微积分教学：从冰冷的美丽到火热的思考
“无穷小”从“冰冷美丽”到“火热的思考”
历 史 发展过 程 ， 让学 生 明 白数 学概 念 的产 生不是 凭
空想 象 的 ， 让学 生看 到 的不 只是教 科 书那 干 巴巴的 字眼， 而是 活 生生 的历 史． 以史 为镜 ， 让 学 生 明 白一
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ３－ ０ ９—１ ７ 基金项 目： 福建省教育科学“ 十二五” 规划２ ０ １ ３年 度 课 题 （ 项 目编 号 Ｆ Ｊ Ｊ Ｋ Ｃ Ｇ ３—１ ５ ８ ）
作者 简介 ： 郑雪静 （ １ ９ ７ ８一 ） ， 女， 福建泉州人 ， 硕士 ， 泉州师范学院讲师 ， 主要从事数学教育研究
张奠 宙教 授 指 出 ， 一般 把数 学成果 分 为三 种不
同的形态 ： 第 一种 是 数 学 家 建 构数 学 思想 、 发现 数 学 定理 时 的原始 形 态 ； 第二种是公开发表的， 写 在 论 文里 、 教科 书 上 的学 术 形 态 ； 第 三 种 是 数 学 教 师
在 课 堂教学 中的教 育 形 态 ． 对 于数 学 教 师 ， 其 主 要
美丽． ” …
数 学教 学 的 目标 之一 ， 就是 要把 数学 知识 的学 术形
态转化 为教 育形 态 ． 本 文拟 就 高等 数 学 的重 要 概 念—— “ 无穷小 ” 为例 ， 探究 如何 将教 科 书 中那 “ 冰冷 美 丽 ” 背后“ 火 热 的思考 ” 揭示 出来 ， 让 学 生感 受 到 高等 数 学 的学 习不 是那 些冷 冰冰 的定 义 、 公式 、 定理 和计算 ， 而是 蕴含 着火 热 的思 考 ， 让 学 生 在 思考 中理 解 数 学 、 形 成 数学 素养 ， 以提 高 学生学 习 高等数 学 的兴趣 ．
化“冰冷的美丽”为“火热的思考”
化“冰冷的美丽”为“火热的思考”美国心理学家布鲁纳说：“探索是数学的生命线。
”的确，没有探索，就不会有新的发现。
现行教材中的探究活动为探究性学习提供了一个平台，我们在教学中要转变观念，强调师生交往，构建互动的师生关系；要为学生创造主动参与学习的条件和内容，精心创设探究性问题情境，激发学生的探索欲和创造欲。
一、借助探究，激发兴趣苏霍姆林斯基说：“在人的心灵深处都有一种根深蒂固的需要，就是希望感到自己是一个发现者、研究者、探索者。
”我们不仅要激发学生心灵深处那种强烈的探索欲望，而且要让学生有更多参与探索的机会和成功的情感体验，从而激发学生学习数学的浓烈兴趣。
【例1】①一张纸的厚度为0.09mm，那么你的身高是纸的厚度的多少倍？②将这张纸连续对折6次，这时它的厚度是多少？③假设连续对折始终是可能的，那么对折多少次，所得的厚度可以超过你的身高？先猜一猜，然后计算出实际答案，你的猜想符合实际答案吗？对于①、②两小题学生不难解决问题，对第③小题学生会有五花八门的答案，而又对自己的答案不抱有足够的信心，此时学生的探索欲望就会被激发出来，每个学生都跃跃欲试。
然后教师引导学生从②小题受到启发，去寻求答案的计算方法，最后发现答案出乎意料。
通过此例让学生在生活经验数学化、数学知识实践化的过程中体验到数学就在我们生活中。
让学生在情境中学习，在探索中求知，去探究生活中有趣而富有挑战性的问题，是激发学生学习兴趣和求知欲的有效手段。
二、体验探究，提升知识探索性学习内容立足于教村，又高于教材，许多活动内容符合基础性、多样性、层次性、开放性原则，通过类比探究、归纳探究、实验探究、发散探究、演绎探究等多种形式，进行探求新知，进行知识的再发现、再创造。
【例2】解由两个一元一次不等式组成的不等式组，在取各个不等式的解的公共部分时，有几种不同的情况？若，你能说出下列四种情况下，不等式组的解吗？用数轴试一试（请与你的同伴交流）。
学生掌握了由具体数字组成的不等式组的解法后，借助数轴独立思考，通过小组讨论，在原有的知识经验基础上进行整理与总结，从而得到解不等式组一般的结论和方法，从而达到认识的深化与认知结构的完善，使学生的思维得到自然的升华，通过归纳探究，经历知识的形成性过程，培养思维的深刻性和灵活性。
冰冷的美丽与火热的思考
“冰冷的美丽”与“火热的思考”细细读来这本书，一边读一边思考，伴随着一个个【课前慎思】进入华老师的课堂，感受着华老师的数学文化的深厚底蕴，以及在课堂上能够与学生平等对话，将有困于学生的知识，在对话中，在创设情境的探索中，让学生通过自学、互学、质疑学，让学生经历“谁无暴风劲雨时”的过程，体会到“守得云开见月明”的成功喜悦。
带着目的读这本书，一边感受华老师的个人魅力，欣赏经典的案例，一边思考以怎样的角度来写读后感，在接近尾声时，突然想起王国维先生《人间词话》的三种境界，古今之成大事业、大学问者，必经过三种境界，我在想华老师所追求的课堂不就是经过这三种境界，才能算得上好课，才能称得上好老师，不想与华老师不谋而合。
教师要想设计出一节有思维含量，或者一节有创新的课，必须经过这长期的坚持和努力，就如修仙一样，经历重重阻难，不断地反思才能进步。
必定要经历三种境界：昨夜西风凋碧树。
独上高楼，望尽天涯路。
这是第一阶段，首先就是立志，下决心。
我想不管做什么事情首先就是要自己有执着的追求，登高望远，希望自己能够上一堂好课，有着明确的目标和方向，才会努力的执着的为之奋斗。
带着这份激情和斗志，去研究一节课，查看教材内容，了解课程标准的教学目标，准确把握本节课的教学重难点，做到心中有数，感觉此时什么都非常的明了，没有什么不清楚的，就好像登上了高山，把山下的风景尽收眼底，高楼大厦、川河车流都看的清清楚楚，明确了自己的教学流程以及学生会出现的问题。
但是，这个时候的课堂是中规中矩，没有新颖之处，如果达到这个境界，我们就满足现状，去上课，那么课堂将会出现“满堂灌”的情景，学生在这样的课堂只有耳朵，没有头脑，学习效果是极差的。
这也是咱们一线教师普遍存在的现象，多数会遇到的问题，困惑于：“知识点我讲了很多遍了，学生怎么回事啊，怎么跟我没讲一样！”我们问问自己，是不是在日常教学中有这样的疑惑，或者说同事间交流的时候也吐露了心声。
可是，问题真的就出现在学生身上吗？我想首先咱们教师先要自我反思，我们只是“讲”学生听没听倒很难说。
高中数学《微积分》公开课优秀教学设计
高中数学《微积分》公开课优秀教学设计
这门课程通过多样化和创新的教学方法，将微积分概念和基本原理的研究带给了学生。
以下是我认为是优秀的教学设计：
1.引入学生
老师可以运用互动的方式，让学生把微积分中已经学过的知识点列出来，并简述其作用。
通过这种方式，可以激发学生对知识点的记忆，并为研究新的概念铺垫。
2.提供实际问题
老师可以给学生提供一个实际的问题，例如汽车在前进过程中的速度变化，让学生求出汽车在某时刻的速度。
这样的问题将把微积分知识点与现实生活联系起来，并提高学生对微积分的兴趣。
3.示范问题解决
老师可以在黑板上或电子板书上详细演示问题的解决过程。
例如，通过对汽车运动过程图像的慢动作分析，解释其速度是如何变化的。
这将有助于学生更好地理解微积分的概念。
4.引导学生练
老师可以在课堂上提供大量的练，并指导学生如何解决这些问题。
通过反复练，学生将逐渐掌握微积分的基本概念和解题技巧。
5.结合模拟测试
老师可以安排一次模拟测试，评估学生对微积分的掌握程度。
这将有助于了解学生的优势和不足，并及时引导学生进行下一步的研究。
通过以上的教学设计，学生将更容易地理解微积分的概念和解题方法，提高学习效率，也同时提高学生对微积分学习的兴趣。
数学教学中建模能力的培养——化“冰冷的美丽”为“火热的思考”
开动脑筋 ， 趣的形成 是一个 复杂的心理过 程 ， 兴 但总体 上是在充 满情趣 、 富有 魅力 的教学活动 中逐渐培养
起来 的．
很多数学系 的学生对所学 的专业有 一定 的抵触 情绪 ， 到数学 枯燥无 味 ， 感 没有 学 习的动力 ， 很多 学生 给数学起 了个名称 ：冰冷 的美丽 ”作 为数学 教师 ， “ ． 面对这类 学生 ， 先应该 端正 学生对数 学 的态度． 学 首 让 生体会 到数学是一 门基础 的学科 ， 在学数 学的过程 中 ， 最重要 的不是要 记住各种 各样 的定 理 ， 而是要 培养
数学的特点不仅在于概念 的抽象性 、 辑 的严 密性 、 论 的明确性 和体 系的完 整性 ， 逻 结 而且 在于它 应用
的广泛性 ， 进入 ２ ０世纪 以来 ， 随着科学技术 的迅速 发展和计算机 的 日益普及 ， 们对各种 问题 的要求 越来 人 越精确 ， 使得数学的应用越来越广泛 和深入 ， 特别是在 即将进入 ２ 世纪 的知识经 济时代 ， 学科学 的地 位 １ 数 会发生巨大的变化 ， 它正在从 国或经济和科技 的后 备走 到 了前沿． 济发 展 的全 球化 、 经 计算 机的迅猛发展 ， 数理论 与方法的不断扩充使得数学 已经成 为 当代 高科 技 的一 个重要 组成部 分 和思想库 ， 数学 已经成为一 种 能够普遍 实施的技 术． 培养学生数学应用 的意识和能力 已经成 为数学教学 的一个重要方 面．
