北衡水中学调研)若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)在区间(π，2π)内没有最值，则ω的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，112∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，16∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23 答案 B解析 易知函数y ＝sin x 的单调区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π2，k π＋3π2，k ∈Z . 由k π＋π2≤ωx ＋π6≤k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π3ω≤x ≤k π＋4π3ω，k ∈Z .因为函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)在区间(π，2π)内没有最值，所以f (x )在区间(π，2π)内单调，所以(π，2π)⊆⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤k π＋π3ω，k π＋4π3ω，k ∈Z ，所以⎩⎪⎨⎪⎧k π＋π3ω≤π，k π＋4π3ω≥2π，k ∈Z ，解得k ＋13≤ω≤k 2＋23，k ∈Z .由k ＋13≤k 2＋23，k ∈Z ，得k ≤23，k ∈Z .当k ＝0时，得13≤ω≤23；当k ＝－1时，得－23≤ω≤16.又ω>0，所以0<ω≤16.综上，得ω的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，16∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23. 故选B. 二、填空题13．(2019·陕西四校联考)已知sin α＝2cos α，则cos2α＝________. 答案 －35解析 由已知得tan α＝2，cos2α＝cos 2α－sin 2α ＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2αtan 2α＋1＝1－44＋1＝－35. 14．(2019·山师大附中模拟)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝14，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝________.答案 78解析 根据三角函数诱导公式，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ＝14， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＝－2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋1＝78.15．(2019·武汉示范高中联考)函数y ＝sin x ＋cos x ＋2sin x cos x 的最大值为________． 答案2＋1解析 令t ＝sin x ＋cos x ，则t ＝sin x ＋cos x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，所以t ∈[－2，2]，则t 2＝1＋2sin x cos x ，所以sin x cos x ＝t 2－12，所以y ＝t 2＋t －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－54，对称轴为t ＝－12，因为t ∈[－2，2]，所以当t ＝2时取得最大值，为2＋1.16．(2019·银川一中月考)已知函数f (x )＝cos x sin x (x ∈R )，则下列四个命题中正确的是________．(写出所有正确命题的序号) ①若f (x 1)＝－f (x 2)，则x 1＝－x 2； ②f (x )的最小正周期是2π；③f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上是增函数； ④f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称． 答案 ③④解析 f (x 1)＝－f (x 2)，即12sin2x 1＝－12sin2x 2，由f (x )图象(图略)可知， ①错误；由周期公式可得T ＝2π2＝π，②错误；由f (x )的图象可知，③正确；f ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＝12sin 3π2＝－12，故④正确．故填③④. 三、解答题17．(2019·抚州七校联考)已知函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的图象相邻两个对称轴之间的距离为π2，且f (x )的图象与y ＝sin x 的图象有一个横坐标为π4的交点.(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π8时，求f (x )的最小值，并求使f (x )取得最小值的x 的值． 解 (1)由题可知，T ＝π＝2πω，ω＝2，又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4＋φ＝sin π4，|φ|<π2，得φ＝－π4.所以f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4.(2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π8，所以2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π2， 当2x －π4＝π，即x ＝5π8时，f (x )取得最小值．f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫5π8＝－1.18．(2019·福建闽侯五校期中联考)已知向量a ＝(3sin x ，cos x )，b ＝(cos x ，－cos x )，f (x )＝a ·b .(1)求f (x )的最小正周期和单调递增区间； (2)若x ∈⎝⎛⎭⎪⎫7π12，5π6，a ·b ＝－54，求cos2x 的值．解 (1)f (x )＝a ·b ＝3sin x cos x －cos 2x ＝32sin2x －cos2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－12，∴f (x )的最小正周期是π.令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，∴k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．(2)∵a ·b ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－12＝－54，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝－34.∵x ∈⎝⎛⎭⎪⎫7π12，5π6，∴2x －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝－74， ∴cos2x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6cos π6－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6sin π6 ＝－74×32－⎝ ⎛⎭⎪⎫－34×12＝3－218.。
鲁京津琼专用2020版高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形高考专题突破二高考中的三角函数与解三角
1高考专题突破二高考中的三角函数与解三角形问题题型一三角函数的图象和性质例1(2016·山东)设f(x)＝23sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2. (1)求f(x)的单调递增区间；(2)把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移π3个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求g??????π6的值．解 (1)由f(x)＝23sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2＝23sin2x－(1－2sin x cos x) ＝3(1－cos2x)＋sin2x－1 ＝sin2x－3cos2x＋3－1 ＝2sin??????2x－π3＋3－1. 由2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2(k∈Z)，得kπ－π12≤x≤kπ＋5π12(k∈Z)．所以f(x)的单调递增区间是??????kπ－π12，kπ＋5π12(k∈Z)??????或??????kπ－π12，kπ＋5π12?k∈Z?.(2)由(1)知f(x)＝2sin??????2x－π3＋3－1，把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝2sin??????x－π3＋3－1的图象，再把得到的图象向左平移π3个单位长度，得到y＝2sin x＋3－1的图象，即g(x)＝2sin x＋3－1.所以g??????π6＝2sinπ6＋3－1＝3. 思维升华三角函数的图象与性质是高考考查的重点，通常先将三角函数化为y＝A sin(ωx＋φ)＋k的形式，然后将t ＝ωx＋φ视为一个整体，结合y＝sin t的图象求解．跟踪训练1已知函数f(x)＝5sin x cos x－53cos2x＋532(其中x∈R)，求：2(1)函数f(x)的最小正周期；(2)函数f(x)的单调区间；(3)函数f(x)图象的对称轴和对称中心．解 (1)因为f(x)＝52sin2x－532(1＋cos2x)＋532＝5??????12sin2x－32cos2x＝5sin??????2x－π3，所以函数的最小正周期T＝2π2＝π. (2)由2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2(k∈Z)，得kπ－π12≤x≤kπ＋5π12(k∈Z)，所以函数f(x)的单调递增区间为??????kπ－π12，kπ＋5π12(k∈Z)．由2kπ＋π2≤2x－π3≤2kπ＋3π2(k∈Z)，得kπ＋5π12≤x≤kπ＋11π12(k∈Z)，所以函数f(x)的单调递减区间为??????kπ＋5π12，kπ＋11π12(k∈Z)．(3)由2x－π3＝kπ＋π2(k∈Z)，得x＝kπ2＋5π12(k∈Z)，所以函数f(x)的对称轴方程为x＝kπ2＋5π12(k∈Z)．由2x－π3＝kπ(k∈Z)，得x＝kπ2＋π6(k∈Z)，所以函数f(x)的对称中心为??????kπ2＋π6，0(k∈Z)．题型二解三角形例2△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋3cos A＝0，a＝27，b＝2.(1)求角A和边长c；3(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．解 (1)∵sin A＋3cos A＝0，∴tan A＝－3，又0<A<π，∴A＝2π3，由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc cos A，即28＝4＋c2－2×2c×??????－12，即c2＋2c－24＝0，解得c＝－6(舍去)或c＝4，故c＝4. (2)∵c2＝a2＋b2－2ab cos C，∴16＝28＋4－2×27×2×cos C，∴cos C＝27，∴CD＝AC cos C＝227＝7，∴CD＝12BC，∴S△ABC＝12AB·AC·sin∠BAC＝12×4×2×32＝23，∴S△ABD＝12S△ABC＝3.思维升华根据三角形中的已知条件，选择正弦定理或余弦定理求解；在解决有关角的范围问题时，要注意挖掘题目中隐含的条件，对结果进行正确的取舍．跟踪训练2(2017·北京)在△ABC中，∠A＝60°，c＝37a.(1)求sin C的值；(2)若a＝7，求△ABC的面积．解 (1)在△ABC中，因为∠A＝60°，c＝37a，所以由正弦定理得sin C＝c sin Aa＝37×32＝3314. (2)因为a＝7，所以c＝37×7＝3.