数值分析简明教程0-1 (30)
数值分析简明教程
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数值分析是一门传统的微分几何学和非经典分析学领域内的一种分析方法，属于计算数学的范畴。
它试图从数值来得出一个具有实用价值的结论或做出相当准确的预测。
比如，数值分析可以用于估计气象预报、计算复杂方程的解和模拟复杂非线性系统的行为。
数值分析的三个主要应用是数值积分、数值微分和解析解的数值求解，即数值分析简明教程。
数值积分是将一个复杂的连续函数的值积分为一个连续的总和的过程，可以用来计算力、时间、能量、体积等物理量。
数值微分是将一个复杂的连续函数的变化率进行离散评估的过程，有助于求解微分方程，如各种魔方样方程。
解析解的数值求解是求解复杂方程组的一种手段，通过根据函数方程来确定函数的极值并从此推导出方程的解。
数值分析简明教程由初级技术引导到高级知识，可以帮助学习者开发、优化和解决数值问题，并且能够提高对复杂系统的理解能力，从而降低采纳解决方案的成本。
目前，数值分析技术已经成为互联网上使用最为广泛的数值计算工具之一，用于预测、解决众多学术问题，比如深度学习和统计学等。
数值分析简明教程第二版课后习题答案（供参考）
数值分析简明教程第⼆版课后习题答案（供参考）0.1算法1、（p.11，题1）⽤⼆分法求⽅程013=--x x 在[1,2]内的近似根，要求误差不超过10-3.【解】由⼆分法的误差估计式311*10212||-++=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到100021≥+k .两端取⾃然对数得96.812ln 10ln 3≈-≥k ，因此取9=k ，即⾄少需2、（p.11，题2）证明⽅程210)(-+=x e x f x在区间[0,1]内有唯⼀个实根；使⽤⼆分法求这⼀实根，要求误差不超过21021-?。
【解】由于210)(-+=x e x f x，则)(x f 在区间[0,1]上连续，且012010)0(0<-=-?+=e f ，082110)1(1>+=-?+=e e f ，即0)1()0(⼜010)('>+=x e x f ，即)(x f 在区间[0,1]上是单调的，故)(x f 在区间[0,1]内有唯⼀实根.由⼆分法的误差估计式211*1021212||-++?=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到1002≥k .两端取⾃然对数得6438.63219.322ln 10ln 2=?≈≥k ，因此取7=k ，即⾄少需⼆分0.2误差1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值7.21=x ，71.22=x ，x 2=2.71，718.23=x 各有⼏位有效数字？并给出它们的相对误差限。
【解】有效数字：因为11102105.001828.0||-?=<=-K x e ，所以7.21=x 有两位有效数字；因为12102105.000828.0||-?=<=-K x e ，所以71.22=x 亦有两位有效数字；因为3310210005.000028.0||-?=<=-K x e ，所以718.23=x 有四位有效数字；%85.17.205.0||111=<-=x x e r ε； %85.171.205.0||222=<-=x x e r ε； %0184.0718.20005.0||333=<-=x x e r ε。
数值分析简明教程讲义
eXL2(x)1 0.9417568X
0.3096362x2
3、
一般情形
现在考虑一般的插值问题：设函数在区间［
a,b］上n+1个互异节点
函数值分别为，yo,y1,...yn，求n次插值多项式
Ln(x)，满足条件
Ln(Xj)yj,j=0,
1,…，n
令
Ln(x) y°l0(x) y1〔1(X)... ynln(x)
设函数y=f(x)在区间［a,b］上有n+1个互异点X0，X1 ,...Xn，对应的函数值分别为,y0,y1,...yn，若存在一个简单函数y=p(x)，使其经过y=f(x)上的 这n+1个已知点(X0,y0),(X1, y1),…，(xn,yn)，即
/P(xi)=yi, i=0,1,…,n
那么，函数p(x)称为插值函数，点x0,x1,...Xn称为插值节点，包含插值节点的区间
一、 误差的来源
1、 模型误差
用计算机解决科学计算问题首先要建立数学模型，它是对被描述的实际问题进行抽 象，简化而得到的，因而是近似的，数学模型与实际问题之间出现的这种误差称为 模型误
差。这种误差可忽略不计，在数值计算方法中不予讨论。
2、 观测误差
在数学模型中往往还有一些根据观测得到的物理量，如温度， 长度，电压等等，测量
的结果不可能绝对正确， 由此产生的误差称为 观测误差。观测误差在数值计算方法中也不
予讨论。
3、 截断误差（方法误差）
在数学模型不能得到精确解时，通常要用数值方法求它的近似解，其近似解与精确 解之间的误差称为截断误差或方法误差。
4、 舍入误差
在计算过程中，由于计算机的字长有限， 采用计算机数系中和实际数据比较接近的数来表 示，由此产生的误差以及计算过程又可能产生新的误差，这些误差称为 舍入误差。。
