4.4有理函数积分
高数上4.4 有理函数积分法
5 2
d
x
1 2
x 1 2 3
2 4
解
(
x
x2 2x 1 1)( x2 x
1)
dx
x
2
1
x3 x2 x
1 dx
2
ln
|
x
1
|
1 2
d
( x2 x 1) x2 x 1
5 2
d
x
1 2
x
1 2
2
3 4
2ln | x 1 | 1 ln | x2 x 1 | 2
1
去分母, 得
x2 2x 1 A( x2 x 1) (Bx C )( x 1)
令 x 1, 得 A 2; 令 x 0, 得 1 A C, 所以 C 3;
令 x 2, 得 7 3A 2B C, 所以 B 1.
因此
(x
x2 2x 1 1)( x2 x 1)
4
dx
x
4
2x2 5x2
5
4
dx
1 2
d(x4 5x2 5) x4 5x2 4
(x2 1) (x2 4) (x2 1)(x2 4)
dx
1 ln x4 5x2 4 1 arctan x arctan x C
2
2
2
例 9
求不定积分 I
2
x
3 x4
2x2 5x2
解 根据例5的结果, 有
(
x
x2 2x 1 1)( x2 x
1)
dx
2 x
1
x3 x2 x
1 dx
2 ln
|
x
1
|
1 2
2x x2
44有理函数的积分知识讲解
44有理函数的积分知识讲解有理函数意为有理数的函数，即可以表示为$p(x)/q(x)$的函数，其中$p(x)$和$q(x)$均为多项式函数。
有理函数积分是指对有理函数进行积分运算，是高等数学中一个非常重要的内容。
下面将介绍有理函数积分的知识。
一、分式分解要求有理函数的积分，首先要进行分式分解。
分式分解是将一个有理函数分解成多个个简单的有理函数的和的过程，即对于一个形如$p(x)/q(x)$的有理函数进行分解，使得分解式的分母均为一次多项式或既约二次多项式。
分式分解的基本方法是：用二次多项式的因式作分子的一次式，二次多项式必须既约，即无重根。
若$q(x)$的某个根是$k$，则$(x-k)$是$q(x)$的因式；若二次多项式$(x^2+px+q)$有两个不同实根$x_1,x_2$，则分式分解式可写成两个部分的和形式，即分子为$k_1/(x-x_1)$，分母为$(x-x_1)$，分子为$k_2/(x-x_2)$，分母为$(x-x_2)$。
二、基本积分公式有理函数的积分可以根据基本积分公式进行求解。
常用的基本积分公式有以下几种：1. $\int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C$2. $\int \frac{1}{x^2+a^2} dx=\frac{1}{a}\arctan(\frac{x}{a})+C$三、换元积分法针对部分比较复杂的有理函数，可以采用换元积分法进行求解。
具体方法是：先将分式分解为几个部分，其中一个部分是含有根式的二次函数，用$t=\sqrt{x^2+a^2}$进行代换，然后进行简化，并根据基本积分公式计算积分。
四、分步积分法对于含有较多项的有理函数，可以采用分步积分法进行求解。
具体方法是：将原式中的有理函数分解为两个有理函数的和，其中一个有理函数是原式的导数的因式，另一个有理函数则是原式的乘积。
然后，用分部积分法求解原式的积分。
总之，有理函数积分是高等数学中的一个非常重要的内容，可以通过分式分解、基本积分公式、换元积分法和分步积分法进行求解。
4.4 有理函数的积分
x
2 x
2tan x
1
tan
2 2x
2u 1 u
2
,
2
2
cosx cos2
x 2
sin 2
x 2
1 tan2 x
2 sec2 x
1 1
u u
2 2
.
2
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铃
令 u tan x , 2
则 sin x12uu2 ,
cos
x
1 1
u2 u2
.
例例44
求
1sin x sin x(1cosx)
请看如下积分:
cosx 1sin x
dx
1 1sin
x
d(1sin
x) ln(1 sin
x)
C
.
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铃
•简单无理函数的积分 无理函数的积分一般采用第二类换元法把根号消去.
