数值分析考试题
昆明理工大学—数值分析各年考试题及答案
昆明理工大学数值分析考试题（07）一．填空（每空3分，共30分）1． 设A 0.231x =是真值0.229T x =的近似值，则Ax 有 位有效数字。
2． 若74()631f x x x x =+++，则017[2,2,...2]f = ，018[2,2,...2]f = 。
3． A=1031⎡⎤⎢⎥-⎣⎦,则1A = ；A ∞= ；2A =2()cond A = 。
4． 求方程()x f x =根的牛顿迭代格式是 。
5．设105%x =±，则求函数()f x =的相对误差限为 。
6．A=2101202a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,为使其可分解为TL L （L 为下三角阵，主对角线元素>0），a 的取值范围应为 。
7．用最小二乘法拟合三点A(0,1),B(1,3),C(2,2)的直线是 。
（注意：以上填空题答案标明题号答在答题纸上，答在试卷上的不给予评分。
）二．推导与计算（一）对下表构造f(x)的不超过3次的插值多项式，并建立插值误差公式。
（12分）（二）已知()x x =Φ和()x 'Φ满足∣()x 'Φ-3∣<1。
请利用()x Φ构造一个收敛的简单迭代函数()x ψ，使1(),0,1,......k k x x k +=ψ=收敛。
（8分）（三）利用复化梯形公式计算21x I e dx -=⎰，使其误差限为60.510-⨯，应将区间[0，1]等份。
（8分）（四）设A= 1001005a b b a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，detA ≠0，推导用a ，b 表示解方程组AX=f 的Seidel(G-S) 迭代法收敛的充分必要条件。
（10分）（五）确定节点及系数，建立如下 GAUSS 型求积公式111220()()dx A f x A f x ≈+⎰。
（10分）（六）对微分方程初值问题'00(,)()y f x y y x y ⎧=⎨=⎩（１） 用数值积分法推导如下数值算法：1111(4)3n n n n n hy y f f f +-+-=+++，其中(,)i i i f f x y =，(1,,1)i n n n =-+。
数值分析试题集
..数值分析试题集（试卷一）一（ 10 分）已知 x 1* 1.3409 ，x 2* 1.0125 都是由四舍五入产生的近似值， 判断 x 1*x 2* 及 x 1* x 2*有几位有效数字。
二（ 10 分）由下表求插值多项式x 01 2 y2 34 y1－ 1三（ 15 分）设 f ( x)C 4 [a,b] ， H （ x ）是满足下列条件的三次多项式H (a) f (a) , H (b) f (b) , H (c)f (c) , H (c) f (c)( a c b )求 f (x)H ( x) ，并证明之。
12四（ 15 分）计算13 dx ，10 2。
x五（ 15 分）在 [0，2]上取 x 0 0 , x 1 1 , x 22 ，用二种方法构造求积公式，并给出其公式的代数精度。
六（ 10 分）证明改进的尢拉法的精度是 2 阶的。
七（ 10 分）对模型 yy , 0 ，讨论改进的尢拉法的稳定性。
八（ 15分）求方程 x 34x 2 7x 1 0 在 -1.2 附近的近似值，10 3。
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------（试卷二）一填空（ 4*2 分）1 {k ( x) } k 0 是区间 [0， 1]上的权函数为( x) x 2 的最高项系数为 1 的正交多项式族，其中10 (x)1，则x0 ( x) dx ------------------- ， 1 ( x) ------------------。
2 12 A，则 A1 4----------- ，( A) ----------------- 。
a 1 2 时， A 可作 LU 分解。
3 设 A，当 a 满足条件 ---------------- 14..4 设非线性方程 f ( x) (x33x23x1)( x 3) 0 ，其根 x1* 3 ， x2*1，则求 x1* 的近似值时，二阶局部收敛的牛顿迭代公式是--------------------------- 。
数值分析期末考试题
数值分析期末考试题一、选择题1. 在数值分析中，用于求解线性方程组的雅可比方法属于以下哪种迭代法？A. 直接迭代法B. 间接迭代法C. 外推法D. 松弛法2. 插值法中，拉格朗日插值多项式的主要特点是？A. 适用于多项式插值B. 适用于函数值已知的情况C. 只适用于单点插值D. 适用于分段插值3. 在数值积分中，辛普森法则是一种？A. 单区间求积公式B. 双区间求积公式C. 三区间求积公式D. 多区间求积公式4. 误差分析中，截断误差通常与以下哪个概念相关？A. 舍入误差B. 舍入误差的补偿C. 条件数D. 病态条件5. 非线性方程求解中，牛顿法的收敛速度通常？A. 较慢B. 较快C. 与初始值有关D. 与方程的性质有关二、填空题1. 在求解三对角线性方程组时，托马斯算法是一种________方法。
2. 多项式插值中，牛顿插值多项式可以通过________法来构建。
3. 数值积分中，高斯求积法是一种________方法。
4. 误差传递的估计通常通过________公式来进行。
5. 非线性方程的求解中，二分法是一种________方法。
三、简答题1. 请简述数值分析中的条件数概念及其在解方程中的应用。
2. 描述线性方程组迭代法中的收敛性判断方法，并给出收敛域的计算公式。
3. 解释插值和拟合的区别，并举例说明各自的应用场景。
4. 阐述数值积分中梯形法则的原理及其误差估计方法。
5. 讨论非线性方程求解中不动点理论和收敛性的关系。
四、计算题1. 给定线性方程组如下，请使用高斯消元法求解未知数x、y、z的值： \[\begin{cases}2x + y + z = 6 \\x + 3y + 2z = 11 \\3x + y + 4z = 17\end{cases}\]2. 假设有一个函数f(x) = sin(x)，给定插值节点如下，请使用拉格朗日插值法构造一个三次插值多项式，并计算在x=π/4处的插值误差。
昆明理工大学—数值分析各年考试题及答案
昆明理⼯⼤学—数值分析各年考试题及答案昆明理⼯⼤学数值分析考试题（07）⼀．填空（每空3分，共30分）1．设A 0.231x =是真值0.229T x =的近似值，则Ax 有位有效数字。
2．若74()631f x x x x =+++，则017[2,2,...2]f = ，018[2,2,...2]f = 。
3． A=1031??-,则1A = ；A ∞= ；2A =2()cond A = 。
4．求⽅程()x f x =根的⽜顿迭代格式是。
5．设105%x =±，则求函数()f x =的相对误差限为。
6．A=2101202a a ?? ? ? ???,为使其可分解为TL L g （L 为下三⾓阵，主对⾓线元素>0），a 的取值范围应为。
7．⽤最⼩⼆乘法拟合三点A(0,1),B(1,3),C(2,2)的直线是。
（注意：以上填空题答案标明题号答在答题纸上，答在试卷上的不给予评分。
）⼆．推导与计算（⼀）对下表构造f(x)的不超过3次的插值多项式，并建⽴插值误差公式。
（12分）（⼆）已知()x x =Φ和()x 'Φ满⾜∣()x 'Φ-3∣<1。
请利⽤()x Φ构造⼀个收敛的简单迭代函数()x ψ，使1(),0,1,......k k x x k +=ψ=收敛。
（8分）（三）利⽤复化梯形公式计算21x I e dx -=?，使其误差限为60.510-?，应将区间[0，1]等份。
（8分）（四）设A= 1001005a b b a，detA ≠0，推导⽤a ，b 表⽰解⽅程组AX=f 的Seidel(G-S) 迭代法收敛的充分必要条件。
（10分）（五）确定节点及系数，建⽴如下 GAUSS 型求积公式111220()()dx A f x A f x ≈+?。
（10分）（六）对微分⽅程初值问题'00(,)()y f x y y x y ?=?=?（１）⽤数值积分法推导如下数值算法：1111(4)3n n n n n hy y f f f +-+-=+++，其中(,)i i i f f x y =，(1,,1)i n n n =-+。
数值分析试卷及答案
数值分析试卷及答案数值分析试卷一、选择题（共10题，每题2分，共计20分）1. 数值分析的研究内容主要包括以下哪几个方面？A. 数值计算方法B. 数值误差C. 数值软件D. 数学分析答：A、B、C2. 下列哪种方法不属于数值积分的基本方法？A. 插值法B. 微积分基本公式C. 数值微积分D. 数值积分公式答：A3. 数值积分的目的是求解什么？A. 函数的导数B. 函数的原函数C. 函数的极值D. 函数的积分答：D4. 数值微分的目的是求解什么？A. 函数的导数B. 函数的原函数C. 函数的极值D. 函数的积分答：A5. 数值微分的基本方法有哪几种？A. 前向差分B. 后向差分C. 中心差分D. 插值法答：A、B、C6. 用数值方法求解方程的基本方法有哪几种？A. 迭代法B. 曲线拟合法C. 插值法D. 数值积分法答：A、B、C7. 用迭代法求方程的根时，当迭代结果满足何条件时可停止迭代？A. 当迭代结果开始发散B. 当迭代结果接近真实解C. 当迭代次数超过一定阈值D. 当迭代结果在一定范围内波动答：B8. 下列哪种插值方法能够确保经过所有给定数据点？A. 拉格朗日插值B. 牛顿插值C. 三次样条插值D. 二次插值答：A、B、C9. 数值解线性方程组的基本方法有哪几种？A. 直接法B. 迭代法C. 插值法D. 拟合法答：A、B10. 下列哪种方程求解方法适用于非线性方程？A. 直接法B. 迭代法C. 插值法D. 曲线拟合法答：B二、填空题（共5题，每题4分，共计20分）1. 数值积分的基本公式是_________。
答：牛顿-科特斯公式2. 数值微分的基本公式是_________。
答：中心差分公式3. 数值积分的误差分为_________误差和_________误差。
答：截断、舍入4. 用插值法求解函数值时，通常采用_________插值。
答：拉格朗日5. 数值解线性方程组的常用迭代法有_________方法和_________方法。
数值分析试题
数值分析考试题一、 填空题(每小题3分，共15分) 1.已知x =62.1341是由准确数a 经四舍五入得到的a 的近似值，试给出x 的绝对 误差界_______________.2. 已知矩阵1221A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则A 的奇异值为 _________. 3. 设x 和y 的相对误差均为0.001，则xy 的相对误差约为____________. 4. 424()53,,()_____.i i f x xx x i f x =+-∆=若=则5. 下面Matlab 程序所描述的数学表达式为________________________.a =[10,3,4,6];t=1/(x -1);n=length(a )();1:1:1*();y a n for k n y t y a k end==--=+二、(10分)设32()()f x x a =-。
（1）写出解()0f x =的Newton 迭代格式；（2）证明此迭代格式是线性收敛的。
三、 (15分)已知矛盾方程组Ax=b ，其中21110,1101211A b ⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎣⎦，（1）用Householder 方法求矩阵A 的正交分解，即A=QR 。
（2）用此正交分解求矛盾方程组Ax=b 的最小二乘解。
四、(15分) 给出数据点：012343961215i i x y =⎧⎨=⎩（1）用1234,,,x x x x 构造三次Newton 插值多项式3()N x ，并计算 1.5x =的近似值3(1.5)N 。
（2）用事后误差估计方法估计3(1.5)N 的误差。
五、(15分)（1）设012{(),(),()}ϕϕϕx x x 是定义于[-1，1]上关于权函数2()x x ρ=的首项系数为1的正交多项式组，若已知01()1,()x x x ϕϕ==，试求出2()x ϕ。
（2）利用正交多项式组012{(),(),()}ϕϕϕx x x ，求()f x x =在11[,]22-上的二次最佳平方逼近多项式。
数值分析考试卷及详细答案解答
数值分析考试卷及详细答案解答姓名班级学号⼀、选择题1.()2534F,,,-表⽰多少个机器数(C ).A 64B 129C 257D 2562. 以下误差公式不正确的是( D)A ．()()()1212x *x *x *x *εεε-≈+B ．()()()1212x *x *x *x *εεε+≈+C ．()()()122112x *x *x *x *x x *εεε?≈+ D ．()()()1212x */x *x *x *εεε≈-3. 设)61a =, 从算法设计原则上定性判断如下在数学上等价的表达式，哪⼀个在数值计算上将给出a 较好的近似值？(D )A6)12(1+ B 27099- C 3)223(- D3)223(1+4. ⼀个30阶线性⽅程组, 若⽤Crammer 法则来求解, 则有多少次乘法? ( A )A 31×29×30!B 30×30×30!C 31×30×31!D 31×29×29!5. ⽤⼀把有毫⽶的刻度的⽶尺来测量桌⼦的长度, 读出的长度1235mm, 桌⼦的精确长度记为（ D ）A 1235mmB 1235-0.5mmC 1235+0.5mmD 1235±0.5mm⼆、填空1.构造数值算法的基本思想是近似替代、离散化、递推化。
2.⼗进制123.3转换成⼆进制为1111011.01001。
3.⼆进制110010.1001转换成⼗进制为 50.5625 。
4. ⼆进制0101.转换成⼗进制为57。
5.已知近似数x*有两位有效数字，则其相对误差限 5% 。
6. ln2=0.69314718…，精确到310-的近似值是 0.693 。
7.31415926x .π==，则131416*x .=，23141*x .=的有效数位分别为5 和3 。
8.设200108030x*.,y*.==-是由精确值x y 和经四舍五⼊得到的近似值，则x*y*+的误差限 0.55×10-3 。
数值分析期末考试题及答案
