江苏专用2018高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ第4课函数的概念及其表示教师用书

第二章函数概念与基本初等函数(Ⅰ)第4课函数的概念及其表示[最新考纲]1．函数与映射(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，其中所有x组成的集合A称为函数y＝f(x)的定义域；将所有y组成的集合叫作函数y＝f(x)的值域．(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．(3)函数的表示法：表示函数的常用方法有列表法、解析法和图象法．3．分段函数在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式，这样的函数，通常叫作分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“³”) (1)函数是特殊的映射．( )(2)函数y ＝1与y ＝x 0是同一个函数．( )(3)与x 轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点．( ) (4)分段函数是两个或多个函数．( ) [答案] (1)√ (2)³ (3)√ (4)³ 2．(教材改编)函数y ＝2x －3＋1x －3的定义域为________． ⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，3∪(3，＋∞) [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2x －3≥0，x －3≠0，解得x ≥32且x ≠3.]3．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ＞0，2－x ，x ≤0，则f (f (－4))＝________.4 [∵f (－4)＝24＝16，∴f (f (－4))＝f (16)＝16＝4.]4．(2017²苏州模拟)已知实数m ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －m ， x ≤2 ，－x －2m ， x >2 .若f (2－m )＝f (2＋m )，则实数m 的值为________．8或－83 [当m >0时，2－m <2<2＋m ，由f (2－m )＝f (2＋m )得 3(2－m )－m ＝－(2＋m )－2m ， 解得m ＝8.当m <0时，2＋m <2<2－m ， 由f (2＋m )＝f (2－m )得 －(2－m )－2m ＝3(2＋m )－m ， 解得m ＝－83.综上所述m ＝8或－83.]5．给出下列四个命题：①函数是其定义域到值域的映射； ②f (x )＝x －3＋2－x 是一个函数；③函数y ＝2x (x ∈N )的图象是一条直线； ④f (x )＝lg x 2与g (x )＝2lg x 是同一个函数． 其中正确命题的序号是________． ① [由函数的定义知①正确． ∵满足⎩⎪⎨⎪⎧x －3≥0，2－x ≥0的x 不存在，∴②不正确．又∵y ＝2x (x ∈N )的图象是位于直线y ＝2x 上的一群孤立的点，∴③不正确． 又∵f (x )与g (x )的定义域不同，∴④也不正确．]． (2)(2017²徐州模拟)若函数y ＝f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f 2xx －1的定义域是________．(1)[－3,1] (2)[0,1) [(1)要使函数有意义，需3－2x －x 2≥0，即x 2＋2x －3≤0，得(x －1)(x ＋3)≤0，即－3≤x ≤1，故所求函数的定义域为[－3,1]．(2)由0≤2x ≤2，得0≤x ≤1，又x －1≠0，即x ≠1， 所以0≤x <1，即g (x )的定义域为[0,1)．][规律方法] 1.求给出解析式的函数的定义域，可构造使解析式有意义的不等式(组)求解．2．(1)若已知f (x )的定义域为[a ，b ]，则f (g (x ))的定义域可由a ≤g (x )≤b 求出； (2)若已知f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域． [变式训练1] (1)(2017²苏锡常镇调研(二))函数f (x )＝ln 2x －x 2x －1的定义域为________．(2)已知函数f (2x)的定义域为[－1,1]，则f (x )的定义域为________.【导学号：62172018】(1)(0,1)∪(1,2) (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 [(1)要使函数有意义，只需⎩⎪⎨⎪⎧2x －x 2＞0，x －1≠0，解得0＜x＜1或1＜x ＜2，即原函数的定义域为(0,1)∪(1,2)． (2)∵f (2x)的定义域为[－1,1]，∴12≤2x ≤2，即f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.](1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )的解析式．(2)已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，求f (x )的解析式．(3)已知f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝x (x ≠0)，求f (x )的解析式． [解] (1)令2x ＋1＝t ，由于x ＞0，∴t ＞1且x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x ＞1)． (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝2，得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)－ax 2－bx ＝x －1，即2ax ＋a ＋b ＝x －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－32，∴f (x )＝12x 2－32x ＋2.(3)∵f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋2f (x )＝1x.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧f x ＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f x ＝1x ，解得f (x )＝23x －x3(x ≠0)．[规律方法] 求函数解析式的常用方法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)构造法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f (x )；(4)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，即得f (x )的表达式．[变式训练2] (1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝________.【导学号：62172019】(2)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2²f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x²x －1，则f (x )＝________.(1)x 2－1(x ≥1) (2)23 x ＋13(x ＞0) [(1)(换元法)设x ＋1＝t (t ≥1)，则x ＝t －1，所以f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1(t ≥1)， 所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)．