数值分析简明教程(第二版)课后习题答案
0.1算法1、 （p.11，题1）用二分法求方程013=--x x 在[1,2]内的近似根，要求误差不超过10-3.【解】 由二分法的误差估计式311*10212||-++=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到100021≥+k .两端取自然对数得96.812ln 10ln 3≈-≥k ，因此取9=k ，即至少需2、（p.11，题2） 证明方程210)(-+=x e x f x在区间[0,1]内有唯一个实根；使用二分法求这一实根，要求误差不超过21021-⨯。
【解】 由于210)(-+=x e x f x ，则)(x f 在区间[0,1]上连续，且012010)0(0<-=-⨯+=e f ，082110)1(1>+=-⨯+=e e f ，即0)1()0(<⋅f f ，由连续函数的介值定理知，)(x f 在区间[0,1]上至少有一个零点.又010)('>+=x e x f ，即)(x f 在区间[0,1]上是单调的，故)(x f 在区间[0,1]内有唯一实根.由二分法的误差估计式211*1021212||-++⨯=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到1002≥k .两端取自然对数得6438.63219.322ln 10ln 2=⨯≈≥k ，因此取7=k ，即至少需二分0.2误差1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值7.21=x ，71.22=x ，x 2=2.71，718.23=x 各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。
【解】有效数字：因为11102105.001828.0||-⨯=<=- x e ，所以7.21=x 有两位有效数字； 因为12102105.000828.0||-⨯=<=- x e ，所以71.22=x 亦有两位有效数字；因为3310210005.000028.0||-⨯=<=- x e ，所以718.23=x 有四位有效数字；%85.17.205.0||111=<-=x x e r ε； %85.171.205.0||222=<-=x x e r ε； %0184.0718.20005.0||333=<-=x x e r ε。
数值分析简明教程课后习题答案
比较详细的数值分析课后习题答案0.1算法1、 （p.11，题1）用二分法求方程013=--x x 在[1,2]内的近似根，要求误差不超过10-3.【解】 由二分法的误差估计式311*10212||-++=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到100021≥+k .两端取自然对数得96.812ln 10ln 3≈-≥k ，因此取9=k ，即至少需2、（p.11，题2） 证明方程210)(-+=x e x f x在区间[0,1]内有唯一个实根；使用二分法求这一实根，要求误差不超过21021-⨯。
【解】 由于210)(-+=x e x f x，则)(x f 在区间[0,1]上连续，且012010)0(0<-=-⨯+=e f ，082110)1(1>+=-⨯+=e e f ，即0)1()0(<⋅f f ，由连续函数的介值定理知，)(x f 在区间[0,1]上至少有一个零点.又010)('>+=x e x f ，即)(x f 在区间[0,1]上是单调的，故)(x f 在区间[0,1]内有唯一实根.由二分法的误差估计式211*1021212||-++⨯=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到1002≥k .两端取自然对数得6438.63219.322ln 10ln 2=⨯≈≥k ，因此取7=k ，即至少需二分0.2误差1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值7.21=x ，71.22=x ，x 2=2.71，718.23=x 各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。
【解】有效数字：因为11102105.001828.0||-⨯=<=-K x e ，所以7.21=x 有两位有效数字； 因为12102105.000828.0||-⨯=<=-K x e ，所以71.22=x 亦有两位有效数字；因为3310210005.000028.0||-⨯=<=-K x e ，所以718.23=x 有四位有效数字；%85.17.205.0||111=<-=x x e r ε； %85.171.205.0||222=<-=x x e r ε； %0184.0718.20005.0||333=<-=x x e r ε。
数值分析简明教程
ℓi1
=
ai1 u11
(i = 2,3,∙∙∙, n)
ukj = akj − ∑km−=11 ℓkmumj
ℓik
=
1 ukk
�aik
−
∑km−=11
ℓimumk�
