(整理)版高考数学一轮复习21函数及其表示精品学案.

2013版高三数学一轮精品复习学案：函数、导数及其应用【知识特点】1．函数、导数及其应用是高中数学的重要内容，本章主要包括函数的概念及其性质，基本初等函数Ⅰ（指数函数、对数函数、幂函数），导数的概念，导数及其几何意义，导数与函数的单调性、最值，导数在实际问题中的应用等内容。

2．本章内容集中体现了函数与方程、数形结合、分类讨论的思想方法，函数的类型较多，概念、公式较多，具有较强的综合性。

【重点关注】1．函数的概念及其性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性）是高考考查的主要内容，函数的定义域、解析式、值域是高考考查重点，函数性质的综合考查在历年考试中久考不衰，应重点研究。

2．函数的图象及其变换既是高考考查的重点，又是学生学习的一个难点，应注意区分各函数的图象及图象的变换，利用图象来研究性质。

3．导数的几何意义，导数在函数的最值及单调性方面的应用是高中数学的一个重点内容，也是高等数学的必修内容，是近几年高考的一大热点，复习时应引起足够的重视。

4．注意思想方法的应用。

数形结合思想、函数与方程的思想、分类讨论思想在各种题型中均有体现，应引起重视。

【地位与作用】一、函数在高考中的地位与作用从近几年的全国各地的高考试题中可以看出，近几年高考在函数中的考查有如下特点：1、知识点的考查情况①映射与函数：以考查概念与运算为主，部分涉及新定义运算；②定义域、值域、解析式是考查的重点，而且比较稳定，有时结合其它知识点（一本部分内容为背景），分段函数较多、花样翻新；③函数的单调性在历年考试中久考不衰，且比例有上升趋势，和导函数联系较多；④函数的奇偶性主要和单调性、不等式、最值、三角函数等综合，与周期性、对称性、抽象函数等问题联系较多；⑤反函数出现在选择题、填空题中，考反函数概念运算可能性较大，若出现在解答题中，则必定与单调性、奇偶性、不等式、导函数等知识综合，难度较大；⑥二次函数问题是每年的必考题，一方面直接考查二次函数，另一方面是利用二次函数的性质解题，三个“二次”问题（即二次函数、二次方程、二次不等式）是函数考试题中永恒的主题⑦指数函数与对数函数以基本概念、性质为主设计试题，考查指数、对数的定义域、值域、单调性和运算，选择、填空题属中等难度，若解答题涉及到指、对数函数，往往难度会上升；⑧函数的图像与最值每年必考，体现“形是数的直观反映，数是形的抽象概括”，是数学思想方法中的数相结合思想的最直接的表现形式，尤其是函数y=x+a/x（a＞0）的图像和性质，从未间断过；⑨函数应用题与综合应用题是最能体现考生函数水平的试题：一次函数、二次函数、y=x+a/x （a＞0）型、指数型、对数型与现实生活相结合，考查学生的建模能力，而函数与数列、不等式、导函数等众多知识的交汇已经成为函数综合应用中的典型问题。

2、常考题型及分值情况函数在选择、填空、解答三种题型中每年都有考题，所占分值30分以上，占全卷的20%以上。

在高考中占有重要地位。

3、命题热点及生长点情况近年来有关函数内容的高考命题趋势是：①全方位. 近几年来的高考题中，函数的所有知识点都考过，虽然近几年不强调知识点的覆盖率，但每一年函数知识点的覆盖率依然没有减少。

②多层次. 在每年的高考题中，函数题抵挡、中档、高档难度都有，且选择、填空、解答题题型齐全。

抵挡难度一般仅涉及函数本身的内容，诸如定义域、值域、单调性、周期性、图像、反函数，且对能力的要求不高；中、高档难度题多为综合程度较大的问题，或者是函数与其它知识结合，或者是多种方法的渗透。

③巧综合. 为了突出函数在中学中的主要地位，近几年来高考强化了函数对其它知识的渗透，加大了以函数为载体的多种方法、多种能力的综合程度。

④变角度. 出于“立意”和创新情况的需要，函数试题设置问题的角度和方式也不断创新。

重视函数思想的考查，加大了函数应用题、探索题和信息题的考查力度，从而使函数考题显得新颖、生动、灵活。

二、导数在高考中的地位与作用导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。

在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值，估计2013年高考继续以上面的几种形式考察不会有大的变化：（1）考查形式为：选择题、填空题、解答题各种题型都会考察，选择题、填空题一般难度不大，属于高考题中的中低档题，解答题有一定难度，一般与函数及解析几何结合，属于高考的中低档题；（2）2013年高考可能涉及导数综合题，以导数为数学工具考察：导数的物理意义及几何意义，复合函数、数列、不等式等知识。

定积分是新课标教材新增的内容，主要包括定积分的概念、微积分基本定理、定积分的简单应用，由于定积分在实际问题中非常广泛，因而2013年的高考预测会在这方面考察，预测2013年高考呈现以下几个特点：（1）注意基本概念、基本性质、基本公式的考察及简单的应用；高考中本讲的题目一般为选择题、填空题，考查定积分的基本概念及简单运算，属于中低档题；（2）定积分的应用主要是计算面积，诸如计算曲边梯形的面积、变速直线运动等实际问题要很好的转化为数学模型。

