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椭圆高考题赏析-(带解析)

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高考真题与模拟训练 专题21 椭圆(试题版)

高考真题与模拟训练 专题21 椭圆(试题版)

专题24 椭圆第一部分 真题分类21．（2021·全国高考真题（理））设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（ ） A ．2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．20,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦【答案】C 【分析】设()00,P x y ，由()0,B b ，根据两点间的距离公式表示出PB ，分类讨论求出PB 的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．【解析】设()00,P x y ，由()0,B b ，因为2200221x y a b+=，222a b c =+，所以()()2223422222220000022221y c b b PB x y b a y b y a b b b c c ⎛⎫⎛⎫=+-=-+-=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0b y b -≤≤，当32b b c-≤-，即22b c ≥时，22max4PB b =，即max 2PB b =，符合题意，由22b c ≥可得222a c ≥，即202e <≤； 当32b b c ->-，即22b c <时，42222max b PB a b c=++，即422224b a b b c ++≤，化简得，()2220c b -≤，显然该不等式不成立． 故选：C ． 【点睛】本题解题关键是如何求出PB 的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．22．（2019·全国高考真题（文））已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y += 【答案】B 【分析】由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，得12AF n =，在1AF B △中求得11cos 3F AB ∠=，再在12AF F △中，由余弦定理得32n =，从而可求解. 【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得32n =． 2222423,3,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n ⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得32n =．2222423,3,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．98．（2021·浙江高考真题）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，焦点1(,0)F c -，2(,0)F c (0)c >，若过1F 的直线和圆22212x c y c ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切，与椭圆在第一象限交于点P ，且2PF x ⊥轴，则该直线的斜率是___________，椭圆的离心率是___________. 【答案】25555【分析】不妨假设2c =，根据图形可知，122sin 3PF F ∠=，再根据同角三角函数基本关系即可求出122tan 55k PF F =∠=；再根据椭圆的定义求出a ，即可求得离心率． 【解析】如图所示：不妨假设2c =，设切点为B ，12112sin sin 3AB PF F BF A F A∠=∠==，122222tan 5532PF F ∠==- 所以255k =, 由21212,24PF k F F c F F ===，所以2855PF =，21121125=sin 5PF PF PF F ⨯=∠，于是12452PF a PF +==，即25a =，所以25525c e a ===． 故答案为：255；55．63．（2021·江苏高考真题）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为63.（1）证明：3a b ；（2）若点93,1010M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆C 的内部，过点M 的直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，M 为线段PQ 的中点，且OP OQ ⊥. ①求直线l 的方程； ②求椭圆C 的标准方程.【答案】（1）证明见解析；（2）①330x y --=；②2213x y +=.【分析】 （1）由21be a=-可证得结论成立； （2）①设点()11,P x y 、()22,Q x y ，利用点差法可求得直线l 的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程； ②将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，由OP OQ ⊥可得出0OP OQ ⋅=，利用平面向量数量积的坐标运算可得出关于2b 的等式，可求出2b 的值，即可得出椭圆C 的方程.【解析】（1）222222613c c a b b e a a a a -⎛⎫====-= ⎪⎝⎭，33b a ∴=，因此，3a b ；（2）①由（1）知，椭圆C 的方程为222213x y b b+=，即22233x y b +=，当93,1015⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆C 的内部时，22293331010b ⎛⎫⎛⎫+⋅-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得3310b >. 设点()11,P x y 、()22,Q x y ，则121292103210x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩，所以，121239y y x x +=-+， 由已知可得22211222223333x y b x y b ⎧+=⎨+=⎩，两式作差得()()()()1212121230x x x x y y y y +-++-=， 所以()12121212193333y y x x x x y y -+⎛⎫=-=-⨯-= ⎪-+⎝⎭， 所以，直线l 方程为3931010y x ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即33y x =-. 所以，直线l 的方程为330x y --=；②联立()2223331x y by x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，消去y 可得221018930x x b -+-=.()222184093120360b b ∆=--=->， 由韦达定理可得1295x x +=，2129310b x x -=，又OP OQ ⊥，而()11,OP x y =，()22,OQ x y =，()()()1212121212123131433OP OQ x x y y x x x x x x x x ∴⋅=+=+-⋅-=-++()22293271566055b b --+-===，解得21b =合乎题意，故2233a b ==， 因此，椭圆C 的方程为2213x y +=.64．（2021·天津高考真题）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ，上顶点为B ，离心率为255，且5BF =． （1）求椭圆的方程；（2）直线l 与椭圆有唯一的公共点M ，与y 轴的正半轴交于点N ，过N 与BF 垂直的直线交x 轴于点P ．若//MP BF ，求直线l 的方程．【答案】（1）2215x y +=；（2）60x y -+=.【分析】（1）求出a 的值，结合c 的值可得出b 的值，进而可得出椭圆的方程； （2）设点()00,M x y ，分析出直线l 的方程为0015x xy y +=，求出点P 的坐标，根据//MP BF 可得出MP BF k k =，求出0x 、0y 的值，即可得出直线l 的方程.【解析】（1）易知点(),0F c 、()0,B b ，故225BF c b a =+==， 因为椭圆的离心率为255c e a ==，故2c =，221b a c =-=， 因此，椭圆的方程为2215x y +=；（2）设点()00,M x y 为椭圆2215x y +=上一点，先证明直线MN 的方程为0015x xy y +=， 联立00221515x xy y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 并整理得220020x x x x -+=，2200440x x ∆=-=，因此，椭圆2215x y +=在点()00,M x y 处的切线方程为0015x x y y +=.在直线MN 的方程中，令0x =，可得01y y =，由题意可知00y >，即点010,N y ⎛⎫⎪⎝⎭， 直线BF 的斜率为12BF b k c =-=-，所以，直线PN 的方程为012y x y =+， 在直线PN 的方程中，令0y =，可得012x y =-，即点01,02P y ⎛⎫-⎪⎝⎭，因为//MP BF ，则MP BFk k =，即20000002112122y y x y x y ==-++，整理可得()20050x y +=， 所以，005x y =-，因为222000615x y y +==，00y ∴>，故066y =，0566x =-， 所以，直线l 的方程为66166x y -+=，即60x y -+=. 【点睛】结论点睛：在利用椭圆的切线方程时，一般利用以下方法进行直线： （1）设切线方程为y kx m =+与椭圆方程联立，由0∆=进行求解；（2）椭圆22221x y a b +=在其上一点()00,x y 的切线方程为00221x x y y a b +=，再应用此方程时，首先应证明直线00221x x y y a b +=与椭圆22221x y a b+=相切. 65．（2021·全国高考真题）已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，右焦点为(2,0)F ，且离心率为63． （1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x +=>相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是||3MN =．【答案】（1）2213x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）由离心率公式可得3a =，进而可得2b ，即可得解；（2）必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证3MN =； 充分性：设直线():,0MN y kx b kb =+<，由直线与圆相切得221b k =+，联立直线与椭圆方程结合弦长公式可得222241313k k k+⋅=+，进而可得1k =±，即可得解. 【解析】（1）由题意，椭圆半焦距2c =且63c e a ==，所以3a =， 又2221b a c =-=，所以椭圆方程为2213x y +=；（2）由（1）得，曲线为221(0)x y x +=>，当直线MN 的斜率不存在时，直线:1MN x =，不合题意； 当直线MN 的斜率存在时，设()()1122,,,M x y N x y ，必要性：若M ，N ，F 三点共线，可设直线():2MN y k x =-即20kx y k --=， 由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>相切可得2211k k =+，解得1k =±，联立()22213y x x y ⎧=±-⎪⎨⎪+=⎩可得246230x x -+=，所以12122,3243x x x x +=⋅=，所以()212121143MN x x x x =+⋅+-⋅=,所以必要性成立；充分性：设直线():,0MN y kx b kb =+<即0kx y b -+=， 由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>相切可得211b k =+，所以221b k =+，联立2213y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222136330k x kbx b +++-=， 所以2121222633,1313kb b x x x x k k -+=-⋅=++， 所以()2222212122263314141313kb b MN k x x x x kk k -⎛⎫=+⋅+-⋅=+--⋅ ⎪++⎝⎭22224113k k k =+⋅+3=， 化简得()22310k -=，所以1k =±，所以12k b =⎧⎪⎨=-⎪⎩或12k b =-⎧⎪⎨=⎪⎩，所以直线:2MN y x =-或2y x =-+，所以直线MN 过点(2,0)F ，M ，N ，F 三点共线，充分性成立； 所以M ，N ，F 三点共线的充要条件是||3MN =． 【点睛】 关键点点睛：解决本题的关键是直线方程与椭圆方程联立及韦达定理的应用，注意运算的准确性是解题的重中之重. 66．（2021·北京高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过点(0,2)A -，以四个顶点围成的四边形面积为45．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）过点P (0，-3)的直线l 斜率为k ，交椭圆E 于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 交y =-3于点M 、N ，直线AC 交y =-3于点N ，若|PM |+|PN |≤15，求k 的取值范围． 【答案】（1）22154x y +=；（2）[3,1)(1,3]--⋃． 【分析】（1）根据椭圆所过的点及四个顶点围成的四边形的面积可求,a b ，从而可求椭圆的标准方程.（2）设()()1122,,,B x y C x y ，求出直线,AB AC 的方程后可得,M N 的横坐标，从而可得PM PN +，联立直线BC 的方程和椭圆的方程，结合韦达定理化简PM PN +，从而可求k 的范围，注意判别式的要求. 【解析】（1）因为椭圆过()0,2A -，故2b =，因为四个顶点围成的四边形的面积为45，故122452a b ⨯⨯=，即5a =，故椭圆的标准方程为：22154x y +=. （2）设()()1122,,,B x y C x y ，因为直线BC 的斜率存在，故120x x ≠， 故直线112:2y AB y x x +=-，令3y =-，则112M x x y =-+，同理222N x x y =-+. 直线:3BC y kx =-，由2234520y kx x y =-⎧⎨+=⎩可得()224530250k x kx +-+=， 故()22900100450k k ∆=-+>，解得1k <-或1k >.又1212223025,4545k x x x x k k +==++，故120x x >，所以0M N x x > 又1212=22M N x xPM PN x x y y +=++++()()2212121222212121222503024545=5253011114545k kkx x x x x x k k k k k kx kx k x x k x x k k --++++===---++-+++故515k ≤即3k ≤，综上，31k -≤<-或13k <≤.67．（2020·山东高考真题）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为22，且过点()2,1A ．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM AN ⊥，AD MN ⊥，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值． 【答案】（1）22163x y +=；（2）详见解析.【分析】（1）由题意得到关于,,a b c 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程.（2）设出点M ，N 的坐标，在斜率存在时设方程为y kx m =+, 联立直线方程与椭圆方程，根据已知条件，已得到,m k 的关系，进而得直线MN 恒过定点，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点Q 的位置.【解析】（1）由题意可得：2222222411c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：2226,3a b c ===，故椭圆方程为：22163x y +=. (2) 设点()()1122,,,M x y N x y ，若直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为：y kx m =+，代入椭圆方程消去y 并整理得：()22212k 4260x kmx m +++-=，可得122412km x x k +=-+，21222612m x x k -=+，因为AM AN ⊥，所以·0AM AN =，即()()()()121222110x x y y --+--=， 根据1122,kx m y kx m y =+=+,代入整理可得：()()()()22121212140x x km k x x km ++--++-+=，所以()()()22222264k 121401212m kmkm k m k k-⎛⎫++---+-+= ⎪++⎝⎭，整理化简得()()231210k m k m +++-=， 因为2,1A （）不在直线MN 上，所以210k m +-≠，故23101k m k ++=≠，，于是MN 的方程为2133y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()1k ≠，所以直线过定点直线过定点21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.当直线MN 的斜率不存在时，可得()11,N x y -， 由·0AM AN =得：()()()()111122110x x y y --+---=， 得()1221210x y -+-=，结合2211163x y +=可得：2113840x x -+=，解得：123x =或22x =（舍）.此时直线MN 过点21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.令Q 为AP 的中点，即41,33Q ⎛⎫⎪⎝⎭，若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt ADP 的斜边， 故12223DQ AP ==， 若D 与P 重合，则12DQ AP =， 故存在点41,33Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使得DQ 为定值.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是利用AM AN ⊥得 ·0AM AN =，转化为坐标运算，需要设直线MN 的方程，点()()1122,,,M x y N x y ，因此需要讨论斜率存在与不存在两种情况，当直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为：y kx m =+，与椭圆方程联立消去y 可12x x +，12x x 代入·0AM AN =即可，当直线MN 的斜率不存在时，可得()11,N x y -，利用坐标运算以及三角形的性质即可证明，本题易忽略斜率不存在的情况，属于难题.68．（2020·全国高考真题（文））已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<的离心率为154，A ，B 分别为C 的左、右顶点． （1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ 的面积．【答案】（1）221612525x y +=；（2）52.【分析】（1）因为222:1(05)25x y C m m+=<<，可得 5a =，b m =，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案；（2）点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =， BP BQ ⊥，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N ，可得PMB BNQ ≅△△，可求得P 点坐标，求出直线AQ 的直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得APQ 的面积. 【解析】（1）222:1(05)25x y C m m +=<< ∴5a =，b m =，根据离心率22154115c b m e a a ⎛⎫⎛⎫==-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得54m =或54m =-(舍)， ∴C 的方程为：22214255x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，即221612525x y +=； （2）不妨设P ,Q 在x 轴上方点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且 ||||BP BQ =，BP BQ ⊥， 过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为 N 根据题意画出图形，如图||||BP BQ =，BP BQ ⊥， 90PMB QNB ∠=∠=︒，又90PBM QBN ∠+∠=︒， 90BQN QBN ∠+∠=︒，∴PBM BQN ∠=∠，根据三角形全等条件“AAS ”， 可得：PMB BNQ ≅△△，221612525x y +=， ∴(5,0)B ，∴651PM BN ==-=，设P 点为(,)P P x y ，可得P 点纵坐标为1P y =，将其代入221612525x y +=，可得：21612525P x +=，解得：3P x =或3P x =-，∴P 点为(3,1)或 (3,1)-，①当P 点为(3,1)时， 故532MB =-=， PMB BNQ ≅△△，∴||||2MB NQ ==，可得：Q 点为(6,2)， 画出图象，如图(5,0)A -, (6,2)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：211100x y -+=， 根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：222311110555125211d ⨯-⨯+===+， 根据两点间距离公式可得：()()22652055AQ =++-=，∴APQ 面积为：15555252⨯⨯=；②当P 点为(3,1)-时， 故5+38MB ==， PMB BNQ ≅△△，∴||||8MB NQ ==，可得：Q 点为(6,8)， 画出图象，如图(5,0)A -, (6,8)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：811400x y -+=， 根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：()22831114055185185811d ⨯--⨯+===+， 根据两点间距离公式可得：()()226580185AQ =++-=，∴APQ 面积为： 15518522185⨯⨯=， 综上所述，APQ 面积为：52.【点睛】本题主要考查了求椭圆标准方程和求三角形面积问题，解题关键是掌握椭圆的离心率定义和数形结合求三角形面积，考查了分析能力和计算能力，属于难题.69．（2020·全国高考真题（理））已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |.（1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程.【答案】（1）12；（2）221:13627x y C +=，22:12C y x =. 【分析】（1）求出AB 、CD ，利用43CD AB =可得出关于a 、c 的齐次等式，可解得椭圆1C 的离心率的值； （2）由（1）可得出1C 的方程为2222143x yc c+=，联立曲线1C 与2C 的方程，求出点M 的坐标，利用抛物线的定义结合5MF =可求得c 的值，进而可得出1C 与2C 的标准方程. 【解析】（1）(),0F c ，AB x ⊥轴且与椭圆1C 相交于A 、B 两点， 则直线AB 的方程为x c =，联立22222221x cx y a b a b c=⎧⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩，解得2x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩，则22b AB a =，抛物线2C 的方程为24y cx =，联立24x cy cx =⎧⎨=⎩，解得2x cy c=⎧⎨=±⎩，4CD c ∴=，43CD AB =，即2843b c a=，223b ac =，即222320c ac a +-=，即22320e e +-=，01e <<，解得12e =，因此，椭圆1C 的离心率为12； （2）由（1）知2a c =，3b c =，椭圆1C 的方程为2222143x y c c +=， 联立222224143y cx x y c c ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理得22316120x cx c +-=， 解得23x c =或6x c =-（舍去）， 由抛物线的定义可得25533cMF c c =+==，解得3c =. 因此，曲线1C 的标准方程为2213627x y +=， 曲线2C 的标准方程为212y x =.【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，同时也考查了利用抛物线的定义求抛物线和椭圆的标准方程，考查计算能力，属于中等题.70．（2020·全国高考真题（文））已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |．（1）求C 1的离心率；（2）若C 1的四个顶点到C 2的准线距离之和为12，求C 1与C 2的标准方程．【答案】（1）12；（2）1C ：2211612x y +=，2C ： 28y x =. 【分析】（1）根据题意求出2C 的方程，结合椭圆和抛物线的对称性不妨设,A C 在第一象限，运用代入法求出,,,A B C D 点的纵坐标，根据4||||3CD AB =，结合椭圆离心率的公式进行求解即可； （2）由（1）可以得到椭圆的标准方程，确定椭圆的四个顶点坐标，再确定抛物线的准线方程，最后结合已知进行求解即可；【解析】解：（1）因为椭圆1C 的右焦点坐标为：(c,0)F ,所以抛物线2C 的方程为24y cx =，其中22c a b =-.不妨设,A C 在第一象限，因为椭圆1C 的方程为：22221x ya b+=，所以当x c =时，有222221c y b y a b a +=⇒=±，因此,A B 的纵坐标分别为2b a ，2b a-；又因为抛物线2C 的方程为24y cx =，所以当x c =时，有242y c c y c =⋅⇒=±， 所以,C D 的纵坐标分别为2c ，2c -，故22||b AB a=，||4CD c =. 由4||||3CD AB =得2843b c a=，即2322()c c a a ⋅=-，解得2c a =-（舍去），12c a =.所以1C 的离心率为12.（2）由（1）知2a c =，3b c =，故22122:143x y C c c+=，所以1C 的四个顶点坐标分别为(2,0)c ，(2,0)c -，(0,3)c ，(0,3)c -，2C 的准线为x c =-.由已知得312c c c c +++=，即2c =.所以1C 的标准方程为2211612x y+=，2C 的标准方程为28y x =.【点睛】本题考查了求椭圆的离心率，考查了求椭圆和抛物线的标准方程，考查了椭圆的四个顶点的坐标以及抛物线的准线方程，考查了数学运算能力.71．（2019·北京高考真题（文））已知椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM |·|ON |=2，求证：直线l 经过定点. 【答案】（Ⅰ）2212x y +=；（Ⅱ）见解析. 【分析】(Ⅰ)由题意确定a ,b 的值即可确定椭圆方程；(Ⅱ)设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程确定OM ,ON 的表达式，结合韦达定理确定t 的值即可证明直线恒过定点.【解析】（Ⅰ）因为椭圆的右焦点为(1,0)，所以1225； 因为椭圆经过点(0,1)A ,所以1b =，所以2222a b c =+=，故椭圆的方程为2212x y +=. （Ⅱ）设1122(,),(,)P x y Q x y联立2212(1)x y y kx t t ⎧+=⎪⎨⎪=+≠⎩得222(12)4220k x ktx t +++-=，21212224220,,1212kt t x x x x k k -∆>+=-=++，121222()212t y y k x x t k +=++=+，222212121222()12t k y y k x x kt x x t k -=+++=+.直线111:1y AP y x x --=，令0y =得111x x y -=-，即111x OM y -=-； 同理可得221x ON y -=-. 因为2OM ON =,所以1212121212211()1x x x x y y y y y y --==---++；221121t t t -=-+，解之得0t =，所以直线方程为y kx =，所以直线l 恒过定点(0,0).【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．72．（2019·江苏高考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．已知DF 1=52．（1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标． 【答案】（1）22143x y +=； （2）3(1,)2E --.【分析】(1)由题意分别求得a ,b 的值即可确定椭圆方程；(2)解法一：由题意首先确定直线1AF 的方程，联立直线方程与圆的方程，确定点B 的坐标，联立直线BF 2与椭圆的方程即可确定点E 的坐标；解法二：由题意利用几何关系确定点E 的纵坐标，然后代入椭圆方程可得点E 的坐标. 【解析】（1）设椭圆C 的焦距为2c .因为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，所以F 1F 2=2，c =1.又因为DF 1=52，AF 2⊥x 轴，所以DF 2=222211253()222DF F F -=-=， 因此2a =DF 1+DF 2=4，从而a =2. 由b 2=a 2-c 2，得b 2=3.因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）解法一：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=，a =2，因为AF 2⊥x 轴，所以点A 的横坐标为1.将x =1代入圆F 2的方程(x -1) 2+y 2=16，解得y =±4. 因为点A 在x 轴上方，所以A (1，4).又F 1(-1，0)，所以直线AF 1：y =2x +2. 由()2222116y x x y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎩，得256110x x +-=， 解得1x =或115x =-. 将115x =-代入22y x =+，得125y =-， 因此1112(,)55B --.又F 2(1，0)，所以直线BF 2：3(1)4y x =-. 由223(1)4143y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得276130x x --=，解得1x =-或137x =. 又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以1x =-. 将1x =-代入3(1)4y x =-，得32y =-.因此3(1,)2E --. 解法二：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=.如图，连结EF 1.因为BF 2=2a ，EF 1+EF 2=2a ，所以EF 1=EB ， 从而∠BF 1E =∠B .因为F 2A =F 2B ，所以∠A =∠B ， 所以∠A =∠BF 1E ，从而EF 1∥F 2A . 因为AF 2⊥x 轴，所以EF 1⊥x 轴.因为F 1(-1，0)，由221143x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得32y =±.又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以32y =-.因此3(1,)2E --.【点睛】本题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.73．（2019·天津高考真题（文）） 设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B .已知3||2||OA OB =（O 为原点）. （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C 在直线4x =上，且OC AP ∥，求椭圆的方程.【答案】（I ）12；（II ）2211612x y +=. 【分析】（I ）根据题意得到32a b =，结合椭圆中,,a b c 的关系，得到2223()2a a c =+，化简得出12c a =，从而求得其离心率；（II ）结合（I ）的结论，设出椭圆的方程2222143x y c c+=，写出直线的方程，两个方程联立，求得交点的坐标，利用直线与圆相切的条件，列出等量关系式，求得2c =，从而得到椭圆的方程. 【解析】（I ）解：设椭圆的半焦距为c ，由已知有32a b =， 又由222a b c =+，消去b 得2223()2a a c =+，解得12c a =，所以，椭圆的离心率为12.（II ）解：由（I ）知，2,3a c b c ==，故椭圆方程为2222143x y c c+=，由题意，(,0)F c -，则直线l 的方程为3()4y x c =+，点P 的坐标满足22221433()4x y c c y x c ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去y 并化简，得到2276130x cx c +-=，解得1213,7cx c x ==-， 代入到l 的方程，解得1239,214y c y c ==-，因为点P 在x 轴的上方，所以3(,)2P c c ，由圆心在直线4x =上，可设(4,)C t ，因为OC AP ∥，且由（I ）知(2,0)A c -，故3242ct c c =+，解得2t =， 因为圆C 与x 轴相切，所以圆的半径为2，又由圆C 与l 相切，得23(4)24231()4c +-=+，解得2c =， 所以椭圆的方程为：2211612x y +=.第二部分 模拟训练一、单选题1．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为1F ､2F ，B 是椭圆C 的上顶点，直线13x c =与直线2BF 交于点A ，若124AF F π∠=，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．55B ．33C ．22D ．32【答案】A【解析】由题设知，()0,B b ，()2,0F c ，∴直线2BF 的方程为1x y c b +=，联立131x c x y c b⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得，12,33A c b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设直线13x c =与x 轴交于点M ，则143F M c =，23MA b =， ∵124AF F π∠=，∴14233F M MA c b =⇒=，即2b c =， ∴2224a c c -=，即225a c =， ∴21555e e =⇒=， 故选：A2．已知点(),A m n 在椭圆22142x y +=上，则22m n +的最大值是（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】B【解析】由题意可得22142m n +=，则2242m n =-，故2224m n n +=-．因为22n -≤≤，所以202n ≤≤，所以2244n ≤-≤，即2224m n ≤≤+．因此，22m n +的最大值4. 故选：B.3．已知直线:210l kx y k --+=与椭圆22122:1(0)x yC a b a b+=>>交于A 、B 两点，与圆222:(2)(1)1C x y -+-=交于C 、D 两点.若存在[2,1]k ∈--，使得AC DB =，则椭圆1C 的离心率的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．20,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭【答案】C【解析】直线:210l kx y k --+=，即为(2)10k x y -+-=，可得直线恒过定点(2,1)， 圆222:(2)(1)1C x y -+-=的圆心为(2,1)，半径为1，且C ，D 为直径的端点， 由AC DB =，可得AB 的中点为(2,1)， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则2211221x y a b +=，2222221x y a b+=， 两式相减可得1212121222()()()()0x x x x y y y y a b +-+-+=，由124x x +=．122y y +=， 可得2122122y y b k x x a-==--，由21k --，即有22112b a， 则椭圆的离心率221(0c b e a a==-∈，2]2． 故选：C4．椭圆22145x y +=上的点到长轴两个端点的距离之和最大值为（ ） A ．2 B ．4C ．25D ．6【答案】D【解析】椭圆上到长轴两个端点的距离之和最大的点是短轴端点，所以最大值为2226a b +=. 故选：D5．某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e ，设地球半径为R ，该卫星近地点离地面的距离为r ，则该卫星远地点离地面的距离为（ ） A ．11e e +-r +21e e-R B ．11e e +-r +1ee-R C ．11e e +-r +21ee+R D ．11e e -+r +1ee+R 【答案】A【解析】由题意，椭圆的离心率(0,1)ce a=∈，（c 为半焦距；a 为长半轴） 地球半径为R ，卫星近地点离地面的距离为r ，可得a c R r -=+ 联立方程组1r R a e +=-，1r Rc e e+=-， 如图所示，设卫星近地点的距离为m ，远地点的距离为n ， 所以远地点离地面的距离为11r R r R n a c R e R e e ++=+-=+-=--11ee +-r +21e e- 故选：A ．6．已知椭圆2222:142x y C m m +=++的离心率为23，则实数m =（ ） A ．2± B ．5±C ．7±D ．3±【答案】B【解析】解：椭圆2222:142x y C m m +=++的离心率为23， 可得2222422()43m m m +--=+，解得5m =±． 故选：B ．二、填空题7．已知椭圆221164x y +=上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为6，则点P 到另一个焦点的距离为__________. 【答案】2【解析】利用椭圆定义122PF PF a +=，4a =，可知268PF +=，即22PF = 故答案为：28．能说明“若()20m n +≠，则方程2212x ym n +=+表示的曲线为椭圆或双曲线”是错误的一组,m n 的值是_____.【答案】4,2m n ==（答案不唯一）.【解析】若方程222x y m n +=+1表示的曲线为椭圆或双曲线是错误的，则20m n =+>，或者0,20m n <+<，则可取4,2m n ==（答案不唯一）.故答案为：4,2m n ==（答案不唯一）.9．设1F ，2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点.若在C 上存在一点P ，使12PF PF ⊥，且1245PF F ∠=︒，则C 的离心率为__.【答案】22. 【解析】由已知可得三角形12PF F 是等腰直角三角形，且1290F PF ∠=︒，12||||PF PF =， 由椭圆的定义可得12||||2PF PF a +=，12PF PF a ∴==，又12||2F F c =，∴在△12PF F 中，由勾股定理可得：221122||PF F F =，即2224a c =，22c e a ∴==， 故答案为：22. 三、解答题10．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>经过点13,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且离心率32e =. （1）求椭圆C 的方程；（2）已知斜率存在的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，点43,03Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭总满足AQO BQO ∠=∠，证明：直线l 过定点.【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析.【解析】（1）因为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率32e =.所以2222312b e a ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，即224a b =， 又椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>经过点13,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入椭圆方程可得223114a b+=， 联立方程组可得222231144a ba b⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得24a =，21b =. 所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）设直线l 的方程为y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程组2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得()222148440k x kmx m +++-=，()2216410k m ∆=-+>，即2241m k <+，122814km x x k -+=+，21224414m x x k -=+，因为AQO BQO ∠=∠，所以0AQ BQ k k +=，121212120343434343333AQ BQ y y kx m kx mk k x x x x +++=+=+=----， 即()()1221434333kx m x kx m x ⎛⎫⎛⎫+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()121243832033kx x m k x x m ⎛⎫=+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭得()()224383244814033k m km m k m k ⎛⎫----+= ⎪ ⎪⎝⎭， 化简得3m k =-，直线l 的方程为()3y k x =-， 所以，直线l 恒过定点)3,0.11．已知点F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点，P 是椭圆E 的上顶点，O 为坐标原点且3tan 3PFO ∠=. （1）求椭圆的离心率e ；（2）已知()1,0M ，()4,3N ，过点M 作任意直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点.设直线AN ，BN 的斜率分别为1k ，2k ，若122k k +=，求椭圆E 的方程.【答案】（1）32；（2）2214x y +=.【解析】（1）由题可得OF c =，OP b =，3tan 3OP b PFO OF c ∴∠===，即3=c b ， 22+2a b c b ∴==，3322c b e a b ∴===； （2）由（1）可得椭圆方程为222214x y b b+=，当直线l 的斜率存在时，设l ：()1y k x =-，设()()1122,,,A x y B x y ，联立直线与椭圆()2222114y k x x y b b⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得()22222148440k x k x k b +-+-=， 则()()422264414440k kkb ∆=-+->，即222240k b k b -+>，则2122814k x x k +=+，221224414k b x x k-=+， ()()12121212121313334444k x k x y y k k x x x x ------+=+=+-∴---()()()121212122538242416kx x k x x k x x x x -++++==-++，()2222222222448253824141424484161414k b k k k k k k k b k k k -⋅-+⋅++++∴=--⋅+++， 即()()2110b k --=对任意k 成立，即21b =，则椭圆方程为2214x y +=，当直线斜率不存在时，则直线方程为1x =，则()()121,,1,A y B y ，且120y y += 此时12121233662141433y y y y k k --+--+=+===----，满足题意， 综上，椭圆方程为2214x y +=.。

专题25 椭圆(解答题)(新高考地区专用)(解析版)

专题25 椭圆(解答题)(新高考地区专用)(解析版)

