2013年山西省数学中考真题(word版含答案)

山西省2013年高中阶段教育学校招生统一考试试题数 学第Ⅰ卷 选择题（共24分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题2分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑．）1．计算()23⨯-的结果是（ ）（A ）6 （B ）6- （C ）1- （D ）52．不等式组35215x x +⎧⎨-<⎩≥的解集在数轴上表示为（ ）3）4．某班实行每周量化考核制，学期末对考核成绩进行统计，结果显示甲、乙两组的平均成绩相同，方差分别是223630s s ==乙甲，，则两组成绩的稳定性（ ）（A ）甲组比乙组的成绩稳定 （B）乙组比甲组的成绩稳定（C ）甲、乙两组的成绩一样稳定 （D ）无法确定5．下列计算错误．．的是（ ） （A ）3332x x x += （B ）632a a a ÷= （C =（D ）1133-⎛⎫= ⎪⎝⎭6．解分式方程22311x x x++=--时，去分母后变形为（ ） （A ）()()2231x x ++=- （B ）()2231x x -+=-（C ）()()2231x x -+=- （D ）()()2231x x -+=-（A ）27℃，28℃ （B ）28℃，28℃ （C ）27℃，27℃ （D ）28℃，29℃8．如图，正方形地砖的图案是轴对称图形，该图形的对称轴有（ ）（A ）1条 （B ）2条（C ）4条 （D ）8条9．王先生到银行存了一笔三年期的定期存款，年利率是4.25%．若到期后取出得到本息和（本金+利息）33825元．设王先生存入的本金为x 元，则下面所列方程正确的是（ ） （A ）3 4.25%33825x x +⨯= （B ） 4.25%33825x x +=（C ）34.25%33825x ⨯= （D ）()3 4.25%33825x x +=10．如图，某地修建高速公路，要从B 地向C 地修一座隧道（B C ，在同一水平面上），为了测量B C，两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C 地出发，垂直上升100m 到达A 处，在A 处观察B 地的俯角为30°，则BC ，两地之间的距离为（ ）（A ） （B ） （C ） （D 11．起重机将质量为6.5t 的货物沿竖直方向提升了2m ，则起重机提升货物所做的功用科学记数法表示为（g=10N/kg ）（ ） （A ）61.310J ⨯ （B ）51310J ⨯（C ）41310J ⨯ （D ）51.310J ⨯ 12．如图，四边形ABCD 是菱形，602A AB ==∠°，，扇形BEF 的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是（ ）（A ）23π （B ）23π（C ）π （D ）π第Ⅱ卷 非选择题（共96分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．把答案写在题中横线上）13．分解因式：22a a -= ．14．四川雅安发生地震后，某校九（1）班学生开展献爱心活动，积极向灾区捐款．如图是该班同学捐款情况的条形统计图，写出一条．．你从图中所获得的信息： ． 15．一组按规律排列的式子：4682357a a a a ，，，，…，则第n 个式子第8题图 第10题图是 （n 为正整数）．16．如图，矩形ABCD 在第一象限，AB 在x 轴正半轴上．31AB BC ==，，直线112y x =-经过点C 交x 轴于点E ，双曲线k y x=经过点D ，则k 的值为 ．17．如图，在矩形纸片ABCD 中，125AB BC ==，，点E 在AB 上，将DAE △沿DE 折叠，使点A 落在对角线BD 上的点A ′处，则AE 的长为．18．桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A B ，两点，桥拱最高点C 到AB 的距离为9m ，36m AB =，D E ，为桥拱底部的两点，且DE AB ∥，点E 到直线AB 的距离为7m ，则DE 的长为 m ．三、解答题（本大题共8个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（本题共2个小题，每小题5分，共10分）（10145.3⎛⎫- ⎪⎝⎭°（2）下面是小明化简分式的过程，请仔细阅读，并解答所提出的问题．