北师大版初中数学九年级下学期《1.5 三角函数的应用》同步练习卷
北师大九年级数学下册--第一单元(含答案)1.5《三角函数的应用》同步练习
在Rt△ACD中，∠DAC=30°，AC=20×1.5=30
∴CD=ACsin30°=30× =15
在Rt△BCD中，∠BCD=∠BCE+∠ECD=15°+30°=45°
∴ （海里）
12.不会． 解：过点C作CD⊥AB，交AB延长线于点D．由题意可知，在△ABC中，∠CAB＝30°，∠ABC＝90°＋30°＝120°，∴∠ACB＝30°，BC＝AB＝20 ．在Rt△CBD中，∠CBD＝60°，∴CD＝CB·sin∠CBD＝ （海里）．∵ ﹥12，∴这艘渔船继续向东航行追赶鱼群不会进入危险区．
A. B. C. D．
3．如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1： ，堤高BC=5m，则坡面AB的长度是（ ）.
A.10m B.10 m C.15m D.5 m
4.如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道（B、C在同一水平面上）．为了测量B、C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则B、C两地之间的距离为（ ）.
1.5《三角函数的应用》同步练习
一.选择题
1.如图，在平地MN上用一块10m长的木板AB搭了一个斜坡，两根支柱AC=7．5m，AD=6m，其中AC⊥AB，AD⊥MN，则斜坡AB的坡度是（ ）.
A．3:5 B．4:5 C．3:4 D．4:3
题1图题2图 题3图
2.如图，坡角为 的斜坡上两树间的水平距离 为 ，则两树间的坡面距离 为（ ）.
三.解答题
11.一船在A处测得北偏东60°方向有一灯塔B，船向正东方向以每小时20海里的速度航行1.5小时到达C处时，又观测到灯塔B在北偏东15°方向上，求此时航船与灯塔相距多少海里?
北师大版九年级数学下册 1.5 三角函数的应用 同步测试题(有答案)
故答案为．
14.
【答案】
【解答】
解：∵，，米，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴米∴学校要购买米的草皮才能正好铺满空地．
故答案为：．
15.
【答案】
【解答】
解：由于山路的坡角为度，则坡角的正弦值，
∴他在竖直方向上上升的高度（米）．
16.
【答案】
【解答】
解：在中，（米）．
17.
【答案】
【解答】
解：由已知得，
则斜坡的坡度．
故选.
10.
【答案】
A
【解答】
故选：．
二、
11.
【答案】
【解答】
解：在中
，
∴．
故答案为：．
12.
【答案】
海里/分
【解答】
解：作，
∵，，
∴海里，则海里，
在中，，
则，
解得，
在中，海里，
海里/分．
故答案为：海里/分．
13.
【答案】
【解答】
解：如图，在直角中，，，，
∴，．
在直角中，，，，
∴，
∴，
（参考数据：，，，．）
26.某区域平面示意图如图，点在河的一侧，和表示两条互相垂直的公路．甲勘测员在处测得点位于北偏东，乙勘测员在处测得点位于南偏西，测得，．请求出点到的距离．
参考数据：，，
参考答案
一、
1.
【答案】
B
【解答】
解：如图，
由已知得：，，米．
∵，
∴ (米)．
故选．
2.
【答案】
D
【解答】
解：根据题意得：，
25.某市为了创建绿色生态城市，在城东建了“东州湖”景区，小明和小亮想测量“东州湖”东西两端、间的距离．于是，他们去了湖边，如图，在湖的南岸的水平地面上，选取了可直接到达点的一点，并测得＝米，点位于点的北偏西方向，点位于点的北偏东方向．
北师大版九年级数学下册 1.5 三角函数的应用 同步测试题
1.5 三角函数的应用同步测试题（满分120分；时间：120分钟）一、选择题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）1. 在离地面高度为5米处引拉线固定电线杆，拉线与地面成60∘的角，则拉线的长是（）A.10B.10√33C.5√32D.5√32. 如图，A、B两点在河的两岸，要测量这两点之间的距离，测量者在与A同侧的河岸边选定一点C，测出AC=a米，∠A=90∘，∠C=40∘，则AB等于（）米．A.a sin40∘B.a cos40∘C.a tan40∘D.atan40∘3. 测得某坡面垂直高度为2m，水平宽度为4m，则坡度为（）A.1:√52B.1:√5C.2:1D.1:24. 一辆汽车沿坡角为α的斜坡前进500米，则它上升的高度为()A.500sinαB.500sinαC.500cosα D.500cosα5. 河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡度是1:√3，则AC的长是（）A.6√3米B.12米C.3√3米D.6√2米6. 如图，是一个风力发电机组的部分框架图，已知A、B之间的距离为300m，则点M到直线AB的距离（结果带根号）（）A.600(3−√3)B.150(3+√3)C.120(3+√3)D.150(3−√3)7. 如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15∘方向的A处，若渔船沿北偏西75∘方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60∘方向上，则B，C之间的距离为（）A.20海里B.10√3海里C.20√2海里D.30海里8. 如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，C离海岸线l的距离（即CD的长）为2，从A测得船C在北偏东45∘的方向，从B测得船C在北偏东22.5∘的方向，则AB的长（）A.2kmB.(2+√2)kmC.(4−2√2)kmD.(4−√2)km9. 如图，某建筑物BC直立于水平地面，AC=9米，∠A=30∘，要建造阶梯AB，使每阶高不超过20cm，则此阶梯最少要建（）（最后一阶的高不足20cm时按一阶计算，√3≈1.732）A.23阶B.24阶C.25D.26阶10. 在一个房间内，有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的高度为2m，此时梯子的倾斜角为75∘，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子顶端距地面的距离为1.65m，梯子的倾斜角为45∘，这间房子的宽为（）A.1.825mB.0.175mC.1.65mD.2m二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）11. 如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60∘方向上，且AM＝100海里．那么该船继续航行________海里可使渔船到达离灯塔距离最近的位置．12. 一个锥形零件的大头直径为10，小头直径为6，零件的长度为20，则此锥体斜角α的正切值为________．13. 如图，为了测出山高AC，我们除了要测量仰角∠B外，还要测量________的长度，才能求出AC．14. 一辆汽车沿30∘角的山坡从山底开到山顶，共走了4000m，那么此山的高度是________m．15. 如图所示，小明从坡角为30∘的斜坡的山底(A)到山顶(B)共走了200米，则山坡的高度BC为________米．16. 某人沿着山地从山脚到山顶共走1000米，他上升的高度为600米，则这个山坡的坡度比为________．17. 如图，点B在点A的北偏西30∘方向，且AB=8km，点C在点B的北偏东60∘方向，且BC=15km，则A到C的距离为________km．18. 一名臂长AB为58cm，肩宽(BC)为46cm的体操运动员在进行吊环比赛，如图是其中一个叫“十字支撑”的动作，规定双臂与水平线的夹角不超过30∘，并停顿2秒以上，该动作视为成功，否则为不成功．该运动员做这个动作时，两手之间的距离为144cm，并停顿了3秒，这名运动员的这个动作________（填“成功”或“不成功”）．19. 如图，在太阳光的照射下一棵树的影长为10米，若太阳光线与地面所成的角为25∘，则这棵树的高度为________米．（精确到0.01米）20. 某海域有A，B两个港口，B港口在A港口北偏西30∘方向上，距A港口60海里，有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75∘方向的C处，求该船与港口B之间的距离即BC的长度为________．三、解答题（本题共计6 小题，共计60分，）=1，求坡面倾斜角（坡21. 水坝横截面为等腰梯形，尺寸如图，（单位：米）坡度I=AEDE角），并计算修建长1000米的水坝约需要多少土方？22. 如图，在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持10海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15∘方向有一不明国籍的渔船C，求此时渔船C与海监船B的距离是多少．（结果保留根号）23. 如图是一座人行天桥引桥部分的示意图，上桥通道AD // BE，水平平台DE和地面AC 平行，立柱BC和地面AC垂直，∠A=37∘．已知天桥的高度BC为4.8米，引桥的水平跨度AC 为8米，求水平平台DE的长度．（参考数据：sin37∘≈0.60，cos37∘≈0.80，tan37∘≈0.75）24. 某单位为治理乱停车现象，出台了规范使用停车位的管理办法．如图，矩形ABCD是供一辆机动车停放的车位示意图，已知BC=2m，CD=5.6m，∠DCF=30∘，请你计算车位所占的宽度EF为多少m？（结果保留根号）25. 如图，某湖中有一孤立的小岛，湖边有一条笔直的观光小道AB，现决定从小岛架一座与观光小道垂直的小桥PQ通往小岛，某同学在观光道AB上测得如下数据：AB=100米，∠PAB=45∘，∠PBA=30．请求出小桥PQ的长．（√2≈1.414，√3≈1.732，结果精确到0.1米）26. 如图，小鹏准备测量学校旗杆的高度．他发现当斜坡正对着太阳时，旗杆AB的影子恰好落在水平地面BC和斜坡坡面CD上，测得旗杆在水平地面上的影长BC=20米，在斜坡坡面上的影长CD=8米，太阳光线AD与水平地面成30∘角，且太阳光线AD与斜坡坡面CD互相垂直．请你帮小鹏求出旗杆AB的高度（精确到1米）．（可供选用数据：取√2=1.4，√3=1.7）参考答案一、选择题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】B【解答】解：∵ AD⊥CB且AD=5m，∠C=∠B=60∘，∵ AC=ADsin60∘=5√32=10√33(m)．故选：B．2.【答案】C【解答】解：∵ △ABC中，AC=a米，∠A=90∘，∠C=40∘，∵ tan∠C=tan40∘=ABAC，∵ AB=a tan40∘．故选C．3.【答案】D【解答】解：∵ 斜坡的垂直高度为2米，水平宽度为4米，∵ 坡比i=2:4=1:2．故选D．4.【答案】A【解答】解：如图，∠A=α，AE=500．则EF=500sinα．故选A．5.【答案】A【解答】解：∵ BC=6米，迎水坡AB的坡度是1:√3，即BCAC =√3，∵ AC=6√3（米）.故选A.6.【答案】D【解答】解：过点M作MC⊥AB于点C，由题意可得出：∠BMC=45∘，∠AMC=30∘，∵ BC=MC，，设BC=MC=x，则tan30∘=ACMCx，∵ AC=√33x=300，∵ BC+AC=x+√33解得：x=150(3−√3)．故选：D．7.【答案】C【解答】解：如图，∵ ∠ABE=15∘，∠DAB=∠ABE，∵ ∠DAB=15∘，∵ ∠CAB=∠CAD+∠DAB=90∘．又∵ ∠FCB=60∘，∠CBE=∠FCB，∠CBA+∠ABE=∠CBE，∵ ∠CBA=45∘．∵ 在Rt△ABC中，sin∠ABC=AC BC=40×1 2BC =√22，∵ BC=20√2海里．故选C．8.【答案】C【解答】解：在CD上取一点E，使BD=DE，可得：∠EBD=45∘，AD=DC=2，∵ 从B测得船C在北偏东22.5∘的方向，∵ ∠BCE=∠CBE=22.5∘，∵ BE=EC．设AB=x，则DE=BD=AD−AB=2−x，∵ EC=BE=√2BD=√2(2−x)，∵ DE+EC=CD，∵ 2−x+√2(2−x)=2，解得x=4−2√2，即AB=4−2√2．故选：C．9.【答案】D【解答】解：∵ AC=9米，∠A=30∘，∵ BC=AC×tan30∘≈519.6cm，∵ 台阶数为：519.6÷20≈26个，故选D．10.【答案】D【解答】解：过N点作MA垂线，垂足点D，连接NM．设梯子底端为C，AB为x，且AB=ND=x．∵ △BNC为等腰直角三角形，△CNM为等边三角形（180−45−75=60∘，梯子长度相同）∠CMA=15∘．∵ ∠BNC=45∘，∵ ∠CND=45∘．∵ △CNM为等边三角形，∵ ∠MNC=60∘．∵ ∠DNM=15∘．∵ cos15∘=xMN =MACM．∵ △CNM为等边三角形，∵ NM=CM．∵ x=MA=2．故选D．二、填空题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】50√3【解答】如图，过M作东西方向的垂线，设垂足为N．易知：∠MAN＝90∘−60∘＝30∘．在Rt△AMN中，∵ ∠ANM＝90∘，∠MAN＝30∘，AM＝100海里，∵ AN＝AM⋅cos∠MAN＝100×√32=50√3海里．故该船继续航行50√3海里可使渔船到达离灯塔距离最近的位置．12.【答案】1【解答】解：锥形零件的轴截面如图：AB为小头直径，CD为大头直径，AE为零件的长度．则：CE=12(CD−AB)=2．在Rt△ACE中，此锥体斜角α的正切值为tanα=CEAE =110．故答案为：1．1013.【答案】BC【解答】解：山高AC，仰角∠B，构成Rt△ABC．解Rt△ABC，测量了∠B，还需要测量BC，才能求AC．14.【答案】2000【解答】解：由30∘所对的直角边是斜边的一半得，此山的高度=4000m÷2=2000m，15.【答案】100【解答】解：由题意可得：AB=200m，∠A=30∘，AB=100(m)．则BC=12故答案为：100．16.【答案】3:4【解答】解：由勾股定理得，水平距离为800米，则坡度比为600:800=3:4．17.【答案】17【解答】解：根据点B在点A的北偏西30∘方向，点C在点B的北偏东60∘方向，得到∠CBA=90∘．在直角△ACB中，根据勾股定理得AC=√82+152=17(km)．18.【答案】不成功【解答】解：如图，分别过B，C作AD的垂线，垂足分别为E，F．由已知得BC=46cm，AD=144cm，∵ AE=DF=12(AD−BC)=49cm，在Rt△ABE中，∵ cos A=AEAB =4958=0.8448>√32，∵ cos A>cos30∘．∵ ∠A<30∘．∵ 规定双臂与水平线的夹角不超过30∘及∠A不超过30∘，∵ 不成功．故答案为：不成功．19.【答案】4.14【解答】解：这棵树的高度=10×tan25∘≈4.14（米）．故答案为：4.14．20.【答案】(30√2+10√6)海里【解答】解：作AD⊥BC于D，∵ ∠EAB=30∘，AE // BF，∵ ∠FBA=30∘，又∠FBC=75∘，∵ ∠ABD=45∘，又AB=60，∵ AD=BD=30√2，∵ ∠BAC=∠BAE+∠CAE=75∘，∠ABC=45∘，∵ ∠C=60∘，在Rt△ACD中，∠C=60∘，AD=30√2，则tan C=AD，CD=10√6，∵ CD=√2√3∵ BC=BD+CD=30√2+10√6，故答案为：(30√2+10√6)海里．三、解答题（本题共计6 小题，每题10 分，共计60分）21.【答案】修建长1000米的水坝约需要494000土方．【解答】解：解：(1)作BF⊥DC于点F．则四边形AEFB是矩形，故EF=AB=25．=1，则∠D=45∘，DE=AE=13．在Rt△ADE中，AE=13，tan D=AEDE∵ 四边形ABCD是等腰梯形，∵ DE=CF=13，∵ DC=2×13+25=51．×13=494∵ S梯形=25+512∵ 修建长1000米的水坝约需要的土的体积是：494×1000=494000（土方）．22.【答案】此时渔船C与海监船B的距离是10√2海里．【解答】解：由题意可知，∠BAC=45∘，∠ABC=90∘+15∘=105∘，∵ ∠ACB=180∘−∠BAC−∠ABC=30∘．作BD⊥AC于D．在Rt△ABD中，BD=AB⋅sin∠BAD=10×√22=5√2（海里），在Rt△BCD中，BC=BDsin∠BCD =5√212=10√2（海里）．23.【答案】解：延长BE交AC于点F∵ AD // BE，∵ ∠BFC=∠A=37∘，又∵ BC⊥AC，即∠C=90∘，∵ tan∠BFC=BCFC，∵ FC=BCtan∠BFC = 4.8tan37∘≈ 4.80.75≈6.4(m)，∵ AF=AC−FC=8−6.4=1.6（米），∵ AD // BE，DE // AC，∵ 四边形ADEF是平行四边形，∵ DE=AF=1.6米．【解答】解：延长BE交AC于点F∵ AD // BE，∵ ∠BFC=∠A=37∘，又∵ BC⊥AC，即∠C=90∘，∵ tan∠BFC=BCFC，∵ FC=BCtan∠BFC = 4.8tan37∘≈ 4.80.75≈6.4(m)，∵ AF=AC−FC=8−6.4=1.6（米），∵ AD // BE，DE // AC，∵ 四边形ADEF是平行四边形，∵ DE=AF=1.6米．24.【答案】车位所占的宽度EF为(2.8+√3)m．【解答】解：在Rt△DCF中，∵ CD=5.6m，∠DCF=30∘，∵ sin∠DCF=FDDC =DF5.6=12，∵ DF=2.8，∵ ∠CDF+∠DCF=90∘∠ADE+∠CDF=90∘，∵ ∠ADE=∠DCF，∵ AD=BC=2，∵ cos∠ADE=DEAD =DE2=√32，∵ DE=√3，∵ EF=ED+DF=2.8+√3（米），25.【答案】小桥PQ的长度约是36.6米．【解答】解：设PQ=x米，在直角△PAQ中，tan∠PAQ=xAQ，∵ AQ=xtan45∘=x，在直角△PBQ中，tan∠PBQ=xBQ，∵ BQ=xtan30∘=√3x，∵ AB=100米，∵ x+√3x=100，解得：x=50√3−50≈36.6（米）．26.【答案】旗杆的高度是20米．【解答】解：延长AD，BC相交于点E，∵ ∠E=30∘．∵ CE=16．在△ABE中，BE=BC+CE=36．．∵ tan∠AEB=ABBE=12√3=12×1.7≈20米．∵ AB=36×√33。
北师大版初三数学9年级下册 第1章 1.5 三角函数的应用 同步练习卷(含答案)
北师大版数学九年级下册1.5《三角函数的应用》同步练习卷一、选择题1.如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，AC=7m，则树高BC为(用含α的代数式表示)（）A.7sinαB.7cosαC.7tanαD.2.如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（）A.sinA的值越大，梯子越陡B.cosA的值越大，梯子越陡C.tanA的值越小，梯子越陡D.陡缓程度与∠A的函数值无关3.一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近，同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行，20分钟后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为（）A.10海里/小时B.30海里/小时C.20海里/小时D.30海里/小时4.如图，有一轮船在A处测得南偏东30°方向上有一小岛P，轮船沿正南方向航行至B处，测得小岛P在南偏东45°方向上，按原方向再航行10海里至C处，测得小岛P在正东方向上，则A，B之间的距离是( )A.10海里B.(10－10)海里C.10海里D.(10－10)海里5.如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二踩档与第三踩档的正中间处有一条60 cm长的绑绳EF，tanα=2.5，则“人字梯”的顶端离地面的高度AD是( )A．144 cm B．180 cm C．240 cm D．360 cm6.一座楼梯的示意图如图,BC是铅垂线,CA是水平线，BA与CA的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯,已知CA=4米,楼梯宽度1米,则地毯的面积至少需要（）A.米2B.米2C.（4+）米2D.（4+4tanθ）米27.如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC=100米，∠PCA=35°，则小河宽PA等于( )A.100sin 35°米B.100sin 55°米C.100tan 35°米D.100tan 55°米8.如图，厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架的跨度BC=10米，∠B=36°，则中柱AD（D为底边中点）的长是（）A.5sin36°米B.5cos36°米C.5tan36°米D.10tan36°米9.如图，将一个 Rt△ABC 形状的楔子从木桩的底端点 P 沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动.已知楔子斜面的倾斜角为 15°，若楔子沿水平方向前进 6cm（如箭头所示），则木桩上升了（）A.6sin15°cmB.6cos15°cmC.6tan15°cmD.cm10.小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度.如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等.小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C=α（B′C为水平线），测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为（）A. B. C. D.二、填空题11.如图，小明在一块平地上测山高，先在B处测得山顶A的仰角为30°，然后向山脚直行100米到达C处，再测得山顶A的仰角为45°，那么山高AD为米（结果保留整数，测角仪忽略不计）12.如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为30°，看这栋高楼底部C的俯角为60°，热气球A与高楼的水平距离为120m，这栋高楼BC的高度为__________米．13.如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1:，堤高BC=5米，则坝底AC的长度是米．14.如图，一艘船向正北航行，在A处看到灯塔S在船的北偏东30°的方向上，航行12海里到达B点，在B处看到灯塔S在船的北偏东60°的方向上，此船继续沿正北方向航行过程中距灯塔S的最近距离是海里（结果保留根号）．15.如图，为测量某塔AB的高度，在离塔底部10米处目测其塔顶A，仰角为60°，目高1.5米，则求该塔的高度为米.（参考数据：≈1.41，≈1.73）16.如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，则cos∠BAC的值为 .三、解答题17.如图所示，我市某中学课外活动小组的同学利用所学知识去测量釜溪河沙湾段的宽度．小宇同学在A处观测对岸C点，测得∠CAD=45°，小英同学在距A处50米远的B处测得∠CBD=30°，请你根据这些数据算出河宽．（精确到0.01米，参考数据≈1.414，≈1.732）18.如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40cm，灯罩BC长为30cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD=60°，使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm？19.鲁南高铁临沂段修建过程中需要经过一座小山．如图，施工方计划沿AC方向开挖隧道，为了加快施工速度，要在小山的另一侧D(A、C、D共线)处同时施工．测得∠CAB=30°，AB=4km，∠ABD=105°，求BD的长．20.为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制．中小学楼梯宽度的范围是260mm～300mm含(300mm)，高度的范围是120mm～150mm(含150mm)．如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下：AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，各踏步互相平行，AB=CD，AC=900mm，∠ACD=65°，试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定．(结果精确到1mm，参考数据：sin65°≈0.906，cos65°≈0.423)参考答案1.C2.A3.D4.D5.B6.D7.C；8.C；9.C；10.A11.答案为：137．12.答案为：160．13.答案为：．14.答案为：。