（ 中央 民族 大学 理 学 院 ， 京 １ ０ ８ ） 北 ０ ０ １
［ 摘
要］ 以 提高 学 生数 学 能力 为 目标 ， 强 数 学 教学 中对 学 生 建 模 能 力 的 培 养 ， 端 正学 生 学 习态 度 、 加 要 培
高中微积分教学方法总结
高中微积分教学方法总结微积分是高中数学教育中的重要组成部分，对于培养学生的数学思维和解决实际问题的能力具有重要作用。
本文将总结高中微积分教学方法，探讨如何有效地教授微积分知识，提高学生学习成绩和兴趣。
1. 建立数学基础知识在教授微积分之前，首先需要确保学生具备相关的数学基础知识，包括代数、几何和三角学等。
可以通过复习和巩固这些基础知识，为学生进一步学习微积分打下坚实的基础。
此外，还可以通过引入实际问题和例子，帮助学生理解微积分概念的应用。
2. 引入生动的教学案例微积分是一门抽象的学科，常常让学生感到晦涩难懂。
为了激发学生的学习兴趣，教师可以引入一些生动的教学案例，让学生从实际问题出发理解微积分的概念和原理。
例如，可以利用汽车行驶的例子引入导数的概念，通过计算速度和加速度的关系，帮助学生理解导数的物理意义。
3. 培养问题解决能力微积分的核心在于问题求解，因此在教学中要注重培养学生的问题解决能力。
可以通过提供一系列的问题，引导学生运用微积分知识去解决实际问题。
在解题过程中，教师可以引导学生思考解题思路和方法，激发他们的创造力和想象力。
4. 创设合适的学习环境为了提高学生的学习效果，教师应该创设一个积极、互动和开放的学习环境。
可以通过小组讨论、实验和研究项目等方式，培养学生的合作精神和探究能力。
同时，教师还应鼓励学生提问和质疑，促进他们对微积分知识的深入理解。
5. 运用多媒体技术辅助教学随着科技的发展，多媒体技术已经成为教学不可或缺的一部分。
教师可以使用投影仪、电子白板等多媒体设备，将微积分知识以图像、动画和视频的形式呈现给学生，提高他们的学习兴趣和理解能力。
此外，还可以利用互联网资源，为学生提供更多的学习资料和习题。
总结起来，高中微积分教学的关键在于激发学生的学习兴趣，培养他们的问题解决能力和创造力。
通过建立数学基础知识、引入生动的教学案例、创设合适的学习环境和运用多媒体技术等方法，可以提高学生的学习成绩和对微积分的认识。
变“冰冷的美丽”为“火热的思考”──小学数学教学内容呈现方式之管见
数学小学教学参考新课程教材图文并茂、生动有趣,贴近学生的生活,充满时代气息,无论是内容的选择还是呈现方式上,都很好地体现了“以学生发展为本”的理念。
它以现实生活为背景,力求形成“问题情境———探究新知———建立模型———解释应用与拓展”的基本教学模式,以儿童化、生活化的方式反映数学的思想方法。
尽管如此,然而教材还是数学知识与思想的浓缩本,呈现给学生的往往都是高度概括和抽象化的静态知识,而隐藏在知识背后的关于知识产生与形成时艰难的探索历程、丰富的思维过程、精彩动人的故事等数学文化和数学背景,很难一一列入教材。
著名数学教育家弗赖登塔尔曾经这样描述数学的表达形式:“没有一种数学的思想,以它被发现时的那个样子公开发表出来。
一个问题被解决后,相应地发展为一种形式化技巧,结果把求解过程丢在一边,使得火热的发明变成冰冷的美丽。
”教学时如果照本宣科,就会不利于引发学生产生问题,不利于促进学生的思考和探究,不利于学生主动建构知识。
数学知识学术形态的表现形式枯燥、乏味,给人一种冰冷的感觉,但是数学的思考却是火热的、生动的、活泼的。
那么,怎样解决这一矛盾呢?张奠宙教授曾经提出:“数学教学的目标之一是要把数学知识的学术形态转化为教育形态,通过数学知识的教育形式散发出数学的巨大魅力,体现数学的价值,揭示数学的本质,感染学生、激励学生,让数学‘冰冷的美丽’焕发学生‘火热的思考’。
”一、变“静态预设”为“动态生成”教材总是静态、固化地呈现编者事先预设的教学思路,而在实际教学中,教师的组织教学、学生的生活经验和知识背景以及思维状况都是不确定的,真正的教学过程总是动态生成的。
因此,学生的学习实际常常不可避免地会与教材的编写预设发生矛盾。
比如教学“两位数加两位数(进位)”一课时,例题是34+16。
教材是让学生先用小棒摆一摆或用计数器拨一拨,再用竖式计算。
然而实际教学中,在学生自主探索算法时,往往提出的是口算或直接用竖式计算的方法。
妙趣横生,追求本质——从一堂课的片段赏析谈开去
>2020年9月（下旬）投稿邮箱:************.com数学教学通讯妙趣横生，追求本质———从一堂课的片段赏析谈开去李立军重庆市礼嘉中学校401122［摘要］数学来源于生活又高于生活,本节课的教学设计直指数学本质,营造了轻松、和谐的课堂氛围.同时又将生活情境与数学知识相融合,让学生们懂得用数学的眼光去观察世界,从数学的角度去思考、解决问题.多次的数学实验让学生们通过观察、类比、猜想、归纳等方式亲近数学,突出了学生的感受、体验及合乎逻辑的思考,让学生们因体验而兴趣盎然,达到了愿学、乐学、做中学、玩中学的教育境界,这就是一种无痕、自然教育.［关键词］体验;本质;兴趣作者简介:李立军(1972-),中学高级教师,重庆市两江新区高中数学兼职教研员,曾获得黑龙江省劳动模范,重庆市骨干教师,重庆市优秀班主任,省级优质课比赛一等奖,省级课件比赛一等奖.教学既是科学又是艺术,教无定法但必得法.对于这句话每位教师都有着自己的理解和实践,我们经常思考怎样将数学“冰冷的美丽化作火热的思考”,又在探寻如何将高中数学课上得神采飞扬、意犹未尽,对此众说纷纭、百家争鸣.前不久参加重庆市高中数学教学能力提升研修培训,培训期间大量地听课、评课,有些课堂也免不了让人乏味而昏昏欲睡.而国家赛课一等奖获得者、重庆市育才中学王景老师的一节“随机事件的概率”录像课则让人不觉一震,只觉得这堂课的设计妙趣横生、浑然天成,令学生能够在体验、参与、感受中探求数学实质,深入浅出,举重若轻.一节课下来,听课者感觉余音绕梁,令人回味.笔者针对这堂课的片段进行了赏析与评论,以期大家研讨之用.1：用寓言故事引课农夫嫌自己家的秧苗长得太慢,于是想到了一个办法,把每根禾苗都拔高一截,这样就可以提前丰收了.拔苗助长———不可能事件.(2)宋国有个农夫,他的田地里有一截树桩.一天,一只野兔撞在树桩上死了.农夫便认为只要守在树桩旁边,一定能再捡到兔子.守株待兔———随机事件.(3)愚公家门前有两座大山挡着路,他决心从自己开始挖山,自己死后有儿子,儿子死了还有孙子,子子孙孙无穷无尽地挖,一定可以把山挖平.愚公移山———必然事件.赏析:一堂课的引入至关重要,它是课堂情绪的奠基,起到调动学生积极性、引发学习兴趣的作用.三个成语学生都不陌生,在引入新课时,创设有趣味又有悬念的寓言故事情境成功激发了学生的好奇心、求知欲,这种类似于语文课的开题方式让人耳目一新.当揭示了“事件”这个主题之后,学生才恍然大悟,留下非常深刻的印象.本节课从学生所熟悉的事物入手,易于学生理解,可以很快激发学生的学习热情,尤其是三个实例与三种事件高度吻合,孔子曰“知之者不如好之者,好之者不如乐之者”,浓厚的兴趣是学生学习动机的体现.这种峰回路转的创意让人眼前一亮,让我们也不禁为教师的精巧设计而喝彩!2：扑克牌中的事件试分析:“从一堆扑克牌中任意抽一张,抽到的是红牌”,这是什么事件?必然事件不可能事件随机事件图1赏析:如果说寓言故事的引入偏向于感性认识的话,那么,扑克牌的引入就更偏向于理性认识,从另一个角度让学生再次体验.这个片段对学生刚刚领会的认知起到巩固的作用,由此完整地26投稿邮箱:************.com数学教学通讯建立了新的认知体系.它仍然从学生的生活实际入手,不同于前面寓言故事的跌宕起伏、耐人寻味,但它以更为舒缓的节奏将学生的兴奋点维持住,让学生在一种平静的心态中夯实了对于概念的理解.3：生活中对三种事件的举例思考:你能举出一些现实生活中的不可能事件、必然事件以及随机事件的实例吗?赏析:数学概念是构建数学大厦的基石,是丰富多彩的数学思想和方法的源头活水,它的延伸、迁移、转化和拓展形成了解决数学问题的起点.在学生对概念有了初步的认识之后,通过生活问题对概念进行辨析,发散了学生的思维.这是新课标中的用数学的眼光观察世界,用数学的角度分析世界,用数学的语言表达世界的具体体现.这也同样是一种问题情境的创设,为前面的概念引入、理解、辨析、定位画上了一个圆满的句号.4：小组合作，在随机数表中找“9”（如图2）赏析:教师的目的在于为接下来的频数、频率、概率做好铺垫,并非平铺直叙,而是将学生作为学习的主体,在数学课上亲自动手.这种数学实验让学生通过观察、归纳、类比、猜想等来理解数学,突出学生的感受、体验及合乎逻辑的思考,让学生因体验而兴趣盎然,达到了愿学、乐学、做中学、玩中学的目的,润物因自然而无声,这就是一种无痕教育.