(j = k, k + 1,∙∙∙, n) (i = k + 1, k + 2,∙∙∙, n)
平方根法（Cholesky 分解法）（系数矩阵对．称．正．定．）：
则 (1) x = φ(x) 在 [a, b] 上有唯一实根 x∗；
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周斌
(2) 对任意 x0 ∈ [a, b] , 迭代公式收敛，且
lim
k→+∞
������������
=
������∗
(3) 后验误差估计：
|xk
−
x∗|
≤
L 1−L
|xk
−
xk−1|
先验误差估计：
|xk
−
谱半径：
n 阶 矩 阵 B 在 复 数 范 围 内 的 各 特 征 值 为 λi (i = 1,2,∙∙∙, n) ， 则 称 ρ(B) = max1≤i≤n|λi| 为 B 之谱半径。
ρ(B) ≤ ‖B‖ （注： ‖∙‖ 是 Rn×n 上任一矩阵范数）
矩阵条件数： n 阶非奇异矩阵 A 的条件数：Cond(A) = ‖A−1‖‖A‖
② 系数矩阵 A = (aij)n×n 严格对角占优 ③ 系数矩阵 A 对称正定
SOR 迭代法 �x(k+1) = (1 − ω)x(k) + ωD−1(b − Lx(k+1) − Ux(k))� ： ⇓
x(k+1) = Bωx(k) + ω(D + ωL)−1b Bω = (D + ωL)−1[(1 − ω)D − ωU]
数值分析简明教程课后习题答案
；
。
【解】（1）令时等式精确成立，可列出如下方程组：
解得：，即：，可以验证，对公式亦成立，而对不成立，故公式（1）具有3次代数精度。
（2）令时等式精确成立，可列出如下方程组：
解得：，即：，可以验证，对公式亦成立，而对不成立，故公式（2）具有3次代数精度。
（3）令时等式精确成立，可解得：
即： ，可以验证，对公式亦成立，而对不成立，故公式（3）具有2次代数精度。
由三点公式(51)、(52)和(53)可知，，则
2、（p.96，习题25）设已给出的数据表，
x
1.0
1.1
1.2
f(x)
0.2500
0.2268
0.2066
试用三点公式计算的值，并估计误差。
【解】已知，用三点公式计算微商：
，
用余项表达式计算误差
3、（p.96，习题26）设，分别取步长，用中点公式（52）计算的值，令中间数据保留小数点后第6位。
；
（2），而，实际误差为：。
由,可知，则余项表达式
1.4 曲线拟合
1、（p.57，习题35）用最小二乘法解下列超定方程组：
【解】构造残差xx函数如下：
，
分别就Q对x和y求偏导数，并令其为零：
：，
：，
解方程组（1）和（2），得
2、（p.57，习题37）用最小二乘法求形如 的多项式，使之与下列数据相拟合。
，，取；
，，取；
【解】（1）；
（2）。
2、（p.124，题2）取，用xx方法求解初值问题，。
【解】xx格式：；化简后，，计算结果见下表。
n
0
1
2
3
xn
0.0
0.2
数值分析简明教程课后习题答案
比较详细的数值分析课后习题答案0.1算法1、 （p.11，题1）用二分法求方程013=--x x 在[1,2]的近似根，要求误差不超过10-3.【解】 由二分法的误差估计式311*10212||-++=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到100021≥+k .两端取自然对数得96.812ln 10ln 3≈-≥k ，因此取9=k ，即至少需2、（p.11，题2） 证明方程210)(-+=x e x f x在区间[0,1]有唯一个实根；使用二分法求这一实根，要求误差不超过21021-⨯。
【解】 由于210)(-+=x e x f x，则)(x f 在区间[0,1]上连续，且012010)0(0<-=-⨯+=e f ，082110)1(1>+=-⨯+=e e f ，即0)1()0(<⋅f f ，由连续函数的介值定理知，)(x f 在区间[0,1]上至少有一个零点.又010)('>+=x e x f ，即)(x f 在区间[0,1]上是单调的，故)(x f 在区间[0,1]有唯一实根.由二分法的误差估计式211*1021212||-++⨯=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到1002≥k .两端取自然对数得6438.63219.322ln 10ln 2=⨯≈≥k ，因此取7=k ，即至少需二分0.2误差1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值7.21=x ，71.22=x ，x 2=2.71，718.23=x 各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。
【解】有效数字：因为11102105.001828.0||-⨯=<=-K x e ，所以7.21=x 有两位有效数字； 因为12102105.000828.0||-⨯=<=-K x e ，所以71.22=x 亦有两位有效数字；因为3310210005.000028.0||-⨯=<=-K x e ，所以718.23=x 有四位有效数字；%85.17.205.0||111=<-=x x e r ε； %85.171.205.0||222=<-=x x e r ε； %0184.0718.20005.0||333=<-=x x e r ε。
