好题汇编 & 错题再练
2020年高一百所名校好题分类汇编 专题04 语法填空(第03期)(解析版)
2019-2020学年高一百所名校好题速递分项汇编(3)之语法填空【河南省平顶山市2019-2020学年高一上学期第一次调研】阅读下面材料，在空白处填入适当的内容(1个单词)或括号内单词的正确形式。
When I was young I hated languages. My dad spoke several and was ambitious for me. It was not until my____41____ (graduate) from high school ___42___ I considered learning ___43___ second language — Spanish.I was working in a school for disabled children in a class of six. Only two children could speak, but I realized ___44___ (gradual) that every child could communicate. Some of them used physical signs and movements___45___ (express) themselves. Others used their voices — they made noises which changed depending___46___ how they felt. They even “talked” to each other, ___47___ (have) arguments and friendly chats like anyone else. Every child in that room had likes and dislikes, desires and fears ___48___ they communicated every day, without saying a single sentence. As time went on,I learned not only Spanish but the language of everyone of the children I cared for. I had been making excuses for not trying all these years and here ___49___ (be) a group of disabled children showing me how important communication really is. It made me want to challenge ___50___ ( I ) and really learn Spanish.【答案】41. graduation 42. that 43. a 44. gradually 45. to express 46. on / upon 47. having 48. that / which 49. were 50. myself【解析】这是一篇记叙文。
一物理百所名校好题速递分项解析汇编(必修1)：(第01期)(解析版)专题03 追击、相遇问题 汽车刹车问题
一、选择题1.【内蒙古巴彦淖尔市2019学年高一上学期期末考试】汽车以20m/s的初速度刹车做匀减速运动，加速度的大小为5m/s2，则在刹车后的2s内与5s内汽车通过的位移之比为( ) A．1：2 B．3：4 C．2：5 D．4：25【答案】B考点：考查匀变速直线运动的位移与时间的关系．【名师点睛】对于汽车刹车这种匀减速直线运动，不能死套公式，要注意检验解题结果的合理性，往往要先求出汽车刹车的总时间，然后再进行其他计算．2．【湖南省张家界市2019学年高一上学期期末联考】甲、乙两物体在同一直线上，同时由同一位置向同一方向作直线运动，其v-t图象如图10所示，下列说法正确的是A．开始阶段乙运动在甲的前面，20s后乙落在甲的后面B．40s末乙追上甲C．20s末乙追上甲，且甲、乙运动速度相等D．乙在追甲的过程中，20s末两物体相距最远【答案】BD【解析】由图知，开始阶段甲的速度大于乙的速度，20s后乙的速度大于甲的速度，而甲、乙两物体同时由同一地运动，在40s末甲乙两物体面积（位移）相同，此时相遇，所以在0-40s内甲一直在乙的前面．故AC错误, B正确．前20s内甲物体速度大、乙的速度小，所以两物体间的距离逐渐增大，20s-40s内，后方物体乙速度大，两物体间距减小，故20s两物体相距最远，故D正确；故选BD.考点：v-t图像；追击及相遇问题3.【河北省定州市中学2019学年高一上学期周练】如图是在同一直线运动的甲、乙两物体的x﹣t图象，下列说法不正确的是（）A．甲启动的时刻比乙早t1sB．当t=t2 s时，两物体相遇C．当t=t2 s时，两物体相距最远D．当t=t3 s时，两物体相距x1m【答案】C【解析】考点：匀变速直线运动的图象。
【名师点睛】本题关键掌握位移图象的基本性质：横坐标代表时刻，而纵坐标代表物体所在的位置，纵坐标不变即物体保持静止状态；斜率等于物体运动的速度，斜率的正负表示速度的方向，质点通过的位移等于x的变化量△x。
新定义型问题(学生版)--2024年数学好题分类汇编
新定义型问题2024年数学好题分类汇编1(新高考北京卷)生物丰富度指数d =S -1ln N是河流水质的一个评价指标，其中S ,N 分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d 越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S 没有变化，生物个体总数由N 1变为N 2，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则()A.3N 2=2N 1B.2N 2=3N 1C.N 22=N 31 D.N 32=N 212(新高考上海卷)定义一个集合Ω，集合中的元素是空间内的点集，任取P 1,P 2,P 3∈Ω，存在不全为0的实数λ1,λ2,λ3，使得λ1OP 1+λ2OP 2 +λ3OP 3 =0．已知(1,0,0)∈Ω，则(0,0,1)∉Ω的充分条件是()A.0,0,0 ∈ΩB.-1,0,0 ∈ΩC.0,1,0 ∈ΩD.0,0,-1 ∈Ω3(新高考上海卷)已知函数f (x )的定义域为R ，定义集合M =x 0x 0∈R ,x ∈-∞,x 0 ,f x <f x 0 ，在使得M =-1,1 的所有f x 中，下列成立的是()A.存在f x 是偶函数B.存在f x 在x =2处取最大值C.存在f x 是严格增函数D.存在f x 在x =-1处取到极小值4(新高考上海卷)无穷等比数列a n 满足首项a 1>0,q >1，记I n =x -y x ,y ∈a 1,a 2 ∪a n ,a n +1 ，若对任意正整数n 集合I n 是闭区间，则q 的取值范围是．5(新课标全国Ⅰ卷)设m 为正整数，数列a 1,a 2,...,a 4m +2是公差不为0的等差数列，若从中删去两项a i 和a j i <j 后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列a 1,a 2,...,a 4m +2是i ,j -可分数列．(1)写出所有的i ,j ，1≤i <j ≤6，使数列a 1,a 2,...,a 6是i ,j -可分数列；(2)当m ≥3时，证明：数列a 1,a 2,...,a 4m +2是2,13 -可分数列；(3)从1,2,...,4m +2中一次任取两个数i 和j i <j ，记数列a 1,a 2,...,a 4m +2是i ,j -可分数列的概率为P m ，证明：P m >18．6(新课标全国Ⅱ卷)已知双曲线C :x 2-y 2=m m >0 ，点P 15,4 在C 上，k 为常数，0<k <1．按照如下方式依次构造点P n n =2,3,... ，过P n -1作斜率为k 的直线与C 的左支交于点Q n -1，令P n 为Q n -1关于y 轴的对称点，记P n 的坐标为x n ,y n .(1)若k =12，求x 2,y 2；(2)证明：数列x n -y n 是公比为1+k1-k的等比数列；(3)设S n 为△P n P n +1P n +2的面积，证明：对任意的正整数n ，S n =S n +1.7(新高考北京卷)设集合M =i ,j ,s ,t i ∈1,2 ,j ∈3,4 ,s ∈5,6 ,t ∈7,8 ,2i +j +s +t ．对于给定有穷数列A :a n 1≤n ≤8 ，及序列Ω:ω1,ω2,...,ωs ，ωk =i k ,j k ,s k ,t k ∈M ，定义变换T ：将数列A 的第i 1,j 1,s 1,t 1项加1，得到数列T 1A ；将数列T 1A 的第i 2,j 2,s 2,t 2列加1，得到数列T 2T 1A ⋯；重复上述操作，得到数列T s ...T 2T 1A ，记为ΩA ．(1)给定数列A :1,3,2,4,6,3,1,9和序列Ω:1,3,5,7 ,2,4,6,8 ,1,3,5,7 ，写出ΩA ；(2)是否存在序列Ω，使得ΩA 为a 1+2,a 2+6,a 3+4,a 4+2,a 5+8,a 6+2,a 7+4,a 8+4，若存在，写出一个符合条件的Ω；若不存在，请说明理由；(3)若数列A 的各项均为正整数，且a 1+a 3+a 5+a 7为偶数，证明：“存在序列Ω，使得ΩA 为常数列”的充要条件为“a 1+a 2=a 3+a 4=a 5+a 6=a 7+a 8”．8(新高考上海卷)对于一个函数f x 和一个点M a,b，令s x =(x-a)2+f x -b2，若P x0,f x0是s x 取到最小值的点，则称P是M在f x 的“最近点”．(1)对于f(x)=1x (x>0)，求证：对于点M0,0，存在点P，使得点P是M在f x 的“最近点”；(2)对于f x =e x,M1,0，请判断是否存在一个点P，它是M在f x 的“最近点”，且直线MP与y=f(x)在点P处的切线垂直；(3)已知y=f(x)在定义域R上存在导函数f (x)，且函数g(x)在定义域R上恒正，设点M1t-1,f t -g t，M2t+1,f t +g t．若对任意的t∈R，存在点P同时是M1,M2在f x 的“最近点”，试判断f x 的单调性．一、单选题1(2024·湖南怀化·二模)给定整数n ≥3，有n 个实数元素的集合S ，定义其相伴数集T =a -b a ,b ∈S ,a ≠b ，如果min T =1，则称集合S 为一个n 元规范数集．(注：min X 表示数集X 中的最小数)．对于集合M =-0.1,-1.1,2,2.5 、N =-1.5,-0.5,0.5,1.5 ，则()A.M 是规范数集，N 不是规范数集B.M 是规范数集，N 是规范数集C.M 不是规范数集，N 是规范数集D.M 不是规范数集，N 不是规范数集2(2024·四川绵阳·模拟预测)一般地，任意给定一个角α∈R ，它的终边OP 与单位圆的交点P 的坐标，无论是横坐标x 还是纵坐标y ，都是唯一确定的，所以点P 的横坐标x 、纵坐标y 都是关于角α的函数.下面给出这些函数的定义：①把点P 的纵坐标y 叫作α的正弦函数，记作sin α，即sin α=y ；②把点P 的横坐标x 叫作α的余弦函数，记作cos α，即cos α=x ；③把点P 的纵坐标y 的倒数叫作α的余割函数，记作csc α，即csc α=1y ；④把点P 的横坐标x 的倒数叫作α的正割函数，记作sec α，即sec α=1x.下列结论错误的是()A.sin α⋅csc α=1B.sec2π3=-2C.函数f x =sec x 的定义域为x x ≠k π,k ∈Z D.sec 2α+sin 2α+csc 2α+cos 2α≥53(2024·河北邯郸·二模)对任意两个非零的平面向量a 和b ，定义：a ⊕b =a ⋅ba 2+b2，a ⊙b=a ⋅bb2．若平面向量a ,b 满足a >b >0，且a ⊕b 和a ⊙b 都在集合n 4|n ∈Z ,0<n ≤4 中，则a ⊕b +a ⊙b =()A.1B.32C.1或74D.1或544(2024·上海杨浦·二模)平面上的向量a 、b 满足：a =3，b =4，a ⊥b.定义该平面上的向量集合A ={x ||x +a |<|x +b |,x ⋅a >x ⋅b}.给出如下两个结论：①对任意c ∈A ，存在该平面的向量d ∈A ，满足c -d=0.5②对任意c ∈A ，存在该平面向量d ∉A ，满足c -d =0.5则下面判断正确的为()A.①正确，②错误B.①错误，②正确C.①正确，②正确D.①错误，②错误5(2024·甘肃兰州·一模)球面上两点间距离的定义为：经过球面上两点的大圆在这两点间劣弧的长度(大圆就是经过球心的平面截球面所得的圆)．设地球的半径为R ，若甲地位于北纬45°东经120°，乙地位于北纬45°西经60°，则甲、乙两地的球面距离为()A.2π6R B.2π3R C.π2R D.2π2R 二、多选题6(2024·安徽芜湖·二模)在平面直角坐标系xOy 中，角θ以坐标原点O 为顶点，以x 轴的非负半轴为始边，其终边经过点M a ,b ，OM =m m ≠0 ，定义f θ =b +a m ，g θ =b -am，则()A.f π6+g π6 =1 B.f θ +f 2θ ≥0C.若f θg θ=2，则sin2θ=35 D.f θ g θ 是周期函数7(2024·全国·模拟预测)已知函数f x 和实数m ，n ，则下列说法正确的是()A.定义在R 上的函数f x 恒有f x =f m -nx ，则当n =1时，函数的图象有对称轴B.定义在R 上的函数f x 恒有f x =f m -nx ，则当n =-1时，函数具有周期性C.若m =1，n =2，f x =-3x 2+2x ,x ≤13f m -nx ,x >13，则∀t ∈-∞,13 ，f t >f 23-t 恒成立D.若m =4，n =1，f x =ln x -a ,x ∈0,2 f m -nx ,x ∈2,4，且f x 的4个不同的零点分别为x 1,x 2,x 3x 4，且x 1<x 2<x 3<x 4，则x 1x 2+x 3x 4-4x 3+x 4 =-148(2024·浙江绍兴·模拟预测)对于任意的两点A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，定义A ,B 间的折线距离d AB =x 1-x 2 +y 1-y 2 ，反折线距离l AB =x 1-y 2 +x 2-y 1 ，O 表示坐标原点. 下列说法正确的是()A.d AB +d BC ≥d AC .B.若d AB <l AB ，则y 1-x 1 y 2-x 2 ≥0.C.若AB 斜率为k ，d AB =1+k1+k 2AB .D.若存在四个点P x ,y 使得d OP =1，且x 2+y -r 2=r 2r >0 ，则r 的取值范围2-1,12.三、填空题9(2024·湖南长沙·三模)已知函数y =f x ，任取t ∈R ，定义集合A t ={y ∣y =f x ，点P t ,f t 、Q x ,f x 满足PQ ≤2 . 设M t ,m t 分别表示集合A t 中元素的最大值和最小值，记h t =M t -m t ，试解答以下问题:(1)若函数f x =x 2，则h 0 =;(2)若函数f x =sin π2x ，则h t 的最小正周期为.10(2024·四川成都·模拟预测)定义在封闭的平面区域D 内任意两点的距离的最大值称为平面区域D 的“直径”．如图，已知锐角三角形的三个顶点A ，B ，C 在半径为1的圆上，角的对边分别为a ，b ，c ，A =π3．分别以△ABC 各边为直径向外作三个半圆，这三个半圆和△ABC 构成平面区域D ，则平面区域D 的“直径”的取值范围是．11(2024·广东佛山·二模)近年，我国短板农机装备取得突破，科技和装备支撑稳步增强，现代农业建设扎实推进.农用机械中常见有控制设备周期性开闭的装置.如图所示，单位圆O 绕圆心做逆时针匀速圆周运动，角速度大小为2πrad /s ，圆上两点A ，B 始终满足∠AOB =2π3，随着圆O 的旋转，A ，B 两点的位置关系呈现周期性变化.现定义：A ，B 两点的竖直距离为A ，B 两点相对于水平面的高度差的绝对值.假设运动开始时刻，即t =0秒时，点A 位于圆心正下方：则t =秒时，A ，B 两点的竖直距离第一次为0；A ，B 两点的竖直距离关于时间t 的函数解析式为f t =.12(2024·山东枣庄·模拟预测)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 为平面上两点，定义d (A ,B )=x 1-x 2 +y 1-y 2 、已知点P 为抛物线C :x 2=2py (p >0)上一动点，点Q (3,0),d (P ,Q )的最小值为2，则p =；若斜率为32的直线l 过点Q ，点M 是直线l 上一动点，则d (P ,M )的最小值为．13(2024·福建厦门·模拟预测)在n 维空间中(n ≥2，n ∈N )，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n 维坐标a 1,a 2,⋯,a n ，其中a i ∈0,1 1≤i ≤n ,i ∈N .则5维“立方体”的顶点个数是；定义：在n 维空间中两点a 1,a 2,⋯,a n 与b 1,b 2,⋯,b n 的曼哈顿距离为a 1-b 1 +a 2-b 2 +⋯+a n -b n .在5维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量X 为所取两点间的曼哈顿距离，则E X =.四、解答题14(2024·福建泉州·二模)进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，如果约定满二进一，就是二进制：满十进一，就是十进制：满十六进一，就是十六进制．k 进制的基数就是k ．我们日常生活中最熟悉、最常用的就是十进制．例如，数3721也可以表示为：3721=3×103+7×102+2×101+1×100一般地，如果k 是大于1的整数，那么以k 为基数的k 进制数可以表示为a n k n +a n -1k n -1+⋯+a 1k 1+a 0k 0=nj =0a j k j．其中0<a n <k ,a n -1,a n -2,⋯,a 1,a 0∈{0,1,2,⋯,k -1}．为了简便，也会把它写成一串数字连写在一起的形式：a n a n -1⋯a 1a 0(k )，如果不加下标就默认是十进制．(1)令集合A =0，1，2，3，4 ，B =a 15+a 252+a 353+a 454a i ∈A ,i =1，2，3，4，将B 中的元素按从大到小的顺序排列，则第100个数为多少？(2)若n =a n a n -1⋯a 1a 0(2)，记T (n )为整数n 的二进制表达式中0的个数，如T (2)=1,T (3)=0，求63n =1T (n )的值．(用数字作答)(3)十进制中的数999在其他进制中是否也可以表示成一个各位数字之和为27的三位数？如果能，请求出所有的k 进制数；如果不能，请说明理由．15(2024·湖南长沙·二模)集合论在离散数学中有着非常重要的地位.对于非空集合A和B，定义和集A+B=a+b a∈A,b∈B，用符号d(A+B)表示和集A+B内的元素个数.(1)已知集合A=1,3,5，B=1,2,6，C=1,2,6,x，若A+B=A+C，求x的值；(2)记集合A n=1,2,⋯,n，B n=2,22,⋯,n2，C n=A n+B n，a n为C n中所有元素之和，n∈N*，求证：1 a1+2a2+⋯+na n<2(2-1)；(3)若A与B都是由m m≥3,m∈N*个整数构成的集合，且d(A+B)=2m-1，证明：若按一定顺序排列，集合A与B中的元素是两个公差相等的等差数列.16(2024·辽宁葫芦岛·二模)设数阵X0=x11x12x21x22，其中x11,x12,x21,x22∈1,2,3,4,5,6.设B=n1,n2,⋅⋅⋅,n k⊆1,2,3,4,5,6，其中n1<n2<⋅⋅⋅<n k，k∈N∗且k≤6.定义变换M t为“对于数阵的每一列，若其中有t或-t，则将这一列中所有数均保持不变；若其中没有t且没有-t，则这一列中每个数都乘以-1”(t=n1,n2,⋅⋅⋅,n k)，M B X0表示“将X0经过Mn1变换得到X1，再将X1经过Mn2变换得到X2，⋯，以此类推，最后将X k-1经过Mn k变换得到X k.