例例55 求
x1 dx . x
解 设 x1u , 即 xu2 1 , 则
x 1 x
dx
u2u1
2udu
2
,
于是
1 x
1 x
x
dx
(t
2
1)t
(t
2t 2 1)2
dt
2
t
t
2
2
dt 1
2
(1
t
211)dt
2t
ln
|
t t
1|C 1
2 1 x ln 1 x x C .
x
1 x x
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结束
高数4.4
2．分母是二次质因式的真分式的不定积分
x−2 dx ． 例2 求 ∫ 2 x + 2x + 3
解
x−2 1 2x + 2 1 ∫ x 2 + 2 x + 3 dx = ∫ ( 2 x 2 + 2 x + 3 − 3 x 2 + 2 x + 3)dx
三、简单无理函数的积分
例4 求
x −1 ∫ x dx ． 解 设 x −1 = u ，于是x=u2+1，dx=2u du ，从而
∫
u x −1 u2 dx = ∫ 2 · 2u du = 2∫ 2 du x u +1 u +1 1 = 2 ∫ (1 − )du 2 1+ u
=2(u殊类型函数的积分 ．
一、有理函数的积分
有理函数 真分式的不定积分 分母是二次质因式的真分式的不定积分
二、三角函数有理式的积分 三、简单无理函数的积分 练习
一、有理函数的积分
有理函数的形式：
P( x) a0 x n + a1 x n −1 + L + an −1 x + an = Q( x) b0 x m + b1 x m−1 + L + bm−1 x + bm
33 3 = ( x + 2) 2 − 33 x + 2 + ln | 1 + x + 2 | +C． 2
练习
3x + 1 dx sin 5 x dx. , ( 2) ∫ dx, (3) ∫ 2 求积分： (1) ∫ 4 2 + cos x x − 3x + 2 cos x
G4_4有理函数的积分[56页]
![G4_4有理函数的积分[56页]](https://img.taocdn.com/s3/m/a4e0aa5bddccda38376baffa.png)
2
2
2
退出
高等数学（上）
例题 求积分
1
xx
x dx.
1e2 e3 e6
出版社 理工分社
x
解 令 t e 6 x 6ln t,
dx 6 dt,
t
1
xx
x
dx
1
t
3
1
t
2
t
6 t
dt
1e2 e3 e6
6
t(1
t
1 )(1
t2
dt )
6 t
1
3
t
3t 1 t
3
2
dt
退出
高等数学（上）
高等数学（上）
高等数学
（上）
出版社 理工分社
退出 1
高等数学（上）
第4章 不定积分
4.1 不定积分的概念与性质 4.2 换元积分法 4.3 分部积分法 4.4 有理函数的积分 4.5 积分表的使用
出版社 理工分社
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高等数学（上）
4.4 有理函数的积分
出版社 理工分社
一、有理函数的积分 二、可化为有理函数的积分 三、小结 思考题
退出
高等数学（上）
出版社 理工分社
假定分子与分母之间没有公因式
(1) n m, 这有理函数是真分式；
(2) n m, 这有理函数是假分式；
利用多项式除法, 假分式可以化成一个 多项式和一个真分式之和.
例
x3 x2
x 1
1
x
1 x2 1.
难点 将有理函数化为部分分式之和.
退出
高等数学（上）
出版社 理工分社
有理函数化为部分分式之和的一般规律：
有理函数的积分-高等数学教案
；
3） 的二次单因式 ，对应一项 ；
4） 的二次 重因式 对应 项：
证明略
例如：
例1将下列各分式分解成最简单分式之和。
（1） ；（2） .
解：（1）有定理可知， 。
右端通分，约去分母，解得 。
（2）
解得
例2求
解：
解得 ， ，所以
例3求
解：
例4求下列积分
（1） （2）
教学媒体
教法选择
讲授
教学过程
教法运用及板书要点
我们知道被积函数连续时，不定积分一定存在，但是，并不是每个不定积分都可以用初等函数表示的，例如：
等等，他们的原函数不再是初等函数。
有理函数的形式
有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数即具有如下形式的函数:
其中m和n都是非负整数a0a1a2an及b0b1b2bm都是实数并且a00b00当nm时称这有理函数是真分式而当nm时称这有理函数是假分式
变换后原积分变成了有理函数的积分即：
例5求
解：令 ，有
例6求
解令 则 x2arctanu
于是
解令 则
说明:并非所有的三角函数有理式的积分都要通过变换化为有理函数的积分例如
例7求 .