北师大版初三数学9年级下册 第1章 1.5三角函数的应用 同步达标测评 (含答案)
北师大版九年级数学下册《1.5三角函数的应用》同步达标测评（附答案）一．选择题（共4小题，满分20分）1．如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上．已知铁塔底座宽CD＝12 m，塔影长DE＝18 m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，那么塔高AB为（ ）A．24m B．22m C．20m D．18m2．如图，矩形草坪ABCD中，AD＝10m，AB＝10m．现需要修一条由两个扇环构成的便道HEFG，扇环的圆心分别是B、D．若便道的宽为1m，则这条便道的面积大约是（ ）（精确到0.1m2）A．9.5m2B．10.0m2C．10.5m2D．11.0m23．如图所示，CD是平面镜，光线从A点出发经CD上的E点反射后到达B点，若入射角为α，AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C，D，且AC＝3，BD＝6，CD＝11，则tanα的值是（ ）A．B．C．D．4．如图，在一个房间内，有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA为a米，此时梯子的倾斜角为75°，如果梯子的底端不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距地面的垂直距离NB为b米，梯子的倾斜角为45°，则这间房子的宽AB为（ ）A．米B．米C．b米D．a米二．填空题（共8小题，满分32分）5．如图是一山谷的横断面示意图，宽AA′为15m，用曲尺（两直尺相交成直角）从山谷两侧测量出OA＝1m，OB＝3m，O′A′＝0.5m，O′B′＝3m（点A，O，O′A′在同一条水平线上），则该山谷的深h为 m．6．小敏想知道校园内一棵大树的高（如图），她测得CB＝10米，∠ACB＝50°，请你帮她算出树高AB约为 米．（注：①树垂直于地面；②供选用数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2）7．如图，我校为了筹备校园艺术节，要在通往舞台的台阶上铺上红色地毯．如果地毯的宽度恰好与台阶的宽度一致，台阶的侧面如图所示，台阶的坡角为30°，∠BCA＝90°，台阶的高BC为2米，那么请你帮忙算一算需要 米长的地毯恰好能铺好台阶．（结果精确到0.1m，取＝1.414，＝1.732）．8．为美化小区环境，某小区有一块面积为30m2的等腰三角形草地，测得其一边长为10m，现要给这块三角形草地围上白色的低矮栅栏，则其长度为 m．9．如图，在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA为a米，此时，梯子的倾斜角为75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面墙上N，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB为b米，梯子的倾斜角45°，则这间房子的宽AB是 米．10．如图，青岛位于北纬36°4′，通过计算可以求得：在冬至日正午时分的太阳入射角为30°30′．因此，在规划建设楼高为20米的小区时，两楼间的距离最小为 米，才能保证不挡光（结果保留四个有效数字）（提示：sin30°30′＝0.5075，tan30°30′＝0.5890）．11．如图梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根C的距离为2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根C的距离等于3米，同时梯子的顶端B下降至B′，那么BB′①等于1米②大于1米③小于1米．其中正确结论序号是 ．12．如图，一束光线从y轴上点A（0，1）出发，经过x轴上点C反射后经过点B（3，3），则光线从A点到B点经过的路线长是 ．三．解答题（共10小题，满分68分）13．如图1、2，图1是一个小朋友玩“滚铁环”的游戏，铁环是圆形的，铁环向前滚动时，铁环钩保持与铁环相切．将这个游戏抽象为数学问题，如图2．已知铁环的半径为5个单位（每个单位为5cm），设铁环中心为O，铁环钩与铁环相切点为M，铁环与地面接触点为A，∠MOA＝α，且sinα＝．（1）求点M离地面AC的高度BM（单位：厘米）；（2）设人站立点C与点A的水平距离AC等于11个单位，求铁环钩MF的长度（单位：厘米）．14．如图所示，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行，请你根据图中数据计算回答：小敏身高1.78米，她乘电梯会有碰头危险吗？姚明身高2.29米，他乘电梯会有碰头危险吗？（可能用到的参考数值：sin27°＝0.45，cos27°＝0.89，tan27°＝0.51）15．去年夏季山洪暴发，几所学校被山体滑坡推倒教学楼，为防止滑坡，经过地质人员勘测，当坡角不超过45°时，可以确保山体不滑坡．某小学紧挨一座山坡，如图所示，已知AF ∥BC，斜坡AB长30米，坡角∠ABC＝60°．改造后斜坡BE与地面成45°角，求AE 至少是多少米？（精确到0.1米）16．太阳光线与水平线的夹角在新疆地区的变化较大，夏至时夹角最大，冬至时夹角最小，最小夹角约为28度．现有两幢居民住宅楼高为15米，两楼相距20米，如图所示．（1）在冬至时，甲楼的影子在乙楼上有多高？（2）若在本小区内继续兴建同样高的住宅楼，楼距至少应该多少米，才不影响楼房的采光？（前一幢楼房的影子不能落在后一幢楼房上）（计算结果精确到0.1米）17．某学校体育场看台的侧面如图阴影部分所示，看台有四级高度相等的小台阶．已知看台高为1.6米，现要做一个不锈钢的扶手AB及两根与FG垂直且长为l米的不锈钢架杆AD 和BC（杆子的底端分别为D，C），且∠DAB＝66.5°．（1）求点D与点C的高度差DH；（2）求所用不锈钢材料的总长度l．（即AD+AB+BC，结果精确到0.1米）（参考数据：sin66.5°≈0.92，cos66.5°≈0.40，tan66.5°≈2.30）18．如图所示，A、B为两个村庄，AB、BC、CD为公路，BD为田地，AD为河流，且CD 与AD互相垂直．现在要从E处开始铺设通往村庄A、村庄B的一条电缆，共有如下两种铺设方案：方案一：E⇒D⇒A⇒B；方案二：E⇒C⇒B⇒A．经测量得AB＝4千米，BC＝10千米，CE＝6千米，∠BDC＝45°，∠ABD＝15度．已知：地下电缆的修建费为2万元/千米，水下电缆的修建费为4万元/千米．（1）求出河宽AD（结果保留根号）；（2）求出公路CD的长；（3）哪种方案铺设电缆的费用低？请说明你的理由．19．如图是一座人行天桥的示意图，天桥的高是10米，坡面的倾斜角为45°．为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面的倾斜角为30°，若新坡角下需留3米的人行道，问离原坡角10米的建筑物是否需要拆除？（参考数据：≈1.414，≈1.732．）20．已知：如图，A、B、C三个村庄在一条东西走向的公路沿线上，AB＝2km．在B村的正北方向有一个D村，测得∠DAB＝45°，∠DCB＝28°．今将△ACD区域进行规划，除其中面积为0.5km2的水塘外，准备把剩余的一半作为绿化用地，试求绿化用地的面积．（结果精确到0.1km2，sin28°＝0.4695，cos28°＝0.8829，tan28°＝0.5317，cot28°＝1.88.8）21．如图，在一次龙卷风中，一棵大树在离地面若干千米处折断倒下，B为折断处最高点，树顶A落在离树根C的12米处，测得∠BAC＝48°，求BC的长．（借助计算器，精确到0.1米）22．苏州的虎丘塔塔身倾斜，却历经千年而不倒，被誉为“中国第一斜塔”．如图，BC是过塔底中心B的铅垂线．AC是塔顶A偏离BC的距离．据测量，约为2.34米，倾角约为2°48′，求虎丘塔塔身AB的长度．（精确到0.1米）参考答案一．选择题（共4小题，满分20分）1．解：过D作DF⊥CD，交AE于点F，过F作FG⊥AB，垂足为G．由题意得：．∴DF＝DE×1.6÷2＝14.4（m）．∴GF＝BD＝CD＝6m．又∵．∴AG＝1.6×6＝9.6（m）．∴AB＝14.4+9.6＝24（m）．答：铁塔的高度为24m．故选：A．2．解：∵四边形ABCD为矩形，∴△ADB为直角三角形，又∵AD＝10，AB＝10，∴BD＝＝20，又∵cos∠ADB＝＝，∴∠ADB＝60°．又矩形对角线互相平分且相等，便道的宽为1m，所以每个扇环都是圆心角为30°，且外环半径为10.5，内环半径为9.5．∴每个扇环的面积为＝．∴当π取3.14时整条便道面积为＝10.4666≈10.5m2．便道面积约为10.5m2．故选：C．3．解：因为AC、BD、法线均和镜面垂直，所以∠A＝∠B＝α，而由已知得△ACE∽△BDE，所以＝即＝∴，在三角形ACE中tan A＝＝＝＝tanα．故选：D．4．解：过N点作MA垂线，垂足点D，连接NM．设梯子底端为C点，AB＝x，且AB＝ND＝x．∴△BNC为等腰直角三角形，∴180°﹣45°﹣75°＝60°∴△CNM为等边三角形，梯子长度相同∵∠NCB＝45°，∴∠DNC＝45°，∴∠MND＝60°﹣45°＝15°，∴cos15°＝，又∵∠MCA＝75°，∴∠AMC＝15°，∴cos15°＝，故可得：＝．∵△CNM为等边三角形，∴NM＝CM．∴x＝MA＝a．故选：D．二．填空题（共8小题，满分32分）5．解：设A、A′到谷底的水平距离为AC＝m，A′C＝n．∴m+n＝15．根据题意知，OB∥CD∥O′B′．∵OA＝1，OB＝3，O′A′＝0.5，O′B′＝3．∴＝＝3，＝＝6．∴（+）×h＝15．解得h＝30（m）．6．解：由题可知，在Rt△ABC中，tan50°＝AB：BC，∴AB＝tan50°×BC≈1.2×10＝12（米）．7．解：在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝2，∠C＝90°．∵tan A＝，∴＝2．∴AC+BC＝2+2≈2×1.73+2＝5.46≈5.5（m）．即地毯的长度至少需5.5m．8．解：（1）如图1，当底边BC＝10m时，由于S＝30m2，所以高AD＝6m，此时AB＝AC＝＝（m），所以周长＝（2+10）m；（2）①当△ABC是锐角三角形时，如图2，当AB＝AC＝10m时，高CE＝6，此时AE＝8m，BE＝2m，在Rt△BEC中，BC＝2m，此时周长＝（20+2）m．②当△ABC是钝角三角形时，如图3，设BD＝xm，AD＝hm，则在Rt△ABD中，×2x×h＝30，xh＝30，，解得或（舍去），故△ABC是钝角三角形时，△ABC的周长＝2×10+3＝（20+6）（m），故填空答案：2+10或20+2或20+6．9．解：过N点作MA垂线，垂足点D，连接NM．由题意得AB＝ND，△CNM为等边三角形（180﹣45﹣75＝60°，梯子长度相同），∵∠ACM＝75°，∴∠AMC＝15°．∴∠AMN＝75°，在△MND中，ND＝MN×sin75°，在△MAC中，AM＝MC×sin75°，∵MN＝MC，∴ND＝MA＝a．故答案为a．10．解：由题意可知，光线，楼和地面构成一个直角三角形．∴tan30°30′＝，所以楼间距＝，即楼间距＝≈33.96（米）．11．解：由勾股定理得：梯子AB＝，CB′＝．∴BB′＝7﹣＜1，故选③．12．解：A关于x轴的对称点A′坐标是（0，﹣1）连接A′B，交x轴于点C，作DB∥A′A，A′D∥OC，交DB于D，故光线从点A到点B所经过的路程A′B＝＝＝5．三．解答题（共10小题，满分68分）13．解：过M作与AC平行的直线，与OA、FC分别相交于H、N．（1）在Rt△OHM中，∠OHM＝90°，OM＝5，HM＝OM×sinα＝3，所以OH＝4，MB＝HA＝5﹣4＝1，1×5＝5cm．所以铁环钩离地面的高度为5cm；（2）∵铁环钩与铁环相切，∴∠MOH+∠OMH＝∠OMH+∠FMN＝90°，∠FMN＝∠MOH＝α，∴＝sinα＝，∴FN＝FM，在Rt△FMN中，∠FNM＝90°，MN＝BC＝AC﹣AB＝11﹣3＝8．∵FM2＝FN2+MN2，即FM2＝（FM）2+82，解得：FM＝10，10×5＝50（cm）．∴铁环钩的长度FM为50cm．14．解：姚明乘此电梯会有碰头危险．（1分）理由：由题意可知：AC∥BD，∴∠CAB＝∠ABD＝27°．（2分）过点C作CE⊥AC交AB于点E，（3分）在Rt△ACE中，tan∠CAE＝，（4分）∴CE＝AC•tan∠CAE＝4×tan27°≈4×0.51＝2.04（米）＜2.29（米）．∴姚明乘此电梯会有碰头危险．∵2.04＞1.78，∴小敏乘此电梯不会有碰头危险．15．解：在Rt△ADB中，AB＝30米∠ABC＝60°AD＝AB•sin∠ABC＝30×sin60°＝15≈25.98≈26.0（米），DB＝AB•cos∠ABC＝30×cos60°＝15米．连接BE，过E作EN⊥BC于N∵AE∥BC∴四边形AEND是矩形NE＝AD≈26米在Rt△ENB中，由已知∠EBN≤45°，当∠EBN＝45°时，BN＝EN＝26.0米∴AE＝DN＝BN﹣BD＝26.0﹣15＝11米答：AE至少是11.0米．16．解：（1）如图所示，作DE⊥AB，垂足为E，由题意可知∠ADE＝28°，DE＝BC＝20，在Rt△ADE中，tan∠ADE＝，AE＝DE•tan∠ADE＝20•tan28°≈10.6，则DC＝EB＝AB﹣AE＝15﹣10.6＝4.4．即冬至时甲楼的影子在乙楼上约4.4米高．（2）若要不影响要房间的采光，如图所示在Rt△ABC中，AB＝15，∠C＝28°，BC＝≈28.2．答：楼距至少28.2米，才不影响楼房的采光．17．解：（1）DH＝1.6×＝1.2（m）；（2）过B作BM⊥AH于M，则四边形BCHM是矩形．∴MH＝BC＝1（m），∴AM＝AH﹣MH＝1+1.2﹣1＝1.2（m）．在Rt△AMB中，∠A＝66.5°．∴AB＝（m）．∴l＝AD+AB+BC≈1+3.0+1＝5.0（m）．答：点D与点C的高度差DH为1.2m；所用不锈钢材料的总长度约为5.0m．18．解：（1）过点B作BF⊥AD，交DA的延长线于点F．由题意得：∠BAF＝∠ABD+∠ADB＝15°+45°＝60°，在Rt△BFA中，BF＝AB sin60°＝4×＝6（千米），AF＝AB cos60°＝4×＝2（千米）．∵CD⊥AD，∠BDC＝45°，∴∠BDF＝45°，在Rt△BFD中，∵∠BDF＝45°，∴DF＝BF＝6千米．∴AD＝DF﹣AF＝（6﹣2）（千米）．即河宽AD为（6﹣2）千米；（2）过点B作BG⊥CD于G，易证四边形BFDG是正方形，∴BG＝BF＝6千米．在Rt△BGC中，＝8（千米），∴CD＝CG+GD＝14千米．即公路CD的长为14千米；（3）方案一的铺设电缆费用低．由（2）得DE＝CD﹣CE＝8千米．∴方案一的铺设费用为：2（DE+AB）+4AD＝40万元，方案二的铺设费用为：2（CE+BC+AB）＝（32+8）万元．∵40＜32+8，∴方案一的铺设电缆费用低．19．解：∵∠CAB＝45°．∴AB＝BC＝10．∵∠CDB＝30°．∴BD＝10．∴AD＝10﹣10≈7.32．（7分）∵7.32+3＞10．答：离原坡角10米的建筑物需要拆除．（10分）20．解：在Rt△ABD中，∵∠ABD＝90°，∠BAD＝45°，∠ADB＝45°，∴BD＝AB＝2km，在Rt△BCD中，∵cot∠BCD＝，∠DCB＝28°，∴BC＝BD•cot∠BCD＝2cot28°（km），∴S△ACD＝AC•BD＝（2+2cot28°）（km2）．∴S绿地＝（2+2cot28°）≈2.6（km2）．答：绿化用地的面积为2.6km2．21．解：在直角△ABC中，tan∠BAC＝∴BC＝AC•tan48°＝12tan48°≈13.3米．22．解：在Rt△ABC中，∵sin∠ABC＝∴＝≈47.9．答：虎丘塔塔身AB长约为47.9m。
北师版数学九年级下册同步练习1.5 三角函数的应用(视角、方位角)
三角函数的应用（视角、方位角）◆随堂检测1、若从A点看B点时，B点在A点的北偏东35°的方向上，那么从B点看A点时，A点在B点的________．2、如图1，在离铁塔140m的A处，用测角仪测量塔顶的仰角为30°，•已知测角仪高AD=1.5m，则塔高BE=_________（根号保留）．(图1) (图2) (图3)3、如图2，从树顶A望地面上的C，D两点，测得它们的俯角分别是45°和30°，•已知CD=200m，点C在BD上，则树高AB等于（）．A．200m B．1003m C．1003m D．100（3+1）m4、如图3，已知楼房AB高为50m，铁塔塔基距楼房基间的水平距离BD•为100m，•塔高CD为10031503m，则下面结论中正确的是（）．A．由楼顶望塔顶仰角为60° B．由楼顶望塔基俯角为60°C．由楼顶望塔顶仰角为30° D．由楼顶望塔基俯角为30°5、轮船航行到C处时，观测到小岛B的方向是北偏西65°，那么同时从B•处观测到轮船的方向是（）．A．南偏西65° B．东偏西65° C．南偏东65° D．西偏东65°◆课下作业●拓展提高1、一船上午8点位于灯塔A的北偏东60°方向，在与灯塔A相距64海里的B•港出发，向正西方向航行，到9时30分恰好在灯塔正北的C处，则此船的速度为______．2、如图，某飞机于空中A处探测到地平面上的目标B，•此时从飞机上看目标B的俯角α=30°，飞行高度AC=1200m，则飞机到目标B的距离AB为（）．A．1200m B．2400m C．4003m D．12003m(第2题) (第3题)3、如图，飞机A在目标B的正上方，在地面C处测得飞机的仰角为α，在飞机上测得地面C处的俯角为β，飞行高度为h，AC间距离为s，从这4个已知量中任取2个为一组，共有6组，那么可以求出BC间距离的有（）．A．3组 B．4组 C．5组 D．6组4、倾斜的木板如图所示搭在货车上，货车的高度为2m，•如果木板与地面所成的角为30°，求木板的一端B与车的水平距离．5、海中有一小岛，它的周围8海里内有暗礁，轮船由西向东航行，在B点测得小岛在北偏东60°方向上，航行10海里后到达C点，此时测得小岛在北偏东45°方向上，如果不改变航向，继续向东航行，有无触礁的危险？6、两建筑物AB和CD的水平距离为45m，从A点测得C点的俯角为30°，测得D•点的俯角为60°，求建筑物CD的高度．7、某市一新开发的居民小区，每两幢楼之间距离为24m，每楼高均为18m．已知该城市正午时分太阳高度最低时，太阳光线与水平线的夹角为30°，试求：（1）此时前楼的影子落在后楼上有多高？（2）要使前楼的影子刚好落在后楼的楼脚时，两楼之间的距离应当是多少米？1、（益阳市）如图，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB 为（ ）A. αcos 5B. αcos 5C. αsin 5D. αsin 52、（广东省）如图所示，A 、B 两城市相距100km ．现计划在这两座城市间修筑一条高速公路（即线段AB ），经测量，森林保护中心P 在A 城市的北偏东30°和B 城市的北偏西45°的方向上．已知森林保护区的范围在以P 点为圆心，50km 为半径的圆形区域内．请问计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区．为什么？（参考数据：3 1.7322 1.414≈，≈）A B F EP 45° 30°α5米AB随堂检测：1、南偏西35°（或西偏南55°）2、280396+m3、D 点拨：设树高AB=x ，则CB=x ，BD=200+x ， 在Rt △ADB 中，tan ∠ADB=ADB=200x x +=33， ∴x=100（3+1）m ．4、C5、C 点拨：从哪个点观察在哪个点建立方向坐标．拓展提高：1、6433海里/时 2、B 点拨：在直角三角形中找出一直角边和一角，其他均可解．3、C 点拨：掌握直角三角形需要的条件．4、在Rt △ABC 中，AC=2m ，∠ABC=30°，∴tan ∠ABC=32,3AC BC BC=，BC=23m ． 5、如图．过M 作MN ⊥BC 于N ，设MN=x ，则CN=x ，在Rt △BMN 中，tan30°=3,310MN x BC CN x =++，x=5（3+1）． ∵5（3+1）>8，∴船继续向东航行无触礁危险．6、过C 作CE ⊥AB 于E ．在Rt △ADB 中，BD=45m ，∠ADB=60°，∴AB=453（m ）．在Rt △ACE 中，CE=45m ，∠ACE=30°，∴tan ∠ACE=AE CE，∴AE=153（m ）． ∴CD=AB-AE=453-153=303（m ）． 7、如图．由∠ADB=30°，AB=18m ，∴3m ，∴3（m ）．又∵△CDE ∽△BDA ，∴18324,18183CD CE CE BC AB -==，∴CE=18-83（m ）． 故此楼落在后楼的影子高为（18-83）m ．（2）若影子恰好落在楼脚时，距离为x ．则18x =3，x=183（m ）． 故两楼之间的距离应当为183m ．体验中考：1、B2、解：过点P 作PC AB C ⊥，是垂足，则3045APC BPC ∠=∠=°，°，AC PC =·tan 30BC PE =°，·tan 45°,AC BC AB +=Q ，PC ∴·tan 30PC +°·tan 45°=100， 31100PC ⎫∴=⎪⎪⎝⎭，(()5033503 1.73263.450PC ∴=⨯->≈≈答：森林保护区的中心与直线AB 的距离大于保护区的半径，所以计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区．。
北师大版九年级数学下册1.5 三角函数的应用(同步练习)