记数阵X k中四个数的和为T B X0.(1)若X0=2134，B=2,5 ，写出X0经过M2变换后得到的数阵X1，并求T B X0 的值；(2)若X0=2134，B=n1,n2,n3，求T B X0的所有可能取值的和；(3)对任意确定的一个数阵X0，证明：T B X0的所有可能取值的和不大于-8.17(2024·浙江·三模)莫比乌斯函数，由德国数学家和天文学家莫比乌斯提出，数学家梅滕斯首先使用μn 作为莫比乌斯函数的记号，其在数论中有着广泛应用.所有大于1的正整数n 都可以被唯一表示为有限个质数的乘积形式：n =p r 11p r 22⋅⋅⋅p r kk (k 为n 的质因数个数，p i 为质数，r i ≥1，i =1,2,⋅⋅⋅,k )，例如：60=22×3×5，对应k =3，p 1=2，p 2=3，p 3=5，r 1=2，r 2=1，r 3=1.现对任意n ∈N *，定义莫比乌斯函数μn =1,n =1-1 k,r 1=r 2=⋅⋅⋅=r k =10,存在 r i >1 .(1)求μ68 ，μ985 ；(2)已知n >1，记n =p r 11p r 22⋅⋅⋅p r k k (k 为n 的质因数个数，p i 为质数，r i ≥1，i =1,2,⋅⋅⋅,k )的所有因数从小到大依次为a 1，a 2，⋯，a m .(ⅰ)证明：μa 1 +μa 2 +⋅⋅⋅+μa m =2k ；(ⅱ)求μa 1 a 1+μa 2 a 2+⋅⋅⋅+μa ma m的值(用P i (i =1,2,⋅⋅⋅,k )表示).18(2024·山东济南·三模)高斯二项式定理广泛应用于数学物理交叉领域．设y ,q ∈R ，n ∈N *，记n =1+q +⋅⋅⋅+q n -1，n !=n ×n -1 ×⋅⋅⋅×1 ，并规定0 !=1．记F (x ,n )=(x +y )n q =(x +y )(x +qy )⋅⋅⋅(x +q n -1y )，并规定F x ,0 =(x +y )0q =1．定义D kq F (x ,n )=F (x ,n ),k =0n n -1 ⋯n -k +1 x +y n -k q ,k =1,2,⋯,n(1)若y =q =1，求F x ,2 和D 1q F (x ,2)；(2)求n -k !n !D kq F (0,n )；(3)证明：F x ,n =∑nk =0D kq F 0,nk !x k ．19(2024·湖北黄冈·二模)第二十五届中国国际高新技术成果交易会(简称“高交会”)在深圳闭幕.会展展出了国产全球首架电动垂直起降载人飞碟.观察它的外观造型，我们会被其优美的曲线折服.现代产品外观特别讲究线条感，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度.考察如图所示的光滑曲线C :y =f x 上的曲线段AB ，其弧长为Δs ，当动点从A 沿曲线段AB 运动到B 点时，A 点的切线l A 也随着转动到B 点的切线l B ，记这两条切线之间的夹角为Δθ(它等于l B 的倾斜角与l A 的倾斜角之差).显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义K =ΔθΔs 为曲线段AB 的平均曲率；显然当B 越接近A ，即Δs 越小，K 就越能精确刻画曲线C 在点A 处的弯曲程度，因此定义K =lim Δ→0ΔθΔs=y1+y 232(若极限存在)为曲线C 在点A 处的曲率.(其中y ，y 分别表示y =f x 在点A 处的一阶､二阶导数)(1)已知抛物线x 2=2py (p >0)的焦点到准线的距离为3，则在该抛物线上点3,y 处的曲率是多少？(2)若函数g x =12x +1-12，不等式g e x +e -x2 ≤g 2-cos ωx 对于x ∈R 恒成立，求ω的取值范围；(3)若动点A 的切线沿曲线f x =2x 2-8运动至点B x n ,f x n 处的切线，点B 的切线与x 轴的交点为x n +1,0 n ∈N *.若x 1=4，b n =x n -2，T n 是数列b n 的前n 项和，证明T n <3.20(2024·重庆·模拟预测)对于数列a n ，定义Δa n =a n +1-a n n ∈N * ，满足a 1=a 2=1,ΔΔa n =m (m ∈R )，记f (m ,n )=a 1m +a 2m 2+⋯+a n m n ，称f (m ,n )为由数列a n 生成的“m -函数”．(1)试写出“2-函数” f (2,n )，并求f (2,3)的值；(2)若“1-函数” f (1,n )≤15，求n 的最大值；(3)记函数S (x )=x +2x 2+⋯+nx n，其导函数为S(x )，证明：“m -函数” f (m ,n )=m 22S (m )-3m2S (m )+(m +1)ni =1m ．21(2024·福建厦门·三模)帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法，在计算机数学中有着广泛的应用.已知函数f (x )在x =0处的m ,n 阶帕德近似定义为：R (x )=a 0+a 1x +⋯+a m x m 1+b 1x +⋯+b n xn，且满足：f (0)=R (0)，f (0)=R (0)，f (2)(0)=R (2)(0)，⋯，f (m +n )(0)=R (m +n )(0).其中f (2)(x )=f (x ) ，f (3)(x )=f (2)(x )，⋯，f (m +n )(x )=f(m +n -1)(x ).已知f (x )=ln (x +1)在x =0处的2,2 阶帕德近似为R (x )=a +bx +12x 21+x +16x2.(1)求实数a ，b 的值；(2)设h x =f x -R x ，证明：xh (x )≥0；(3)已知x 1,x 2,x 3是方程ln x =λx -1x 的三个不等实根，求实数λ的取值范围，并证明：x 1+x 2+x 33>1λ-1.22(2024·河北·二模)已知x为实数，用x 表示不超过x的最大整数，例如e =2,-π=-4,1 =1，对于函数f x ，若存在m∈R,m∉Z，使得f m，则称函数f x 是“Ω函数”.=f m(1)判断函数f x =2x2-x,g x =sinπx是否是“Ω函数”；(2)设函数f x 是定义在R上的周期函数，其最小正周期是T，若f x 不是“Ω函数”，求T的最小值；(3)若函数f x =x+ax是“Ω函数”，求a的取值范围.23(2024·河北秦皇岛·二模)定义：如果函数y=f x 和y=g x 的图象上分别存在点M和N关于x轴对称，则称函数y=f x 和y=g x 具有C关系.(1)判断函数f x =4x-8和g x =2x+1是否具有C关系；(2)若函数f x =ln x-ax-1和g x =1-x2不具有C关系，求a的取值范围；(3)若函数f x =x e x-1上具有C关系，求m的取值范围.在区间0,π和g x =x+m sin x m<024(2024·山东泰安·模拟预测)定义：设y=f x 和y=g x 均为定义在R上的函数，它们的导函数分别为f x 和g x ，若不等式f x -g xf x -g x≤0对任意实数x恒成立，则称y=f x 和y=g x 为“相伴函数”.(1)给出两组函数，①f1x =12x和g1x =0；②f2x =e2x和g2x =2x，分别判断这两组函数是否为“相伴函数”；(2)若y=f x ,y=g x 是定义在R上的可导函数，y=f x 是偶函数，y=g x 是奇函数，f x +g x = ln a-x+1+x，问是否存在a(a>0,a≠1)使得y=f x 和y=g x 为“相伴函数”？若存在写出a的一个值，若不存在说明理由；(3)f x =sin x-θ,g x =cos x+θ，写出“y=f x 和y=g x 为相伴函数”的充要条件，证明你的结论.25(2024·山东泰安·模拟预测)已知数列a n是斐波那契数列，其数值为：1,1,2,3,5,8,13,21,34⋅⋅⋅⋅⋅⋅.这一数列以如下递推的方法定义：a1=1，a2=1，a n+2=a n+1+a n(n∈N*).数列b n对于确定的正整数k，若存在正整数n使得b k+n=b k+b n成立，则称数列b n为“k阶可分拆数列”.(1)已知数列c n满足c n=ma n(n∈N*，m∈R).判断是否对∀m∈R，总存在确定的正整数k，使得数列c n为“k阶可分拆数列”，并说明理由.(2)设数列{d n}的前n项和为S n=3n-a a≥0，(i)若数列{d n}为“1阶可分拆数列”，求出符合条件的实数a的值；(ii)在(i)问的前提下，若数列f n满足f n=a nS n，n∈N*，其前n项和为Tn.证明：当n∈N*且n≥3时，T n<a21+a22+a23+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+a2n-a n a n+1+1成立.26(2024·山东·模拟预测)设a ,b ∈Z ，a ≠0.如果存在q ∈Z 使得b =aq ，那么就说b 可被a 整除(或a 整除b )，记做a |b 且称b 是a 的倍数，a 是b 的约数(也可称为除数、因数)．b 不能被a 整除就记做a ∤b ．由整除的定义，不难得出整除的下面几条性质：①若a |b ，b |c ，则a |c ；②a ，b 互质，若a |c ，b |c ，则ab |c ；③若a |b i ，则a |ni =1c i b i ，其中c i ∈Z ,i =1,2,3,⋯,n .(1)若数列a n 满足，a n =2n -1，其前n 项和为S n ，证明：279|S 3000；(2)若n 为奇数，求证：a n +b n 能被a +b 整除；(3)对于整数n 与k ，F n ,k =∑nr =1r 2k -1，求证：F n ,1 可整除F n ,k .27(2024·浙江温州·三模)现有n 张形状相同的卡片，上而分别写有数字m +1,m +2,⋯,m +n m ∈N ,n ∈N * ，将这n 张卡片充分混合后，每次随机抽取一张卡片，记录卡片上的数字后放回，现在甲同学随机抽取4次.(1)若n =8，求抽到的4个数字互不相同的概率；(2)统计学中，我们常用样本的均值来估计总体的期望.定义E X k 为随机变量X 的k 阶矩，其中1阶矩就是X 的期望E X ，利用k 阶矩进行估计的方法称为矩估计.(ⅰ)记每次抽到的数字为随机变量X ，计算随机变量X 的1阶矩E X 和2阶矩E X 2 ；(参考公式：12+22+⋯+n 2=n n +1 2n +16)(ⅱ)知甲同学抽到的卡片上的4个数字分别为3，8，9，12，试利用这组样本并结合(ⅰ)中的结果来计算n的估计值n .(n的计算结果通过四舍五入取整数)28(2024·湖南长沙·三模)已知椭圆C :x 2a 21+y 2b 21=1a 1>b 1>0 的左、右焦点分别为F 1、F 2，B 为上顶点，离心率为12，直线BF 2与圆4x 2+4y 2-3=0相切.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)椭圆方程Γ:x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 ，平面上有一点P x 0，y 0 . 定义直线方程l :x 0x a 2+y 0y b 2=1是椭圆Γ在点P x 0，y 0 处的极线.① 若P x 0，y 0 在椭圆C 上，证明:椭圆C 在点P 处的极线就是过点P 的切线;② 若过点P -4，0 分别作椭圆C 的两条切线和一条割线，切点为X 、Y ，割线交椭圆C 于M 、N 两点，过点M 、N 分别作椭圆C 的两条切线，且相交于点Q . 证明:Q 、X 、Y 三点共线.29(2024·江西·二模)在三维空间中，立方体的坐标可用三维坐标a 1,a 2,a 3 表示，其中a i ∈{0,1},i =1,2,3，而在n 维空间中(n ≥2,n ∈N )，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n 维坐标a 1,a 2,a 3,⋯⋯,a n ，其中a i ∈{0,1}(1≤i ≤n ,i ∈N )．现有如下定义：在n 维空间中两点间的曼哈顿距离为两点a 1,a 2,a 3,⋯⋯,a n 与b 1,b 2,b 3,⋯⋯,b n 坐标差的绝对值之和，即为a 1-b 1 +a 2-b 2 +a 3-b 3 +⋯+a n -b n ．回答下列问题：(1)求出n 维“立方体”的顶点数；(2)在n 维“立方体”中任取两个不同顶点，记随机变量X 为所取两点间的曼哈顿距离．①求X 的分布列与期望；②求X 的方差．30(2024·湖北·模拟预测)龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可选择A 和B 两个套餐之一，并在App 平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App 平台10天销售优惠券情况．日期t 12345678910销售量y (千张)1.91.982.22.362.432.592.682.762.70.4经计算可得：y =11010i =1y i =2.2,10i =1t i y i =118.73,10i =1t i 2 =385.(1)因为优惠券购买火爆，App 平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y 和日期t 呈线性关系，现剔除第10天数据，求y 关于t 的经验回归方程(结果中的数值用分数表示)；(2)若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为14，选择B 套餐的概率为34，并且A 套餐可以用一张优惠券，B 套餐可以用两张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为P n ，求P n ；(3)记(2)中所得概率P n 的值构成数列P n n ∈N ∗ .①求P n 的最值；②数列收敛的定义：已知数列a n ，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数N 0，使得当n >N 0时，a n -a <ε，(a 是一个确定的实数)，则称数列a n 收敛于a .根据数列收敛的定义证明数列P n 收敛．参考公式：ni =1x i -x y i -yni =1x i -x2=ni =1x i y i -nx yni =1x i 2-nx2,a =y -b x .。
圆锥曲线(解析版)--2024年高考真题和模拟题数学好题汇编
圆锥曲线1(新课标全国Ⅱ卷)已知曲线C ：x 2+y 2=16(y >0)，从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ，P 为垂足，则线段PP 的中点M 的轨迹方程为()A.x 216+y 24=1(y >0)B.x 216+y 28=1(y >0)C.y 216+x 24=1(y >0)D.y 216+x 28=1(y >0)【答案】A【分析】设点M (x ,y )，由题意，根据中点的坐标表示可得P (x ,2y )，代入圆的方程即可求解.【详解】设点M (x ,y )，则P (x ,y 0),P (x ,0)，因为M 为PP 的中点，所以y 0=2y ，即P (x ,2y )，又P 在圆x 2+y 2=16(y >0)上，所以x 2+4y 2=16(y >0)，即x 216+y 24=1(y >0)，即点M 的轨迹方程为x 216+y 24=1(y >0).故选：A2(全国甲卷数学(理))已知双曲线C :y 2a 2-x 2b 2=1(a >0,b >0)的上、下焦点分别为F 10,4 ,F 20,-4 ，点P -6,4 在该双曲线上，则该双曲线的离心率为()A.4B.3C.2D.2【答案】C【分析】由焦点坐标可得焦距2c ，结合双曲线定义计算可得2a ，即可得离心率.【详解】由题意，F 10,-4 、F 20,4 、P -6,4 ，则F 1F 2 =2c =8，PF 1 =62+4+4 2=10，PF 2 =62+4-4 2=6，则2a =PF 1 -PF 2 =10-6=4，则e =2c 2a =84=2.故选：C .3(新高考天津卷)双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2.P 是双曲线右支上一点，且直线PF 2的斜率为2．△PF 1F 2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为()A.x 28-y 22=1B.x 28-y 24=1C.x 22-y 28=1D.x 24-y 28=1【答案】C【分析】可利用△PF 1F 2三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设PF 2 =m ，由面积公式求出m ，由勾股定理得出c ，结合第一定义再求出a .【详解】如下图：由题可知，点P 必落在第四象限，∠F 1PF 2=90°，设PF 2 =m ，∠PF 2F 1=θ1,∠PF 1F 2=θ2，由k PF 2=tan θ1=2，求得sin θ1=25，因为∠F 1PF 2=90°，所以k PF 1⋅k PF 2=-1，求得k PF 1=-12，即tan θ2=12，sin θ2=15，由正弦定理可得：PF 1 :PF 2 :F 1F 2 =sin θ1:sin θ2:sin90°=2:1:5，则由PF 2 =m 得PF 1 =2m ,F 1F 2 =2c =5m ，由S △PF 1F 2=12PF 1 ⋅PF 2 =12m ⋅2m =8得m =22，则PF 2 =22,PF 1 =42,F 1F 2 =2c =210,c =10，由双曲线第一定义可得：PF 1 -PF 2 =2a =22，a =2,b =c 2-a 2=8，所以双曲线的方程为x 22-y 28=1.故选：C4(新课标全国Ⅰ卷)(多选)造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足横坐标大于-2，到点F (2,0)的距离与到定直线x =a (a <0)的距离之积为4，则()A.a =-2B.点(22,0)在C 上C.C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D.当点x 0,y 0 在C 上时，y 0≤4x 0+2【答案】ABD【分析】根据题设将原点代入曲线方程后可求a，故可判断A的正误，结合曲线方程可判断B的正误，利用特例法可判断C的正误，将曲线方程化简后结合不等式的性质可判断D的正误.【详解】对于A：设曲线上的动点P x,y，则x>-2且x-22+y2×x-a=4，因为曲线过坐标原点，故0-22+02×0-a=4，解得a=-2，故A正确.对于B：又曲线方程为x-22+y2×x+2=4，而x>-2，故x-22+y2×x+2=4.当x=22,y=0时，22-22×22+2=8-4=4，故22,0在曲线上，故B正确.对于C：由曲线的方程可得y2=16x+22-x-22，取x=32，则y2=6449-14，而6449-14-1=6449-54=256-24549×4>0，故此时y2>1，故C在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C错误.对于D：当点x0,y0在曲线上时，由C的分析可得y20=16x0+22-x0-22≤16x0+22，故-4x0+2≤y0≤4x0+2，故D正确.故选：ABD.【点睛】思路点睛：根据曲线方程讨论曲线的性质，一般需要将曲线方程变形化简后结合不等式的性质等来处理.5(新课标全国Ⅱ卷)(多选)抛物线C：y2=4x的准线为l，P为C上的动点，过P作⊙A:x2+(y-4)2=1的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则()A.l与⊙A相切B.当P，A，B三点共线时，|PQ|=15C.当|PB|=2时，PA⊥ABD.