解法一： ，有
解法二：
。
例18
无理函数的积分一般要采用第二换元法把根号消去
例8求
解设xt6于是dx6t5dt从而
例9求
解设 即 于是
解：（1）
（2）
练习：1、求
解
提示
2、求
解
提示
三角函数有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数其特点是分子分母都包含三角函数的和差和乘积运算由于各种三角函数都可以用sinx及cosx的有理式表示故三角函数有理式也就是sinx、cosx的有理式
高等数学课件--D4_4有理函数积分
2
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例1. 将下列真分式分解为部分分式 :
解: (1) 用拼凑法
1 x( x 1)
2
x ( x 1)
x( x 1)
2
1 ( x 1)
2
1 x ( x 1)
2012-10-12
1 ( x 1) 1 ( x 1)
2 2
x ( x 1)
1 a b
2 2
cos 2 ( x )
tan( x ) C
dx
1 a b
2 2
a sin x b cos x
2012-10-12
sin
cos
ab 1 a sinarctan ) C cos x x a b tan( x 2 2 2 2 2 2 b a b a a b b
C
2012-10-12
cos x a ( a sin x b cos x )
同济高等数学课件
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例9. 求
(a sin x b cos x) 2 dx
a a b
2 2
1
( ab 0)
解法 2 令 原式
sin ,
b a b
2 2
cos
sin x 2t 1 t
1 t 1 t
2
2 2
1 1 2 t 2t ln t C 2 2
1 4
tan
2
x 2
tan
x 2
1 2
高等数学有理函数的积分
1 sin x sin x(1 cos
x)
dx
(1
2u 1 u
2
)
2u 1 u
2
(1
1 1
u2 u2
)
2 1 u
2
du
1 2
(u
2
1 u
)du
1 2
(u2 2
2u
ln
|u
|)
C
1 tan 2 x tan x 1 ln |tan x |C .
4 2 22
2
令 u tan x , 2
则
s in
. 有理函数 相除 多项式 + 真分式
分解
其中部分分式的形式为
若干部分分式之和
(
x
A a)k
;
MxN (x2 p x q)k
( k N , p2 4q 0)
四种典型部分分式的积分:
1.
x
A
a
dx
A ln
xa
C
2.
(
x
A a)n
dx
1
A n
(x
a)1n
C
(n 1)
3.
x
Mx 2 px
例例5 求
x 1 dx . x
解解 设 x 1 u , 即 x u 2 1 , 则
x 1 x
dx
u
u 2 1
2udu
2
u
u
2
2
du 1
2
(1
1
1 u
2
)du
2(u
ar
c
tan
u
)
C
2( x 1 arctan x 1) C .
D4_4有理函数积分PPT课件
x
1 1
例3
将真分式 (1
2
1 x)(1
x2
)
分解为部分分式之和。
解： (1
1 2x)(1
x2)
1
A 2x
Bx C 1 x2
右端通分，两端去分母后,得: 1 A(1 x2 ) (Bx C)(1 2x)
整理得 1=(A+2B)x2+(B+2C)x+(C+A) 比较上式两端各同次幂的系数及常数项有:
第四节
第四章
有理函数的积分
• 基本积分法 : 直接积分法 ; 换元积分法 ;
分部积分法
求导 • 初等函数
积分
初等函数
本节内容:
一、有理函数的积分
二、可化为有理函数的积分举例
机动 目录 上页 下页 返回 结束
一、有理函数的积分
有理函数是指由两个多项式的商所表示的函 数，有理函数的形式是:
P(x) Q(x)
2
x3 5x 6
5 x2
6, x3
则：
x2
x
3 5x
dx 6
5 dx x2
x
6
3
dx
5
d(x 2) x2
6
d(x 3) x3
5ln x 2 6ln x 3 C
例5
求
x(
x
1
1)
2
dx
解: 由例2可得
1 x(x 1)2
1 x
(x
1 1)2
1 x 1
x(x
1
1)2
例2
将真分式 x(
x
1
1)2
分解为部分分式之和.