数值分析期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 在数值分析中，下列哪个算法用于求解线性方程组？A. 牛顿法B. 高斯消元法C. 插值法D. 傅里叶变换答案：B2. 以下哪个选项不是数值分析中的误差类型？A. 舍入误差B. 截断误差C. 测量误差D. 累积误差答案：C3. 多项式插值中，拉格朗日插值法的特点是：A. 插值点必须等距分布B. 插值多项式的次数与插值点的个数相同C. 插值多项式是唯一的D. 插值多项式在插值点处的值都为1答案：B4. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解非线性方程？A. 辛普森法则B. 牛顿迭代法C. 欧拉法D. 龙格-库塔法答案：B5. 以下哪个是数值稳定性的指标？A. 收敛性B. 收敛速度C. 条件数D. 误差传播答案：C二、简答题（每题10分，共20分）1. 简述高斯消元法求解线性方程组的基本原理。
答案：高斯消元法是一种直接解法，通过行变换将增广矩阵转换为上三角形式，然后通过回代求解线性方程组。
它包括三个基本操作：行交换、行乘以非零常数、行相加。
2. 解释什么是数值稳定性，并举例说明。
答案：数值稳定性是指数值解对输入数据小的扰动不敏感的性质。
例如，某些数值方法在计算过程中可能会放大舍入误差，导致结果不可靠，这样的方法就被认为是数值不稳定的。
三、计算题（每题15分，共30分）1. 给定线性方程组：\[\begin{align*}x + 2y - z &= 4 \\3x - y + 2z &= 1 \\-x + y + z &= 2\end{align*}\]使用高斯消元法求解该方程组，并给出解。
答案：首先将增广矩阵转换为上三角形式，然后回代求解，得到\( x = 1, y = 2, z = 1 \)。
2. 给定函数 \( f(x) = x^2 - 3x + 2 \)，使用拉格朗日插值法在\( x = 0, 1, 2 \) 处插值，并求出插值多项式。
数值分析试题及答案
数值分析试题一、 填空题（2 0×2′）1.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=32,1223X A 设x =0.231是精确值x *=0.229的近似值，则x 有 2 位有效数字。
2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ，f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。
3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____，‖AX ‖∞≤_15_ __。
4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满足 |?’(x )| <1 ，则使用该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。
5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。
6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。
7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=ni i x a 0)( 1 ；所以当系数a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。
8. 要使20的近似值的相对误差小于0.1%，至少要取 4 位有效数字。
9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 ?(B)<1 。
10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。
11.牛顿下山法的下山条件为|f(xn+1)|<|f(xn)| 。
12.线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i (i=0,1,…,n)来实现的，其中的残差r i＝(b i-a i1x1-a i2x2-…-a in x n)/a ii，(i=0,1,…,n)。
数值分析期末考试题之经典例题
题型一:有效数字1,确定113的首位数字x 1,要使113的近似值x *的相对误差不超过0.5×10-5，至少要保留几位有效数字.(2010-2011)1*1151211||10100.5102226n n r x n e x n ---=≤⨯=⨯≤⨯⨯≥=解答：设至少要保留位有效数字，则有解得， n 5.7取位有效数字.2，要使112的相对误差不超过0.5×10-4，至少要保留几位有效数字?(2009-2010) 3,已知21.787654为有效数，确定其绝对误差界与相对误差界.(2007-2008)*6*118711||102111||1010102224n r e e x ----=⨯=⨯=⨯=⨯⨯解答：4,已知30.49876为有效数，确定其绝对误差界.(2006-2007B)5,设有效数x=12.4567,确定x 的绝对误差界.(2004-2005)题型二：插值多项式1,已知f(x)的函数值：f(0)=-2, f(1)=1, f(2)=5, 用反插值法求f(x)=0在[0，2]内的近似根x *.(2010-2011)11111202012012010210122021()()()()()()()()()()()()()()()()()(2)(5)(2)(1)012(12)(15)(52)(51)2991422884y y y y y y y y y y y y y L y f y f y f y y y y y y y y y y y y y y y y y y ----------=⋅+⋅+⋅------+-+-=+⨯+⨯+-+-=+-解答：对y=f(x)的反函数x=f 进行二次插值2*229(0)42y x L ≈=故，2,已知f(x)的如下函数值及导数值：f(-1)=1, f(0)=2, f ’(0)=3, f(1)=7; (1),建立不超过3次的埃尔米特插值多项式H 3(x);(2),x ∈[-1,1], 确定用H 3(x)代替f(x)的误差界（已知|f (4)(x)|≤M 4，x ∈[-1,1]).(2010-2011)32001001201232233)),(0,1,2)()()[,]()[,,]()()1(1)2(1)(0)232()()(1)(0)(1)232()'(i i H x f x i N x f x f x x x x f x x x x x x x x x x x x H x N x k x x x x x k x x H ===+-+--=++++-=++=++--=+++-解答：(1),满足插值条件（（的二次插值多项式为：也可用拉格朗日插值法满足题设插值条件的插值多项式为：2323(4)23443)43(31)'(0)'(0)3()232()(2),(1)(0)(1),(1,1)4!1||=4!496x x k x H f H x x x f R x x x M M R ζζ=++-===+++--∈-≤⨯由得：k=0故：误差（x)=则误差界（x)3,已知f(x)的函数值：f(0)=2, f(1)=4, f(2)=9, 写出二次拉格朗日插值多项式及余项.(2009-2010) 4,已知f(x)的如下函数值及导数值：f(1)=1, f(2)=2, f ’(1)=3, f(3)=9; (1),建立不超过3次的埃尔米特插值多项式；(2)计算f(1.6)的近似值；若M 4=0.5，估计f(1.6)的误差界.(已知|f (4)(x)|≤M 4).(2009-2010)5,写出满足条件H(0)=1, H(1)=0, H ’(1)=1, H(2)=1的三次插值多项式，并给出误差估计式.(2008-2009B)6,已知一组数据，求函数f(x)=0的根.(2008-2009B)x i -1 0 2 3 f(x i )-7-1177,已知f(x)的如下函数值及导数值：f(0)=1, f(1)=3, f ’(1)=1, f(2)=9, (1),建立不超过3次的埃尔米特插值多项式，写出误差估计式；(2),计算f(1.8)的近似值：若M 4=1，估计f(1.8)的误差界.(已知|f (4)(x)|≤M 4).(2007-2008) 8,已知f(x)的如下函数值及导数值：f(1)=2, f(2)=4, f ’(2)=5, f(3)=8, (1),建立不超过3次的埃尔米特插值多项式；(2),计算f(2.5)的近似值：若M 4=0.5,估计f(2.5)的误差界.(已知|f (4)(x)|≤M 4).(2006-2007） 9,已知f(x)的如下函数值表x i 0.1 0.2 0.3 0.4 f(x i )1.122.652.811.68选取合适的插值节点，用二次插值多项式计算f(0.35)的近似值.(2005-2006) 10,已知f(x)=sinx 的如下函数值表x i 1.0 1.5 2.0 sinx i0.84150.99750.9093用插值多项式计算sin1.8, 并估计误差界.(2004-2005)11,用f(x)的关于互异节点集112{}{}n ni i i i x x -==和的插值多项式g(x)和h(x)构造出关于节点集1{}ni i x =的插值多项式.(2005-2006)（课后习题）-11111121111{}(),()(){}(),()()()()))()())]()n n i i i i n n n n n n n n n n n n n n q x q x g x x x x x x x x x g A x x g x ==------=----=-解答：法一：设关于节点集x 的插值多项式为则与有共同插值节点x ，则设：q(x)=g(x)+Aw w f(x (x )由q(x )=f(x 得，w w 故：q(x)=g(x)+[f(x (x )w 法二：设q(x)=g(x)+1-122311111()()(){}()()()()(),01()=()[()()]()[()()]()()()()()()[()()]=-n n i i n n n n n n n n n n x g x h x B g x h x B x x x x x x B x x x g x h x BAx x g x h x Bq x f x h x Ah x g x x x g x h x BA B -=---=---≠----===+--Aw 由于和有共同插值节点x ，则存在常数，使得则，w 故：q(x)=g(x)+由得得1111()[()()]()n n x x x x h x g x x x ----则：q(x)=g(x)+12,(1),已知f(x)的如下函数值：f(0)=1,f(1)=3,f(3)=5,写出二次拉格朗日插值多项式L 2(x); (2),若同时已知：f ’(1)=1,用待定系数法求埃尔米特插值多项式H 3(x)； (3),当(3)(4)1|()|2|()|4,[0,3]fx fx x ≤≤≤≤∈及3时，x 不取节点，[0,3]x ∈，求32()()||()()f x H x f x L x --的上界.(2011-2012)题型三：最佳平方逼近多项式及最小二乘法1,已知函数值表：x -2 -1 0 1 2 y121用二次多项式y=C 0+C 1X+C 2X 2按最小二乘法拟合改组数据,并求平方逼近误差.(2010-2011)（2005-2006）()000102030410111213142021222324012()()()()()11111()()()()()21012()()()()()4101401210,5010010010034T T T T x x x x x A x x x x x x x x x x y A AC A y c c c ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==-- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==⎛⎫⎛ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝解答：法一：线性拟合的法方程组为：即()()01222*20000100011402583,0,3575833570581358||||=(y,y)-Y 01210402023531701(,)0,(,)(T c c y x C x xx δϕϕϕαϕαϕϕϕα⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭===-=-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭====解得:c 则平方逼近误差：法二：构造首项系数为的正交多项式：（x)=1（x)=x-111211021100002*22022220,)0(,)(,)2,()()2(,)(,)46583()()0(2)(,)514357(,)8||||=(y,y)-(,)35i i i i i i i i i x x y x x x x y ϕϕϕϕϕβααϕβϕϕϕϕϕϕϕϕϕδϕϕ======----==++-=-=∑∑（x)（x)=x 则,平方逼近误差：2,求21()1f x x=+在区间[0,1]上的一次最佳平方逼近多项式及平方逼近误差（去权函数ρ(x)=x).(2009-2010) 3,通过实验获得以下数据：x i 0 1 2 3 y i13610请用最小二乘法求形如y=a+bx 2的经验公式.(2008-2009)T T A AC A y =解析：4,利用正交多项式的性质构造首项系数为1的正交多项式1{()}i i g x ∞=,有下列公式：010111()1()()()()(),(1,2,...)k k k k k g x g x x g x x g x g x k ααβ+--==-=--=其中：111(,),(0,1,2...)(,)(,),(1,2...)(,)k k k k k k k k k k xg g k g g g g k g g αβ---====(1),求[0,1]上首项系数为1的正交多项式（权函数ρ(x)=1),g 0(x),g 1(x),g 2(x)(2),以上述正交多项式为基，求sinx 在区间[0,1]上的二次最佳平方逼近多项式，并求平方逼近误差.