满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个【答案】ABD【分析】A选项，抛物线准线为x=-1，根据圆心到准线的距离来判断；B选项，P,A,B三点共线时，先求出P 的坐标，进而得出切线长；C选项，根据PB=2先算出P的坐标，然后验证k PA k AB=-1是否成立；D选项，根据抛物线的定义，PB=PF，于是问题转化成PA=PF的P点的存在性问题，此时考察AF的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设P点坐标进行求解.【详解】A选项，抛物线y2=4x的准线为x=-1，⊙A的圆心(0,4)到直线x=-1的距离显然是1，等于圆的半径，故准线l和⊙A相切，A选项正确；B选项，P,A,B三点共线时，即PA⊥l，则P的纵坐标y P=4，由y2P=4x P，得到x P=4，故P(4,4)，此时切线长PQ=PA2-r2=42-12=15，B选项正确；C选项，当PB=2时，xP=1，此时y2P=4x P=4，故P(1,2)或P(1,-2)，当P(1,2)时，A(0,4),B(-1,2)，k PA=4-20-1=-2，k AB=4-20-(-1)=2，不满足k PA k AB=-1；当P(1,-2)时，A(0,4),B(-1,2)，k PA=4-(-2)0-1=-6，k AB=4-(-2)0-(-1)=6，不满足k PA k AB=-1；于是PA⊥AB不成立，C选项错误；D选项，方法一：利用抛物线定义转化根据抛物线的定义，PB=PF，这里F(1,0)，于是PA=PB时P点的存在性问题转化成PA=PF时P点的存在性问题，A(0,4),F(1,0)，AF中点12,2，AF中垂线的斜率为-1kAF =14，于是AF的中垂线方程为：y=2x+158，与抛物线y2=4x联立可得y2-16y+30=0，Δ=162-4×30=136>0，即AF的中垂线和抛物线有两个交点，即存在两个P点，使得PA=PF，D选项正确.方法二：(设点直接求解)设Pt24,t，由PB⊥l可得B-1,t，又A(0,4)，又PA=PB，根据两点间的距离公式，t416+(t-4)2=t24+1，整理得t2-16t+30=0，Δ=162-4×30=136>0，则关于t的方程有两个解，即存在两个这样的P点，D选项正确.故选：ABD6(新课标全国Ⅰ卷)设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1、F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|=13,|AB|=10，则C的离心率为．【答案】3 2【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出AF2，结合双曲线第一定义求出AF1，即可得到a,b,c的值，从而求出离心率.【详解】由题可知A ,B ,F 2三点横坐标相等，设A 在第一象限，将x =c 代入x 2a 2-y 2b 2=1得y =±b 2a ，即A c ,b 2a ,B c ,-b 2a ，故AB =2b 2a =10，AF 2 =b 2a=5，又AF 1 -AF 2 =2a ，得AF 1 =AF 2 +2a =2a +5=13，解得a =4，代入b 2a=5得b 2=20，故c 2=a 2+b 2=36,，即c =6，所以e =c a =64=32.故答案为：327(新高考北京卷)已知抛物线y 2=16x ，则焦点坐标为．【答案】4,0【分析】形如y 2=2px ,p ≠0 的抛物线的焦点坐标为p2,0，由此即可得解.【详解】由题意抛物线的标准方程为y 2=16x ，所以其焦点坐标为4,0 .故答案为：4,0 .8(新高考北京卷)已知双曲线x 24-y 2=1，则过3,0 且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为．【答案】±12【分析】首先说明直线斜率存在，然后设出方程，联立双曲线方程，根据交点个数与方程根的情况列式即可求解.【详解】联立x =3与x 24-y 2=1，解得y =±52，这表明满足题意的直线斜率一定存在，设所求直线斜率为k ，则过点3,0 且斜率为k 的直线方程为y =k x -3 ，联立x 24-y 2=1y =k x -3 ，化简并整理得：1-4k 2x 2+24k 2x -36k 2-4=0，由题意得1-4k 2=0或Δ=24k 2 2+436k 2+4 1-4k 2 =0，解得k =±12或无解，即k =±12，经检验，符合题意.故答案为：±12.9(新高考天津卷)(x -1)2+y 2=25的圆心与抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F 重合，A 为两曲线的交点，则原点到直线AF 的距离为．【答案】45/0.8【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求A 及AF 的方程，从而可求原点到直线AF 的距离.【详解】圆(x -1)2+y 2=25的圆心为F 1,0 ，故p2=1即p =2，由x -12+y 2=25y 2=4x可得x 2+2x -24=0，故x =4或x =-6(舍)，故A 4,±4 ，故直线AF :y =±43x -1 即4x -3y -4=0或4x +3y -4=0，故原点到直线AF 的距离为d =45=45，故答案为：4510(新高考上海卷)已知抛物线y 2=4x 上有一点P 到准线的距离为9，那么点P 到x 轴的距离为．【答案】42【分析】根据抛物线的定义知x P =8，将其再代入抛物线方程即可.【详解】由y 2=4x 知抛物线的准线方程为x =-1，设点P x 0,y 0 ，由题意得x 0+1=9，解得x 0=8，代入抛物线方程y 2=4x ，得y 20=32，解得y 0=±42，则点P 到x 轴的距离为42．故答案为：42．11(新课标全国Ⅰ卷)已知A (0,3)和P 3,32 为椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上两点.(1)求C 的离心率;(2)若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且△ABP 的面积为9，求l 的方程．【答案】(1)12(2)直线l 的方程为3x -2y -6=0或x -2y =0.【分析】(1)代入两点得到关于a ,b 的方程，解出即可；(2)方法一：以AP 为底，求出三角形的高，即点B 到直线AP 的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到B 点坐标，则得到直线l 的方程；方法二：同法一得到点B 到直线AP 的距离，再设B x 0,y 0 ，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点B 到直线AP 的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线AB 斜率不存在的情况，再设直线y =kx +3，联立椭圆方程，得到点B 坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线PB 斜率不存在的情况，再设PB :y -32=k (x -3)，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线法与法五一致，利用水平宽乘铅锤高乘12表达面积即可.【详解】(1)由题意得b=39a2+94b2=1，解得b2=9a2=12，所以e=1-b2a2=1-912=12.(2)法一：k AP=3-320-3=-12，则直线AP的方程为y=-12x+3，即x+2y-6=0，AP=0-32+3-3 22=352，由(1)知C:x212+y29=1，设点B到直线AP的距离为d，则d=2×9352=1255，则将直线AP沿着与AP垂直的方向平移1255单位即可，此时该平行线与椭圆的交点即为点B，设该平行线的方程为：x+2y+C=0，则C+65=1255，解得C=6或C=-18，当C=6时，联立x212+y29=1x+2y+6=0，解得x=0y=-3或x=-3y=-32，即B0,-3或-3,-3 2，当B0,-3时，此时k l=32，直线l的方程为y=32x-3，即3x-2y-6=0，当B-3,-3 2时，此时k l=12，直线l的方程为y=12x，即x-2y=0，当C=-18时，联立x212+y29=1x+2y-18=0得2y2-27y+117=0，Δ=272-4×2×117=-207<0，此时该直线与椭圆无交点.综上直线l的方程为3x-2y-6=0或x-2y=0.法二：同法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0，点B到直线AP的距离d=125 5，设B x0,y0，则x0+2y0-65=1255x2012+y209=1，解得x0=-3y0=-32或x0=0y0=-3，即B0,-3或-3,-3 2，以下同法一.法三：同法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0，点B到直线AP的距离d=125 5，设B 23cos θ,3sin θ ，其中θ∈0,2π ，则有23cos θ+6sin θ-6 5=1255，联立cos 2θ+sin 2θ=1，解得cos θ=-32sin θ=-12或cos θ=0sin θ=-1，即B 0,-3 或-3,-32，以下同法一；法四：当直线AB 的斜率不存在时，此时B 0,-3 ，S △PAB =12×6×3=9，符合题意，此时k l =32，直线l 的方程为y =32x -3，即3x -2y -6=0，当线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y =kx +3，联立椭圆方程有y =kx +3x 212+y 29=1，则4k 2+3 x 2+24kx =0，其中k ≠k AP ，即k ≠-12，解得x =0或x =-24k 4k 2+3，k ≠0，k ≠-12，令x =-24k 4k 2+3，则y =-12k 2+94k 2+3，则B -24k 4k 2+3,-12k 2+94k 2+3同法一得到直线AP 的方程为x +2y -6=0，点B 到直线AP 的距离d =1255，则-24k4k 2+3+2×-12k 2+94k 2+3-65=1255，解得k =32，此时B -3,-32 ，则得到此时k l =12，直线l 的方程为y =12x ，即x -2y =0，综上直线l 的方程为3x -2y -6=0或x -2y =0.法五：当l 的斜率不存在时，l :x =3,B 3,-32,PB =3,A 到PB 距离d =3，此时S △ABP =12×3×3=92≠9不满足条件.当l 的斜率存在时，设PB :y -32=k (x -3)，令P x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，y =k (x -3)+32x 212+y 29=1 ，消y 可得4k 2+3 x 2-24k 2-12k x +36k 2-36k -27=0，Δ=24k 2-12k 2-44k 2+3 36k 2-36k -27 >0，且k ≠k AP ，即k ≠-12，x 1+x 2=24k 2-12k 4k 2+3x 1x 2=36k 2-36k -274k 2+3,PB =k 2+1x 1+x 2 2-4x 1x 2=43k 2+13k 2+9k +2744k 2+3 ，A 到直线PB 距离d =3k +32k 2+1,S △PAB =12⋅43k 2+13k 2+9k +2744k 2+3⋅3k +32 k 2+1=9，∴k =12或32，均满足题意，∴l :y =12x 或y =32x -3，即3x -2y -6=0或x -2y =0.法六：当l 的斜率不存在时，l :x =3,B 3,-32,PB =3,A 到PB 距离d =3，此时S △ABP =12×3×3=92≠9不满足条件.当直线l 斜率存在时，设l :y =k (x -3)+32，设l 与y 轴的交点为Q ，令x =0，则Q 0,-3k +32，联立y =kx -3k +323x 2+4y 2=36，则有3+4k 2 x 2-8k 3k -32x +36k 2-36k -27=0，3+4k 2x 2-8k 3k -32x +36k 2-36k -27=0，其中Δ=8k 23k -322-43+4k 2 36k 2-36k -27 >0，且k ≠-12，则3x B =36k 2-36k -273+4k 2,x B =12k 2-12k -93+4k 2，则S =12AQ x P -x B =123k +32 12k +183+4k 2=9，解的k =12或k =32，经代入判别式验证均满足题意.则直线l 为y =12x 或y =32x -3，即3x -2y -6=0或x -2y =0.12(新课标全国Ⅱ卷)已知双曲线C :x 2-y 2=m m >0 ，点P 15,4 在C 上，k 为常数，0<k <1．按照如下方式依次构造点P n n =2,3,... ，过P n -1作斜率为k 的直线与C 的左支交于点Q n -1，令P n 为Q n -1关于y 轴的对称点，记P n 的坐标为x n ,y n .(1)若k =12，求x 2,y 2；(2)证明：数列x n -y n 是公比为1+k1-k的等比数列；(3)设S n 为△P n P n +1P n +2的面积，证明：对任意的正整数n ，S n =S n +1.【答案】(1)x 2=3，y 2=0(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】(1)直接根据题目中的构造方式计算出P 2的坐标即可；(2)根据等比数列的定义即可验证结论；(3)思路一：使用平面向量数量积和等比数列工具，证明S n 的取值为与n 无关的定值即可.思路二：使用等差数列工具，证明S n 的取值为与n 无关的定值即可.【详解】(1)由已知有m =52-42=9，故C 的方程为x 2-y 2=9.当k =12时，过P 15,4 且斜率为12的直线为y =x +32，与x 2-y 2=9联立得到x 2-x +322=9.解得x =-3或x =5，所以该直线与C 的不同于P 1的交点为Q 1-3,0 ，该点显然在C 的左支上.故P 23,0 ，从而x 2=3，y 2=0.(2)由于过P n x n ,y n 且斜率为k 的直线为y =k x -x n +y n ，与x 2-y 2=9联立，得到方程x 2-k x -x n +y n 2=9.展开即得1-k 2 x 2-2k y n -kx n x -y n -kx n 2-9=0，由于P n x n ,y n 已经是直线y =k x -x n +y n 和x 2-y 2=9的公共点，故方程必有一根x =x n .从而根据韦达定理，另一根x =2k y n -kx n 1-k 2-x n =2ky n -x n -k 2x n1-k 2，相应的y =k x -x n +y n =y n +k 2y n -2kx n1-k 2.所以该直线与C 的不同于P n 的交点为Q n2ky n -x n -k 2x n 1-k 2,y n +k 2y n -2kx n1-k 2，而注意到Q n 的横坐标亦可通过韦达定理表示为-y n -kx n 2-91-k 2x n ，故Q n 一定在C 的左支上.所以P n +1x n +k 2x n -2ky n 1-k 2,y n +k 2y n -2kx n1-k 2.这就得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2，y n +1=y n +k 2y n -2kx n1-k 2.所以x n +1-y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2-y n +k 2y n -2kx n1-k 2=x n +k 2x n +2kx n 1-k 2-y n +k 2y n +2ky n 1-k 2=1+k 2+2k 1-k2x n -y n =1+k 1-k x n -y n .再由x 21-y 21=9，就知道x 1-y 1≠0，所以数列x n -y n 是公比为1+k 1-k 的等比数列.(3)方法一：先证明一个结论：对平面上三个点U ,V ,W ，若UV =a ,b ，UW =c ,d ，则S △UVW =12ad -bc .(若U ,V ,W 在同一条直线上，约定S △UVW =0)证明：S △UVW =12UV ⋅UW sin UV ,UW =12UV ⋅UW 1-cos 2UV ,UW =12UV⋅UW 1-UV ⋅UWUV ⋅UW 2=12UV 2⋅UW 2-UV ⋅UW 2=12a 2+b 2c 2+d 2-ac +bd2=12a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2-a 2c 2-b 2d 2-2abcd =12a 2d 2+b 2c 2-2abcd =12ad -bc2=12ad -bc .证毕，回到原题.由于上一小问已经得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2，y n +1=y n +k 2y n -2kx n 1-k 2，故x n +1+y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2+y n +k 2y n -2kx n 1-k 2=1+k 2-2k 1-k 2x n +y n=1-k1+k x n +y n .再由x 21-y 21=9，就知道x 1+y 1≠0，所以数列x n +y n 是公比为1-k 1+k 的等比数列.所以对任意的正整数m ，都有x n y n +m -y n x n +m=12x n x n +m -y n y n +m +x n y n +m -y n x n +m -12x n x n +m -y n y n +m -x n y n +m -y n x n +m =12x n -y n x n +m +y n +m -12x n +y n x n +m -y n +m =121-k 1+k m x n -y n x n +y n-121+k 1-k mx n +y n x n -y n =121-k 1+k m -1+k 1-k m x 2n -y 2n=921-k 1+k m -1+k 1-k m .而又有P n +1P n =-x n +1-x n ,-y n +1-y n ，P n +1P n +2=x n +2-x n +1,y n +2-y n +1 ，故利用前面已经证明的结论即得S n =S △P n P n +1P n +2=12-x n +1-x n y n +2-y n +1 +y n +1-y n x n +2-x n +1 =12x n +1-x n y n +2-y n +1 -y n +1-y n x n +2-x n +1 =12x n +1y n +2-y n +1x n +2 +x n y n +1-y n x n +1 -x n y n +2-y n x n +2=12921-k 1+k -1+k 1-k +921-k 1+k -1+k 1-k -921-k 1+k 2-1+k 1-k 2.这就表明S n 的取值是与n 无关的定值，所以S n =S n +1.方法二：由于上一小问已经得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2，y n +1=y n +k 2y n -2kx n 1-k 2，故x n +1+y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2+y n +k 2y n -2kx n 1-k 2=1+k 2-2k 1-k2x n +y n =1-k1+k x n +y n .再由x 21-y 21=9，就知道x 1+y 1≠0，所以数列x n +y n 是公比为1-k1+k的等比数列.所以对任意的正整数m ，都有x n y n +m -y n x n +m=12x n x n +m -y n y n +m +x n y n +m -y n x n +m -12x n x n +m -y n y n +m -x n y n +m -y n x n +m =12x n -y n x n +m +y n +m -12x n +y n x n +m -y n +m =121-k 1+k m x n -y n x n +y n-121+k 1-k mx n +y n x n -y n =121-k 1+k m -1+k 1-k m x 2n -y 2n =921-k 1+k m -1+k 1-k m.