【精品】2016年北京市东城区六校联盟九年级上学期期中数学试卷带解析答案

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北京市九年级(上)期中数学试卷-(含答案)

九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.里约奥运会后，受到奥运健儿的感召，群众参与体育运动的热度不减，全民健身再次成为了一种时尚，球场上也出现了更多年轻人的身影．请问下面四幅球类的平面图案中，是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.用配方法解方程x2+6x+2=0，配方正确的是（）A. (x+3)2=9B. (x−3)2=9C. (x+3)2=6D. (x+3)2=73.如图，小林坐在秋千上，秋千旋转了80°，小林的位置也从A点运动到了A'点，则∠OAA'的度数为（）A. 40∘B. 50∘C. 70∘D. 80∘4.将抛物线y=2x2平移后得到抛物线y=2x2+1，则平移方式为（）A. 向左平移1个单位B. 向右平移1个单位C. 向上平移1个单位D. 向下平移1个单位5.在△ABC中，∠C=90°，以点B为圆心，以BC长为半径作圆，点A与该圆的位置关系为（）A. 点A在圆外B. 点A在圆内C. 点A在圆上D. 无法确定6.若扇形的圆心角为60°，半径为6，则该扇形的弧长为（）A. πB. 2πC. 3πD. 4π7.已知2是关于x的方程x2+ax-3a=0的根，则a的值为（）A. −4B. 4C. 2D. 458.太阳影子定位技术是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄地点的一种方法．为了确定视频拍摄地的经度，我们需要对比视频中影子最短的时刻与同一天东经120度影子最短的时刻．在一定条件下，直杆的太阳影子长度l（单位：米）与时刻t（单位：时）的关系满足函数关系l=at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三个时刻的数据，根据上述函数模型和记录的数据，则该地影子最短时，最接近的时刻t是（）A. 12.75B. 13C. 13.33D. 13.5二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.方程x2-x=0的解是______ ．10.请写出一个对称轴为x=3的抛物线的解析式______ ．11.若关于x的方程x2-2x-m=0有两个相等的实数根，则m的值是______．12.CPI指居民消费价格指数，反映居民家庭购买消费商品及服务的价格水平的变动情况．CPI的涨跌率在一定程度受到季节性因素和天气因素的影响．根据北京市2015年与2016年CPI涨跌率的统计图中的信息，请判断2015年1～8月份与2016年1～8月份，同月份比较CPI涨跌率下降最多的月份是______ 月；请根据图中提供的信息，预估北京市2016年第四季度CPI涨跌率变化趋势是______ ，你的预估理由是______ ．三、解答题（本大题共13小题，共72.0分）13.求抛物线y=x2-2x的对称轴和顶点坐标，并画出图象．14.已知：m2+2m-3=0．求证：关于x的方程x2-2mx-2m=0有两个不相等的实数根．15.如图，在等边△ABC中，点D是AB边上一点，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转60°后得到CE，连接AE．求证：AE∥BC．16.如图1是某公园一块草坪上的自动旋转喷水装置，这种旋转喷水装置的旋转角度为240°，它的喷灌区是一个扇形．小涛同学想了解这种装置能够喷灌的草坪面积，他测量出了相关数据，并画出了示意图．如图2，A，B两点的距离为18米，求这种装置能够喷灌的草坪面积．17.2（1）二次函数图象的开口向______ ，顶点坐标是______ ，m的值为______ ；（2）当x＞0时，y的取值范围是______ ；（3）当抛物线y=ax2+bx+c的顶点在直线y=x+n的下方时，n的取值范围是______ ．18.如图，在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点F，连接AE．（1）求证：∠ABC=2∠CAF；（2）过点C作CM⊥AF于M点，若CM=4，BE=6，求AE的长．19.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+mx+n-1的对称轴为x=2．（1）m的值为______ ；（2）若抛物线与y轴正半轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B，当△OAB是等腰直角三角形时，求n的值；（3）点C的坐标为（3，0），若该抛物线与线段OC有且只有一个交点，求n的取值范围．20.在菱形ABCD中，∠BAD=α，E为对角线AC上的一点（不与A，C重合），将射线EB绕点E顺时针旋转β角之后，所得射线与直线AD交于F点．试探究线段EB与EF的数量关系．小宇发现点E的位置，α和β的大小都不确定，于是他从特殊情况开始进行探究．（1）如图1，当α=β=90°时，菱形ABCD是正方形．小宇发现，在正方形中，AC 平分∠BAD，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．由角平分线的性质可知EM=EN，进而可得△EMF≌△ENB，并由全等三角形的性质得到EB与EF的数量关系为______．（2）如图2，当α=60°，β=120°时，①依题意补全图形；②请帮小宇继续探究（1）的结论是否成立．若成立，请给出证明；若不成立，请举出反例说明；（3）小宇在利用特殊图形得到了一些结论之后，在此基础上对一般的图形进行了探究，设∠ABE=γ，若旋转后所得的线段EF与EB的数量关系满足（1）中的结论，请直接写出角α，β，γ满足的关系：______21.点P到∠AOB的距离定义如下：点Q为∠AOB的两边上的动点，当PQ最小时，我们称此时PQ的长度为点P到∠AOB的距离，记为d（P，∠AOB）．特别的，当点P在∠AOB的边上时，d（P，∠AOB）=0．在平面直角坐标系xOy中，A（4，0）．（1）如图1，若M（0，2），N（-1，0），则d（M，∠AOB）= ______ ，d（N，∠AOB）= ______ ；（2）在正方形OABC中，点B（4，4）．①如图2，若点P在直线y=3x+4上，且d（P，∠AOB）=22，求点P的坐标；②如图3，若点P在抛物线y=x2-4上，满足d（P，∠AOB）=22的点P有______ 个，请你画出示意图，并标出点P．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是中心对称图形，故此选项错误；C、是中心对称图形，故此选项正确；D、不是中心对称图形，故此选项错误；故选：C．根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析即可．此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．2.【答案】D【解析】解：x2+6x=-2，x2+6x+9=-2+9，（x+3）2=7，故选：D．将常数项移至方程的右边，再两边都加上一次项系数一半的平方即可得．本题主要考查配方法，用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．3.【答案】B【解析】解：∵秋千旋转了80°，小林的位置也从A点运动到了A'点，∴AOA′=80°，OA=OA′，∴∠OAA'=（180°-80°）=50°．故选：B．根据旋转角的定义、旋转的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行解答．本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．4.【答案】C【解析】解：抛物线y=2x2平移得到抛物线y=2x2+1的步骤是：向上平移1个单位．故选：C．直接利用二次函数图象平移规律（左加右减，上加下减）进而得出答案．此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键．5.【答案】A【解析】解：∵在△ABC中，∠C=90°，∴AB＞BC，∴点A在圆外．故选A．根据点与圆的位置关系即可得出结论．本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．6.【答案】B【解析】解：弧长l==2π．故选B．根据弧长公式进行求解即可．本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是掌握弧长公式：l=．7.【答案】B【解析】解：∵2是关于x的方程x2+ax-3a=0的一个根，∴把x=2代入得：22+2a-3a=0，解得：a=4．故选：B．根据题意把x=2代入方程，即可求出a的值，从而选出选项．本题主要考查了对一元一次方程的解及解法的理解和掌握，把2代入方程，求出关于a的方程的解是解此题的关键．8.【答案】C【解析】解：把（12，0.6）、（13，0.35）、（14，0.4）代入l=at2+bt+c中得：，解得：，∴l=0.15t2-4t+27，∵0.15＞0，∴l有最小值，当t=-=≈13.33时，该地影子最短；故选C．利用待定系数法求二次函数的解析式，求顶点坐标的横坐标即可．本题是二次函数的应用，考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，具体思路为：把三个点的坐标代入解析式中，列三元一次方程组，解出方程组的解，写出解析式，最后求最值．9.【答案】0或1【解析】解：原方程变形为：x（x-1）=0，∴x=0或x=1．本题应对方程进行变形，提取公因式x，将原式化为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题．本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的提点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．10.【答案】y=（x-3）2（答案不唯一）【解析】解：依题意取a=1，顶点坐标（3，0），由顶点式得y=（x-3）2．即故答案为y=（x-3）2（答案不唯一）．根据对称轴为x=3可知顶点的横坐标为3，纵坐标可任意选择一个数，由顶点式写出二次函数解析式．此题主要考查了抛物线的对称轴、开口方向与抛物线顶点式的关系：顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．a＞0时，开口向上，a＜0时，开口向下．11.【答案】-1【解析】解：∵关于x的方程x2-2x-m=0有两个相等的实数根，∴△=0，∴（-2）2-4×1×（-m）=0，解得m=-1．根据方程有两个相等的实数根，判断出根的判别式为0，据此求出m的值即可．本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．12.【答案】8；先减后增；2015年9～12月份CPI涨跌率先减后增，所以预估北京市2016年第四季度CPI涨跌率变化趋势是先减后增【解析】解：由函数图象可知，2015年1～8月份与2016年1～8月份，同月份CPI涨跌率8月份相差2.6%-1%=1.6%，∴同月份比较CPI涨跌率下降最多的月份是8月；根据图中提供的信息，预估北京市2016年第四季度CPI涨跌率变化趋势是先减后增，预估理由是2015年1～8月份与2016年1～8月份，同月份CPI涨跌率基本保持一致，而2015年9～12月份CPI涨跌率先减后增，∴预估北京市2016年第四季度CPI涨跌率变化趋势是先减后增，故答案为：8，先减后增，2015年9～12月份CPI涨跌率先减后增，所以预估北京市2016年第四季度CPI涨跌率变化趋势是先减后增．根据前8个月CPI涨跌率的差值确定最大差距即可得，由2015年1～8月份与2016年1～8月份，同月份CPI涨跌率基本保持一致，而2015年9～12月份CPI涨跌率先减后增，可预估北京市2016年第四季度CPI涨跌率变化趋势是先减后增．本题主要考查函数的图象，理解题意弄懂函数图象是解题的关键．13.【答案】解：y=（x-1）2-1，∴对称轴为x=1，顶点为（1，-1）．其函数图象如图所示．【解析】把二次函数解析式化为顶点式，可求得其对称轴及其顶点坐标，再利用描点法可画出其函数图象．本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，其顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h．14.【答案】解：∵m2+2m-3=0，∴m2+2m=3，∴△=4m2+8m=4（m2+2m）=12＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．【解析】求出根的判别式，判断其值大于0，即可得证．此题考查了根的判别式，一元二次方程中根的判别式大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式小于0，方程没有实数根；根的判别式等于0，方程有两个相等的实数根．15.【答案】解：∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠B=∠ACB=60°．∵线段CD绕点C顺时针旋转60°得到CE，∴CD=CE，∠DCE=60°，∴∠DCE=∠ACB，即∠BCD+∠DCA=∠DCA+∠ACE，∴∠BCD=∠ACE，在△BCD与△ACE中，BC=AC∠BCD=∠ACE DC=EC∴△BCD≌△ACE，∴∠EAC=∠B=60°，∴∠EAC=∠ACB，∴AE∥BC．【解析】根据等边三角形的性质得出AC=BC，∠B=∠ACB=60°，根据旋转的性质得出CD=CE，∠DCE=60°，求出∠BCD=∠ACE，根据SAS推出△BCD≌△ACE，根据全等得出∠EAC=∠B=60°，求出∠EAC=∠ACB，根据平行线的判定得出即可．本题考查了平行线的判定，等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，旋转的性质的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．16.【答案】解：过点O作OC⊥AB于C点．∵OC⊥AB，AB=18，∴AC=12AB=9，∵OA=OB，∠AOB=360°-240°=120°，∴∠AOC=12∠AOB=60°．在Rt△OAC中，OA2=OC2+AC2，OA，又∵OC=12∴r=OA=63．∴S=240πr2=72π（m2）．360【解析】作OC⊥AB，根据垂径定理得出AC=9，继而可得圆的半径OA的值，再根据扇形面积公式可得答案．本题主要考查垂径定理和扇形的面积公式，熟练掌握垂径定理求得圆的半径是解题的关键．17.【答案】上；（1，-2）；2；y≥-2；n＞-3【解析】解：（1）把点（0，-1），（1，-2）和（2，-1）代入二次函数解析式可得，解得，∴二次函数解析式为y=x2-2x-1=（x-1）2-2，∴二次函数图象开口向上，顶点坐标为（1，-2），令x=-1，代入可得m=2，故答案为：上；（1，-2）；2；（2）∵y=（x-1）2-2，∴当x=1时，y有最小值-2，∴当x＞0时，y≥-2，故答案为：y≥-2；（3）在y=x+n中，令x=1代入可得y=1+n，∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点在直线y=x+n的下方时，∴1+n＞-2，解得n＞-3，故答案为：n＞-3．（1）由表中所给x、y的对应值，可求得二次函数解析式，可求得抛物线的开口方向及顶点坐标，令x=-1代入可求得m的值；（2）由二次函数的解析式可求得其增减性，当x＞0时，可知其有最小值，无最大值，可求得y的取值范围；（3）在y=x+n中，令x=1代入，结合条件可得到关于n的不等式，可求得n的取值范围．本题主要考查二次函数的性质，利用待定系数法求得二次函数解析式是解题的关键．18.【答案】（1）证明：连接BD，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∵AF是⊙O的切线，∴∠BAF=90°．∴∠1+∠BAC=∠2+∠BAC=90°．∴∠1=∠2．∵AB=BC，∴∠ABC=2∠1=2∠2；（2）解：∵∠1=∠2=∠3，∠3=∠4，∴∠2=∠4．∵AB是直径，∴CE⊥AE，∵CM⊥AF，CM=4，∴CE=CM=4，∵BE=6，∴AB=BC=BE+EC=10．在Rt△ABE中，AE=2−BE2=102−62=8．【解析】（1）首先连接BD，由AB为直径，可得∠ADB=90°，然后由等角的余角相等，证得∠1=∠2，继而证得结论；（2）由圆周角定理，易证得∠2=∠4，又由AB为直径，CM⊥AF，可求得CE=CM=4，继而求得AB的长，则可求得答案．此题考查了切线的性质、圆周角定理、勾股定理以及直角三角形的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．19.【答案】-4【解析】解：（1）对称轴：x=-=2，m=-4；（2）把m=-4代入抛物线y=x2+mx+n-1得：y=x2-4x+n-1，当x=0时，y=n-1，∴A（0，n-1），B（2，0），∵△OAB是等腰直角三角形，∴OA=OB，即：n-1=2，n=3；（3）①如图1，当抛物线顶点在x轴上时，△=0，（-4）2-4×1×（n-1）=0n=5，②如图2，当抛物线过点C（3，0）时，把（3，0）代入得：32-4×3+n-1=0，n=4，③如图3，当抛物线过原点时，n-1=0，n=1，结合图象可得，1≤n＜4或n=5．（1）根据对称轴公式：x=-代入计算，可求m；（2）把m=-4代入后，令x=0，计算出与y轴交点，写出点A的坐标，点B是对称轴与x轴的交点，所以B（2，0）；（3）分三种情况：①如图1，当抛物线顶点在x轴上时，与抛物线只有一个交点，则△=0；②如图2，当抛物线过点C（3，0）时，代入可求n；③如图3，当抛物线过原点时，即过（0，0）代入可求n，发现从过原点时的抛物线向上平移，一直到过图2，都符合条件，所以n的取值为：1≤n＜4或n=5．本题考查了二次函数的图象和等腰直角三角形的性质，明确等腰直角三角形中两条边相等，同时还要熟知：①对称轴公式：直线x=-；②抛物线过原点时，经过（0，0）；③抛物线的顶点在x轴上时，△=0；本题的易错点在：抛物线与线段OC有且只有一个交点，当n在4与5之间时不满足条件，要注意．20.【答案】EB=EF；α+β=180°或α2+β2+γ=180°【解析】解：（1）EB=EF，故答案为：EB=EF；（2）①补全图形如图2所示，②结论依然成立EB=EF；证法1：如图3，过点E作EM⊥AF于M，EN⊥AB于N．∵四边形ABCD为菱形，∴∠CAD=∠CAB．∵EM⊥AF，EN⊥AB．∴∠FME=∠N=90°，EM=EN，∵∠BAD=60°，∠BEF=120°，∴∠F+∠ABE=360°-∠BAD-∠BEF=180°．∵∠ABE+∠EBN=180°，∴∠F=∠EBN；在△EFM与△EBN中，∴△EFM≌△EBN．∴EF=EB；证法2：如图4，连接ED∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB，∠DAC=∠BAE．又∵AE=AE，∴△ADE≌△ABE．∴ED=EB，∠ADE=∠ABE，又∵∠DAB=60°，∠BEF=120°．∴∠F+∠ABE=180°．又∵∠ADE+∠FDE=180°，∴∠F=∠FDE．∴EF=ED．∴EF=EB．（3）如图3，由（2）的证法1知，△FEM≌△BEN，∴∠FEM=∠BEN，∴∠BEF=∠MEN，在四边形AMEN中，∠BAC+∠MEN=180°，∴∠BAC+∠BEF=180°，∴α+β=180°如图4，由（2）的证法2知，△ADE≌△ABE，∴∠ADE=∠ABE=γ，∠DAE=∠BAE=，∠AEB=∠AED=，根据三角形的内角和得，∠ADE+∠DAE+∠AED=180°，∴°．故答案为：α+β=180°或°．（1）直接得出结论；（2）①依题意补全图形如图2所示，②证法1，利用菱形的性质得出，∠DAC=∠BAC，再用角平分线的性质，得出EM=EN，进而判断出△EFM≌△EBN即可；证法2，利用菱形的性质直接判断出△AED≌△AEB，即可得出结论；（3）借助（2）的两种证法，利用全等三角形的性质和四边形和三角形的内角和即可得出结论．此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，解本题的关键△ADE≌△ABE．21.【答案】1；1；4【解析】解：（1）∵M（0，2），∠AOB=60°，∴d（M，∠AOB）=OM=1；∵N（-1，0），∴d（N，∠AOB）=ON=1；故答案为：1；1．（2）①如图，当点P在上时，OP=，设P（x，3x+4），则x2+（3x+4）2=8，解得（舍），∴P（-2，-2）；点P在射线FG上时，P到射线OB的距离为，∵点C到OB的距离为，∴点P与点C重合，∴P（0，4），综上所述，P（-2，-2）或（0，4）．②如图所示，点P有4个．（1）根据M（0，2），∠AOB=60°，得出d（M，∠AOB）=OM=1；再根据N（-1，0），得出d（N，∠AOB）=ON=1；（2）先设P（x，3x+4），当点P在上时，根据勾股定理列出方程x2+（3x+4）2=8，求得x的值即可；当点P在射线FG上时，根据P到射线OB的距离为，得出点C到OB的距离为，最后根据点P与点C重合得出结论；（3）根据点P在抛物线y=x2-4上，满足d（P，∠AOB）=2，画出与OB距离为2的平行线，与x轴距离为2的平行线以及以O为圆心，2长为半径的弧线，与抛物线的交点即为所求．本题主要考查了二次函数的综合应用，解决问题的关键是掌握点P到∠AOB的距离定义，解题时注意灵活运用等腰直角三角形的性质以及勾股定理．解题时注意：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．。

【人教版】2016届九年级上册期中数学试卷及答案解析

九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每一道小题都给出代号为A、B、C、D的四个选项，其中有且只有一个选项符合题目要求，把符合题目要求的选项的代号直接填在答题框内相应题号下的方框中，不填、填错成一个方框内填写的代号超过一个，一律得0分；共10小题，每小题3分，共30分）1．已知关于x的一元二次方程x2+x+m2﹣4=0的一个根是0，则m的值是（）A．0 B．1 C．2 D．2或﹣22．用配方法解方程x2﹣8x+3=0，下列变形正确的是（）A．（x+4）2=13 B．（x﹣4）2=19 C．（x﹣4）2=13 D．（x+4）2=193．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不一定成立的是（）A．CM=DM B．OM=MB C．BC=BD D．∠ACD=∠ADC4．下列一元二次方程有实数根的是（）A．x2﹣2x﹣2=0 B．x2+2x+2=0 C．x2﹣2x+2=0 D．x2+2=05．已知关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（）A．k＞1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k＞1且k≠2 D．k＜16．观察如下图形，它们是按一定规律排列的，依照次规律，第n的图形中共有210个小棋子，则n等于（）A．20 B．21 C．15 D．167．若点（﹣1，4），（3，4）是抛物线y=ax2+bx+c上的两点，则此抛物线的对称轴是（）A．直线x=﹣B．直线x=1 C．直线x=3 D．直线x=28．如图，⊙C过原点O，且与两坐标轴分别交于点A、B，点A的坐标为（0，4），点M是第三象限内上一点，∠BMO=120°，则⊙O的半径为（）A．4 B．5 C．6 D．29．如图，AB为⊙O直径，C为⊙O上一点，∠ACB的平方线交⊙O于点D，若AB=10，AC=6，则CD的长为（）A．7 B．7C．8 D．810．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则a的取值范围为（）A．﹣1＜a＜0 B．﹣1＜a＜C．0＜a＜D．＜a＜二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．抛物线y=﹣（x+3）2+1的顶点坐标是．12．已知ab≠0，且a2﹣3ab﹣4b2=0，则的值为．13．已知关于x的方程a（x+m）2+c=0（a，m，c均为常数，a≠0）的根是x1=﹣3，x2=2，则方程a（x+m﹣1）2+c=0的根是．14．如图，AB，AC是⊙O，D是CA延长线上的一点，AD=AB，∠BDC=25°，则∠BOC=．15．已知△ABC的三个顶点都在⊙O上，AB=AC，⊙O的半径等于10cm，圆心O到BC的距离为6cm，则AB的长等于．16．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，图象与x轴交于A（x1，0）B（x2，0）两点，点M（x0，y0）是图象上另一点，且x0＞1．现有以下结论：①abc＞0；②b＜2a；③a+b+c＞0；④a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0．其中正确的结论是．（只填写正确结论的序号）三、解答题（本大题共9小题，共72分）17．解方程：（1）x2+2x﹣15=0（2）3x（x﹣2）=（2﹣x）18．已知抛物线的顶点是（4，2），且在x轴上截得的线段长为8，求此抛物线的解析式．19．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知x2+mx+n=0是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，求m2+n2的值．20．为响应党中央提出的“足球进校园”号召，我市在今年秋季确定了3所学校为我市秋季确定3所学校诶我市足球基地实验学校，并在全市开展了中小学足球比赛，比赛采用单循环制，即组内每两队之间进行一场比赛，若初中组共进行45场比赛，问初中共有多少个队参加比赛？21．如图，在⊙O中，=，∠ACB=60°．（1）求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC；（2）若D是的中点，求证：四边形OADB是菱形．22．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0．（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，且BC=8，当△ABC为等腰三角形时，求m的值．23．如图，O为正方形ABCD对角线上一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点E．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若正方形ABCD的边长为10，求⊙O的半径．24．某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？25．如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每一道小题都给出代号为A、B、C、D的四个选项，其中有且只有一个选项符合题目要求，把符合题目要求的选项的代号直接填在答题框内相应题号下的方框中，不填、填错成一个方框内填写的代号超过一个，一律得0分；共10小题，每小题3分，共30分）1．已知关于x的一元二次方程x2+x+m2﹣4=0的一个根是0，则m的值是（）A．0 B．1 C．2 D．2或﹣2【考点】一元二次方程的解．【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即把0代入方程求解可得m的值．【解答】解：把x=0代入方程程x2+x+m2﹣4=0得到m2﹣4=0，解得：m=±2，故选D．【点评】本题考查的是一元二次方程解的定义．能使方程成立的未知数的值，就是方程的解，同时，考查了一元二次方程的概念．2．用配方法解方程x2﹣8x+3=0，下列变形正确的是（）A．（x+4）2=13 B．（x﹣4）2=19 C．（x﹣4）2=13 D．（x+4）2=19【考点】解一元二次方程-配方法．【专题】计算题．【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上16，然后把方程左边写成完全平方形式即可．【解答】解：x2﹣8x=﹣3，x2﹣8x+16=13，（x﹣4）2=13．故选C．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不一定成立的是（）A．CM=DM B．OM=MB C．BC=BD D．∠ACD=∠ADC【考点】垂径定理．【分析】先根据垂径定理得CM=DM，，，得出BC=BD，再根据圆周角定理得到∠ACD=∠ADC，而OM与BM的关系不能判断．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CM=DM，，，∴BC=BD，∠ACD=∠ADC．故选：B．【点评】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系定理，圆周角定理；熟练掌握垂径定理，由垂径定理得出相等的弧是解决问题的关键．4．下列一元二次方程有实数根的是（）A．x2﹣2x﹣2=0 B．x2+2x+2=0 C．x2﹣2x+2=0 D．x2+2=0【考点】根的判别式．【分析】根据一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根判断即可．【解答】解：A、∵△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣2）＞0，∴原方程有两个不相等实数根；B、∵△=22﹣4×1×2＜0，∴原方程无实数根；C、∵△=（﹣2）2﹣4×1×2＜0，∴原方程无实数根；D、∵△=﹣4×1×2＜0，∴原方程无实数根；故选A．【点评】此题考查了根的判别式与方程解的关系，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2﹣4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2﹣4ac＜0时，方程无解．5．已知关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（）A．k＞1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k＞1且k≠2 D．k＜1【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．【分析】根据关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，可得出判别式大于0，再求得k的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，∴△=4+4（k﹣2）＞0，解得k＞﹣1，∵k﹣2≠0，∴k≠2，∴k的取值范围k＞﹣1且k≠2，故选C．【点评】本题考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．6．观察如下图形，它们是按一定规律排列的，依照次规律，第n的图形中共有210个小棋子，则n等于（）A．20 B．21 C．15 D．16【考点】规律型：图形的变化类．【分析】由题意可知：排列组成的图形都是三角形，第一个图形中有1个小棋子，第二个图形中有1+2=3个小棋子，第三个图形中有1+2+3=6个小棋子，…由此得出第n个图形共有1+2+3+4+…+n=n（n+1），由此联立方程求得n的数值即可．【解答】解：∵第一个图形中有1个小棋子，第二个图形中有1+2=3个小棋子，第三个图形中有1+2+3=6个小棋子，…∴第n个图形共有1+2+3+4+…+n=n（n+1），∴n（n+1）=210，解得：n=20．故选：A．【点评】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出点的排列规律，利用规律解决问题．7．若点（﹣1，4），（3，4）是抛物线y=ax2+bx+c上的两点，则此抛物线的对称轴是（）A．直线x=﹣B．直线x=1 C．直线x=3 D．直线x=2【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】因为两点的纵坐标都为4，所以可判此两点是一对对称点，利用公式x=求解即可．【解答】解：∵两点的纵坐标都为4，∴此两点是一对对称点，∴对称轴x===1．故选B．【点评】本题考查了如何求二次函数的对称轴，对于此类题目可以用公式法也可以将函数化为顶点式或用公式x=求解．8．如图，⊙C过原点O，且与两坐标轴分别交于点A、B，点A的坐标为（0，4），点M是第三象限内上一点，∠BMO=120°，则⊙O的半径为（）A．4 B．5 C．6 D．2【考点】圆内接四边形的性质；含30度角的直角三角形；圆周角定理．【分析】连接OC，由圆周角定理可知AB为⊙C的直径，再根据∠BMO=120°可求出∠BAO 的度数，证明△AOC是等边三角形，即可得出结果．【解答】解：连接OC，如图所示：∵∠AOB=90°，∴AB为⊙C的直径，∵∠BMO=120°，∴∠BCO=120°，∠BAO=60°，∵AC=OC，∠BAO=60°，∴△AOC是等边三角形，∴⊙C的半径=OA=4．故选：A．【点评】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握圆内接四边形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．9．如图，AB为⊙O直径，C为⊙O上一点，∠ACB的平方线交⊙O于点D，若AB=10，AC=6，则CD的长为（）A．7 B．7C．8 D．8【考点】圆周角定理；全等三角形的判定与性质；勾股定理．【分析】作DF⊥CA，交CA的延长线于点F，作DG⊥CB于点G，连接DA，DB．由CD 平分∠ACB，根据角平分线的性质得出DF=DG，由HL证明△AFD≌△BGD，△CDF≌△CDG，得出CF=7，又△CDF是等腰直角三角形，从而求出CD．【解答】解：作DF⊥CA，垂足F在CA的延长线上，作DG⊥CB于点G，连接DA，DB．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴DF=DG，弧AD=弧BD，∴DA=DB．在Rt△AFD和Rt△BGD中，，∴△AFD≌△BGD（HL），∴AF=BG．在△CDF和△CDG中，，∴△CDF≌△CDG（AAS），∴CF=CG．∵AC=6，AB=10，∴BC==8，∴AF=1，∴CF=7，∵△CDF是等腰直角三角形，∴CD=7．故选B．【点评】本题主要考查了圆周角的性质，圆心角、弧、弦的对等关系，全等三角形的判定，角平分线的性质等知识点的运用．关键是正确作出辅助线．10．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则a的取值范围为（）A．﹣1＜a＜0 B．﹣1＜a＜C．0＜a＜D．＜a＜【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】根据开口判断a的符号，根据y轴的交点判断c的符号，根据对称轴b用a表示出的代数式，进而根据当x=2时，得出4a+2b+c=0，用a表示c＞﹣1得出答案即可．【解答】解：抛物线开口向上，a＞0图象过点（2，4），4a+2b+c=4则c=4﹣4a﹣2b，对称轴x=﹣=﹣1，b=2a，图象与y轴的交点﹣1＜c＜0，因此﹣1＜4﹣4a﹣4a＜0，实数a的取值范围是＜a＜．故选：D．【点评】此题考查二次函数图象与系数的关系，对于函数图象的描述能够理解函数的解析式的特点，是解决本题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．抛物线y=﹣（x+3）2+1的顶点坐标是（﹣3，1）．【考点】二次函数的性质．【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．【解答】解：∵抛物线y=﹣（x+3）2+1，∴顶点坐标是（﹣3，1）．故答案为：（﹣3，1）．【点评】此题考查二次函数的性质，掌握顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h，是解决问题的关键．12．已知ab≠0，且a2﹣3ab﹣4b2=0，则的值为﹣1或4．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【专题】计算题．【分析】把a2﹣3ab﹣4b2=0看作关于a的一元二次方程，利用因式分解法解得a=4b或a=﹣b，然后利用分式的性质计算的值．【解答】解：（a﹣4b）（a+b）=0，a﹣4b=0或a+b=0，所以a=4b或a=﹣b，当a=4b时，=4；当a=﹣b时，=﹣1，所以的值为﹣1或4．故答案为﹣1或4．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．13．已知关于x的方程a（x+m）2+c=0（a，m，c均为常数，a≠0）的根是x1=﹣3，x2=2，则方程a（x+m﹣1）2+c=0的根是x1=﹣2，x2=3．【考点】解一元二次方程-直接开平方法．【分析】把后面一个方程中的x﹣1看作整体，相当于前面一个方程中的x，从而可得x﹣1=﹣3或x﹣1=2，再求解即可．【解答】解：∵关于x的方程a（x+m）2+c=0的解是x1=﹣3，x2=2（a，m，c均为常数，a≠0），∴方程a（x+m﹣1）2+c=0变形为a[（x﹣1）+m]2+c=0，即此方程中x﹣1=﹣3或x﹣1=2，解得x=﹣2或x=3．故方程a（x+m﹣1）2+c=0的解为x1=﹣2，x2=3．故答案是：x1=﹣2，x2=3．【点评】此题主要考查了方程解的定义．注意由两个方程的特点进行简便计算．14．如图，AB，AC是⊙O，D是CA延长线上的一点，AD=AB，∠BDC=25°，则∠BOC= 100°．【考点】圆周角定理．【分析】由AD=AB，∠BDC=25°，可求得∠ABD的度数，然后由三角形外角的性质，求得∠BAC的度数，又由圆周角定理，求得答案．【解答】解：∵AD=AB，∠BDC=25°，∴∠ABD=∠BDC=25°，∴∠BAC=∠ABD+∠BDC=50°，∴∠BOC=2∠BAC=100°．故答案为：100°．【点评】此题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．15．已知△ABC的三个顶点都在⊙O上，AB=AC，⊙O的半径等于10cm，圆心O到BC的距离为6cm，则AB的长等于8或4．【考点】垂径定理；等腰三角形的性质；勾股定理．【专题】分类讨论．【分析】此题分情况考虑：当三角形的外心在三角形的内部时，根据勾股定理求得BD的长，再根据勾股定理求得AB的长；当三角形的外心在三角形的外部时，根据勾股定理求得BD 的长，再根据勾股定理求得AB的长．【解答】解：如图1，当△ABC是锐角三角形时，连接AO并延长到BC于点D，∵AB=AC，O为外心，∴AD⊥BC，在Rt△BOD中，∵OB=10，OD=6，∴BD===8．在Rt△ABD中，根据勾股定理，得AB===8（cm）；如图2，当△ABC是钝角或直角三角形时，连接AO交BC于点D，在Rt△BOD中，∵OB=10，OD=6，∴BD===8，∴AD=10﹣6=4，在Rt△ABD中，根据勾股定理，得AB===4（cm）．故答案为：8或4．【点评】本题考查的是垂径定理，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．16．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，图象与x轴交于A（x1，0）B（x2，0）两点，点M（x0，y0）是图象上另一点，且x0＞1．现有以下结论：①abc＞0；②b＜2a；③a+b+c＞0；④a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0．其中正确的结论是①、④．（只填写正确结论的序号）【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】推理填空题；数形结合．【分析】由抛物线的开口方向可确定a的符号，由抛物线的对称轴相对于y轴的位置可得a 与b之间的符号关系，由抛物线与y轴的交点位置可确定c的符号；根据抛物线的对称轴与x=﹣1的大小关系可推出2a﹣b的符号；由于x=1时y=a+b+c，因而结合图象，可根据x=1时y的符号来确定a+b+c的符号，根据a、x0﹣x1、x0﹣x2的符号可确定a（x0﹣x1）（x0﹣x2）的符号．【解答】解：由抛物线的开口向下可得a＜0，由抛物线的对称轴在y轴的左边可得x=﹣＜0，则a与b同号，因而b＜0，由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可得c＞0，∴abc＞0，故①正确；由抛物线的对称轴x=﹣＞﹣1（a＜0），可得﹣b＜﹣2a，即b＞2a，故②错误；由图可知当x=1时y＜0，即a+b+c＜0，故③错误；∵a＜0，x0﹣x1＞0，x0﹣x2＞0，∴a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0，故④正确．综上所述：①、④正确．故答案为①、④．【点评】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，其中a决定于抛物线的开口方向，b决定于抛物线的开口方向及抛物线的对称轴相对于y轴的位置，c决定于抛物线与y轴的交点位置，2a与b的大小决定于a的符号及﹣与﹣1的大小关系，运用数形结合的思想准确获取相关信息是解决本题的关键．三、解答题（本大题共9小题，共72分）17．解方程：（1）x2+2x﹣15=0（2）3x（x﹣2）=（2﹣x）【考点】解一元二次方程-因式分解法．【专题】计算题．【分析】（1）利用因式分解法解方程；（2）先把方程变形得到3x（x﹣2）+（x﹣2）=0，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：（1）（x+5）（x﹣3）=0，x+5=0或x﹣3=0，x+5=0或x﹣3=0，所以x1=﹣5，x2=3；（2）3x（x﹣2）+（x﹣2）=0，（x﹣2）（3x+）=0，x﹣2=0或3x+=0，所以x1=2，x2=﹣．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．18．已知抛物线的顶点是（4，2），且在x轴上截得的线段长为8，求此抛物线的解析式．【考点】待定系数法求二次函数解析式．【专题】计算题．【分析】根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的两交点坐标为（0，0），（8，0），则可设交点式y=ax（x﹣8），然后把顶点坐标代入求出a即可．【解答】解：根据题意得抛物线的对称轴为直线x=4，而抛物线在x轴上截得的线段长为8，所以抛物线与x轴的两交点坐标为（0，0），（8，0），设抛物线解析式为y=ax（x﹣8），把（4，2）代入得a•4•（﹣4）=2，解得a=﹣，所以抛物线解析式为y=﹣x（x﹣8），即y=﹣x2+x．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．本题的关键是利用对称性确定抛物线与x轴的交点坐标．19．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知x2+mx+n=0是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，求m2+n2的值．【考点】根的判别式；一元二次方程的解．【专题】新定义．【分析】根据x2+mx+n=0是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，列出方程组，求出m，n 的值，再代入计算即可．【解答】解：根据题意得：解得：，则m2+n2=（﹣2）2+12=5．【点评】本题考查了一元二次方程的解，根的判别式，关键是根据已知条件列出方程组，用到的知识点是一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．20．为响应党中央提出的“足球进校园”号召，我市在今年秋季确定了3所学校为我市秋季确定3所学校诶我市足球基地实验学校，并在全市开展了中小学足球比赛，比赛采用单循环制，即组内每两队之间进行一场比赛，若初中组共进行45场比赛，问初中共有多少个队参加比赛？【考点】一元二次方程的应用．【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），每个小组x个球队比赛总场数=x（x﹣1），由此可得出方程．【解答】解：设初中组共有x个队参加比赛，依题意列方程x（x﹣1）=45，解得：x1=10，x2=﹣19（不合题意，舍去），答：初中组共有10个队参加比赛．【点评】此题考查一元二次方程的实际运用，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数与球队之间的关系．21．如图，在⊙O中，=，∠ACB=60°．（1）求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC；（2）若D是的中点，求证：四边形OADB是菱形．【考点】圆心角、弧、弦的关系；菱形的判定；圆周角定理．【专题】证明题．【分析】（1）根据圆心角、弧、弦的关系，由=得AB=AC，加上∠ACB=60°，则可判断△ABC是等边三角形，所以AB=BC=CA，于是根据圆心角、弧、弦的关系即可得到∠AOB=∠BOC=∠AOC；（2）连接OD，如图，由D是的中点得=，则根据圆周角定理得∠AOD=∠BOD=∠ACB=60°，易得△OAD和△OBD都是等边三角形，则OA=AD=OD，OB=BD=OD，所以OA=AD=DB=BO，于是可判断四边形OADB是菱形．【解答】证明：（1）∵=，∴AB=AC，∵∠ACB=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=BC=CA，∴∠AOB=∠BOC=∠AOC；（2）连接OD，如图，∵D是的中点，∴=，∴∠AOD=∠BOD=∠ACB=60°，又∵OD=OA，OD=OB，∴△OAD和△OBD都是等边三角形，∴OA=AD=OD，OB=BD=OD，∴OA=AD=DB=BO，∴四边形OADB是菱形．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了菱形的判定、等边三角形的判定与性质和圆周角定理．22．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0．（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，且BC=8，当△ABC为等腰三角形时，求m的值．【考点】根的判别式；根与系数的关系；等腰三角形的性质．【分析】（1）先根据题意求出△的值，再根据一元二次方程根的情况与判别式△的关系即可得出答案；（2）根据△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，设AB=x1=8，得出82﹣8（2m+1）+m（m+1）=0，求出m的值即可．【解答】解：（1）∵△=[﹣（2m+1）]2﹣4m（m+1）=1＞0，∴不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根．（2）由于无论m为何值，方程恒有两个不等实根，故若要△ABC为等腰三角形，那么必有一个解为8；设AB=x1=8，则有：82﹣8（2m+1）+m（m+1）=0，即：m2﹣15m+56=0，解得：m1=7，m2=8．则当△ABC为等腰三角形时，m的值为7或8．【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．23．如图，O为正方形ABCD对角线上一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点E．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若正方形ABCD的边长为10，求⊙O的半径．【考点】切线的判定；正方形的性质．【分析】（1）首先连接OE，并过点O作OF⊥CD，由OA长为半径的⊙O与BC相切于点E，可得OE=OA，OE⊥BC，然后由AC为正方形ABCD的对角线，根据角平分线的性质，可证得OF=OE=OA，即可判定CD是⊙O的切线；（2）由正方形ABCD的边长为10，可求得其对角线的长，然后由设OA=r，可得OE=EC=r，由勾股定理求得OC=r，则可得方程r+r=10，继而求得答案．【解答】（1）证明：连接OE，并过点O作OF⊥CD．∵BC切⊙O于点E，∴OE⊥BC，OE=OA，又∵AC为正方形ABCD的对角线，∴∠ACB=∠ACD，∴OF=OE=OA，即：CD是⊙O的切线．（2）解：∵正方形ABCD的边长为10，∴AB=BC=10，∠B=90°，∠ACB=45°，∴AC==10，∵OE⊥BC，∴OE=EC，设OA=r，则OE=EC=r，∴OC==r，∵OA+OC=AC，∴r+r=10，解得：r=20﹣10．∴⊙O的半径为：20﹣10．【点评】此题考查了切线的判定、正方形的性质、角平分线的性质以及勾股定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．24．某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？【考点】二次函数的应用．【专题】综合题．【分析】（1）根据题意可知y与x的函数关系式．（2）根据题意可知y=﹣10﹣（x﹣5.5）2+2402.5，当x=5.5时y有最大值．（3）设y=2200，解得x的值．然后分情况讨论解．【解答】解：（1）由题意得：y=（50+x﹣40）=﹣10x2+110x+2100（0＜x≤15且x为整数）；（2）由（1）中的y与x的解析式配方得：y=﹣10（x﹣5.5）2+2402.5．∵a=﹣10＜0，∴当x=5.5时，y有最大值2402.5．∵0＜x≤15，且x为整数，当x=5时，50+x=55，y=2400（元），当x=6时，50+x=56，y=2400（元）∴当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元．（3）当y=2200时，﹣10x2+110x+2100=2200，解得：x1=1，x2=10．∴当x=1时，50+x=51，当x=10时，50+x=60．∴当售价定为每件51或60元，每个月的利润为2200元．当售价不低于51或60元，每个月的利润为2200元．当售价不低于51元且不高于60元且为整数时，每个月的利润不低于2200元（或当售价分别为51，52，53，54，55，56，57，58，59，60元时，每个月的利润不低于2200元）．【点评】本题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题，是一道综合题．25．如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．【考点】二次函数综合题．【专题】代数几何综合题；压轴题．【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；（2）利用待定系数法求出直线AC的解析式，然后根据轴对称确定最短路线问题，直线AC 与对称轴的交点即为所求点D；（3）根据直线AC的解析式，设出过点E与AC平行的直线，然后与抛物线解析式联立消掉y得到关于x的一元二次方程，利用根的判别式△=0时，△ACE的面积最大，然后求出此时与AC平行的直线，然后求出点E的坐标，并求出该直线与x轴的交点F的坐标，再求出AF，再根据直线l与x轴的夹角为45°求出两直线间的距离，再求出AC间的距离，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0），点C（4，3），∴，解得，所以，抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3；（2）∵点A、B关于对称轴对称，∴点D为AC与对称轴的交点时△BCD的周长最小，设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），则，解得，所以，直线AC的解析式为y=x﹣1，∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x=2，当x=2时，y=2﹣1=1，∴抛物线对称轴上存在点D（2，1），使△BCD的周长最小；（3）如图，设过点E与直线AC平行线的直线为y=x+m，联立，消掉y得，x2﹣5x+3﹣m=0，△=（﹣5）2﹣4×1×（3﹣m）=0，解得：m=﹣，即m=﹣时，点E到AC的距离最大，△ACE的面积最大，此时x=，y=﹣=﹣，∴点E的坐标为（，﹣），设过点E的直线与x轴交点为F，则F（，0），∴AF=﹣1=，∵直线AC的解析式为y=x﹣1，∴∠CAB=45°，∴点F到AC的距离为AF•sin45°=×=，又∵AC==3，∴△ACE的最大面积=×3×=，此时E点坐标为（，﹣）．【点评】本题考查了二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，利用轴对称确定最短路线问题，联立两函数解析式求交点坐标，利用平行线确定点到直线的最大距离问题．。