(2008-2009B)(2004-2005)010000110001201111211021102110000*010001(1),()1(,)11,()(,)221()(,)121(,)2()2(,)11,()()()()(,)126(,)(,)(2),()(,)(g x xdx xg g g x x x g g dx x x dx xg g g g x dx g g g x x g x g x x x g g g f g f x g g g g αααβαβϕ=====-=--===-===--=-+=+⎰⎰⎰⎰解答：21212211120020111222000222*220(,),)(,)11()sin ()sin sin 11621()()1126()()260.00746 1.09130.23546(,)||||(,)0.000623.(,)i i i i g f g g g g g x x xdx x xdx xdx x x x dx x dx x x dx x x f g f f f g g ϕ=+-+-=⋅+⋅-+⋅-+--+=-+--=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑平方逼近误差：5,以正交多项式为基，求函数21()1f x x=+在区间[0,1]上的二次最佳平方逼近多项式，并求平方逼近误差.(2007-2008)(权函数ρ(x)=x,(2011-2012))20120122201201()1,(),(),111()2,()1,()2242211112234211113454111112224561.0656,0.503x x x x x f In f f In C F In c c c In ϕϕϕπϕϕϕπ=====-=-=⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⋅=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==-解答：法一：取解得，，，正规方程组为：H 即：解得：c c 2*222*00001000111110110002,0.07423() 1.06560.503020.07423=(f,f)-F 0.000029041()11(,)223,()1(,)332(,)8(,)1,(,)15(,)T n p x x x C g x xg g g x x x g g xg g g g g g g g δαααβ=-=--======-=-====c 故二次最佳平方逼近多项式：平方逼近误差：法二：构造首项系数为的正交多项式：221100*201220120011222*1882163()()()()()()15318510(,)(,)(,)()()()() 1.06560.503020.07423(,)(,)(,)=(f,f)-F 0.00002904T n g x x g x g x x x x x f g f g f g p x g x g x g x x x g g g g g g C αβδ=--=---=-+=++=--=则：平方逼近误差：6,通过实验获得以下数据：u i 0 1 9 16 v i11/21/31/4请用最小二乘法求形如011v c c u=+的经验公式，并求平方误差.(2006-2007)011:c c u v=+解答转化题型四：代数精确度1,确定参数α，使求积公式20()[(0)()]['(0)'()]2hhf x dx f f h h f f h α≈++-⎰的代数精确度尽可能高，并求其代数精确度.(2010-2011)23322442320()1,,()1(),=121()()(0)(03)2121()()0+)(04)212()[(0)()]['(0)'()]2h h h f x x f x f x x h f x x f x dx h h h h f x x f x dx h h h hf x dx f f h h f f h αα====++-=≠+-≈++-⎰⎰⎰解答：令显然成立令得又时：时：（故具有三次代数精确度.2,确定参数A 1，A 2，使求积公式12()()(0)()3hhhf x dx A f h A f f h -≈-++⎰的代数精确度尽可能高，并求其代数精确度.(2009-2010) 3,建立高斯型求积公式1211221()()()x f x dx A f x A f x -≈+⎰.(2009-2010)231212113112211224112211335112211212000010001,23025031,53()1(,)0,()(,)x A A x dx A x A x x dx A x A x x dx A x A x x dx x A A g x xg g g x x xg g ααα----+==+==+==+===-=-======-=⎰⎰⎰⎰解答：法一：已知求积公式有3次代数精确度，令f(x)=1,x,x 得解上述方程组得：x 法二：构造二次正交多项式11110110022110021211222112111221121(,)(,)30,(,)(,)53()()()()53()0,511,33133()[()()]355xg g g g g g g g g x x g x g x x g x x x x x x A x dx A x dx x x x x x f x dx f f βαβρ---=====--=-==-=---=⋅==⋅=--≈-+⎰⎰⎰令得高斯点： x 故高斯型求积公式为：方法三：设[-1,1]上权(x)2221221122122121122221122331122212121().223()0,+0,5352()0,0,053().52:3250()()(),(g x x ax b b x g x dx b a x xg x dx a g x x A A A x A x A x A x A x A x x x x x x x c x c x ϕϕ--=++===-⋅====-+=+=+=+==--=++⎰⎰=x ,首项系数为1的二次正交多项式为则有：即即所以剩下步骤同法二.法四显然222221122111122212211221112221222332211122211221112221122112)()0()()()()()()()2230,535()()()()()20,053(),5x A x A x A x c x c A x c x c A x A x c A x A x c A A c c A x x A x x A x A x c A x A x c A x A x c c x x ϕϕϕϕϕϕ==+=+++++=+++++=+==-+=+++++====-剩下步骤同法二.4,确定求积公式()()(0)()hhf x dx Af h Bf Cf h -≈-++⎰中的参数A,B,C ，使其代数精度尽量高，并指出其代数精确度.(2008-2009B) 5,确定求积公式1211123()()()()343234f x dx f f f ≈-+⎰的代数精确度.(2006-2007B) 6,确定下列求积公式中的参数，使求积公式的代数精确度尽可能高，并求出代数精确度10120113()()()()424f x dx A f A f A f ≈++⎰.(2005-2006)7,确定下列求积公式中的参数，使求积公式的代数精确度尽可能高，并求出代数精确度101()()(0)()hhf x dx A f h A f A f h --≈-++⎰.(2004-2005)8,已知h>0，建立高斯型求积公式：21122()()()hhx f x dx A f x A f x -≈+⎰.(2011-2012)题型五：求积公式的最少节点数1,设定积分32x e dx -⎰，问用复化辛普森(Simpson)求积公式进行计算，要求误差小于10-6，所需要的最少节点数为多少？(2010-2011)(4)2244(4)461(),()16301[]||()|101801801696017.0519.x xS f x e fx eb a h f h f h b ahη---==--=-≤⋅=<-=解答：复化辛普森公式截断误差：|R 解得：h<0.176,n>故应取个节点2,设定积分13x edx -⎰，问用复化梯形求积公式进行计算，要求误差小于10-6，所需要的最少节点数为多少？（2009-2010）(2)3322(2)261(),()9101[]||()|10121891622.8.x x T f x e f x e b a h f h f h b ahη---==--=-≤⋅=<-=解答：复化梯形公式截断误差：|R 解得：h<0.357,n>故应取4个节点3,给定积分2cos2xdx ⎰，问用复化梯形求积公式和复化辛普森(Simpson)求积公式进行计算，要求误差小于10-6，所需要的最少节点数各为多少？（注：2(2)4(4)[](),[](),[,]122880T S b a b a R f h f R f h f a b ηηη--=-=-∈）(2008-2009B) 4,给定积分14x edx -⎰，问用复化梯形求积公式和复化辛普森(Simpson)求积公式进行计算，要求误差小于10-6，所需要的最少节点数各为多少？（2007-2008） 5，给定积分21Inxdx ⎰，问用复化梯形求积公式和复化辛普森(Simpson)求积公式进行计算，要求误差小于10-6，所需要的最少节点数各为多少？ （已知：2(2)4(4)1212[](),[](),,(,)12180T S b a b a R f h f R f h f a b ηηηη--=-=-∈）（2006-2007） 6,用积分82122dx In x=⎰计算In2，要使所得近似值具有7位有效数字，问用复化辛普森求积公式至少需要取多少个节点？（2005-2006）4(4)8(4)52(4)-744(4)4-7[](),[2,8]18011122,(),()223|()|,[2,8]817[]102631[]||()|101801808802820.04472,S S S b a R f h f In dx f x f x x x xf x x R f b a h R f h f h h n hηηη-=-∈===≤∈≤⨯-=-≤⋅=≤⨯-≤≥=⎰解答：复化辛普森公式截断误差公式：则使所得的近似值具有位有效数字，即令：|134.2137故至少需要取个节点.7，用积分6213dx In x=⎰计算In3，要使所得近似值具有5位有效数字，问用复化梯形求积公式至少需要取多少个节点？（2004-2005） 8,对于定积分1()If x dx =⎰，当M 2=1/8,M 4=1/32,用11点的复化辛普森(Simpson)求积公式求I 的截断误差为R s [f],用n 个节点的复化梯形求积公式求I 的截断误差为R T [f],要使R T [f]≤R s [f]，n 至少是多少？（M 2=max|f ”(x)|,M 4=max|f (4)(x)|,[0,1]x ∈).(2011-2012)题型六：Doolittle 分解及方程组求解1,求矩阵212454635⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭的Doolittle 分解.(2010-2011) 212100212454210030635321001LU ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭解答：A=2,求矩阵114103241⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭的Doolittle 分解.(2009-2010) 3,设线性方程组123410135114152410162116x x x x ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⋅= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (1),对方程组的系数矩阵A 作Doolittle 分解；(2),用所得的Doolittle 分解求该线性方程组的解.(2007-2008&2005-2006)1234123410001013101311000132114124100013224101119162116210001313191,,,)(5,0,11,)13,,,)(1,1,1,1).T TT T A LU LY b y y y UX Y x x x --⎛⎫⎛⎫--⎛⎫ ⎪⎪- ⎪ ⎪⎪-⎪=== ⎪⎪--- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==---==--解答：由得：(y 由得：(x4,设线性方程组123411415101312410762118x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎪ ⎪⋅=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (1),对方程组的系数矩阵A 作Doolittle 分解；(2),用所得的Doolittle 分解求该线性方程组的解.(2006-2007)5,设线性方程组：12312312323153478113x x x x x x x x x ++=+-=-++=-(1),对方程组的系数矩阵A 作Doolittle 分解；(2),利用上述分解结果求解该线性方程组.(2004-2005)6,用高斯顺序消去法求解线性方程组：13241234242532431737x x x x x x x x x x +=+=+++=+=.(2010-2011)432110205102051020*******101301013=124317022312002160103701037000242,2,1, 1.x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭====解答：增广矩阵回代求解：x 7,用高斯顺序消去法求解线性方程组:1231231233472212320x x x x x x x x x -+=-+-=---=.(2009-2010)题型七：条件数及范数1,求线性方程组1212391078981510x x x x x --=+==的系数矩阵A 的条件数cond 1(A),并说明其含义.