1.5 三角函数的应用1.某市在“旧城改造”中计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮至少要（）．A.450a元B.225a元C.150a元D.300a元第1题图第2题图2.某校自行车棚的人字架棚顶为等腰三角形，D是AB的中点，中柱CD = 1米，∠A=27°，则跨度AB的长为(精确到0.01米).3.如图,从A地到B地的公路需经过C地,图中AC=10km,∠CAB=250,∠CBA=370,因城市规划的需要,将在A、B两地之间修建一条笔直的公路．（1）求改直的公路AB的长；（2）问公路改直后比原来缩短了多少千米？（sin250≈0.42,cos250≈0.91,sin370≈0.60,tan370≈0.75）4.中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直,测得CD的长等于21米，在l上点D的同侧取点A、B，使∠CAD=300，∠CBD=600．（1）求AB的长；（2）已知本路段对校车限速为40千米/小时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．5.如图,在同一平面内,两条平行高速公路l1和l2间有一条“Z”型道路连通,其中AB段与高速公路l1成300角,长为20km；BC段与AB、CD段都垂直,长为10km，CD段长为30km,求两高速公路间的距离．BCD跨度中柱15020米30米6.图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图，已知踏板CD长为1.6m，CD与地面DE的夹角∠CDE为120，支架AC长为0.8m，∠ACD为800，求跑步机手柄的一端A的高度h （精确到0.1m）．（参考数据：sin120=cos780≈0.21，sin680=cos220≈0.93，tan680≈2.48）（赠品，不喜欢可以删除）数学这个家伙即是科学界的“段子手”，又是“心灵导师”一枚。
北师大版数学九年级下册1.5《三角函数的应用》同步练习
1.5三角函数的应用1.如图,一枚运载火箭从地面O 处发射,当火箭到达A 点时,从地面C 处的雷达站 测得AC 的距离是6km ,仰角是43o ,1s 后,火箭到达B 点,此时测得BC 的距离是6.13km ,仰角为45.54o ,这枚火箭从A 点到B 点的平均速度是多少?(精确到0.01km s )2．如图1—62所示，一艘渔船正以30海里／时的速度由西向东追赶鱼群，自A 处经半小时到达B 处，在A 处看见小岛C 在船的北偏东60°的方向上，在B 处看见小岛C 在船的北偏东30°的方向上，已知以小岛C 为中心周围10海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，则这艘船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区域的可能?3.某地震救援队探测出某建筑物废墟下方点C 处有生命迹象,已知废墟一侧地面上两探测点A ，B 相距3米,探测线与地面的夹角分别是30o 和60o (如图),试确定生命所在点C 的深度.(结果精确到0.1米,参考数据:2 1.41≈,3 1.73≈)O AB CABCD30o60o4．如图1—63所示，某货船以20海里／时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时到达，到达后立即卸货，此时接到气象部门通知，一台风中心正以40海里／时的速度由A处向北偏西60°的AC方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均会受到影响：(1)B处是否会受到台风的影响?清说明理由；(2)为避免卸货过程受到台风影响，船上人员应在多少小时内卸完货物?(精确到0.1小时，3≈1.732)5．如图l—64所示，MN表示某引水工程的一段设计路线，从点M到点N的走向为北偏西30°，在点M的北偏西60°方向上有一点A，以点A为圆心，以500米为半径的圆形区域为居民区，取MN上另一点B，测得BA的方向为北偏西75°．已知MB=400米，若不改变方向，则输水路线是否会穿过居民区?(参考数据：3≈1.732)6．如图1—65所示，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需要经C 地沿折线A—C—B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知AC＝10 km，∠A＝30°，∠B＝45°，则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米?(结果精确到0.1 km,参考数据：2≈1.413≈1.73)7.气象台发布的卫星云图显示,代号为W 的台风在某海岛(设为点O )的南偏东45o 方向的B 点生成,测得1006OB km =.台风中心从点B 以40km h 的速度向正北方向移动，经5h 后到达海面上的点C 处.因受气旋影响,台风中心从点C 开始以30km h 的速度向北偏西60o 方向继续移动.以O 为原点建立如图所示的直角坐标系．(1)台风中心生成点B 的坐标为 ,台风中心转折点C 的坐标为 ；(结果保留根号)(2)已知距台风中心20km 范围内均会受到台风侵袭.如果某城市(设为点A )位于点O 的正北方向且处于台风中心的移动路线上,那么台风从生成到最初．．侵袭该城要经过多长时间？参考答案1. 解:在Rt BCO ∆中,sin OB BCO BC∠=∴sin 6.13sin45.54 4.375OB BC BCO =⋅∠=⨯≈o 在Rt ACO ∆中,sin OA ACO AC∠=∴sin 6sin43 4.092OA AC ACO =⋅∠=⨯≈o∴ 4.375 4.0920.28AB OB OA =-=-≈答:这枚火箭从A 点到B 点的平均速度是0.28km s .2．提示：不会进入危险区．3. 解:过C 作CD AB ⊥于点D∵探测线与地面的夹角为30o 和60o∴30CAD ∠=o ,60CBD ∠=o 在Rt ACD ∆中,tan CD CAD AD∠=∴3tan tan 30CD CD AD CD CAD ===∠o 在Rt BCD ∆中,tan CD CBD BD∠=∴3tan60CD BD ==o又∵3AD BD AB -==333CD -= 解得333 1.73 2.62CD ⨯==≈∴生命所在点C 的深度约为2.6米．4．解：(1)如图1—66所示，过B 作BD ⊥AC 于D ，在Rt △ABD 中，BD=12AB ＝160海里＜200海里，所以B 处会受到台风的影响． (2)以B 为圆心，200海里为半径画圆交AC 于E ，F 两点，连接BE ，BF ．由(1)可知BD ＝160海里，又BE ＝200海里，则DE=120海里，所以AE ＝3－120)海里．设卸货时间为t ，则t 1603120-≈3.9(小时)，所以在3.9小时内卸完货才不会受台风影响．5．解：如图1—67所示，过A 作AP ⊥MN 于点P ，由题意可知∠ABP=∠PAB=45°，因为MB ＝400米，所以MP －BP=MB ＝400米，所以AP ．1tan 30o－AP ·1tan 45o=4003AP －AP=400，3＋1)≈546.4米＞500米，所以输水路线不会穿过居民区．6．解：过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ．在Rt △CDA 中，∠A ＝30°，AC ＝10km ，∴CD ＝12AC ＝5 km ，AD ＝ACcos 30°＝53km ．在Rt △BDC 中，∠B=45°，∴BD ＝CD=5km ，BC=sin 45CDo=＝52km ，∴AB ＝AD ＋BD=(53＋5)km ，∴AC ＋BC －AB ＝10＋52－(53＋5)＝5＋52－53≈5＋5×1.4l －5×1.73＝3.4(km)．即隧道开通后，汽车从A 地到B 地比原来少走约3.4 km ．7. 解(1) (1003,1003)- :(1003,2001003)- (2)过点C 作CD OA ⊥于点D ,则1003CD =,30ACD ∠=o 在Rt ACD ∆中,cos CD ACD AC∠=∴1003200cos CD AC ACD ===∠∵20020630-=,6511+=∴台风从生成到最初侵袭该城要经过11小时．A BD/y kmx kmO45o60oC。
北师大版九年级数学下册《1.5三角函数的应用》同步测试题(附答案)
北师大版九年级数学下册《1.5三角函数的应用》同步测试题（附答案）一、解答题1．（1）sin230°+2sin60°+tan45°−tan60°+cos230°；（2）√1−2tan60°+tan260°−tan60°．2．计算tan1°•tan2°•tan3°•…•tan88°•tan89°的值．3．（1）计算：2sin230°−6tan260°⋅4cos2150°2tan845°+4sin245°⋅3tan230°2sin120°⋅6tan230°；（参考公式：sinα=sin(180°−α)）（2）已知a、b是一元二次方程x2+2x−3=0的两个实根，求2√2bcos260°−√2的S值．4．如图，在▱ABCD中AE⊥BC，垂足为E，AF⊥CD，垂足为F，BD与AE，AF分别相交于点G H AG=AH．(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若AG=2EG=1．①求sin∠BAE；②求▱ABCD的面积．5．如图在Rt△ABC中∠ACB=90°D是BC上一点过点C作CE⊥AD垂足为E．连接BE并延长交AC于点F．(1)求证：CD2=ED⋅AD；(2)若D为BC的中点ACBC =23求sin∠CEF的值．6．如图一座古塔坐落在小山上(塔顶记作点A其正下方水平面上的点记作点B) 小李站在附近的水平地面上他想知道自己到古塔的水平距离便利用无人机进行测量但由于某些原因无人机无法直接飞到塔顶进行测量因此他先控制无人机从脚底(记为点C)出发向右上方(与地面成45°点A B C O在同一平面)的方向匀速飞行4秒到达空中O点处再调整飞行方向继续匀速飞行8秒到达塔顶已知无人机的速度为5米/秒∠AOC=75°求小李到古塔的水平距离即BC的长．7．在综合实践课中小明同学利用无人机测量小山AB的高度．如图CD是小明同学无人机飞到小山AB的右上方时测得山顶A的俯角为37°,AP=10米测得小明同学头顶C的俯角为53.5°,PC=80米．已知小明的身高CD为1.8米求小山AB的高度．（已知AB,CD分别与水平线BD垂直且在同一平面内参考数据：sin37°≈0.60cos37°≈0.80tan37°≈0.75sin53.5°≈0.80cos53.5°≈0.59tan53.5°≈1.35）8．某中学凤栖堂前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草间小刚站在雕像前自C处测得雕像顶A的仰角为53°小强站凤栖堂门前的台阶上自D处测得雕像顶A的仰角为45°此时两人的水平距离EC为0.45m已知凤栖堂门前台阶斜坡CD的坡比为i=1:3．（参考数据：sin53°≈45cos53°≈35tan53°≈43）(1)计算台阶DE的高度；(2)求孔子雕像AB的高度．9．如图甲、乙两艘货轮同时从A港出发分别向B D两港运送物资最后到达A港正东方向的C港装运新的物资甲货轮沿A港的东北方向航行40海里到达D港再沿东南方向航行一定距离到达C港．乙货轮沿A港的南偏东60°方向航行后到达B港再沿北偏西15°方向航行一定距离到达C港．（参考数据：√2≈1.41√3≈1.73√6≈2.45）(1)求B C两港之间的距离；(2)若甲货轮的速度为20海里/小时乙货轮的速度为30海里/小时（停靠B D两港的时间相同）哪艘货轮先到达C港？请通过计算说明．10．冬季是滑雪的最佳时节亚布力滑雪场有初、中、高级各类滑雪道．如图其中的两条初级滑雪道的线路为：①A→B→C→D；②A→E→D．点A是雪道起点点D是雪道终点点B、C、E是三个休息区．经勘测点B在点A的南偏东30°方向1800米处点C 在点B的正南方向2000米处点D在C的西南方向点E在点A的西南方向1300米处点E在点D的正北方向．（参考数据：√2≈1.414√3≈1.732）(1)求CD的长度；（精确到1米）(2)小外一家周末去亚布力滑雪小外沿滑雪道线路①全程以5米/秒的速度滑雪且在途经的每个休息区都各休息了5分钟；小外的爸爸比小外晚出发2分钟以3米/秒的速度沿滑雪道线路②滑完全程且中途没有休息．请计算说明小外和爸爸谁先到达终点D．11．某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量活动过程如下：(1)探究原理：制作测角仪时将细线一端固定在量角器圆心O处另一端系小重物G测量时使支杆OM、量角器90∘刻度线ON与铅垂线OG相互重合（如图①）绕点O转动量角器使观测目标P与直径两端点A、B共线（如图②）此时目标P的仰角是图②中的∠_____．目标P的仰角与图②中的∠_____相等请写出这两个角相等的证明过程．(2)拓展应用：公园高台上有一凉亭为测量凉亭顶端P距地面的高度PH（如图④）同学们经过讨论决定先在水平地面上选取观测点E、F E、F、H在同一直线上分别测得点P的仰角a=45∘、β=30∘测得E、F间的距离2米点O1、O2到地面的距离O1E、O2F均为1.5米．求PH的长（结果保留根号）12．如图Rt△ABO中∠ABO=90°AB=2反比例函数y=−8x的图象经过点A．(1)求点A的坐标．(2)直线CD垂直平分AO交AO于点C交y轴于点D交x轴于点E求线段OE的长．13．随着南海局势的升级中国政府决定在黄岩岛填海造陆修建机场设立雷达塔．某日在雷达塔A 处侦测到东北方向上的点B 处有一艘菲律宾渔船进入我方侦测区域且以30 海里/时的速度往正南方向航行我方与其进行多次无线电沟通无果后这艘渔船行驶了1 小时10 分到达点A 南偏东53°方向的C 处与此同时我方立即通知（通知时间忽略不计）与A 、C 在一条直线上的中国海警船往正西方向对该渔船进行侦测拦截其中海警船位于与A 相距100 海里的D 处．(1)求AC的距离和点D 到直线BC的距离；(2)若海警船航行速度为40 海里/时可侦测半径为25 海里当海警船航行1 小时时是否可以侦测到菲律宾渔船为什么？（参考数据：sin53°≈45cos53°≈35tan53°≈43）14．综合实践活动中某小组利用直角尺和皮尺测量建筑物AB和CD的高因为这两栋建筑物高度相同于是这个小组设计出一种简捷的方案如图所示：（1）把直角尺的顶点E放在两栋建筑物之间的地面上调整位置使直角尺的两边EM EN所在直线分别经过建筑物外立面的的顶部A和C；（2）用皮尺度量BE和DE的长度；（3）通过计算得到建筑物的高度．若示意图中点A B C D E M N均在同一平面内．测得BE=9m DE=36m．请求出这两栋建筑的高度．15．图1所示是屹立在于都县纪念广场的中央红军长征出发纪念碑它是由呈双帆造型的碑身与方形底座两部分组成的底座下方是台阶台阶的横截面如图2所示．已知台阶的坡面DE的坡度i=1:√3坡面DE的长为2.4m．(1)计算坡面DE的铅直高度；(2)如图3 为了测量纪念碑的高度亮亮站在纪念碑正前方广场上的点G处用高1.64m的测角仪GH测得纪念碑碑身顶端A的仰角是35°继续向纪念碑前进8.1m到达点K处此时测得纪念碑顶端45°求纪念碑的实际高度AC．（结果精确到0.01参考数据：sin35°≈0.574，cos35°≈0.819，tan35°≈0.700）16．如图1是超市的手推车如图2是其侧面示意图已知前后车轮半径均为5cm两个车轮的圆心的连线AB与地面平行测得支架AC=BC=60cm AC、CD所在直线与地面的夹角分别为30°、60°CD=50cm．(1)求扶手前端D 到地面的距离；(2)手推车内装有简易宝宝椅 EF 为小坐板 打开后 椅子的支点H 到点C 的距离为10cm DF =20cm EF∥AB ∠EHD =45° 求坐板EF 的宽度．（本题答案均保留根号） 17．千厮门大桥是重庆最具特色的斜拉桥之一 也是重庆的“网红打卡地”之一 某校数学兴趣小组的同学们欲测量千厮门大桥桥塔的高度 如图2 他们在桥下水平地面上架设测角仪CM （测角仪垂直于地面放置） 此时测得桥塔最高点A 的∠ACE =30∘ 然后将测角仪沿MB 向前水平移动132米达到点N 处 并测得桥塔最高点A 的∠ADE =45∘ 测角仪高度CM =DN =1.6米．（点M N B 在同一水平线上 AB ⊥BM ）（结果保留整数 参考数据：√2≈1.41 √3≈1.73）(1)求桥塔的高度AB 约为多少米？(2)如图3 在（1）的条件下 小语同学在洪崖洞的某地Q 处测得千厮门大桥桥塔最高点A 的∠AQG =30∘ 最低点B 的∠BQG =60∘ 则小语同学所在地Q 与AB 的水平距离约为多少米？ 18．嘉嘉在某次作业中得到如下结果： sin 27°+sin 283°≈0.122+0.992=0.9945 sin 222°+sin 268°≈0.372+0.932=1.0018 sin29°+sin 261°≈0.482+0.872=0.9873 sin37°+sin 253°≈0.602+0.802=1.0000 sin 245°+sin 245=(√22)2+(√22)2=1．据此 嘉嘉猜想：对于任意锐角α β 若α+β=90° 均有sin 2α+sin 2β=1．(1)当α=30°β=60°时验证sin2α+sin2β=1是否成立？(2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立请结合如图所示Rt△ABC给予证明其中∠A所对的边为a∠B所对的边为b斜边为c；若不成立请举出一个反例；(3)利用上面的证明方法直接写出tanα与sinαcosα之间的关系．19．阅读与思考阅读下列材料并解决后面的问题．在锐角△ABC中∠A∠B∠C的对边分别是a b c过C作CE⊥AB于E（如图1）则sinB=CEa sinA=CEb即CE=asinB CE=bsinA于是asinB=bsinA即bsinB=asinA．同理有csinC =asinAcsinC=bsinB所以asinA=bsinB=csinC．即：在一个锐角三角形中各边和它所对角的正弦的比相等．运用上述结论和有关定理在锐角三角形中已知三个元素（至少有一条边）就可以求出其余三个未知元素．根据上述材料完成下列各题：(1)如图1 在△ABC中∠A=60°∠C=45°BC=30则AB=______；(2)如图2 一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向距离灯塔50海里的A处它沿正北方向航行一段时间后到达位于灯塔北偏东45°方向上的B处此时B处与灯塔的距离为______海里；（结果保留根号）(3)在（2）的条件下试求75°的正弦值．（结果保留根号）20．如图1 正方形ABCD中P是边AD上任意一点Q是对角线AC上的点且满足∠PBQ=45°．(1)①求证：△PDB∽△QCB；②DPCQ=；(2)如图2 矩形ABCD中AB=12AD=5P、Q分别是边AD和对角线AC上的点∠PBQ=∠ACB DP=3求CQ的长；(3)如图3 菱形ABCD中DH⊥BA交BA的延长线于点H．若DC=5对角线AC=6P、Q分别是线段DH和AC上的点tan∠PBQ=34PH=85求CQ的长．参考答案：1．解：（1）sin230°+2sin60°+tan45°−tan60°+cos230°=(sin230°+cos230°)+2sin60°+tan45°−tan60°=1+2×√32+1−√3=2+√3−√3=2；（2）√1−2tan60°+tan260°−tan60°=√(1−tan60°)2−√3=√(1−√3)2−√3=√3−1−√3=−1．2．解：tan1°•tan2°•tan3°•…•tan88°•tan89°＝（tan1°•tan89°）（tan2°•tan88°）…（tan44°•tan46°）•tan45°＝1．3．（1）解：2sin230°−6tan260°⋅4cos2150°2tan845°+4sin245°⋅3tan230°2sin120°⋅6tan230°=2sin230°−6tan260°⋅4×(1−sin2150°)2tan845°+4sin245°⋅12sin60°⋅2=2sin230°−6tan260°⋅4×(1−sin230°)2tan845°+4sin245°⋅12sin60°⋅2 =2×(12)2−6×(√3)2×4×[1−(12)2]2×1+4×(√22)214×√32=−107√348；（2）解：∵a、b是一元二次方程x2+2x−3=0的两个实根∴(x+3)(x−1)=0解得a=−3b=1或b=−3a=1当a=−3b=1时则2√2bcos260°−√2=12×(−3)+√2 14×1−√2=−26+20√231；当b=−3a=1时则2√2bcos260°−√2=12×1+√2 14×(−3)−√2=−26+4√223；4．（1）证明：∠AE⊥BC AF⊥CD∠∠AEB＝∠AFD＝90°∠∠BAG＝90°−∠ABE∠DAH＝90°−∠ADF ∠四边形ABCD是平行四边形∠∠ABE＝∠ADF∠∠BAG＝∠DAH∠AG＝AH∠∠AGH＝∠AHG∠∠AGB＝∠AHD∠在△ABG 和△ADH 中{∠AGB ＝∠AHD∠BAG ＝∠DAH AG =AH∠△ABG≌△ADH∠AB ＝AD∠▱ABCD 是菱形；（2）①解：∠AD∥BC∠△ADG ∽△EBG∠AD BE =AG EG∠AG =2,GE =1∠AD BE =AG EG =2∠在菱形ABCD 中 AB =AD∠BE AB =12 ∠AE ⊥BC∠sin∠BAE =BE AB =12； ②∠sin∠BAE =12∠∠BAE =30°∠cos∠BAE =cos30°=AE AB =√32∠AB =2√3=BC∠S ▱ABCD =BC ×AE =2√3×3=6√3．5．（1）证明：∵ CE ⊥AD ∠ACB =90°∴∠CED =∠ACB =90°∵∠CDE +∠DCE =90°,∠DCE +∠ACE =90°∴∠ACE =∠CDE∴△CDE∽△ADC∴CD AD =DE CD∴ CD 2=ED ⋅AD ；（2）解：∵D为BC的中点∴BD=CD∵CD2=ED⋅AD∴BD2=ED⋅AD∴BDAD =DEBD∵∠ADB=∠ADB∴△ABD∽△BED∴∠ABD=∠BED∴∠AEF=∠BED=∠ABD ∵∠AEF+∠CEF=90°∴sin∠CEF=cos∠ABD∵∠ACB=90°ACBC =23设AC=2k,BC=3k∴AB=√AC2+BC2=√13k∴cos∠ABD=BCAB =√13k=3√1313∴sin∠CEF=3√1313．6．解：过点O作OD⊥BC交BC的延长线于点D过点O作OE⊥AB垂足为E如图所示：由题意得：AO=8×5=40米OC=4×5=20米OE=BD OE∥BD∴∠EOC=∠OCD=45°∵∠AOC=75°∴∠AOE=∠AOC−∠EOC=30°在Rt△OCD中CD=OC⋅cos45°=20×√22=10√2米在Rt△AOE中OE=AO⋅cos30°=40×√32=20√3米∴OE=BD=20√3米∴BC=BD−CD=20√3−10√2米∴小李到古塔的水平距离即BC的长为20√3−10√2米．7．解：如图过点C作CE⊥AB于点E过点P作PF⊥CE于点F过点A作AG⊥PF于点G则四边形BECD和四边形AEFG都是矩形∴AE=FG BE=CD.在Rt△APG中由题意知∠PAG=37°,AP=10米∠PG=sin∠PAG⋅AP=sin37°×10≈0.60×10=6（米）在Rt△PCF中由题意知∠PCF=53.5°,PC=80米∠PF=sin∠PCF⋅PC=sin53.5°×80≈0.80×80=64（米）∴AB=AE+BE=FG+CD=PF−PG+CD=64−6+1.8=59.8（米）．答：小山AB的高度约为59.8米．8．（1）解：∠凤栖堂门前台阶斜坡CD的坡比为i=1:3EC为0.45m∠DE EC =13∴DE=EC3=0.15m即台阶DE的高度为0.15m；（2）解：如图所示设AB的对边为MN作DF⊥MN于F∠由题意得四边形NFDE是矩形∠FN=DE=0.15m DF=NE设MN=xm则MF=(x−0.15)m在Rt△MFD中∠MDF=45°∠FD=MF=(x−0.15)m∠NC=NE−EC=(x−0.15)−0.45=(x−0.6)m∠tan53°=MNNC ≈43即xx−0.6=43解得x=2.4经检验x=2.4是原方程的解答：孔子雕像AB的高度约2.4m．9．（1）解：过点C作CM⊥AB于点M∠甲货轮沿A港的东北方向航行40海里到达D港再沿东南方向航行一定距离到达C港∠∠ADC=90°∠DAC=∠DCA=45°AD=40海里∠AD=CD=40海里∠AC=√AD2+DC2=40√2海里∠乙货轮沿A港的南偏东60°方向航行后到达B港再沿北偏西15°方向航行一定距离到达C港．