这就得到x n +2y n +3-y n +2x n +3=921-k 1+k -1+k1-k=x n y n +1-y n x n +1，以及x n +1y n +3-y n +1x n +3=921-k 1+k 2-1+k 1-k 2=x n y n +2-y n x n +2.两式相减，即得x n +2y n +3-y n +2x n +3 -x n +1y n +3-y n +1x n +3 =x n y n +1-y n x n +1 -x n y n +2-y n x n +2 .移项得到x n +2y n +3-y n x n +2-x n +1y n +3+y n x n +1=y n +2x n +3-x n y n +2-y n +1x n +3+x n y n +1.故y n +3-y n x n +2-x n +1 =y n +2-y n +1 x n +3-x n .而P n P n +3 =x n +3-x n ,y n +3-y n ，P n +1P n +2 =x n +2-x n +1,y n +2-y n +1 .所以P n P n +3 和P n +1P n +2平行，这就得到S △P n P n +1P n +2=S △P n +1P n +2P n +3，即S n =S n +1.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将解析几何和数列知识的结合，需要综合运用多方面知识方可得解.13(全国甲卷数学(理)(文))设椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F ，点M 1,32 在C 上，且MF ⊥x 轴．(1)求C 的方程；(2)过点P 4,0 的直线与C 交于A ,B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ ⊥y 轴．【答案】(1)x 24+y 23=1(2)证明见解析【分析】(1)设F c ,0 ，根据M 的坐标及MF ⊥x 轴可求基本量，故可求椭圆方程.(2)设AB :y =k (x -4)，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，联立直线方程和椭圆方程，用A ,B 的坐标表示y 1-y Q ，结合韦达定理化简前者可得y 1-y Q =0，故可证AQ ⊥y 轴.【详解】(1)设F c ,0 ，由题设有c =1且b 2a =32，故a 2-1a =32，故a =2，故b =3，故椭圆方程为x 24+y 23=1.(2)直线AB 的斜率必定存在，设AB :y =k (x -4)，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，由3x 2+4y 2=12y =k (x -4) 可得3+4k 2 x 2-32k 2x +64k 2-12=0，故Δ=1024k 4-43+4k 2 64k 2-12 >0，故-12<k <12，又x 1+x 2=32k 23+4k 2,x 1x 2=64k 2-123+4k 2，而N 52,0 ，故直线BN :y =y 2x 2-52x -52 ，故y Q =-32y 2x 2-52=-3y 22x 2-5，所以y 1-y Q =y 1+3y 22x 2-5=y 1×2x 2-5 +3y 22x 2-5=k x 1-4 ×2x 2-5 +3k x 2-42x 2-5=k 2x 1x 2-5x 1+x 2 +82x 2-5=k2×64k 2-123+4k 2-5×32k 23+4k 2+82x 2-5=k128k 2-24-160k 2+24+32k 23+4k 22x 2-5=0，故y 1=y Q ，即AQ ⊥y 轴.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：(1)设直线方程，设交点坐标为x 1,y 1 ,x 2,y 2 ；(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x (或y )的一元二次方程，注意Δ的判断；(3)列出韦达定理；(4)将所求问题或题中的关系转化为x 1+x 2、x 1x 2(或y 1+y 2、y 1y 2)的形式；(5)代入韦达定理求解.14(新高考北京卷)已知椭圆方程C ：x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 ，焦点和短轴端点构成边长为2的正方形，过0,t t >2 的直线l 与椭圆交于A ，B ，C 0,1 ，连接AC 交椭圆于D ．(1)求椭圆方程和离心率；(2)若直线BD 的斜率为0，求t ．【答案】(1)x 24+y 22=1,e =22(2)t =2【分析】(1)由题意得b =c =2，进一步得a ，由此即可得解；(2)说明直线AB 斜率存在，设AB :y =kx +t ,t >2 ，A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，联立椭圆方程，由韦达定理有x 1+x 2=-4kt 1+2k 2,x 1x 2=2t 2-42k 2+1，而AD :y =y 1-y 2x 1+x 2x -x 1 +y 1，令x =0，即可得解.【详解】(1)由题意b =c =22=2，从而a =b 2+c 2=2，所以椭圆方程为x 24+y 22=1，离心率为e =22；(2)显然直线AB 斜率存在，否则B ,D 重合，直线BD 斜率不存在与题意不符，同样直线AB 斜率不为0，否则直线AB 与椭圆无交点，矛盾，从而设AB :y =kx +t ,t >2 ，A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，联立x 24+y 22=1y =kx +t ，化简并整理得1+2k 2x 2+4ktx +2t 2-4=0，由题意Δ=16k 2t 2-82k 2+1 t 2-2 =84k 2+2-t 2 >0，即k ,t 应满足4k 2+2-t 2>0，所以x 1+x 2=-4kt 1+2k 2,x 1x 2=2t 2-42k 2+1，若直线BD 斜率为0，由椭圆的对称性可设D -x 2,y 2 ，所以AD :y =y 1-y 2x 1+x 2x -x 1 +y 1，在直线AD 方程中令x =0，得y C =x 1y 2+x 2y 1x 1+x 2=x 1kx 2+t +x 2kx 1+t x 1+x 2=2kx 1x 2+t x 1+x 2 x 1+x 2=4k t 2-2 -4kt +t =2t =1，所以t =2，此时k 应满足4k 2+2-t 2=4k 2-2>0k ≠0 ，即k 应满足k <-22或k >22，综上所述，t =2满足题意，此时k <-22或k >22.15(新高考天津卷)已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)椭圆的离心率e =12．左顶点为A ，下顶点为B ，C 是线段OB 的中点，其中S △ABC =332．(1)求椭圆方程．(2)过点0,-32的动直线与椭圆有两个交点P ，Q ．在y 轴上是否存在点T 使得TP ⋅TQ ≤0恒成立．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．【答案】(1)x 212+y 29=1(2)存在T 0,t -3≤t ≤32，使得TP ⋅TQ ≤0恒成立.【详解】(1)因为椭圆的离心率为e =12，故a =2c ，b =3c ，其中c 为半焦距，所以A -2c ,0 ,B 0,-3c ,C 0,-3c 2 ，故S △ABC=12×2c ×32c =332，故c =3，所以a =23，b =3，故椭圆方程为：x 212+y 29=1.(2)若过点0,-32 的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：y =kx -32，设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ,T 0,t ，由3x 2+4y 2=36y =kx -32可得3+4k 2 x 2-12kx -27=0，故Δ=144k 2+1083+4k 2 =324+576k 2>0且x 1+x 2=12k 3+4k 2,x 1x 2=-273+4k 2,而TP =x 1,y 1-t ,TQ=x 2,y 2-t ，故TP ⋅TQ =x 1x 2+y 1-t y 2-t =x 1x 2+kx 1-32-t kx 2-32-t =1+k 2 x 1x 2-k 32+t x 1+x 2 +32+t 2=1+k 2 ×-273+4k 2-k 32+t ×12k 3+4k 2+32+t 2=-27k 2-27-18k 2-12k 2t +332+t 2+3+2t 2k 23+4k 2=3+2t2-12t -45 k 2+332+t 2-273+4k 2，因为TP ⋅TQ ≤0恒成立，故3+2t 2-12t -45≤0332+t 2-27≤0，解得-3≤t ≤32.若过点0,-32的动直线的斜率不存在，则P 0,3 ,Q 0,-3 或P 0,-3 ,Q 0,3 ，此时需-3≤t ≤3，两者结合可得-3≤t ≤32.综上，存在T 0,t-3≤t ≤32 ，使得TP ⋅TQ ≤0恒成立.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设.16(新高考上海卷)已知双曲线Γ:x 2-y 2b2=1,(b >0),左右顶点分别为A 1,A 2，过点M -2,0 的直线l 交双曲线Γ于P ,Q 两点.(1)若离心率e =2时，求b 的值．(2)若b =263,△MA 2P 为等腰三角形时，且点P 在第一象限，求点P 的坐标．(3)连接OQ 并延长，交双曲线Γ于点R ，若A 1R ⋅A 2P=1，求b 的取值范围．【答案】(1)b =3(2)P 2,22 (3)0,3 ∪3,303【详解】(1)由题意得e =c a =c1=2，则c =2，b =22-1=3．(2)当b =263时，双曲线Γ:x 2-y 283=1，其中M -2,0 ，A 21,0 ，因为△MA 2P 为等腰三角形，则①当以MA 2为底时，显然点P 在直线x =-12上，这与点P 在第一象限矛盾，故舍去；②当以A 2P 为底时，MP =MA 2 =3，设P x ,y ，则 x 2-3y 28=1(x +2)2+y 2=9, 联立解得x =-2311y =-81711 或x =-2311y =81711或x =1y =0 ，因为点P 在第一象限，显然以上均不合题意，舍去；(或者由双曲线性质知MP >MA 2 ，矛盾，舍去)；③当以MP 为底时，A 2P =MA 2 =3，设P x 0,y 0 ，其中x 0>0,y 0>0，则有x 0-1 2+y 20=9x 20-y 2083=1，解得x 0=2y 0=22，即P 2,22 ．综上所述：P 2,22 .(3)由题知A 1-1,0 ,A 21,0 ， 当直线l 的斜率为0时，此时A 1R ⋅A 2P=0，不合题意，则k l ≠0，则设直线l :x =my -2，设点P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，根据OQ 延长线交双曲线Γ于点R ，根据双曲线对称性知R -x 2,-y 2 ， 联立有x =my -2x 2-y 2b2=1⇒b 2m 2-1 y 2-4b 2my +3b 2=0，显然二次项系数b 2m 2-1≠0，其中Δ=-4mb 2 2-4b 2m 2-1 3b 2=4b 4m 2+12b 2>0，y 1+y 2=4b 2m b 2m 2-1①，y 1y 2=3b 2b 2m 2-1②，A 1R =-x 2+1,-y 2 ,A 2P=x 1-1,y 1 ，则A 1R ⋅A 2P=-x 2+1 x 1-1 -y 1y 2=1，因为P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 在直线l 上，则x 1=my 1-2，x 2=my 2-2，即-my 2-3 my 1-3 -y 1y 2=1，即y 1y 2m 2+1 -y 1+y 2 3m +10=0，将①②代入有m 2+1 ⋅3b 2b 2m 2-1-3m ⋅4b 2m b 2m 2-1+10=0，即3b 2m 2+1 -3m ⋅4b 2m +10b 2m 2-1 =0化简得b 2m 2+3b 2-10=0，所以 m 2=10b 2-3, 代入到 b 2m 2-1≠0, 得 b 2=10-3b 2≠1, 所以 b 2≠3,且m 2=10b 2-3≥0，解得b 2≤103，又因为b >0，则0<b 2≤103，综上知，b 2∈0,3 ∪3,103 ，∴b ∈0,3 ∪3,303．【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是采用设线法，为了方便运算可设l :x =my -2，将其与双曲线方程联立得到韦达定理式，再写出相关向量，代入计算，要注意排除联立后的方程得二次项系数不为0.一、单选题1(2024·福建泉州·二模)若椭圆x 2a 2+y 23=1(a >0)的离心率为22，则该椭圆的焦距为()A.3B.6C.26或3D.23或6【答案】D【分析】分焦点在x 轴或y 轴两种情况，求椭圆的离心率，求解参数a ，再求椭圆的焦距.【详解】若椭圆的焦点在x 轴，则离心率e =a 2-3a =22，得a 2=6，此时焦距2c =26-3=23，若椭圆的焦点在y 轴，则离心率e =3-a 23=22，得a 2=32，此时焦距2c =23-32=6，所以该椭圆的焦距为23或6.故选：D2(2024·河北衡水·三模)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)，圆O 1:(x -2)2+y 2=4与圆O 2:x 2+(y -1)2=1的公共弦所在的直线是C 的一条渐近线，则C 的离心率为()A.3B.2C.5D.6【答案】C【详解】因为O 1:(x -2)2+y 2=4，O 2:x 2+(y -1)2=1，所以两圆方程相减可得y =2x ，由题意知C 的一条渐近线为y =2x ，即ba =2，双曲线C 的离心率e =c a =c 2a 2=a 2+b 2a 2=1+b 2a2=5．故选：C ．3(2024·北京·三模)已知双曲线E :3mx 2-my 2=3的一个焦点坐标是0,2 ，则m 的值及E 的离心率分别为()A.-1,233B.-1,2C.1，2D.102,10【答案】A【详解】依题意，双曲线E :3mx 2-my 2=3化为：y 2-3m -x 2-1m=1，则-3m +-1m =22，解得m =-1，双曲线y 23-x 2=1的离心率e =23=233.故选：A4(2024·贵州贵阳·三模)过点A (-3,-4)的直线l 与圆C :(x -3)2+(y -4)2=9相交于不同的两点M ，N ，则线段MN 的中点P 的轨迹是()A.一个半径为10的圆的一部分B.一个焦距为10的椭圆的一部分C.一条过原点的线段D.一个半径为5的圆的一部分【答案】D【详解】设P (x ,y )，根据线段MN 的中点为P ，则CP ⊥MN ，即CP ⊥AP ，所以CP ⋅AP =0，又A (-3,-4),C (3,4),AP =(x +3,y +4),CP =(x -3,y -4)，所以(x +3)(x -3)+(y +4)(y -4)=0，即x 2+y 2=25，所以点P 的轨迹是以(0,0)为圆心，半径为5的圆在圆C 内的一部分，故选：D .5(2024·湖南·模拟预测)已知点A 1,0 ，点B -1,0 ，动点M 满足直线AM ，BM 的斜率之积为4，则动点M 的轨迹方程为()A.x 24-y 2=1B.x 24-y 2=1(x ≠±1)C.x 2-y 24=1D.x 2-y 24=1(x ≠±1)【答案】D【详解】设动点M (x ,y )由于A 1,0 ，B -1,0 ，根据直线AM 与BM 的斜率之积为4．整理得y x +1⋅y x -1=4，化简得：x 2-y 24=1(x ≠±1)．故选：D6(2024·陕西榆林·三模)在平面直角坐标系xOy 中，把到定点F 1-a ,0 ,F 2a ,0 距离之积等于a 2(a >0)的点的轨迹称为双纽线.若a =2，点P x 0,y 0 为双纽线C 上任意一点，则下列结论正确的个数是()①C 关于x 轴不对称②C 关于y 轴对称③直线y =x 与C 只有一个交点④C 上存在点P ，使得PF 1 =PF 2 A.1个 B.2个C.3个D.4个【答案】C【详解】①设M x ,y 到定点F 1-2,0 ,F 22,0 的距离之积为4，可得(x +2)2+y 2.(x -2)2+y 2=4，整理得x 2+y 2 2=8x 2-y 2 ，即曲线C 的方程为x 2+y 2 2=8x 2-y 2 ，由x 用-x 代换，方程没变，可知曲线C 关于y 轴对称，由y 用-y 代换，方程没变，可知曲线C 关于x 轴对称，由x 用-x 代换，y 用-y 同时代换，方程没变，可知曲线C 关于原点对称，图象如图所示：所以①不正确，②正确；③联立方程组x 2+y 2 2=8x 2-y 2y =x，可得x 4=0，即x =0，所以y =0，所以直线y =x 与曲线C 只有一个交点O (0,0)，所以③正确.④原点O 0,0 满足曲线C 的方程，即原点O 在曲线C 上，则OF 1 =OF 2 ，即曲线C 上存在点P 与原点O 重合时，满足PF 1 =PF 2 ，所以④正确.故选:C .7(2024·福建泉州·二模)双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)，左、右顶点分别为A ，B ，O 为坐标原点，如图，已知动直线l 与双曲线C 左、右两支分别交于P ，Q 两点，与其两条渐近线分别交于R ，S 两点，则下列命题正确的是()A.存在直线l ，使得BQ ⎳OSB.当且仅当直线l 平行于x 轴时，|PR |=|SQ |C.存在过(0,b )的直线l ，使得S △ORB 取到最大值D.若直线l 的方程为y =-22(x -a ),BR =3BS ，则双曲线C 的离心率为3【答案】D【详解】解：对于A 项：与渐近线平行的直线不可能与双曲线有两个交点，故A 项错误；对于B 项：设直线l :y =kx +t ，与双曲线联立y =kx +tx 2a2-y 2b2=1，得：b 2-a 2k 2 x 2-2a 2ktx -a 2t 2+a 2b 2 =0，其中b 2-a 2k 2≠0，设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，由根与系数关系得：x 1+x 2=2a 2kt b 2-a 2k 2,x 1x 2=-a 2b 2+a 2t 2b 2-a 2k 2，所以线段PQ 中点N x 1+x 22,y 1+y 22 =a 2kt b 2-a 2k 2,a 2k 2tb 2-a 2k2+t，将直线l :y =kx +t ，与渐近线y =b a x 联立得点S 坐标为S at b -ak ,btb -ak，将直线l :y =kx +t 与渐近线y =-b a x 联立得点R 坐标为R -at b +ak ,btb +ak ，所以线段RS 中点M a 2kt b 2-a 2k 2,a 2k 2tb 2-a 2k2+t，所以线段PQ 与线段RS 的中点重合．所以，对任意的直线l ，都有|PR |=|PQ |-|RS |2=|SQ |，故B 项不正确；对于C 项：因为|OB |为定值，当k 越来越接近渐近线y =-b a x 的斜率-ba 时，S △ORB 趋向于无穷，所以S △ORB 会趋向于无穷，不可能有最大值，故C 项错误；对于D 项：联立直线l 与渐近线y =bax ，解得Sa 22b +a ,ab2b +a，联立直线l 与渐近线y =-b a x ，解得R a 2-2b +a ,ab2b -a由题可知，BR =3BS ，3y S =y R +2y B ,3ab2b +a =ab2b -a ，解得b =2a ，所以e =1+b 2a2=1+(2a )2a 2=3，故D 项正确．