专题25 椭 圆（解答题）1．已知椭圆Γ：()22211y x a a+=>与抛物线C ：()220x py p =>有相同的焦点F ，抛物线C 的准线交椭圆于A ，B 两点，且1AB =． （1）求椭圆Γ与抛物线C 的方程；（2）O 为坐标原点，过焦点F 的直线l 交椭圆Γ于M ，N 两点，求OMN 面积的最大值．【试题来源】陕西省榆林市2020-2021学年高三上学期第一次高考模拟测试（文）【答案】（1）Γ的方程为2214y x +=，C的方程为2x =；（2）最大值为1． 【解析】（1）因为1AB =，所以不妨设A 的坐标为1(,)22p --，B 的坐标为1(,)22p-， 所以有：2222114414p a p a ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，所以24a =，p = 所以椭圆Γ的方程为2214y x +=，抛物线C的方程为2x =；（2）由（1）可知F的坐标为，设直线l的方程为y kx =O 到MN 的距离为d ，则d ==，联立2214y kx y x ⎧=⎪⎨+=⎪⎩， 可得()22410k x ++-=，则()22414k k MN +==+，1OMNS==≤=，当且仅当22k =时取等号，故OMN 面积的最大值为1．2．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1： 22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F 1(－2，0)，且点P (0，2)在椭圆C 1上． （1）求椭圆C 1的方程；（2）设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝8x 相切，求直线l 的方程 【试题来源】宁夏固原市隆德县2021届高三上学期期末考试（文）【答案】（1）22184x y +=；（2）y =+y x =- 【解析】（1）因为椭圆1C 的左焦点为1(2,0)F -，所以2c =， 点(0,2)P 代入椭圆22221x y a b+=，得241b =，即2b =，所以2228a b c =+=，所以椭圆1C 的方程为22184x y +=；（2）直线l 的斜率显然存在，设直线l 的方程为y kx m =+，由22184x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 并整理得222(12)4280k x kmx m +++-=， 因为直线l 与椭圆1C 相切，所以△2222164(12)(28)0k m k m =-+-=整理得22840k m -+=①，由28y x y kx m⎧=⎨=+⎩，消去y 并整理得222(28)0k x km x m +-+=，因为直线l 与抛物线2C 相切，所以△222(28)40km k m =--=，整理得2km =②，综合①②，解得k m ⎧=⎪⎨⎪=⎩或k m ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，所以直线l的方程为y =+y x =- 【名师点睛】（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． （2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．3．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>左、右焦点分别为1F 、2F ．设P是椭圆C 上一点，满足2PF ⊥x 轴，212PF =． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过1F 且倾斜角为45°的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求AOB 的面积． 【试题来源】江西省贵溪市实验中学2021届高三上学期一模考试数学（三校生）试题【答案】（1）2214x y +=；（2【分析】（1）根据条件列出关于,,a b c 的方程求解；（2）设直线x y =，与椭圆方程联立，11212AOBSOF y y =⨯⨯-，代入根与系数的关系，求三角形的面积． 【解析】（1）由条件可知2222212c ab a a bc ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2a =，1b =，c =所以椭圆C 的标准方程是2214x y +=；（2）设直线:l x y =-()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 与椭圆方程联立2214x y x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得2510y --=，125y y +=，1215y y -=，11212AOBSOF y y =⨯⨯-==4．椭圆C ：22221x y a b +=(0a b >>)的左焦点为()，且椭圆C 经过点()0,1P ，直线21y kx k =+-(0k ≠)与C 交于A ，B 两点（异于点P ）．（1）求椭圆C 的方程；（2）证明：直线PA 与直线PB 的斜率之和为定值，并求出这个定值．【试题来源】四川省凉山州2020-2021学年高三第一次诊断性检测（理）【答案】（1）2213x y +=；（2）证明见解析，定值为1． 【解析】（1）由题意得1c b ==，则2223a b c =+=，∴椭圆方程为2213xy +=；（2）解法一（常规方法)：设()()1122,,,A x y B x y ，联立222113y kx k x y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 化简可得()()()22316211210k x k k x k k ++-+-=，直线1)20(y kx k k =+-≠与椭圆C 交于A B 、两点，0,∴∆>即()()()221231214810k k k k ⎡⎤+-=-⎣⎦-->，解得01k <<， 由根与系数关系()121222621121,3()311k k k k x x x x k k --+=-=++， ()121221121211PA PB y y k k x y x y x x x x --∴+=+=+-+()()121212222kx x k x x x x +-+= ()()226621121211211212k k k k kk k k k-+--===--，∴直线PA PB 、得斜率和为定值1． 解法二（构造齐次式)：由题直线1)20(y kx k k =+-≠恒过定点()2,1-- ①当直线AB 不过原点时，设直线AB 为()()11*mx n y +-=， 则221mx n --=，即12m n +=-有12m n =--，由2213x y +=有()()2231610y x y +-+-=，则()()()22316110x y y mx n y +-⎡⎤⎣-+-⎦+=，整理成关于,1x y -的齐次式： ()()()2236161 0n y mx y x +-+-+=，进而两边同时除以2x ，则()21366110y m x n y x -⎛⎫+-⎛⎫++= ⎪⎝⎭⎪⎝⎭，令1y k x -=， 则121216116213636PA PBn y y m k k x x n n⎛⎫-- ⎪--⎝⎭∴+=+=-==++，②当直线AB 过原点时，设直线AB 的方程为()()00001,,,,2y x A x y B x y =--， 0000001121212PA PB y y y k k x x x --∴+=+==⨯=， 综合①②直线PA 与直线PB 的斜率之和为定值1．【名师点睛】该题考查的是有关直线与椭圆的问题，解题方法如下：（1）根据题中所给的条件，确定出,b c 的值，进而求得2a 的值，得到椭圆方程； （2）将直线方程与椭圆方程联立，根与系数关系求得两根和与两根积，利用斜率公式证得结果．5．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>()2,1A ．（1）求C 的方程；（2）点,M N 在C 上，且AM AN ⊥，证明：直线MN 过定点．【试题来源】河南省郑州市2020-2021学年高三上学期第一次质量检测（理）【答案】（1）22163x y +=；（2）证明见解析． 【解析】（1）由题意得222222411a b c c e a a b⎧=+⎪⎪⎪==⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得2263a b ⎧=⎨=⎩，∴椭圆C 的方程为22163x y+=．（2）设点()11,M x y ，()22,N x y ，AM AN ⊥，()()()()121222110AM AN x x y y ∴⋅=--+--=，整理可得()()12121212124y y y y x x x x -++=-++-…①当直线MN 斜率k 不存在时，显然AM AN ⊥不成立，则可设:MN y kx m =+，联立2226y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得()222124260k x kmx m +++-=， 由()()222216412260k m km∆=-+->得22630k m -+>，则122412km x x k +=-+，21222612m x x k -=+，()121222212m y y k x x m k ∴+=++=+， ()()22221212122612m k y y k x x km x x m k-=++++=+， 代入①式化简可得()()2481310k km m m ++-+=，即()()212310k m k m +-++=，12m k ∴=-或213k m +=- 则直线方程为()1221y kx k x k =+-=-+或2121333k y kx x k +⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭， ∴直线过定点()2,1或21,33⎛⎫- ⎪⎝⎭，又()2,1和A 点重合，故舍去，∴直线MN 过定点21,33⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【名师点睛】本题考查直线与椭圆综合应用中的定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于x 或y 的一元二次方程的形式； ②利用0∆>求得变量之间的关系，同时得到根与系数关系的形式； ③利用根与系数关系表示出已知的等量关系，化简整理得到所求定点．6．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，且过点(2,3)A ，右顶点为B ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点A 作两条直线分别交椭圆于点M ，N 满足直线AM ，AN 的斜率之和为3-，求点B 到直线MN 距离的最大值．【试题来源】江苏省常州市四校联考2020-2021学年高三上学期期末【答案】（1）2211612x y +=；（2）最大值为2． 【解析】（1）由题2222212491b c a c e a a b ⎧⎪+=⎪⎪==⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得42a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩C 的标准方程为2211612x y +=；（2）若直线MN 斜率不存在，设0000(,),(,)M x y N x y -，则220000001161233322x y y y x x ⎧+=⎪⎪⎨---⎪+=-⎪--⎩，解得0040x y =⎧⎨=⎩，此时,M N 重合，舍去．若直线MN 斜率存在，设直线1122(,),(,)MN y kx t M x y N x y =+：，，联立2211612x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得222(43)84480k x ktx t +++-=，所以21212228448,4343kt t x x x x k k -+=-=++， 由题意121233322y y x x --+=---，即121233322kx t kx t x x +-+-+=--- 化简得1212(23)(29)()4240.k x x t k x x t ++--+-+=因此2224488(23)(29)()4240.4343t ktk t k t k k -++----+=++ 化简得2286860k kt t k t ++---=，即(23)(42)0k t k t +-++= 若230k t +-=，则23t k =-+，直线MN 过点(2,3)A ，舍去， 所以420k t ++=，即42t k =--，因此直线MN 过点(4,2)P -． 又点(4,0)B ，所以点B 到直线MN 距离最大值即2BP =，此时2MN y =-：，符合题意．所以点B 到直线MN 距离最大值为2【名师点睛】易错点为需讨论直线MN 斜率是否存在，解题的关键是联立直线与曲线方程，根据根与系数关系，求得1212,x x x x +⋅的表达式，再代入题干条件，化简整理，才能求得答案，考查分析理解，计算化简的能力，属中档题．7．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，左顶点为A ，右焦点F ，3AF =．过F 且斜率存在的直线交椭圆于P ，N 两点，P 关于原点的对称点为M ． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线AM ，AN 的斜率分别为1k ，2k ，是否存在常数λ，使得12k k λ=恒成立？若存在，请求出λ的值，若不存在，请说明理由．【试题来源】安徽省淮北市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试（理）【答案】（1）22143x y +=，（2）3λ= 【解析】（1）因为离心率为12，所以12c e a ==，又3AF =，所以3a c +=，解得2a =，1c =，又222c a b =-，所以23b =，所以椭圆方程为22143x y +=；（2）由（1）知()1,0F ，()2,0A -，设直线PN 的方程为1x my =+，()11,P x y ，()22,N x y ， 因为M 与P 关于原点对称，所以()11,M x y --，所以1112y x k =-，2222y k x =+，若存在λ，使得12k k λ=恒成立，所以121222y y x x λ=-+， 所以()()122122y x y x λ+=-，两边同乘1y 得()()21221122y x y y x λ+=-，因为()11,P x y 在椭圆上，所以2211143x y +=，所以()()2112113223144x x x y -+⎛⎫=-=⎪⎝⎭， 所以()()()()112211322224x x x y y x λ-++=-，当12x ≠时，则()()12213224x x y y λ-++=，所以()21212136124x x x x y y λ--+-=①；当12x =时，M 与A 重合，联立方程221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消元得()2234690m y my ++-=，所以212212934634y y m my y m -⎧=⎪⎪+⎨-⎪+=⎪+⎩，所以()212128234x x m y y m +=++=+， ()222121212412134m x x m y y m y y m -=+++=+， 代入①得22221236489124343434m m m m λ-+--+-=+++，整理得10836λ-=-，解得3λ=8．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>1F 、2F分别为椭圆E 的左、右焦点，M 为E 上任意一点，12F MF S △的最大值为1，椭圆右顶点为A ． （1）求椭圆E 的方程；（2）若过A 的直线l 交椭圆于另一点B ，过B 作x 轴的垂线交椭圆于C （C 异于B 点），连接AC 交y 轴于点P ．如果12PA PB ⋅=时，求直线l 的方程． 【试题来源】天津市滨海七校2020-2021学年高三上学期期末联考【答案】（1）2212x y +=；（2）:22x l y =-或22x y =-+．【解析】（1）当M 为椭圆的短轴端点时，12F MF S △取得最大值即1212S c b =⨯⨯=，因为c a =，222a b c =+，解得a =1b =，1c =，所以椭圆方程为2212x y +=．（2）)A，根据题意，直线l 斜率存在且不为0，设直线(:l y k x =，()00,B x y，联立(2212y k x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，得()222212420kxx k +-+-=，20212x k =+2204212k k -=+即)22221,1212k B k k ⎛⎫-- ⎪ ⎪++⎝⎭，由题意得)222112k C k ⎛- +⎝⎭，又直线(:AC y k x =-，故()P ，())22212,12k PA PB k ⎛⎫- ⎪⋅=⋅ ⎪+⎝⎭42241021122k k k +-==+， 即4281850k k +-=解得252k =-（舍）214k =，故12k =±，直线:2x l y =或2x y =-+． 9．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长为4，且离心率为12．（1）求椭圆C 的方程；（2）设过点(1,0)F 且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于A B ，两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点D ，判断AB DF是否为定值？如果是定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由．【试题来源】北京市昌平区2021届高三年级上学期期末质量抽测【答案】（1）22143x y +=；（2）是，4． 【解析】（1）依题意得22224,1,2.a c a abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得24a =，23b =，故椭圆C 的方程为22143x y+=； （2）AB DF是定值．由已知得直线:(1)l y k x =-． 由22(1)34120y k x x y =-⎧⎨+-=⎩，消去y ， 整理得()22224384120k x k x k +-+-=． 所以()()()2222284434121441440k k k k ∆=--+-=+>，设()()1122,,,A x y B x y ，则2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+， 所以()()()()222222121121214AB x x y y kx x x x ⎡⎤=-+-=++-⎣⎦()()()222222222441212181434343k k k k k k k ⎡⎤⎛⎫-+⎛⎫ ⎪⎢⎥=+-= ⎪ ⎪+++⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭， 则()2212143k AB k +=+，因为()212122286224343k ky y k x x k k k ⎛⎫-+=+-=-= ⎪++⎝⎭，所以线段AB 的中点为22243,4343k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭． （1）当0k =时，AB 4=，1DF =．所以4AB DF=．（2）当0k ≠时，线段AB 的垂直平分线方程为2223144343k k y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭，令0y =，得2243k x k =+，即22,043k D k ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，所以()22223114343k k DF k k +=-=++， 所以()()22221214343143k AB k DF k k ++==++，综上所述，AB DF 为定值4．【名师点睛】求解本题第二问的关键在于联立直线l 与椭圆方程，根据根与系数关系以及弦长公式表示出AB ，再由题中条件，求出DF ，即可得出AB DF的值．（求解时要注意讨论斜率k 的取值）10．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）过点()2,0A -，()2,0B ，且离心率为12．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点E ，且与x 轴交于点G （E ，G 不重合），ET x ⊥轴，垂足为T ，求证：TA GA TBGB=．【试题来源】北京市东城区2021届高三上学期期末考试【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析． 【解析】（1）由题意可得，222212a c e a a b c =⎧⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎩，解得24a =，23b =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=；（2）由题设知直线l 的斜率存在且不为零，设直线l 的方程为y kx m =+（0k ≠）．由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得()()2223484120k x kmx m +++-=．依题意，有()()222264163430k m k m∆=-+-=，解得2234m k =+．设()1,0G x ，()00,E x y ，则1m x k =-，024434km kx k m-==-+． 因为ET x ⊥轴，所以4,0k T m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以4242224242kTA k m m k m TB m k m k k m -+-+-===++⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 因为2222mGA m k km GB m k k-+-==++，所以TA GA TB GB =．【名师点睛】求解直线与圆锥曲线相关问题时，一般需要联立直线与圆锥曲线方程，消元后得到关于x （或y ）的一元二次方程，结合根与系数关系与判别式，以及题中条件，利用圆锥曲线的相关性质，即可求解．11．如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C ：22221x ya b+=(0)a b >>的离心率1,2e =左顶点为(2,0)A -，过点A 作斜率为(0)k k ≠的直线l 交椭圆C 于点D ，交y 轴于点E ．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知P 为AD 的中点，是否存在定点Q ，对于任意的(0)k k ≠都有OP EQ ⊥，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在说明理由；（3）若过O 点作直线l 的平行线交椭圆C 于点M ，求AD AEOM+的最小值．【试题来源】上海市高考压轴【答案】（1）22143x y +=；（2）存在，3(,0)2-；（3） 【解析】（1）因为椭圆C ：22221x y a b+=0a b >>（）的离心率1,2e =左顶点为(2,0)A -， 所以2a =，又12e =，所以1c =，可得2223b a c =-=， 所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=；（2）直线l 的方程为(2)y k x =+，由22143(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，可得22(2)(43)860x k x k ⎡⎤+++-=⎣⎦，所以12x =-，2228643k x k -+=+，当 228643k x k -+=+时，2228612(2)4343k ky k k k -+=+=++， 所以2228612(,)4343k k D k k -+++，因为点P 为AD 的中点，所以P 点坐标为22286(,)4343k kk k -++， 则3(0)4OP k k k-=≠，直线l 的方程为(2)y k x =+，令0x =，得E 点坐标为(0,2)k ， 假设存在定点(,)(0)Q m n m ≠使得OP EQ ⊥，则1OP EQ k k ⋅=-， 即3214n kk m -⎛⎫-⋅=- ⎪⎝⎭恒成立，所以(46)30m k n +-=， 所以46030m n +=⎧⎨-=⎩，即320m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，所以定点Q 的坐标为3(,0)2-．（3）因为//OM l ，所以OM 的方程可设为y kx =，和22143x y +=联立可得M点的横坐标为x =， 由//OM l可得22D A E A D A M M x x x x x x AD AE OM x x -+--+===≥=，即2k=±时取等号，所以当2k=±时，AD AEOM+的最小值为．【名师点睛】解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为()11A x y，，()22B x y，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x（或y）的一元二次方程；（3）写出根与系数关系；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x+形式；（5）代入根与系数关系求解．12．已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为3，且椭圆C过点3,22⎛⎝⎭．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过椭圆C右焦点的直线l与椭圆C交于,A B两点，且与圆22:2O x y+=交于E F、两点，求2||||AB EF⋅的取值范围．【试题来源】云南省曲靖市第二中学、大理新世纪中学2021届高三第一次模拟考试（理）【答案】（1）22132x y+=；（2）3⎡⎢⎣．【分析】（1）先利用离心率得到,a b的关系，再利用点在椭圆上得到,a b另一个关系，解方程即得椭圆方程；（2）先讨论斜率不存在时2||||AB EF⋅的值，再设斜率存在时的直线方程，联立椭圆方程，利用根与系数关系求弦长||AB，再利用几何法求圆中的弦||EF的长，最后计算2||||AB EF⋅的取值范围即可．【解析】（1）由已知可得ca=，所以2213c a=，故222223b ac a=-=，即2232a b=，所以椭圆的方程为2222132x ybb+=，将点32⎛⎝⎭带入方程得22b=，即23a=，所以椭圆C 的标准方程为22132x y +=；（2）由（1）知，21c =，故椭圆的右焦点为(1,0)， ①若直线l 的斜率不存在，直线l 的方程为1x =，则,1,,(1,1),(1,1)A B E F ⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭，所以22|||4,||||AB EF AB EF ==⋅=②若直线l 的斜率存在，设直线l 方程为(1)y k x =-，设()()1122,,,A x y B x y ，联立直线l 与椭圆方程()221321x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，可得()2222236360k x k x k +-+-=， 则2122623k x x k+=+，21223623k x x k -=+， 所以)22123k AB k +===+， 因为圆心()0,0到直线l的距离d =所以在圆22:2O x y +=中由21||2EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭()()222222242||44211k k EF r dk k +⎛⎫=-=-= ⎪++⎝⎭，所以)())2222222142223123k k k AB EF k k k +++⋅=⋅=+++2431233k ⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪+⎝⎭， 因为[)20k ∈+∞，，则222,33k ⎡⎫+∈+∞⎪⎢⎣⎭，230,2213k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦+，故(]20,22433k ∈+，(]24311,323k +∈+，故24312333k ⎫⎪⎛+∈ ⎪ ⎝ ⎪+⎝⎭，即2||3AB EF ⎛⋅∈ ⎝，综上，2||3AB EF ⎡⋅∈⎢⎣．13．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为2，右顶点、上顶点分别为A 、B ，原点O 到直线AB． （1）求椭圆C 的方程；（2）若P ，Q 为椭圆C 上两不同点，线段PQ 的中点为M ． ①当M 的坐标为()1,1时，求直线PQ 的直线方程 ②当三角形OPQOM 的取值范围．【试题来源】江苏省连云港市新海高级中学2020-2021学年高三上学期期末【答案】（1）22142x y +=（2）①230x y +-=，②OM ⎡∈⎣． 【解析】（1）设直线:1x yAB a b+=，即0bx ay ab +-=， 所以O 到直线AB==，所以226a b +=，因为2222226c e a a b c a b ⎧==⎪⎪⎪=+⎨⎪+=⎪⎪⎩，所以2242a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆C 的方程为22142x y +=；（2）①因为PQ 的中点为()1,1M ，且PQ 的斜率存在，设()()1122,,,P x y Q x y ，所以221122222424x y x y ⎧+=⎨+=⎩，所以()()222212122x x y y -=--，所以121212122x x y y y y x x +-=-+-， 因为12122,2x x y y +=+=，所以121212PQ y y k x x -==--，所以PQ 的直线方程为()1112y x -=--，即230x y +-=； ②若直线PQ 垂直于x轴，则2221222222p p p p p x x y x x ⎛⎫⨯=-=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭ 22M x ⇒=，0M y =，所以OM =若直线PQ 不垂直于x 轴，设直线PQ 方程：()0y kx m m =+≠，()()1122,,,P x y Q x y ，()22222124240142y kx mk x kmx m x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩， 所以122412km x x k +=-+，21222412-⋅=+m x x k，()()()2224412240km k m∆=-+->，即2242k m +>，因为O 到PQ的距离为d =所以12OPQS===，()()()2222222222241212012m k m k k m k m ⎡⎤⇒+-=+⇒+-=⇒+=⎣⎦， 且此时2242k m +>，即0∆>满足，而12222212M x x km k x k m+-===-+， 1M M y kx m m =+=，所以OM ===，因为2212k m +=，所以21m ≥，所以21122m ≤-<，所以1OM ≤<综上可知OM ⎡∈⎣．14．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率2e =，且经过点(0,1)D ．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知点(1,0)A -和点(4,0)B -，过点B 的动直线l 交椭圆C 于,M N 两点（M 在N 左侧），试讨论BAM ∠与OAN ∠的大小关系，并说明理由． 【试题来源】北京市石景山区2021届高三上学期数学期末试题【答案】（1）2214x y +=；（2）BAM ∠=OAN ∠，理由见解析． 【解析】（1）由已知1b =，c e a ==， 又222a b c =+，解得2,1a b ==． 所以椭圆C 的方程为2214x y +=．（2）依题意设直线l 的方程为(4)y k x =+，设1122(,),(,)M x y N x y ．联立221,4(4),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，得2222(41)326440k x k x k +++-=，则216(112)0k ∆=->，解得k <<． （*） 则21223241k x x k -+=+，212264441k x x k -=+．若11x =-，则1y =k =±与（*）式矛盾，所以11x ≠-． 同理21x ≠-．所以直线AM 和AN 的斜率存在，分别设为AM k 和AN k ． 因为1212121212(4)(4)332111111AM AN y y k x k x k k k k k x x x x x x +++=+=+=++++++++ 12121212123(2)3(2)22(1)(1)1k x x k x x k k x x x x x x ++++=+=++++++22222222323(2)3(242)142206443236311414k k k k k k k k k k k k -+-++=+=+=---++++，所以AM AN k k =-．所以BAM ∠=OAN ∠．15．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为()22,0F，且过点(．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线y x m =+与椭圆C 交于不同的两点,A B ，且线段的中点M 在圆221x y +=上，求m 的值．【试题来源】宁夏平罗中学2021届高三上学期期末考试（文）【答案】（1）22184x y +=；（2）． 【解析】（1）因为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为()22,0F，且过点(，所以222421a b=⎨+=⎪⎩，解得2a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，因此椭圆C 的方程为22184x y +=； （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，由22184y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得2234280x mx m ++-=，由()221612280m m ∆=-->解得212m <， 又1243mx x +=-，则1212422233m m y y x x m m +=++=-+=，所以AB 的中点坐标为2,33m m M ⎛⎫-⎪⎝⎭， 又点M 在圆221x y +=上，所以222133m m ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得295m =满足212m <，所以m =． 【名师点睛】求解本题的关键在于用m 表示出点M 的坐标；利用题中条件，联立直线与椭圆方程，消去x （y ）得到关于y （或x ）的一元二次方程，根据根与系数关系及中点坐标公式，求出M 坐标，即可求解．16．已知椭圆22:142x y C +=．（1）求椭圆C 的离心率和长轴长；（2）已知直线2y kx =+与椭圆C 有两个不同的交点,A B ，P 为x 轴上一点． 是否存在实数k ，使得PAB △是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出k 的值及点P 的坐标；若不存在，说明理由．【试题来源】北京市西城区2021届高三上学期数学期末试题 【答案】（1）2，4；（2）存在，当1k =-时，P 点坐标为2(,0)3；当1k =时，P 点坐标为2(,0)3-．【解析】（1）由题意：24a =，22b =，所以2a =． 因为222a b c =+，所以22c =，c =c e a ==． 所以椭圆C，长轴长为4． （2）联立222,142y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消y 整理得22(21)840k x kx +++=． 因为直线与椭圆交于,A B 两点，故0>，解得212k >． 设()()1122,,,A x y B x y ，则122821k x x k -+=+，122421x x k =+． 设AB 中点00(,)G x y ，则12024221x x k x k +-==+，0022221y kx k =+=+，故2242(,)2121k G k k -++． 假设存在k 和点(,0)P m ，使得PAB △是以P 为直角顶点的等腰直角三角形，则PG AB ⊥，故1PG AB k k ⋅=-，所以222211421k k k m k +⨯=--+，解得2221k m k -=+，故22(0)2+1kP k -，．因为2APB π∠=，所以0PA PB ⋅=． 所以1122(,)(,)0x m y x m y -⋅-=，即1112()()0x m x m y y --+=．整理得 221212(1)(2)()40k x x k m x x m ++-+++=．所以222248(1)(2)402121k k k m m k k +⋅--⋅++=++， 代入2221km k -=+，整理得41k =，即21k =． 当1k =-时，P 点坐标为2(,0)3；当1k =时，P 点坐标为2(,0)3-． 此时，PAB △是以P 为直角顶点的等腰直角三角形． 【名师点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．17．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点⎛ ⎝⎭，且C的离心率为2． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点()1,0P 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，求PA PB ⋅的取值范围． 【试题来源】北京市朝阳区2021届高三上学期期末数学质量检测试题【答案】（1）2214x y +=；（2）3,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【解析】（1）由题意得222221314c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩．所以椭圆C 的方程为2214xy +=；（2）分以下两种情况讨论：①若直线l 与x 轴重合，则()()21113PA PB a a a ⋅=-⋅+=-=；②若直线l 不与x 轴重合，设直线l 的方程为1x my =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立22114x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 可得()224230m y my ++-=，则()()22241241630m m m ∆=++=+>恒成立， 由根与系数关系可得12224m y y m +=-+，12234y y m =-+， 由弦长公式可得()()22121223114m PA PB y y m y y m +⋅==+⋅=+()2223499344m m m +-==-++，244m +≥，则299044m <≤+，所以，2393344m ≤-<+． 综上所述，PA PB ⋅的取值范围是3,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦．18．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左､右顶点分别为点A ，B ，且AB 4=，椭圆C 离心率为12． （1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点，且斜率不为0的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，直线AM ，BN 的交于点Q ，求证：点Q 在直线4x =上．【试题来源】北京通州区2021届高三上学期数学摸底（期末）考试【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析． 【解析】（1）因为AB 4=，椭圆C 离心率为12， 所以2222412a c a a b c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得24a =，23b =．所以椭圆C 的方程是22143x y +=．（2）①若直线l 的斜率不存在时，如图，因为椭圆C 的右焦点为()1,0，所以直线l 的方程是1x =．所以点M 的坐标是31,2⎛⎫⎪⎝⎭，点N 的坐标是31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭．所以直线AM 的方程是()122y x =+，直线BN 的方程是()322y x =-．所以直线AM ，BN 的交点Q 的坐标是()4,3．所以点Q 在直线4x =上．②若直线l 的斜率存在时，如图．设斜率为k ．所以直线l 的方程为()1y k x =-．联立方程组()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ，整理得()2223484120kx kx k +-+-=．显然0∆>．不妨设()11,M x y ，()22,N x y ，所以2122834k x x k +=+，212241234k x x k -⋅=+． 所以直线AM 的方程是()1122y y x x =++．令4x =，得1162=+yy x ．直线BN 的方程是()2222y y x x =--．令4x =，得2222y y x =-．所以()()121212126121622222k x k x y y x x x x ---=-+-+- ()()()()()()12121261222122k x x k x x x x ---+-=+-分子()()()()1212612221k x x k x x =---+-()()12211212232222k x x x x x x x x =--+--+-⎡⎤⎣⎦()12122258k x x x x =-++⎡⎤⎣⎦()2222241258283434k k k k k ⎡⎤-⨯⎢⎥=-+++⎢⎥⎣⎦22228244024322034k k k k k ⎛⎫--++== ⎪+⎝⎭． 所以点Q 在直线4x =上．【名师点睛】本题第二问解题的关键在于分类讨论直线斜率不存在和存在两种情况，当直线斜率存在时，设()11,M x y ，()22,N x y ，写出直线AM 的方程是()1122y y x x =++和直线BN 的方程是()2222y y x x =--，进而计算得4x =时的纵坐标相等即可．考查运算求解能力，是中档题．19．椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>的左、右焦点分别为F 1、2F ，过1F 向圆2F ：22(2)1x y -+=引切线F 1T （T 为切点），切线F 1T23， （1）求椭圆C 的方程；（2）设(,)M x y 为圆2F 上的动点，O 为坐标原点，过F 2作OM 的平行线，交椭圆C 于G ，H 两点，求MGH 的面积的最大值．【试题来源】江西省新余市2021届高三上学期期末统考（理）【答案】（1）22195x y +=；（2）52． 【解析】（1）连接2F T ，则F 1T ⊥2F T，由题意得12||4F F =，所以c ＝2． 因为23c e a ==，则a ＝3，b ==C 的方程为22195x y+=；（2）设1122(,),,()G x y H x y ，直线GH 的方程为x ＝my ＋2，由222,1,95x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得22(902)5250m y my ++-=，222(20)4(59)(25)900(1)0m m m ∆=-+-=+>则1222059m y y m +=-+，1222559y y m =-+．所以12||y y -===所以12||GH y y ===-2223030(1)5959m m m +==++． 因为//GH OM ，所以点M 到直线GH 的距离等于原点O 到直线GH的距离，距离为△MGH的面积为22130(1)259m S m +==+ 因为//GH OM ，所以直线OM ：x my =，即0x my -=， 因为点(,)M x y 为圆2F 上的动点，所以点2F 到直线OM的距离1d =≤，解得23m ≥t =，则221(2)m t t =-≥，所以2230303045(1)9545t t S t t t t===-+++，因为4()5f t t t=+在[2,)+∞上单调递增，所以当t ＝2时，()f t 取得最小值，其值为12，所以△MGH 的面积的最大值为52．20．已知椭圆C ：22221x y a b +=(0a b >>)的离心率e =直线10x +-=被以椭圆C（1）求椭圆C 的方程；（2）过点(4,0)M 的直线l 交椭圆于A ，B 两个不同的点，且||||||||MA MB MA MB λ+=⋅，求λ的取值范围．【试题来源】吉林省长春外国语学校2021届高三上学期期末考试（文）【答案】（1）2214x y +=；（2）2]3．【解析】（1）因为原点到直线10x -=的距离为12，所以22212b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎝⎭（0b >），解得1b =．又22222314c b e a a ==-=，得2a = 所以椭圆C 的方程为2214x y +=．（2）当直线l 的斜率为0时，12MA MB ⋅=，268MA MB +=+=， 所以||||82||||123MA MB MA MB λ+===⋅，当直线l 的斜率不为0时，设直线l ：4x my =+，()11A x y ，，()22B x y ，，联立方程组22414x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2248120m y my +++=， 由()22=644840m m ∆-+>，得212m >， 所以122124y y m =+，12284my y m +=-+，()21221214m MA MB y y m +⋅==+，1212MA MB y y +==+284mm =+，||||||||121MA MB MA MB m λ+====⋅+由212m >，得211113121m ∴<-<+，所以2233λ<．综上可得2133λ<≤，即2(]133． 【名师点睛】（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．21．如图，点()0,1P -是椭圆1C ：22221x y a b+=(0a b >>)的一个顶点，1C 的长轴是圆2C ：224x y +=的直径．1l ，2l 是过点P 且互相垂直的两条直线，其中1l 交椭圆1C 于另一点D ，2l 交圆2C 于A ，B 两点．（1）求椭圆1C 的方程；（2）当ABD △的面积取得最大值时，求直线1l 的方程．【试题来源】上学期江西省新余市2021届高三上学期期末质量检测（文）【答案】（1）2214x y +=；（2）1012y x =±- 【解析】（1）由题意可得1b =，24a =，即2a =．∴椭圆1C 的方程为2214xy +=；（2）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，0(D x ，0)y ．由题意可知直线1l 的斜率存在，设为k ，则直线1l 的方程为1y kx =-．又圆222:4C x y +=的圆心(0,0)O 到直线1l 的距离21d k =+．22243||2421k AB d k +∴=-+21l l ⊥，故直线2l 的方程为0x ky k ++=， 联立22044x ky k x y ++=⎧⎨+=⎩，消去y 得到22(4)80k x kx ++=，解得0284k x k =-+， 281||k PD +∴=．∴三角形ABD 的面积21843||||2ABDk S AB PD +==令244k t +=>，则24k t =-，224(4)34131244()13()131313t t f t t t -+-===--+，16S ∴=，当且仅132t =，即252k=，当k = 故所求直线1l 的方程为12y x =±-． 22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>离心率为23，点A ，B ，D ，E 分别是C 的左，右，上，下顶点，且四边形ADBE 的面积为 （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知F 是C 的右焦点，过F 的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，记直线AP ，BQ 的交点为T ，求证：点T 横坐标为定值．【试题来源】陕西省西安市2020-2021学年高三上学期第一次质量检测（文）【答案】（1）22195x y +=；（2）T 横坐标为定值92，证明见解析． 【解析】（1）设椭圆C 的半焦距长为c，根据题意222231222c a a b c a b⎧=⎪⎪⎪⋅⋅=⎨⎪=-⎪⎪⎩32a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩故C 的标准方程为22195x y +=．（2）由（1）知()30A -,，()3,0B ，()2,0F ，设00,,()T x y ，11(,)P x y ，()22,Q x y ， 由010133TA PA y y k k x x =⇒=++'①，020233TB QB y y k k x x =⇒=--，② ①②两式相除得0120123333x y x x x y --=⋅++，又2211195x y +=，故2211195x y -=-， 所以2111(3)(3)95x x y -+=-，故11113539y x x y -=-⋅+． 所以0120123333x y x x x y --=⋅=++1212(3)(3)59x x y y ---③由题意知直线PQ 不平行于x 轴，由于直线PQ 经过F 点，所以设直线PQ 的方程为2x my =+，代入22195x y +=，得22(902)5250m y my ++-=， 把12212220592559m y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩代入③，所以0120123(3)(3)539x x x x y y ---=-⋅+1212(1)(1)59my my y y --=-⋅2121212()159m y y m y y y y -++=-⋅，所以0033x x -+22222520()()15595925959mm m m m m ---+++=-⋅-+15=，解得092x =． 所以点T 横坐标为定值92． 【名师点睛】解题的关键是根据A 、P 、T 和B 、Q 、T 共线得到TA PA k k =，TB QB k k =，化简整理，结合根与系数关系求解，直线PQ 的方程为2x my =+，可避免讨论直线PQ 的斜率是否存在，简化计算，提高正确率，考查分析理解，计算化简的能力，属中档题．23．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>倍，且过点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）点P 是圆心在原点OO 上的一个动点，过点P 作椭圆的两条切线，且分别交其圆O 于点E ､F ，求动弦EF 长的取值范围．【试题来源】安徽省黄山市2020-2021学年高三上学期第一次质量检测（理）【答案】（1）22184x y +=；（2）． 【解析】（1）由22a c =得a =，把点代入椭圆方程得22421a b +=， 又222a b c =+，所以228,4a b ==，椭圆的标准方程为22184x y +=．（2）设过点P 作椭圆的两条切线分别为12,l l ．①当12,l l 中有一条斜率不存在时，不妨设1l 斜率不存在，因为1l与椭圆只有一个公共点，则其方程为x =x =-， 当1l方程为x =1l 与圆O交于点和2)-，此时经过点，2)-且与椭圆只有一个公共点的直线是2y =或2y =-， 即2l 为2y =或122,y l l =-⊥，由题目知，圆O 的方程为2212x y +=， 所以线段EF 应为圆O的直径，所以||EF =．②当12,l l 斜率都存在时，设点()00,P x y ，其中220012x y +=，且22008,4x y ≠≠，设经过点()00,P x y 与椭圆只有一个公共点的直线为()00y t x x y =-+，则()0022184y t x x y x y ⎧=-+⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得到()()()2220000124280t x t y tx x y tx ++-+--=， 所以()2220000648163280x t x y t y ∆=-++-=，()2200122200328123281648648x y t t x x ---===---， 所以121t t =-，满足条件的两直线12,l l 垂直． 所以线段EF 应为圆O的直径，所以||EF =，综合①②知因为12,l l 经过点()00,P x y ，又分别交圆于点E ，F ，且12,l l 垂直，所以线段EF 为圆220012x y +=的直径，所以||EF =为定值．故EF的取值范围．24．椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，离心率为12，过F 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，当AB x ⊥轴时，3AB =． （1）求C 的方程；（2）若直线:4m x =与x 轴交于M 点，AD ⊥直线m ，垂足为D (不与M 重合)，求证：直线BD 平分线段FM ．【试题来源】贵州省贵阳市普通中学2021届高三上学期期末监测考试（文）【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见详解． 【解析】（1）记椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为(),0F c ，因为椭圆的离心率为12，即12caa ==，所以2234b a =；又过F 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，当AB x ⊥轴时，3AB =，将x c =代入22221x y a b +=可得2422221c b y b a a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，则2b y a =±，所以223b a =，由2223423b a b a==解得2243a b ⎧=⎨=⎩，即椭圆C 的方程为22143x y +=；（2）因为直线:4m x =与x 轴交于M 点，则()4,0M ；又AD ⊥直线m ，垂足为D (不与M 重合)，所以直线AB 斜率不为0， 不妨设直线AB 的方程为1x my =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 可得()22314120my y ++-=，整理得()2234690m y my ++-=，则122122634934m y y m y y m -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，2334234m y m m -±==++， 不妨令1y=，2y =， 因为AD ⊥直线m ，垂足为D ，所以()14,D y ， 因此直线BD 的方程为()211244y y y x y x -=-+-， 令0y =，则()()1212121212121433444y x y my my y y x y y y y y y ---=-=-=----293544422m-===-=；即直线BD与x轴的交点为5,02⎛⎫⎪⎝⎭，因为()1,0F，()4,0M，所以5,02⎛⎫⎪⎝⎭是FM中点，即直线BD平分线段FM．【名师点睛】求解本题第二问的关键在于求出直线BD与x轴交点的横坐标；解题时，需要先设AB的方程，联立直线与椭圆方程，结合根与系数关系，以及题中条件，表示出直线BD 的方程，即可求出与x轴交点的横坐标．25．椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>过点()2,3M，其上､下顶点分别为点A，B，且直线AM，MB的斜率之积为34AM BMk k⋅=-．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的左顶点(),0Q a-作两条直线，分别交椭圆C于另一点S，T．若2QS QTk k+=，求证：直线ST过定点．【试题来源】江西省南昌市八一中学、洪都中学、十七中三校2021届高三上学期期末联考（理）【答案】（1）2211612x y+=；（2）证明见解析．【解析】（1）因为()0,A b，()0,B b-，所以333224MA MBb bk k-+⋅=⋅=-，解得212b=，将212b=，()2,3M都代入椭圆方程，得216a=，所以椭圆方程为2211612x y+=；（2）证明：设()11,S x y，()22,T x y，直线ST的方程为y kx t=+．将y kx t=+代入椭圆方程，整理得()2223484480k x ktx t+++-=，122843ktx xk+=-+，212244843tx xk-=+，由1212244y yx x+=++，得1212244kx t kx tx x+++=++．。