∠∠CAM=∠ABN=30°∠CBN=90°−15°=75°∠∠ABC=∠CBN−∠ABN=45°在Rt△ACM中∠CAM=30°∴CM=12AC=40√2×12=20√2（海里）AM=AC⋅cos30°=20√6（海里）在Rt△BCM中∠ABC=45°∴CB=CMsin45°=40（海里）BM=CM=20√2海里∴B C两港之间的距离约为40海里；（2）解：乙货轮先到达C港理由如下：∠甲货轮航行的路程=AD+DC=40+40=80（海里）∠甲货轮航行的时间=8020=4（小时）∠乙货轮航行的路程=AB+BC=20√6+20√2+40（海里）∠乙货轮航行的时间=20√6+20√2+4030=2√6+2√2+43≈3.91（小时）∵3.91<4∴乙货轮先到达C港．10．（1）解：过B作BL⊥DE于L交AN于N过作EK⊥AN于K过C作CM⊥DE于M∵点E在点A的西南方向∴∠EAK=45°∴△AEK是等腰直角三角形∴EK=AK=√22AE=√22×1300≈919.38（米）∵∠BAN=30°∠ANB=90°∴BN=12AB=12×1800=900（米）∵DE∥BC CM⊥DE BL⊥DE EK⊥AN NL⊥DE ∴四边形ELNK BCML是矩形∴BC=BL NL=EK EL=KN ML=BC∵BL=NB+NL=900+919.38=1819.38（米）∴MC=1819.38米∵∠MCD=45°∴△MCD是等腰直角三角形∴CD=√2MC≈2573（米）；（2）解：滑雪道线路①全程=AB+BC+CD=1800+2000+2572.6=6372.6（米）∴小外滑行的时间是6572.6÷5≈1274.5（秒）≈21.2（分钟）∵小外途经的每个休息区都各休息了5分钟∴小外在滑雪道线路①共用时21.2+5×2=31.2（分钟）∵AN=√3NB≈1558.8（米）∴NK=AN−AK=1558.8−919.38=639.42（米）∴EL=KN=639.42米∴ME=ML+EL=2000+639.42=2639.42（米）∵△CDM是等腰直角三角形∴MD=MC=1819.9米∴滑雪道线路②全程=AE+ME+MD=1300+2639.42+1819.9=5759.32（米）∴小外的爸爸滑行的时间是5759.32÷3≈1919.8（秒）≈32.0（分钟）∵小外的把爸爸比小外又晚出发2分钟∴小外先到达终点D．11．解：（1）目标P的仰角是图②中的∠POC目标P的仰角与图②中的∠NOG相等证明∵∠COG=90∘∠AON=90∘∴∠POC+∠CON=∠GON+∠CON∴∠POC=∠GON；（2）解：由题意可得O1O2=2O1E=O2F=DH=1.5米由图可得tanβ=PDO2D tanα=PDO1D∴O2D=PDtanβO1D=PDtanα∵O1O2=O2D−O1D=2∴2=PDtanβ−PDtanα∴PD=2tanαtanβtanα−tanβ∴PH=PD+DH=2tan45∘tan30∘tan45∘−tan30∘+1.5=(52+√3)米．故PH的值为(52+√3)米．12．（1）解：∵AB=2∴点A的横坐标为−2∵A点在反比例函数y=−8x的图象上∴y=−8−2=4∴A(−2,4)．（2）解：∵A(−2,4)∠AB=2BO=4∠AO=√22+42=2√5∠CD垂直平分AO∠OC=12AO=√5CD⊥AO∠∠DOE=90°∠∠1+∠3=90°=∠2+∠3∠∠1=∠2∠sin∠1=sin∠2∠OC OE =ABOA即：√5OE=2√5解得：OE=5．13．（1）解：作DE⊥BC于E AF⊥BC于F=35设AF=x海里由题意得BC=30×76∠∠BAF=45°,∠ACF=53°x∠BF=AF=x，FC=AF÷tan53°=34x=35∠x+34解得x=20x=15∠34∠AC=√AF2+CF2=25∠CD=AD−AC=75∠DE=CD⋅sin∠ECD=CD⋅sin53°=60答：AC的距离为25海里点D到直线BC的距离为60海里；（2）能理由如下：设1小时后海警船到达点G菲律宾渔船到达点H则DG=40CH=30由（1）知CE=CD⋅cos53°=45∠HE=CE−CH=15GE=DE−DG=20由勾股定理得：GH=√HE2+GE2=25故可以侦测到菲律宾渔船．14．解：如图由题意得AB⊥BD CD⊥BD∴∠BEA+∠BAE=90°∠ECD+∠DEC=90°∵∠MEN=90°∴∠BEA+∠DEC=90°∴∠BAE=∠DEC∴tan∠BAE=tan∠DEC即BEAB =CDED设AB=CD=x可得9x =x36解得x=18经检验x=18是原方程的解答：两栋楼的高度为18m．15．（1）解：如图所示：过点D作DH⊥FE于点H∠i=DHEH =√3∠设DH=xm EH=√3xm∠∠DHE=90°,DE=2.4m∠DH2+HE2=DE2∠x2+(√3x)2=2.42解得：x=±1.2（负值舍去）∠CF=DH=1.2m∠坡面DE的铅直高度为1.2m；（2）设AM=ym∠∠AMI=90°,∠AIM=45°∠∠MAI=45°∠∠MAI=∠AIM∠MI=AM=ym∠∠AHM=35°，∠AMH=90°∠tan35°=AMMH≈0.700∠yMH∠MH≈y0.7∠MH−MI=8.1−y=8.1∠y0.7∠y=18.9∠AM=18.9m∠AF=AM+MF=18.9+1.64=20.54(m)∠AC=AF−CF=20.54−1.2=19.34(m)．∠纪念碑的实际高度AC为19.34m．16．（1）解：如图2 过C作CM⊥AB垂足为M又过D作DN⊥AB垂足为N过C作CG⊥DN垂足为G则∠DCG=60°．则四边形CMNG为矩形CM=NG∵AC=BC=60cm AC、CD所在直线与地面的夹角分别为30°、60°∴∠A=∠B=30°AC=30cm．则在Rt△AMC中CM=12∵在Rt△CGD中sin∠DCG=DGCD=50cmCD=25√3(cm)．∴DG=CD⋅sin∠DCG=50⋅sin60°=50×√32又GN=CM=30cm前后车轮半径均为5cm∴扶手前端D到地面的距离为DG+GN+5=25√3+30+5=(35+25√3)(cm)；（2）解：∵EF∥CG∥AB∴∠EFH=∠DCG=60°∵CD=50cm椅子的支点H到点C的距离为10cm DF=20cm∴FH=20cm如图2 过E作EQ⊥FH垂足为Q设FQ=x在Rt△EQF中∠EFH=60°∴EF=2FQ=2x EQ=√3x在Rt△EQH中∠EHD=45°∴HQ=EQ=√3x∵HQ+FQ=FH=20cm∴√3x+x=20解得x=10√3−10．∴EF=2(10√3−10)=20√3−20(cm)．答：坐板EF的宽度为(20√3−20)cm．17．（1）解：如图所示延长CD交AB于点F由题意得：CD=MN=132DF=BN∠AFD=90°CM=DN=BF=1.6设DF=x则CF=x+132在Rt△ADF中∠ADF=45°∴AF=x在Rt△ACF中∠ACE=30°tan30°=AFCF =xx+132≈0.58∴x≈182经检验x≈182是原方程的解且符合题意∴AB=AF+BF=182+1.6≈184米∴桥塔的高度约为184米（2）解：延长QG交AB于点M由题意可知QM⊥AB AB=184∵∠AQG=30°∠BQG=60°∠A=60°∠B=30°设AM=y则BM=184−ytan∠A=tan60°=QMAM≈1.73tan∠B=tan30°=QMBM≈0.58tan30°tan60°=AMBM=y184−y=0.581.73解得：y≈46.2∴QM=AM·tan60°=46.2×√3=80故Q处与AB的水平距离约为80米18．（1）解：∠sin30°=12sin60°=√32∠sin2α+sin2β=(12)2+(√32)2=1结论成立；（2）解：成立．理由如下：在Rt△ABC中sinα=ac sinβ=bc且a2+b2=c2∠sin2α+sin2β=(ac )2+(bc)2=a2+b2c2=c2c2=1故结论成立；（3）解：tanα=sinαcosα理由如下：在Rt△ABC中sinα=ac cosα=bctanα=ab∠tanα=acbc=sinαcosα∠tanα=sinαcosα．19．（1）解：由题意可知：asinA =bsinB=csinC∠∠A=60°∠C=45°BC=30∠BC sin60°=ABsin45°即√32=√22∠AB=10√6故答案为：10√6．（2）解：如图：由题意可知∠APE=60°，∠BPF=45°AB∥EF AP=50海里asinA =bsinB=csinC∠∠A=∠APE=60°，∠B=∠BPF=45°∠BP sin60°=APsin45°即√32=√22∠BP=25√6∠B处与灯塔的距离为25√6海里故答案为：25√6．（3）解：如图：由题可知PA=50海里PC⊥AB∠∠EPC=∠FPC=90°∠∠APE=60°∠BPF=45°∠∠APC=30°∠bPC=45°∠∠APB=∠APC+∠BPC=75°在Rt△APC中AC=12PA=25海里PC=√32PA=25√3海里在Rt△BPC中BC=PC=25√3海里∠AB=AC+BC=(25+25√3)海里由前面定理可知：ABsin∠APB =PAsin∠B则25+25√3sin75°=50sin45°∠sin75°=25+25√350×√22=√2+√64∠75°的正弦值√2+√64．20．（1）解：①∵四边形ABCD为正方形BD AC是对角线∴∠PDB=∠QCB=∠DBC=45°∴∠QBC+∠DBQ=45°∵∠PBQ=45°∴∠PBD+∠DBQ=45°∴∠QBC=∠PBD∴△PDB∽△QCB；②∵四边形ABCD为正方形∴BC=DC∠BCD=90°∴BD=√BC2+DC2=√2BC∵△PDB∽△QCB∴DPCQ =BDBC=√2BCBC=√2；故答案为：√2；（2）解：连接BD交AC于点O∵四边形ABCD为矩形∴AD∥BC OA=OD∠DAB=90°∴∠ACB=∠OAD=∠ODA=∠OBC∵∠PBQ=∠ACB∴∠PBQ=∠OBC∴∠PBD+∠DBQ=∠QBC+∠DBQ∴∠PBD=∠QBC ∴△PDB∽△QCB∴QCPD =BCBD∵AB=12AD=5∴BD=√AB2+AD2=13∵BC=AD=5DP=3∴QC3=513∴QC=1513；（3）解：连接BD交AC于点O∵四边形ABCD为菱形AC BD是对角线∴AC⊥BD∴AO=OC=12AC=3∴BO=√BC2−OC2=√52−32=4∴tan∠DBC=OCOB =34∵tan∠PBQ=34∴∠DBC=∠PBQ∴∠DBQ+∠PBD=∠DBQ+∠QBC ∴∠PBD=∠QBC∵DH⊥BH AC⊥BD∴∠DBC+∠ACB=90°∵四边形ABCD为菱形BD是对角线∴∠ABD=∠CBD∴∠HDB=∠ACB∴△PDB∽△QCB∴QCPD =BCBD∵AC=6∴OC=OA=12AC=3∵AB=BC=DC=5∴OB=OD=4即BD=8∵12AC⋅BD=AB⋅DH∴5DH=12×6×8∴DH=245∵PH=85∴DP=DH−PH=245−85=165∴165QC=85∴QC=2．。
北师大版九年级数学下册 1.5 三角函数的应用 同步测试
1.5 三角函数的应用同步测试一、选择题1. 如图，梯形护坝的斜坡AB 的坡度i ＝1∶3，坝高BC 为2米，则斜坡AB 的长是（）A．54米 D．6米2米 B．102米 C．52.某市在“旧城改造”中计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮至少要（）．A.450a元B.225a元C.150a元D.300a元3.如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为300，看这栋高楼底部C的俯角为600，热气球A与高楼的水平距离为120m，这栋高楼BC的高度为A. 40 3mB. 803mC. 1203mD. 160 3m4.一段拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB的坡度为i=1：，坝高BC=6m，则坡面AB的长度（）A. 12mB. 18mC. 6D. 125.如图，已知一商场自动扶梯的长l 为13米，高度h 为5米，自动扶梯与地面所成的夹角为θ，则tan θ的值等于A ．B ．C ．D ．6.铁路的路基的横断面为等腰梯形，其腰的坡度为1∶1.5，上底宽为6 m ，路基高为4 m ，则路基的下底宽为（ ） A ．18 m B ．15 m C ．12 m D ．10 m7.如图，把易拉罐中的水倒入一个圆水杯的过程中，当水杯中的水在点 P 与易拉罐刚好接触时水杯中的水深为（ ）A ．2 cmB ．4 cmC ．6 cmD ．8 cm8. 如图，为测量一棵与地面垂直的树OA 的高度，在距离树的底端30米的B 处，测得树顶A 的仰角∠ABO 为α，则树OA 的高度为( )A.30tan α米B ．30sin α米C ．30tan α米D ．30cos α米9. 如图，坡角为30°的斜坡上两树间的水平距离 AC 为2 m ，则两树间的坡面距离 AB 为（ ）A.4米B.米3C.米334 D.米3410.如图，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B 处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4m ，测得仰角为60°，已知小敏同学身高（AB ）为1.6m ，则这棵树的高度为（ ）（结果精确到0.1m ，3≈1.73）．A ． 3.5mB ． 3.6mC ． 4.3mD ． 5.1m二、填空题 11如图：在菱形中，，为垂足.若，，是边上的一个动点，则线段的长度的最小值是.12. 某水库水坝的坝高为10米，迎水坡的坡度为1：2.4，则该水库迎水坡的长度为________ 米．13.小强和小明去测量一座古塔的高度，如图，他们在离古塔60 m 处( A )用测角仪测得塔顶的仰角为30°，已知测角仪高 AD ＝1.5 m ，则古塔BE 的高为______m ．14.某校自行车棚的人字架棚顶为等腰三角形，D 是AB 的中点，中柱CD = 1米，∠A=27°，则跨度AB 的长为 (精确到0.01米).15.如图,在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度,AC=7米,则树高BC为米（用含α的代数式表示）．16.如图，秋千链子的长度OA=3m，静止时秋千踏板处于A位置．此时踏板距离地面0.3m，秋千向两边摆动．当踏板处于A′位置时，摆角最大，即∠AOA′=50°，则在A′位置，踏板与地面的距离为________m．（sin50°≈0.766，cos50°≈0.6428，结果精确到0.01m）三、综合题17.如图，海中有一小岛P，在距小岛16 海里范围内有暗礁，一轮船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东45°，且A，P之间的距离为32海里，若轮船继续向正东方向航行，有无触礁的危险？请通过计算加以说明．如果有危险，轮船自A处开始至少沿东偏南多少度方向改变航向，才能安全通过这一海域？18.如图，在中，，，，点为延长线上的一点，且，为的外接圆．求的长．19. 某省将地处A，B两地的两所大学合并成了一所综合性大学．为了方便A，B 两地师生交往，学校准备在相距 2千米的A，B两地之间修筑一条笔直的公路(即图4.33中的线段AB)．经测量，在A地的北偏东60°方向，B地北偏西45°方向的C 处有一个半径为0.7千米的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园为什么？20.如图,在同一平面内,两条平行高速公路l1和l2间有一条“Z”型道路连通,其中AB段与高速公路l1成300角,长为20km；BC段与AB、CD段都垂直,长为10km，CD段长为30km,求两高速公路间的距离．1.5 三角函数的应用同步测试答案一、选择题1.B2.C3.D4.A5.A6.A7.C8.C9.C 10.D 二、填空题 11. 4.8 12.26 13.5.1320+ 14.3.93 15.7αtan 16．1.37三、综合题17.轮船自A 处开始至少沿东偏南15度方向航行，才能安全通过这一海域。
北师大版九年级下《1.5三角函数的应用》同步练习含答案
1.5 三角函数的应用同步练习一、单选题1、若已知CD是Rt△ABC斜边AB上的高，AC=8，BC=6，则cos∠BCD的值是（）A、B、C、D、2、如图，在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，已知A（3，2）、B（-2，3），则∠OAB的等于（）A、30°B、45°C、60°D、75°3、某人沿倾斜角为β的斜坡前进100m，则他上升的最大高度是( )m A、B、100•sinβC、D、100•cosβ4、如图，市政府准备修建一座高AB＝6m的过街天桥，已知天桥的坡面AC与地面BC的夹角∠ACB的余弦值为，则坡面AC的长度为( )A、mB、10 mC、mD、m5、如图所示，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为１米，继续往前走３米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB等于（）A、4.5米B、6米C、7.5米D、8米6、四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部分是一个小正方形，这样就组成了一个“赵爽弦图”（如图）．如果小正方形面积为49，大正方形面积为169，直角三角形中较小的锐角为θ，那么sinθ的值（）A、B、C、D、7、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，∠D=120°，AB=8cm，则DC的长为（）A、B、C、D、8、若坡面与水平面的夹角为α，则坡度i与坡角α之间的关系是（）A、i=cosαB、i=sinαC、i=cotαD、i=tanα9、一个物体从A点出发，沿坡度为1：7的斜坡向上直线运动到B，AB=30米时，物体升高（）米．B、3C、D、以上的答案都不对10、如图，两个高度相等的圆柱形水杯，甲杯装满液体，乙杯是空杯．若把甲杯中的液体全部倒入乙杯，则乙杯中的液面与图中点P的距离是（）A、2cmB、4cmC、6cmD、8cm11、如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长是8 m，则乘电梯从点B到点C 上升的高度h是（）A、mB、4 mD、8 m12、如图，已知A点坐标为（5，0），直线与y轴交于点B，连接AB，若∠a=75°，则b的值为 ( )A、3B、C、D、13、如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6米，坝高20米，斜坡AB的坡度i=1：2.5，斜坡CD的坡角为30度，则坝底AD的长度为（）A、56米B、66米C、（56+20）米D、（50+20）米14、如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60cm长的绑绳EF，tanα=，则“人字梯”的顶端离地面的高度AD是（）A、144cmB、180cmC、240cmD、360cm15、如图，为测量河两岸相对两电线杆A、B间的距离，在距A点16m的C处（AC⊥AB），测得∠ACB=52°，则A、B之间的距离应为（）A、16sin52°mB、16cos52°mC、16tan52°mD、m二、填空题16、在以O为坐标原点的直角坐标平面内有一点A（﹣1，3），如果AO与y轴正半轴的夹角为α，那么角α的余弦值为________17、如图，点A（3，t）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα=，则t的值是________18、在直角坐标系中，已知点P在第一象限内，点P与原点O的距离OP=2，点P与原点O的连线与x轴的正半轴的夹角为60°，则点P的坐标是________ ．19、如图是石景山当代商场地下广场到地面广场的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示地下广场、地面广场电梯口处的水平线．已知∠ABC=135°，BC的长约是6m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是________ m．20、如图，是一张宽m的矩形台球桌ABCD，一球从点M（点M在长边CD上）出发沿虚线MN射向边BC，然后反弹到边AB上的P点，如果MC=n，∠CMN=α，那么P点与B点的距离为________ ．三、解答题21、如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10,tanA=4/3,点D是斜边AB 上的动点，连接CD，作DE⊥CD，交射线CB于点E,设AD=x.（1）当点D是边AB 的中点时，求线段DE的长；（2）当△BED是等腰三角形时，求x的值；（3）如果y=DE/DB。
北师大版九年级下学期1.5、三角函数的应用同步测试
2019~2020学年北师大版九年级（下）第一章5、三角函数的应用（含答案）一、选择题：1、如图，一艘货轮位于灯塔P 的南偏东45°方向，距离灯塔60n mile 的A 处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的北偏东30°方向上的B 处，这时，B 处与灯塔P 的距离是（）A 、360n mileB 、260n mileC 、330n mileD 、230n mile2、如图，在一段两岸平行的地方测量河宽，在点C 处测得∠ACB=30°，在点D 处测得∠ADB=60°，CD=80m ，则河宽AB 为（）A 、240mmB 、280mC 、340mD 、380m3、如图，长为4m 的楼梯AB 的倾斜角∠ABD=60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD 为45°，则调整后的楼梯AC 的长为（）A 、2mB 、62mC 、）（232-mD 、)262(-m第1题图第2题图第3题图4、如图，一座公路桥离地面高度AC 为6米，引桥AB 的水平宽度BC 为24米；为降低坡度，现决定将引桥坡面改为AD ，使其坡度为1：6，则BD 的长是（）A 、36米B 、24米C 、12米D 、6米第4题图第5题图第6题图5、如图，一艘轮船以40海里/时的速度在海面上航行，当它航行到A 处时，发现它的北偏东30°方向上有一灯塔B ；轮船继续向北航行2小时后到达C 处，发现灯塔B 在它的北偏东60°方向；若轮船继续向北航行，那么，再经过（）小时，轮船离灯塔最近；A 、1B 、3C 、2D 、326、如图，在一笔直的海岸线l 上有A ，B 两个观测站，AB=2km ，从A 测得船C 在北偏东45°的方向，从B 测得船C 在北偏东22.5°的方向，则船C 离海岸线l 的距离（即CD ）的长是（）A 、4kmB 、22(+kmC 、22kmD 、24(-km二、填空题：7、如图，在建筑平台CD 的的顶部C 处，测得大树AB 的顶部A 的仰角为45°，测得大树AB 的底部B 的俯角为30°，已知平台CD 的高度为5米，则大树的高度为__________（结果保留根号）；第7题图第8题图8、如图，无人机于空中A 处测得某建筑物顶部B 处的仰角为45°，测得该处建筑物底部C处的俯角为17°；若无人机的飞行高度AD 为62米，则建筑物BC 的高度约为__________；（参考数据：sin17°≈0.29，cos17°≈0.96，tan17°≈0.31）9、如图，港口A 在观测站O 的正东方向，OA=4km ，某船从港口A 出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B 处，此时从观测站O 处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB 的长）为_________km ；第9题图第10题图10、如图，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD ，AE ，DF 为梯形的高，其中迎水坡AB 的坡角α=45°，坡长AB=26米，背水坡CD 的坡度i =3:1（i 为DF 与FC 的比值），则背水坡的坡度CD 为___________；三、解答题：11、如图，测量宝塔CD 的高度，在A 处测得∠CAD=30°，在B 处测得∠CBD=45°，并测得AB=52米，那么塔高CD 约是多少米？（414.12732.13≈≈，，结果保留整数）12、如图，正在执行任务的海监船以每小时50n mile的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上；（1）求∠APB的度数；（2）已知在灯塔P的周围25n mile内有暗礁，则海监船继续向正东方向航行是否安全？13、如图，某无人机于空中A处探测目标B，D的俯角分别是30°，60°，此时无人机的飞30m 行高度AC（点B、D、C在同一水平线上）为60m，随后无人机从A处继续水平飞行3到达A′处；（1）求AB间的距离；（2）当无人机到达A′处时，求从无人机上看目标D的俯角的正切值；14、如图，一艘轮船自西向东航行，在A 处测得小岛P 的方位是北偏东75°，航行7海里后，在B 处测得小岛P 的方位是北偏东60°；如果小周围3.8海里内有暗礁，问该船一直向东航行，有无触礁的危险？并说明原因；参考答案：1~6BCBCAB7、）（355 ；8、262米；9、2210、12米；11、约74米；12、（1）∠APB=30°；（2）海监船继续向正东方向航行是安全的；13、（1）AB=120米；（2）532；14、PC=3.5<3.8，所以有危险；。