解： 1 x(x 1)2
4.4 有理函数的积分
−3
− 5 + 6
−2
1
1
d( − 2)
= −5 න
d( − 3) +6 න
−2
−3
= −5 ln | − 3| + 6 ln | − 2| +
第四节 有理函数的积分
第四章 不定积分
(3) 由例1知
4
2
1
−
+
1
5 + 5
5
=
(1 + 2)(1 + 2 ) 1 + 2
2
=6 ln ||
第四章 不定积分
二、三角函数有理式的积分
定义
由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称为
三角有理式. 一般记为 (sin , cos )
2 tan
2 ,
∵ n =
2
1 + tan
2
cos =
1
2
− tan
2
2
1 + tan
2
2
令 = tan , 则 = 2 arctan , 且d =
例5
解
1
求 න 4 d .
sin
2
2
,d =
d,
方法1. 设 = tan , sin =
2
2
1+
1+
2
1 + 32 + 34 + 6
1
d
න 4 d = න
4
8
sin
1
1
3
3
=
− 3 − + 3 +
高等数学课件上第44有理函数积分
积分公式的应用场景
物理、工程等领域的计算
解决实际问题，如计算面 积、体积等
数学建模，如微分方程、 积分方程等
科学研究，如统计、概率 等
计算机科学，如数值计算、 算法设计等
积分公式的推导过程
积分的定义：将函 数在某一区间上的 值进行求和，得到 该区间上的积分值
积分的性质：积分 具有线性性、可加 性、可乘性等性质
积分变换：用于进行有理函数的积分变 换
积分不等式证明：用于证明有理函数的 积分不等式
积分估计：用于估计有理函数的积分值
在其他数学分支中的应用
微积分：有理 函数积分是微 积分的重要内 容之一，广泛 应用于求解微 分方程、积分
方程等
概率论与数理 统计：有理函 数积分在概率 论与数理统计 中用于求解概 率密度函数、 概率分布函数
结果相加
注意事项：在分 解被积函数时， 需要注意分解后 的部分能否进行 积分，以及分解 后的部分能否相 加得到原被积函
数
三角换元法
基本思想：将复杂函数转化为简单函数，便于积分 步骤：选择适当的三角函数，将原函数进行变换 注意事项：选择合适的三角函数，注意变换后的函数形式 应用：适用于有理函数积分的计算，特别是含有三角函数的有理函数
适用条件：f(x)为有理函数，且积分区间为[a, b]
单击此处输入你的项正文，文字是您思想的提炼，言简意赅的阐述观点。
计算步骤： a. 确定积分区间[a, b] b. 将f(x)代入积分公式 c. 计算积分结果
a. 确定积分区间[a, b] b. 将f(x)代入积分公式 c. 计算积分结果
注意事项： a. 确保f(x)为有理函数 b. 积分区间[a, b]必须正 确 c. 计算过程中可能出现误差，需要多次计算以验证结果
高等数学第四章有理函数的积分
x2 1
-
1)
dx
1
2
1+
1 x2
x2
+
1 x2
dx
-1 2
1
-
1 x2
x2
+
1 x2
dx
技巧
1 2
d( x - 1 ) x
-1
( x - 1 )2 + 2 2
d( x + 1 ) x
( x + 1 )2 - 2
x
x
1
arctan
x
-
1 x
-
1
1
ln
22
2 22 2
x+ 1 x
A 1 ( x - a)1-n + C 1- n
16
( x2 + px + q) 2x + p
Ax + B
(3) x2 + px + q dx
Ax + A p- A p + B
22
x2 + px + q
dx
Ax + A p
x2
+
2 px +
dx q
+
(B
-
A 2
p)
Q( x) 部分分式的和. 如果分母多项式Q( x)在实数域 上的质因式分解式为:
Q( x) b0 ( x - a) ( x2 + px + q) ,( p2 - 4q 0)
, 为正整数, 则 P( x) 可唯一的分解为:
Q( x)
5
Q( x) b0 ( x - a) ( x2 + px + q) ,( p2 - 4q 0)
4.4 几种特殊函数的不定积分
当 P( x) 的次数小于 Q( x) 时，
称这有理函数为真分式，否则为假分式。 总可以将一个假分式化成一个多项式与一个真分 式之和的形式
例1 将下列真分式分解为部分分式
4.4几种特殊函数的不 定积分
解
(1) 用拼凑法
x ( x 1) 1 1 1 2 2 2 ( x 1) x( x 1) x( x 1) x( x 1) 1 x ( x 1) 2 ( x 1) x( x 1) 1 1 1 2 x 1 x ( x 1)
4.4几种特殊函数的不 定积分
(2) 用赋值法，设
x3 x3 A B 2 x 5 x 6 ( x 2)( x 3) x 2 x 3
解得
A 5, B 6
6 5 原式 x2 x 3
4.4几种特殊函数的不 定积分
(3) 设
1 Bx C A 2 (1 2 x)(1 x ) 1 2 x 1 x 2
.