解：()()()()()222266242222x x x x x x x x x ----=-+-+-+- 第一步 第18题图()226x x =--+ 第二步246x x =--+ 第三步2.x =+ 第四步小明的解法从第________步开始出现错误，正确的化简结果是____________．20．（本题7分）解方程：()()221327x x x -=+-．21．（本题8分）如图，在ABC △中，AB AC D =，是BA 延长线上的一点，点E 是AC的中点．（1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）．①作DAC ∠的平分线AM ．②连接BE 并延长交AM 于点F ．（2）猜想与证明：试猜想AF 与BC 有怎样的位置关系和数量关系，并说明理由．22．（本题9分）小勇收集了我省四张著名的旅游景点图片（大小、形状及背面完全相同）：太原以南的壶口瀑布和平遥古城，太原以北的云岗石窟和五台山．他与爸爸玩游戏：把这四张图片背面朝上洗匀后，随机抽取一张（不放回），再抽取一张，若抽到的两个景点都在太原以南或都在太原以北，则爸爸同意带他到这两个景点旅游，否则，只能去一个景点旅游．请你用列表或画树状图的方法求小勇能去两个景点旅游的概率（四张图片分别用H ，P ，Y ，W 表示）．23．（本题9分）如图，AB为O的直径，点C在O上，点P是直径AB上的一点（不与A B，重合），过点P作AB的垂线交BC的延长线于点Q．（1）在线段PQ上取一点D，使DQ DC=，连接DC，试判断CD与O的位置关系，并说明理由．（2）若3cos5B=，61BP AP==，，求QC的长．第22题图24．（本题8分）某校实行学案式教学，需印制若干份数学学案．印刷厂有甲、乙两种收费方式，除按印数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要．两种印刷方式的费用y （元）与印刷份数x （份）之间的关系如图所示：（1）填空：甲种收费方式的函数关系式是___________．乙种收费方式的函数关系式是___________．（2）该校某年级每次需印制100~450（含100和450）份学案，选择哪种印刷方式较合算．25．（本题13分）数学活动——求重叠部分的面积．问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，将两块全等的直角三角形纸片ABC △和DEF △叠放在一起，其中90ACB E ==∠∠°，68BC DE AC FE ====，，顶点D 与边AB 的中点重合，DE 经过点C ，DF 交AC 于点G ．求重叠部分（DCG △）的面积．(1)请解答老师提出的问题．(2)合作交流：“希望”小组受此问题的启发，将DEF △绕点D 旋转，使DE AB ⊥交AC 于点H ，DF 交AC 于点G ，如图2，你能求出重叠部分（DGH △）的面积吗？请写出解答过程．（3）提出问题：老师要求各小组向“希望”小组学习，将DEF △绕点D 旋转，再提出一个求重叠部分面积的问题．“爱心”小组提出的问题是：如图3，将DEF △绕点D 旋转，DE DF ，分别交AC 于点M N ，，使DM M N =，求重叠部分（DMN △）的面积．任务：①请解决“爱心”小组所提出的问题，直接写出DMN △的面积是_______．②请你仿照以上两个小组，大胆提出一个符合老师要求的问题，并在图4中画出图形，标明字母，不必解答（注：也可在图1的基础上按顺时针方向旋转）．26．（本题14分）综如图，抛物线213442y x x =--与x 轴交于A B ，两点（点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ，连接BC ，以BC 为一边，点O 为对称中心作菱形BDEC ，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为()0m ，，过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ．（1）求点A B C ，，的坐标．（2）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 分别交BD BC ，于点M N ，．试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM 的形状，并说明理由．（3）当点P 在线段EB 上运动时，是否存在点Q ，使BDQ △为直角三角形，若存在，请直接写出．．．．