三年高考(2020)高考数学试题分项版解析专题17椭圆理(含解析)

三年高考(2020)高考数学试题分项版解析专题17椭圆理(含解析)

专题17椭圆考纲解读明方向考纲解读考点内容解读 要求 常考题型 预测热度1.椭圆的定义及其标准方程掌握 选择题 解答题★★★2.椭圆的几何性质掌握椭圆的定义、几何图 形、标准方程及简单性质掌握填空题 解答题 ★★★3.直线与椭圆的位置关系掌握 解答题 ★★★分析解读 1.能够熟练使用直接法、待定系数法、定义法求椭圆方程 2能熟练运用几何性质（如范围、对 称性、顶点、离心率）解决相关问题 3能够把直线与椭圆的位置关系的问题转化为方程组解的问题 ，判断位 置关系及解决相关问题 4本节在高考中以求椭圆的方程、椭圆的性质以及直线与椭圆的位置关系为主 ，与 向量等知识的综合起来考查的命题趋势较强 ，分值约为12分，难度较大.2020年咼考全景展示【答案】D详解：因为 "叽为等腰三角形所以卩0市2=2&由AP 斜率为6得, tanAPAF 2 二 巴 A ainAPAF 2 二 COSA PAF 2 二6 订131.【2020年理数全国卷II 】已知x y,耳/是椭圆「丁訂心旳的左，右焦点，是」的左顶点，点在过|且斜率为aB.的直线上, 1r 一 d ；；，贝y 的离心率为A.C.D.【解析】分析：先根据条件得 PR=2c,再利用正弦定理得a,c 关系，即得离心率由正弦定理得sim.PAf 2AF 2 sin£APF 2所以 选D.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 心:詞的方程或不等式，再根据卜;':订的关系消掉£得到的关系式，而建立关于应绥的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、 点的坐标的范围等.2 .【2020年浙江卷】已知点 F (0 , 1)，椭圆4 +y 2=mm >1)上两点A , B 满足川「=2也，则当m F _____________ 时, 点B 横坐标的绝对值最大. 【答案】5【解析】分析先根1S 条件得到"坐标间的关系，代入椭圆方程解得歩的纵坐标」即得F 的福坐折关于從 的函数关系，晶后扌魁®二次函数性质确定最值朝去.i 羊解；设机％化莎},由和=2而甯-冷=23 -乃=2仕- 1)“ -yi = 2上-3・因为上占在椭圆上:所仪手+百=忆于■疋=r +总比-3)£ =玳上手+山-f}1 = 了与亍+ F 孑=m 对应相减得Ji =宁，疋=- 10m+ 9] 4j 当且仅当用=5吋取最大值.点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为 在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个 于函数最值的探求来使问题得以解决W : —— + = 1(口 > I )A 0)3.【2020年理北京卷】已知椭圆线与椭圆M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 M 的离心率为 ___________双曲线N 的离心率为 ___________ . 【答案】^2【解析】分析：由正六边形性质得渐近线的倾斜角，解得双曲线中 •关系，即得双曲线 N 的离心率；由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为 ，再根据椭圆定义得卜一匸^力]，解得椭圆M 的离心率.详解：由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为汀认I ,再根据椭圆定义得 ： ，所以椭和:|x=±-^圆M 的离心率为双曲线N 的渐近线方程为加，由题意得双曲线 N 的一条渐近线的(或者多个)变量的函数，然后借助.若双曲线N 的两条渐近由八計、诂尸，可得ab =6,从而a =3, b =2•所以，椭圆的方程为(n)设点P 的坐标为(X 1,y 1),点Q 的坐标为(X 2, y 2).由已知有y 1>y 2>0,故卩叮八泊=倾斜角为 n n 2n ——=tan - = 3』 / 3m + n m + 3 m——=4* AC = 2.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于I;虫箱的方程或不等式，再根据卜黒的关系消掉E 得到的关系式，而建立关于|怎冷•:的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、 点的坐标的范围等.4.【2020年理数天津卷】设椭圆 (a >b >0)的左焦点为F ,上顶点为B 已知椭圆的离心率为 3 ,点A 的坐标为顾，且丨皿一；. (I )求椭圆的方程; (II )设直线l与椭圆在第一象限的交点为 P,且I 与直线AB 交于点Q 若(O 为原点)，求k 的值.11【答案】(i )|；(n )2或想【解析】分析：(I)由题意结合椭圆的性质可得 a =3, b =2.则椭圆的方程为.(n)设点P 的坐儿=i\可得.由1 •据此得到关于k 的方程，解方程可得 k 的值为 或标为(X 1 ,yj ,点Q 的坐标为(X 2, y 2).由题意可得5y 1=9y 2.由方程组1°2k11详解：(I)设椭圆的焦距为2c ,由已知知,又由a 2=b 2+c 2,可得2a =3b .由已知可得，I"：-打，■‘,X i ,因为sin^OAB 而/ 71 1叔1_曾•OA两，故1饨| =佝2.由|卩Q厂4呵°，可得5y i=9y2.由方程组，y-kx, x2 y2—+ 5-^U q 4消去X , 可得J恣1=瓷易知直线AB的方程为x+y - 2=0,由方程组•消去2kx,可得.由5y i=9y2,可得5 (k+1)=,两边平方，整理得11 = 0,解得丹―旳.又t= 11 1 11或 厉•所以，k 的值为2或函’点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力， 重视根与系数之间的关系、 弦长、斜率、三角形的面积等问题.W(1, m)(m > 0).为 上一点，且悴;“阳咔感：剧.证明：两， , 成等差数列，并求该数 列的公差.【答案】（1）【解析】分析：⑴ 设而不求，利用点建法进行证明。

高中数学高考几何解析(椭圆双曲线抛物线)课本知识讲解及练习(含答案)

高中数学高考几何解析(椭圆双曲线抛物线)课本知识讲解及练习(含答案)

高中数学高考几何解析（椭圆双曲线抛物线）课本知识讲解及练习（含答案）第五节椭圆一、必记3个知识点1．椭圆的定义(1)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，这时，P在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，这时，P在长轴端点处．(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边长，a2＝b2＋c2.(3)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.(4)若P为椭圆上任一点，F为其焦点，则a－c≤|PF|≤a＋c.二、必明3个易误点1．椭圆的定义中易忽视2a>|F1F2|这一条件，当2a＝|F1F2|其轨迹为线段F1F2，当2a<|F1F2|不存在轨迹．2．求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．3．注意椭圆的范围，在设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上点的坐标为P(x，y)时，则|x|≤a，这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．三、技法1.求椭圆标准方程的2种常用方法(1)直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．(2)构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．提醒：在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e∈(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根.3.求解最值、取值范围问题的技巧(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形．(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b,0<e<1，在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．(3)最值问题，将所求列出表达式，构造基本不等式或利用函数单调性求解.4.判断直线与椭圆位置关系的四个步骤第一步：确定直线与椭圆的方程．第二步：联立直线方程与椭圆方程．第三步：消元得出关于x(或y)的一元二次方程．第四步：当Δ>0时，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当Δ<0时，直线与椭圆相离．5．直线被椭圆截得的弦长公式设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2])＝(y1＋y2)2－4y1y2])(k为直线斜率).参考答案①F1，F2②|F1F2|③x轴，y轴④坐标原点⑤(－a,0)⑥(a,0)⑦(0，－b)⑧(0，b)⑨(0，－a)⑩(0，a)⑪(－b,0)⑫(b,0)⑬2a⑭2b⑮2c⑯(0,1)⑰c2＝a2－b2第六节双曲线一、必记3个知识点1．双曲线的定义(1)平面内与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的距离①________________为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的②________，两焦点间的距离叫做③________.(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(ⅰ)当④________________时，M点的轨迹是双曲线；(ⅱ)当⑤________________时，M点的轨迹是两条射线；(ⅲ)当⑥________________时，M点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质⑧________x ∈对称轴：⑪________对称中心：⑫________顶点坐标：A 1⑮______，A 2⑯________⑱____________c ＝⑳________|＝21________；线段________；a 叫做双曲线的虚半轴长＞b ＞0)(1)双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直．(2)渐近线的斜率与双曲线的焦点位置的关系：当焦点在x 轴上时，渐近线斜率为±ba，当焦点在y 轴上时，渐近线斜率为±ab.(3)渐近线与离心率．x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为ba＝e2－1.(4)若P 为双曲线上一点，F 为其对应焦点，则|PF |≥c －a .二、必明4个易误点1．双曲线的定义中易忽视2a <|F 1F 2|这一条件．若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a >|F 1F 2|则轨迹不存在．2．双曲线的标准方程中对a ，b 的要求只是a >0，b >0，易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同．若a >b >0，则双曲线的离心率e ∈(1，2)；若a ＝b >0，则双曲线的离心率e ＝2；若0<a <b ，则双曲线的离心率e >2.3．注意区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆a ，b ，c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.4．易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x轴上，渐近线斜率为±ba，当焦点在y轴上，渐近线斜率为±ab.三、技法1.双曲线定义的应用(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立|PF1|与|PF2|的关系．[注意]在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支.2.求双曲线标准方程的一般方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线x2a2－y2b2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为：x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值.3.求双曲线离心率或其范围的方法(1)求a，b，c的值，由c2a2＝a2＋b2a2＝1＋b2a2直接求e.(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．4．求双曲线的渐近线方程的方法求双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令x2a2－y2b2＝0，即得两渐近线方程为：xa±yb＝0.参考答案①之差的绝对值②焦点③焦距④2a<|F1F2|⑤2a＝|F1F2|⑥2a>|F1F2|⑦x≥a或x≤－a⑧y≥a或y≤－a⑨x轴，y轴⑩坐标原点⑪x轴，y轴⑫坐标原点⑬(－a,0)⑭(a,0)⑮(0，－a)⑯(0，a)⑰y＝±ba x⑱y＝±ab x⑲ca⑳a2＋b2212a222b23a2＋b2第七节抛物线一、必记2个知识点1．抛物线定义、标准方程及几何性质x轴⑤________y轴⑥________O(0,0)O(0,0)O(0,0)O(0,0)F⑦________⑧________⑨________设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2.(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α(α为弦AB的倾斜角)．(3)以弦AB为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，长等于2p.二、必明2个易误点1．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．2．抛物线标准方程中参数p易忽视，只有p>0，才能证明其几何意义是焦点F到准线l 的距离，否则无几何意义．三、技法1.应用抛物线定义的2个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化．(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋p2或|PF|＝|y|＋p2.2.求抛物线的标准方程的方法(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可．(2)因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．3．确定及应用抛物线性质的技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化为标准方程．(2)要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解.4.解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解.参考答案①相等②y2＝－2px(p＞0)③x2＝－2py(p＞0)④x2＝2py(p＞0)⑤x轴⑥y轴⑦F(－p2，0)⑧F(0，－p2)⑨F(0，p2)⑩e＝1⑪x＝－p2⑫y＝－p2⑬－y0＋p2⑭y0＋p2⑮y≤0⑯y≥0。

高考数学-椭圆第二定义应用及经典例题解析

高考数学-椭圆第二定义应用及经典例题解析

高考数学-椭圆第二定义应用一、随圆的第二定义（比值定义）： 若），e e d MF为常数10(,<<=则M 的轨迹是以F 为焦点，L 为准线的椭圆。

注：①其中F 为定点，F （C ，0），d 为M 到定直线L ：ca x 2=的距离 ②F 与L 是对应的，即：左焦点对应左准线，右焦点对应右准线。

二、第二定义的应用[例1]已知11216,)3,2(22=+-y x F A 是的右焦点，点M 为椭圆的动点，求MF MA 2+的最小值，并求出此时点M 的坐标。

分析：此题主要在于MF 2的转化，由第二定义：21==e d MF ，可得出d MF =2，即为M 到L （右准线）的距离。

再求最小值可较快的求出。

解：作图，过M 作l MN ⊥于N ，L 为右准线：8=x ， 由第二定义，知：21==e d MF，MN d MF ==∴2,2MN MA MF MA +=+Θ 要使MF MA 2+为最小值， 即：MF MA +为“最小”， 由图知：当A 、M 、N 共线，即：l AM ⊥时，MF MA 2+为最小；且最小值为A 到L 的距离=10， 此时，可设)3,(0x M ，代入椭圆方程中，解得：320=x 故当)3,32(M 时， MF MA 2+为的最小值为10[评注]：（1）以上解法是椭圆第二定义的巧用，将问题转化为点到直线的距离去求，可使题目变得简单。

（2）一般地，遇到一个定点到定直线问题应想到椭圆的第二定义。

[例2]：设),(00y x P 为椭圆)0(,12222>>=+b a by a x 的一点，离心率为e ，P 到左焦点F 1和右焦点F 2的距离分别为r 1，r 2 求证：0201,ex a r ex a r -=+=证明：作图， 由第二定义：e c ax PF =+201即：a ex ca x e c a x e PF r +=+=+⋅==0202011)( 又a PF PF 221=+0012)(22ex a ex a a r a r -=+-=-=∴注：①上述结论01ex a r +=，02ex a r -=称为椭圆中的焦半径公式 ②a x a ex a r PF ≤≤-+==0011由 得出c a a e a r c a ea a r -=-⋅+≥+=+≤)(11且 即c a PF c a +≤≤-1 当）a ，（，P c a PF 01--=为时 当）（a，，P c a PF 01为时+=[练习]（1）过1922=+y x 的左焦点F 作倾斜角为300的直线交椭圆于A 、B 两点，则弦AB 的长为 2 分析：是焦点弦AB Θ ）x （x e a ）ex （a ）ex （a BF AF AB B A B A +⋅+=+++=+=∴2只需求?=+B A x x （用联立方程后，韦达定理的方法可解）（2）148642122=+y x 、F F 为的左、右焦点，P 为椭圆上的一点，若,321PF PF =则P 到左准线的距离为 24分析：由焦半径公式，设）y x p 00,(得，x ）ex a ex a 8(3000=-=+即又左准线为：16-=x 则P 到左准线距离为8-（-16）=24[例3] 设椭圆的左焦点为F ，AB 过F 的弦，试分析以AB 为直径的圆与左准线L 的位置关系 解，设M 为弦AB 的中点，（即为“圆心”）作，A L AA 11于⊥ ，B L BB 11于⊥，M L MM 11于⊥由椭圆的第二定义知：)(11BB AA e BF AF AB +=+=10<<e Θ 11BB AA AB +<∴又在直角梯形11A ABB 中，1MM 是中位线1112MM BB AA =+∴ 即：12MM AB < 12MM AB<∴ （2AB为圆M 的半径1MM r ，为圆心M 到左准线的距离d d r <⇒故以AB 为直径的圆与左准线相离椭圆第二定义的应用练习1、椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则此椭圆的离心率e 等于（ ）A ．21 B.31 C.41 D.42 2、椭圆的两个焦点是)3,0(1-F 和)3,0(2F ，一条准线方程是316-=y ，则此椭圆方程是（ ） A ．191622=+y x B.171622=+y x C. 116922=+y x D.116722=+y x 3、由椭圆116922=+y x 的四个顶点组成的菱形的高等于： 。

2021年北京市高考数学专题复习：椭圆(含答案解析)

2021年北京市高考数学专题复习：椭圆(含答案解析)

2021年北京市高考数学专题复习：椭圆
1．设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=√3
2，已知点P(0，3
2
)到椭圆的最远
距离是√7，求椭圆的标准方程．
2．设b＞0，椭圆方程为x2
2b2+
y2
b2
=1，抛物线方程为x2＝8（y﹣b）．如图所示，过点F（0，
b+2）作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G，已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点F1．
（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；
（2）设A，B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P，使得△ABP为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．
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考点36 椭圆典型高考数学试题解读与变式(解析版)

考点36 椭圆典型高考数学试题解读与变式(解析版)

x2 + y2 =1 B． 3
x2 + y2 =1 C． 12 8
x2 + y2 =1 D． 12 4
【方法技巧归纳】椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二
是当 P 在椭圆上时，与椭圆的两焦点 F1，F2 组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，
利用定义和余弦定理可求 PF1 ·PF2 ，通过整体代入可求其面积等．
【变式
1 】【由利用定义根据周期求方程变为利用椭圆定义求周长】过椭圆
x2 4
+
y2
=1
的左焦点
F1 作直线 l
交椭圆于 A, B 两点， F2 是椭圆右焦点，则 ABF2 的周长为（
）
A． 8
B． 4 2
C． 4
D． 2 2
【答案】 A
x2 + y2 【例 2】【2014 全国大纲卷】已知椭圆 C ： a2 b2
= 1 (a b 0) 的左、右焦点为 F1 、F2 ，离心率为
3 3，
过 F2 的直线 l 交 C 于 A、B 两点，若 AF1B 的周长为 4 3 ，则 C 的方程为（
）
x2 + y2 =1 A． 3 2
【答案】A
（
k
为直线斜率)．
（3）直线与椭圆相交时的常见问题的处理方法：
涉及问题
处理方法
弦长
根与系数的关系、弦长公式 (直线与椭圆有两交点)
中点弦或弦的中点 点差法(结果要检验 0 )
3 【变式 1】【第（2）问变定点问题为定值问题】已知中心在坐标原点 O，焦点在 x 轴上，离心率为 2 的椭
圆 C 过点

备战高考数学(精讲+精练+精析)专题10.1椭圆试题文(含解析)

备战高考数学(精讲+精练+精析)专题10.1椭圆试题文(含解析)