【人教版】2016届九年级上期中数学试卷及答案解析

九年级上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分。

在每小题给出的四个选项A、B、C、D中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项选出来并填在该题相应的括号内）1．如果两个相似三角形的相似比是1：2，那么它们的面积比是（）A．1：2 B．1：4 C．1： D．2：12．在△ABC中，∠C=90°，sinA=，则sinB的值是（）A．B．C．D．3．如图，AB是⊙O的直径，∠ACD=15°，则∠BAD的度数为（）A．15°B．30°C．60°D．75°4．如图所示，给出下列条件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③；④AC2=AD •AB．其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．45．在△ABC中，若cosA=，tanB=，则这个三角形一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形6．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形与左图中△ABC相似的是（）A．B．C．D．7．如图，BC是⊙O的直径，P是CB延长线上一点，PA切⊙O于点A，如果PA=4，PB=2，那么线段BC的长等于（）A．3 B．4 C．5 D．68．如图，在半径为6cm的⊙O中，点A是劣弧的中点，点D是优弧上一点，且∠D=30°，下列四个结论：①OA⊥BC；②BC=6；③sin∠AOB=；④四边形ABOC是菱形．其中正确结论的序号是（）A．①③B．①②③④ C．②③④D．①③④二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求填写最后结果，每小题填对得3分）9．等腰三角形底边长10cm，周长为36cm，则一底角的正切值为．10．弧长为6π的弧所对的圆心角为60°，则该弧所在圆的半径是．11．将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是．12．如图，平行四边形ABCD中，E是边BC上的点，AE交BD于点F，如果，则= ．13．如图，AB、AC是⊙O的两条切线，切点分别为B、C，D是优弧BC上的一点，已知∠BAC=80°，那么∠BDC= 度．14．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，顶点A、C分别在x，y轴的正半轴上．点Q在对角线OB上，且QO=OC，连接CQ并延长CQ交边AB于点P．则点P的坐标为．三、解答题（本大题共7个小题，共78分）解答应写出必要的证明过程或演算步骤15．计算：tan30°•sin60°+cos230°﹣sin245°•tan45°．16．如图，△ABC中，DE∥BC，DE=1，AD=2，DB=3，求BC的长．17．如图是以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作CD ⊥AB交AB于D．已知cos∠ACD=，BC=4，求AC的长．18．如图，△ABC的三顶点分别为A（4，4），B（﹣2，2），C（3，0）．请画出一个以原点O为位似中心，且与△ABC相似比为的位似图形△A1B1C1，并写出△A1B1C1各顶点的坐标．（只需画出一种情况，A1B1：AB=）19．如图1表示一个时钟的钟面垂直固定与水平桌面上，其中分针上有一点A，且当钟面显示3点30分时，分针垂直与桌面，A点距桌面的高度为10公分．如图2，若此钟面显示3点45分时，A点距离桌面的高度为16公分，则钟面显示3点50分时，A点距桌面的高度为多少公分？20．如图，小明为测量某铁塔AB的高度，他在离塔底B的10米C处测得塔顶的仰角α=43°，已知小明的测角仪高CD=1.5米，求铁塔AB的高．（精确到0.1米）（参考数据：sin43°=0.6820，cos43°=0.7314，tan43°=0.9325）21．如图，以线段AB为直径的⊙O交线段AC于点E，点M是的中点，OM交AC于点D，∠BOE=60°，cosC=，BC=2．（1）求∠A的度数；（2）求证：BC是⊙O的切线；（3）求MD的长度．22．钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛海域实现了常态化巡航管理．如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C，求此时船C与船B的距离是多少．（结果保留根号）23．在矩形ABCD中，DC=2，CF⊥BD分别交BD、AD于点E、F，连接BF．（1）求证：△DEC∽△FDC；（2）当F为AD的中点时，求sin∠FBD的值及BC的长度．24．如图，在Rt△ABC中，斜边BC=12，∠C=30°，D为BC的中点，△ABD的外接圆⊙O与AC交于F点，过A作⊙O的切线AE交DF的延长线于E点．（1）求证：AE⊥DE；（2）计算：AC•AF的值．九年级上学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分。

人教版 2016届九年级上册初三数学期中试卷(含答案解析)

2016-2017学年九年级（上）期中数学试卷一、选择题：（本大题满分45分，共15小题，每题3分．在下列各小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求，请把符合要求的选项前面的字母代号填写在答卷上指定的位置）1．在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．将一元二次方程x2+3=x化为一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（）A．0、3 B．0、1 C．1、3 D．1、﹣13．抛物线y=（x+2）2+1的顶点坐标是（）A．（2，1） B．（﹣2，1）C．（2，﹣1）D．（﹣2，﹣1）4．关于x的一元二次方程9x2﹣6x+k=0有两个实根，则k的范围是（）A．k≤1 B．k≥1 C．k＜1 D．k＞15．将抛物线y=2x2向左平移1个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线，其解析式是（）A．y=2（x+1）2+3 B．y=2（x﹣1）2﹣3 C．y=2（x+1）2﹣3 D．y=2（x﹣1）2+36．若x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两个根，则x1x2的值是（）A．3 B．﹣2 C．﹣3 D．27．下列命题中：①圆既是轴对称图形又是中心对称图形；②平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；③相等的圆心角所对的弧相等；④长度相等的弧是等弧．真命题有（）个．A．1 B．2 C．3 D．48．某种型号的电视机经过连续两次降价，每台售价由原来的1500元，降到了980元，设平均每次降价的百分率为x，则下列方程中正确的是（）A．1500（1﹣x）2=980 B．1500（1+x）2=980 C．980（1﹣x）2=1500 D．980（1+x）2=15009．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=59°，则∠C等于（）A ．29°B ．31°C ．59°D ．62°10．已知二次函数y=x 2﹣4x+m （m 为常数）的图象与x 轴的一个交点为（1，0），则关于x 的一元二次方程x 2﹣4x+m=0的两个实数根是（）A ．x 1=1，x 2=﹣1B ．x 1=﹣1，x 2=2C ．x 1=﹣1，x 2=0D ．x 1=1，x 2=311．如图，在⊙O 中，直径AB 垂直于弦CD ，垂足为P ．若PA=2，PB=8，则CD 的长为（）A ．2B ．4C ．8D ．12．已知点（﹣3，y 3），（﹣2，y 1），（﹣1，y 2）在函数y=x 2+1的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（）A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 3＞y 1＞y 2C ．y 3＞y 2＞y 1D ．y 2＞y 1＞y 313．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将△AOC 绕点O 顺时针旋转90°得到△BOD ，则的长为（）A ．πB ．6πC ．3πD ．1.5π14．如图，用一块直径为a 的圆桌布平铺在对角线长为a 的正方形桌面上，若四周下垂的最大长度相等，则桌布下垂的最大长度x 为（）A ．B ．C ．D ．15．已知一次函数y=﹣kx+k 的图象如图所示，则二次函数y=﹣kx 2﹣2x+k 的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．二、解答题：（本大题满分75分，共9小题）16．解方程：x （2x ﹣5）=4x ﹣10．17．已知抛物线的顶点为A （1，﹣4），且过点B （3，0）．求该抛物线的解析式．18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点的坐标分别为A （0，1），B （﹣1，1），C （﹣1，3）．（1）画出△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1，并写出点C 1的坐标；（2）画出△ABC 绕原点O 顺时针方向旋转90°后得到的△A 2B 2C 2，并写出点C 2的坐标；19．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣6x+k=0有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）若x 1，x 2为该方程的两个实数根且满足x 12x 22﹣x 1﹣x 2=115，求k 的值．20．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，且AB ⊥CD ，垂足为E ．（1）求证：BC=BD ；（2）若BC=15，AD=20，求AB和CD的长．21．如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位AB时，宽20m，水位上升3m就达到警戒线CD，这时水面宽度为10m．（1）在如图的坐标系中求抛物线的解析式；（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到达拱桥顶？22．某工厂从1月份起，每月生产收入是22万元，但在生产过程中会引起环境污染；若再按现状生产，将会受到环保部门的处罚，每月罚款2万元；如果投资111万元治理污染，治污系统可在1月份启用，这样，该厂不但不受处罚，还可降低生产成本，使1至3月的生产收入以相同的百分率递增，经测算，投资治污后，1月份生产收入为25万元，1至3月份的生产累计可达91万元；3月份以后，每月生产收入稳定在3月份的水平．（1）求出投资治污后2、3月份生产收入增长的百分率（参考数据：3.62=1.912，11.56=3.402）（2）如果把利润看做生产累计收入减去治理污染的投资额或环保部门的处罚款，试问：治理污染多少个月后，所投资金开始见效？（即治污后所获利润不小于不治污情况下所获利润）．23．如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形边CB、CD上，连接AF，取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN．（1）连接AE，则△AEF是三角形，MD、MN的数量关系是．（2）如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°，其他条件不变，则MD、MN的数量关系还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．（3）将图1中正方形ABCD及直角三角板ECF同时绕点C顺时针旋转90°，如图3，其他条件不变，则MD、MN的数量关系还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．24．如图，抛物线y=（x+1）2+k 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C （0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点M是抛物线上一动点，且在第三象限；①当M点运动到何处时，四边形AMCB的面积最大？求出四边形AMCB的最大面积及此时点M的坐标；②在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△AMP是以AM为底的等腰直角三角形，若存在，请求出点P和点M的坐标；若不存在，请说明理由．九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题满分45分，共15小题，每题3分．在下列各小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求，请把符合要求的选项前面的字母代号填写在答卷上指定的位置）1．在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C． D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】结合选项根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形；B、是轴对称图形，也是中心对称图形；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形；D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故选B．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2．将一元二次方程x2+3=x化为一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（）A．0、3 B．0、1 C．1、3 D．1、﹣1【考点】一元二次方程的一般形式．【分析】首先移项进而得出二次项系数和一次项系数即可．【解答】解：∵x2+3=x，∴x2﹣x+3=0，∴二次项系数和一次项系数分别为：1，﹣1．故选：D．【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确移项得出是解题关键．3．抛物线y=（x+2）2+1的顶点坐标是（）A．（2，1） B．（﹣2，1）C．（2，﹣1）D．（﹣2，﹣1）【考点】二次函数的性质．【分析】已知解析式是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．【解答】解：因为y=（x+2）2+1是抛物线的顶点式，由顶点式的坐标特点知，顶点坐标为（﹣2，1）．故选B．【点评】考查顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．要掌握顶点式的性质．4．关于x的一元二次方程9x2﹣6x+k=0有两个实根，则k的范围是（）A．k≤1 B．k≥1 C．k＜1 D．k＞1【考点】根的判别式．【分析】根据方程有实数根，得到根的判别式的值大于等于0，列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围．【解答】解：根据题意得：△=36﹣36k≥0，解得：k≤1．故选A．【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．5．将抛物线y=2x2向左平移1个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线，其解析式是（）A．y=2（x+1）2+3 B．y=2（x﹣1）2﹣3 C．y=2（x+1）2﹣3 D．y=2（x﹣1）2+3【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】抛物线平移不改变a的值．【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），向左平移1个单位，再向上平移3个单位，那么新抛物线的顶点为（﹣1，3）．可设新抛物线的解析式为y=2（x ﹣h ）2+k ，代入得：y=2（x+1）2+3．故选A ．【点评】解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．6．若x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣3x ﹣2=0的两个根，则x 1x 2的值是（）A ．3B ．﹣2C ．﹣3D ．2【考点】根与系数的关系．【专题】计算题．【分析】直接根据根与系数的关系求解．【解答】解：根据题意得x 1x 2=﹣2．故选B ．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2=，x 1x 2=．7．下列命题中：①圆既是轴对称图形又是中心对称图形；②平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；③相等的圆心角所对的弧相等；④长度相等的弧是等弧．真命题有（）个．A ．1B ．2C ．3D ．4 【考点】命题与定理．【专题】推理填空题．【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【解答】解：∵圆既是轴对称图形又是中心对称图形，∴选项①正确；∵所平分的弦是直径时不满足，∴选项②不正确；∵在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，∴选项③不正确；∵能完全重合的弧是等弧，∴选项④不正确．综上，可得正确的命题有1个：①．故选：A．【点评】主要主要考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．8．某种型号的电视机经过连续两次降价，每台售价由原来的1500元，降到了980元，设平均每次降价的百分率为x，则下列方程中正确的是（）A．1500（1﹣x）2=980 B．1500（1+x）2=980 C．980（1﹣x）2=1500 D．980（1+x）2=1500【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】增长率问题．【分析】设平均每次降价的百分率为x，根据题意可得，原价×（1﹣降价百分率）2=现价，据此列方程即可．【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，由题意得，1500（1﹣x）2=980．故选A．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．9．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=59°，则∠C等于（）A．29° B．31° C．59° D．62°【考点】圆周角定理．【分析】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，求得∠ADB=90°，继而求得∠A的度数，然后由圆周角定理，求得∠C的度数．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵∠ABD=59°，∴∠A=90°﹣∠ABD=31°，∴∠C=∠A=31°．故选B．【点评】此题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．10．已知二次函数y=x2﹣4x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣4x+m=0的两个实数根是（）A．x1=1，x2=﹣1 B．x1=﹣1，x2=2 C．x1=﹣1，x2=0 D．x1=1，x2=3【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】根据抛物线与x轴交点的性质和根与系数的关系进行解答．【解答】解：∵二次函数y=x2﹣4x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），∴关于x的一元二次方程x2﹣4x+m=0的一个根是x=1．∴设关于x的一元二次方程x2﹣4x+m=0的另一根是t．∴1+t=4，解得 t=3．即方程的另一根为3．故选：D．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点．注意二次函数解析式与一元二次方程间的转化关系．11．如图，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为P．若PA=2，PB=8，则CD的长为（）A ．2B ．4C ．8D ．【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】连接OC ，根据PA=2，PB=8可得CO=5，OP=5﹣2=3，再根据垂径定理可得CD=2CP=8．【解答】解：连接OC ，∵PA=2，PB=8，∴AB=10，∴CO=5，OP=5﹣2=3，在Rt △POC 中：CP==4，∵直径AB 垂直于弦CD ，∴CD=2CP=8，故选：C ．【点评】此题主要考查了勾股定理和垂径定理，关键是掌握平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．12．已知点（﹣3，y 3），（﹣2，y 1），（﹣1，y 2）在函数y=x 2+1的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（）A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 3＞y 1＞y 2C ．y 3＞y 2＞y 1D ．y 2＞y 1＞y 3【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】将三个点的坐标分别代入函数关系式，求出y 1，y 2，y 3的值，从而得解．【解答】解：y 1=（﹣3）2+1=9+1=10，y 2=（﹣2）2+1=4+1=5，y3=（﹣1）2+1=1+1=2，所以，y1＞y2＞y3．故选A．【点评】本题考查了二次函数图象上点坐标特征，此类题目，可以利用二次函数的对称性以及增减性求解，也可以求出具体的相关的函数值．13．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将△AOC绕点O顺时针旋转90°得到△BOD，则的长为（）A．πB．6πC．3πD．1.5π【考点】旋转的性质；弧长的计算．【专题】计算题．【分析】根据弧长公式列式计算即可得解．【解答】解：的长==1.5π．故选：D．【点评】本题考查了旋转的性质，弧长的计算，熟记弧长公式是解题的关键．14．如图，用一块直径为a的圆桌布平铺在对角线长为a的正方形桌面上，若四周下垂的最大长度相等，则桌布下垂的最大长度x为（）A．B．C．D．【考点】垂径定理的应用；正方形的性质．【专题】计算题．【分析】如图，正方形ABCD为直径为a的⊙O的内接正方形，作OE⊥BC于E，交⊙O于F，连接OB，则OB=a，则可判断△OBE为等腰直角三角形，所以OE=OB=a，然后计算OF﹣OE即可．【解答】解：如图，正方形ABCD为直径为a的⊙O的内接正方形，作OE⊥BC于E，交⊙O于F，连接OB，则OB=a，∴△OBE为等腰直角三角形，∴OE=OB=a，∴EF=OF﹣OE=a﹣a=a．即桌布下垂的最大长度x为a．故选A．【点评】本题考查了垂径定理的应用：垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．也考查了正方形的性质．15．已知一次函数y=﹣kx+k的图象如图所示，则二次函数y=﹣kx2﹣2x+k的图象大致是（）A． B．C．D．【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．【分析】根据一次函数的图象和性质判断k的取值范围，确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，得到答案．【解答】解：从一次函数图象可知，k ＞1，﹣k ＜0，抛物线开口向下，﹣＞﹣1，对称轴在x=﹣1的右侧，与y 轴的交点在（0，1）的上方．故选：B ．【点评】本题考查的是一次函数的图象和性质、二次函数的图象和性质，掌握性质、读懂图象从中获取正确的信息是解题的关键，解答二次函数图象问题时，要从开口方向、对称轴和顶点坐标三个方面入手．二、解答题：（本大题满分75分，共9小题）16．解方程：x （2x ﹣5）=4x ﹣10．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】由于方程左右两边都含有（2x ﹣5），可将（2x ﹣5）看作一个整体，然后移项，再分解因式求解．【解答】解：原方程可变形为：x （2x ﹣5）﹣2（2x ﹣5）=0，（2x ﹣5）（x ﹣2）=0，2x ﹣5=0或x ﹣2=0；解得x 1=，x 2=2．【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．17．已知抛物线的顶点为A （1，﹣4），且过点B （3，0）．求该抛物线的解析式．【考点】待定系数法求二次函数解析式．【专题】计算题．【分析】根据顶点坐标设出顶点形式，把B 坐标代入求出a 的值，即可确定出解析式．【解答】解：设抛物线的解析式为y=a （x ﹣1）2﹣4，∵抛物线经过点B （3，0），∴a （3﹣1）2﹣4=0，解得：a=1，∴y=（x﹣1）2﹣4，即y=x2﹣2x﹣3．【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（0，1），B（﹣1，1），C（﹣1，3）．（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；（2）画出△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°后得到的△A2B2C2，并写出点C2的坐标；【考点】作图-旋转变换；作图-轴对称变换．【专题】作图题．【分析】（1）从三角形的各点向对称轴引垂线并延长相同单位得到各点的对应点，顺次连接即可，然后从坐标中读出各点的坐标；（2）让三角形的各顶点都绕点O顺时针旋转90°后得到对应点，顺次连接即可．【解答】解：（1）点C1的坐标（﹣1，﹣3）．（2）所作图形如下：．根据图形结合坐标系可得：C 2（3，1）．【点评】本题考查轴对称及旋转作图的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握两种几何变换的特点，根据题意找到各点的对应点．19．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣6x+k=0有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）若x 1，x 2为该方程的两个实数根且满足x 12x 22﹣x 1﹣x 2=115，求k 的值．【考点】根与系数的关系；根的判别式．【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根可得△=36﹣4k ＞0，解不等式求出k 的取值范围；（2）由根与系数的关系可得x 1+x 2=6，x 1•x 2=k ，代入x 12x 22﹣x 1﹣x 2=115得到关于k 的方程，结合k 的取值范围解方程即可．【解答】解：（1）由题意可得△=36﹣4k ＞0，解得k ＜9；（2）∵x 1，x 2为该方程的两个实数根，∴x 1+x 2=6，x 1•x 2=k ，∵x 12x 22﹣x 1﹣x 2=115，∴k 2﹣6=115，解得k=±11．∵k ＜9，∴k=﹣11．【点评】此题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0根的判别式和根与系数的关系的应用，（1）△＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）△=0时，方程有两个相等的实数根；（3）△＜0时，方程没有实数根；（4）x 1+x 2=﹣；（5）x 1•x 2=．20．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，且AB ⊥CD ，垂足为E ．（1）求证：BC=BD ；（2）若BC=15，AD=20，求AB 和CD 的长．【考点】垂径定理；勾股定理．【专题】探究型．【分析】（1）直接根据垂径定理即可得出结论；（2）先根据垂径定理判断出△ABD 是直角三角形，再根据勾股定理求出AB 的长，由AB •DE=AD •BD 即可求出DE 的长，再由CD=2DE 即可得出结论．【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，∴，∴BC=BD；（2）解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴AB===25，∵AB•DE=AD•BD，∴×25×DE=×20×15．∴DE=12．∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，∴CD=2DE=2×12=24．【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，熟知垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧是解答此题的关键．21．如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位AB时，宽20m，水位上升3m就达到警戒线CD，这时水面宽度为10m．（1）在如图的坐标系中求抛物线的解析式；（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到达拱桥顶？【考点】二次函数的应用．【专题】函数思想．【分析】先设抛物线的解析式，再找出几个点的坐标，代入解析式后可求解．【解答】解：（1）设所求抛物线的解析式为：y=ax2（a≠0），由CD=10m，可设D（5，b），由AB=20m，水位上升3m就达到警戒线CD，则B（10，b﹣3），把D、B的坐标分别代入y=ax2得：，解得．∴y=；（2）∵b=﹣1，∴拱桥顶O到CD的距离为1m，∴=5（小时）．所以再持续5小时到达拱桥顶．【点评】命题立意：此题是把一个实际问题通过数学建模，转化为二次函数问题，用二次函数的性质加以解决．22．（2011•枝江市模拟）某工厂从1月份起，每月生产收入是22万元，但在生产过程中会引起环境污染；若再按现状生产，将会受到环保部门的处罚，每月罚款2万元；如果投资111万元治理污染，治污系统可在1月份启用，这样，该厂不但不受处罚，还可降低生产成本，使1至3月的生产收入以相同的百分率递增，经测算，投资治污后，1月份生产收入为25万元，1至3月份的生产累计可达91万元；3月份以后，每月生产收入稳定在3月份的水平．（1）求出投资治污后2、3月份生产收入增长的百分率（参考数据：3.62=1.912，11.56=3.402）（2）如果把利润看做生产累计收入减去治理污染的投资额或环保部门的处罚款，试问：治理污染多少个月后，所投资金开始见效？（即治污后所获利润不小于不治污情况下所获利润）．【考点】一元二次方程的应用；一元一次不等式组的应用．【专题】增长率问题．【分析】（1）设每月的增长率为x，那么2月份的生产收入为25（1+x），三月份的生产收入为25（1+x）2，根据1至3月份的生产累计可达91万元，可列方程求解．（2）设y月后开始见成效，根据利润看做生产累计收入减去治理污染的投资额或环保部门的处罚款且治污后所获利润不小于不治污情况下所获利润可列不等式求解．【解答】解：（1）设每月的增长率为x，由题意得：25+25（1+x）+25（1+x）2=91解得，x=0.2，或x=﹣3.2（不合题意舍去）答：每月的增长率是20%．（2）三月份的收入是：25（1+20%）2=36（万元）设y月后开始见成效，由题意得：91+36（y﹣3）﹣111≥22y﹣2y解得，y≥8答：治理污染8个月后开始见成效．【点评】本题考查理解题意能力，关键是找到1至3月份的生产累计可达91万元和治污后所获利润不小于不治污情况下所获利润这个等量关系和不等量关系可列方程和不等式求解．23．如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形边CB、CD上，连接AF，取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN．（1）连接AE，则△AEF是等腰三角形，MD、MN的数量关系是MD=MN ．（2）如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°，其他条件不变，则MD、MN的数量关系还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．（3）将图1中正方形ABCD及直角三角板ECF同时绕点C顺时针旋转90°，如图3，其他条件不变，则MD、MN的数量关系还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．【考点】四边形综合题；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；等腰直角三角形；三角形中位线定理；正方形的性质．【分析】（1）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的性质得出CE=CF，继而证出△ABE≌△ADF，得到AE=AF，即△AEF是等腰三角形；依据直角三角形斜边上中线的性质以及三角形的中位线的性质，可得到MN与MD的数量关系；（2）连接AE，根据正方形的性质以及等腰直角三角形的性质，得出BE=DF，继而证出△ABE≌△ADF，得到AE=AF，再依据直角三角形斜边上中线的性质，可得DM=AF，根据三角形的中位线的性质，可得MN=AE，最后得出MN与MD的数量关系；（3）先连接AE，A′F，根据等腰直角三角形的性质得出CE=CF，继而证出△ADE≌△A′D′F，得到AE=AF，再依据三角形的中位线的性质，可得DM=A′F，MN=AE，最后得出MN与MD的数量关系．【解答】解：（1）∵FC=EC，DC=BC，∴DF=BE，又∵AB=AD，∠B=∠ADF=90°，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴AE=AF，即△AEF是等腰三角形，又∵M、N分别是AF与EF的中点，∴Rt△ADF中，DM=AF，△AEF中，MN=AE，∴DM=MN，故答案为：等腰，DM=MN；（2）MD=MN仍成立，证明：连接AE，∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF，CE=CF，又∵BC+CE=CD+CF，即BE=DF，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴AE=AF，∵在Rt△ADF中，点M为AF的中点，∴DM=AF，∵点M为AF的中点，点N为EF的中点，∴MN=AE，∴DM=MN；（3）MD=MN仍成立，理由如下：连接AE，A′F，∵CD=CD′，CE=CF，∴CD﹣CE=CD′﹣CF，即DE=D′F，又∵AD=A′D′，∠ADE=∠D′，∴△ADE≌△A′D′F（SAS），∴AE=A′F，又∵点D是AA′的中点，点M为AF的中点，点N为EF的中点，∴MN，MD分别为△AEF和△AA′F的中位线，∴MN=AE，DM=A′F，∴MN=DM．【点评】本题主要考查的是四边形的综合应用，解答本题需要掌握正方形的性质、等腰直角三角形的性质以及全等三角形的性质和判定，综合性较强，难度较大．解题时注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的中位线等于第三边的一半，是得出线段相等数量关系的主要依据．24．如图，抛物线y=（x+1）2+k 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C （0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点M是抛物线上一动点，且在第三象限；①当M点运动到何处时，四边形AMCB的面积最大？求出四边形AMCB的最大面积及此时点M的坐标；②在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△AMP是以AM为底的等腰直角三角形，若存在，请求出点P和点M的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）将C（0，﹣3）代入抛物线的解析式求得k的值，从而得到抛物线的解析式；（2）连结AC，过点M作MD⊥AC，交AD于点D．先求得点A、B的坐标，然后再求得直线AC的解析式，设M（x，x2+2x﹣3），则D（x，﹣x﹣3），则MD=﹣x2﹣3x，然后依据四边形AMCB的面积=△ABC面积+△AMC面积列出S与x的函数关系式，然后依据配方法求得二次函数的最大值，从而可求得点M的坐标；（3）先求得抛物线的对称轴方程为x=﹣1，然后过点M 作MD ⊥直线x=﹣1，垂足为D ，设直线x=﹣1与x 轴交于点E ，先证明△APE ≌△PMD ，从而得到EP=MD ，AE=PD ．设点P （﹣1，a ），点M （a ﹣1，a ﹣2）．将点M 的坐标代入抛物线的解析式可求得a 的值，从而得到点M 与点P 的坐标．【解答】解：（1）∵y=（x+1）2+k 与y 轴交于点C （0，﹣3）﹣3=1+k ，得，k=﹣4∴抛物线解析式为y=（x+1）2﹣4，即y=x 2+2x ﹣3．（2）如图1所示：连结AC ，过点M 作MD ⊥AC ，交AD 于点D ．令y=0得：x 2+2x ﹣3=0，解得x 1=﹣3，x 2=1，∴A （﹣3，0）、B （1，0）．设直线AC 的解析式为y=kx+b ．∵将A （﹣3，0）、C （0，﹣3）代入得：，解得k=﹣1，b=﹣3． ∴直线AC 解析式为y=﹣x ﹣3．设M （x ，x 2+2x ﹣3），则D （x ，﹣x ﹣3），则MD=﹣x 2﹣3x ．∵四边形AMCB 的面积=△ABC 面积+△AMC 面积，∴四边形AMCB 的面积=MD •AO+AB •OC=×（﹣x 2﹣3x ）×3+×4×3=﹣x 2﹣x+6=﹣（x+）2+．∴当x=﹣时，S 最大值为，点M 的坐标为（﹣，﹣）．（3）存在，理由如下．∵x=﹣=﹣1，∴抛物线的对称轴为x=﹣1．如图2所示：过点M作MD⊥直线x=﹣1，垂足为D，设直线x=﹣1与x轴交于点E∵△APM为等腰直角三角形，∴AP=PM，∠APE+∠MPD=90°．∵∠MPD+∠PMD=90°，∴∠PMD=∠APE．在△APE和△PMD中，∴△APE≌△PMD．∴EP=MD，AE=PD．设点P（﹣1，a），点M（a﹣1，a﹣2）．将M点代入y=x2+2x﹣3中，得（a﹣1）2+2（a﹣1）﹣3=a﹣2，整理得：a2﹣a﹣2=0，解得a=2或a=﹣1，∵点P在x轴的下方，∴a=﹣1．∴P（﹣1，﹣1）、M（﹣2，﹣3）．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、全等三角形的性质和判断、求二次函数的最大值，列出S与x的函数关系式是解答问题（2）的关键，用含a的式子表示点M的坐标是解答问题（3）的关键．。