同时让学生懂得数学实验、数据处理对于数学研究的重要性,进而得到科学研究的方法.数学课堂的合作交流必不可少.一堂课是否高效主要的标准在于每个学生是否知识达标,如果一个教师在下课后可以自豪地说“这节课的基本知识或核心内容全班每个同学都掌握了”,这毫无疑问会是一节好课.但事实上做到此点何其难,课堂上的教师不可能对每位学生的疑问作出解答,因此,小组合作必不可少,充分发挥小组成员交流、互助、质疑、答疑、补充等种种优势,有利于以点带面,达到双赢的目的.5：计算机模拟掷硬币（如图3）赏析:在上一个片段学生已经开始找到感觉之后,教师运用多媒体先进技术再次将学生的注意力牵引,提升了学生的兴奋点,使得本节课的教学节奏一波三折,同时对学生的感官是一种震撼、一种冲击;更为重要的是,将上一次的有限实验中的“遗憾”进行了弥补.这次无限的实验将数据处理得更加直观,结论由先前的“犹豫”以极短的起跑线,迅速过渡到“坚定而自豪”这种猜想验证,学生由此形成了愉悦体验,这就是我们常说的,肯定、激励、评价比无数掌声的鼓励显得厚重;也因学生前面有着相同的经历而产生共鸣,并对今后的创造、创新产生了足够的憧憬与信心.最后引入几个著名科学家的抛掷实验的数据,让学生很自然地将自己的行为与科学家进行对比,得出数学科学的所有成绩并非凭空想象,并非只是来自一颗非凡的大脑,同样是来自于执着的追求和不懈的努力.数学史的渗透成功将学生带入了一次高质量的情感、态度、价值观教育,无声胜有声.6：运用所学知识解析现象根据频率和概率的相关知识,解释下列问题:(1)天气预报说下周星期一降水概率为90%,下周星期三降水概率为10%,于是有位同学说:“下周星期一肯定下雨,下周星期三肯定不下雨.”(2)小明的爸爸昨天一次买了10注体育彩票,结果中了一注一等奖,他高兴地说:“这种彩票中奖率高,中一等奖的概率是10%!”(3)理论证明双色球一等奖中奖概率为1/177221088,是指买177221088张彩票就一定能中一个一等奖吗?(4)一个病人去看病,医生告诉他这个病的治愈概率有9成,病人很高兴.医生接着说:之前已经有9个病人被我治好了.话还没说完,病人拔腿就跑.赏析:在教师完成了频率、概率的分析与理解之后,本以为会有一些关于概率的计算方面的题目,没想到教师的教学图2图3272020年9月（下旬）<>2020年9月（下旬）投稿邮箱:************.com数学教学通讯Ax+By+C=0,Bx -Ay+Ay 0-Bx 0=0.将Q ′(x 1,y 1)代入得到Ax 1+By 1+C=0,Bx 1-Ay 1+Ay 0-Bx 0=0(1),此时我们的目标为PQ ′=(x 0-x 1)2+(y 0-y 1)2√,从目标可以看出,Q ′(x 1,y 1)是不可解出的,就需要将x 0-x 1和y 0-y 1看成两个整体,故可以将(1)式改造为Ax 1-Ax 0+By 1-By 0=-Ax 0-By 0-C ,Bx 1-Ay 1+Ay 0-Bx 0=0(2),对(2)继续向目标改进A (x 1-x 0)+B (y 1-y 0)=-Ax 0-By 0-C ,B (x 1-x 0)+A (y 0-y 1)=0,将x 0-x 1和y 0-y 1看成两个未知数,解方程组可得x 1-x 0=AA 2+B 2×(-Ax 0-By 0-C ),y 1-y 0=BA(x 1-x 0),⎧⎩⏐⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐⏐代入目标形式,即得PQ ′=(x 0-x 1)2+(y 0-y 1)2√=Ax 0+By 0+C A 2+B2√.基于上述正弦定理的复习,几何问题还可以借助向量工具来解决.由此,教师可以引导学生对本问题进行更为深度的学习.设上述问题中的直线l 与垂线l′的交点为Q (x Q,y Q ),通过计算可以得到直线l 的法向量是n =(A ,B ),PQ 垂直于直线l ,所以PQ ∥n ,故n =n,所以PQ==A (x 0-x Q )+B (y 0-y Q )A 2+B2√.又因为点Q (x Q ,y Q )在直线l 上,即Ax Q +By Q +C=0,所以Ax 0+By 0+CA 2+B2√经过思维重组,适当优化后,整个证明过程中,并没有过于复杂的运算,这样的过程符合了重思维、轻计算的新课程改革方向.这样的过程更是学生深度学习的过程,是对知识的内涵与本质的又一次深度学习.这样的深度学习是高效的,在优化过程中,学生不仅仅学到了具体的结论性知识,更是学到了如何去设立目标、设而不求、构造整体思维,又如何去将定值问题进行动态处理,还培养了学生借助常规工具（向量等）求解几何问题的意识等等,这样的复习更具有对问题宏观思路的掌握,对问题本质与内涵的理解,学习的思维层次深,复习效果自然也就高效.当然点到直线公式的推导还有很多其他解法,以上是以优化运算与转变策略为例,谈谈教师如何引导学生进行深度学习,教师也可以根据具体教学需要,从其他角度进行引导深度学习.学生的深度学习,不仅仅关乎学生的成长,也提升教师的专业素养,是教学相长的一次机会.高三的复习不能仅仅停留在结论性知识的识记复习层面上,更应该注重对问题本质的深度复习,这样的复习才能帮助学生掌握更高层面的知识、方法、思想等,才能提升学生的核心素养,促进教师的专业素养,从而达到教学相长的目的.参考文献：[1]徐树旺.聚焦数学本质凸显定位选择———“正弦定理(第一课时)”的教学思考[J ].中学数学教学参考,2018(31).[2]胡云飞.基于深度学习的课堂教学思考[J ].中国数学教育,2017(24).(上接第5页)设计再一次峰回路转.“数学来源于生活又将应用于生活”在这个片段彰显无疑,这恰恰构成了本节课的“点睛之笔”.练习一来自于平常生活中的下雨,学生的辩证思维开始起飞;练习二来自于父子间的中奖对话,从生活中的平常小事给予了学生启迪,令人不禁莞尔一笑;练习三更进一步,从双色球这个热点问题入手,使学生的思维再次得以提升;练习四显得幽默生动,学生哄堂大笑.这些练习的选取,体现了教师的设计智慧,同时让学生发自肺腑地觉得数学有用,和日常生活有联系,更为重要的是,这几个练习直指数学本质,将生活知识提升为数学知识,让学生懂得从数学的角度去思考问题、解决问题,数学文化跃然纸上.7：课外探究探究1:做同时掷两枚硬币的试验,观察试验结果.(1)试验可能出现的结果有几种,分别把它们表示出来.(2)做100次这样的试验,每种结果出现的频数、频率各是多少?重复(2)的操作,你会发现什么?你能估计“两个正面朝上”的概率吗?探究2:电脑在今天已走进了千家万户,大大提高了人们的学习和工作效率.当你的指尖敲打着电脑键盘时,有时你是否想过,键盘上的字母为什么不按顺序排列?我们不妨一起来做一次统计,选取一篇英文文章,然后统计总的字母数,每个字母出现的频数与频率,你能发现什么?赏析:一个操作性很强的课外探究将数学学习从课上延伸到课外,同时为下节课的进一步学习提供了数据参考,充分体现了数学并不仅仅体现在课上,在社会生活中它同样具有很强的持续性和可发展性.课外探究的不仅仅是知识的延伸,它体现了数学的价值所在,生活中处处有数学,数学可以对我们的生活起到很好的指导意义,数学的存在成了我们很多想法和创意的理论支撑!著名美学家朱光潜先生有一句名言:“课堂教学是一种表演艺术.”这种表演艺术在王景老师这节课上有着充分的体现,让我们在身临其境,近距离体会到教师挥洒自如的魅力,感受到了学生一步步经历认识、理解、掌握的过程.都说教无定法但必得法,所谓的法就是来自以学生为主体的全方位考虑,于精细处做文章的设计.这样,以学定教才会显得游刃有余,才会让学生发自内心地领会数学好玩、数学好学、乐学数学.笔者思想,这也是我们每一位教师在教育事业中永恒追求的目标.28。
“冰冷”的美丽与“火热”的思考——例谈数学教学活动化
能 创 造 、善 创 造 。 ］
同 样 的 教 学 内 容 ， 笔 者 设 计 了 不 同 的 练 习 ， 施 教 后 有 着 不 同 的 思 考 与 收 获 。 改 革 课 堂 练 习 设 计 ， 是 小 学 数 学教 学改革 的重要 组成 部分 。 我 们只有在 关注个 体差异 、 突 出 个 性 发 展 的 前 提 下 ，设 计 多 元 、 开 放 、 动 态 的 发 展 性 练 习 ， 才 能 为 学 生 的 成 长 创 造 一 种 积 极 向 上 、 民 主 宽 松 的 氛 围 ， 才 能 促 进 每 一 个 个 体 生 命 全 面 、 健 康 、 持 续 地 发展 。◇
学 生 兴 趣 盎 然 ，教 室 里 热 闹极
确 定 位 置 的 知 识 。 ” ［ 思 著 名 心理 学 家皮 亚 杰 从 反
了 。 渐 地 ， 部 分 学 生 都 找 到 了 自 发 生认 识 论 的 角 度 曾 深 刻 揭 示 出 ： 渐 大