数值分析简明教程课后习题答案(第二版)
0.1算法1、 （p.11，题1）用二分法求方程013=--x x 在[1,2]内的近似根，要求误差不超过10-3.【解】 由二分法的误差估计式311*10212||-++=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到100021≥+k .两端取自然对数得96.812ln 10ln 3≈-≥k ，因此取9=k ，即至少需2、（p.11，题2） 证明方程210)(-+=x e x f x在区间[0,1]内有唯一个实根；使用二分法求这一实根，要求误差不超过21021-⨯。
【解】 由于210)(-+=x e x f x，则)(x f 在区间[0,1]上连续，且012010)0(0<-=-⨯+=e f ，082110)1(1>+=-⨯+=e e f ，即0)1()0(<⋅f f ，由连续函数的介值定理知，)(x f 在区间[0,1]上至少有一个零点.又010)('>+=x e x f ，即)(x f 在区间[0,1]上是单调的，故)(x f 在区间[0,1]内有唯一实根.由二分法的误差估计式211*1021212||-++⨯=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到1002≥k .两端取自然对数得6438.63219.322ln 10ln 2=⨯≈≥k ，因此取7=k ，即至少需二分0.2误差1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值7.21=x ，71.22=x ，x 2=2.71，718.23=x 各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。
【解】有效数字：因为11102105.001828.0||-⨯=<=- x e ，所以7.21=x 有两位有效数字； 因为12102105.000828.0||-⨯=<=- x e ，所以71.22=x 亦有两位有效数字；因为3310210005.000028.0||-⨯=<=- x e ，所以718.23=x 有四位有效数字；%85.17.205.0||111=<-=x x e r ε； %85.171.205.0||222=<-=x x e r ε； %0184.0718.20005.0||333=<-=x x e r ε。
数值分析简明教程(第二版)课后习题答案
0.1算法1、 （p.11，题1）用二分法求方程013=--x x 在[1,2]内的近似根，要求误差不超过10-3.【解】 由二分法的误差估计式311*10212||-++=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到100021≥+k .两端取自然对数得96.812ln 10ln 3≈-≥k ，因此取9=k ，即至少需2、（p.11，题2） 证明方程210)(-+=x e x f x在区间[0,1]内有唯一个实根；使用二分法求这一实根，要求误差不超过21021-⨯。
【解】 由于210)(-+=x e x f x ，则)(x f 在区间[0,1]上连续，且012010)0(0<-=-⨯+=e f ，082110)1(1>+=-⨯+=e e f ，即0)1()0(<⋅f f ，由连续函数的介值定理知，)(x f 在区间[0,1]上至少有一个零点.又010)('>+=x e x f ，即)(x f 在区间[0,1]上是单调的，故)(x f 在区间[0,1]内有唯一实根.由二分法的误差估计式211*1021212||-++⨯=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到1002≥k .两端取自然对数得6438.63219.322ln 10ln 2=⨯≈≥k ，因此取7=k ，即至少需二分0.2误差1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值7.21=x ，71.22=x ，x 2=2.71，718.23=x 各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。
【解】有效数字：因为11102105.001828.0||-⨯=<=- x e ，所以7.21=x 有两位有效数字； 因为12102105.000828.0||-⨯=<=- x e ，所以71.22=x 亦有两位有效数字；因为3310210005.000028.0||-⨯=<=- x e ，所以718.23=x 有四位有效数字；%85.17.205.0||111=<-=x x e r ε； %85.171.205.0||222=<-=x x e r ε； %0184.0718.20005.0||333=<-=x x e r ε。
数值分析简明教程课后习题答案