【人教版】2016届九年级上期中数学试卷及解析

九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项）1．下列汽车标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C． D．2．已知m是方程x2﹣x﹣2=0的一个根，则代数式m2﹣m+2的值等于（）A．4 B．1 C．0 D．﹣13．已知点P关于x轴的对称点P1的坐标是（2，3），那么点P关于原点的对称点P2的坐标是（）A．（﹣3，﹣2）B．（2，﹣3）C．（﹣2，﹣3）D．（﹣2，3）4．抛物线y=（x+2）2﹣3可以由抛物线y=x2平移得到，则下列平移过程正确的是（）A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位5．已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜﹣2 B．k＜2 C．k＞2 D．k＜2且k≠16．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出下列结论：①b2﹣4ac＞0；②2a+b＜0；③4a ﹣2b+c=0；④a：b：c=﹣1：2：3．其中正确的是（）A．①②B．②③C．③④D．①④二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）7．一元二次方程x2﹣3x=0的根是．8．某药品原价每盒25元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，则该药品平均每次降价的百分率是．9．我们在教材中已经学习了：①等边三角形；②矩形；③平行四边形；④等腰三角形；⑤菱形．在以上五种几何图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是．10．二次函数y=ax2+bx+c和一次函数y=mx+n的图象如图所示，则ax2+bx+c≤mx+n时，x的取值范围是．11．方程x2﹣2x﹣k=0的一个实数根为3，则另一个根为．12．已知二次函数y=（x﹣1）2+4，若y随x的增大而减小，则x的取值范围是．13．已知抛物线y=x2﹣2（k+1）x+16的顶点在x轴上，则k的值是．14．如图，Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为．三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）15．解方程：x（2x+3）=4x+6．16．如图，已知：BC与CD重合，∠ABC=∠CDE=90°，△ABC≌△CDE，并且△CDE可由△ABC 逆时针旋转而得到．请你利用尺规作出旋转中心O（保留作图痕迹，不写作法，注意最后用墨水笔加黑），并直接写出旋转角度是．17．如图：在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度；已知△ABC．（1）作出△ABC以O为旋转中心，顺时针旋转90°的△A1B1C1，（只画出图形）．（2）作出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2，（只画出图形），写出B2和C2的坐标．18．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k=0的两个实数根，且x12x22﹣x1﹣x2=115．（1）求k的值；（2）求x12+x22+8的值．四、（本大题共4小题，每小题8分，共32分）19．如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+（2k﹣1）x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标．20．已知等腰△ABC的一边长a=3，另两边长b、c恰好是关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k=0的两个根，求△ABC的周长．21．如图，矩形ABCD的两边长AB=18cm，AD=4cm，点P、Q分别从A、B同时出发，P在边AB 上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动，当一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为x秒，△PBQ的面积为y（cm2）．（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）求△PBQ的面积的最大值．22．在同一平面内，△ABC和△ABD如图①放置，其中AB=BD．小明做了如下操作：将△ABC绕着边AC的中点旋转180°得到△CEA，将△ABD绕着边AD的中点旋转180°得到△DFA，如图②，请完成下列问题：（1）试猜想四边形ABDF是什么特殊四边形，并说明理由；（2）连接EF，CD，如图③，求证：四边形CDEF是平行四边形．五、（本大题共10分）23．如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为8m，宽AB为2m，以BC所在的直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系（如图1），y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6m．（1）求抛物线的解析式；（2）现有一辆货运卡车，高4.4m，宽2.4m，它能通过该隧道吗？（3）如果该隧道内设双向道（如图2），为了安全起见，在隧道正中间设有0.4m的隔离带，则该辆货运卡车还能通过隧道吗？六、（本大题共12分）24．如图，直线y=3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C （3，0）．（1）求A、B的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线的对称轴上求一点P，使得△PAB的周长最小，并求出最小值；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项）1．下列汽车标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C． D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；B、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；D、是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项正确．故选D．【点评】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．2．已知m是方程x2﹣x﹣2=0的一个根，则代数式m2﹣m+2的值等于（）A．4 B．1 C．0 D．﹣1【考点】一元二次方程的解．【分析】把x=m代入方程x2﹣x﹣2=0求出m2﹣m=2，代入求出即可．【解答】解：把x=m代入方程x2﹣x﹣2=0得：m2﹣m﹣2=0，m2﹣m=2，所以m2﹣m+2=2+2=4．故选A．【点评】本题考查了一元二次方程的解，求代数式的值的应用，能求出m2﹣m=2是解此题的关键．3．已知点P关于x轴的对称点P1的坐标是（2，3），那么点P关于原点的对称点P2的坐标是（）A．（﹣3，﹣2）B．（2，﹣3）C．（﹣2，﹣3）D．（﹣2，3）【考点】关于原点对称的点的坐标；关于x轴、y轴对称的点的坐标．【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于x轴的对称点的坐标是（x，﹣y），关于y轴的对称点的坐标是（﹣x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y）．【解答】解：∵点P关于x轴的对称点P1的坐标是（2，3），∴点P的坐标是（2，﹣3）．∴点P关于原点的对称点P2的坐标是（﹣2，3）．故选D．【点评】考查了平面内两个点关于坐标轴对称和原点对称的坐标关系．4．抛物线y=（x+2）2﹣3可以由抛物线y=x2平移得到，则下列平移过程正确的是（）A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可．【解答】解：抛物线y=x2向左平移2个单位可得到抛物线y=（x+2）2，抛物线y=（x+2）2，再向下平移3个单位即可得到抛物线y=（x+2）2﹣3．故平移过程为：先向左平移2个单位，再向下平移3个单位．故选：B．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．5．已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜﹣2 B．k＜2 C．k＞2 D．k＜2且k≠1【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．【专题】计算题；压轴题．【分析】根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围．【解答】解：根据题意得：△=b2﹣4ac=4﹣4（k﹣1）=8﹣4k＞0，且k﹣1≠0，解得：k＜2，且k≠1．故选：D．【点评】此题考查了根的判别式，以及一元二次方程的定义，弄清题意是解本题的关键．6．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出下列结论：①b2﹣4ac＞0；②2a+b＜0；③4a ﹣2b+c=0；④a：b：c=﹣1：2：3．其中正确的是（）A．①②B．②③C．③④D．①④【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】计算题．【分析】由二次函数图象与x轴有两个交点，得到根的判别式大于0，可得出选项①正确；由二次函数的对称轴为直线x=1，利用对称轴公式列出关系式，化简后得到2a+b=0（i），选项②错误；由﹣2对应的函数值为负数，故将x=﹣2代入抛物线解析式，得到4a﹣2b+c小于0，选项③错误；由﹣1对应的函数值等于0，将x=﹣1代入抛物线解析式，得到a﹣b+c=0（ii），联立（i）（ii），用a表示出b及c，可得出a：b：c的比值为﹣1：2：3，选项④正确，即可得到正确的选项．【解答】解：由二次函数图象与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，选项①正确；又对称轴为直线x=1，即﹣=1，可得2a+b=0（i），选项②错误；∵﹣2对应的函数值为负数，∴当x=﹣2时，y=4a﹣2b+c＜0，选项③错误；∵﹣1对应的函数值为0，∴当x=﹣1时，y=a﹣b+c=0（ii），联立（i）（ii）可得：b=﹣2a，c=﹣3a，∴a：b：c=a：（﹣2a）：（﹣3a）=﹣1：2：3，选项④正确，则正确的选项有：①④．故选D【点评】此题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），a的符合由抛物线的开口方向决定；c的符合由抛物线与y轴交点的位置确定；b的符合由对称轴的位置与a的符合决定；抛物线与x轴的交点个数决定了根的判别式的符合，此外还有注意二次函数图象上的一些特殊点，比如1，﹣1或2对应函数值的正负．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）7．一元二次方程x2﹣3x=0的根是x1=0，x2=3．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【专题】方程思想；因式分解．【分析】首先利用提取公因式法分解因式，由此即可求出方程的解．【解答】解：x2﹣3x=0，x（x﹣3）=0，∴x1=0，x2=3．故答案为：x1=0，x2=3．【点评】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，解题的关键会进行因式分解．8．某药品原价每盒25元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，则该药品平均每次降价的百分率是20%．【考点】一元二次方程的应用．【专题】增长率问题．【分析】设该药品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是25（1﹣x），第二次后的价格是25（1﹣x）2，据此即可列方程求解．【解答】解：设该药品平均每次降价的百分率为x，由题意可知经过连续两次降价，现在售价每盒16元，故25（1﹣x）2=16，解得x=0.2或1.8（不合题意，舍去），故该药品平均每次降价的百分率为20%．【点评】本题考查数量平均变化率问题．原来的数量（价格）为a，平均每次增长或降低的百分率为x的话，经过第一次调整，就调整到a（1±x），再经过第二次调整就是a（1±x）（1±x）=a（1±x）2．增长用“+”，下降用“﹣”．9．我们在教材中已经学习了：①等边三角形；②矩形；③平行四边形；④等腰三角形；⑤菱形．在以上五种几何图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是②⑤．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据中心对称图形以及轴对称图形的定义即可作出判断．【解答】解：①等边三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项错误；②矩形，既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项正确；③平行四边形，不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项错误；④等腰三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项错误；⑤菱形，既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项正确；故答案为：②⑤．【点评】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，正确理解定义是关键．10．二次函数y=ax2+bx+c和一次函数y=mx+n的图象如图所示，则ax2+bx+c≤mx+n时，x的取值范围是﹣2≤x≤1．【考点】二次函数与不等式（组）．【分析】求关于x的不等式ax2+bx+c≤mx+n的解集，实质上就是根据图象找出函数y=ax2+bx+c的值小于或等于y=mx+n的值时x的取值范围，由两个函数图象的交点及图象的位置，可求范围．【解答】解：依题意得求关于x的不等式ax2+bx+c≤mx+n的解集，实质上就是根据图象找出函数y=ax2+bx+c的值小于或等于y=mx+n的值时x的取值范围，由两个函数图象的交点及图象的位置可以得到此时x的取值范围是﹣2≤x≤1．故填空答案：﹣2≤x≤1．【点评】解答此题的关键是把解不等式的问题转化为比较函数值大小的问题，然后结合两个函数图象的交点坐标解答，本题锻炼了学生数形结合的思想方法．11．方程x2﹣2x﹣k=0的一个实数根为3，则另一个根为﹣1．【考点】一元二次方程的解．【分析】根据题意把3代入原方程求得k的值，然后把k的值代入原方程，从而解得原方程的两个根，即可求解．【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣k=0的一个实数根为3，∴把3代入方程得：9﹣6﹣k=0，∴k=3，∴把k=3代入原方程得：x2﹣2x﹣3=0，∴解得方程的两根分别为3和﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查了一元二次方程的解（根）的意义．解答本题的关键就是把3代入原方程求得k的值，然后再解得原方程的两个根．本题属于基础题比较简单．12．已知二次函数y=（x﹣1）2+4，若y随x的增大而减小，则x的取值范围是x≤1．【考点】二次函数的性质．【分析】根据二次函数的解析式的二次项系数判定该函数图象的开口方向、根据顶点式方程确定其图象的顶点坐标，从而知该二次函数的单调区间．【解答】解：∵二次函数的解析式的二次项系数是，∴该二次函数的开口方向是向上；又∵该二次函数的图象的顶点坐标是（1，4），∴该二次函数图象在[﹣∞1m]上是减函数，即y随x的增大而减小；即：当x≤1时，y随x的增大而减小，故答案为：x≤1．【点评】本题考查了二次函数图象的性质．解答该题时，须熟知二次函数的系数与图象的关系、二次函数的顶点式方程y=（k﹣h）x2﹣b中的h，b的意义．13．已知抛物线y=x2﹣2（k+1）x+16的顶点在x轴上，则k的值是3或﹣5．【考点】二次函数的性质．【分析】抛物线y=ax2+bx+c的顶点纵坐标为，当抛物线的顶点在x轴上时，顶点纵坐标为0，解方程求k的值．【解答】解：根据顶点纵坐标公式，抛物线y=x2﹣2（k+1）x+16的顶点纵坐标为，∵抛物线的顶点在x轴上时，∴顶点纵坐标为0，即=0，解得k=3或﹣5．故本题答案为3或﹣5．【点评】本题考查了二次函数的顶点坐标的运用．抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（﹣，）．14．如图，Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为（，2）．【考点】二次函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化-旋转．【分析】先根据待定系数法求得抛物线的解析式，然后根据题意求得D（0，2），且DC∥x轴，从而求得P的纵坐标为2，代入求得的解析式即可求得P的坐标．【解答】解：∵Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线y=ax2上，∴4=4a，解得a=1，∴抛物线为y=x2，∵点A（﹣2，4），∴B（﹣2，0），∴OB=2，∵将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，∴D点在y轴上，且OD=OB=2，∴D（0，2），∵DC⊥OD，∴DC∥x轴，∴P点的纵坐标为2，代入y=x2，得2=x2，解得x=±，∴P（，2）．故答案为（，2）．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意求得P的纵坐标是解题的关键．三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）15．解方程：x（2x+3）=4x+6．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】先移项；然后提取公因式（2x+3）分解因式，利用因式分解法解方程．【解答】解：x（2x+3）﹣2（2x+3）=0，∴（2x+3）（x﹣2）=0，∴2x+3=0或x﹣2=0，∴x1=﹣，x2=2．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣因式分解法．因式分解法解一元二次方程的思想就是把未知方程化成2个因式相乘等于0的形式，如（x﹣a）（x﹣b）=0的形式，这样就可直接得出方程的解为x﹣a=0或x﹣b=0，即x=a或x=b．注意“或”的数学含义，这里x1和x2就是“或”的关系，它表两个解中任意一个成立时方程成立，同时成立时，方程也成立．16．如图，已知：BC与CD重合，∠ABC=∠CDE=90°，△ABC≌△CDE，并且△CDE可由△ABC 逆时针旋转而得到．请你利用尺规作出旋转中心O（保留作图痕迹，不写作法，注意最后用墨水笔加黑），并直接写出旋转角度是90°．【考点】作图-旋转变换．【专题】作图题．【分析】分别作出AC，CE的垂直平分线进而得出其交点O，进而得出答案．【解答】解：如图所示：旋转角度是90°．故答案为：90°．【点评】此题主要考查了旋转变换，得出旋转中心的位置是解题关键．17．如图：在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度；已知△ABC．（1）作出△ABC以O为旋转中心，顺时针旋转90°的△A1B1C1，（只画出图形）．（2）作出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2，（只画出图形），写出B2和C2的坐标．【考点】作图-旋转变换．【专题】作图题．【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C以O为旋转中心顺时针旋转90°后的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；（2）根据网格结构找出点A、B、C关于原点O成中心对称的点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出B2和C2的坐标．【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示；（2）△A2B2C2如图所示，B2（4，﹣1），C2（1，﹣2）．【点评】本题考查了利用旋转变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．18．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k=0的两个实数根，且x12x22﹣x1﹣x2=115．（1）求k的值；（2）求x12+x22+8的值．【考点】根与系数的关系；解一元二次方程-直接开平方法；根的判别式．【专题】压轴题．【分析】（1）方程有两个实数根，必须满足△=b2﹣4ac≥0，从而求出实数k的取值范围，再利用根与系数的关系，x12x22﹣x1﹣x2=115．即x12x22﹣（x1+x2）=115，即可得到关于k的方程，求出k的值．（2）根据（1）即可求得x1+x2与x1x2的值，而x12+x22+8=（x1+x2）2﹣2x1x2+8即可求得式子的值．【解答】解：（1）∵x1，x2是方程x2﹣6x+k=0的两个根，∴x1+x2=6，x1x2=k，∵x12x22﹣x1﹣x2=115，∴k2﹣6=115，解得k1=11，k2=﹣11，当k1=11时，△=36﹣4k=36﹣44＜0，∴k1=11不合题意当k2=﹣11时，△=36﹣4k=36+44＞0，∴k2=﹣11符合题意，∴k的值为﹣11；（2）∵x1+x2=6，x1x2=﹣11∴x12+x22+8=（x1+x2）2﹣2x1x2+8=36+2×11+8=66．【点评】总结：（1）一元二次方程根的情况与判别式△的关系：①△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；②△=0⇔方程有两个相等的实数根；③△＜0⇔方程没有实数根．（2）根与系数的关系是：x1+x2=，x1x2=．根据根与系数的关系把x12x22﹣x1﹣x2=115转化为关于k的方程，解得k的值是解决本题的关键．四、（本大题共4小题，每小题8分，共32分）19．如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+（2k﹣1）x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标．【考点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积．【分析】（1）直接把原点坐标代入y=x2+（2k﹣1）x+k+1求出k的值即可得到二次函数解析式；（2）先确定A（3，0）和抛物线的对称轴，设B（x，x2﹣3x），再根据三角形面积公式得到•3•|x2﹣3x|=6，则x2﹣3x=4或x2﹣3x=﹣4，然后分别解方程求出x即可确定满足条件的B点坐标．【解答】解：（1）把（0，0）代入得k+1=0，解得k=﹣1，所以二次函数解析式为y=x2﹣3x；（2）当y=0时，x2﹣3x=0，解得x1=0，x2=3，则A（3，0），抛物线的对称轴为直线x=，设B（x，x2﹣3x），因为△AOB的面积等于6，所以•3•|x2﹣3x|=6，当x2﹣3x=4时，解得x1=﹣1，x2=4，则B点坐标为（4，4）；当x2﹣3x=﹣4时，方程无实数解．所以点B的坐标为（4，4）．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．20．已知等腰△ABC的一边长a=3，另两边长b、c恰好是关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k=0的两个根，求△ABC的周长．【考点】等腰三角形的性质；解一元二次方程-因式分解法．【分析】先利用因式分解法求出两根：x1=2，x2=k．先分类讨论：若a=3为底边；若a=3为腰，分别确定b，c的值，求出三角形的周长．【解答】解：x2﹣（k+2）x+2k=0（x﹣2）（x﹣k）=0，则x1=2，x2=k，当b=c，k=2，则△ABC的周长=2+2+3=7，当b=2，c=3或c=2，b=3则k=3，则△ABC的周长=2+3+3=8．故△ABC的周长是7或8．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解．也考查了解等腰三角形的性质．21．如图，矩形ABCD的两边长AB=18cm，AD=4cm，点P、Q分别从A、B同时出发，P在边AB 上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动，当一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为x秒，△PBQ的面积为y（cm2）．（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）求△PBQ的面积的最大值．【考点】矩形的性质；二次函数的最值．【专题】动点型．【分析】（1）分别表示出PB、BQ的长，然后根据三角形的面积公式列式整理即可得解；（2）把函数关系式整理成顶点式解析式，然后根据二次函数的最值问题解答．【解答】解：（1）∵S△PBQ=PB•BQ，PB=AB﹣AP=18﹣2x，BQ=x，∴y=（18﹣2x）x，即y=﹣x2+9x（0＜x≤4）；（2）由（1）知：y=﹣x2+9x，∴y=﹣（x﹣）2+，∵当0＜x≤时，y随x的增大而增大，而0＜x≤4，∴当x=4时，y最大值=20，即△PBQ的最大面积是20cm2．【点评】本题考查了矩形的性质，二次函数的最值问题，根据题意表示出PB、BQ的长度是解题的关键．22．在同一平面内，△ABC和△ABD如图①放置，其中AB=BD．小明做了如下操作：将△ABC绕着边AC的中点旋转180°得到△CEA，将△ABD绕着边AD的中点旋转180°得到△DFA，如图②，请完成下列问题：（1）试猜想四边形ABDF是什么特殊四边形，并说明理由；（2）连接EF，CD，如图③，求证：四边形CDEF是平行四边形．【考点】旋转的性质；平行四边形的判定；菱形的判定．【专题】几何综合题．【分析】（1）根旋转的性质得AB=DF，BD=FA，由于AB=BD，所以AB=BD=DF=FA，则可根据菱形的判定方法得到四边形ABDF是菱形；（2）由于四边形ABDF是菱形，则AB∥DF，且AB=DF，再根据旋转的性质易得四边形ABCE为平行四边形，根据平行四边形的性质得AB∥CE，且AB=CE，所以CE∥FD，CE=FD，所以可判断四边形CDEF是平行四边形．【解答】（1）解：四边形ABDF是菱形．理由如下：∵△ABD绕着边AD的中点旋转180°得到△DFA，∴AB=DF，BD=FA，∵AB=BD，∴AB=BD=DF=FA，∴四边形ABDF是菱形；（2）证明：∵四边形ABDF是菱形，∴AB∥DF，且AB=DF，∵△ABC绕着边AC的中点旋转180°得到△CEA，∴AB=CE，BC=EA，∴四边形ABCE为平行四边形，∴AB∥CE，且AB=CE，∴CE∥FD，CE=FD，∴四边形CDEF是平行四边形．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了平行四边形的判定和菱形的判定．五、（本大题共10分）23．如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为8m，宽AB为2m，以BC所在的直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系（如图1），y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6m．（1）求抛物线的解析式；（2）现有一辆货运卡车，高4.4m，宽2.4m，它能通过该隧道吗？（3）如果该隧道内设双向道（如图2），为了安全起见，在隧道正中间设有0.4m的隔离带，则该辆货运卡车还能通过隧道吗？【考点】二次函数的应用．【分析】（1）抛物线的解析式为y=ax2+c，根据E点及D点的坐标由待定系数法就可以求出结论；（2）当y=2.4时代入（1）的解析式求出x的值就求出结论；（3）将（2）求出的宽度﹣0.4m后除以2的值与2.4比较就可以求出结论．【解答】解：（1）∵OE为线段BC的中垂线，∴OC=BC．∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=8m，AB=CD=2m，∴OC=4．∴D（4，2，）．E（0，6）．设抛物线的解析式为y=ax2+c，由题意，得，解得：，∴y=﹣x2+6；（2）由题意，得当y=4.4时，4.4=﹣x2+6，解得：x=±，∴宽度为：＞2.4，∴它能通过该隧道；（3）由题意，得（﹣0.4）=﹣0.2＞2.4，∴该辆货运卡车还能通过隧道．【点评】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．六、（本大题共12分）24．如图，直线y=3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C （3，0）．（1）求A、B的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线的对称轴上求一点P，使得△PAB的周长最小，并求出最小值；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】综合题；二次函数图象及其性质．【分析】（1）对于直线y=3x+3，分别令x与y为0求出对应y与x的值，确定出A与B坐标即可；（2）根据A，C坐标，设出抛物线解析式，将C坐标代入即可确定出解析式；（3）连接BC，与抛物线对称轴交于点P，连接AP，此时△PAB的周长最小，并求出最小值即可；（4）在抛物线的对称轴上存在点Q，使△ABQ是等腰三角形，分四种情况考虑，求出满足题意Q 坐标即可．【解答】解：（1）对于直线y=3x+3，令x=0，得到y=3；令y=0，得到x=﹣1，则A（﹣1，0），B（0，3）；（2）由A（﹣1，0），C（3，0），设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），把B（0，3）代入得：3=﹣3a，即a=﹣1，则抛物线解析式为y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3；（3）连接BC，与抛物线对称轴交于点P，连接AP，由对称性得AP=CP，如图1所示，此时△ABP 周长最小，由抛物线解析式y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，得到对称轴为直线x=1，设直线BC解析式为y=mx+n，将B（0，3），C（3，0）代入得：，解得：m=﹣1，n=3，即直线BC解析式为y=﹣x+3，联立得：，解得：，即P（1，2），根据两点间的距离公式得：AB==，BC==3，则P（1，2），周长为AB+BP+AP=AB+BP+PC=AB+BC=3+；（4）在抛物线的对称轴上存在点Q，使△ABQ是等腰三角形，如图2所示，分四种情况考虑：当AB=AQ1==时，在Rt△AQ1Q3中，AQ3=2，AQ1=，根据勾股定理得：Q1Q3==，此时Q1（1，）；由对称性可得Q2（1，）；当AB=BQ3时，可得OQ3=OA=1，此时Q3（1，0）；当AQ4=BQ4时，Q4为线段AB垂直平分线与对称轴的交点，∵A（﹣1，0），B（0，3），∴直线AB斜率为=3，中点坐标为（﹣，），∴线段AB垂直平分线方程为y﹣=﹣（x+），令x=1，得到y=1，此时Q4（1，1），综上，Q的坐标为（1，）或（1，﹣）或（1，0）或（1，1）．【点评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定二次函数解析式，待定系数法确定一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，等腰三角形的性质，线段垂直平分线定理，勾股定理，以及对称的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．。

北京市XX初中2016-2017学年度初三上数学期中试卷含答案

A． y (x 2)2 2 B． y (x 2)2 2 C． y (x 2)2 2
D．
y (x 2)2 2
3．如果 4a 5b （ab≠0），那么下列比例式变形正确的是（）
A．5 4 ab
B． a b 45
C． a b

4 5
D．4 b a5
25. 如图，已知△ABC 是等边三角形，以 AB 为直径作⊙O，交 BC 边于点 D，交 AC 边于点
F，作 DE⊥AC 于点 E．
A
（1）求证：DE 是⊙O 的切线；
（2）若△ABC 的边长为 4，求 EF 的长度．
O
F
E
B
D
C
九年级数学测试第 5 页共 16 页
一、选择题（本题共 30分，每小题 3 分）
第 1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）.
A.
B.
C.
D.
2．在平面直角坐标系中，将抛物线 y x2 4 先向右平移 2 个单位，再向上平移 2 个单位，
得到的抛物线解析式为（）.
4．如图，在△ABC 中，点 D、E 分别在 AB、AC边上，且 DE∥BC，如果
AD∶DB=3∶2，那么 AE∶AC等于（）
A．3∶2
B．3∶1
C．2∶3
D．3∶5
5．在平面直角坐标系 xoy中，如果⊙O 是以原点 O（0，0）为圆心，以 5 为半径的圆，那么点
A（-3，-4）与⊙O 的位置关系是（）
D．40°
7．如右图，线段 AB是⊙O 的直径，弦 CD丄 AB，∠CAB=20°，则∠

