“希望杯”数学邀请赛培训题(初二)
第8-21届希望杯全国数学邀请赛(初二)试题
第八届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试第八届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试第九届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试第九届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试第十届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试第十届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试第十一届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试第十一届“希望杯”全国数学邀请赛初二 第2试一、选择题：1．－20001999, －19991998, －999998, －1000999这四个数从小到大的排列顺序是（AA ）－20001999<－19991998<－1000999<－999998 （B ）－999998<－1000999<－19991998<－20001999（C ）－19991998<－20001999<－1000999<－999998 （D ）－1000999<－999998<－20001999<－199919982．一个三角形的三条边长分别是a , b , c (a , b , c 都是质数)，且a ＋b ＋c ＝16，则这个三角形的形状是（A ）直角三角形（B ）等腰三角形（C ）等边三角形（D ）直角三角形或等腰三角形 3．已知25x =2000, 80y =2000，则y1x 1+等于 （A ）2 （B ）1 （C ）21（D ）23 4．设a ＋b ＋c =0, abc >0，则|c |ba |b |ac |a |c b +++++的值是 （A ）－3 （B ）1 （C ）3或－1 （D ）－3或15．设实数a 、b 、c 满足a <b <c (ac <0)，且|c |<|b |<|a |，则|x －a |＋|x －b |＋|x ＋c |的最小值是 （A ）3|c b a |++ （B ）|b | （C ）c －a （D ）―c ―a 6．若一个等腰三角形的三条边长均为整数，且周长为10，则底边的长为 （A ）一切偶数 （B ）2或4或6或8 （C ）2或4或6 （D ）2或4 7．三元方程x ＋y ＋z ＝1999的非负整数解的个数有（A ）20001999个 （B ）19992000个 （C ）2001000个 （D ）2001999个 8．如图1，梯形ABCD 中，AB //CD ，且CD ＝3AB ，EF //CD ，EF 将梯形 ABCD 分成面积相等的两部分，则AE ：ED 等于（ ）。
2007年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛初二培训题(含答案)-
第十八届（2007年）“希望杯”全国数学邀请赛培训题“希望杯”命题委员会（未署名的题，均为命题委员会命题）初中二年级一、选择题（以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母填在每题后的圆括号内）1．有下面的四个叙述：①整式加整式还是整式；②整式减整式还是整式；③整式乘整式还是整式；④整式除整式还是整式．其中正确叙述的个数为（）．（A）4 （B）3 （C）2 （D）12．若x是有理数，分式1||2x-的值为正整数，则x的个数为（）（A）2 （B）4 （C）6 （D）无数个3．将分式2aa b+中的a扩大2倍，6扩大4倍，而分式的值不变，则（）（A）a=0 （B）b=0 （C）a=0，且b=0 （D）a=0或b=04．已知x与y+2成反比例，当x=1时，y=4，那么y=1时，x的值是（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）45．若实数a，b，c满足a2+b2≠0，a3+a2c-ab c+b2c+b3=0，则a+b+c的值是（）（A）-1 （B）0 （C）1 （D）26．若实数a，b，c满足1a+1b+1c=1a b c++，则a+b，b+c，c+a中等于零的（）（A）有且只有1个（B）至少有1个（C）最多有1个（D）不可能有2个7．设f=2x-3x-2，g=x-2，考察下面四个叙述：①f+g是整式；②f-g是整式；③f×g是整式；④当x≠2时，f÷g是整式．其中正确叙述的个数为（）（A）4 （B）3 （C）2 （D）18．如果≠0成立，那么下列各式中正确的是（）（A）a+b≥0 （B）a+b>0 （C）a+b≤0 （D）a+b<09．甲、乙两人从A地出发，骑自行车在同一条路上行驶到B地，他们离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（时）之间的函数关系的图象如图，根据图中提供的信息，•有下列叙述：①他们都行驶了18千米；②甲在途中停留了0.5小时；③乙比甲晚出发了0.5小时；④相遇后，甲的速度小于乙的速度；⑤甲、乙两人同时到达目的地．其中，符合图象的叙述有（）个．（A）2 （B）3 （C）4 （D）5(第9题) (第10题) (第15题)10．