20132043李建偏微分方程数值解实验
偏微分方程数值解电子教案
第一边界条件：u( 0 ,t) μ(t) 三类边值条件： 第二边界条件：ux ( 0 ,t) ν(t) 第三边界条件：u ( 0 ,t) hu( 0 ,t) θ(t) x 端点的运动规律 端点所受外力 (Tux ) 弹性体受外力 （以x 0为例，对x l也有） 若μ(t)，ν(t)，θ(t)为零，称为奇次边界条 件。 若ux ( 0 ,t) 0 称自由边界条件。
方程(1)在点( x0 , y0 )处是双曲型的, 如果在点( x0 , y0 ) 处 ( x0 , y0 ) 0，其中 b 2 4ac.二阶双曲型方程的 标准型是 2u 2u h( u , u , u, , ) 2 2
方程(1)在点( x0 , y0 )处是抛物型的, 如果在点( x0 , y0 ) 处 ( x0 , y0 ) 0，二阶抛物型方程的标 准型是 2u h( u , u , u, , ) 2
t 2μ
10
以线性二阶偏微分方程为例，简单回顾一 下偏微分方程的分类。考虑二阶偏微分方程 2u 2u 2u u u a 2 b c 2 d e fu g ( x , y ), (1) x xy y x y
注意
其中系数a , b, c , d , e和f设为x和y的函数，即方程(1)是线性的。 u u 如果系数 a , b和c是x , y, u, 和 的函数，称方程(1)是拟线性的 x y
u(0 , t ) 0 两端固定， u( l , t ) 0 边值条件(边界条件) 定解条件 u( x ,0 ) ( x ) 设t 0时的位置、速度为： 初值条件(初始条件) ut ( x ,0 ) ( x )
定解问题=泛定方程+定解条件 定解问题：边值问题，初值问题（Cauchy问题或无边界问题） ， 混合问题。
偏微分方程数值解实践教学中C++语言算法的应用研究
偏微分方程数值解实践教学中C++语言算法的应用研究1. 引言1.1 背景介绍随着计算机科学和数学的发展，数值解实践教学也得到了越来越多的关注。
通过将C++语言算法应用于偏微分方程数值解实践教学中，不仅能够让学生更好地理解数值方法的原理和实现过程，还能够培养学生的编程能力和解决实际问题的能力。
研究偏微分方程数值解实践教学中C++语言算法的应用具有重要的意义，可以推动教学内容的更新和教学方法的改进，提高学生的学习效果和实践能力。
【背景介绍】1.2 研究意义偏微分方程数值解是应用数学中的重要领域，其在工程、物理学、生物学等领域有着广泛的应用。
通过数值解方法，可以较为准确地模拟和预测复杂系统的行为，为科学研究和工程应用提供重要支持。
本研究旨在探讨C++语言在偏微分方程数值解实践教学中的应用，并通过算法设计与实现，结合实际案例分析，探讨其在教学中的优缺点及改进方法。
通过这一研究，可以提高学生对数值计算方法的理解和能力，培养其解决实际问题的能力，为其未来的科研和工程实践打下良好基础。
本研究具有重要的理论和实践意义，有助于推动偏微分方程数值解在教学和科研中的应用，促进相关领域的发展和创新。
1.3 研究目的研究目的是通过对偏微分方程数值解实践教学中C++语言算法的应用进行深入研究，探讨如何提高学生对数值解算法的理解和掌握能力，促进其在实际工程问题中的应用能力。
具体目的包括：1. 分析C++语言在数值解中的优势和特点，探讨其在教学中的应用价值；2. 设计并实现针对偏微分方程的数值解算法，通过实践教学案例分析来验证算法的有效性和实用性；3. 总结C++语言算法在数值解实践教学中的优缺点，并提出改进方法，为教学实践提供参考和指导。
通过本研究，旨在提高学生的数学建模和编程能力，培养其解决实际问题的能力，促进教学和科研的深入发展，推动计算数学与工程学科的交叉融合，为学生的职业发展和学科建设做出贡献。
2. 正文2.1 偏微分方程数值解简介偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDE）是描述自然界中许多现象的重要数学工具。
偏微分方程数值解第三次上机实验报告
偏微分方程数值解法第三次上机实验报告一、实验题目：用线性元求解下列问题的数值解：2,1,1(x,1)u(x,1)0,1x 1(1,y)1,u (1,y)0,11xx u x y u u y =--<<⎧⎪-==-<<⎨⎪-==-<<⎩ （精确到小数点后四位）二、实验过程：利用PDEToolbox 工具箱求解该偏微分方程。
分析：方程是Possion 方程形式c u au f -+=，其中c=-1，a=0，f=-2； 第一个边界条件是Dirichlet 条件，第二个边界条件是Neumann 条件。
1.在MA TLAB 命令窗口键入pdetool 并运行，打开PDEToolbox 界面；2.在Options 菜单下选择Grid 命令，显示网格，能更容易确定所绘图形的大小；3.绘出区域，选择Boundary 的Boundary Mode ，双击每个边界，设置边界相应的参数值；4.选择PDE 菜单中PDE Mode 命令，进入PDE 模式。
单击PDE 菜单中PDE Specification ….选项，设置方程类型及参数；5.选择Mesh 菜单中Initialize Mesh 命令，进行网格剖分，再选择Refine Mesh 命令，进行网格加密，如下图：三、实验结果：选择Solve 菜单中solve PDE 命令，解偏微分方程，其图形解如图：图1 图形解图2 三维图形解图3 解的等值线图和矢量场图选择Mesh菜单中的Export Mesh，得到结点xy坐标；选择Solve菜单中的Export Solution…，得到每个节点处的值，输出u，即解的数值。
四、实验总结：通过本次试验，掌握了利用Matlab中的PDE求解工具得到PDE的解的方法，并对偏微分方程的形式有了更多的掌握。