2 2t 1 t2 dt sin x , cos x , dx 2 2 2 1 t 1 t 1 t
于是
1 1 du 2 dt 2 2 2 2 1 t 1 t 1 t 1 t 4t
sin x 1 sin x dx
x 设 tan t 2
4.4几种特殊函数的不 定积分
1 t2 cos x 1 t2
2t sin x , 2 1 t
x 2arctan t ,
从而
2 dx dt 2 1 t
称为万能代换
例5 求
x 解 设 tan 2 t ，则
1 sin x dx
4.4几种特殊函数的不 定积分 sin x
高等数学课件4-4有理函数的积分
积分的几何意义
积分是微积分中 的重要概念，用 于计算曲线下的 面积
积分的几何意义 在于将曲线下的 面积分割成无数 个小矩形，然后 求和
积分的极限定义 是积分的几何意 义的数学表达
积分的几何意义 可以帮助我们理 解积分的物理意 义，如计算物体 的质量、体积等
有理函数的积分性质
积分的线性性质
积分的线性性质在积分计算 中的应用
线性性质：积分是线性的， 即两个函数的积分等于两个 函数积分的和
积分的线性性质在积分变换 中的应用
积分的线性性质在积分不等 式中的应用
积分的几何意义
积分是微积分中的重要概念，用于计算曲线下的面积 积分的几何意义在于将函数图像下的面积转化为积分表达式 积分的几何意义可以帮助我们理解函数的变化趋势和性质 积分的几何意义在物理、工程等领域有着广泛的应用
汇报人：
汇报时间：20XX/XX/XX
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积分的计算方法
直接积分法：适用于简单函数， 如x^2，x^3等
分部积分法：适用于含有对数函 数的函数，如x^2ln(x)， x^2ln(x)+x^3等
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
换元积分法：适用于复杂函数， 如x^2+x^3，x^2+x^3+x^4 等
积分表法：适用于已知积分的函 数，如x^2，x^3，x^4等
有理函数：由有理数、无理数、常数、幂函数、对数函数、三角函数、反三角函数等基本函数 组成的函数
有理函数的特点：具有连续性、可导性、可积性等性质
有理函数的分类：根据函数的形式和性质，有理函数可以分为代数函数、超越函数、三角函数 等
有理函数的应用：在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用，如求解微分方程、积分方程、 傅里叶变换等
几种特殊类型函数的积分
2
．
解 设 3 x 2 u ．于是xu22，dx3u2d u ，从而
1
dx 3x
2
1
1 u
·3u2d u
3
u2 1
1du u
3 (u
1 1 )du 1 u
3(
u2 2
uln|1u|)C
3 3 (x 2)2 33 x 2 ln |1 3 x 2 | +C． 2
练习
求积分：
(1)
2
dx cos
an bm
其中m和n都 是非负整数；a0 ，a1 ，a2 ，… ，an 及b0 ，b1 ，b2
，… ，bm都是实数，并且a00，b00．当n<m时，称这有理函数
是真分式；而当nm时，称这有理函数是假分式．假分式总可以
化成一个多项式与一个真分式之和的形式．例如
x3 x 1 x2 1
x
1 x2 1
．
例2 求
x
2
x
2 2x
3
dx
．
解
x2
x
2
2 x
3
dx
(1 2
x
2x 2 2 2x
3
3
x
2
1 2
x
)dx 3
1 2
x
2x 2 2 2x
dx 3
3
x
2
1 2
x
dx 3
1 2
d (x2 2x 3) x2 2x 3
3
d (x 1) (x 1)2 ( 2)2
1 ln(x2 2x 3) 3 arctan x 1 C ．
2
dx.