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，得72＝b2＋32－2b×3×12，解得b＝8或b＝－5(舍去)．所以△ABC的面积S＝12bc sin A＝12×8×3×32＝63.4题型三三角函数和解三角形的综合应用例3(2018·南通考试)如图，某机械厂欲从AB＝2米，AD＝22米的矩形铁皮中裁剪出一个四边形ABEF加工成某仪器的零件，裁剪要求如下：点E，F分别在边BC，AD上，且EB＝EF，AF<BE.设∠BEF＝θ，四边形ABEF的面积为f(θ)(单位：平方米)．(1)求f(θ)关于θ的函数关系式，求出定义域；(2)当BE，AF的长为何值时，裁剪出的四边形ABEF的面积最小，并求出最小值．解 (1)过点F作FM⊥BE，垂足为M.在Rt△FME中，MF＝2，∠EMF＝π2，∠FEM＝θ，所以EF＝2sinθ，ME＝2tanθ，故AF＝BM＝EF－EM＝2sinθ－2tanθ，所以f(θ)＝12(AF＋BE)×AB＝12×??????2sinθ－2tanθ＋2sinθ×2＝4sinθ－2tanθ，由题意可知，AF<BE，所以θ<π2，且当点E重合于点C时，EF＝EB＝22，FM＝2，θ＝π4，所以函数f(θ)＝4sinθ－2tanθ的定义域为??????π4，π 2.(2)由(1)可知，5f(θ)＝4sinθ－2tanθ＝4??????sin2θ2＋cos2θ22sinθ2cosθ2－22tanθ21－tan2θ2＝2????????tanθ2＋1tanθ2－????????1tanθ2－tanθ2＝3tanθ2＋1tanθ2≥23tanθ2·1tanθ2＝23，当且仅当3tanθ2＝1tanθ2时，等号成立，又θ∈??????π4，π2，θ2∈??????π8，π4，故当tanθ2＝33，即θ2＝π6，θ＝π3时，四边形ABEF的面积最小，此时BE＝2sinθ＝433，AF＝2sinθ－2tanθ＝233，f(θ)＝4sinθ－2tanθ＝23.答当BE，AF的长度分别为433米，233米时，裁剪出的四边形ABEF的面积最小，最小值为23平方米．思维升华三角函数和解三角形的综合问题要利用正弦定理、余弦定理进行转化，结合三角函数的性质，要注意角的范围对变形过程的影响．跟踪训练3在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a sin B－b cos C＝c cos B.(1)判断△ABC的形状；(2)若f(x)＝12cos2x－23cos x＋12，求f(A)的取值范围．解 (1)因为a sin B－b cos C＝c cos B，由正弦定理可得sin A sin B－sin B cos C＝sin C cos B. 即sin A sin B＝sin C cos B＋cos C sin B，所以sin(C＋B)＝sin A sin B.因为在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以sin A＝sin A sin B，又sin A≠0，所以sin B＝1，B＝π2，所以△ABC为直角三角形．6(2)因为f(x)＝12cos2x－23cos x＋12＝cos2x－23cos x＝??????cos x－132－19，所以f(A)＝??????cos A－132－19，因为△ABC是直角三角形，所以0<A<π2，且0<cos A<1，所以当cos A＝13时，f(A)有最小值－19.所以f(A)的取值范围是??????－19，13.1.已知函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)??????A>0，ω>0，|φ|<π2，x∈R的部分图象如图．(1)求函数f(x)的解析式．(2)求函数f(x)在区间??????0，5π12上的最值，并求出相应的x值．解 (1)由题干图象可知|A|＝2，又A>0，故A＝2.周期T＝43×??????13π12－π3＝43×3π4＝π，又T＝2πω＝π，∴ω＝2.∴f(x)＝2sin(2x＋φ)，由题干图象知f??????π3＝2sin??????2π3＋φ＝2，∴2π3＋φ＝π2＋2kπ，k∈Z，φ＝－π6＋2kπ，k∈Z，又|φ|<π2，∴φ＝－π6，故f(x)＝2sin??????2x－π 6.7(2)∵x∈??????0，5π12，∴2x－π6∈??????－π6，2π3，∴sin??????2x－π6∈??????－12，1，2sin??????2x－π6∈[－1，2]. 当2x －π6＝π2，即x＝π3时，f(x)取得最大值，f(x)max＝f??????π3＝2. 当2x－π6＝－π6，即x＝0时，f(x)取得最小值，f(x)min＝f(0)＝－1.2．(2018·天津联考)设函数f(x)＝2tan x4·cos2x4－2cos2??????x4＋π12＋1.(1)求f(x)的定义域及最小正周期．(2)求f(x)在[－π，0]上的最值．解 (1)f(x)＝2sin x4cos x4－cos??????x2＋π 6＝sin x2－cos??????x2＋π6＝sin x2－32cos x2＋12sin x 2＝3sin??????x2－π6. 由x4≠π2＋kπ(k∈Z)，得f(x)的定义域为{x|x≠2π＋4kπ(k∈Z)}，故f(x)的最小正周期为T＝2π12＝4π. (2)∵－π≤x≤0，∴－2π3≤x2－π6≤－π6.∴当x2－π6∈??????－2π3，－π2，即x∈??????－π，－2π3时，f(x)单调递减，当x2－π6∈??????－π2，－π6，即x∈??????－2π3，0时，f(x)单调递增，∴f(x)min＝f??????－2π3＝－3，8又f(0)＝－32，f(－π)＝－32，∴f(x)max＝f(0)＝－32. 3.已知函数f(x)＝sin??????ωx＋π6＋sin??????ωx－π6－2cos2ωx2，x∈R(其中ω>0)．(1)求函数f(x)的值域；(2)若函数y＝f(x)的图象与直线y＝－1的两个相邻交点间的距离为π2，求函数y ＝f(x)的单调递增区间．解 (1)f(x)＝3sinωx＋12cosωx＋32sinωx－12cosωx－(cosωx＋1) ＝2 ??????32sinωx－12cosωx－1＝2sin??????ωx－π6－1.由－1≤sin??????ωx－π6≤1，得－3≤2sin??????ωx－π6－1≤1，所以函数f(x)的值域为[－3,1]．．(2)由题设条件及三角函数的图象和性质可知，y＝f(x)的周期为π，所以2πω＝π，即ω＝2.所以f(x)＝2sin??????2x－π6－1，再由2kπ－π2≤2x－π6≤2kπ＋π2(k∈Z)，解得kπ－π6≤x≤kπ＋π3(k∈Z)．所以函数y＝f(x)的单调递增区间为??????kπ－π6，kπ＋π3(k∈Z)．4．已知点P(3，1)，Q(cos x，sin x)，O为坐标原点，函数f(x)＝OP→·QP→. (1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若A为△ABC的内角，f(A)＝4，BC＝3，求△ABC周长的最大值．解 (1)由已知，得OP→＝(3，1)，QP→＝(3－cos x,1－sin x)，所以f(x)＝OP→·QP→＝3－3cos x＋1－sin x＝4－2sin??????x＋π3，9所以函数f(x)的最小正周期为2π.(2)因为f(A)＝4，所以sin??????A＋π3＝0，又0<A<π，所以π3<A＋π3<4π3，A＝2π 3.因为BC＝3，所以由正弦定理，得AC＝23sin B，AB＝23sin C，所以△ABC的周长为3＋23sin B＋23sin C＝3＋23sin B＋23sin??????π3－B＝3＋23sin?????B＋π 3. 因为0<B<π3，所以π3<B＋π3<2π3，所以当B＋π3＝π2，即B＝π6时，△ABC的周长取得最大值，最大值为3＋2 3.5.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且a cos C＋3a sin C－b－c＝0.(1)求A；(2)若AD为BC边上的中线，cos B＝17，AD＝1292，求△ABC的面积．解 (1)a cos C＋3a sin C－b－c＝0，由正弦定理得sin A cos C＋3sin A sin C＝sin B＋sin C，即sin A cos C＋3sin A sin C＝sin(A＋C)＋sin C，亦即sin A cos C＋3sin A sin C＝sin A cos C＋cos A sin C＋sin C，则3sin A sin C－cos A sin C＝sin C.又sin C≠0，所以3sin A－cos A＝1，所以sin(A－30°)＝12.在△ABC中，0°<A<180°，则－30°<A－30°<150°，10所以A－30°＝30°，得A＝60°.(2)在△ABC中，因为cos B＝17，所以sin B＝437.所以sin C＝sin(A＋B)＝32×17＋12×437＝5314. 由正弦定理，得a c＝sin A sin C＝75.设a＝7x，c＝5x(x>0)，则在△ABD中，AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD cos B，即1294＝25x2＋14×49x2－2×5x×12×7x×17，解得x＝1(负值舍去)，所以a＝7，c＝5，故S△ABC＝12ac sin B＝103.6．已知函数f(x)＝cos2ωx＋3sin2ωx＋t(ω>0)，若f(x)的图象上相邻两条对称轴的距离为π4，图象过点(0,0)．(1)求f(x)的表达式和f(x)的单调增区间；(2)将函数f(x)的图象向右平移π8个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象，若函数F(x)＝g(x)＋k在区间??? ???0，π2上有且只有一个零点，求实数k的取值范围．解 (1)f(x)＝cos2ωx＋3sin2ωx＋t＝2sin??????2ωx＋π6＋t，f(x)的最小正周期为2π2ω＝π2，∴ω＝2，∵f(x)的图象过点(0,0)，∴2sinπ6＋t＝0，∴t＝－1，即f(x)＝2sin??????4x＋π6－1. 令2kπ－π2≤4x＋π6≤2kπ＋π2，k∈Z，求得kπ2－π6≤x≤kπ2＋π12，k∈Z，11故f(x)的单调增区间为??????kπ2－π6，kπ2＋π12，k∈Z. (2)将函数f(x)的图象向右平移π8个单位长度，可得y＝2sin??????4x－π2＋π6－1＝2sin??????4x－π3－1的图象，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)＝2sin??????2x－π3－1的图象．∵x∈??????0，π2，∴2x－π3∈??????－π3，2π3，∴sin??????2x－π3∈??????－32，1，故g(x)＝2sin??????2x－π3－1在区间??????0，π2上的值域为[]－3－1，1.若函数F(x)＝g(x)＋k在区间??????0，π2上有且只有一个零点，由题意可知，函数g(x)＝2sin??????2x－π3－1的图象和直线y＝－k有且只有一个交点，根据图象(图略)可知，k＝－1或1－3<k≤3＋1. 故实数k的取值范围是{－1}∪(1－3，3＋1]．．。
2020年高考数学一轮复习《解三角形》
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7
AB 2BC 2sin C 4sin(120 C ) 2(sin C 3 cosC sin C )
2(2 sin C 3 cosC ) 2 7 sin(C ),其中 tan
所以
C
(0 ，120 )，因此 AB
2BC的最大值为 2 7.
3 ,
是第一象限角
2
变 式 3 已 知 a,b,c, 分 别 为 ABC 三 个 内 角 A, B, C 的 对 边 ，
3
2
b
a 评注 在 ABC 中，利用正弦定理
b
c 2R ，进行边与角的转化，
s i nA s i Bn sCi n
在条件中有边也有角时，一般考虑统一成边或角的形式，再由两角和与差的公
式来求解 .
2020 年高考数学一轮复习《解三角形》
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6
变式 1 （1）若在锐角 ABC 中，若 A=2B，则 a 的取值范围为
B.{ k 3 k 6}
C.{ k k 6} D .{ k k 6 或 k 3}
分析 三角形问题首先根据题意画出三角形， ＡＣ 的最小值为 ＢＣ 边的垂线段， 再根据零点的意义及函数求解 .
解析 由 g (a) f (a) k 0, 且 b f (a). ，得 k f (a) b, 如图 4－ 34 所示，由
a ,得c
sin A
a sin C sin A
1 65
12
21 .
20
13
评注 本题已知两角及一边，用正弦定理：在 ABC 中，
A B a b sin A sin B.