故选：D ．【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：①定义法：通过已知条件列出方程组，求得a ,c 得值，根据离心率的定义求解离心率e ；②齐次式法：由已知条件得出关于a ,c 的二元齐次方程，然后转化为关于e 的一元二次方程求解；③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.8(2024·河南·二模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左，右焦点分别为F 1,F 2,O 为坐标原点，焦距为82，点P 在双曲线C 上，OP =OF 2 ，且△POF 2的面积为8，则双曲线的离心率为()A.2B.22C.2D.4【答案】C【详解】因为△POF 2的面积为8，所以△PF 1F 2的面积为16.又OP =OF 2 ，所以OP =OF 2 =OF 1 =12F 1F 2，所以△PF 1F 2为直角三角形，且PF 1⊥PF 2.设PF 1 =m ，PF 2 =n ，所以m -n =2a ,m 2+n 2=4c 2，所以mn =m 2+n 2 -(m -n )22=4c 2-4a 22=2b 2，所以S △PF 1F 2=12mn =b 2=16，又b >0，所以b =4.焦距为2c =82，所以c =42，则a 2=c 2-b 2=(42)2-16=16，所以a =4，则离心率e =424=2.故选：C .9(2024·重庆·三模)已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，点A 在第一象限，点O 为坐标原点，且S △AOF =2S △BOF ，则直线l 的斜率为()A.22B.3C.1D.-1【答案】A 【详解】如图：设直线倾斜角为α，抛物线的准线l ：x =-1作AM ⊥l 于M ，根据抛物线的定义，AM =AF =DF +AF ⋅cos α=2+AF ⋅cos α，所以|AF |=21-cos α，类似的|BF |=21+cos α.由S △AOF =2S △BOF 知|AF |=2|BF |，得cos α=13，故k =tan α=22.故选：A10(2024·黑龙江齐齐哈尔·三模)设F 为抛物线C :y =ax 2的焦点，若点P (1,2)在C 上，则|PF |=()A.3B.52C.94D.178【答案】D【详解】依题意，2=a ×12，解得a =2，所以C :x 2=y 2的准线为y =-18，所以|PF |=2+18=178，故选:D ．11(2024·山东泰安·二模)设抛物线x 2=4y 的焦点为F ，过抛物线上点P 作准线的垂线，设垂足为Q ，若∠PQF =30°，则PQ =()A.43B.433C.3D.233【答案】A【详解】如图所示：设 M 为准线与x 轴的交点，因为∠PQF =30°，且PF =PQ ，所以∠PFQ =30°,∠QPF =120°，因为FM ⎳PQ ，所以∠QFM =30°，而在Rt△QMF中，QF=FMcos30°=232=433，所以PF=PQ=QF2÷cos30°=233÷32=43.故选：A.二、多选题12(2024·江西·模拟预测)已知A-2,0，B2,0，C1,0，动点M满足MA与MB的斜率之积为-3 4，动点M的轨迹记为Γ，过点C的直线交Γ于P，Q两点，且P，Q的中点为R，则()A.M的轨迹方程为x24+y23=1B.MC的最小值为1C.若O为坐标原点，则△OPQ面积的最大值为32D.若线段PQ的垂直平分线交x轴于点D，则R点的横坐标是D点的横坐标的4倍【答案】BCD【详解】对于选项A，设M x,y，因为A-2,0，B2,0，所以k MA⋅k MB=yx+2⋅yx-2=-34，化简得x24+y23=1x≠±2，故A错误；对于选项B，因为x24+y23=1x≠±2，则a=2，b=3，则c=a2-b2=1，所以C1,0为椭圆的右焦点，则MCmin=a-c=2-1=1，故B正确；对于选项C，设PQ的方程 x=my+1，代入椭圆方程，得3m2+4y2+6my-9=0，设P x1,y1,Q x2,y2，则y1+y2=-6m3m2+4,y1y2=-93m2+4，Δ=36m2+363m2+4>0，所以S△OPQ=12OCy1-y2=12y1+y22-4y1y2=12-6m3m2+42+363m2+4=6m2+13m2+4，令m2+1=t≥1，则S△OPQ=6t3t2+1=63t+1t，令g t =3t+1tt≥1，则S△OPQ=6g t，t≥1,g t =3-1t2=3t2-1t2>0，g t 在1,+∞为增函数，g t ≥g1 =4，g t min=4，所以S△OPQmax=64=32，当且仅当t=1时即m=0等号成立，故C正确；对于选项D，因为Rx1+x22,y1+y22，x1+x22=m y1+y22+1=-3m23m2+4+1=43m2+4，y1+y22=-3m3m2+4，所以R43m2+4,-3m3m2+4，则x R=43m2+4，设D x D ,0 ，则k PQ ⋅k RD =1m ⋅3m3m 2+4x D -43m 2+4=-1，则x D =13m 2+4，所以x R x D=43m 2+413m 2+4=4，则R 点的横坐标是D 点的横坐标的4倍，故D 正确.故选：BCD .【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两个：一是利用面积公式得出面积表达式，结合导数得出最值；二是根据垂直平分得出点之间的关系.13(2024·江苏常州·二模)双曲线具有光学性质：从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．如图，双曲线E :x 24-y 26=1的左、右焦点分别为F 1,F 2，从F 2发出的两条光线经过E 的右支上的A ,B 两点反射后，分别经过点C 和D ，其中AF 2 ,BF 2共线，则()A.若直线AB 的斜率k 存在，则k 的取值范围为-∞,-62 ∪62,+∞ B.当点C 的坐标为210,10 时，光线由F 2经过点A 到达点C 所经过的路程为6C.当AB ⋅AD =AB 2时，△BF 1F 2的面积为12D.当AB ⋅AD =AB 2时，cos ∠F 1F 2A =-1010【答案】ABD【详解】如图所示，过点F 2分别作E 的两条渐近线的平行线l 1,l 2，则l 1,l 2的斜率分别为62和-62，对于A 中，由图可知，当点A ,B 均在E 的右支时，k <-62或k >62，所以A 正确；对于B 中，光线由F 2经过点A 到达点C 所经过的路程为F 2A +AC =F 1A -2a +AC =F 1C -2a =(210+10)2+(10-0)2-4=6，所以B 正确；对于C 中，由AB ⋅AD =AB 2，得AB ⋅AD -AB =0，即AB ⋅BD=0，所以AB ⊥BD ，设BF 1 =n ，则BF 2 =n -2a =n -4，因为∠ABD =π2，所以n 2+(n -4)2=(2c )2=40，整理得n 2-4n -12=0，解得n =6或n =-2(舍去)，所以BF 1 =6，BF 2 =2，所以△BF 1F 2的面积S =12BF 1 ⋅BF 2 =6，所以C 错误；对于D 项，在直角△F 1BF 2中，cos ∠F 1F 2B =BF 2 F 1F 2=2210=1010，所以cos ∠F 1F 2A =-cos ∠F 1F 2B =-1010，所以D 正确．故选：ABD ．14(2024·重庆·三模)已知双曲线C :x 2a 2-y 216=1(a >0)的左，右焦点分别为F 1,F 2,P 为双曲线C 上点，且△PF 1F 2的内切圆圆心为I (3,1)，则下列说法正确的是()A.a =3B.直线PF 1的斜率为14C.△PF 1F z 的周长为643D.△PF 1F 2的外接圆半径为6512【答案】ACD【详解】如图1，由条件，点P 应在双曲线C 的右支上，设圆I 分别与△PF 1F 2的三边切于点M ､N ､A ，则由题A 3,0 ，且PM =PN ,F 1M =F 1A ，F 2N =F 2A ，又∵PF 1 -PF 2 =F 1M -F 2N =AF 1 -F 2A =x A +c -c -x A =2x A =2a ∴a =x A =3，A 选项正确；由选项A 得F 1-5,0 ,F 25,0 ，连接IF 1、IF 2、IA ，则tan ∠IF 1A =IA AF 1=18，所以k PF 1=tan ∠PF 1A =tan2∠IF 1A =2tan ∠IF 1A 1-tan 2∠IF 1A=1663，B 选项错误；同理，tan ∠PF 2A =tan2∠IF 2A =43，∴tan ∠F 1PF 2=-tan ∠PF 1A +∠PF 2A =-125，∴⇒tan∠F 1PF 22=32，所以由焦三角面积公式得S △F 1PF 2=b 2tan∠F 1PF 22=323，又S △F 1PF 2=PF 1+PF 2+F 1F 2 r2，故得PF 1 +PF 2 +F 1F 2 =643，∴△PF 1F 2的周长为643，C 选项正确；由tan ∠F 1PF 2=-125⇒sin ∠F 1PF 2=1213，由正弦定理F 1F 2sin ∠F 1PF 2=2R 得R =6512，D 选项正确.故选：ACD .【点睛】关键点睛：求直线PF 1的斜率、△PF 1F z 的周长、△PF 1F 2的外接圆半径的关键是根据已知条件F 1A 、F 2A 、IA 以及与各个所需量的关系即可求出∠PF 1A =2∠IF 1A 、∠PF 2A =2∠IF 2A 和∠F 2PF 1.15(2024·湖北襄阳·二模)抛物线C :x 2=2py 的焦点为F ，P 为其上一动点，当P 运动到(t ,1)时，|PF |=2，直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，下列结论正确的是()A.抛物线的方程为：x 2=8yB.抛物线的准线方程为：y =-1。
双曲线渐近线有关的经典好题
双曲线渐近线类常考题目汇编知识架构：（1）渐近线方程：焦点在x 轴上x b a y y x a b y ±=±=轴上焦点在, （2）焦点到渐近线距离为b（3）有关∆Rt（4）渐近线倾斜角cb ec a a b ====ααααsin ,1cos ,tan ， （5）轴y x ,可看成两条渐近线的角平分线，可以运用角平分线定理。
例1（2017全国卷）已知双曲线C ：()，的右顶点为A b a by a x 0,012222>>=-以A 为圆心，两点的一条渐近线交于与双曲线，圆为半径作圆N M C A A b ,若060=∠MAN 则C 的离心率为 。
例2（2018全国卷）已知双曲线为坐标原点，O y x C ,13:22=-F 为C 的右焦点，过F 的直线与为直角三角形，若别为的两条渐近线的交点分OMN N M C ∆,，则=MN （ ）23.A 3.BC .32 4.D 例3（2019全国卷）已知双曲线()的左，右0,01:2222>>=-b a by a x C 焦点分别为21,F F 过两点，的两条渐近线分别交于的直线与B A C F ,1若,0,211=⋅=B F B F AB A F 则C 的离心率为 。
例4，已知()0,012222>>=-b a by a x C F ：是双曲线的右焦点，过点C F 向的一条渐近线 引垂线，垂足为AF A ,延长线交于点B ,若AF FB 2=,则双曲线C 的离心率是 。
例5（2008全国卷）双曲线的中心为,,21l l x O 为轴上，两条渐近线分别，焦点在经过右焦点两点，于的直线分别交垂直于B A l l l F ,,211已知成等差数列，OB AB OA ,,且BF 与FA 同向，求双曲线的离心率 。
巩固训练：1，（南京一模第7题）设()0,01,222221>>=-b a by a x F F 分别为双曲线的左，右焦点，圆1F 与双曲线的渐近线相切，过相切的直线与双曲线的与圆12F F 一条渐近线垂直，则双曲线的两条渐近线所成的锐角α的正切值为（ ）.A 158 B . 3 .C 34 .D 1 2. 已知双曲线()为双曲线上一点的左焦点为p F b a by a x C ,0,01:12222>>=-，与1PF 双曲线其中的渐近线平行，且,1PF PO C =o 为坐标原点，则双曲线=e C 的离心率2，已知双曲线()F b a by a x C 的左焦点为0,01:2222>>=-，过点的作双曲线C F 一条渐近线的垂线，垂足H ,垂线l 与双曲线的另一渐近线相交于点为O P ,坐标原点，若POF ∆ 为等腰三角形，则双曲线的离心率为。
三角函数--2024年数学高考真题和模拟好题分类汇编(解析版)
专题三角函数1(新课标全国Ⅰ卷)已知cos(α+β)=m,tanαtanβ=2，则cos(α-β)=()A.-3mB.-m3C.m3D.3m【答案】A【分析】根据两角和的余弦可求cosαcosβ,sinαsinβ的关系，结合tanαtanβ的值可求前者，故可求cosα-β的值.【详解】因为cosα+β=m，所以cosαcosβ-sinαsinβ=m，而tanαtanβ=2，所以=12×2b×kb×sin A2+12×kb×b×sin A2，故cosαcosβ-2cosαcosβ=m即cosαcosβ=-m，从而sinαsinβ=-2m，故cosα-β=-3m，故选：A.2(新课标全国Ⅰ卷)当x∈[0,2π]时，曲线y=sin x与y=2sin3x-π6的交点个数为() A.3 B.4 C.6 D.8【答案】C【分析】画出两函数在0,2π上的图象，根据图象即可求解【详解】因为函数y=sin x的的最小正周期为T=2π，函数y=2sin3x-π6的最小正周期为T=2π3，所以在x∈0,2π上函数y=2sin3x-π6有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：由图可知，两函数图象有6个交点.故选：C3(新课标全国Ⅱ卷)设函数f(x)=a(x+1)2-1，g(x)=cos x+2ax，当x∈(-1,1)时，曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一个交点，则a=()A.-1B.12C.1D.2【分析】解法一：令F x =ax 2+a -1,G x =cos x ，分析可知曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y 轴上，即可得a =2，并代入检验即可；解法二：令h x =f (x )-g x ,x ∈-1,1 ，可知h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知h x 的零点只能为0，即可得a =2，并代入检验即可.【详解】解法一：令f (x )=g x ，即a (x +1)2-1=cos x +2ax ，可得ax 2+a -1=cos x ，令F x =ax 2+a -1,G x =cos x ，原题意等价于当x ∈(-1,1)时，曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，注意到F x ,G x 均为偶函数，可知该交点只能在y 轴上，可得F 0 =G 0 ，即a -1=1，解得a =2，若a =2，令F x =G x ，可得2x 2+1-cos x =0因为x ∈-1,1 ，则2x 2≥0,1-cos x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，可得2x 2+1-cos x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，则方程2x 2+1-cos x =0有且仅有一个实根0，即曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，所以a =2符合题意；综上所述：a =2.解法二：令h x =f (x )-g x =ax 2+a -1-cos x ,x ∈-1,1 ，原题意等价于h x 有且仅有一个零点，因为h -x =a -x 2+a -1-cos -x =ax 2+a -1-cos x =h x ，则h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知h x 的零点只能为0，即h 0 =a -2=0，解得a =2，若a =2，则h x =2x 2+1-cos x ,x ∈-1,1 ，又因为2x 2≥0,1-cos x ≥0当且仅当x =0时，等号成立，可得h x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，即h x 有且仅有一个零点0，所以a =2符合题意；故选：D .4(全国甲卷数学(理)(文))已知cos αcos α-sin α=3，则tan α+π4=()A.23+1 B.23-1C.32D.1-3【答案】B【分析】先将cos αcos α-sin α弦化切求得tan α，再根据两角和的正切公式即可求解.【详解】因为cos αcos α-sin α=3，所以11-tan α=3，⇒tan α=1-33，所以tan α+π4 =tan α+11-tan α=23-1，故选：B .5(新高考北京卷)已知f x =sin ωx ω>0 ，f x 1 =-1，f x 2 =1，|x 1-x 2|min =π2，则ω=()A.1B.2C.3D.4【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解.【详解】由题意可知：x 1为f x 的最小值点，x 2为f x 的最大值点，则x 1-x 2 min =T 2=π2，即T =π，且ω>0，所以ω=2πT=2.故选：B .6(新高考天津卷)已知函数f x =sin3ωx +π3 ω>0 的最小正周期为π．则函数在-π12,π6 的最小值是()A.-32B.-32C.0D.32【答案】A【分析】先由诱导公式化简，结合周期公式求出ω，得f x =-sin2x ，再整体求出x ∈-π12,π6时，2x 的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解.【详解】f x =sin3ωx +π3 =sin 3ωx +π =-sin3ωx ，由T =2π3ω=π得ω=23，即f x =-sin2x ，当x ∈-π12,π6 时，2x ∈-π6,π3，画出f x =-sin2x 图象，如下图，由图可知，f x =-sin2x 在-π12,π6上递减，所以，当x =π6时，f x min =-sin π3=-32故选：A7(新高考上海卷)下列函数f x 的最小正周期是2π的是()A.sin x +cos xB.sin x cos xC.sin 2x +cos 2xD.sin 2x -cos 2x【答案】A【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可 .【详解】对A ，sin x +cos x =2sin x +π4，周期T =2π，故A 正确；对B ，sin x cos x =12sin2x ，周期T =2π2=π，故B 错误；对于选项C ，sin 2x +cos 2x =1，是常值函数，不存在最小正周期，故C 错误；对于选项D ，sin 2x -cos 2x =-cos2x ，周期T =2π2=π，故D 错误，故选：A ．8(新课标全国Ⅱ卷)对于函数f(x)=sin2x和g(x)=sin2x-π4，下列说法正确的有() A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)与g(x)有相同的最大值C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期D.f(x)与g(x)的图像有相同的对称轴【答案】BC【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.