解
x2
3x 1 3x
4.4 有理函数的积分-习题
1．求下列不定积分： ⑴31(1)x dx x +-⎰；【解】先将被积的有理函数分解为基本可积有理函数：【方法一】用部分分式法 令3231(1)1(1)(1)x A B Cx x x x +=++----， 去分母，得 21(1)(1)x A x B x C +=-+-+， ---- * 下面用特殊值代入法确定待定系数A ，B ，C ： 将1x =代入*式，得 2C =，将0x =，2C =代入*式，得 1A B -=-， 将2x =，2C =代入*式，得 1A B +=，由11A B A B -=-⎧⎨+=⎩解得0A =，1B =，于是得323112(1)(1)(1)x x x x +=+---，【方法二】用配方法得33231(1)212(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+==+----。
从而积分得31(1)x dx x +-⎰2312[](1)(1)dx x x =+--⎰2312[](1)(1)(1)d x x x =+---⎰ 2111(1)c x x =--+-- ⑵21(1)dx x x -⎰；【解】先将被积的有理函数分解为基本可积有理函数：【方法一】用部分分式法令221(1)1A B Cx x x x x=++--， 去分母，得 21(1)(1)Ax x B x Cx =-+-+， ---- * 下面用特殊值代入法确定待定系数A ，B ，C ： 将0x =代入*式，得 1B =， 将1x =代入*式，得 1C =，将1B =，1C =和2x =代入*式，得 12(1)(1)4A =⨯-+-+，得 1A =,于是得221111(1)1x x x x x=++--，【方法二】用配方法221(1)(1)(1)x x x x x x +-=--211(1)x x x =+-2(1)1(1)x x x x x-+=+-21111x x x=++- 从而积分得221111()(1)1dx dx x x x x x =++--⎰⎰1ln ln 1x x c x =---+1ln1x c x x =-+-11ln x c x x-=--+ ⑶2125dx x x ++⎰；【解】被积函数为分子是常数，分母是无根二次多项式，为基本可积有理函数，配型为211u +即可解之：2125x x ++21(21)4x x =+++21(1)4x =++211141()2x =⋅++，于是得 2125dx x x ++⎰211141()2dx x =++⎰ 21111221()2x d x +=++⎰ ---- 1122x d dx +=11arctan 22x c +=+ ⑷332(1)x dx x x ++⎰；【解】先用部分分式法将被积的有理函数分解为基本可积有理函数：令32332(1)1(1)(1)x A B C Dx x x x x x +=+++++++， 去分母，得 3232(1)(1)(1)x A x Bx x Cx x Dx +=++++++， ---- * 下面用特殊值代入法确定待定系数A ，B ，C ： 将0x =代入*式，得 2A =， 将1x =-代入*式，得 1D =，将2A =和1D =代入*式，得 32322(1)(1)(1)x x Bx x Cx x x +=++++++， 整理得 322264(1)(1)x x x Bx x Cx x ---=+++，等号两端去掉因式(1)x x +，得 24x Bx B C --=++ ---- ** 由多项式相等条件，得 2B =-， 将2B =-代入**式，得 2C =-， 于是得323322221(1)1(1)(1)x x x x x x x +=--+++++， 从而积分得323322221[](1)1(1)(1)x dx dx x x x x x x +=--+++++⎰⎰2212ln 2ln 112(1)x x c x x =-++-+++ 2432ln12(1)x x c x x +=++++ ⑸221(1)(1)dx x x x +++⎰；【解】先用部分分式法将被积的有理函数分解为基本可积有理函数：由于被积函数的分母中的两个因式均无零点，即令22221(1)(1)11Ax B Cx Dx x x x x x ++=+++++++ 去分母，得 221()(1)()(1)Ax B x x Cx D x =++++++ ---- * 下面确定待定系数A ，B ，C ，D ： 【方法一】用解方程组法展开*式右边，得321()()()()A C x A B D x A B C x B D =+++++++++，由多项式相等条件，得 ()()()() 0, 1 0, 2 0, 3 1, 4A C AB D A BC BD +=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪+=⎩， ⑶－⑴得 0B =， ⑵－⑷得 1A =-， 将0B =代入⑷得 1D =， 将1A =-代入⑴得 1C =， 【方法二】用特殊值代入法——虚数代入法将x i =代入*式，得 221()(1)()(1)Ax B x x Cx D x =++++++ 得 1()(11)()(11)Ai B i Ci D =+-++++-+，亦即 1A Bi =-+， 可得 1A =-，0B =，将1A =-，0B =代入*式，得 221(1)()(1)x x x Cx D x +++=++， 等号两端去掉因式21x +，得1x Cx D +=+， 由多项式相等条件即得 1C =，1D =。
积分重要知识点归纳
1 (2 x 2
2
2) 3
dx d( x 1) ( x 1) ( 2 )
2 2
x 2x 3
2
1 d( x 2 x 3)
2
2
x 2x 3
2
2
3
1
ln x 2 x 3
3 2
arctan
x 1 2
C
思考: 如何求
原式＝ 3x 5 4( x 2 x 3)
p
2
,
,
4 Mp
2
(x2
Mx N px q )
n
dx
(t 2
Mt a )
2 n
dt
(t 2
b a )
2 n
dt
(2)
n 1,
Mx N px q )
n
(x2
dx
M 2 ( n 1 )( t a )
2 2 n1
b
1 (t a )
1 x 1
1
2
dx
1 x 1
dx
1 x
dx
ln x 1 ln x C .
例1. 将下列真分式分解为部分分式 :
解: (2) 待定系数法
x 3 x 5x 6
2
x 3 ( x 2 )( x 3 )
A x 2
B x 3
,
方法一:
M x N ( x px q )
2
R1 x S1 ( x rx s )
2
R x S ( x rx s )
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x cos x 2 sin 2 2
x 2 tan 2
2 dx dt 2 1 t
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6 t 5 dt 原式 3 t t2
1 6 (t t 1 ) dt 1 t
2
3 1 2 2 t t ln 1 t C 6 1 t 3
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1 1 x dx . 例13 求 x x 1 x 则 解 令t , x 2t 2 原式 ( t 1) t 2 dt 2 ( t 1)
A 1. d x A ln x a C xa A A 1 n ( x a ) C ( n 1) 2. d x 1 n ( x a )n
Mx N 3. 2 dx x px q Mx N 4. 2 dx n ( x p x q)
变分子为
( t 1) dt 1 t2 t4
2
2 (t 1 ) 3 t
d( t 1 ) t
2 t 1 1 cos x 1 t arctan C arctan C 3 3 sin x 3 3
注 若被积函数关于 sinx 为奇函数,可令 t cos x ,
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例10 求不定积分 解 原式
(令 u cos x )
1 ( 2 u )( u 2 1)
A 2 u
B u 1
C u 1
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2.简单无理函数的积分
被积函数为简单根式的有理式 ,可通过根式代换
化为有理函数的积分. 例如:
n n ax b R ( x , ax b ) d x , t 令
即A －1, B 1, C 0
x 1 原式 2 － x 2 x 1
1 ( 3) (1 2 x )(1 x 2 )
A Bx C , 解 设原式 2 1 2x 1 x
整理得 1 A(1 x ) ( Bx C )(1 2 x ),
2
1 ( A 2 B ) x ( B 2C ) x C A,
t2 t 1 2 2 dt 2 t ln C t 1 t 1
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内容小结
1. 可积函数的特殊类型
万能代换
根式代换
有理函数
分解
三角函数有理式
三角代换
多项式及部分分式之和
简单无理函数
2. 特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出, 但不一定
简便, 要注意综合使用基本积分法, 简便计算.