专题10.1 椭圆试题 文【三年高考】1. 【2016高考新课标1文数】直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14,则该椭圆的离心率为（ ） （A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34【答案】B2. 【2016高考新课标Ⅲ文数】已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，,A B分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ） （A ）13（B ）12（C ）23（D ）34【答案】A3．【2016高考新课标2文数】已知A 是椭圆E ：22143x y +=的左顶点，斜率为()0k k ＞的直线交E 与A ，M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥.（Ⅰ）当AM AN =时，求AMN ∆的面积；（Ⅱ）当AM AN =时，证明：32k <<.【解析】（Ⅰ）设11(,)M x y ，则由题意知10y >.由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为4π，又(2,0)A -，因此直线AM 的方程为2y x =+.将2x y =-代入22143x y +=得27120y y -=，解得0y =或127y =，所以1127y =.因此AMN ∆的面积11212144227749AMN S ∆=⨯⨯⨯=. （2）将直线AM 的方程(2)(0)y k x k =+>代入22143x y +=得2222(34)1616120k x k x k +++-=.由2121612(2)34k x k -⋅-=+得2122(34)34k x k -=+，故2212121||1|2|34k AM k x k +=++=+.由题设，直线AN 的方程为1(2)y x k =-+，故同理可得22121||43k k AN k +=+.由2||||AM AN =得2223443kk k =++，即3246380k k k -+-=.设32()4638f t t t t =-+-，则k 是()f t 的零点，22'()121233(21)0f t t t t =-+=-≥，所以()f t 在(0,)+∞单调递增，又(3)153260,(2)60f f =-<=>，因此()f t 在(0,)+∞有唯一的零点，且零点k 在(3,2)内，所以32k <<.4．【2016高考北京文数】已知椭圆C ：22221x y a b+=过点A （2,0），B （0,1）两点.（I ）求椭圆C 的方程及离心率；（Ⅱ）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值.5．【2016高考天津文数】设椭圆13222=+y a x （3>a ）的右焦点为F ，右顶点为A ，已知||3||1||1FA eOA OF =+，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若HF BF ⊥，且MAO MOA ∠=∠，求直线的l 斜率. 【解析】（1）设(,0)F c ，由113||||||c OF OA FA +=，即113()cc a a a c +=-，可得2223a c c -=，又2223a c b -==，所以21c =，因此24a =，所以椭圆的方程为22143x y +=.6. 【2015高考广东，文8】已知椭圆222125x y m +=（0m >）的左焦点为()1F 4,0-，则m =（ ） A ．9 B ．4 C ．3 D ．2 【答案】C【解析】由题意得：222549m =-=，因为0m >，所以3m =，故选C ．7.【2015高考福建，文11】已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ） A ． 3(0,]2 B ．3(0,]4 C ．32 D ．3[,1)4【答案】A【解析】设左焦点为F ，连接1AF ，1BF ．则四边形1BF AF 是平行四边形，故1AF BF =，所以142AF AF a +==，所以2a =，设(0,)M b ，则4455b ≥，故1b ≥，从而221a c -≥，203c <≤， 03c <≤，所以椭圆E 的离心率的取值范围是3(0,]2，故选A ．8．【2015高考浙江，文15】椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的右焦点()F ,0c 关于直线by x c=的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是 ． 【答案】229. 【2015高考安徽，文20】设椭圆E 的方程为22221(0),x y a b a b+=>>点O 为坐标原点，点A 的坐标为(,0)a ,点B 的坐标为（0，b ）,点M 在线段AB 上，满足2,BM MA =直线OM 5（Ⅰ）求E 的离心率e ;（Ⅱ）设点C 的坐标为（0，-b ）,N 为线段AC 的中点，证明：MN ⊥AB . 【解析】（Ⅰ）由题设条件知，点)31,32(b a M ，又105=OM k 从而1052=a b .进而b b ac b a 2,522=-==，故552==a c e . （Ⅱ）证：由N 是AC 的中点知，点N 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-2,2b a ，可得⎪⎭⎫⎝⎛=65,6b a NM .又()b a ,-=，从而有()22225616561a b b a -=+-=⋅，由（Ⅰ）得计算结果可知,522b a =所以0=⋅，故AB MN ⊥.10. 【2014大纲，文9】已知椭圆C：22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点为F 1,F 2离心率为33，过F 2的直线l 交C 与A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A. 22132x y +=B. 2213x y += C. 221128x y += D. 221124x y +=【答案】A11.【2014辽宁，文15】 已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN += . 【答案】12【解析】设MN 的中点为G ，则点G 在椭圆C 上，设点M 关于C 的焦点F 1的对称点为A ，点M 关于C 的焦点F 2的对称点为B ，则有|GF 1|＝12·|AN |，|GF 2|＝12|BN |，所以|AN |＋|BN |＝2(|GF 1|＋|GF 2|)＝4a ＝12.12.【2014新课标2，文20】设1F ，2F 分别是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左，右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直．直线1MF 与C 的另一交点为N ． （Ⅰ）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率； （Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a ，b【解析】（Ⅰ）由题意得：1(,0)F c -，2(,)b M c a ，∵MN 的斜率为34， ∴2324b ac =，又222a b c =+，解之：12c e a ==或2-（舍）， 故：直线MN 的斜率为34时，C 的离心率为12；（Ⅱ）由题意知：点M 在第一象限，1(,0)F c -，2(,)b M c a，∴直线MN 的斜率为：22b ac ，则MN ：222b y x ac =+；∵1(,0)F c -在直线MN 上，∴20()22b c ac=⨯-+，得24b a =……①∵15MN F N =，∴114MF F N =，且21(2,)b MF c a =--，∴21(,)24c b F N a =--，∴23(,)24c b N a--，又∵23(,)24c b N a --在椭圆C 上，∴4222291641b c a a b+=……② 联立①、②解得：7a =，27b =. 【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题, 对椭圆的考查，重点考查椭圆的定义、标准方程、几何性质及直线与椭圆的位置关系，高考中以选择题、填空、解答题的第一小题的形式考查椭圆的定义、标准方程及椭圆的几何性质，为容易题或中档题，以解答题的第二问的形式考查直线与椭圆的位置关系，一般是难题，分值一般为5-12分.【2017年高考复习建议与高考命题预测】由前三年的高考命题形式可以看出 , 椭圆的定义、标准方程、几何性质及直线与椭圆的位置关系是高考考试的热点，考查方面离心率是重点，其它利用性质求椭圆方程，求焦点三角形的周长与面积，求弦长，求椭圆的最值或范围问题，过定点问题，定值问题等．预测2017年高考，对椭圆的考查，仍重点考查椭圆的定义、标准方程、几何性质及直线与椭圆的位置关系，仍以选择题、填空、解答题的第一小题的形式考查椭圆的定义、标准方程及椭圆的几何性质，难度仍为容易题或中档题，以解答题的第二问的形式考查直线与椭圆的位置关系，难度仍难题，分值保持在5-12分.在备战2017年高考中，要熟记椭圆的定义，会利用定义解决椭圆上一点与椭圆的焦点构成的三角形问题，会根据题中的条件用待定系数法、定义法等方法求椭圆的标准方程，会根据条件研究椭圆的几何性质，会用设而不求思想处理直线与椭圆的位置关系，重点掌握与椭圆有关的最值问题、定点与定值问题、范围问题的处理方法，注意题中向量条件的转化与向量方法应用.【2017年高考考点定位】高考对椭圆的考查有三种主要形式：一是直接考查椭圆的定义与标准方程；二是考查椭圆的几何性质；三是考查直线与椭圆的位置关系，从涉及的知识上讲，常平面几何、直线方程与两直线的位置关系、圆、平面向量、函数最值、方程、不等式等知识相联系，字母运算能力和逻辑推理能力是考查是的重点. 【考点1】椭圆的定义与标准方程【备考知识梳理】1.椭圆的定义：把平面内与两定点12,F F 的距离之和等于常数（大于12||F F ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点之间的距离叫焦距，符号表述为：12||||2PF PF a +=(122||a F F >). 注意：（1）当122||a F F =时，轨迹是线段12F F .(2)当122||a F F <时，轨迹不存在.2.椭圆的标准方程：（1） 焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b +=>>；焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为22221(0)y x a b a b +=>>.给定椭圆22221(0,0)x y m n m n+=>>，要根据,m n 的大小判定焦点在那个坐标轴上，焦点在分母大的那个坐标轴上.(2)椭圆中,,a b c 关系为：222a b c =+. 【规律方法技巧】1.利用椭圆的定义可以将椭圆上一点到两焦点的距离进行转化，对椭圆上一点与其两焦点构成的三角形问题，常用椭圆的定义与正余弦定理去处理.2.求椭圆的标准方程方法(1)定义法：若某曲线（或轨迹）上任意一点到两定点的距离之和为常数（常数大于两点之间的距离），符合椭圆的定义，该曲线是以这两定点为焦点，定值为长轴长的椭圆，从而求出椭圆方程中的参数，写出椭圆的标准方程.(2)待定系数法，用待定系数法求椭圆标准方程，一般分三步完成，①定性-确定它是椭圆；②定位判定中心在原点，焦点在哪条坐标轴上；③定量-建立关于基本量,,,a b c e 的关系式，解出参数即可求出椭圆的标准方程.3.若若椭圆的焦点位置不定，应分焦点在x 轴上和焦点在y 轴上，也可设椭圆方程为221(0,0)Ax By A B +=>>，可避免分类讨论和繁琐的计算.【考点针对训练】1. 【2016届淮南市高三第二次模】以双曲线2213x y -=的左右焦点为焦点，离心率为12的椭圆的标准方程为（ ）A ．2211216x y += B ．221128x y += C ．2211612x y += D ．221812x y +=【答案】C【解析】由题意得，双曲线的焦点坐标为12(2,0),(2,0)F F -，即2c =，又离心率为12，即12c a =，解得4a =，所以2223b a c =-=，所以椭圆的方程为2211612x y +=，故选C ． 2. 【2016届广西柳州高中高三4月高考模拟】已知12(,0),(,0)F c F c -为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，点P 在椭圆上，且12PF F ∆的面积为222b ，则12cos F PF ∠= . 【答案】13.【考点2】椭圆的几何性质 【备考知识梳理】 1.椭圆的几何性质 焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程22221(0)x y a b a b +=>> 22221(0)y x a b a b +=>>焦点 (±c,0)(0，±c )焦距 |F 1F 2|＝2c (c 2＝a 2－b 2) 范围 |x |≤a ；|y |≤b|x |≤b ；|y |≤a顶点长轴顶点(±a,0)，短轴顶点(0，±b )长轴顶点(0，±a )，短轴顶点(±b,0)对称性 曲线关于x 轴、y 轴、原点对称曲线关于x 轴、y 轴、原点对称 离心率e ＝ca∈(0，1)，其中c ＝a 2－b 2 2.点00(,)P x y 与椭圆22221x y a b +=关系（1）点00(,)P x y 在椭圆内⇔2200221x y a b +<；（2）点00(,)P x y 在椭圆上⇔2200221x y a b +=；（3）点00(,)P x y 在椭圆外⇔2200221x y a b+>.【规律方法技巧】1.求解与椭圆性质有关的问题时要结合图像进行分析，即使不画图形，思考时也要联想到图像.当涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.2.椭圆取值范围实质实质是椭圆上点的横坐标、纵坐标的取值范围，在求解一些最值、取值范围以及存在性、判断性问题中有着重要的应用.3.求离心率问题，关键是先根据题中的已知条件构造出,,a b c 的等式或不等式，结合222a b c =+化出关于,a c 的式子，再利用ce a=，化成关于e 的等式或不等式，从而解出e 的值或范围.离心率e 与,a b 的关系为：222222c a b e a a -===221b a -⇒21b e a=-. 4.椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离的取值范围为[,a c a c -+].4.椭圆的通径（过焦点垂直于焦点所在对称轴的直线被椭圆截得的弦叫通径）长度为22b a，是过椭圆焦点的直线被椭圆所截得弦长的最小值. 【考点针对训练】1. 【2016届湖北省级示范高中联盟高三模拟】椭圆()22211y x b b+=<的左焦点为,F A 为上顶点，B 为长轴上任意一点，且B 在原点O 的右侧，若FAB ∆的外接圆圆心为(),P m n ，且0m n +>，椭圆离心率的范围为（ ） A ．20,⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭ D ．2,1⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】A2. 【2016届福建福州三中高三最后模拟】椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点为2,1F F ，过2F 作直线l 垂直于x 轴，交椭圆C 于A ，B 两点，若若1F AB ∆为等腰直角三角形，且0190=∠B AF ，则椭圆C 的离心率为（ ）A 21B ．212-C ．22．22【答案】A【解析】∵2AF x ⊥ 轴，∴2b A c a ⎛⎫⎪⎝⎭， ．∵1F AB 为等腰直角三角形，∴122||F F AF = ，∴222222221b c ac b a c e e a=∴==-∴=-，， ，化为()22100e e e +-=>， ．解得22212e -+== ．故选：A ．【考点3】直线与椭圆的位置关系 【备考知识梳理】直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，若判别式Δ＞0，则直线与椭圆交；若△=0，则直线与椭圆相切；若△＜0，则直线与椭圆相离.【规律方法技巧】1. 直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，则一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标，常设出交点坐标，用根与系数关系将横坐标之和与之积表示出来，这是进一步解题的基础． 2．直线y ＝kx ＋b (k ≠0)与圆锥曲线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则弦长|AB |＝ 1＋k 2|x 1－x 2|＝ 1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋1k2·|y 1－y 2|＝1＋1k2·y 1＋y 22－4y 1y 2.3．对中点弦问题常用点差法和参数法. 【考点针对训练】1. 【2016届广东省华南师大附中高三5月测试】已知椭圆C:22193x y +=，直线:l 2y kx =-与椭圆C 交于A ，B 两点，点()0,1P ，且PA =PB ，则直线l 的方程为 ． 【答案】20x y --=或20x y ++=2. 【2016届湖北省八校高三二联】定义：在平面内，点P 到曲线Γ上的点的距离的最小值称为点P 到曲线Γ的距离.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M ：(22212x y -+=及点()2,0A -，动点P 到圆M 的距离与到A 点的距离相等，记P 点的轨迹为曲线W . （Ⅰ）求曲线W 的方程；（Ⅱ）过原点的直线l （l 不与坐标轴重合）与曲线W 交于不同的两点,C D ，点E 在曲线W 上，且CE CD ⊥，直线DE 与x 轴交于点F ，设直线,DE CF 的斜率分别为12,k k ，求12.k k【应试技巧点拨】１．焦点三角形问题的求解技巧(1)所谓焦点三角形，就是以椭圆的焦点为顶点，另一个顶点在椭圆上的三角形．(2)解决此类问题要注意应用三个方面的知识：①椭圆的定义；②勾股定理或余弦定理；③基本不等式与三角形的面积公式．２．离心率的求法椭圆的离心率就是ca的值，有些试题中可以直接求出,a c的值再求离心率，在有些试题中不能直接求出,a c的值，由于离心率是个比值，因此只要能够找到一个关于,a c或,a b的方程，通过这个方程解出ca或b a ，利用公式cea=求出，对双曲线来说，221bea=+，对椭圆来说，221bea=-.3．有关弦的问题(1)有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视椭圆定义的运用，以简化运算．①斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，则所得弦长21212||1||PP k x x =+-或122121||1||P P y y k=+-，其中求12||x x -与21||y y -时通常使用根与系数的关系，即作如下变形： ()2121212||4x x x x x x -=+-，()2211212||4y y y y y y -=+-.②当斜率k 不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)． (2)弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算． 4.直线与椭圆的位置关系在直线与椭圆的位置关系问题中，一类是直线和椭圆关系的判断，利用判别式法.另一类常与“弦”相关：“平行弦”问题的关键是“斜率”、“中点弦”问题关键是“韦达定理”或“小小直角三角形”或“点差法”、“长度（弦长）”问题关键是长度（弦长）公式.在求解弦长问题中，要注意直线是否过焦点，如果过焦点，一般可采用焦半径公式求解；如果不过，就用一般方法求解.要注意利用椭圆自身的范围来确定自变量的范围，涉及二次方程时一定要注意判别式的限制条件. 5.避免繁复运算的基本方法可以概括为：回避，选择，寻求.所谓回避，就是根据题设的几何特征，灵活运用曲线的有关定义、性质等，从而避免化简方程、求交点、解方程等繁复的运算.所谓选择，就是选择合适的公式，合适的参变量，合适的坐标系等，一般以直接性和间接性为基本原则.因为对普通方程运算复杂的问题，用参数方程可能会简单；在某一直角坐标系下运算复杂的问题，通过移轴可能会简单；在直角坐标系下运算复杂的问题，在极坐标系下可能会简单“所谓寻求”.6．注意椭圆的范围，在设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上点的坐标(),P x y 时，则x a ≤，这往往在求与点P 有关的最值问题中特别有用，也是容易忽略导致求最值错误的原因．7．注意椭圆上点的坐标范围，特别是把椭圆上某一点坐标视为某一函数问题求解，求函数的单调区间，最值有重要意义． 二年模拟1. 【2016届海南省农垦中学高三第九次月考】设斜率为22的直线l 与椭圆)0(12222>>=+b a by a x 交于不同的两点P,Q ，若点P 、Q 在x 轴上的射影恰好为椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（ ） A 、22 B 、23 C 、21 D 、31【答案】B2. 【2016届河南省新乡卫辉一中高考押题一】已知某椭圆的方程为()22211x y a a+=>，上顶点为A ，左顶点为B ，设P 是椭圆上的任意一点，且PAB ∆21，若已知()3,0M -，)3,0N ，点Q 为椭圆上的任意一点，则14QN QM+的最小值为（ ） A ．2 B ．94C ．3D ．322+【答案】B【解析】设(cos ,sin ),AB:1xP a y aθθ+=-，因此PAB ∆面积为221|cos sin 1|211221a a aθθ--++=≤+2a =，24QM QN a +==，1414()14149=()(5)(52)4444QM QN QN QM QN QM QN QM QN QM QM QN QM QN +++=++≥+⋅=，当且仅当2QM QN =时取等号，选B.3. 【2016届河北省衡水中学高三下练习五】椭圆()222:106x y C a a +=>6则实数a 为（ ）A ．6555．6555．555【答案】C4. 【2016届福建省厦门市高三5月月考】已知点(1,0)M ，,A B 是椭圆2214x y +=上的动点，且0MA MB ⋅=，则MA BA ⋅的取值范围是（ ）A ．2[,1]3 B ．[1,9] C ．2[,9]3 D ．6[,3]3【答案】B【解析】设),(00y x A ,因22200()(1)MA BA MA BM MA MA x y ⋅=⋅+==-+,且2020411x y -=,故2000322(11)4MA BA x x x ⋅=-+-≤≤，所以min 342()221493MA BA ⋅=⨯-⨯+=， max 3()42(2)294MA BA ⋅=⨯--+=,故应选B.5. 【2016届福建省泉州市高三5月质检】已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>,其长轴长为4且离心率为32,在椭圆1C 上任取一点P , 过点P 作圆()222:32C x y ++=的两条切线,PM PN ,切点分别为,M N ,则22C M C N ⋅的最小值为（ ） A ．2- B ．32- C ．1813- D ．0 【答案】B6. 【2016届河南省郑州一中高三考前冲刺四】若P 为椭圆1151622=+y x 上任意一点，EF 为圆4)1(22=+-y x 的任意一条直径，则PE PF ⋅的取值范围是______.【答案】[]215，【解析】因为()()PE PF NE NP NF NP ⋅=-⋅-()2NE NF NP NE NF NP =⋅-⋅++22cos 04NE NF NP NP π=-⋅-+=-+．又因为椭圆2211615x y +=的4,15,1a b c ===，()10N ，为椭圆的右焦点，∴[][],3,5NP a c a c ∈-+=∴[]521PE PF ⋅∈，．故答案为：[]521，． 7. 【2016届河南省禹州市名校高三三模】已知2F 为椭圆()22401mx y m m +=<<的右焦点, 点()0,2A ,点P 为椭圆上任意一点, 且2PA PF -的最小值为43-,则m = ． 【答案】29【解析】由224mx y m +=，得22144x y m+=，由于01m <<，所以椭圆的焦点在x 轴上.设椭圆的左焦点为1F ，则()1214,44,0PF PF F m +=--，那么21144PA PF PA PF AF -=+-≥-42243m =-=-，解得29m =．8. 【2016届四川南充高中高三4月模拟三】如图，12,A A 为椭圆22195x y +=的长轴的左、右端点，O 为坐标原点，,,S Q T 为椭圆上不同于12,A A 的三点，直线12,Q ,,QA A OS OT 围成一个平行四边形OPQR ，则22OS OT+= .【答案】149. 【2016届湖北省黄冈中学高三5月一模】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左焦点为F ，离心率为12，直线l 与椭圆相交于,A B 两点，当AB x ⊥轴时，ABF ∆的周长最大值为8. （1）求椭圆的方程；（2）若直线l 过点(4,0)M -，求当ABF ∆面积最大时直线AB 的方程.【解析】（1）设椭圆的右焦点为'F ，由椭圆的定义，得''||||||||2AF AF BF BF a +=+=，而ABF ∆的周长为''||||||||||||||4AF BF AB AF BF AF BF a ++≤+++=，当且仅当AB 过点'F 时，等号成立，所以48a =，即2a =，又离心率为12，所以1,3c b ==22143x y +=. （2）设直线AB 的方程为4x my =-，与椭圆方程联立得22(34)24360m y my +-+=.设1122(,),(,)A x y B x y ，则222576436(34)144(4)0m m m ∆=-⨯+=->，且1222434my y m +=+，1223634y y m =+，所以212211843||234ABF m S y y m ∆-=⋅-=+②，令24(0)t m t =->，则②式可化为21818331631616323ABF t S t t t t t∆==≤=++⋅.当且仅当163t t =，即221m =±时，等号成立. 所以直线AB 的方程为22143x y =-或22143x y =--. 10. 【2016届天津市和平区高三第四次模拟】椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的上顶点为()40,,,33b A b P ⎛⎫⎪⎝⎭是椭圆C 上一点，以AP 为直径的圆经过椭圆C 的右焦点F ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若动直线l 与椭圆C 只有一个公共点，且x 轴上存在着两个定点，它们到直线l 的距离之积等于1，求出这两个定点的坐标．（Ⅱ）当直线l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，代入椭圆方程，消去y ，整理，得()222214220kx kmx m +++-=．由2216880k m ∆=-+=，得2221m k =+．假设存在着定点()()1122,0,,0M M λλ满足题设条件．1M 、2M 到直线l 的距离分别为1d 、2d ，则由()()()()2121212122221111k km k m k m d d k k λλλλλλ++++++⋅===++，对于k R ∀∈恒成立，可得121221,0,λλλλ+=⎧⎨+=⎩解得121,1,λλ=⎧⎨=-⎩或121,1.λλ=-⎧⎨=⎩故()()121,0,1,0M M -满足条件．当直线l 的斜率不存在时，经检验，12,M M 仍符合题意．11.【2015届湖北省襄阳市第五中学高三第一学期11月质检】若椭圆的中心在原点，一个焦点为（0，2），直线y=3x+7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为（ ）A ．2211220x y += B．221412x y += C ．221128x y += D ．221812x y += 【答案】D【解析】椭圆的中心在原点，一个焦点为（0，2），所以椭圆的焦点在y 轴上，且422=-b a ，故能排除A ，B ，C 答案为D.12.【2015届黑龙江省哈尔滨市三中高三第四次模拟】设1F 、2F 是椭圆)10(1222<<=+b b y x 的左、右焦点，过1F 的直线l 交椭圆于B A ,两点，若||3||11B F AF =，且x AF ⊥2轴，则=2b （ ） A ．41 B ．31 C ．32 D ．43 【答案】C13. 【江苏省启东中学2015届高三下学期期初调研】已知点(,4)P m 是椭圆22221+=x y a b (0)>>a b 上的一点，12,F F 是椭圆的两个焦点，若12∆PF F 的内切圆的半径为32，则此椭圆的离心率为 ．1F 2F yxP【答案】35；【解析】一方面12∆PF F的面积为1(22)2a c r+⋅；另一方面12∆PF F的面积为122⋅py c，11(22)222+⋅=⋅pa c r y c，∴()+⋅=⋅pa c r y c，∴+=pya cc r，∴(1)+=pyac r，又4=py ∴4511332pyac r=-=-=，∴椭圆的离心率为35==cea.14.【2015届黑龙江省哈尔滨市三中高三第四次模拟】如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点为A（0，2），且离心率等于32，过点M（0，2）的直线l与椭圆相交于P，Q不同两点，点N在线段PQ上．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设||||=||||PM MQPN NQλ=，试求λ的取值范围．（Ⅱ）设11(,)P x y，22(,)Q x y，00(,)N x y，若直线l与y轴重合，则00||||22||||22PM MQPN NQ y y===-+，得1y=，得2λ=l与y轴不重合，则设直线l的方程为2y kx=+，与椭圆方程联立消去y得22(14)1680k x kx+++=，得1221614kx xk+=-+①，122814x xk=+②，由|||| |||| PM MQ PN NQ=得12100200x xx x x x--=--，整理得120122()x x x x x=+，将①②代入得1xk=-，又点00(,)N x y在直线l上，所以1()21y kk=⨯-+=，于是有112y<<，因此1111121111111y yy y yλ--+===----，由112y<<得11211y>+-，所以2λ>，综上所述，有2λ≥．15.【2015届清华附中考前适应性练习】已知椭圆C：)0(12222>>=+babyax的上顶点为A，两个焦点为1F、2F，21FAF∆为正三角形且周长为6．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知圆O:222Ryx=+，若直线l与椭圆C只有一个公共点M，且直线l与圆O相切于点N；求||MN的最大值．拓展试题以及解析1. 已知椭圆22221(0)x yC a ba b+=>>：的离心率为e，直线2y x=与以C的长轴为直径的圆交于A B、两点,且曲线C恰好将线段AB三等分,则2e的值为( )A．12B．18C．1011D．34【答案】C【入选理由】本题考查椭圆的方程、直线和椭圆的位置关系、椭圆的简单几何性质等基础知识，意在考查数形结合思想，转化与化归思想，综合分析问题、解决问题的能力．以及运算求解能力，直线与椭圆的位置关系，是高考考查的热点，故选此题.2．如图，已知椭圆22 221(0)x ya ba b上有一个点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且满足AF BF⊥，当π12ABF∠=时，椭圆的离心率为___________.xyOAFB【答案】6【入选理由】本题考查椭圆的方程，椭圆的定义，解直角三角形，三角恒等变形，椭圆的简单几何性质等基础知识，意在考查数形结合思想，转化与化归思想，综合分析问题、解决问题的能力，以及运算求解能力，椭圆的简单几何性质，是高考考查的热点，故选此题.3.已知椭圆22221(0)yx a ba b+=>>2，长轴AB上2016个等分点从左到右依次为点122015,,,M M M，过1M点作斜率为(0)k k≠的直线，交椭圆C于12,P P两点，1P点在x轴上方；过2M点作斜率为(0)k k≠的直线，交椭圆C于34,P P两点，3P点在x轴上方；以此类推，过2015M点作斜率为(0)k k≠的直线，交椭圆C于40294030,P P两点，4029P点在x轴上方，则4030条直线124030,AP AP AP，，的斜率乘积为_______.【答案】20151.2-【解析】因为椭圆的离心率为22，所以22=2a c ，又222=a b c +，所以22=2a b ，设1P ),(11P P y x ，由椭圆对称性知22111222140301111112P P P AP AP AP BP P P P y y y b k k k k x a x a x a a⋅⋅⋅==-=-+--==,从而4030条直线124030,AP AP AP ，，的斜率乘积配成2015组，每组乘积皆为12-，因此结果为20151.2-【入选理由】本题考查椭圆的方程，直线的斜率，椭圆的简单几何性质等基础知识，意在考查数形结合思想，转化与化归思想，综合分析问题、解决问题的能力，以及运算求解能力，本题初看似乎很难，细细分析，利用椭圆的对称性很容易解出，本题构思巧妙，是一个好题，故选此题.4.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，定义椭圆C 的“隐圆”方程为222222a b x y a b+=+，若抛物线214x y =-的准线恰好过椭圆C 的一个焦点，且椭圆C 短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形. （Ⅰ）求椭圆C 的方程和“隐圆”E 的方程；（Ⅱ）过“隐圆”E 上任意一点P 作“隐圆”E 的切线l 与椭圆C 交于,A B 两点，O 为坐标原点. (i)证明:AOB ∠为定值；(ii)连接PO 并延长交“隐圆”E 于点Q ，求ABQ 面积的取值范围.（Ⅱ）（i ）当直线l 的斜率不存在时，不妨设直线AB 方程为63x =，则6666,,3333A B ⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭，所以2AOB π∠=，当直线l 的斜率存在时，设其方程设为y kx m =+，设()()1122,,,A x y B x y ，联立方程组2212y kx m x y ++==⎧⎪⎨⎪⎩得222()2x kx m ++=,即222(12)4220k x kmx m +++-=,△=222222164(12)(22)8(21)0k m k m k m -+-=-+>,即22210(*)k m -+>，12221224122212km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，因为直线与隐圆相切，所以2222131m m d k k ===++22322m k ∴=+ ，22222221212121222(1)(22)4(1)()1212k m k m x x y y k x x km x x m m k k+-∴+=++++=-+++222322012m k k --==+OA OB ∴⊥2AOB π∴∠=为定值 ； 【入选理由】本题考查椭圆的方程，直线和椭圆的位置关系,椭圆的简单几何性质,新定义,圆的性质,焦三角等基础知识，意在考查数形结合思想，转化与化归思想，综合分析问题、解决问题的能力，以及运算求解能力，本题构思巧妙，是一个好题，故选此题.5.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点到直线320x y -+=的距离为5,且椭圆的一个长轴端10 （1）求椭圆C 的方程；M N，与以椭圆短轴为直径的圆分别交于（2）如图，连接椭圆短轴端点A与椭圆上不同于A的两点,P恰好经过圆心O，求AMN,P Q两点，且Q∆面积的最大值．【入选理由】本题考查椭圆的方程，直线和椭圆的位置关系,椭圆的简单几何性质,基本不等式等基础知识，意在考查数形结合思想，转化与化归思想，综合分析问题、解决问题的能力，以及运算求解能力，本题是一个常规题，直线与椭圆的位置关系，是高考考查的热点，故选此题. 6.已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by ax C 的离心率为e ，直线:l y ex a =+与,x y 轴分别交于B A 、点.（Ⅰ）求证：直线l 与椭圆C 有且仅有一个交点； （Ⅱ）设T 为直线l 与椭圆C 的交点，若AT eAB =，求椭圆C 的离心率；（Ⅲ）求证：直线:l y ex a =+上的点到椭圆C 两焦点距离和的最小值为2.a【入选理由】本题考查椭圆的方程，直线和椭圆的位置关系,椭圆的简单几何性质, 函数最值基础知识，意在考查数形结合思想，转化与化归思想，综合分析问题、解决问题的能力，以及运算求解能力，本题是一个常规题，第二问出题形式新颖，故选此题.7.已知1F 、2F 分别是离心率为21的椭圆E ：)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点，M 是椭圆E 上一点，线段M F 1的中点为N ，△O NF 1（O 为坐标原点）的周长为3. (Ⅰ)求椭圆E 的标准方程；(Ⅱ)过1F 作与x 轴不垂直的直线l 交椭圆E 于B A ,两点，)0,(m Q ，若||||QB QA =，求实数m 的取值范围.【入选理由】本题考查椭圆的方程，椭圆的定义，直线和椭圆的位置关系,椭圆的简单几何性质基础知识，意在考查数形结合思想，转化与化归思想，综合分析问题、解决问题的能力，以及运算求解能力，本题是一个常规题，求参数范围是高考考试的重点，故选此题.8.椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 为椭圆C 上任意一点，12||||PF PF -的最大值4，离心率为22. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知过M （0,1）作一条直线l 与椭圆C 相交于两点B A ,，求△AOB 面积的取值范围．【解析】（Ⅰ）由题知⎪⎩⎪⎨⎧==2242a c c ，解得2,22==c a ，所以222c a b -==4，所以椭圆C 的方程为14822=+y x . （Ⅱ）可设直线AB 的方程为1+=kx y ，代入方程8222=+y x 整理得，064)21(22=-++kx x k ,设直【入选理由】本题考查椭圆的方程，直线和椭圆的位置关系,椭圆的简单几何性质,三角形的面积,函数与导数,函数的单调性,函数的最值基础知识，意在考查数形结合思想，转化与化归思想，综合分析问题、解决问题的能力，以及运算求解能力，本题是一个常规题，但综合性比较强,特别是与导数结合出题,是一个好题，故选此题.。