【详解】A选项，令f(x)=sin2x=0，解得x=kπ2,k∈Z，即为f(x)零点，令g(x)=sin2x-π4=0，解得x=kπ2+π8,k∈Z，即为g(x)零点，显然f(x),g(x)零点不同，A选项错误；B选项，显然f(x)max=g(x)max=1，B选项正确；C选项，根据周期公式，f(x),g(x)的周期均为2π2=π，C选项正确；D选项，根据正弦函数的性质f(x)的对称轴满足2x=kπ+π2⇔x=kπ2+π4,k∈Z，g(x)的对称轴满足2x-π4=kπ+π2⇔x=kπ2+3π8,k∈Z，显然f(x),g(x)图像的对称轴不同，D选项错误.故选：BC9(新课标全国Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tanα+tanβ=4，tanαtanβ=2+1，则sin(α+β)=.【答案】-22 3【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得tanα+β=-22，再缩小α+β的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.【详解】法一：由题意得tanα+β=tanα+tanβ1-tanαtanβ=41-2+1=-22，因为α∈2kπ,2kπ+π2,β∈2mπ+π,2mπ+3π2，k,m∈Z，则α+β∈2m+2kπ+π,2m+2kπ+2π，k,m∈Z，又因为tanα+β=-22<0，则α+β∈2m+2kπ+3π2,2m+2kπ+2π，k,m∈Z，则sinα+β<0，则sinα+βcosα+β=-22，联立sin2α+β+cos2α+β=1，解得sinα+β=-223.法二：因为α为第一象限角，β为第三象限角，则cosα>0,cosβ<0,cosα=cosαsin2α+cos2α=11+tan2α，cosβ=cosβsin2β+cos2β=-11+tan2β，则sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=cosαcosβ(tanα+tanβ)=4cosαcosβ=-41+tan2α1+tan2β=-4(tanα+tanβ)2+(tanαtanβ-1)2=-442+2=-223故答案为：-22 3.10(全国甲卷数学(文))函数f x =sin x-3cos x在0,π上的最大值是．【答案】2【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.【详解】f x =sin x -3cos x =2sin x -π3 ，当x ∈0,π 时，x -π3∈-π3,2π3，当x -π3=π2时，即x =5π6时，f x max =2.故答案为：2一、单选题1(2024·宁夏石嘴山·三模)在平面直角坐标系中，角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P 1,2 ，则7cos 2θ-2sin2θ=()A.-15B.15C.-2D.2【答案】A【分析】由题意可知：tan θ=2，根据倍角公式结合齐次化问题分析求解.【详解】由题意可知：tan θ=2，所以7cos 2θ-2sin2θ=7cos 2θ-4sin θcos θsin 2θ+cos 2θ=7-4tan θtan 2θ+1=7-4×222+1=-15.故选：A .2(2024·广东茂名·一模)已知cos α+π =-2sin α，则sin 2α-3cos α+π2cos αcos2α+1=()A.-1B.-25C.45D.78【答案】D【分析】根据给定条件，求出tan α，再结合诱导公式及二倍角的余弦公式，利用正余弦齐次式法计算得解.【详解】由cos α+π =-2sin α，得cos α=2sin α，则tan α=12，所以sin 2α-3cos α+π2 cos αcos2α+1=sin 2α+3sin αcos α2cos 2α=12tan 2α+32tan α=18+34=78.故选：D3(2024·河北保定·二模)函数f (x )=1-e x1+e xcos2x 的部分图象大致为()A. B.C. D.【答案】A【分析】根据函数的奇偶性判断即可.【详解】设g x =1-e x1+e x，则g-x=1-e-x1+e-x=e x-11+e x=-g x ，所以g x 为奇函数，设h x =cos2x，可知h x 为偶函数，所以f x =1-e x1+e xcos2x为奇函数，则B，C错误，易知f0 =0，所以A正确，D错误．故选：A.4(2024·山东济宁·三模)已知函数f(x)=(3sin x+cos x)cos x-12，若f(x)在区间-π4,m上的值域为-3 2,1，则实数m的取值范围是()A.π6,π2B.π6,π2C.π6,7π12D.π6,7π12【答案】D【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数f(x)，再借助正弦函数的图象与性质求解即得.【详解】依题意，函数f(x)=3sin x cos x+cos2x-12=32sin2x+12cos2x=sin2x+π6，当x∈-π4,m时，2x+π6∈-π3,2m+π6，显然sin-π3=sin4π3=-32,sinπ2=1，且正弦函数y=sin x在π2,4π3上单调递减，由f(x)在区间-π4,m上的值域为-32,1，得π2≤2m+π6≤4π3，解得π6≤m≤7π12，所以实数m的取值范围是π6,7π12.故选：D5(2024·江西景德镇·三模)函数f x =cosωx x∈R在0,π内恰有两个对称中心，fπ=1，将函数f x 的图象向右平移π3个单位得到函数g x 的图象.若fα +gα =35，则cos4α+π3=()A.725B.1625C.-925D.-1925【答案】A【分析】根据y轴右边第二个对称中心在0,π内，第三个对称中心不在0,π内可求得32≤ω<52，结合fπ=1可得ω=2，再利用平移变换求出g x ，根据三角变换化简fα +gα =35可得sin2α+π6=35，然后由二倍角公式可解.【详解】由x∈0,π得ωx∈0,ωπ，因为函数f x 在0,π内恰有两个对称中心，所以3π2≤ωπ5π2>ωπ，解得32≤ω<52，又fπ=cosωπ=1，所以ωπ=kπ,k∈Z，即ω=k,k∈Z，所以ω=2，将函数f x 的图象向右平移π3个单位得到函数y=cos2x-π3=cos2x-2π3，即g x =cos2x-2π3，因为fα +gα =cos2α+cos2α-2π3=32sin2α+12cos2α=sin2α+π6=35，所以cos4α+π3=1-2sin22α+π6=1-2×35 2=725.故选：A6(2024·安徽马鞍山·三模)已知函数f(x)=sin2ωx+cos2ωx(ω>1)的一个零点是π2，且f(x)在-π6,π16上单调，则ω=()A.54B.74C.94D.114【答案】B【分析】整理可得f(x)=2sin2ωx+π4，以2ωx+π4为整体，根据单调性分析可得1<ω≤2，再结合零点分析求解.【详解】因为f(x)=sin2ωx+cos2ωx=2sin2ωx+π4，x∈-π6,π16，且ω>1时，可得2ωx+π4∈-π3ω+π4,π8ω+π4，且-π3ω+π4<0<π8ω+π4，若f(x)在-π6,π16上单调，则-π3ω+π4≥-π2π8ω+π4≤π2，解得1<ω≤2，又因为f(x)的一个零点是π2，则πω+π4=kπ,k∈Z，解得ω=k-14,k∈Z，所以k=2,ω=7 4 .故选：B.7(2024·山东临沂·二模)已知函数f x =sin2x+φϕ <π2图象的一个对称中心为π6,0，则()A.f x 在区间-π8,π3上单调递增B.x=5π6是f x 图象的一条对称轴C.f x 在-π6,π4上的值域为-1,32D.将f x 图象上的所有点向左平移5π12个长度单位后，得到的函数图象关于y轴对称【答案】D【分析】借助整体代入法结合正弦函数的性质可得A、B；结合正弦函数最值可得C；得到平移后的函数解析式后借助诱导公式即可得D.【详解】由题意可得2×π6+φ=kπk∈Z，解得φ=-π3+kπk∈Z，又ϕ <π2，故φ=-π3，即f x =sin2x-π3；对A：当x∈-π8 ,π3时，2x-π3∈-7π12,π3，由函数y=sin x在-7π12,π3上不为单调递增，故f x 在区间-π8 ,π3上不为单调递增，故A错误；对B：当x=5π6时，2x-π3=4π3，由x=4π3不是函数y=sin x的对称轴，故x=5π6不是f x 图象的对称轴，故B错误；对C：当x∈-π6 ,π4时，2x-π3∈-2π3,π6，则f x ∈-1,1 2，故C错误；对D：将f x 图象上的所有点向左平移5π12个长度单位后，可得y=sin2x+2×5π12-π3=sin2x+π2=cos2x，该函数关于y轴对称，故D正确.故选：D.8(2024·广东广州·二模)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示，若将函数f(x)的图象向右平移θ(θ>0)个单位后所得曲线关于y轴对称，则θ的最小值为()A.π8B.π4C.3π8D.π2【答案】A【分析】根据给定的图象特征，结合五点法作图列式求出ω和φ，再根据图象的平移变换，以及图象的对称性即可得解.【详解】由fπ4=1，得sinπ4ω+φ=22，又点π4,1及附近点从左到右是上升的，则π4ω+φ=π4+2kπ,k∈Z，由f5π8=0，点5π8,0及附近点从左到右是下降的，且上升、下降的两段图象相邻，得5π8ω+φ=π+2kπ,k∈Z，联立解得ω=2，φ=-π4+2kπ,k∈Z，而|φ|<π2，于是φ=-π4，f(x)=2sin2x-π4，若将函数f(x)的图像向右平移θ(θ>0)个单位后，得到y=sin2x-2θ-π4，则-2θ-π4=π2-kπ,k∈Z，而θ>0，因此θ=-3π8+kπ2,k∈N，所以当k=1时，θ取得最小值为π8 .故选：A9(2024·四川雅安·三模)已知函数f x =sin ωx +3cos ωx (ω>0)，则下列说法中正确的个数是()①当ω=2时，函数y =f x -2log πx 有且只有一个零点；②当ω=2时，函数y =f x +φ 为奇函数，则正数φ的最小值为π3；③若函数y =f x 在0,π3 上单调递增，则ω的最小值为12；④若函数y =f x 在0,π 上恰有两个极值点，则ω的取值范围为136,256.A.1 B.2C.3D.4【答案】B【分析】利用辅助角公式化简函数，由图象分析判断①；由正弦函数的性质判断②③；由极大值的意义结合正弦函数的性质判断④.【详解】依题意，ω>0，函数f (x )=212sin ωx +32cos ωx =2sin ωx +π3，对于①：f (x )=2sin 2x +π3，令y =f x -2log πx =0，即f x =2log πx ，作出函数y =f (x )和函数y =2log πx 的图象，如图，观察图象知，两个函数在0,7π12 上只有一个零点，f 13π12 =2sin 5π2=2，当x =13π12时，y =2log π13π12=2log π1312+2log ππ=2+2log π1312>2，当x >13π12时，2log πx >2≥f (x )，因此函数y =f x 与函数y =2log πx 的图象有且只有一个交点，①正确；对于②：f (x +φ)=2sin 2x +2φ+π3 为奇函数，则2φ+π3=k π,k ∈Z ，φ=-π6+k π2,k ∈Z ，即正数φ的最小值为π3，②正确；对于③：当x ∈0,π3 时，ωx +π3∈π3,π(ω+1)3，由y =f x 在0,π3 上单调递增，得π(ω+1)3≤π2ω>0，解得0<ω≤12，正数ω有最大值12，③错误；对于④：当x ∈(0,π)时，ωx +π3∈π3,ωπ+π3，而y =f x 在(0,π)上恰有两个极值点，由正弦函数的性质得3π2<ωπ+π3≤5π2，解得76<ω≤136，因此ω的取值范围是76,136，④错误.综上，共2个正确，故选：B .10(2024·河北保定·二模)已知tan α=3cos αsin α+11，则cos2α=()A.-78B.78C.79D.-79【答案】B【分析】利用切化弦和同角三角函数的关系，解出sin α，再结合二倍角公式即可求解.【详解】因为sin αcos α=3cos αsin α+11，所以4sin 2α+11sin α-3=0，解得sin α=14或sin α=-3(舍去)，所以cos2α=1-2sin 2α=78．故选：B .11(2024·河北衡水·三模)已知sin (3α-β)=m sin (α-β)，tan (2α-β)=n tan α，则m ，n 的关系为()A.m =2nB.n =m +1mC.n =m m -1D.n =m +1m -1【答案】D【分析】利用和差角的正弦公式化简，结合已知列出方程即可求解.【详解】依题意，sin (3α-β)=sin [(2α-β)+α]=sin (2α-β)cos α+cos (2α-β)sin α，sin (α-β)=sin [(2α-β)-α]=sin (2α-β)cos α-cos (2α-β)sin α，则sin (2α-β)cos α+cos (2α-β)sin α=m sin (2α-β)cos α-m cos (2α-β)sin α，即sin (2α-β)cos αcos (2α-β)sin α=m +1m -1，即tan (2α-β)tan α=m +1m -1=n .故选：D12(2024·辽宁沈阳·三模)已知tan α2=2，则sin 2α2+sin α的值是()A.25B.45C.65D.85【答案】D【分析】利用二倍角公式和同角之间的转化，进行求解判断选项【详解】当tan α2=2，则sin 2α2+sin α=sin 2α2+2sin α2cos α2sin 2α2+cos 2α2=tan 2α2+2tan α2tan 2α2+1=22+2×222+1=85故选：D13(2024·贵州黔东南·二模)已知0<α<β<π，且sin α+β =2cos α+β ，sin αsin β-3cos αcos β=0，则tan α-β =()A.-1 B.-32C.-12D.12【答案】C【分析】找出tan α和tan β的关系，求出tan α和tan β即可求解.【详解】∵sin αsin β-3cos αcos β=0，∴sin αsin β=3cos αcos β，∴tan αtan β=3①，∵sin α+β =2cos α+β ，∴tan α+β =2⇒tan α+tan β1-tan αtan β=2⇒tan α+tan β1-3=2，∴tan α+tan β=-4②，由①②解得tan α=-1tan β=-3或tan α=-3tan β=-1 ，∵0<α<β<π，∴tan α<tan β，∴tan α=-3tan β=-1 ，∴tan α-β =tan α-tan β1+tan αtan β=-12.故选：C .二、多选题14(2024·河北张家口·三模)已知函数f (x )=23cos 2x +2sin x cos x ，则下列说法正确的是()A.函数f (x )的一个周期为2πB.函数f (x )的图象关于点π3,0 对称C.将函数f (x )的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g (x )的图象，若函数g (x )为偶函数，则φ的最小值为5π12D.若f 12α-5π24 -3=12，其中α为锐角，则sin α-cos α的值为6-308【答案】ACD【分析】利用三角恒等变换公式化简，由周期公式可判断A ；代入验证可判断B ；根据平移变化求g (x )，由奇偶性可求出φ，可判断C ；根据已知化简可得sin α-π12 =14，将目标式化为2sin α-π12 -π6 ，由和差角公式求解可判断D .【详解】对于A ，因为f (x )=31+cos2x +sin2x =2sin 2x +π3+3，所以f (x )的最小值周期T =2π2=π，所以2π是函数f (x )的一个周期，A 正确；对于B ，因为f π3 =2sin 2×π3+π3 +3=3，所以，点π3,0 不是函数f (x )的对称中心，B 错误；对于C ，由题知，g x =f (x -φ)=2sin 2(x -φ)+π3 +3=2sin 2x +π3-2φ +3，若函数g (x )为偶函数，则π3-2φ=π2+k π,k ∈Z ，得φ=-π12-k π2,k ∈Z ，因为φ>0，所以φ的最小值为5π12，C 正确；对于D ，若f 12α-5π24-3=2sin 212α-5π24 +π3 =2sin α-π12 =12，则sin α-π12 =14，因为α为锐角，-π12<α-π12<5π12，所以cos α-π12 =154，所以sin α-cos α=2sin α-π4 =2sin α-π12 -π6=232sin α-π12 -12cos α-π12=232×14-12×154=6-308，D 正确.故选：ACD 15(2024·辽宁鞍山·模拟预测)已知函数f x =sin x ⋅cos x ，则()A.f x 是奇函数B.f x 的最小正周期为2πC.f x 的最小值为-12D.f x 在0,π2上单调递增【答案】AC【分析】首先化简函数f x =12sin2x ，再根据函数的性质判断各选项.【详解】f x =sin x ⋅cos x =12sin2x ，函数的定义域为R ，对A ，f -x =-12sin2x =-f x ，所以函数f x 是奇函数，故A 正确；对B ，函数f x 的最小正周期为2π2=π，故B 错误；对C ，函数f x 的最小值为-12，故C 正确；对D ，x ∈0,π2 ，2x ∈0,π ，函数f x 不单调，f x 在0,π4 上单调递增，在π4,π2上单调递减，故D 错误.故选：AC16(2024·安徽·三模)已知函数f x =sin x -3cos x ，则()A.f x 是偶函数B.f x 的最小正周期是πC.f x 的值域为-3,2D.f x 在-π,-π2上单调递增【答案】AC【分析】对于A ，直接用偶函数的定义即可验证；对于B ，直接说明f 0 ≠f π 即可否定；对于C ，先证明-3≤f x ≤2，再说明对-3≤u ≤2总有f x =u 有解即可验证；对于D ，直接说明f -5π6>f -2π3 即可否定.【详解】对于A ，由于f x 的定义域为R ，且f -x =sin -x -3cos -x =-sin x -3cos x =sin x -3cos x =f x ，故f x 是偶函数，A 正确；对于B ，由于f 0 =sin0 -3cos0=-3，f π =sinπ -3cosπ=3，故f 0 ≠f π ，这说明π不是f x 的周期，B 错误；对于C ，由于f x =sin x -3cos x ≤sin x +3cos x =sin x +3cos x 2≤sin x +3cos x 2+3sin x -cos x 2=sin 2x +3cos 2x +23sin x cos x +3sin 2x +cos 2x -23sin x cos x =4sin 2x +4cos 2x =4=2，且f x =sin x -3cos x ≥-3cos x ≥-3，故-3≤f x ≤2.而对-3≤u ≤2，有f 0 =-3≤u ，f 5π6 =2≥u ，故由零点存在定理知一定存在x ∈0,5π6使得f x =u .所以f x 的值域为-3,2 ，C 正确；对于D ，由于-π<-5π6<-2π3<-π2，f -5π6 =2>3=f -2π3 ，故f x 在-π,-π2上并不是单调递增的，D 错误.故选：AC .17(2024·山西太原·模拟预测)已知函数f x =sin 2x +φ 0<φ<π2 的图象关于直线x =π12对称，且h x =sin2x -f x ，则()A.φ=π12B.h x 的图象关于点π6,0中心对称C.f x 与h x 的图象关于直线x =π4对称 D.h x 在区间π6,5π12内单调递增【答案】BCD【分析】根据正弦函数的对称性求解φ判断A ，先求出h x =sin 2x -π3，然后利用正弦函数的对称性求解判断B ，根据对称函数的性质判断C ，结合正弦函数的单调性代入验证判断D .