（2010-2011）1111191008900015910089010015()||||||||19193611A A cond A A A A b ----⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪-- ⎪= ⎪⎪⎪⎝⎭==⨯=解答：系数矩阵条件数远大于，这说明当和有小扰动时会引起解的较大误差，即该方程组是病态的.2,设矩阵15000910089A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭，求cond ∞(A).（2009-2010） 3,设三阶对称矩阵A 的特征值分别为：-2,1,3，求||A||2及cond 2(A).(2007-2008)222max max max 111-122-12max max max 1222||||()()()3||||(())()=()=1()|||||||| 3.T T A A A A A A A A A A cond A A A λλλλλλ----========解答：（）则：4,若n 元线性方程组Ax=b 为病态的，可以得到关于系数矩阵A 的什么性质.(2006-2007)5,若111123124A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,求cond 1(A).（2005-2006）求cond ∞(A).(2004-2005) 6,设1231032475A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭,求1||||||||A A ∞与.(2007-2008)7,若1234A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,求谱半径()A ρ.(2005-2006)5332ρ+解答：最大特征值：（A)=题型八：雅可比迭代与高斯-赛德尔迭代1，写出求解方程组1231231237321241021534818x x x x x x x x x -+=--=--=的雅可比迭代公式，并说明其收敛性.(2010-2011)(1)()()123(1)()()213(1)()()312(0)1(3212)71(4215)101(3418)87324102348.k k k k k k k k k J x x x x x x x x +++=-+=--++=--++-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭解答：雅可比迭代公式为：x 雅可比迭代法迭代矩阵：B 严格对角占优，故求解该方程组的雅可比迭代法关于任意初始向量x 收敛2，设有方程组：132********2112212x x x x x x x -=+=-++=，讨论用雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法解此方程组的收敛性.(2010-2011)112330200030000202100002000121221000200020031()002110211||0,=0=-=-12J J J L D U B D L U E B B λλλλρ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=-+=- ⎪ ⎪⎪- ⎪⎝⎭-=解答：A=雅可比迭代矩阵：得，（）<1,故用雅可比迭代法解答此方程组对任意(0)1123(0)20031-()00211001211||0,=012-S S S B D L U E B B λλλλρ-⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=-+=- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭-===初始向量x 都收敛.高斯赛德尔迭代矩阵：得，（）<1,故用高斯赛格尔迭代法解答此方程组对任意初始向量x 都收敛.3,写出求解方程组：123123123532124721535818x x x x x x x x x -+=--=--=的高斯-赛德尔迭代公式，并说明收敛性.(2009-2010)4,用雅可比迭代法求解以313132323A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭为系数矩阵的线性方程组时，确定其收敛性.(2009-2010)5,设线性方程组123123123221162222x x x x x x x x x -+=-+-=--+=-，讨论分别用雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法解此线性方程组的收敛性，若收敛，请给出迭代格式.(2008-2009B)6,设线性方程组：1231231232215202225x x x x x x x x x +-=-++=++=-(1),证明求解该方程组的雅可比迭代法关于任意初始向量收敛；相应的高斯-赛德尔迭代法不是关于任意初始向量收敛；(2),取(0)(0,0,0)T x =，用雅可比迭代法进行求解，要求(1)()5||||10k k xx +--<.(2007-2008)11231123022()101220||0,===0)1022()023002||0,0,2,)1-J J J S S S D L U E B D L U E λλλλρλλλλρ---⎛⎫ ⎪=-+=-- ⎪⎪--⎝⎭-=<-⎛⎫⎪=-+=- ⎪⎪⎝⎭-====>解答：(1):B B 解得：，（B B 解得：（B 所以用雅可比迭代法解此方程组对任意初始向量都收敛,而用高斯赛德尔迭代法解此方程组不是对任意初始向量都收敛.(2):(1)()()123(1)()()213(1)()()312(0)(1)(2)(3)(4)2215202225(0,0,0)(15,20,25)(105,60,35)(205,160,65)(205,160,65)k k k k k k k k k T T T TTx x x xx x x x x x x x x +++=-+-=--+=---==--=--=-=-雅可比迭代公式：x 当时，计算得：（精确解）.7,设线性方程组:123123123821027325431111x x x x x x x x x ++=--++=-+=-(1),写出求解该方程组的雅可比迭代法的迭代公式和高斯-赛德尔迭代法的迭代公式，并确定其收敛性； (2),取(0)(0,0,0)T x=，用高斯-赛德尔迭代法计算x(3).(2006-2007)8,设线性方程组Ax=b 的系数矩阵232131t A t t ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，其中t<0，问t 取何值时雅可比迭代法关于任意初始向量都收敛.(2006-2007)12122223021()0310422||()0=0=-,=)12||<1,t<-2,or t>20, 2.J J J t t D L U t t t t E B t t ttt t λλλλλλρ-⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭-=-=<<<-解答：雅可比迭代矩阵B 得，，雅可比迭代法对于任意初始向量都收敛，则（B 即：得又故9,1),设线性方程组：121232343243430424x x x x x x x +=+-=-+=-写出求解该方程组的雅可比迭代法的迭代公式，并确定该迭代法的收敛性；2),设线性方程组：123123123104413410811481025x x x x x x x x x ++=++=++=写出求解该方程组的高斯-赛德尔迭代法的迭代公式，并确定该迭代法的收敛性.(2004-2005)10,给定方程组：1231231232251223x x x x x x x x x +-=++=++=(1),用三角分解法解此方程组；(2),写出解此方程组的雅可比迭代公式，说明收敛性；取初始向量x 0=(0,0,0)T,当21||||10k kx x -+-<时，求其解.(2011-2012)11,设()21253sin 3421sincos 4134tan 5k k k k k k k Ak k k kkk⎛⎫- ⎪+ ⎪ ⎪= ⎪+ ⎪ ⎪+ ⎪⎝⎭，求()lim k k A →∞.(2007-2008)()020lim 021205K k A →∞⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭解答：12,若()()11,lim 1sin sin k k k k k k AA k k k k →∞⎛⎫⎪+=⎪ ⎪⎪⎝⎭求.(2004-2005)()01lim 10K k A→∞⎛⎫= ⎪⎝⎭解答： 题型九：非线性迭代1,设计一个算法求125的值.(2008-2009B)101125(),0.2k k kx x x +=+>解答：牛顿迭代公式：x2,给出用牛顿法求6170的近似值的迭代公式，并确定初值的取值范围.(2010-2011)6661556'5"4"*600066601050517017001701170[5]66()170,()60,()300170()()0,.1170170170(5)17061170()(5)6k k k k k kx x x x x x x x f x x f x x f x x x f x f x x x x x x g x x x +=-=-=-=+=-=>=>>⋅><-=+-=+-解答：转化为方程的正根.由牛顿迭代法得迭代公式：当时，故此时收敛到当0<时，设66'6666611*60170,(0,170)1850()(5)0,(0,170),()(170)0,6:1700,170,(0,170),.0.x g x x g x g xx x x x x ∈=-<∈>=->>∈>故故回到前段.所以当迭代公式也收敛到综上：3,给出用牛顿法求5140近似值的迭代公式，并给出初值的取值范围.(2009-2010)解答：方法同上.4,设φ(x)=x+c(x 2-5),当c 为何值时，x k+1=φ(x k )，(k=0,1,2…)产生的序列{x k }收敛于5；又c 为何值时收敛最快？(2010-2011)2''**1**'*5),||<1,||<1110,=50;51.25k k cx x c ϕϕϕϕϕ+-=-<<-<<解答：(x)=x+c(x (x)=1+2cxx (x )收敛，则有(x )即1+2cx 又，则当(x )=0,即c=-时，收敛最快5,设2()(3)x x c x ϕ=+-，应如何选取常数c 才能使迭代1(),(0,1,2)k k x x k ϕ+==具有局部收敛性？C 取何值时，这个迭代收敛最快？取x 0=2,123c =-计算()x ϕ的不动点，要求当61||10k k x x -+-<时结束迭代.(2004-2005)****21*2'****'**1(),(3)3,()(3)()|133|12|1,11,3,-0,,0.333(2),()0+0,636(3),k k k x x x x c x x x x c x x cx cx x c or c x x ϕϕϕϕ++==+-=±=+-<+<-<<=±<<<<==±±解答：(1),令x 收敛于则故要局部收敛，即|又得根据收敛阶定理，当时，迭代至少二阶收敛，即12cx 得c=故c=时，迭代收敛最快.迭代公式为：2012346*431(3)2321.7113248651.7319268031.7320508041.732050808|10,: 1.732050808.k k x x x x x x x x x x -=--=====-<=又因为|故6,方程x 3-3x-1=0在x=2附近有一根，构造一个局部收敛的不动点迭代法，并说明收敛的理由.(2009-2010)3'3223132(1.5) 1.765174168,(2.5) 2.040827551[1.5,2.5]()[1.5,2.5]11()|||0.33,(13) 5.5xx x x x x ϕϕϕϕϕ+===∈∈=≤<+解答：(x)=取的邻域[1.5,2.5]当时，又因为|故迭代在[1.5,2.5]上整体收敛.7,已知方程42()440f x x x =-+=有一个两重根02x =,请以初值x 0=1.5,用m 重根的牛顿迭代法计算其近似值，要求51||10k k x x -+-<.(2008-2009B)(P204例7.7）8,(1),已知方程240xex +-=在0.6附近有一根x ，迭代法214,0,1,2kx k x ek +=-=是否局部收敛？如果不收敛，试构造一个局部收敛的不动点迭代法，并说明收敛的理由.(2),取x 0=0.6,用你所构造的不动点迭代法求解该方程，迭代至x 5. (3),给出牛顿法求120的近似值的迭代公式，并给出初值的取值范围.(2007-2008)2'2'**1'''1(1):()4,()2|()|1,(0),1(4)211(4),()22(4)1(0)2,(1)3()[0,1]21()||(1)|161(4)2x xk k k k x e x e x x x In x In x x x In In x x x In x ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ++=-=->>=---=-==∈≤=<=-解答：故该迭代公式不是局部收敛的.构造：理由：取邻域[0,1](x)=故又|故迭代式在[0,1]上整体收敛11021324354101(2),(4),21(4)0.61188771521(4)0.61013645921(4)0.61039483321(4)0.61035672221(4)0.61036234421120(3),(),0.2k k k k kx In x x In x x In x x In x x In x x In x x x x x ++=-=-==-==-==-==-==+>.则9,给定方程x 2+x-2=0,[0,2]x ∈,采用迭代公式xk+1=x k +c(x k 2+x k -2),(k=0,1,2…)求其根，问当c 为何值时，迭代法收敛？又当c 为何值时，迭代法收敛最快?(2011-2012)*2'''1,()(2)()1(21)2(1)||1(21)|1,-0.31(1)=03x x x c x x x c x c c ϕϕϕϕ==++-=++=++<<<解答：当|即时，线性收敛当，即c=-时收敛最快.10,给定方程230x xe -=，[3,4]x ∈(1),构造一种线性收敛的不动点迭代公式求该方程的根（含迭代公式，初值取何值或何区间，迭代法收敛的原因）； (2),构造一种二次收敛的不动点迭代公式求该方程的根（含迭代公式，初值取何值或何区间，迭代法收敛的原因).