八年级数学上册 12.3角的平分线的性质第1课时角平分线的性质课件1-5
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人教版八年级上册1角的平分线的性质(第一课时)课件
交OA于M，交OB于N；
A
（2）分别以M，N为圆心，
M
C
大于
1 2
MN的长为半径作弧，
两弧在∠AOB内部交于点C； O
NB
作法：
（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，
交OA于M，交OB于N；
A
（2）分别以M，N为圆心，
M
C
大于
1 2
MN的长为半径作弧，
两弧在∠AOB内部交于点C； O
NB
（3）作射线OC．
A D
C
P
O
EB
分析：求证何来？ 由△PDO ≌ △PEO
推相等的线段．
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO = ∠PEO = 90°．
在△PDO和△PEO中，
A D
C
P
PDO PEO 90，
AOC
BOC，
OP OP，
O
E B ∴△PDO ≌ △PEO（AAS）．
∴PD = PE．
A
O
B
作法：
A
O
B
作法： （1）以O为圆心，适当长为半径作弧，
A
O
B
作法：
（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，
交OA于M，交OB于N；
A
M
O
NB
作法：
（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，
交OA于M，交OB于N；
A
（2）分别以M，N为圆心，
M
大于
1 2
MN的长为半径作弧，
O
NB
作法：
（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，
A E
C
P
O
DB
解：过P作PE⊥OA于点E ． ∵ 点 P 是 ∠ AOB 平 分 线 OC 上 一 点，PD⊥OB于D，PE⊥OA于E， ∴PE = PD． ∵PD = 2， ∴PE = 2． 即点P到OA的距离是2．
12_3角的平分线的性质(第1课时)
教学设计二次备课一、感悟实践经验，用尺规作角的平分线问题1在练习本上画一个角，怎样得到这个角的平分线？用量角器度量，也可用折纸的方法．追问1你能评价这些方法吗？在生产生活中，这些方法是否可行呢？追问2以下图是一个平分角的仪器，其中AB =AD，BC=DC，将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE，AE 就是∠DAB 的平分线．你能说明它的道理吗？追问3从利用平分角的仪器画角的平分线中，你受到哪些启发？如何利用直尺和圆规作一个角的平分线？利用尺规作角的平分线的具体方法:追问4你能说明为什么射线OC 是∠AOB 的平分线吗？二、经历实验过程，发现并证明角的平分线的性质 问题2 利用尺规我们能够作一个角的平分线，那么角的平分线有什么性质呢？如图，任意作一个角∠AOB ，作出∠A 的平分线OC ，在OC 上任取一点P ，过点P 画出OA ，OB 的垂线，分别记 垂足为D ，E ，测量 PD ，PE 并作比较，你得到什么结论？在OC 上再取几个点试一试．通过以上测量，你发现了角 的平分线的什么性质？追问1 通过动手实验、观察比较，我们发现“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，你能通过严格的逻辑推理证明这个结论吗？已知：∠AOC = ∠BOC ，点P 在OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ． 求证：PD =PE ．追问2 由角的平分线的性质的证明过程，你能概括出证明几何命题的一般步骤吗？（1）明确命题中的已知和求证；（2）根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证；（3）经过度析，找出由已知推出求证的途径，写出证 ABO MN CABO PCDE明过程．追问3 角的平分线的性质的作用是什么？主要是用于判断和证明两条线段相等，与以前的方法相比，使用此性质不需要先证两个三角形全等．三、解决简单问题，巩固角的平分线的性质练习1 以下结论一定成立的是 ．（1）如图，OC 平分∠AOB ，点P 在OC 上，D ，E 分 别为OA ，OB 上的点，则PD =PE ．（2）如图，点P 在OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足 分别为D ，E ，则PD =PE ．（3）如图，OC 平分∠AOB ，点P 在OC 上，PD ⊥OA ， 垂足为D ．若PD =3，则点P 到OB 的距离为3．练习2 如图，△ABC 中，∠B =∠C ，AD 是∠BAC 的平分线， DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ．求证：EB =FC ．在此题的已知条件下，你还能得到哪些结论？ 例 如图，△ABC 的角平分线BM ，CN 相交于点P ．求证：点P 到三边AB ，BC ，CA 的距离相等． 四、课堂小结（1）本节课学习了哪些主要内容？（2）本节课是通过什么方式探究角的平分线的性质的？（3）角的平分线的性质为我们提供了证明什么的方法？ 在应用这个性质时要注意哪些问题？五、布置作业AB CD EF ABC PM N。
人教版初中数学《角的平分线的性质》_完美课件
交OA于点M，交OB于点N
尺规法画角平分线
A M
C
O
NB
分别以点M，N为圆心，大于½MN的长度为半径画
弧，两弧在∠AOB的内部交于点C
尺规法画角平分线
A M
C
O
NB
画射线OC，即为∠AOB的角平分线
思考和交流
• 在你刚才画好的角平分线OC 上任意取一点P，过点P画出 OA和OB的垂线段，分别记 垂足为D，E。PD和PE的长 度有什么关系？
• 在OC上再取几个点试一下， 并和你的伙伴交流结论，你 们发现角平分线有什么性质？
思考和交流
• 经过测量，PD=PE总成立。 • 经过讨论，我们猜想： • 角分线上的点到角两边的距
离相等。
你能用全等三角 形证明吗？
怎样证明几何命题？
• 证明几何命题，先明确已知和求证。
– 已知：一个点在一个角的平分线上。 – 求证：这个点到这个角两边的距离相等。
角分线上的点到角两边的距离相等
A D
∵OC平分∠AOB，
O
P C PD⊥OA，PE⊥OB
∴PD=PE
EB
动脑想一想
• 如图，要在S区建一个 集贸中心，使它到铁路、 公路的距离相等，并且 离公路与铁路的交叉处 500m，这个集贸中心应 建在哪里？
动脑想一想
• 角分线上的点到角两边的距离相等。 • 到角的两边的距离相等的点是否也在角的
DC=BC（已知） ∴ △ADC≌△ABC (SSS) ∴∠DAC=∠BAC（对应角相等） 即 AE平分∠BAD
动脑想一想
• 通过刚才的启发，你能想到怎样画出下面 的角的平分线吗？
A
仅用尺规作图，
已知∠AOB，
求作∠AOB的
【最新版】八年级数学上册课件：12.3 角的平分线的性质(第1课时)
PE⊥OB，垂足分别为D，E.求证：PD=PE.
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，
∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °.
在△PDO和△PEO中，
∠PDO= ∠PEO，
∠AOC= ∠BOC，
O
OP= OP，
A
D C
P
E
B
∴ △PDO ≌△PEO(AAS). ∴PD=PE.
探究新知
归纳总结
一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照 类似的步骤进行，即 1.明确命题中的已知和求证； 2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； 3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证 明过程.
仔细观察步骤
A M
C
半径小于
1 2
MN或等于
1 2
MN，可以
吗？
作法：
（1）以点O为圆心，适当长为半
径画弧，交OA于点M，交OB于 B
点N.
N
O
（2）分别以点M，N为圆心，大
于
1 2
MN的长为半径画弧，两弧在
∠AOB的内部相交于点C.
（3）画射线OC.射线OC即为所
作角平分线是最 基本的尺规作图，大 家一定要掌握噢!
求.
探究新知
已知：平角∠AOB. 求作：平角∠AOB的角平分线.
C
BO
A
结论：作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这 条直线的垂线的方法.
探究新知
知识点 2 角平分线的性质
OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点.
1. 操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作
PD⊥OA，PE⊥OB ，点D,E为垂足，测量PD,PE的长.
12.3 角的平分线的性质(第1课时)-八人数上册教学课件
2.联系角平分线性质：
面积 周长
利用角平分线的性质所得到的等 量关系进行转化求解
链接中考
如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且
∠ADC=110°，则∠MAB=（ B ）
A．30° B．35° C．45° D．60°
解析：作MN⊥AD于N，∵∠B=∠C=90°，
∴AB∥CD， ∴∠DAB=180°–∠ADC=70°.
证明：∵OD平分∠AOB，∠1＝∠2， 又∵OA＝OB，OD＝OD， ∴△AOD≌△BOD，∴∠3＝∠4， 又∵PM⊥DB，PN⊥DA， ∴PM＝PN.(角平分线上的点到角两边 的距离相等)
探究新知
素养考点 2 利用角平分线的性质求线段的长度
例2 如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB， PE⊥AC，垂足分别是D,E，PD=4cm，则PE=___4___cm.
A．6 B．5 C．4 D．3
B AE
课堂检测
能力提升题
1. 在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，则：
(1)哪条线段与DE相等？为什么？
(2)若AB＝10，BC＝8，AC＝6，求BE，AE的长和△AED
的周长.
解：(1)DC=DE. 理由如下：角平分线上的点到角两边的距离相等. （2）在Rt△CDB和Rt△EDB中，DC=DE，DB=DB，
1. 学会角平分线的画法.
探究新知
知识点 1 角平分线的画法
问题1：在纸上画一个角，你能得到这个角的平分线吗？
用量角器度量，也可用折纸的方法．
问题2：如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还能 用对折的方法得到木板、钢板的角平分线吗？
探究新知
提炼图形
人教版数学八年级上册 第十二章 12.3 角的平分线的性质 第一课时 课件(共33张PPT)
PD⊥OA，PE⊥OB，且
O
P
PD=PE
E B ∴OP是∠AOB的平分线
动脑想一想
• 我们之间就学习了三角形的角分线，之前 谈到过，三条角分线一定交于一点，不过 当时我们没有给出证明，而只是通过画图 的方法给出了印证。
• 现在我们学习了角分线的性质和判定定理， 怎样证明这个结论呢？我们先看下面的例 题。
DC=BC（已知） ∴ △ADC≌△ABC (SSS) ∴∠DAC=∠BAC（对应角相等） 即 AE平分∠BAD
动脑想一想
• 通过刚才的启发，你能想到怎样画出下面 的角的平分线吗？
A
仅用尺规作图，
已知∠AOB，
求作∠AOB的
平分线
O
B
尺规法画角平分线
A M
O
NB
以点O为圆心，任意适当长度为半径画弧，
• 对折之后的折痕和 这个角有什么关系？
• 如果是木板不能对 折，该怎么平分？
动脑想一想
• 如图是一个平分角的仪器， 其中AB=AD，BC=DC，将 点A放在角的顶点，AB和 AD沿着角的两边放下，则 AC所在直线就是这个角的 平分线。
• 你能说明这是为什么吗？
动脑想一想
证明： 在△ADC和△ABC 中 AB=AD（已知） AC=AC（公共边相等）
角分线上的点到角两边的距离相等
A D
∵OC平分∠AOB，
O
P C PD⊥OA，PE⊥OB
∴PD=PE
EB
动脑想一想
• 如图，要在S区建一个 集贸中心，使它到铁路、 公路的距离相等，并且 离公路与铁路的交叉处 500m，这个集贸中心应 建在哪里？
动脑想一想
• 角分线上的点到角两边的距离相等。 • 到角的两边的距离相等的点是否也在角的
人教版八年级上册数学1角平分线的性质课件(共18张)
∴ DB = DC ，
（在角的平分线上的点到这 个角的两边的距离相等。）
A
（√ ）
不必再证全等
B
D C
练习
4、如图，
A
∵ OC是∠AOB的平分线，
D
又 _P_D__⊥__O_A_，__P_E_⊥__O__B_，___
C
P
O
∴PD=PE
E
( 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 ） B
THANK YOU
角平分线上的点到角的两边的距离相等。
用符号语言表示为：
∵ ∠DOP= ∠EOP， PD⊥OA ， PE⊥OB，
∴PD=PE(角的平分线上的点 到角的两边的距离相等)
推理的理由有三个， 必须写全，不能少
了任何一个。
A D
P
O
B E
角平分线的性质
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
定理应用所具备的条件：
结论:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
探究求证
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，
PE⊥OB，垂足分别是D，E。
求证：PD=PE
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，（已知）
∴∠PDO=∠PEO=90，（垂直的定义）
A D
在△PDO和△PEO中，
∠ PDO= ∠ PEO， ∠ AOC= ∠ BOC， OP=OP，
练习
1、如图， ∵ AD平分∠BAC（已知）
∴ BD = CD ，
（在角的平分线上的点到这
A
个角的两边的距离相等。）
（×）
B
D C
练习
2、如图， ∵ DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
人教版数学八年级上册12.3角的平分线的性质1-课件
D
B
PD,PE没有垂直OA,OB,它们不是角 平分线上任一点这个角两边的距离, 所以不一定相等直
思考：要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到
公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉
处５００米，应建在何处？（比例尺 1：20
000）
Ｏ
公路
铁路
Ｓ
练习1：如图，△ＡＢＣ的∠Ｂ的外角的平
分线ＢＤ与∠Ｃ的外角的平分线ＣＥ相交于
∴PD=PE（在角平分线上的点到角的两边
的距离相等）
同理 PE=PF.
∴ PD=PE=PF.
A
即点P到边AB、BC、
CA的距离相等 想一想，点P在∠A 的 平分线上吗？这 说明三角形的三条角平分线有什么关系？ B
D N PM F
E
C
畅谈收获
知识应用
1、在Rt△ABC中，BD是角平分线，DE⊥AB， 垂足为E，DE与DC相等吗？为什么？
A
分析:要证明PD=PE,只要证明
D
它们所在的△OPD≌△OPE，
而△OPD≌△OPE的条件由已 知易知它满足公理(AAS).
O
1 2
P C
故结论可证.
E
老师期望:你能写出规范的证明过程. B
于是我们得角的平分线的性质： 在角的 平分线上的点到角的两边的距离相等．
能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角 的两边的距离相等”这句话．请填下表：
2 、 如 图 ,OC 是 ∠AOB 的 平 分 线 , 点 P 在 OC
上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足，分别是D、E,PD=4cm,则 PE=__________cm.
A E
D
A
C
P
D B
E
《角的平分线的性质(1)》课件
PD＝PE；选项B和C中PD不是到OA的距离；选项D中P到OA
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测 探究三：用角的平分线的性质解决简单问题 活动1 例1 (2)下图中,PD⊥OA,PE⊥OB，垂足分别为点D、E，
则图中PD＝PE吗 不相等
【思路点拨】已知没有告诉OC为∠AOB的平分线， 由此PD与PE不相等.
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测 重难点归纳
（1）角的平分线的性质的探究. （2）角的平分线的性质的证明及应用. （3）证明线段相等通常证明线段所在的两个 三角形全等.
边的垂线段. 哪个学生的作法正确？ 同学乙的画法是正确的．
同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线， 而不是过角平分线上一点作两边的垂线段，所以他的 画法不符合要求．
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
探究二：角的平分线的性质 活动2 问题1：如何用文字语言叙述所画图形的性质？
角平分线上的点到角的两边的距离相等．
证明： ∵∠C＝90°，BD平分∠ABC， DE⊥AB于E， ∴DC=DE 又∵△AD=DF △ ∴ DCF≌ DEA（HL）
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
探究三：用角的平分线的性质解决简单问题
活动3
练习：如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE， CD交于点O，且AO平分∠BAC，求证：OB=OC．
∴ PD=PE（全等三角形的对应边相等）
知识回顾 问题探究 探究二：角的平分线的性质 活动3
课堂小结
随堂检测
角的平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
符号语言：
∵∠AOC=∠BOC, PD⊥OA，PE⊥OB， 垂足分别为点D、E.（已知） ∴ PD=PE（角的平分线上的点到角的 两边的距离相等）
12.3角的平分线的性质 课件-人教版数学八年级上册
知1－练
知1－练
1-1. 已知：∠ AOB，如图所示，求作：∠ AOB的邻补角的 平分线(保留作图痕迹，不写作法)
解：如图，射线OP即为所求．(答案不唯一)
知1－练
知识点 2 角的平分线的性质
知2－讲
1. 性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等 . 角的平分线的性质的两个必要条件
(1)点在角平分线上； (2)这个点到角两边的距离即点到角两边的垂线段的长度. 两
3.用尺规作一个角的平分线， 实质上是运用“SSS”构 造全等三角形，根据全 等三角形的对应角相等， 找出平分一个角的射线.
证明：根据前两步作法可知OM=ON，CM=CN. 知1－讲 在△ OMC 和△ ONC 中，
OM=ON， CM=CN， OC=OC， ∴△ OMC ≌△ ONC(S S S). ∴∠ AOC= ∠ BOC.
知2－练
4-1.[中考·湖州]如图，已知在四边形ABCD中，∠ BCD=90 °，BD 平分∠ ABC，AB=6，BC=9，CD=4， 则四边形ABCD的面积是( ) B A.24 B.30 C.36 D.42
知2－练
解题秘方：紧扣总面积等于各部分面积的和求解.
解：∵ AD 是∠ BAC 的平分线，DE ⊥ AB， DF ⊥ AC，∴ DE=DF. ∵△ ABC 的面积是225 cm2， AB=28cm，AC=17 c m，
∴12×28·DE＋12×17·DF=225， 解得DE=DF=10 c m.
知2－练
知2－练
例3 如图12.3-6，在△ ABC 中， ∠C=90°，AD 平分∠CAB， BD=2CD，点D 到AB 的距离 为5.6 cm，求BC 的长.
知2－练
解题秘方：依据角平分线的性质得出CD的长，进 而得出BD 的长，依据BC=CD＋BD即可得出结论.
人教版八年级数学上册第十二章全等三角形12.3 第1课时 角平分线的性质课件
O （3）垂直距离.
C P
定理的作用： 证明线段相等.
应用格式： ∵OP 是∠AOB的平分线， PD⊥OA,PE⊥OB，
E B
推理的理由有三个， 必须写完全，不能少
了任何一个.
∴PD = PE （在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.
判一判：（1）∵ 如图，AD平分∠BAC（已知），
∴ BD = CD ，
A
求证：EB=FC.
分析：先利用角平分线的性质定理得到
DE=DF，再利用“HL”证明Rt△BDE
E
F
≌ Rt△CDF.
B
D
C
证明： ∵AD是∠BAC的角平分线， DE⊥AB, DF⊥AC，
∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °.
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中， DE=DF， BD=CD，
A D
C
P
O
E
B
验证结论
已知：如图， ∠AOC= ∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,
垂足分别为D,E.
求证：PD=PE. 证明： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB，
∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °. 在△PDO和△PEO中， O
∠PDO= ∠PEO，
∠AOC= ∠BOC，
A
D C
P
E
B
OP= OP， ∴ △PDO ≌ △PEO(AAS). ∴PD=PE.
C
D
A
EB
3.用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能
说明∠AOC=∠BOC的依据是（ A ）
A.SSS
B.ASA
C.AAS D.角平分线上的点到角两边的距离相等
A
C P
定理的作用： 证明线段相等.
应用格式： ∵OP 是∠AOB的平分线， PD⊥OA,PE⊥OB，
E B
推理的理由有三个， 必须写完全，不能少
了任何一个.
∴PD = PE （在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.
判一判：（1）∵ 如图，AD平分∠BAC（已知），
∴ BD = CD ，
A
求证：EB=FC.
分析：先利用角平分线的性质定理得到
DE=DF，再利用“HL”证明Rt△BDE
E
F
≌ Rt△CDF.
B
D
C
证明： ∵AD是∠BAC的角平分线， DE⊥AB, DF⊥AC，
∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °.
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中， DE=DF， BD=CD，
A D
C
P
O
E
B
验证结论
已知：如图， ∠AOC= ∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,
垂足分别为D,E.
求证：PD=PE. 证明： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB，
∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °. 在△PDO和△PEO中， O
∠PDO= ∠PEO，
∠AOC= ∠BOC，
A
D C
P
E
B
OP= OP， ∴ △PDO ≌ △PEO(AAS). ∴PD=PE.
C
D
A
EB
3.用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能
说明∠AOC=∠BOC的依据是（ A ）
A.SSS
B.ASA
C.AAS D.角平分线上的点到角两边的距离相等
A
12.3 角的平分线的性质--八年级上册数学人教版
少了任何一个.
探究新知
判一判：（1）∵ 如下左图，AD平分∠BAC（已知），
∴ BD = CD ，
× ( 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 ) 缺少“垂
B
直距离”
B
这一条件
A
D A
D
C
C (2)∵ 如上右图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）.
∴ BD = CD ，
缺少“角
× 平分线”
(在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 ) 这一条件
PE⊥OB，垂足分别为D，E.求证：PD=PE.
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，
∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °.
在△PDO和△PEO中，
∠PDO= ∠PEO，
∠AOC= ∠BOC，
O
A
D C
P
E
B
OP= OP，
∴ △PDO ≌△PEO(AAS). ∴PD=PE.
探究新知
归纳总结
一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照 类似的步骤进行，即 1.明确命题中的已知和求证； 2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； 3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证 明过程.
1. 学会角平分线的画法.
探究新知
知识点 1 角平分线的画法
问题1：在纸上画一个角，你能得到这个角的平分线吗？
用量角器度量，也可用折纸的方法．
问题2：如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还能 用对折的方法得到木板、钢板的角平分线吗？
探究新知
提炼图形
探究新知
问题3：如图，是一个角平分仪，其中AB=AD，BC=DC.
课堂小结
பைடு நூலகம்
探究新知
判一判：（1）∵ 如下左图，AD平分∠BAC（已知），
∴ BD = CD ，
× ( 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 ) 缺少“垂
B
直距离”
B
这一条件
A
D A
D
C
C (2)∵ 如上右图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）.
∴ BD = CD ，
缺少“角
× 平分线”
(在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 ) 这一条件
PE⊥OB，垂足分别为D，E.求证：PD=PE.
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，
∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °.
在△PDO和△PEO中，
∠PDO= ∠PEO，
∠AOC= ∠BOC，
O
A
D C
P
E
B
OP= OP，
∴ △PDO ≌△PEO(AAS). ∴PD=PE.
探究新知
归纳总结
一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照 类似的步骤进行，即 1.明确命题中的已知和求证； 2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； 3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证 明过程.
1. 学会角平分线的画法.
探究新知
知识点 1 角平分线的画法
问题1：在纸上画一个角，你能得到这个角的平分线吗？
用量角器度量，也可用折纸的方法．
问题2：如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还能 用对折的方法得到木板、钢板的角平分线吗？
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提炼图形
探究新知
问题3：如图，是一个角平分仪，其中AB=AD，BC=DC.
课堂小结
பைடு நூலகம்
12.3角的平分线的性质++课件2024—2025学年人教版数学八年级上册+
例、如图，OC是∠AOB 的平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA， PE⊥OB，垂足分别为D，E.F是OC上的另一点，连接DF，EF， 求证 DF=EF.
例、如图，AD 是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分 别是E，F，连接EF，EF与AD相交于点G.AD与EF垂直吗?证明你的 结论.
已知：∠AOC=∠BOC，点P在OC上， PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E. 求证： PD=PE.
角平分线的性质：
角平分线上的点到角的两边的距离相等。
符号语言：
∵OP平分∠AOB，（∠AOP＝∠BOP） PD⊥OA于的D， PE⊥OB于点Ｅ
∴PD=PE
角平分＋双垂直
推等距
例、如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F.求证EB=FC.
尺规作角的平分线的依据是什么？
SSS
课堂小结：
角平分线有什么性质？
（1）平分角 （2）角平分线上的点到角的两边的距离相等。
课堂小结：使用角平分线性质时：
角平分、双垂直， 角平分、一垂直，
得等距
补垂直，得等距
角平分、无垂直， 作双垂，得等距
如果只要求度假村到三条公路 的距离相等，那可供选择的地 址有几处？
例、如图，△ABC 的三边AB,BC,CA的长分别是 20，30，40,其 三条角平分线将△ABC分为三个小三角形，则
S△ABO:S△BCO:S△CAO等于＿＿＿
B
角平分、无垂直，
C
作双垂，得等距
O A
课堂小结：
回忆用直尺和圆规怎么平分一个角？
(3)画射线OC.射线OC 即为所求
思考： 为什么∠AOC=∠BOC呢？
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问题3：如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC=DC.将点A 放 在 角 的 顶 点 ,AB 和 AD 沿 着 角 的 两 边 放 下 , 沿 AC 画 一 条 射 线 AE,AE就是角平分线，你能说明它的道理吗?
A
其依据是SSS，两全等三角形的 对应角相等.
D
B
(E) C
一 尺规作角平分线
呢？
(4)你能说明为什么OC是∠AOB的平分线吗？
B O
今日，由巨量引擎、今日头条、上乘优品联合出品，佰草集独家冠名的国内首档明星探寻敦煌文化创新V《敦煌藏画》在举办了一场别开生面的快闪发布会。日本在2015年跌到第四后，2016-2018年重回前三， 2018年票房收入为20亿美元，基本与2016年和2017年持平；此外，韩国电影业近几年保持了稳定增长，由2011年的第十位稳步上升到2018年的第五位。巨量引擎全国营销中心内容营销招商负责人马新、敦煌画院副 院长宋贤瑜、复旦大学文博系教授朱顺龙、《敦煌藏画》节目总制片人徐洋等与会嘉宾，悉数到场并上台致辞，为15日至18日为期4天的线下快闪活动拉开了帷幕。 我认为八卦新闻一定可以成为行业的领导者，翘首高端产品之列。 八卦新闻 /
提起由西影出品并于1995年上映的《大话西游》系列电影，无疑是中国电影史上独一无二的存在，时至今日仍让观众回味无穷，成为几代影迷心中永恒的经典。勤奋成就前进的阶梯，作品铺就成长的基石，宋茜在 演员的道路上始终不忘初心刻苦钻研，用角色证明自己。，虽然美国电影在全球的优势地位依然明显，但是许多国家本土电影产业的发展显示出强大活力
问题：如果没有此仪器，我们用数学作图工具，能实现该仪器的功能吗 ？
做一做：请大家找到用尺规作角的平分线的方法，并说明作知什么？求作什么？
(2)把平分角的仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶点重
合，且仪器的两边相等，怎样在作图中体现这个过程呢?
(3)在平分角的仪器中，BC=DC，怎样在作图中体现这个过程
第十二章 全等三角形 12.3 角的平分线的性质 第1课时 角平分线的性质
学习目标
1.通过操作、验证等方式，探究并掌握角平分线的性质定理.（难点） 2.能运用角的平分线性质解决简单的几何问题. （重点）
导入新课
问题1：在纸上画一个角，你能得到这个角的平分线吗？ 用量角器度量，也可用折纸的方法．
问题2：如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还能用对折的方法得 到木板、钢板的角平分线吗？