东师15春《中小学数学解题研究》离线作业答案 15

期末作业考核《中小学数学解题研究》满分100分一、回答下列各问题（每小题6分，共18分）1．什么是配方法？配方法的基本特征是什么？答：所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。

通过配方解决数学问题的方法叫配方法。

配方的基本特征是：特征1：配方目标的确定性：就是说配方有一个明确而具体的思维指向——出现平方式。

这就使得具体配方时，能够排除干扰、瞄准目标、集中思想、一攻到底。

特征2：配方途径的多向性：就是说，同一个式子可以有不同的配方结果，可以配一个平方式，也可以配多个平方式。

特征3：配方对象的多样性：数、字母、具体的数学式、抽象的函数关系等都可以进行配方。

特征4：配方使用的多重性：配方可以并列地多次使用，也可以连续地重复使用。

特征5：配方应用的广泛性：无论是初等数学还是高等数学，无论是代数还是几何，无论是相等关系还是不等关系，无论是求值还是证明，无论是连续问题还是离散问题，无论是简单的整数还是抽象的解析式，都能用到配方，都已成为配方法知识链上的一环。

2．什么是“数学问题”？数学问题与习题的联系与区别是什么？答：对于学生来说；数学问题是运用已有的数学概念、理论或方法，经过积极的探索、思考才能解决的问题。

而这样的问题应满足下述三个特性:（1）接受性：学生愿意解决并且具有解决它的知识基础和能力基础。

（2）障碍性：学生不能直接看出它的解法和答案，而必须经过思考才能解决。

（3）探究性：学生不能按照现成的公式或常规的套路去解，需要进行探究和研究，寻找新的处理方法。

数学“问题”与“习题”的区别与联系中学数学教材中的习题一般是条件充分、结论确定、解法典型、供巩固知识的练习用。

这些习题是为数学教学和日常训练等设计的，适合于学习知识、训练技能。

而“问题”不仅包括教科书上的习题，也应包括那些来自实际的问题；不仅应包括“单纯练习题式的问题(routine problems)”，也应包括“非单纯练习题式的问题(non-routine problems)”；不仅应包括条件充分、结论确定的问题，也应包括条件不充分、结论不确定的开放性问题和具有探索性的问题。

“问题”适合于学习发现和探究的技巧，适合于进行数学的原始发现以及学习如何学。

因此，“问题”比“习题”的外延宽、所要达到的学习目的多。

虽然习题与“问题”有一定的区别，但并不否认习题在数学教学中的作用。

为了使学生理解数学概念、定理、法则，全面系统地掌握数学知识，提高解题的技能、技巧，习题有着不可取代的作用。

3、简述对数学解题进行错误分析的重要意义。

答：（1）它是教师检查教学方案的执行情况，及时地调整教学方案的依据。

（2）它是发展学生的自我纠错能力的前导。

二、用两种方法求解下面问题（每小题6分，共12分）1、20%的食盐水与5%的食盐水混合，要配成15%的食盐水900克.问:20%与5%食盐水各需要多少克?解法1 设需20%盐水χ克，则5%的盐水就需要900-χ克，列方程有:20%χ+(900-χ)×5%=900×15%，χ=600(克)，900-600=300(克)解法2 假设法.假设900克都是20%的盐水，盐的重量900×20%比实际900×15%多45克，1克20%的盐水比1克5%的盐水多(20%-5%)=0.15克，4(900×20%-900×15%)÷(20%-5%)=300(克)，900-300=600（克）解法3 20%比15%多20%-15%，5%比15%少15%-5%多的含盐量所需数量要恰好弥补少的含盐量所需数量，也就是:20%15%5%25%20%15%1-=-所需数量=所需数量即:相差的百分数之比恰好是所需数量的反比. 所以需要20%的为:900221⨯+=600(克)， 需要5%的为: 900121⨯+=300(克) 答:需要浓度20%的600克，浓度5%的300克.三、下面这道题，是某学生给出的解法，你认为对吗？认为正确说明理由；认为不对，请给出正确的解法。

（共8分） 1、已知的值。

，求k k zyx y x z x z y =+=+=+ 学生B 的解法：根据等比定理有 22=++++=+++++++=zy x z y x z y x y x x z z y k ）（答：此题解法不对，正确的解法为：上面的解法忽略了应用等比定理时应有条件0≠++z y x 。

当0≠++z y x 时，有等比定理22=++++=+++++++=zy x z y x z y x y x x z z y k ）（当0≠++z y x 时，1-=-=+=xxx z y k 所以，k=2或k=-1四、试按波利亚的解题四步骤来分析求解下题（12分）1、在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别是a 、b 、c ，且c=10，cosA/cosB=b/a=4/3，P 为△ABC 内切圆上的动点。

求点P 到顶点A 、B 、C 的距离的平方和的最小值与最大值。

解：第一步 理解题意本题的条件是（ⅰ）c=10，（ⅱ）cosA/cosB=b/a=4/3；（ⅲ）P 是三角形△ABC 内切圆上的动点，所求的结论是要求出P 点到A 、B 、C 三顶点的距离的平方和的最值。

综观之，这是一道关于图形的最值问题。

第二步 拟订计划设想以前未曾遇到过这个问题，但曾见过也解过与密切相关的两类问题：第一， 已知三角形某些边角之间的数量关系，要求判断这三角形的形状或解出它。

第二， 在一确定的三角形中的某曲线上有一动点，求这点到三角形顶点或三边的距 离和或平方和的最小值。

于是原问题可分裂为两个较为简单的问题：① a 、b 、c 为△ABC 的三边，且c=10，cosA/cosB=b/a=4/3，试确定△ABC 的形 状及其大小。

② 在确定的△ABC 的内切圆上有一动点P ，试求PA ²+PB ²+PC ²的最小值与最大 值。

对①小题，△ABC 已具备了三个条件式，这类问题据以前的经验，只要对数式进行适当的推算，三角形不难解出来。

对于②小题，在确定了三角形的形状大小以后，因涉及内切圆上一个动点，拟引入直角坐标系，即能利用解析法列出目标函数，其最值也可用一般的代数三角方法顺利求出。

至此，一个比较完整的解题计划可以说是拟定了。

第三步 实现计划由cosA/cosB=b/a ，用正弦定理作代换，得cosA/cosB=sinB/sinA ， 即sinA ·cosA =sinB ·cosB 或sin2B=sin2A因为cosA/cosB =4/3，知A ≠B ，且A 、B 是三角形内角， 所以2A=π-2B ，即B+A=π/2 所以△ABC 是直角三角形。

再由c=10，b/a=4/3及a ²+b ²=c ²，可解得a=6，b=8。

如图1—2，建立直角坐标系，使直角△ABC 的三个顶点 为A （8，0）、B （0，6）、C （0、0） y在直角△ABC 中，有a+b=c+2r ，r=2，所以，内切圆的圆心为O ˊ（2，2），方程为（x-2）²+（y-2）²=4。

设圆上的任一点为P （x ，y ），则有S=|PA|²+|PB|²+|PC|² O A =（x-8）²+y ²+x ²+（y-6）²+x ²+y ² 图2—1 =3{（x-2）²+（y-2）²}-4x+76 =3·4-4x+76=88-4x因P 是内切圆上的点，故0≤x ≤4，于是当X=4时，有最小值72，当x=4时，有最大值88。

第四步 回顾讨论对于上面解题过程的运算检验无误后可考虑：x=0时，P 点运动到BC 边上的M ，此时的所求平方和最大值为88；当x=4时，P 点运动到过M 的直径的另一端点N ，此时得所求平方和最小值为72。

五、求解下列数学题（每题10分，共30分） 1、求下图1中阴影部分的面积。

(取π=3)图1解： 将图形分成四个区域(如图)用Ⅰ、Ⅱ、 Ⅲ、Ⅳ表示相应区域的面积于是，阴影 部分的面积为S=Ⅱ+Ⅳ=（Ⅰ+Ⅱ+Ⅳ）-Ⅰ=（Ⅰ+Ⅱ+Ⅳ）-[（Ⅰ+Ⅱ+Ⅲ）-（Ⅱ+Ⅲ）]因为Ⅰ+Ⅱ+Ⅳ=14π×62=9π=27，Ⅰ+Ⅱ+Ⅲ=6×4=24，Ⅱ+Ⅲ=14π×42=4π=12S=27-（24-12）=15答：阴影部分面积为15.2、已知1922=++y xy x ，求22y x +的最大、最小值。

解：对原式作配方，有19=23（22y x +）2)(2y x --≤23（22y x +）19=21（22y x +）+2)(2y x +≥21（22y x +）分别得 -==或319y x 319时，338)(22=+最小值y x 或19=-=y x 19-时，38)(22=+最大值y x3、如图2所示，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水 面处安装一个柱子OA ，O 恰好在水面中心，OA=1.25m 。

由柱子顶 端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落 下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA 距离1m 处 达到距水面最大高度2.25m 。

（1） 如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能 使喷出的抛物线形状与图2相同？（2）若水流喷出的抛物线形状大小与图3相同，水池的半径为3.5m ，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达到多少米？（精确到0·1m ）解：（1）如图图3-5（2）建立坐标系，设抛物线顶点为B ，水流落水处与x 轴交点为C ，根据题意A （0，1.25），B （1，2.25），设C （x ，0），抛物线的方程为y=a （x —1）2+2.25将A （0，1.25）代入方程y=a （x —1）2+2.25，得a=—1 于是方程为y=—（x —1）2+2.25 令y=0，得1x =2.5，2x =—0.5（舍去） 所以，水池的半径至少要2.5米。

（2）由于抛物线的形状与图形2相同， 所以设抛物线为y=－（x+m ）2+k将点A （0，1.25），C （3.5，0）代入方程y=－（x+m ）2+k ， 解方程组得：m ≈1.6，k ≈3.7所以，此时水流最大高度应达到3.7米。

六、证明下列各题（每题10分，共20分）1、若a d －bc=1，证明bcac b a ++22（a ，b ，c ，d 均为整数）不可约。

证明：由基本配方，有))((2222d c b a ++=22)()(bc ad bd ac -++=1)(2++bd ac 若22b a +与bd ac +有公约数m ﹥1，则由))((2222d c b a ++1)(2=+-bd ac知，1含有因数m ﹥1是不可能的，故bcac b a ++22不可约。