(2011-2012)21111'12102'"0(1),()(3),3.29(3)()(4) 3.8712(),[3,4]23(3),(0,1,2,)[3,4].(2),()3,[3,4](3)0,(4)0()60,()60,[3,4]3k k x x x x In x x x x In x k x f x x e x f f f x x e f x e x x ϕϕϕϕϕ+==≤≤=≤≤∈==∈=-∈><=-<=-<∈=解答：故不动点迭代公式:x 对于任意初值收敛取初值时，牛顿213.6kkx kk k x k x ex x x e+-=--迭代法：收敛，且二次收敛11,方程x 3-x 2-1=0在x=1.5附近有根,建立一个收敛的迭代公式，并证明其收敛性.(2004-2005)122''33312111.51()1(1.3) 1.591715976,(1.6) 1.390625[1.3,1.6]()[1.3,1.6]222(),|()|||0.921.311k k k kx x x x x x x x x x x x x ϕϕϕϕϕϕ++=+==+==∈∈=-=-≤<=+解答：取的邻域[1.3,1.6]故当时，又故迭代公式：在[1.3,1.5]上整体收敛.12,(1),已知方程1020x e x +-=在0.09附近有一根x,迭代法1(210),(0,1,2)k k x In x k +=-=是否局部收敛？如果不收敛，请构造一个局部收敛的不动点迭代法，并说明收敛的理由；(2),取x 0=0.09,用局部收敛的迭代法计算x 5； (3),用牛顿法求3234的近似值，并给出初值的取值.(2006-2007)'''*1''5(1),()(210),()15|()|1,[0,1],|()|>1.11510111(),()51010(0)0.1,(0.12)0.087250323[0,0.12]()[0,0.12]()|kx k x xx In x x xx x x x e x e x e x x x ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ+-=-=->∈=-=-=-==∈∈≤解答：显然故该迭代公式不是局部收敛的构造：因为取[0,0.12]邻域考察故当时，又|'0.12110.09010.09058257820.09051881530.0905241|(0.12)|||0.1131101151011(2),510110.09,0.090582578510110.090518815510110.09052579651011510k kx k x k e x e x e x x e x e x e x e ϕ++=-<<=-=-==-==-==-==-故迭代公式：在[0,0.12]上整体收敛.57960.09052503151200.090525031110.0905251155102117(3),()30.k k k x e x x x +==-==+>使用迭代公式：进行求解.初值:x13,设方程x 3-3x-1=0在x=2附近有根;1),证明该方程在区间[1.5,2.5]内有唯一根x *;2),确定迭代函数φ(x).当初始值x 0在何区间取值时，迭代公式x k+1=φ(x k ),(k=0,1,2…)收敛到x *,并说明理由. 3),写出求解该方程组的牛顿法迭代公式，当初始值x 0在何区间取值时，牛顿法迭代公式收敛到x,并说明理由.取x 0=1.8,用牛顿法迭代公式计算x,要求(1)()4||||10k k x x +--<.4),写出求解该方程的弦截法迭代公式，当初始值在何区间取值时，弦截法迭代公式收敛到x,并说明理由.(2005-2006)3'2'331223(1),()31,()33(1.5) 2.125,(2.5)7.125(1.5)(2.5)0,()0()0,[1.5,2.5][1.5,2.5].(2),3121(3),,3333()3k k k k k k k f x x x f x x f f f f f x f x x x x x x x x x f x x +=--=-=-=⋅<=>∈--+=-=--=-解答：证明：故在[1.5,2.5]内有根.又故方程在区间内有唯一根牛顿法迭代公式：'2"1,()33,()6x f x x f x x-=-=题型十:稳定算法1,对给定的x ，下列两式能否直接计算，说明理由；如果不能，请给出变换算式：（1）21x x +-，x 很大；（2）311x +-，|x|很小.(2010-2011)223331(1):1111=.1+1x x x x x x x +-=+++-+解答：不能直接计算，因为两个相近的数相减，会产生较大的误差：；2,为了提高计算精度，当正数x 很大时，计算1x x +-时应转化成什么形式.（2005-2006）3,给出计算积分1,(0,1,2,10)10nnx I dx n x ==+⎰的递推稳定算法和初值.(2010-2011) 1111111000-11110002010101101010101=101011111)11101010(1)11121[].2111)101)220(1)n n n n n n n n n n x x dx x dx x dx I I x x nn n x x x dx dx dx n x n n n n ----+-===-=-++-=<<=+++=+=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰解：I 该算法不稳定，变形得：I 因为（取初值I （（4,设计一种求1x n nI e x dx =⎰（n 为非负整数）稳定的递推算法，包括递推公式，初值的确定；当初值201221e I =⋅时，利用上述稳定的递推公式计算三个连续的积分值.(2011-2012)题型十一:部分证明题1,利用差分的性质证明：12+22+…n 2=n(n+1)(2n+1)/6222()12,g n n n =++证明：设函数对任意的建立差分表：g(n)(n+1)22n+3 2 g(n+1) (n+2)2 2n+5 2 g(n+2) (n+3)2 2n+7 g(n+3) (n+4)2 g(n+4)函数g(n)的三阶差分是与n 无关的非零常数，故g(n)是n 的三次多项式：3(1)1,(2)5,(3)14,(4)30111()()14521231(1)(2)(1)(2)(3)(1)(21)14521!2!3!6g g g g n n n g n N n n n n n n n n n n ====---⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭------++=+⋅+⋅+⋅=按等距节点牛顿向前插值公式建立三次插值多项式，则2,证明：n+1个互异节点的插值型求积公式的代数精确度至少为n.(2010-2011)(1)0()(),.(1)!n nbi ai f x x dx n ζ+=-+∏⎰证明：截断误差R[f]=易证 3,若0{()}ni i l x =是关于互异节点0{}ni i x =的拉格朗日插值基函数组，函数0011()()()(),(1)n n f x x l x x l x x l x n =++≥，证明：f(x)≡x.（2009-2010）00110()()()()()()()()n n i i n n i f x L x f x l x x l x x l x x l x f x x=≈==+++≡∑证明：故：4,证明：0101'()[()()]"()2hf x f x f x f h ζ=--，其中h=x 1-x 0,01(,)x x ζ∈.(2009-2010)"'20000"'211001010'"010())()()()2!(),())()()()2!1()[()()]()2f f x x x x x f x x f x f x x x x x hf x f x f x f h ζζζ+-+-==+-+-=--证明：由泰勒公式得f(x)=f(x 令则f(x 整理得： 5,证明：关于互异节点0{}ni i x =的拉格朗日插值基函数0{()}ni i l x =满足恒等式012()()()()1n l x l x l x l x +++≡.(2008-2009B)(2006-2007B)(2004-2005)120(1)(1)1010()1,(),,1=L ()()()()()()()1,()0,()()0(1)!()()()()1n n n n i n i n n n n ni n i f x f x x x x x R x l x f x R x f f x fx R x W x n l x l x l x l x ζ=+++==+=+=≡==+=+++≡∑∑证明：令对在上进行拉格朗日插值，有因故故：6,证明求积公式()[()()]2bab af x dx f a f b -≈+⎰的截断误差：3"()[](),12f R f b a ηη=--∈其中：（a,b).(2007-2008) (1)001(2)(2)(2)33()()(1)!1,,()()()1"()()()()()()()2!2!2!612n nb i ai b b aa f x x dx n n x a xb f f f f x a x b dx x a x b dx a b b a ζζηηη+=-+===--=--=⋅-=--∏⎰⎰⎰证明：插值型求积公式截断误差R[f]=R[f]=7,设矩阵A 为可逆上三角阵，证明A -1仍为上三角阵，并导出求逆算法.(2006-2007B)8,设x k =a+kh(k=0,1,2;h>0),f(x)的三阶导数连续，证明：2(3)102021'()[()()](),(,)26h f x f x f x f x x h ζζ=-+-∈其中为中值.(2011-2012)001122120201201201021012202112020101222,),,),,)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(22x y x y x y x x x x x x x x x x x x x f x f x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x f x f x h h h ------=++------------=-+证明：过（（（的拉格朗日插值多项式为：L 12'2102(3)201202(3)'''1210122'(3)10202)1()[()()]2()()()()()(),(,)3!()()()[()()()]3!1()[()()](),(,)26x x L x f x f x hf f x L x x x x x x x x x f f x L x x x x x x x h f x f x f x f x x h ηηηζζ==-+-=---∈-=---=-+-∈又故：。
(完整word版)数值分析考试试卷和答案(word文档良心出品)
线封密三峡大学试卷班级姓名学号2011年春季学期《数值分析》课程考试试卷( A 卷)答案及评分标准注意：1、本试卷共3页；2、考试时间:120 分钟；3、姓名、学号必须写在指定地方；一、(16分)填空题1. 已知1125A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则1A 6= (1分)，∞A 7= . (1分)2.迭代过程),1,0)((1 ==+n x x n n ϕ收敛的一个充分条件是迭代函数)(x ϕ满足1|)(|<'x ϕ. (2分)3. 设),,2,1,0(,,53)(2==+=k kh x x x f k 则差商0],,,[321=+++n n n n x x x x f .（2分）4. 设)(x f 可微,求方程)(x f x =根的牛顿迭代格式是.2,1,0,)(1)(1='---=+k x f x f x x x k k k k k (2分)5. 用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间]1,0[内的根，迭代进行二步后根所在区间为]75.0,5.0[.（2分）6．为尽量避免有效数字的严重损失，当1>>x 时，应将表达式x x -+1改写为xx ++11以保证计算结果比较精确.（2分）7. 将2111A ⎛⎫= ⎪⎝⎭作Doolittle 分解(即LU 分解),则100.51L ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2分),2100.5U ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2分)二、（10分）用最小二乘法解下列超定线性方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=+2724212121x x x x x x 解：23222121,e e e x x ++=）（ϕ221221221)2()72()4(--+-++-+=x x x x x x由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=∂∂=-+=∂∂0)1662(20)1323(2212211x x x x x x ϕϕ（8分）得法方程组 ⎩⎨⎧=+=+166213232121x x x x 7231=⇒x ， 7112=x所以最小二乘解为： 7231=x 7112=x . （10分）三、（10分）已知)(x f 的函数值如下表25.15.001)(15.005.01---x f x用复合梯形公式和复合Simpson 公式求dx x f ⎰-11)(的近似值.解 用复合梯形公式，小区间数4=n ，步长5.0)]1(1[41=--⨯=h )]1())5.0()0()5.0((2)1([24f f f f f hT +++-+-=.线封密三峡大学试卷班级姓名学号25.1]2)5.15.00(21[25.0=++++-=（5分） 用复合Simpson. 