0, 据正弦定理得
变式 1 在 ABC 中，角 A, B,C 所对边依次为 a,b, c, a 2, b 2,
2020版高考新增分大一轮新高考(鲁京津琼)专用：第4章 4.2 同角3角函数基本关系式及诱导公式
sinα 利用 ＝tanα可以实现角α的弦切互化．
cosα
(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于 sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用 (sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二． (3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
52
tanα＋πcos－αtanα
6 答案
12
π 解析 ∵－ <α<0，
2
∴sinα＝－
1
1－ 5 2＝－2 6， 5
∴tanα＝－2 6.
π ＋α
cos 2 则
－sinα ＝
tanα＋πcos－αtanα tanα·cosα·tanα
1
16
＝－ ＝ ＝ .
tanα 2 6 12
题型一 同角三角函数基本关系式的应用
cos2α＋2sin2α等于(
)
4
64 48
16
A. B. C．1D.
25 25
25
答案 A
解析
3 tanα＝ ，则
cos2α＋2sin2α＝cos2α＋2sin2α＝1＋4tanα＝64.
4
cos2α＋sin2α 1＋tan2α 25
cosα
2sinα
3．若角α的终边落在第三象限，则
＋
的值为( )
－α
＋α
cos 2
·sin 2
3 答案 －
4
－sinαsinα
解析 原式＝
＝tanα，
－sinαcosα
3 根据三角函数的定义得 tanα＝－ .
4
2sinπ＋αcosπ－α－cosπ＋α
2020版高考数学新增分大一轮新高考(鲁京津琼)专用讲义：第四章 4.6 正弦定理和余弦定理 Word版含解析
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题型一 利用正弦、余弦定理解三角形
( )π
例 1 (2018·天津)在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 bsin A＝acos B－ . 6
(1)求角 B 的大小；
(2)设 a＝2，c＝3，求 b 和 sin(2A－B)的值．
2R
2R
2R
c2＋a2－b2
＝
；cos C＝
2ac
a2＋b2－c2
2ab
(5)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(6)asin B＝bsin A，
bsin C＝csin B，
asin C＝csin A
2．在△ABC 中，已知 a，b 和 A 时，解的情况
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A 为锐角
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A 为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsin A
解的个数
一解
bsin A<a<b 两解
a≥b 一解
a>b 一解
3.三角形常用面积公式
1 (1)S＝2a·ha(ha 表示边 a 上的高)；
1
1
1
(2)S＝ absin C＝ acsin B＝ bcsin A；
2
2
2
1 (3)S＝ r(a＋b＋c)(r 为三角形内切圆半径)．
(4)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．( √ )
题组二 教材改编
2．在△ABC 中，acos A＝bcos B，则这个三角形的形状为
．
答案 等腰三角形或直角三角形
解析 由正弦定理，得 sin Acos A＝sin Bcos B，
鲁京津琼专用2020版高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4.5简单的三角恒等变换第1课时教案含解析
§4.5 简单的三角恒等变换最新考纲 1.经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用.2.能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.3.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括引导导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)．1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β(C (α－β)) cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β(C (α＋β)) sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β(S (α－β)) sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(S (α＋β)) tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β(T (α－β))tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β(T (α＋β))2．二倍角公式 sin2α＝2sin αcos α；cos2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan2α＝2tan α1－tan 2α. 概念方法微思考1．诱导公式与两角和差的三角函数公式有何关系？提示 诱导公式可以看成和差公式中β＝k ·π2(k ∈Z )时的特殊情形．2．怎样研究形如f (x )＝a sin x ＋b cos x 函数的性质？提示 先根据辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2·sin(x ＋φ)，将f (x )化成f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再结合图象研究函数的性质．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( √ ) (2)对任意角α都有1＋sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22.( √ ) (3)y ＝3sin x ＋4cos x 的最大值是7.( × ) (4)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( × ) 题组二 教材改编2．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( ) A ．－210B.210C ．－7210D.7210答案 C解析 ∵α是第三象限角，∴sin α＝－1－cos 2α＝－35，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－35×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×22＝－7210. 3．sin347°cos148°＋sin77°cos58°＝. 答案22解析 sin347°cos148°＋sin77°cos58°＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin77°cos58° ＝(－cos77°)·(－sin58°)＋sin77°cos58° ＝sin58°cos77°＋cos58°sin77° ＝sin(58°＋77°)＝sin135°＝22. 4．tan10°＋tan50°＋3tan10°tan50°＝. 答案3解析 ∵tan60°＝tan(10°＋50°)＝tan10°＋tan50°1－tan10°tan50°，∴tan10°＋tan50°＝tan60°(1－tan10°tan50°) ＝3－3tan10°tan50°，∴原式＝3－3tan10°tan50°＋3tan10°tan50°＝ 3. 题组三 易错自纠5.sin47°－sin17°cos30°cos17°＝________.答案 12解析 原式＝sin (30°＋17°)－sin17°cos30°cos17°＝sin30°cos17°＋cos30°sin17°－sin17°cos30°cos17°＝sin30°cos17°cos17°＝sin30°＝12.6．化简：cos40°cos25°·1－sin40°＝________.答案2解析 原式＝cos40°cos25°1－cos50°＝cos40°cos25°·2sin25°＝cos40°22sin50°＝ 2. 7．(2018·烟台模拟)已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝210，则tan2θ＝.答案 －247解析 方法一 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝210，得sin θ－cos θ＝15，① θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，①平方得2sin θcos θ＝2425，可求得sin θ＋cos θ＝75，∴sin θ＝45，cos θ＝35，∴tan θ＝43，tan2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－247. 方法二 ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝210，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝7210，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝17＝tan θ－11＋tan θ，∴tan θ＝43. 故tan2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－247. 8．化简：2sin (π－α)＋sin2αcos 2α2＝________.答案 4sin α 解析2sin (π－α)＋sin2αcos 2α2＝2sin α＋2sin αcos α12(1＋cos α)＝4sin α(1＋cos α)1＋cos α＝4sin α.第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式题型一 和差公式的直接应用1．(2018·石家庄质检)若sin(π－α)＝13，且π2≤α≤π，则sin2α的值为( )A ．－429B ．－229C.229D.429答案 A解析 因为sin(π－α)＝sin α＝13，π2≤α≤π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－223，所以sin2α＝2sin αcos α＝2×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－223＝－429. 2．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝37，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β＝25，则tan(α＋β)的值为( )A.2941B.129C.141 D ．1答案 D解析 ∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝37，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β＝25，∴tan(α＋β)＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β1－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β＝37＋251－37×25＝1.3．(2018·青岛调研)已知sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan(π－β)＝12，则tan(α－β)的值为( )A ．－211B.211C.112D ．－112答案 A解析 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos α＝－45，tan α＝－34，又tan β＝－12，∴tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan α·tan β＝－34＋121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝－211.4．计算sin110°sin20°cos 2155°－sin 2155°的值为． 答案 12解析sin110°sin20°cos 2155°－sin 2155°＝sin70°sin20°cos310°＝cos20°sin20°cos50°＝12sin40°sin40°＝12.思维升华 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征． (2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．题型二 和差公式的灵活应用命题点1 角的变换例1(1)设α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β＝. 答案2525解析 依题意得sin α＝1－cos 2α＝255， 因为sin(α＋β)＝35<sin α且α＋β>α，所以α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos(α＋β)＝－45. 于是cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－45×55＋35×255＝2525.(2)设α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3的值为( )A.1225 B.2425 C ．－2425D ．－1225答案 B解析 因为α为锐角，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45， 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝sin2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝2×35×45＝2425，故选B.命题点2 三角函数式的变换例2(1)化简：(1＋sin θ＋cos θ)⎝⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ22＋2cos θ (0<θ<π)；(2)求值：1＋cos20°2sin20°－sin10°⎝ ⎛⎭⎪⎫1tan5°－tan5°.解 (1)由θ∈(0，π)，得0<θ2<π2，∴cos θ2>0，∴2＋2cos θ＝4cos2θ2＝2cos θ2. 又(1＋sin θ＋cos θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ2 ＝⎝⎛⎭⎪⎫2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ2＝2cos θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2θ2－cos 2θ2＝－2cos θ2cos θ，故原式＝－2cos θ2cos θ2cosθ2＝－cos θ.(2)原式＝2cos 210°2×2sin10°cos10°－sin10°⎝ ⎛⎭⎪⎫cos5°sin5°－sin5°cos5°＝cos10°2sin10°－sin10°·cos 25°－sin 25°sin5°cos5° ＝cos10°2sin10°－sin10°·cos10°12sin10° ＝cos10°2sin10°－2cos10°＝cos10°－2sin20°2sin10° ＝cos10°－2sin (30°－10°)2sin10°＝cos10°－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos10°－32sin10°2sin10°＝3sin10°2sin10°＝32.引申探究化简：(1＋sin θ－cos θ)⎝⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ22－2cos θ (0<θ<π)．解 ∵0<θ<π，∴0<θ2<π2，∴2－2cos θ＝2sin θ2，又1＋sin θ－cos θ＝2sin θ2cos θ2＋2sin 2θ2＝2sin θ2⎝⎛⎭⎪⎫sin θ2＋cos θ2，∴原式＝2sin θ2⎝⎛⎭⎪⎫sin θ2＋cos θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ22sinθ2＝－cos θ.命题点3 公式的逆用与变形例3(1)已知sin α＋cos β＝13，sin β－cos α＝12，则sin(α－β)＝.