北京市六十六中九年级数学上学期期中试题(含解析) 新人教版

北京市六十六中2016届九年级数学上学期期中试题一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列函数关系式中，y是x的二次函数的是（）A．y=3x+1 B．y=x2+2x﹣1 C．y=﹣x D．y=2．在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，则tanA的值为（）A．B．C．D．3．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC．下列比例式正确的是（）A． =B． =C． =D． =4．下列多边形一定相似的是（）A．两个平行四边形B．两个菱形C．两个矩形 D．两个正方形5．将抛物线y=3x2通过平移得到抛物线y=3（x﹣1）2=2，下列平移方法正确的是（）A．先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度B．先向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度C．先向上平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度D．先向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度6．如图，AB∥CD，AD与BC交于点O，已知AB=2，CD=3，则△AOB与△COD的面积比是（）A．B．C．D．7．张华同学的身高为1.6米，某一时刻他在阳光下的影长为2米，同时与他邻近的一棵树的影长为6米，则这棵树的高为（）A．3.2米B．4.8米C．5.2米D．5.6米8．关于函数y=﹣3（x+4）2+2，下列叙述正确的是（）A．它的图象是一条关于直线x=4对称的抛物线B．这个函数有最小值是2C．当x＜0时，y随着x的增大而增大D．当x＜﹣4时，y随着x的增大而增大9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a，∠B=β，那么AB的长可以表示为（）A．acosβB．asinβC．D．10．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=6，BD=8，动点P从点B出发，沿着B﹣A﹣D在菱形ABCD的边上运动，运动到点D停止，点P′是点P关于BD的对称点，PP′交BD于点M，若BM=x，△OPP′的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（）A．B．C．D．二、填空题（每小题3分，共18分）11．若，则x= ．12．已知：cos（α﹣15°）=，则α=．13．写出一个开口向下，经过点（0，3）的抛物线的表达式．14．如图：已知△ABC中，D是AB上一点，添加一个条件，可使△ABC∽△ACD．15．已知二次函数y=﹣3（x﹣1）2+k的图象上有三点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（5，y3），则y1，y2，y3的大小关系为．16．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为x=1，有下列结论：①abc＞0；②b＞a+c；③4a+2b+c＜0；④2c＜3b；⑤a+b≥m（am+b）其中正确的结论有（填序号）．三、填空题（每小题5分，共30分）17．计算：cos30°﹣sin60°+2sin45°•tan45°．18．如图，在△ABC中，∠C=90°，sinA=，D为AC上一点，∠BDC=45°，DC=6，求AB的长．19．已知：如图，△ABC中，AB=2，BC=4，D为BC边上一点，BD=1．求证：△ABD∽△CBA．20．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+2（a≠0）过点A（﹣1，0），B（1，6）．（1）求抛物线y=ax2+bx+2（a≠0）的函数表达式；（2）用配方法求此抛物线的顶点坐标．21．已知：如图，△ABC中，AC=10，，求AB．22．如图，小明同学在东西方向的环海路A处，测得海中灯塔P在它的北偏东60°方向上，在A的正东200米的B处，测得海中灯塔P在它的北偏东30°方向上．问：灯塔P到环海路的距离PC约等于多少米？（取1.732，结果精确到1米）四、解答题（每小题5分，共20分）23．某工厂设计了一款产品，成本为每件20元．投放市场进行试销，经调查发现，该种产品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足y=﹣2x+80 （20≤x≤40），设销售这种产品每天的利润为W（元）．（1）求销售这种产品每天的利润W（元）与销售单价x（元）之间的函数表达式；（2）当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？24．二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（4，0），B（2，8），且以x=1为对称轴．（1）求此函数的解析式，并作出它的示意图；（2）当0＜x＜4时，写出y的取值范围；（3）结合图象直接写出不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）的解集．25．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长．26．请解答问题：（1）某种细胞分裂时由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…一个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞分裂的个数y与x之间构成一个函数关系，请写出y与x之间的关系可以表示为；（2）将此问题一般化，在定义域为全体实数时，试列表研究此函数的图象与性质：x …﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …y（3）观察图象，请写出你认为正确的结论：．五、解答题（第27题7分，第28题7分，第29题8分，共22分）27．已知P（﹣3，m）和 Q（1，m）是抛物线y=x2+bx﹣3上的两点．（1）求b的值；（2）将抛物线y=x2+bx﹣3的图象向上平移k（是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴无交点，求k的最小值；（3）将抛物线y=x2+bx﹣3的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合新图象回答：当直线y=x+n与这个新图象有两个公共点时，求n的取值范围．28．在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，E是OC上任意一点，AG⊥BE于点G，交直线BD于点F．（1）如图1，若四边形ABCD是正方形，判断AF与BE的数量关系：AF与BE的数量关系是；（2）如图2，若四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，求的值；（3）如图3，若四边形ABCD中，AC⊥BD，∠ABC=α，∠DBC=β，请你补全图形，并直接写出： = （用含α，β的式子表示）．29．设p、q都是实数，且p＜q．我们规定：满足不等式p≤x≤q的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[p，q]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当p≤x≤q 时，有p≤y≤q，我们就称此函数是闭区间[p，q]上的“闭函数”．（1）反比例函数y=是闭区间[1，2015]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由．（2）若一次函数y=kx+b（k≠0）是闭区间[m，n]上的“闭函数”，求此一次函数的解析式；（3）若实数c，d满足c＜d，且d＞2，当二次函数y=x2﹣2x是闭区间[c，d]上的“闭函数”时，求c，d的值．2015-2016学年北京六十六中九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列函数关系式中，y是x的二次函数的是（）A．y=3x+1 B．y=x2+2x﹣1 C．y=﹣x D．y=【考点】二次函数的定义．【分析】分别利用正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数的定义分析得出答案．【解答】解：A、y=3x+1是一次函数关系，故此选项错误；B、y=x2+2x﹣1是二次函数关系，故此选项正确；C、y=﹣x是正比例函数关系，故此选项错误；D、y=是反比例函数关系，故此选项错误；故选：B．2．在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，则tanA的值为（）A．B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理．【分析】根据题意，由勾股定理求出AC的长，然后根据正切值=对边÷邻边求解即可．【解答】解：在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，由勾股定理得：AC=4，∴tanA==，故选C．3．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC．下列比例式正确的是（）A． =B． =C． =D． =【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据平行线分线段成比例定理，即可求得答案．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴， =，故选B．4．下列多边形一定相似的是（）A．两个平行四边形B．两个菱形C．两个矩形 D．两个正方形【考点】相似多边形的性质．【分析】利用相似多边形的对应边的比相等，对应角相等分析．【解答】解：要判断两个多边形是否相似，需要看对应角是否相等，对应边的比是否相等．矩形、菱形、平行四边形都属于形状不唯一确定的图形，即对应角、对应边的比不一定相等，故不一定相似，A、B、C错误；而两个正方形，对应角都是90°，对应边的比也都相当，故一定相似，D正确．故选D5．将抛物线y=3x2通过平移得到抛物线y=3（x﹣1）2=2，下列平移方法正确的是（）A．先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度B．先向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度C．先向上平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度D．先向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】原抛物线顶点坐标为（0，0），平移后抛物线顶点坐标为（1，﹣2），由此确定平移规律．【解答】解：y=3（x﹣1）2﹣2，该抛物线的顶点坐标是（1，﹣2），抛物线y=x2的顶点坐标是（0，0），则平移的方法可以是：将抛物线y=3x2向下移2个单位，再向右平移1个单位．故选：B．6．如图，AB∥CD，AD与BC交于点O，已知AB=2，CD=3，则△AOB与△COD的面积比是（）A．B．C．D．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】由于AB∥CD，可得出△OAB∽△ODC；根据AB=2，CD=3，可求出两个三角形的相似比；由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求出它们的面积比．【解答】解：∵AB∥CD，∴△AOB∽△DOC，∴△AOB与△COD的面积比=（）2=（）2=，故选C．7．张华同学的身高为1.6米，某一时刻他在阳光下的影长为2米，同时与他邻近的一棵树的影长为6米，则这棵树的高为（）A．3.2米B．4.8米C．5.2米D．5.6米【考点】相似三角形的应用．【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个问题物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．【解答】解：据相同时刻的物高与影长成比例，设这棵树的高度为xm，则可列比例为，，解得，x=4.8．故选B．8．关于函数y=﹣3（x+4）2+2，下列叙述正确的是（）A．它的图象是一条关于直线x=4对称的抛物线B．这个函数有最小值是2C．当x＜0时，y随着x的增大而增大D．当x＜﹣4时，y随着x的增大而增大【考点】二次函数的性质．【分析】根据二次函数的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、它的图象是一条关于直线x=﹣4对称的抛物线，此选项错误；B、抛物线开口向下，这个函数有最大值是2，此选项错误；C、抛物线开口向下，当x＜﹣4时，y随着x的增大而增大，此选项错误；D、抛物线开口向下，当x＜﹣4时，y随着x的增大而增大，此选项正确．故选：D．9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a，∠B=β，那么AB的长可以表示为（）A．acosβB．asinβC．D．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】根据余弦的概念解答即可．【解答】解：∵∠C=90°，BC=a，∠B=β，∴cosβ=，∴AB=，故选：C．10．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=6，BD=8，动点P从点B出发，沿着B﹣A﹣D在菱形ABCD的边上运动，运动到点D停止，点P′是点P关于BD的对称点，PP′交BD于点M，若BM=x，△OPP′的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（）A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【分析】由菱形的性质得出AB=BC=CD=DA，OA=AC=3，OB=BD=4，AC⊥BD，分两种情况：①当BM≤4时，先证明△P′BP∽△CBA，得出比例式，求出PP′，得出△OPP′的面积y是关于x的二次函数，即可得出图象的情形；②当BM≥4时，y与x之间的函数图象的形状与①中的相同；即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，OA=AC=3，OB=BD=4，AC⊥BD，①当BM≤4时，∵点P′与点P关于BD对称，∴P′P⊥BD，∴P′P∥AC，∴△P′BP∽△CBA，∴，即，∴PP′=x，∵OM=4﹣x，∴△OPP′的面积y=PP′•OM=×x（4﹣x）=﹣x2+3x；∴y与x之间的函数图象是抛物线，开口向下，过（0，0）和（4，0）；②当BM≥4时，y与x之间的函数图象的形状与①中的相同，过（4，0）和（8，0）；综上所述：y与x之间的函数图象大致为．故选：D．二、填空题（每小题3分，共18分）11．若，则x= 2.5 ．【考点】比例的性质．【分析】根据两內项之积等于两外项之积列式进行计算即可得解．【解答】解：∵ =，∴5（1+x）=7x，解得x=2.5．故答案为：2.5．12．已知：cos（α﹣15°）=，则α=75°．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】先根据特殊角的三角函数值得出α﹣15°的值，进而可得出结论．【解答】解：∵cos（α﹣15°）=，∴α﹣15°=60°，解得α=75°．故答案为：75°．13．写出一个开口向下，经过点（0，3）的抛物线的表达式y=﹣x2+x+3（答案不唯一）．【考点】二次函数的性质．【分析】根据a确定抛物线开口方向，图象过（0，3）可得c=3，进而得出答案．【解答】解：由题意可得：a＜0，c=3，符合题意的解析式可以为：y=﹣x2+x+3（答案不唯一）．故答案为：y=﹣x2+x+3（答案不唯一）．14．如图：已知△ABC中，D是AB上一点，添加一个条件∠ADC=∠ACB，可使△ABC∽△ACD．【考点】相似三角形的判定．【分析】根据题目所给的条件，利用利用一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，即可得出答案．【解答】解；由图可知∠CAD=∠BAC，再加一个对应角相等即可，所以，可以为：∠ADC=∠ACB或∠ABC=∠ACD，故答案为：∠ADC=∠ACB．15．已知二次函数y=﹣3（x﹣1）2+k的图象上有三点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（5，y3），则y1，y2，y3的大小关系为y2＞y1＞y3．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】根据函数解析式的特点为顶点式，其对称轴为x=1，图象开口向下；利用y随x的增大而减小，可判断y2＞y3，根据二次函数图象的对称性可判断y1＞y3；于是得出答案．【解答】解：B（2，y2），C（5，y3），在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，∵2＜5，∴y2＞y3，根据二次函数图象的对称性可知，A（﹣1，y1）中，与D（3，y）对称，可得y1＞y3，故y2＞y1＞y3，故答案是：y2＞y1＞y3．16．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为x=1，有下列结论：①abc＞0；②b＞a+c；③4a+2b+c＜0；④2c＜3b；⑤a+b≥m（am+b）其中正确的结论有②⑤（填序号）．【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：①由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，abc＜0，故此选项错误；②当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，即b＞a+c，故此选项正确；③由对称知，当x=2时，函数值大于0，即y=4a+2b+c＞0，故此选项错误；④当x=3时函数值小于0，y=9a+3b+c=0，且x=﹣=1，即a=﹣，代入得9（﹣）+3b+c=0，得2c=3b，故此选项错误；⑤当x=1时，y的值最大．此时，y=a+b+c，而当x=m时，y=am2+bm+c，所以a+b+c＞am2+bm+c，故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），故此选项正确．故②⑤正确．故答案为②⑤．三、填空题（每小题5分，共30分）17．计算：cos30°﹣sin60°+2sin45°•tan45°．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出即可．【解答】解：原式=﹣+2××1=．18．如图，在△ABC中，∠C=90°，sinA=，D为AC上一点，∠BDC=45°，DC=6，求AB的长．【考点】解直角三角形．【分析】由已知得△BDC为等腰直角三角形，所以CD=BC=6，又因为已知∠A的正弦值，即可求出AB的长．【解答】解：∵∠C=90°，∠BDC=45°∴BC=CD=6又∵sinA=∴AB=6÷=15．19．已知：如图，△ABC中，AB=2，BC=4，D为BC边上一点，BD=1．求证：△ABD∽△CBA．【考点】相似三角形的判定．【分析】在△ABD与△CBA中，有∠B=∠B，根据已知边的条件，只需证明夹此角的两边对应成比例即可．【解答】证明：∵AB=2，BC=4，BD=1，∴，∵∠B=∠B，∴△ABD∽△CBA．20．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+2（a≠0）过点A（﹣1，0），B（1，6）．（1）求抛物线y=ax2+bx+2（a≠0）的函数表达式；（2）用配方法求此抛物线的顶点坐标．【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的三种形式．【分析】（1）把A点和B点坐标代入y=ax2+bx+2中得到关于a、b的方程组，然后解方程组求出a、b即可；（2）把（1）中的一般式配成顶点式，然后根据二次函数的性质写出顶点坐标．【解答】解：（1）根据题意得，解得，所以二次函数解析式为y=x2+3x+2；（2）y=x2+3x+2=x2+3x+（）2﹣（）2+2=（x+）2﹣，所以抛物线的顶点坐标为（﹣，﹣）．21．已知：如图，△ABC中，AC=10，，求AB．【考点】解直角三角形．【分析】过A作AD垂直于BC，交BC于点D，在直角三角形ACD中，由AC与sinC的值，利用正弦函数定义求出AD的长，在直角三角形ABD中，由AD与sinB的值，利用正弦函数定义即可求出AB的长．【解答】解：作AD⊥BC于D点，如图所示，在Rt△ADC中，AC=10，sinC=，∴AD=ACsinC=10×=8，在Rt△ABD中，sinB=，AD=8，则AB==24．22．如图，小明同学在东西方向的环海路A处，测得海中灯塔P在它的北偏东60°方向上，在A的正东200米的B处，测得海中灯塔P在它的北偏东30°方向上．问：灯塔P到环海路的距离PC约等于多少米？（取1.732，结果精确到1米）【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．【分析】根据等角对等边得出PB=AB=200米，再利用三角函数求出PC的长即可．【解答】解：如图，由题意，可得∠PAC=30°，∠PBC=60°，∴∠APB=∠PBC﹣∠PAC=30°，∴∠PAC=∠APB，∴PB=AB=200米．∵在Rt△PBC中，∠PCB=90°，∠PBC=60°，PB=200米，∴PC=PB•sin∠PBC=200×=100≈173（米）．答：灯塔P到环海路的距离PC约等于173米．四、解答题（每小题5分，共20分）23．某工厂设计了一款产品，成本为每件20元．投放市场进行试销，经调查发现，该种产品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足y=﹣2x+80 （20≤x≤40），设销售这种产品每天的利润为W（元）．（1）求销售这种产品每天的利润W（元）与销售单价x（元）之间的函数表达式；（2）当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？【考点】二次函数的应用．【分析】（1）根据“总利润=单件的利润×销售量”列出二次函数关系式即可；（2）将得到的二次函数配方后即可确定最大利润．【解答】解：（1）w=y（x﹣20）=（x﹣20）（﹣2x+80）=﹣2x2+120x﹣1600（2）w=2x2+120x﹣1600=﹣2（x﹣30）2+200，则当销售单价定为30元时，工厂每天获得的利润最大，最大利润是200元．24．二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（4，0），B（2，8），且以x=1为对称轴．（1）求此函数的解析式，并作出它的示意图；（2）当0＜x＜4时，写出y的取值范围；（3）结合图象直接写出不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）的解集．【考点】二次函数与不等式（组）；待定系数法求二次函数解析式．【分析】（1）利用抛物线对称轴公式列出关系式，把两点坐标代入列出关系式，联立求出a，b，c的值，即可确定出二次函数解析式，在坐标系内画出函数图象即可；（2）利用函数图象可直接得出结论；（3）根据函数图象与x轴的交点可得出结论．【解答】解：（1）∵二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（4，0），B（2，8），且以x=1为对称轴，∴，解得，∴二次函数的解析式为y=﹣x2+2x+8=﹣（x﹣1）2+9，∴抛物线与x轴的交点为（﹣2，0），（4，0），顶点坐标为（1，9），二次函数的图象如图所示．（2）由图可知，当0＜x＜4时，0＜y≤9；（3）根据函数图象可知，不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）的解集为﹣2＜x＜4．25．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长．【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质．【分析】（1）利用对应两角相等，证明两个三角形相似△ADF∽△DEC；（2）利用△ADF∽△DEC，可以求出线段DE的长度；然后在Rt△ADE中，利用勾股定理求出线段AE的长度．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC．∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，∴∠AFD=∠C．在△ADF与△DEC中，∴△ADF∽△DEC．（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=8．由（1）知△ADF∽△DEC，∴，∴DE===12．在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE===6．26．请解答问题：（1）某种细胞分裂时由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…一个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞分裂的个数y与x之间构成一个函数关系，请写出y与x之间的关系可以表示为y=2x；（2）将此问题一般化，在定义域为全体实数时，试列表研究此函数的图象与性质：x …﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …y（3）观察图象，请写出你认为正确的结论：①函数的图象是抛物线②函数的图象在一、二象限，y随x的增大而增大③函数图象经过（0，1）点，且与x轴没有交点．【考点】二次函数的应用．【分析】（1）根据题意由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…一个这样的细胞分裂x次后，分裂长2x个；（2）列表、画出函数图象即可；（3）观察图象，即可得到结论．【解答】解：（1）根据题意得：y=2x；故答案为y=2x；（2）填表如下：x …﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …y 1 2 4 8画出函数的图象如图：（3）正确的结论：①函数的图象是抛物线，②函数的图象在一、二象限，y随x的增大而增大，③函数图象经过（0，1）点，且与x轴没有交点；故答案为①函数的图象是抛物线，②函数的图象在一、二象限，y随x的增大而增大，③函数图象经过（0，1）点，且与x轴没有交点．五、解答题（第27题7分，第28题7分，第29题8分，共22分）27．已知P（﹣3，m）和 Q（1，m）是抛物线y=x2+bx﹣3上的两点．（1）求b的值；（2）将抛物线y=x2+bx﹣3的图象向上平移k（是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴无交点，求k的最小值；（3）将抛物线y=x2+bx﹣3的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合新图象回答：当直线y=x+n与这个新图象有两个公共点时，求n的取值范围．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】（1）直接把点P，Q的坐标代入抛物线方程联立方程组求解b的值；（2）利用图象与x轴无交点，则b2﹣4ac＜0，即可求出k的取值范围，进而得出k的值．（3）求出两个边界点，继而可得出n的取值范围．【解答】解：（1）∵P（﹣3，m）和 Q（1，m）是抛物线y=x2+bx﹣3上的两点，∴，解得：b=2；（2）平移后抛物线的关系式为y=x2+2x﹣3+k．要使平移后图象与x轴无交点，则有b2﹣4ac=4﹣4（﹣3+k）＜0，k＞4．因为k是正整数，所以k的最小值为5．（3）令x2+2x﹣3=0，解之得：x1=1，x2=﹣3，故P，Q两点的坐标分别为A（1，0），B（﹣3，0）．如图，当直线y=x+n（n＜1），经过P点时，可得n=3，当直线y=x+n经过Q点时，可得n=﹣1，∴n的取值范围为﹣1＜n＜3，翻折后的二次函数解析式为二次函数y=﹣x2﹣2x+3当直线y=x+n与二次函数y=﹣x2﹣2x+3的图象只有一个交点时，x+n=﹣x2﹣2x+3，整理得：x2+3x+n﹣3=0，△=b2﹣4ac=9﹣4（n﹣3）=21﹣4n=0，解得：n=，∴n的取值范围为：n＞，由图可知，符合题意的n的取值范围为：n＞或﹣1＜n＜3．28．在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，E是OC上任意一点，AG⊥BE于点G，交直线BD于点F．（1）如图1，若四边形ABCD是正方形，判断AF与BE的数量关系：AF与BE的数量关系是AF=BE ；（2）如图2，若四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，求的值；（3）如图3，若四边形ABCD中，AC⊥BD，∠ABC=α，∠DBC=β，请你补全图形，并直接写出： = tan（α﹣β）（用含α，β的式子表示）．【考点】四边形综合题．【分析】（1）根据正方形的性质和全等三角形的性质即可得到结论；（2）根据四边形ABCD是菱形和∠ABC=120°，推出AC⊥BD，∠ABO=60°，根据余角的性质得到∠AFO=∠BEA，又因为∠AOF=∠BOE=90°，推出三角形相似，即可得到结论；（3）根据垂直的定义得到∠AGB=∠AOB=90°，推出A，G，B，O四点共圆，根据圆内接四边形的性质得到∠GAO=∠GAO，推出△AOF∽△BOE，即可得到结论．【解答】解：（1）AF=BE；∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOB=∠BOC=90°，AO=BO，∵AG⊥BE，∠AFO=∠BFG，∴∠FAO=∠FBG，在△AFO与△BFO中，，∴△AFO≌△BFO，∴AF=BE；故答案为：AF=BE；（2）∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，∴AC⊥BD，∠ABO=60°，∴∠FAO+∠AFO=90°，∵AG⊥BE，∴∠EAG+∠BEA=90°，∴∠AFO=∠BEA，又∵∠AOF=∠BOE=90°，∴△AOF∽△BOE，∴=，∵∠ABO=60°，AC⊥BD，∴=tan60°=，∴=；（3）如图3，∵AG⊥BE，AC⊥BD，∴∠AGB=∠AOB=90°，∴A，G，B，O四点共圆，∴∠GAO=∠GAO，∴∠AOF=∠BOE=90°，∴△AOF∽△BOE，∴=，∵∠ABO=∠ABC﹣∠OBC=α﹣β，AC⊥BD，∴=tan（α﹣β），∴=tan（α﹣β）．故答案为：tan（α﹣β）．29．设p、q都是实数，且p＜q．我们规定：满足不等式p≤x≤q的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[p，q]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当p≤x≤q 时，有p≤y≤q，我们就称此函数是闭区间[p，q]上的“闭函数”．（1）反比例函数y=是闭区间[1，2015]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由．（2）若一次函数y=kx+b（k≠0）是闭区间[m，n]上的“闭函数”，求此一次函数的解析式；（3）若实数c，d满足c＜d，且d＞2，当二次函数y=x2﹣2x是闭区间[c，d]上的“闭函数”时，求c，d的值．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据反比例函数y=的单调区间进行判断；（2）根据新定义运算法则列出关于系数k、b的方程组，通过解该方程组即可求得系数k、b的值；（3）y=x2﹣2x=（x2﹣4x+4）﹣2=（x﹣2）2﹣2，所以该二次函数的图象开口方向向上，最小值是﹣2，且当x＜2时，y随x的增大而减小；当x＞2时，y随x的增大而增大．由于c＜d，且d＞2，所以分两种情况进行讨论：①c＜2＜d；②c≥2．【解答】解：（1）是由函数y=的图象可知，当1≤x≤2015时，函数值y随着自变量x的增大而减小．而当x=1时，y=2015；x=2015，y=1，故也有1≤y≤2015，所以，函数y=是闭区间上[1，2014]的“闭函数”（2）因为一次函数y=kx+b（k≠0）是闭区间[m，n]上的“闭函数”，所以根据一次函数的图象与性质，必有：①当k＞0时，（m≠n）解得k=1，b=0，∴一次函数的解析式为y=x．②当k＜0时，（m≠n），解得k=﹣1，b=m+n∴一次函数的解析式为y=﹣x+m+n故一次函数的解析式为y=x或y=﹣x+m+n（3）由于函数y=x2﹣2x的图象开口向上，且对称轴为x=2，顶点为（2，﹣2）由题意根据图象，分以下两种情况讨论：①当2≤c＜d时，必有x=c，时，y=c且x=d时，y=d即方程y=x2﹣2x=x必有两个不等的实数根，解得x1=0，x2=6，而0，6分布在2的两边，这与2≤c＜d矛盾，舍去；②当c＜2＜d时，必有函数值y的最小值为﹣2，由于此二次函数是闭区间[c，d]上的“闭函数”，故必有c=﹣2，从而有[c，d]=[﹣2，d]．而当x=﹣2时，y=6即得点（﹣2，6），又点（﹣2，6）关于对称轴x=2的对称点为（6，6），由“闭函数”的定义可知必有x=d时，y=d，即d2﹣2d=d，解得d1=0，d2=6，故可得c=﹣2，d=6符合题意，综上所述，c=﹣2，d=6为所求的实数．。

【人教版】2016届九年级上期中数学试卷及答案

九年级（上）期中数学试卷一、选择题：每小题4分，共40分．1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）A．ax2+bx+c=0 B．C．3（x+1）2=2（x+1）D．2x2+3x=2x2﹣22．用配方法解方程x2+8x+9=0，变形后的结果正确的是（）A．（x+4）2=﹣7 B．（x+4）2=﹣9 C．（x+4）2=7 D．（x+4）2=253．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＜1 B．m＜﹣1 C．m＞1 D．m＞﹣14．一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是（）A．x1=1，x2=2 B．x1=1，x2=﹣2 C．x1=﹣1，x2=﹣2 D．x1=﹣1，x2=25．下列标志中，可以看作是轴对称图形的是（）A．B．C．D．6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB′C′（点B 的对应点是点B′，点C的对应点是点C′），连接CC′．若∠CC′B′=32°，则∠B的大小是（）A．32°B．64°C．77°D．87°7．抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根．其中正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（）A．6 B．5 C．4 D．39．如图，已知AB是△ABC外接圆的直径，∠A=35°，则∠B的度数是（）A．35°B．45°C．55°D．65°10．在同一坐标系中，一次函数y=﹣mx+n2与二次函数y=x2+m的图象可能是（）A． B．C．D．二、填空题：每小题3分，共18分．11．已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是．12．若实数a、b满足（4a+4b）（4a+4b﹣2）﹣8=0，则a+b=．13．把二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为．14．如图，在平面直角坐标系中，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°后，得到线段AB′，则点B′的坐标为．15．如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为．16．观察下列图形规律：当n=时，图形“●”的个数和“△”的个数相等．三、解答题：8题，共92分．17．计算：﹣（2015+π）0．18．解方程：2x2﹣7x+6=0．19．已知方程x2+3x﹣1=0的两个实数根为α、β，不解方程求下列程式的值．（1）α2+β2（2）．20．在平面直角坐标系xOy中，A点的坐标为（3，4），将OA绕原点O顺时针旋转90°得到OA′，求点A′的坐标．21．如图，AB，DE是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，且=．（1）求证：BE=CE；（2）若∠B=50°，求∠AOC的度数．22．如图，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A、B和D的距离分别为1，2，，△ADP 沿点A旋转至△ABP′，连结PP′，并延长AP与BC相交于点Q．（1）求证：△APP′是等腰直角三角形；（2）求∠BPQ的大小．23．为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度．2013年市政府共投资3亿元人民币建设了廉租房12万平方米，2015年投资6.75亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．（1）求每年市政府投资的增长率；（2）若这两年内的建设成本不变，问2015年建设了多少万平方米廉租房？24．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（m﹣3）x﹣m=0．（1）试判断原方程根的情况；（2）若抛物线y=x2﹣（m﹣3）x﹣m与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，则A，B两点间的距离是否存在最大或最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由．（友情提示：AB=|x2﹣x1|）25．已知抛物线y=﹣x2﹣2x+a（a≠0）与y轴相交于A点，顶点为M，直线y=分别与x轴、y轴相交于B、C两点，并且与直线MA相交于N点．（1）若直线BC和抛物线有两个不同交点，求a的取值范围，并用a表示交点M、A的坐标．（2）将△NAC沿着y轴翻转，若点N的对称点P恰好落在抛物线上，AP与抛物线的对称轴相交于点D，连接CD，求a的值及△PCD的面积．九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：每小题4分，共40分．1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）A．ax2+bx+c=0 B．C．3（x+1）2=2（x+1）D．2x2+3x=2x2﹣2【考点】一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【解答】解：A、a=0，ax2+bx+c=0是一元一次方程，故A错误；B、（）2+﹣2=0是分式方程，故B错误；C、3（x+1）2=2（x+1）是一元二次方程，故C正确；D、2x2+3x=2x2﹣2是一元一次方程，故D错误；故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．2．用配方法解方程x2+8x+9=0，变形后的结果正确的是（）A．（x+4）2=﹣7 B．（x+4）2=﹣9 C．（x+4）2=7 D．（x+4）2=25【考点】解一元二次方程-配方法．【专题】计算题．【分析】方程移项后，利用完全平方公式配方即可得到结果．【解答】解：方程x2+8x+9=0，整理得：x2+8x=﹣9，配方得：x2+8x+16=7，即（x+4）2=7，故选C【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．3．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＜1 B．m＜﹣1 C．m＞1 D．m＞﹣1【考点】根的判别式．【专题】计算题．【分析】根据根的判别式，令△＞0即可求出根的判别式．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，∴△=（﹣2）2﹣4×m＞0，∴4﹣4m＞0，解得m＜1．故选A．【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．4．一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是（）A．x1=1，x2=2 B．x1=1，x2=﹣2 C．x1=﹣1，x2=﹣2 D．x1=﹣1，x2=2【考点】解一元二次方程-因式分解法．【专题】因式分解．【分析】直接利用十字相乘法分解因式，进而得出方程的根【解答】解：x2﹣x﹣2=0（x﹣2）（x+1）=0，解得：x1=﹣1，x2=2．故选：D．【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式解方程，正确分解因式是解题关键．5．下列标志中，可以看作是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；D、是轴对称图形，符合题意．故选：D．【点评】此题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，解答时要注意：判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部沿对称轴叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图重合．6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB′C′（点B 的对应点是点B′，点C的对应点是点C′），连接CC′．若∠CC′B′=32°，则∠B的大小是（）A．32°B．64°C．77°D．87°【考点】旋转的性质．【分析】旋转中心为点A，C、C′为对应点，可知AC=AC′，又因为∠CAC′=90°，根据三角形外角的性质求出∠C′B′A的度数，进而求出∠B的度数．【解答】解：由旋转的性质可知，AC=AC′，∵∠CAC′=90°，可知△CAC′为等腰直角三角形，则∠CC′A=45°．∵∠CC′B′=32°，∴∠C′B′A=∠C′CA+∠CC′B′=45°+32°=77°，∵∠B=∠C′B′A，∴∠B=77°，故选C．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等．也考查了等腰直角三角形的性质．7．抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根．其中正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．【专题】数形结合．【分析】由抛物线与x轴有两个交点得到b2﹣4ac＞0；有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=﹣1，则根据抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，所以当x=1时，y＜0，则a+b+c＜0；由抛物线的顶点为D（﹣1，2）得a﹣b+c=2，由抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣1得b=2a，所以c﹣a=2；根据二次函数的最大值问题，当x=﹣1时，二次函数有最大值为2，即只有x=﹣1时，ax2+bx+c=2，所以说方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根．【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，所以①错误；∵顶点为D（﹣1，2），∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1，∵抛物线与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，∴当x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，所以②正确；∵抛物线的顶点为D（﹣1，2），∴a﹣b+c=2，∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣1，∴b=2a，∴a﹣2a+c=2，即c﹣a=2，所以③正确；∵当x=﹣1时，二次函数有最大值为2，即只有x=﹣1时，ax2+bx+c=2，∴方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根，所以④正确．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．8．如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（）A．6 B．5 C．4 D．3【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】过O作OC⊥AB于C，根据垂径定理求出AC，根据勾股定理求出OC即可．【解答】解：过O作OC⊥AB于C，∵OC过O，∴AC=BC=AB=12，在Rt△AOC中，由勾股定理得：OC==5．故选：B．【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，关键是求出OC的长．9．如图，已知AB是△ABC外接圆的直径，∠A=35°，则∠B的度数是（）A．35°B．45°C．55°D．65°【考点】圆周角定理．【专题】几何图形问题．【分析】由AB是△ABC外接圆的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ACB=90°，又由∠A=35°，即可求得∠B的度数．【解答】解：∵AB是△ABC外接圆的直径，∴∠C=90°，∵∠A=35°，∴∠B=90°﹣∠A=55°．故选：C．【点评】此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．10．在同一坐标系中，一次函数y=﹣mx+n2与二次函数y=x2+m的图象可能是（）A． B．C．D．【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．【分析】本题可先由一次函数y=﹣mx+n2图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=x2+m的图象相比较看是否一致．【解答】解：A、由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，n2＜0，错误；B、由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，m＞0，由直线可知，﹣m＜0，错误；C、由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＜0，错误；D、由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＞0，正确，故选D．【点评】本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法，难度适中．二、填空题：每小题3分，共18分．11．已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是3．【考点】根与系数的关系．【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系，两个根的积是3，即可求解．【解答】解：设方程的另一个解是a，则1×a=3，解得：a=3．故答案是：3．【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，正确理解根与系数的关系是关键．12．若实数a、b满足（4a+4b）（4a+4b﹣2）﹣8=0，则a+b=﹣或1．【考点】换元法解一元二次方程．【分析】设a+b=x，则原方程转化为关于x的一元二次方程，通过解该一元二次方程来求x即（a+b）的值．【解答】解：设a+b=x，则由原方程，得4x（4x﹣2）﹣8=0，整理，得16x2﹣8x﹣8=0，即2x2﹣x﹣1=0，分解得：（2x+1）（x﹣1）=0，解得：x1=﹣，x2=1．则a+b的值是﹣或1．故答案是：﹣或1．【点评】本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．13．把二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为y=2（x+1）2﹣2．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度所得抛物线的解析式为：y=2（x+1）2，即y=2（x+1）2；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=2（x+1）2向下平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：y=2（x+1）2﹣2，即y=2（x+1）2﹣2．故答案为：y=2（x+1）2﹣2．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．14．如图，在平面直角坐标系中，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°后，得到线段AB′，则点B′的坐标为（4，2）．【考点】坐标与图形变化-旋转．【专题】几何变换．【分析】画出旋转后的图形位置，根据图形求解．【解答】解：AB旋转后位置如图所示．B′（4，2）．【点评】本题涉及图形旋转，体现了新课标的精神，抓住旋转的三要素：旋转中心A，旋转方向逆时针，旋转角度90°，通过画图得B′坐标．15．如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为6．【考点】轴对称-最短路线问题；正方形的性质．【专题】计算题．【分析】连接BD，DE，根据正方形的性质可知点B与点D关于直线AC对称，故DE的长即为BQ+QE 的最小值，进而可得出结论．【解答】解：连接BD，DE，∵四边形ABCD是正方形，∴点B与点D关于直线AC对称，∴DE的长即为BQ+QE的最小值，∵DE=BQ+QE===5，∴△BEQ周长的最小值=DE+BE=5+1=6．故答案为：6．【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．16．观察下列图形规律：当n=5时，图形“●”的个数和“△”的个数相等．【考点】规律型：图形的变化类．【专题】规律型．【分析】首先根据n=1、2、3、4时，“●”的个数分别是3、6、9、12，判断出第n个图形中“●”的个数是3n；然后根据n=1、2、3、4，“△”的个数分别是1、3、6、10，判断出第n个“△”的个数是；最后根据图形“●”的个数和“△”的个数相等，求出n的值是多少即可．【解答】解：∵n=1时，“●”的个数是3=3×1；n=2时，“●”的个数是6=3×2；n=3时，“●”的个数是9=3×3；n=4时，“●”的个数是12=3×4；∴第n个图形中“●”的个数是3n；又∵n=1时，“△”的个数是1=；n=2时，“△”的个数是3=；n=3时，“△”的个数是6=；n=4时，“△”的个数是10=；∴第n个“△”的个数是；由3n=，可得n2﹣5n=0，解得n=5或n=0（舍去），∴当n=5时，图形“●”的个数和“△”的个数相等．故答案为：5．【点评】此题主要考查了规律型：图形的变化类问题，要熟练掌握，解答此类问题的关键是：首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．三、解答题：8题，共92分．17．计算：﹣（2015+π）0．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．【分析】本题涉及零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：﹣（2015+π）0=2+3﹣2﹣3﹣1=﹣1．【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．18．解方程：2x2﹣7x+6=0．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】利用十字相乘法因式分解得到（2x﹣3）（x﹣2）=0，推出2x﹣3=0，x﹣2=0，求出方程的解即可．【解答】解：2x2﹣7x+6=0，（2x﹣3）（x﹣2）=0，∴2x﹣3=0，x﹣2=0，x1=，x2=2，【点评】此题主要考查了解一元二次方程，因式分解等知识点的理解和掌握，能把一元二次方程转换成一元一次方程是解此题的关键．19．已知方程x2+3x﹣1=0的两个实数根为α、β，不解方程求下列程式的值．（1）α2+β2（2）．【考点】根与系数的关系．【分析】（1）根据根与系数的关系得出α+β和αβ，再把α2+β2变形（α+β）2﹣2αβ，代入计算即可；（2）把化为，再代入计算即可．【解答】解：（1）∵方程x2+3x﹣1=0的两个实数根为α、β，∴α+β=﹣3，αβ=﹣1，∴α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=9+2=11；（2）∵α+β=﹣3，αβ=﹣1，∴===﹣11．【点评】本题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．20．在平面直角坐标系xOy中，A点的坐标为（3，4），将OA绕原点O顺时针旋转90°得到OA′，求点A′的坐标．【考点】坐标与图形变化-旋转．【专题】数形结合．【分析】根据A点坐标得到OB=4，AB=3，OA绕原点O顺时针旋转90°得到OA′可看作是Rt△OAB 绕原点O顺时针旋转90°得到RtOA′C，根据旋转的性质得到A′C=AB=3，OC=OB=4，再写出A′点的坐标．【解答】解：AB⊥y轴于B，A′C⊥x轴于C，如图，OB=4，AB=3，OA绕原点O顺时针旋转90°得到OA′可看作是Rt△OAB绕原点O顺时针旋转90°得到RtOA′C，则A′C=AB=3，OC=OB=4，所以点A′的坐标为（4，﹣3）．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．21．如图，AB，DE是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，且=．（1）求证：BE=CE；（2）若∠B=50°，求∠AOC的度数．【考点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．【分析】（1）根据∠AOD=∠BOE可知=，再由=即可得出结论；（2）先根据等腰三角形的性质求出∠BOE的度数，再由BE=CE可得出∠BOE=∠COE，根据补角的定义即可得出结论．【解答】（1）证明：∵∠AOD=∠BOE，∴=．∵=，∴=，∴BE=CE；（2）解：∵∠B=50°，OB=OE，∴∠BOE=180°﹣50°﹣50°=80°．∵由（1）知，BE=CE，∴∠COE=∠BOE=80°，∴∠AOC=180°﹣80°﹣80°=20°．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，熟知在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等是解答此题的关键．22．如图，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A、B和D的距离分别为1，2，，△ADP 沿点A旋转至△ABP′，连结PP′，并延长AP与BC相交于点Q．（1）求证：△APP′是等腰直角三角形；（2）求∠BPQ的大小．【考点】旋转的性质；等腰直角三角形；正方形的性质．【专题】证明题．【分析】（1）根据正方形的性质得AB=AD，∠BAD=90°，再利用旋转的性质得AP=AP′，∠PAP′=∠DAB=90°，于是可判断△APP′是等腰直角三角形；（2）根据等腰直角三角形的性质得PP′=PA=，∠APP′=45°，再利用旋转的性质得PD=P′B=，接着根据勾股定理的逆定理可证明△PP′B为直角三角形，∠P′PB=90°，然后利用平角定义计算∠BPQ的度数．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∵△ADP沿点A旋转至△ABP′，∴AP=AP′，∠PAP′=∠DAB=90°，∴△APP′是等腰直角三角形；（2）解：∵△APP′是等腰直角三角形，∴PP′=PA=，∠APP′=45°，∵△ADP沿点A旋转至△ABP′，∴PD=P′B=，在△PP′B中，PP′=，PB=2，P′B=，∵（）2+（2）2=（）2，∴PP′2+PB2=P′B2，∴△PP′B为直角三角形，∠P′PB=90°，∴∠BPQ=180°﹣∠APP′﹣∠P′PB=180°﹣45°﹣90°=45°．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质和勾股定理的逆定理．23．为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度．2013年市政府共投资3亿元人民币建设了廉租房12万平方米，2015年投资6.75亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．（1）求每年市政府投资的增长率；（2）若这两年内的建设成本不变，问2015年建设了多少万平方米廉租房？【考点】一元二次方程的应用．【专题】增长率问题．【分析】（1）设每年市政府投资的增长率为x，由3（1+x）2=2015年的投资，列出方程，解方程即可；（2）2015年的廉租房=12（1+50%）2，即可得出结果．【解答】解：（1）设每年市政府投资的增长率为x，根据题意得：3（1+x）2=6.75，解得：x=0.5，或x=﹣2.5（不合题意，舍去），∴x=0.5=50%，即每年市政府投资的增长率为50%；（2）∵12（1+50%）2=27，∴2015年建设了27万平方米廉租房．【点评】本题考查了一元一次方程的应用；熟练掌握列一元一次方程解应用题的方法，根据题意找出等量关系列出方程是解决问题的关键．24．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（m﹣3）x﹣m=0．（1）试判断原方程根的情况；（2）若抛物线y=x2﹣（m﹣3）x﹣m与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，则A，B两点间的距离是否存在最大或最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由．（友情提示：AB=|x2﹣x1|）【考点】抛物线与x轴的交点；根的判别式．【分析】（1）根据根的判别式，可得答案；（2）根据根与系数的关系，可得A、B间的距离，根据二次函数的性质，可得答案．【解答】解：（1）△=[﹣（m﹣3）]2﹣4（﹣m）=m2﹣2m+9=（m﹣1）2+8，∵（m﹣1）2≥0，∴△=（m﹣1）2+8＞0，∴原方程有两个不等实数根；（2）存在，由题意知x1，x2是原方程的两根，∴x1+x2=m﹣3，x1•x2=﹣m．∵AB=|x1﹣x2|，∴A B2=（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=（m﹣3）2﹣4（﹣m）=（m﹣1）2+8，∴当m=1时，AB2有最小值8，∴AB有最小值，即AB==2【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，利用了根的判别式，根据根与系数的关系，利用完全平方公式得出二次函数是解题关键，又利用了二次函数的性质．25．已知抛物线y=﹣x2﹣2x+a（a≠0）与y轴相交于A点，顶点为M，直线y=分别与x轴、y轴相交于B、C两点，并且与直线MA相交于N点．（1）若直线BC和抛物线有两个不同交点，求a的取值范围，并用a表示交点M、A的坐标．（2）将△NAC沿着y轴翻转，若点N的对称点P恰好落在抛物线上，AP与抛物线的对称轴相交于点D，连接CD，求a的值及△PCD的面积．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据题意联立抛物线和直线的解析式，化为一元二次方程，运用△＞0即可求出a的取值范围和交点的坐标；（2）根据轴对称性质表示出点P的坐标并代入抛物线，求出a的值，用△ACP的面积减去△ADC 的面积即可求出△PCD的面积．【解答】解：（1）由题意联立，整理得：2x2+5x﹣4a=0，由△=25+32a＞0，解得：，∵a≠0，∴且a≠0，当x=0时，y=a，∴A（0，a），∵y=﹣x2﹣2x+a=﹣（x+1）2+a+1，∴M（﹣1，a+1）．（2）设直线MA为：y=kx+b，代入A（0，a），M（﹣1，a+1）得，，解得：，所以直线MA为y=﹣x+a，联立，解得，所以：N（，），∵点P是N关于y轴的对称点，∴P（﹣，），代入y=﹣x2﹣2x+a，得，解得：a=，或a=0（舍去），∴抛物线为y=﹣x2﹣2x+，直线BC为y=﹣，当x=0时，y=﹣，∴C（0，﹣），A（0，），M（﹣1，），∴|AC|=，∴S△PCD=S△PAC﹣S△DAC=|AC|×|x p|﹣|AC|×|x D|=××3﹣××1=．【点评】此题主要考查二次函数的综合问题，会运用待定系数法求函数解析式，会求函数图象的交点和三角形的面积是解题的关键．。