《偏微分方程数值解》的算法设计研究——变系数线性对流方程的计算格式
摘 要：一维线性对流方程是《偏微分方程数值解》中双曲型方程的经典模型，它的计算格式对双曲型
偏微分方程的算法设计有重要影响。文章讨论了该方程的一种推广模型，即一维变系数交通流模型方程(仍
为线性偏微分方程)的准确解，并将教材中的迎风格式发展运用到该模型，然后利用新的格式模拟相关实例。
关键词：线性对流方程；变系数；交通流模型；迎风格式
确解和计算格式。
2 在线性间断（x=0）处满足的 Rankine-Hugoniot 条件以及初值问题的准确解
在这一节里，将借助小扰动的方法考虑方程
（1） 的初值问题，得出在线性间 断 （x=0） 处的
Rankine-Hugoniot 条件和相应的准确解。
记软化子（mollifier）为
扇设
设
浊（x）=
则 a（着 x）沂C肄（R）。
下面考虑方程 ut+（a（着 x）u）x=0
（6）
带有
u ， 扇设
设 设
1
x燮-着
设
u（x,0）= 缮设 设 设 设u軈（x）， -着 约x约着
设
u ， 设
设
墒设 2
x叟着
的初值问题。
记 dad（着xx）=窑a着，由方程（6）可得 ut+a（着 x）ux=-窑a着u， 于是有
数值方法在计算机上完成一个偏微分方程定解问
题的求解，培养学生解决实际问题的能力，为学生将
科学计算应用到以后所学专业中打下一定基础[2]。近
年来，地方高校的人才培养目标向着“应用型转
变”，特别是十九大的召开，提出了要大力培养应用
型和创新型人才，这些都对高校课程的教学提出了
新的发展方向。也促使高校教师在授课时不能局限
算法大全第20章偏微分方程的数值解
算法大全第20章偏微分方程的数值解偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDE）是描述自然界中各种物理现象的数学方程。
这些方程中的未知函数是多变量函数，而不是常微分方程中的单变量函数。
求解PDE是科学与工程中的重要问题，尤其在现代科学中，PDE的求解对于理解和预测自然现象具有重要的意义。
偏微分方程的数值解是指通过数值计算方法来求解PDE的近似解。
由于大多数情况下，PDE的解析解很难获得，因此数值解方法成为研究这些方程的重要工具之一、对于偏微分方程的数值解的研究主要集中在以下几个方面：1. 有限差分法（Finite Difference Method）：这是求解PDE最常用的方法之一、该方法通过将微分方程在空间和时间上进行离散化，转化为差分方程或代数方程组，然后通过求解这些方程组来得到数值解。
有限差分法的基本思想是将空间和时间进行网格划分，将未知函数的值在网格点上进行逼近，并用差分格式代替微分运算。
2. 有限元法（Finite Element Method）：该方法通过将求解域划分为若干个较小的单元，然后在每个单元中构建适当的数学模型，求解局部的代数问题，最终得到整个求解域的逼近解。
有限元法的优点是能够处理比较复杂的几何形状，适用于非结构网格，但需要更多的计算资源。
3. 边界元法（Boundary Element Method）：该方法主要用于求解边界值问题，将求解域划分为边界和内部两个部分。
边界元法通过在边界上离散化未知函数，并构建适当的积分方程来求解问题。
边界元法常用于求解椭圆型PDE，计算效率较高。
4. 特征线法（Characteristics Method）：该方法通过在方程中寻找适当的特征曲线，将PDE转化为一维常微分方程，然后求解这个常微分方程。
特征线法对于具有特殊类型边界条件的问题有很好的适用性，但在处理高维问题时存在困难。
以上只是偏微分方程数值解研究的一些常见方法，根据具体问题的特点和要求，还可以选择其他数值方法。
偏微分方程数值解法第二版教学设计
偏微分方程数值解法第二版教学设计课程介绍偏微分方程数值解法是应用数学中一门重要的课程，主要介绍偏微分方程的基本理论和数值解法。
本课程是第二版，主要更新了课程内容和案例实现，使学生更好地掌握偏微分方程的数值解法。
本课程适用于应用数学和工科相关专业的本科生。
教学目标1.掌握偏微分方程基本理论；2.熟练掌握偏微分方程的数值解法；3.能够应用偏微分方程数值解法解决实际问题；4.增强数学建模思维和实验能力。
教学内容本课程主要包括以下内容：偏微分方程基本理论•一维波动方程的数值解法•热传导方程的数值解法•Laplace方程的数值解法•解法的稳定性和收敛性分析偏微分方程数值解法•有限差分法•有限元法•边界元法•数值方法的误差分析应用案例实现•物理学问题数值解法•工程问题数值解法•生物学和环境学问题数值解法教学方法本课程采用翻转课堂的教学方法，即先让学生通过在线学习平台学习相应的理论基础和数值方法，然后通过课堂讨论、小组合作和案例实现活动来加深理解。
评价方式评分组成为平时成绩和期末成绩。
平时成绩包括在线学习平台作业和课堂表现等，占比30%；期末成绩包括期末论文和考试，占比70%。
参考教材1.Numerical Solution of Partial Differential Equations by theFinite Element Method, Claes Johnson, Dover Publications, 2009.2.Numerical Methods for PDEs: Finite Difference and FiniteVolume Methods, Sandip Mazumder, Springer, 2016.3.A First Course in Finite Elements, Jacob Fish, TedBelytschko, John Wiley & Sons, 2007.总结偏微分方程数值解法是应用数学和工科专业中重要的课程之一。
偏微分方程数值解上机实验报告(matlab做的)