【详解】由题意得2×π12+φ=π2+k π，k ∈Z ，解得φ=π3+k π，k ∈Z ，又因为0<φ<π2，所以φ=π3，A 错误；由φ=π3可知f x =sin 2x +π3，则h x =sin2x -sin 2x +π3 =12sin2x -32cos2x =sin 2x -π3，令2x -π3=k π，k ∈Z ，解得x =π6+k π2，k ∈Z ，令k =0，得x =π6，所以点π6,0 是曲线y =h x 的对称中心，B 正确；因为f π2-x =sin 2π2-x +π3 =sin 4π3-2x =sin 2x -π3=h x ，所以f x 与h x 的图象关于直线x =π4对称，C 正确；当x ∈π6,5π12 时，2x -π3∈0,π2 ，故h x 在区间π6,5π12内单调递增，D 正确.故选：BCD 18(2024·浙江金华·三模)已知函数f x =sin2ωx cos φ+cos2ωx sin φω>0,0<φ<π2的部分图象如图所示，则()A.φ=π6B.ω=2C.f x +π6为偶函数 D.f x 在区间0,π2的最小值为-12【答案】ACD【分析】先由正弦展开式，五点法结合图象求出f x =sin 2x +π6，可得A 正确，B 错误；由诱导公式可得C 正确；整体代入由正弦函数的值域可得D 正确.【详解】由题意得f x =sin 2ω+φ ，由图象可得f 0 =12⇒sin φ=12，又0<φ<π2，所以φ=π6，由五点法可得ω×4π3+π6=3π2⇒ω=1，所以f x =sin 2x +π6 .A ：由以上解析可得φ=π6，故A 正确；B ：由以上解析可得ω=1，故B 错误；C ：f x +π6 =sin 2x +π6 +π6=cos2x ，故C 正确；D ：当x ∈0,π2 ⇒2x +π6∈π6,7π6 时，sin 2x +π6 ∈-12,1，所以最小值为-12，故D 正确；故选：ACD .19(2024·浙江温州·二模)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，P -3,4 为其终边上一点，若角β的终边与角2α的终边关于直线y =-x 对称，则()A.cos π+α =35B.β=2k π+π2+2αk ∈Z C.tan β=724D.角β的终边在第一象限【答案】ACD【分析】根据三角函数的定义，可求角α的三角函数，结合诱导公式判断A 的真假；利用二倍角公式，求出2α的三角函数值，结合三角函数的概念指出角2α的终边与单位圆的交点，由对称性确定角β终边与单位圆交点，从而判断BCD 的真假.【详解】因为角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P -3,4 ，所以：OP =5，所以sin α=45，cos α=-35，所以cos π+α =-cos α=35，故A 对；又sin2α=2sin α⋅cos α=2×45×-35 =-2425，cos2α=cos 2α-sin 2α=-35 2-45 2=-725，所以2α的终边与单位圆的交点坐标为：-725,-2425 ，因为角β的终边与角2α的终边关于直线y =-x 对称，所以角β的终边与单位圆的交点为2425,725，所以tan β=724，且β的终边在第一象限，故CD 正确；又因为终边在直线y =-x 的角为：k π-π4,k ∈Z ，角2α的终边与角β的终边关于y =-x 对称，所以2α+β2=k π-π4⇒β=2k π-π2-2αk ∈Z ，故B 错误.故选：ACD20(2024·广东佛山·二模)已知函数f x =sin x +cos2x 与g x =sin2x +cos x ，记h x =λf x +μg x ，其中λ，μ∈R 且λ2+μ2≠0．下列说法正确的是()A.h x 一定为周期函数B.若λ⋅μ>0，则h x 在0,π2上总有零点C.h x 可能为偶函数 D.h x 在区间0,2π 上的图象过3个定点【答案】ABD【分析】对于A ：计算h x +2π ，化简即可；对于B ：求出h x ，然后计算h 0 h π2的正负即可；对于C ：计算h x ,h -x 是否恒相等即可；对于D ：令f x =0g x =0，求解x 即可.【详解】对于A ，∀x ∈R ，h x +2π =λf x +2π +μg x +2π =λf x +μg x =h x ，A 正确；对于B ，h x =λcos x -2sin2x +μ2cos2x -sin x ，则h 0 =λ+2μ，h π2=-3μ，因为λμ>0，即λ，μ同号，所以h 0 h π2<0，由零点存在定理知h x 在0,π2上总有零点，故B 正确；对于C ，h x =λsin x +λcos2x +μsin2x +μcos x ，h -x =-λsin x +λcos2x -μsin2x +μcos x ，由h x =h -x 得2λsin x +2μsin2x =2λsin x +2μ⋅2sin x cos x =2sin x λ+2μcos x =0对x ∈R 恒成立，则λ=μ=0与题意不符，故C 错误；对于D ，令f x =0g x =0 ，则sin x +cos2x =1-2sin 2x +sin x =-sin x -1 2sin x +1 =0sin2x +cos x =cos x 2sin x +1 =0 ⇒sin x =1或sin x =-12cos x =0或sin x =-12，即x ∈-π6+2k π,π2+2k π,7π6+2k π ，k ∈Z ，故所有定点坐标为-π6+2k π,0 ，π2+2k π,0 ，7π6+2k π,0 ，k ∈Z ，又因为x ∈0,2π ，所以函数h x 的图象过定点π2,0 ，7π6,0 ，11π6,0 ，故D 正确；故选：ABD ．21(2024·湖南·二模)已知函数f x =12cos 2x -π3 ，把y =f x 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y =g x 的图象，以下说法正确的是()A.x =π6是y =f x 图象的一条对称轴B.f x 的单调递减区间为k π+π6,k π+2π3k ∈Z C.y =g x 的图象关于原点对称D.f x +g x 的最大值为12【答案】ABD【分析】根据题意，求得g x =-12cos2x 的图象，结合三角函数的图象与性质，以及两角差的正弦公式，逐项判定，即可求解.【详解】将函数f x =12cos 2x -π3 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y =g x =12cos 2x -π =-12cos2x 的图象，对于A 中，令x =π6，求得f x =12，即为函数y =f x 最大值，所以直线x =π6是函数f x 图象的一条对称轴，所以A 正确；对于B 中，令2k π≤2x -π3≤2k π+π,k ∈Z ，解得k π+π6≤x ≤k π+2π3,k ∈Z ，可得f x 的单调减区间为k π+π6,k π+2π3,k ∈Z ，所以B 正确.对于C 中，由于g x =-12cos2x 是偶函数，可得函数g x 的图象关于y 轴对称，所以C 错误.对于D 中，由f x +g x =12cos 2x -π3 +-12cos2x =1212cos2x +32sin2x -12cos2x =34sin2x -14cos2x =12sin 2x -π6 ≤12，即f x +g x 的最大值为12，所以D 正确.故选：ABD .22(2024·广东江门·一模)已知函数f (x )=sin 2ωx +π3 +sin 2ωx -π3+23cos 2ωx -3(ω>0)，则下列结论正确的是()A.若f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则ω=2B.当ω=1，x ∈0,π2时，f x 的值域为-3,2 C.当ω=1时，f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为y =2cos 2x +π6D.若f x 在区间0,π6上有且仅有两个零点，则5≤ω<8【答案】BCD【分析】根据三角恒等变换化简f x =2sin 2ωx +π3，进而根据周期可判断A ，根据整体法求解函数的值域判断B ，根据函数图象的平移可判断C ，根据零点个数确定不等式满足的条件可判断D .【详解】f (x )=sin 2ωx +π3 +sin 2ωx -π3+23cos 2ωx -3=sin2ωx cos π3+cos2ωx sin π3+sin2ωx cos π3-cos2ωx sin π3+3cos2ωx=sin2ωx +3cos2ωx =2sin 2ωx +π3，对于A ，若f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则T =2×π2=π=2π2ω,故ω=1，A 错误，对于B ，当ω=1，f x =2sin 2x +π3 ，当x ∈0,π2 时，2x +π3∈π3,4π3，则f x 的值域为-3,2 ，B 正确，对于C ，当ω=1，f x =2sin 2x +π3，f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为f x +π6 =2sin 2x +π6 +π3 =2sin 2x +2π3 =2cos 2x +π6，C 正确，对于D ，当x ∈0,π6 时，2ωx +π3∈π3,2ωπ6+π3，若f x 在区间0,π6 上有且仅有两个零点，则2π≤2ωπ6+π3<3π，解得5≤ω<8，故D 正确，故选：BCD 三、填空题23(2024·北京·三模)已知函数f (x )=sin x cos ωx ,x ∈R ．①若ω=1，则f (x )的最小正周期是；，②若ω=2，则f (x )的值域是．【答案】π[-1,1]【分析】把ω=1代入，t 明智二倍角的正弦，结合正弦函数的周期求出f (x )的最小正周期；把ω=2代入，利用二倍角的余弦公式，借助换元法，利用导数求出f (x )的值域.【详解】当ω=1时，f (x )=sin x cos x =12sin2x ，函数f (x )的最小正周期为2π2=π；当ω=2时，f (x )=sin x cos2x =sin x (1-2sin 2x )，令sin x =t ∈[-1,1]，g (t )=t (1-2t 2)=-2t 3+t ，求导得g (t )=-6t 2+1，当-1≤t <-66或66<t ≤1时，g (t )<0，当-66<t <66时，g (t )>0，函数g (t )在-1,-66 ，66,1 上单调递减，在-66,66上单调递增，g (-1)=1,g 66 =69，g (1)=-1,g -66 =-69，所以g (t )min =-1,g (t )max =1，f (x )的值域是[-1,1].故答案为：π；[-1,1]24(2024·北京·模拟预测)已知函数f (x )=sin ωx -2cos ωx (ω>0)，且f α+x =f α-x .若两个不等的实数x 1,x 2满足f x 1 f x 2 =5且x 1-x 2 min =π，则sin4α=.【答案】-45/-0.8【分析】利用辅助角公式化简f (x )的解析式，再由题意可得函数关于x =α对称，且最小正周期T =π，即可求出ω的值，从而得到2α=φ+π2+k π,k ∈Z ，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系计算可得．【详解】因为f (x )=sin ωx -2cos ωx =5sin ωx -φ ，其中tan φ=2，由f α+x =f α-x ，可得f x 关于x =α对称，又两个不等的实数x 1,x 2满足f x 1 f x 2 =5且x 1-x 2 min =π，所以f x 的最小正周期T =π，又ω>0，所以2πω=π，解得ω=2，所以f x =5sin 2x -φ ，所以2α-φ=π2+k π,k ∈Z ，则2α=φ+π2+k π,k ∈Z ，所以sin4α=sin2φ+π2+k π =sin 2φ+π+2k π =-sin2φ=-2sin φcos φsin 2φ+cos 2φ=-2tan φtan 2φ+1=-2×222+1=-45.故答案为：-4525(2024·湖北荆州·三模)设0<α<β<π2，tan α=m tan β，cos α-β =35，若满足条件的α与β存在且唯一，则m =，tan αtan β=.【答案】191【分析】由tan α=m tan β得到sin αcos β=m cos αsin β，再结合cos α-β =35，利用sin α-β =-45，得到cos αsin β=-45m -1 ，sin αcos β=-4m5m -1 ，从而sin α+β =-4m +1 5m -1，再由满足条件的α与β存在且唯一，得到α+β唯一，从而sin α+β =-4m +15m -1=1，求得m 即可.【详解】解：由tan α=m tan β，得sin αcos α=m sin βcos β，即sin αcos β=m cos αsin β，因为0<α<β<π2，tan α=m tan β，所以-π2<α-β<0，0<m <1，又cos α-β =35，所以sin α-β <0，从而sin α-β =sin αcos β-cos αsin β=m -1 cos αsin β=-45，所以cos αsin β=-45m -1，所以sin αcos β=m cos αsin β=-4m5m -1，所以sin α+β =sin αcos β+cos αsin β=-4m +15m -1，因为α,β∈0,π2，所以α+β∈0,π ，因为满足条件的α与β存在且唯一，所以α+β唯一，所以sin α+β =-4m +1 5m -1=1，所以m =19，经检验符合题意，所以tan α=19tan β，则tan α-β =-43=tan α-tan β1+tan αtan β=tan α-9tan α1+9tan 2α，解得tan α=13，所以tan αtan β=9tan 2α=1.故答案为：19，1【点睛】关键点点睛：关键是结合已知得出sin α+β =-4m +15m -1 =1，求出m ，由此即可顺利得解.。
工艺流程综合题--2024年高考真题和模拟题化学好题汇编(解析版)
工艺流程综合题考点工艺流程综合题1(2024·浙江6月卷)矿物资源的综合利用有多种方法，如铅锌矿(主要成分为PbS 、ZnS )的利用有火法和电解法等。
已知：①PbCl 2(s )热水冷却PbCl 2(aq )HClH 2PbCl 4 ；②电解前后ZnS 总量不变；③AgF 易溶于水。
请回答：(1)根据富氧煅烧(在空气流中煅烧)和通电电解(如图)的结果，PbS 中硫元素体现的性质是(选填“氧化性”、“还原性”、“酸性”、“热稳定性”之一)。
产物B 中有少量Pb 3O 4，该物质可溶于浓盐酸，Pb 元素转化为PbCl 4 2-，写出该反应的化学方程式；从该反应液中提取PbCl 2的步骤如下：加热条件下，加入(填一种反应试剂)，充分反应，趁热过滤，冷却结晶，得到产品。
(2)下列说法正确的是。
A.电解池中发生的总反应是PbS =Pb +S (条件省略)B.产物B 主要是铅氧化物与锌氧化物C.1mol 化合物C 在水溶液中最多可中和2molNaOHD.ClF 的氧化性弱于Cl 2(3)D 的结构为(X =F 或Cl )，设计实验先除去样品D 中的硫元素，再用除去硫元素后的溶液探究X 为何种元素。
①实验方案：取D 的溶液，加入足量NaOH 溶液，加热充分反应，然后；②写出D (用HSO 3X 表示)的溶液与足量NaOH 溶液反应的离子方程式。
【答案】(1) 还原性Pb 3O 4+14HCl (浓)=3H 2PbCl 4 +4H 2O +Cl 2↑PbO 或Pb (OH )2或PbCO 3(2)AB(3)加入足量Ba (NO 3)2溶液充分反应，静置后取上层清液，再加入硝酸酸化的AgNO 3溶液，若产生白色沉淀，则有Cl -，反之则有F -HSO 3X +3OH -=SO 2-4+X -+2H 2O【分析】铅锌矿(主要成分为PbS 、ZnS )富氧煅烧得到SO 2和Pb 、Zn 元素的氧化物，SO 2与等物质的量的ClF 反应得到化合物C ，结构简式为，化合物C ()水解生成液态化合物D(，X =F 或Cl )和气态化合物E (HCl 或HF )。
高三语文 百所名校好题速递分项解析汇编(第02期)专题08 表达得体(含解析)不分版本
高三语文百所名校好题速递分项解析汇编（第02期）专题08 表达得体（含解析）不分版本表达得体1．【XXXX届厦门外国语学校高三第三次月考】在下面一段文字横线处补写恰当的语句，使整段文字语意完整连贯，内容贴切，逻辑严密。
每处不超过15 个字。
在影响花期的环境条件中，气象因素占了很大一局部。
①___，而低温和阴雨等不良条件，均会影响开花。
喜欢赏花的公众常根据花期安排出游时间，②___。
花期预报是以温度作为指标，建立物候模型来进行预报。
但导致花期变化的原因非常复杂，开花前几天的温度变化会对花期造成很大影响。
因此，③___，需要有较为长期的物候资料。
【答案】①开花要有适宜的温度和充足的阳光。
②需要花期预报效劳。
③对花期的预测有一定难度。
〔或：要准确预测花期〕【解析】试题分析：这是一道根据文意填空的题目，高考题目一般为科普类的说明性文字，文段表述结尾严密。
2．【XXXX届甘肃静宁一中高三上期末】下面是一封学生自荐信中的局部正文，其中有几处表达不恰当，请指出并修改。
尊敬的领导：您好！首先诚挚地感谢您拨冗拜读我的自荐信！我是XX学院的一名后生，即将迈出校门。
在校期间，我勤奋学习专业知识，曾参加全国大学生电子设计竞赛，颇有建树。
我积极投身学生会和播送站等学生组织，荣获校级“优秀三好学生兼优秀团员〞、“优秀学生干部〞等荣誉。
我真诚地希望加盟贵单位，我定会以饱满的热情，为贵单位的开展尽自己的绵薄之力。
敬请斟酌，恳请垂怜，回函是盼！自荐人：XXXX年X月X日【答案】“拜读〞改为“翻阅〞或“浏览〞“后生〞改为“学生〞“颇有建树〞改为“小有成绩〞“荣誉〞改为“称号〞“垂怜〞改为“垂青〞【解析】【详解】这是一道考核语言得体的题目，语言得体主要有文体得体和语体得体，文体得体注意一般应用的格式的规定，语体得体注意说话者的身份，对象的身份，重点注意谦敬词语的运用。
题中“拜读〞是自己读别人的作品，谦敬失当；“后生〞是长者对年轻人的称呼；说“颇有建树〞不谦虚；“荣誉〞和前面的内容不搭配；“垂怜〞中“怜〞不合语境。
2021届高三语文（第01期）好题速递分项解析汇编专题13逻辑推断（含解析）
专题13 逻辑推断1．【18届安徽省蚌埠市第二中学高三7月月考】下面文段有三处推断存在问题，请参考①的方式，说明另外两处问题。
愈来愈多的人因为频发的雾霾，永久的离开所居住的城市，而且这些人中间很多仍是城市的精英。
可见，要让城市可持续发展，首要任务是肃除雾霾之害。
若不能完全控制雾霾，就吸纳不了优秀人材，就不能提高当下城市化质量。
①城市可持续发展首要任务未必就是肃除雾霾。
②_____________________________________③______________________________________【答案】②完全控制雾霾未必就可以吸纳得了优秀人材（或“吸纳优秀人才未必要彻底控制雾霾）。
③提高当下城市化质量也未必单靠控制雾霾。
【解析】试题分析：注意文段中表述绝对的部份，就吸纳不了优秀人材，就不能提高当下城市化质量。
2．【18届湖南省怀化市高三第四次模拟】下列文段有三处推断存在问题，请参考①的方式，说明另外两处问题。
痛风是一种侵犯关节的慢性全身性疾病，好发的部位一般在脚趾、手肘等结尾小关节。
痛风症状表现为发作部位会出现疼痛感，一旦脚趾或手肘等结尾小关节肿痛，就可以够判断是痛风。
诱发痛风的原因很多，饮食不妥是一个常见诱因。
在日常生活中，若是避免饮食不妥，就不会致使痛风。
患者应该增加对病风常识的了解，只要做好痛风的预防工作，就必然能够远离痛风。
①脚趾或手肘等结尾小关节肿痛，不必然就可以够判断是痛风。
②________________________。
③________________________。
【答案】②即便避免饮食不妥，也可能有其他诱因致使痛风；③做好痛风的预防工作，并非能够保证必然远离痛风。
【解析】试题分析：题干要求“参考①的方式，说明另外两处问题”，这是考查语言表达及语意推断能力。
“如3．【18届内蒙古鄂尔多斯市高三模拟】下面文段有三处推断存在问题，请参照①的方式，说明另外两处问题。
上海历年中考作文题目汇编(含一模二模)