点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．山西省2013年高中阶段教育学校招生统一考试试题数学参考答案第Ⅰ卷选择题（共24分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题2分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑．）1． B2． C3． A4． B5． B6． D7． B8． C9． A10．A11．D12．B第Ⅱ卷非选择题（共96分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．把答案写在题中横线上）13．(2)a a-14．该班有50人参与了献爱心活动（只要与统计图中所提供的信息相符即可得分）15．2 21n an-16．117．10 318．48三、解答题（本大题共8个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（本题共2个小题，每小题5分，共10分）（1）解：原式212-4分=110-=．（2）二，（2分）12x-（3分）20．解：原方程可化为：22441327x x x x -+=+-． ∴2680.x x -+= 3分 ∴()23 1.x -= 5分 ∴3 1.x -=±6分 ∴122 4.x x ==，7分21． 解：（1）①作图正确，并有痕迹． 2分 ②连接BE 并延长交AM 于点F ． 3分 （2）解：AF BC ∥且.AF BC = 4分 理由如下：∵AB AC =，∴.ABC C =∠∠ ∴2.DAC ABC C C =+=∠∠∠∠ 由作图可知：2DAC FAC =∠∠，∴.C FAC =∠∠∴.AF BC ∥ 6分 ∵E 是AC 的中点，∴.AE CE = ∵AEF CEB =∠∠， ∴.AEF CEB △≌△ ∴.AF BC = 8分22．解：列表如下：6分或画树状图如下：6分由列表（或画树状图）可以看出，所有可能出现的结果共有12种，而且每种结果出现的可能性都相同，其中抽到的两个景点都在太原以南或以北的结果共有4种． 8分 ∴P （小勇能到两个景点旅游）=41.123= 9分23． 解：（1）CD 是O 的切线． 1分理由如下：连接.OC ∵OC OB =，∴ 1.B =∠∠又∵DC DQ =，∴ 2.Q =∠∠2分∵PQ AB ⊥，∴90QPB =∠°. ∴90B Q +=∠∠°. 3分∴1290+=∠∠°.∴()121809090.DCO QCB =-+∠=-︒=︒∠∠∠°4分∴.OC DC ⊥∵OC 是O 的半径， ∴CD 是O 的切线．5分 （2）连接.AC ∵AB 是O 的直径，∴90ACB =∠°.6分在Rt ABC △中，()()321cos cos 16.55BC AB B AP PB B ==+=+⨯=在Rt BPQ △中，610.3cos 5BP BQ B ===8分∴212910.55QC BQ BC =-=-= 9分24．解：（1）0.160.12.y x y x =+=，（2）由0.160.12x x +>，得300.x <由0.160.12x x +=，得300.x = 由0.160.12x x +<，得300.x > 5分由此可知：当100300x <≤时，选择乙种方式较合算． 当300x =时，选择甲乙两种方式都可以． 当300450x <≤时，选择甲种方式较合算． 8分25．（1）解：∵90ACB =∠°，D 是AB 的中点， ∴.DC DB DA == ∴.B DCB =∠∠ 1分 又∵ABC FDE △≌△， ∴.FDE B =∠∠∴.FDE DCB =∠∠∴.DG BC ∥ 2分 ∴90.AGD ACB ==∠∠° ∴.DG AC ⊥又∵DC DA =，∴G 是AC 的中点． 3分∴1111846 3.2222CG AC DG BC ==⨯===⨯=， ∴1143 6.22DCG S CG DG =⨯=⨯⨯=△ 4分（1） 合作交流：“希望”小组受此问题的启发，将DEF △绕点D 旋转，使DE AB ⊥交AC 于点H ，DF 交AC 于点G ，如图2，你能求出重叠部分（DGH △）的面积吗？请写出解答过程．（2）解法一：∵ABC FDE △≌△，∴ 1.B =∠∠∵90C ED AB =⊥∠°，，∴90290A B A +=+=∠∠°，∠∠°，∴ 2.B =∠∠∴1 2.=∠∠ ∴.GH GD = 5分∵2901390A +=+=∠∠°，∠∠°，∴ 3.A =∠∠∴.AG GD =∴.AG GH = ∴点G 为AH 的中点． 