己 的座 位 ，可 是 有 三 个 学 生 却 拿 着 “ 童 的 思 维 是 从 动 作 开 始 的 ， 切 断 儿 手 里 的卡 片 在 发 பைடு நூலகம் ， 脸 涨得 通 红 。 动 作 与 思维 的 联 系 ， 思 维 就 不 能 发 小
看 似 平 常 ， 实 则充 分 体 现 了 编 题 者 的创 造 意识 ，加 深 了 学 生对质数和 合数 的理解 。
可 以 说 ， 学 生 本 身 就 是 数 学
表 达 方 式 是 形 式 化 的 ，但 在 课 堂 上 写 着 “ ３ 第 （ ） ” 他 知 道 应 该 第 组 个 ，
置》 学 片段 教
引入 新 知 时 ，我 设 计 了 一 个 找
数学教学故事演讲稿
将冰冷的美丽还原成火热的思考各位领导各位老师大家好：今天我演讲的题目是《将冰冷的美丽还原成火热的思考》。
“三尺讲台，一方净土。
”14 年前，我怀着对老师的崇拜，对教育事业的向往，投入了教师这个行业，走上向往已久的讲台。
“做一个好老师，加油！” 一个发自心底的声音时刻告诫我、激励我。
我挑灯夜战，书写教案；我挥起教鞭，板起面孔；我大声讲解，直至嘶哑⋯⋯最初的激情消退后，我发现，在我的课堂上，学生们整齐划一，他们的表情日趋简单，他们的表达规范而模式化。
我突然有了疑问：我的大包大揽是否是简单的复制？是否束缚了学生的思维？是否又扼杀了儿童的天性呢？一次偶然的机会，我看到这样一句话：“书本上的知识一旦成为范本，思考就变成了冰冷的美丽。
老师就是要将这种冰冷的美丽还原成火热的思考。
”一语惊醒了梦中人，我的课堂该怎样将冰冷的美丽变成学生火热的思考呢？我究竟该怎样做？矿区“校本革命”的春风吹散了我的迷茫，实验小学“五环七步教学法”的创建让我在实践中解惑。
去年六年级的学生在学习圆这一单元时，我考虑到这个年龄的孩子已经有了一定的知识基础，掌握新知识新技能的能力已经越来越强，，但是，他们也开始叛逆，他们不愿意上课回答问题，不愿意学课本上的知识，，不愿意按照老师和家长安排的去做，所以我做了一个大胆的尝试，把教学计划中安排的一个月的学习时间全部给了学生，我和学生们只用了一节课了解了圆这一单元的学习重难点，设计这次活动的框架问题，划分了小组。
接下来的活动大家都是在小组里进行的，各小组确定了本组研究的主要问题，进行了小组分工，找到了研究方法，安排了活动计划。
整整一个月的时间他们在自己选择的主题中，在自己安排的计划里快乐的忙碌着。
在孩子们主动的学习中，我看到了，听到了，他们火热的思考，他们通过查找资料找到了圆的历史，他们动手实践推导出了圆的周长和面积公式，他们发现了数学中转化的思想，他们通过测量，计算得出实验小学操场准确的周长和面积，并得出了确定起跑线的数据，他们知道了蒙古包、井盖、车轮为什么是圆形的。
让“冰冷的美丽”绽放出“火热的思考”——数学教学中学术形态转化为教育形态的教学策略
、
这 样 没问 的好 处是 ： 不 查 表求 值教 材 中经 常 出现 ， 合 ① 符 学 生 的认 知结 构 ， 不会 出现 波 利 亚 所说 的 “ 帽 子 里 掏 出米 一 从 个 兔 子” 的感 觉 ； ｓ ５ ． 。ｏ７ ５ 和 ｃｓ２ ５ ｓ ７ ５ 以对偶 形 ② ｉ ２５ ｃ ｓ． 。 ｏ ． 。ｉ ． 。 ｎ ５ ｎ 式 小 现 ， 容易 让学生 联 想到式 子 ｓ ５ ． 。ｏ７ ５ ＋ｃｓ２５ 很 ｉ ２ ５ ｃｓ 。 ｏ５ ． 。・ ｎ ｓｎ ． 。 ｓｎ２ ５ ｃｓ． 。一ｃｓ２ ５ ｓｎ ． 。 为 在 此 之 前 学 ｉ７ ５ 和 ｉ５ ． 。 ｏ７ ５ ｏ５ ． 。 ｉ７ ５．因 生 对 公 式 ｓ （ｒ ） Ｃ Ｓ ± 的 正 、 向 应 用 已 得 到 强 化 ｉ Ｏ± ，Ｏ （ ） ｎ ＂ 逆 训 练 ．在 学 生 利 用 ｓ ５ ． 。ｃｓ ． 。 ＋ｃ ｓ２ ５ ｉ７ ５ ｉ ２ ５ ｏ７ ５ ｎ ｏ５ ． 。ｓｎ ． 。＝
教学 案例 ２ 王 角 函 数 的 积 化 和 差 公 式 的 教学 ： 教 材 （ 教 版 必 修 ４ 直 接 给 ｝ 了 ４个 对 称 性 的 积 化 和 苏 ） ； ３
羞 公 式 ， 渭是 “ 冷 的 美 丽 ”， 直 接 由学 生 推 导 ， 难 重 可 冰 若 困 重． 意 到 积 化 和 差 公 式 推 导 的 实 质 是 解 一 个 二 元 一 次 方 注 程 组． 处 我 设 计 一 组 不 查 表 求 值 的 问 题 ： ｓ ５ ． 。・ 此 求 ｉ ２５ ｎ ｃ ｓ ． 。 ｃ ｓ２ ５ ｓｎ ． 。 值 ． ｏ７ ５ 和 ｏ５ ． 。 ｉ７ ５ 的
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角关系进行归纳 ， 得ｍ在 Ｒ△ Ｂ ｔ Ａ Ｃ中 ，ｎ — ＝ ÷ ＝ ｎ 然后 ÷ Ｌ』， ＳＩ ＳＩｎ Ｓｌ
化冰冷的美丽为火热的思考
一、注重生活数学，让学生寻“味”数学知识包括数学理论与方法，数学的思维方式在日益纷繁复杂的现实生活中无处不在，日益凸显。
但是小学生往往不知道哪里藏着数学知识，哪个问题可以用数学的此，在教学实践中，体育教师应注重穿心教学方法与教学手段：在指导和组织学生进行体育活动时，教师应充分挖掘学生好动的天性，以宽松、和谐、民主的教学氛围，丰富、生动的教学形式，采用灵活多变的教学方法，有意识地创设具有一定情绪色彩和形象生动的具体场面，以引起学生积极的情感态度体验，应善于提出问题，创造情境，激发学生的思考[1]，使教学方法的运用适合与学生的心理特征，从而使学生学有所得，乐在其中。
3.选择适合学生的教学内容，满足学生的学习需求。
对学习内容的选择，最能体现体育教师的课程与教学素养。
体育教师在教学实践中，应注意不断更新和发展教材的内容体系，注意吸收社会上学生最喜欢、最适合于对学生进行体育知识技能、情感态度、价值观培养的内容进入体育课堂，应分析学生的学习需求，选择最有价值的学习内容进行教学，以满足学生的学习需求，促进学生主动、生动地参与到课堂学习中来。
4.激发和培养学生正确的学习动机与学习兴趣。
初中低年级学生的体育学习的动机与学习兴趣是有紧密联系的一种现象，好“玩”，“玩”得高兴，这就是他们的可爱之处，从有得“玩”“玩”中学，到“玩”有所得，会“玩”，使得身心健康自然得到发展[2]。
体育教师要高度重视培养学生正确的学习动机和学习兴趣，并使之贯穿到整个教学活动的全过程。
教师应重视对学生个性的培养和发展，满足学生的创新欲，注重学生良好情感的体验与获得，艺术性地创造和谐愉快的教学情境。
在课堂教学实践中，在重视对学生进行运动技能传授与掌握，发展体能，培养兴趣与爱好的同时，注意运用激励性的评价。
成功是学习兴趣的关键，学生在学习运动技能中，从不会到掌握，就有显著的成就感，且还会有继续尝试的心理追求，这种心态除自身体验外，还来自老师、同伴对其的赞赏，如：一个学生在多次失败后，首次能勉强撑越过“山羊”时，同伴的掌声鼓励，老师肯定其有勇敢的表现及已掌握了“撑、推”的主要技术环节，并指出“推手”再快点、头抬高点、动作更完美，这样的点评就能激励学生继续进取。
微积分教学_从冰冷的美丽到火热的思考_张奠宙 - 副本
名师论教微积分教学:从冰冷的美丽到火热的思考＊张奠宙 (华东师范大学数学系 上海 200062)数学成果通常具有三种不同的形态.第一,数学家构建数学思想、发现数学定理时的原始形态.其次是公开发表,写在论文里、教科书里的学术形态.最后,则是数学教师在课堂上向学生讲课的教育形态.国际数学教育委员会前主席、数学家Ｈ·弗赖登塔尔Ｈ.Ｆｒｅｕｄｅｎｔｈａｌ(1908-1990)有一句名言:“没有一种数学思想,以它被发现时的那个样子发表出来.一个问题被解决以后,相应地发展成一种形式化的技巧,结果使得火热的思考变成了冰冷的美丽.”(Ｆｒｅｕｄｅｎｔｈａｌ,Ｈａｎｓ.1983.ＤｉｄａｃｔｉｃａｌＰｈｅｎｏｍｅｎｏｌｏｇｙｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＳｔｒｕｃｔｕｒｅｓ.Ｄｏｒｄｒｅｃｈｔ:Ｒｅｉｄｅｌ.Ｐ.9)事实上,教科书里陈述的数学,往往是“冰冷的美丽”.因此,数学教师的责任在于把数学的学术形态转化为教育形态,使学生既能高效率地进行火热的思考,又能比较容易接受,理解隐藏在“冰冷美丽”背后的数学本质.一 微积分在中国的一个世纪1859年,李善兰和伟列亚力翻译《代微积拾级》,微积分学传入中国.这时离开微积分的创立已经近200年.但是,这毕竟是中国文化现代化的重要标志,甚至具有一定的国际意义.在19世纪70年代,日本的数学家能够读到的微积分著作,依然只有李善兰的这一译本.日本使用的微积分名词,“微分”、“积分”,都从《代微积拾级》而来.李善兰是一个值得纪念的数学家.他是中国传统数学的最后一人,又是现代中国数学发端的代表人物.在中国出版的微积分著作中,应该提到他的名字.2005年是废除科举的100周年.当时的京师大学堂曾经开设微积分课程.用的就是《代微积拾级》,那是竖排本,不能使用拉丁字母和微积分通用符号,现在读来宛如天书.