比较详细的数值分析课后习题答案0.1算法1、 （p.11，题1）用二分法求方程013=--x x 在[1,2]内的近似根，要求误差不超过10-3.【解】 由二分法的误差估计式311*10212||-++=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到100021≥+k .两端取自然对数得96.812ln 10ln 3≈-≥k ，因此取9=k ，即至少需2、（p.11，题2） 证明方程210)(-+=x e x f x 在区间[0,1]内有唯一个实根；使用二分法求这一实根，要求误差不超过21021-⨯。
【解】 由于210)(-+=x e x f x，则)(x f 在区间[0,1]上连续，且012010)0(0<-=-⨯+=e f ，082110)1(1>+=-⨯+=e e f ，即0)1()0(<⋅f f ，由连续函数的介值定理知，)(x f 在区间[0,1]上至少有一个零点.又010)('>+=x e x f ，即)(x f 在区间[0,1]上是单调的，故)(x f 在区间[0,1]内有唯一实根.由二分法的误差估计式211*1021212||-++⨯=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到1002≥k .两端取自然对数得6438.63219.322ln 10ln 2=⨯≈≥k ，因此取7=k ，即至少需二分0.2误差1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值7.21=x ，71.22=x ，x 2=2.71，718.23=x 各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。
【解】有效数字：因为11102105.001828.0||-⨯=<=-K x e ，所以7.21=x 有两位有效数字； 因为12102105.000828.0||-⨯=<=-K x e ，所以71.22=x 亦有两位有效数字；因为3310210005.000028.0||-⨯=<=-K x e ，所以718.23=x 有四位有效数字；%85.17.205.0||111=<-=x x e r ε； %85.171.205.0||222=<-=x x e r ε； %0184.0718.20005.0||333=<-=x x e r ε。
数值分析简明教程(第二版)课后习题答案
数值分析简明教程(第二版)课后习题答案0.1算法1、 （p.11，题1）用二分法求方程013=--x x 在[1,2]内的近似根，要求误差不超过10-3.【解】 由二分法的误差估计式311*10212||-++=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到100021≥+k .两端取自然对数得96.812ln 10ln 3≈-≥k ，因此取9=k ，即至少需2、（p.11，题2） 证明方程210)(-+=x ex f x在区间[0,1]内有唯一个实根；使用二分法求这一实根，要求误差不超过21021-⨯。
【解】 由于210)(-+=x e x f x ，则)(x f 在区间[0,1]上连续，且012010)0(0<-=-⨯+=e f ，082110)1(1>+=-⨯+=e e f ，即0)1()0(<⋅f f ，由连续函数的介值定理知，)(x f 在区间[0,1]上至少有一个零点.又010)('>+=x e x f ，即)(x f 在区间[0,1]上是单调的，故)(x f 在区间[0,1]内有唯一实根.由二分法的误差估计式211*1021212||-++⨯=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到1002≥k .两端取自然对数得6438.63219.322ln 10ln 2=⨯≈≥k ，因此取7=k ，即至少需二分0.2误差1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值7.21=x，71.22=x，x 2=2.71，718.23=x各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。
【解】有效数字：因为11102105.001828.0||-⨯=<=-K xe ，所以7.21=x有两位有效数字； 因为12102105.000828.0||-⨯=<=-K xe ，所以71.22=x亦有两位有效数字； 因为3310210005.000028.0||-⨯=<=-K xe ，所以718.23=x有四位有效数字；%85.17.205.0||111=<-=x x e r ε； %85.171.205.0||222=<-=x x e r ε； %0184.0718.20005.0||333=<-=x x e r ε。
《数值分析简明教程》第二版(王能超 编著)课后习题答案 高等教育出版社
0.1算法1、 （p.11，题1）用二分法求方程013=--x x 在[1,2]内的近似根，要求误差不超过10-3.【解】 由二分法的误差估计式311*10212||-++=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到100021≥+k .两端取自然对数得96.812ln 10ln 3≈-≥k ，因此取9=k ，即至少需2、（p.11，题2） 证明方程210)(-+=x e x f x在区间[0,1]内有唯一个实根；使用二分法求这一实根，要求误差不超过21021-⨯。