偏微分方程数值解法上机报告（一）一、实验题目：用Ritz-Galerkin 方法求解边值问题2u '',01(0)0,(1)1u x x u u ⎧-+=<<⎨==⎩的第n 次近似()n u x ，基函数()sin(),1,2,...,i x i x i n ϕπ==.二、实验目的：通过本次上机实验，理解求解初值问题的变分问题的最重要的近似解法——Ritz-Galerkin 方法，以便为学习有限元法打好基础。
此外，要熟悉用Matlab 解决数学问题的基本编程方法，提高运用计算机解决问题的能力。
三、实验代码：n=5;syms x;for i=1:np(i)=sin(i*pi*x);q(i)=-i^2*pi^2*sin(i*pi*x);endfor i=1:nb(i)=2*int(p(i),0,1);for j=1:nA(i,j)=int((-q(j)+p(j))*p(i),0,1);endendt=inv(A)*b'四、运行结果：t=2251799813685248/3059521645650671/pi281474976710656/9481460623939047/pi281474976710656/43582901062631895/pi五、总结：通过本次上机，我了解了Ritz-Galerkin 方程 n j j p f cj p i p a n i i ,...,2,1)),(,())(),((1==∑=，明白了用Ritz-Galerkin 方法解决边值问题的变分问题的基本原理，并接近一步提高自己的编程动手能力，受益匪浅。
偏微分方程数值解法上机报告（二）一、 实验题目：用线性元求下列边值问题的数值解2''2sin ,0142(0)0,'(1)0y y x x y y ππ⎧-+=<<⎪⎨⎪==⎩二、 实验目的：通过本次上机，熟悉和掌握用Galerkin 法观点出发导出的求解处置问题数值解的线性有限元法。
偏微分方程数值解
偏微分方程数值解
偏微分方程地构建科学、工程学和其他领域的数学模型的主要手段。
一般情况下,这些模型都需要用数值方法去求解。
本书提供了标准数值技术的简明介绍。
借助抛物线型、双曲线型和椭圆型方程的一些简单例子介绍了常用的有限差分方法、有限元方法、有限体方法、修正方程分析、辛积分格式、对流扩散问题、多重网络、共轭梯度法。
利用极大值原理、能量法和离散傅里叶分析清晰严格地处理了稳定性问题。
本书全面讨论了这些方法的性质,并附有典型的图像结果,提供了不同难度的例子和练习。
本书可作为数学、工程学及计算机科学专业本科教材,也可供工程技术人员和应用工作者参考。
把时间也作为广义的边界条件，根据“边界条件”是否闭合，可以把涉及离散步长的问题分为两类。
时间离散步长与空间离散步长并没有本质的区别。
第一类：边界条件闭合。
比如已知导热微分方程和边界上每一处的温度值，求解一个闭区域内稳态温度的分布；已知初态，末态，和微分方程，求解初末时刻之间任意时刻的物理状态（这算是一维时间边界条件的“闭合”）。
这些问题中离散步长的选取并不会显著地影响结果的精确性，因为做数值计算，所求每一点都允许有一个误差范围，迭代过程会反复地调节各点的值，使得它们能够在允许的误差范围内满足微分方程和边界条件。
这类问题下数值解与解析解的趋势总是差不多的，离散步长和允许误
差越小，数值解越光滑，跟理论也吻合得越好。
偏微分方程的解析解与数值解分析
偏微分方程的解析解与数值解分析偏微分方程是描述自然界中许多现象的重要数学工具。
在处理偏微分方程时，我们通常需要找到其解析解或数值解。
本文将对偏微分方程的解析解和数值解进行分析。
解析解是指能够以某种符号表达形式表示的方程解。
对于某些简单的偏微分方程，我们可以使用变量分离、特征线等方法来求得其解析解。
解析解的优点是可以直接揭示物理现象背后的数学规律，能够提供深入的洞察和直观的解释。
通过解析解，我们可以获得解的性质、稳定性和渐近行为等重要信息。
然而，对于大多数偏微分方程而言，求解其解析解是非常困难甚至不可能的。
这时，我们就需要求解其数值解。
数值解是使用数值计算的方法来逼近偏微分方程的解。
常用的数值方法包括有限差分法、有限元法、谱方法等。
有限差分法是最常用的数值方法之一。
它将偏微分方程的区域划分为网格，并在网格上用差分格式逼近偏微分方程的导数。
通过求解差分格式的代数方程组，可以得到数值解。
有限差分法具有简单易实现、适用范围广的特点，但也存在精度低、收敛慢等问题。
有限元法是另一种常用的数值方法。
它通过将偏微分方程的区域划分为有限个元素，并在每个元素上用插值函数逼近未知解。
通过构建元素刚度矩阵和载荷向量的代数方程组，可以求得数值解。
有限元法具有适用范围广、精度较高的特点，适用于处理具有复杂几何形状的问题。
谱方法是一种基于函数空间展开的数值方法。
它将偏微分方程的解表示为一组基函数的线性组合，并通过求解系数来得到数值解。
谱方法具有高精度、快速收敛的特点，适用于处理光滑解的问题。
但需要注意的是，谱方法对问题的几何形状和边界条件要求较高。
除了以上几种数值方法外，还有许多其他的数值方法可以用来求解偏微分方程。
选择适当的数值方法需要考虑问题的性质和要求，以及计算的效率和精度等因素。
对于求解偏微分方程的数值方法，我们需要进行数值稳定性和收敛性的分析。
数值稳定性是指数值方法在计算过程中对误差和扰动的敏感性。
一个数值方法如果不稳定，即使初始条件和边界条件非常小的扰动也可能导致数值解的爆炸性增长。
偏微分方程数值解实验报告
（2） u
uh H 1 、 u
uh
L2
、
max
0 x1
u - uh
2、用线性元求解下列问题的数值解：
u = -2,-1< x, y < 1, u(x,-1)= u(x,1)= 0,-1< x < 1, ux(-1, y)= 1,ux = 0,-1< y < 1.