(配凑法)f (x ＋1)＝x ＋2x ＝(x ＋1)2－1， 又x ＋1≥1，∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)． (2)在f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x²x －1中，用1x代替x ， 得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝2f (x )²1x－1，由⎩⎪⎨⎪⎧f x ＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ²x －1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f x ²1x－1，得f (x )＝23 x ＋13(x ＞0)．]☞角度1(1)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2 2－x ，x <1，2x －1， x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝________.(2)(2017²无锡期中)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2 3－x ，x ≤0，f x －1 －f x －2 ，x ＞0，则f (11)＝________.(1)9 (2)2 [(1)∵－2<1，∴f (－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋log 24＝1＋2＝3. ∵log 212>1，∴f (log 212)＝2log212－1＝122＝6. ∴f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9.(2)f (11)＝f (10)－f (9)＝f (9)－f (8)－f (9)＝－f (8)，f (8)＝f (7)－f (6)＝f (6)－f (5)－f (6)＝－f (5)， f (5)＝f (4)－f (3)＝f (3)－f (2)－f (3)＝－f (2)， f (2)＝f (1)－f (0)＝f (0)－f (－1)－f (0)＝－f (－1)，∴f (11)＝f (－1)＝log 2(3＋1)＝log 24＝2.] ☞角度2 已知分段函数的函数值求参数(1)(2017²南京二诊)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥1，x 2＋m 2，x ＜1，若f (f (－1))＝2，则实数m 的值为________．(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ，x ＜1，2x，x ≥1.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝4，则b ＝________.(1)3或－ 3 (2)12 [(1)f (f (－1))＝f (1＋m 2)＝log 2(1＋m 2)＝2，m 2＝3，解得m ＝± 3.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝3³56－b ＝52－b ，若52－b <1，即b >32，则3³⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b －b ＝152－4b ＝4，解得b ＝78，不符合题意，舍去；若52－b ≥1，即b ≤32，则2－b ＝4，解得b ＝12.]☞角度3 解与分段函数有关的方程或不等式(1)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．(2)(2015²山东高考改编)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x <1，2x， x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a的取值范围是________．(1)(－∞，8] (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ [(1)当x <1时，x －1<0，e x －1<e 0＝1≤2，∴当x <1时满足f (x )≤2.当x ≥1时，x ≤2，x ≤23＝8，∴1≤x ≤8.综上可知x ∈(－∞，8]． (2)由f (f (a ))＝2f (a )得，f (a )≥1.当a <1时，有3a －1≥1，∴a ≥23，∴23≤a <1.当a ≥1时，有2a ≥1，∴a ≥0，∴a ≥1.综上，a ≥23.[规律方法] 1.求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于定义域的哪一个子集，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．2．已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．易错警示：当分段函数自变量的范围不确定时，应分类讨论．[思想与方法]1．在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同．2．定义域优先原则：函数定义域是研究函数的基础，对函数性质的讨论，必须在定义域内进行．3．求函数解析式的几种常用方法：待定系数法、换元法、配凑法、构造法． 4．分段函数问题要分段求解． [易错与防范]1．求函数定义域时，不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化．2．用换元法求函数解析式时，应注意元的范围，既不能扩大，又不能缩小，以免求错函数的定义域．3．在求分段函数的值f (x 0)时，首先要判断x 0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；如果x 0的范围不确定，要分类讨论．课时分层训练(四)A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、填空题1．(2017²南通第一次学情检测)函数f (x )＝11－x＋lg(x ＋1)的定义域是________．(－1,1)∪(1，＋∞) [由题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x ≠0，即x >－1且x ≠1.]2．下列各组函数中，表示同一函数的是________．(填序号) ①f (x )＝x ，g (x )＝(x )2； ②f (x )＝x 2，g (x )＝(x ＋1)2； ③f (x )＝x 2，g (x )＝|x |； ④f (x )＝0，g (x )＝x －1＋1－x .③ [在①中，定义域不同，在②中，解析式不同，在④中，定义域不同．] 3．设M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，函数f (x )的定义域为M ，值域为N ，则f (x )的图象可以是________．(填序号)① ② ③ ④图4­1② [①中，定义域为[－2,0]，④中，值域不是[0,2]，③中，当x ＝0时有两个y 值与之对应．]4．(2017²徐州质检)已知f (x )是一次函数，且f [f (x )]＝x ＋2，则f (x )＝________.x ＋1 [设f (x )＝kx ＋b ，则由f [f (x )]＝x ＋2，可得k (kx ＋b )＋b ＝x ＋2，即k 2x ＋kb＋b ＝x ＋2，∴k 2＝1，kb ＋b ＝2，解得k ＝1，b ＝1，则f (x )＝x ＋1.]5．(2017²如皋中学高三第一次月考)函数y ＝－x 2－2x ＋8的定义域为A ，值域为B ，则A ∩B ＝________. 【导学号：62172020】[0,2] [由－x 2－2x ＋8≥0得－4≤x ≤2.即A ＝{x |－4≤x ≤2}． 由y ＝－x 2－2x ＋8＝－ x ＋1 2＋9可知0≤y ≤3， 即B ＝{x |0≤x ≤3}． ∴A ∩B ＝{x |0≤x ≤2}．]6．