【解】 由于210)(-+=x e x f x ，则)(x f 在区间[0,1]上连续，且012010)0(0<-=-⨯+=e f ，082110)1(1>+=-⨯+=e e f ，即0)1()0(<⋅f f ，由连续函数的介值定理知，)(x f 在区间[0,1]上至少有一个零点.又010)('>+=x e x f ，即)(x f 在区间[0,1]上是单调的，故)(x f 在区间[0,1]内有唯一实根.由二分法的误差估计式211*1021212||-++⨯=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到1002≥k .两端取自然对数得6438.63219.322ln 10ln 2=⨯≈≥k ，因此取7=k ，即至少需二分0.2误差1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值7.21=x ，71.22=x ，x 2=2.71，718.23=x 各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。
【解】有效数字：因为11102105.001828.0||-⨯=<=-K x e ，所以7.21=x 有两位有效数字； 因为12102105.000828.0||-⨯=<=-K x e ，所以71.22=x 亦有两位有效数字；因为3310210005.000028.0||-⨯=<=-K x e ，所以718.23=x 有四位有效数字；%85.17.205.0||111=<-=x x e r ε； %85.171.205.0||222=<-=x x e r ε； %0184.0718.20005.0||333=<-=x x e r ε。
《数值分析简明教程》第二版(王能超 编著)课后习题答案 高等教育出版社
0.1算法1、 （p.11，题1）用二分法求方程013=--x x 在[1,2]内的近似根，要求误差不超过10-3.【解】 由二分法的误差估计式311*10212||-++=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到100021≥+k .两端取自然对数得96.812ln 10ln 3≈-≥k ，因此取9=k ，即至少需2、（p.11，题2） 证明方程210)(-+=x e x f x 在区间[0,1]内有唯一个实根；使用二分法求这一实根，要求误差不超过21021-⨯。
【解】 由于210)(-+=x e x f x ，则)(x f 在区间[0,1]上连续，且012010)0(0<-=-⨯+=e f ，082110)1(1>+=-⨯+=e e f ，即0)1()0(<⋅f f ，由连续函数的介值定理知，)(x f 在区间[0,1]上至少有一个零点.又010)('>+=x e x f ，即)(x f 在区间[0,1]上是单调的，故)(x f 在区间[0,1]内有唯一实根.由二分法的误差估计式211*1021212||-++⨯=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到1002≥k .两端取自然对数得6438.63219.322ln 10ln 2=⨯≈≥k ，因此取7=k ，即至少需二分0.2误差1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值7.21=x ，71.22=x ，x 2=2.71，718.23=x 各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。
【解】有效数字：因为11102105.001828.0||-⨯=<=- x e ，所以7.21=x 有两位有效数字； 因为12102105.000828.0||-⨯=<=- x e ，所以71.22=x 亦有两位有效数字；因为3310210005.000028.0||-⨯=<=- x e ，所以718.23=x 有四位有效数字；%85.17.205.0||111=<-=x x e r ε； %85.171.205.0||222=<-=x x e r ε； %0184.0718.20005.0||333=<-=x x e r ε。
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如果
r
很小，就认为解
x
x
是相当准确的。
定理：设
是方程组 Ax = b 的一个近似解，
*
其精确解为 x 则有：
* x − x
，
(A)
r
r b
为
x
的余量，
x
*
≤ cond
11
证明： 由于， A x* = b, A( x* − x ) = r 故有 即 而
b = A x* ≤ A x*
5
此时b的相对误差大约只有 ，但解的相对误 差却很大，故A也是病态矩阵. 那么如何判断A是否病态? 二、条件数 定义2 定义2： 设
.