北师大九年级数学下册 1.5 三角函数的应用 同步作业(无答案)
1.5三角函数的应用一、选择题1. 如图，要测量B点到河岸AD的距离，在A点测得∠BAD＝30°，在C点测得∠BCD＝60°，又测得AC＝100米，则B点到河岸AD的距离为( )A. 100米B．503米C．20033米D．50米2. 一斜坡长为10米，高度为1米，那么坡比为( )A．1∶3 B．1∶1 3C．1∶10 D．1：10 103. 如图，为安全起见，萌萌拟加长滑梯，将其倾斜角由45°降至30°.已知滑梯AB的长为3m，点D、B、C在同一水平地面上，那么加长后的滑梯AD的长是( )A. 22m B．23mC．32m D．33m4. 如图，在坡角为30°的斜坡上要栽两棵树，要求它们之间的水平距离AC为6m，则这两棵树之间的坡面AB的长为( )A. 12m B．33mC．43m D．123m5. 如图，坡角为30°的斜坡上两树间的水平距离AC为2 m，则两树间的坡面距离AB为( )A．4m B．3mC．433m D．43m二、填空题如图是石景山当代商场地下广场到地面广场的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示地下广场、地面广场电梯口处的水平线．已知∠ABC＝135°，BC的长约是62m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是．7. 如图，一棵树BC的高是10m，一只小鸟在地面上的A处沿着倾斜角为30°的方向直飞向树梢B处，则小鸟飞行的路程是m.8. 在同一时刻太阳光线与水平线的夹角是一定的．如图，有一垂直于地面的物体AB．在某一时刻太阳光线与水平线的夹角为30°时，物体AB的影长BC为4米；在另一个时刻太阳光线与水平线的夹角为45°时，则物体AB的影长BD为米．(结果保留根号)9. 如图，一艘船向正北航行，在A处看到灯塔S在船的北偏东30°的方向上，航行12海里到达B点，在B处看到灯塔S在船的北偏东60°的方向上，此船继续沿正北方向航行过程中距灯塔S的最近距离是海里(不作近似计算).三、解答题10. 如图，一棵高6m的树在太阳光的照射下，影长为10m，求此时太阳光线与地面所成角的正切值．11. 如图，海中有一小岛A，它周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？12. 已知，如图，在△ABC中，∠C＝90°，sin A＝25，D为AC上一点，∠BDC＝45°，DC＝6，求AB的长．13. 如图，斜坡AC的坡度(坡高比水平距离)为1∶3，AC＝10米．坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带AB相连，AB＝14米．求旗杆BC 的高度．14. 某地震救援队探测出某建筑物废墟下方点C处有生命迹象，已知废墟一侧地面上两探测点A，B相距3米，探测线与地面的夹角分别是30°和60°(如图), 试确定生命所在点C的深度. (结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)。
北师大版九年级数学下册1.5三角函数应用同步练习题(Word版,无答案)
北师大版九年级数学下册第一章三角函数的应用同步练习一、选择题1、如下列图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC=5m，那么坡面AB的长是〔〕A．10m B．m C．15m m2、如图，两个高度相等的圆柱形水杯，甲杯装满液体，乙杯是空杯．假设把甲杯中的液体全部倒入乙杯，那么乙杯中的液面与图中点P的距离是〔〕A．2cmB．4cm C．6cmD．8cm3、在“测量旗杆的高度〞的数学课题学习中，某学习小组测得太阳光线与水平面的夹角为27°〔tan27°≈〕，此时旗杆在水平地面上的影子的长度为24米，那么旗杆的高度约为〔〕A．24米B．20米C．16米D．12米4、如图，先锋村准备在坡角为么这两树在坡面上的距离ABα的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为为〔〕5米，那A．5cosαC．5sinαD．6、如图是一台54英寸的大背投彩电放置在墙角的俯视图．设∠DAO=a，彩电后背AD平行于前沿BC，且与BC的距离为60cm，假设AO=100cm，那么墙角O到前沿BC的距离OE是〔〕A．〔60+100sina〕cm B．〔60+100cosa〕cmC60+100tana D．以上答案都不对7、如下列图，要在离地面5m处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成60°角，假设考虑既要符合设计要求，又要节省材料，那么在库存的l1、l2、l3、l4=10m四种备用拉线材料中，拉线AC最好选用〔〕A．l1B．l2C．l3D．l48、如图，某地夏季中午，当太阳移至房顶上方偏南时，光线与地面成80°角，房屋朝南的窗子高，要在窗子外面上方安装水平挡光板AC，使午间光线不能直接射入室内，那么挡光板的宽度AC为〔〕A．°m B．°m m m9、如图，小阳发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=8米，BC=20米，CD与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为2米，那么电线杆的高度为〔〕A．9米B．28米米〕米如图，AB是伸缩式的遮阳棚，CD是窗户，要想在夏至的正午时刻阳光刚好不能射入窗户，那么AB的长度是〔〕米．〔假设夏至正午时的阳光与地平面的夹角是60°〕A．4B．3C．2D．二、填空题11、如图，学校的保管室里，有一架5米长的梯子斜靠在墙上，此时梯子与地面所成角为45°，如果梯子底端O固定不动，顶端靠到对面墙上，此时梯子与地面所成的角为60°，那么此保管室的宽度AB为．12、如图，在平地上种植树木时，要求株距〔相邻两树间的水平距离〕为为的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为4m．如果在坡度．13、如图，某市在“旧城改造〞中方案在一块如下列图的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，这种草皮每平方米a元，那么购置这种草皮至少要．14、如下列图，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角，这时测得大树在地面上的影子约为10米，那么大树的高约为米．〔保存根号〕15、如图，是一张宽m的矩形台球桌线MN射向边BC，然后反弹到边AB 点的距离为．ABCD，一球从点上的P点，如果M〔点M在长边MC=n，∠CMN=CD上〕出发沿虚α，那么P点与B16、如图，我校为了筹备校园艺术节，要在通往舞台的台阶上铺上红色地毯．如果地毯的宽度恰好与台阶的宽度一致，台阶的侧面如下列图，台阶的坡角为30°，∠BCA=90°，台阶的高BC为2米，那么请你帮助算一算需要米长的地毯恰好能铺好台阶．〔结果精确到，三、解答题17、如图，有一段斜坡BC长为10米，坡角∠CBD=12°，为方便残疾人的轮椅车通行，现准备把坡角降为5°．1〕求坡高CD；2〕求斜坡新起点A到原起点B的距离〔精确到米〕．参考数据：sin12°≈，cos12°≈，tan5°≈．18、如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上．铁塔底座宽CD=12m，塔影长DE=18m，小明和小华的身高都是，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，那么塔高AB为〔〕19、如图，某公园入口处原有三阶台阶，每级台阶高为20cm，深为30cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡的坡度，求AC的长度．，20、身高米的小明站在平坦的公路上，见前方有AB，CD两建筑物，这时还能从 CD的，上端见到AB的一局部，且他的视线与水平线的夹角α=30°，米高，假设小明继，续向前走到N的位置时，AB刚好被CD遮住，此时他的视线与水平线的夹角β=45°，求小明从M向N行进了多少米．，，，，，，，，，，，，，21、超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图，观测点设在A处，离益阳大道的距离〔AC〕为30米．这时，一辆小轿车，由西向东匀速行驶，测得此车从B处行驶到C处所用的时间为8秒，∠BAC=75°．，〔1〕求B、C两点的距离；，〔2〕请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度？，〔计算时距离精确到1米，参考数据：sin75°≈，cos75°≈，tan75°≈，60千米/小时≈米/秒〕22、小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角为120°，感觉最舒适〔如图1〕，侧面示意图为图2．使用时为了散热，她在底板下垫入散热架ACO′后，电脑转到AO′B′位置〔如图3〕，侧面示意图为图4．OA=OB=24cm，O′C⊥OA于点C，O′C=12cm．〔1〕求∠CAO′的度数．〔2〕显示屏的顶部B′比原来升高了多少？〔3〕如图4，垫入散热架后，要使显示屏O′B与水平线的夹角仍保持120°，那么显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转多少度？23、如图，益阳市梓山湖中有一孤立小岛，湖边有一条笔直的观光小道AB，现决定从小岛架一座与观光小道垂直的小桥PD，小张在小道上测得如下数据：米，∠°，∠°．请帮助小张求出小桥PD的长并确定小桥在小道上的位置．〔以A，B为参照点，结果精确到米〕〔参考数据：°，°，°，°，°，°〕24、如图，某防洪指挥部发现长江边一处长500米，高10米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤〔横断面为梯形ABCD〕急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米，加固后背水坡EF的坡比．〔1〕求加固后坝底增加的宽度AF；〔2〕求完成这项工程需要土石多少立方米？〔结果保存根号〕。
北师大版九年级数学下册1.5：三角函数应用同步练习题(Word版,无答案)
北师大版九年级数学下册第一章：三角函数的应用同步练习一、选择题1、如图，一个小球由地面沿着坡度 i=1：2的坡面向上前进了10m，此时小球距离地面的高度为〔〕A．5mB．m C．m m2、如图，在山地上种树，∠A=30°，AC=3米，那么相邻两株树的坡面距离AB是〔〕A．6米米米米3、数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘相隔的两棵树所示的测量方案：从树A沿着垂直于AB的方向走到F，C为AE上一点，其中3位同学分别测得三组数据：③CD，∠ACB，∠ADB．其中能根据所测数据求得A、B的距离，他们设计了如图E，再从E沿着垂直于AE的方向走到①AC，∠ACB；②EF、DE、AD；A、B两树距离的有〔〕A．0组B．一组C．二组D．三组4、如图，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角，这时测得大树在地面上的影长约为10m，那么大树的长约为〔〕m〔保存两个有效数字，以下数据供选用：，〕．A．17米B．19米C．21米D．米5、身高相等的三名同学甲，乙，丙参加风筝比赛，三人放出风筝的线长，线与地面夹角如表〔假设风筝线是拉直的〕，那么三人所放的风筝中〔〕下同学甲乙丙放出风筝线长100m100m90m线与地面交角40°45°60°A．甲的最高B．丙的最高C．乙的最低D．丙的最低6、如图，将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动．楔子斜面的倾斜角为15°，假设楔子沿水平方向前进6cm〔如箭头所示〕，那么木桩上升了〔〕A．6sin15°cm B．6cos15°cm C．6tan15°cm cm7、小明发现在教学楼走廊上有一拖把以15°的倾斜角斜靠在栏杆上，严重影响了同学们的行走平安．他自觉地将拖把挪动位置，使其的倾斜角为75°，如果拖把的总长为，那么小明拓宽了行路通道〔〕m．〔结果保存三个有效数字，参考数据：sin15°≈，cos15°≈〕．A．B．C．D．二、填空题8、一棵树因雪灾于A处折断，测得树梢触地点B到树根C处的距离为4米，∠ABC约45°，树干AC垂直于地面，那么此树在未折断之前的高度约为米．〔答案保存根号〕9、长为4m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角〔如下列图〕，那么梯子的顶端沿墙面升高了m．10、如图，某山坡的坡面AB=200米，坡角∠BAC=30°，那么该山坡的高BC的长为米．11、如图，小亮在太阳光线与地面成35°角时，测得树AB在地面上的影长BC=18m，那么树高AB约为m〔结果精确到〕12、如图，AB、CD是两栋楼，且AB=CD=30m，两楼间距AC=24m，当太阳光与水平线的夹角为30°时，AB楼在CD楼上的影子是m．〔精确到〕13、如图，一游人由山脚A沿坡角为30°的山坡AB行走600m，到达一个景点B，再由B沿山破BC行走200m到达山顶C，假设在山顶C处观测到景点B的俯角为45°，那么山高CD等于m．〔结果用根号表示〕三、解答题14、某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A、B两个探测点探测到C处有生命迹象．A、B两点相距4米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命所在点C的深度．〔精确到米，参考数据：〕15、如图是一座人行天桥，天桥的高12米，坡面的坡比为=1：1，为了方便行人推车过天桥，市政府决定降低坡度，使新的斜坡的坡角为30°，问离原坡底8米处的大型广告墙M要不要撤除？16、如图，某幼儿园为了加强平安管理，决定将园内的滑滑板的倾斜度由45°降为30°，已知原滑滑板AB的长为5米，点D、B、C在同一水平地面上．求：改善后滑滑板会加长多少？〔精确到〕〔参考数据：，，〕17、四川雅安发生里氏级地震，救援队救援时，利用生命探测仪在某建筑物废墟下方探测到点C处有生命迹象，废墟一侧地面上两探测点A、B相距4米，探测线与地面的夹角分别为30°和60°，如下列图，试确定生命所在点C的深度〔结果精确到米，参考数≈，≈〕18、某村为方便村民夜间出行，方案在村内公路旁安装如下列图的路灯，路灯灯臂AB的长为，灯臂AB与灯柱BC所成的角〔∠ABC〕的大小为105°，要使路灯A与路面的距离AD为7m，试确定灯柱BC的高度．〔结果保存两位有效数字〕19、我市某乡镇学校教学楼后面靠近一座山坡，坡面上是一块平地，如下列图，BC∥AD，斜坡AB=40米，坡角∠BAD=60°，为防夏季因瀑雨引发山体滑坡，保障平安，学校决定对山坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过45°时，可确保山体不滑坡，改造时保持坡脚A不动，从坡顶B沿BC削进到E处，问BE至少是多少米？〔结果保存根号〕．20、如下列图，一辆吊车的吊臂以63°的倾角倾斜于水平面，如果这辆吊车支点高度AB为2m，且点A到铅垂线ED的距离为AC=15m，求吊臂的最高点ED的长．〔sin63°≈，cos63°≈，tan63°≈，精确到〕A距地面的E到地面的高度21、图1是安装在斜屋面上的热水器，图2是安装该热水器的侧面示意图．，斜屋面的倾斜角为25°，长为米的真空管A B与水平线AD的夹角为40°，安装热水器的铁架水平横管BC长米，求〔1〕真空管上端B到AD的距离〔结果精确到米〕；〔2〕铁架垂直管CE的长〔结果精确到米〕．22、如图是某货站传送货物的平面示意图．为了提高传送过程的平安性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°．原传送带AB长为4米．〔1〕求新传送带AC的长度；〔2〕如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物MNQP 是否需要挪走，并说明理由．〔说明：〔1〕〔2〕的计算结果精确到米，参考数据：≈，≈，≈，≈〕23、如图1，图2，是一款家用的垃圾桶，踏板AB〔与地面平行〕或绕定点P〔固定在垃圾桶底部的某一位置〕上下转动〔转动过程中始终保持AP=A′P，BP=B′P〕．通过向下踩踏点A到A′〔与地面接触点〕使点B上升到点B′，与此同时传动杆BH运动到B'H'的位置，点H绕固定点D旋转〔DH为旋转半径〕至点H'，从而使桶盖翻开一个张角∠HDH′．如图3，桶盖翻开后，传动杆H′B′所在的直线分别与水平直线AB、DH垂直，垂足为点M、C，设H′C=B′M．测得AP=6cm，PB=12cm，DH′=8cm．要使桶盖张开的角度∠HDH'不小于60°，那么踏板AB离地面的高度至少等于多少cm？〔结果保存两位有效数字〕〔参考数据：≈，≈〕24、现在人们经常使用电脑，假设坐姿不正确，易造成眼睛疲劳，腰酸颈痛．一般正确的坐姿是：眼睛望向显示器屏幕时，应成20°的俯角α〔即望向屏幕上边缘的水平视线与望向屏幕中心的视线的夹角〕；而小臂平放，肘部形成100°的钝角β．张燕家刚买的电脑显示器屏幕的高度为，屏幕的上边缘到显示器支座底部的距离为36cm．张燕同学眼部到肩部的垂直距离为20cm，大臂长〔肩部到肘部的距离〕DE=28cm，张燕同学坐姿正确时肩部到臀部的距离是DM=53cm，请你帮张燕同学计算一下：〔1〕她要按正确坐姿坐在电脑前，眼与显示器屏幕的距离应是多少？〔精确到〕〔2〕她要订做一套适合自己的电脑桌椅，桌、椅及键盘三者之间的高度应如何搭配？〔精确到〕。
北师大版初中数学九年级下册《1.5 三角函数的应用》同步练习卷
北师大新版九年级下学期《1.5 三角函数的应用》2019年同步练习卷一．解答题（共40小题）1．某建筑物的金属支架如图所示，根据要求AB长为4m，C为AB的中点，点B到D的距离比立柱CD的长小0.5m，∠BCD＝60°，求立柱CD长．2．小明准备用一块矩形材料剪出如图所示的四边形ABCD（阴影部分），做成要制作的飞机的一个机翼，请你根据图中的数据帮小明计算出CD的长度．（结果保留根号）．3．如图，一单摆在重力作用下处于OA处（与水平垂直），若单摆摆动到OB处，单摆的长度不变，旋转角为θ，此时点B相对于点A高度上升了m厘米，求单摆的长度．（用含θ与m的代数式表示）4．公园内有一小山坡AB，经测量，坡度∠ABC＝30°，斜坡AB长为30千米，为方便游客行走，决定开挖小山坡，使斜坡比是1：3（即为CD与BC的长度之比），A，D两点处于同一铅垂线上，求开挖后小山坡下降的高度AD．5．如图，用细线悬挂一个小球，小球在竖直平面内的A，C两点间来回摆动，A点与地面距离AN＝14cm，小球在最低点B时，与地面距离BM＝5cm，∠AOB＝66°，求细绳OB 的长度，（参考数据；sin66°≈0.91，cos66°≈0.40，tan66°≈2.25）6．如图，在同一平面内，两条平行的高速公路之间有AB，CD两条道路连通，AB，CD相交于O点，∠ABC＝45°，∠BCD＝60°，AB＝40km，求CD的长（结果保留根号）7．图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面AE的倾斜角∠EAD为22°，长为2米的真空管AB与水平线AD的夹角为37°，安装热水器的铁架竖直管CE的长度为0.5米．（1）真空管上端B到水平线AD的距离．（2）求安装热水器的铁架水平横管BC的长度（结果精确到0.1米）参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈8．为营造“安全出行”的良好交通氛围，实时监控道路交迸，某市交管部门在路口安装的高清摄像头如图所示，立杆MA与地面AB垂直，斜拉杆CD与AM交于点C，横杆DE ∥AB，摄像头EF⊥DE于点E，AC＝55米，CD＝3米，EF＝0.4米，∠CDE＝162°．（1）求∠MCD的度数；（2）求摄像头下端点F到地面AB的距离．（精确到百分位）（参考数据；sin72°＝0.95，cos72°≈0.31，tan72°＝3.08，sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）9．如图，在某校图书馆门前一段笔直的内部道路AB上，过往车辆限速3米/秒在点B的正上方距其7米高的C处有一个探测仪．一辆轿车从点A匀速向点B行驶5秒后此轿车到达D点，探测仪测得∠CAB＝18°，∠CDB＝45°，求AD之间的距离，并判断此轿车是否超速，（结果精确到0.01米）【参考数据：sin l8°＝0.309，cos l8°＝0.951，tan l8°＝0.325】10．如图1是儿童写字支架示意图，由一面黑板，一面白板和一块固定支架的托盘组成，图2是它的一个左侧截面图，该支架是个轴对称图形，∠BAC是可以转动的角，B，C、D，E和F，G是支架腰上的三对对称点，是用来卡住托盘以固定支架的．已知AB＝AC＝60cm，BD＝CE＝DF＝EG＝10cm．（1）当托盘固定在BC处时，∠BAC＝32°，求托盘BC的长；（精确到0.1）（2）当托盘固定在DE处时，这是儿童看支架的最佳角度，求此时∠BAC的度数．（参考数据：sin32°＝0.53，cos32°＝0.85，sin16°＝0.28，sin20°＝0.34，sin25°＝0.42．）11．据城市速递报道，我市一辆高为2.5米的客车，卡在快速路引桥上高为2.55米的限高杆的上端，已知引桥的坡角∠ABC为14°，请结合示意图，用你学过的知识通过数据说明客车不能通过的原因．【参考数据：sin14°＝0.24，cos14°＝0.97，tan14°＝0.25】12．如图是菏泽银座地下停车场入口的设计图，请根据图中数据计算CE的长度．（结果精确到0.01m，参考数据：sin22°≈0.3746，cos22°≈0.9272，tan22°≈0.4040）13．如图，一台起重机，他的机身高AC为21m，吊秆AB长为10m，吊杆与水平线的夹角∠BAD可从30°升到80°．求这台起重机工作时，吊杆端点B离地面CE的最大高度和离机身AC的最大水平距离（结果精确到0.1m）．（参考数据：sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5，67，≈1.73）14．某市需要新建一批公交车候车厅，设计师设计了一种产品（如图①），产品示意图的侧面如图②所示，其中支柱DC长为2.1m，且支柱DC垂直于地面DC，顶棚横梁AE长为1.5m，BC为镶接柱，镶接柱与支柱的夹角∠BCD＝150°，与顶棚横梁的夹角∠ABC＝135°，要求使得横梁一端点E在支柱DC的延长线上，此时经测量得镶接点B与点E 的距离为0.35m（参考数据：≈1.41，sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，结果精确到0.1m）．