精确到小数点后第六位，并画出解曲面。
偏微分方程数值实验报告及算法实现(1)
偏微分方程数值实验报告一实验题目：利用有限差分法求解.0)1(,0)1(),()()(==-=+''-u u x f x u x u 真解为)1()(22x ex u x -=-实现算法：对于两点边值问题 ,)(,)(,,d 22βα==∈=-b u a u l x f dxu (1) 其中),(b a l =f b a ),(<为],[b a l =上的连续函数，βα，为给定常数.其相应的有限差分法的算法如下：1.对求解区域做网格剖分，得到计算网格.在这里我们对区间l 均匀剖分n 段，每个剖分单元的剖分步长记为na b h -=. 2.对微分方程中的各阶导数进行差分离散，得到差分方程.运用的离散方法有：方法一:用待定系数和泰勒展开进行离散)()()()(d )(d 111122++--++≈i i i i i i i i x u x u x u x x u ααα 方法二：利用差商逼近导数21122)()(2)()(d )(d h x u x u x u x x u i i i i i -++-≈ (2) 将(2)带入(1)可以得到)()()()(2)(211u R x f hx u x u x u i i i i i +=+---+, 其中)(u R i 为无穷小量，这时我们丢弃)(u R i ，则有在i x 处满足的计算公式：1,...,1)()()(2)(211-==+---+n i x f hx u x u x u i i i i ， (3) 3.根据边界条件，进行边界处理.由(1)可得βα==n u u ,0 (4)称(3)(4)为逼近(1)的差分方程，并称相应的数值解向量1-n U 为差分解，i u 为)(i x u 的近似值.4.最后求解线性代数方程组，得到数值解向量1-n U .程序代码：第一步：编写有限差分格式相关函数function [ x,U ]=FDld_bvp(N,f,a,b,u)%******************************************************************** %% FD1d_bvp利用中心差分格式求解两点边值问题%参数：% 输入参数：% 整数N,网格节点数，% 函数f(x），计算右端函数f(x);% a，计算区间左端点% b，计算区间右端点% u，真解函数% 输出参数：% 差分解向量U% 均匀剖分区间[a,b]，得到网格x(i)=a+(i-1)*(b-a)/(N-1)h=(b-a)/(N-1);x=(a:h:b)';% 创建线性差分方程组系数矩阵c1=-1/h/h;c2=2/h/h+1;g=[c1*ones(1,N-2),0];c=[0,c1*ones(1,N-2)];d=[1,c2*ones(1,N-2),1];A=diag(g,-1)+diag(d)+diag(c,1);% 创建线性差分方程组右端项rhs=f(x);rhs(1)=u(x(1));rhs(N)=u(x(N));% 求解上述代数系统U=A\rhs;endfunction[e0,e1,emax]=FD1d_error(x,U,u_exact)%% FD1d_ERROR 计算有限差分误差% 参数：% 输入参数：% x，网格节点坐标向量% U，网格节点坐标向量上的有限差分数值解向量Ux% u_exact,真解函数% 输出参数：% e0% e1% emaxN=length(x);h=(x(end)-x(1))/(N-1);ue=u_exact(x);%真解在网格点处的值xee=ue-U;e0=h*sum(ee.^2);e1=sum((ee(2:end)-ee(1:end-1)).^2)/h;e1=e1+e0;e0=sqrt(e0);e1=sqrt(e1);emax=max(abs(ue-U));endfunction FD1d_bvp_test%%测试脚本% 初始化相关数据N=[6,11,21,41,81];L=-1;R=1;emax=zeros(5,1);e0=zeros(5,1);e1=zeros(5,1);%%求解并计算误差for i = 1:5[x,U] =FD1d_bvp(N(i),@f ,L,R,@u);[e0(i),e1(i),emax(i)]=FD1d_error(x,U,@u);X{i}=x;UN{i}=U;endue=u(X{5});%% 显示真阶及不同网格剖分下的数值解plot(X{5},ue,'-k*',X{1},UN{1},'-ro',X{2},...UN{2},'-gs',X{3},UN {3},'-bd ',...X{4},UN{4},'-ch ',X{5} , UN {5},'-mx');title('The solution plot');xlabel('x');ylabel ('u');legend('exact','N=6','N =11','N=21','N =41','N =81'); %% 显示误差format shortedisp ('emax e0 e1 ');disp ([ emax , e0 , e1 ]);end第二步：编写方程的右端函数和真解分别保存为m f .和m u . function f=f(x)f=exp(-x.^2).*(4.*x.^4-15.*x.^2+5);endfunction u=u(x)u=exp(-x.^2).*(1-x.^2);end实验结果：在命令窗口输入>> FD1d_bvp_test回车可得运算结果和图像emax e0 e15.8219e-02 5.3470e-02 1.1724e-011.5919e-02 1.2802e-022.9349e-023.9305e-03 3.1663e-03 7.3357e-039.7959e-04 7.8946e-04 1.8338e-032.4471e-04 1.9723e-04 4.5844e-04。
偏微分方程数值解
偏微分方程数值解一、偏微分方程（组）的解法介绍引导我们知道物理现象中很多问题可以用偏微分方程描述，例如振动、热传导、扩散等。
一些典型物理方程的构建及解析解法，有兴趣的用户可参考顾樵编著的《数学物理方法》。