“彳者,天之微分也.禾者,积分也.禾彳天,言天微之积分也.”用今天的符号表示是∫ｄｘ这样的“中学为体、西学为用”,拒绝与国际接轨的做法,读者当然非常累.100年前,全国懂得微积分的不过百人.在1919年的五四运动推动下,1920年代高等教育大发展.各地大学纷纷兴办数学系,微积分学成为理工科大学生的必修果.但是,那时的大学生数量很少,通常也只学初等微积分,高等微积分则依然十分神秘.英美留学归来一些数学教授,甚至还有人不能掌握ε-δ语言.真正的较大范围普及微积分,是新中国建立以后的事情.笔者于1951年进入大连工学院的应用数学系,一年级采用斯米尔诺夫编著的《数学教程》第一卷(当时还是讲义,尚未出版),开宗明义便学习极限的ε-δ定义.这在解放前是不会有的.任课老师徐润炎先生,在黑板上写ε的读法是“一不是龙”,印象深刻.在“全面学习苏联”政策的影响下,苏联数学学派严谨、抽象、形式化的数学风2高等数学研究ＳＴＵＤＩＥＳＩＮＣＯＬＬＥＧＥＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ Ｖｏｌ.9,Ｎｏ.2Ｍａｒ.,2006＊本文是作者在2005年11月7日“首届全国大学数学课程报告论坛”大会报告格,使得中国数学教学逐渐成熟.中国的微积分教学的特征,至今依然是形式化的处理占主导地位.进入21世纪,中国高等教育大发展,微积分教学进入新时代.今天的中学,也普遍教授微积分(上海除外).微积分“飞入寻常百姓家”,不再神秘,而改进微积分教学,也就成了当务之急.那么,我们应该怎样进行微积分教学?这使我们想起“阳春白雪”和“下里巴人”的故事.宋玉的《对楚王问》说:客有歌於郢中者,其始曰[下里巴人],国人属而和者数千人;其为[阳阿薤露],国人属而和者数百人;其为[阳春白雪],国中属而和者不过数十人;引商刻羽,杂以流征,国中属而和者不过数人而己.是其曲弥高,其和弥寡.如果说,李善兰时代的微积分是“引商刻羽”,五四以后还是阳春白雪,1950年代的微积分相当于“阳阿薤露”,那么今天的微积分已经是下里巴人了.让更多的人知道和掌握微积分的思想方法,成为当代数学教育的重要任务.二 透过形式主义的美丽,领略微积分的无穷魅力多少年来,我们都是宣扬微积分的形式美丽.ε-δ语言的伟大,极限—连续—导数—积分的不变演绎顺序,推理—证明成为微积分教学的主旋律.形式主义的美丽,几乎掩盖了微积分本身的无穷魅力.尽管严密的形式主义表示十分重要,“阳春白雪”是永远不可缺少的.然而大多数人确实难以欣赏形式主义的美丽.今天,作为“下里巴人”的微积分,应该通过火热的思考充分展现微积分的魅力.在微积分教学中,我们总是按照定义—定理—推论—习题的逻辑顺序展开,学生只是被动地接受一个一个概念,却不知道为什么要这样做.优秀学生要到后来才恍然大悟,一般的学生只能囫囵吞枣,不知所云.最近看到一篇高等职业技术学院的微积分教学大纲,除了按极限、连续、导数、微分的逻辑顺序展开之外,特别是要讲左右极限.是否有必要涉及这样的枝节问题?数学本原问题是处理数学教学的灵魂,让职业学校的学生会用微积分观点看问题才是最主要的.没有思想的数学等于废了武功(郑绍远).剑招可以生疏,剑法不能忘记(李大潜).萧树铁先生在一份《高等数学》教学改革报告中要求:“讲推理,更要讲道理.”确实,微积分教学应该多讲道理,避免把充满人类智慧的微积分思想淹没在形式主义的海洋里.关肇直先生说过:“ε-δ推理曾被认为已经使微积分建立在严格的基础之上,其缺点在于丢失了牛顿、莱布尼兹那种微积分的生动的直观”[1].西南师大的陈重穆先生曾经呼吁“淡化形式,注重实质”[2].项武义先生则一再主张“返朴归真,平易近人”.姜伯驹先生说:“在某种意义上说,会用微积分比会证明更重要.”我想他们的意思都是一样的.微积分教学不能只让学生背诵一些求极限,求导数、求不定积分那样的符号运算,面对“冰冷”的微积分形式,使他们无法体会微积分思想的实质.尽可能恢复原始的火热思考,并以现代数学水平加以处理.例如,17世纪的一些伟大的数学家,曾经使用无穷小方法得到了许多重要的科学结论.由于逻辑上存在缺陷,经过分析严密化运动,在形式主义数学哲学的影响下,无穷小成为一种“错误”,离开了微积分课本.其实,这个无穷小量,就是“微分ｄｘ”.在积分学中,它是构造微元ｆ(ｘ)ｄｘ的基本的思考途径.然而,今天的微积分教学,已经把生动的“原始形态”当作陈旧的垃圾丢弃了.未免可惜.记得袁枚(清)在《随园诗话》里说过“学如箭镞,才如弓弩,识以领之,方能中鹄”.与知识、能力相比,数学思想,才是最重要的.我们不能把微积分淹没在形式主义的海洋里.我国数学教学受形式主义数学观的影响比较大,是历史条件所决定的.前已提及,1950年代苏联数学学派对中国数学影响非常深刻.数学分析课程的严谨程度远超过英美的教材.微积分课程也没有初等微积分和高等微积分的层次,ε-δ语言也是在1950年代得到普及.流行的数学学科的特性是抽象性、严谨性,以及因为抽象而获得的广泛应用性.崇尚严密,当然是进步.但是,事情还有另一面:数学思想往往是朴素的,创新在开始时多半是不严密的.储存在人们头脑里的理解,通常又是生动而粗略的.3第9卷第2期 张奠宙:微积分教学:从冰冷的美丽到火热的思考4高等数学研究 2006年3月长期以来,中国传统文化主张“治学严谨”,清代的考据学派和逻辑推理一脉相承.此外,数学哲理界不断地提到“三次数学危机”,关注数学基础的严密性.《自然辩证法》教材,反复强调19世纪以来的非欧几何、群论、四元数、分析严密化等理性思维的成就,对于影响人类进程的傅立叶方程、流体力学方程、马克斯韦尔电磁学方程的成果则较少提及.数学,似乎只能是公理化的、形式主义、演绎式的那付模样.总之,数学是一种文明,数学不只是事实的推砌;数学不限于技巧的运用;数学解题不等于创造;数学整体不等于数学杂技.数学考试只是把人已经做过的题目重做一遍而已.数学思想、观念的突破性创新,是对数学文明的主要推动力.2000年在国际数学教育大会上,日本数学会主席藤田宏教授认为,世界上出现过四个数学高峰,成为人类文明的火车头:○古希腊文明:欧氏《几何原本》为代表;○文艺复兴和17世纪的科学黄金时代;牛顿的微积分为代表;○19世纪与20世纪上半叶科学文明:非欧几何、希尔伯特、黎曼几何与相对论为代表;○信息时代文明:信息论、控制论、冯·诺依曼的计算机方案为代表.数学在20世纪下半叶发生巨大变化,其情势和牛顿时代相同,数学大量渗入各个学科,大刀阔斧地解决各种各样的问题,尽管开始时不大严格.试看1948年的数学地图.美国数学家仙农发表《通信的数学理论》,创立了信息论.维纳在这一年发表《控制论》,冯·诺依曼创造了电子计算机的方案.这三件数学工作,影响了人类的进程.这些工作,都不是形式主义数学所能完成的.由于各种原因,中国数学没有能够参与这一进程.我国的数学哲学深受形式主义的影响,以至数学观还停留在第三个时期.影响所及,数学教学,包括微积分教学,就会过分强调形式主义的演绎,而却忽视数学直观、数学思想、数学应用的培养.形式主义数学哲学观在中国占据着统治地位,一个明显的例子是关于布尔巴基学派的认识.如果说希尔伯特的形式主义是一种关于数学基础的哲学流派,那么布尔巴基学派则将形式主义数学观深入到整个数学.它形成于1930年代,兴盛于1960年代.他们认为只有用三种基本结构加以整理的《数学原本》,才是严谨的数学.但是,在信息技术革命的冲击下,1970年以后,年轻的数学家开始走出布尔巴基学派的光环,投身于更广泛的数学应用,产生了诸如分形、混沌、孤立子、小波、量子群、超弦、密码等许多新的学科.布尔巴基的《数学原本》终于在1970年停止出版新的卷次,基本结束.反观我国,吴文俊先生在1950年代曾在《数学通报》上介绍布尔巴基学派,并没有引起反响.却在1980年代,当该学派已经走下坡路的时刻,在国内推崇(包括自然辩证法这样的政治课)结构主义的数学观,这是和形式主义数学观一脉相承的.陈省身材先生说过:“我和布尔巴基学派的创始人都是好朋友,但是他们的工作不能解决我的问题.比如Ｓｔｏｋｅｓ定理成立的充分必要条件(结构)就写不出来.”当然,数学表示需要形式化,严密的数学学术形态必然是形式化的.微积分的形式化表示,是19世纪许多数学家努力的结果,分析的严格化成为又一个数学高峰的标志.因此,对于以数学为主要工具的专业来说,形式化的学术形态是极端重要的.至于一般使用数学的理、工、农、经等专业,微积分思想和算法之间要取得适当的平衡,只能适度地强调形式化.对于把微积分作为文化背景、常识素养的人来说,形式化的算法就不大重要,关键是微积分的文化价值,以及科学意义.(未完待续)参考文献1.关肇直.数学推理导演个性与认识论众的实践标准.《数学学报》1976年第一期.2.陈重穆.淡化形式,注重实质.《数学教育学报》,1993.第4期.。
变“冰冷的美丽”为“火热的思考”——小学数学教学内容呈现方式之管见
态 转 化 为 教 育 形 态 ，通 过 数 学 知 识 的教 育 形 式 散 发 出