（1）求EC的长；（2）求点A到地面DG的距离．15．如图，小明放一个线长AB为120米的风筝（风筝线近似地看作直线）．若测得他的风筝线AB与水平线构成的角为38°，他放风筝的手距地面的距离BC为1.9米，求小明的风筝放飞的高度AD．（精确到1米）【参考数据：sin38°＝0.62，cos38°＝0.79，tan38°＝0.78】16．某电脑桌生产厂家生产了一种平板电脑桌，其实物图如图1所示，此电脑桌的桌面可调节，如图2和图3是其可调节桌面的侧面示意图，在点C处安装一根长度一定的支撑杆CB，且AC＝BC＝20cm，点B可在AD上滑动，当B滑动到D处，电脑的承载面AE与AD重合．（1）如图2，当BC⊥AC时，求电脑的承载面最高点E与B之间的距离；（2）如图3，小华经过多次试验发现，当∠BAC＝40°时，利用平板电脑观看电影的效果最好，求此时点B与点D之间的距离．（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84．结果精确到0.1cm）17．电影《厉害了，我的国》震撼上演后，引起了大家的强烈共鸣，当“复兴号”一幕又一幕的奔驰在祖国广袤的大地上，中国高铁的车轮快速的滚出了崭新中国的新画卷．中国高铁的飞速发展，使越来越多的人选择高铁出行．为了保证市民出行方便，某市的高铁站出入口与地铁站出入口进行对接．已知某人沿着坡角为30°的楼梯AB从A行至B，后沿BC路线上斜坡CD，坡角为30°，再行走一段距离DE，到达高铁入口处．若入口处楼梯EF的坡角为45°，DE∥BC∥AF，AB＝20米，CD＝4米，那么EF的长度是多少米？（保留0.1米）（≈1.414）18．某羽毛球训练基地的一个雕塑的示意图如图所示，它的主题创意是基座（四边形ABCD）上方有一个巨大的羽毛球造型（四边形CDEF），已知AB∥CD∥EF，∠A＝45°，∠ADE ＝105°，AD＝m，DE＝2m，求雕塑的高h（结果保留根号）．19．某校为丰富学生的业余生活，开展风筝制作比赛，小明制作的风筝外形是四边形ABCD，其中AB＝AD，BC＝CD．（1）∠ADC＝122°，求∠ABC的度数；（2）若∠BCD＝42°，∠BAD＝74°，AD＝50cm．求AC的长．（参考数据：sin37°≈，tan37°≈，sin21°≈，tan21°≈）20．如图，小军要从A处过马路到B处，现有两种路线选择，线路①横穿马路沿直线AB 到达；线路②：沿折线AC，CD，DB经人行斑马线到达．已知AC＝52m，∠A＝30°，∠B＝50°，马路边线与直线AB互相垂直，若小军遵守交通规则选择安全线路②，和线路①相比，他多走了多少路程？（精确到1m）（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20）21．小明家的脚踏式垃圾桶如图，当脚踩踏板时垃圾桶盖打开最大张角∠ABC＝45°，为节省家里空间小明想把垃圾桶放到桌下，经测量桌子下沿离地面高55cm，垃圾桶高BD ＝33.1cm，桶盖直径BC＝28.2cm，问垃圾桶放到桌下踩踏板时，桶盖完全打开有没有碰到桌子下沿？（≈1.41 ）22．如图，四边形ABCD是一块菜地，现准备修一条小路BD（小路BD的宽度不计），将菜地分为两块，分别为△ABD和△BCD．已知：∠A＝45°，∠ABC＝120°，∠C＝60°，AD＝200m，DB⊥BC．求△BCD的面积（结果可以含有根号）．23．酒泉钟鼓楼耸峙于上翔待之南端，为肃州现存唯完整的古建筑物钟鼓楼工艺精湛，建造坚固，雄伟壮现．钟鼓楼由基座BC和鼓楼CD两大部分组成如图，在Rt△ABD中，∠DAB＝57°，在Rt△ABC中，∠CAB＝24°，且CB＝8米，求钟鼓楼的拔地高度BD．（最后的结果精确到0.1米，参考数据sin24°≈0.41．cos24°≈0.91，tan24°≈0.45）24．某商场门前的台阶横面积如图所示．已知每级台阶的宽度（图中CD）均为0.4m，高度（图中的BE）均为0.3m．现将此台阶改造成供轮椅行走的斜坡，并且设计斜坡的倾斜角（参考数据：sin12°（精确到0.1m）∠A为12°，计算从斜坡的起点A到台阶前点B的距离．≈0.24，cos12°≈0.98，tan12°≈0.21）25．长泰大桥是长春市“两横三纵”快速路的关键节点工程，大桥建筑类型为斜拉式高架桥，其主塔高BD＝96.9米，主塔处桥面距地面CD＝7.9米，小明站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角为31°，试求处拉索AB的长．（结果精确到0.1米，参考数据：sin31°＝0.515，cos31°＝0.857，tan31°＝0.60）26．如图，某蔬菜批发商早上必须从公路MN上的仓库A先将蔬菜送到B超市，再从B起市送到C超市，M、N、A、B、C均在同一平面内，已知∠BAN＝60°，∠ABC＝40°，AB＝2km，BC＝3km，求C超市到公路MN的距离（精确到0.1km，参考数据：sin20°≈034，cos20°≈0.94，≈1.73）．27．图1是太阳能热水器装置的示意图，利用玻璃吸热管可以把太阳能转化为热能，玻璃吸热管与太阳光线垂直时，吸收太阳能的效果最好，假设某用户要求根据本地区冬至正午时刻太阳光线与地面水平线的夹角（θ）确定玻璃吸热管的倾斜角（太阳光线与玻璃吸热管垂直），请完成以下计算：如图2，AB⊥BC，垂足为点B，CD∥AB，FG⊥DE，垂足为点G，若∠θ＝37°50′，FG＝30cm，CD＝10cm，求CF的长（结果取整数，参考数据：sin37°50′≈0.6l，cos37°50′≈079，tan37°50′≈0.78）28．某地铁站口的垂直截图如图所示，已知∠A＝30°，∠ABC＝75°，AB＝BC＝4米，求C点到地面AD的距离（结果保留根号）．29．如图1，图2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC＝1.5米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB＝60°，支架AF的长为2.50米，篮板顶端F点到篮筐D的距离FD＝1.3米，篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE＝45°，求篮筐D到地面的距离．（精确到0.01米参考数据：≈1.73，≈1.41）30．如图是某斜拉桥引申出的部分平面图，AE，CD是两条拉索，其中拉索CD与水平桥面BE的夹角为72°，其底端与立柱AB底端的距离BD为4米，两条拉索顶端距离AC为2米，若要使拉索AE与水平桥面的夹角为35°，请计算拉索AE的长．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin35°≈，cos35°≈，tan35°≈，sin72°≈，cos72°≈，tan72°≈）31．如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未曾受损．已知该金字塔的下底面是一个边长为130m的正方形，且每一个侧面与底面成65°角（即∠ABC＝65°），这座金字塔原来有多高（结果取整数）？（参考数据：sin65°＝0.9，cos65°＝0.4，tan65°＝2.1）32．如图，游客在点A处坐缆车出发，沿A﹣B﹣D的路线可至山顶D处，假设AB和BD 都是线段，且AB＝BD＝800m，∠α＝75°，∠β＝45°，求山高DE．（结果保留整数）（参考数据：sin75°≈0.966，cos75°≈0.259，≈1.414）33．为了打通抚松到万良的最近公路，在一座小山的底部打通隧道．甲、乙两施工队按如图所示进行施工，甲施工队沿AC方向开山修路，乙施工队在这座小山的另一边E处沿射线CA方向同时施工．从AC上的一点B，取∠ABD＝155°，经测得BD＝1200m，∠D ＝65°，求开挖点E与点B之间的距离（结果精确到1m）．【参考数据：sin65°＝0.906，cos65°＝0.423，tan65°＝2.145．】34．某太阳能热水器的横截面示意图如图所示，已知真空热水管AB与支架CD所在直线相交于点O，且OB＝OD，支架CD与水平线AE垂直，∠BAC＝30°，∠CDE＝45°，DE ＝80cm，AC＝180cm．（1）求支架CD的长；（2）求真空热水管AB的长．（结果保留根号）35．如图，旗杆的顶端垂下一根绳子，将绳子拉直钉在地上，绳子的末端恰好在点C处且与地面成75°角，小贤拿起绳子的末端，后退至点D处，拉直绳子，此时绳子的末端E 距离地面1.5m且绳子与水平方向成60°角，求旗杆AB的高度．（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，sin60°≈0.87，结果精确到1m）36．如图，水坝的横断面是梯形，背水坡AB的坡角∠BAD＝60°，坡长AB＝20m，为加强水坝强度，将坝底从A处向后水平延伸到F处，使新的背水坡的坡角∠F＝45°，求AF的长度．37．如图是小明阁楼储藏室的侧面示意图，现他有一个棱长为1.1m的正方体包裹，请通过计算判断，该包裹能否平放入这个储藏室．（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）38．如图所示是一幢住房的主视图，已知：∠BAC＝120°，房子前后坡度相等，AB＝4米，AC＝6米，设后房檐B到地面的高度为a米，前房檐C到地面的高度b米，求a﹣b的值．39．如图，太阳光线从窗外照射到一楼办公室靠近窗子的办公桌桌面上，移动桌面上的花盆，使花的顶端E的影子与窗外电线杆的顶端C在桌面上的影子A点恰好重合，测得影子顶端A点到花盆底端B点的距离为0.3米，桌面上花的高度BE为0.6米，桌子的高度DF 为0.8米，用测角仪测得∠CBD＝65°，求电线杆CF的高度（参考数据：tan65°≈2.1445，tan25°≈0.4663，结果精确到0.01米）40．如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B 点，当它靠近另一侧墙上时，梯子的顶端在D点，已知∠BAC＝60°，∠DAE＝45°，点D到地面垂直距离DE＝3m，求点B到地面的垂直距离BC．北师大新版九年级下学期《1.5 三角函数的应用》2019年同步练习卷参考答案与试题解析一．解答题（共40小题）1．某建筑物的金属支架如图所示，根据要求AB长为4m，C为AB的中点，点B到D的距离比立柱CD的长小0.5m，∠BCD＝60°，求立柱CD长．【分析】作OB⊥CD于点O，在直角三角形BCO和直角三角形BOD中，利用三角函数得出CO与OD的长，进而解答即可．【解答】解：连接BD，作OB⊥CD于点O，∵在直角三角形BCO中，∠BCD＝60°，AB长为4m，C为AB的中点，∴OC＝m，OB＝OC＝m，在直角三角形BOD中，设CD为x，OD＝DC﹣OC＝x﹣1，BD＝CD﹣0.5＝x﹣0.5，OB＝，可得：，解得：x＝3.75，答：CD的长为3.75m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确构造直角三角形并求解．2．小明准备用一块矩形材料剪出如图所示的四边形ABCD（阴影部分），做成要制作的飞机的一个机翼，请你根据图中的数据帮小明计算出CD的长度．（结果保留根号）．【分析】在直角三角形BEC中，利用锐角三角函数定义，根据EC的长求出BE的长；进而求出BF的长，在直角三角形ADF中，根据等腰直角三角形的性质求出DF的长，由FC ﹣FD求出CD的长即可．【解答】解：由题意，在Rt△BEC中，∠E＝90°，∠EBC＝60°，∴∠BCE＝30°，tan30°＝，∴BE＝EC tan30°＝51×＝17（cm）；∴CF＝AE＝34+BE＝（34+17）cm，在Rt△AFD中，∠F AD＝45°，∴∠FDA＝45°，∴DF＝AF＝EC＝51cm，则CD＝FC﹣FD＝34+17﹣51＝17﹣17，答：CD的长度为17﹣17cm．【点评】此题考查了直角三角形的应用，涉及的知识有：锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，等腰直角三角形的性质，熟练掌握性质及定义是解本题的关键．3．如图，一单摆在重力作用下处于OA处（与水平垂直），若单摆摆动到OB处，单摆的长度不变，旋转角为θ，此时点B相对于点A高度上升了m厘米，求单摆的长度．（用含θ与m的代数式表示）【分析】作BH⊥OA，根据直角三角形的解法解答即可．【解答】解：作BH⊥OA，设单摆长度是x厘米，在Rt△OBH中，cosθ＝，∴OH＝OB•cosθ＝x cosθ，∴x﹣x cosθ＝m，解得：x＝，答：单摆长度为cm．【点评】此题主要考查了解直角三角形中俯角问题的应用，根据锐角三角函数的关系得出OH的长是解题关键．4．公园内有一小山坡AB，经测量，坡度∠ABC＝30°，斜坡AB长为30千米，为方便游客行走，决定开挖小山坡，使斜坡比是1：3（即为CD与BC的长度之比），A，D两点处于同一铅垂线上，求开挖后小山坡下降的高度AD．【分析】在直角△ABC中，利用三角函数即可求得BC、AC的长，然后在直角△BCD中，利用坡比的定义求得CD的长，根据AD＝AC﹣CD即可求解．【解答】解：Rt△ABC中，∠ABC＝30°，sin∠ABC＝，∴AC＝AB＝×30＝15，BC＝AB cos∠ABC＝30×＝，∵斜坡BD的坡比是1：3，∴CD＝BC＝5，∴AD＝AC﹣CD＝15﹣5答：开挖后小山坡下降了（15﹣5）千米．【点评】本题考查了解直角三角形，这两个直角三角形有公共的直角边，先求出公共边的解决此类题目的基本出发点．5．如图，用细线悬挂一个小球，小球在竖直平面内的A，C两点间来回摆动，A点与地面距离AN＝14cm，小球在最低点B时，与地面距离BM＝5cm，∠AOB＝66°，求细绳OB 的长度，（参考数据；sin66°≈0.91，cos66°≈0.40，tan66°≈2.25）【分析】设细线OB的长度为xcm，作AD⊥OB于D，证出四边形ANMD是矩形，得出AN ＝DM＝14cm，求出OD＝x﹣9，在Rt△AOD中，由三角函数得出方程，解方程即可．【解答】解：设细线OB的长度为x cm，过点A作AD⊥OB于D，则∠ADM＝90°，∵∠ANM＝∠DMN＝90°，∴四边形ANMD是矩形，∴AN＝DM＝14，∴DB＝14﹣5＝9，∴OD＝x﹣9，在Rt△AOD中，，∴，解得：x≈15，答：细线OB的长度为15cm．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解此题关键是把实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象到三角形中，根据线段之间的转换列方程即可．6．如图，在同一平面内，两条平行的高速公路之间有AB，CD两条道路连通，AB，CD相交于O点，∠ABC＝45°，∠BCD＝60°，AB＝40km，求CD的长（结果保留根号）【分析】直接利用锐角三角三角函数关系得出AE，DF的长，进而得出DC的长．【解答】解：过A，D分别作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，在直角△ABE中，AB＝40km，∠ABC＝45°，∵sin∠ABC＝，∴AE＝20km，∵DF＝AE，∴DF＝20km，在直角△CDF中，DF＝20km，∠BCD＝60°，∵sin∠DCF＝，∴CD＝20÷＝（km）．答：CD的长为km．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确应用锐角三角三角函数关系是解题关键．7．图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面AE的倾斜角∠EAD为22°，长为2米的真空管AB与水平线AD的夹角为37°，安装热水器的铁架竖直管CE的长度为0.5米．（1）真空管上端B到水平线AD的距离．（2）求安装热水器的铁架水平横管BC的长度（结果精确到0.1米）参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈【分析】（1）过B作BF⊥AD于F．构建Rt△ABF中，根据三角函数的定义与三角函数值即可求出答案．（2）根据BF的长可求出AF的长，再判定出四边形BFDC是矩形，可求出AD，根据BC ＝DF＝AD﹣AF计算即可．【解答】解：（1）过B作BF⊥AD于F．在Rt△ABF中，∵sin∠BAF＝，∴BF＝AB sin∠BAF＝2sin37°≈＝1.2．∴真空管上端B到AD的距离约为1.2米．（2）在Rt△ABF中，∵cos∠BAF＝，∴AF＝AB cos∠BAF＝2cos37°≈1.6，∵BF⊥AD，CD⊥AD，又BC∥FD，∴四边形BFDC是矩形．∴BF＝CD，BC＝FD，∵EC＝0.5米，∴DE＝CD﹣CE＝0.7米，在Rt△EAD中，∵tan∠EAD＝，∴＝，∴AD＝1.75米，∴BC＝DF＝AD﹣AF＝1.75﹣1.6＝0.15≈0.2∴安装热水器的铁架水平横管BC的长度约为0.2米．【点评】此题考查了解直角三角形的应用，培养学生运用三角函数知识解决实际问题的能力，又让学生感受到生活处处有数学，数学在生产生活中有着广泛的作用．8．为营造“安全出行”的良好交通氛围，实时监控道路交迸，某市交管部门在路口安装的高清摄像头如图所示，立杆MA与地面AB垂直，斜拉杆CD与AM交于点C，横杆DE ∥AB，摄像头EF⊥DE于点E，AC＝55米，CD＝3米，EF＝0.4米，∠CDE＝162°．（1）求∠MCD的度数；（2）求摄像头下端点F到地面AB的距离．（精确到百分位）（参考数据；sin72°＝0.95，cos72°≈0.31，tan72°＝3.08，sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）【分析】（1）延长ED，AM交于点P，利用垂直的定义解答即可；（2）根据直角三角形的性质解答即可．【解答】（1）如图，延长ED，AM交于点P，∵DE∥AB，MA⊥AB∴EP⊥MA，即∠MPD＝90°∵∠CDE＝162°∴∠MCD＝162°﹣90°＝72°；（2）如图，在Rt△PCD中，CD＝3米，∠MCD＝72°，∴PC＝CD•cos∠MCD＝3×cos72°≈3×0.31＝﹣0.93米∵AC＝5.5米，EF＝0.4米，∴PC+AC﹣EF＝0.93+5.5﹣0.4＝6.03米答：摄像头下端点F到地面AB的距离为6.03米．【点评】此题主要考查了解直角三角形，根据题意得出∠MCD＝72°是解决问题的关键．9．如图，在某校图书馆门前一段笔直的内部道路AB上，过往车辆限速3米/秒在点B的正上方距其7米高的C处有一个探测仪．一辆轿车从点A匀速向点B行驶5秒后此轿车到达D点，探测仪测得∠CAB＝18°，∠CDB＝45°，求AD之间的距离，并判断此轿车是否超速，（结果精确到0.01米）【参考数据：sin l8°＝0.309，cos l8°＝0.951，tan l8°＝0.325】【分析】根据直角三角形的性质和三角函数解答即可．【解答】解：由题意可得：在Rt△BCD中，∠CBD＝90°，∠CDB＝45°，∴∠DCB＝∠CDB＝45°，∴BC＝BD＝7，在Rt△ABC中，∠BAC＝18°，BC＝7，tan∠BAC＝，∴，∴AD＝21.538﹣7＝14.538≈14.54，14.54÷5≈2.91＜3，答：AD之间的距离约为14.54米，此轿车没有超速．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，关键是构造出直角三角形，掌握三角函数定义．10．如图1是儿童写字支架示意图，由一面黑板，一面白板和一块固定支架的托盘组成，图2是它的一个左侧截面图，该支架是个轴对称图形，∠BAC是可以转动的角，B，C、D，E和F，G是支架腰上的三对对称点，是用来卡住托盘以固定支架的．已知AB＝AC＝60cm，BD＝CE＝DF＝EG＝10cm．（1）当托盘固定在BC处时，∠BAC＝32°，求托盘BC的长；（精确到0.1）（2）当托盘固定在DE处时，这是儿童看支架的最佳角度，求此时∠BAC的度数．（参考数据：sin32°＝0.53，cos32°＝0.85，sin16°＝0.28，sin20°＝0.34，sin25°＝0.42．）【分析】（1）过A作AH⊥BC于H，则∠CAH＝∠BAC＝16°，依据Rt△ACH中，CH＝sin16°×AC，即可得到BC＝2CH＝2×sin16°×60≈33.6cm；（2）连接DE，过A作AP⊥DE于P，则PE＝DE＝×33.6＝16.8，∠BAC＝2∠CAP，依据Rt△APE中，sin∠P AG＝＝≈0.34，即可得到∠P AE＝20°，进而得出∠BAC＝40°．【解答】解：（1）如图，过A作AH⊥BC于H，∵AB＝AC＝60cm，∴∠CAH＝∠BAC＝16°，∴Rt△ACH中，CH＝sin16°×AC，∴BC＝2CH＝2×sin16°×60≈33.6cm；（2）如图，连接DE，过A作AP⊥DE于P，∵AD＝AE＝60﹣10＝50，∴PE＝DE＝×33.6＝16.8，∠BAC＝2∠CAP，∴Rt△APE中，sin∠P AG＝＝≈0.34，又∵sin20°＝0.34，∴∠P AE＝20°，∴∠BAC＝40°．【点评】此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，解题的关键是将题目所述的意思与所学的知识结合起来，作辅助线构造直角三角形．11．据城市速递报道，我市一辆高为2.5米的客车，卡在快速路引桥上高为2.55米的限高杆的上端，已知引桥的坡角∠ABC为14°，请结合示意图，用你学过的知识通过数据说明客车不能通过的原因．【参考数据：sin14°＝0.24，cos14°＝0.97，tan14°＝0.25】【分析】先求出∠EDF＝∠ABC＝14°，再解Rt△EDF，得出DF＝DE•cos∠EDF＝2.55×cos14°≈2.47．根据限高杆顶端到桥面的距离DF为2.47米，小于客车高2.5米，即可说明客车不能通过限高杆．【解答】解：∵DE⊥BC，DF⊥AB，∴∠EDF＝∠ABC＝14°．在Rt△EDF中，∠DFE＝90°，∵cos∠EDF＝，∴DF＝DE•cos∠EDF＝2.55×cos14°≈2.55×0.97≈2.47．∵限高杆顶端到桥面的距离DF为2.47米，小于客车高2.5米，∴客车不能通过限高杆．【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是把实际问题转化为解直角三角形问题．12．如图是菏泽银座地下停车场入口的设计图，请根据图中数据计算CE的长度．（结果精确到0.01m，参考数据：sin22°≈0.3746，cos22°≈0.9272，tan22°≈0.4040）【分析】通过解Rt△BAD求得BD＝AB•tan∠BAE，通过解Rt△CED求得CE＝CD•cos∠BAE．然后把相关角度所对应的函数值和相关的线段长度代入进行求值即可．【解答】解：由已知有：∠BAE＝22°，∠ABC＝90°，∠CED＝∠AEC＝90°∴∠BCE＝158°，∴∠DCE＝22°，又∵tan∠BAE＝，∴BD＝AB•tan∠BAE，又∵cos∠BAE＝cos∠DCE＝，∴CE＝CD•cos∠BAE＝（BD﹣BC）•cos∠BAE＝（AB•tan∠BAE﹣BC）•cos∠BAE＝（10×0.4040﹣0.5）×0.9272≈3.28（m），答：CE的长度为3.28m．【点评】本题考查了三角函数在直角三角形中的运用，本题中正确计算BD的值是解题的关键．13．如图，一台起重机，他的机身高AC为21m，吊秆AB长为10m，吊杆与水平线的夹角∠BAD可从30°升到80°．求这台起重机工作时，吊杆端点B离地面CE的最大高度和离机身AC的最大水平距离（结果精确到0.1m）．（参考数据：sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5，67，≈1.73）【分析】当∠BAD＝30°时，吊杆端点B离机身AC的水平距离最大；当∠B′AD＝80°时，吊杆端点B′离地面CE的高度最大．作BF⊥AD于F，B´G⊥CE于G，交AD于F′，在Rt△BAF中，cos∠BAF＝可求出AF的长，在Rt△B′AF′中由sin∠B´AF′＝可得出B′F′的长．