涉及到多变量或多领域的偏微分方程就存在着变量的耦合，很难用数解析解法或无法用解析解法求得耦合偏微分方程解，此时就需要我们是用数值解法进行求解，本文的主题就放在耦合的偏微分方程组的数值解法介绍上。
上篇文章我们简单介绍了锂离子电池的P2D模型，即一个耦合的偏微分方程组。
具体可查看上篇文章。
要想求解如上篇文章形式的偏微分方程组我们通常可以选择有限差分法、正交配置法和有限元法。
由于有限差分法操作简单，本文的重点介绍有限差分法。
newman编写的电池模型程序就是基于有限差法。
二、有限差分法介绍有限差分法顾名思义可分为有限+差分。
有限——我们可以理解为连续（无限）的求解域，通过离散化变为由有限个网格节点构成的求解域。
下图形象的将r和y构成的连续域离散为由网格节点构成的有限域。
差分——由数学定义我们可以理解差分，具体如下图。
差分分为三种形式向前差分、向后差分和中心差分，对于边界点还有特定的处理。
有限差分法求解偏微分方程的基本过程是：1）划分网格。
将连续的求解域划分为有限的差分网格，将求解的变量存放在网格的各个节点上。
2）差分构建。
在每个点上将偏微分方程的微分项用合适的差商代替，从而将偏微分方程转换为代数形式的差分方程，每个节点的差分方程组合在一起就构成了一个代数方程组，我们利用初始值和边界条件，即可求解代数方程组的解，获取每个节点的变量值，即偏微分方程的数值解。
《偏微分方程数值解》课程教学大纲
《偏微分方程数值解》课程教学大纲《偏微分方程数值解》课程教学大纲课程名称：偏微分方程数值解课程代码：MA309学分 / 学时：4学分 / 64学时适用专业：数学系和与科学计算相关的专业先修课程：偏微分方程，科学计算（I）后续课程：科学计算（II），科学计算选讲开课单位：理学院数学系一、课程性质和教学目标（需明确各教学环节对人才培养目标的贡献）课程性质：本课程是理学院数学系的一门重要专业基础课程，其主要任务是通过理论学习和上机实算，使学生掌握偏微分方程数值解的基本概念，基本方法和基本原理。
教学目标：重点介绍偏微分方程数值解的有限差分法、和有限元方法，培养学生以计算机为工具，通过数学建模、理论分析与数值求解等步骤定量化解决实际问题的能力。
本课程各教学环节对人才培养目标的贡献见下表。
知识能力素质要求各教学环节的贡献度课堂讲授课堂讨论自学小组大作业作业考试课堂整体贡献度知识知识体系完整掌握求解线性偏微分方程的有限差分方法，掌握变分原理和有限元方法的基本知识√√√能力清晰思考和用语言文字准确表达的能力√ √√ √ √√√√√ √√ √√ 发现、分析和解决问题的能力√√ √√ √√ √√√√√ √√ √√ 批判性思考和创造性工作的能力√√ √√√√√ √√√√√ √√ √√ 与不同类型的人合作共事的能力√ √ √√至少一种外语的应用能力√ √ 终生学习的能力√√ √√ √√ 组织管理能力√ √ 获取整理信息的能力* √ √√ √√√√√ √√ √√素质志存高远、意志坚强√ √ √√ √ 刻苦务实、精勤进取√√ √√ √√ √√ √√ √√ √√ 身心和谐、视野开阔√ √ √√ √√ 思维敏捷、乐于创新√√ √√ √ √√√√ √√ √√二、课程教学内容及学时分配（含实践、自学、作业、讨论等的内容及要求）教学内容学时课堂教学讨论作业及要求自学及要求团组大作业及要求第一章总论微分方程数学模型及举例；微分方程数值解的重要意义和基本问题。
偏微分方程数值解
偏微分方程数值解自然科学与工程技术中种种运动发展过程与平衡现象各自遵守一定的规律。
这些规律的定量表述一般地呈现为关于含有未知函数及其导数的方程。
我们将只含有未知多元函数及其偏导数的方程，称之为偏微分方程。
方程中出现的未知函数偏导数的最高阶数称为偏微分方程的阶。
如果方程中对于未知函数和它的所有偏导数都是线性的，这样的方程称为线性偏微分方程，否则称它为非线性偏微分方程。
初始条件和边界条件称为定解条件，未附加定解条件的偏微分方程称为泛定方程。
对于一个具体的问题，定解条件与泛定方程总是同时提出。
定解条件与泛定方程作为一个整体，称为定解问题。
偏微分方程的定解问题各种物理性质的定常（即不随时间变化）过程，都可用椭圆型方程来描述。
其最典型、最简单的形式是泊松(Poisson)方程特别地，当f (x, y) ≡ 0 时，即为拉普拉斯(Laplace)方程，又称为调和方程带有稳定热源或内部无热源的稳定温度场的温度分布，不可压缩流体的稳定无旋流动及静电场的电势等均满足这类方程。
Poisson 方程的第一边值问题为其中Ω为以Γ 为边界的有界区域，Γ 为分段光滑曲线，Ω U Γ 称为定解区域，f (x, y),ϕ(x, y) 分别为Ω,Γ 上的已知连续函数。
第二类和第三类边界条件可统一表示成其中n 为边界Γ 的外法线方向。
当α = 0 时为第二类边界条件，α ≠ 0时为第三类边界条件。
在研究热传导过程，气体扩散现象及电磁场的传播等随时间变化的非定常物理问题时，常常会遇到抛物型方程。
其最简单的形式为一维热传导方程。
方程（5）可以有两种不同类型的定解问题：初值问题（也称为Cauchy 问题）。
偏微分方程的数值解方法及源程序
-240-第二十章 偏微分方程的数值解自然科学与工程技术中种种运动发展过程与平衡现象各自遵守一定的规律。
这些规律的定量表述一般地呈现为关于含有未知函数及其导数的方程。
我们将只含有未知多元函数及其偏导数的方程，称之为偏微分方程。
方程中出现的未知函数偏导数的最高阶数称为偏微分方程的阶。
如果方程中对于未知函数和它的所有偏导数都是线性的，这样的方程称为线性偏微分方程，否则称它为非线性偏微分方程。
初始条件和边界条件称为定解条件，未附加定解条件的偏微分方程称为泛定方程。
对于一个具体的问题，定解条件与泛定方程总是同时提出。
定解条件与泛定方程作为一个整体，称为定解问题。
§1 偏微分方程的定解问题各种物理性质的定常（即不随时间变化）过程，都可用椭圆型方程来描述。
其最典型、最简单的形式是泊松(Poisson)方程),(2222y x f y ux u u =∂∂+∂∂=Δ （1）特别地，当0),(≡y x f 时，即为拉普拉斯(Laplace)方程，又称为调和方程02222=∂∂+∂∂=Δyux u u （2）带有稳定热源或内部无热源的稳定温度场的温度分布，不可压缩流体的稳定无旋流动及静电场的电势等均满足这类方程。