数学 的巨大魅 力 ， 现数 学的价值 ， 示数学 的本质 ， 体 揭
感 染 学 生 、 励 学 生 ， 数 学 ‘ 冷 的 美 丽 ’ 发 学 生 激 让 冰 焕
‘ 热的思考 ’ ” 火 。
一
直 觉的猜 想或是 在先发言 学生 的启发 下才这 样想 ， 思
识。 数 学 知 识 学 术 形 态 的 表 现 形 式 枯 燥 、 味 ， 人 一 乏 给 种冰冷 的感觉 ， 是数学 的思考却 是火热 的 、 动 的 、 但 生
要 进 行 一 些 现 场 调 查和 试 探 性 提 问 ：还 有 谁 这 样 想 ？ ” “ 算 法 多样 化 的 一 个 重 要 原 则 就 是 思 维 等 价 。 如 果 学 生
我 们 在 教 学 中 采 取 正确 的策 略 或 方 法 。为 此 ， 师 有 必 教
的 往 往 都 是 高 度 概 括 和 抽 象 化 的 静 态 知 识 ，而 隐藏 在 知识 背后的关 于知识 产生与 形成时艰难 的探 索历程 、 丰 富 的 思 维 过 程 、精 彩 动 人 的 故 事 等 数 学 文 化 和 数 学
考 虑 ， 际 上 体 现 了 两 个 层 面 的思 维 水 平 ： 是 基 于 形 实 一
象 的 思 维 ； 是基 于 符 号 或 逻 辑 的 思 维 。教 材 的编 写意 二
上 ， 很好地体现了“ 都 以学 生 发 展 为 本 ” 理 念 。它 以 现 的 实生活为背景 ， 求形成 “ 力 问题 情 境— — 探 究 新 知 — —
号 或 逻 辑 的 思 维 。对 于 一年 级 的 学 生 而 言 ， 要 的操 作 必 活 动 为学 生 的 抽 象 过 程 提 供 了 感 性 经 验 ，而 抽 象 过 程 则将 学生 在操作过程 中形 成的数 学活动 经验提 炼 、 优 化， 两者 是 相 辅 相 成 的 。 虽 然 一 年 级 学 生 的 抽 象 思 维 水 平 还 比 较 低 ，但 学 生 在 学 习 “ ４ ６ 时 ，已 经 学 会 了 类 似 “ ４ １ ” ３ ＋１ ” ３ ＋ ０和 “４ ６ 之 类 的 题 目 ， 此 学 生 具 备 了 直 接 进 行 口算 （ ３＋ ” 因 或 笔 算 ） 无 需 借 助 有关 实物 （ 而 或学 具） 思 维 基 础 。 我 们 的 但 同时 应 再 进 一 步 去 关 注 ：一 个 学 生 或 几 个 学 生 这 样 回 答是否能 够代表全班学 生的思维水平？学生 选择直接 口算 或 笔 算 的 方 法 进 行 探 索 ，是 否 就 意 味着 真 正 理 解 了算 理 ？ 很 有 可能 学 生 长 期 习惯 于 算 式 的 训 练 ， 缺 乏 而 借 助 学 具 思 考 的 思 维 习惯 ，也 可 能 出于 思 维 便 捷 的 需 要 ， 接 跳 到 了 口算 或 笔 算 的 思 维 层 次 ， 实 际 上 还 缺 直 但 乏 一 些 感 性 的 基 础 。探 明学 生 的 真 实 思 维 状 态 ， 助 于 有
关于微积分教学的思考
一
图１ 一图 ３是 否表示 函数 。
●
Ｉ ｌ
．一
厂
图３
．
图 １ 图２
、
核 心概念 理解是 关键
在微积分的学习初期 ，高等数学概念 （ 函数 、极限 、 如
２ ．教师要 注重概念之问的关 系。数学 是一种知识体系 ，
无 穷等 ）的概念化是 教学 的重要 环节 。学生在 由常 量数学 向变量数学转变 的过程 中产生 了困难 ，学 生头 脑 中存 在的
函数的最基本概 念是变 量数值之 间的一种关 系 ，在初 中阶段是用变量之 间的依存关 系定义 的。在高 中阶段则是
从集合之间的对 应关 系 出发 ，将 函数看 作数集之 间的一种
对应。在高等教育 阶段 ，则是 把函数定 义为映 射。美 国的
“ 数运 动”也大胆尝试按照集合 的笛卡儿积来建立 函数定 新
１ 师要对微积 分知识 中的 “ ．教 主要 概 念 ” 进 行 评 估 。 微 积 分 是研 究 函 数 的 ，而 人 们 感 兴 趣 的是 函 数 的 导 数 与 微
注意概念的安排 ，寻求 不同 的方 式来 学习概念 网络 ，体现
概念的分级系统 ，理清 概念 之间 的内在联系。概念 图的构
ｂ０Ｙ ？， ＜≤ ， 些 达 是 数 ？ ＝； ＝ ０ １这 表 式 函 吗 【
２ 一 ． ＞ １
分为 四部分 ：学科 的统领性 观点 即学 科性质 的知识 ；学 生
对特定学习 内容理 解和误解 的知识 ；特定 学习 内容在 横向 和纵向上组织和结构 的知 识；特 定学 习内容呈 现给学生 的 策略性知识 。美国伯克 利加利福 尼亚大学 数学 教授伍 鸿熙 指 出：达到更好的数学 教育形态 的唯一途 径就 是要有 更好
转变教学理念,推行研究型教学方式
—
一
１ ２— ５
随着高校规模 的进一步扩大和招收学生数 大要素 ， 提高课堂效率也就是在这四个要素上做 于解决实际问题的机会。 且创造宽杉 并 ， 最大 量的大幅度增加 ， 学生的学习素质和水平差异较 文章。 —直以 ， 来 我们的 教学手段停留在“ 粉笔＋ 黑 限度地满足学生个体差异发展的需要，注重通过 的基础上。随着科学技术的发展 ， 教学手段发 以探索和研究为基础的教学过程培养学生的研究 大。而高等数学是 门 首先要面对的一门理论性 板” 强目 ． 具有严密的逻辑思维性、繁琐计算及严谨理 生了根本陛的变革，学校普遍使用多媒体进行教 与创新 能 力。 论的基础学科 ， 在教学过程中多数教师的教学仅 学， 从而大大的提高了课堂的教学效率。但是 ， 在 ２ 精心设计习题、 ． ４ 作业、 专题研究报告等， 规 引导学生消化和扩展所学知识 ， 促使 仅是概念、 定理、 明、 证 计算这固有的模式 ， 很难生 定的条件下 ， 教材和教学手段基本上已经定型 ， 范作业管理， 自己去获取知识、 发展能 动形象地去组织教学。 学生感到学习内容枯燥， 一 最终 ， 我们提高课堂效率， 还是应该从教师和学生 学生充分利用课外时间， 尽 方法让学生 大堆的公式和繁琐的计算造成了 学生有较大的惧 身上出发 ， 考虑教师怎么“ 和学生怎么“ ， 教” 学”以 力． 量的做到规律让学生 自主发现 ， 怕心理 ， 不能主动积极地去学习 ， 时间一久， 多数 及他们之间应该遵循的最佳教学方式。因为教师 自主寻找， 思路让学生 自主探究， 问题让学生 自主 教师认为学生学得不好是由于学科的特点和学生 是教学的主体 ，所以教学改革成败的关键在于教 解决。 本身的素质造成； 觉得改善这种局面非常之艰难 ， 师 ， 这已成为当前教学改革的共识。 ２ 开课之初 即 ５ 让学生明确学习高等数学要 达到的目 标和要求 ， 使学生从被动的 学习者变为 这样教师没兴趣教 ， 就会造成恶性循环的局面 ， 教 ２转变教学理念， 推行研究型教学方式。 提高学生的应变 、 创新能力。 学效果可想而知。 实际上教师的 教起着引导作用， 研究型教学方式是从传统的单 向知识传授 主动的求知者， 激发学 归根到底 ， 我们要改变课堂教学 机械 、 沉闷 因而显得至关重要， 是改善这种恶性循环局面的 的教学型教学向知识传授与探索相结合 、 让课堂充满生机。 将传统的‘ ｛ ” 髓通［ 向 第—步。因此， 如何为学生提供一条理解数学 、 享 生求知欲和创造性的研究型教学的转变。应该注 的现状， 师生共同研究 的教学方式转变 ， 使课堂教学真正 受数学、 学会数学的途径是我们需要长期探索的 意 以下几点。 ２ 授课要符合学生的实际情况 ， １ 能根据具体 进 ＾ 、 理想的境界， 从而提高课堂效率。 个重要课题。 １ 改变教学方式的原因 情况及时更新授课内容， 激发ｑ：３Ｉ ￣ ｉ求真理 、 崇尚 参考 文献 我国本科教育基本上都是实行课堂授课制 ， 科学 、 勇于探索的热情， 教材” ｌ 材” 变“ 为‘ 学 。 ｆ 李青， １ １ 刘建平， 徐崇志． 校数学教法的几点探索 高 并且在今后很长的—段时间。 ２ ２讲授 时重点突出、 难点清晰 ， 大学中高等 高 等理科教育， ０ （ ： － ９ ２ ３ ） ６ ５． ０ ２５ ２ 】 郑巧仙， 尚禹战 谈高等数学的教学方法 我们都是要通过课堂对学生传授知识 。因 数学 的讲授不同于中学 ， 课时少 ， 内容多 ， 不容我 【李明， 此，改革高等教育的—个重要 目的便是提高课堂 们面面俱到。 我们要精心设计每—堂课， 在课程内 大学数学２ ０ ，ｏ２ ：５３ ． ０ ４２ （ ）３－ ８ 的效率。 直至整个教育步 入 信息化时代的今天 ， 如 容的组织上多下工夫 ， 重在讲思路、 、 概念 动向， 突 【张奠宙． ３ 】 微积分教 学枞 冰冷的美丽到火热的思 何提高课堂教学效率， 全面推进教育现代化进程 ， 出内容 “ 精 ” 则。 少而 的原 考 高等数 学研 究． ０ ，（ ）２ ２ ６９２ ：— ０ 紧迫课题。我们课堂上 ２ ３充分调动学生学习的自主性 ， 为学生提供 【王庚擞 学文化与数 学 ４ Ｊ 教育【 北京： ． 北京科学 出 Ｏ ｌ ． １ １ 进行的教学过程有教师、 、 教材 学生及教学手段四 自由提问、 、 质疑 探究问题和将 自己所学知识应用 版 社 ２Ｏ ４： １－１ ７