人教版2016届九年级上期中联考数学试卷及答案

2015-2016学年度第一学期期中考试九年级数学试卷及答案一、选择题（每小题3分，共30分）1．将方程化为一元二次方程10832=-x x 的一般形式，其中二次项系数，一次项系数，常数项分别是A ．3，-8，-10B ．3，-8, 10C ． 3, 8，-10D ． -3 ，-8，-10 2.用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为A ．2(1)6x += B ．2(2)9x += C ．2(1)6x -= D ．2(2)9x -= 3.在下列四个图案中，不是中心对称图形的是 AB ．C ．D ．4．将二次函数2)1(2--=x y 的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位后顶点为A ．（1，3）B ．（2，-1）C ．（0，-1）D ．（0，1） 5.如图，在△ABC 中，∠CAB =65°,将△ABC 在平面内绕点A 旋转到△AB ′C ′的位置，使CC ′∥AB ，则旋转角的度数为A.35°B.40°C.50°D.65°6.如图，已知长方形的长为10cm ，宽为4cm ，则图中阴影部分的面积为A ．20cm 2B ．15cm 2C ．10cm 2D ．25cm 27.股票每天的涨、跌幅均不超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再张，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停。

已知一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为x ，则x 满足的方程是 A. 1011)1(2=+x B. 910)1(2=+x C. 101121=+x D. 91021=+x8．如图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2m 时，水面宽4m ．水面下降2.5m ，水面宽度增加A ．1 mB ．2 mC ．3 mD ．6 m第5题图第6题图9．如图，一次函数y 1＝x 与二次函数y 2＝ax 2＋bx ＋c 图象相交于P 、Q 两点，则函数y ＝ax 2＋(b －1)x ＋c 的图象可能是10.一元二次方程：M ：20ax bx c ++=; N ：20cx bx a ++=，其中a c ≠0，a ≠c ，以下四个结论:①如果方程M 有两个不相等的实数根，那么方程N 也有两个不相等的实数根； ②如果方程M 有两根符号相同，那么方程N 的两根符号也相同；③如果m 是方程M 的一个根，那么m1是方程N 的一个根； ④如果方程M 和方程N 有一个相同的根，那么这个根必是1x =正确的个数是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题（每题3分，共18分）11．若点)1,2(A 与点B 是关于原点O 的对称点，则点B 的坐标为 12.一元二次方程x 2﹣2x =0的解是13.如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m ，另一边减少了3m ，剩余一块面积为20m 2的矩形空地，则原正方形空地的边长是14．二次函数k x x y +--=322的图象在x 轴下方，则k 的取值范围是15．在平面直角坐标系xOy 中，对于点()P x y ，，我们把点(11)P y x '-++，叫做点P 的伴随点，已知点1A 的伴随点为2A ，点2A 的伴随点为3A ，点3A 的伴随点为4A ，…，这样依次得到点1A ，2A ，3A ，…，n A ，….若点1A 的坐标为（3，1），点2015A 的坐标为 .16.如图，在△ABC 中，∠ACB=90，D 为边AB 的中点，E,F 分别为边AC ，BC 上的点，且AE=AD ，BF=BD ，若DE=22，DF=4，则AB 的长为三、解答题（共8道小题，共72分）17. （本题满分8分）已知关于x 的方程x 2+2x +a ﹣2=0 （1）若方程有一根为1，求a 的值;FEDC BA第16题图第13题图P Q OOO OO yy y y yx x x x xA ．B ．C ．D ．第9题图（2）若a=1，求方程的两根．18. （本题满分8分）四边形ABCD 是正方形，E 、F 分别是DC和CB 的延长线上的点，且DE=BF ，连接AE 、AF 、EF ．（1）求证：△ADE≌△ABF；（2）填空：△ABF 可以由△ADE 绕旋转中心点，按顺时针方向旋转度得到； 19. （本题满分8分）已知关于x 的方程x 2－2（k －1）x+k 2=0有两个实数根x 1，x 2. （1）求k 的取值范围；（2）若21211x x x x -=+，求k 的值.20. （本题满分8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A （-4，3）、B （-3，1）、C （-1，3）．（1）请按下列要求画图：①将△ABC 先向右平移4个单位长度、再向上平移2个单位长度，得到△A 1B 1C 1，画出△A 1B 1C 1；②△A 2B 2C 2与△ABC 关于原点O 成中心对称，画出△A 2B 2C 2．（2）在（1）中所得的△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2关于点M 成中心对称，请直接写出对称中心M 点的坐标．21. （本题满分8分）如图，已知ABC ∆是等边三角形.（1）如图（1），点E 在线段AB 上，点D 在射线CB 上，且ED=EC.将BCE ∆绕点C 顺时针旋转60°至ACF ∆,连接EF.猜想线段AB,DB,AF 之间的数量关系;（2）点E 在线段BA 的延长线上，其它条件与（1）中一致，请在图（2）的基础上将图形补充完整，并猜想线段AB,DB,AF 之间的数量关系; （3）请选择（1）或（2）中的一个猜想进行证明.第18题图第20题图 A A E22．（本题满分10分）已知某种产品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查发现，该产品每降价1元，每星期可多卖出20件，由于供货方的原因销量不得超过380件，设这种产品每件降价x 元(x 为整数)，每星期的销售利润为w 元．（1）求w 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）该产品销售价定为每件多少元时，每星期的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）该产品销售价在什么范围时，每星期的销售利润不低于6000元，请直接写出结果． 23. （本题满分10分）如图(1)，在Rt △ABC 中，∠A =90°，AC =AB =4， D ，E 分别是AB ，AC 的中点．若等腰Rt △ADE 绕点A 逆时针旋转，得到等腰Rt △AD 1E 1，如图(2)，设旋转角为α（0<α≤180°），记直线BD 1与CE 1的交点为P ．（1）求证：BD 1= CE 1 ；（2）当∠=1CPD 2∠1CAD 时，求1CE 的长；（3）连接PA,PAB ∆面积的最大值为．（直接填写结果）24．（本题满分12分）如图，已知抛物线错误!未找到引用源。

2015-2016学年北京市XX中学九年级(上)期中数学试卷(含答案)

2015-2016学年北京XX中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10个小题，每小题3分，共30分）1．已知3x=4y，则的值为( )A．B．C．7 D．2．如图，点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，OA=10，OA′=20，则五边形ABCDE的面积与五边形A′B′C′D′E′的面积的比值是( )A．2：1 B．1：2 C．4：1 D．1：43．如图，D是△ABC的边AC上的一点，则下列条件中不能判定△ABC∽△ADE的是( )A．∠ADE=∠B B．=C．∠AED=∠C D．=4．如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为12m，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是( )A．AB=24m B．MN∥AB C．△CMN∽△CAB D．CM：MA=1：2 5．下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是( )A．B．C．D．6．如图，平面直角坐标系中的二次函数图象所对应的函数解析式可能为( )A．B．C．D．7．（1998•台州）把二次函数y=3x2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是( )A．y=3（x﹣2）2+1;B．y=3（x+2）2﹣1;C．y=3（x﹣2）2﹣1;D．y=3（x+2）2+18．在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为( ) A．B．C．D．9．已知二次函数y=ax2+bx+c中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：x…0 1 2 3 4 …y… 4 1 0 1 4 …点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，则当1＜x1＜2，3＜x2＜4时，y1与y2的大小关系正确的是( )A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1≥y2D．y1≤y210．如图，正方形ABCD中，AB=8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时间为t（s），△OEF的面积为s（cm2），则s（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为( )A．B．C．D．二．填空题（共6个小题，每小题3分，共18分）11．利用相似三角形可以计算不能直接测量的物体的高度，小雪的身高是1.6m，他在阳光下的影长是2.4m，在同一时刻测得某棵树的影长为15m，则这棵树的高度约为__________m．12．已知函数y=（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围为__________．13．如图，在▱ABCD中，E为线段AD上一点，AE=4ED，CE、BD交于点F，若DF=4cm，则BF的长为__________cm．14．已知点P（﹣1，m）在二次函数y=x2﹣1的图象上，则m的值为__________；平移此二次函数的图象，使点P与坐标原点重合，则平移后的函数图象所对应的解析式为__________．15．在△ABC中，AB=6，AC=4，E是AB上一点，AE=2，在AC上取一点F，使以A、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，则AF的长为__________．16．已知二次函数y=ax2+bx+c满足：（1）a＜b＜c；（2）a+b+c=0；（3）图象与x轴有2个交点，且两交点间的距离小于2；则以下结论中正确的有__________．①a＜0 ②a﹣b+c＜0 ③c＞0 ④a﹣2b＞0 ⑤．三、解答题（共6个小题，每小题5分，共30分）17．已知：如图，△ABC中，D是AB的中点，且∠ACD=∠B，若AB=10，求AC的长．18．若二次函数图象的对称轴方程是x=1，并且图象经过A（0，﹣4），B（4，0），（1）求此二次函数图象上点B关于对称轴x=1的对点B′的坐标；（2）求此函数的解析式．19．对于抛物线y=x2﹣4x+3．（1）将抛物线的解析式化为顶点式．（2）在坐标系中利用五点法画出此抛物线．x……y……（3）结合图象，当0＜x＜3时，y的取值范围__________．20．如图，已知△ABC顶点的坐标分别为A（1，﹣1），B（4，﹣1），C（3，﹣4）．（1）将△ABC绕点A逆时针旋转90°后，得到△AB1C1．在所给的直角坐标系中画出旋转后的△AB1C1，并写出点B1的坐标；（2）以坐标原点O为位似中心，在第二象限内再画一个放大的△A2B2C2，使得它与△ABC的位似比等于2：1．21．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D、E分别为AB、AC边上的点，且=，连结DE．若AC=3，AB=5．求证：（1）△ABC∽△AED；（2）DE⊥A B．22．如图，在正方形ABCD中，点E是CD上一点（DE＞CE），连接AE，并过点E作AE的垂线交BC于点F，若AB=9，BF=7，求DE长．四、解答题（共4个小题，每小题5分，共20分）23．已知抛物线y=（m﹣2）x2+2mx+m+3与x轴有两个交点．（1）求m的取值范围；（2）当m取满足条件的最大整数时，求抛物线与x轴有两个交点的坐标．24．百货商店服装柜在销售中发现：某童装每天可卖20件，每件盈利40元，为迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存，经市场调查发现：每件童装降价1元，每天可多卖2件，要想平均每天获利1200元，那么每件童装应降价多少元？要使每天盈利最多，每件应降价多少元？25．已知：如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC边上一个动点（不与B、C点重合），∠ADE=45°（1）求证：△ABD∽△DCE．（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．（3）当点D在线段BC的什么位置时，AE的长度最短？请说明理由，并求出AE的最短长度是多少？26．阅读理解：如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD 的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点．解决问题：（1）如图1，∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E；拓展探究：（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的数量关系．五．综合运用（27、28题7分，29题8分，共22分）27．已知抛物线y=（m﹣1）x2﹣2mx+m+1（m＞1）．（1）求抛物线与x轴的交点坐标；（2）若抛物线与x轴的两个交点之间的距离为2，求m的值；（3）若一次函数y=kx﹣k的图象与抛物线始终只有一个公共点，求一次函数的解析式．28．如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交CD于点F．另一边交CB的延长线于点G．（1）求证：EF=EG；（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由；（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB=a、BC=b，求的值．29．如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．试卷答案一、选择题（共10个小题，每小题3分，共30分）1．已知3x=4y，则的值为( )A．B．C．7 D．【考点】比例的性质．【分析】根据等式的性质，可得用x表示y，根据分式的性质，可得答案．【解答】解：由3x=4y，得y=．===7．故选：C．【点评】本题考查了比例的性质，利用等式的性质得出y=是解题关键，又利用了分式的性质．2．如图，点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，OA=10，OA′=20，则五边形ABCDE的面积与五边形A′B′C′D′E′的面积的比值是( )A．2：1 B．1：2 C．4：1 D．1：4【考点】位似变换．【分析】由以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，OA=10cm，OA′=20cm，可得五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的位似比为：10：20=1：2，然后由相似多边形的性质可得：五边形ABCDE的面积与五边形A′B′C′D′E′的面积的比值．【解答】解：∵以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，OA=10cm，OA′=20cm，∴五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的位似比为：10：20=1：2，∴五边形ABCDE的面积与五边形A′B′C′D′E′的面积比是：1：4．故选：D．【点评】此题考查了位似图形的性质，利用相似多边形的面积比等于相似比得出答案是解题关键．3．如图，D是△ABC的边AC上的一点，则下列条件中不能判定△ABC∽△ADE的是( )A．∠ADE=∠B B．=C．∠AED=∠C D．=【考点】相似三角形的判定．【分析】根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案．【解答】解：∵∠A=∠A，∠ADE=∠B，∴△ABC∽△ADE，A正确；∵，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADE，B正确；∵∠AED=∠C，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADE，C正确；D不符合两边成比例且夹角相等，D错误；故选：D．【点评】此题主要考查学生对相似三角形的判定方法的掌握情况，常用的判定方法有：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．4．如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为12m，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是( )A．AB=24m B．MN∥AB C．△CMN∽△CAB D．CM：MA=1：2【考点】三角形中位线定理；相似三角形的应用．【专题】几何图形问题．【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得MN∥AB，MN=AB，再根据相似三角形的判定解答．【解答】解：∵M、N分别是AC，BC的中点，∴MN∥AB，MN=AB，∴AB=2MN=2×12=24m，△CMN∽△CAB，∵M是AC的中点，∴CM=MA，∴CM：MA=1：1，故描述错误的是D选项．故选：D．【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，相似三角形的判定，熟记定理并准确识图是解题的关键．5．下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是( )A．B．C．D．【考点】相似三角形的判定．【专题】网格型．【分析】本题主要应用两三角形相似的判定定理，三边对应成比例，做题即可．【解答】解：设单位正方形的边长为1，给出的三角形三边长分别为，2，．A、三角形三边2，，3，与给出的三角形的各边不成比例，故A选项错误；B、三角形三边2，4，2，与给出的三角形的各边成正比例，故B选项正确；C、三角形三边2，3，，与给出的三角形的各边不成比例，故C选项错误；D、三角形三边，4，，与给出的三角形的各边不成比例，故D选项错误．故选：B．【点评】此题考查三边对应成比例，两三角形相似判定定理的应用．6．如图，平面直角坐标系中的二次函数图象所对应的函数解析式可能为( )A．B． C．D．【考点】二次函数的图象．【分析】根据二次函数图象得出顶点位置，进而根据各选项排除即可．【解答】解：根据二次函数顶点坐标位于第三象限，只有选项D的顶点符合要求，故选：D．【点评】此题主要考查了二次函数图象，根据图象得出顶点位置是解题关键．7．（1998•台州）把二次函数y=3x2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是( )A．y=3（x﹣2）2+1 B．y=3（x+2）2﹣1 C．y=3（x﹣2）2﹣1 D．y=3（x+2）2+1【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】压轴题．【分析】变化规律：左加右减，上加下减．【解答】解：按照“左加右减，上加下减”的规律，y=3x2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到y=3（x+2）2+1．故选D．【点评】考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的性质．8．在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为( ) A．B．C．D．【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．【分析】根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象．【解答】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0，c），∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故B选项错误；当a＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，故C选项错误；当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，故A选项错误；故选：D．【点评】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．9．已知二次函数y=ax2+bx+c中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：x…0 1 2 3 4 …y… 4 1 0 1 4 …点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，则当1＜x1＜2，3＜x2＜4时，y1与y2的大小关系正确的是( )A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1≥y2 D．y1≤y2【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【专题】计算题．【分析】由表格可知，当1＜x＜2时，0＜y＜1，当3＜x＜4时，1＜y＜4，由此可判断y1与y2的大小．【解答】解：∵当1＜x＜2时，函数值y小于1，当3＜x＜4时，函数值y大于1，∴y1＜y2．故选B．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点．关键是由表格判断自变量取值范围内，函数值的大小．10．如图，正方形ABCD中，AB=8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时间为t（s），△OEF 的面积为s（cm2），则s（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为( )A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【专题】压轴题．【分析】由点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，得到BE=CF=t，则CE=8﹣t，再根据正方形的性质得OB=OC，∠OBC=∠OCD=45°，然后根据“SAS”可判断△OBE≌△OCF，所以S△OBE=S△OCF，这样S四边形OECF=S△OBC=16，于是S=S四边形OECF﹣S△CEF=16﹣（8﹣t）•t，然后配方得到S=（t﹣4）2+8（0≤t≤8），最后利用解析式和二次函数的性质对各选项进行判断．【解答】解：根据题意BE=CF=t，CE=8﹣t，∵四边形ABCD为正方形，∴OB=OC，∠OBC=∠OCD=45°，∵在△OBE和△OCF中，∴△OBE≌△OCF（SAS），∴S△OBE=S△OCF，=S△OBC=×82=16，∴S四边形OECF∴S=S﹣S△CEF=16﹣（8﹣t）•t=t2﹣4t+16=（t﹣4）2+8（0≤t≤8），四边形OECF∴s（cm2）与t（s）的函数图象为抛物线一部分，顶点为（4，8），自变量为0≤t≤8．故选：B．【点评】本题考查了动点问题的函数图象：先根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象，注意自变量的取值范围．二．填空题（共6个小题，每小题3分，共18分）11．利用相似三角形可以计算不能直接测量的物体的高度，小雪的身高是1.6m，他在阳光下的影长是2.4m，在同一时刻测得某棵树的影长为15m，则这棵树的高度约为10m．【考点】相似三角形的应用．【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．【解答】解：因为=，所以：树的高度=×树的影长=×15=10（m）．故答案是：10．【点评】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．12．已知函数y=（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围为k≤4．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】分为两种情况：①当k﹣3≠0时，（k﹣3）x2+2x+1=0，求出△=b2﹣4ac=﹣4k+16≥0的解集即可；②当k﹣3=0时，得到一次函数y=2x+1，与X轴有交点；即可得到答案．【解答】解：①当k﹣3≠0时，（k﹣3）x2+2x+1=0，△=b2﹣4ac=22﹣4（k﹣3）×1=﹣4k+16≥0，k≤4；②当k﹣3=0时，y=2x+1，与x轴有交点；故k的取值范围是k≤4，故答案为：k≤4．【点评】本题主要考查对抛物线与x轴的交点，根的判别式，一次函数的性质等知识点的理解和掌握，能进行分类求出每种情况的k是解此题的关键．13．如图，在▱ABCD中，E为线段AD上一点，AE=4ED，CE、BD交于点F，若DF=4cm，则BF的长为20cm．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】由在▱ABCD中，且AE=4ED，易得DE：BC=1：5，△ADF∽△EBF，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．【解答】解：∵AE=4ED，∴DE：AD=1：5，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∴DE：BC=1：5，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴△DEF∽△BCF，∴DE：BC=DF：BF=1：5，∵DF=4cm，∴BF=20cm．故答案为：20．【点评】此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．14．已知点P（﹣1，m）在二次函数y=x2﹣1的图象上，则m的值为0；平移此二次函数的图象，使点P与坐标原点重合，则平移后的函数图象所对应的解析式为y=x2﹣2x．【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数图象上点的坐标特征．【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征，把点P的坐标代入二次函数解析式计算即可得解；根据点P确定出平移方法，再求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后根据顶点式解析式形式写出即可．【解答】解：∵点P（﹣1，m）在二次函数y=x2﹣1的图象上，∴（﹣1）2﹣1=m，解得m=0，平移方法为向右平移1个单位，平移后的抛物线的二次函数的顶点坐标为（1，﹣1），平移后的函数图象所对应的解析式为y=（x﹣1）2﹣1=x2﹣2x，即y=x2﹣2x．故答案为：0，y=x2﹣2x．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，此类题目，利用顶点的变化确定抛物线解析式更简便．15．在△ABC中，AB=6，AC=4，E是AB上一点，AE=2，在AC上取一点F，使以A、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，则AF的长为或3．【考点】相似三角形的判定．【分析】根据相似三角形的相似比求AF，注意分情况考虑．【解答】解：∵∠A=∠A，∴两种情况进行讨论：①当时，△ABC∽△AEF，即，解得：AF=；②当时，△ABC∽△AFE，即，解得：AF=3；综上所述：AF的长为或3；故答案为：或3．【点评】本题考查了相似三角形的判定；熟练掌握相似三角形的判定，分情况讨论是解决本题的关键．16．已知二次函数y=ax2+bx+c满足：（1）a＜b＜c；（2）a+b+c=0；（3）图象与x轴有2个交点，且两交点间的距离小于2；则以下结论中正确的有①②③⑤．①a＜0 ②a﹣b+c＜0 ③c＞0 ④a﹣2b＞0 ⑤．【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征．【分析】由抛物线满足：（1）a＜b＜c；（2）a+b+c=0；（3）图象与x轴有2个交点，且两交点间的距离小于2；判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：∵（1）a＜b＜c；（2）a+b+c=0；（3）图象与x轴有2个交点，且两交点间的距离小于2；∴图象过（1，0）点，∵a＜b＜c，a+b+c=0，∴a＜0，c＞0，故①③正确，∵图象与x轴有2个交点，且两交点间的距离小于2；∴图象一定不过（﹣1，0）点，且另一交点坐标在（﹣1，0）右侧，∴a﹣b+c＜0，故②正确，∴图象对称轴一定在x轴的正半轴，∴0＜﹣＜1，∴a，b异号，∴a﹣2b＜0，故④此选项错误，∵b＜c，a+b+c=0，∴c=﹣（a+b），∴b＜﹣（a+b），即a+2b＜0，∴2b＜﹣a，∴＞，∴＞﹣，∴﹣＜，故⑤选项正确，故正确的有：①②③⑤，故答案为：①②③⑤．【点评】此题考查了二次函数各系数与函数图象的关系，解题的关键是注意数形结合思想的应用．三、解答题（共6个小题，每小题5分，共30分）17．已知：如图，△ABC中，D是AB的中点，且∠ACD=∠B，若AB=10，求AC的长．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】计算题．【分析】首先根据∠ACD=∠B，∠A=∠A得到△ACD∽△ABC，然后利用相似三角形对应边的比相等得到，再根据D是AB的中点和AB=10得到后代入以上比例式后即可求得AC的长．【解答】解：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，∴△ACD∽△AB C．∴．∵D是AB的中点，AB=10，∴．∴．∴AC2=50．∴（舍负）．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形得到正确的比例式是解决本题的关键．18．若二次函数图象的对称轴方程是x=1，并且图象经过A（0，﹣4），B（4，0），（1）求此二次函数图象上点B关于对称轴x=1的对点B′的坐标；（2）求此函数的解析式．【考点】待定系数法求二次函数解析式；坐标与图形变化-对称．【分析】（1）直接利用对称性求解即可；（2）利用待定系数法把A（0，﹣4）和B（4，0），即对称轴x=1代入解析式，解三元一次方程组可得y=x2﹣x﹣4．【解答】解：（1）∵二次函数图象的对称轴方程是x=1，∴此二次函数图象上点B关于对称轴x=1的对点B′的坐标为：B′（﹣2，0）；（2）设此二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，把A（0，﹣4）和B（4，0），即对称轴x=1代入解析式得：，解得：，故二次函数解析式为：．【点评】此题主要考查了二次函数的概念、性质以及待定系数法求解析式，正确掌握待定系数法求二次函数解析式是解题关键．19．对于抛物线y=x2﹣4x+3．（1）将抛物线的解析式化为顶点式．（2）在坐标系中利用五点法画出此抛物线．x……y……（3）结合图象，当0＜x＜3时，y的取值范围﹣1≤y＜3．【考点】二次函数的图象．【分析】（1）由于二次项系数是1，所以直接加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．（2）利用列表、描点、连线的方法画出图形即可；（3）根据函数图象回答即可．【解答】解：（1）y=x2﹣4x+3=（x2﹣4x+4）﹣4+3=（x﹣2）2﹣1．∴抛物线的顶点式为故答案为：y=（x﹣2）2﹣1．（2）列表：x…0 1 2 3 4 …y… 3 0 ﹣1 0 3 …函数图象如图所示：（3）根据函数图象可知：当0＜x＜3时，y的取值范围﹣1≤y＜3．故答案为：﹣1≤y＜3．【点评】本题主要考查的是二次函数的顶点式、画函数的图象，利用函数图象求得y的取值范围是解题的关键．20．如图，已知△ABC顶点的坐标分别为A（1，﹣1），B（4，﹣1），C（3，﹣4）．（1）将△ABC绕点A逆时针旋转90°后，得到△AB1C1．在所给的直角坐标系中画出旋转后的△AB1C1，并写出点B1的坐标；（2）以坐标原点O为位似中心，在第二象限内再画一个放大的△A2B2C2，使得它与△ABC的位似比等于2：1．【考点】作图-位似变换；作图-旋转变换．【分析】（1）由题意得，将△ABC绕点A逆时针旋转90°后，得到△AB1C1．则AB1⊥AB，AC1⊥AC，画出图形写出坐标．（2）根据以坐标原点O为位似中心，在第二象限内再画一个放大的△A2B2C2，可以得出A1，B1，C1的坐标扩大2倍，且横纵坐标改变符号，得出即可．【解答】解：（1）如图：正确画出△AB1C1，B1（1，2），（2）如图：正确画出△A2B2C2，【点评】此题主要考查了图形的旋转与位似，利用位似图形的性质得出A1，B1，C1的坐标是解决问题的关键．21．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D、E分别为AB、AC边上的点，且=，连结DE．若AC=3，AB=5．求证：（1）△ABC∽△AED；（2）DE⊥A B．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）根据已知条件得到，由于∠A=∠A，于是得到△ADE∽△ACB；（2）根据相似三角形的性质得到∠ADE=∠C=90°，由垂直的定义即可得到结论．【解答】证明：（1）∵，=，∴，∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB；（2）∵△ABC∽△AED，∴∠ADE=∠C=90°，∴DE⊥A B．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，垂直的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．22．如图，在正方形ABCD中，点E是CD上一点（DE＞CE），连接AE，并过点E作AE的垂线交BC于点F，若AB=9，BF=7，求DE长．【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．【分析】首先由正方形的性质和已知条件证明△ADE∽△ECF，根据相似三角形的性质可知：，设DE=x，则EC=9﹣x，代入计算求出x的值即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴CD=AD=BC=AB=9，∠D=∠C=90°，∴CF=BC﹣BF=2，在Rt△ADE中，∠DAE+∠AED=90°，∵AE⊥EF于E，∴∠AED+∠FEC=90°，∴∠DAE=∠FEC，∴△ADE∽△ECF，∴，设DE=x，则E C=9﹣x，∴，解得x1=3，x2=6，∵DE＞CE，∴DE=6．【点评】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是设DE=x，利用方程思想解决几何问题．四、解答题（共4个小题，每小题5分，共20分）23．已知抛物线y=（m﹣2）x2+2mx+m+3与x轴有两个交点．（1）求m的取值范围；（2）当m取满足条件的最大整数时，求抛物线与x轴有两个交点的坐标．【考点】抛物线与x轴的交点．【专题】探究型．【分析】（1）根据抛物线y=（m﹣2）x2+2mx+m+3与x轴有两个交点时，可知（m﹣2）x2+2mx+m+3=0时，△＞0且m﹣2≠0，从而可以解答本题；（2）根据第一问求得的m的取值范围，可以得到m的最大整数，从而可以求得抛物线与x轴有两个交点的坐标．【解答】（1）∵抛物线y=（m﹣2）x2+2mx+m+3与x轴有两个交点，∴y=0时，（m﹣2）x2+2mx+m+3=0，则△=（2m）2﹣4×（m﹣2）×（m+3）＞0，m﹣2≠0，解得m＜6且m≠2．即m的取值范围是：m＜6且m≠2．（2）∵m＜6且m≠2，∴m满足条件的最大整数是m=5．∴y=3x2+10x+8．当y=0时，3x2+10x+8=0．解得．即抛物线与x轴有两个交点的坐标是：（﹣2，0），（，0）．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是明确抛物线与x轴的交点与（m﹣2）x2+2mx+m+3=0时，△的值有关．24．百货商店服装柜在销售中发现：某童装每天可卖20件，每件盈利40元，为迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存，经市场调查发现：每件童装降价1元，每天可多卖2件，要想平均每天获利1200元，那么每件童装应降价多少元？要使每天盈利最多，每件应降价多少元？【考点】一元二次方程的应用；二次函数的应用．【分析】（1）利用童装平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种童装利润列出方程解答即可；（2）设每天销售这种童装利润为y，利用上面的关系列出函数，利用配方法解决问题．【解答】解：（1）设每件童装应降价x元，根据题意列方程得，（40﹣x）=1200，解得x1=20，x2=10（因为尽快减少库存，不合题意，舍去）．答：每件童装降价20元；（2）设每天销售这种童装利润为y，则y=（40﹣x）=﹣2x2+60x+800=﹣2（x﹣15）2+1250，答：当每件童装降价15元时，能获最大利润1250元．【点评】此题主要考查了一元二次方程的实际应用和二次函数实际中的应用，此题找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程或函数关系式是解决问题的关键．最后要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．25．已知：如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC边上一个动点（不与B、C点重合），∠ADE=45°（1）求证：△ABD∽△DCE．（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．（3）当点D在线段BC的什么位置时，AE的长度最短？请说明理由，并求出AE的最短长度是多少？【考点】相似形综合题．【分析】（1）先判断△ABC为等腰直角三角形得到∠B=∠C=45°，再利用三角形内角和得到∠1+∠2=135°，利用平角定义得到∠2++∠3=135°，则∠1=∠3，于是可根据有两组角对应相等的两个三角形相似得到结论；（2）由△ABD∽△DCE，对应边成比例及等腰直角三角形的性质可求出y与x的函数关系式；（3）根据函数图象的顶点坐标可求出其最小值．【解答】（1）证明：∵∠BAC=90°，AB=AC=1，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠B=∠C=45°，∴∠1+∠2=180°﹣∠B=135°，∵∠ADE=45°，∴∠2+∠3=135°，∴∠1=∠3，∵∠B=∠C，∴△ABD∽△DCE；（2）解：由（1）得△ABD∽△DCE，∴，∵∠BAC=90°，AB=AC=1，∴BC=，DC=﹣x，EC=1﹣y，∴，∴y=x2﹣x+1（0＜x）；（3）解：∵y=x2﹣x+1=，∴当x=时，y有最小值为，即BD=时，AE的最短长度是．【点评】本题考查了相似三角形的判定及性质定理和等腰直角三角形的性质，综合运用相似三角形的判定及性质定理和二次函数的最值是解答此题的关键．26．阅读理解：如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD 的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点．解决问题：（1）如图1，∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E；拓展探究：（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的数量关系．【考点】相似形综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）要证明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点，只要证明有一组三角形相似就行，很容易证明△ADE∽△BEC，所以问题得解．（2）根据两个直角三角形相似得到强相似点的两种情况即可．（3）因为点E是梯形ABCD的AB边上的一个强相似点，所以就有相似三角形出现，根据相似三角形的对应线段成比例，可以判断出AE和BE的数量关系，从而可求出解．【解答】解：（1）点E是四边形ABCD的边AB上的相似点．。