Poisson 方程的第一边值问题为⎪⎩⎪⎨⎧Ω∂=Γ=Ω∈=∂∂+∂∂Γ∈),(|),(),(),(),(2222y x y x u y x y x f y uxu y x ϕ （3）其中Ω为以Γ为边界的有界区域，Γ为分段光滑曲线，ΓΩU 称为定解区域，),(),,(y x y x f ϕ分别为ΓΩ,上的已知连续函数。
第二类和第三类边界条件可统一表示成),(),(y x u n u y x ϕα=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+∂∂Γ∈ （4） 其中n 为边界Γ的外法线方向。
当0=α时为第二类边界条件，0≠α时为第三类边界条件。
在研究热传导过程，气体扩散现象及电磁场的传播等随时间变化的非定常物理问题时，常常会遇到抛物型方程。
偏微分方程数值解实验报告
偏微分方程数值解上机实验报告（一）实验一一、上机题目：用线性元求解下列边值问题的数值解：-y′′+π24y=π22sinπ2x，0<x<1y(0)=0，y′(1)=0二、实验程序：function S=bzx=fzero(@zfun,1);[t y]=ode45(@odefun,[0 1],[0 x]);S.t=t;S.y=y;plot(t,y)xlabel('x:´从0一直到1')ylabel('y')title('线性元求解边值问题的数值解')function dy=odefun(x,y)dy=[0 0]';dy(1)=y(2);dy(2)=(pi^2)/4*y(1)-((pi^2)/2)*sin(x*pi/2);function z=zfun(x);[t y]=ode45(@odefun,[0 1],[0 x]);z=y(end)-0;三、实验结果：1．以步长h=0.05进行逐步运算，运行上面matlab程序结果如下：2．在0<x<1区间上，随着x 的不断变化，x ，y 之间关系如下图所示：（二）实验二四、 上机题目：求解Helmholtz 方程的边值问题：21u k u -∆-=，于(0,1)*(0,1)Ω=0u =，于1{0,01}{01,1}x y x y Γ==≤≤≤≤= 12{0,01}{01,1}0,{01,0}{1,01}x y x y u x y x y n Γ==≤≤≤≤=∂=Γ=≤≤==≤≤∂于其中k=1,5,10,15,20五、实验程序：（采用有限元方法，这里对[0,1]*[0,1]采用n*n的划分，n为偶数）n=10;a=zeros(n);f=zeros(n);b=zeros(1,n);U=zeros(n,1);u=zeros(n,1);for i=2:na(i-1,i-1)=pi^2/(12*n)+n;a(i-1,i)= pi^2/(24*n)-n;a(i,i-1)= pi^2/(24*n)-n;for j=1:nif j==i-1a(i,j)=a(i,i-1);else if j==ia(i-1,j-1)=2*a(i-1,i-1);else if j==i+1a(i,j)=a(i,i+1);elsea(i,j)=0;endendendendenda(n,n)=pi^2/(12*n)+n;for i=2:nf(i-1,i)=4/pi*cos((i-1)*pi/2/n)-8*n/(pi^2)*sin(i*pi/2/n)+8*n/(pi^2)*s in((i-1)*pi/2/n);endfor i=1:nf(i,i)=-4/pi*cos(i*pi/2/n)+8*n/(pi^2)*sin(i*pi/2/n)-8*n/(pi^2)*sin((i -1)*pi/2/n);end%b(j)=f(i-1,j)+f(i,j)for i=1:(n-1)b(i)=f(i,i)+f(i,i+1);endb(n)=f(n,n);tic;n=20;can=20;s=zeros(n^2,10);h=1/n;st=1/(2*n^2);A=zeros((n+1)^2,(n+1)^2);syms x y;for k=1:1:2*n^2s(k,1)=k;q=fix(k/(2*n));r=mod(k,(2*n));if (r~=0)r=r;else r=2*n;q=q-1;endif (r<=n)s(k,2)=q*(n+1)+r;s(k,3)=q*(n+1)+r+1;s(k,4)=(q+1)*(n+1)+r+1;s(k,5)=(r-1)*h;s(k,6)=q*h;s(k,7)=r*h;s(k,8)=q*h;s(k,9)=r*h;s(k,10)=(q+1)*h;elses(k,2)=q*(n+1)+r-n;s(k,3)=(q+1)*(n+1)+r-n+1;s(k,4)=(q+1)*(n+1)+r-n;s(k,5)=(r-n-1)*h;s(k,6)=q*h;s(k,7)=(r-n)*h;s(k,8)=(q+1)*h;s(k,9)=(r-n-1)*h;s(k,10)=(q+1)*h;endendd=zeros(3,3);B=zeros((n+1)^2,1);b=zeros(3,1);for k=1:1:2*n^2L(1)=(1/(2*st))*((s(k,7)*s(k,10)-s(k,9)*s(k,8))+(s(k,8)-s(k,10))*x+(s(k,9)-s(k,7))*y);L(2)=(1/(2*st))*((s(k,9)*s(k,6)-s(k,5)*s(k,10))+(s(k,10)-s(k,6))*x+(s (k,5)-s(k,9))*y);L(3)=(1/(2*st))*((s(k,5)*s(k,8)-s(k,7)*s(k,6))+(s(k,6)-s(k,8))*x+(s(k ,7)-s(k,5))*y);for i=1:1:3for j=i:3d(i,j)=int(int(((((diff(L(i),x))*(diff(L(j),x)))+((diff(L(i),y))*(dif f(L(j),y))))-((can^2)*L(i)*L(j))),x,0,1),y,0,1);d(j,i)=d(i,j);endendfor i=1:1:3for