(2016²全国卷Ⅱ改编)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是________．(填序号)①y ＝x ；②y ＝lg x ；③y ＝2x；④y ＝1x.④ [函数y ＝10lg x的定义域与值域均为(0，＋∞)．函数y ＝x 的定义域与值域均为(－∞，＋∞)．函数y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)． 函数y ＝2x的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)． 函数y ＝1x的定义域与值域均为(0，＋∞)．]7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2 x ＋1 ，x ＞1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝________.【导学号：62172021】－74 [由于f (a )＝－3， ①若a ≤1，则2a －1－2＝－3，整理得2a －1＝－1.由于2x>0，所以2a －1＝－1无解；②若a >1，则－log 2(a ＋1)＝－3， 解得a ＋1＝8，a ＝7， 所以f (6－a )＝f (－1)＝2－1－1－2＝－74.综上所述，f (6－a )＝－74.]8．(2017²南京质检)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x －2 ，x ≥2，|x 2－2|，x ＜2，则f (5)＝________. 【导学号：62172022】1 [由题意得f (5)＝f (3)＝f (1)＝|12－2|＝1.]9．已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y ＝f (x )的定义域为________． [－1,2] [∵y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]， ∴x ∈[－3，3]，x 2－1∈[－1,2]， ∴y ＝f (x )的定义域为[－1,2]．]10．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0.若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是________．a ≤ 2 [f (x )的图象如图，由图象知，满足f (f (a ))≤2时，得f (a )≥－2，而满足f (a )≥－2时，得a ≤ 2.]二、解答题11．已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )的解析式. 【导学号：62172023】[解] 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ，即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17不论x 为何值都成立， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＋5a ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7，∴f (x )＝2x ＋7.12．已知f (x )＝x 2－1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ＞0，2－x ，x ＜0.(1)求f (g (2))和g (f (2))的值； (2)求f (g (x ))的解析式．[解] (1)由已知，g (2)＝1，f (2)＝3， ∴f (g (2))＝f (1)＝0，g (f (2))＝g (3)＝2. (2)当x ＞0时，g (x )＝x －1， 故f (g (x ))＝(x －1)2－1＝x 2－2x ； 当x ＜0时，g (x )＝2－x ，故f (g (x ))＝(2－x )2－1＝x 2－4x ＋3.∴f (g (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ＞0，x 2－4x ＋3，x ＜0.B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，0＜x ＜1，0，x ＝1，－1x ，x ＞1.其中满足“倒负”变换的函数是________．(填序号) ①③ [对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足；对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x＋x ＝f (x )，不满足；对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ，0＜1x ＜1，0，1x ＝1，－x ，1x ＞1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ，x ＞1，0，x ＝1，－x ，0＜x ＜1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )，满足． 综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.]2．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.－x x ＋1 2 [设－1≤x ≤0，则0≤x ＋1≤1，所以f (x ＋1)＝(x ＋1)[1－(x ＋1)]＝－x (x ＋1)．又因为f (x ＋1)＝2f (x )，所以f (x )＝f x ＋1 2＝－x x ＋1 2.] 3．规定[t ]为不超过t 的最大整数，例如[12.6]＝12，[－3.5]＝－4，对任意实数x ，令f 1(x )＝[4x ]，g (x )＝4x －[4x ]，进一步令f 2(x )＝f 1[g (x )]．(1)若x ＝716，分别求f 1(x )和f 2(x )； (2)若f 1(x )＝1，f 2(x )＝3同时满足，求x 的取值范围．[解] (1)∵x ＝716时，4x ＝74， ∴f 1(x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤74＝1. ∵g (x )＝74－⎣⎢⎡⎦⎥⎤74＝34.∴f 2(x )＝f 1[g (x )]＝f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝[3]＝3. (2)∵f 1(x )＝[4x ]＝1，g (x )＝4x －1，∴f 2(x )＝f 1(4x －1)＝[16x －4]＝3.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤4x <2，3≤16x －4<4，∴716≤x <12. 故x 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫716，12. 4．如图4­2所示，在梯形ABCD 中，AB ＝10，CD ＝6，AD ＝BC ＝4，动点P 从B 点开始沿着折线BC ，CD ，DA 前进至A ，若P 点运动的路程为x ，△PAB 的面积为y .图4­2(1)写出y ＝f (x )的解析式，指出函数的定义域；(2)画出函数的图象并写出函数的值域．[解] 如图所示，(1)①当P 在BC 上运动时，如图①所示，易知∠B ＝60°，y ＝12³10³(x sin 60°)＝532x,0≤x ≤4. ②当P 在CD 上运动时，如图②所示，y ＝12³10³23＝103，4<x ≤10.③当P 在DA 上运动时，如图③所示， y ＝12³10³(14－x )sin 60° ＝－532x ＋353，10<x ≤14. 综上所得，函数的解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 532x ，0≤x ≤4，103，4<x ≤10，－532x ＋353，10<x ≤14.(2)函数y ＝f (x )的图象如图所示．由图可知，函数y ＝f (x )的值域为[0,103]．。