6分在Rt ABC △中，10.AB ==∵D 是AB 中点，∴15.2AD AB == 在ADH △与ACB △中，∵90A A ADH ACB ===∠∠，∠∠°，∴.ADH ACB ~△△∴.AD DH AC CB =∴586DH =，∴15.4DH = 8分 ∴111115755.2224416DGH ADH S S DH AD ==⨯⨯=⨯⨯=△△9分解法二：同解法一，G 是AH 的中点． 6分 连接BH ，∵DE AB ⊥，D 是AB 的中点，∴.AH BH =设AH x =，则8.CH x =-在Rt BCH △中，222CH BC BH +=，即()22836.x x -+=解得25.4x =7分 ∴1125756.2244ABH S AH BC =⨯=⨯⨯=△ 8分 ∴11117575.2224416DGH ADH ABH S S S ==⨯=⨯=△△△ 9分解法三：同解法一，1 2.=∠∠ 5分 连接CD ，由（1）知， 1.B DCB ==∠∠∠ ∴12.B DCB ===∠∠∠∠ ∴.DGH BDC △∽△ 6分 作DM AC ⊥于点M ，CN AB ⊥于点N ．∵D 是AB 的中点，90ACB =∠°，∴.CD AD BD ==∴点M 是AC 的中点． ∴116 3.22DM BC ==⨯= 7分在Rt ABC △中，AB =，11.22AC BC AB CN =∴8624.105AC BC CN AB ⨯=== 8分 ∵.DGH BDC △∽△∴2DGH BDC S DM S CN ⎛⎫= ⎪⎝⎭△△，∴221.2DGH BDC DM DM S S BD CN CN CN ⎛⎫⎛⎫==⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△ ∴2312475245.52516DGHS ⎛⎫⎪=⨯⨯⨯= ⎪⎪⎝⎭△ 9分（3）①7516． 11分②此题答案不唯一，语言表述清晰、准确得1分，画图正确得1分，重叠部分未涂阴影不扣分．示例：如图，将DEF △绕点D 旋转，使DE BC ⊥于点M ，DF 交AC 于点N ，求重叠部分（四边形DMCN ）的面积． 13分 26．解：（1）当0y =时，2134042x x --=．解得，1228.x x =-=， ∵点B 在点A 的右侧，∴点A B ，的坐标分别为：（-2，0），（8，0）．2分当0x =时，4.y =- ∴点C 的坐标为()04-，．3分（2）由菱形的对称性可知，点D 的坐标为()04.， 设直线BD 的解析式为y kx b =+，则480.b k b =⎧⎨+=⎩，解得，14.2k b =-=， ∴直线BD 的解析式为14.2y x =-+ 4分∵l x ⊥轴，∴点M Q ，的坐标分别是211344.242m m m m m ⎛⎫⎛⎫-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，， 如图，当MQ DC =时，四边形CQMD 是平行四边形．5分∴()21134444.242m m m ⎛⎫⎛⎫-+---=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6分化简得：240.m m -=解得，10m =（舍去）2 4.m = ∴当4m =时，四边形CQMD 是平行四边形．7分此时，四边形CQBM 是平行四边形．8分解法一：∵4m =，∴点P 是OB 中点． ∵l x ⊥轴，∴l y ∥轴． ∴.BPM BOD △∽△∴1.2BP BM BO BD ==∴.BM DM = 10分∵四边形CQMD 是平行四边形．∴.DM CQ∥ ∴.BM CQ∥∴四边形CQBM 为平行四边形． 12分解法二：设直线BC 的解析式为11y k x b =+，则111480.b k b =-⎧⎨+=⎩，解得，1114.2k b ==-， ∴直线BC 的解析式为14.2y x =- 9分又∵l x ⊥轴交BC 于点.N ∴4x =时， 2.y =- ∴点N 的坐标为()42.-，由上面可知，点M Q ，的坐标分别为：()()4246.M Q -，，， ∴()()22426 4.MN NQ =--==---=， ∴MN QN =，10分又∵四边形CQMD 是平行四边形． ∴DB CQ ∥，∴3∠=∠4.又∵12∠=∠.∴.BMN CQN △≌△∴.BN CN = ∴四边形CQBM 为平行四边形．12分（3）抛物线上存在两个这样的点Q ，分别是()()122064.Q Q --，，14分。