微积分思想在经典力学中的应用

第 31 卷 第 5 期2018 年 5 月

江西电力职业技术学院学报

Journal of Jiangxi Vocational and Technical College of Electricity

Vol.31 No.5

Mar.2018微积分思想在经典力学中的应用

王瑞声

（宁德职业技术学院，福建福安 355000）

摘 要：微积分思想乃是高等数学的灵魂框架，正因为其丰富内涵，使得数学这一基本学科成为各科学领域的支柱，造就微积分不仅为研究纯数学问题上提供科学解题依据，还直接或者间接地影响着物理学的发展。而立于微积分思想上的一些经典方程，解决了许多在物理学无法破解的难题。基于其重要性，从微积分在力学的应用为切入点，重点探寻以微积分思想为基石的薛定鄂方程在力学中的应用，进一步揭开其神秘面纱。

关键词：微积分；数学思想；薛定鄂方程；经典力学

中图分类号：O172 文献标识码：B 文章编号：1673-0097(2018)05-0057-03

0 引言

微积分思想是高级数学的主流，而微积分也成为了

数学的一门分支学科和理论基础，在物理学或者其他领

域中扮演了十分重要的角色，在量子力学或者纯力学上

也有着超高的应用价值和参考价值［1］。微积分思想在物

理学中的直接应用，其火爆程度不容小觑，鉴于其受欢迎程度，可从基于微积分思想的一些经典方程着手，进一步探寻微积分思想的精髓，由于经典方程较多，不能一一谈论，故此主要以薛定谔方程为主，探寻其在物理学中的应用，侧面映射出微积分思想的解题重要性。

1 微积分在物理学的直接应用

众所周知，在物理学上，电磁学也可归纳为经典电动力学的一部分，力与磁之间在内容上其实并无实质性区别。一般说来，电磁学偏重于电磁现象的实验研究；而经典电动力学则偏重于理论研究，它以麦克斯韦方程组和洛伦兹力为基础。亦可认为，广义的电磁学包含经典电动力学。所以，以电磁学中的应用为例，进一步探究微积分学在电动力学中的直接应用［2］。

例1一个半径为R的均匀

带电半圆环，电荷线密度为λ，求

环心处O点的场强。

解：如图1在圆上取dl=Rdφ

，它在O点

产生场强大小为

向沿半径向外

∴方向沿x轴正向

例2 

同轴电缆的内导体是半径为R1的金属圆柱，外道体是内外半径分别为R2和R3的金属圆桶，两导体相对磁导率为μr1，两者之间充满相对磁导率为μr

2

的不导电的均匀介质。电缆工作时，两导体的电流均为I（方向相反），电流在每个导体的横截面均匀分布。求各区的B。

解：

分别

在区内求解

12

在R2﹤r﹤R3区域，

由有介质的安培环路定理得：

在R3﹤r区域，由有介质的安培环路定理得：

从以上例子中不难看出，微积分在解题时的便利。

下面我们将来探寻基于微积分思想的一些方程在物理学

中的应用。

2 微积分在物理学上的间接应用

基于微积分思想提出了许多函数与方程，这些函

数与方程广泛应用于物理学中。下面我们将通过一个经

典方程——薛定谔方程来探究这一问题。在研究量子力

学时，对于体系的状态，我们不可以通过力学量的值表

示，因此只得用力学量的函数（x，t）表示体系的状态，

即通过波函数去确定它［2］。故在量子力学中，波函数已

成为主要的研究对象。力学量取值时，概率如何分布，分

图1

收稿日期：2018-04-10

作者简介：王瑞声（1967-），男，福建福安人，讲师，研究方向：高等数学教学.

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江西电力职业技术学院学报第 31 卷

布随时间的变化关系等问题是可以通过波函数的薛定谔方程得出答案。在1926年，奥地利物理学家薛定谔提出了这个方程，是量子力学最基本的方程，在经典力学中有着极为重要的地位。2.1 薛定谔方程的推导

因为我们要建立描述波函数随时间变化的方程，所以它必须是一个波函数，且满足时间的微分方程的导数。除此之外，此方程还应该满足以下两个条件：其一，构造的方程必须是线性方程；其二，此方程的系数不能包含状态的参量。因其方程的系数含有状态参量，所以其只能满足粒子的一部分状态，而不能满足各种有可能的状态。

现在，建立满足以上条件的方程。我们采取的第一步是已知自由粒子的波函数，然后把它推广到一般情况，利用平面波去描写出自由粒子的波函数，

其表达式如下：

（1）

它是建立方程的解，在（1）式中求出时间的偏导数，

因为它的系数中还含有能量E ，因此对（1）式的坐标，作偏导数处理，

继而得到

（2）

同理，即有

（3）（4）将（2）（3）（4）式进行相加，

便得到：

（5）借助于自有粒子的能量与动量的关系式，我们又可以得到：

（6）

注：在式中，m 的含义表示的粒子质量。对于（5）和（6）式进行一定比较，

最终得到了应该自由粒子波函数所满足的微分方程，其表达式如下：

（7）

因为它满足前面所述的条件。

所以对于（5）式和（6）

式，我们可以将其改写为：

（8）

（9）注：

在式子中，的含义是拉普拉斯算符：

由（8）（9），我们不难得到，粒子能量E 与动量p 各与下列作用在波函数上的算符相当：

，

（10）这两个算符，我们依次将其称之为能量算符与动量算符。在（7）式的左右两边，我们分别乘上，将（10）式代入（7）式中，便得到一个微分方程，见（8）式。

现在，我们可以根据（8）式建立出在力场中粒子波函数所满足的微分方程。首先，假设出粒子在力场中的

势能，用U （

r ）去表示。故此，得到粒子能量与动量的关系式，其表达式如下：

（11）

在（11）式的两边分别乘上波函数（r ，t ）后，又将

（8）式代入式子中，又得到（r ，t ）

所满足的微分方程，即

（12）

此方程便是“薛定谔波动方程”或“薛定谔方程”，同

时我们也可以将其简称为“波动方程”。

2.2 薛定谔方程的具体介绍

奥地利物理学家薛定谔是在1926提出的薛定谔方程。它是量子力学的基本方程，也是一个基本假设，当然

这些都是基于微积分思想所进行的［3］。现薛定谔方程已

广泛应用于原子、分子力场、固体物理、核物理、化学等领域，体现了微积分思想的间接应用。

为了解决量子力学问题，我们往往都是将其总结为粒子的薛定谔方程或者是求解薛定谔方程的解。薛定谔方程对原子物理、核物理和固体物理等一系列问题中求解的结果都与实际符合得很好。

现在，我们便来研究一下基于薛定谔方程的解。在物

理学中，对于一般情况，我们也可以利于U （r ）去表达时间的函数，因此我们现在讨论U （r ）与时间无关的情况。

如果U （r ）不含时间：薛定谔方程（12）可以用分离变量法进行求解。考虑这方程的一种特解：

（13）方程（12）的解可以表示许多这种特解之和。将（11）

式代入方程（12）中，并把方程两边用

去除，

得到

因为等式的左边是一个函数，该函数是正确的，并独立于其他变量，所以只有当双方都等于同一常数，

可满足的方程。

以E 表示这个常量，则由等式左边等于E ，有：

（14）

因为等式的右边等于E ，

那么便有：

（15）