小区间数2=n ,步长1)]1(1[21=--⨯=h)]1())5.0()5.0((4)0(2)1([62f f f f f hS ++-+⨯+-=33.168]2)5.10(45.021[61≈=+++⨯+-= （10分）四、（12分）初值问题 ⎩⎨⎧=>+='0)0(0,y x b ax y有精确解 bx ax x y +=221)(， 试证明： 用Euler 法以h 为步长所得近似解n y 的整体截断误差为n n n n ahx y x y 21)(=-=ε证: Euler 公式为：),(111---+=n n n n y x hf y y代入b ax y x f +=),(得：)(11b ax h y y n n n ++=-- 由0)0(0==y y 得：bh b ax h y y =++=)(001; 11122)(ahx bh b ax h y y +=++= )(3)(21223x x ah bh b ax h y y ++=++=……)()(12111---++++=++=n n n n x x x ah nbh b ax h y y （10分）因nh x n =,于是 )]1(21[2-++++=n ah bx y n n 2)1(2nn ah bx n -+==n n n bx x x a+-12∴n n n y x y -=)(ε)2(2112n n n n n bx x x abx ax +-+=-=n n n x x x a )(21--=n hx a 2 =221anh (12分)五、(10分) 取节点1,010==x x ,写出x e x y -=)(的一次插值多项式),(1x L 并估计插值误差.解: 建立Lagrange 公式为()=x L 110100101y x x x x y x x x x --+--=10101101-⨯--+⨯--=e x x x e x 11-+-=.（8分）())1)(0(!2)()()(11--''=-=x x y x L x y x R ξ )10(<<ξ ()811)0(max 2110≤--≤≤≤x x x（10分）六、(10分) 在区间]3,2[上利用压缩映像原理验证迭代格式,1,0,4ln 1==+k x x k k 的敛散性.解 : 在]3,2[上, 由迭代格式 ,1,0,4ln 1==+k x x k k , 知=)(x ϕx 4ln .因∈x ]3,2[时,]3,2[]12ln ,8[ln )]3(),2([)(⊂=∈ϕϕϕx （5分） 又1|1||)(|<='xx ϕ,故由压缩映像原理知对任意]3,2[0∈x 有收敛的迭代公式),1,0(,4ln 1 ==+k x x k k （10分）线封密三峡大学试卷班级姓名学号七、（10分）试构造方程组⎩⎨⎧=+=+423322121x x x x 收敛的Jacobi 迭代格式和Seidel Gauss -迭代格式，并说明其收敛的理由. 解:将原方程组调整次序如下:⎩⎨⎧=+=+324232121x x x x 调整次序后的方程组为主对角线严格占优方程组,故可保证建立的J 迭代格式和GS 迭代格式一定收敛.收敛的J 迭代格式为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=++)3(21)24(31)(1)1(2)(2)1(1k k k k x x x x .,1,0 =k (5分)收敛的GS 迭代格式为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+++)3(21)24(31)1(1)1(2)(2)1(1k k k k x x x x .,1,0 =k （10分）八、（12分）已知43,21,41210===x x x 1）推导以这3个点作为求积节点在[0,1]上的插值型求积公式；2)指明求积公式所具有的代数精度.解：1）过这3个点的插值多项式)())(())(()())(())(()(121012002010212x f x x x x x x x x x f x x x x x x x x x p ----+----=+)())(())((2021201x f x x x x x x x x ----⎰⎰=∑=≈∴)()()(221010k k k x f A dx x p dx x f ，其中: ⎰⎰=----=----=32)4341)(2141()43)(21())(())((10201021100dx x x dx x x x x x x x x A ⎰⎰-=----=----=31)4321)(4121()43)(41())(())((10210120101dx x x dx x x x x x x x x A ⎰⎰=----=----=322143)(4143()21)(41())(())((10120210102dx x x dx x x x x x x x x A ∴所求的插值型求积公式为：⎰+-≈)]43(2)21()41(2[31)(10f f f dx x f (10分) 2）上述求积公式是由二次插值函数积分而来的，故至少具有2次代数精度，再将43,)(x x x f =代入上述求积公式，有：⎰+-==]43(2)21()41(2[3141333310dx x ⎰+-≠=])43(2)21(41(2[3151444410dx x 故上述求积公式具有3次代数精度. (12分)九、（10分）学完《数值分析》这门课程后，请你简述一下“插值、逼近、拟合”三者的区别和联系.。
数值分析报告期末考试复习题及其问题详解
数值分析期末考试复习题及其答案1. 已知325413.0,325413*2*1==X X 都有6位有效数字，求绝对误差限。
（4分）解：由已知可知,n=65.01021,0,6,10325413.0016*1=⨯==-=⨯=ε绝对误差限n k k X 2分 620*21021,6,0,10325413.0-⨯=-=-=⨯=ε绝对误差限n k k X 2分2. 已知⎢⎢⎢⎣⎡=001A 220- ⎥⎥⎥⎦⎤440求21,,A A A ∞ （6分） 解：{},88,4,1max 1==A 1分 {},66,6,1max ==∞A 1分 ()A A A T max 2λ= 1分⎢⎢⎢⎣⎡=001A A T 420 ⎥⎥⎥⎦⎤-420⎢⎢⎢⎣⎡001 220- ⎥⎥⎥⎦⎤440=⎢⎢⎢⎣⎡001 080 ⎥⎥⎥⎦⎤3200 2分 {}3232,8,1max )(max ==A A T λ 1分 24322==A3. 设32)()(a x x f -= （6分） ① 写出f(x)=0解的Newton 迭代格式② 当a 为何值时，)(1k k x x ϕ=+ （k=0,1……）产生的序列{}k x 收敛于2解：①Newton 迭代格式为：xa x x x ax a x x a x x x f x f x x k k k k k k k k k k 665)(665)(6)()(')(22321+=+=---=-=+ϕ 3分②时迭代收敛即当222,11210)2(',665)('2<<-<-=-=a a x a x ϕϕ 3分4. 给定线性方程组Ax=b ，其中：⎢⎣⎡=13A ⎥⎦⎤22，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=13b 用迭代公式)()()()1(k k k Ax b x x -+=+α（k=0,1……）求解Ax=b ，问取什么实数α，可使迭代收敛（8分）解：所给迭代公式的迭代矩阵为⎥⎦⎤--⎢⎣⎡--=-=ααααα21231A I B 2分其特征方程为 0)21(2)31(=----=-αλαααλλB I 2分即，解得αλαλ41,121-=-= 2分 要使其满足题意，须使1)(<B ρ，当且仅当5.00<<α 2分5. 设方程Ax=b ，其中⎢⎢⎢⎣⎡=211A 212 ⎥⎥⎥⎦⎤-112，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=765b 试讨论解此方程的Jacobi 迭代法的收敛性，并建立Gauss-Seidel 迭代格式 （9分）解：U D L A ++=⎢⎢⎢⎣⎡--=+-=-210)(1U L D B J 202-- ⎥⎥⎥⎦⎤-012 3分0,03213=====-λλλλλJ B I 2分即10)(<=J B ρ，由此可知Jacobi 迭代收敛 1分 Gauss-Seidel 迭代格式：⎪⎩⎪⎨⎧--=--=+-=++++++)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(12276225k k k k k k k k k x x x x x x x x x （k=0,1,2,3……） 3分6. 用Doolittle 分解计算下列3个线性代数方程组：i i b Ax =（i=1,2,3）其中⎢⎢⎢⎣⎡=222A 331 ⎥⎥⎥⎦⎤421，23121,,974x b x b b ==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡= （12分）解：①11b Ax =⎢⎢⎢⎣⎡222 331 ⎥⎥⎥⎦⎤421⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=9741x A=⎢⎢⎢⎣⎡111 110 ⎥⎥⎥⎦⎤100⎢⎢⎢⎣⎡002 021 ⎥⎥⎥⎦⎤211=LU 3分 由Ly=b1，即⎢⎢⎢⎣⎡111 110 ⎥⎥⎥⎦⎤100y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡974 得y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡234 1分 由Ux1=y ，即⎢⎢⎢⎣⎡002 021 ⎥⎥⎥⎦⎤211x1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡234 得x1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111 2分 ②22b Ax =⎢⎢⎢⎣⎡222 331 ⎥⎥⎥⎦⎤421x2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111 由Ly=b2=x1，即⎢⎢⎢⎣⎡111 110 ⎥⎥⎥⎦⎤100y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111 得y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001 1分 由Ux2=y ，即⎢⎢⎢⎣⎡002 021 ⎥⎥⎥⎦⎤211x2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001 得x2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡005.0 2分 ③33b Ax =⎢⎢⎢⎣⎡222 331 ⎥⎥⎥⎦⎤421x3=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡005.0由Ly=b3=x2，即⎢⎢⎢⎣⎡111 110 ⎥⎥⎥⎦⎤100y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡005.0 得y=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-05.05.0 1分 由Ux3=y ，即⎢⎢⎢⎣⎡002 021 ⎥⎥⎥⎦⎤211x3=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-05.05.0 得x3=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-025.0375.0 2分7. 已知函数y=f(x)有关数据如下：要求一次数不超过3的H 插值多项式，使'11'33)(,)(y x H y x H i i == （6分）解：作重点的差分表，如下：3分21021101011001003))(](,,,[))(](,,[)](,[][)(x x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x f x f x H --+--+-+= =-1+(x+1)-x(x+1)+2x.x(x+1)=232x x + 3分8. 有如下函数表：试计算此列表函数的差分表，并利用Newton 前插公式给出它的插值多项式 （7分）解：由已知条件可作差分表，3分i ih x x i =+=0 （i=0,1,2,3）为等距插值节点，则Newton 向前插值公式为： 033210022100003!3))()((!2))((!1)()(f h x x x x x x f h x x x x f h x x f x N ∆---+∆--+∆-+==4+5x+x(x-1)=442++x x 4分9. 求f(x)=x 在[-1,1]上的二次最佳平方逼近多项式)(2x P ，并求出平方误差 （8分）解：令22102)(x a x a a x P ++= 2分取m=1, n=x, k=2x ,计算得： (m,m)=dx ⎰-111=0 (m,n)=dx x ⎰-11=1 (m,k)= dx x ⎰-112=0(n,k)= dx x ⎰-113=0.5 (k,k)= dx x ⎰-114=0 (m,y)= dx x ⎰-11=1(n,y)=dx x⎰-112=0 (k,y)= dx x ⎰-113=0.5得方程组：⎪⎩⎪⎨⎧==+=5.05.005.011201a a a a 3分解之得c a a c a 2,1,210-=== （c 为任意实数，且不为零）即二次最佳平方逼近多项式222)(cx x c x P -+= 1分 平方误差：32),(22222222=-=-=∑=i i i y a fp f ϕδ 2分10. 已知如下数据：用复合梯形公式，复合Simpson 公式计算⎰+=10214dx x π的近似值（保留小数点后三位） （8分）解：用复合梯形公式：)}1()]87()43()85()21()83()41()81([2)0({1618f f f f f f f f f T ++++++++==3.139 4分用复合Simpson 公式： )}1()]43()21()41([2)]87()85()83()81([4)0({2414f f f f f f f f f S ++++++++==3.142 4分11. 计算积分⎰=20sin πxdx I ，若用复合Simpson 公式要使误差不超过51021-⨯，问区间]2,0[π要分为多少等分?