椭圆中6种常考基础题型(解析版)--2024高考数学常考题型精华版

椭圆中6种常考基础题型(解析版)--2024高考数学常考题型精华版

第19讲椭圆中6种常考基础题型【考点分析】考点一：椭圆的通径过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为22b a．考点二：椭圆中有关三角形的周长问题图一图二如图一所示：21F PF ∆的周长为c a 22+如图一所示：ABC ∆的周长为a 4考点三：椭圆上一点的有关最值①椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点．②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点．距离的最大值为a c +，距离的最小值为a c -．考点四：椭圆的离心率椭圆的离心率()10<<=e a c e ，222222221ab a b a ac e -=-==考点五：椭圆焦点三角形的面积为2tan2S b θ=⋅（θ为焦距对应的张角）考点六：中点弦问题（点差法）中点弦问题：若椭圆与直线l 交于AB 两点，M 为AB 中点，且AB k 与OM k 斜率存在时，则22ab K k OM AB -=⋅；（焦点在x 轴上时），当焦点在y 轴上时，22ba K k OMAB -=⋅若AB 过椭圆的中心，P 为椭圆上异于AB 任意一点，22ab K k PB P A -=⋅（焦点在x 轴上时），当焦点在y 轴上时，22ba K k PBP A -=⋅【题型目录】题型一：椭圆的定义有关题型题型二：椭圆的标准方程题型三：椭圆的离心率题型四：椭圆中焦点三角形面积题型五：椭圆中中点弦问题题型六：椭圆中的最值问题【典型例题】题型一：椭圆的定义有关题型【例1】已知△ABC 的周长为10，且顶点()2,0B -，()2,0C ，则顶点A 的轨迹方程是（）A ．221(0)95x y y +=≠B ．221(0)59x y y +=≠C ．221(0)64x y y +=≠D ．221(0)46x y y +=≠【答案】A【解析】∵△ABC 的周长为10，顶点()2,0B -，()2,0C ，∴=4BC ，+=10464AB AC -=>，∴点A 到两个定点的距离之和等于定值，∴点A 的轨迹是椭圆，∵3,2a c ==，∴2945b =-=，又因为,,A B C 三点构成三角形，∴椭圆的方程是()221095x y y +=≠.故选：A ．【例2】如果点(),M x y =M 的轨迹是（）．A ．不存在B ．椭圆C ．线段D ．双曲线【答案】B=(),M x y 到点(0,3),(0,3)-的距离之和为3(3)6--=<M 的轨迹是椭圆，故选：B【例3】设1F ，2F 分别为椭圆2214x y +=的左、右焦点，点P 在椭圆上，且1223PF PF += ，则12F PF ∠=（）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π【答案】D【解析】因32221==+PO PF PF ，所以213OF OF PO ===，所以︒=∠9021PF F 【例4】1F 、2F 是椭圆22:1259x yC +=的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，1||6PF =，过1F 作12F PF ∠的角平分线的垂线，垂足为M ，则||OM 的长为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【详解】如图，直线1F M 与直线2PF 相交于点N ，由于PM 是12F PF ∠的平分线，且PM ⊥1F N ，所以三角形1F PN 是等腰三角形，所以1PF PN =，点M 为1F N 中点，因为O 为12F F 的中点，所以OM 是三角形12F F N 的中位线，所以212OM F N =，其中212112226F N PF PF PF a PF =-=-=-，因61=PF ，所以62=N F ，所以3=OM ，所以选C【例5】已知椭圆22:12516x y C +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN +=（）A ．10B ．15C ．20D ．25【答案】C【解析】设MN 的中点为G ，椭圆的左右焦点分别为21,F F ，则G 为MN 的中点，1F 为MA 的中点，所以12GF AN =，同理22GF BN =，所以()204221==+=+a GF GF BN AN【例6】方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在x 轴上的椭圆的一个充分但不必要条件是（）A ．0k >B ．12k <<C ．1k >D ．01k <<【答案】B【解析】方程x 2＋ky 2＝2可变形为：22122x y k+=，表示焦点在x 轴上的椭圆，则有：202k<<，解得k 1>.易知当12k <<时，k 1>，当k 1>时未必有12k <<，所以12k <<是k 1>的充分但不必要条件.故选B.【例7】点1F ，2F 为椭圆C ：22143x y+=的两个焦点，点P 为椭圆C 内部的动点，则12PF F △周长的取值范围为（）A ．()2,6B ．[)4,6C ．()4,6D ．[)4,8【答案】C【解析】由椭圆C ：22143x y +=，得：2,1a c ==，当点P 在椭圆上时，12PF F △周长最大，为226a c +=，当点P 在x 轴上时，去最小值，为44c =，又因点P 为椭圆C 内部的动点，所以12PF F △周长的取值范围为()4,6.故选：C.【例8】椭圆22193x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上，如果1PF 的中点在y 轴上，那么1||PF 是2||PF 的（）A ．7倍B ．6倍C ．5倍D ．4倍【答案】C【解析】由题意知：212F F PF ⊥，所以13322===a b PF ，因6221==+a PF PF ，所以51=PF ，所以521=PF PF【题型专练】1.已知△ABC 的周长为20，且顶点B （0，﹣4），C （0，4），则顶点A 的轨迹方程是（）A ．2213620x y +=（x≠0）B ．2212036x y +=（x≠0）C ．221620x y +=（x≠0）D ．221206x y +=（x≠0）【答案】B【解析】∵△ABC 的周长为20，顶点B （0，﹣4），C （0，4），∴BC ＝8，AB +AC ＝20﹣8＝12，∵12＞8∴点A 到两个定点的距离之和等于定值，∴点A 的轨迹是椭圆，∵a ＝6，c ＝4∴b 2＝20，∴椭圆的方程是()22102036x y x +=≠故选B ．2.焦点在x 轴上的椭圆222125x y a +=焦距为8，两个焦点为12,F F ，弦AB 过点1F ，则2ABF ∆的周长为（）A ．20B ．28C ．D ．【答案】D【解析】由题意知252=b ，因为222c b a +=，所以16252+=a ，解得41=a ，所以2ABF ∆的周长为4144=a ，故选：D3.（2021新高考1卷）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（）A.13B.12C.9D.6【答案】C【解析】因2121262MF MF a MF MF ⋅≥==+，所以921≤⋅MF MF 4.已知椭圆22192x y +=的左、右焦点分别为12,F F ，点M 在椭圆上，若1||4MF =，则12F MF ∠=（）A ．30°B ．60︒C ．120︒D ．150︒【答案】C 【解析】【分析】根据椭圆方程求得12F F =1226MF MF a +==，求得1||4MF =，所以22MF =，在12F MF △中，再由余弦定理列出方程，求得121cos 2F MF ∠=-，即可求解．【详解】解：由题意，椭圆方程22192x y +=，可得3,a b c ===所以焦点12(F F ，又由椭圆的定义，可得1226MF MF a +==，因为1||4MF =，所以22MF =，在12F MF △中，由余弦定理可得222121212122cos F F MF MF MF MF F MF =+-∠,所以2221242242cos F MF =+-⨯⨯∠，解得121cos 2F MF ∠=-，又由12(0,180)F MF ∠∈，所以12120F MF ∠= .故选:C ．5.设1F ，2F 为椭圆22194x y +=的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段1PF 的中点在y 轴上，则21PF PF 的值为（）A ．513B ．45C ．27D ．49【答案】C 【解析】【分析】由中位线定理以及椭圆方程得出243PF =，再由椭圆的定义得出1PF ，再求21PF PF 的值.【详解】由椭圆的定义可知，1226PF PF a +==，由中位线定理可知，212PF F F ⊥，将x =22194x y+=中，解得43y =±，即243PF =，1414633PF =-=，故214323147PF PF =⨯=故选：C6.已知曲线22:1C mx ny +=A ．若0m n >>，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若0m n >>，则C 是椭圆，其焦点在x 轴上C ．若0m n =>，则CD ．若0m =，0n >，则C 是两条直线【答案】AD【解析】由题意得：11122=+ny m x ，所以当0>>n m ，则nm 110<<，所以表示焦点在y 轴上的椭圆，所以A 对，B 错，当0>=n m 时，曲线C 为ny x 122=+，所以表示圆，半径为n 1，当0,0>=n m 时，曲线C 为ny 12=，所以n y 1±=，所以表示两条直线，故选：AD7.已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是（）AB．CD．【答案】C 【解析】【分析】设线段2PF 的中点为M ，连接1PF 、1MF ，利用圆的几何性质可得出12F M PF ⊥，求得11222PF F F c ===，利用椭圆的定义可求得2PF ，可判断出12PF F △的形状，即可得解.【详解】在椭圆22143x y +=中，2a =，b =，1c =，设线段2PF 的中点为M ，连接1PF 、1MF ，则12F F 为圆O 的一条直径，则12F M PF ⊥，因为M 为2PF 的中点，则11222PF F F c ===，则2122PF a PF =-=，所以，12PF F △为等边三角形，由图可知，直线2PF 的倾斜角为3π.故选：C.8.在平面直角坐标系xOy 中，若△ABC 的顶点(0,2)A -和(0,2)C ，顶点B 在椭圆181222=+xy 上，则sin sin sin A C B +的值是（）AB ．2C ．D ．4【答案】A 【解析】【分析】由题设易知,A C 为椭圆的两个焦点，结合椭圆定义及焦点三角形性质有||||2AB CB a +=，||2AC c =，最后应用正弦定理的边角关系即可求目标式的值.【详解】由题设知：,A C 为椭圆的两个焦点，而B 在椭圆上，所以||||2AB CB a +==||24AC c ==，由正弦定理边角关系知：|||||sin sin sin |A A CB CB A BC +=+故选：A9.已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（）A ．13B ．12C ．9D ．6【答案】C【解析】由题，229,4a b ==，则1226MF MF a +==，所以2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭（当且仅当123MF MF ==时，等号成立）．故选：C ．10.已知椭圆22143x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆上且在x 轴的下方，若线段2PF 的中点在以原点O 为圆心，2OF 为半径的圆上，则直线2PF 的倾斜角为（）A ．6πB ．4πC ．3πD ．23π【答案】C 【解析】【分析】设线段2PF 的中点为M ，连接1PF 、1MF ，利用圆的几何性质可得出12F M PF ⊥，求得11222PF F F c ===，利用椭圆的定义可求得2PF ，可判断出12PF F △的形状，即可得解.【详解】在椭圆22143x y +=中，2a =，b =，1c =，设线段2PF 的中点为M ，连接1PF 、1MF ，则12F F 为圆O 的一条直径，则12F M PF ⊥，因为M 为2PF 的中点，则11222PF F F c ===，则2122PF a PF =-=，所以，12PF F △为等边三角形，由图可知，直线2PF 的倾斜角为3π.故选：C.11．已知A 为椭圆2212516x y +=上一点，F 为椭圆一焦点，AF 的中点为P ，O 为坐标原点，若2OP =则AF =（）A ．8B ．6C ．4D ．2【答案】B【解析】不妨设椭圆2212516x y +=左焦点为F ，右焦点为E ，因为AE 的中点为P ，EF 的中点为O ，所以24AE OP ==，又由210AE AF a +==，可得1046AF =-=.故选：B .12.已知椭圆C ：22194x y +=的左右焦点分别是12,F F ，过2F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且118AF BF +=，则AB =（）A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】A【解析】由椭圆22:194x y C +=知：a =3，由椭圆的定义得：121226,26AF AF a BF BF a +==+==，所以11412AF BF AB a ++==，又因为118AF BF +=，所以AB 4=，故选：A题型二：椭圆的标准方程【例1】已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>右焦点为)，其上下顶点分别为1C ，2C ，点()1,0A ，12AC AC ⊥，则该椭圆的标准方程为（）A ．22134x y +=B ．22143x y +=C ．2213y x +=D ．2213x y +=【例2】已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，椭圆C 的一顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，12AF F △焦距为2，过1F ，且垂直于2AF 的直线与椭圆C 交于D ，E 两点，则ADE ∆的周长是（）A ．B ．8C ．D ．16【例3】如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，(F -为椭圆C 的左焦点，P 为椭圆C 上一点，满足||||OP OF =，且||4PF =，则椭圆C 的方程为（）A ．221255x y +=B ．2214525x y +=C ．2213010x y +=D ．2213616x y +=故选：D【例4】阿基米德（公元前287年—公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积．若椭圆C 的对称轴为坐标轴，焦点在y 轴上，且椭圆C 的离心率为53，面积为12π，则椭圆C 的方程为（）A ．221188x y +=B ．22198y x +=C ．221188y x +=D ．22184y x +=【例5】过椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>右焦点F 的直线l ：20x y --=交C 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12-，则椭圆C 的方程为（）A ．22184x y +=B ．22195x y +=C ．22173x y +=D ．221106x y +=【例6】已知12,F F 分别是椭圆221(0)x y a b a b +=>>的左､右焦点，A ，B 分别为椭圆的上，下顶点，过椭圆的右焦点2F 的直线交椭圆于C ，D 两点，1FCD 的周长为8，且直线AC ，BC 的斜率之积为14-，则椭圆的方程为（）A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．2214x y +=D ．22143x y +=【例7】已知椭圆C 的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||3||AF F B =，15||4||AB BF =，则C 的方程为（）A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=【题型专练】1．已知1F 、2F 是椭圆C ：22221x ya b+=()0a b >>的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，B 在x 轴上，20AB AF ⋅= 且122AF AB AF =+.若坐标原点O 到直线AB 的距离为3，则椭圆C 的方程为（）A ．2214x y +=B ．22143x y +=C ．221169x y +=D ．2211612x y +=1612故选：D2．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，其左､右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，点P 为该椭圆上一点，且满足12π3F PF ∠=，若12F PF △的内切圆的面积为π，则该椭圆的方程为（）A ．221129x y +=B ．2211612x y +=C ．2212418x y +=D ．2213224x y +=3．已知椭圆的两个焦点为1(F ，2F ，M 是椭圆上一点，若12MF MF ⊥，128MF MF ⋅=，则该椭圆的方程是（）A ．22172x y +=B ．22127x y +=C ．22194x y +=D ．22149x y +=4．已知1(1,0)F -，2(1,0)F 是椭圆C 的两个焦点，过2F 且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点，3AB =，则椭圆C 的标准方程为（）A ．2213y x +=B ．2213x y +=C ．22143x y +=D ．22132x y +=方法二：由题意，设椭圆C 的标准方程为所以a ＝2或12a =-（舍去），所以2a 故椭圆C 的标准方程为22143x y +=．故选：C.5．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为)，右顶点为A ，O 为坐标原点，过OA 的中点且与坐标轴垂直的直线交椭圆C 于M ，N 两点，若四边形OMAN 是正方形，则C 的方程为（）A ．2213x y +=B ．22153x y +=C ．22175x y +=D．22197x y +=6．已知椭圆22:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线0x y -=与椭圆C 相交于不同的两点,A B ，若P 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，直线OP 的斜率为12-，则椭圆C 的方程为（）A ．2213x y +=B ．22142x y +=C ．22153x y +=D ．22163x y +=7．阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近”的方法得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左，右焦点分别是1F ，2F ，P 是C 上一点，213PF PF =，123F PF π∠=，C 的面积为12π，则C 的标准方程为（）A ．221364x y +=B ．22112x y +=C ．221169x y +=D ．22143x y +=8．已知椭圆C ：22=1x y a b+(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，左、右顶点分别为M ，N ，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点(异于M 、N )，△AF 1B 的周长为AM 与AN 的斜率之积为－23，则椭圆C的标准方程为（）A ．22=134y x +B ．22=134x y +C ．22=13x y +D ．22=132x y +9．已知椭圆C 的焦点为()11,0F -，()21,0F ，过2F 的直线交于C 与A ，B ，若222AF F B =，1AB BF =，则C 的方程为（）A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22198x y +=1F 题型三：椭圆的离心率【例1】已知1F ，2F 为椭圆22221x ya b+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点，以原点O 为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆相交于四个点，设位于y 轴右侧的两个交点为A ，B ，若1ABF 为等边三角形，则椭圆的离心率为（）A1B 1C ．12D 又1290F AF ∠=，∴21,3AF c AF c ==，∴32c c a +=，可得2331c a ==+故选：B ．【例2】已知椭圆C ：()21024b b+=<<的左焦点为1F ，直线()0y kx k =≠与C 交于点M ，N .若1120MF N ︒∠=，1183MF NF ⋅=，则椭圆C 的离心率为（）A ．12B ．22C D 因为O 为12,MN F F 的中点，所以四边形所以12MF NF =，12NF MF =，由椭圆的定义可得：又因为1183MF NF ⋅=，所以1MF 【例3】已知椭圆()22:10x y C a b a b+=>>上存在两点,M N 关于直线3310--=x y 对称，且线段MN 中点的纵坐标为53，则椭圆C 的离心率是（）A B C ．23D【例4】已知椭圆C ：221a b+=()0a b >>的左右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 做倾斜角为6π的直线与椭圆相交于A ，B 两点，若222,AF F B =，则椭圆C 的离心率e 为（）AB ．34C ．35D【例5】设B 是椭圆()22:10C a b a b+=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（）A ．,12⎫⎪⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2⎛ ⎝⎦D ．10,2⎛⎤⎝⎦【例6】12,F F 是椭圆C 的两个焦点，P 是椭圆C 上异于顶点的一点，I 是12PF F △的内切圆圆心，若12PF F △的面积等于12IF F △的面积的3倍，则椭圆C 的离心率为（）A ．13B ．12C ．2D ．2a b如图，设()()()12,,,0,,0,P m n F c F c ∴-三角形由椭圆的定义可得22l a c=+122222PF F S cn cnr l a c a c∴===++ ，又2121113,2322P I F F F F cn S S c n a =∴⨯⨯=⨯⨯ 故选：B【例7】用平面截圆柱面，当圆柱的轴与α所成角为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆.著名数学家Dandelin 创立的双球实验证明了上述结论.如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于α的上方和下方，并且与圆柱面和α均相切.给出下列三个结论：①两个球与α的切点是所得椭圆的两个焦点；②椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等；③当圆柱的轴与α所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大.其中，所有正确结论的序号是（）A ．①B ．②③C ．①②D ．①③【答案】C【分析】根据切线长定理可以证明椭圆上任意一点到12,F F 的距离之和为定值，即12,F F 是焦点再运用勾股定理证明短轴长，最后构造三角形，运用三角函数表示离心率即可.【详解】如图：在椭圆上任意一点P 作平行于12O O 的直线，与球1O 交于F 点，与球2O 交于E 点，则PE ，2PF 是过点P 作球2O 的两条公切线，2PE PF =，同理1PF PF =，是椭圆的焦点；①正确；【例8】国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆；某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图2所示，若由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B 分别向内层椭圆引切线AC ，BD ，且两切线斜率之积等于34-，则椭圆的离心率为（）A ．34B ．58C ．12D ．4【题型专练】1．直线:l y =与椭圆2222:1x y C a b+=交于,P Q 两点，F 是椭圆C 的右焦点，且0PF QF ⋅= ，则椭圆的离心率为（）A ．4-B ．3C 1D ．2【详解】的左焦点为F '，由对称性可知：四边形PF QF '为平行四边形，PF QF '∴=2PF PF QF a '=+=；2．设12,F F 分别是椭圆221x ya b+=的左、右焦点，若椭圆上存在点A ，使12120F AF ∠=︒且123AF AF =，则椭圆的离心率为（）AB C D3.设椭圆22:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点M ，N 在C 上（M 位于第-象限），且点M ，N 关于原点O 对称，若1222||,F F MN MF ==，则C 的离心率为（）A ．4B ．37C ．12D ．377122a +故选：B4．如图，直径为4的球放地面上，球上方有一点光源P ，则球在地面上的投影为以球与地面切点F 为一个焦点的椭圆，已知是12A A 椭圆的长轴，1PA 垂直于地面且与球相切，16PA =，则椭圆的离心率为（）A ．12B ．23C ．13D ．2【答案】A【分析】根据给定条件，结合球的性质作出截面12PA A ，再结合三角形内切圆性质求出12A A 长即可作答.【详解】依题意，平面12PA A 截球O 得球面大圆，如图，12Rt PA A 是球O 大圆的外切三角形，其中112,PA A A 切圆O 于点E ，F ，=5．如图圆柱12O O 的底面半径为1，母线长为6，以上下底面为大圆的半球在圆柱12O O 内部，现用一垂直于轴截面ABB A ''的平面α去截圆柱12O O ，且与上下两半球相切，求截得的圆锥曲线的离心率为（）A ．3B ．3C D ．3半径为1，12O O 平面α与底面夹角余弦值为圆柱的底面半径为1,∴又 椭圆所在平面与圆柱底面所成角余弦值为以G 为原点建立上图所示平面直角坐标系，12,332FH a EF a ∴===，则椭圆标准方程为2222c a b =-=，故离心率故选：A.6．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为坐标平面上一点，且满足120PF PF ⋅=的点P 均在椭圆C 的内部，则椭圆C 的离心率的取值范围为（）A ．2⎛ ⎝⎭B ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．,12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭7．已知点A ，P ，Q 为椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>上不重合的三点，且点P ，Q 关于原点对称，若12AP AQ k k ⋅=-，则椭圆C 的离心率为（）A ．2B C D8．已知椭圆22:1(0)x yC a ba b+=>>的一个焦点为F，椭圆C上存在点P，使得PF OP⊥，则椭圆C的离心率取值范围是（）A．2⎛⎝⎦B．,12⎫⎪⎪⎣⎭C．10,2⎛⎤⎥⎝⎦D．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭故选：B题型四：椭圆中焦点三角形面积【例1】已知椭圆()222210+=>>x y C a b a b：的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为C 上一点，12π3F PF ∠=，若12F PF △的面积为C 的短袖长为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【例2】（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知12,F F 为椭圆C ：221164x y+=的两个焦点，P ，Q为C 上关于坐标原点对称的两点，且12PQ F F =，则四边形12PFQF 的面积为________．【答案】8【解析】因为,P Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且12||||PQ F F =，所以四边形12PFQF 为矩形，设12||,||PF m PF n ==，则228,48m n m n +=+=，所以22264()2482m n m mn n mn =+=++=+，8mn =，即四边形12PFQF 面积等于8.故答案为：8.【题型专练】1.设P 为椭圆221259x y +=上一点，1,F 2F 为左右焦点，若1260F PF ︒∠=，则P 点的纵坐标为（）A．4B．4±C．4D．4±【答案】B 【分析】根据椭圆中焦点三角形的面积公式2tan 2S b θ=求解即可.【详解】由题知12609tan2F PF S ︒=⨯= 设P 点的纵坐标为h则12421F F h h ⋅⋅=±⇒=.故选：B2．已知()()1200F c F c -，，，是椭圆E 的两个焦点，P 是E 上的一点，若120PF PF ⋅=，且122=△PF F S c ，则E 的离心率为（）ABC ．2D 3．已知P 是椭圆221259x y +=上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，若1212PF PF PF PF ⋅=⋅ 12，则12F PF △的面积为（）A．B．CD ．9题型五：椭圆中中点弦问题【例1】已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的长轴为4，直线230x y +-=与椭圆C 相交于A 、B 两点，若线段AB 的中点为(1,1)M ，则椭圆C 的方程为（）A ．221168x y +=B ．22142x y +=C ．2211612x y +=D ．22143x y +=【例2】平行四边形ABCD 内接于椭圆221x y a b +=()0a b >>，椭圆的离心率为2，直线AB 的斜率为1，则直线AD 的斜率为（）A ．1-4B ．1-2C ．2D ．-1设E 为AD 中点，由于O 为BD 中点，所以因为1133(,),(,)A x y D x y 在椭圆上，【例3】椭圆2294144x y +=内有一点(2,3)P ，过点P 的弦恰好以P 为中点，那么这条弦所在的直线方程为（）A ．23120x y +-=B ．32120x y +-=C ．941440x y +-=D ．491440x y +-=【例4】已知椭圆E ：143+=上有三点A ，B ，C ，线段AB ，BC ，AC 的中点分别为D ，E ，F ，O为坐标原点，直线OD ，OE ，OF 的斜率都存在，分别记为1k ，2k ，3k ，且123k k k ++=直线AB ，BC ，AC 的斜率都存在，分别记为AB k ，BC k ，AC k ，则111AB BC ACk k k ++=（）AB ．C ．-D ．1-【例5】离心率为2的椭圆()222210x y a b a b +=>>与直线y kx =的两个交点分别为A ，B ，P 是椭圆不同于A 、B 、P 的一点，且PA 、PB 的倾斜角分别为α，β，若120αβ+=︒，则()cos αβ-=（）A ．16-B ．13-C ．13D ．16【例6】（2022·全国·高考真题）已知直线l 与椭圆22163x y +=在第一象限交于A ，B 两点，l 与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，且||||,||MA NB MN ==l 的方程为___________．【例7】（2022·全国甲（理）T10）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线,AP AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为（）A.32B.22C.12D.13【答案】A 【解析】【分析】设()11,P x y ，则()11,Q x y -，根据斜率公式结合题意可得2122114y x a =-+，再根据2211221x y a b+=，将1y 用1x 表示，整理，再结合离心率公式即可得解.【详解】解：(),0A a -，设()11,P x y ，则()11,Q x y -，则1111,AP AQ y y k k x a x a==+-+，故21112211114AP AQy y y k k x a x a x a ⋅=⋅==+-+-+，又2211221x y a b +=，则()2221212b a x y a -=，所以()2221222114b a x a x a -=-+，即2214b a =，所以椭圆C的离心率2c e a ===.故选：A.【例8】椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为椭圆的右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆离心率的最大值为__________．【答案】63【解析】因为,B A 关于原点对称，所以B 也在椭圆上，设左焦点为F '，根据椭圆的定义：||2AF AF a '+=，因为||BF AF'=，所以||||2AF BF a +=，O 是直角三角形ABF 斜边的中点，所以||2,||2sin ,||2cos AB c AF c BF c αα===，所以2(sin cos )2c a αα+=，所以11sin cos 4c a πααα==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由于,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以当12πα=时，离心率的最大值为63，故答案为63．【题型专练】1．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，()0,2P ，()0,2Q -过点P 的直线1l 与椭圆交于A ，B ，过点Q 的直线2l 与椭圆交于C ，D ，且满足12l l ∕∕，设AB 和CD 的中点分别为M ，N ，若四边形PMQN 为矩形，且面积为则该椭圆的离心率为（）A ．13B ．23C．3D ．32.椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为12,A A ,点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是[]2,1--，那么直线1PA 斜率的取值范围是（）A ．1324⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．3384⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．314⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【答案】B【详解】由题意，椭圆C ：22143x y +=的左、右顶点分别为12(2,0),(2,0)A A -，设00(,)P x y ，则()2200344y x =-，又由1220002200034PA PA y y y k k x a x a x a ⋅=⨯=-+--，可得1234PA PA k k -=，因为[]12,1PA k ∈--，即23421PA k --≤≤-，可得23384PA k ≤≤，所以直线2PA 斜率的取值范围33,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：B3．已知椭圆22:184x y C +=，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点,A B ，线段AB 的中点为M ，则OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积（）A ．1-B ．1C ．12D ．12-【答案】D，进而联立方程求解中点4．点A ，B 在椭圆2212x y +=上，点11,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2OA OB OM +=，则直线AB 的方程是（）A ．12y x =-B ．522y x =-+C ．32y x =-+D ．322y x =-5．已知椭圆143x y +=上有三个点A ､B ､C ，AB ，BC ，AC 的中点分别为D ､E ､F ，AB ，BC ，AC 的斜率都存在且不为0，若34OD OE OF k k k ++=-(O 为坐标原点)，则111AB BC ACk k k ++=（）A ．1B ．-1C ．34-D ．34【答案】A的斜率转化为6．直线:20l x y-=经过椭圆22+1(0)x y a ba b=>>的左焦点F，且与椭圆交于,A B两点，若M为线段AB中点，||||MF OM=，则椭圆的标准方程为（）A．22+163x y=B．22+185x y=C．2214x y+=D．22+1129x y=7．已知三角形ABC 的三个顶点都在椭圆：143x y +=上，设它的三条边AB ，BC ，AC 的中点分别为D ，E ，M ，且三条边所在线的斜率分别为1k ，2k ，3k ，且1k ，2k ，3k 均不为0.O 为坐标原点，若直线OD ，OE ，OM 的斜率之和为1.则123111k k k ++=（）A ．43-B ．3-C ．1813-D ．32-8．已知过点()1,1M 的直线l 与椭圆22184x y +=交于,A B 两点，且满足,AM BM =则直线l 的方程为（）A ．30x y -+=B ．230x y +-=C ．2230x y -+=D ．230x y +-=题型六：椭圆中的最值问题【例1】已知椭圆()2222:10y x C a b a b+=>>的上、下焦点分别是1F ，2F ，点P 在椭圆C 上则下列结论正确的是（）A ．12PF PF ⋅有最大值无最小值B ．12PF PF ⋅无最大值有最小值C ．12PF PF ⋅既有最大值也有最小值D ．12PF PF ⋅既无最大值也无最小值【例2】若点O 和点F 分别为椭圆()222210x y a b a b+=>>的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP ⋅的最大值为（）A ．()a a c +B ．()b a c +C ．()a a c -D ．()b ac -【例3】已知点P 是椭圆4x +2y =1上的动点（点P 不在坐标轴上），12F F 、为椭圆的左，右焦点，O 为坐标原点；若M 是12F PF ∠的角平分线上的一点，且1F M 丄MP ，则丨OM 丨的取值范围为（）A ．（0B ．（0，2）C ．（l ，2）D ．2）【答案】A=因为1F M MP ⊥，因为PM 为12F PF ∠的角平分线，所以，PN 因为O 为12F F 的中点，所以，212OM F N =设点00(,)P x y ，由已知可得2a =，1b =，c 则022x -<<且00x ≠，且有220114y x =-，()2221000032331PF x y x x =++=+++-【例4】已知点P 在椭圆193x y +=上运动，点Q 在圆22(1)8x y -+=上运动，则PQ 的最小值为（）A ．2B ．2C ．24-D ．4【答案】D【分析】先求出点P 到圆心(1,0)A 的距离的最小值，然后减去圆的半径可得答案。

椭圆(知识点讲解)高考数学一轮复习(新教材新高考)(解析版)

椭圆(知识点讲解)高考数学一轮复习(新教材新高考)(解析版)

专题9.3 椭圆（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.结合椭圆的定义，考查应用能力，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．2．结合椭圆的定义、简单的几何性质、几何图形，会求椭圆方程及解与几何性质有关的问题，凸显数学运算、直观想象的核心素养．【知识点展示】一．椭圆的定义及其应用1.椭圆的概念(1)文字形式：在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．(2)代数式形式：集合①若，则集合P为椭圆；1212P={M||MF|+|MF|=2a|FF|=2c.}a c>②若，则集合P 为线段； ③若，则集合P 为空集．2.椭圆的标准方程：焦点在轴时，；焦点在轴时，二．椭圆的标准方程 1. 椭圆的标准方程：（1）焦点在轴，；（2）焦点在轴，.2．满足条件：三．椭圆的几何性质椭圆的标准方程及其几何性质条件图形标准方程范围对称性曲线关于轴、原点对称 曲线关于轴、原点对称 顶点 长轴顶点 ,短轴顶点长轴顶点 ,轴顶点焦点a c =a c <x 2222=1(a>b>0)x y ab +y 2222=1(a>b>0)y x a b+x 2222+=1(a>b>0)x y a by 2222y +=1(a>b>0)x a b22222000a c a b c a b c ＞，＝＋，＞，＞，＞22222000a c a b c a b c ＞，＝＋，＞，＞，＞2222+=1(a>b>0)x y a b 2222y +=1(a>b>0)x a bx a y b ≤≤,x b y a ≤≤,,x y ,x y (),0a ±()0,b ±()0,a ±(),0b ±(),0c ±()0,c ±焦距离心率，其中通径过焦点垂直于长轴的弦叫通径，其长为四．直线与椭圆的位置关系 1.直线与椭圆位置关系的判断(1)代数法：把椭圆方程与直线方程联立消去y ，整理得到关于x 的方程Ax 2＋Bx ＋C ＝0.记该一元二次方程根的判别式为Δ，①若Δ＞0，则直线与椭圆相交；②若Δ＝0，则直线与椭圆相切；③若Δ＜0，则直线与椭圆相离．(2)几何法：在同一直角坐标系中画出椭圆和直线，利用图象和性质可判断直线与椭圆的位置关系． 2．直线与椭圆的相交长问题：（1）弦长公式：设直线与椭圆有两个公共点则弦长公式为或 （2）弦中点问题，适用“点差法”. （3）椭圆中点弦的斜率公式若M (x 0，y 0)是椭圆的弦AB (AB 不平行y 轴)的中点，则有k AB ·k OM ＝22b a-，即k AB ＝2020b x a y -.【常考题型剖析】题型一：椭圆的定义及其应用例1.（2021·全国高考真题）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y+=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ） A ．13 B ．12C ．9D ．6【答案】C 【分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MF MF a +==，借助基本不等式212122MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤ ⎪⎝⎭即可得到答222122()F F c c a b -＝＝() 0,1ce a∈＝c ＝22a b -22b a1122()()M x y N x y ，，，，MN ＝221212(1)[()4]k x x x x ++-MN 2121221(1)[(y )4]y y y k++-2222+=1(a>b>0)x y a b案． 【详解】由题，229,4a b ==，则1226MF MF a +==，所以2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭（当且仅当123MF MF ==时，等号成立）． 故选：C ．例2. （2021·全国）已知椭圆22:143x y C +=的右焦点为F ，P 为椭圆C 上一动点，定点(2,4)A ，则||||PA PF -的最小值为（ ） A ．1 B ．－1 C 17 D ．17-【答案】A 【分析】设椭圆的左焦点为F '，得到||4PF PF '=-，得出||||||4PA PF PA PF '-=+-，结合图象，得到当且仅当P ，A ，F '三点共线时，||PA PF '+取得最小值，即可求解.【详解】设椭圆的左焦点为F '，则||4PF PF '+=，可得||4PF PF '=-， 所以||||||4PA PF PA PF '-=+-，如图所示，当且仅当P ，A ，F '三点共线（点P 在线段AF '上）时， 此时||PA PF '+取得最小值，又由椭圆22:143x y C +=，可得(1,0)F '-且(2,4)A ，所以2(21)165AF '=++=，所以||||PA PF -的最小值为1． 故选：A ．例3.（2023·全国·高三专题练习）已知P 是椭圆221259x y +=上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，若1212PF PF PF PF ⋅=⋅12，则12F PF △的面积为（ ）A ．33B ．3C 3D ．9【答案】A【分析】由已知可得12F PF ∠，然后利用余弦定理和椭圆定义列方程组可解. 【详解】因为121212121212cos 1cos 2PF PF F PF PF PF F PF PF PF PF PF ⋅∠⋅==∠=⋅⋅，120F PF π∠≤≤所以123F PF π∠=，又224c a b =-=记12,PF m PF n ==，则222464210m n mn c m n a ⎧+-==⋅⋅⋅⎨+==⋅⋅⋅⎩①②，②2-①整理得：12mn =，所以12113sin 12332322F PF S mn π==⨯⨯= 故选：A【规律方法】1.应用椭圆的定义，可以得到结论：（1）椭圆上任意一点P (x ，y )(y ≠0)与两焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)构成的△PF 1F 2称为焦点三角形，其周长为2(a ＋c )．(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a 是斜边，a 2＝b 2＋c 2.2.对焦点三角形的处理方法，通常是运用.3.椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等． (2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题． 题型二：椭圆的标准方程例4.（2022·全国·高考真题（文））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为13，12,A A 分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若121BA BA ⋅=-，则C 的方程为（ ）A ．2211816x y +=B ．22198x yC ．22132x y +=D ．2212x y +=【答案】B【分析】根据离心率及12=1⋅-BA BA ，解得关于22,a b 的等量关系式，即可得解.【详解】解：因为离心率22113c b e a a ==-=，解得2289b a =，2289=b a ，12,A A 分别为C 的左右顶点，则()()12,0,,0A a A a -，B 为上顶点，所以(0,)B b .所以12(,),(,)=--=-BA a b BA a b ，因为121BA BA ⋅=-所以221-+=-a b ，将2289=b a 代入，解得229,8a b ==，故椭圆的方程为22198x y .12F PF △⎧⎪⎨⎪⎩定义式的平方余弦定理面积公式2212222121212(2a)212S θθ∆⎧⎪=⎪=-⋅⎨⎪⎪=⋅⎩⇔（|PF|+|PF|）(2c)|PF|+|PF||PF||PF|cos |PF||PF|sin故选：B.例5.（2019·全国高考真题（文））已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为（ ）A.2212x y += B.22132x y +=C.22143x y +=D.22154x y += 【答案】B 【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得3n =． 22224233312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得32n =．22224233,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ． 例6.【多选题】（2023·全国·高三专题练习）点1F ，2F 为椭圆C 的两个焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=︒，则椭圆C 方程可以是（ ）A ．221259x y +=B ．2212516x y +=C ．221189x y +=D ．221169x y +=【答案】AC【分析】设椭圆上顶点为B ，由题满足1290F BF ∠≥︒，即2221212BF BF F F +≤，可得222a b ≥，即可得出答案.【详解】设椭圆方程为22221x y a b+=()0a b >>，设椭圆上顶点为B ，椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=︒， 则需1290F BF ∠≥︒， 2221212BF BF F F ∴+≤，即2224a a c +≤，222c a b =-，222424a a b -≤， 则222a b ≥，所以选项AC 满足. 故选：AC. 【总结提升】1.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤是： (1)作判断：根据条件判断焦点的位置．(2)设方程：焦点不确定时，要注意分类讨论，或设方程为 ． (3)找关系：根据已知条件，建立关于的方程组． (4)求解，得方程．2．(1)方程与有相同的离心率．(2)与椭圆共焦点的椭圆系方程为，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便． 题型三：椭圆的几何性质例7.（2022·全国·高考真题（理））椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线,AP AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为（ ）A 3B 2C ．12D ．13【答案】A【分析】设()11,P x y ，则()11,Q x y -，根据斜率公式结合题意可得2122114y x a =-+，再根据2211221x y a b+=，将1y 用1x 表示，整理，再结合离心率公式即可得解.221mx ny ＋＝(0)0m n m n ≠＞，＞且a b c m n 、、或、2222y +=1x a b 2222y +=(>0)x a bλλ2222+=1(a>b>0)x y a b 22222+=1(a>b>0,0)x y b k a k b k+>++【详解】解：(),0A a -， 设()11,P x y ，则()11,Q x y -， 则1111,AP AQ y y k k x a x a==+-+， 故21112211114AP AQy y y k k x a x a x a ⋅=⋅==+-+-+， 又2211221x y a b +=，则()2221212b a x y a-=， 所以()2221222114b a x a x a -=-+，即2214b a =， 所以椭圆C 的离心率22312c b e a a ==-=. 故选：A .例8.（2023·全国·高三专题练习）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的蒙日圆方程为2222x y a b +=+，1F ，2F 分别为椭圆C 的左、右焦点.5M 为蒙日圆上一个动点，过点M 作椭圆C 的两条切线，与蒙日圆分别交于P ，Q 两点，若MPQ 面积的最大值为36，则椭圆C 的长轴长为（ ） A ．25B ．45C ．3D ．43【答案】B【分析】利用椭圆的离心率可得5a c =，分析可知PQ 为圆2223x y b +=的一条直径，利用勾股定理得出222236MP MQ PQ c +==，再利用基本不等式即可求即解【详解】因为椭圆C 的离心率55c e a ==，所以5a c =. 因为222a b c =+，所以2b c =，所以椭圆C 的蒙日圆的半径为223a b c +=. 因为MP MQ ⊥，所以PQ 为蒙日圆的直径， 所以6PQ c =，所以222236MP MQ PQ c +==. 因为222182MP MQMP MQ c +⋅≤=，当32MP MQ c ==时，等号成立， 所以MPQ 面积的最大值为：2192MP MQ c ⋅=.由MPQ 面积的最大值为36，得2936c =，得2c =，进而有24b c ==，25a =， 故椭圆C 的长轴长为45. 故选：B例9.（2018·全国·高考真题（文））已知椭圆C ：2221(0)4x y a a +=>的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为（ ） A ．13B ．12C 2D 22【答案】C【详解】分析：首先根据题中所给的条件椭圆的一个焦点为()20，，从而求得2c =，再根据题中所给的方程中系数，可以得到24b =，利用椭圆中对应,,a b c 的关系，求得22a =，最后利用椭圆离心率的公式求得结果.详解：根据题意，可知2c =，因为24b =， 所以2228a b c =+=，即22a =， 所以椭圆C 的离心率为22222e ==，故选C. 例10.（2022·四川成都·高三期末（理））已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，以坐标原点O 为圆心，线段12F F 为直径的圆与椭圆C 在第一象限相交于点A ．若122AF AF ≤，则椭圆C 的离心率的取值范围为______． 【答案】25,23⎛⎤⎥ ⎝⎦【分析】根据题意可得1290F AF ∠=，且c b >，再根据焦点三角形中的关系表达出离心率，结合函数的单调性求解即可【详解】由题意，因为线段12F F 为直径的圆与椭圆C 在第一象限相交于点A ． 故半径1OF b >,即 c b >，且1290F AF ∠=.又离心率()22212121212121212222AFAF AF AF AF AF F F c c a a AF AF AF AF AF AF +-⋅+====+++()12212122122112AF AF AF AF AFAF AF AF ⋅=-=-+++，因为122AF AF ≤，结合题意有1212AF AF <≤， 设12AF t AF =，则2112c a t t=-++，易得对勾函数12y t t =++在(]1,2上单调递增， 故2112y t t=-++在(]1,2上单调递增， 故2221111111222212t t -<-≤-++++++，即2523c a <≤故答案为：25,23⎛⎤⎥ ⎝⎦【总结提升】1.关于椭圆几何性质的考查，主要有四类问题，一是考查椭圆中的基本量a ，b ，c ；二是考查椭圆的离心率；三是考查离心率发最值或范围；四是其它综合应用.2.学习中，要注意椭圆几何性质的挖掘：(1)椭圆中有两条对称轴，“六点”(两个焦点、四个顶点)，要注意它们之间的位置关系(如焦点在长轴上等)以及相互间的距离(如焦点到相应顶点的距离为a －c )，过焦点垂直于长轴的通径长为等．(2)设椭圆上任意一点P (x ，y )，则当x ＝0时，|OP |有最小值b ，这时，P 在短轴端点处；当x ＝a 时，|OP |有最大值a ，这时P 在长轴端点处．(3)椭圆上任意一点P (x ，y )(y ≠0)与两焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)构成的△PF 1F 2称为焦点三角形，其周长为2(a ＋c )．(4)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a 是斜边，a 2＝b 2＋c 2. 3．重视向量在解析几何中的应用，注意合理运用中点、对称、弦长、垂直等几何特征．4.求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c 和a 的值，而是根据题目给出的椭圆的几何特征，建2222e?b b c a =2222+=1(a>b>0)x y a b立关于参数c 、a 、b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．较多时候利用.题型四：直线与椭圆的位置关系例11.（2022·全国·高三专题练习）椭圆2214x y +=，则该椭圆所有斜率为12的弦的中点的轨迹方程为_________________． 【答案】2xy =-()22-<<x 【分析】设斜率为12的直线方程为12y x b =+，与椭圆的交点为()()1122,,,A x y B x y ，利用点差法可得答案. 【详解】设斜率为12的直线方程为12y x b =+，与椭圆的交点为()()1122,,,A x y B x y ， 设中点坐标为(),x y ，则211221121,,222y y x xy y x y x x -++=-==-， 所以221122221414⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y x y ，两式相减可得()()()()12221214+=-+-x x x x y y y y ，()()22121124-+-=+x x y y y y x x ，即2xy =-，由于在椭圆内部，由221412⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩x y y x b得22102++-=x bx b ，所以()22210∆=--=b b 时，即2b =±直线与椭圆相切，此时由22102±+=x x 解得2x =或2x =-，所以22x -<<， 所求得轨迹方程为2xy =-()22-<<x ． 故答案为：2xy =-()22-<<x ． 例12.（2022·北京八中高三阶段练习）已知P 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>上任意一点，12,F F 为左､右焦点，M 为1PF 中点.如图所示：若1122OM PF +=，离心率3e = 22 ,1c b e e a a=-＝(1)求椭圆E 的标准方程； (2)已知直线l 经过11,2且斜率为12与椭圆交于,A B 两点，求弦长AB 的值.【答案】(1)2214x y +=(2)5【分析】（1）由题意可得21||||2OM PF =结合1122OM PF +=求得a ，继而求得b ，即可得椭圆方程； （2）写出直线l 的方程，联立椭圆方程，可求得交点坐标，从而求得弦长. （1）由题意知，M 为1PF 中点，O 为12F F 的中点，故21||||2OM PF =, 又 1122OM PF +=，故121()22PF PF +=，即124PF PF +=，所以24,2a a == ， 又因为32e =，故3c =，所以2221b a c =-= ， 故椭圆E 的标准方程为2214x y += ；（2）由直线l 经过11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭且斜率为12可知直线方程为11(1)22y x =+-，即112y x =+，联立2214x y +=，消去y 可得220x x += ，解得120,2x x ==- ，则,A B 两点不妨取为(0,1),(2,0)-， 故22215AB =+=.例13.（2022·天津·高考真题）椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F 、右顶点为A ，上顶点为B ，且满足3BF AB=(1)求椭圆的离心率e ；(2)直线l 与椭圆有唯一公共点M ，与y 轴相交于N （N 异于M ）．记O 为坐标原点，若=OM ON ，且OMN 3 【答案】(1)63e =(2)22162x y +=【分析】（1）根据已知条件可得出关于a 、b 的等量关系，由此可求得该椭圆的离心率的值；（2）由（1）可知椭圆的方程为2223x y a +=，设直线l 的方程为y kx m =+，将直线l 的方程与椭圆方程联立，由0∆=可得出()222313m a k =+，求出点M 的坐标，利用三角形的面积公式以及已知条件可求得2a 的值，即可得出椭圆的方程.（1）解：()2222222222234332BF b c aa b a a b AB b a b a+===⇒=+⇒=++，离心率为22263c a b e a a -===. （2）解：由（1）可知椭圆的方程为2223x y a +=，易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+，联立2223y kx mx y a=+⎧⎨+=⎩得()()222213630k x kmx m a +++-=，由()()()222222223641330313k m k m a m a k ∆=-+-=⇒=+，①2331M kmx k =-+，213M Mm y kx m k =+=+，由=OM ON 可得()()222229131m k m k+=+，②由3OMN S =可得2313213km m k⋅=+，③联立①②③可得213k =，24m =，26a =，故椭圆的标准方程为22162x y +=． 【规律方法】一.涉及直线与椭圆的基本题型有： 1.位置关系的判断2.弦长、弦中点问题.弦及弦中点问题的解决方法(1)根与系数的关系：直线与椭圆方程联立，消元，利用根与系数的关系表示中点； (2)点差法：利用弦两端点适合椭圆方程，作差构造中点、斜率． 3.轨迹问题4.定值、最值及参数范围问题5.存在性问题二．常用思想方法和技巧有：1.设而不求；2.坐标法；3.根与系数关系.三. 若直线与椭圆有两个公共点可结合韦达定理，代入弦长公式或 题型五：椭圆与圆的相关问题例14. （2019·天津·高考真题（文）） 设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B .3|2||OA OB =（O 为原点）. （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C在直线4x =上，且OC AP ∥，求椭圆的方程.【答案】（I ）12；（II ）2211612x y +=.【分析】（I ）根据题意得到32a b =，结合椭圆中,,a b c 的关系，得到2223()2a a c =+，化简得出12c a =，从而求得其离心率；（II ）结合（I ）的结论，设出椭圆的方程2222143x y c c +=，写出直线的方程，两个方程联立，求得交点的坐标，利用直线与圆相切的条件，列出等量关系式，求得2c =，从而得到椭圆的方程. 【详解】（I ）解：设椭圆的半焦距为c ，由已知有32a b =， 又由222a b c =+，消去b 得2223()2a a c =+，解得12c a =，所以，椭圆的离心率为12.（II ）解：由（I ）知，2,3a c b c ==，故椭圆方程为2222143x y c c +=，由题意，(,0)F c -，则直线l 的方程为3()4y x c =+，点P 的坐标满足22221433()4x y c c y x c ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去y 并化简，得到2276130x cx c +-=，解得1213,7cx c x ==-， 代入到l 的方程，解得1239,214y c y c ==-，因为点P 在x 轴的上方，所以3(,)2P c c ，1122()()M x y N x y ，，，，MN ＝221212(1)[()4]k x x x x ++-MN 2121221(1)[(y )4]y y y k++-由圆心在直线4x =上，可设(4,)C t ，因为OC AP ∥，且由（I ）知(2,0)A c -，故3242ct c c =+，解得2t =， 因为圆C 与x 轴相切，所以圆的半径为2，又由圆C 与l 相切，得23(4)24231()4c +-=+，解得2c =， 所以椭圆的方程为：2211612x y +=.【点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力，以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力.例15.（陕西高考真题）已知椭圆（）的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为． （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）如图，是圆的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方程．【答案】；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）过点的直线方程为， 则原点到直线的距离， 由，得，解得离心率. :E 22221x y a b+=0a b >>c O (),0c ()0,b 12c E AB :M ()()225212x y ++-=E A B E 3221123x y +=()(),0,0,c b 0bx cy bc +-=O 22bcd ab c ==+12d c =2222a b a c ==-32c e a ==（Ⅱ）由（1）知，椭圆的方程为. 依题意，圆心是线段的中点，且. 易知，不与轴垂直.设其直线方程为，代入（1）得.设，则，.由，得，解得. 从而.于是.由.故椭圆的方程为.例16.（2021·山东·高三开学考试）在平面直角坐标系xOy 中，已知点1(6,0)F -，2(6,0)F ，动点M 满足1243MF MF +=M 的轨迹为曲线C ．(1)求C 的方程；(2)圆224x y +=的切线与C 相交于A ，B 两点，P 为切点，求||||PA PB ⋅的值．【答案】(1)221126x y +=(2)||||4PA PB ⋅=【分析】（1）结合椭圆的定义求得,,a b c ，由此求得C 的方程.（2）当直线AB 斜率不存在时，求得,PA PB ，从而求得PA PB ⋅；当直线AB 斜率存在时，设出直线AB 的方程，根据直线和圆的位置关系列方程，联立直线的方程和椭圆的方程，化简写出根与系数关系，求得0OA OB ⋅=，由此判断出90AOB ∠=︒，结合相似三角形求得PA PB ⋅.E 22244x y b +=()2,1M -AB 10AB =AB x ()21y k x =++()()()22221482142140k x k k x k b +++++-=()()1122,,,A x y B x y ()12282114k k x x k++=-+()22122421414k b x x k+-=-+124x x +=-()2821=414k k k +--+12k =21282x x b =-()()222121212151410222AB x x x x x b ⎛⎫=+-=+-=- ⎪⎝⎭10AB ()210210b -=23b =E 221123x y +=（1）为12124326MF MF F F +=>=，所以点M 的轨迹曲线C 是以1F ，2F 为焦点的椭圆．设其方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则243a =，226a b -=，解得23a =，6b =，所以曲线C 的方程为221126x y +=．（2）当直线AB 的斜率不存在时，(2,0)P ±，此时||||2PA PB ==，则||||4PA PB ⋅=． 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx m =+， 由直线AB 与圆224x y +=相切可得2||21m k =+，化简得()2241m k =+．联立22,1,126y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222142120k x kmx m +++-=，0∆>．设()11,A x y ，()22,B x y ，则122421km x x k -+=+，212221221m x x k -=+，所以1212OA OB x x y y ⋅=+()()2212121k x x km x x m =++++()()2222222121242121km k mm k k +-=-+++()222312121m k k -+=+()()222121121021k k k +-+==+，所以90AOB ∠=︒，所以AOB 为直角三角形．由OP AB ⊥，可得AOP OBP ∽△△， 所以||||||||PA OP OP PB =，所以2||||||4PA PB OP ⋅==． 综上，||||4PA PB ⋅=． 【总结提升】从高考命题看，与椭圆、圆相结合问题，一般涉及到圆的方程（圆心、半径）、直线与圆的位置关系（相切、相交）、点到直线的距离、直线方程等.。