用“火热的思考”感受“冰冷的美丽”
与团队成员保持良好的沟通与协作，共同完成工作任务。
THANKS
感谢观看
3
数据的关联性分析
通过分析数据之间的关联性，可以发现数据之间 的规律和趋势，从而更好地预测未来的变化。
冷静判断的价值
避免盲目跟风
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在投资或创业领域，冷静判断能够帮助我们避免盲目跟风，从
而减少不必要的损失。
保持客观中立
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在处理复杂的问题时，冷静判断能够帮助我们保持客观中立，
从而更加准确地评估问题并做出正确的决策。
批判性思维的应用
评估信息真实性
批判性思维的应用之一是评估信 息的真实性，不轻信传闻或者表 面现象，而是通过分析和对比证
据来进需要分析论证过程 ，检查论据是否充分、推理是否 合理，从而判断结论是否可靠。
提出合理质疑
批判性思维鼓励我们提出合理质 疑，对各种观点和结论进行合理 的质疑和反思，以促进思考和进
科学探索与审美体验的结合
在探索自然的过程中，科学家们不仅寻求真理，也追求美的 感受。这种对美的追求激发了科学家的创新精神，推动了科 学的发展。
目的和意义
目的
本篇文章旨在探讨如何运用“火热的思考”来感受“冰冷的美丽”，即如何在 理性思考的过程中领略自然之美。
意义
通过深入分析自然美的本质和科学探索的追求，我们能够更好地理解科学、艺 术与人类认知之间的关系，激发对自然美的热爱和对科学的探索精神。
用“火热的思考”感受“冰冷的美 丽”
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目录
• 引言 • “火热的思考” • “冰冷的美丽” • 用“火热的思考”感受“冰冷的美丽” • 案例分析 • 总结与建议
01
引言
主题的提
微积分课程教学
微积分课程教学微积分是现代数学的重要分支，也是工科、理科、经济学等众多领域的基础学科。
对于学习微积分的学生来说，其重要性不言而喻。
然而，微积分的教学也存在一些问题，如何有效地教授微积分课程，是每位微积分教师都需要思考的问题。
一、微积分课程的教学目标微积分课程的教学目标主要包括以下几个方面：1.理解微积分的基本概念和原理，掌握微积分的基本方法和技巧；2.培养学生的数学思维能力和创新精神，提高学生的数学素养；3.为学生未来的学习和工作打下坚实的数学基础。
二、微积分课程的教学方法1.激发学生的兴趣微积分的教学需要通过丰富多彩的教学手段和形式，激发学生的兴趣，提高学生的学习积极性。
可以采用讲解、演示、实验、案例等多种方式，使学生能够更好地理解微积分的概念和原理。
2.注重基础知识的讲解微积分的基础知识非常重要，因此，在教学过程中，应该注重基础知识的讲解。
通过讲解基础知识，可以帮助学生建立完整的微积分知识体系，为后续的学习打下坚实的基础。
3.强化实践和应用微积分的应用非常广泛，因此，在教学中，应该注重实践和应用。
通过实践和应用，可以让学生更好地理解微积分的原理和方法，同时也可以提高学生的创新能力和实践能力。
三、微积分课程的教学内容微积分课程的教学内容主要包括以下几个方面：1.微积分的基本概念和原理微积分的基本概念包括导数、微分、积分等，这些概念是微积分的基础，也是后续学习的重要基础。
因此，在教学中，应该注重这些概念的讲解和理解。
2.微积分的基本方法和技巧微积分的基本方法和技巧包括求导、求极值、积分等，这些方法和技巧是微积分学习的重要内容，也是后续应用的基础。
因此，在教学中，应该注重这些方法和技巧的讲解和应用。
3.微积分的应用微积分的应用非常广泛，包括物理、工程、经济学等领域。
在教学中，应该注重微积分的应用，让学生了解微积分的实际应用场景，提高学生的实践能力和创新能力。
四、微积分课程的教学评价微积分课程的教学评价主要包括以下几个方面：1.考试评价考试评价是微积分课程教学评价的重要方面，可以评估学生对微积分知识的掌握程度和应用能力。
人教版一年级语文上册教学反思aneninunün
（教学反思参考2）an en in un ün在对学生前面复韵母的掌握情况的了解，以及自己以往拼音教学的总结中，我发现总有部分学生分辨不清ei 和ie , iu和ui ，究其原因，还是他们没有掌握发音方法,靠死记来掌握发音当然容易弄混了。
所以我以为在拼音教学中，重要的是教给学生拼音的方法。
因为我自己在读an en in un ün时就不太准，所以我就通过看视频，读参考，知道了这些前鼻音的发音方法。
我把前鼻音-n的发音拿出来进行教学，先教学生把舌头抬起，顶在上牙床，用鼻子发--n的音，让学生有了初步的前鼻音的概念，然后进行前鼻韵母的教学。
教学中以an 的发音教学进行前鼻韵母发音方法的指导，an 先发a ，再把舌尖抬起，顶住上牙床，鼻子出气，发鼻音-n ，通过练习，学生能够准确发an 的音了。
在进行en 的发音教学中，引导学生用an 的发音方法来练习发音，先发e的音，再抬起舌头发-n的音，而到了in 的发音教学，就放手让学生自己去体会发音方法，掌握了发音其实就记住的形。
“un ün”是两个前鼻韵母，但是孩子们在认识这两个前鼻韵母之前已经学习过了an en in 三个前鼻韵母，也基本掌握了前鼻韵母的发音方法，孩子们学习起来已经有了一定的基础，所以这节课中，un和ün教学对于学生来说掌握得还算不错的,读音都相当到位,基本上读的都很准确,但发现的一个情况是有及个别的小朋友在出示un和ün时有点搞不清楚,容易混淆,对于这一点,由于经验不足，事先没有考虑到，过后应该想一个好办法让他们把这两个韵母区分开来。
这一方面以后一定尽力改进。
这节课的整体课堂气氛还不错，基本达到了我想要的效果，特别是说到故事“整体认读音节yun的由来”时，本来已经趋向冷淡的课堂气氛又开始活跃起来，充分调动了孩子们的注意力，但有一个难点就是学习yuan这个整体认读音节，本身小朋友在整体认读音节这块掌握的不是非常好的，再加上这节课上的这个整体认读音节比较复杂一点，因为它是由三部分构成的，并且其中的“an”在这里的发音比较特殊，对于小朋友来说想要更快更好的掌握还是有一些困难的，在这节课上而我采用的是先复习以前的几个由大y开头的整体认读音节，让小朋友回忆一下，同时对于以前学习的知识也是一个复习巩固的过程，对于新知识也容易导入，但是“yuan”孩子们还是比较难以记住，想不到一个特别灵活的让孩子记忆的方法，关于这一点以后还应该多学习，更好地提高课堂效率。
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---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 微积分教学：从冰冷的美丽到火热的思考微积分教学：从冰冷的美丽到火热的思考张奠宙(华东师范大学数学系上海 201962) (本文是作者在 2005 年 11 月 7 日首届全国大学数学课程报告论坛大会报告) 数学成果通常具有三种不同的形态.第一，数学家构建数学思想、发现数学定理时的原始形态.其次是公开发表，写在论文里、教科书里的学术形态.最后，则是数学教师在课堂上向学生讲课的教育形态. 国际数学教育委员会前主席、数学家H弗赖登塔尔H.Freudenthal(1908-1990)有一句名言：没有一种数学思想，以它被发现时的那个样子发表出来.一个问题被解决以后，相应地发展成一种形式化的技巧，结果使得火热的思考变成了冰冷的美丽.(Freudenthal,Hans.1983.Didactical Phenomenology of Mathematical Structures.Dordrecht:Reidel.P.9) 事实上，教科书里陈述的数学，往往是冰冷的美丽.因此，数学教师的责任在于把数学的学术形态转化为教育形态，使学生既能高效率地进行火热的思考，又能比较容易接受，理解隐藏在冰冷美丽背后的数学本质. 一、微积分在中国的一个世纪 1859 年，李善兰和伟列亚力翻译《代微积拾级》，微积分学传入中国.这时离开微积分的创立已经近 200 年.但是，这毕竟是中国文化现代化的重要标志，甚至具有一定的国际意义.在 19 世纪 70 年代，日本的数学家能够读到的微积分著作，1 / 8依然只有李善兰的这一译本.日本使用的微积分名词，微分、积分，都从《代微积拾级》而来. 李善兰是一个值得纪念的数学家.他是中国传统数学的最后一人，又是现代中国数学发端的代表人物.在中国出版的微积分著作中，应该提到他的名字. 2005 年是废除科举的100 周年.