第一节、函数及其表示【高考新动向】一、考纲点击1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。

2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数。

3．了解简单的分段函数，并能简单应用。

二、热点、难点提示1．函数的概念、表示方法、分段函数是近几年高考的热点；2．常和对数、指数函数的性质等相结合考查，有时也会命制新定义问题； 3．题型以选择题和填空题为主，与其他知识点交汇则以解答题的形式出现。

【考纲全景透析】 一、函数与映射的概念 函数 映射 两集合设A B 、是两个非空数集 设A B 、是两个非空集合 对应关系:f A B →如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应。

如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应。

名称称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射 记法()y f x =，x A ∈对应:f A B →是一个映射注：函数与映射的区别：函数是特殊的映射，二者区别在于映射定义中的两个集合是非空集合，可以不是数集，而函数中的两个集合必须是非空数集。

二、函数的其他有关概念 （1）函数的定义域、值域在函数()y f x =，x A ∈中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值{()|}f x x A ∈的集合叫做函数的值域（2）一个函数的构成要素 定义域、值域和对应关系 （3）相等函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数。

注：若两个函数的定义域与值域相同，是否为相等函数？（不一定。

如果函数y=x 和y=x+1,其定义域与值域完全相同，但不是相等函数；再如y=sinx 与y=cosx ，其定义域为R ，值域都为[-1，1]，显然不是相等函数。

因此凑数两个函数是否相等，关键是看定义域和对应关系） （4）函数的表示方法表示函数的常用方法有：解析法、图象法和列表法。

（5）分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数。

分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是个函数。

【热点难点全析】一、求函数的定义域、值域 1、确定函数的定义域的原则（1）当函数y=f(x)用列表法给出时，函数的定义域是指表格中实数x 的集合; （2）当函数y=f(x)用图象法给出时，函数的定义域是指图象在x 轴上的投影所覆盖的实数的集合；（3）当函数y=f(x)用解析式给出时，函数的定义域是指使解析式有意义的实数的集合； （4）当函数y=f(x)由实际问题给出时，函数的定义域由实际问题的意义确定。

2、确定函数定义域的依据（1）若f(x)是整式，则定义域为全体实数；（2）若f(x)是分式，则定义域为使分式的分母不为零的x 取值的集合； （3）当f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式取非负的x 取值的集合；（4）当f(x)是非正数指数幂时，定义域是使幂的底数不为0的x 取值的集合；（5）若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，其复合函数f(g(x))定义域由不等式a ≤g(x)≤b 解出; (6)若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x ∈[a,b]时的值域。

3、求简单函数值域的方法(1)观察法；(2)图象观察法；(3)单调性法；(4)分离常数法；(5)均值不等式法；(6)换元法.4、例题解析〖例1〗(2012·大连模拟)求函数()-=2lg x 2x f x 的定义域;(2)已知函数f(2x)的定义域是［-1,1］，求f(x)的定义域； (3)求下列函数的值域. ①y=x2+2x,x ∈［0,3］, ②y=log3x+logx3-1,③.-=2x 1y 2 分析：(1)根据解析式，构建使解析式有意义的不等式组求解即可； (2)要明确2x 与f(x)中x 的含义，从而构建不等式求解;(3)根据解析式的特点，分别选用①图象观察法；②均值不等式法；③单调性法求值域. 解答：(1)要使该函数有意义，需要⎧-⎪⎨-⎪⎩22x 2x 09x 0＞，＞则有：⎧⎨-⎩x 0x 23x 3＜或＞，＜＜解得:-3＜x ＜0或2＜x ＜3,所以所求函数的定义域为 (-3,0)∪(2,3). (2)∵f(2x)的定义域为［-1，1］， 即-1≤x ≤1,12∴≤≤x 22，故f(x)的定义域为［1,22］.(3)①y=(x+1)2-1在［0,3］上的图象如图所示,由图象知：0≤y≤32+2×3=15,所以函数y=x2+2x，x∈［0,3］的值域为［0,15］.②=+-331y log x1log x,定义域为(0,1)∪(1,+∞)，当0＜x＜1时，,≤-=-y13当x＞1时，,≥=y11综上可知，其值域为(-∞,-3］∪［1,+∞). ③因为x2-1≥-1，又y=2x在R上为增函数,∴-=2x1y2≥2-1=12.故值域为［12,+∞).【规律方法】求函数定义域的方法(1)求具体函数y=f(x)的定义域：(2)求抽象函数的定义域：①若已知函数f(x)的定义域为［a,b ］，其复合函数f(g(x))的定义域由不等式a ≤g(x)≤b 求出. ②若已知函数f(g(x))的定义域为［a,b ］，则f(x)的定义域为g(x)在x ∈［a,b ］时的值域. 提醒：定义域必须写成集合或区间的形式.〖例2〗设函数⎩⎨⎧<+≥+-=0,60,64)(2x x x x x x f 则不等式)1()(f x f >的解集是（ A ）.),3()1,3(+∞⋃-B.),2()1,3(+∞⋃-C.),3()1,1(+∞⋃-D.)3,1()3,(⋃--∞解析 由已知，函数先增后减再增 当0≥x ，2)(≥x f 3)1(=f 令,3)(=x f 解得3,1==x x 。