答案 －5972解析 ∵sin α＋cos β＝13，sin β－cos α＝12，∴(sin α＋cos β)2＝19，(sin β－cos α)2＝14，即sin 2α＋2sin αcos β＋cos 2β＝19，①sin 2β－2sin βcos α＋cos 2α＝14.②①＋②得sin 2α＋2sin αcos β＋cos 2β＋sin 2β－2sin βcos α＋cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋(cos 2β＋sin 2β)＋2(sin αcos β－sin βcos α)＝1＋1＋2sin(α－β)＝2＋2sin(α－β)＝1336，则sin(α－β)＝－5972.(2)已知α－β＝π3，tan α－tan β＝3，则cos(α＋β)的值为．答案33－12解析 ∵tan α－tan β＝sin αcos α－sin βcos β＝sin (α－β)cos αcos β＝3，且α－β＝π3，∴cos αcos β＝36，又cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝12，∴sin αsin β＝12－36，那么cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝33－12. 思维升华 (1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系．(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋β等．跟踪训练 (1)计算：cos10°－3cos (－100°)1－sin10°＝.(用数字作答)答案 2解析cos10°－3cos (－100°)1－sin10°＝cos10°＋3cos80°1－cos80°＝cos10°＋3sin10°2·sin40°＝2sin (10°＋30°)2·sin40°＝ 2.(2)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，则sin β＝.答案32解析 由已知可得sin α＝437，sin(α＋β)＝5314， ∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝5314×17－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1114×437＝32. (3)若3sin x ＋cos x ＝23，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋7π6＝.答案 ±24解析 由3sin x ＋cos x ＝23，得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝23，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝13，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝±223，所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝±24，即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋7π6＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝±24.用联系的观点进行三角变换三角变换的关键是找到条件和结论中的角和式子结构之间的联系．变换中可以通过适当地拆角、凑角或对式子整体变形达到目的．例(1)设α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12的值为．答案17250解析 ∵α为锐角且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45>0， ∴α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π4＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π4－cos2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－22⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－1 ＝2×35×45－22⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝12225－7250＝17250.(2)(1＋tan17°)·(1＋tan28°)的值为． 答案 2解析 原式＝1＋tan17°＋tan28°＋tan17°·tan28° ＝1＋tan45°(1－tan17°·tan28°)＋tan17°·tan28° ＝1＋1＝2.(3)已知sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos2α2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝.答案 －75解析cos2α2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos 2α－sin 2α2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin α＋22cos α＝cos α－sin α，∵sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos α＝－45，∴原式＝－75.1．sin20°cos10°－cos160°sin10°等于( )A ．－32B.32C ．－12D.12答案 D解析 sin20°cos10°－cos160°sin10°＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin30°＝12. 2．已知α是第二象限角，且tan α＝－13，则sin2α等于( ) A ．－31010B.31010 C ．－35D.35 答案 C解析 因为α是第二象限角，且tan α＝－13， 所以sin α＝1010，cos α＝－31010， 所以sin2α＝2sin αcos α＝2×1010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010＝－35， 故选C. 3．(2018·成都模拟)若sin α＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－22cos α等于( ) A.225B ．－225 C.425D ．－425答案 A解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－22cos α＝sin αcos π4＋cos αsin π4－22cos α＝45×22＝225. 4．已知sin α＝35且α为第二象限角，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4等于( )A ．－195B ．－519C ．－3117D ．－1731答案 D解析 由题意得cos α＝－45，则sin2α＝－2425，cos2α＝2cos 2α－1＝725.∴tan2α＝－247，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝tan2α＋tan π41－tan2αtan π4＝－247＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－247×1＝－1731.5．已知α为锐角，若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3等于( ) A.26＋16 B.3－28C.3＋28 D.23－16答案 A解析 由于α为锐角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝223，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6＝223×32＋13×12＝26＋16，故选A.6．已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos(α－β)的值为() A ．－12B.12C ．－13D.2327答案 D解析 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以2α∈(0，π)，因为cos α＝13，所以cos2α＝2cos 2α－1＝－79， 所以sin2α＝1－cos 22α＝429， 而α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＋β∈(0，π)， 所以sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝223， 所以cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－79×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋429×223＝2327. 7．已知锐角α，β满足sin α－cos α＝16，tan α＋tan β＋3tan αtan β＝3，则α，β的大小关系是( ) A ．α<π4<β B ．β<π4<α C.π4<α<β D.π4<β<α 答案 B解析 ∵α为锐角，sin α－cos α＝16>0，∴π4<α<π2. 又tan α＋tan β＋3tan αtan β＝3，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3， ∴α＋β＝π3，又α>π4，∴β<π4<α. 8．(2018·新疆乌鲁木齐诊断)2cos10°－sin20°sin70°的值是． 答案 3 解析 原式＝2cos (30°－20°)－sin20°sin70°＝2(cos30°cos20°＋sin30°sin20°)－sin20°sin70°＝3cos20°cos20°＝ 3. 9.sin10°1－3tan10°＝.答案 14解析 sin10°1－3tan10°＝sin10°cos10°cos10°－3sin10°2sin10°cos10°4⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos10°－32sin10°＝sin20°4sin (30°－10°)＝14. 10．已知sin α＋cos α＝13，则sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝. 答案 1718解析 由sin α＋cos α＝13，两边平方得1＋sin2α＝19， 解得sin2α＝－89， 所以sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α2＝1－sin2α2＝1＋892＝1718. 11．(2018·河南八市质检)化简：2tan (45°－α)1－tan 2(45°－α)·sin αcos αcos 2α－sin 2α＝. 答案 12解析 原式＝tan(90°－2α)·12sin2αcos2α＝sin (90°－2α)cos (90°－2α)·12·sin2αcos2α＝cos2αsin2α·12·sin2αcos2α＝12. 12．(2018·吉林模拟)已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝35，β是第三象限角，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫β＋5π4＝. 答案 7210解析 依题意可将已知条件变形为sin[(α－β)－α]＝－sin β＝35，sin β＝－35.又β是第三象限角，所以cos β＝－45.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋5π4＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4＝－sin βcos π4－cos βsin π4＝35×22＋45×22＝7210.13．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且3cos2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin2α的值为() A ．－118B.118C ．－1718D.1718答案 C解析 由3cos2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α可得3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)，又由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π可知，cos α－sin α≠0，于是3(cos α＋sin α)＝22，所以1＋2sin αcos α＝118，故sin2α＝－1718.故选C.14．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝14，则sin 4θ＋cos 4θ的值为．答案 58解析 因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos θ－22sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos θ＋22sin θ＝12(cos 2θ－sin 2θ)＝12cos2θ＝14.所以cos2θ＝12.故sin 4θ＋cos 4θ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－cos2θ22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos2θ22 ＝116＋916＝58.15．化简：⎝ ⎛⎭⎪⎫3cos10°－1sin170°·cos15°＋sin15°cos15°－sin15°＝. 答案 －4 3解析 原式＝3sin10°－cos10°cos10°sin10°·1＋tan15°1－tan15°＝2sin (10°－30°)12sin20°·tan45°＋tan15°1－tan45°·tan15° ＝－4·tan(45°＋15°)＝－4 3.16．已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62，sin(α－β)＝－35，求sin β的值． 解 由sin α2＋cos α2＝62，平方可得sin α＝12. ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos α＝－32. 又∵－π2<α－β<π2，sin(α－β)＝－35， ∴cos(α－β)＝45. 故sin β＝sin []α－(α－β)＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝12×45－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝4－3310.。
2020版高考数学新增分大一轮新高考(鲁京津琼)专用课件：第四章 4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数
【概念方法微思考】 1.总结一下三角函数值在各象限的符号规律. 提示 一全正、二正弦、三正切、四余弦.
2.三角函数坐标法定义中，若取点P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点， 怎样定义角α的三角函数？ 提示 设点 P 到原点 O 的距离为 r，则 sin α＝yr，cos α＝xr，tan α＝yx(x≠0).
.
解析 作直线 x＝－12交单位圆于 C，D 两点，
连接OC，OD，则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为 角α终边的范围，
故满足条件的角 α 的集合为α2kπ＋32π≤α≤2kπ＋43π，k∈Z
.
(2)若 －34π<α<－π2，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大小关 系是 sin α<cos α<tan α . 解析 如图，作出角α的正弦线MP，余弦线OM，正切线AT，
5.集合αkπ＋π4≤α≤kπ＋π2，k∈Z
中的角所表示的范围(阴影部分)是
√
解析 当 k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋4π≤α≤2nπ＋2π， 此时 α 表示的范围与4π≤α≤π2表示的范围一样； 当 k＝2n＋1 (n∈Z)时，2nπ＋π＋4π≤α≤2nπ＋π＋π2， 此时 α 表示的范围与 π＋π4≤α≤π＋π2表示的范围一样，故选 C.
2.弧度制
(1)定义：把长度等于 半径 长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度.正角的弧度数是一个 正数 ，负角的弧度数是一个 负数 ，
零角的弧度数是 0 .
(2)角度制和弧度制的互化：180°＝ π
rad,1°＝
π 180
rad，1 rad＝ 1π80°.