j=1:1:3A(s(k,(i+1)),s(k,(j+1)))=A(s(k,(i+1)),s(k,(j+1)))+d(i,j);endendfor i=1:1:3b(i)=int(int((L(i)),x,0,1),y,0,1);B(s(k,(i+1)),1)=B(s(k,(i+1)),1)+b(i);endendM=zeros((n+1)^2,n^2);j=n^2;for i=(n^2+n):-1:1if ((mod(i,(n+1)))~=1)M(:,j)=A(:,i);j=j-1;else continueendendpreanswer=M\B;answer=zeros((n+1)^2,1);j=1;for i=1:1:(n^2+n)if ((mod(i,(n+1)))~=1)answer(i)=preanswer(j);j=j+1;else answer(i)=0;endendZ=zeros((n+1),(n+1));for i=1:1:(n+1)^2s=fix(i/(n+1))+1;r=mod(i,(n+1));if(r==0)r=n+1;s=s-1;elseendZ(r,s)=answer(i);end[X,Y]=meshgrid(1:-h:0,0:h:1);surf(X,Y,Z);toc;t=toc;K=a ;B=b';U=inv(K)*Bfor i=1:nu(i,1)=4/(pi^2)*sin(pi*i/n/2);endue=U-u六、实验结果：程序中的变量can为问题中的k，为了方便比较，采用了画图的方式。
简析《偏微分方程数值解》教学改革
简析《偏微分方程数值解》教学改革偏微分方程数值解是本校理学院数学系一门专业课,主要分为有限差分法和有限元法两部分。
它为工科专业课程学习和解决实际问题提供必要的数学基础知识及常用的数值解法。
随着科技的发展,偏微分方程数值解法在很多领域有着举足轻重的作用,比如在石油、医学以及航天等领域,因而这门课也适用于很多工科专业的学生。
但是给数学系的学生讲解这门课,常常使人面临两难的境地:一方面数学专业的学生专业课多数侧重于数学理论,如果把偏微分方程数值解完全上成理论课,倒是迎合了学生一贯的思维模式,但应用方面就会欠缺;如果大量介绍具体应用,由于缺乏相关背景知识,又会使学生迷茫。
所以在讲解时,需要把理论和实际合理地结合,即要把理论介绍得深入浅出,又要把某些算法与实际问题联系起来,从而使学生在学习中产生兴趣,是值得思考的问题。
另一方面从以往的教学经验来看,偏微分方程数值解的教学存在诸多问题,诸如课时少,内容多;授课一直以板书为主,教学手段比较单一;以往的教学过于偏重理论,学生学过之后不知如何应用;由于课时紧张,而没有安排上机实践等问题。
针对上述问题,为了提高教学质量,激发学生学习兴趣,笔者采取了一系列的教改措施,总结如下。
1 课程改革内容1.1 改革教学内容,选择合适的教材和教辅丛书关于偏微分方程数值的教材有很多,但一些教材在推导公式时使用的语言晦涩,公式抽象,学生难于理解。
在我校的本科生授课时,选择了清华大学陆金甫编写的《偏微分方程数值解》[1]作为教材,以及北京大学出版的李治平编写的《偏微分方程数值解讲义》[2]作为教辅。
《偏微分方程数值解》在内容的处理上,体现了由浅入深、循序渐进的原则;在叙述表达上,严谨精练、清晰易读,便于教学与自学。
此教材充分反映偏微分方程数值解法中的核心内容。
《偏微分方程数值解讲义》的作为教辅的特点是:每章之后配置了相当数量的习题,并在书后附上了大部分习题的答案或提示,更便于学生复习、巩固、理解和拓广所学的知识。
偏微分方程的数值解方法及源程序
(k , j = 0,±1,±2, L) 将 定 解 区 域 剖 分 成 矩 形 网 格 。 节 点 的 全 体 记 为 R = {( x k , y j ) | x k = kh, y j = jτ , i, j为整数} 。定解区域内部的节点称为内点，记内点
集 R I Ω 为 Ω hτ 。边界 Γ 与网格线的交点称为边界点，边界点全体记为 Γhτ 。与节点
（7）
ϕ (0) = g1 (0), ϕ (l ) = g 2 (0)
问题（7）中的边界条件 u (0, t ) = g 1 (t ), u (l , t ) = g 2 (t ) 称为第一类边界条件。第二类和 第三类边界条件为
⎡ ∂u ⎤ − λ1 (t )u ⎥ = g1 (t ), 0 ≤ t ≤ T ⎢ ⎣ ∂x ⎦ x =0
⎡ ∂u ⎤ + λ 2 (t )u ⎥ = g 2 (t ), 0 ≤ t ≤ T ⎢ ⎣ ∂x ⎦ x =l 其中 λ1 (t ) ≥ 0, λ 2 (t ) ≥ 0 。当 λ1 (t ) = λ 2 (t ) ≡ 0 时，为第二类边界条件，否则称为第三
类边界条件。 双曲型方程的最简单形式为一阶双曲型方程
（15）
求解差分方程组最常用的方法是同步迭代法， 同步迭代法是最简单的迭代方式。 除 边界节点外，区域内节点的初始值是任意取定的。 例 1 用五点菱形格式求解 Laplace 方程第一边值问题
⎧ ∂ 2u ∂ 2u ⎪ 2 + 2 =0 ∂y ⎨ ∂x 2 2 ⎪u ( x, y ) | ( x , y )∈Γ = lg[(1 + x ) + y ] ⎩
第二十章
偏微分方程的数值解
自然科学与工程技术中种种运动发展过程与平衡现象各自遵守一定的规律。 这些规 律的定量表述一般地呈现为关于含有未知函数及其导数的方程。 我们将只含有未知多元 函数及其偏导数的方程，称之为偏微分方程。 方程中出现的未知函数偏导数的最高阶数称为偏微分方程的阶。 如果方程中对于未 知函数和它的所有偏导数都是线性的， 这样的方程称为线性偏微分方程， 否则称它为非 线性偏微分方程。 初始条件和边界条件称为定解条件，未附加定解条件的偏微分方程称为泛定方程。 对于一个具体的问题， 定解条件与泛定方程总是同时提出。 定解条件与泛定方程作为一 个整体，称为定解问题。 §1 偏微分方程的定解问题 各种物理性质的定常（即不随时间变化）过程，都可用椭圆型方程来描述。其最典 型、最简单的形式是泊松(Poisson)方程
偏微分方程数值解法(1)
第十章 偏微分方程数值解法一、 典型的偏微分方程介绍 1．椭圆型方程 科学技术中经常遇到一些重要的、典型的偏微分方程。