若改用复合梯形公式达到同样精确度，区间]2,0[π应分为多少等分? （10分）解： ①由Simpson 公式余项及x x f x x f sin )(,sin )()4(==得544)4(2041021)1()4(360)(max )4(1802)(-≤≤⨯≤=≤n x f n f R x n πππππ 2分即08.5,6654≥≥n n ，取n=6 2分即区间]2,0[π分为12等分可使误差不超过51021-⨯ 1分②对梯形公式同样1)(''max 20≤≤≤x f x π，由余项公式得51021)2(122)(-⨯≤≤n f R n ππ2分即255,2.254=≥n n 取 2分即区间]2,0[π分为510等分可使误差不超过51021-⨯ 1分12. 用改进Euler 格式求解初值问题：⎩⎨⎧==++1)1(0sin 2'y x y y y 要求取步长h 为0.1，计算y（1.1）的近似值 （保留小数点后三位）[提示：sin1=0.84,sin1.1=0.89] （6分）解：改进Euler 格式为：⎪⎩⎪⎨⎧++=+=+-++-+)],(),([2),(1111n n n n n n n n n n y x f y x f hy y y x hf y y 2分 于是有⎪⎩⎪⎨⎧+++-=+-=+-++-+-+)sin sin (05.0)sin (1.012112121n n n n n n n n n n n n n x y y x y y y y x y y y y （n=0,1,2……） 2分 由y(1)=0y =1，计算得⎪⎩⎪⎨⎧=≈=+-=-838.0)1.1(816.0)1sin 11(1.01121y y y 2分 即y(1.1)的近似值为0.83813. ][],[],,[lim ],[),,(],,[)(0'000000'x f x x f x x f x x f b a x b a C x f x x ==∈∈→证明：定义：设（4分）证明：]['],[],[],[lim ][][lim]['00000000000x f x x f x x f x x f x x x f x f x f x x x x ===--=→→故可证出 4分14. 证明：设nn RA ⨯∈，⋅为任意矩阵范数，则A A ≤)(ρ （6分）证明：设λ为A 的按模最大特征值，x 为相对应的特征向量，则有Ax=λx 1分 且λρ=)(A ，若λ是实数，则x 也是实数，得Ax x =λ 1分而x x ⋅=λλ x A x ,⋅≤⋅⋅≤λ故x A Ax 2分由于A x 0x ≤≠λ得到，两边除以 1分故A A ≤)(ρ 1分 当λ是复数时，一般来说x 也是复数，上述结论依旧成立。
《数值分析》2018-2019学年第二学期期末考试A卷
河海大学2018-2019学年第二学期期末考试《数值分析》试题(A)卷科目：数值分析考试时间：出题教师：集体考生姓名：专业：学号：题号一二三四总分分数一、单项选择题（每小题2分，共10分）1、n 阶方阵A 可作LU 分解的一个充分条件是A 为（）。
A.对角占优阵B.正交阵C.非奇异阵D.对称正定阵２、设n 阶方阵A 及单位阵E 满足0|3|=-A E ，则谱半径)(A ρ（）。
A.<3B.3≤C.>3D.3≥3、若迭代公式)(1k k x x ϕ=+是p 阶收敛，则=--+∞>-pkk k x x x x )(lim **1（）。
A.０B.p!C.)(*)(x p ϕ D.!/)(*)(p x p ϕ4、设)(x Ln 和)(x Nn 是相同的插值条件下关于)(x f 的拉格朗日插值和牛顿插值，则下述式子中正确的是（）。
（其中∏=-=nj jxx x w 0)()(）A.)(],...,,[)!1()(10)1(x w x x x f n f n n =++ξB.)()!1()()()()1(x w n f x Nn x f n +≠-+ξC.)(],...,,,[)()(10x w x x x x f x Ln x f n ≠-D.)(],...,,,[)()(10x w x x x x f x Ln x f n =-５、称函数)(x ε为［a,b ］上的三次样条函数，是指)(x ε满足条件（）。
A.为分段三次多项式且有二阶连续导数B.为分段三次多项式且有三阶连续导数C.为分段函数且有任意阶导数D.为分段三次埃尔米特插值多项式二、填空题（每小题4分，共20分）１、若已知x 的相对误差为%1，则)(x f ＝10x 的相对误差为。
２、设1)(3-=x x f ，则过节点－１，０，１的二次牛顿插值多项式为。
３、设有求积公式)31()31(10f A f A +-是插值型求积公式，则=0A ，=1A 。
数值分析考试题
数值分析考试题一、选择题1. 以下哪个方法不是数值分析中常用的数值积分方法？A. 梯形法则B. 辛普森法则C. 牛顿法D. 龙格-库塔法2. 在求解线性方程组的直接方法中，高斯消元法属于以下哪种类型？A. 列主元消去法B. 行主元消去法C. 完全主元消去法D. 选主元消去法3. 非线性方程求根的二分法属于以下哪种类型的数值方法？A. 迭代法B. 直接法C. 优化算法D. 插值法4. 在数值分析中，用于度量舍入误差的常用指标是：A. 截断误差B. 舍入误差C. 估计误差D. 计算误差5. 插值多项式的最高次数与插值节点的数量关系是：A. 次数多于节点数量B. 次数少于节点数量C. 次数等于节点数量D. 与节点数量无关二、填空题1. 在数值分析中，__________是用来描述一个算法在实际运算中所需步数的度量。
2. 线性方程组的雅可比方法是一种__________消去法。
3. 牛顿法在求解非线性方程时，每次迭代都需要计算__________。
4. 龙格现象是指在数值积分中，由于__________而引起的误差。
5. 在多项式插值中，拉格朗日插值法是通过__________来构建插值多项式的。
三、简答题1. 请简述数值分析中的截断误差和舍入误差的区别。
2. 描述高斯-赛德尔迭代法的基本思想，并与雅可比迭代法进行比较。
3. 解释在数值积分中为什么需要使用自适应方法。
4. 讨论在求解非线性方程时，二分法与牛顿法的适用条件和优缺点。
5. 分析多项式插值与样条插值的主要区别及其各自的应用场景。
四、计算题1. 给定函数f(x) = sin(x)，在区间[0, π]上使用梯形法则计算积分的近似值，取4个等分点。
2. 设线性方程组如下：\[\begin{cases}2x + y + z = 6 \\x + 2y + 4z = 14 \\3x + y + 2z = 10\end{cases}\]使用高斯消元法求解该方程组的解。
数值分析课程考试试卷(A)及答案
《 数值分析 》课程考试试卷（A ）考试形式：闭卷√□、开卷□，允许带 计算器 入场考生姓名： 学号： 专业： 班级：一、填空（每个空3分，共30分）1，设 *3.1415, 3.141x x ==，则*x 有__________位有效数字。
2，*3587.6x =是经四舍五入得到的近似值，则其相对误差≤*r e ___________. 3，已知=⎪⎭⎫⎝⎛-=1,4032A A 则_______， =∞A _______.4，设0)(≥''x f , 则由梯形公式计算的近似值T 和定积分⎰=badx x f I )(的值的大小关系为___________.（大于或者小于）5, 已知,3,2,1,03210====x x x x 4,5.2,1.1,03210====f f f f ，则均差],,,[3210x x x x f _______________.6, 已知A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2021012a a ，为使A 可分解为TLL A =，其中L 为对角线元素为正的下三角形矩阵，则a 的取值范围为_______________，如果a =1，则L =______________.7，若b a ,满足的正规方程组为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+∑∑∑∑∑=====n i n i ni i i i i n i ni i i y x b x a x y b x na 1112111 则x y 与之间的关系式为______________________8，若1λ是1-A 的按模最大的特征值，则A 的按模最小的特征值为___________二、设(1)0,(0)2,(1)4f f f -===，求 )(x p 使 )()(i i x f x p =,)2,1,0(=i ；又设 M x f ≤''')( ，则估计余项 )()()(x p x f x r -= 的大小 。
数值分析试卷
数值分析考试题（一） 满分70分一、选择题：（共3道小题，第1小题4分，第2、3小题3分，共10分） 1、将A 分解为U L D A --=，其中),,(2211nna a a diag D =，若对角阵D非奇异（即),1,0n i a ii =≠，则b Ax =化为b D x U L D x 11)(--++=（1） 若记b D f U L D B 1111),(--=+= （2）则方程组（1）的迭代形式可写作 )2,1,0(1)(1)1( =+=+k f x B xk k （3） 则（2）、（3）称 【 】(A)、雅可比迭代。
(B)、高斯—塞德尔迭代 (C)、LU 分解 (D)、Cholesky 分解。
2、记*x x e k k -=，若0lim1≠=+∞→c ee pk k k （其中p 为一正数）称序列}{k x 是 【 】(A)、p 阶收敛； (B)、1阶收敛； (C)、矩阵的算子范数； (D)、p 阶条件数。
3、牛顿切线法的迭代公式为 【 】(A)、 )()(1kx f x f x x k k k '-=+ (B)、)()())((111--+---=k k k k k k k x f x f x x x f x x1)()()1()()()(x xfxf xf k i k i k i ∂∂+=+ (D)、 )()()()1(k k k x f x x-=+二、填空题：（共2道小题，每个空格2分，共10分）1、设0)0(f =，16)1(f =，46)2(f =，则一阶差商=]1,0[f ，二阶差商=]1,2,0[f ，)x (f 的二次牛顿插值多项式为2、 用二分法求方程01x x )x (f 3=-+=在区间]1,0[内的根，进行第一步后根所在的区间为 ，进行第二步后根所在的区间为 。
三、计算题：（共7道小题，第1小题8分，其余每小题7分，共50分）1、表中各*x 都是对准确值x 进行四舍五入得到的近似值。
浙江理工大学数值分析考试卷
浙江理工大学数值分析考试卷一、选择《数值分析》第二章插值理论或第三章函数逼近理论，概括所学内容的知识体系。
（目的：了解掌握如何概括归纳已有的知识体系，学习用自己的语言概述所学数学理论建立的背景、创立的过程、主要内容、应用等。
）二、选择《数值分析》中有代表性的两个练习，写出规范的解答过程。
（目的：学习解题过程书写的规范性。
研究学习答题过程书写的叙述规范性要求、如何申明解题过程中用到的记号，如何说明定理的引用，上下句如何连接，数学公式如何占行、分行，以及答题过程中标点符号的使用等细节。
）三、以下列表显示出我国若干年份的研究生招生人数，请你运用最小二乘方法，建立适当的模型，测算未来两年我国的研究生招生人数。
（目的：训练知识应用的综合能力。
）年份19981999200020012002200320042005人数（万人）6.88.712.815.620.2626.732.637.0四、设计计算非奇异矩阵的逆矩阵的两种算法，写出实现(shíxi àn)过程，估计并比较计算复杂度。
五、运用数值积分近似计算理论，寻找合适(héshì)的计算公式，给出计算数学常数或的近似计算方法，说明(shuōmíng)算法的合理性。
六、通过数值分析(fēnxī)课程的学习，请你谈谈本课程与微积分、线性代数之间的关系，并简述在学习本课程中感到困难的知识内容以及你认为的引起困难的主要原因.。
复旦大学《数值分析》2017-2018学年第二学期期末试题(B卷)
课程编号：07000131；07000150复旦大学2017-2018学年第二学期《数值分析》期末考试试卷(B 卷)2018.6一、填空（每小题4分，共28分）1．设⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-=)0,0(),(0)0,0(),(32),(2233y x y x y x y x y x f ，则=')0,0(x f _____,=')0,0(y f ______.2．设22331238),(y x y x y x f --+=，则),(y x f 取得极小值的点为，),(y x f 取得极大值的点为.3．函数2223) , ,(z y x z y x f -+=在)1 , 2 , 2( -P 点处沿着从P 到)0 ,0 ,0(O 方向的方向导数为____________________.4．设L 是曲线弧t t t e z t e y t e x === , sin , cos （20≤≤t ）,则曲线积分=++⎰L z y x ds222.5．数项级数n n n n n 1ln )1(1+-∑∞=是条件收敛、绝对收敛、还是发散？答：.6．设⎩⎨⎧<≤-<≤=πx x x x f 11102)(2，又设)(x S 是)(x f 的以π2为周期的余弦级数展开式的和函数，则=)1(S _____，=)(πS _____，=-)2(πS _____，=-)2(S _____.7．函数321)(2--=x x x f 的麦克劳林级数的展开式为______________________，其收敛域为______________________.二、(10分)设),(y x u 是由方程02222=-+-x y z u 确定的可微的隐函数，其中y y y xy y x z z -+==ln ),(2，且0),(>y x u ，求)1,2(点处x u ∂∂, y u ∂∂, x z ∂∂, yz∂∂的值.三、(8分)计算二重积分⎰⎰-=Ddxdy x y I )(2,其中D 是由抛物线2y x =与223y x -=围成的有界闭区域.四、(10分)在曲面xy z =∑:上求一点P ，使曲面∑在P 点处的法线垂直于平面093=+++z y x ，并写出∑在P 点处法线的标准方程.五、（10分）求幂级数12122)12(-∞=∑-n n nx n 的收敛区间及和函数.六、(10分)设Ω是由曲面22y x z +=和平面x z 2=所围成的立体,其上质量分布是均匀的(密度为μ),求Ω绕z 轴旋转的转动惯量.七、（10分）计算第二类曲面积分⎰⎰++=Sdxdy z xdydz I 2)2(2，其中S 是曲面224y x z ---=的上侧.八、(8分)设)(u f 在) , (∞+-∞内有连续的导函数，k 是一个待定常数.已知曲线积分⎰Γ++++ 532]2)([)2(dy y xy xf dx ky x y x 与路径无关，且对任意的t ,有2)( )0 , 0( 5322]2)([)2( , t dy y xy xf dx ky x y x t t =++++⎰-求)(u f 的表达式和常数k 的值.九、(6分)设0>n u ，0>n v ，且011>≥-++a v u u v n n nn， ,2,1=n ，其中a 为常数.求证:(1)数列}{n n v u 单调有界；(2)级数∑∞=1n n u 收敛。