(3)扇形的弧长公式：l＝
鲁京津琼专用2020版高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形阶段自测卷三含解析
阶段自测卷(三)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．(2019·浏阳六校联考)已知点P (－4,3)是角α终边上的一点，则sin(π－α)等于( ) A.35B.45C ．－35D ．－45 答案 A解析 ∵点P (－4,3)是角α终边上的一点， ∴sin α＝35，∴sin(π－α)＝sin α＝35.故选A.2．(2019·长春质检)函数f (x )＝3sin x ＋3cos x 的最大值为( ) A.3B ．2C ．23D ．4 答案 C解析 由题意可知f (x )＝3sin x ＋3cos x ＝23⎝⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，∵－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤1，∴－23≤23sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤23，故函数f (x )＝3sin x ＋3cos x 的最大值为2 3. 故选C.3．(2019·长沙长郡中学调研)cos210°cos75°－2cos 215°sin15°等于( ) A.12B ．－22C ．－12D.22 答案 B解析 根据相应公式可得cos210°cos75°－2cos 215°sin15°＝－cos30°cos75°－sin30°cos15°＝－(sin15°cos30°＋cos15°sin30°)＝－sin45°＝－22，故选B. 4．(2019·安徽皖南八校联考)若角α满足cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35，则sin2α等于( ) A.725B.1625C ．－725D ．－1625答案 A解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352－1＝－725，又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝－sin2α，所以sin2α＝725.5．(2019·佛山禅城区调研)已知tan α＝2，则sin2α＋cos 2α等于( ) A.35B ．－35C ．－35或1D ．1 答案 D解析 sin2α＋cos 2α＝2sin αcos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α＋1tan 2α＋1， 又∵tan α＝2，∴sin2α＋cos 2α＝2×2＋122＋1＝1.故选D.6．(2019·惠州调研)为了得到函数y ＝sin2x 的图象，只需把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象( )A ．向左平移π12个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向右平移π6个单位长度答案 B解析 y ＝sin2x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋π6，故应向右平移π12个单位长度．故选B. 7．(2019·成都七中诊断)设a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，已知(b ＋c )sin(A ＋C )＝(a ＋c )(sin A －sin C )，则A 的大小为( ) A ．30°B．60°C．120°D．150° 答案 C解析 ∵(b ＋c )sin(A ＋C )＝(a ＋c )(sin A －sin C )， ∴由正弦定理可得(b ＋c )b ＝(a ＋c )(a －c )， 整理可得b 2＋c 2－a 2＝－bc ，∴由余弦定理可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，∴由A ∈(0，π)，可得A ＝120°. 故选C.8.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|≤π2图象的一部分如图所示．为了得到这个函数的图象，只要将y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点( )A ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变B ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变D ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变答案 A解析 观察图象知，A ＝1，T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫5π6－π3＝π，ω＝2πT ＝2，即y ＝sin(2x ＋φ)．将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0代入得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝0，结合|φ|≤π2，得φ＝π3，所以y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.故选A.9．(2019·吉林通榆一中期中)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z答案 D解析 由题意可得函数的周期为2⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2， ∴2πω＝2，解得ω＝π，∴f (x )＝cos(πx ＋φ)，再根据函数的图象以及五点法作图，可得π4＋φ＝π2，解得φ＝π4，f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π4，令2k π≤πx ＋π4≤2k π＋π，可解得2k －14≤x ≤2k ＋34，∴f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k －14，2k ＋34，k ∈Z .故选D.10．(2019·沈阳东北育才学校联考)函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)在[0，π]内的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，则ω的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，43B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，23D ．[0,1]答案 A解析 函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)， 当x ∈[0，π]时，cos x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，ωπ＋π3，由题意－1≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3≤12，结合余弦函数的性质，则π≤ωπ＋π3≤5π3，解得23≤ω≤43，故ω的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，43.故选A.11．(2019·赣州十四县(市)联考)在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝7，cos A ＝15，O 是△ABC 的内心，若OP →＝xOA →＋yOB →，其中0≤x ≤1,1≤y ≤2，动点P 的轨迹所覆盖的面积为( )A.1036B.536C.103D.203 答案 A解析 如图以OA,2OB 为邻边作平行四边形OAED ，F 为AE 中点，根据题意知，P 点在以BF ，BD 为邻边的平行四边形上及其内部，∴动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为2S △AOB . 在△ABC 中，cos∠BAC ＝15，AC ＝6，BC ＝7，∴由余弦定理得，15＝AB 2＋36－492AB ·6，解得AB ＝5或AB ＝－135(舍去)，又O 为△ABC 的内心， ∴内切圆半径r ＝2S △ABCa ＋b ＋c，∴S △AOB ＝12·r ·|AB |，∴S △AOB ＝55＋6＋7·S △ABC ＝518×12×5×6×sin∠BAC ＝256·1－125＝563， ∴动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为1063.故选A.12．(2019·荆州质检)函数f (x )＝2cos x sin(x ＋φ)＋m ⎝⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象关于直线x ＝π3对称，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上任取三个实数a ，b ，c ，总能以f (a )，f (b )，f (c )的长为边构成三角形，则实数m 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞C ．(2，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞ 答案 D解析 函数f (x )＝2cos x sin(x ＋φ)＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象关于直线x ＝π3对称， 即f (x )＝2cos x (sin x cos φ＋cos x sin φ)＋m＝sin2x cos φ＋cos2x sin φ＋sin φ＋m ＝sin(2x ＋φ)＋sin φ＋m ，当x ＝π3时，2×π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∵|φ|<π2，∴φ＝－π6，即f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－12＋m ，由三角函数的单调性可知在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上，f (x )min ＝－1＋m ，f (x )max ＝12＋m ，若在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上任取三个实数a ，b ，c ，总能以f (a )，f (b )，f (c )的长为边构成三角形，则2f (x )min ＞f (x )max ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧2(－1＋m )>12＋m ，12＋m >0，∴m >52，故选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2019·南充适应性考试)已知sin θ＝13，则cos2θ＝________.答案 79解析 cos2θ＝1－2sin 2θ＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝79.14．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－17，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6的值是________． 答案33＋410解析 ∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－17，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴tan α＝ tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＋π4＝－17＋11＋17＝34，∴sin α＝35，cos α＝45，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝32sin α＋12cos α＝33＋410. 15．(2019·山师大附中模拟)△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos C ＝14，c ＝3，acos A＝bcos B ，则△ABC 的面积等于________． 答案3154解析 ∵a cos A ＝b cos B ，∴ sin A cos A ＝sin Bcos B，化简得sin A cos B －cos A sin B ＝sin(A －B )＝0， ∵0<A <π，0<B <π，∴－π<A －B <π， ∴A ＝B ，∴a ＝b . 又∵cos C ＝14，c ＝3，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝14，解得a ＝b ＝6，且sin C ＝154， S △ABC ＝12ab sin C ＝3154. 16．(2019·长沙长郡中学调研)已知A ，B ，C 为△ABC 的三内角，且其对边分别为a ，b ，c ，若m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin2A 1＋cos2A ，2cos A 2，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋A ，－1＋cos A 2.若m ·n ＝12，△ABC 的周长为a ＋4，△ABC 的面积为3，则a 的值是____． 答案 2 3解析 根据题意，有sin2A 1＋cos2A ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋A －2cos A 2·1＋cos A 2＝12， 整理得2sin A cos A 2cos 2A ·cos A sin A －2cos 2A 2＝12， 从而求得cos A 2＝12，因为A ∈(0，π)，所以A 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以A 2＝π3，所以A ＝2π3，根据题意有b ＋c ＝4，12bc sin 2π3＝3，即bc ＝4，根据余弦定理，可得a ＝b 2＋c 2－2bc cos2π3＝b 2＋c 2＋bc ＝(b ＋c )2－bc ＝16－4＝2 3. 三、解答题(本大题共70分)17．(10分)(2019·武汉示范高中联考)已知函数f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＋3cos2x －1. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若关于x 的方程f (x )－m ＝2在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的解，求实数m 的取值范围．解 f (x )＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＋3cos2x －1＝sin2x ＋3cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(1)令－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，∴k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ，∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z .