【解答】解：如图，当∠BAD＝30°时，吊杆端点B离机身AC的水平距离最大；当∠B′AD＝80°时，吊杆端点B′离地面CE的高度最大．作BF⊥AD于F，B′G⊥CE于G，交AD于F′．在Rt△BAF中，∵cos∠BAF＝，∴AF＝AB•cos∠BAF＝10×cos30°≈8.7（m）．在Rt△B′AF′中，sin∠B′AF′＝，∴B′F′＝AB’•sin∠B′AF′＝10×sin80°≈9.8（m）．∴B′G＝B′F′+F′G＝18.5（m）．答：吊杆端点B离地面CE的最大高度为18.5 m，离机身AC的最大水平距离为8.7m．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．14．某市需要新建一批公交车候车厅，设计师设计了一种产品（如图①），产品示意图的侧面如图②所示，其中支柱DC长为2.1m，且支柱DC垂直于地面DC，顶棚横梁AE长为1.5m，BC为镶接柱，镶接柱与支柱的夹角∠BCD＝150°，与顶棚横梁的夹角∠ABC＝135°，要求使得横梁一端点E在支柱DC的延长线上，此时经测量得镶接点B与点E 的距离为0.35m（参考数据：≈1.41，sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，结果精确到0.1m）．（1）求EC的长；（2）求点A到地面DG的距离．【分析】（1）连接EC．可得∠EBC＝45°，∠ECB＝30°．过点E作EP⊥BC．构建等腰直角三角形，通过解直角三角形得到CE的长度即可；（2）过点A作AF⊥DG，过点E作EM⊥AF，AM＝AE×sin15°．结合图形得到AF＝AM+CE+DC．【解答】解：（1）连接EC．可得∠EBC＝45°，∠ECB＝30°．过点E作EP⊥BC．如图，EP＝BE×sin45°≈0.25m．CE＝2EP＝0.5m；（2）过点A作AF⊥DG，过点E作EM⊥AF，AM＝AE×sin15°．AF＝AM+CE+DC＝AE×sin15°+2BE×sin45°+2.1＝0.48+0.50+2.1＝3.0m，所以点A到地面的距离是3.0m．【点评】本题考查了直角三角形的应用，利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．15．如图，小明放一个线长AB为120米的风筝（风筝线近似地看作直线）．若测得他的风筝线AB与水平线构成的角为38°，他放风筝的手距地面的距离BC为1.9米，求小明的风筝放飞的高度AD．（精确到1米）【参考数据：sin38°＝0.62，cos38°＝0.79，tan38°＝0.78】【分析】作BE⊥AD，由sin∠ABE＝知AE＝AB sin∠ABE＝74.4，根据AD＝AE+ED＝AE+BC可得答案．【解答】解：如图，过点B作BE⊥AD于点E，则∠ABE＝38°，在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，∵sin∠ABE＝，∴AE＝AB sin∠ABE＝120sin38°＝120×0.62＝74.4，∴AD＝AE+ED＝AE+BC＝74.4+1.9＝76.3≈76，答：小明的风筝放飞的高度AD约为76米．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．16．某电脑桌生产厂家生产了一种平板电脑桌，其实物图如图1所示，此电脑桌的桌面可调节，如图2和图3是其可调节桌面的侧面示意图，在点C处安装一根长度一定的支撑杆CB，且AC＝BC＝20cm，点B可在AD上滑动，当B滑动到D处，电脑的承载面AE与AD重合．（1）如图2，当BC⊥AC时，求电脑的承载面最高点E与B之间的距离；（2）如图3，小华经过多次试验发现，当∠BAC＝40°时，利用平板电脑观看电影的效果最好，求此时点B与点D之间的距离．（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84．结果精确到0.1cm）【分析】（1）只要证明△ACB，△BCE都是等腰直角三角形即可解决问题；（2）过点C作CF⊥AB于F．解直角三角形求出AB即可解决问题；【解答】解：（1）连接BE．依题意得：AE＝AC+BC＝40∴AC＝CE，∵BC⊥AC，∴BC垂直平行AE，∴BE＝AB＝20即E、B之间的距离为20（cm）．（2）过点C作CF⊥AB于F．∵AC＝BC，∴AB＝2AF．∵AF＝AC▪cos40°，∴AB＝2AF≈30.8（cm），∴BD＝AD﹣AB＝40﹣30.8＝9.2（cm）．【点评】本题考查解直角三角形的应用、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．17．电影《厉害了，我的国》震撼上演后，引起了大家的强烈共鸣，当“复兴号”一幕又一幕的奔驰在祖国广袤的大地上，中国高铁的车轮快速的滚出了崭新中国的新画卷．中国高铁的飞速发展，使越来越多的人选择高铁出行．为了保证市民出行方便，某市的高铁站出入口与地铁站出入口进行对接．已知某人沿着坡角为30°的楼梯AB从A行至B，后沿BC路线上斜坡CD，坡角为30°，再行走一段距离DE，到达高铁入口处．若入口处楼梯EF的坡角为45°，DE∥BC∥AF，AB＝20米，CD＝4米，那么EF的长度是多少米？（保留0.1米）（≈1.414）【分析】根据题意构造直角三角形，进而得出QN＝BG＝10m，再求出QE＝DP＝2m，EN ＝12m，即可得出EF的长．【解答】解：过点B作BG⊥AF，CH⊥AF，DM⊥AF，EN⊥AF，延长BC交DM于P，交EN于Q，由题意可得：四边形BGNQ和四边形DPQE为矩形，则BG＝QN，DP＝EQ，在Rt△ABG中，∵AB＝20m，∠BAG＝30°，∴BG＝10m，∴QN＝BG＝10m，在Rt△CDP中，∵CD＝4m，∠DCP＝30°，∴DP＝2m，。
1.5+三角函数的应用同步练习2024-2025学年北师大版数学九年级下册
1.5 三角函数的应用今日复习1.在平面上过观测点O作一条水平线(向右为东)和一条 (向为北)，则从点O出发的视线与的夹角叫做点O的方位角.如图，点A的方位角为，点B 的方位角为 .2.利用锐角三角函数解航海问题的一般步骤：(1)审题，画出正确的图形，并通过图形弄清已知和未知；(2)将已知条件转化为图形中的边角关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素之间的关系，求出问题的解.名师点拨1.实际问题.2.构造直角三角形解决问题.课时三级达标A级双基过手1.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中,△ABC 的三个顶点均在格点上,则 sin∠ABC 的值为 .2.如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB 的长为12米，则大厅两层之间的高度为米.(结果保留两个有效数字；参考数据：sin31°≈0.515,cos31°≈0.85 7,tan31°≈0.601)3.如图是某货站传送货物的机器的侧面示意图，已知 AD⊥DB，原传送带AB 与地面DB 的夹角为30°，为了缩短货物传送距离，工人师傅欲增大传送带与地面的夹角，使其由30°改为 45°，原传送带 AB 的长度为8m，则新传送带 AC的长度为 m.4.如图，在一笔直的海岸线l上有A，B两个观测站，AB=4km，从A测得船C 在北偏东45°的方向上，从B测得船C在北偏东22.5°的方向上，则船C离海岸线l的距离(即CD的长)为 .5.在△ABC中,BC=2,AC= √3,∠A=30°则AB的长为 ( )A √3 B.2C √3或3 D.2或46.如图，厂房屋顶人字架(等腰三角形)的跨度BC=10m,∠B=36°,D为底边BC的中点,则上弦AB的长约为(结果保留小数点后一位；参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81,tan3 6°≈0.73) ( )A.3.6mB.6.2mC.8.5mD.12.4m7.如图所示的是直立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米,∠MAD=45°,∠MBC=30°,则警示牌的高CD为( )A. √3米B.(2√3+2)米C.(4√2−4)米D.(4√3−4)米8.如图，要测量小河两岸相对两点A，C的宽度，可以在小河边 AC的垂线CD 上取一点 B，测得 BC=100m,∠ABC=50°,则小河的宽AC等于 ( )A.100sin50°mB.100cos50°mC.100tan50°mD.100tan40°m9.(1)如图,建筑物BC上有一高为8m的旗杆AB，从D处观测旗杆顶部A 的仰角为53°，观测旗杆底部B的仰角为45°，求建筑物BC的高度.(结果保留小数点后一位；参考数据：sin53°≈0.80,cos53°≈0.60,tan53°≈1.33)(2)如图，某楼房AB 的顶部有一根垂直于地平面的5G信号塔BE，为了测量信号塔的高度，在地平面上点 C处测得信号塔顶端E 的仰角为55°,从点C向点A 方向前进5米到点 D，从点 D 测得信号塔底端B 的仰角为40°，已知楼房的高度AB 为25米，求信号塔BE 的高度.(结果精确到0.1米；参考数据：sin55°≈0.82,cos55°≈0.57,tan55°≈1.43, sin40°≈0.64,cos40°≈0.77,tan40°≈0.84)10.(1)如图，在港口A 处的正西方向有两个观测点B，C，一艘轮船从A处出发，沿北偏西26°方向航行60km至D处,在B,C处分别测得∠DBA=45°,∠C=37°，求两个观察点B，C 间的距离.(参考数据：sin26°≈0.44,cos26°≈0.90,tan26°≈0.49,sin37°≈0.60, cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)(2)某校数学兴趣小组的同学为测量校外“御墅临枫”的一栋电梯高层AB 的楼高，从校前广场的C处测得该座建筑物的顶点A 的仰角为45°,沿着C向上走30√5米到达 D 点，再测得顶点 A 的仰角为22°,,已知CD的坡度i=1:2,A,B,C,D在同一平面内，求高楼AB 的高度.(参考数据：sin22°≈0.37,cos22°≈0.93,tan22°≈0.40)B级能力提升,AC=2√5,则BC的长为 .11.在△ABC中, AB=√41,tanB=4512.如图,在菱形ABCD 中,AB=2,∠B 是锐角,AE⊥BC于点E,M是AB 的中点,连接MD,ME.若∠EMD=90°,,则 cos B 的值为 .13.如图，在一笔直的海岸线上有 A，B 两个观测站，A在 B 的正西方向，从观测站 A 测得船 C 在北偏东45°的方向，从观测站B 测得船C 在北偏西30°的方向，且船C离观测站B 的距离为2km(即 BC=2km),则A,B 两个观测站之间的距离为 .(结果用根号表示)14.在矩形ABCD 中,AB=2,AD=4,F 是对角线AC 上不与点A,C重合的一点,过点 F 作FE⊥A D于点E，将△AEF沿EF 翻折得到△GEF,点 G 在射线AD 上,连接CG.(1)如图1,若点 A 的对称点G落在AD 上, ∠FGC=90°,延长GF 交AB 于点 H,连接CH.①求证：△CDG△GAH;②求tan∠GHC.(2)如图2，若点 A 的对称点G 落在AD 的延长线上，∠GCF=90°,判断△GCF 与△AEF 是否全等，并说明理由.C级综合拓展15.图1是某小区入口实景图，图2是该入口抽象成的平面示意图.已知入口 BC的宽为3.9米，门卫室外墙AB上的O点处装有一盏路灯，点O与地面BC的距离为3.3米，灯臂OM的长为1.2米(灯罩长度忽略不计)，∠AOM=60°.(1)求点 M到地面的距离.(2)某搬家公司一辆总宽2.55 米、总高3.5米的货车从该入口进入时，货车需与护栏CD 保持0.65 米的安全距离，此时，货车能否安全通过? 若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由.(参考数据:√3≈1.73;结果精确到0.01米)。
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北师大新版九年级下学期《1.5 三角函数的应用》同步练习卷一．选择题（共10小题）1．如图，小刚从山脚A出发，沿坡角为α的山坡向上走了300米到达B点，则小刚上升了（）A．300sinα米B．300cosα米C．300tanα米D．米2．如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取P A的垂线PB上的一点C，测得PC＝100米，∠PCA＝35°，则小河宽P A等于（）A．100sin35°米B．100sin55°米C．100tan35°米D．100tan55°米3．一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了100米，其铅直高度上升了15米．在用科学计算器求坡角α的度数时，具体按键顺序是（）A．B．C．D．4．如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC＝α，∠ADC＝β，则竹竿AB与AD的长度之比为（）A．B．C．D．5．如图，为了测量山坡护坡石坝的坡度（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度），把一根长5m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出杆长1m处的D点离地面的高度DE＝0.6m，又量得杆底与坝脚的距离AB＝3m，则石坝的坡度为（）A．B．3C．D．46．某楼梯的侧面如图所示，已测得BC的长约为3.5米，∠BCA约为29°，则该楼梯的高度AB可表示为（）A．3.5sin29°米B．3.5cos29°米C．3.5tan29°米D．米7．如图，一个斜坡长130m，坡顶离水平地面的距离为50m，那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于（）A．B．C．D．8．如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cosα＝，则小车上升的高度是（）A．5米B．6米C．6.5米D．12米9．如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB＝α，则拉线BC的长度为（A、D、B在同一条直线上）（）A．B．C．D．h•cosα10．如图，已知点C与某建筑物底端B相距306米（点C与点B在同一水平面上），某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡CD行走195米至坡顶D处，斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，在D处测得该建筑物顶端A的俯角为20°，则建筑物AB的高度约为（精确到0.1米，参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364）（）A．29.1米B．31.9米C．45.9米D．95.9米二．填空题（共7小题）11．如图，旗杆高AB＝8m，某一时刻，旗杆影子长BC＝16m，则tan C＝．12．如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，则大厅两层之间的高度为米．（结果保留两个有效数字）【参考数据；sin31°＝0.515，cos31°＝0.857，tan31°＝0.601】13．如图所示，小芳在中心广场放风筝，已知风筝拉线长100米（假设拉线是直的），且拉线与水平地面的夹角为60°，若小芳的身高忽略不计，则风筝离水平地面的高度是米（结果保留根号）．14．如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE、DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α＝45°，坡长AB＝米，背水坡CD的坡度i＝1：（i 为DF与FC的比值），则背水坡CD的坡长为米．15．为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固．如图，加固前拦水坝的横断面是梯形ABCD．已知迎水坡面AB＝12米，背水坡面CD＝12米，∠B＝60°，加固后拦水坝的横断面为梯形ABED，tan E＝，则CE的长为米．16．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A滑行至B，已知AB ＝500米，则这名滑雪运动员的高度下降了米．（参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67）17．小明沿着坡度i为1：的直路向上走了50m，则小明沿垂直方向升高了m．三．解答题（共33小题）18．某小区为了安全起见，决定将小区内的滑滑板的倾斜角由45°调为30°，如图，已知原滑滑板AB的长为4米，点D，B，C在同一水平地面上，调整后滑滑板会加长多少米？（结果精确到0.01米，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）19．如图，同学们利用所学知识去测量三江源某河段某处的宽度．小宇同学在A 处观测对岸点C，测得∠CAD＝45°，小英同学在距点A处60米远的B点测得∠CBD＝30°，请根据这些数据算出河宽（精确到0.01米，≈1.414，≈1.732）．20．如图，1号楼在2号楼的南侧，两楼高度均为90m，楼间距为AB．冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为32.3°，1号楼在2号楼墙面上的影高为CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，1号楼在2号楼墙面上的影高为DA．已知CD＝42m．（1）求楼间距AB；（2）若2号楼共30层，层高均为3m，则点C位于第几层？（参考数据：sin32.3°≈0.53，cos32.3°≈0.85，tan32.3°≈0.63，sin55.7°≈0.83，cos55.7°≈0.56，tan55.7°≈1.47）21．如图，BC是路边坡角为30°，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯，射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是37°和60°（图中的点A、B、C、D、M、N均在同一平面内，CM∥AN）．（1）求灯杆CD的高度；（2）求AB的长度（结果精确到0.1米）．（参考数据：＝1.73．sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）22．两栋居民楼之间的距离CD＝30米，楼AC和BD均为10层，每层楼高3米．（1）上午某时刻，太阳光线GB与水平面的夹角为30°，此刻B楼的影子落在A楼的第几层？（2）当太阳光线与水平面的夹角为多少度时，B楼的影子刚好落在A楼的底部？23．京杭大运河是世界文化遗产．综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽（岸沿是平行的），如图，在岸边分别选定了点A、B和点C、D，先用卷尺量得AB＝160m，CD＝40m，再用测角仪测得∠CAB＝30°，∠DBA＝60°，求该段运河的河宽（即CH的长）．24．如图是小红在一次放风筝活动中某时段的示意图，她在A处时的风筝线（整个过程中风筝线近似地看作直线）与水平线构成30°角，线段AA1表示小红身高1.5米．（1）当风筝的水平距离AC＝18米时，求此时风筝线AD的长度；（2）当她从点A跑动9米到达点B处时，风筝线与水平线构成45°角，此时风筝到达点E处，风筝的水平移动距离CF＝10米，这一过程中风筝线的长度保持不变，求风筝原来的高度C1D．25．汽车超速行驶是交通安全的重大隐患，为了有效降低交通事故的发生，许多道路在事故易发路段设置了区间测速．如图，学校附近有一条笔直的公路l，其间设有区间测速，所有车辆限速40千米/小时．数学实践活动小组设计了如下活动：在l上确定A，B两点，并在AB路段进行区间测速．在l外取一点P，作PC⊥l，垂足为点C．测得PC＝30米，∠APC＝71°，∠BPC＝35°．上午9时测得一汽车从点A到点B用时6秒，请你用所学的数学知识说明该车是否超速．（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，tan71°≈2.90）26．“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目，其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成，运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离．某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题，请你解答．如图所示，底座上A，B两点间的距离为90cm．低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155cm，高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234cm，已知低杠的支架AC与直线AB的夹角∠CAE为82.4°，高杠的支架BD与直线AB 的夹角∠DBF为80.3°．求高、低杠间的水平距离CH的长．（结果精确到1cm，参考数据sin82.4°≈0.991，cos82.4°≈0.132，tan82.4°≈7.500，sin80.3°≈0.983，cos80.3°≈0.168，tan80.3°≈5.850）27．如图是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC是10米，坡面AC 的倾斜角∠CAB＝45°，在距A点10米处有一建筑物HQ．为了方便行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC的倾斜角∠BDC＝30°，若新坡面下D处与建筑物之间需留下至少3米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除？（计算最后结果保留一位小数）．（参考数据：＝1.414，＝1.732）28．如图，吊车在水平地面上吊起货物时，吊绳BC与地面保持垂直，吊臂AB 与水平线的夹角为64°，吊臂底部A距地面1.5m．（计算结果精确到0.1m，参考数据sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05）（1）当吊臂底部A与货物的水平距离AC为5m时，吊臂AB的长为m．（2）如果该吊车吊臂的最大长度AD为20m，那么从地面上吊起货物的最大高度是多少？（吊钩的长度与货物的高度忽略不计）29．祥云桥位于省城太原南部，该桥塔主体由三根曲线塔柱组合而成，全桥共设13对直线型斜拉索，造型新颖，是“三晋大地”的一种象征．某数学“综合与实践”小组的同学把“测量斜拉索顶端到桥面的距离”作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间借助该桥斜拉索完成了实地测量．测量结果如下表．测量示意说明：（1）请帮助该小组根据上表中的测量数据，求斜拉索顶端点C到AB的距离（参考数据：sin38°≈0.6，cos38°≈0.8，tan38°≈0.8，sin28°≈0.5，cos28°≈0.9，tan28°≈0.5）（2）该小组要写出一份完整的课题活动报告，除上表的项目外，你认为还需要补充哪些项目（写出一个即可）．30．随州市新㵐水一桥（如图1）设计灵感来源于市花﹣﹣兰花，采用蝴蝶兰斜拉桥方案，设计长度为258米，宽32米，为双向六车道，2018年4月3日通车．