是非奇异的，‖·‖为矩阵的
（5）
任一种从属范数，则 称为矩阵A的条件数。
从定义看到矩阵条件数依赖于范数的选取，如 范数为2-范数，则记为
6
假设δA 足够小，使成立 由上式得： 故有
δx
x ≤ A 1 −
A
− 1
−1
δA < 1
δA −1 δA A
（7）
9
综合(6)与(7)的结果可知，不管是系数矩阵 存在扰动，还是右端项存在扰动，方程组解的误 差都与条件数 有关。
10
三、精度分析 求得方程组 Ax = b 的一个近似解 x 以后，自然 希望判断其精度。检验精度的一个简单办法是， 将近似解 x 再回代到原方程组去求出余量 r ：
，于是
，
，故得
（6）
（2）再研究A有扰动 δA 时，则扰动方程为
8
因Ax=b,故有 Aδx + δA( x + δx ) = 0 因 存在，所以 δx = − A−1 δA( x + δx )
从而有： δ x = A − 1 δ A ( x + δ x )
≤ A−1 δA ( x + δx )
（1）
和
x1 + x 2 = 2 x1 + 1.0001 x 2 = 2
（2）
2
上述两个方程组尽管只是右端项有微小的差 别，但两者的解却大不相同：方程组（1）的解 是 x1 = x2 = 1 ，而方程组（2）的解则为 x1 = 2, x2 = 0 。 例2. 方程组
2 x1 + 6 x 2 = 8 2 x1 + 6.0001 x 2 = 8.0001
（3）
和
2 x1 + 6 x 2 = 8 2 x1 + 5.9999 x 2 = 8.0002
（4）
3
方程组（3）的解是 x1 = x2 = 1 ，而方程组（4） 的解则为 x1 = 10, x2 = −2。 这种由于A,b的微小扰动而引起解 x 的很大 变化的方程组 Ax = b ，就称为病态方程组。 定义1 :求解线性方程组Ax=b时，若A或b有微小 扰动 δA 或 δb 时，解x的误差 δX 很大，则称此方 程组为病态方程组，相应的系数矩阵A称为病态 矩阵.反之，若此 δX 时很小，则称方程组为良态 方程组，矩阵A为良态矩阵.
4
注意: 方程组是否病态与用什么数值方法无关， 它是由方程组自身性质决定的。有时系数矩阵A 从表面上看性质很好，也可能是病态的。 例3. 方程组Ax=b表示为
它的准确解 则解变为
T * x = (1 ,1 ,1 ,1 )
，A对称正定且表面看性质“较
好”，但若对右端作微小变化 b + δb = (32.1,22.9,33.1,30.9)T
同理有
，等等。
条件数有以下性质： (1) (2) (3) U为正交矩阵，则
.
； ；
(4) 若 则
与 为A的按模最大与最小ห้องสมุดไป่ตู้征值，
若A对称，则
7
下面给出扰动方程组解的误差分析。 （1）先考察b有扰动 δb ，则扰动方程为
由于Ax=b,故得 再由Ax=b,有 即
第六章 解线性方程组的直接法
§ 6.4 误差分析
一、病态方程组 在建立方程组时，其系数往往含有误差 （观测误差或计算误差），就是说，所要求解 的通常是有扰动的方程组，因此必须研究该扰 动对解的影响。 例1. 考察方程组
x1 + x 2 = 2 x1 + 1.0001 x 2 = 2.0001
x ≥
*
b A
* −1 −1 x −x = A r ≤ A r
由上两式有：
* x − x
x
*
≤ cond
(A)
r b
12
值得注意的是：
用余量的大小检验近似解精度的方法 对于病态方程组是不可靠的。（如例1）
13