2015-2016北京东城区六校联盟初三上期中数学(5个新题)

1．观察下列图形，是中心对称图形的是8aac49074e4e5107014e66526955487f2．下列事件是随机事件的是明天太阳从东方升起8aac49074e724b45014e7bc35838296e3．个型号相同的足球ff8080814767495f0147739c6141178a4．已知ABC DEF∽△△，相似比为1:2，ABC△的面积为4，则DEF△的面积为（）．A．2B．4C．8D．16【答案】D【解析】相似三角形，面积比等于相似比的平方，易得DEF△的面积为16．5．如图，四边形内接于⊙，为延长线上一点，8aac49074e023206014e24d722a571676．把抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到抛物线8aac50a74e724b3f014e9f3c3cde20747．如图，是的直径，是圆上两点，，则等于ff8080814d043c29014d0f83186b37308．如图，和是以点为位似中心的位似三角形ff8080814d95366b014d9939ccc81e309．如果关于x的一元二次方程2110 4x x m-+-=由实数根，那么m的取值范围是（）．A．5m<B．5m>C．5m≤D．5m≥【答案】C【解析】由题意，得114104m⎛⎫∆=--⎪⎝⎭≥，解得5m≤．10．矩形的边在直线上，，，是边上一动点8aac49074e724b45014e99ad5b860a3111．如果23a bb-=，那么ab=8aac50a74e4e5106014e63bec3bc38e712．请写出一个开口向下，并且与轴交于点的抛物线的表达式d2cbd407c09e4bfc8a4aadd6540f53c0（补解析）13．如图，将绕点按顺时针方向旋转某个角度得到8aac50a74e724b3f014e9f75c22321e414．如图，中，，，点在上且．如果要在上8aac49074e724b45014e91dd8626780715．如图，在ABC △中，4BC =，以点A 为圆心，2为半径的⊙A 与BC 相切于点D ，交 8aac49074e023206014e4397460f70df （改编）16．每当碰到矩形的边时反弹，反弹时ff80808145d03a7f0145da8172ec0dc917．解方程：2450x x --=8aac49074e4e5107014e65c6e69543ce18．已知如图所示边长为1的小正方形组成的网格内8aac49074e724b45014e752a646f0cdd19．如图，AB 是⊙O 的弦，CD 是⊙O 的直径，CD AB ⊥，垂足E ，4AB =，1CE =，求⊙O 半径长．【解析】连接OA ．∵AB 是⊙O 的弦，CD 是⊙O 的直径，CD AB ⊥，4AB =，∴122AE AB ==．设⊙O 半径长为r ，则1OE r =-，OA r =．在Rt AOE △中，222OE AE OA +=，即222(1)2r r -+=，解得52r =． ∴⊙O 的半径长为52．20．如图，中，点在上，，若，，求的长8aac49074e724b45014e7be4891c2a3f21．已知：二次函数的图象过点，且顶点坐标为8aac49074e4e5107014e6b165ac46029（改编一下）22．甲、乙两位同学玩转盘游戏 8aac49074e724b45014e911c5c4f761623．已知关于的一元二次方程若为整数，当此方程的两个实数根都是整数时，求的值．8aac50a74e724b3f014e7c1166ef2d7324．某工厂生产的某种产品按质量分为个档次，据调研显示ff8080814d75c216014d79715ee7068725．如图，为直径，是上一点，于点，弦与交于点，ff8080814d043c29014d0fb6d903382526．对于两个相似三角形，如果对应顶点沿边界按相同8aac49074e724b45014e854fec743f9327．在平面直角坐标系中，抛物线的开口向上，且抛物线与轴的交点于点，与轴交于，两点8aac49074e023206014e39bf37c843ef28．如图，已知是等腰直角三角形，，点是的中点．作正方形，使点分别在和上，连接ff8080814660c1ba014664b44a0e01fe（处理一下子题）29．等高点ff8080814d31e45c014d3230d6e206a9。

北京市东城区普通校初三上学期期中联考数学试卷

东城区普通校-第一学期联考试卷初三数学命题校：国子监中学 11月本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共120分，考试用时120 分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1．在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是A ．B ．C ．D ．2. 袋子中有两个同样大小的4个小球，其中3个红球，1个白球，从袋中任意地同时摸出一个小球，则摸到白球概率是( ) A 、21 B 、43 C 、31D 、41 3．将抛物线22y x =的图象先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，得到的抛物线的解析式是 A ．22(2)3y x =-- B ．22(2)3y x =-+ C ．22(2)3y x =+- D ．22(2)3y x =++4．已知两圆的半径分别为7和1，当它们外切时，圆心距为（） A ．6B ．7C ．8D ．95．下列说法正确的是( )①平分弦的直径，必平分弦所对的两条弧． ②圆的切线垂直于圆的半径.③三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等。

④三点可以确定一个圆．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个6. 如图，△MBC 中，∠B=90°，∠C=60°，MB=23，点A 在 MB 上，以AB 为直径作⊙O 与MC 相切于点D ，则CD 的长为A ． 2B ．3C ．2D ． 3 7.边长为a 的正六边形的边心距等于（）A ．a 23B ．2aC ．aD ．223a8．如图所示, 二次函数 y = ax 2+ bx + c (a ≠ 0) 的图像经过点(-1, 2), 且与x 轴交点的横坐标分别为x 1, x 2, 其中 -2 < x 1 < -1, 0 < x 2 < 1, 下列结论⑴ 4a - 2b + c < 0; ⑵ 2a - b < 0;⑶ a - 3b > 0; ⑷ b 2+ 8a < 4ac ; 其中正确的有( )A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个第Ⅱ卷二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 9. 二次函数y=3 (x-1)(x+3)的对称轴方程是______________.10.如图3，在Rt △ABC 中，∠C=90°，CA=CB=2。

北京市九年级上期中数学复习试卷含答案解析 (2).doc

1九年级（上）期中数学复习试卷（分式及其运算）一、选择题 1．若分式的值为0，则x 的值是（）A ．﹣3B ．﹣2C ．0D ．22．如果a+b=2，那么代数（a ﹣）•的值是（）A ．2B ．﹣2C ．D ．﹣3．化简的结果是（）A ．B ．C ．x+1D ．x ﹣14．已知x 2﹣3x ﹣4=0，则代数式的值是（）A ．3B ．2C ．D ．5．设m ＞n ＞0，m 2+n 2=4mn ，则的值等于（）A ．2B ．C ．D ．3二、填空题 6．若分式在实数范围内有意义，则x 的取值范围是．7．化简：（ +）= ．8．当a=﹣1时，代数式的值是．9．已知实数a 、b 、c 满足a+b=ab=c ，有下列结论： ①若c ≠0，则+=1； ②若a=3，则b+c=9； ③若a=b=c ，则abc=0；2④若a 、b 、c 中只有两个数相等，则a+b+c=8．其中正确的是（把所有正确结论的序号都选上）． 10．已知三个数x ，y ，z 满足，，，则的值为．三、解答题 11．计算或化简：（1）﹣；（2）（a+1﹣）•．12．先化简，再求值：（1）（﹣）÷（﹣1），其中x=2；（2）（1﹣）÷﹣，其中x 2+2x ﹣15=0．13．已知﹣=3，求代数式的值．14．已知（1）化简A ；（2）若x 满足不等式组，且x 为整数时，求A 的值．15．设abc=1，试求++的值．32016-2017学年北京市朝阳区普通中学九年级（上）期中数学复习试卷（分式及其运算）参考答案与试题解析一、选择题 1．若分式的值为0，则x 的值是（）A ．﹣3B ．﹣2C ．0D ．2【考点】分式的值为零的条件．【分析】直接利用分式的值为0，则分子为0，进而求出答案．【解答】解：∵分式的值为0，∴x ﹣2=0， ∴x=2．故选：D ．【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握定义是解题关键．2．如果a+b=2，那么代数（a ﹣）•的值是（）A ．2B ．﹣2C ．D ．﹣【考点】分式的化简求值．【专题】计算题；分式．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：∵a+b=2， ∴原式=•=a+b=2故选：A ．【点评】此题考查了分式的化简求值，将原式进行正确的化简是解本题的关键．43．化简的结果是（）A ．B ．C ．x+1D ．x ﹣1【考点】分式的混合运算．【专题】计算题；分式．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．【解答】解：原式=÷=•=，故选A【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4．已知x 2﹣3x ﹣4=0，则代数式的值是（）A ．3B ．2C ．D ．【考点】分式的值．【专题】计算题；分式．【分析】已知等式变形求出x ﹣=3，原式变形后代入计算即可求出值．【解答】解：已知等式整理得：x ﹣=3，则原式===，故选D【点评】此题考查了分式的值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5．设m ＞n ＞0，m 2+n 2=4mn ，则的值等于（）A ．2B ．C ．D ．3【考点】分式的值．5【分析】由m 2+n 2=4mn 得（m ﹣n ）2=2mn 、（m+n ）2=6mn ，根据m ＞0、n ＞0可得m ﹣n=、m+n=，代入到=计算可得．【解答】解：∵m 2+n 2=4mn ， ∴m 2﹣4mn+n 2=0，∴（m ﹣n ）2=2mn ，（m+n ）2=6mn ， ∵m ＞0，n ＞0， ∴m ﹣n=，m+n=则===2，故选：A ．【点评】本题主要考查完全平方公式和分式的求值，依据完全平方公式灵活变形并依据条件判断出m+n 、m ﹣n 的值是关键．二、填空题 6．若分式在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 x ≠5 ．【考点】分式有意义的条件．【分析】分式有意义时，分母x ﹣5≠0，据此求得x 的取值范围．【解答】解：依题意得：x ﹣5≠0，解得x ≠5．故答案是：x ≠5．【点评】本题考查了分式有意义的条件．分式有意义的条件是分母不等于零；分式无意义的条件是分母等于零．7．（2016•内江）化简：（ +）= a ．【考点】分式的混合运算．【分析】先括号里面的，再算除法即可．6【解答】解：原式=•=（a+3）•=a ．故答案为：a ．【点评】本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 8．当a=﹣1时，代数式的值是．【考点】分式的值．【分析】根据已知条件先求出a+b 和a ﹣b 的值，再把要求的式子进行化简，然后代值计算即可．【解答】解：∵a=﹣1，∴a+b=+1+﹣1=2，a ﹣b=+1﹣+1=2，∴===；故答案为：．【点评】此题考查了分式的值，用到的知识点是完全平方公式、平方差公式和分式的化简，关键是对给出的式子进行化简．9．已知实数a 、b 、c 满足a+b=ab=c ，有下列结论： ①若c ≠0，则+=1； ②若a=3，则b+c=9； ③若a=b=c ，则abc=0；④若a 、b 、c 中只有两个数相等，则a+b+c=8．其中正确的是 ①③④ （把所有正确结论的序号都选上）．【考点】分式的混合运算；解一元一次方程．【分析】按照字母满足的条件，逐一分析计算得出答案，进一步比较得出结论即可．【解答】解：①∵a+b=ab ≠0，∴ +=1，此选项正确；7②∵a=3，则3+b=3b ，b=，c=，∴b+c=+=6，此选项错误； ③∵a=b=c ，则2a=a 2=a ，∴a=0，abc=0，此选项正确；④∵a 、b 、c 中只有两个数相等，不妨a=b ，则2a=a 2，a=0，或a=2，a=0不合题意，a=2，则b=2，c=4，∴a+b+c=8．当a=c 时，则b=0，不符合题意，b=c 时，a=0，也不符合题意；故只能是a=b=2，c=4；此选项正确其中正确的是①③④．故答案为：①③④．【点评】此题考查分式的混合运算，一元一次方程的运用，灵活利用题目中的已知条件，选择正确的方法解决问题．10．已知三个数x ，y ，z 满足，，，则的值为 ﹣4 ．【考点】分式的化简求值．【专题】计算题．【分析】所求式子分子分母除以xyz 变形后，将已知三等式左边变形后代入计算即可求出值．【解答】解：∵=﹣2，=，=﹣， ∴+=﹣， +=， +=﹣， ∴++=﹣，则==﹣4．故答案为：﹣4【点评】此题考查了分式的化简求值，将已知等式及所求式子进行适当的变形是解本题的关键．三、解答题 11．计算或化简：（1）﹣；（2）（a+1﹣）•．8【考点】分式的混合运算．【分析】（1）根据分式的加减运算法则计算即可；（2）根据分式的四则混合运算的法则计算结论．【解答】解：（1）﹣=﹣=；（2）（a+1﹣）•=•=2a ﹣4．【点评】本题考查整式与分式的加减乘除混和运算，要注意运算顺序，先乘除后加减，有括号先算括号里的．12．先化简，再求值：（1）（﹣）÷（﹣1），其中x=2；（2）（1﹣）÷﹣，其中x 2+2x ﹣15=0．【考点】分式的化简求值．【分析】（1）先将各分式分子、分母因式分解，再约分、计算括号内的加减法，最后再约分即化简，将x 的值代入即可得；（2）先根据分式混合运算的顺序和法则化简原式，将x 2+2x=15整体代入可得答案．【解答】解：（1）原式=[+]÷（﹣）=（+）÷=•=，当x=2时，原式=．9（2）原式=•﹣=﹣=﹣==，当x 2+2x ﹣15=0，即x 2+2x=15时，原式=．【点评】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则是解题的关键．13．已知﹣=3，求代数式的值．【考点】分式的化简求值．【专题】计算题．【分析】已知等式左边通分并利用同分母分式的减法法则计算，整理得到x ﹣y=﹣3xy ，原式变形后代入计算即可求出值．【解答】解：∵﹣==3，∴x ﹣y=﹣3xy ，则原式===4．【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14．（2016•毕节市）已知（1）化简A ；（2）若x 满足不等式组，且x 为整数时，求A 的值．10【考点】分式的混合运算；一元一次不等式组的整数解．【专题】计算题；分式．【分析】（1）原式第一项利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果；（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，确定出整数x 的值，代入计算即可求出A 的值．【解答】解：（1）A=（x ﹣3）•﹣1=﹣1==；（2），由①得：x ＜1，由②得：x ＞﹣1，∴不等式组的解集为﹣1＜x ＜1，即整数x=0，则A=﹣．【点评】此题考查了分式的混合运算，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．15．设abc=1，试求++的值．【考点】分式的化简求值．【分析】由abc=1得ac=，将abc=1代入第一个分式、将ac=代入第三个分式，再将第一个分式分子、分母都除以a ，第三个分式化简，最后根据分式的加法即可得答案．【解答】解：∵abc=1≠0， ∴ac=，∴原式=++=++=，=1．【点评】本题主要考查分式的化简求值，根据已知条件通过变形将原式变形成同分母分式是解题的关键．11【本文由书林工作坊整理发布，谢谢你的关注！】。

北京九年级(上)期中数学试卷- (含答案)