(2)方程移项得f (x )＝m ＋2，方程有两解等价于函数f (x )与函数y ＝m ＋2有两个交点，画出两函数在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2内的图象如图所示：由图象知3≤m ＋2<2，∴3－2≤m <0.18．(12分)(2019·惠州调研)已知函数f (x )＝sin 2ωx ＋3sin ωx ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π2(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的取值范围．解 (1)f (x )＝1－cos2ωx 2＋32sin2ωx＝32sin2ωx －12cos2ωx ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π6＋12.因为函数f (x )的最小正周期为π，且ω>0，所以2π2ω＝π，解得ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12. 因为0≤x ≤2π3，所以－π6≤2x －π6≤7π6，所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，因此0≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12≤32， 即f (x )的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32 19．(12分)(2019·佛山禅城区调研)△ABC 的对边分别为a ，b ，c ，且满足a ＝b cos C ＋c sin B . (1)求角B ；(2)若cos A ＝35，试求cos C 的值．解 (1)已知a ＝b cos C ＋c sin B ，由正弦定理得 sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B ， sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋sin C sin B,sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin B cos C ＋sin C sin B ， cos B sin C ＝sin C sin B ，因为在△ABC 中sin C >0，所以cos B ＝sin B ， 因为sin B >0，所以cos B >0，所以tan B ＝sin Bcos B ＝1，因为B ∈(0，π)，所以B ＝π4. (2)因为cos A ＝35，A ∈(0，π)，所以sin A ＝1－cos 2A ＝45，由(1)可知A ＋C ＝3π4，所以C ＝3π4－A,cos C ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－A ＝cos 3π4cos A ＋sin 3π4sin A ， cos C ＝22(sin A －cos A )＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫45－35＝210. 20．(12分)已知f (x )＝sin(ωx ＋φ) ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－f (x )，若其图象向左平移π6个单位长度后得到的函数为奇函数．(1)求f (x )的解析式；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2c －a )cos B ＝b cos A ，求f (A )的取值范围．解 (1)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－f (x )，∴f (x ＋π)＝－f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝f (x )，∴T ＝π，∴ω＝2，则f (x )的图象向左平移π6个单位长度后得到的函数为g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ，而g (x )为奇函数，则有π3＋φ＝k π，k ∈Z ，而|φ|<π2，则有φ＝－π3，从而f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.(2)∵(2c －a )cos B ＝b cos A ，由正弦定理得2sin C cos B ＝sin(A ＋B )＝sin C ，又C ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin C ≠0，∴cos B ＝12，∴B ＝π3.∵△ABC 是锐角三角形，∴0<C ＝2π3－A <π2，∴π6<A <π2，∴0<2A －π3<2π3， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π3∈(0,1]，即f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π3的取值范围为(0,1]．21．(12分)已知向量m ＝(3sin ωx,1)，n ＝(cos ωx ，cos 2ωx ＋1)，设函数f (x )＝m ·n ＋b .(1)若函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，且当ω∈[0,3]时，求函数f (x )的单调增区间；(2)在(1)的条件下，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π12时，函数f (x )有且只有一个零点，求实数b 的取值范围．解 m ＝(3sin ωx,1)，n ＝(cos ωx ，cos 2ωx ＋1)，f (x )＝m ·n ＋b ＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx ＋1＋b＝32sin2ωx ＋12cos2ωx ＋32＋b ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋32＋b .(1)∵函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称， ∴2ω·π6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )， 解得ω＝3k ＋1(k ∈Z )，∵ω∈[0,3]，∴ω＝1，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32＋b ， 由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2， 解得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )， ∴函数f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )． (2)由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32＋b ， ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π12，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，4π3， ∴当2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，函数f (x )单调递增； 当2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，4π3，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π12时，函数f (x )单调递减． 又f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3， ∴当f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12≤0<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3或f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0时，函数f (x )有且只有一个零点． 即sin 4π3≤－b －32<sin 5π6或1＋32＋b ＝0， ∴满足条件的b ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－2，3－32∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－52. 22．(12分)(2019·衡水中学考试)如图，在△ABC 中，P 是BC 边上的一点，∠APC ＝60°，AB ＝23，AP ＋PB ＝4.(1)求BP 的长；(2)若AC ＝534，求cos∠ACP 的值．解 (1)由已知，得∠APB ＝120°，又AB ＝23，AP ＋BP ＝4，在△ABP 中，由余弦定理，得(23)2＝BP 2＋(4－BP )2－2×BP ×(4－BP )cos120°， 整理，得BP 2－4BP ＋4＝0.解得BP ＝2.(2)由(1)知，AP ＝2，所以在△ACP 中，由正弦定理得AC sin60°＝AP sin∠ACP， 解得sin∠ACP ＝2×32534＝45. 因为2<534，所以AP <AC ， 从而∠ACP <∠APC ，即∠ACP 是锐角，所以cos∠ACP ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35.。
2020版高考数学(鲁京津琼)新增分大一轮讲义：第四章4.7解三角形的实际应用Word版含解析
§4.7解三角形的实际应用最新考纲能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．测量中的有关几个术语：概念方法微思考在实际测量问题中有哪几种常见类型，解决这些问题的基本思想是什么？提示实际测量中有高度、距离、角度等问题，基本思想是根据已知条件，构造三角形(建模)，利用正弦定理、余弦定理解决问题．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( × ) (2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为⎣⎡⎦⎤0，π2.( × ) (3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．( √ ) (4)方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围一般是⎣⎡⎭⎫0，π2.( √ ) 题组二 教材改编2.如图所示，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出A ，C 的距离为50m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为________m.答案 50 2解析 由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝ACsin B ，又B ＝30°，∴AB ＝AC sin ∠ACBsin B ＝50×2212＝502(m)．3．如图，在山脚A 测得山顶P 的仰角为30°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走a 米到B ，在B 处测得山顶P 的仰角为60°，则山高h ＝______米．答案22a 解析 由题图可得∠P AQ ＝α＝30°，∠BAQ ＝β＝15°，在△P AB 中，∠P AB ＝α－β＝15°， 又∠PBC ＝γ＝60°，∴∠BP A ＝()90°－α－()90°－γ＝γ－α＝30°， ∴在△P AB 中，a sin30°＝PBsin15°，∴PB ＝6－22a ，∴PQ ＝PC ＋CQ ＝PB ·sin γ＋a sin β ＝6－22a ×sin60°＋a sin15°＝22a .题组三 易错自纠4．要测量底部不能到达的电视塔AB 的高度，在C 点测得塔顶A 的仰角是45°，在D 点测得塔顶A 的仰角30°，并测得水平面上的∠BCD ＝120°，CD ＝40m ，则电视塔的高度为( )A ．102mB ．20mC ．203mD ．40m答案 D解析 设电视塔的高度为x m ，则BC ＝x ，BD ＝3x .在△BCD 中，由余弦定理得3x 2＝x 2＋402－2×40x ×cos 120°，即x 2－20x －800＝0，解得x ＝－20(舍去)或x ＝40.故电视塔的高度为40m.5．在某次测量中，在A 处测得同一半平面方向的B 点的仰角是60°，C 点的俯角是70°，则∠BAC ＝________. 答案 130°解析 60°＋70°＝130°.6．海上有A ，B ，C 三个小岛，A ，B 相距53海里，从A 岛望C 和B 成45°视角，从B 岛望C 和A 成75°视角，则B ，C 两岛间的距离是________海里． 答案 5 2解析 由题意可知∠ACB ＝60°，由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝BC sin ∠BAC ，即53sin60°＝BC sin45°，得BC ＝5 2.题型一 测量距离问题1．(2018·长春检测)江岸边有一炮台高30m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距____m. 答案 10 3 解析 如图，OM ＝AO tan45°＝30(m)， ON ＝AO tan30°＝33×30＝103(m)， 在△MON 中，由余弦定理得 MN ＝900＋300－2×30×103×32＝300＝10 3 (m)．2.如图，A ，B 两点在河的同侧，且A ，B 两点均不可到达，要测出A ，B 的距离，测量者可以在河岸边选定两点C ，D ，若测得CD ＝32km ，∠ADB ＝∠CDB＝30°，∠ACD ＝60°， ∠ACB ＝45°，则A ，B 两点间的距离为________km.答案64解析 ∵∠ADC ＝∠ADB ＋∠CDB ＝60°，∠ACD ＝60°， ∴∠DAC ＝60°， ∴AC ＝DC ＝32km. 在△BCD 中，∠DBC ＝45°，由正弦定理，得BC ＝DC sin ∠DBC·sin ∠BDC ＝32sin45°·sin30°＝64(km)．在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos45°＝34＋38－2×32×64×22＝38.∴AB ＝64km. ∴A ，B 两点间的距离为64km. 3．如图，为了测量两座山峰上P ，Q 两点之间的距离，选择山坡上一段长度为3003m 且和P ，Q 两点在同一平面内的路段AB 的两个端点作为观测点，现测得∠P AB ＝90°，∠P AQ ＝∠PBA ＝∠PBQ ＝60°，则P ，Q 两点间的距离为________m.答案 900解析 由已知，得∠QAB ＝∠P AB －∠P AQ ＝30°. 又∠PBA ＝∠PBQ ＝60°， ∴∠AQB ＝30°，∴AB ＝BQ .又PB 为公共边，∴△P AB ≌△PQB ， ∴PQ ＝P A .在Rt △P AB 中，AP ＝AB ·tan60°＝900，故PQ ＝900， ∴P ，Q 两点间的距离为900m. 思维升华求距离问题的两个策略(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理． 