三年高考(2016-2018)数学(理)试题分项版解析——专题17 椭圆(解析版)

三年高考(2016-2018)数学(理)试题分项版解析——专题17 椭圆(解析版)

专题17 椭圆考纲解读明方向考纲解读考点内容解读要求常考题型预测热度1.椭圆的定义及其标准方程掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质掌握选择题解答题★★★2.椭圆的几何性质掌握填空题解答题★★★3.直线与椭圆的位置关系掌握解答题★★★分析解读 1.能够熟练使用直接法、待定系数法、定义法求椭圆方程.2.能熟练运用几何性质(如范围、对称性、顶点、离心率)解决相关问题.3.能够把直线与椭圆的位置关系的问题转化为方程组解的问题,判断位置关系及解决相关问题.4.本节在高考中以求椭圆的方程、椭圆的性质以及直线与椭圆的位置关系为主,与向量等知识的综合起来考查的命题趋势较强,分值约为12分,难度较大.2018年高考全景展示1．【2018年理数全国卷II】已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：先根据条件得PF2=2c,再利用正弦定理得a,c关系，即得离心率.详解：因为为等腰三角形，，所以PF2=F1F2=2c,由斜率为得，，由正弦定理得,所以，选D.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.2．【2018年浙江卷】已知点P(0，1)，椭圆+y2=m(m>1)上两点A，B满足=2，则当m=___________时，点B横坐标的绝对值最大．【答案】5点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.3．【2018年理北京卷】已知椭圆，双曲线．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为__________；双曲线N的离心率为__________．【答案】2【解析】分析：由正六边形性质得渐近线的倾斜角，解得双曲线中关系，即得双曲线N的离心率；由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为，再根据椭圆定义得，解得椭圆M的离心率.详解：由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为，再根据椭圆定义得，所以椭圆M的离心率为双曲线N的渐近线方程为，由题意得双曲线N的一条渐近线的倾斜角为，点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.4．【2018年理数天津卷】设椭圆(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B. 已知椭圆的离心率为，点A的坐标为，且.（I）求椭圆的方程；（II）设直线l：与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q. 若(O 为原点) ，求k的值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)或【解析】分析：（Ⅰ）由题意结合椭圆的性质可得a=3，b=2．则椭圆的方程为．（Ⅱ）设点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2）．由题意可得5y1=9y2．由方程组可得．由方程组可得．据此得到关于k的方程，解方程可得k的值为或详解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c，由已知知，又由a2=b2+c2，可得2a=3b．由已知可得，，，由，可得ab=6，从而a=3，b=2．所以，椭圆的方程为．（Ⅱ）设点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2）．由已知有y1>y2>0，故．又因为，而∠OAB=，故．由，可得5y1=9y2．由方程组消去x，可得．易知直线AB的方程为x+y–2=0，由方程组消去x，可得．由5y1=9y2，可得5（k+1）=，两边平方，整理得，解得，或．所以，k的值为或点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．5．【2018年全国卷Ⅲ理】已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为．（1）证明：；（2）设为的右焦点，为上一点,且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．【答案】（1）（2）或（2）由题意得，设，则.由（1）及题设得.又点P在C上，所以，从而，.于是.同理.所以.故，即成等差数列.设该数列的公差为d，则.②将代入①得.所以l的方程为，代入C的方程，并整理得.故，代入②解得.所以该数列的公差为或.点睛：本题主要考查直线与椭圆的位置关系，等差数列的性质，第一问利用点差法，设而不求可减小计算量，第二问由已知得到,求出m得到直线方程很关键，考查了函数与方程的思想，考察学生的计算能力，难度较大。

椭圆中的定点、定值-2024年新高考数学(解析版)

椭圆中的定点、定值-2024年新高考数学(解析版)