当时的京师大学堂曾经开设微积分课程.用的就是《代微积拾级》，那是竖排本，不能使用拉丁字母和微积分通用符号，现在读来宛如天书. 彳者，天之微分也.禾者，积分也.禾彳天，言天微之积分也. 用今天的符号表示是dx. 这样的中学为体、西学为用，拒绝与国际接轨的做法，读者当然非常累. 100 年前，全国懂得微积分的不过百人. 在 1919 年的五四运动推动下， 1920 年代高等教育大发展.各地大学纷纷兴办数学系，微积分学成为理工科大学生的必修果.但是，那时的大学生数量很少，通常也只学初等微积分，高等微积分则依然十分神秘.英美留学归来一些数学教授，甚至还有人不能掌握 - 语言．真正的较大范围普及微积分，是新中国建立以后的事情.笔者于 1951 年进入大连工学院的应用数学系，一年级采用斯米尔诺夫编著的《数学教程》第一卷(当时还是讲义，尚未出版)，开宗明义便学习极限的定义.这在解放前是不会有的.任课老师徐润炎先生，在黑板上写的读法是一不是龙，印象深刻.在全面学习苏联政策的影响下，苏联数学学派严谨、抽象、形式化的数学风格，使得中国数学教学逐渐成熟.中国的微积分教学的特征，至今依然是形式化的处理占主导地位. 进入 21 世纪，中国高等教育大发展，微积分教学进入新时代.今天的中学，也普遍教授微---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 积分(上海除外).微积分飞入寻常百姓家，不再神秘，而改进微积分教学，也就成了当务之急. 那么，我们应该怎样进行微积分教学?这使我们想起阳春白雪和下里巴人的故事.宋玉的《对楚王问》说：客有歌於郢中者，其始曰［下里巴人］，国人属而和者数千人;其为［阳阿薤露］，国人属而和者数百人；其为［阳春白雪］，国中属而和者不过数十人；引商刻羽，杂以流征，国中属而和者不过数人而己.是其曲弥高，其和弥寡. 如果说，李善兰时代的微积分是引商刻羽，五四以后还是阳春白雪， 1950年代的微积分相当于阳阿薤露，那么今天的微积分已经是下里巴人了. 让更多的人知道和掌握微积分的思想方法，成为当代数学教育的重要任务. 二、透过形式主义的美丽，领略微积分的无穷魅力多少年来，我们都是宣扬微积分的形式美丽.- 语言的伟大，极限连续导数积分的不变演绎顺序，推理证明成为微积分教学的主旋律.形式主义的美丽，几乎掩盖了微积分本身的无穷魅力.尽管严密的形式主义表示十分重要，阳春白雪是永远不可缺少的.然而大多数人确实难以欣赏形式主义的美丽.今天，作为下里巴人的微积分，应该通过火热的思考充分展现微积分的魅力. 在微积分教学中，我们总是按照定义定理推论习题的逻辑顺序展开，学生只是被动地接受一个一个概念，却不知道为什么要这样做.优秀学生要到后来才恍然大悟，一般的学生只能囫囵吞枣，不知所云.最近看到一篇高等职业技术学院的微积分教学大纲，除了按极限、连续、导数、微分的逻辑顺序展开之外，3 / 8特别是要讲左右极限.是否有必要涉及这样的枝节问题?数学本原问题是处理数学教学的灵魂，让职业学校的学生会用微积分观点看问题才是最主要的.没有思想的数学等于废了武功(郑绍远).剑招可以生疏，剑法不能忘记(李大潜).萧树铁先生在一份《高等数学》教学改革报告中要求：讲推理，更要讲道理. 确实，微积分教学应该多讲道理，避免把充满人类智慧的微积分思想淹没在形式主义的海洋里.关肇直先生说过：- 推理曾被认为已经使微积分建立在严格的基础之上，其缺点在于丢失了牛顿、莱布尼兹那种微积分的生动的直观［1］.西南师大的陈重穆先生曾经呼吁淡化形式，注重实质［2］ .项武义先生则一再主张返朴归真，平易近人.姜伯驹先生说：在某种意义上说，会用微积分比会证明更重要.我想他们的意思都是一样的.微积分教学不能只让学生背诵一些求极限，求导数、求不定积分那样的符号运算，面对冰冷的微积分形式，使他们无法体会微积分思想的实质.尽可能恢复原始的火热思考，并以现代数学水平加以处理. 例如， 17 世纪的一些伟大的数学家，曾经使用无穷小方法得到了许多重要的科学结论.由于逻辑上存在缺陷，经过分析严密化运动，在形式主义数学哲学的影响下，无穷小成为一种错误，离开了微积分课本.其实，这个无穷小量，就是微分 dx.在积分学中，它是构造微元 f(x)dx 的基本的思考途径.然而，今天的微积分教学，已经把生动的原始形态当作陈旧的垃圾丢弃了.未免可---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 惜. 记得袁枚(清)在《随园诗话》里说过学如箭镞，才如弓弩，识以领之，方能中鹄.与知识、能力相比，数学思想，才是最重要的.我们不能把微积分淹没在形式主义的海洋里. 我国数学教学受形式主义数学观的影响比较大，是历史条件所决定的.前已提及， 1950 年代苏联数学学派对中国数学影响非常深刻.数学分析课程的严谨程度远超过英美的教材.微积分课程也没有初等微积分和高等微积分的层次，语言也是在 1950 年代得到普及.流行的数学学科的特性是抽象性、严谨性，以及因为抽象而获得的广泛应用性.崇尚严密，当然是进步.但是，事情还有另一面：数学思想往往是朴素的，创新在开始时多半是不严密的.储存在人们头脑里的理解，通常又是生动而粗略的. 长期以来，中国传统文化主张治学严谨，清代的考据学派和逻辑推理一脉相承.此外，数学哲理界不断地提到三次数学危机，关注数学基础的严密性.《自然辩证法》教材，反复强调 19 世纪以来的非欧几何、群论、四元数、分析严密化等理性思维的成就，对于影响人类进程的傅立叶方程、流体力学方程、马克斯韦尔电磁学方程的成果则较少提及.数学，似乎只能是公理化的、形式主义、演绎式的那付模样. 总之，数学是一种文明，数学不只是事实的推砌；数学不限于技巧的运用；数学解题不等于创造；数学整体不等于数学杂技.数学考试只是把人已经做过的题目重做一遍而已.数学思想、观念的突破性创新，是对数学文明的主要推动力. 2019 年在国际数学教育大会上，日本数5 / 8学会主席藤田宏教授认为，世界上出现过四个数学高峰，成为人类文明的火车头：●古希腊文明：欧氏《几何原本》为代表；●文艺复兴和 17 世纪的科学黄金时代；牛顿的微积分为代表；●19 世纪与 20 世纪上半叶科学文明：非欧几何、希尔伯特、黎曼几何与相对论为代表；●信息时代文明：信息论、控制论、冯诺依曼的计算机方案为代表. 数学在 20 世纪下半叶发生巨大变化，其情势和牛顿时代相同，数学大量渗入各个学科，大刀阔斧地解决各种各样的问题，尽管开始时不大严格. 试看 1948 年的数学地图.美国数学家仙农发表《通信的数学理论》，创立了信息论.维纳在这一年发表《控制论》，冯诺依曼创造了电子计算机的方案.这三件数学工作，影响了人类的进程.这些工作，都不是形式主义数学所能完成的. 由于各种原因，中国数学没有能够参与这一进程.我国的数学哲学深受形式主义的影响，以至数学观还停留在第三个时期.影响所及，数学教学，包括微积分教学，就会过分强调形式主义的演绎，而却忽视数学直观、数学思想、数学应用的培养. 形式主义数学哲学观在中国占据着统治地位，一个明显的例子是关于布尔巴基学派的认识.如果说希尔伯特的形式主义是一种关于数学基础的哲学流派，那么布尔巴基学派则将形式主义数学观深入到整个数学.它形成于 1930 年代，兴盛于 1960 年代.---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 他们认为只有用三种基本结构加以整理的《数学原本》，才是严谨的数学.但是，在信息技术革命的冲击下， 1970 年以后，年轻的数学家开始走出布尔巴基学派的光环，投身于更广泛的数学应用，产生了诸如分形、混沌、孤立子、小波、量子群、超弦、密码等许多新的学科.布尔巴基的《数学原本》终于在 1970 年停止出版新的卷次，基本结束.反观我国，吴文俊先生在 1950 年代曾在《数学通报》上介绍布尔巴基学派，并没有引起反响.却在 1980 年代，当该学派已经走下坡路的时刻，在国内推崇(包括自然辩证法这样的政治课)结构主义的数学观，这是和形式主义数学观一脉相承的. 陈省身材先生说过：我和布尔巴基学派的创始人都是好朋友，但是他们的工作不能解决我的问题.比如Stokes定理成立的充分必要条件(结构)就写不出来. 当然，数学表示需要形式化，严密的数学学术形态必然是形式化的.微积分的形式化表示，是 19 世纪许多数学家努力的结果，分析的严格化成为又一个数学高峰的标志.因此，对于以数学为主要工具的专业来说，形式化的学术形态是极端重要的.至于一般使用数学的理、工、农、经等专业，微积分思想和算法之间要取得适当的平衡，只能适度地强调形式化.对于把微积分作为文化背景、常识素养的人来说，形式化的算法就不大重要，关键是微积分的文化价值，以及科学意义. （未完待续）参考文献 1.关肇直.数学推理导演个性与认识论众的实践标准.《数学学报》7 / 81976(1). 2.陈重穆.淡化形式，注重实质.《数学教育学报》 ,1993(4).。