题型二 测量高度问题例1(2018·福州测试)如图，小明同学在山顶A 处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A 处测得公路上B ，C 两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC ＝135°，若山高AD ＝100m ，汽车从B 点到C 点历时14s ，则这辆汽车的速度约为________m/s.(精确到0.1，参考数据：2≈1.414，5≈2.236)答案 22.6解析 因为小明在A 处测得公路上B ，C 两点的俯角分别为30°，45°，所以∠BAD ＝60°，∠CAD ＝45°，设这辆汽车的速度为v m/s ，则BC ＝14v ，在Rt △ADB 中，AB ＝AD cos ∠BAD ＝AD cos60°＝200.在Rt △ADC 中，AC ＝AD cos ∠CAD ＝100cos45°＝100 2.在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos ∠BAC ，所以(14v )2＝(1002)2＋2002－2×1002×200×cos135°，所以v ＝50107≈22.6，所以这辆汽车的速度约为22.6m/s.思维升华 (1)高度也是两点之间的距离，其解法同测量水平面上两点间距离的方法是类似的，基本思想是把要求的高度(某线段的长度)纳入到一个可解的三角形中．(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．跟踪训练1如图所示，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角为α，在塔底C 处测得A 处的俯角为β.已知铁塔BC 部分的高为h ，则山高CD ＝____________.答案h cos αsin βsin (α－β)解析 由已知得∠BCA ＝90°＋β，∠ABC ＝90°－α，∠BAC ＝α－β，∠CAD ＝β. 在△ABC 中，由正弦定理得AC sin ∠ABC ＝BCsin ∠BAC，即ACsin (90°－α)＝BCsin (α－β)，∴AC ＝BC cos αsin (α－β)＝h cos αsin (α－β).在Rt △ACD 中，CD ＝AC sin ∠CAD ＝AC sin β＝h cos αsin βsin (α－β).故山高CD 为h cos αsin βsin (α－β).题型三 角度问题例2如图所示，一艘巡逻船由南向北行驶，在A 处测得山顶P 在北偏东15°(∠BAC ＝15°)的方向，匀速向北航行20分钟后到达B 处，测得山顶P 位于北偏东60°的方向，此时测得山顶P 的仰角为60°，已知山高为23千米．(1)船的航行速度是每小时多少千米？(2)若该船继续航行10分钟到达D 处，问此时山顶位于D 处南偏东多少度的方向？ 解 (1)在△BCP 中，由tan ∠PBC ＝PC BC ，得BC ＝PCtan ∠PBC ＝2，在△ABC 中，由正弦定理得BC sin ∠BAC ＝AB sin ∠BCA，即2sin15°＝ABsin45°，所以AB ＝2(3＋1)，故船的航行速度是每小时6(3＋1)千米．(2)在△BCD 中，BD ＝3＋1，BC ＝2，∠CBD ＝60°， 则由余弦定理得CD ＝6， 在△BCD 中，由正弦定理得CD sin ∠DBC ＝BCsin ∠CDB，即6sin60°＝2sin ∠CDB ，所以sin ∠CDB ＝22， 所以，山顶位于D 处南偏东45°的方向． 思维升华解决测量角度问题的注意事项 (1)首先应明确方位角和方向角的含义．(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步． (3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用． 跟踪训练2如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东40°的方向上，灯塔B 在观察站C 的南偏东60°的方向上，则灯塔A 在灯塔B 的______的方向上．答案 北偏西10°解析 由已知得∠ACB ＝180°－40°－60°＝80°， 又AC ＝BC ，∴∠A ＝∠ABC ＝50°，60°－50°＝10°， ∴灯塔A 位于灯塔B 的北偏西10°的方向上．1．(2018·武汉调研)已知A ，B 两地间的距离为10km ，B ，C 两地间的距离为20km ，现测得∠ABC ＝120°，则A ，C 两地间的距离为( ) A ．10km B ．103km C ．105km D ．107km答案 D解析 如图所示，由余弦定理可得AC 2＝100＋400－2×10×20×cos120°＝700，∴AC ＝107.2.如图所示，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100m 到达B 处，又测得C 对于山坡的斜度为45°，若CD ＝50m ，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于( )A.32B.22C.3－1D.2－1 答案 C解析 在△ABC 中，由正弦定理得AB sin30°＝AC sin135°，∴AC ＝100 2.在△ADC 中，AC sin (θ＋90°)＝CDsin15°，∴cos θ＝sin(θ＋90°)＝AC ·sin15°CD＝3－1. 3．一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( ) A ．102海里 B ．103海里 C ．203海里 D ．202海里答案 A解析 如图所示，易知，在△ABC 中，AB ＝20， ∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°， 根据正弦定理得 BC sin30°＝ABsin45°， 解得BC ＝10 2.4.如图，两座相距60m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20m ，50m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75° 答案 B解析 依题意可得AD ＝2010，AC ＝305， 又CD ＝50，所以在△ACD 中，由余弦定理得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD＝(305)2＋(2010)2－5022×305×2010＝600060002＝22，又0°<∠CAD <180°，所以∠CAD ＝45°， 所以从顶端A 看建筑物CD 的张角为45°.5．(2018·郑州质检)如图所示，测量河对岸的塔高AB 时可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB 等于( )A ．5 6B ．15 3C ．5 2D ．15 6答案 D解析 在△BCD 中，∠CBD ＝180°－15°－30°＝135°. 由正弦定理得BC sin30°＝CD sin135°，所以BC ＝15 2.在Rt △ABC 中，AB ＝BC tan ∠ACB ＝152×3＝15 6. 故选D.6．(2018·广州模拟)如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m ，则河流的宽度BC 等于( )A ．240(3＋1)mB ．180(2－1)mC ．120(3－1)mD ．30(3＋1)m答案 C解析 如图，∠ACD ＝30°，∠ABD ＝75°，AD ＝60m ，在Rt △ACD 中，CD ＝AD tan ∠ACD ＝60tan30°＝603(m)，在Rt △ABD 中，BD ＝AD tan ∠ABD ＝60tan75°＝602＋3＝60(2－3)m ，∴BC ＝CD －BD ＝603－60(2－3)＝120(3－1)m.7．(2018·哈尔滨模拟)如图，某工程中要将一长为100m ，倾斜角为75°的斜坡改造成倾斜角为30°的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长________m.答案 100 2解析 设坡底需加长x m ，由正弦定理得100sin30°＝x sin45°，解得x ＝100 2. 8.如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ的值为________．答案 2114解析 在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°，由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos120°＝2800，得BC ＝207.由正弦定理，得AB sin ∠ACB ＝BC sin ∠BAC， 即sin ∠ACB ＝AB BC ·sin ∠BAC ＝217. 由∠BAC ＝120°，知∠ACB 为锐角，则cos ∠ACB ＝277. 由θ＝∠ACB ＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB ＋30°)＝cos ∠ACB cos30°－sin ∠ACB sin30°＝2114. 9．(2018·青岛模拟)一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时________海里．答案 10解析 如图所示，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，所以∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10，在Rt △ABC 中，得AB ＝5，于是这艘船的速度是50.5＝10(海里/时)． 10．(2018·泉州质检)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD .已知某人从O 沿OD 走到D 用了2分钟，从D 沿DC 走到C 用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为______米．答案 507解析 如图，连接OC ，在△OCD 中，OD ＝100，CD ＝150，∠CDO ＝60°.由余弦定理得OC 2＝1002＋1502－2×100×150×cos60°＝17500，解得OC ＝507.。
2020版高考数学理一轮总温习层级快练第四章三角函数作业29
题组层级快练(二十九)1．(2019·沧州七校联考)已知△ABC，a ＝5，b ＝15，∠A ＝30°，那么c ＝( ) A ．2 5 B.5C ．25或5D ．均不正确答案 C解析 ∵asinA ＝bsinB ，∴sinB ＝bsinAa ＝155·sin30°＝32.∵b>a ，∴B ＝60°或120°. 假设B ＝60°，C ＝90°，∴c ＝a 2＋b 2＝25.假设B ＝120°，C ＝30°，∴a ＝c ＝ 5.2．(2019·安徽马鞍山一模)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边别离为a ，b ，c.已知a ＝3，b ＝2，A ＝60°，那么c ＝( ) A.12 B ．1 C.3 D ．2答案 B解析 ∵a ＝3，b ＝2，A ＝60°，∴由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，得3＝4＋c 2－2×2×c ×12，整理得c 2－2c＋1＝0，解得c ＝1.应选B.3．(2019·安徽合肥模拟)在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积为32，那么BC 的长为( ) A.32B. 3 C ．2 3 D ．2答案 B解析 因为S ＝12AB ·ACsinA ＝12×2×32AC ＝32，因此AC ＝1，因此BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB·ACcos60°＝3. 因此BC ＝ 3.4．(2016·山东)△ABC 中，角A ，B ，C 的对边别离是a ，b ，c.已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sinA)，那么A ＝( ) A.3π4B.π3C.π4D.π6答案 C解析 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ＝2b 2－2b 2cosA ，因此2b 2(1－sinA)＝2b 2(1－cosA)，因此sinA ＝cosA ，即tanA ＝1，又0<A<π，因此A ＝π4.5．(2019·陕西西安一中期中)在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sinBsinC ，那么A 的取值范围是( ) A ．(0，π6]B ．[π6，π)C ．(0，π3]D ．[π3，π)答案 C解析 ∵sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sinBsinC ，由正弦定理，得a 2≤b 2＋c 2－bc ，∴bc ≤b 2＋c 2－a 2.∴cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥12，∴A ≤π3.∵A>0，∴A 的取值范围是(0，π3]．应选C. 6．(2019·广东惠州三调)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边别离是a ，b ，c ，已知b ＝2，c ＝22，且C ＝π4，则△ABC的面积为( ) A.3＋1 B.3－1 C ．4 D ．2 答案 A解析 由正弦定理b sinB ＝c sinC ，得sinB ＝bsinC c ＝12.又c>b ，且B ∈(0，π)，因此B ＝π6，因此A ＝7π12，因此S ＝12bcsinA＝12×2×22sin 7π12＝12×2×22×6＋24＝3＋1.应选A. 7．(2019·江西七校一联)在△ABC 中，假设sin(A －B)＝1＋2cos(B ＋C)sin(A ＋C)，则△ABC 的形状必然是( ) A ．等边三角形 B ．不含60°的等腰三角形 C ．钝角三角形 D ．直角三角形 答案 D解析 sin(A －B)＝1＋2cos(B ＋C)sin(A ＋C)＝1－2cosAsinB ，∴sinAcosB －cosAsinB ＝1－2cosAsinB ，∴sinAcosB ＋cosAsinB ＝1，即sin(A ＋B)＝1，那么有A ＋B ＝π2，故三角形为直角三角形．8．(2021·江西，理)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边别离是a ，b ，c ，假设c 2＝(a －b)2＋6，C ＝π3，则△ABC的面积是( ) A ．3 B.932C.332D ．3 3答案 C解析 利用所给条件和余弦定理整体求解ab 的值，再利用三角形面积公式求解． ∵c 2＝(a －b)2＋6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.① ∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2abcos π3＝a 2＋b 2－ab.②由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6. ∴S △ABC ＝12absinC ＝12×6×32＝332.9．(2021·新课标全国Ⅱ，理)已知钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，那么AC ＝( )A ．5 B. 5 C ．2 D ．1答案 B解析 由题意可得12AB ·BC ·sinB ＝12，又AB ＝1，BC ＝2，因此sinB ＝22，因此B ＝45°或B ＝135°.