思考 如何求
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说明 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,
但不一定简便 , 因此要注意根据被积函数的结构寻求 简便的方法. 例4 求
解
2 x3 5 x 2 x2 5 I 4 dx 4 dx 2 2 x 5x 4 x 5x 4
( x 2 1) ( x 2 4) 1 d( x 4 5 x 2 5) dx 4 2 2 2 2 x 5x 4 ( x 1)( x 4) 1 1 x 4 2 ln x 5 x 4 arctan arctan x C 2 2 2
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dx 例6 求 4 x 1 1 ( x 2 1) ( x 2 1) dx 解 原式 4 2 x 1 1 1 1 1 1 1 按常规方法较繁 x2 x2 2 1 dx 2 1 dx 2 x 2 2 x 2
x x
1 1 2 2 1 2 (x x) 2 2 (x 1 ) 2 x
2
令 u3 x2 , 则
2 ( u 1) 1 3u du 3 du 原式 1 u 1 u 1 3 ( u 1 ) du 1 u
3
1 u2 u 2
ln 1 u C
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例12 求 解 为去掉被积函数分母中的根式,取根指数2 ,3的 最小公倍数6 , 令 x t 6 , 则有
1 2 1 x x 1 x x 1 1 arctan C ln 2 2 2 22 2 x 1 2 x
常规 目录 上页 下页 返回 结束
d( x 1 ) x
d( x 1 ) x
4.4.2 可化为有理函数的积分举例
1.三角函数有理式的积分 设
表示三角函数有理式, 则
R(sin x , cos x ) dx
M (2 x 2
p) N
Mp 2
再分项积分
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2. 有理函数的积分
例2 求 解 已知
1 1 4 1 2x 2 2 (1 2 x )(1 x ) 5 1 2 x 1 x 1 x 2
2 d(1 2 x ) 1 d(1 x 2 ) 1 dx 原式 2 5 1 x2 5 1 x 5 1 2x
1 x x 1 2 x tan tan ln tan C 4 2 2 2 2
另法 P154
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例8 求
解 原式
dx 2 cos x
1
a tan x b
2
2
2
1 d tan x 2 b )2 a tan 2 x ( a
1 a arctan( tan x ) C ab b
说明 通常求含 sin x , cos x 及 sin x cos x 的有理式 的积分时, 用代换 t tan x 往往更方便.
2 2
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cos 3 x 2 cos x dx . 例9 求 2 4 1 sin x sin x
解 因被积函数关于 cos x 为奇函数,可令 t sin x , (cos 2 x 2) cos x d x (sin 2 x 1) d sin x 原式 2 4 1 sin 2 x sin 4 x 1 sin x sin x
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备用题1. 求不定积分
1 解 令 t ,则 x
,故
分母次数较高, 宜使用倒代换.
1
1 t6
1 ( 2 ) d t t
1 5 t 5
t
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2. 求不定积分 解 原式 =
x 前式令 u tan 2 ; 后式配元 2 1 du 2 2 3 1 u 2 1 u
R( x
a xb n , c x d ) dx
,
令 tn
a xb c xd
n m R ( x , ax b , ax b ) dx ,
令 t p a x b , p 为 m , n的最小公倍数 .
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例11 求 解
dx 1 3 x 2 .
2 1 1 2 ln 1 2 x ln (1 x ) arctan x C 5 5 5
例1(3)
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例3 求 解 原式
1 ( 2 x 2) 3 2 2
x 2x 3
dx
1 d( x 2 2 x 3) d( x 1) 2 3 2 2 2 x 2x 3 ( x 1) ( 2 ) 3 x 1 1 2 arctan C ln x 2 x 3 2 2 2
2
A 2 B 0, 4 2 1 A , B ,C , B 2C 0, 5 5 5 A C 1, 4 2 1 x 1 5 5 5. (1 2 x )(1 x 2 ) 1 2 x 1 x2
四种典型部分分式的积分:
A B 0 比较系数得 2 A B C 0 A 1
故
A 1 从而 B 1 C 1 1 1 1 原式 2 x 1 x ( x 1)
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x2 ( 2) . 2 ( x 1)( x 2) x2 A Bx C 2 解 设 2 ( x 1)( x 2) x 1 x 2
x 令 t tan 2
万能代换
t 的有理函数的积分
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1 sin x 例7 求 dx . sin x(1 cos x ) x 解 令 t tan , 则 2
2t sin x 2x 2x 2x 2 sin 2 cos 2 1 tan 2 1 t
通分,去分母得: x 2 A( x 2 2) ( x 1)( Bx C ) 即 x 2 ( A B) x ( B C ) x (2 A C )
2
比较恒等式两边得系数,得方程组,
A B 0 B C 1 2 A C 2
确定部分分式系数的方法: 拼凑法、待定系数法、赋值法
例1 将下列真分式分解为部分分式: