函数中因动点产生的相似三角形综合题讲解(含答案)

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专题03 动点引起的相似三角形存在性问题(解析版)

专题04 动点引起的相似三角形存在性问题【相似三角形存在性】以A 、B 、C 为顶点的三角形与已知△DEF 相似，其中，∠ABC =∠DEF 分类讨论：①△ABC ∽△DEF ；②△CBA ∽△DEF 可得到：AB BC DE EF =；AB BC EF DE=，特殊地，当∠ABC =∠DEF =90°时，可借助tan ∠BAC =tan ∠DFE 或tan ∠BCA =tan ∠DFE 解答问题.【一题多解 · 典例剖析】例题1. （2021·山东省济宁市中考）如图，直线1322y x =-+分别交x 轴、y 轴于点A ，B ，过点A 的抛物线2y x bx c =-++与x 轴的另一交点为C ，与y 轴交于点()0,3D ，抛物线的对称轴l 交AD 于E ，连接OE 交AB于点F ．（1）求抛物线解析式；（2）求证：OE AB ⊥；（3）P 为抛物线上的一动点，直线PO 交AD 于点M ，是否存在这样的点P ，使以A ，O ，M 为顶点的三角形与ACD △相似？若存在，求点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y =－x 2+2x +3；（2）见解析；（3）存在，点P 113-±或±3 【解析】解：（1）∵直线1322y x =-+分别交x 轴、y 轴于点A ，B∴A （3,0），B （0，32），又抛物线经过A （3，0），D （0，3），∴22033300b c c ⎧=-++⎨=-++⎩，解得：23b c =⎧⎨=⎩即抛物线的解析式为y =－x 2+2x +3；（2）由y =－x 2+2x +3得，抛物线对称轴为x =1 设直线AD 的解析式为：y =kx +a ，将A （3，0），D （0，3）代入得：303k b b +=⎧⎨=⎩，解得13k b =-⎧⎨=⎩即直线AD 的解析式为：y =－x +3， ∴E （1，2），G （1，0），在Rt △OEG 中，知tan ∠OEG =12OG EG = ，在Rt △OAB 中，tan ∠BAO =12OB OA =， ∴∠OEG =∠BAO ， ∵∠OEG +∠EOG =90° ∴∠BAO +∠EOG =90° 即OE ⊥AB . （3）存在.∵A （3，0），抛物线的对称轴为直线x =1，∴C （－1，0）， ∴AC =3－（－1）=4， ∵OA =OD =3，∠AOD =90°， ∴232AD OA ==，设直线CD 解析式为y =mx +n ，则：03m n n -+=⎧⎨=⎩，解得33m n =⎧⎨=⎩∴直线CD 解析式为y =3x +3，易知，∠MAO =∠COD ，分类讨论：①当△AOM ∽△ACD 时，方法一：解析式法欲求P 点坐标，需求直线OP 的解析式，再与抛物线解析式联立即可. 可知，OM ∥CD即直线OP 的解析式为：y =3x ，联立y =3x ，y =－x 2+2x +3得： x 113-±即P 113-±方法二：比例法易知AM AN AD OA =,AM AOAD AC=,∴=AN AOOA AC 即3=34AN ∴AN =94，ON =34即M （34，94）∴直线OM 解析式为：y =3x 联立y =3x ，y =－x 2+2x +3得： x =1132-±. 方法三：设参数法设M （m ，－m +3），0<m <3，A （3,0）易知，AM AOAD AC =，即3432AM = 即AM =924∴（3－m ）2+（－m +3）2=（924）2解析：m =34或m =214（舍）即M （34，94）∴直线OM 解析式为：y =3x 联立y =3x ，y =－x 2+2x +3得： x =1132-±. ②当△AMO ∽△ACD 时，方法一：比例法易知AM AOAC AD =, 即432AM = ∴AM 2由△AMN 为等腰直角三角形，知MN =AN =2， ∴ON =1，即M （1,2） ∴直线OM 的解析式为y =2x ，联立y =2x ，y =－x 2+2x +3得： x =±3方法二：设参数法设M （m ，－m +3），0<m <3由AM 2得：（m －3）2+（－m +3）2=（22 解得：m =1或m =5（舍） ∴直线OM 的解析式为y =2x ，联立y =2x ，y =－x 2+2x +3得： x =±3综上所述，点P 113-±±3 【一题多解 · 对标练习】练习1．（2021·湖南省邵阳市中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C ：()20y ax bx c a =++≠经过点()1,1和()4,1．（1）求抛物线C 的对称轴．（2）当1a =-时，将抛物线C 向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线1C ． ①求抛物线1C 的解析式．②设抛物线1C 与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的右侧），与y 轴交于点C ，连接BC ．点D 为第一象限内抛物线1C 上一动点，过点D 作DE OA ⊥于点E ．设点D 的横坐标为m ．是否存在点D ，使得以点O ，D ，E 为顶点的三角形与BOC 相似，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）x=2.5；（2）①y=－x2+x+2；②11+33【解析】解：（1）∵抛物线图像过（1,1）、（4,1）两点，∴抛物线对称轴为：x=（1+4）÷2=2.5；（2）①将点（1,1）、（4,1）向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到（－1,0），（2,0），将点（－1,0），（2,0），a=－1，代入抛物线解析式得：y=－x2+x+2.②根据①中的函数关系式，可得:A（2,0），B（－1,0），C（0,2），D（m，－m2+m+2），其中0<m<2可知∠BOC=∠DEO=90°，以点O，D，E为顶点的三角形与△OBC相似有两种情况，（i）当△ODE∽△BCO时，方法一、比例法则OE DEOB OC=，即2-++2=12m m m，解得m=1或－2（舍），方法二、三角函数tan∠BOC=tan∠ODE即OB OEOC DE=，21=2-++2mm m解得：m=1或－2（舍），（ii）当△ODE∽△CBO时，方法一、比例法则OE DEOC OB=，即2-++2=21m m m，解得：1+331-3344=或（舍）m方法二、三角函数tan∠BOC=tan∠DOE即OB DEOC OE=，21-++2=2m mm解得：1+331-3344=或（舍）m综上所述，满足条件的m的值为1或1+334．【多题一解·典例剖析】例题2．（2021·湖南省怀化市中考）如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且2OA=，4OB=，8OC=，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，与x轴交于点N．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与MNB相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=－x2+2x+8；（2）存在，（1,2）或17 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．【解析】解：（1）∵OA=2，OB=4，OC=8，∴A（－2,0）、B（4,0）、C（0,8），设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，∴84201640c a b c a b c =⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩ 解得：812c a b =⎧⎪=-⎨⎪=⎩∴二次函数的解析式为y =－x 2+2x +8；（2）存在以点P 、C 、M 为顶点的三角形与△MNB 相似，理由如下：由（1）知抛物线对称轴为直线：x =1，设直线BC 的解析式为y =kx +t ，将点B 、C 坐标代入可得：408k b b +=⎧⎨=⎩，解得：28a b =-⎧⎨=⎩，∴直线BC 的解析式为y =－2x +8， ∴点M （1,6），N （1,0），∴BN =3，MN =6，BM =35，CM =5，由∠BMN =∠CMP 知，分两种情况讨论： ①当∠CPM =∠MNB =90°时，如图所示：易知CP ∥x 轴，∴点P 坐标为（1,8）.②当∠PCM =∠MNB =90°时，如图所示：∴cos ∠CMP =cos ∠MNB 即CM MNPM BM=， 535=∴PM =52，即点P 坐标为171,2⎛⎫⎪⎝⎭.综上所述，符合要求的P 点坐标为（1,8）或171,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【多题一解 · 对标练习】练习2．（2021·四川省遂宁市中考）如图，已知二次函数的图象与x 轴交于A 和B （－3，0）两点，与y 轴交于C （0，－3），对称轴为直线1x =-，直线y ＝－2x ＋m 经过点A ，且与y 轴交于点D ，与抛物线交于点E ，与对称轴交于点F ．（1）求抛物线的解析式和m 的值；（2）在y 轴上是否存在点P ，使得以D 、E 、P 为顶点的三角形与△AOD 相似，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由.【答案】（1）y =（x +1）2－4；m =2；（2）存在，（0,12）或（0,14.5）.【解析】解：（1）∵二次函数的图象与x 轴交于A 和B （－3，0）两点，对称轴为直线x =－1， ∴A （1，0），设二次函数解析式为：y =a (x －1)(x +3)，把C （0，－3）代入得：－3=a (0－1)(0+3)，解得：a =1，即二次函数解析式为：y = (x －1)(x +3)，即：y =（x +1）2－4， ∵直线y ＝－2x ＋m 经过点A ， ∴0=－2×1+m ，解得：m =2；（2）由（1）得：直线AF 的解析式为：y =－2x +2，又直线y =－2x +2与y 轴交于点D ，与抛物线交于点E ， ∴当x =0时，y =2，即D （0，2），联立()22214y x y x =-+⎧⎪⎨=+-⎪⎩，解得：11512x y =-⎧⎨=⎩，2210x y =⎧⎨=⎩， ∵点E 在第二象限， ∴E （－5，12），以D 、E 、P 为顶点的三角形与△AOD 相似，由∠EDP =∠ADO 知，分两种情况讨论. ①当∠EPD =∠AOD =90°时，过点E 作EP ⊥y 轴于点P ，此时P （0，12）；②当∠PED =∠AOD =90°时，过点E 作EP ’⊥AE ，则tan ∠ADO =tan ∠PEP’， ∴OA PP OD EP '=，即：125PP '=，解得：PP ’=2.5，此时P’（0，14.5），综上所述：点P 的坐标为（0，12）或（0，14.5）.练习3. （2021·四川省泸州市中考）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线213442y x x =-++与两坐标轴分别相交于A ，B ，C 三点（1）求证：∠ACB =90°（2）点D 是第一象限内该抛物线上的动点，过点D 作x 轴的垂线交BC 于点E ，交x 轴于点F ． ①求DE +BF 的最大值；②点G 是AC 的中点，若以点C ，D ，E 为顶点的三角形与AOG 相似，求点D 的坐标．【答案】（1）（2）①9；②（4,6）或（3，254）．【解析】解：（1）在213442y x x =-++中，当x =0，y =4即C （0,4）当y =0时，即2134042x x -++=解得：x =－2或x =8即A (－2,0)，B （8,0）∴AB =10，AC 5BC 5则102=（52+（52即AB 2=AC 2+BC 2∴∠ACB =90°（2）①设直线BC 的解析式为：y =kx +b ，将（0,4），（8,0）代入得： 804k b b +=⎧⎨=⎩，解得：k =－0.5，b =4即直线BC 解析式为y =－0.5x +4设D （m ，213442m m -++），则BF =8－m ，DE =2124m m -+∴DE +BF =2124m m -++8－m =()21294m --+ ∵14-<0∴当m =2时DE +BF 取最大值，最大值为9.②∵点G 是AC 的中点，在Rt △AOC 中，OG =AG 5即△AOG 为等腰三角形，∵∠CAO +∠ACO =∠ACO +∠OCB =90°∴∠CAO =∠OCB又OC ∥DF∴∠OCB =∠CED∴∠CAO =∠CED设D （m ，213442m m -++），则E （m ，－0.5m +4），DE =2124m m-+ 当以点C ，D ，E 为顶点的三角形与△AOG 相似，分两种情况讨论：①△ECD ∽△AOG 则CEDEAO AG =，即212425m mCE -+=∴CE 21425m m -+又OC ∥DF ∴CEOFBC OB =845m=∴CE 5m21425m m -+5m解得：m =0（舍）或m =3即D （3，254）②△EDC ∽△AOG ，则CE DEAG OA=，212425m m-+=，∴CE=212452m m-+又OC∥DF，知，CE5m∴212452m m-+5m解得：m=0（舍）或m=4 即D（4,6）综上所述，D点坐标为（3，254）或（4,6）．。

因动点产生的相似三角形问题(解析)

因动点产生的相似三角形问题(解析)如图1，在平面直角坐标系xOy 中，顶点为M 的抛物线y ＝ax 2＋bx （a ＞0）经过点A 和x 轴正半轴上的点B ，AO ＝BO ＝2，∠AOB ＝120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）连结OM ，求∠AOM 的大小；（3）如果点C 在x 轴上，且△ABC 与△AOM 相似，求点C 的坐标．图11．第（2）题把求∠AOM 的大小，转化为求∠BOM 的大小． 2．因为∠BOM ＝∠ABO ＝30°，因此点C 在点B 的右侧时，恰好有∠ABC ＝∠AOM ．3．根据夹角相等对应边成比例，分两种情况讨论△ABC 与△AOM 相似．满分解答（1）如图2，过点A 作AH ⊥y 轴，垂足为H ．在Rt △AOH 中，AO ＝2，∠AOH ＝30°，所以AH ＝1，OH ＝3．所以A (1,3)-．因为抛物线与x 轴交于O 、B (2,0)两点，设y＝ax (x－2)，代入点A(1,3)-，可得33a =．图2 所以抛物线的表达式为23323(2)333y x x x x =-=-．（2）由2232333(1)3333y x x x =-=--，得抛物线的顶点M 的坐标为3(1,)3-．所以3tan 3BOM ∠=．所以∠BOM ＝30°．所以∠AOM ＝150°．（3）由A (1,3)-、B (2,0)、M 3(1,)3-，得3tan 3ABO ∠=，23AB =，233OM =．所以∠ABO ＝30°，3OAOM=．因此当点C 在点B 右侧时，∠ABC ＝∠AOM ＝150°． △ABC 与△AOM 相似，存在两种情况： ①如图3，当3BA OA BC OM ==时，23233BA BC ===．此时C (4,0)． ②如图4，当3BC OABA OM==时，33236BC BA ==⨯=．此时C (8,0)．图3 图42、如图1，已知抛物线211(1)444b y x b x =-++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ．（1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________（用含b 的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．图1思路点拨1．第（2）题中，等腰直角三角形PBC 暗示了点P 到两坐标轴的距离相等．2．联结OP ，把四边形PCOB 重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含b 的式子表示．3．第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q最大的可能在经过点A 与x 轴垂直的直线上．满分解答（1）B 的坐标为(b , 0)，点C 的坐标为(0,4b )．（2）如图2，过点P 作PD ⊥x 轴，PE ⊥y 轴，垂足分别为D 、E ，那么△PDB ≌△PEC ．因此PD ＝PE ．设点P 的坐标为(x, x)．如图3，联结OP ．所以S 四边形PCOB ＝S △PCO ＋S △PBO ＝1152428b x b x bx ⨯⋅+⨯⋅=＝2b ．解得165x =．所以点P 的坐标为(1616,55)．图2 图3（3）由2111(1)(1)()4444b y x b x x x b =-++=--，得A (1, 0)，OA ＝1． ①如图4，以OA 、OC 为邻边构造矩形OAQC ，那么△OQC ≌△QOA ．当BA QA QA OA=，即2QA BA OA =⋅时，△BQA ∽△QOA ．所以2()14bb =-．解得843b =±．所以符合题意的点Q 为(1,23+)．②如图5，以OC 为直径的圆与直线x ＝1交于点Q ，那么∠OQC ＝90°。

函数图像中动点产生的三角形相似问题

函数图象中点的存在性问题1.1 因动点产生的相似三角形问题(动点问题详细分层解析，尖子生首选资料）所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。

下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。

关键:动中求静.数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想1.1 因动点产生的相似三角形问题例1 2013年上海市中考第24题如图1，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y＝ax2＋bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AO＝BO＝2，∠AOB＝120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）连结OM，求∠AOM的大小；（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“13上海24”，拖动点C在x轴上运动，可以体验到，点C在点B的右侧，有两种情况，△ABC与△AOM相似．思路点拨1．第（2）题把求∠AOM的大小，转化为求∠BOM的大小．2．因为∠BOM＝∠ABO＝30°，因此点C在点B的右侧时，恰好有∠ABC＝∠AOM．3．根据夹角相等对应边成比例，分两种情况讨论△ABC与△AOM相似．满分解答（1）如图2，过点A作AH⊥y轴，垂足为H．在Rt△AOH中，AO＝2，∠AOH＝30°，．所以AH＝1，OH＝3．所以A(1,3)因为抛物线与x 轴交于O 、B (2,0)两点，设y ＝ax (x －2)，代入点A (1,3)-，可得33a =．图2 所以抛物线的表达式为23323(2)333y x x x x =-=-．（2）由2232333(1)3333y x x x =-=--，得抛物线的顶点M 的坐标为3(1,)3-．所以3tan 3BOM ∠=．所以∠BOM ＝30°．所以∠AOM ＝150°．（3）由A (1,3)-、B (2,0)、M 3(1,)3-，得3tan 3ABO ∠=，23AB =，233OM =．所以∠ABO ＝30°，3OAOM=．因此当点C 在点B 右侧时，∠ABC ＝∠AOM ＝150°． △ABC 与△AOM 相似，存在两种情况：①如图3，当3BA OABC OM ==时，23233BA BC ===．此时C (4,0)． ②如图4，当3BC OABA OM==时，33236BC BA ==⨯=．此时C (8,0)．图3 图4考点伸展在本题情境下，如果△ABC 与△BOM 相似，求点C 的坐标．如图5，因为△BOM 是30°底角的等腰三角形，∠ABO ＝30°，因此△ABC 也是底角为30°的等腰三角形，AB ＝AC ，根据对称性，点C 的坐标为(－4,0)．图5例题2图1，已知抛物线的顶点为A （2，1），且经过原点O ，与x 轴的另一个交点为B 。

2023年中考数学压轴题专题04 二次函数与相似问题-【含答案】

专题4二次函数与相似问题函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径①求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。

根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。

②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。

③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。

相似三角形常见的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．判定定理“两边及其夹角法”是常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验．如果已知∠A＝∠D，探求△ABC与△DEF相似，只要把夹∠A和∠D的两边表示出来，按照对应边成比例，分AB DEAC DF=和AB DFAC DE=两种情况列方程．应用判定定理“两角法”解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等．应用判定定理“三边法”解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．还有一种情况，讨论两个直角三角形相似，如果一组锐角相等，其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题．【例1】（2022•贵港）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（0，3）和B（，﹣）两点，直线AB与x轴相交于点C，P是直线AB上方的抛物线上的一个动点，PD⊥x轴交AB于点D．（1）求该抛物线的表达式；（2）若PE∥x轴交AB于点E，求PD+PE的最大值；（3）若以A，P，D为顶点的三角形与△AOC相似，请直接写出所有满足条件的点P，点D的坐标．【例2】．（2022•衡阳）如图，已知抛物线y＝x2﹣x﹣2交x轴于A、B两点，将该抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”，图象W交y轴于点C．（1）写出图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式；（2）若直线y＝﹣x+b与图象W有三个交点，请结合图象，直接写出b的值；（3）P为x轴正半轴上一动点，过点P作PM∥y轴交直线BC于点M，交图象W于点N，是否存在这样的点P，使△CMN与△OBC相似？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【例3】．（2022•桂林）如图，抛物线y＝﹣x2+3x+4与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y 轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段PQ（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动．（1）直接写出A，B，C三点的坐标；（2）求CP+PQ+QB的最小值；（3）过点P作PM⊥y轴于点M，当△CPM和△QBN相似时，求点Q的坐标．【例4】（2022•玉林）如图，已知抛物线：y＝﹣2x2+bx+c与x轴交于点A，B（2，0）（A在B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线x＝，P是第一象限内抛物线上的任一点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D为线段OC的中点，则△POD能否是等边三角形？请说明理由；（3）过点P作x轴的垂线与线段BC交于点M，垂足为点H，若以P，M，C为顶点的三角形与△BMH相似，求点P的坐标．1．（2020秋•兴城市期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+4经过A（4，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C，D为第一象限抛物线上的动点，连接AC，BC，DA，DB，DB与AC相交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，设△ADE的面积为S1，△BCE的面积为S2，当S1＝S2+5时，求点D的坐标；（3）如图2，过点C作CF∥x轴，点M是直线CF上的一点，MN⊥CF交抛物线于点N，是否存在以C，M，N为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．2．（2020秋•郴州期末）已知抛物线y＝x2﹣3x+与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边）．（1）求A，B两点的坐标；（2）如图1，若点D是抛物线上在第四象限的点，连接DA并延长，交y轴于点P，过点D作DE⊥x轴于点E．当△APO与△ADE的面积比为＝时．求点D的坐标；（3）如图2，抛物线与y轴相交于点F．若点Q是线段OF上的动点，过点Q作与x轴平行的直线交抛物线于M，N两点（点M在点N的左边）．请问是否存在以Q，A，M为顶点的三角形与△QNA相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2020秋•长垣市期末）如图1，抛物线y＝x2+bx+c与x轴、y轴分别交于点B（6，0）和点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线BC下方抛物线上一动点，其横坐标为m，连接PB、PC，当△PBC的面积为时，求m 值；（3）如图2，点M是线段OB上的一个动点，过点M作x轴的垂线l分别与直线BC和抛物线交于D，E 两点，是否存在以C，D，E为顶点的三角形与△BDM相似，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．4．（2021秋•邹城市期末）如图，已知抛物线y＝x2+2x的顶点为A，直线y＝x+2与抛物线交于B，C两点．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）作CD⊥x轴于点D，求证：△ODC∽△ABC；（3）若点P为抛物线上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，则是否还存在除C点外的其他位置的点，使以O，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出这样的P点坐标；若不存在，请说明理由．5．（2021秋•攸县期末）如图，已知直线y＝﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．（1）若抛物线的解析式为y＝﹣2x2+2x+4，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N．①求点M和点N的坐标；②在抛物线的对称轴上找一点Q，使|AQ﹣BQ|的值最大，请直接写出点Q的坐标；③是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；（2）当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．6．（2022•禹城市模拟）如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，﹣2）三点．（1）求出抛物线的解析式；（2）P是抛物线在第一象限上的一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M 为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；＝S△ABC，直接写出点D （3）若抛物线上有一点D（点D位于直线AC的上方且不与点B重合）使得S△DCA的坐标．7．（2022•祥云县模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），交y轴于点C（0，3），点M是该抛物线上第一象限内的一个动点，ME垂直x轴于点E，交线段BC于点D，MN∥x轴，交y轴于点N．（1）求抛物线y＝ax2+bx+c的表达式；（2）若四边形MNOE是正方形，求该正方形的边长；（3）连结OD，AC，抛物线上是否存在点M，使得以C，O，D为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．8．（2022•松江区校级模拟）如图，抛物线y＝x2﹣bx+c过点B（3，0），C（0，﹣3），D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；（2）连接BC，CD，DB，求∠CBD的正切值；（3）点C关于抛物线y＝x2﹣bx+c对称轴的对称点为E点，连接BE，直线BE与对称轴交于点M，在（2）的条件下，点P是抛物线对称轴上的一点，是否存在点P使△CDB和△BMP相似，若存在，求点P坐标，若不存在，请说明理由．9．（2022•平江县一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+8与x轴交于A（﹣2，0）和点B（8，0），与y轴交于点C，顶点为D，连接AC，BC，BC与抛物线的对称轴l交于点E．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，设四边形PBOC和△AOC的面积分别为S四边形PBOC ，记S＝S四边形PBOC﹣S△AOC，求S最大值点P的坐标及S的最大值；和S△AOC（3）点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线ED上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2022•莱州市一模）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+c经过点A（4，3），顶点为点B，点P为抛物线上的一个动点，l是过点（0，﹣2）且垂直于y轴的直线，连接PO．（1）求抛物线的表达式，并求出顶点B的坐标；（2）试证明：经过点O的⊙P与直线l相切；（3）如图②，已知点C的坐标为（1，2），是否存在点P，使得以点P，O及（2）中的切点为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．11．（2022•巩义市模拟）已知，二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于C点，点A的坐标为（﹣1，0），且OB＝OC．（1）求二次函数的解析式；（2）当0≤x≤4时，求二次函数的最大值和最小值分别为多少？（3）设点C'与点C关于该抛物线的对称轴对称．在y轴上是否存在点P，使△PCC'与△POB相似，且PC 与PO是对应边？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．12．（2022•澄迈县模拟）在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．（1）求该抛物线的函数表达式及顶点C的坐标；（2）设该抛物线上一动点P的横坐标为t．①在图1中，当﹣3＜t＜0时，求△PBO的面积S与t的函数关系式，并求S的最大值；②在图2中，若点P在该抛物线上，点E在该抛物线的对称轴上，且以A，O，P，E为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标；③在图3中，若P是y轴左侧该抛物线上的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P使得以点P，M，A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．13．（2022•丰南区二模）如图①、②，在平面直角坐标系中，一边长为2的等边三角板CDE恰好与坐标系中的△OAB重合，现将三角板CDE绕边AB的中点G（G点也是DE的中点），按顺时针方向旋转180°到△C′ED的位置．（1）直接写出C′的坐标，并求经过O、A、C′三点的抛物线的解析式；（2）点P在第四象限的抛物线上，求△C′OP的最大面积；（3）如图③，⊙G是以AB为直径的圆，过B点作⊙G的切线与x轴相交于点F，抛物线上是否存在一点M，使得△BOF与△AOM相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．14．（2022•莱芜区三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过A和点C（0，﹣3）．（1）求二次函数的表达式；（2）如图1，平移线段AC，点A的对应点D落在二次函数在第一象限的图象上，点C的对应点E落在直线AB上，直接写出四边形ACED的形状，并求出此时点D的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，连接CD，交x轴于点M，点P为直线CD下方抛物线上一个动点，过点P作PF⊥x轴，交CD于点F，连接PC，是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与△COM相似？若存在，求出线段FP的长度；若不存在，请说明理由．15．（2022•临清市三模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点D坐标为（1，4），且与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧，与y轴相交于点C，点E在x轴上方且在对称轴左侧的抛物线上运动，点F在抛物线上并且和点E关于抛物线的对称轴对称，作矩形EFGH，其中点G，H都在x轴上．（1）求抛物线解析式；（2）设点F横坐标为m，①用含有m的代数式表示点E的横坐标为（直接填空）；②当矩形EFGH为正方形时，求点G的坐标；③连接AD，当EG与AD垂直时，求点G的坐标；（3）过顶点D作DM⊥x轴于点M，过点F作FP⊥AD于点P，直接写出△DFP与△DAM相似时，点F 的坐标．16．（2022•成都模拟）如图①，已知抛物线y＝﹣（x﹣1）2+k交x轴于A，B两点，交y轴于点C，P是抛物线上的动点，且满足OB＝3OA．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在第一象限，直线y＝x+b经过点P且与直线BC交于点E，设点P的横坐标为t，当线段PE 的长度随着t的增大而减小时，求t的取值范围；（3）如图②，过点A作BC的平行线m，与抛物线交于另一点D．点P在直线m上方，点Q在线段AD 上，若△CPQ与△AOC相似，且点P与点O是对应点，求点P的坐标．17．（2022•东莞市校级一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+2kx+2k2+1与x轴的左交点为A，右交点为B，与y轴的交点为C，对称轴为直线l，对于抛物线上的两点（x1，y1），（x2，y2）（x1＜k＜x2），当x1+x2＝2时，y1﹣y2＝0恒成立．（1）求该抛物线的解析式；（2）点M是第二象限内直线AC上方的抛物线上的一点，过点M作MN⊥AC于点N，求线段MN的最大值，并求出此时点M的坐标；（3）点P是直线l右侧抛物线上的一点，PQ⊥l于点Q，AP交直线l于点F，是否存在这样的点P，使△PQF与△ACO相似？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．18．（2022•碑林区校级模拟）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，AC＝4，以AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，若C（0，2）．（1）请直接写出A、B的坐标；（2）求经过A、B、C三点的抛物线表达式；（3）l为抛物线对称轴，P是直线l右侧抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P、D、E为顶点的三角形与△ABC全等，求满足条件的点P，点E的坐标．【例1】（2022•贵港）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（0，3）和B（，﹣）两点，直线AB与x轴相交于点C，P是直线AB上方的抛物线上的一个动点，PD⊥x轴交AB于点D．（1）求该抛物线的表达式；（2）若PE∥x轴交AB于点E，求PD+PE的最大值；（3）若以A，P，D为顶点的三角形与△AOC相似，请直接写出所有满足条件的点P，点D的坐标．【分析】（1）直接利用待定系数法，即可求出解析式；（2）先求出点C的坐标，然后证明Rt△DPE∽Rt△AOC，再由二次函数的最值性质，求出答案；（3）根据题意，可分为两种情况进行分析：当△AOC∽△APD时；当△AOC∽△DAP时；分别求出两种情况的点的坐标，即可得到答案．【解析】（1）将A（0，3）和B（，﹣）代入y＝﹣x2+bx+c，，解得，∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）设直线AB的解析式为y＝kx+n，把A（0，3）和B（，﹣）代入，，解得，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3，当y＝0时，﹣x+3＝0，解得：x＝2，∴C点坐标为（2，0），∵PD⊥x轴，PE∥x轴，∴∠ACO＝∠DEP，∴Rt△DPE∽Rt△AOC，∴，∴PE＝PD，∴PD+PE＝PD，设点P的坐标为（a，﹣a2+2a+3），则D点坐标为（a，﹣a+3），∴PD＝（﹣a2+2a+3）﹣（﹣a+3）＝﹣（a﹣）2+，∴PD+PE＝﹣（a﹣）2+，∵﹣＜0，∴当a＝时，PD+PE有最大值为；（3）①当△AOC∽△APD时，∵PD⊥x轴，∠DPA＝90°，∴点P纵坐标是3，横坐标x＞0，即﹣x2+2x+3＝3，解得x＝2，∴点D的坐标为（2，0）；∵PD⊥x轴，∴点P的横坐标为2，∴点P的纵坐标为：y＝﹣22+2×2+3＝3，∴点P的坐标为（2，3），点D的坐标为（2，0）；②当△AOC∽△DAP时，此时∠APG＝∠ACO，过点A作AG⊥PD于点G，∴△APG∽△ACO，∴，设点P的坐标为（m，﹣m2+2m+3），则D点坐标为（m，﹣m+3），则，解得：m＝，∴D点坐标为（，1），P点坐标为（，），综上，点P的坐标为（2，3），点D的坐标为（2，0）或P点坐标为（，），D点坐标为（，1）．【例2】（2022•衡阳）如图，已知抛物线y＝x2﹣x﹣2交x轴于A、B两点，将该抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”，图象W交y轴于点C．（1）写出图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式；（2）若直线y＝﹣x+b与图象W有三个交点，请结合图象，直接写出b的值；（3）P为x轴正半轴上一动点，过点P作PM∥y轴交直线BC于点M，交图象W于点N，是否存在这样的点P，使△CMN与△OBC相似？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）令x＝0和翻折的性质可得C（0，2），令y＝0可得点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出图象W的解析式；（2）利用数形结合找出当y＝﹣x+b经过点C或者y＝﹣x+b与y＝x2﹣x﹣2相切时，直线y＝﹣x+b与新图象恰好有三个不同的交点，①当直线y＝﹣x+b经过点C（0，2）时，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出b值；②当y＝﹣x+b与y＝x2﹣x﹣2相切时，联立一次函数解析式和抛物线解析式，利用根的判别式Δ＝0，即可求出b值．综上即可得出结论；（3）先确定△BOC是等腰直角三角形，分三种情况：∠CNM＝90°或∠MCN＝90°，分别画图可得结论．【解析】（1）当x＝0时，y＝﹣2，∴C（0，2），当y＝0时，x2﹣x﹣2＝0，（x﹣2）（x+1）＝0，∴x1＝2，x2＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（2，0），设图象W的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣2），把C（0，2）代入得：﹣2a＝2，∴a＝﹣1，∴y＝﹣（x+1）（x﹣2）＝﹣x2+x+2，∴图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式为：y＝﹣x2+x+2（﹣1＜x＜2）；（2）由图象得直线y＝﹣x+b与图象W有三个交点时，存在两种情况：①当直线y＝﹣x+b过点C时，与图象W有三个交点，此时b＝2；②当直线y＝﹣x+b与图象W位于线段AB上方部分对应的函数图象相切时，如图1，﹣x+b＝﹣x2+x+2，x2﹣2x+b﹣2＝0，Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（b﹣2）＝0，∴b＝3，综上，b的值是2或3；（3）∵OB＝OC＝2，∠BOC＝90°，∴△BOC是等腰直角三角形，如图2，CN∥OB，△CNM∽△BOC，∵PN∥y轴，∴P（1，0）；如图3，CN∥OB，△CNM∽△BOC，当y＝2时，x2﹣x﹣2＝2，x2﹣x﹣4＝0，∴x1＝，x2＝，∴P（，0）；如图4，当∠MCN＝90°时，△OBC∽△CMN，∴CN的解析式为：y＝x+2，∴x+2＝x2﹣x﹣2，∴x1＝1+，x2＝1﹣（舍），∴P（1+，0），综上，点P的坐标为（1，0）或（，0）或（1+，0）．【例3】（2022•桂林）如图，抛物线y＝﹣x2+3x+4与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段PQ（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动．（1）直接写出A，B，C三点的坐标；（2）求CP+PQ+QB的最小值；（3）过点P作PM⊥y轴于点M，当△CPM和△QBN相似时，求点Q的坐标．【分析】（1）由y＝﹣x2+3x+4可得A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）；（2）将C（0，4）向下平移至C'，使CC'＝PQ，连接BC'交抛物线的对称轴l于Q，可知四边形CC'QP是平行四边形，及得CP+PQ+BQ＝C'Q+PQ+BQ＝BC'+PQ，而B，Q，C'共线，故此时CP+PQ+BQ最小，最小值为BC'+PQ的值，由勾股定理可得BC'＝5，即得CP+PQ+BQ最小值为6；（3）由在y＝﹣x2+3x+4得抛物线对称轴为直线x＝﹣＝，设Q（，t），则P（，t+1），M（0，t+1），N（，0），知BN＝，QN＝t，PM＝，CM＝|t﹣3|，①当＝时，＝，可解得Q（，）或（，）；②当＝时，＝，得Q（，）．【解析】（1）在y＝﹣x2+3x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝﹣1或x＝4，∴A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）；（2）将C（0，4）向下平移至C'，使CC'＝PQ，连接BC'交抛物线的对称轴l于Q，如图：∵CC'＝PQ，CC'∥PQ，∴四边形CC'QP是平行四边形，∴CP＝C'Q，∴CP+PQ+BQ＝C'Q+PQ+BQ＝BC'+PQ，∵B，Q，C'共线，∴此时CP+PQ+BQ最小，最小值为BC'+PQ的值，∵C（0，4），CC'＝PQ＝1，∴C'（0，3），∵B（4，0），∴BC'＝＝5，∴BC'+PQ＝5+1＝6，∴CP+PQ+BQ最小值为6；（3）如图：由在y＝﹣x2+3x+4得抛物线对称轴为直线x＝﹣＝，设Q（，t），则P（，t+1），M（0，t+1），N（，0），∵B（4，0），C（0，4）；∴BN＝，QN＝t，PM＝，CM＝|t﹣3|，∵∠CMP＝∠QNB＝90°，∴△CPM和△QBN相似，只需＝或＝，①当＝时，＝，解得t＝或t＝，∴Q（，）或（，）；②当＝时，＝，解得t＝或t＝（舍去），∴Q（，），综上所述，Q的坐标是（，）或（，）或（，）．【例4】（2022•玉林）如图，已知抛物线：y＝﹣2x2+bx+c与x轴交于点A，B（2，0）（A在B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线x＝，P是第一象限内抛物线上的任一点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D为线段OC的中点，则△POD能否是等边三角形？请说明理由；（3）过点P作x轴的垂线与线段BC交于点M，垂足为点H，若以P，M，C为顶点的三角形与△BMH相似，求点P的坐标．【分析】（1）把点B（2，0）代入y＝﹣2x2+bx+c中，再由对称轴是直线x＝列方程，两个方程组成方程组可解答；（2）当△POD是等边三角形时，点P在OD的垂直平分线上，所以作OD的垂直平分线与抛物线的交点即为点P，计算OD≠PD，可知△POD不可能是等边三角形；（3）分种情况：①当PC∥x轴时，△CPM∽△BHM时，根据PH的长列方程可解答；②②如图3，△PCM ∽△BHM，过点P作PE⊥y轴于E，证明△PEC∽△COB，可得结论．【解析】（1）由题意得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣2x2+2x+4；（2）△POD不可能是等边三角形，理由如下：如图1，取OD的中点E，过点E作EP∥x轴，交抛物线于点P，连接PD，PO，∵C（0，4），D是OD的中点，∴E（0，1），当y＝1时，﹣2x2+2x+4＝1，2x2﹣2x﹣3＝0，解得：x1＝，x2＝（舍），∴P（，1），∴OD≠PD，∴△POD不可能是等边三角形；（3）设点P的坐标为（t，﹣2t2+2t+4），则OH＝t，BH＝2﹣t，分两种情况：①如图2，△CMP∽△BMH，∴∠PCM＝∠OBC，∠BHM＝∠CPM＝90°，∴tan∠OBC＝tan∠PCM，∴＝＝＝＝2，∴PM＝2PC＝2t，MH＝2BH＝2（2﹣t），∵PH＝PM+MH，∴2t+2（2﹣t）＝﹣2t2+2t+4，解得：t1＝0，t2＝1，∴P（1，4）；②如图3，△PCM∽△BHM，则∠PCM＝∠BHM＝90°，过点P作PE⊥y轴于E，∴∠PEC＝∠BOC＝∠PCM＝90°，∴∠PCE+∠EPC＝∠PCE+∠BCO＝90°，∴∠BCO＝∠EPC，∴△PEC∽△COB，∴＝，∴＝，解得：t1＝0（舍），t2＝，∴P（，）；综上，点P的坐标为（1，4）或（，）．1．（2020秋•兴城市期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+4经过A（4，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C，D为第一象限抛物线上的动点，连接AC，BC，DA，DB，DB与AC相交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，设△ADE的面积为S1，△BCE的面积为S2，当S1＝S2+5时，求点D的坐标；（3）如图2，过点C作CF∥x轴，点M是直线CF上的一点，MN⊥CF交抛物线于点N，是否存在以C，M，N为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．【分析】（1）运用待定系数法将A（4，0），B（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+4，解方程组即可求得答案；（2）根据题意，当S1＝S2+5，即S△ABD＝S△ABC+5，设D（x，y），表示出△ABD和△ABC的面积，列方程求解即可；（3）分情况讨论，列出三角形相似的三种情况，画出相应图形，设M（m，4），则N（m，﹣m2+3m+4），运用相似三角形性质，建立方程求解即可．【解析】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4经过A（4，0），B（﹣1，0）两点，∴，解得：，∴y＝﹣x2+3x+4；（2）∵抛物线y＝﹣x2+3x+4与y轴交于点C，令x＝0，则y＝4，∴C（0，4），∵S1＝S2+5，∴S1+S△AEB＝S2+S△AEB+5，＝S△ABC+5，即S△ABD∵A（4，0），B（﹣1，0），∴AB＝5，设D（x，y），∴×5×y＝×5×4+5，∴y＝6，∴﹣x2+3x+4＝6，解得：x1＝1，x2＝2，∴D1（1，6），D2（2，6）；（3）设M（m，4），则N（m，﹣m2+3m+4），①如图2，△BOC∽△NMC，则＝，∴＝，解得：m＝0（舍去），m＝，经检验，m＝是原方程的解，∴M（，4）；②如图3，△BOC∽△CMN，则＝，∴＝，解得：m＝0（舍去），m＝﹣1，经检验，m＝﹣1是原方程的解，∴M（﹣1，4）；③如图4，△BOC∽△NMC，则＝，∴＝，解得：m＝0（舍去），m＝，经检验，m＝是原方程的解，∴M（，4）；④如图5，△BOC∽△CMN，则＝，∴＝，解得：m＝0（舍去），m＝7，经检验，m＝7是原方程的解，∴M（7，4）；综上所述，点M的坐标为（，4）或（﹣1，4）或（，4）或（7，4）．2．（2020秋•郴州期末）已知抛物线y＝x2﹣3x+与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边）．（1）求A，B两点的坐标；（2）如图1，若点D是抛物线上在第四象限的点，连接DA并延长，交y轴于点P，过点D作DE⊥x轴于点E．当△APO与△ADE的面积比为＝时．求点D的坐标；（3）如图2，抛物线与y轴相交于点F．若点Q是线段OF上的动点，过点Q作与x轴平行的直线交抛物线于M，N两点（点M在点N的左边）．请问是否存在以Q，A，M为顶点的三角形与△QNA相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）在抛物线解析式中，令y＝0则可求得A、B的坐标；（2）证明△AOP∽△AED，根据相似三角形面积的比等于对应边的比的平方列比例式可得AE＝2，从而得点D的横坐标为3，代入抛物线的解析式可得点D的坐标；（3）如图2所示，若以Q，A，M为顶点的三角形与△QNA相似，有两种情况，但是∠QAM与∠QAN不可能相等，所以最后只存在一种情况：△AQM∽△NQA，列比例式可得结论．【解析】（1）当y＝0时，x2﹣3x+＝0，解得：x1＝1，x2＝5，∴A（1，0），B（5，0）；（2）∵DE⊥x轴，∴∠AED＝90°，∴∠AOP＝∠AED＝90°，∵∠OAP＝∠DAE，∴△AOP∽△AED，∴＝＝，∴＝，∵OA＝1，∴AE＝2，∴OE＝3，当x＝3时，y＝﹣3×3+＝﹣2，∴D（3，﹣2）；（3）如图2，设Q（0，m），当x＝0时，y＝，∴F（0，），∵点Q是线段OF上的动点，∴0≤m≤，当y＝m时，x2﹣3x+＝m，x2﹣6x+5﹣2m＝0，x＝3，∴x1＝3+，x2＝3﹣，∴QM＝3﹣，QN＝3+，在Rt△AOQ中，由勾股定理得：AQ＝，∵∠AQM＝∠AQN，∴当△AQM和△AQN相似只存在一种情况：△AQM∽△NQA，∴，∴AQ2＝NQ•QM，即1+m2＝（3+）（3﹣），解得：m1＝﹣1+，m2＝﹣1﹣（舍），∴Q（0，﹣1+）．3．（2020秋•长垣市期末）如图1，抛物线y＝x2+bx+c与x轴、y轴分别交于点B（6，0）和点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线BC下方抛物线上一动点，其横坐标为m，连接PB、PC，当△PBC的面积为时，求m 值；（3）如图2，点M是线段OB上的一个动点，过点M作x轴的垂线l分别与直线BC和抛物线交于D，E 两点，是否存在以C，D，E为顶点的三角形与△BDM相似，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出该抛物线的函数关系式；（2）根据点P是直线BC下方抛物线上一动点，其横坐标为m，表示PH的长，根据三角形的面积列方程解出即可得出结论；（3）先根据两三角形相似判断出∠CED＝∠BMD＝90°或∠DCE＝∠DMB＝90°，进而分两种情况讨论即可得出结论．【解析】（1）把点B（6，0）和点C（0，﹣3）代入得：，解得：，∴抛物线的解析式为；（2）设直线BC的解析式为：y＝ax+n，由点B（6，0）和C（0，﹣3）得：，解得：，∴直线BC的解析式为，如图1，过点P作y轴的平行线交BC于点H，∵点P的坐标为（m，），PH∥y轴，∴点H的坐标为（m，），∴PH＝y H﹣y P＝﹣（）＝﹣，x B﹣x C＝6﹣0＝6，＝PH×6＝（﹣）×6＝﹣＝，∵S△PBC解得：m1＝1，m2＝5，∴m值为1或5；（3）如图2，∵∠CDE＝∠BDM，△CDE与△BDM相似，∴∠CED＝∠BMD＝90°或∠DCE＝∠DMB＝90°，设M（x，0），①当∠CED＝∠BDM＝90°，∴CE∥AB，∵C（0，﹣3），∴点E的纵坐标为﹣3，∵点E在抛物线上，∴x2﹣x﹣3＝﹣3．∴x＝0（舍）或x＝5，∴M（5，0）；②当∠DCE＝∠DMB＝90°，∵OB＝6，OC＝3，∴BC＝＝3，由（2）知直线BC的关系式为y＝x﹣3，∴OM＝x，BM＝6﹣x，DM＝3﹣x，由（2）同理得ED＝﹣+3x，∵DM∥OC，∴，即，∴CD＝，∴BD＝BC﹣CD＝﹣x，∵△ECD∽△BMD，∴，即＝，∴＝x（3﹣x）2，x（6﹣x）（1﹣x）＝0，x1＝0（舍），x2＝6（舍），x3＝1，∴M（1，0）；综上所述：点M的坐标为（5，0）或（1，0）．4．（2021秋•邹城市期末）如图，已知抛物线y＝x2+2x的顶点为A，直线y＝x+2与抛物线交于B，C两点．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）作CD⊥x轴于点D，求证：△ODC∽△ABC；（3）若点P为抛物线上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，则是否还存在除C点外的其他位置的点，使以O，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出这样的P点坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将抛物线配方后可得顶点A的坐标，将抛物线和一次函数的解析式联立方程组，解出可得B 和C的坐标；（2）先根据两点的距离计算AB、BC、AC的长，根据勾股定理的逆定理可得：∠ABC＝90°，最后根据两边的比相等且夹角为90度得两三角形相似；（3）存在，设M（x，0），则P（x，x2+2x），表示OM＝|x|，PM＝|x2+2x|，分两种情况：有＝或＝，根据比例式代入可得对应x的值，计算点P的坐标即可．【解答】（1）解：y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，∴顶点A（﹣1，﹣1）；由，解得：或∴B（﹣2，0），C（1，3）；（2）证明：∵A（﹣1，﹣1），B（﹣2，0），C（1，3），∴AB＝＝，BC＝＝3，AC＝＝2，∴AB2+BC2＝AC2，＝＝，∴∠ABC＝90°，∵OD＝1，CD＝3，∴＝，∴，∠ABC＝∠ODC＝90°，∴△ODC∽△ABC；（3）存在这样的P点，设M（x，0），则P（x，x2+2x），∴OM＝|x|，PM＝|x2+2x|，当以O，P，M为顶点的三角形与△ABC相似时，有＝或＝，由（2）知：AB＝，CB＝3，①当＝时，则＝，当P在第二象限时，x＜0，x2+2x＞0，∴，解得：x1＝0（舍），x2＝﹣，当P在第三象限时，x＜0，x2+2x＜0，∴＝，解得：x1＝0（舍），x2＝﹣，②当＝时，则＝3，同理代入可得：x＝﹣5或x＝1（舍），综上所述，存在这样的点P，坐标为（﹣，﹣）或（﹣，）或（﹣5，15）．5．（2021秋•攸县期末）如图，已知直线y＝﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．（1）若抛物线的解析式为y＝﹣2x2+2x+4，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N．①求点M和点N的坐标；②在抛物线的对称轴上找一点Q，使|AQ﹣BQ|的值最大，请直接写出点Q的坐标；③是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；（2）当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．【分析】（1）①函数的对称轴为：x＝﹣＝，故点M（，），即可求解；②设抛物线与x轴左侧的交点为R（﹣1，0），则点A与R关于抛物线的对称轴对称，连接RB并延长交抛物线的对称轴于点Q，则点Q为所求，即可求解；③四边形MNPD为菱形，首先PD＝MN，即（﹣2x2+2x+4）﹣（﹣2x+4）＝，解得：x＝或（舍去），故点P（，1），而PN＝＝≠MN，即可求解；（2）分∠DBP为直角、∠BDP为直角两种情况，分别求解即可．【解析】（1）①函数的对称轴为：x＝﹣＝，故点M（，），当x＝时，y＝﹣2x+4＝3，故点N（，3）；②设抛物线与x轴左侧的交点为R（﹣1，0），则点A与R关于抛物线的对称轴对称，连接RB并延长交抛物线的对称轴于点Q，则点Q为所求，将R、B的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：直线RB的表达式为：y＝4x+4，当x＝时，y＝6，故点Q（，6）；③不存在，理由：设点P（x，﹣2x+4），则点D（x，﹣2x2+2x+4），MN＝﹣3＝，四边形MNPD为菱形，首先PD＝MN，即（﹣2x2+2x+4）﹣（﹣2x+4）＝，解得：x＝或（舍去），故点P（，1），而PN＝＝≠MN，故不存在点P，使四边形MNPD为菱形；（2）当点P的横坐标为1时，则其坐标为：（1，2），此时点A、B的坐标分别为：（2，0）、（0，4），①当∠DBP为直角时，以B、P、D为顶点的三角形与△AOB相似，则∠BAO＝∠BDP＝α，tan∠BAO＝＝2＝tanα，则sinα＝，PA＝，PB＝AB﹣PA＝2﹣＝，则PD＝＝，故点D（1，）；②当∠BDP为直角时，以B、P、D为顶点的三角形与△AOB相似，则BD∥x轴，则点B、D关于抛物线的对称轴对称，故点D（1，4），综上，点D的坐标为：（1，4）或（1，），将点A、B、D的坐标代入抛物线表达式：y＝ax2+bx+c并解得：y＝﹣2x2+2x+4或y＝﹣x2+3x+4．6．（2022•禹城市模拟）如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，﹣2）三点．（1）求出抛物线的解析式；（2）P是抛物线在第一象限上的一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M 为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；＝S△ABC，直接写出点D （3）若抛物线上有一点D（点D位于直线AC的上方且不与点B重合）使得S△DCA的坐标．。

因动点产生的相似三角形问题

函数图象中点的存在性问题一、因动点产生的相似三角形问题分析:1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线为四边形的边和对角线来考虑问题以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:按OB 为边和对角线两种情况 2. 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。

根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。

②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。

③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。

例1 ：直线分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转90°后得到△COD ，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A 、C 、D 三点．(1) 写出点A 、B 、C 、D 的坐标； (2) 求经过A 、C 、D 三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G 的坐标； (3) 在直线BG 上是否存在点Q ，使得以点A 、B 、Q 为顶点的三角形与△COD 相似？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．例2：Rt △ABC 在直角坐标系内的位置如图1所示，反比例函数在第一象限内的图像与BC 边交于点D （4，m ），与AB 边交于点E （2，n ），△BDE 的面积为2．（1）求m 与n 的数量关系；（2）当tan∠A ＝时，求反比例函数的解析式和直线AB 的表达式；（3）设直线AB 与y 轴交于点F ，点P 在射线FD 上，在（2）的条件下，如果△AEO 与△EFP 相似，求点P 的坐标．例3：如图1，已知梯形OABC ，抛物线分别过点O （0，0）、A （2，0）、B （6，3）．（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M 的坐标；（2）将图1中梯形OABC 的上下底边所在的直线OA 、CB 以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O 1、113y x =-+(0)ky k x =≠12A 1、C 1、B 1，得到如图2的梯形O 1A 1B 1C 1．设梯形O 1A 1B 1C 1的面积为S ，A 1、 B 1的坐标分别为 (x 1，y 1)、(x 2，y 2)．用含S 的代数式表示x 2－x 1，并求出当S =36时点A 1的坐标；（3）在图1中，设点D 的坐标为(1，3)，动点P 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC 运动，动点Q 从点D 出发，以与点P 相同的速度沿着线段DM 运动．P 、Q 两点同时出发，当点Q 到达点M 时，P 、Q 两点同时停止运动．设P 、Q 两点的运动时间为t ，是否存在某一时刻t ，使得直线PQ 、直线AB 、x 轴围成的三角形与直线PQ 、直线AB 、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．图1 图2例4 ：如图1，已知点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线上．（1）求m 、n ；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A 的对应点为A ′，点B 的对应点为B ′，若四边形A A ′B ′B 为菱形，求平移后抛物线的表达式；（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB ′ 的交点为C ，试在x 轴上找一个点D ，使得以点B ′、C 、D 为顶点的三角形与△ABC 相似．考点伸展在本题情境下，我们还可以探求△B ′CD 与△AB B ′相似，其实这是有公共底角的两个等腰三角形，容易想象，存在两种情况．我们也可以讨论△B ′CD 与△C B B ′相似，这两个三角形有一组公共角∠B ，根据对应边成比例，分两种情况计算．例5：如图1，抛物线经过点A (4，0)、B （1，0)、C （0，－2）三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上的一个动点，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在点P ，使得以A 、P 、M 为顶点的三角形与△OAC 相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC 上方的抛物线是有一点D ，使得△DCA 的面积最大，求出点D 的坐标．22y mx mx n =++例6：如图1，△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，cos A＝．D 为射线BA 上的点（点D 不与点B 重合），作DE //BC 交射线CA 于点E .．(1) 若CE ＝x ，BD ＝y ，求y 与x 的函数关系式，并写出函数的定义域； (2) 当分别以线段BD ，CE 为直径的两圆相切时，求DE 的长度；(3) 当点D 在AB 边上时，BC 边上是否存在点F ，使△ABC 与△DEF 相似？若存在，请求出线段BF 的长；若不存在，请说明理由．图1 备用图备用图例 7如图1，在直角坐标系xOy 中，设点A （0，t ），点Q （t ，b ）．平移二次函数的图象，得到的抛物线F 满足两个条件：①顶点为Q ；②与x 轴相交于B 、C 两点（∣OB ∣<∣OC ∣），连结A ，B ．（1）是否存在这样的抛物线F ，使得？请你作出判断，并说明理由；（2）如果AQ ∥BC ，且tan∠ABO ＝，求抛物线F 对应的二次函数的解析式．3102tx y -=OCOB OA ⋅=223练习题：1.如图1，已知抛物线的顶点为A （2，1），且经过原点O ，与x 轴的另一个交点为B 。

中考复习：二次函数和相似三角形问题(含答案)

综合题讲解函数中因动点产生的相似三角形问题例题如图1，已知抛物线的顶点为A （2，1），且经过原点O ，与x 轴的另一个交点为B 。

分析:1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线．．．．．．．为四边形的边和对角线来考虑问题以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:按OB 为边和对角线两种情况2. 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边．和角．的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。

根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。

②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。

③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。

y xEQ PC B OA 例题2：如图，已知抛物线y=ax 2+4ax+t （a ＞0）交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点E ，点B 的坐标为（-1，0）．（1）求抛物线的对称轴及点A 的坐标；（2）过点C 作x 轴的平行线交抛物线的对称轴于点P ，你能判断四边形ABCP 是什么四边形？并证明你的结论；（3）连接CA 与抛物线的对称轴交于点D ，当∠APD=∠ACP 时，求抛物线的解析式．练习1、已知抛物线2y ax bx c =++经过5330P E ⎫⎪⎪⎝⎭，，，及原点(00)O ，．（1）求抛物线的解析式．（由一般式．．．得抛物线的解析式为225333y x x =-+）（2）过P 点作平行于x 轴的直线PC 交y 轴于C 点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC 下方的抛物线上，任取一点Q ，过点Q 作直线QA 平行于y 轴交x 轴于A 点，交直线PC 于B 点，直线QA 与直线PC 及两坐标轴围成矩形OABC ．是否存在点Q ，使得OPC △与PQB △相似？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，说明理由．（3）如果符合（2）中的Q 点在x 轴的上方，连结OQ ，矩形OABC 内的四个三角形OPC PQB OQP OQA ，，，△△△△之间存在怎样的关系？为什么？练习2、如图，四边形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，将边BC 折叠，使点B 落在边OA 的点D处。

函数图象中因动点产生的相似三角形问题

函数图象中因动点产生的相似三角形问题1、如图，在平面直角坐标系xOy 中，顶点为M 的抛物线y ＝ax 2＋bx （a ＞0）经过点A 和x 轴正半轴上的点B ，AO ＝BO ＝2，∠AOB ＝120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）连结OM ，求∠AOM 的大小；（3）如果点C 在x 轴上，且△ABC 与△AOM 相似，求点C 的坐标．满分解答（1）如图2，过点A 作AH ⊥y 轴，垂足为H ．在Rt △AOH 中，AO ＝2，∠AOH ＝30°，所以AH ＝1，OH A (1-．因为抛物线与x 轴交于O 、B (2,0)两点，设y ＝ax (x －2)，代入点A (1-，可得a =．所以抛物线的表达式为2(2)y x x x =-=．（2）由221)y x x x ==-M 的坐标为(1,．所以tan BOM ∠=．所以∠BOM ＝30°．所以∠AOM ＝150°．（3）由A (1-、B (2,0)、M (1,，得tan ABO ∠=AB =OM =．所以∠ABO ＝30°，OAOM=C 在点B 右侧时，∠ABC ＝∠AOM ＝150°． △ABC 与△AOM 相似，存在两种情况：①如图3，当BA OABC OM ==2BC ===．此时C (4,0)．②如图4，当BC OABA OM==6BC ===．此时C (8,0)．考点伸展在本题情境下，如果△ABC 与△BOM 相似，求点C 的坐标．如图5，因为△BOM 是30°底角的等腰三角形，∠ABO ＝30°，因此△ABC 也是底角为30°的等腰三角形，AB ＝AC ，根据对称性，点C 的坐标为(－4,0)．2、如图，已知抛物线211(1)444b y x b x =-++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ．（1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________（用含b 的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．满分解答：（1）B 的坐标为(b , 0)，点C 的坐标为(0, 4b )．（2）如图2，过点P 作PD ⊥x 轴，PE ⊥y 轴，垂足分别为D 、E ，那么△PDB ≌△PEC ．因此PD ＝PE ．设点P 的坐标为(x, x)．如图3，联结OP ．所以S 四边形PCOB ＝S △PCO ＋S △PBO ＝1152428b x b x bx ⨯⋅+⨯⋅=＝2b ．解得165x =．所以点P 的坐标为(1616,55)．图2 图3（3）由2111(1)(1)()4444b y x b x x x b =-++=--，得A (1, 0)，OA ＝1．①如图4，以OA 、OC 为邻边构造矩形OAQC ，那么△OQC ≌△QOA ．当BA QA QAOA=，即2QA BA OA =⋅时，△BQA ∽△QOA ．所以2()14b b =-．解得8b =±Q 为(1,2．②如图5，以OC 为直径的圆与直线x ＝1交于点Q ，那么∠OQC ＝90°。

函数中动点产生的相似三角形问题本人总结解读

函数中因动点产生的相似三角形问题例题如图1,已知抛物线的顶点为A (2,1,且经过原点O ,与x 轴的另一个交点为B 。

⑴求抛物线的解析式;⑵若点C 在抛物线的对称轴上,点D 在抛物线上,且以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形,求D 点的坐标;⑶连接OA 、AB ,如图2,在x 轴下方的抛物线上是否存在点P ,使得△OBP 与△OAB 相似?若存在,求出P 点的坐标;若不存在,说明理由。

分析:1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线.......为四边形的边和对角线来考虑问题以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:按OB 为边和对角线两种情况 2. 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径①求相似三角形的第三个顶点时,先要分析已知三角形的边.和角.的特点,进而得出已知三角形是否为特殊三角形。

根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。

②或利用已知三角形中对应角,在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。

③若两个三角形的各边均未给出,则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度,之后利用相似来列方程求解。

例1题图图1O AByxOAByx图2y xEQ PC B OA练习1、已知抛物线2y ax bx c =++经过53(3302P E ⎛⎫⎪⎪⎝⎭,,,及原点(00O ,.(1求抛物线的解析式.(2过P 点作平行于x 轴的直线PC 交y 轴于C 点,在抛物线对称轴右侧且位于直线PC 下方的抛物线上,任取一点Q ,过点Q 作直线QA 平行于y 轴交x 轴于A 点,交直线PC 于B 点,直线QA 与直线PC 及两坐标轴围成矩形OABC .是否存在点Q ,使得OPC △与PQB △相似?若存在,求出Q 点的坐标;若不存在,说明理由.(3如果符合(2中的Q 点在x 轴的上方,连结OQ ,矩形OABC 内的四个三角形OPC PQB OQP OQA ,,,△△△△之间存在怎样的关系?为什么?练习2、如图,四边形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,点A 在x 轴上,点C 在y 轴上,将边BC 折叠,使点B 落在边OA 的点D 处。

中考专题操练_函数中因动点产生的相似三角形问题(含答案)

综合题讲解函数中因动点产生的相似三角形问题
例题：如图 1，已知抛物线的顶点为 A（2，1），且经过原点 O，与 x 轴的另一个交点为 B。
⑴求抛物线的解析式；（用顶点式求得抛物线的解析式为 y 1 x2 x ） 4
⑵若点 C 在抛物线的对称轴上，点 D 在抛物线上，且以 O、C、D、B 四点为顶点的四边形为平行四边形，求 D 点的坐标；
⑶连接 OA、AB，如图 2，在 x 轴下方的抛物线上是否存在点 P ，使得△ OBP 与△ OAB 相似？若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，说明理由。
O
y A
图1
B
x
例 1 题图
分析: 1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线为四边形的边和对角线来考虑问题以 O、C、D、B 四点
为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:按 OB 为边和对角线两种情况 2. 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径 ① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为
特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。 ②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边
的大小。 ③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后
利理论对探索怎样建设3.社19会57主年义2月具，有毛重在要《的关实于践正意确义处。理社人会民主内义2.社部本科会矛质学主盾理的义的论1本本问的.邓质质题提小是的》出平创科讲，提新学话为出，内中我“创涵提们邓社新。出寻始小会的邓（找终平主关小1一代坚义）键平种表持的我2在对能.1中把科本国人社9够国发学质社5才会从4先展社，会年，主更进作会是主，人义深生为主解义毛才本层产执义放制在的质次1力政理生度《成所.认社1的兴论产还论长作.识发会发国和力刚十靠的社展主展的实，刚大教概会才义要第践发建关坚育括主是本求一的展立系2持。，义硬质、，要基生，》以人一，道理发大务本产还重发才方从理论展力是成力没要展资面而，把才促由果，有讲社的源强为把我是进中，消完话会办是调四中发们（硬先国抓灭全中主法第必、国展对2道进共住剥建提三义解一）须科的生社理生产“削立出、经决资采解学社产会，产党什，（代济前源取放技会力主是力的么消还1表基进。从和术主作义）对的执是除不中础科低发是义1为的吧社3发政社两完9国基的学级展.第建发社认二国5会展地会极全先本问技到6生一设展会识、内主，年位主分巩进建题术高产生在才主提发外义是底所义化固生立，实级力产改是义高1展一时中我决，的邓产的是力9，力革硬建到是切间5国定怎最思小力同实和国另3开道设了党积经共对的样终想年平的时行国家一放理的一执极验产农，建达。1一发，改民资方中2，根个政因教党业是设到（月再展我革教本面探是本新兴素训站、对社共2，强要国开育主指索）适任的国都的在手一执会同毛调求的放水义出出第创应务科在的调深时工、政主富1泽，政以平的4了一三造.时，学社第动刻坚代.业发规义裕东中一治来，过2解条节性代符水会一起总持前.和展律”。关社国个领我始度放发、地主合平阶要来结社列资才认这”于会社公域们终形和展社提题马。级务为。会，本是识个1总主会有也党是式发更会9出变克社二关中主保硬的根8路义主制发的衡。展快主了化思会6、系国义持道深本3线基义占生一年量所生、义社.的主社发解用工现理化问的本基主了条，综谓产人的会需义会生决和业金商，题1完制本体重主邓合国力民根主要基本.主变事所平化向业也，1整度制，大要小国家的享本9义。本质义化业有方建的是深5的度一变经平力资手受社任原理6本的服问法设根社对刻表确的个化验年提和本段到会 1务理论第质同务题进与本会党揭一.述立确共，。出社主社和社主基，的二理时的行社体主实示、：，立同确苏“会义会目会3义本是提节论，基关改会现义了社.从为，富立共社文，社主的主一改矛巩出、的我本键造主和改其社会中当使裕了二会明就会义。义、造盾固，对重国方是。义根造所会之华代占，中十主程是主基建中的和和为第社要针这改本基承主一人中世这国大义度在义本设国基两发进一会意。靠不造要本担义本民国界是共以财的国基制内成特本类展一节主义的（自仅同求完的本质共一人我产后富重家本度涵果色完矛社步、义主2己保时。成历质理和切口们党毛属要直）制的包最伴社成盾会推中本要的证并，史论国发四必领泽于标接正度确括大随会，的主进国质矛发了举标第的这成展分须导东人志控确的立（，着主是学义改特理盾展2社。志五需是提立进之坚的提民。制处确是1.能社义我说采制革色论也。会实着章要对）出，步一持人出，和理立中够会建国，取度开社的发的践中。马把到奠的民要社支经，国社充经设强积的放会提生稳证国克解社定东民“会配济是历会分济道调极必和主出了定明历思放会了方主以下建4广史主体制路要引然社义变，.史主和主把制大专苏义的设大上义现度初严导要会二建化而党上义发义对度国政为的资和劳最的出和步经格、求主设。且坚长的展改企基进党的鉴致本社动深本对社探济区逐。义确道人极持达重生造业础入在根社”富主会人刻质资会索结分步现立路民大社数产基的。了过本会，是义发民最和本经的构过代社的对的会千发力逐本改社渡原主探全经展真伟根主济理发正渡化会初于促主年展概步完造会时则义索民济中正大本义结论生确的建新主步经进义的，括实成和主期。基自共的成任优构成了处方设中义探济了改阶对为现，对义总本己同国一为社务越的果根理式提国基索文社造级于国这人制社路政的致家系国会性根本两。供的本化会与剥建家是的度会线治道富资列家变一的本变类中了成制迅主社削设的一改的，第制路。本重的革、道变化不国强立度速义会制中社个造建这三主度。社大主，社路化，同这大，的发事主度国的会过结立是节要。会义关人也会，1社性场的标重展业义的特本主.渡合极世、内人主有系解和是主奠我会质巨思志大的的工结（色质义时起大界社容民义初。决社2义定国主的大想着意需发业束3社0。工期来地社（会被民原级了会基）世了社义矛而武我义要展化，会（业。，提会2主概则和3在生本把纪理会经盾深器国同），同实主2化党把高主对义括专，高一产制资中）论的济，刻。新经遵改总时现义新是在对了义手制为政第级个资度本国强基阶成在特的通民济循革之并了具民党这资工运二七度“实一形以料的主又调础级分新别社过主文自4过，举由有主在个本人动、届业在一质是式农的.（初义一消，关已民是它会（没主化愿于和的新重主过过主阶史新社二的中化上发之民主1步工次灭开系占主要是变4收义不互集平方民（大）义渡渡义级上民会中社国三已展）分为人确商划剥阔也绝主正中革官能利中改针主3的用社时时工和又主全会的改成生坚。主立）业时削了发对义确国，僚命满、的造，主理和会期期商广一主义会确”为产持初题正者代，广2生优革处革不资阶足典计解对义论平的.的业大个义改提立。无，积级资的确改的消阔了势命理命仅√本段人型划决于向和赎五总总搞劳历革造出改“产第极形本、分造历除前根，理人的没中而民示体了在社3实买种路路糟动史命的使造一阶二领式主落（.析成史两景本社论民具有国形基需党范制诸深会践的经线线成人性理历中，化级是导的义后√ 1农为巨极。的会内体对革成本要的和如刻主意）方济的和为民的论史国党”专共、工的中村自变分邓主指部实生命的结建国初实的义积法成主总自的伟是经“ 和即政同稳家商半国的食。化小义导矛际产在走社束状设家步现社的。极改分体任食积大以验稳政社；致步资业殖社革阶其们平。公下盾出力一农会和况。帮构社会转引造—。务其极胜一毛步府会人富前本的民会命级力吐对1有，。发的个村主社之加助想会变导资—要.，力性利、泽地采主民。进农社地第的必和出社制中（，发以包义会间强的，变革农本社从是的和。适东由取义代”的业会半二阶须社了会已国3不展农围的主党原要革中社民主会根）要社创合为农了工表这方是、主封节级走层会最主成共拘造民城国义矛的则求与保会组义主本从在会造中主业积大段针国手义建、构农状主终义为产泥成为市营改盾建，2中经持主织工义上全一主性国要极化会话，家工改的.社成村况义达本我党武于破主、经造，设以央济社义起商性改体个义。特代转领，制成采对业造东会主包，劳到质国领装已坏体武济阶成，互向发会基来业中质变人相劳点表变导�

中考数学复习指导：函数中因动点产生的相似三角形问题

综合题讲解函数中因动点产生的相似三角形问题例题如图1，已知抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点0,与x轴的另一个交点为B。

⑴求抛物线的解析式；（用顶点式求得抛物线的解析式为y = —]x2+x）•—— 4⑵若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以0、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形，求D 点的坐标；⑶连接0A、AB ,如图2，在x轴下方的抛物线上是否存在点P,使得△ 0BP与厶0AB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。

分析:1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线——为四边形的边和对角线来考虑问题以0、C、D、B 四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论：按0B为边和对角线两种情况2.函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径①求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边.和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。

根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。

②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。

③若两个三角形的各边均未给岀，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。

（1 ）求抛物线的解析式.（由一般式得抛物线的解析式为 y = _2x 2+01x ）•… 3 3（2）过P 点作平行于x 轴的直线PC 交y 轴于C 点，在抛物线对称轴右侧且位于直线 PC 下方的抛物线上，任取一点Q ,过点Q 作直线QA 平行于y 轴交x 轴于A 点，交直线PC 于B 点，直线QA 与直线PC 及两坐标轴围成矩形 OABC •是否存在点 Q ,使得 A OPC 与厶PQB 相似？若存在，求出 Q 点的坐标; 若不存在，说明理由.（3）如果符合（2）中的Q 点在x 轴的上方，连结 OQ ，矩形OABC 内的四个三角形轴上，将边BC 折叠，使点B 落在边OA 的点D 处。

函数中动点产生的相似三角形经典问题解读

函数中因动点产生的相似三角形问题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想:分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想例题如图1,已知抛物线的顶点为A (2,1,且经过原点O ,与x 轴的另一个交点为B 。

根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。

②或利用已知三角形中对应角,在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。

③若两个三角形的各边均未给出,则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度,之后利用相似来列方程求解。

变式练习1、已知抛物线2y ax bx c =++经过53(3302P E ⎛⎫⎪⎪⎝⎭,,,及原点(00O ,. (1求抛物线的解析式.例1题图图1OAByxOAByx图2y xEQ PC B OA (2过P 点作平行于x 轴的直线PC 交y 轴于C 点,在抛物线对称轴右侧且位于直线PC 下方的抛物线上,任取一点Q ,过点Q 作直线Q A 平行于y 轴交x 轴于A 点,交直线PC 于B 点,直线Q A 与直线PC 及两坐标轴围成矩形OABC .是否存在点Q ,使得OPC △与P Q B △相似?若存在,求出Q 点的坐标;若不存在,说明理由.(3如果符合(2中的Q 点在x 轴的上方,连结O Q ,矩形OABC 内的四个三角形O PC PQ B O Q P O Q A ,,,△△△△之间存在怎样的关系?为什么?变式练习2、如图,四边形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,点A 在x 轴上,点C 在y 轴上,将边BC 折叠,使点B 落在边OA 的点D 处。

专业题材四-函数中因动点产生的相似三角形问答(中考压轴解析)

专题四：函数中因动点产生的相似三角形问题例题如图1，已知抛物线的顶点为A （2，1），且经过原点O ，与x 轴的另一个交点为B 。

⑴求抛物线的解析式；（用顶点式求得抛物线的解析式为xx 41y 2+-=）⑵若点C 在抛物线的对称轴上，点D 在抛物线上，且以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形，求D 点的坐标；⑶连接OA 、AB ，如图2，在x 轴下方的抛物线上是否存在点P ，使得△OBP 与△OAB 相似？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。

分析:1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线为四边形的边和对角线来考虑问题以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:按OB 为边和对角线两种情况例题1、解:⑴由题意可设抛物线的解析式为1)2x (a y 2+-=∵抛物线过原点，∴1)20(a 02+-=∴41a -=.抛物线的解析式为1)2x (41y 2+--=,即xx 41y 2+-=⑵如图1,当OB 为边即四边形OCDB 是平行四边形时,CD ∥＝OB, 由1)2x (4102+--=得4x ,0x 21==,∴B(4,0),OB ＝4. ∴D 点的横坐标为6将x ＝6代入1)2x (41y 2+--=,得y ＝－3,∴D(6,－3);根据抛物线的对称性可知,在对称轴的左侧抛物线上存在点D,使得四边形ODCB 是平行四边形,此时D 点的坐标为(－2,－3),当OB 为对角线即四边形OCBD 是平行四边形时,D 点即为A 点,此时D 点的坐标为(2,1) ⑶如图2，由抛物线的对称性可知:AO ＝AB,∠AOB ＝∠ABO. 若△BOP 与△AOB 相似,必须有∠POB ＝∠BOA ＝∠BPO 设OP 交抛物线的对称轴于A ′点,显然A ′(2,－1)∴直线OP 的解析式为x21y -= 由xx 41x 212+-=-,得6x ,0x 21== .∴P(6,－3)过P 作PE ⊥x 轴,在Rt △BEP 中,BE ＝2,PE ＝3,∴PB ＝13≠4.∴PB ≠OB,∴∠BOP ≠∠BPO, ∴△PBO 与△BAO 不相似,同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P 点. 所以在该抛物线上不存在点P ,使得△BOP 与△AOB 相似.2. 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。

因动点产生的相似三角形问题(解析版)-2024年中考数学压轴题重难点

因动点产生的相似三角形问题（解析版）通用的解题思路：第一类：设点法，当三角形的边长能用距离公式、铅垂高、水平宽表示出来时，一般采用设点法，先设点，再表示出边长，然后再用对应线段成比例来列出比例方程求出设点法中所包含的参数值；第二类：求点法，当三角形的边长不好用距离公式、铅垂高、水平宽表示出来时，一般采用数形结合的方法，根据平行、垂直、对称等位置关系，求出动点所在的直线方程，再与二次函数解析式联立，求出符合条件的交点。

第Ⅰ类：设点法1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =−++与x 轴交于A 、D 两点，与y 轴交于点B ，四边形OBCD 是矩形，点A 的坐标为(1,0)，点B 的坐标为(0,4)，已知点(,0)E m 是线段DO 上的动点，过点E 作PE x ⊥轴交抛物线于点P ，交BC 于点G ，交BD 于点H ．（1）求该抛物线的解析式；（2）当点P 在直线BC m 的代数式表示PG 的长度；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P ，使得以P 、B 、G 为顶点的三角形与DEH ∆相似？若存在，求出此时m 的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）四边形OBCD 是矩形，点B 坐标为(0,4)，D ∴点的坐标是(4,0)−，点B 和点D 在抛物线上，∴4164c b c =−−+ ，∴34b c =− = ，∴该抛物线的解析式为：234y x x =−−+；（2）2434m m =−−+ ，解得3m =−或0，∴抛物线与直线BC 的交点为(3−，4)(0，4)，∴点P 在直线BC 上方时，m 的取值范围是：30m −<<，(,0)E m ，(0,4)B ，PE x ⊥ 轴交抛物线于点P ，交BC 于点G ，2(,34)P m m m ∴−−+，(,4)G m ，223443PG m m m m ∴=−−+−=−−，（3）抛物线的解析式为：234y x x =−−+；设点2(,34)P m m m −−+，BG m ∴=，4DE m =+， //DO BC ，∴BG GHDE HE=，4GH = ，BG GH m ∴==−，4HE DE m ==+，以P 、B 、G 为顶点的三角形与DEH ∆相似且90PGB DEH ∠=∠=°，PGB DEH ∴∆∆∽，∴PG GBDE HE=， GB PG ∴=，23m m m ∴−=−−，2m ∴=−或0m =（舍)，即：2m =−。

专题四函数中因动点产生的相似三角形问题

专题四函数中因动点产生的相似三角形问题例题如图1，已知抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B。

⑴求抛物线的解析式；（用顶点式求得抛物线的解析式为xx41y2+-=）⑵若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形，求D点的坐标；⑶连接OA、AB，如图2，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得△OBP与△OAB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。

分析:1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线．．．．．．．为四边形的边和对角线来考虑问题以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:按OB为边和对角线两种情况2. 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径①求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边．和角．的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。

根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。

②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。

③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。

y xEQ PC B OA 练习1、已知抛物线2y ax bx c =++经过53(33)02P E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，，及原点(00)O ，．（1）求抛物线的解析式．（由一般式．．．得抛物线的解析式为225333y x x =-+）（2）过P 点作平行于x 轴的直线PC 交y 轴于C 点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC 下方的抛物线上，任取一点Q ，过点Q 作直线QA 平行于y 轴交x 轴于A 点，交直线PC 于B 点，直线QA 与直线PC 及两坐标轴围成矩形OABC ．是否存在点Q ，使得OPC △与PQB △相似？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，说明理由．（3）如果符合（2）中的Q 点在x 轴的上方，连结OQ ，矩形OABC 内的四个三角形OPC PQB OQP OQA ，，，△△△△之间存在怎样的关系？为什么？练习2、如图，四边形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A在x 轴上，点C 在y 轴上，将边BC 折叠，使点B 落在边OA 的点D 处。

中考专题练习_函数中因动点产生的相似三角形问题(含答案)(K12教育文档)

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函数中因动点产生的相似三角形问题例题如图1,已知抛物线的顶点为A （2，1），且经过原点O ，与x 轴的另一个交点为B 。

⑴求抛物线的解析式；(用顶点式．．．求得抛物线的解析式为x x 41y 2+-=） ⑵若点C 在抛物线的对称轴上,点D 在抛物线上,且以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形，求D 点的坐标；⑶连接OA 、AB ，如图2，在x 轴下方的抛物线上是否存在点P,使得△OBP 与△OAB 相似？若存在,求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。

分析:1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线．．．．．．．为四边形的边和对角线来考虑问题以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论：按OB 为边和对角线两种情况 2。

函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边．和角．的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。

根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。

②或利用已知三角形中对应角,在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小.③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度,之后利用相似来列方程求解.练习1、已知抛物线2y ax bx c =++经过02P E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，及原点(00)O ，．(1）求抛物线的解析式．（由一般式．．．得抛物线的解析式为223y x =-+）（2)过P 点作平行于x 轴的直线PC 交y 轴于C 点,在抛物线对称轴右侧且位于直线PC 下方的抛物线上，任取一点Q ，过点Q 作直线QA 平行于y 轴交x 轴于A 点，交直线PC 于B 点，直线QA 与直线PC 及两坐标轴围成矩形OABC ．是否存在点Q ,使得OPC △与PQB △相似？若存在,求出Q 点的坐标;若不存在,说明理由．（3）如果符合（2）中的Q 点在x 轴的上方，连结OQ ，矩形OABC 内的四个三角形OPC PQB OQP OQA ，，，△△△△练习2、如图，四边形OABC ,点C在y 轴上，将边BC 折叠,使点B 落在边OA 的点D处。

(完整版)中考专题练习_函数中因动点产生的相似三角形问题(含答案)

b 8，
3，解得
k b
1 2
8，
，
∴ y 1 x 8 ,则点 P 的坐标为（16，0）。 2
（3）满足条件的直线 l 有 2 条:y=－2x+12，
y=2x－12。
如图 2：准确画出两条直线。
练习 3
解：(1）二次函数图象顶点的横坐标为 1,且过点 (2，3) 和 (3，12) ，
由
4a2ba
4
4
⑵如图 1,当 OB 为边即四边形 OCDB 是平行四边形时，
OB,
由0
1 4
(x
2) 2
1得
x1
0, x 2
4
，
∴B(4，0）,OB＝4。
-五-
x
O
C
CD
图1
(完整版)中考专题练习_函数中因动点产生的相似三角形问题(含答案)(word 版可编辑修改)
∴D 点的横坐标为 6 将 x＝6 代入 y 1 (x 2)2 1，得 y＝－3，
-三-
(完整版)中考专题练习_函数中因动点产生的相似三角形问题(含答案)(word 版可编辑修改)
y
C
B
E
O
D Ax
练习 2 图
练习 3、在平面直角坐标系 xOy 中，已知二次函数 y ax2 bx c(a 0) 的图象与 x 轴交于 A，B
两点（点 A 在点 B 的左边），与 y 轴交于点 C ，其顶点的横坐标为 1，且过点 (2，3) 和 (3，12) ．
（3）在 x 轴上方的抛物线上是否存在一点 M，过 M 作 MG x 轴于点 G，使以 A、M、G 三点为顶点的三角形与 PCA 相似．若存在，请求出 M 点的坐标;否则，请说明理由．

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函数中因动点产生的相似三角形综合题讲解
例题如图 1，已知抛物线的顶点为 A（2，1），且经过原点 O，与 x 轴的另一个交点为 B。 ⑴求抛物线的解析式；（用顶点式求得抛物线的解析式为 y ．．．
1 2 x x） 4
⑵若点 C 在抛物线的对称轴上，点 D 在抛物线上，且以 O、C、D、B 四点为顶点的四边形为平行四边形，求 D 点的坐标； ⑶连接 OA、AB，如图 2，在 x 轴下方的抛物线上是否存在点 P，使得△OBP 与△OAB 相似？若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，说明理由。
2
（2）若直线 l : y kx(k 0) 与线段 BC 交于点 D （不与点 B，C 重合），则是否存在这样的直线 l ，使得以 B，O，D 为顶点的三角形与 △BAC 相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点 D 的坐标；若不存在，请说明理由； A(1 ，， 0) B(3， 0), C(0， 3) （ 3 ）若点 P 是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角 PCO 与，并写出此时点 P 的横坐标 x p 的取值范围． ACO 的大小（不必证明）
△OPC， △PQB， △OQP， △OQA 之间存在怎样的关系？为什么？
C O
y P B Q A E x
练习 2、如图，四边形 OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点 A 在 x 轴上，点 C 在 y 轴上，将边 BC 折叠，使点 B 落在边 OA 的点 D 处。已知折叠 CE 5 5 ，且 tan EDA （1）判断 △OCD 与 △ADE 是否相似？请说明理由；（2）求直线 CE 与 x 轴交点 P 的坐标；（3）是否存在过点 D 的直线 l，使直线 l、直线 CE 与 x 轴所围成的三角形和直线 l、直线 CE 与 y 轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由。 y C B E O D 练习 2 图
练习 1、已知抛物线 y ax 2 bx c 经过 P( 3 ，， 3) E
5 3 0 0) ． 2 ，及原点 O(0，
（1）求抛物线的解析式．（由一般式得抛物线的解析式为 y ．．．
2 2 5 3 x x） 3 3
（2）过 P 点作平行于 x 轴的直线 PC 交 y 轴于 C 点，在抛物线对称轴右侧且位于直线 PC 下方的抛物线上，任取一点 Q ，过点 Q 作直线 QA 平行于 y 轴交 x 轴于 A 点，交直线 PC 于 B 点，直线 QA 与直线 PC 及两坐标轴围成矩形 OABC ．是否存在点 Q ，使得 △OPC 与 △PQB 相似？若存在，求出 Q 点的坐标；若不存在，说明理由．（3）如果符合（2）中的 Q 点在 x 轴的上方，连结 OQ ，矩形 OABC 内的 O C
参考答案
例题、解:⑴由题意可设抛物线的解析式为 y a ( x 2) 2 1 ∵抛物线过原点， ∴ 0 a (0 2) 2 1 ∴a
1 . 4
1 1 抛物线的解析式为 y ( x 2) 2 1 ,即 y x 2 x 4 4
y
x C
l
P
A A
B
y
o
C
B
x
x 1
O 练习 3 图
练习 4 图
练习 4 如图所示，已知抛物线 y x 1 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C．
2
（1）求 A、B、C 三点的坐标．（2）过点 A 作 AP∥CB 交抛物线于点 P，求四边形 ACBP 的面积．（3）在 x 轴上方的抛物线上是否存在一点 M，过 M 作 MG x 轴于点 G，使以 A、M、G 三点为顶点的三角形与 PCA 相似．若存在，请求出 M 点的坐标；否则，请说明理由．
y A O B x
图1
例 1 题图
图2
分析:1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线为四边形的边和对角线来考虑问题以 O、C、D、B ．．．．．．．四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:按 OB 为边和对角线两种情况 2. 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径 ① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是．．否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。 ②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。 ③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。
（2）在 x 轴上找一点 D ，连接 DB ，使得 △ADB 与 △ABC 相似（不包括全等），并求点 D 的坐标；（3）在（2）的条件下，如 P，Q 分别是 AB 和 AD 上的动点，连接 PQ ，设 AP DQ m ，问是否存在这样的 m 使得 △APQ 与 △ADB 相似，如存在，请求出 m 的值；如不存在，请说明理由．
练习 5、已知：如图，在平面直角坐标系中， △ABC 是直角三角形， ACB 90 ，点 A，C 的坐标分别为 A(3， 0) ， C (1， 0) ， tan BAC
3 ． 4 3 9 x 4 4
（1）求过点 A，B 的直线的函数表达式；点 A(3， 0) ， C (1， 0) ， B (1， 3) ， y
3 。 4
A x
练习 3、在平面直角坐标系 xOy 中，已知二次函数 y ax 2 bx c(a 0) 的图象与 x 轴交于 A，B 两点（点，与 y 轴交于点 C ，其顶点的横坐标为 1，且过点 (2， A 在点 B 的左边） 3) 和 (3， 12) ．（1）求此二次函数的表达式；（由一般式得抛物线的解析式为 y x 2 x 3 ）．．．

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