在研究有热源稳定状态下的热传导，有固定外力作用下薄膜的平衡问题时，都会遇到Poisson 方程D y x y x f yux u ∈=∂∂+∂∂),(),(2222（10.1）其中D 表示平面区域。
特别在没有热源或没有外力时，就得到Laplace 方程02222=∂∂+∂∂y ux u （10.2）此外，当研究不可压缩理想流体无旋流动的速度势以及静电场的电位等，也会遇到（10.1）或（10.2）类型的方程。
2．抛物型方程 在研究热传导过程、气体扩散现象、电磁场的传播等问题中以及在统计物理、概率论和重子力学中，经常遇到抛物型方程。
这类方程中最简单、最典型的是热传导方程。
L x t xu a t u <<>=∂∂-∂∂0,0,022（10.3）其中a 是常数。
它表示长度为L 的细杆内，物体温度分布的规律。
3．双曲型方程 在研究波的传播、物体的振动时，常遇到双曲型方程。
这类方程中最简单、最典型的是波动方程L x t xu a t u <<>=∂∂-∂∂0,0,022222（10.4）它表示长度为L 的弦振动的规律。
二、定解问题偏微分方程（10.1）~（10.4）是描述物理过程的普遍规律的。
要使它们刻划某一特定的物理过程，必须给出附加条件。
把决定方程唯一解所必须给定的初始条件和边界条件叫做定解条件。
定解条件由实际问题提出。
对方程（10.3）来说，初始条件的提法应为)()0,(x f x u =，其中f (x )为已知函数，它表示物体在初始状态下温度分布是已知的。
边界条件的提法应为物体在端点的温度分布为已知，即⎩⎨⎧≥==0)(),()(),0(t t t L u t t u ψϕ （10.5）其中ϕ（t ）和ψ（t ）为已知函数。
对（10.4）来说，边界条件的提法和（10.5）形式一样，它表示弦在两端振动规律为已知。
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C=zeros(N-1,N*2+1);
A(1,1)=5*z;
A(1,2)=z/2;
A(N-1,N-2)=z/2;
A(N-1,N-1)=5*z;
fori=2:N-2
A(i,i-1)=z/2;
A(i,i)=5*z;
A(i,i+1)=z/2;
end
B(1,1)=12/h^2;
end
e1=max(abs(real(u(:,N+1))-real(v)'));%计算数值解和解析解的实部最大模意义下误差
e2=max(abs(imag(u(:,N+1))-imag(v)'));%计算数值解和解析解的虚部最大模意义下误差
五．实验结果及实例分析
求的与解析解的误差如下表：
h=t
实部
收敛阶
h=1/5;
t=h;
N=1/h;
n=1;
forj=0:h:1%给出边值
u(1,n)=0;
u(N+1,n)=exp(-z*j)*sin(1);
n=n+1;
end
n=1;%给出初值
fori=0:h:1
u(n,1)=sin(i);
n=n+1;
end
A=zeros(N-1,N-1);%表示出A,B,C三个矩阵
B(1,2)=-6/h^2;
fori=2:N-2
B(i,i-1)=-6/h^2;
B(i,i)=12/h^2;
B(i,i+1)=-6/h^2;
end
B(N-1,N-2)=-6/h^2;
B(N-1,N-1)=12/h^2;
fori=1:N*2+1
C(N-1,i)=-6/h^2*exp(-z*(i-1)*(t/2))*sin(1)+z/2*z*exp(-z*(i-1)*(t/2))*sin(1);
重庆大学
学生实验报告
实验课程名称偏微分方程数值解课程实践
开课实验室数统学院
学院数统学院年级2013级专业班信计2班
学生姓名李建学号********
开课时间2015至2016学年第2学期
总成绩
教师签名
数学与统计学院制
开课学院、实验室：数统学院实验时间：2016年6月27日
实验项目
名称
一维双曲型方程的有限差分法
5.3305×10-11
4.2000
6.3919×10-11
3.5260
从上表我们可以看出，随着所取步长的减小，误差的收敛阶会越来越小，即数值解越来越接近解析解，并且该格式为四阶收敛。
教师签名
年月日
虚部
收敛阶
1/5
2.8321×10-6
2.7391×10-6
1/10
2.4230×10-7
3.5470
1.8367×10-7
3.8985
1/20
1.2795×10-8
4.2431
1.1577×10-8
3.9878
1/40
9.7970×10-10
3.7072
7.3631×10-10
3.9748
1/80
三．实验原理、方法（算法）、步骤
1.先将区间离散化，通过差分替换得到如下形式：
2.将形式写为矩阵表示如下：
3.令 ， 将偏导项Taylar展开得到如下矩阵计算公式：
4.将计算公式编程实现并得到误差列表显示
四．实验环境（所用软件、硬件等）及实验数据文件
Matlab
clearall;
z=sqrt(-1);
实验项目类型
验证
演示
综合
设计
其他
指导教师
曾芳
成绩
是
一．实验目的
通过该实验，要求学生理解论文3中使用的差分方法，并能通过计算机语言编程实现。
二．实验内容
考虑如下的初边值问题：
(1)
该问题有解析解
1.在第三部分处写出论文的格式的大概推导过程及计算格式；
2.根据你写的计算格式，编写一个程序计算上述问题；
3.取步长 ，算出五种步长在t=1处的数值解并与解析解求相应的误差 及收敛阶 ，并将其误差列表显示
u(2:N,i)=inv(T1)*T2*u(2:N,i-1)+inv(T1)*T3*C(:,2*(i-2)+1)+inv(T1)*T4*C(:,2*(i-1))+inv(T1)*T5*C(:,2*(i-1)+1);
end
n=1;
fori=0:h:1
v(n)=exp(z)*sin(i);
n=n+1;
end
M=inv(A)*B;
P=inv(A);
T1=eye(N-1)-t/2*M+(t^2/12)*M*M;%通过矩阵进行数值解计算
T2=eye(N-1)+t/2*M+t^2/12*M^2;
T3=t/6*P+t^2/12*P*M;
T4=2*t/3*P;
T5=t/6*P-t^2/12*P*M;
fori=2:N+1