九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.剪纸是扬州的非物质文化遗产之一，下列剪纸作品中是中心对称图形的是（）A. B.C. D.2.在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=1，AC=2，则sin A的值为（）A. B. C. D. 23.将抛物线y=4x2向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（）A. B. C.D.4.如图，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为（）A.B.C.D.5.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2经过平移得到抛物线y=x2-2x，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为（）A. 2B. 4C. 8D. 166.如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）A. 2B.C.D.7.如图，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，那么A（-2，5）的对应点A′的坐标是（）A.B.C.D.8.某抛物线的顶点为（2，-1），与x轴相交于P、Q两点，若此抛物线通过（1，a）、（3，b）、（-1，c）、（-3，d）四点，则a、b、c、d中最大值是（）A. aB. bC. cD. d9.2（1）ac＜0；（2）抛物线顶点坐标为（1，5）；（3）3是方程ax2+（b-1）x+c=0的一个根；（4）当-1＜x＜3时，ax2+（b-1）x+c＞0．其中正确的个数为（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个10.二次函数y=2x2-8x+m满足以下条件：当-2＜x＜-1时，它的图象位于x轴的下方；当6＜x＜7时，它的图象位于x轴的上方，则m的值为（）A. 8B.C.D.二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.若0°＜α＜90°，，则sinα= ______ ．12.已知抛物线的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点为（-1，0），则它与x轴的另一个交点为______ ．13.长方体底面周长为50cm，高为10cm，则长方体体积y（cm3）关于底面的一条边长x（cm）的函数解析式是______ ，其中x的取值范围是______ ．14.将含有30°角的直角三角板OAB如图放置在平面直角坐标系中，OB在x轴上，若OA=2，将三角板绕原点O顺时针旋转75°，则点A的对应点A′的坐标为______ ．15.两个全等的三角尺重叠放在△ACB的位置，将其中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转至△DCE的位置，使点A恰好落在边DE上，AB与CE相交于点F．已知∠ACB=∠DCE=90°，∠B=30°，AB=8cm，则CF=______cm．16.定义：直线y=ax+b（a≠0）称作抛物线y=ax2+bx（a≠0）的关联直线．根据定义回答以下问题：（1）已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）的关联直线为y=x+2，则该抛物线的顶点坐标为______ ；（2）当a=1时，请写出抛物线y=ax2+bx与其关联直线所共有的特征（写出一条即可）：______ ．三、计算题（本大题共3小题，共15.0分）17.计算：20160+（）-1-sin45°+tan60°．18.如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB=800米，BC=200米，坡角∠BAF=30°，∠CBE=45°．（1）求AB段山坡的高度EF；（2）求山峰的高度CF．（ 1.414，CF结果精确到米）19.已知：二次函数y=x2+bx-3的图象经过点A（2，5）．（1）求二次函数的解析式；（2）求二次函数的图象与x轴的交点坐标；（3）将（1）中求得的函数解析式用配方法化成y=（x-h）2+k的形式．四、解答题（本大题共10小题，共57.0分）20.如图，△ABC中，AB=12，BC=15，AD⊥BC于点D，∠BAD=30°，求tan C的值．21.如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-1，3），B（-4，0），C（0，0）（1）画出将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；（2）画出将△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到△A2B2O；（3）在x轴上存在一点P，满足点P到A1与点A2距离之和最小，请直接写出P点的坐标．22.已知：如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠D=60°，AD=5，AB=3，求BC的长．23.某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元．设每件玩具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围．（2）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？（3）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？24.设二次函数y1=x2-4x+3的图象为C1，二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象与C1关于y轴对称．（1）求二次函数y2=ax2+bx+c的解析式；（2）当-3＜x≤0时，直接写出y2的取值范围；（3）设二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点为点A，与y轴的交点为点B，一次函数y3=kx+m（k，m为常数，k≠0）的图象经过A，B两点，当y2＜y3时，直接写出x的取值范围．25.如图，已知△ABC与△CDE都是等边三角形，且满足∠EBD=70°，求∠AEB的度数．26.阅读材料，解答问题例：用图象法解一元二次不等式：x2-2x-3＞0．解：设y=x2-2x-3，则y是x的二次函数．∵a=1＞0∴抛物线开口向上．又∵当y=0时，x2-2x-3=0，解得x1=-1，x2=3．∴由此得抛物线y=x2-2x-3的大致图象如图所示．观察函数图象可知：当x＜-1或x＞3时，y＞0．∴x2-2x-3＞0的解集是：x＜-1或x＞3．（1）观察图象1，直接写出一元二次不等式：x2-2x-3＜0的解集是______ ；（2）仿照上例，用图象法解一元二次不等式：-x2+4x-3＜0．27.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2-2mx+m-1（m＞0）与x轴的交点为A，B．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．①当m=1时，求线段AB上整点的个数；②若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，求m的取值范围．28.阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在正三角形ABC内有一点P，且PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度数．小伟是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造△AP′C，连接PP′，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．请你回答：图1中∠APB的度数等于______ ．参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：（1）如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=，PB=1，PD=，则∠APB 的度数等于______ ，正方形的边长为______ ；（2）如图4，在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA=2，PB=1，PF=，则∠APB 的度数等于______ ，正六边形的边长为______ ．29.阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点M（1，3）的特征线有：x=1，y=3，y=x+2，y=-x+4．问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC，点B在第一象限，A、C分别在x轴和y轴上，抛物线经过B、C两点，顶点D在正方形内部．（1）直接写出点D（m，n）所有的特征线；（2）若点D有一条特征线是y=x+1，求此抛物线的解析式；（3）点P是AB边上除点A外的任意一点，连接OP，将△OAP沿着OP折叠，点A落在点A′的位置，当点A′在平行于坐标轴的D点的特征线上时，满足（2）中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在OP上？答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、不是中心对称图形，故错误；B、不是中心对称图形，故错误；C、是中心对称图形，故正确；D、不是中心对称图形，故错误；故选：C．根据中心对称图形的概念进行判断．本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2.【答案】A【解析】解：在直角△ABC中，AB==，则sinA===．故选A．首先利用勾股定理求得AB的长度，然后利用三角函数的定义求解．本题考查三角函数的定义，理解定义是关键．3.【答案】B【解析】解：∵抛物线y=4x2向右平移1个单位，再向上平移3个单位的顶点坐标为（1，3），∴得到的抛物线的解析式为y=4（x-1）2+3．故选B．根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．本题考查了二次函数图象与几何变换，此类题目利用顶点的变化确定函数解析式的变化是解题的关键，平移的规律：左加右减，上加下减．4.【答案】B【解析】解：在Rt△ABD中，∵sin∠ABD=，∴AD=4sin60°=2（m），在Rt△ACD中，∵sin∠ACD=，∴AC==2（m）．故选B．先在Rt△ABD中利用正弦的定义计算出AD，然后在Rt△ACD中利用正弦的定义计算AC即可．本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角：坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i=tanα．5.【答案】B【解析】解：过点C作CA⊥y，∵抛物线y==（x2-4x）=（x2-4x+4）-2=（x-2）2-2，∴顶点坐标为C（2，-2），对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为：2×2=4，故选：B．根据抛物线解析式计算出y=的顶点坐标，过点C作CA⊥y轴于点A，根据抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于矩形ACBO的面积，然后求解即可．本题考查了二次函数的问题，根据二次函数的性质求出平移后的抛物线的对称轴的解析式，并对阴影部分的面积进行转换是解题的关键．6.【答案】D【解析】解：如图：，由勾股定理，得AC=，AB=2，BC=，∴△ABC为直角三角形，∴tan∠B==，故选：D．根据勾股定理，可得AC、AB的长，根据正切函数的定义，可得答案．本题考查了锐角三角函数的定义，先求出AC、AB的长，再求正切函数．7.【答案】B【解析】解：∵线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，∴△ABO≌△A′B′O′，∠AOA′=90°，∴AO=A′O．作AC⊥y轴于C，A′C′⊥x轴于C′，∴∠ACO=∠A′C′O=90°．∵∠COC′=90°，∴∠AOA′-∠COA′=∠COC′-∠COA′，∴∠AOC=∠A′OC′．在△ACO和△A′C′O中，，∴△ACO≌△A′C′O（AAS），∴AC=A′C′，CO=C′O．∵A（-2，5），∴AC=2，CO=5，∴A′C′=2，OC′=5，∴A′（5，2）．由线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′可以得出△ABO≌△A′B′O，∠AOA′=90°，作AC⊥y轴于C，A′C′⊥x轴于C′，就可以得出△ACO≌△A′C′O，就可以得出AC=A′C′，CO=C′O，由A的坐标就可以求出结论．本题考查了旋转的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等式的性质的运用，点的坐标的运用，解答时证明三角形全等是关键．8.【答案】D【解析】解：由题意得，抛物线开口向上，即a＞0，∵抛物线的对称轴是x=2，当x＜2时，y随x的增大而减小，∴a＜c＜d，a=b，∴a、b、c、d中最大值是d，故选：D．根据抛物线的对称轴和开口方向进行判断即可．本题考查的是二次函数的性质，根据对称轴和开口方向确定二次函数的性质是解题的关键．9.【答案】B【解析】解：∵根据二次函数的x与y的部分对应值图∴a-b+c=-1，c=3，a+b+c=5，∴a-b=-4，a+b=2，∴a=-1，b=3，∴ac=-3＜0，故（1）正确；∴函数解析式为：y=-x2+3x+3，即y=-（x-）2+，∴抛物线的顶点坐标为：（，），故（2）错误；∵方程-x2+2x+3=0，∴把x=3代入方程中得：-9+6+3=0，∵-x2+2x+5=-（x-1）2+6，∴令h=-（x-1）2+6，∴此函数图象开口向下，且当1-＜x＜1+时，h＞0，∵3＜1+，∴（4）是正确的；∴下列结论正确的有（1）（3）（4），故选：B．根据函数中的x与y的部分对应值表，可以求得abc的值然后在根据函数解析式及其图象即可判断（1）（2）（3）（4）的正确项．本题考查了二次函数的性质，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的增减性，二次函数与不等式，根据表中数据求出二次函数解析式是解题的关键．10.【答案】D【解析】不如先通过顶点坐标位置特征求出m的范围，将A选项剔除后，将B、C、D 选项带入其中，并根据二次函数对称周两侧图象增减性特点令x=-2时y值小于零和x=6时y值大于零去取舍各位合理．忘老师能够采纳．解：∵抛物线y=2x2-8x+m=2（x-2）2-8+m的对称轴为直线x=2，而抛物线在-2＜x＜-1时，它的图象位于x轴的下方；当6＜x＜7时，它的图象位于x轴的上方，∴m＜0，当m=-10时，则y=2x2-8x-10，令y=0，则2x2-8x-10=0，解得x1=-1，x2=5，则有当-2＜x＜-1时，它的图象位于x轴的上方；当m=-42时，则y=2x2-8x-42，2解得x1=-3，x2=7，则有当6＜x＜7时，它的图象位于x轴的下方；当m=-24时，则y=2x2-8x-24，令y=0，则2x2-8x-24=0，解得x1=-2，x2=6，则有当-2＜x＜-1时，它的图象位于x轴的下方；当6＜x＜7时，它的图象位于x轴的上方；故选：D．根据抛物线顶点式得到对称轴为直线x=2，通过顶点坐标位置特征求出m的范围，将A选项剔除后，将B、C、D选项带入其中，并根据二次函数对称性和增减性特点判断是否合理．本题考查了抛物线与x轴的交点以及抛物线的轴对称性：求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．△=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．11.【答案】【解析】解：如图在Rt△ACB中，∠C=90°，∠B=α，tanB==，设AC=k，BC=2k，由勾股定理得：AB=k，则sinα=sinB===，画出直角三角形，根据tanB==设AC=k，BC=2k，由勾股定理求出AB=k，代入sinα=sinB=求出即可．本题考查了勾股定理，解直角三角形的应用，主要考查学生的计算能力．12.【答案】（5，0）【解析】解：设它与x轴的另一个交点为（x，0），∵抛物线与x轴的一个交点为A（-1，0），对称轴是x=2，∵抛物线与x轴的两个交点到对称轴的距离相等∴x==2，解得：x=5，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标是：（5，0）．故答案为：（5，0）．根据抛物线与x轴的两个交点到对称轴的距离相等，设另一个交点为（x，0），由抛物线的对称轴可得到关于x的方程，解得x的值即可．本题考查了求抛物线与x轴的交点问题，根据抛物线的对称轴可得到关于x 的方程，求出x的值是解题关键．13.【答案】y=-10x2+250x；0＜x＜25【解析】解：∵长方体底面周长为50cm，底面的一条边长x（cm），∴底面的另一条边长为：（25-x）cm，根据题意得出：y=x（25-x）×10=-10x2+250x（0＜x＜25）．故答案为：y=-10x2+250x，0＜x＜25．根据长方体的面积等于底面积乘以高这一计算方法列出函数关系式即可．本题考查了函数关系式及自变量的取值范围的知识，解题的关键是正确的表示出长方体的体积．14.【答案】（，-）解：∵三角板绕原点O顺时针旋转75°，∴旋转后OA与y轴夹角为45°，∵OA=2，∴OA′=2，∴点A′的横坐标为2×=，纵坐标为-2×=-，所以，点A′的坐标为（，-）．故答案为：（，-）．求出旋转后OA与y轴夹角为45°，然后求出点A′的横坐标与纵坐标，从而得解．本题考查了坐标与图形变化-旋转，准确识图求出旋转后OA与y轴的夹角为45°是解题的关键．15.【答案】2【解析】解：∵将其中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转至△DCE的位置，使点A 恰好落在边DE上，∴DC=AC，∠D=∠CAB，∴∠D=∠DAC，∵∠ACB=∠DCE=90°，∠B=30°，∴∠D=∠CAB=60°，∴∠DCA=60°，∴∠ACF=30°，可得∠AFC=90°，∵AB=8cm，∴AC=4cm，∴FC=4cos30°=2（cm）．故答案为：2．利用旋转的性质得出DC=AC，∠D=∠CAB，再利用已知角度得出∠AFC=90°，再利用直角三角形的性质得出FC的长．此题主要考查了旋转的性质以及直角三角形的性质，正确得出∠AFC的度数是解题关键．16.【答案】（-1，-1）；（1，1+b）解：（1）∵抛物线y=ax2+bx（a≠0）的关联直线为y=x+2，∴a=1，b=2，∴抛物线解析式为y=x2+2x=（x+1）2-1，∴抛物线顶点坐标为（-1，-1），故答案为：（-1，-1）；（2）当a=1时，抛物线解析式为y=x2+bx，则关联直线解析式为y=x+b，∴当x=1时，函数值都为1+b，∴抛物线及其关联直线都过点（1，1+b），故答案为：过点（1，1+b）．（1）由关联直线的定义可求得a和b的值，可求得抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点坐标；（2）由关联直线的定义可求得关联直线解析式，可写出其共有特征．本题主要考查二次函数的性质，理解好题目中所给关联直线的解析式与抛物线解析式之间的关系是解题的关键．17.【答案】解：原式=1+2-1+=2+．【解析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值计算即可得到结果．此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18.【答案】解：（1）作BH⊥AF于H，如图，在Rt△ABH中，∵sin∠BAH=，∴BH=800•sin30°=400，∴EF=BH=400m；（2）在Rt△CBE中，∵sin∠CBE=，∴CE=200•sin45°=100≈141.4，∴CF=CE+EF=141.4+400≈541（m）．答：AB段山坡高度为400米，山CF的高度约为541米．（1）作BH⊥AF于H，如图，在Rt△ABH中根据正弦的定义可计算出BH的长，从而得到EF的长；（2）先在Rt△CBE中利用∠CBE的正弦计算出CE，然后计算CE和EF的和即可．本题考查了解直角三角形的应用-坡度与坡角问题：坡度是坡面的铅直高度h 和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i═tanα．19.【答案】解：（1）∵二次函的图象经过点A（2，5），∴4a+2b-3=5，解得b=2，∴二次函数的解析式为y=x2+2x-3；（2）令y=0，则x2+2x-3=0，解得x1=-3，x2=1，∴二次函数的图象与x轴的交点坐标为（-3，0）和（1，0）；（3）y=x2+2x-3=（x+1）2-4．【解析】（1）直接把A点坐标代入y=x2+bx-3可求出b，从而确定二次函数的解析式；（2）根据抛物线与x轴的交点解方程x2+2x-3=0，即可得到二次函数的图象与x轴的交点坐标；（3）利用配方法求解．本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．20.【答案】解：∵△ABC中，AB=12，BC=15，AD⊥BC于点D，∠BAD=30°，∴∠ADB=∠ADC=90°，∴AB=2BD，∴BD=6，∴AD=，∴tan C=．即tan C的值是．【解析】根据在△ABC中，AB=12，BC=15，AD⊥BC于点D，∠BAD=30°，可以求得BD、AD、CD的长，从而可以求得tanC的值．本题考查解直角三角形，解题的关键是计算出题目中各边的长，找出所求问题需要的条件．21.【答案】解：（1）如图所示，△A1B1C1为所求做的三角形；（2）如图所示，△A2B2O为所求做的三角形；（3）∵A2坐标为（3，1），A3坐标为（4，-4），∴A2A3所在直线的解析式为：y=-5x+16，令y=0，则x=，∴P点的坐标（，0）．【解析】（1）分别将点A、B、C向上平移1个单位，再向右平移5个单位，然后顺次连接；（2）根据网格结构找出点A、B、C以点O为旋转中心顺时针旋转90°后的对应点，然后顺次连接即可；（3）利用最短路径问题解决，首先作A1点关于x轴的对称点A3，再连接A2A3与x轴的交点即为所求．本题考查了利用旋转和平移变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．22.【答案】解：延长DC，AB交于点E，在△DAE中，∵∠A=90°，∠D=60°，AD=5，∴AE=AD•tan∠ADE=5×=15，∴BE=AE-AB=15-3=12，在直角三角形BCE中，∴BC=BE=6．【解析】延长DC，AB交于点E，求出AE的长，进而求出BE的长，利用30°角对应的直角边等于斜边的一半即可得到答案．此题考查了解直角三角形，以及含30°直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键．23.【答案】解：（1）根据题意得：y=（30+x-20）（230-10x）=-10x2+130x+2300，自变量x的取值范围是：0＜x≤10且x为正整数；（2）当y=2520时，得-10x2+130x+2300=2520，解得x1=2，x2=11（不合题意，舍去）当x=2时，30+x=32（元）答：每件玩具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元．（3）根据题意得：y=-10x2+130x+2300=-10（x-6.5）2+2722.5，∵a=-10＜0，∴当x=6.5时，y有最大值为2722.5，∵0＜x≤10且x为正整数，∴当x=6时，30+x=36，y=2720（元），当x=7时，30+x=37，y=2720（元），答：每件玩具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2720元．【解析】（1）根据题意知一件玩具的利润为（30+x-20）元，月销售量为（230-10x），然后根据月销售利润=一件玩具的利润×月销售量即可求出函数关系式．（2）把y=2520时代入y=-10x2+130x+2300中，求出x的值即可．（3）把y=-10x2+130x+2300化成顶点式，求得当x=6.5时，y有最大值，再根据0＜x≤10且x为正整数，分别计算出当x=6和x=7时y的值即可．本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是分析题意，找到关键描述语，求出函数的解析式，用到的知识点是二次函数的性质和解一元二次方24.【答案】解：（1）二次函数y1=x2-4x+3=（x-2）2-1图象的顶点（2，-1），关于y轴的对称点坐标为（-2，-1）所以，所求的二次函数的解析式为y2=（x+2）2-1，即y2=x2+4x+3；（2）如图，-3＜x≤0时，y2的取值范围为：-1≤y2≤3；（3）y2＜y3时，-2＜x＜0．【解析】（1）求出抛物线C1的顶点坐标，再根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同求出抛物线C2的顶点坐标，然后利用顶点式形式写出即可；（2）作出函数图象，然后根据图形写出y2的取值范围即可；（3）根据函数图象写出抛物线C2在直线AB的下方部分的x的取值范围即可．本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定抛物线解析式的变化更简便．25.【答案】解：∵知△ABC与△CDE都是等边三角形，∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=∠DEC=∠EDC=60°．∴∠ACB-∠BCE=∠DCE-∠BCE，∴∠ACE=∠BCD．在△AEC和△BDC中，∴△AEC≌△BDC（SAS），∴∠AEC=∠BDC=∠BDE+60°．∵∠AEB=360°-∠AEC-∠DEC-∠BED，=360°-60°-∠BDE-60°-∠BED，=240°-（∠BDE+∠BED），=240°-（180°-∠DBE）．∵∠DBE=70°，∴∠AEB=240°-180°+70°=130°．答：∠AEB=130°．【解析】根据等边三角形的性质就可以得出△AEC≌△BDC，就可以得出∠AEC=∠BDC，再由周角的定义就可以得出∠AEB的值．本题考查了等边三角形的性质的运用，周角的定义的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形的全等是关键．26.【答案】-1＜x＜3【解析】解：（1）观察函数图象可知：当-1＜x＜3时，y＜0．∴x2-2x-3＜0的解集是：-1＜x＜3，故答案为：-1＜x＜3；（2）设y=-x2+4x-3，则y是x的二次函数．∵a=-1＜0∴抛物线开口向下，又∵当y=0时，-x2+4x-3=0，解得x1=1，x2=3，∴由此得抛物线y═-x2+4x-3的大致图象如图2所示，观察函数图象可知：当x＜1或x＞3时，y＜0，∴-x2+4x-3＜0的解集是：x＜1或x＞3．（1）根据函数图形回答即可；（2）先判断出抛物线的开口方向，然后求得抛物线与x轴交点坐标，最后根据函数图象进行判断即可．本题主要考查的是二次函数与不等式组，利用函数图象确定出不等式组的解集是解题的关键．27.【答案】解：（1）∵y=mx2-2mx+m-1=m（x-1）2-1，∴抛物线顶点坐标（1，-1）．（2）①∵m=1，∴抛物线为y=x2-2x，令y=0，得x=0或2，不妨设A（0，0），B（2，0），∴线段AB上整点的个数为3个．②如图所示，抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，∴点A在（-1，0）与（-2，0）之间（包括（-1，0）），当抛物线经过（-1，0）时，m=，当抛物线经过点（-2，0）时，m=，∴m的取值范围为＜m≤．【解析】（1）利用配方法即可解决问题．（2）①m=1代入抛物线解析式，求出A、B两点坐标即可解决问题．②根据题意判断出点A的位置，利用待定系数法确定m的范围．本题考查抛物线与x轴的交点、配方法确定顶点坐标、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．28.【答案】150°；135°；；120°；【解析】解：阅读材料：把△APB绕点A逆时针旋转60°得到△ACP′，由旋转的性质，P′A=PA=3，P′D=PB=4，∠PAP′=60°，∴△APP′是等边三角形，∴PP′=PA=3，∠AP′P=60°，∵PP′2+P′C2=32+42=25，PC2=52=25，∴PP′2+P′C2=PC2，∴∠PP′C=90°，∴∠AP′C=∠AP′P+∠PP′C=60°+90°=150°；故∠APB=∠AP′C=150°；（1）如图3，把△APB绕点A逆时针旋转90°得到△ADP′，由旋转的性质，P′A=PA=2，P′D=PB=1，∠PAP′=90°，∴△APP′是等腰直角三角形，∴PP′=PA=×2=4，∠AP′P=45°，∵PP′2+P′D2=42+12=17，PD2=2=17，∴PP′2+P′D2=PD2，∴∠PP′D=90°，∴∠AP′D=∠AP′P+∠PP′D=45°+90°=135°，故，∠APB=∠AP′D=135°，∵∠APB+∠APP′=135°+45°=180°，∴点P′、P、B三点共线，过点A作AE⊥PP′于E，则AE=PE=PP′=×4=2，∴BE=PE+PB=2+1=3，在Rt△ABE中，AB===；（2）如图4，∵正六边形的内角为×（6-2）•180°=120°，∴把△APB绕点A逆时针旋转120°得到△AFP′，由旋转的性质，P′A=PA=2，P′F=PB=1，∠PAP′=120°，∴∠APP′=∠AP′P=（180°-120°）=30°，过点A作AM⊥PP′于M，设PP′与AF相交于N，则AM=PA=×2=1，P′M=PM===，∴PP′=2PM=2，∵PP′2+P′F2=（2）2+12=13，PF2=2=13，∴PP′2+P′F2=PF2，∴∠PP′F=90°，∴∠AP′F=∠AP′P+∠PP′F=30°+90°=120°，故，∠APB=∠AP′F=120°，∵P′F=AM=1，∵△AMN和△FP′N中，，∴△AMN≌△FP′N（AAS），∴AN=FN，P′N=MN=P′M=，在Rt△AMN中，AN===，∴AF=2AN=2×=．故答案为：150°；（1）135°，；（2）120°，．阅读材料：把△APB绕点A逆时针旋转60°得到△ACP′，根据旋转的性质可得P′A=PA，P′C=PB，∠PAP′=60°，然后求出△APP′是等边三角形，根据等边三角形的性质求出PP′=PA=3，∠AP′P=60°，再利用勾股定理逆定理求出∠PP′C=90°，然后求出∠AP′C，即为∠APB的度数；（1）把△APB绕点A逆时针旋转90°得到△ADP′，根据旋转的性质可得P′A=PA，P′D=PB，∠PAP′=90°，然后判断出△APP′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出PP′，∠AP′P=45°，再利用勾股定理逆定理求出∠PP′D=90°，然后求出∠AP′D，即为∠APB的度数；再求出点P′、P、B三点共线，过点A作AE⊥PP′于E，根据等腰直角三角形的性质求出AE=PE=PP′，然后求出BE，在Rt△ABE中，利用勾股定理列式求出AB即可；（2）把△APB绕点A逆时针旋转120°得到△AFP′，根据旋转的性质可得P′A=PA，P′F=PB，∠PAP′=120°，然后求出△APP′是底角为30°的等腰三角形，过点A作AM⊥PP′于M，设PP′与AF相交于N，求出AM=1，再求出PP′，∠AP′P=30°，再利用勾股定理逆定理求出∠PP′F=90°，然后求出∠AP′F，即为∠APB的度数；根据P′F、AM的长度得到P′F=AM，利用“角角边”证明△AMN 和△FP′N全等，根据全等三角形对应边相等可得AN=FN，P′N=MN，然后求出MN，在Rt△AMN中，利用勾股定理列式求出AN，然后求出AF即可．本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，正方形的性质，勾股定理以及勾股定理逆定理的应用，全等三角形的判定与性质，（1）（2）两问求多边形的边长有一定的难度，作辅助线构造出直角三角形与全等三角形是解题的关键．29.【答案】解：（1）∵点D（m，n），∴点D（m，n）的特征线是x=m，y=n，y=x+n-m，y=-x+m+n；（2）点D有一条特征线是y=x+1，∴n-m=1，∴n=m+1∵抛物线解析式为，∴y=（x-m）2+m+1，∵四边形OABC是正方形，且D点为正方形的对称轴，D（m，n），∴B（2m，2m），∴（2m-m）2+n=2m，将n=m+1带入得到m=2，n=3；∴D（2，3），∴抛物线解析式为y=（x-2）2+3（3）如图，当点A′在平行于y轴的D点的特征线时，根据题意可得，D（2，3），∴OA′=OA=4，OM=2，∴∠A′OM=60°，∴∠A′OP=∠AOP=30°，∴MN==，∴抛物线需要向下平移的距离=3-=．如图，当点A′在平行于x轴的D点的特征线时，设A′（p，3），则OA′=OA=4，OE=3，EA′==，∴A′F=4-，设P（4，c）（c＞0），，在Rt△A′FP中，（4-）2+（3-c）2=c2，∴c=，∴P（4，）∴直线OP解析式为y=x，∴N（2，），∴抛物线需要向下平移的距离=3-=，即：抛物线向下平移或距离，其顶点落在OP上．【解析】（1）根据特征线直接求出点D的特征线；（2）由点D的一条特征线和正方形的性质求出点D的坐标，从而求出抛物线解析式；（2）分平行于x轴和y轴两种情况，由折叠的性质计算即可．此题是二次函数综合题，主要考查了折叠的性质，正方形的性质，特征线的理解，解本题的关键是用正方形的性质求出点D的坐标．。

2016年北京中考数学试卷和参考答案

中考数学复习资料2016年北京市高级中等学校招生考试数学试卷学校姓名准考证号一、选择题（本题共30分，每小题3分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个。

1. 如图所示，用量角器度量∠AOB ，可以读出∠AOB 的度数为（A ） 45° （B ） 55° （C ） 125° （D ） 135°2. 神舟十号飞船是我国“神舟”系列飞船之一，每小时飞行约28 000公里。

将28 000用科学计数法表示应为（A ）3108.2⨯ （B ）31028⨯ （C） 4108.2⨯ （D ） 51028.0⨯3. 实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（A ） a >-2 （B ）a<-3 （C ）a>-b （D ）a<-b 4. 内角和为540°的多边形是BAO5. 右图是某个几何体的三视图，该几何体是（A ）圆锥（B ）三棱锥（C ）圆柱（D ）三棱柱6. 如果a+b=2,那么代数ba aa b a -∙-)(2的值是（A ） 2 （B ）-2 （C ）21 （D ）21- 7. 甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是ABCD8. 在1-7月份，某种水果的每斤进价与出售价的信息如图所示，则出售该种水果每斤利润最大的月份是（A ） 3月份（B ） 4月份（C ） 5月份（D ） 6月份第8题图第9题图9. 如图，直线m ⊥n ,在某平面直角坐标系中，x 轴∥m ，y 轴∥n ，点A 的坐标为（－4，2），点B 的坐标为（2，－4），则坐标原点为（A ）O 1 （B ）O 2 （C ）O 3 （D ）O 410. 为了节约水资源，某市准备按照居民家庭年用水量实行阶梯水价，水价分档递增。

计划使第一档、第二档和第三档的水价分别覆盖全市居民家庭的80%，15%和5%。

北京市东城区六校联盟九年级数学上学期期中试题(含解

北京市东城区六校联盟2016届九年级数学上学期期中试题一、选择题（下列各小题均有四个选项，其中只有一个选项符合题意．本题共30分，每题3分）1．观察下列图形，是中心对称图形的是( )A．B．C．D．2．下列事件是随机事件的是( )A．明天太阳从东方升起B．任意画一个三角形，其内角和是360°C．通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰D．射击运动员射击一次，命中靶心3．有8个型号相同的足球，其中一等品5个，二等品2个和三等品1个，从中随机抽取1个足球，恰好是一等品的概率是( )A．B．C．D．4．已知△ABC∽△DEF，相似比为1：2，△ABC的周长为4，则△DEF的周长为( ) A．2 B．4 C．8 D．165．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，如果∠ADE=120°，那么∠B等于( )A．130°B．120°C．80° D．60°6．把抛物线y=x2+1向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线( )A．y=（x+3）2﹣1 B．y=（x+3）2+3 C．y=（x﹣3）2﹣1 D．y=（x﹣3）2+37．如图，AB是⊙O的直径，C、D是圆上两点，∠BOC=70°，则∠D等于( )A．25° B．35° C．55° D．70°8．如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，AB=4，则A1B1的长为( )A．1 B．2 C．4 D．89．如果关于x的一元二次方程x2﹣x+m﹣1=0有实数根，那么m的取值范围是( ) A．m＞2 B．m≥3 C．m＜5 D．m≤510．矩形ABCD的边BC在直线l上，AB=2，BC=4，P是AD边上一动点且不与点D重合，连结CP，过点P作∠APE=∠CPD，交直线l于点E，若PD的长为x，△PEC与矩形ABCD重合部分的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是( )A． B． C．D．二、填空题（本题共18分，每题3分）11．如果=，那么__________．12．请写出一个开口向下，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的解析式__________．13．如图，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转某个角度得到△AB′C′，使AB′∥CB，CB，AC′的延长线相交于点D，如果∠D=28°，那么∠BAC=__________°．14．如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，点D在AC上，且AD=2，如果要在AB上找一点E，使△ADE与原三角形相似，那么AE=__________．15．如图所示，在△ABC中，BC=4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB 于点E，交AC于点F，且∠EAF=80°，则图中阴影部分的面积是__________．16．在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC如图放置，动点P从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第5次碰到矩形的边时，点P的坐标为__________；当点P第2016次碰到矩形的边时，点P的坐标为__________．三、填空题（本题共30分，每题5分）17．解方程：x2﹣4x﹣5=018．已知△ABC如图所示地摆放在边长为1的小正方形组成的网格内，将△ABC绕点C顺时针旋转90°，得到△A1B1C．（1）在网格中画出△A1B1C；（2）直接写出点B运动到点B1所经过的路径的长．19．如图，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，AB=4，CE=1，求⊙O半径长．20．如图，△ABC中，点D在AB上，∠ACD=∠ABC，若AD=3，DB=6，求AC的长．21．已知：二次函数的图象过点A（2，﹣3），且顶点坐标为C（1，﹣4）．（1）求此二次函数的表达式；（2）直接写出：当y≤0时，x的取值范围．22．甲、乙两位同学玩转盘游戏，游戏规则：将圆盘平均分成三份，分别涂上红，黄，绿三种颜色，两位同学分别转动转盘两次（若压线，重新转）．若两次指针指到的颜色相同，则甲获胜；若两次指针指到的颜色是黄绿组合则乙获胜；其余情况则视为平局．请用画树状图或列表的方法，用概率说明游戏是否公平．四、解答题（本题共20分，每题5分）23．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+1）x+1=0．（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若m为整数，当此方程的两个实数根都是整数时，求m的值．24．某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，据调查显示，每个档次的日产量及相应的单件利润如表所示（其中x为正整数，且1≤x≤10）；质量档次 1 2 ... x (10)95 90 ... 100﹣5x (50)日产量（件）单件利润6 8 ... 2x+4 (24)（万元）为了便于调控，此工厂每天只生产一个档次的产品，当生产质量档次为x的产品时，当天的利润为y万元．（1）求y关于x的函数关系式；（2）工厂为获得最大利润，应选择生产哪个档次的产品？并求出当天利润的最大值．25．如图，AB为⊙O直径，C是⊙O上一点，CO⊥AB于点O，弦CD与AB交于点F，过点D 作∠CDE，使∠CDE=∠DFE，交AB的延长线于点E．过点A作⊙O的切线交ED的延长线于点G．（1）求证：GE是⊙O的切线；（2）若OF：OB=1：3，⊙O的半径为3，求AG的长．26．对于两个相似三角形，如果对应顶点沿边界按相同方向顺序环绕，那么称这两个三角形互为同相似，如图1，△A1B1C1∽△ABC，则称△A1B1C1与△ABC互为同相似；如果对应顶点沿边界按相反方向顺序环绕，那么称这两个三角形互为异相似，如图2，△A2B2C2∽△ABC，则称△A2B2C2与△ABC互为异相似．（1）在图3、图4和图5中，△ADE∽△ABC，△HXG∽△HGF，△OPQ∽△OMN，其中△ADE 与△ABC互为__________相似，△HXG与△HGF互为__________相似，△OPQ与△OMN互为__________相似；（2）在锐角△ABC中，∠A＜∠B＜∠C，点P为AC边上一定点（不与点A，C重合），过这个定点P画直线截△ABC，使截得的一个三角形与△ABC互为异相似，符合条件的直线有__________条．五、解答题（本题共22分，第27，28每题7分，第29题8分）27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2+2x+m2+2的开口向下，且抛物线与y轴的交于点A，与x轴交于B，C两点（B在C左侧）．点A的纵坐标是3．（1）求抛物线的解析式；（2）求直线AB的解析式；（3）将抛物线在点C左侧的图形（含点C）记为G．若直线y=kx+n（n＜0）与直线AB平行，且与图形G恰有一个公共点，结合函数图象写出n的取值范围．28．如图1，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，连接AE，BG．（1）试猜想线段BG和AE的数量关系是__________；（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转α（0°＜α≤360°），①判断（1）中的结论是否仍然成立？请利用图2证明你的结论；②若BC=DE=4，当AE取最大值时，求AF的值．29．定义：对于平面直角坐标系xOy中的线段PQ和点M，在△MPQ中，当PQ边上的高为2时，称M为PQ的“等高点”，称此时MP+MQ为PQ的“等高距离”．（1）若P（1，2），Q（4，2）．①在点A（1，0），B（，4），C（0，3）中，PQ的“等高点”是__________；②若M（t，0）为PQ的“等高点”，求PQ的“等高距离”的最小值及此时t的值．（2）若P（0，0），PQ=2，当PQ的“等高点”在y轴正半轴上且“等高距离”最小时，直接写出点Q的坐标．2015-2016学年北京市东城区六校联盟九年级（上）期中数学试卷一、选择题（下列各小题均有四个选项，其中只有一个选项符合题意．本题共30分，每题3分）1．观察下列图形，是中心对称图形的是( )A．B．C．D．【考点】中心对称图形．【分析】根据中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是中心对称图形．故错误；B、是中心对称图形．故正确；C、不是中心对称图形．故错误；D、不是中心对称图形．故错误．故选B．【点评】本题考查了中心对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．2．下列事件是随机事件的是( )A．明天太阳从东方升起B．任意画一个三角形，其内角和是360°C．通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰D．射击运动员射击一次，命中靶心【考点】随机事件．【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，可得答案．【解答】解：A、明天太阳从东方升起是必然事件，故A错误；B、任意画一个三角形，其内角和是360°是必然事件，故B错误；C、通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰是必然事件，故C错误；D、射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故D正确；故选：D．【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．3．有8个型号相同的足球，其中一等品5个，二等品2个和三等品1个，从中随机抽取1个足球，恰好是一等品的概率是( )A．B．C．D．【考点】概率公式．【分析】根据随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．【解答】解：在8只型号相同的足球中，一等品有5个，则从中随机抽取1个足球，恰好是一等品的概率是P=，故选：D．【点评】此题主要考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．4．已知△ABC∽△D EF，相似比为1：2，△ABC的周长为4，则△DEF的周长为( ) A．2 B．4 C．8 D．16【考点】相似三角形的性质．【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比求解即可．【解答】解：设△DEF的周长为x，∵△ABC∽△DEF，相似比为1：2，∴4：x=1：2，解得，x=8．故选C．【点评】本题考查了相似三角形的性质，熟记性质是解题的关键．5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，如果∠ADE=120°，那么∠B等于( )A．130°B．120°C．80° D．60°【考点】圆内接四边形的性质．【分析】由四边形ABCD内接于⊙O，可得∠B+∠ADC=180°，又由∠ADC+∠ADE=180°，即可求得∠B=∠ADE=120°．【解答】解：∵∠ADC+∠ADE=180°，∠B+∠ADC=180°，∴∠B=∠ADE=120°．故选B．【点评】此题考查了圆的内接多边形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．6．把抛物线y=x2+1向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线( )A．y=（x+3）2﹣1 B．y=（x+3）2+3 C．y=（x﹣3）2﹣1 D．y=（x﹣3）2+3【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】易得原抛物线的顶点及平移后抛物线的顶点，根据平移不改变抛物线的二次项系数可得新的抛物线解析式．【解答】解：由题意得原抛物线的顶点为（0，1），∴平移后抛物线的顶点为（3，﹣1），∴新抛物线解析式为y=（x﹣3）2﹣1，故选：C．【点评】考查二次函数的几何变换；用到的知识点为：二次函数的平移不改变二次项的系数；得多新抛物线的顶点是解决本题的突破点．7．如图，AB是⊙O的直径，C、D是圆上两点，∠BOC=70°，则∠D等于( )A．25° B．35° C．55° D．70°【考点】圆周角定理．【分析】由AB是⊙O的直径，C、D是圆上两点，∠BOC=70°，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．即可求得答案．【解答】解：∵∠BOC=70°，∴∠D=∠BOC=35°．故选B．【点评】此题考查了圆周角定理．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．8．如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，AB=4，则A1B1的长为( )A．1 B．2 C．4 D．8【考点】位似变换．【专题】计算题．【分析】根据位似变换的性质得到=，B1C1∥BC，再利用平行线分线段成比例定理得到=，所以=，然后把OC1=OC，AB=4代入计算即可．【解答】解：∵C1为OC的中点，∴OC1=OC，∵△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，∴=，B1C1∥BC，∴=，∴=，即=∴A1B1=2．故选B．【点评】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行．9．如果关于x的一元二次方程x2﹣x+m﹣1=0有实数根，那么m的取值范围是( ) A．m＞2 B．m≥3 C．m＜5 D．m≤5【考点】根的判别式．【分析】若一元二次方程有实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣x+m﹣1=0有实数根，a=1，b=﹣1，c=m﹣1，∴△=b2﹣4ac=（﹣1）2﹣4×1×（m﹣1）≥0，解得m≤5．故选D．【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．10．矩形ABCD的边BC在直线l上，AB=2，BC=4，P是AD边上一动点且不与点D重合，连结CP，过点P作∠APE=∠CPD，交直线l于点E，若PD的长为x，△PEC与矩形ABCD重合部分的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是( )A． B． C．D．【考点】动点问题的函数图象．【分析】分段函数，当x≤2和2＜x≤4时，分别列出函数表达式，即可了解y与x的函数关系的图象．【解答】解：当x≤2时，y=2x，是一次函数；当2＜x≤4时，y=2x﹣=﹣2x+16﹣，是一次函数与反比例函数的叠加函数．只有A符合条件．故选：A．【点评】本题考查了动点问题的函数图象，能够分段列出函数表达式是解决问题的关键．二、填空题（本题共18分，每题3分）11．如果=，那么=．【考点】比例的性质．【分析】根据分比性质，可得答案．【解答】解：=，由分比性质，得=，故答案为：．【点评】本题考查了比例的性质，利用了分比性质：=⇒=．12．请写出一个开口向下，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的解析式y=﹣x2+2．【考点】二次函数的性质．【专题】开放型．【分析】根据二次函数的性质，抛物线开口向下a＜0，然后写出即可．【解答】解：抛物线解析式为y=﹣x2+2（答案不唯一）．故答案为：y=﹣x2+2．【点评】本题考查了二次函数的性质，开放型题目，主要利用了抛物线的开口方向与二次项系数a的关系．13．如图，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转某个角度得到△AB′C′，使AB′∥CB，CB，AC′的延长线相交于点D，如果∠D=28°，那么∠BAC=28°．【考点】旋转的性质．【专题】计算题．【分析】先根据平行线的性质，由AB′∥CB得到∠B′AC=∠D=28°，然后根据旋转的性质求解．【解答】解：∵AB′∥CB，∴∠B′AC=∠D=28°，∵△ABC绕点A按顺时针方向旋转某个角度得到△AB′C′，∴∠BAC=∠B′AC=28°．故答案为28．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．14．如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，点D在AC上，且AD=2，如果要在AB上找一点E，使△ADE与原三角形相似，那么AE=或．【考点】相似三角形的判定．【专题】计算题．【分析】两三角形有一公共角，再求夹此公共角的两边对应成比例即可．点E位置未确定，所以应分别讨论，△ABC∽△ADE或△ABC∽△AED．【解答】解：第一种情况：要使△ABC∽△ADE，∠A为公共角，AB：AD=AC：AE，即8：2=6：AE，∴AE=；第二种情况：要使△ABC∽△AED，∠A为公共角，AB：AE=AC：AD，即8：AE=6：2，∴AE=．故答案为：或．【点评】考查相似三角形的判定定理：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．需注意的是边的对应关系．15．如图所示，在△ABC中，BC=4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，且∠EAF=80°，则图中阴影部分的面积是4﹣π．【考点】切线的性质；扇形面积的计算．【专题】计算题；压轴题．【分析】连结AD，根据切线的性质得AD⊥BC，则S△ABC=AD•BC，然后利用S阴影部分=S△ABC﹣S 扇形AEF和扇形的面积公式计算即可．【解答】解：连结AD，如图，∵⊙A与BC相切于点D，∴AD⊥BC，∴S△ABC=AD•BC，∴S阴影部分=S△ABC﹣S扇形AEF=×2×4﹣=4﹣π．故答案为4﹣π．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了扇形的面积公式．16．在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC如图放置，动点P从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第5次碰到矩形的边时，点P的坐标为（1，4）；当点P第2016次碰到矩形的边时，点P的坐标为（0，3）．【考点】规律型：点的坐标．【专题】规律型．【分析】动点的反弹与光的反射入射是一个道理，根据反射角与入射角的定义可以在格点中作出图形，可以发现，在经过6次反射后，动点回到起始的位置，因此，点P第5次碰到矩形的边时，点P的坐标为（1，4），将2016除以6得到336，且没有余数，说明点P第2016次碰到矩形的边时为第336个循环组的第6次反弹，因此点P的坐标为（0，3）．【解答】解：如图，根据反射角与入射角的定义作出图形，可知：当点P第5次碰到矩形的边时，点P的坐标为（1，4）；故答案为：（1，4）；根据图形可以得到：每6次反弹为一个循环组依次循环，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），∵2016÷6=336，当点P第2016次碰到矩形的边时为第336个循环组的第6次反弹，点P的坐标为（0，3）．【点评】题目考查了平面直角坐标系中点的规律变化，解决此类问题应该掌握以下知识点：1深刻理解平面直角坐标系和点坐标的意义．2探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律．3探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律．掌握了这些知识点，学生解决此类问题就很轻松了．三、填空题（本题共30分，每题5分）17．解方程：x2﹣4x﹣5=0【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．【分析】观察原方程，可将方程左边配成一个完全平方式，然后用配方法求解；也可依据二次三项式的因式分解法进行求解．【解答】解：（1）x2﹣4x+4=5+4x﹣22=9x﹣2=3或x﹣2=﹣3x1=5，x2=﹣1；（2）（x﹣5）（x+1）=0x﹣5=0或x+1=0x1=5，x2=﹣1．用公式法解酌情给分【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．18．已知△ABC如图所示地摆放在边长为1的小正方形组成的网格内，将△ABC绕点C顺时针旋转90°，得到△A1B1C．（1）在网格中画出△A1B1C；（2）直接写出点B运动到点B1所经过的路径的长．【考点】作图-旋转变换．【分析】（1）根据图形旋转的性质画出△A1B1C即可；（2）先根据勾股定理求出CB的长，再由弧长公式即可得出结论．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C即为所求作的图形；（2）∵BC==2，∴点B运动到点B1所经过的路径的长==π．【点评】本题考查的是作图﹣旋转变换，熟知图形旋转的性质及弧长公式是解答此题的关键．19．如图，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，AB=4，CE=1，求⊙O半径长．【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】连接OA，由垂径定理可知AE=AB=2，OE=OC﹣CE=r﹣1，OA=r，在Rt△AOE中，利用勾股定理求r即可．【解答】解：连接OA，如图所示：设⊙O半径长为r，∵CD⊥AB，∴AE=AB=2，又∵OE=OC﹣CE=r﹣1，OA=r，在Rt△AOE中，由勾股定理得：AE2+OE2=OA2，即22+（r﹣1）2=r2，解得r=2.5，即⊙O半径长为2.5．【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理的运用．连接半径，将问题转化到直角三角形中，由勾股定理得出方程是解决问题的关键．20．如图，△ABC中，点D在AB上，∠ACD=∠ABC，若AD=3，DB=6，求AC的长．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】由题意，在△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，可证△ABC∽△ACD，再根据相似三角形对应边成比例来解答即可．【解答】解：∵∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴=，∵AD=3，AB=6，∴，∴AC2=18，∴AC=3．【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，解题的关键在于熟记各种判定方法，难点在于找对应边．21．已知：二次函数的图象过点A（2，﹣3），且顶点坐标为C（1，﹣4）．（1）求此二次函数的表达式；（2）直接写出：当y≤0时，x的取值范围．【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质．【专题】计算题．【分析】（1）由于已知抛物线顶点坐标，则可设顶点式y=a（x﹣1）2﹣4，然后把A点坐标代入求出a即可；（2）先根据抛物线与x轴的交点问题确定抛物线与x轴的交点坐标，然后写出抛物线不在x轴上方所对应的自变量的范围即可．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2﹣4，把A（2，﹣3）代入得a﹣4=﹣3，解得a=1，所以抛物线解析式为y=（x﹣1）2﹣4；（2）当y=0时，（x﹣1）2﹣4=0，解得x1=﹣1，x2=3，所以抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0），所以当﹣1≤x≤3时，y≤0．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．22．甲、乙两位同学玩转盘游戏，游戏规则：将圆盘平均分成三份，分别涂上红，黄，绿三种颜色，两位同学分别转动转盘两次（若压线，重新转）．若两次指针指到的颜色相同，则甲获胜；若两次指针指到的颜色是黄绿组合则乙获胜；其余情况则视为平局．请用画树状图或列表的方法，用概率说明游戏是否公平．【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．【专题】计算题．【分析】先画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出两次指针指到的颜色相同的结果数和两次指针指到的颜色是黄绿组合的结果数，则可根据概率公式计算甲、乙获胜的概率，然后比较概率的大小即可判断游戏是否公平．【解答】解：这个游戏不公平．理由如下：画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中两次指针指到的颜色相同的结果数为3，两次指针指到的颜色是黄绿组合的结果数为2，所以甲获胜的概率==，乙获胜的概率=，因为＞，所以这个游戏不公平．【点评】本题考查了游戏的公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．也考查了列表法与树状图法．四、解答题（本题共20分，每题5分）23．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+1）x+1=0．（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若m为整数，当此方程的两个实数根都是整数时，求m的值．【考点】根的判别式；解一元二次方程-公式法．【分析】（1）表示出一元二次方程根的判别式，利用配方化成完全平方式，可判定其不小于0，可得出结论；（2）可先用求根公式表示出两根，再根据方程的根都是整数，可求得m的值．【解答】（1）证明：△=[﹣（m+1）]2﹣4m=（m﹣1）2．∵（m﹣1）2≥0，∴△≥0．∴该方程总有两个实数根；（2）解：x=．∴x1=1，x2=．当m为整数1或﹣1时，x2为整数，即该方程的两个实数根都是整数，∴m的值为1或﹣1．【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的情况是解题的关键，即△＞0⇔方程有两个不相等的实数根，△=0⇔方程有两个相等的实数根，△＜0⇔方程无实数根．24．某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，据调查显示，每个档次的日产量及相应的单件利润如表所示（其中x为正整数，且1≤x≤10）；质量档次 1 2 ... x (10)日产量95 90 ... 100﹣5x (50)（件）6 8 ... 2x+4 (24)单件利润（万元）为了便于调控，此工厂每天只生产一个档次的产品，当生产质量档次为x的产品时，当天的利润为y万元．（1）求y关于x的函数关系式；（2）工厂为获得最大利润，应选择生产哪个档次的产品？并求出当天利润的最大值．【考点】二次函数的应用．【分析】（1）根据总利润=单件利润×销售量就可以得出y与x之间的函数关系式；（2）由（1）的解析式转化为顶点式，由二次函数的性质就可以求出结论．【解答】解：（1）由题意，得y=（100﹣5x）（2x+4），y=﹣10x2+180x+400（1≤x≤10的整数）；答：y关于x的函数关系式为y=﹣10x2+180x+400；（2）∵y=﹣10x2+180x+400，∴y=﹣10（x﹣9）2+1210．∵1≤x≤10的整数，∴x=9时，y最大=1210．答：工厂为获得最大利润，应选择生产9档次的产品，当天利润的最大值为1210万元．【点评】本题考查了总利润=单件利润×销售量的运用，二次函数的解析式的运用，顶点式的运用，解答时求出函数的解析式是关键．25．如图，AB为⊙O直径，C是⊙O上一点，CO⊥AB于点O，弦CD与AB交于点F，过点D 作∠CDE，使∠CDE=∠DFE，交AB的延长线于点E．过点A作⊙O的切线交ED的延长线于点G．（1）求证：GE是⊙O的切线；（2）若OF：OB=1：3，⊙O的半径为3，求AG的长．【考点】切线的判定；勾股定理；相似三角形的判定与性质．【分析】（1）连接OD，根据等边对等角和直角三角形的两锐角互余求得∠OCD+∠CFO=90°，而∠EFD=∠FDE，则∠CDO+∠CDE=90°，从而证得GE是⊙O的切线．（2）先求得EF=1，设DE=EF=x，则OF=x+1，在Rt△ODE中，根据勾股定理求得DE=4，OE=5，根据切线的性质由AG为⊙O的切线得∠GAE=90°，再证明Rt△EOD∽Rt△EGA，根据相似三角形对应边成比例即可求得．【解答】（1）证明：连接OD，∵OC=OD，∴∠C=∠ODC，∵OC⊥AB，∴∠COF=90°，∴∠OCD+∠CFO=90°，∴∠ODC+∠CFO=90°，∵∠EFD=∠FDE，∠EFD=∠CDE，∴∠CDO+∠CDE=90°，∴GE为⊙O的切线；（2）解：∵OF：OB=1：3，⊙O的半径为3，∴OF=1，∵∠EFD=∠EDF，∴EF=ED，在Rt△ODE中，OD=3，DE=x，则EF=x，OE=1+x，∵OD2+DE2=OE2，∴32+x2=（x+1）2，解得x=4，∴DE=4，OE=5，∵AG为⊙O的切线，∴AG⊥AE，∴∠GAE=90°，而∠OED=∠GEA，∴Rt△EOD∽Rt△EGA，∴=，即=，∴AG=6．【点评】本题考查了切线的判定、勾股定理的应用、相似三角形的判定和性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．26．对于两个相似三角形，如果对应顶点沿边界按相同方向顺序环绕，那么称这两个三角形互为同相似，如图1，△A1B1C1∽△ABC，则称△A1B1C1与△ABC互为同相似；如果对应顶点沿边界按相反方向顺序环绕，那么称这两个三角形互为异相似，如图2，△A2B2C2∽△ABC，则称△A2B2C2与△ABC互为异相似．（1）在图3、图4和图5中，△ADE∽△ABC，△HXG∽△HGF，△OPQ∽△OMN，其中△ADE 与△ABC互为同相似，△HXG与△HGF互为逆相似，△OPQ与△OMN互为同相似；（2）在锐角△ABC中，∠A＜∠B＜∠C，点P为AC边上一定点（不与点A，C重合），过这个定点P画直线截△ABC，使截得的一个三角形与△ABC互为异相似，符合条件的直线有1或2条．【考点】相似形综合题．【分析】（1）根据互为同相似和互为逆相似的定义即可作出判断；（2）根据点P在点P为AC边上一定点（不与点A，C重合），需要分类讨论，逐一分析求解．【解答】解：（1）△ADE与△ABC互为同相似，△HXG与△HGF互为逆相似，△OPQ与△OMN 互为同相似，故答案为：同，逆，同；（2）如图②，点P在AC（不含点A、C）上，过点B作∠CBM=∠A，BM交AC于点M．当点P在AM（不含点M）上时，过点P1只能画出1条截线P1Q，使∠AP1Q=∠ABC，此时△AP1Q 与△ABC互为逆相似；当点P在CM上时，过点P2只能画出2条截线P2Q1、P2Q2，分别使∠AP2Q1=∠ABC，∠CP2Q2=∠ABC，此时△AP2Q1、△Q2P2C都与△ABC互为逆相似．故点P为AC边上一定点（不与点A，C重合），过这个定点P画直线截△ABC，使截得的一个三角形与△ABC互为异相似，符合条件的直线有1或2条，故答案为：1或2．【点评】主要考查了相似三角形的知识点、分类讨论的数学思想以及接受与理解新生事物的能力．准确理解题设条件中“同相似”“逆相似”的定义是正确解题的先决条件，在分析与解决问题的过程中，要考虑全面，进行分类讨论，避免漏解．五、解答题（本题共22分，第27，28每题7分，第29题8分）27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2+2x+m2+2的开口向下，且抛物线与y轴的交于。