椭圆中的定点、定值1(2023春·河北石家庄·高二校考开学考试)已知椭圆C:x28+y24=1，直线l：y=kx+n(k>0)与椭圆C交于M,N两点，且点M位于第一象限.(1)若点A是椭圆C的右顶点，当n=0时，证明：直线AM和AN的斜率之积为定值；(2)当直线l过椭圆C的右焦点F时，x轴上是否存在定点P，使点F到直线NP的距离与点F到直线MP的距离相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.【答案】(1)见解析；(2)存在，P(4,0).【分析】(1)联立直线方程和椭圆方程得(1+2k2)x2-8=0，由韦达定理可得x1,x2的关系，再由k AM⋅k AN=y1x1-22⋅y2x2-22计算即可得证；(2)由题意可得直线l的方程为y=k(x-2)，联立直线方程与椭圆方程得(1+2k2)x2-8k2x+8(k2-1)= 0，由韦达定理x3,x4之间的关系，假设存在满足题意的点P，设P(m,0)，由题意可得k PM+k PN=0.代入计算，如果m有解，则存在，否则不存在.【详解】(1)证明：因为n=0，所以直线l：y=kx，联立直线方程和椭圆方程：y=kxx2+2y2-8=0，得(1+2k2)x2-8=0，设M(x1,y1),N(x2,y2)，则有x1+x2=0,x1x2=-81+2k2，所以y1y2=k2x1x2=-8k21+2k2，又因为A(22,0)，所以k AM=y1x1-22，k AN=y2x2-22，所以k AM⋅k AN=y1x1-22⋅y2x2-22=y1y2x1x2-22(x1+x2)+8=y1y2x1x2+8=-8k21+2k2-81+2k2+8=-8k21+2k216k21+2k2=-8k2 16k2=-12所以直线AM和AN的斜率之积为定值-1 2；(2)解：假设存在满足题意的点P，设P(m,0)，因为椭圆C的右焦点F(2,0)，所以2k+n=0,即有n=-2k，所以直线l的方程为y=k(x-2).由y=k(x-2)x2+2y2-8=0，可得(1+2k2)x2-8k2x+8(k2-1)=0，设M(x3,y3),N(x4,y4)，则有x3+x4=8k21+2k2,x3x4=8(k2-1)1+2k2；因为点F到直线NP的距离与点F到直线MP的距离相等，所以PF平分∠MPN,所以k PM+k PN=0.即y 3x 3-m +y 4x 4-m =k (x 3-2)x 3-m +k (x 4-2)x 4-m =k (x 3-2)(x 4-m )+k (x 3-m )(x 4-2)(x 3-m )(x 4-m )=k [2x 3x 4-(m +2)(x 3+x 4)+4m ](x 3-m )(x 4-m )=0，又因为k >0，所以2x 3x 4-(m +2)(x 3+x 4)+4m =0，代入x 3+x 4=8k 21+2k 2,x 3x 4=8(k 2-1)1+2k 2，即有4m -161+2k 2=0，解得m =4.故x 轴上存在定点P (4,0)，使得点F 到直线NP 的距离与点F 到直线MP 的距离相等.2(2023·全国·模拟预测)在平面直角坐标系xOy 中，A -2,0 ，B 2,0 ，M -1,0 ，N 1,0 ，点P 是平面内的动点，且以AB 为直径的圆O 与以PM 为直径的圆O 1内切.(1)证明PM +PN 为定值，并求点P 的轨迹Ω的方程.(2)过点A 的直线与轨迹Ω交于另一点Q (异于点B )，与直线x =2交于一点G ，∠QNB 的角平分线与直线x =2交于点H ，是否存在常数λ，使得BH =λBG恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析，x 24+y 23=1(2)存在，λ=12【分析】(1)依题意可得OO 1 =2-PM 2，连接PN ，可得OO 1 =PN2，即可得到PM +PN 为定值，根据椭圆的定义得到点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，且2a =4，c =1，即可求出椭圆方程；(2)设Q x 0,y 0 ，G 2,y 1 ，H 2,y 2 ，直线AQ 的方程为x =my -2m ≠0 ，即可得到m =4y 1，再联立直线与椭圆方程，解出y 0，从而得到k QN ，k NH ，设∠BNH =θ，再根据二倍角的正切公式得到方程，即可得到y 2=12y 1，从而得解；【详解】(1)解：如图，以AB 为直径的圆O 与以PM 为直径的圆O 1内切，则OO 1 =AB 2-PM 2=2-PM2.连接PN ，因为点O 和O 1分别是MN 和PM 的中点，所以OO 1 =PN2.故有PN 2=2-PM2，即PN +PM =4，又4>2=MN，所以点P的轨迹是以M，N为焦点的椭圆.因为2a=4，c=1，所以b2=a2-c2=3，故Ω的方程为x24+y23=1.(2)解：存在λ=12满足题意.理由如下：设Q x0,y0，G2,y1，H2,y2.显然y1y2>0.依题意，直线AQ不与坐标轴垂直，设直线AQ的方程为x=my-2m≠0，因为点G在这条直线上，所以my1=4，m=4 y1 .联立x=my-2,3x2+4y2=12,得3m2+4y2-12my=0的两根分别为y0和0，则y0=12m3m2+4，x0=my0-2=6m2-83m2+4，所以k QN=y0x0-1=12m3m2+46m2-83m2+4-1=4mm2-4=4y14-y21，k NH=y2.设∠BNH=θ，则∠BNQ=2θ，则k QN=tan2θ，k NH=tanθ，所以tan2θ=2tanθ1-tan2θ=2y21-y22=4y14-y21，整理得y1-2y2y1y2+2=0，因为y1y2>0，所以y1-2y2=0，即y2=12y1.故存在常数λ=12，使得BH=λBG.3(2023·全国·高三专题练习)仿射变换是处理圆锥曲线综合问题中求点轨迹的一类特殊而又及其巧妙的方法，它充分利用了圆锥曲线与圆之间的关系，具体解题方法为将C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)由仿射变换得：x =xa，y=yb，则椭圆x2a2+y2b2=1变为x 2+y 2=1，直线的斜率与原斜率的关系为k =abk，然后联立圆的方程与直线方程通过计算韦达定理算出圆与直线的关系，最后转换回椭圆即可．已知椭圆C:x2 a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为55，过右焦点F2且垂直于x轴的直线与C相交于A,B两点且AB=855，过椭圆外一点P作椭圆C的两条切线l1，l2且l1⊥l2，切点分别为M,N．(1)求证：点P的轨迹方程为x2+y2=9；(2)若原点O到l1，l2的距离分别为d1，d2，延长表示距离d1，d2的两条直线，与椭圆C交于Y,W两点，过O作OZ⊥YW交YW于Z，试求：点Z所形成的轨迹与P所形成的轨迹的面积之差是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请求出变化函数．【答案】(1)证明见解析(2)是定值，定值为619π【分析】(1)利用仿射变换将椭圆方程变为圆的方程，设原斜率分别为k1，k2，k1k2=-1，则变换后斜率k 1⋅k 2=a2b2k1k2，设变换后坐标系动点Q x0,y0，过点Q x0,y0的直线为l:y-y0=k x-x0，将圆的方程和直线方程联立，利用直线和圆相切结合韦达定理求解即可；(2)由图中的垂直关系，利用等面积法S△OYW=12OYOW=12YWOZ和1|OY|2+1|OW|2=OY|2+OW|2 OY|2OW|2=|YW|2OW|2OY|2，结合椭圆的性质求解即可.【详解】(1)由仿射变换得：x =xa，y=yb，则椭圆x2a2+y2b2=1变为x 2+y 2=1设原斜率存在分别为k1，k2，k1k2=-1，变换后为k 1=abk1，k 2=abk2，所以k 1⋅k 2=a2b2k1k2=-a2b2=e2-1，设变换后的坐标系动点Q x0,y0，过点Q x0,y0的直线为l:y-y0=k x-x0l:kx-y-kx0-y0=0到原点距离为d=kx0-y0k2+1=1，即kx0-y02=k2+1⇒x20-1k2-2x0y0k+y20-1=0，由韦达定理得：k 1k 2=y20-1x20-1=-a2b2，化简得：a2x20+b2y20=a2+b2由于原坐标系中x0=xa，y0=yb⇒x=ax0，y=by0所以在原坐标系中轨迹方程为：x2+y2=a2+b2，由e=ca=55b2a=455解得a2=5b2=4，所以点P的轨迹方程为x2+y2=9，当切线斜率不存在时，由椭圆方程x25+y24=1易得P点在x2+y2=9上.(2)如图所示延长OY交l1于N，延长OW交l2于M，由题意可知∠GPM=∠OGP=∠OHP=π2，所以四边形OGPH为矩形，∠YOW=π2，所以S△OYW=12OYOW=12YWOZ，且1|OY|2+1|OW|2=OY|2+OW|2OY|2OW|2=|YW|2OW|2OY|2，|YW |2OW |2OY |2分子分母同乘|OZ |2得4S 24OZ 2S 2=1OZ 2=1OY 2+1OW 2，因为OY ⊥OW ，当直线OY ,OW 斜率存在时，设l OY :y =k 3x ，l OW :y =-1k 3x ，由x 2a 2+y 2b 2=1y =k 3x解得x 2Y=a 2b 2b 2+a 2k 23，y 2Y =a 2b 2k 23b 2+a 2k 23，所以OY 2=a 2b 21+k 23 b 2+a 2k 23，由x 2a 2+y 2b 2=1y =-1k 3x解得x 2W=a 2b 2k 23b 2k 23+a 2，y 2W =a 2b 2b 2k 23+a 2，所以OW 2=a 2b 21+k 23 b 2k 23+a2，所以1OY 2+1OW 2=b 2+a 2k 23a 2b 2(1+k 23)+b 2k 23+a 2a 2b 2(1+k 23)=a 2+b 2a 2b 2，当斜率不存在时仍成立，所以1|OZ |2=a 2+b 2a 2b 2，OZ 2=x 2+y 2=a 2b 2a 2+b 2=209，所以Z 所形成的轨迹与P 所形成的轨迹的面积之差=9-209 π=619π是定值.4(2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆W :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为22，椭圆W 上的点与点P 0,2 的距离的最大值为4.(1)求椭圆W 的标准方程；(2)点B 在直线x =4上，点B 关于x 轴的对称点为B 1，直线PB ,PB 1分别交椭圆W 于C ,D 两点(不同于P 点).求证：直线CD 过定点.【答案】(1)x 28+y 24=1(2)证明见解析【分析】(1)根据离心率可得a =2b =2c ，设点T m ,n 结合椭圆方程整理得TP =-(n +2)2+8+2b 2，根据题意分类讨论求得b =2，即可得结果；(2)设直线CD 及C ,D 的坐标，根据题意结合韦达定理分析运算，注意讨论直线CD 的斜率是否存在.【详解】(1)设椭圆的半焦距为c ，由椭圆W 的离心率为22，得a =2b =2c ，设点T m ,n 为椭圆上一点，则m 22b 2+n 2b2=1,-b ≤n ≤b ，则m 2=2b 2-2n 2，因为P 0,2 ，所以TP =m 2+(n -2)2=2b 2-2n 2+n 2-4n +4=-(n +2)2+8+2b 2，①当0<b <2时，|TP |max =-(-b +2)2+8+2b 2=4，解得b =2(舍去)；②当b ≥2时，|TP |max =8+2b 2=4，解得b =2；综上所述：b =2，则a =22,c =2，故椭圆W 的标准方程为x 28+y 24=1.(2)①当CD 斜率不存在时，设C x 0,y 0 ,-22<x 0<22且x 0≠0，则D x 0,-y 0 ，则直线CP 为y =y 0-2x 0x +2，令x =4，得y =4y 0-8x 0+2，即B 4,4y 0-8x 0+2，同理可得B 14,-4y 0-8x 0+2.∵B 与B 1关于x 轴对称，则4y 0-8x 0+2+-4y 0-8x 0+2=0，解得x 0=4>22，矛盾；②当直线CD 的斜率存在时，设直线CD 的方程为y =kx +m ，m ≠2，设C x 1,y 1 ,D x 2,y 2 ，其中x 1≠0且x 2≠0，联立方程组y =kx +mx 28+y 24=1，消去y 化简可得2k 2+1 x 2+4kmx +2m 2-8=0，Δ=16k 2m 2-42k 2+1 2m 2-8 =88k 2+4-m 2 >0，则m 2<8k 2+4，所以x 1+x 2=-4km 1+2k 2,x 1x 2=2m 2-81+2k 2，由P 0,2 ，可得k PC =y 1-2x 1,k PD =y 2-2x 2，所以直线PC 的方程为y =y 1-2x 1x +2，令x =4，得y =4y 1-8x 1+2，即4,4y 1-8x 1+2，直线PD 的方程为y =y 2-2x 2x +2，令x =4，得y =4y 2-8x 2+2，即4,4y 2-8x 2+2，因为B 1和B 关于x 轴对称，则4y 1-8x 1+2+4y 2-8x 2+2=0，把y 1=kx 1+m ,y 2=kx 2+m 代入上式，则4kx 1+m -8x 1+2+4kx 2+m -8x 2+2=0，整理可得1+2k x 1x 2+m -2 x 1+x 2 =0，则1+2k ×2m 2-81+2k 2+m -2 ×-4km1+2k2=0，∵m ≠2，则m -2≠0，可得1+2k ×m +2 -2km =0，化简可得m =-4k -2，则直线CD 的方程为y =kx -4k -2，即y +2=k x -4 ，所以直线CD 过定点4,-2 ；综上所述：直线CD 过定点4,-2 .【点睛】方法定睛：过定点问题的两大类型及解法(1)动直线l 过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为y =kx +t ，由题设条件将t 用k 表示为t =mk ，得y =k (x +m )，故动直线过定点(-m ,0)．(2)动曲线C 过定点问题．解法：引入参变量建立曲线C 的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．5(2023春·四川眉山·高二校考阶段练习)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为32，短轴长为2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)点D (4,0)，斜率为k 的直线l 不过点D ，且与椭圆C 交于A ，B 两点，∠ADO =∠BDO (O 为坐标原点).直线l 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由.【答案】(1)x 24+y 2=1；(2)过定点，1,0 .【分析】(1)根据已知条件列方程即可解得a ,b 值，方程可求解；(2)设直线l 的方程为y =kx +m ，联立椭圆方程结合韦达定理得x 1,x 2关系，又∠ADO =∠BDO 得k AD +k BD =0，代入坐标化简即可求解.【详解】(1)由题意可得2b =2ca =32c 2=a 2-b 2，解得a 2=4，b 2=1所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1.(2)设直线l 的方程为y =kx +m ，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 联立y =kx +mx 24+y 2=1整理得4k 2+1 x 2+8kmx +4m 2-4=0，则Δ=8km 2-44k 2+1 (4m 2-4)>0，即4k 2-m 2+1>0又x 1+x 2=-8km 4k 2+1，x 1x 2=4m 2-44k 2+1因为∠ADO =∠BDO ，所以k AD +k BD =0，所以y 1x 1-4+y 2x 2-4=kx 1+m x 2-4 +kx 2+m x 1-4x 1-4 x 2-4 =0所以2kx 1x 2+(m -4k )x 1+x 2 -8m =0，即2k ⋅4m 2-44k 2+1+(m -4k )⋅-8km 4k 2+1-8m =0整理得8k +8m =0，即m =-k ，此时Δ=3k 2+1>0则直线l 的方程为y =kx -k ，故直线l 过定点1,0 .6(2023·内蒙古赤峰·校联考模拟预测)已知椭圆C :y 2a 2+x 2b2=1a >b >0 的离心率为12，且经过点6,2 ，椭圆C 的右顶点到抛物线E :y 2=2px p >0 的准线的距离为4．(1)求椭圆C 和抛物线E 的方程；(2)设与两坐标轴都不垂直的直线l 与抛物线E 相交于A ，B 两点，与椭圆C 相交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若OA ⋅OB=-4，则在x 轴上是否存在点H ，使得x 轴平分∠MHN ？若存在，求出点H 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y 212+x 29=1；y 2=4x(2)存在；H 92,0 【分析】(1)依题意得到方程组，即可求出a 2，b 2，从而得到椭圆方程，再求出椭圆的右顶点，即可求出p ，从而求出抛物线方程；(2)设直线l 的方程为y =kx +m ，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，根据OA ⋅OB=-4得到m =-2k ，再假设在x 轴上存在点H x 0,0 ，使得x 轴平分∠MHN ，则直线HM 的斜率与直线HN 的斜率之和为0，设M x 3,y 3 ，N x 4,y 4 ，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，由y 3x 3-x 0+y 4x 4-x 0=0，即可求出x 0，从而求出H 的坐标；【详解】(1)解：由已知得c a =124a 2+6b 2=1a 2=b 2+c 2，∴a 2=12，b 2=9．∴椭圆C 的方程为y 212+x 29=1．∴椭圆C 的右顶点为3,0 ．∴3+p2=4，解得p =2．∴抛物线E 的方程为y 2=4x ．(2)解：由题意知直线l 的斜率存在且不为0．设直线l 的方程为y =kx +m ，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ．由y =kx +my 2=4x消去y ，得k 2x 2+2km -4 x +m 2=0．∴Δ1=2km -4 2-4k 2m 2=-16km +16>0，∴km <1．∴x 1+x 2=4-2km k 2，x 1x 2=m 2k2．∴y 1y 2=kx 1+m kx 2+m =k 2x 1x 2+km x 1+x 2 +m 2=km 4-2km k2+2m 2=4m k ．∴OA ⋅OB =x 1x 2+y 1y 2=m 2k2+4m k =-4．∴m k +2 2=0，∴mk=-2．∴m =-2k ，此时km =-2k 2<1．∴直线l 的方程为y =k x -2 ．假设在x 轴上存在点H x 0,0 ，使得x 轴平分∠MHN ，则直线HM 的斜率与直线HN 的斜率之和为0，设M x 3,y 3 ，N x 4,y 4 ，由y =k x -2y 212+x 29=1消去y ，得3k 2+4 x 2-12k 2x +12k 2-36=0．∴Δ2=12k 2 2-43k 2+4 12k 2-36 >0，即5k 2+12>0恒成立．∴x 3+x 4=12k 23k 2+4，x 3x 4=12k 2-363k 2+4．∵y 3x 3-x 0+y 4x 4-x 0=0，∴k x 3-2 x 4-x 0 +k x 4-2 x 3-x 0 =0．∴2x 3x 4-x 0+2 x 3+x 4 +4x 0=0．∴24k 2-723k 2+4-x 0+2 12k 23k 2+4+4x 0=0．∴16x 0-723k 2+4=0．解得x 0=92．∴在x 轴上存在点H 92,0 ，使得x 轴平分∠MHN ．【点睛】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查椭圆的方程以及韦达定理法在圆锥曲线综合中的应用，属于难题；在解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．7(2023·宁夏·六盘山高级中学校考一模)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为B 1，若△F 1B 1F 2为等边三角形，且点P 1,32在椭圆E 上.(1)求椭圆E 的方程；(2)设椭圆E 的左、右顶点分别为A 1，A 2，不过坐标原点的直线l 与椭圆E 相交于A 、B 两点(异于椭圆E 的顶点)，直线AA 1、BA 2与y 轴的交点分别为M 、N ，若|ON |=3|OM |，证明：直线过定点，并求该定点的坐标.【答案】(1)x 24+y 23=1(2)点1,0 或4,0【分析】(1)由已知条件，椭圆的定义及a ,b ,c 的关系可知a 2=4c 2和b 2=3c 2，再设出椭圆的方程，最后将点代入椭圆的方程即可求解；(2)设点A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，由直线AA 1的方程即可求出点M 的坐标，由BA 2的方程即可求出点N 的坐标，由已知条件可知5x 1+x 2 -2x 1x 2-8=0，分直线AB 的斜率存在和直线AB 的斜率不存在两种情况分别求解，得出直线AB 的方程，即可判断出直线恒过定点的坐标.【详解】(1)∵△F 1B 1F 2为等边三角形，且B 1F 1 +B 1F 2 =2a ，∴a =2c ，又∵a 2=b 2+c 2，∴b 2=3c 2，设椭圆的方程为x 24c 2+y 23c 2=1，将点P 1,32 代入椭圆方程得14c 2+912c2=1，解得c 2=1，所以椭圆E 的方程为x 24+y 23=1.(2)由已知得A 1-2,0 ，A 22,0 ，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ,则直线AA 1的斜率为y 1x 1+2，直线AA 1的方程为y =y 1x 1+2x +2 ，即点M 坐标为0,2y 1x 1+2，直线BA 2的斜率为y 2x 2-2，直线AA 1的方程为y =y 2x 2-2x -2 ，即点N 坐标为0,-2y 2x 2-2,∵|ON |=3|OM |,∴|ON |2=9|OM |2,∴4y 22x 2-2 2=36y 21x 1+2 2，又∵y 21=3-3x 214=12-3x 214，y 22=3-3x 224=12-3x 224，∴4-x 22x 2-2 2=9×4-x 21x 1+22，即2+x 22-x 2=92-x 1 2+x 1，整理得5x 1+x 2 -2x 1x 2-8=0，①若直线AB 的斜率存在时,设直线AB 的方程为y =kx +b ，将直线方程与椭圆方程联立y =kx +bx 24+y 23=1得3+4k 2 x 2+8kbx +4b 2-12=0，其中Δ=64k 2b 2-43+4k 2 4b 2-12 =1612k 2-3b 2+9 >0，x 1+x 2=-8kb 3+4k 2，x 1x 2=4b 2-123+4k 2，即-5×8kb 3+4k 2-2×4b 2-123+4k2-8=0，4k 2+5kb +b 2=0，4k +b k +b =0，所以b =-4k 或b =-k ，当b =-4k 时，直线AB 的方程为y =kx -4k =k x -4 ，此时直线AB 恒过点4,0 ，当b =-k 时，直线AB 的方程为y =kx -k =k x -1 ，此时直线AB 恒过点1,0 ，②若直线AB 的斜率不存在时x 1=x 2，由2+x 22-x 2=92-x 1 2+x 1得2+x 22-x 2=92-x 2 2+x 2，即x 22-5x 2+4=0，解得x 2=1或x 2=4，此时直线AB 的方程为x =1或x =4，所以此时直线AB 恒过点1,0 或4,0 ，综上所述，直线AB 恒过点1,0 或4,0 .8(2023·江苏扬州·仪征中学校考模拟预测)已知F 1(-2,0)，F 2(2,0)为椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点，且A 2,53为椭圆上的一点.(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线y =-2x +t 与抛物线y 2=2px (p >0)相交于P ,Q 两点，射线F 1P ，F 1Q 与椭圆E 分别相交于M ､N .试探究：是否存在数集D ，对于任意p ∈D 时，总存在实数t ，使得点F 1在以线段MN 为直径的圆内？若存在，求出数集D 并证明你的结论；若不存在，请说明理由.【答案】(1)x 29+y 25=1(2)存在，D =(5,+∞)，证明见解析【分析】(1)求出点A 2,53到两焦点的距离，再用椭圆的定义可得a =3，结合b 2=a 2-c 2可得b 2，从而可得椭圆的方程；(2)直线l 与抛物线联立，结合判别式有p +4t >0，要使得点F 1在以线段MN 为直径的圆内，根据题意，有F 1P ⋅F 1Q<0，结合韦达定理可得p >5，从而可证明问题.【详解】(1)由题意知c =2，A 2,53为椭圆上的一点，且AF 2垂直于x 轴，则AF 2 =53，AF 1 =(2+2)2+53 2=133，所以2a =AF 1 +AF 2 =133+53=6，即a =3，所以b 2=32-22=5，故椭圆的方程为x 29+y 25=1；(2)l 方程为y =-2x +t ，联立抛物线方程，得y 2=2px y =-2x +t ，整理得y 2+py -pt =0，则Δ=p 2+4tp >0，则p +4t >0①，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1+y 2=-p ，y 1y 2=-pt ，则x 1+x 2=t +p 2,x 1x 2=(y 1y 2)24p 2=t 24，由F 1的坐标为(-2,0)，则F 1P =(x 1+2，y 1)，F 1Q=(x 2+2，y 2)，由F 1M 与F 1P 同向，F 1N 与F 1Q 同向，则点F 1在以线段MN 为直径的圆内，则F 1M ⋅F 1N <0，则F 1P ⋅F 1Q<0，则(x 1+2)(x 2+2)+y 1y 2<0，即x 1x 2+2(x 1+x 2)+4+y 1y 1<0，则t 24+2t +p 2 +4-pt <0，即t 24+(2-p )t +p +4<0②，当且仅当Δ=(2-p )2-4×14(p +4)>0，即p >5，总存在t >-p4使得②成立，且当p >5时，由韦达定理可知t 24+(2-p )t +p +4=0的两个根为正数，故使②成立的t >0，从而满足①，故存在数集D =(5,+∞)，对任意p ∈D 时，总存在t ，使点F 1在线段MN 为直径的圆内．9(2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右顶点分别为M 1、M 2，短轴长为23，点C 上的点P 满足直线PM 1、PM 2的斜率之积为-34．(1)求C 的方程；(2)若过点1,0 且不与y 轴垂直的直线l 与C 交于A 、B 两点，记直线M 1A 、M 2B 交于点Q ．探究：点Q是否在定直线上，若是，求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．【答案】(1)x 24+y 23=1(2)点Q 在定直线x =4上【分析】(1)设点P x 0,y 0 ，则x 0≠±a ，可得出y 20=b 21-x 20a2，利用斜率公式结合已知条件可得出b 2=34a 2，再利用椭圆的短轴长可得出b 2、a 2的值，即可得出椭圆C 的方程；(2)设l 的方程为x =my +1，设点A x 1,y 1 、B x 2,y 2 ，设点Q x ,y ，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，写出直线M 1A 、M 2B 的方程，联立这两条直线方程，可得出点Q 的横坐标，即可得出结论.【详解】(1)解：设P x 0,y 0 ，则x 0≠±a ，且x 20a 2+y 20b 2=1，所以，y 20=b 21-x 20a2，则k PM 1⋅k PM 2=y 0x 0+a ⋅y 0x 0-a =y20x 20-a 2=b 21-x 20a 2x 20-a2=-b 2a2=-34，故b 2=34a 2①，又2b =23②，联立①②，解得a 2=4，b 2=3，故椭圆C 的方程为x 24+y 23=1．(2)解：结论：点Q 在定直线上x =4．由(1)得，M 1-2,0 、M 22,0 ，设Q x ,y ，设直线l 的方程为x =my +1，设点A x 1,y 1 、B x 2,y 2 ，联立x 24+y 23=1x =my +1，整理得3m 2+4 y 2+6my -9=0，Δ=36m 2+363m 2+4 =144m 2+1 >0，∴y 1+y 2=-6m 3m 2+4,y 1y 2=-93m 2+4， 直线M 1A 的方程为y =y 1x 1+2x +2 ，直线M 2B 的方程为y =y 2x 2-2x -2 ，所以，y 1x 1+2x +2 =y 2x 2-2x-2 ，可得x +2x -2=y 2x 1+2 y 1x 2-2 =y 2my 1+3 y 1my 2-1 =my 1y 2+3y 2my 1y 2-y 1=-9m 3m 2+4+3-6m 3m 2+4-y 1 -9m 3m 2+4-y 1=-27m 3m 2+4-3y 1-9m 3m 2+4-y 1=3，解得x =4，因此，点Q 在直线x =4上.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：(1)设直线方程，设交点坐标为x 1,y 1 、x 2,y 2 ；(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x (或y )的一元二次方程，必要时计算Δ；(3)列出韦达定理；(4)将所求问题或题中的关系转化为x 1+x 2、x 1x 2(或y 1+y 2、y 1y 2)的形式；(5)代入韦达定理求解.10(2023·全国·高三专题练习)如图，椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)内切于矩形ABCD ，其中AB ，CD 与x 轴平行，直线AC ，BD 的斜率之积为-12，椭圆的焦距为2.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)椭圆上的点P ，Q 满足直线OP ，OQ 的斜率之积为-12，其中O 为坐标原点.若M 为线段PQ 的中点，则MO 2+MQ 2是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，说明理由.【答案】(1)x 22+y 2=1(2)是定值，定值为32【分析】(1)由题意求出直线AC ，BD 的斜率，即可求出-b 2a2=-12，又因为焦距为2，即可就出椭圆的标准方程.(2)方法一：联立直线PQ 与椭圆的方程由k OP ⋅k OQ =-12可求出2t 2=1+2k 2，又因为：MO 2+MQ 2=x 21+x 222+y 21+y 222，又点P ，Q 在椭圆上，代入即可求出答案.方法二：由P ，Q 是椭圆C 上的点，可得x 21+2y 21=2x 22+2y 22=2，联立直线PQ 与椭圆的方程由k OP ⋅k OQ =-12可求出y 1=-x 1x 22y 2，代入化简得x 21=2y 22，即可求出答案.【详解】(1)由题意，c =1，则A -a ,-b ,B a ,-b ,C a ,b ,D -a ,b ，所以k AC =2b 2a =b a ，k BD =2b-2a=b -a ，所以k AC ⋅k BD =-b 2a2=-12，解得：a =2，=1，∴椭圆的标准方程为x 22+y 2=1.(2)(方法一)设P x 1,y 1 ，Q x 2,y 2 ，则M x 1+x 22,y 1+y 22.设直线PQ ：y =kx +t ，由y =kx +t x 22+y 2=1，得：1+2k 2 x 2+4ktx +2t 2-2=0，x 1+x 2=-4kt1+2k2x 1x 2=2t 2-21+2k2，由k OP ⋅k OQ =-12，得x 1x 2+2y 1y 2=1+2k 2 x 1x 2+2kt x 1+x 2 +2t 2=0，代入化简得：2t 2=1+2k 2.∵MO 2+MQ 2=x 1+x 22 2+y 1+y 22 2+x 1-x 1+x 22 2+y 1-y 1+y 222=x 21+x 222+y 21+y 222，又点P ，Q 在椭圆上，∴x 212+y 21=1，x 222+y 22=1，即x 21+x 224+y 21+y 222=1，∵x 21+x 22=x 1+x 2 2-2x 1x 2=-4kt 2t 22-2⋅2t 2-22t 2=2，∴x 21+x 224=12.∴MO 2+MQ 2=x 21+x 224+y 21+y 222+x 21+x 224=32.即MO 2+MQ 2=32为定值.(方法二)由P ，Q 是椭圆C 上的点，可得x 21+2y 21=2x 22+2y 22=2 ，把y 1=-x 1x 22y 2代入上式，化简x 21=2y 22，得y 21+y 22=1，x 21+x 22=2，MO 2+MQ 2=12x 21+x 22+y 21+y 22 =32.11(2023春·湖北襄阳·高三襄阳五中校考阶段练习)已知离心率为22的椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左焦点为F ，左、右顶点分别为A 1、A 2，上顶点为B ，且△A 1BF 的外接圆半径大小为3．(1)求椭圆C 方程；(2)设斜率存在的直线l 交椭圆C 于P ,Q 两点(P ,Q 位于x 轴的两侧)，记直线A 1P 、A 2P 、A 2Q 、A 1Q 的斜率分别为k 1、k 2、k 3、k 4，若k 1+k 4=53k 2+k 3 ，求△A 2PQ 面积的取值范围．【答案】(1)x 24+y 22=1(2)0,5830 【分析】(1)根据椭圆离心率确定椭圆中a ,b ,c 的关系，再结合正弦定理的推论确定外接圆半径与边角关系即可得c 的值，从而求得椭圆方程；(2)由题可设直线l :x =ty +m t ≠0 ，P x 1,y 1 ，Q x 2,y 2 ，联立直线与椭圆即可得交点坐标关系，根据斜率的计算式可得k 1k 2=-12，k 3k 4=-12，再由已知等式k 1+k 4=53k 2+k 3 确定k 2k 3=-310，由坐标关系进行转化可求得m 的值，求解△A 2PQ 面积的表达式，结合函数性质即可得△A 2PQ 面积的取值范围．【详解】(1)根据椭圆C 的离心率为22知a =2c ，所以b =a 2-c 2=c ，如图，则OF =OB =c则在△A 1BF 中，可得∠BFA 1=3π4，A 1B =OA 1 2+OB 2=3c ，由正弦定理得A 1Bsin ∠BFA 1=3c22=6c =2×3，解得c =2，所以a =2，b =2，所以椭圆C 的方程为x 24+y 22=1．(2)由条件知直线l 的斜率不为0，设直线l :x =ty +m t ≠0 ，P x 1,y 1 ，Q x 2,y 2 ，联立x =ty +mx 24+y 22=1，得t 2+2 y 2+2mty +m 2-4=0，Δ>0得2t 2+4>m 2于是y 1+y 2=-2mt t 2+2，y 1y 2=m 2-4t 2+2，因为A 1-2,0 ，A 22,0 ，P x 1,y 1 代入椭圆方程得x 214+y 212=1，所以k 1k 2=y 1x 1+2⋅y 1x 1-2=y 21x 21-4=21-x 214 x 21-4=-12，同理k 3k 4=-12，于是k 1=-12k 2，k 4=-12k 3，因为k 1+k 4=53k 2+k 3 ，所以-12k 2-12k 3=53k 2+k 3 ，即-k 2+k 32k 2k 3=53k 2+k 3 ．又直线l 的斜率存在，所以k 2+k 3≠0，于是k 2k 3=-310，所以y 1x 1-2⋅y 2x 2-2=-310，即10y 1y 2+3x 1-2 x 2-2 =0，又x 1=ty 1+m ，x 2=ty 2+m ，所以10y 1y 2+3ty 1+m -2 ty 2+m -2 =0，整理得3t 2+10 y 1y 2+3t m -2 y 1+y 2 +3m -2 2=0，所以3t 2+10 m 2-4t 2+2 +3t m -2 -2mt t 2+2+3m -2 2=0，化简整理得m -2 2m +1 =0，又P 、Q 位于x 轴的两侧，所以y 1y 2=m 2-4t 2+2<0，解得-2<m <2，所以m =-12，此时直线l 与椭圆C 有两个不同的交点，于是直线l 恒过定点D -12,0 ．当m =-12时，y 1+y 2=t t 2+2，y 1y 2=-154t 2+2，△A 2PQ 的面积S △A 2PQ =12A 2D ⋅y 1-y 2 =12×52×y 1+y 2 2-4y 1y 2=54t t 2+22-4-154t 2+2 =54⋅16t 2+30t 2+2，令16t 2+30=λ，因为直线l 的斜率存在，则λ>30，t 2=λ2-3016，于是S △A 2PQ =54⋅16λλ2+2=20λ+2λ，又函数y =20λ+2λ在30,+∞ 上单调递减，所以△A 2PQ 面积的取值范围为0,5830 ．【点睛】关键点点睛：本题考查了直线与椭圆相交的坐标关系，利用坐标运算解决直线斜率关系及面积关系.解决本题的关键是确定直线直线A 1P 、A 2P 、A 2Q 、A 1Q 之间的斜率关系，结合椭圆上的任意一点与左右顶点之间的斜率关系，可将四个斜率值简化为两个斜率关系，即可减少位置数，从而利用坐标运算及坐标关系确定所设直线过定点，于是简化所求面积表达式中的变量个数从而可结合函数关系确定取值范围，得以解决问题.12(2023·江西南昌·统考模拟预测)已知A 2,0 ，B 0,1 是椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的两个顶点．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)过点P 2,1 的直线l 与椭圆E 交于C ，D ，与直线AB 交于点M ，求PM PC +PMPD的值．【答案】(1)x 24+y 2=1(2)PM PC +PM PD =2【分析】(1)根据椭圆顶点坐标直接可得椭圆方程；(2)设直线方程，可得点M ，联立直线与椭圆结合韦达定理，再根据两点间距离化简可得解.【详解】(1)由A 2,0 ，B 0,1 是椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的两个顶点，得a =2，b =1，即E :x 24+y 2=1；(2)当直线l 的斜率不存在时，直线l 与椭圆有且只有一个公共点，不成立，所以设C x 1,y 1 ，D x 2,y 2 ，M x 3,y 3 ，直线l 的斜率为k ，则PC =x P -x 1 1+k 2=2-x 1 1+k 2，同理PD =2-x 2 1+k 2，PM =2-x 3 1+k 2，则PM PC+PM PD=2-x 32-x 1+2-x 32-x 2．设l ：y -1=k x -2 ，而AB ：x 2+y =1，联立解得x 3=4k2k +1，所以2-x 3=2-4k 2k +1=22k +1；联立直线l 与椭圆E 方程，消去y 得：4k 2+1 x 2-8k 2k -1 x +16k 2-16k =0，所以x 1+x 2=8k 2k -1 4k 2+1，x 1x 2=16k 2-16k 4k 2+1，所以12-x 1+12-x 2=-x 1+x 2-4x 1-2 x 2-2=-x 1+x 2-4x 1x 2-2x 1+x 2 +4=-8k 2k -14k 2+1-416k 2-16k4k 2+1-2×8k 2k -1 4k 2+1+4=2k +1，所以2-x 32-x 1+2-x 32-x 2=22k +1×2k +1 =2，即PM PC +PMPD =2．【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．13(2023·江苏盐城·校考三模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在C 上，当AF 1⊥x 轴时，AF 1 =12；当AF 1 =2时，∠F 1AF 2=2π3.(1)求C 的方程；(2)已知斜率为-1的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，与直线x =1交于点Q ，且点M ，N 在直线x =1的两侧，点P (1,t )(t >0)．若|MP |⋅|NQ |=|MQ |⋅|NP |，是否存在到直线l 的距离d =2的P 点？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由.【答案】．(1)x 24+y 2=1(2)存在，t =52【分析】(1)利用通径公式和椭圆定义，结合余弦定理即可建立方程，从而可求解椭圆方程；(2)由点M ，N 在直线x =1的两侧可得1-32<m <1+32，设直线l ：x +y =m ，点M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，联立椭圆方程，消元，利用韦达定理可得y 1+y 2=2m 5，y 1y 2=m 2-45．根据MP ⋅NQ =MQ ⋅NP ，得到k MP +k NP =0．代入斜率公式，得到4m -5 t =4-m ，再由d =1+t -m2=12-4m 2+8m -14m -5=2，求出m 的取值范围即可.【详解】(1)当AF 1⊥x 轴时，AF 1 =b 2a =12，即b 2=12a ①，当AF 1 =2时，AF 2 =2a -2，在△AF 1F 2中，F 1F 2 =2c ，由余弦定理可知，AF 12+AF 2 2-F 1F 2 2=2AF 1 AF 2 cos ∠F 1AF 2，即22+2a -2 2-2c 2=2×2×2a -2 ×-12，整理，可得a 2-c 2-a +1=0，即b 2=a -1②，由①②，解得a =2，b =1．所以C 的方程为x 24+y 2=1．(2)设直线l ：x +y =m ，点M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，令x =1，则14+y 2=1，y =±32，由点M ，N 在直线x =1的两侧，可得1-32<m <1+32，联立x +y =m x 24+y 2=1，消去x ，可得5y 2-2my +m 2-4=0，则Δ=4m 2-20m 2-4 =165-m 2 >0恒成立，所以y 1+y 2=2m 5，y 1y 2=m 2-45．因为MP ⋅NQ =MQ ⋅NP ，所以MP MQ=NP NQ，由正弦定理，得sin ∠MQP sin ∠MPQ =sin ∠NQPsin ∠NPQ，而∠MQP +∠NQP =π，即sin ∠MQP =sin ∠NQP ，所以sin ∠MPQ =sin ∠NPQ ，而∠MPQ +∠NPQ =∠MPN <π，则∠MPQ =∠NPQ ，所以k MP +k NP =0，则y 1-t x 1-1+y 2-t x 2-1=0，即y 1-t -y 1+m -1+y 2-t-y 2+m -1=0，即-2y 1y 2+m +t -1 y 1+y 2 -2m -1 t =0，整理，得4-m -4mt +5t =0，所以4m -5 t =4-m ，因为1-32<m <1+32，所以4-m >0，又t =4-m 4m -5>0，所以54<m <1+32，所以d =1+t -m 2=121+4-m 4m -5-m =12-4m 2+8m -14m -5 ．令d =12-4m 2+8m -14m -5=2，结合54<m <1+32，解得m =32，则t =4-324×32-5=52．所以t =52时，点P 到直线l 的距离d =2．【点睛】关键点睛：第二问中的关键是能把MP ⋅NQ =MQ ⋅NP 转化为MP MQ=NP NQ，由正弦定理，得sin ∠MQP sin ∠MPQ =sin ∠NQPsin ∠NPQ，从而得到∠MPQ =∠NPQ ，即k MP +k NP =0，从而利用斜率公式和韦达定理求解.14(2023·全国·高三专题练习)已知椭圆C ：x 2b 2+y 2a2=1a >b >0 与椭圆x 28+y 24=1的离心率相同，P 22,1为椭圆C 上一点.(1)求椭圆C 的方程.(2)若过点Q 13,0 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，试问以AB 为直径的圆是否经过定点T ？若存在，求出T 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)x 2+y 22=1(2)存在T 的坐标为(-1,0)，理由见解析【分析】(1)先求出椭圆x 28+y 24=1的离心率为22，由此得到a 2=2b 2，将点P 的坐标代入椭圆C ，得到12b 2+1a2=1，再代入a 2=2b 2，解得b 2=1，a 2=2，则可得结果；(2)先用两个特殊圆求出交点(-1,0)，再猜想以AB 为直径的圆经过定点T (-1,0)，再证明猜想，设直线l :x =my +13，并与x 2+y 22=1联立，利用韦达定理得到y 1+y 2，y 1y 2，进一步得到x 1+x 2，x 1x 2，利用y 1+y 2，y 1y 2，x 1+x 2，x 1x 2证明TA ⋅TB=0即可.【详解】(1)在椭圆x 28+y 24=1中，a 1=22，b 1=2，c 1=8-4=2，离心率e =c 1a 1=222=22，在椭圆C ：x 2b 2+y 2a2=1a >b >0 中，e =c a =a 2-b 2a =1-b 2a 2，所以1-b 2a2=22，化简得a 2=2b 2，因为P 22,1 在椭圆C ：x 2b 2+y 2a 2=1a >b >0 上，所以12b 2+1a 2=1，所以12b 2+12b2=1，所以b 2=1，a 2=2，所以椭圆C :x 2+y22=1.(2)当直线l 的斜率为0时，线段AB 是椭圆的短轴，以AB 为直径的圆的方程为x 2+y 2=1，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x =13，代入x 2+y 22=1，得y =±43，以AB 为直径的圆的方程为x -13 2+y 2=169，联立x 2+y 2=1x -13 2+y 2=169，解得x =-1y =0 ，由此猜想存在T (-1,0)，使得以AB 为直径的圆是经过定点T (-1,0)，证明如下：当直线l 的斜率不为0且斜率存在时，设直线l :x =my +13，联立x =my +13x 2+y 22=1，消去x 并整理得m 2+12 y 2+23my -89=0，Δ=49m 2+4m 2+12 ⋅89>0，设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，则y 1+y 2=-2m 3m 2+12 ，y 1y 2=-89m 2+12，则x 1+x 2=my 1+13+my 2+13=m (y 1+y 2)+23=-2m 23m 2+12 +23，x 1x 2=my 1+13 my 2+13 =m 2y 1y 2+13m (y 1+y 2)+19=-8m 29m 2+12 -2m 29m 2+12 +19=-10m 29m 2+12 +19，因为TA ⋅TB=(x 1+1,y 1)⋅(x 2+1,y 2)=(x 1+1)(x 2+1)+y 1y 2=x 1x 2+x 1+x 2+1+y 1y 2=-10m 29m 2+12 +19-2m 23m 2+12 +23+1-89m 2+12 =-16m 2+89m 2+12+169=0，所以TA⊥TB，所以点T(-1,0)在以AB为直径的圆上，综上所述：以AB为直径的圆是经过定点T(-1,0).【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：(1)设直线方程，设交点坐标为x1,y1,x2,y2；(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x(或y)的一元二次方程，必要时计算Δ；(3)列出韦达定理；(4)将所求问题或题中的关系转化为x1+x2、x1x2(或y1+y2、y1y2)的形式；(5)代入韦达定理求解.15(2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测)已知双曲线C:x2a2-y23a2=1(a>0)的左、右焦点分别为F1,F2，且F2到C的一条渐近线的距离为3.(1)求C的方程；(2)过C的左顶点且不与x轴重合的直线交C的右支于点B，交直线x=12于点P，过F1作PF2的平行线，交直线BF2于点Q，证明：Q在定圆上.【答案】(1)x2-y23=1(2)证明见解析【分析】(1)根据焦点到渐近线的距离求出c=2即可得解；(2)由题意可设PA，PF2的斜率分别为k,-k，设直线AP的方程为y=k x+1，联立双曲线方程，求出B3+k23-k2,6k 3-k2，由三角函数可得∠F2F1Q=∠PF2A=∠BF2P=∠F1QF1，即化为QF2= F1F2=4得证.【详解】(1)根据题意可知C的一条渐近线方程为y=3aax=3x，设F2c,0(c>0),F2到渐近线y=3x的距离为d=3c3+1=3，所以c=2,c2=4=a2+3a2,a2=1，所以C的方程为x2-y23=1.(2)设C的左顶点为A，则A(-1,0),故直线x=12为线段AF2的垂直平分线.所以可设PA，PF2的斜率分别为k,-k，故直线AP的方程为y=k x+1.与C 的方程联立有3-k 2 x 2-2k 2x -k 2-3=0，设B (x 1,y 1)，则-1+x 1=2k 23-k 2，即x 1=3+k 23-k 2，所以B 3+k 23-k 2,6k3-k 2当BF 2⊥x 轴时，BF 2= AF 2 =3，△AF 2B 是等腰直角三角形，且易知∠PF 2A =∠BF 2P =π4当BF 2不垂直于x 轴时，直线BF 2的斜率为2k k 2-1，故tan ∠BF 2A =2kk 2-1因为tan ∠PFA =-1，所以tan2∠PF 2A =2kk 2-1=tan ∠BF 2A ,所以∠BF 2A =2∠PF 2A ,∠PF 2A =∠BF 2P因为QF 1∥PF 2所以∠F 2F 1Q =∠PF 2A =∠BF 2P =∠F 1QF 1所以QF 2= F 1F 2 =4为定值，所以点Q 在以F 2为圆心且半径为4的定圆上.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：(1)设直线方程，设交点坐标为x 1,y 1 ,x 2,y 2 ；(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x (或y )的一元二次方程，必要时计算Δ；(3)列出韦达定理；(4)将所求问题或题中的关系转化为x 1+x 2、x 1x 2(或y 1+y 2、y 1y 2)的形式；(5)代入韦达定理求解.16(2023春·湖南常德·高二临澧县第一中学校考开学考试)如图，椭圆M :y 2a 2+x 2b2=1a >b >0 的两顶点A -2,0 ，B 2,0 ，离心率e =32，过y 轴上的点F 0,t t <4,t ≠0 的直线l 与椭圆交于C ，D两点，并与x 轴交于点P ，直线AC 与直线BD 交于点Q .(1)当t =23且CD =4时，求直线l 的方程；(2)当点P 异于A ，B 两点时，设点P 与点Q 横坐标分别为x P ，x Q ，是否存在常数λ使x P ⋅x Q =λ成立，若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)2x -y +23=0或2x +y -23=0(2)存在，λ=4【分析】(1)先求得椭圆M 的方程，再以设而不求的方法即可求得直线l 的方程；(2)先以设而不求的方法得到x P 、x Q 的解析式，再去计算x P ⋅x Q 是否为定值即可解决.【详解】(1)椭圆的方程y 2a 2+x 2b2=1a >b >0 ，由题可得b =2；由e =c a =32，结合a 2=b 2+c 2，得a =4，椭圆的标准方程：y 216+x 24=1；当直线l 的斜率不存在时，CD =8，与题意不符，故设直线l 的方程为y =kx +23，代入椭圆方程y 2+4x 2=16整理得k 2+4 x 2+43kx -4=0，设C x 1,y 1 ，D x 2,y 2 ，x 1+x 2=-43k k 2+4，x 1⋅x 2=-4k 2+4；∴CD =1+k 2x 1+x 2 2-4x 1x 2=1+k 2-43k k 2+42-4-44+k 2=8k 2+1 k 2+4=4，解得k =± 2.则直线l 的方程为2x -y +23=0或2x +y -23=0.(2)当直线l 的斜率不存在时，直线l 与y 轴重合，由椭圆的对称性可知直线AC 与直线BD 平行，不符合题意；∴由题意可设直线的方程：x =my +n m ≠0,n ≠0 代入椭圆方程，得1+4m 2 y 2+8mny +4n 2-16=0；设C x 1,y 1 ，D x 2,y 2 ，∴y 1+y 2=-8mn 1+4m 2，y 1⋅y 2=4n 2-161+4m 2；∴my 1⋅y 2=4-n 22ny 1+y 2 ①直线AC 的方程为y =y 1x 1+2x +2 ②则直线BD 的方程为y =y 2x 2-2x -2 ③由②③得x -2x +2=y 1x 2-2 y 2x 1+2 =y 1my 2+n -2 y 2my 1+n +2 =my 1y 2+y 1n -2 my 1y 2+y 2n +2由①代入，得x -2x +2=2-n n +2 y 2+2-n y 1 2+n n +2 y 2+2-n y 1 =2-n 2+n ，解得x =4n ，即x Q =4n ；且知x P =n ；∴x P ⋅x Q =n ×4n=4(常数)即点P 与点Q 横坐标之积为定值4.故存在常数λ=417(2023春·四川遂宁·高三射洪中学校考阶段练习)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过点1,62 ，且离心率为22．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线l :y =mx +2与椭圆交于不同的两点P ，Q ，那么在x 轴上是否存在点M ，使MP =MQ 且MP ⊥MQ ，若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由．【答案】(1)x 24+y 22=1(2)详见解析【分析】(1)根据条件得到关于a ,b ,c 的方程组，即可求得椭圆方程；。

三道椭圆的高考题及解答

三道椭圆的高考题及解答
解答：将直线 L 的方程式代入椭圆 C 的方程式中得到：
16x^2 + 9(2x - 5)^2 = 144
化简得到：
97x^2 - 180x + 81 = 0
解得 x = 9/7 或 x = 1。将 x 的两个解代入直线 L 的方程式中得到点 A 和点 B 的坐标分别为 (3,1) 和 (7,9)。因此，AB 的长度可以用两点间距离公式计算得到：
高考例题1：已知椭圆 C1 ：x^2/4 + y^2/3 = 1，另一椭圆 C2 的周长与 C1 相等，且 C2 的面积是 C1 的 2 倍，求 C2 的方程。
解答：首先，求出椭圆 C1 的长轴和短轴分别为 2 和 √3，其面积为 2π。设另一椭圆 C2 的长轴和短轴分别为 a 和 b，则其周长为 2π，面积为 4π。根据椭圆周长的公式可以得到：
AB = √[(7-3)^2 + (9-1)^2] = √80
因此，AB 的长度为 4√5。
高考例题3：已知椭圆 C ：x^2/4 + y^2/3 = 1，点 P 为椭圆上一点，过点 P 作椭圆的两条切线，分别与 x 轴交于 A、B 两点，求线段 AB 的长度。
解答：点 P 在椭圆上，其坐标可以表示为 (2cosθ, √3sinθ)，其中 0 ≤ θ ≤ π/2。椭圆的标准方程式为：
x^2/4 + y^2/3 = 1
将点 P 的坐标代入方程式中，得到：
4cos^2θ + 3sin^2θ = 4
化简得到：
cos^2θ - sin^2θ = 1/4
将正弦和余
2π = 4a - 2b
同时，根据椭圆面积的公式可以得到：
4π= πab
化简得到：
a = b + 3

专题13 解析几何中与椭圆相关的综合问题(解析版)

专题13 解析几何中与椭圆相关的综合问题(解析版)