上海历年中考作文题目汇编一、中考题1、2003 《我想唱首歌》2、2004 《我们是初升的太阳》3、2005 《充满活力的岁月》4、2006 《我们的名字叫》5、2007 《记住这一天》6、2008 《我眼中的色彩》7、2009 《在学海中游泳》8、2010 《黑板上的记忆》9、2011 《悄悄地提醒》10、2012 《心里美滋滋的》11、2013《今天，我想说说心里话》12、2014《悄悄地提醒》13、2015《不止一次，我努力尝试》二、2012一模卷1、《难忘的掌声》（黄浦A）2、《此时无声胜有声》（黄浦B）3、《凝视那一轮明月》（浦东新区）4、《默默地注视》（嘉定）5、《经历就是财富》（虹口）6、《善待》（杨浦）7、《翻过这一页》（崇明）8、《一张照片》（闵行）9、《我很》（徐汇）10、《我相信》（长宁）11、《味道》（普陀）12、《总有一刻属于你》（闸北）13、《经历了，我才懂得》（宝山）14、《我用书写人生》15、《学海拾贝》（金山）16、《触动我心灵的那一幕》（奉贤）三、2012二模卷1、《生活纪实》（浦东）2、《我的舞台》（黄浦、奉贤）3、《舍不得》（静安）4、《从那一刻开始》（青浦）5、《美好的记忆》（虹口）6、《记忆深处的那堂课》（普陀）7、《冬自春来》（长宁）8、《我们奔跑着》（金山）9、《醒悟》（松江）10、《我了解他/她吗？》（徐汇）11、《这里是的舞台》（闵行）12、《再一次》（宝山）13、《再见，》（闸北）14、《唱好自己的那首歌》（杨浦）15、《成长，有时只是瞬间的事》（崇明）四、2011二模1、这就是幸福（杨浦）2、你总在我身边（奉贤）3、我们也是朋友（普陀）4、春天的礼物（浦东）5、孩子的天空（卢湾）6、前行路上，我不是一个人（静安）7、记忆中的那双手（黄浦）8、走在_____路上（闵行）9、目光（长宁）10、______在耳边回响（松江）11、我，不同以往（徐汇）12、掌声（金山）13、一段别样的旅程（闸北）14、感激（嘉定、宝山）15、我因________而美丽五、2013 一模1、别样的精彩（崇明）2、那一刻，很安静（静安）3、有一种幸福叫感动（杨浦）4、我怎么没想到（宝山）5、嘿！再往前一步（闵行）6、又是新的开始（闸北）7、终于明白（徐汇）8、我并不完美（黄浦）9、我看到了别样的风采（松江）10、幸福，在那一刻绽放（金山）11、我读书的故事（浦东新区）12、我的选择（长宁）13、爱在细微处（嘉定）14、书香满校园（虹口）15、良师伴我行（奉贤）16、忍不住（普陀）六、2013 二模1、与__________一起成长2、那一次，我真的很棒3、捧出一颗心来4、从此，我懂了5、因为有你6、豁然开朗7、温暖的记忆8、唱响心里的那首歌9、我们在一起10、这一刻，永记心头11、路上的发现12、这一刻，我发现了自己13、这真是一种享受14、心里满满的15、今天，如果没有你16、亲情是一首歌17、尽在不言中18、初三变奏曲19、美丽课堂七、2014一模1、咱家的故事2、追梦路上3、，加油！4、那天，我做了该做的事5、给自己一片阳光6、闯过7、渐渐明白8、背影9、晚归10、渴望11、原来是这样12、其实，这并不难13、懂14、那一刻，我的心中春暖花开15、珍贵的礼物16、珍惜17、缺失的一角18、我能理解19、行走在路上20、今夜无眠八、2014二模1、大胆地迈出这一步2、那一次，我真的很棒3、吾爱吾师4、我家新气象5、给梦想一次花开的机会6、自得其乐7、春天在哪里8、打开那扇窗9、等到了这一刻10、原来路在这里11、追忆往事12、投入地爱一次13、我陷入了沉思14、我终于懂了15、我想为你做件事16、痕迹17、碰撞18、留恋19、牵挂20、那一天，我和你相遇九、2015 一摸1、忘不了这一步2、我找回了3、我关注了对方的感受4、初中生活二三事5、这里也是课堂6、我的答案不一样7、这个日子令我难忘8、哦！冬夜的灯光9、看啊，这个人！10、那一刻，我停下了脚步11、体验了，才明白12、我的世界也精彩13、一次谦让14、可以做得更好15、一件值得反思的小事16、在路上17、只想哭一场18、这也是一种美丽19、又到春天20、我为我们点赞十、2015二模1、这就是一种分享2、想起这件事就自豪3、这样的活动真4、餐桌上的回味5、上海的味道6、曾经，并肩同行7、这样的感觉真好8、同桌的你9、是我心中的一缕阳光10、时时想起你11、选择12、花开有时13、精彩的瞬间14、期待你的夸奖15、跟你说说另一个我16、我的坚持17、初中，一曲难忘的歌18、为这样的创意点赞十一、2016一模1.《你曾拨动了我的心弦》2.《告别》3.《痛并快乐着》4.《另一种温度》5.《那一天，我看见了》6.《温暖的叮嘱》7.《相处的时光》8.《人间自有真情在》9.《乐趣》10.《在这里起步》11.《不知不觉中，我已改变了想法》12.《这才是我最珍爱的》13.《我，依然拥有一颗童心》14.《这一刻如此动人》15.《终于找到了答案》16.《记忆中的精彩》17.《我终于敢说“”了》18.《我班的“小世界”》19.《初三——成长的一页》十一、2016二模1、“玩”给我带来的智慧2、困难时这样被克服的3、心中的阳光4、他（她）是我的领路人5、一路上有你6、位自己点赞7、就是这样简单8、初三那些事9、我在坚持10、改变11、遇见12、他(她)走进了我的视线13、特别的味道14、试着了解15、最后才发现16、进步，从这里开始17、行走在美好中。
2024学年(人教版)七年级好题专项(与绝对值有关的问题)讲解与练习汇编(附答案)
2024学年（人教版）七年级好题专项（与绝对值有关的问题）讲解与练习汇编借着数轴化简绝对值【变式训练】2．（2023秋∙江苏∙七年级专题练习）若数轴上的点绝对值非负性的应用【变式训练】【变式训练】利用几何意义化简绝对值(1)数轴上表示3和2的两点之间的距离是【变式训练】1．（2023∙全国∙七年级专题练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：(1)探究：①数轴上表示7和3的两点之间的距离是 ；②数轴上表示4-和9-的两点之间的距离是 ；③数轴上表示3-和5的两点之间的距离是 ．(2)归纳：一般的，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于 ．(3)应用：a-=，那么a＝ ． ①如果表示数a和3的两点之间的距离是6，则可记为：||36解绝对值方程【变式训练】7一、单选题A ．3c -B ．3a c - 二、填空题7．（2021上∙广西南宁∙七年级统考期中）已知(1)在如图所示的数轴上将a ，b ，c 三个数表示出来；(1)化简：22b c b c a c a b --++---；(2)若()24c +与10a c ++互为相反数，且b a c =-研究数轴我们发现了很多重要的规律，(1)直接写出：线段MN 的长度是 ，线段MN 的中点表示的数为参考答案借着数轴化简绝对值【变式训练】【答案】0绝对值非负性的应用C ．20a b ==，D ．02a b ==，【答案】C 【详细分析】根据非负数的性质列方程求出a 、b 的值即可．【答案详解】解：∵|2|||0a b -+=，∴200a b -==，，解得，20a b ==，，故选：C ．【名师点评】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．【变式训练】=c 【变式训练】利用几何意义化简绝对值(1)数轴上表示3和2的两点之间的距离是的两点之间的距离等于2的距离为由数轴得：-+++- a a a154()a=++- 9334由数轴得：由数轴得：a a a154 -+++-()=+-91a-+++-=+=；a a a154369-+++-=+=；a a a1543912a=-时，如图，当5-+++-=+=；a a a1546915<<，因为91215所以当表示a的点在5-或1或4的点上时，仅当【变式训练】1．（2023∙全国∙七年级专题练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：(1)探究：①数轴上表示7和3的两点之间的距离是 ；②数轴上表示4-和9-的两点之间的距离是 ；③数轴上表示3-和5的两点之间的距离是 ．②若数轴上表示数a的点位于5-与2之间，求【答案】(1)①4；②5；③8的两点之间的距离是解绝对值方程【名师点评】本题考查解绝对值方程，掌握绝对值的性质是解题的关键．【变式训练】；x=-【答案】4x=或3【详细分析】注意互为相反数的两个数的绝对值相等．x-=，【答案详解】解：移项得，|21|7x-=-，根据绝对值的意义，得217x-=或217x=-．解得4x=或3【名师点评】本题考查了绝对值的概念，同时要注意两种情况，再熟练解方程即可．一、单选题A ．3c -B ．3a c - 【答案】B【详细分析】根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，计算即可求出值．【答案详解】解：根据数轴上点的位置得：0a b c <<<， 0a b ∴-<，0a b +<，0c a ->，则原式333b a a b c a a c =----+=-， 故选：B ．【名师点评】此题考查了根据点在数轴上的位置判断式子的正负，化简绝对值，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．二、填空题【答案】c a +/a c +(1)在如图所示的数轴上将a，b，c三个数表示出来；（2）解：根据数轴位置关系，可得：0a >、0b c +<、||||||a b c a b a b c a b c ∴++--=---+=-．(1)化简：22b c b c a c a b --++---；(2)若()24c +与10a c ++互为相反数，且b a c =-(1)直接写出：线段MN的长度是 ，线段MN的中点表示的数为3七年级统考期末）人们通过长期观察发现如果早晨天空中棉絮的高积云，那。
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好题汇编 ＆ 错题再练---01 2007-4-24一、选择题1、下列免疫细胞中，不能进一步分化的是A ．T 细胞B ．B 细胞C ．记忆细胞D ．吞噬细胞2、分析以下事实：胡萝卜韧皮部细胞通过细胞培养能发育成完整植株；绵羊乳腺细胞核移入去核卵母细胞中，能发育成有生殖能力的绵羊。
基于以上事实，下列正确的选项是 ①高度分化的动植物细胞都具有全能性 ②高度分化的动物细胞核具有全能性 ③分化细胞中不表达的基因仍存在于细胞核中，并没有消失 ④高度分化的植物细胞具有全能性 A ．①③ B ．②④ C ．②③④ D ．③④3、右图表示某菌落生长过程中，将该菌落移入与先前营养条件不同的 环境后，其细胞数、RNA 、DNA 和蛋白质的相对数量变化情况。
若曲 线③表示DNA 的数量变化情况，则图中曲线①、②、④分别表示 A ．蛋白质、RNA 、细胞数 B ．蛋白质、细胞数、RNA C ．RNA 、蛋白质、细胞数 D ．RNA 、细胞数、蛋白质4、在下图所示的过程中，哪一事件在2～11阶段没有发生A ．细胞体积减小B ．细胞逐渐衰老C ．细胞进行有丝分裂D ．细胞分化5、在蒸馏水中加入一定量的苯，培养洋葱根尖一段时间，观察有丝分裂中期染色体的形态和数目。
下列相关叙述合理的是A ．实验目的可能是研究苯对染色体结构和数目的影响，但还需设计对照组B ．换用高倍镜观察染色体时，调节光圈、反光镜就可使视野清晰C ．预计根尖细胞中染色体的数目都是4N ，但形态都不同D ．依据的原理之一是“致癌物质苯会使细胞发生基因突变” 6、下列与细胞分裂有关的叙述中，不正确的是 A ．蛙受精卵的分裂为有丝分裂B ．与植物细胞有丝分裂有关的细胞器有线粒体、核糖体、高尔基体等C ．秋水仙素作用于植物细胞有丝分裂的后期，能使分裂产生的子细胞染色体数目加倍D ．若人的精子细胞核中DNA 为a mg ，则其正常体细胞中的DNA 一定大于2a mg7、在分化细胞中表达的基因可以分为两类，即管家基因和奢侈基因，前者表达的产物用以维持细胞自身的正常的新陈代谢，后者表达形成细胞功能的多样性。
下列属于肝细胞中奢侈基因表达产物的是 A ．胰岛素 B ．谷丙转氨酶 C ．肝糖元 D ．ATP 酶 8、下列细胞器中，能发生有机物合成的是 ①核糖体 ②线粒体 ③内质网 ④高尔基体 ⑤叶绿体 A ．只有①②⑤ B ．只有①②③⑤ C ．只有①③④⑤ D ．①②③④⑤9、人体的肝细胞既能合成蛋白质也能合成肝糖元。
合成蛋白质不同于合成肝糖元的特殊条件是需要A ．ATPB ．基本组成单位C ．模板D ．酶10、下图中的四种化合物的化学组成中，“O”中所对应的名称最接近的是A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．①和④11、高尔基体具有极性，靠近细胞核的一面称为形成面，接近细胞膜的一面称为成熟面。
从形成面到成熟面，膜的厚度和化学成分逐渐发生改变。
下列叙述正确的是A ．形成面更似核膜，成熟面更似内质网膜B ．形成面更似内质网膜，成熟面更似细胞膜C ．形成面更似核膜，成熟面更似细胞膜D ．形成面更似内质网膜，成熟面更似核膜12、线粒体是一种相对独立的细胞器，其独立性体现在：线粒体内的某些蛋内质是由线粒体内基因和细胞核内基因共同表达形成的。
已知啤酒酵母的细胞色素C 氧化酶存在于线粒体的内膜上，由三个大亚基和四个小亚基构成。
现在有人认为：该酶的三个大亚基由线粒体自身表达形成，另四个小亚基是由核基因表达形成后运入线粒体与三个大亚基一起装配形成细胞色素C 氧化酶。
已知：亚胺环己酮能抑制细胞质中蛋白质的合成；红霉素则能抑制线粒体中蛋白质的合成。
以下实验不能证明该论点的是A ．往酵母菌培养液中加入亚胺环己酮，结果发现线粒体内只有该酶的三个大亚基B ．获得离体线粒体，培养一段时间发现内膜上只有该酶的三个大亚基C ．往酵母菌培养基中加入红霉素，结果发现线粒体内只有该酶的四个小亚基D ．往酵母菌培养基中同时加入亚胺环己酮和红霉素，发现线粒体中没有细胞色素C 氧化酶的任何亚基 13、感染赤霉菌而患恶苗病的水稻植株，要比周围的健康植株高50％以上，患病植株结实率很低；将赤霉菌培养基的滤液喷施到水稻幼苗上，没有感染赤霉菌的幼苗也表现出恶苗病的症状；从赤霉菌培养基中提取出有以上效应的活性物质――赤霉素．通过上述实验得出的结论不正确的是 A ．赤霉菌产生的物质使水稻患恶苗病B ．使水稻患恶苗病的是赤霉菌的代谢产物，不是赤霉菌本身C ．赤霉素是植物激素D ．上述实验还不能证明赤霉素是植物激素14、人体对氮素的摄入量与排出量之比随年龄发生变化，下图中符合一般情况的是15、将酵母菌研磨成匀浆，离心后得上清液（细胞质基质）和沉淀物（含线粒体），把等量的上清液、沉淀物和未曾离心的匀浆分别放入甲、乙、丙三个试管中，各加入等量葡萄糖溶液，然后置于隔绝空气的条件下。
下列叙述正确的是A ．甲试管中最终产物为CO 2和H 2OB ．乙试管中不发生反应C ．丙试管中有大量的ATP 产生D ．丙试管中无CO 2产生16、农业生产上拟定运用激素培育无子黄瓜的方案，一般无需考虑A．植物激素（类似物）的种类和浓度B．施用的时期和方式C．处理的部位D．对光合作用的直接影响17、下列物质中，在发挥作用后不会立即被破坏而能继续发挥作用的是A．乙酰胆碱B．抗体C．激素D．载体蛋白18、DNA 聚合酶彻底水解后可得到的物质是A ．氨基酸B ．脱氧核糖、含氮碱基和磷酸C ．二氧化碳、水和含氮废物D ．氨基酸和脱氧核苷酸19、某哺乳动物在20℃的环境中产热速率为Q1 ，散热速率为Q1′；进入0℃环境30min 后的产热速率为Q2 ，散热速率为Q2′，则A．Q1＝Q1′＜Q2＝Q2′ B．Q1＝Q1′＜Q2＞Q2′C．Q1＞Q1′，Q2＞Q2′ D．Q1＜Q1′，Q2＞Q2′20、在两对相对性状的遗传实验中，可能具有1:1:1:1比例关系的是①杂种自交后代的性状分离比②杂种产生配子类别的比例③杂种测交后代的表现型比例④杂种自交后代的基因型比例⑤杂种测交后代的基因型比例A．①②④B．②④⑤C．①③⑤D．②③⑤二、解答题1、细胞有丝分裂前期，核膜解体，到末期又重新形成。
新形成的核膜是否由旧核膜的碎片连接形成的。
现给你提供变形虫、3H一胆碱（磷脂成分）和其他必需仪器，请设计一实验过程，预测实验结果。
（1）实验步骤：①将部分变形虫置于含3H一胆碱的介质中培养，使其膜（含核膜）被3H一胆碱标记。
②将已标记的核移入中，在无标记的条件下培养一段时间使其进行细胞分裂。
（2）预测结果及结论：①。
②。
2、脂质体是根据磷脂分子可在水中形成稳定的脂质双层膜的趋势而制备的人工膜。
单层脂分子铺展在水面上时，极性端（亲水）与非极性端（疏水）排列是不同的，搅拌后形成双层脂分子的球形脂质体（如图所示）。
（1）将脂质体置于清水中，一段时间后发现，脂质体的形态、体积没有变化，这一事实说明（2）下图表示细胞膜的亚显微结构图，请回答：①该结构对细胞的生命活动起至关重要的特性是。
②有些有机溶剂如苯酚，可溶解B造成膜的损伤，增加膜的通透性，B的完整化学名称是。
动物细胞吸水膨胀时，B的厚度变小，说明B具有③叶绿体和线粒体等细胞器中均有此结构，但执行的具体功能却有很大区别，其原因是由于图中（填字母）的不同所致。
（3）水分子的跨膜运输不同于真正的自由扩散，它最可能与膜上的成分有关。
美国科学家彼得·阿格雷试图从人血红细胞、肾小管壁细胞膜上寻找这种蛋白质一CHIP28。
他以这两种细胞为实验材料的依据是。
3、某蛋白质分子由四条肽链组成，共有657个氨基酸，请回答：（1）该蛋白质分子中至少含有游离的氨基个，游离的羧基个。
（2）该蛋白质分子中，共有个肽键，在该蛋白质分子形成过程中，相对分子质量减少了。
（3）假设该蛋白质分子中的一条肽链为178肽，其分子式为C X HyN Z OyS（Z＞178，W＞179），并且是由下图中五种氨基酸组成的，那么将该178肽彻底水解后将会得到个赖氨酸。
（4）写出天门冬氨酸和赖氨酸脱水缩合过程（氨基酸结构式见上面）。
4、盛夏，酷暑难耐，西瓜成了人们消暑解渴的佳品，若不过瘾，还可冷藏后再吃，爽极了。
但在新疆，人们却能看到“抱着火炉吃西瓜”的风景。
请回答：（1）随着科枝的进步，经济的发展，水果已呈现无季节性上市销售的势头，这主要是通过的方法达到的，为了增加产量，还可在室内适当增加的浓度。
现如今，人们也可在冬季抱着火炉吃上可口的西瓜了。
（2“抱着火炉吃西瓜”反映了自然状态下新疆多变的气候，这主要是指非生物因素的剧变。
（3）有首歌的歌词中曾叙述新疆的西瓜又大又甜，主要原因是在西瓜生长季节里，当地气温白天温度，晚上温度，大，利于的储存。
（4）在下列哪种条件下栽培番茄对增产有利。
A．日温15℃、夜温26℃B．昼夜恒温26℃C．日温26℃、夜温15℃D．昼夜恒温15℃（5）水稻等种子的储藏与蔬菜、水果长时间储藏保鲜是有区别的，在低温、低氧的环境中，前者还应保持，后者还需的条件。
5、下图是人体蛋由质代谢途径图解，请据图回答。
（1）发生①过程的生理名称是发生①过程的器官有，参与此生理过程所必需的物质有。
（2）③过程是在＿＿＿＿＿中进行的，此过程是受控制的。
④的生理过程是通过作用完成的，⑤在细胞的中进行。
（3）B物质可能是，②和⑥的生理过程是通过作用完成的。
（4）C物质是在（器官）内形成的。
F所表示的器官有。
（5）D物质是，E物质是，⑦的变异属于。
6、分子马达是由生物大分子构成，利用化学能进行机械做功的纳米系统。
天然的分子马达，如：驱动蛋白、RNA聚合酶、肌球蛋白等，在生物体内参与了胞质运输、DNA复制、细胞分裂、肌肉收缩等一系列重要生命活动。
（1）根据上述材料可知，下列属于分子马达的是：________。
A．DNA解旋酶B．核苷酸C．葡萄糖D．水（2）上述材料表明，分子马达是通过其__________、____________等功能而参与生物体的一系列生命活动的。
（3）分子马达的燃料是________，它也是生物体各项生命活动的____________物质。
（4）下列各项植物的生命活动中，可以不需要分子马达参与的是___________。
A．渗透吸水B．染色体移向细胞两极C．生长素的极性运输D．释放O27、请阅读下列文字：在食用苹果、梨时，常会看到鲜嫩的果肉很快就变成暗褐色，极像生锈的样子，这是为什么呢？原来这不是生锈，是植物的这些细胞存在的酚类物质发生了化学变化。
本来细胞里酚氧化酶与它所催化的酚类底物是分开存放的，但若组织细胞受损或衰老，结构解体时，酚氧化酶便有机会与酚类底物接触而使底物氧化成棕褐色的物质。
（1）上段文字中“本来细胞里酚氧化酶与酚类底物是分开存放的”你联想到学过的什么知识？即分开存放是由于细胞内具有__________的缘故。