数值分析考试
桂林理工大学考试（考查）试卷（ 学年度 第一学期）课程名称：数值分析考核专业班级：学号： 姓名： 成绩：﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍一、 简答题（4分×5=20分）1、病态线性方程组的主要判断依据有哪些？答：（1）系数矩阵的某两行（列）几乎近似相关（2）系数矩阵的行列式的值很小（3）用主元消去法解线性方程组时出现小主元（4）近似解x*已使残差向量r=b-Ax*的范数很小，但该近似解仍不符合问题要求。
2、数值计算中如何避免不稳定的算法，防止有效数字的损失？答：（1）简化计算过程，减少运算次数；（2）避免两个相近的数相减；（3）避免除数的绝对值远小于被除数的绝对值；（4）防止大数“吃掉”小数的现象；（5）使用数值稳定的算法，设法控制误差的传播。
3、解释龙格现象。
答：增加插值节点，提高插值多项式的次数，可以使插值函数在更多的点与所逼近的函数取相同的值，但会使插值函数在两端发生激烈的振荡，这就是插值计算的龙格现象。
4、阐述迭代法的基本思想。
答：就是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解得方法。
其基本思想为：先任取一组近似解初值X 0，然后按照某种迭代原则，由X 0计算新的近似解X 1，以此类推，可计算出X 2,X 3，…X K ，。
,如果｛X ｝收敛，则取为原方程组的解。
5、叙述QR 算法的步骤。
答：对于给定的n 阶实对称矩阵A 与迭代次数M ；（1）令A 1=A ，对于k=1,2，…，M ；（2）迭代计算下一个矩阵：A k =Q k R k （对A k 作QR 分解），（3）A k =RQ(交换乘法次序)，令k=k+1,A k+1=Q k T A K Q K（4）返回到2，直到k=M,输出A 的主对角元素。
二、 计算型编程题（20分×3=60分）1、 用Newton 插值拟合[0, 2*pi]上函数()sin x f x e x 。
答：function [yt,N] = NewtInterp(x,y,xt)% 已知数据点的牛顿插值% x,y:插值条件% xt:要计算的插值点，可以是多个% yt:用牛顿插值函数出xt对应的函数值数组% N: 牛顿插值多项式表达式syms t;n=length(x);ny=length(y);if n~=nyerror('插值节点x与函数值y维数不一致'); enda=zeros(1,n);N = y(1);w = 1;for k=1:n-1yy=zeros(1,n); % 记录差商for j=k+1:nyy(j) = (y(j)-y(k))/(x(j)-x(k));enda(k) = yy(k+1);w = w*(t-x(k));N = N + a(k)*w;y = yy;endyt = subs(N,'t',xt);simplify(N);N = collect(N); % 将插值多项式展开N = vpa(N, 6); % 系数转化为6位精度输入：x=[0:pi/10:2*pi];y=exp(x).*sin(x);xt=pi;[yt,N] = NewtInterp(x,y,xt)% 画图z=0:pi/20:2*pi;yz= subs(N,'t',z); %计算插值点处的函数值figure;plot(z,exp(z).*sin(z),'--r',z,yz,'-b')hold onplot(x,y,'marker','+')hold onplot(xt,yt,'marker','o')h=legend('$\exp{x}.*sin{x}$','Newton','$(x_k,y_k)$','$x=pi$');set(h,'Interpreter','latex')xlabel('x')ylabel('y')yt =7.1684e-015N =.159313e-14*t^20-.178421e-12*t^19+.578696e-11*t^18-.993977e-10*t^17+.1179 00e-8*t^16-.101872e-7*t^15+.640214e-7*t^14-.340920e-6*t^13+.131789e-5*t^12-.33 7754e-5*t^11+.19392e-4*t^10+.22800e-4*t^9+.33873e-4*t^8-.162956e-2*t^7-.110707 e-1*t^6-.333620e-1*t^5+.1611e-4*t^4+.333328*t^3+1.00000*t^2+.999992*t2、利用龙贝格算法程序计算积分x。
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山东科技大学 2008-2009 学年第一学期《数值分析》考试[][]。
构造一个复化求积公式利用该求积公式，等分，并记作，）将区间并说明理由。
否为高斯型求积公式，）试判断该求积公式是数精度。
代数精度，并指出其代，使其具有尽可能高的）试确定求积系数七、给定积分公式多项式。
上的一次最佳一致逼近，在区间六、求使得次多项式五、做一个迭代格式收敛。
在什么范围取值时以上）分析性。
迭代格式并分析其收敛迭代格式与）写出为非零常数。
其中四、给定线性方程组并指出收敛阶数。
造迭代格式的收敛性，的迭代格式，证明所构）构造一个可以求的近似值。
求代格式）说明不能用下面的迭为正数，记为正整数，三、设的直线。
点二、求一条拟合和相对误差限。
的绝对误差限和位有效数字。
试分析均具有，一、设,,1,0,1,211-32,,1)1()0()1()(:10)(,2)2(,1)2(',2)1(',3)4(,1)2(,3)1()(52eidel -auss acobi 126241011-01-422,1,0,1c 2)2,2(),3,1(),1,0(35486.101234.9112*321**11*33n i ih x nh n C B A f Bf Af d x f x x f H H H H H H x H a S G J a x x x a x x k cx x cx n C B A y x y x y x i x nk k n ⋯⋯=+-==++-≈=====-==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⋯⋯===≥+-==⎰--+[]⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++⎪⎩⎪⎨⎧=-≤≤++++=≤≤+=-=⎩⎨⎧=≤≤=+205318252143210,)),(,(2),(3.0,,n )(),,('32132132101x x x x x x x x x y n i y x hf y h x f y x f h y y n i ih a x na b h a y bx a y x f y i i i i i i i i i ，求解方程组九用矩阵的三角分解法式。
时局部截断误差的表达相应的阶数，并给出此具有最高阶精度，指出值求解公式试确定常数使得下列数记，取正整数值问题八、考虑常微分方程初ηααη山东科技大学 2009-2010 学年第一学期《数值分析》考试试卷()()()()[][][]多少等分区间位有效数字，至少应将要是计算结果具有复化梯形公式计算积分若用及其截断误差。
的复化梯形公式写出计算积分，等分，并记做将区间）指出其代数精度。
及截断误差表达式，并的梯度公式）推导出计算积分项次插值多项式及插值余两点为差值节点的和以写出七、设。
次最佳一致逼近多项式上的，在区间求六、，满足）（次的多项式过五、构造一个次数不超解。
三角分解法求方程组的）用矩阵的性。
迭代格式并分析其收敛迭代格式与写出四、给定线性方程组收敛阶。
，试着构造，并指出其否可以提高？如果可以的迭代格式的收敛阶是）求敛的。
明次迭代格式是线性收的牛顿迭代格式，并证的根写出方程为正数，记三、设的直线。
，，，，点求一条拟合二、差限。
的绝对误差限和相对误位有效数字。
试分析均有设近似值一、5,)4)()(,,2,1,0,,,3)()(21)()1)()(,,)(211-124)(2)1('',)1(')0('0)1()0(,4oolittle 2eidel -auss acobi )139502-2-11-304220)()1,)()(53,22,31,103y x 5430.56,1021.110n 223321**3*23x x i ba xd e f T f I n i ih a x nab h n b a f T f I b a x f d x f f I b a C x f x x x f H H H H H x H D S G J x x x x x x f ax a a x x f D C B A y x ⎰⎰⋯⋯=+=-==∈++=====⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==-=+==表达式并给出局部截断误差的阶精度，具有式试证明下列数值求解公记，取正整数值问题九、考虑常微分方程初式。
其局部截断误差的表达具有二阶精度，并给出，求解公式，试证明下列数值取正整数值问题八、考虑常微分方程初2)),(,(.0,,n )(),,('10,)),(32,32(3),(4,2,1,0,,n )(),,('101i i i i i i i i i i i i i i i i y x hf y h x hf y y n i ih a x na b h a y b x a y x f y y n i y x hf y h x f y x f h y y ni ih a x nab h a y bx a y x f y +++=≤≤+=-=⎩⎨⎧=≤≤=⎪⎩⎪⎨⎧=-≤≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=⋯⋯=+=-=⎩⎨⎧=≤≤=++ηηη山东科技大学 2010-2011 学年第一学期《数值分析》考试试卷[]。
及截断误差的复化梯形公式写出计算积分，等分，并记做将区间及截断误差表达式；的梯形公式写出计算积分八、考虑定积分精度。
数精度，并指出其代数使其具有尽可能高的代试确定求积系数七、给定求积公式：平方误差方逼近设多项式构造差商表解。
三角分解法求方程组的用迭代格式的收敛性；试分析迭代格式；迭代格式与写出线性方程组公式立方根方程试求绝对分析一、)()(,2,1,0,,n .2)()(.1)()(,,,)1()0()1()(。
多项项式上的一次最佳平[0,1]在区间)( ，试试 )( 六、。
值的三次牛顿三)( ，1,3,2,5 )(时，0,2,3,5 已知当 五、oolittle .3eidel -auss .2eidel -auss acobi .127213522-给定 四、。
的迭代 导出求 0,-应用牛顿法于 三、,,,,784641347,4-21设x 二、限和相对和相对误误差y 的x 位有效数字。
试 5 均有80.115y 6.1025, x 设近似值 n 11-231213213321f T f I n i ih a x nab h b a f T f I d x f f I C B A Cf Bf Af d x f x f x x f x f x f x D S G S G J x x x x x x x a a x Ax x x x A i xba x ⋯⋯=+=-==++-====⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=+=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=+==⎰⎰∞∞表达式。
并给出局部截断误差的阶精度，具有式试证明下列数值求解公记取正整数值问题九、考虑常微分方程初2)),(,(.0,,,)(),,(,1'i i i i i i i y x hf y h x hf y y n i ih a x nab h n a y bx a y x f y +++=≤≤+=-=⎩⎨⎧=≤≤=+η山东科技大学 2012-2013 学年第一学期《数值分析》考试试卷[][][][]其收敛阶出的牛顿迭代格式，并指的写出求方程为正数，记设六、计算题插值多项式。
的三次写出时，已知当五、计算题差。
多项式，并估计平方误上的一次最佳平方逼近在区间求设函数四、计算题一个复化求积公式利用该求积公式构造等分，并记作）将区间（斯型，并说明理由；）判断该公式是否为高（数精度；代数精度，并指出其代，使其具有尽可能高的试确定求积系数给定求积公式：三、计算题差限。
的绝对误差限与相对误位有效数字，试分析均具有设二、计算题。
计算、设的值。
与计算、设一、计算题**211212121710610360)(,,)(ewton )(,5,2,3,1)(5,3,2,020)(,)(,,,1,0,1,2n 11-32,,)1()1()0()1()(365.3,1.12,,,,723226131,1252222222,13)(1x x f a x a a x x f N x f x f x x f x x f n k i ih x nh C B A Cf Bf Af d x f x x x x A A x x A x L f L f x x x f n n i x F ==-=====+-==++-≈+==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=++=⎰-∞并指出其精度。
写出改进的欧拉公式，，记取正整数题考虑常微分方程初值问八、计算题消去法求方程组的解。
用列主元迭代格式的敛散性；试分析迭代格式。
迭代格式与写出给定线性方程组七、计算题.0,,n ,)(),,(auss )3(eidel -auss )2(eidel -auss acobi )1(215702031-22-1'321n i ih a x n ab h a y b x a y x f y G S G S G J x x x i ≤≤+=-=⎩⎨⎧=≤≤=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡η。