专题13 解析几何中与椭圆相关的综合问题专题概述纵观近三年的高考题，解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合，且椭圆考查的最多，，同时可能与平面向量、导数相交汇，每个题一般设置了两个问，第（1）问一般考查曲线方程的求法，主要利用定义法与待定系数法求解，而第（2）问主要涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等.这类问题综合性大，解题时需根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造不等式，体现了解析几何与其他数学知识的密切联系．典型例题【例1】（2020•全国二模）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 为椭圆E 上任意一点，12PF PF 的最大值为1，点1A 为椭圆E 的左顶点，△12A PF ． （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅰ）动直线l 与椭圆E 交于不同两点1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y ，O 为坐标原点，M 为AB 的中点______．是否存在实数λ，使得||||OM AB λ恒成立？若存在，求λ的最小值；若不存在，说明理由． 从①AOB ∆的面积为1，②||||m n m n +=-（其中向量1122(,),(,)x y x ym n a b a b==这两个条件中选一个，补充在上面的问题中并作答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【分析】（Ⅰ）先由12PF PF 的最大值为211b ⇒=，再由△12A PF 24a ⇒=，从而求出椭圆E 的方程；（Ⅰ）先设出直线l 的方程，再与椭圆E 的方程联立，求出||AB 、点O 到直线l 的距离d ，接着求出AOB ∆的面积的关系式，进而得到变量之间的关系，最后解决λ的存在性与最值问题． 【解答】解：（Ⅰ）设0(P x ，0)y ，1(,0)F c -，2(,0)F c ，则2200221x y a b +=，0[x a ∈-，]a10(PF c x =--，0)y -，20(PF c x =-，0)y -，222222212002c PF PF x y c x b c a=+-=+-，0[x a ∈-，]a ，∴当0x a =± 时，212()1max PF PF b ==．又1201()()||22A PF a c b Sa c y +=⨯+=，又222a b c =+，可解得：2a =，1b =，c =所以椭圆E 的方程为2214x y +=．（Ⅰ）当选择①时，假设存在实数λ，使得||||OM AB λ恒成立．设动直线:l x ky t =+，由2214x ky t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩联立可得：222(4)240k y kty t +++-=． 222222122212244(4)(4)16(4)02444k t k t k t kt y y k t y y k ⎧⎪=-+-=+->⎪-⎪+=⎨+⎪⎪-=⎪+⎩， 24(4t M k +，2)4kt k -+．||1AB == 点O 到直线:l x ky t=+的距离d =，1||12ABOS AB d ∆∴=⨯⨯==， 222224(1)(4)(4)2(1||||k k t t k OM AB ++-+==，令244k m +==4m ．令33m y m -=，4m ，则492my m -'=，令902y m '=⇒=，y 在[4，9]4单调递增，在9[4，)+∞单调递减， 故当92m =也即212k =时，max y ，(||||)maxOM AB =． 又||||OM AB λ恒成立， 所以43λ． 故存在λ，使得||||OM AB λ恒成立，且λ 【例2】（2020春•全国月考）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:4O x y +=，(2,0)A ，线段BC 的中点是坐标原点O ，设直线AB ，AC 的斜率分别为1k ，2k ，且1214k k =-．（1）求B 点的轨迹方程；（2）设直线AB ，AC 分别交圆O 于点E 、F ，直线EF 、BC 的斜率分别为EF k 、BC k ，已知直线EF 与x 轴交于点6(5D -，0)问：是否存在常数λ，使得BC EF k k λ=？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．【分析】（1）设(,)B x y ，则(,)C x y --，根据1214k k =-．即可求出B 点的轨迹方程；（2）由题意可知，直线AB 的方程为：1(2)y k x =-，与椭圆方程联立，求出点B 的坐标，进而求出BC k ，再联立直线AB 与圆O 方程，求出点E 的坐标，进而求出EF k ，从而得到25BC EF k k =，故存在常数25，使得25BC EF k k =． 【解答】解：（1）设(,)B x y ，则(,)C x y --，又(2,0)A ，∴212212244y y y k k x x x ===--+-，∴2214x y +=， ∴点B 的轨迹方程为2214x y += (0)y ≠；（2）由题意可知，直线AB 的方程为：1(2)y k x =-，联立方程122(2)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：2222111(41)164(41)0k x k x k +-+-=， ∴21214(41)241B k x k -=+，21212(41)41B k x k -∴=+，121441Bk y k -=+， ∴直线BC 的斜率12102041B BC B y kk x k --==--， 联立方程122(2)4y k x x y =-⎧⎨+=⎩，消去y 得：2222111(1)4440k x k x k +-+-=，∴21214421E k x k -=+，∴21212(1)1E k x k -=+，2141E ky k -=+， ∴直线EF 的斜率121056415E EF E y k k k x --==-+， ∴21121124124155BC EF k k k k k k --==--， 25BC EF k k ∴=，∴存在常数25，使得25BC EF k k =． 【变式训练】（2020•3月份模拟）已知椭2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点E 其左、右顶点分别为A ，B ，且离心率e =． （1）求椭圆C 的方程；（2）设0(M x ，0)y 为椭圆C 上异于A ，B 两点的任意一点，MN AB ⊥于点N ，直线00:240l x x y y +-=． ①证明：直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点；②设过点A 且与x 轴垂直的直线与直线l 交于点P ，证明：直线BP 经过线段MN 的中点．【分析】（1）根据题意，列出关于a ，b ，c 的方程组，解出a ，b ，c 的值，即可求出椭圆C 的方程； （2）①联立直线l 与椭圆方程，结合0(M x ，0)y 在椭圆上，220024x y +=，可求出唯一交点坐标0(x ，0)y ，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，即点M ；②先求出点P 的坐标，进而得到直线PB 的方程，再求出线段MN 的中点坐标，即可验证线段MN 的中点坐标满足直线PB 的方程，即线PB 经过线段MN 的中点． 【解答】解：（1）由题意可知，22222211a b ca ab c⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴椭圆C 的方程为：22142x y +=；（2）①由题意知00y ≠，联立方程220142240x y x x y y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩，消去y 得：22220000(2)81680x y x x x y +-+-=， 0(M x ，0)y 在椭圆上，∴220024x y +=，∴220020x x x x -+=，即20()0x x -=，0x x ∴=，0y y =，∴直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，即点M ；②由（1）知(2,0)A -，(2,0)B ，过点A 且与x 轴垂直的直线的方程为：2x =-， 结合方程00240x x y y +-=，得点002(2,)x P y +-，∴直线PB 的斜率000202224x y x k y +-+==---， ∴直线PB 的方程为：002(2)4x y x y +=--， MN AB ⊥于点N ，0(N x ∴，0)，线段MN 的中点坐标为0(x ，)2y ， 令0x x =．得20000024(2)44x x y x y y +-=--=， 220024x y +=， 02y y ∴=， ∴直线PB 经过线段MN 的中点0(x ，)2y ． 专题强化1．（2020春•全国月考）已知椭圆22:162x y C +=，过(4,0)Q -的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且与y 轴相交于P 点． （1）若32PA AQ =，求直线l 的方程； （2）设A 关于x 轴的对称点为C ，证明：直线BC 过x 轴上的定点．【分析】（1）设直线l 的方程为(4)y k x =+，联立椭圆方程，可得x 的二次方程，设出A 的横坐标，求得P 的坐标，运用向量共线的坐标表示，解得A 的横坐标，代入二次方程解得斜率，进而得到所求直线方程； （2）运用韦达定理，由对称性可得C 的坐标，由点斜式方程可得直线l 的方程，可令0y =，解得x 的表达式，化简整理，即可得到定点．【解答】解：（1）由题意可设直线l 的方程为(4)y k x =+，联立椭圆方程22360x y +-=， 可得2222(13)244860k x k x k +++-=，(*) 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 由(4,0)Q -，(0,4)P k ，32PA AQ =，可得1130(4)2x x -=--， 解得1125x =-，代入方程(*)可得222144288(13)4860255k k k +-+-=，解得k =，则直线l的方程为4)y x =+； （2）证明：由题设可得1(C x ，1)y -，由（1）可得21222413k x x k+=-+，212248613k x x k -=+， 再由（1）可得直线BC 的方程为211121()y y y y x x x x ++=--，令0y =，可得122112121212121212(4)(4)24()(8)8x y x y kx x k x x x x x x x y y k x x x x ++++++===+++++ 22229612963248242k k k k --==--++， 故直线BC 过x 轴上的定点3(2-，0)．2．（2020•3月份模拟）已知椭圆222:1(1)x C y a a+=>的左顶点为A ，右焦点为F ，斜率为1的直线与椭圆C交于A 、B 两点，且OB AB ⊥，其中O 为坐标原点． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设过点F 且与直线AB 平行的直线与椭圆C 交于M 、N 两点，若点P 满足3OP PM =，且NP 与椭圆C 的另一个交点为Q ，求||||NP PQ 的值． 【分析】（1）设出直线AB 的方程，与椭圆方程联立，求出点B 的坐标，再根据OB AB ⊥，建立关于a 的方程，解出即可；（2）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，3(Q x ，3)y ，||||NP m PQ =，由已知，将点Q 的坐标用点M ，N 表示，再由点Q 在椭圆上，得到关于m 的方程，解出即可．【解答】解：（1）由题意得，设直线AB 的方程：x y a =-，与椭圆联立整理得：22(1)20a y ay +-=， 221B ay a ∴=+， 322211B a a a x a a a-∴=-=++， 因为OB AB ⊥，∴321B B y a x a a==--，1a >，解得：23a =， 所以椭圆C 的标准方程：2213x y +=；（2）由（1）得，F 0)所以由题意得直线MN的方程为：y x =-， 设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，3(Q x ，3)y ，将y x =2213x y +=，得2430x -+=，∴1212324x x x x +==，∴12121(4y y x x ==-， 3OP PM =，∴34OP OM =，则1133(,)44P x y ， 设||||NP m PQ =，则NP mPQ =，即121231313333(,)(,)4444x x y y m x x y y --=--， ∴3123123(1)143(1)14m x x x m mm y y y m m +⎧=-⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩， 点3(Q x ，3)y 在椭圆C 上，∴22121213(1)13(1)1[][]1344m m x x y y m m m m++-+-=，整理得22222112212122229(1)1113(1)1()()()1163323m m x y x y x x y y m m m +++++-+=， 由上知，1212103x x y y +=，且2212121,133x x y y +=+=，∴229(1)1116m m ++=，即2718250m m --=，解得257m =或1m =-（舍)，故||25||7NP PQ =． 3．（2019秋•怀化期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，上顶点为M ，直线FM的斜率为，且原点到直线FM．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若不经过点F 的直线:(0,0)l y kx m k m =+<>与椭圆C 交于A ，B 两点，且与圆221x y +=相切．试探究ABF ∆的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由．【分析】（1）可设(,0)F c ，(0,)M b ，由直线的斜率公式和点到直线的距离公式，解方程可得b ，c ，进而得到a ，可得椭圆方程；（2）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．1(0x >，20)x >，运用勾股定理和点满足椭圆方程，求得1||AQ =，同理可得2||BQ x =，再由焦半径公式，即可得到周长为定值． 【解答】解：（1）可设(,0)F c ，(0,)M b，可得b c -=，直线FM 的方程为bx cy bc +=，=，解得1b =，c =a = 则椭圆方程为2213x y +=；（2）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ． 1(0x >，20)x >，连接OA ，OQ ，在OAQ ∆中，222222111112||11133x AQ x y x x =+-=+--=，即1||AQ =，同理可得2||BQ x =，12||||||)AB AQ BQ x x ∴=+=+，1212||||||)AB AF BF x x ∴+++-+=，ABF ∴∆的周长是定值4．（2019秋•山东月考）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率e =，椭圆的左焦点为1F ，短轴的两个端点分别为1B ，2B ，且11122F B F B =． （1）求C 的标准方程；（2）若过左顶点A 作椭圆的两条弦AM ，AN ，月0AM AN =，求证：直线MN 与x 轴的交点为定点． 【分析】（1）根据椭圆的离心率公式根据向量的坐标运算，即可求得a 和b 的值，求得椭圆方程； （2）设直线AM 的方程，与椭圆方程联立，求得M 点坐标，同理求得N 点坐标，求得直线MN 的方程，即可判断直线MN 与x 轴的交点为定点．【解答】解：（1）设1(,0)F c -，1(0,)B b ，2(0,)B b -，由题意c e a ==，① 由112(F B F B c =，)(b c ，22)2b c b -=-=，② 又222c a b =-，③ 解得24a =，21b =，所以椭圆的标准方程2214x y +=；（2）证明：由题可知，(0,2)A -，则直线AM ，AN 斜率存在且不为0，设直线AM 斜率为k ，则直线AN 斜率为1k-，设直线AM 方程为(2)y k x =+，设(M M x ，)M y与椭圆方程联立得22(2)440y k x x y =+⎧⎨+-=⎩，得2222(14)161640k x k x k +++-=，Z 则22164214M k x k --=+，则222814M k x k -=+， 所以(2)M M y k x =+，得2414M ky k =+得2228(14k M k -+，24)14k k +，同理可得（将k 换成1)k -得2228(4k N k -+，24)4k k -+， 则32222242222244202020(1)51442828(1616)16(1)(1)44144MNk kk k k k k k k k k k k k k k k k +++-++====-----+---++，所以直线MN 的方程为22224528()4444k k k y x k k k --+=-+-+，令0y =，则22222216(1)2862465(4)45(4)5k k k x k k k ----=+==-+++， 所以，直线MN 与x 轴的交点为定点6(5-，0)．5．（2019•陕西模拟）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为2F ，过2F 作x 轴的垂线交椭圆E 于点A （点A 在x 轴上方），斜率为(0)k k <的直线交椭圆E 于A ，B 两点，过点A 作直线AC 交椭圆E 于点C ，且AB AC ⊥，直线AC 交y 轴于点D ．（1）设椭圆E 的离心率为e ，当点B 为椭圆E 的右顶点时，D 的坐标为21(0,)3b a a -，求e 的值．（2）若椭圆E 的方程为2212x y +=，且2k <，是否存k|||AB AC =成立？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由． 【分析】（1）求出2()ABb k ac a =-，3AD ak c=，通过AB AD ⊥，转化求解椭圆的离心率即可． （2）设出直线y kx k =-，联立2212x y y kx k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，消去y ，由韦达定理得求出B 的坐标，利用弦长公式，转化求解即可． 【解答】解：（1）因为2()AB b k a c a =-，3AD ak c=，AB AD ⊥，所以2213b a ac a c =--， 整理得22320a ac c -+=，解得2a c =或a c =（舍去）， 所以12c e a ==． （2）由（1）知A，:(1)AB y k x =-，即y kx k =-，联立2212x y y kx k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，消去y，得222(12)2(2210k x k k x k +-+--=．设点B 的横坐标为B x，由韦达定理得2221112B k x k --=+，即222112Bk x k --=+，所以1B x -=．因为k <，所以2222||1|B k AB x +=-=， 同理，221|22()2|2||21112()k k AC k k -+-=++-．|||AB AC =，则22222221k k k+-=+， 20k +=，而△0<，所以此方程无解，故不存在符合条件的．6．（2019•新课标Ⅰ）已知1F ，2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为C 上的点，O 为坐标原点．（1）若2POF ∆为等边三角形，求C 的离心率；（2）如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且△12F PF 的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围．【分析】（1）根据2POF ∆为等边三角形，可得在△12F PF 中，1290F PF ∠=︒，在根据直角形和椭圆定义可得；（2）根据三个条件列三个方程，解方程组可得4b =，根据22222()a x c b c=-，所以22c b ，从而2222232a b c b =+=，故42a ，【解答】解：（1）连接1PF，由2POF ∆为等边三角形可知在△12F PF 中， 1290F PF ∠=︒，2||PF c =，1||PF =，于是122||||1)a PF PF c =+=，故曲线C 的离心率1ce a==． （2）由题意可知，满足条件的点(,)P x y 存在当且仅当：1||2162y c =，1y y x c x c=-+-，22221x y a b +=， 即||16c y =，①222x y c +=，②22221x y a b +=，③ 由②③及222a b c =+得422b y c =，又由①知22216y c =，故4b =， 由②③得22222()a x c b c =-，所以22c b ，从而2222232a b c b =+=，故42a ， 当4b =，42a 时，存在满足条件的点P ．所以4b =，a 的取值范围为)+∞．7．（2019•辽宁三模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，焦距为． （1）求C 的方程；（2）若斜率为12-的直线与椭圆C 交于P ，Q 两点（点P ，Q 均在第一象限），O 为坐标原点，证明：直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列．【分析】（1）由已知得关于a ，c 的方程组，求解可得a ，c 的值，再由隐含条件求得b ，则椭圆方程可求；（2）设直线l 的方程为12y x m =-+，1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系及斜率乘积证得2OP OQ PQ k k k =即可．【解答】（1）解：由题意，2c a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得2a c =⎧⎪⎨=⎪⎩ 又2221b a c =-=，∴椭圆方程为2214x y +=； （2）证明：设直线l 的方程为12y x m =-+，1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ， 由221214y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y ，得22244(1)0x mx m -+-=． 则△2221632(1)16(2)0m m m =--=->，且122x x m +=，2122(1)x x m =-．故2121212121111()()()2242y y x m x m x x m x x m =-+-+=-++． ∴21212212121211()1424OP OQ PQ x x m x x m y y k k k x x x x -++====． 即直线OP，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列．8．（2019•全国I 卷模拟）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，左右顶点分别为A ，B ，Q 为椭圆C 上一点，QAB ∆面积的最大值为（1）求椭圆C 的方程；（2）当点Q 不为椭圆C 的顶点时，设直线AQ 与y 轴交于点P ，过原点O 作直线AQ 的平行线OM 且与椭圆C 交于点M ，问是否存在常数λ使得2||||||AP AQ OM λ=成立？若存在，求出常数λ；若不存在，说明理由．【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和a ，b ，c 的关系，以及椭圆上点到x 轴距离的最大值，计算即可得到a ，b 的值，进而得到椭圆方程；（2）设直线:(2)AQ yk x =+，直线:OM y kx =，联立椭圆方程，利用韦达定理、弦长公式，由此求出存在常数λ使得2||||||AP AQ OM λ=成立．【解答】解：（1）由题意得，c e a ==，222a b c-=， 当Q 为椭圆的上顶点时，AQB ∆的面积取得最大值 且为12222b a = 解得，2a =，b =，c =所以椭圆方程为：22142x y +=⋯ （2）依题意可得直线AQ 的斜率存在，设直线:(2)AQ y k x =+，则(0,2)P k联立22(2)24y k x x y =+⎧⎨+=⎩，并整理得：2222(12)8840k x k x k +++-=． △222644(21)(84)160k k k =-⨯+⨯-=>，则2284221Q k x k --=+，222421Q k x k -∴=+，||(2)|Q AQ x =--=||AP =228(1)||||12k AQ AP k +=⋯+直线AQ 的平行线OM ，直线:OM y kx =； 联立2224y kxx y =⎧⎨+=⎩消去y 得：22(12)40k x +-=； 222222244(1)||(1)(1)1212M k OM K x k k k +=+=+=⋯++∴22228(1)4(1)1212k k k k λ++=++，2λ∴=． 故存在常数2λ=，使得2||||||AP AQ OM λ=成立。

考点42 椭圆——2021年高考数学专题复习真题附解析

考点42 椭圆——2021年高考数学专题复习真题附解析

考点42 椭圆【题组一 椭圆的定义及运用】1．设定点()10,3F -、()20,3F ，动点P 满足()1290PF PF a a a+=+>，则点P 的轨迹是（ ） A ．椭圆 B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段【答案】D【解析】当0a >时，由均值不等式的结论有：96a a +≥=，当且仅当3a =时等号成立.当96a a+=时，点P 的轨迹表示线段12F F , 当1296a F F a+>=时，点P 的轨迹表示以12F F 为焦点的椭圆,本题选择D 选项. 2．如图把椭圆2212516x y +=的长轴AB 分成8等分,过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，…，P7七个点，F 是椭圆的焦点,则|P1F|+|P2F|+…+|P7F|=" " .【答案】35【解析】由已知得5a =，如图，E 是椭圆的右焦点，由椭圆的对称性知17FP EP =，26FP EP =，35FP EP =，又45FP =，∴1234567FP FP FP FP FP FP FP ++++++7655675EP EP EP FP FP FP =++++++222535a a a =+++=．故答案为35．3．椭圆22192x y+=的焦点为F1,F2，点P在椭圆上，若14PF=，2PF=_______；12F PF∠的小大为__________．【答案】2 ；23π；【解析】因为由椭圆的定义，我们可知12212221212 12121222||||cos21642812422PF PF a PF a PFPF PF F F PF F F PFPF PF +=∴=-+-∆∠=⨯+-==-⨯⨯中，4．过椭圆2212516x y+=的中心任作一直线交椭圆于P,Q两点,F是椭圆的一个焦点,则PFQ△的周长的最小值为（）A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】D【解析】如图所示,记椭圆的另一个焦点为1F ,则根据椭圆的对称性知道:1QF PF = ,2PQ PO =,设(cos ,sin )P a b θθ ,则222222222=cos +sin =()cos +PO a b a b b θθθ-,又因为220a b ->,2cos 0θ≥,所以22PO b ≥,即PO b ≥,22PQ PO b =≥．所以PQF ∆的周长为122210818QF PF PQ PF PF PQ a PQ a b ++=++=+≥+=+=故选：D5．已知椭圆22:11612x y C +=，圆22:320A x y x y +--+=，P 、Q 分別为椭圆C 和圆A 上的点，()2,0F -，则PQ PF +的最小值为（ ）A ．42-B ．8-C ．4D ．8【答案】D【解析】圆A 的标准方程为22311222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，圆心31,22A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径22r ， 如下图所示，可知点F 为椭圆C 的左焦点，设点E 为椭圆C 的右焦点，易知点E 在圆A 上，由椭圆的定义可得28PF a PE PE =-=-，由圆的几何性质可得2PQ PA r PA ≥-=-，8888PQ PF PQ PE PA PE AE ∴+=+-≥-+≥-+-=-当且仅当P 、A 、E 三点共线且点P 在点A 的上方时，PQ PF +取得最小值8. 故选：D.【题组二 焦点三角形周长及面积】1．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆23x ＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC 的周长是( )A ．23B ．6C ．43D ．12【答案】C【解析】设另一焦点为F ，由题F 在BC 边上，所以ABC ∆的周长l AB BC CA AB BF CF CA =++=+++==故选：C2．已知椭圆22:14924x y C +=的左，右焦点分别为12,F F ，若C 上的点A 到2F 的距离为6，则△12AF F 的面积为（ ） A ．48 B ．25C ．24D ．12【答案】C【解析】依题意知，7a =，b =5c =，因为12||||214AF AF a +==，且2||6AF =，所以1||8AF =，在△12AF F 中，12||210F F c ==，因为2221212||||||AF AF F F +=，所以12AF AF ⊥，所以△12AF F 的面积为1211||||862422AF AF ⋅=⨯⨯=.故选：C. 3．椭圆22192x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若2||2PF =，则12F PF ∠的大小为（ ）A ．150︒B ．135︒C ．120︒D ．90︒【答案】C【解析】由题意，12F F =126PF PF +=，又22PF =，则14PF=， 由余弦定理可得22212121212164281cos 22242PF PF F F F PF PF PF +-+-∠===-⋅⨯⨯.故12120F PF ︒∠=.故选：C.4．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC 的周长是_______【答案】【解析】由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a ，可得△ABC 的周长为，所以，答案为.5．若12,F F 是椭圆2214x y +=的两个焦点，P 是该椭圆上的一个动点，则12PF PF ⋅的最大值是________.【答案】4【解析】由椭圆方程2214x y +=可知2a =，因为P 是该椭圆上的一个动点，所以1224PF PF a +==， 因此由基本不等式可得；12212()42PF PF PF PF +⋅≤=（当且仅当122PF PF ==时，取等号）.故答案为：4【题组三 离心率】1．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于 。

2010年高考真题(椭圆部分[含答案])

2010年高考真题(椭圆部分[含答案])

2010年高考题1.（2010全国卷2理）（12）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=＞＞F 且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =，则k =（A ）1 （B（C（D ）2 【答案】B【命题意图】本试题主要考察椭圆的性质与第二定义.【解析】设直线l 为椭圆的有准线，e 为离心率，过A ，B 分别作AA 1，BB 1垂直于l ，A 1，B 为垂足，过B 作BE 垂直于AA 1与E ，由第二定义得，，由，得，∴即k=，故选B.2.（2010全国卷2文）（12）已知椭圆C ：22221x y a b +=（a>b>0，过右焦点F 且斜率为k （k>0）的直线于C 相交于A 、B 两点，若3AF FB =。

则k = （A ）1 （B（C（D ）2 【答案】B【解析】1122(,),(,)A x y B x y ，∵ 3AF FB =，∴ 123y y =-， ∵e =，设2,a t c t ==，b t =，∴ 222440x y t +-=，直线AB方程为x sy =。

代入消去x ，∴222(4)0s y t ++-=，∴2121224t y y y y s +==-+，22222234t y y s -=-=-+，解得212s =，k =3.（2010重庆理）（10）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是A. 直线B. 椭圆C. 抛物线D. 双曲线 【答案】 D解析：排除法 轨迹是轴对称图形，排除A 、C ，轨迹与已知直线不能有交点，排除B4.（2010四川理）（9）椭圆22221()x y a b a b+=>>0的右焦点F ，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是 （A）⎛⎝⎦ （B ）10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ （C ）)1,1 （D ）1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭解析：由题意，椭圆上存在点P ，使得线段AP 的垂直平分线过点F ， 即F 点到P 点与A 点的距离相等而|F A |＝22a b c c c-= |PF |∈[a －c ,a ＋c ]于是2b c∈[a －c ,a ＋c ]即ac －c 2≤b 2≤ac ＋c 2∴222222ac c a c a c ac c⎧-≤-⎪⎨-≤+⎪⎩ ⇒1112c a c c aa ⎧≤⎪⎪⎨⎪≤-≥⎪⎩或又e ∈(0,1)故e ∈1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D5.（2010广东文）7.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 A.54 B.53 C. 52 D. 51【答案】B6.（2010福建文）11．若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP 的最大值为 A ．2 B ．3C ．6D ．8【答案】C【解析】由题意，F （-1，0），设点P 00(,)x y ，则有2200143x y +=,解得22003(1)4x y =-， 因为00(1,)FP x y =+，00(,)OP x y =，所以2000(1)OP FP x x y ⋅=++=00(1)OP FP x x ⋅=++203(1)4x -=20034x x ++，此二次函数对应的抛物线的对称轴为02x =-，因为022x -≤≤，所以当02x =时，OP FP ⋅取得最大值222364++=，选C 。

高考数学最新真题专题解析—椭圆、双曲线与抛物线(新高考卷)

高考数学最新真题专题解析—椭圆、双曲线与抛物线(新高考卷)

高考数学最新真题专题解析—椭圆、双曲线与抛物线（新高考卷）【母题来源】2022年新高考I卷【母题题文】已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为12，过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|=6，则△ADE 的周长是．【答案】13【解析】【分析】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用、椭圆的定义以及椭圆中的弦长问题，考查了运算求解能力，属于中档题．【解答】解：由椭圆离心率为12，可得a=2c，则b=√a2−c2=√3c，则C：x24c2+y23c2=1，A(0,√3c)，F1(−c,0)，F2(c,0)，易得l AF2：y=−√3x+√3c，l ED：y=√33(x+c)，可解得AF2与DE的交点M(c2,√3c2)，故直线DE垂直平分AF2，即EA=EF2，DA=DF2，又{x24c2+y23c2=1y=√33(x+c)⇒13x2+8cx−32c2=0⇒{x D+x E=−8c13x D x E=−32c213∴|DE|=√1+13|x D−x E|=6⇒(x D+x E)2−4x D x E=27⇒c=138，所以△ADE的周长AD+AE+DE=DF2+EF2+DF1+EF1=4a=8c= 13．【母题题文】已知O为坐标原点，点A(1,1)在抛物线C:x2=2py(p>0)上，过点B(0,−1)的直线交C于P，Q两点，则()A. C的准线为y=−1B. 直线AB与C相切C. |OP|⋅|OQ|>|OA|2D. |BP|⋅|BQ|>|BA|2【答案】BCD【解析】【分析】本题考查了直线与抛物线的位置关系，属较难题．【解答】解：点A(1,1)在抛物线C:x2=2py(p>0)上，即1=2p⇒C:x2=y，所以准线为y=−14，所以A错;直线AB:y=2x−1代入x2=y得：x2−2x+1=0⇒(x−1)2=0⇒x= 0，所以AB与C相切，故B正确．由题知直线PQ的斜率一定存在，则可设直线PQ:y=kx−1，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则{y=kx−1y=x2⇒x2−kx+1=0，Δ=k2−4>0⇒k<−2或k>2，此时{x1+x2=kx1x2=1,{y1+y2=x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=k2−2y1y2=x12x22=1,|OP|⋅|OQ|=√(x12+y12)(x22+y22)=√(y1+y12)(y2+y22)=√(y1y2)2+(y1y2)(y1+y2)+y1y2=√2+(k2−2)=√k2>2=|OA|2，故C 正确;|BP|⋅|BQ|=√1+k2|x1−0|√1+k2|x2−0|=(1+k2)|x1x2|=(1+k2)>5=|BA|2，故D正确．【母题来源】2022年新高考II卷【母题题文】已知直线l与椭圆x26+y23=1在第一象限交于A，B两点，l与x轴y轴分别相交于M，N两点，且|MA|=|NB|，|MN|=2√3，则直线l的方程为．【答案】x+√2y−2√2=0【解析】【分析】本题考查了椭圆的中点弦问题，属于偏难题。

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椭圆高考题赏析
1.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是( )
A.45
B.35
C.25
D.15
答案:B
解析:由2a,2b,2c 成等差数列,所以2b=a+c. 又
222b a c =-, 所以222()4()a c a c +=-.
所以5
3a c =.所以35
c e a ==. 2.已知椭圆22221(y x a b a b
+=>>0)的左焦点为
F,右顶点为
A,点B 在椭圆上,且BF x ⊥轴,直线AB 交y 轴于点P.若
AP 2PB =,则椭圆的离心率是( )
C.13
D.12
答案:D
解析:对于椭圆,∵AP 2PB =,则OA 2OF =, ∴a=2c.∴12
e =.
3.已知椭圆22221(y x a b a b
+=>>0)的左、右焦点分别为1(0)F c -,、2(0)F c ,,若椭圆上存在一点P 使
1221
sin PFF sin PF F a c =,∠∠则该椭圆的离心率的取值范围为 .
答案:11)-,
解析:因为在△12PF F 中,由正弦定理得
211221
sin PFF sin PF F PF PF ||||
=,∠∠
则由已知,得
1211a c PF PF =,||||
即a|1PF |=c|2
PF |.
由椭圆的定义知|1PF |+|2PF |=2a, 则c a
|2PF |+|2PF |=2a,即|2PF |2
2a c a
=,+
由椭圆的几何性质知|2PF |<a+c,则22a c a
<+a+c,即2220c c a +->, 所以221e e +-,解得21e <-或21e >-.
又(01)e ∈,,故椭圆的离心率(211)e ∈,.
4.椭圆22192
y x +=的左、右焦点分别为1F 、2F ,点P 在椭圆上,若|1PF |=4,则|2PF |= ;12F PF ∠的大小为 .
答案:2 120解析:∵2292a b =,=,
∴22
927c a b =-=-=∴|12F F |7=又|1PF |=4,|1PF |+|2PF |=2a=6,
∴|2PF |=2. 又由余弦定理,得cos 222
1224(27)12
F PF +-∠==-, ∴
12120F PF ∠=,故应填2,120.
5.已知椭圆22221(y x a b a b
+=>
>0)的离心率3e =连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线l 与椭圆相交于不同的两点A,B.已知点A 的坐标为(-a,0).
若
|AB|=求直线l 的倾斜角;
解:(1)
由c e a
==
得2234a c =.再由222c a b =-,解得a=2b. 由题意可知12242
a b ⨯⨯=,即ab=2. 解方程组 22a b ab =,
⎧⎨
=,
⎩ 得a=2,b=1.
所以椭圆的方程为2214
x y +=. (2)由(1)可知点A 的坐标是(-2,0).设点B 的坐标为11()x y ,,直线l 的斜率为k. 则直线l 的方程为y=k(x+2).
于是A,B 两点的坐标满足方程组22
(2)14
y k x x y =+,⎧⎪
⎨+=.⎪⎩ 消去y 并整理,得 2222(14)16(164)0k x k x k +++-=.
由212164214k x k --=,+得2
122814k x k -=+.从而12414k y k
=+. 所以
|AB|==由
|AB|=
=. 整理得42329230k k --=,即22(1)(3223)0k k -+=,解得1k =±. 所以直线l 的倾斜角为4π或34
π.
巩固提升
题组一 椭圆的离心率问题
1.椭圆22221(y x a b a b
+=>>0)的右焦点为F,其右准线与x 轴的交点为A,在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F,则椭圆离心率的取值范围是( )
A.2(0]2,
B.1(0]2
,
C.[211)-,
D.1[1)2
,
答案:D
解析:|AF|22a b c c c =-=,而|AF|=|PF|a c ≤+, 所以2
b a
c c
+≥, 即2210e e +-≥,解得112
e ≤<.
2.已知12F F ,是椭圆的两个焦点,过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点,若△2ABF 是等腰直角三角形,则这个椭圆的离心率是( )
A.
32 B.22
C.21-
D.2
答案:C
解析:根据题意:2145AF F ∠=2
222b c e e a
,=,+-1=0,又(01)e ∈,,∴21e =-. 3.设椭圆22221(0y x m m n
+=>,n>0)的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同,离心率为12
,则此椭圆的方程为( )
A.
2211216y x += B.
2211612y x += C.
2214864
y x += D.
2216448
y x += 答案:B
解析:由题意可知:c=2,且焦点在x 轴上.由12
e =,可得m=4,∴22212n m c =-=.故
选B.
题组二 椭圆的定义
4.设P 是椭圆2212516
y x +=上的点.若12F F ,是椭圆的两个焦点,则|1PF |+|2PF |等于( )
A.4
B.5
C.8
D.10
答案:D
解析:因为a=5,所以|1PF |+|2PF |=2a=10.
5.设直线l :2x+y-2=0与椭圆2
2
14
y x +=的交点为A 、B,点P 是椭圆上的动点,则使△PAB 面积为13
的点P 的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
答案:D
解析:联立方程组 22
22014
x y y x +-=,
⎧⎪⎨+=,⎪⎩ 消去y 整理解得:02x y =,⎧⎨=⎩ 或 10x y =,⎧⎨=,⎩
|AB|=
结合图象知P 的个数为4. 题组三 椭圆的综合应用
6.已知椭圆G 的中心在坐标原点,长轴在x 轴上,
且G 上一点到G 的两
个焦点的距离之和为12,则椭圆G 的方程为 .
答案:
221369
y x += 解析
:212e a a =
=,=6,b=3,则所求椭圆方程为221369
y x +=. 7.已知1F 、2F 是椭圆C:22221(y x a b a b
+=>>0)的两个焦点,P 为椭圆C 上一点,且12PF PF ⊥.若△12PF F 的面积为9,则b= .
答案:3
解析:依题意,有 12122221
22184PF PF a PF PF PF PF c ||+||=,⎧⎪
||⋅||=,⎨⎪||+||=,
⎩ 可得2436c +24a =,即229a c -=,∴
b=3.
8.如图,已知椭圆22221y x a b
+=（a>b>0)
过点(1,
左 、右焦点分别
为F 1 、F 2.点P 为直线l:x+y=2上且不在x 轴上的任意一点,直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为A B ,和C ,
D ,O .为坐标原点
(1)求椭圆的标准方程.
(2)设直线1PF ,PF 2的斜率分别为1k ,k 2. 证明:12
312k k -=.
解:(1)
因为椭圆过点(1e ,=
所以221112c a
a b
+=,=
. 又222a b c =+,
所以1a b c ==,=1. 故所求椭圆的标准方程为2
212
x y +=.
(2)设00()P x y ,,则00120011
y y
k k x x =
,=+-. 因为点P 不在x 轴上,所以0y ≠
.
又002x y +=, 所以0
000
1
2
13(1)422312x x x y k k y y y y +---=-===. 因此结论成立.。

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