当B ＝45°时，由余弦定理可得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB·BC·cosB ＝1，现在AC ＝AB ＝1，BC ＝2，易患A ＝90°，与“钝角三角形”条件矛盾，舍去．因此B ＝135°.由余弦定理可得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB·BC·cosB ＝ 5.应选B.10．(2021·安徽，文)在△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝75°，∠B ＝45°，那么AC ＝________． 答案 2解析 因为∠A ＝75°，∠B ＝45°，因此∠C ＝60°，由正弦定理可得AC sin45°＝6sin60°，解得AC ＝2. 11．(2021·重庆，文)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边别离为a ，b ，c ，且a ＝2，cosC ＝－14，3sinA ＝2sinB ，那么c ＝________． 答案 4解析 由3sinA ＝2sinB 及正弦定理，得3a ＝2b ，因此b ＝32a ＝3.由余弦定理cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ，得－14＝22＋32－c22×2×3，解得c ＝4.12．(2019·河北唐山一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成等差数列，且A －C ＝90°，那么cosB ＝________． 答案 34解析 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c. ∴2sinB ＝sinA ＋sinC.∵A －C ＝90°，∴2sinB ＝sin(90°＋C)＋sinC. ∴2sinB ＝cosC ＋sinC. ∴2sinB ＝2sin(C ＋45°)．①∵A ＋B ＋C ＝180°且A －C ＝90°，∴C ＝45°－B 2，代入①式中，2sinB ＝2sin(90°－B2)．∴2sinB ＝2cos B2.∴4sin B 2cos B 2＝2cos B 2.∴sin B 2＝24.∴cosB ＝1－2sin 2B 2＝1－14＝34.13．(2018·北京，文)若△ABC 的面积为34(a 2＋c 2－b 2)，且∠C 为钝角，则∠B ＝________；ca的取值范围是________． 答案 60° (2，＋∞)解析 △ABC 的面积S ＝12acsinB ＝34(a 2＋c 2－b 2)＝34×2accosB ，因此tanB ＝3，因为0°<∠B<180°，因此∠B＝60°.因为∠C 为钝角，因此0°<∠A<30°，因此0<tanA<33，因此c a ＝sinCsinA ＝sin （2π3－A ）sinA ＝sin 2π3cosA －cos 2π3sinAsinA ＝32tanA ＋12>2，故ca的取值范围为(2，＋∞)． 14．(2017·北京，理)在△ABC 中，∠A ＝60°，c ＝37a.(1)求sinC 的值；(2)假设a ＝7，求△ABC 的面积． 答案 (1)3314(2)6 3解析 (1)依照正弦定理：a sinA ＝c sinC ⇒sinC ＝csinA a ＝37×sin60°＝37×32＝3314.(2)当a ＝7时，c ＝37a ＝3<a ，又sinC ＝3314，∴cosC ＝1－sin 2C ＝1314.在△ABC 中，sinB ＝sin[π－(A ＋C)]＝sin(A ＋C)＝sinAcosC ＋cosAsinC ＝32×1314＋12×3314＝437，∴S △ABC ＝12ac ×sinB ＝12×7×3×437＝6 3.15．(2019·福建高中毕业班质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边别离为a ，b ，c ，2bcosC －c ＝2a. (1)求B 的大小；(2)假设a ＝3，且AC 边上的中线长为192，求c 的值． 答案 (1)2π3(2)5解析 (1)∵2bcosC －c ＝2a ，∴由余弦定理得2b·a 2＋b 2－c 22ab－c ＝2a ，化简得a 2＋c 2－b 2＝－ac ，∴cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－12.∵B ∈(0，π)，∴B ＝2π3.(2)由(1)可得b 2＝a 2＋c 2＋ac ＝c 2＋3c ＋9.① 又cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab，②取AC 的中点D ，连接BD ，在△CBD 中，cosC ＝BC 2＋CD 2－BD 22BC ·CD ＝a 2＋b 24－194ab，③ 由②③得2c 2－b 2＝1.④由①④得c 2－3c －10＝0，解得c ＝5或c ＝－2(舍去)，∴c ＝5.16．(2019·衡水中学调研卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长别离为a ，b ，c ，且有2sinBcosA ＝sinAcosC ＋cosAsinC. (1)求角A 的大小；(2)假设b ＝2，c ＝1，D 为BC 的中点，求AD 的长． 答案 (1)π3 (2)72解析 (1)方式一：由题设知，2sinBcosA ＝sin(A ＋C)＝sinB ，因为sinB ≠0，因此cosA ＝12.由于0<A<π，故A ＝π3.方式二：由题设可知，2b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc ，于是b 2＋c 2－a 2＝bc ，因此cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12. 由于0<A<π，故A ＝π3.(2)方式一：因为AD →2＝(AB →＋AC →2)2＝14(AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →)＝14(1＋4＋2×1×2×cos π3)＝74，因此|AD →|＝72，从而AD ＝72. 方式二：因为a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ＝4＋1－2×2×1×12＝3，因此a 2＋c 2＝b 2，B ＝π2.因为BD ＝32，AB ＝1，因此AD ＝1＋34＝72. 17．(2018·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边别离为a ，b ，c.已知bsinA ＝acos(B －π6)．(1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B)的值． 答案 (1)π3 (2)7 3314解析 (1)在△ABC 中，由正弦定理a sinA ＝b sinB ，可得bsinA ＝asinB ，又由bsinA ＝acos(B －π6)，得asinB ＝acos(B－π6)，即sinB ＝cos(B －π6)，可得tanB ＝ 3.又因为B ∈(0，π)，可得B ＝π3. (2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3，有b 2＝a 2＋c 2－2accosB ＝7，故b ＝7.由bsinA ＝acos(B －π6)，可得sinA ＝37.因为a<c ，故cosA ＝27.因此sin2A ＝2sinAcosA ＝437，cos2A ＝2cos 2A －1＝17， 因此sin(2A －B)＝sin2AcosB －cos2AsinB ＝437×12－17×32＝3314.。
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[基础保分练]
1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，B ＝60°，a ＝4，其面积S ＝203，则c 等于( )
A ．15
B ．16
C ．20
D ．421
2．在△ABC 中，已知其面积为S ＝14
(a 2＋b 2－c 2)，则角C 的度数为( ) A ．135°B ．45°C ．60°D ．120°
3．在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝2，A ＝45°，则B 等于( )
A ．30°
B ．60°
C ．30°或150°
D ．60°或120°
4．(2019·安徽省皖中名校联盟联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A ＝π3
，b ＝2，S △ABC ＝33，则a ＋b －2c sin A ＋sin B －2sin C
等于( ) A.273 B.4213C ．4D.6＋24
5．(2018·抚顺质检)在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos A ＋a cos B ＝c 2，a ＝b ＝2，则△ABC 的周长为( )
A ．7.5
B ．7
C ．6
D ．5
6．在△ABC 中，已知tan A ＝12，cos B ＝31010
，若△ABC 最长边的边长为10，则最短边的长为( ) A.2B.3C.5D ．2 2
7．在△ABC 中，若sin(A ＋B )sin(A －B )＝sin 2C ，则△ABC 是( )
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．等腰三角形
8．(2019·鹤岗市第一中学月考)△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a ＝4，a sin B ＝3b cos A ，则△ABC 面积的最大值是( )
A ．43
B ．23
C ．83
D ．4
9．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若a sin A ＝b sin B ＋(c －b )sin C ，则角A 的值为________．
10．(2018·长沙市雅礼中学高三月考)锐角△ABC 中，AB ＝4，AC ＝3，△ABC 的面积为33，则BC ＝________.
[能力提升练]
1．在锐角△ABC 中，A ＝2B ，则
AB AC 的取值范围是( )
A ．(0,3)
B ．(1,2)
C ．(2，3)
D ．(1,3)
2．(2018·济南模拟)若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是( ) A.6－24 B.6＋24 C.6－22 D.6＋22 3．若满足∠ABC ＝π3
，AC ＝12，BC ＝k 的△ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是( ) A ．(1,12]
B ．8 3
C ．(1,12]∪{83}
D ．(0,12]∪{83}
4．(2019·山东省胶州一中高三模拟)在锐角三角形ABC 中，b 2cos A cos C ＝ac cos 2B ，则B 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫π3，π2 B.⎣⎡⎭⎫π3，π2 C.⎣⎡⎭⎫π4，π2 D.⎣⎡
⎭⎫π6，π2 5.(2019·福建福鼎三校联考)如图，一座建筑物AB 的高为(30－103)m ，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD .在它们之间的地面上点M (B ，M ，D 三点共线)处测得楼顶A ，塔顶C 的仰角分别是15°和60°，在楼顶A 处测得塔顶C 的仰角为30°，则通信塔CD 的高为_______m.
6．(2018·河北邯郸临漳一中月考)我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为S ＝14⎣⎡⎦
⎤a 2c 2－⎝⎛⎭⎫a 2＋c 2－b 222.若a 2sin C ＝4sin A ，(a ＋c )2＝12＋b 2，则用“三斜求积”公式求得△ABC 的面积为________．
答案精析
基础保分练
1．C 2.B 3.A 4.B 5.D 6.A 7.B
8．A [由题意可知a sin B ＝3b cos A ，
由正弦定理得
sin A sin B ＝3sin B cos A ，
又由在△ABC 中，sin B >0，
即sin A ＝3cos A ，
即tan A ＝3，
因为0<A <π，所以A ＝π3
， 在△ABC 中，由余弦定理可知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，且a ＝4，
即16＝b 2＋c 2－2bc cos π3
＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc ，当且仅当b ＝c 时， 等号成立，
即bc ≤16，所以△ABC 的最大面积为S ＝12bc sin A ＝12×16sin π3
＝43， 故选A.]
9.π3
10.13 能力提升练
1．B [在锐角△ABC 中，A ＝2B ，
B ∈(30°，45°)，
cos B ∈⎝⎛⎭⎫22
，32，cos 2B ∈⎝⎛⎭⎫12，34， 所以由正弦定理可知 AB AC ＝c b ＝sin C sin B ＝sin3B sin B
＝3sin B －4sin 3B sin B
＝3－4sin 2B ＝4cos 2B －1∈(1,2)，
故选B.]
2．A [设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，
则由正弦定理得a ＋2b ＝2c .
故cos C ＝a 2＋b 2－c 2
2ab
＝
a 2＋
b 2－⎝
⎛⎭⎪⎫a ＋2b 222ab
＝34a 2＋12b 2－22ab 2ab ＝34a 2＋12b 22ab
－24≥2 34a 2·12b 22ab －24＝6－24
， 当且仅当3a 2＝2b 2，
即a b ＝23
时等号成立．] 3．
D [由正弦定理得，12sin π3
＝k sin A ，
即k ＝83sin A ，A ∈⎝
⎛⎭⎫0，2π3，因为满足∠ABC ＝π3，AC ＝12，BC ＝k 的△ABC 恰有一个，所以A ∈⎝
⎛⎦⎤0，π3和A ＝π2，故有k ∈(0,12]∪{83}．] 4．B [在锐角△ABC 中，b 2cos A cos C ＝ac cos 2B ，
根据正弦定理可得sin 2B cos A cos C ＝sin A sin C cos 2B ， 即sin 2B cos 2B ＝sin A sin C cos A cos C
， 即tan 2B ＝tan A tan C ，
所以tan A ，tan B ，tan C 构成等比数列，
设公比为q ，则tan A ＝tan B q
， tan C ＝q tan B ，
又由tan B ＝－tan(A ＋C )
＝－tan A ＋tan C 1－tan A tan C
＝－tan B ⎝⎛⎭⎫q ＋1q 1－tan 2B
， 所以tan 2B ＝1＋q ＋1q
≥1＋2q ·1q ＝3，当q ＝1时取得等号，所以tan B ≥3，所以B ≥π3
，又△ABC 为锐角三角形，所以B <π2
， 所以B 的取值范围是⎣⎡⎭
⎫π3，π2，
故选B.]
5．60
解析作AE⊥CD，垂足为E，则
在△AMC中，AM＝AB
sin15°
＝206，∠AMC＝105°，∠ACM＝30°，
∴
AC
sin105°
＝
206
sin30°
，∴AC＝60＋203，
∴CD＝30－103＋AC sin30°＝60m.
6. 3
解析根据正弦定理，由a2sin C＝4sin A，可得ac＝4，由于(a＋c)2＝12＋b2，可得a2＋c2－b2＝4，
故S△ABC＝1
4⎣
⎡
⎦
⎤a2c2－⎝⎛⎭⎫
a2＋c2－b2
2
2
＝1
4×16－4＝ 3.。