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2015-2016学年北京市东城区六校联盟九年级（上）期中数学试卷一、选择题（下列各小题均有四个选项，其中只有一个选项符合题意．本题共30分，每题3分）1．（3分）观察下列图形，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）下列事件是随机事件的是（）A．明天太阳从东方升起B．任意画一个三角形，其内角和是360°C．通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰D．射击运动员射击一次，命中靶心3．（3分）有8个型号相同的足球，其中一等品5个，二等品2个和三等品1个，从中随机抽取1个足球，恰好是一等品的概率是（）A．B．C．D．4．（3分）已知△ABC∽△DEF，相似比为1：2，△ABC的周长为4，则△DEF的周长为（）A．2 B．4 C．8 D．165．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，如果∠ADE=120°，那么∠B等于（）A．130°B．120°C．80°D．60°6．（3分）把抛物线y=x2+1向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线（）A．y=（x+3）2﹣1 B．y=（x+3）2+3 C．y=（x﹣3）2﹣1 D．y=（x﹣3）2+3 7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C、D是圆上两点，∠BOC=70°，则∠D等于（）A．25°B．35°C．55°D．70°8．（3分）如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，AB=4，则A1B1的长为（）A．1 B．2 C．4 D．89．（3分）如果关于x的一元二次方程x2﹣x+m﹣1=0有实数根，那么m的取值范围是（）A．m＞2 B．m≥3 C．m＜5 D．m≤510．（3分）矩形ABCD的边BC在直线l上，AB=2，BC=4，P是AD边上一动点且不与点D重合，连结CP，过点P作∠APE=∠CPD，交直线l于点E，若PD的长为x，△PEC与矩形ABCD重合部分的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A． B． C．D．二、填空题（本题共18分，每题3分）11．（3分）如果=，那么．12．（3分）请写出一个开口向下，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的解析式，y=．13．（3分）如图，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转某个角度得到△AB′C′，使AB′∥CB，CB，AC′的延长线相交于点D，如果∠D=28°，那么∠BAC=°．14．（3分）如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，点D在AC上，且AD=2，如果要在AB上找一点E，使△ADE与原三角形相似，那么AE=．15．（3分）如图所示，在△ABC中，BC=4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，且∠EAF=80°，则图中阴影部分的面积是．16．（3分）在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC如图放置，动点P从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第5次碰到矩形的边时，点P的坐标为；当点P第2016次碰到矩形的边时，点P的坐标为．三、填空题（本题共30分，每题5分）17．（5分）解方程：x2﹣4x﹣5=0．18．（5分）已知△ABC如图所示地摆放在边长为1的小正方形组成的网格内，将△ABC绕点C顺时针旋转90°，得到△A1B1C．（1）在网格中画出△A1B1C；（2）直接写出点B运动到点B1所经过的路径的长．19．（5分）如图，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，AB=4，CE=1，求⊙O半径长．20．（5分）如图，△ABC中，点D在AB上，∠ACD=∠ABC，若AD=3，DB=6，求AC的长．21．（5分）已知：二次函数的图象过点A（2，﹣3），且顶点坐标为C（1，﹣4）．（1）求此二次函数的表达式；（2）直接写出：当y≤0时，x的取值范围．22．（5分）甲、乙两位同学玩转盘游戏，游戏规则：将圆盘平均分成三份，分别涂上红，黄，绿三种颜色，两位同学分别转动转盘两次（若压线，重新转）．若两次指针指到的颜色相同，则甲获胜；若两次指针指到的颜色是黄绿组合则乙获胜；其余情况则视为平局．请用画树状图或列表的方法，用概率说明游戏是否公平．四、解答题（本题共20分，每题5分）23．（5分）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+1）x+1=0．（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若m为整数，当此方程的两个实数根都是整数时，求m的值．24．（5分）某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，据调查显示，每个档次的日产量及相应的单件利润如表所示（其中x为正整数，且1≤x≤10）；为了便于调控，此工厂每天只生产一个档次的产品，当生产质量档次为x 的产品时，当天的利润为y 万元．（1）求y 关于x 的函数关系式；（2）工厂为获得最大利润，应选择生产哪个档次的产品？并求出当天利润的最大值．25．（5分）如图，AB 为⊙O 直径，C 是⊙O 上一点，CO ⊥AB 于点O ，弦CD 与AB 交于点F ，过点D 作∠CDE ，使∠CDE=∠DFE ，交AB 的延长线于点E ．过点A 作⊙O 的切线交ED 的延长线于点G ．（1）求证：GE 是⊙O 的切线；（2）若OF ：OB=1：3，⊙O 的半径为3，求AG 的长．26．（5分）对于两个相似三角形，如果对应顶点沿边界按相同方向顺序环绕，那么称这两个三角形互为同相似，如图1，△A 1B 1C 1∽△ABC ，则称△A 1B 1C 1与△ABC 互为同相似；如果对应顶点沿边界按相反方向顺序环绕，那么称这两个三角形互为异相似，如图2，△A 2B 2C 2∽△ABC ，则称△A 2B 2C 2与△ABC 互为异相似．（1）在图3、图4和图5中，△ADE ∽△ABC ，△HXG ∽△HGF ，△OPQ ∽△OMN ，其中△ADE 与△ABC 互为相似，△HXG 与△HGF 互为相似，△OPQ 与△OMN 互为相似；（2）在锐角△ABC中，∠A＜∠B＜∠C，点P为AC边上一定点（不与点A，C 重合），过这个定点P画直线截△ABC，使截得的一个三角形与△ABC互为异相似，符合条件的直线有条．五、解答题（本题共22分，第27，28每题7分，第29题8分）27．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2+2x+m2+2的开口向下，且抛物线与y轴的交于点A，与x轴交于B，C两点（B在C左侧）．点A的纵坐标是3．（1）求抛物线的解析式；（2）求直线AB的解析式；（3）将抛物线在点C左侧的图形（含点C）记为G．若直线y=kx+n（n＜0）与直线AB平行，且与图形G恰有一个公共点，结合函数图象写出n的取值范围．28．（7分）如图1，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，连接AE，BG．（1）试猜想线段BG和AE的数量关系是；（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转α（0°＜α≤360°），①判断（1）中的结论是否仍然成立？请利用图2证明你的结论；②若BC=DE=4，当AE取最大值时，求AF的值．29．（8分）定义：对于平面直角坐标系xOy中的线段PQ和点M，在△MPQ中，当PQ边上的高为2时，称M为PQ的“等高点”，称此时MP+MQ为PQ的“等高距离”．（1）若P（1，2），Q（4，2）．①在点A（1，0），B（，4），C（0，3）中，PQ的“等高点”是；②若M（t，0）为PQ的“等高点”，求PQ的“等高距离”的最小值及此时t的值．（2）若P（0，0），PQ=2，当PQ的“等高点”在y轴正半轴上且“等高距离”最小时，直接写出点Q的坐标．2015-2016学年北京市东城区六校联盟九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（下列各小题均有四个选项，其中只有一个选项符合题意．本题共30分，每题3分）1．（3分）观察下列图形，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；B、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误，故选：C．2．（3分）下列事件是随机事件的是（）A．明天太阳从东方升起B．任意画一个三角形，其内角和是360°C．通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰D．射击运动员射击一次，命中靶心【解答】解：A、明天太阳从东方升起是必然事件，故A错误；B、任意画一个三角形，其内角和是360°是不可能事件，故B错误；C、通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰是必然事件，故C错误；D、射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故D正确；故选：D．3．（3分）有8个型号相同的足球，其中一等品5个，二等品2个和三等品1个，从中随机抽取1个足球，恰好是一等品的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：在8只型号相同的足球中，一等品有5个，则从中随机抽取1个足球，恰好是一等品的概率是P=，故选：D．4．（3分）已知△ABC∽△DEF，相似比为1：2，△ABC的周长为4，则△DEF的周长为（）A．2 B．4 C．8 D．16【解答】解：设△DEF的周长为x，∵△ABC∽△DEF，相似比为1：2，∴4：x=1：2，解得，x=8．故选：C．5．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，如果∠ADE=120°，那么∠B等于（）A．130°B．120°C．80°D．60°【解答】解：∵∠ADC+∠ADE=180°，∠B+∠ADC=180°，∴∠B=∠ADE=120°．故选：B．6．（3分）把抛物线y=x2+1向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线（）A．y=（x+3）2﹣1 B．y=（x+3）2+3 C．y=（x﹣3）2﹣1 D．y=（x﹣3）2+3【解答】解：由题意得原抛物线的顶点为（0，1），∴平移后抛物线的顶点为（3，﹣1），∴新抛物线解析式为y=（x﹣3）2﹣1，故选：C．7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C、D是圆上两点，∠BOC=70°，则∠D等于（）A．25°B．35°C．55°D．70°【解答】解：∵∠BOC=70°，∴∠D=∠BOC=35°．故选：B．8．（3分）如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，AB=4，则A1B1的长为（）A．1 B．2 C．4 D．8【解答】解：∵C1为OC的中点，∴OC1=OC，∵△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，∴=，B1C1∥BC，∴=，∴=，即=∴A1B1=2．故选：B．9．（3分）如果关于x的一元二次方程x2﹣x+m﹣1=0有实数根，那么m的取值范围是（）A．m＞2 B．m≥3 C．m＜5 D．m≤5【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣x+m﹣1=0有实数根，a=1，b=﹣1，c=m﹣1，∴△=b2﹣4ac=（﹣1）2﹣4×1×（m﹣1）≥0，解得m≤5．故选：D．10．（3分）矩形ABCD的边BC在直线l上，AB=2，BC=4，P是AD边上一动点且不与点D重合，连结CP，过点P作∠APE=∠CPD，交直线l于点E，若PD的长为x，△PEC与矩形ABCD重合部分的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A． B． C．D．【解答】解：当x≤2时，y=2x，是一次函数；当2＜x≤4时，y=2x﹣=﹣2x+16﹣，是一次函数与反比例函数的叠加函数．只有A符合条件．故选：A．二、填空题（本题共18分，每题3分）11．（3分）如果=，那么=．【解答】解：=，由分比性质，得=，故答案为：．12．（3分）请写出一个开口向下，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的解析式，y=﹣x2+2（答案不唯一）．【解答】解：函数解析式为y=﹣x2+2（答案不唯一）．故答案为：﹣x2+2（答案不唯一）．13．（3分）如图，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转某个角度得到△AB′C′，使AB′∥CB，CB，AC′的延长线相交于点D，如果∠D=28°，那么∠BAC=28°．【解答】解：∵AB′∥CB，∴∠B′AC=∠D=28°，∵△ABC绕点A按顺时针方向旋转某个角度得到△AB′C′，∴∠BAC=∠B′AC=28°．故答案为28．14．（3分）如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，点D在AC上，且AD=2，如果要在AB上找一点E，使△ADE与原三角形相似，那么AE=或．【解答】解：第一种情况：要使△ABC∽△ADE，∠A为公共角，AB：AD=AC：AE，即8：2=6：AE，∴AE=；第二种情况：要使△ABC∽△AED，∠A为公共角，AB：AE=AC：AD，即8：AE=6：2，∴AE=．故答案为：或．15．（3分）如图所示，在△ABC中，BC=4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，且∠EAF=80°，则图中阴影部分的面积是4﹣π．【解答】解：连结AD，如图，∵⊙A与BC相切于点D，∴AD⊥BC，∴S△ABC=AD•BC，∴S阴影部分=S△ABC﹣S扇形AEF=×2×4﹣=4﹣π．故答案为4﹣π．16．（3分）在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC如图放置，动点P从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第5次碰到矩形的边时，点P的坐标为（1，4）；当点P第2016次碰到矩形的边时，点P的坐标为（0，3）．【解答】解：如图，根据反射角与入射角的定义作出图形，可知：当点P第5次碰到矩形的边时，点P的坐标为（1，4）；故答案为：（1，4）；根据图形可以得到：每6次反弹为一个循环组依次循环，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），∵2016÷6=336，当点P第2016次碰到矩形的边时为第336个循环组的第6次反弹，点P的坐标为（0，3）．三、填空题（本题共30分，每题5分）17．（5分）解方程：x2﹣4x﹣5=0．【解答】解：（1）x2﹣4x+4=5+4（3分）x﹣22=9（4分）x﹣2=3或x﹣2=﹣3（6分）x1=5，x2=﹣1；（8分）（2）（x﹣5）（x+1）=0（4分）x﹣5=0或x+1=0（6分）x1=5，x2=﹣1．（8分）用公式法解酌情给分18．（5分）已知△ABC如图所示地摆放在边长为1的小正方形组成的网格内，将△ABC绕点C顺时针旋转90°，得到△A1B1C．（1）在网格中画出△A1B1C；（2）直接写出点B运动到点B1所经过的路径的长．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C即为所求作的图形；（2）∵BC==2，∴点B运动到点B1所经过的路径的长==π．19．（5分）如图，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，AB=4，CE=1，求⊙O半径长．【解答】解：连接OA，如图所示：设⊙O半径长为r，∵CD⊥AB，∴AE=AB=2，又∵OE=OC﹣CE=r﹣1，OA=r，在Rt△AOE中，由勾股定理得：AE2+OE2=OA2，即22+（r﹣1）2=r2，解得r=2.5，即⊙O半径长为2.5．20．（5分）如图，△ABC中，点D在AB上，∠ACD=∠ABC，若AD=3，DB=6，求AC的长．【解答】解：∵∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴=，∵AD=3，AB=6+3=9，∴，∴AC2=27，∴AC=3．21．（5分）已知：二次函数的图象过点A（2，﹣3），且顶点坐标为C（1，﹣4）．（1）求此二次函数的表达式；（2）直接写出：当y≤0时，x的取值范围．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2﹣4，把A（2，﹣3）代入得a﹣4=﹣3，解得a=1，所以抛物线解析式为y=（x﹣1）2﹣4；（2）当y=0时，（x﹣1）2﹣4=0，解得x1=﹣1，x2=3，所以抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0），所以当﹣1≤x≤3时，y≤0．22．（5分）甲、乙两位同学玩转盘游戏，游戏规则：将圆盘平均分成三份，分别涂上红，黄，绿三种颜色，两位同学分别转动转盘两次（若压线，重新转）．若两次指针指到的颜色相同，则甲获胜；若两次指针指到的颜色是黄绿组合则乙获胜；其余情况则视为平局．请用画树状图或列表的方法，用概率说明游戏是否公平．【解答】解：这个游戏不公平．理由如下：画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中两次指针指到的颜色相同的结果数为3，两次指针指到的颜色是黄绿组合的结果数为2，所以甲获胜的概率==，乙获胜的概率=，因为＞，所以这个游戏不公平．四、解答题（本题共20分，每题5分）23．（5分）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+1）x+1=0．（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若m为整数，当此方程的两个实数根都是整数时，求m的值．【解答】（1）证明：△=[﹣（m+1）]2﹣4m=（m﹣1）2．∵（m﹣1）2≥0，∴△≥0．∴该方程总有两个实数根；（2）解：x=．∴x1=1，x2=．当m为整数1或﹣1时，x2为整数，即该方程的两个实数根都是整数，∴m的值为1或﹣1．24．（5分）某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，据调查显示，每个档次的日产量及相应的单件利润如表所示（其中x为正整数，且1≤x≤10）；为了便于调控，此工厂每天只生产一个档次的产品，当生产质量档次为x的产品时，当天的利润为y万元．（1）求y关于x的函数关系式；（2）工厂为获得最大利润，应选择生产哪个档次的产品？并求出当天利润的最大值．【解答】解：（1）由题意，得y=（100﹣5x）（2x+4），y=﹣10x2+180x+400（1≤x≤10的整数）；答：y关于x的函数关系式为y=﹣10x2+180x+400；（2）∵y=﹣10x2+180x+400，∴y=﹣10（x﹣9）2+1210．∵1≤x≤10的整数，∴x=9时，y最大=1210．答：工厂为获得最大利润，应选择生产9档次的产品，当天利润的最大值为1210万元．25．（5分）如图，AB为⊙O直径，C是⊙O上一点，CO⊥AB于点O，弦CD与AB交于点F，过点D作∠CDE，使∠CDE=∠DFE，交AB的延长线于点E．过点A 作⊙O的切线交ED的延长线于点G．（1）求证：GE是⊙O的切线；（2）若OF：OB=1：3，⊙O的半径为3，求AG的长．【解答】（1）证明：连接OD，∵OC=OD，∴∠C=∠ODC，∵OC⊥AB，∴∠COF=90°，∴∠OCD+∠CFO=90°，∴∠ODC+∠CFO=90°，∵∠EFD=∠FDE，∠CFO=∠EFD，∴∠CDO+∠CDE=90°，∴GE为⊙O的切线；（2）解：∵OF：OB=1：3，⊙O的半径为3，∴OF=1，∵∠EFD=∠EDF，∴EF=ED，在Rt△ODE中，OD=3，DE=x，则EF=x，OE=1+x，∵OD2+DE2=OE2，∴32+x2=（x+1）2，解得x=4，∴DE=4，OE=5，∵AG为⊙O的切线，∴AG⊥AE，∴∠GAE=90°，而∠OED=∠GEA，∴Rt△EOD∽Rt△EGA，∴=，即=，∴AG=6．26．（5分）对于两个相似三角形，如果对应顶点沿边界按相同方向顺序环绕，那么称这两个三角形互为同相似，如图1，△A1B1C1∽△ABC，则称△A1B1C1与△ABC互为同相似；如果对应顶点沿边界按相反方向顺序环绕，那么称这两个三角形互为异相似，如图2，△A2B2C2∽△ABC，则称△A2B2C2与△ABC互为异相似．（1）在图3、图4和图5中，△ADE∽△ABC，△HXG∽△HGF，△OPQ∽△OMN，其中△ADE与△ABC互为同相似，△HXG与△HGF互为逆相似，△OPQ 与△OMN互为同相似；（2）在锐角△ABC中，∠A＜∠B＜∠C，点P为AC边上一定点（不与点A，C 重合），过这个定点P画直线截△ABC，使截得的一个三角形与△ABC互为异相似，符合条件的直线有1或2条．【解答】解：（1）△ADE与△ABC互为同相似，△HXG与△HGF互为逆相似，△OPQ与△OMN互为同相似，故答案为：同，逆，同；（2）如图②，点P在AC（不含点A、C）上，过点B作∠CBM=∠A，BM交AC 于点M．当点P在AM（不含点M）上时，过点P1只能画出1条截线P1Q，使∠AP1Q=∠ABC，此时△AP1Q与△ABC互为逆相似；当点P在CM上时，过点P2只能画出2条截线P2Q1、P2Q2，分别使∠AP2Q1=∠ABC，∠CP2Q2=∠ABC，此时△AP2Q1、△Q2P2C都与△ABC互为逆相似．故点P为AC边上一定点（不与点A，C重合），过这个定点P画直线截△ABC，使截得的一个三角形与△ABC互为异相似，符合条件的直线有1或2条，故答案为：1或2．五、解答题（本题共22分，第27，28每题7分，第29题8分）27．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2+2x+m2+2的开口向下，且抛物线与y轴的交于点A，与x轴交于B，C两点（B在C左侧）．点A的纵坐标是3．（1）求抛物线的解析式；（2）求直线AB的解析式；（3）将抛物线在点C左侧的图形（含点C）记为G．若直线y=kx+n（n＜0）与直线AB平行，且与图形G恰有一个公共点，结合函数图象写出n的取值范围．【解答】解：（1）把A（0，3）代入y=mx2+2x+m2+2得m2+2=3，解得m1=1，m2=﹣1，而抛物线开口向下，所以m=﹣1，所以抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）当y=0时，﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3，则B（﹣1，0），C（3，0），设直线AB的解析式为y=kx+b，把A（0，3），B（﹣1，0）分别代入得，所以直线AB的解析式为y=3x+3；（3）∵直线y=kx+n（n＜0）与直线AB平行，∴k=3，当y=3x+n过点C（3，0）时，n=﹣9，∵n＜0，且直线y=3x+n与图形G恰有一个公共点，∴n＜﹣9．28．（7分）如图1，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，连接AE，BG．（1）试猜想线段BG和AE的数量关系是BG=AE；（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转α（0°＜α≤360°），①判断（1）中的结论是否仍然成立？请利用图2证明你的结论；②若BC=DE=4，当AE取最大值时，求AF的值．【解答】解：（1）BG=AE．理由：如图1，∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点，∴AD⊥BC，BD=CD，∴∠ADB=∠ADC=90°．∵四边形DEFG是正方形，∴DE=DG．在△BDG和△ADE中，，∴△ADE≌△BDG（SAS），∴BG=AE．故答案为：BG=AE；（2）①成立BG=AE．理由：如图2，连接AD，∵在Rt△BAC中，D为斜边BC中点，∴AD=BD，AD⊥BC，∴∠ADG+∠GDB=90°．∵四边形EFGD为正方形，∴DE=DG，且∠GDE=90°，∴∠ADG+∠ADE=90°，∴∠BDG=∠ADE．在△BDG和△ADE中，，∴△BDG≌△ADE（SAS），∴BG=AE；②∵BG=AE，∴当BG取得最大值时，AE取得最大值．如图3，当旋转角为270°时，BG=AE．∵BC=DE=4，∴BG=2+4=6．∴AE=6．在Rt△AEF中，由勾股定理，得AF==，∴AF=2．29．（8分）定义：对于平面直角坐标系xOy中的线段PQ和点M，在△MPQ中，当PQ边上的高为2时，称M为PQ的“等高点”，称此时MP+MQ为PQ的“等高距离”．（1）若P（1，2），Q（4，2）．①在点A（1，0），B（，4），C（0，3）中，PQ的“等高点”是A、B；②若M（t，0）为PQ的“等高点”，求PQ的“等高距离”的最小值及此时t的值．（2）若P（0，0），PQ=2，当PQ的“等高点”在y轴正半轴上且“等高距离”最小时，直接写出点Q的坐标．【解答】解：（1）①∵P（1，2），Q（4，2），∴在点A（1，0），B（，4）到PQ的距离为2．∴PQ的“等高点”是A、B，故答案为：A、B；②如图1，作点P关于x轴的对称点P′，连接P′Q，P′Q与x轴的交点即为“等高点”M，此时“等高距离”最小，最小值为线段P′Q的长．∵P （1，2），∴P′（1，﹣2）．设直线P′Q的表达式为y=kx+b，根据题意，有，解得．∴直线P′Q的表达式为．当y=0时，解得．即．根据题意，可知PP′=4，PQ=3，PQ⊥PP′，∴．∴“等高距离”最小值为5．（2）如图2，过PQ的“等高点”M作MN⊥PQ于点N，∴PQ=2，MN=2．设PN=x，则NQ=2﹣x，在Rt△MNP和Rt△MNQ中由勾股定理得：MP2=22+x2=4+x2，MQ2=22+（2﹣x）2=x2﹣4x+8，∴MP2+MQ2=2x2﹣4x+12=2（x﹣1）2+10，∵MP2+MQ2≤（MP+MQ）2，∴当MP2+MQ2最小时MP+MQ也最小，此时x=1，即PN=NQ，∴△MPQ为等腰三角形，∴MP=MQ=，如图3，设Q坐标为（x，y），过点Q作QE⊥y轴于点E，则在Rt △MNP 和Rt △MNQ 中由勾股定理得：QE 2=QP 2﹣OE 2=22﹣y 2=4﹣y 2，=， ∴4﹣．解得y=．，当点Q 在第一象限时x=，当点Q 在第二象限时x=﹣， ∴Q （，）或Q（，）．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征： PA Bl运用举例：1. △ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为AP 的中点，则MF 的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。