斜拉桥又称斜张桥，主要由索塔、主梁、斜拉索组成．某座斜拉桥的部分截面图如图2所示，索塔AB和斜拉索（图中只画出最短的斜拉索DE和最长的斜拉索AC）均在同一水平面内，BC在水平桥面上．已知∠ABC＝∠DEB ＝45°，∠ACB＝30°，BE＝6米，AB＝5BD．（1）求最短的斜拉索DE的长；（2）求最长的斜拉索AC的长．31．某商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯．如图所示，已知原阶梯式自动扶梯AB长为10m，坡角∠ABD为30°；改造后的斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB为15°，请你计算改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度，（结果精确到0．lm．温馨提示：sin15°≈0.26，cos l5°≈0.97，tan15°≈0.27）32．日照间距系数反映了房屋日照情况．如图①，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数＝L：（H﹣H1），其中L为楼间水平距离，H为南侧楼房高度，H1为北侧楼房底层窗台至地面高度．如图②，山坡EF朝北，EF长为15m，坡度为i＝1：0.75，山坡顶部平地EM上有一高为22.5m的楼房AB，底部A到E点的距离为4m．（1）求山坡EF的水平宽度FH；（2）欲在AB楼正北侧山脚的平地FN上建一楼房CD，已知该楼底层窗台P处至地面C处的高度为0.9m，要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处至少多远？33．图1是一商场的推拉门，已知门的宽度AD＝2米，且两扇门的大小相同（即AB＝CD），将左边的门ABB1A1绕门轴AA1向里面旋转37°，将右边的门CDD1C1绕门轴DD1向外面旋转45°，其示意图如图2，求此时B与C之间的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，≈1.4）34．随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高铁正迅速崛起．高铁大大缩短了时空距离，改变了人们的出行方式．如图，A，B两地被大山阻隔，由A地到B地需要绕行C地，若打通穿山隧道，建成A，B两地的直达高铁，可以缩短从A地到B地的路程．已知：∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，AC＝640公里，求隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将约缩短多少公里？（参考数据：≈1.7，≈1.4）35．如图，有一个三角形的钢架ABC，∠A＝30°，∠C＝45°，AC＝2（+1）m．请计算说明，工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为2.1m的圆形门？36．为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建．如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需途经C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC＝80千米，∠A＝45°，∠B＝30°．（1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？（2）开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）37．图1是某小区入口实景图，图2是该入口抽象成的平面示意图．已知入口BC宽3.9米，门卫室外墙AB上的O点处装有一盏路灯，点O与地面BC的距离为3.3米，灯臂OM长为1.2米（灯罩长度忽略不计），∠AOM＝60°．（1）求点M到地面的距离；（2）某搬家公司一辆总宽2.55米，总高3.5米的货车从该入口进入时，货车需与护栏CD保持0.65米的安全距离，此时，货车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由．（参考数据：≈1.73，结果精确到0.01米）38．如图1，窗框和窗扇用“滑块铰链”连接，图3是图2中“滑块铰链”的平面示意图，滑轨MN安装在窗框上，托悬臂DE安装在窗扇上，交点A处装有滑块，滑块可以左右滑动，支点B，C，D始终在一直线上，延长DE交MN于点F．已知AC＝DE＝20cm，AE＝CD＝10cm，BD＝40cm．（1）窗扇完全打开，张角∠CAB＝85°，求此时窗扇与窗框的夹角∠DFB的度数；（2）窗扇部分打开，张角∠CAB＝60°，求此时点A，B之间的距离（精确到0.1cm）．（参考数据：≈1.732，≈2.449）39．如图1，水坝的横截面是梯形ABCD，∠ABC＝37°，坝顶DC＝3m，背水坡AD的坡度i（即tan∠DAB）为1：0.5，坝底AB＝14m．（1）求坝高；（2）如图2，为了提高堤坝的防洪抗洪能力，防汛指挥部决定在背水坡将坝顶和坝底同时拓宽加固，使得AE＝2DF，EF⊥BF，求DF的长．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）40．图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地面BD的高度AH为3.4m．当起重臂AC长度为9m，张角∠HAC为118°时，求操作平台C离地面的高度（结果保留小数点后一位：参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）41．如图1，一种折叠式小刀由刀片和刀鞘两部分组成．现将小刀打开成如图2位置，刀片部分是四边形ABCD，其中AD∥BC，AB⊥BC，CD＝15mm，∠C ＝53°，刀鞘的边缘MN∥PQ，刀刃BC与刀鞘边缘PQ相交于点O，点A 恰好落在刀鞘另一边缘MN上时，∠COP＝37°，OC＝50mm，（1）求刀片宽度h．（2）若刀鞘宽度为14mm，求刀刃BC的长度．（结果精确到0.1mm）（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）42．某机场为了方便旅客换乘，计划在一、二层之间安装电梯，截面设计图如图所示，已知两层AD与BC平行，层高AB为8米，A、D间水平距离为5米，∠ACB＝21.5°（1）通过计算说明身高2.4米的人在竖直站立的情况下，搭乘电梯在D处会不会碰到头部；（2）若采用中段加平台设计（如图虚线所示），已知平台MN∥BC，且AM段和NC段的坡度均为1：2（坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），求平台MN的长度．（参考数据：sin21.5°＝，cos21.5°＝，tan21.5°＝）43．如图，某市文化节期间，在景观湖中央搭建了一个舞台C，在岸边搭建了三个看台A，B，D，其中A，C，D三点在同一条直线上，看台A，B到舞台C 的距离相等，测得∠A＝30°，∠D＝45°，AB＝60m，小明、小丽分别在B，D看台观看演出，请分别求出小明、小丽与舞台C的距离．（结果保留根号）44．如图，某煤矿因不按规定操作发生瓦斯爆炸，救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A，B两个探测点探测到地下C处有生命迹象．已知A，B两点相距8米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命所在点C的深度（结果保留根号）．45．“C919”大型客机首飞成功，激发了同学们对航空科技的兴趣，如图是某校航模兴趣小组获得的一张数据不完整的航模飞机机翼图纸，图中AB∥CD，AM∥BN∥ED，AE⊥DE，请根据图中数据，求出线段BE和CD的长．（sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，结果保留小数点后一位）46．如图，某武警部队在一次地震抢险救灾行动中，探险队员在相距4米的水平地面A，B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知在A处测得探测线与地面的夹角为30°，在B处测得探测线与地面的夹角为60°，求该生命（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）迹象C处与地面的距离．47．贵阳市某消防支队在一幢居民楼前进行消防演习，如图所示，消防官兵利用云梯成功救出在C处的求救者后，发现在C处正上方17米的B处又有一名求救者，消防官兵立刻升高云梯将其救出，已知点A与居民楼的水平距离是15米，且在A点测得第一次施救时云梯与水平线的夹角∠CAD＝60°，求第二次施救时云梯与水平线的夹角∠BAD的度数（结果精确到1°）．48．位于张家界核心景区的贺龙铜像，是我国近百年来最大的铜像．铜像由像体AD和底座CD两部分组成．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝70.5°，在Rt △DBC中，∠DBC＝45°，且CD＝2.3米，求像体AD的高度（最后结果精确到0.1米，参考数据：sin70.5°≈0.943，cos70.5°≈0.334，tan70.5°≈2.824）49．如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，求（参考数据：sin31°＝0.515，大厅两层之间的距离BC的长．（结果精确到0.1米）cos31°＝0.857，tan31°＝0.60）50．王浩同学用木板制作一个带有卡槽的三角形手机架，如图所示．已知AC＝20cm，BC＝18cm，∠ACB＝50°，王浩的手机长度为17cm，宽为8cm，王浩同学能否将手机放入卡槽AB内？请说明你的理由．（提示：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2）北师大新版九年级下学期《1.5 三角函数的应用》同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．如图，小刚从山脚A出发，沿坡角为α的山坡向上走了300米到达B点，则小刚上升了（）A．300sinα米B．300cosα米C．300tanα米D．米【分析】利用锐角三角函数关系即可求出小刚上升了的高度．【解答】解：在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，AB＝300米，BO＝AB•sinα＝300sinα米．故选：A．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意构造直角三角形，正确选择锐角三角函数得出AB，BO的关系是解题关键．2．如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取P A的垂线PB上的一点C，测得PC＝100米，∠PCA＝35°，则小河宽P A等于（）A．100sin35°米B．100sin55°米C．100tan35°米D．100tan55°米【分析】根据正切函数可求小河宽P A的长度．【解答】解：∵P A⊥PB，PC＝100米，∠PCA＝35°，∴小河宽P A＝PC tan∠PCA＝100tan35°米．故选：C．【点评】考查了解直角三角形的应用，解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．3．一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了100米，其铅直高度上升了15米．在用科学计算器求坡角α的度数时，具体按键顺序是（）A．B．C．D．【分析】先利用正弦的定义得到sin A＝0.15，然后利用计算器求锐角α．【解答】解：sin A＝＝＝0.15，所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为故选：A．【点评】本题考查了计算器﹣三角函数：正确使用计算器，一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键．4．如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC＝α，∠ADC＝β，则竹竿AB与AD的长度之比为（）A．B．C．D．【分析】在两个直角三角形中，分别求出AB、AD即可解决问题．【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝，在Rt△ACD中，AD＝，∴AB：AD＝：＝，故选：B．【点评】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．5．如图，为了测量山坡护坡石坝的坡度（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度），把一根长5m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出杆长1m处的D点离地面的高度DE＝0.6m，又量得杆底与坝脚的距离AB＝3m，则石坝的坡度为（）A．B．3C．D．4【分析】先过C作CF⊥AB于F，根据DE∥CF，可得＝，进而得出CF ＝3，根据勾股定理可得AF的长，根据CF和BF的长可得石坝的坡度．【解答】解：如图，过C作CF⊥AB于F，则DE∥CF，∴＝，即＝，解得CF＝3，∴Rt△ACF中，AF＝＝4，又∵AB＝3，∴BF＝4﹣3＝1，∴石坝的坡度为＝＝3，故选：B．【点评】本题主要考查了坡度问题，在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．6．某楼梯的侧面如图所示，已测得BC的长约为3.5米，∠BCA约为29°，则该楼梯的高度AB可表示为（）A．3.5sin29°米B．3.5cos29°米C．3.5tan29°米D．米【分析】由sin∠ACB＝得AB＝BC sin∠ACB＝3.5sin29°．【解答】解：在Rt△ABC中，∵sin∠ACB＝，∴AB＝BC sin∠ACB＝3.5sin29°，故选：A．【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握正弦函数的定义是解题的关键．7．如图，一个斜坡长130m，坡顶离水平地面的距离为50m，那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于（）A．B．C．D．【分析】如图，在Rt△ABC中，AC＝＝＝120m，根据tan ∠BAC＝，计算即可．【解答】解：如图，在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝130m，BC＝50m，∴AC＝＝＝120m，∴tan∠BAC＝＝＝，故选：C．【点评】本题考查解直角三角形的应用、勾股定理的应用等知识，解题的关键是记住锐角三角函数的定义，属于基础题．8．如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cosα＝，则小车上升的高度是（）A．5米B．6米C．6.5米D．12米【分析】在Rt△ABC中，先求出AB，再利用勾股定理求出BC即可．【解答】解：如图AC＝13，作CB⊥AB，∵cosα＝＝，∴AB＝12，∴BC＝＝＝5，∴小车上升的高度是5m．故选：A．【点评】此题主要考查解直角三角形，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是学会构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．9．如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB＝α，则拉线BC的长度为（A、D、B在同一条直线上）（）A．B．C．D．h•cosα【分析】根据同角的余角相等得∠CAD＝∠BCD，由os∠BCD＝知BC＝＝．【解答】解：∵∠CAD+∠ACD＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠CAD＝∠BCD，在Rt△BCD中，∵cos∠BCD＝，∴BC＝＝，故选：B．【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握同角的余角相等和三角函数的定义是解题的关键．10．如图，已知点C与某建筑物底端B相距306米（点C与点B在同一水平面上），某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡CD行走195米至坡顶D处，斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，在D处测得该建筑物顶端A的俯角为20°，则建筑物AB的高度约为（精确到0.1米，参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364）（）A．29.1米B．31.9米C．45.9米D．95.9米【分析】根据坡度，勾股定理，可得DE的长，再根据平行线的性质，可得∠1，根据同角三角函数关系，可得∠1的坡度，根据坡度，可得DF的长，根据线段的和差，可得答案．【解答】解：作DE⊥AB于E点，作AF⊥DE于F点，如图，设DE＝xm，CE＝2.4xm，由勾股定理，得x2+（2.4x）2＝1952，解得x≈75m，DE＝75m，CE＝2.4x＝180m，（方法二：由i＝1：2.4＝5：12，设DE＝5xm，CE＝12xm，由勾股定理，得CD＝13x，∴13x＝195，∴x＝15，∴DE＝75m，CE＝180m）EB＝BC﹣CE＝306﹣180＝126m．∵AF∥DG，∴∠1＝∠ADG＝20°，tan∠1＝tan∠ADG＝＝0.364．AF＝EB＝126m，tan∠1＝＝0.364，DF＝0.364AF＝0.364×126＝45.9，AB＝FE＝DE﹣DF＝75﹣45.9≈29.1m，故选：A．【点评】本题考查了解直角三角形，利用坡度及勾股定理得出DE，CE的长是解题关键．二．填空题（共7小题）11．如图，旗杆高AB＝8m，某一时刻，旗杆影子长BC＝16m，则tan C＝．【分析】根据直角三角形的性质解答即可．【解答】解：∵旗杆高AB＝8m，旗杆影子长BC＝16m，∴tan C＝，故答案为：【点评】此题考查解直角三角形的应用，关键是根据正切值是对边与邻边的比值解答．12．如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，则大厅两层之间的高度为 6.2米．（结果保留两个有效数字）【参考数据；sin31°＝0.515，cos31°＝0.857，tan31°＝0.601】【分析】根据题意和锐角三角函数可以求得BC的长，从而可以解答本题．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∴BC＝AB•sin∠BAC＝12×0.515≈6.2（米），答：大厅两层之间的距离BC的长约为6.2米．故答案为：6.2．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．13．如图所示，小芳在中心广场放风筝，已知风筝拉线长100米（假设拉线是直的），且拉线与水平地面的夹角为60°，若小芳的身高忽略不计，则风筝离水平地面的高度是50米（结果保留根号）．【分析】根据解直角三角形的方法即可得到结论．【解答】解：如图，作AC⊥OB于点C，∵AO＝100米，∠AOC＝60°，∴AC＝OA•sin60°＝100×＝米．故答案为：50．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．14．如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE、DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α＝45°，坡长AB＝米，背水坡CD的坡度i＝1：（i为DF与FC的比值），则背水坡CD的坡长为12米．【分析】由题意可得四边形AEFD是矩形，由AB的坡角α＝45°，得出AE的长，利用背水坡CD的坡度i＝1：（i为DF与FC的比值）得出∠C的度数，即可求解．【解答】解：∵迎水坡AB的坡角α＝45°，坡长AB＝米，∴AE＝6×sin45°＝6（m），∵背水坡CD的坡度i＝1：（i为DF与FC的比值），∴tan∠C＝＝，∴∠C＝30°，则DC＝2DF＝2AE＝12m，故答案为：12．【点评】此题考查了坡度坡角问题．此题难度适中，注意构造直角三角形，并借助于解直角三角形的知识求解是关键．15．为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固．如图，加固前拦水坝的横断面是梯形ABCD．已知迎水坡面AB＝12米，背水坡面CD＝12米，∠B＝60°，加固后拦水坝的横断面为梯形ABED，tan E＝，则CE的长为8米．【分析】分别过A、D作下底的垂线，设垂足为F、G．在Rt△ABF中，已知坡面长和坡角的度数，可求得铅直高度AF的值，也就得到了DG的长；在Rt △CDG中，由勾股定理求CG的长，在Rt△DEG中，根据正切函数定义得到GE的长；根据CE＝GE﹣CG即可求解．【解答】解：分别过A、D作AF⊥BC，DG⊥BC，垂点分别为F、G，如图所示．∵在Rt△ABF中，AB＝12米，∠B＝60°，∴sin∠B＝，∴AF＝12×＝6，∴DG＝6．∵在Rt△DGC中，CD＝12，DG＝6米，∴GC＝＝18．∵在Rt△DEG中，tan E＝，∴＝，∴GE＝26，∴CE＝GE﹣CG＝26﹣18＝8．即CE的长为8米．故答案为8．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，锐角三角函数的定义，勾股定理．作辅助线构造直角三角形是解答此类题的一般思路．16．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A滑行至B，已知AB ＝500米，则这名滑雪运动员的高度下降了280米．（参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67）【分析】如图在Rt△ABC中，AC＝AB•sin34°＝500×0.56≈280m，可知这名滑雪运动员的高度下降了280m．【解答】解：如图在Rt△ABC中，AC＝AB•sin34°＝500×0.56≈280m，∴这名滑雪运动员的高度下降了280m．故答案为280【点评】本题考查解直角三角形、坡度坡角问题、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义，属于中考常考题型．17．小明沿着坡度i为1：的直路向上走了50m，则小明沿垂直方向升高了25 m．【分析】首先根据题意画出图形，由坡度为1：，可求得坡角∠A＝30°，又由小明沿着坡度为1：的山坡向上走了50m，根据直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半，即可求得答案．【解答】解：如图，过点B作BE⊥AC于点E，∵坡度：i＝1：，∴tan∠A＝1：＝，∴∠A＝30°，∵AB＝50m，∴BE＝AB＝25（m）．∴他升高了25m．故答案为：25．【点评】此题考查了坡度坡角问题．此题比较简单，注意能构造直角三角形并用解直角三角形的知识求解是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．三．解答题（共33小题）18．某小区为了安全起见，决定将小区内的滑滑板的倾斜角由45°调为30°，如图，已知原滑滑板AB的长为4米，点D，B，C在同一水平地面上，调整后滑滑板会加长多少米？（结果精确到0.01米，参考数据：≈1.414，≈。