已知直线y=2x+a与y=2a-x的图象的交点在如图所示的阴影长方形区域内（•含长方形边界），则a的取值范围是（）（A）0≤a≤32（B）65≤a≤95（C）65≤a≤32（D）0≤a≤9511．甲车追超过前方的乙车，经过时间t后在A处追上，若甲、乙各提速a%，则（）（A）甲车追上乙车所用的时间增加了a%; （B）甲车追上乙车所用的时间减少了a% （C）甲车仍在A处追上乙车; （D）甲车驶过A处后才追上乙车12．某人用1000元钱购进一批货物，第二天售出，获利10%，•过几天后又以上次售出的价格的90%购进一批同样的货物，由于卖不出去，•两天后他将其按第二次购进价的九价再QQ ：- 3 -出售，这样他在两次交易中（ ）（A ）刚好盈亏平衡 （B ）盈利1元 （C ）盈利9元 （D ）亏损1．1元13．某足球赛，记分规律如下：胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分，A 队经过12场比赛后，积19分，若队员出赛一场的出场费为500元/人，胜一场奖金1000元/人，•平一场奖金500元/人，那么A 队队员在12场比赛后的最高收益可能是（ ）（A ）13500元/人 （B ）14000元/人 （C ）13000元/人 （D ）12500元/人14．小明和小刚用掷两枚骰子的方法来确定点P （x ，y ）在坐标系上的位置，他们规定：小明掷得的点数为x ，小刚掷得的点数为y ，•那么他们各掷一次所确定的点落在已知直线y=-2x+6上的概率为（ ）（注：骰子是骨制的一个白色小正方体，它的六个面上分别刻有1个，2个，3个，4个，5个，6个红色小圆点，将其随意掷放于一个平面上，骰子必有一面向上，•这个面上红色圆点的个数就叫做点数）．（A ）16 （B ）112 （C ）118 （D ）1915．如图，晴朗的夏天，太阳当空，•一只小鸟以不变的速度水平地飞过一个斜坡上空，则小鸟在斜坡上的影子移动的速度（ ）（A ）越来越大 （B ）越来越小（C ）不变 （D ）一定和小鸟的飞行速度一样大16．当5个整数从小到大排列时，中位数是4，如果这5个整数的惟一众数是6，则这5个整数的和最大是（ ）．（A ）20 （B ）21 （C ）22 （D ）2317．某市出租车的起步价为12元（行程在3公里以内），行程到达3公里之后，•每增加1公里需加付m 元（不足1公里亦按1公里计价），•张老师坐这种出租车从学校到离学校n 公里的教育局开会，沿途未遇红灯，下车时付车费28元，则m 与n 的关系是m=（ ） （注：[n]表示不大于n 的最大整数，如[3，2]=3，[4]=4．）（A ）16162828()()3()3[]3[]2[]3[]2B C D n n n n ------ 18．用200元钱买A 、B 、C 、D 四种商品共10件，若A 、B 、C 、D 的单价依次是13元，17元，22元，35元，则（ ）（A ）A 、B 、C 、D 各买了2，3，4，1件 （B ）A 、B 、C 、D 各买了4，2，2，2件（C ）以上两种情况都可能 （D ）以上三种情况都不可能19．如图，直线AE ∥BF ，点P 在AE 上方，点M 、N 分别在AE 、BF 上，若PC 平分∠MPN 交AE 、BF 于C 、D 两点，∠PCE=α，则∠1=∠2的大小为（ ）（A ）α （B ）2α （C ）3α （D ）4α(第19题) (第22题) (第25题)20．周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形的个数为（ ）（A ）11 （B ）12 （C ）7 （D ）821．如果△ABC 的垂心G （三条高的交点）在△ABC 的内部，并且在BC 边的中线AD 上，那么△ABC 一定是（ ）（A ）直角三角形 （B ）等腰三角形（C ）等边三角形 （D ）等腰直角三角形22．如图5，△ABC 中，∠A=60°，AC=16，S △ABC AB=（ ）（A ）554（B ）55 （C ）45 （D ）23．有下面四个判断性语句：①平行四边形的四个内角之和为360°；②有两个内角相等的四边形是平行四边形；QQ ：- 5 -③平行四边形的四个内角中有两对是相等的；④四个内角中有两对相等的四边形是平行四边形．（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）124．对凸四边形ABCD ，给出下列4个条件：①AB ∥CD ； ②AD ∥BC ； ③AB=CD ； ④∠BAD=∠DCB ．现从以上4个条件中任选2个条件为一组，能推出四边形ABCD•为平行四边形的概率是（ ）（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）5625．如图，以Rt △ABC 的两直角边AB 、BC 为边，•在△ABC•外部作等边△ABE•和△BCF ，EA 、FC 的延长线交于M 点，则点B 一定是△EMF 的（（A ）垂心 （B ）重心 （C ）内心 （D ）外心26．Assume that in Fig ． 7 ABCD is a square ，and •point •E •is •on •theline BC ，CE=AC ．we connect A and E ，AE intersects CD at point •F ，•then •thedegree of ∠AFC is （ ）（A ）150° （B ）125° （C ）135° （D ）112.5°（英汉词典：Fig ．是figure （图、图形）的缩写；to cormect 连接；to intersect …at 相交于；degree 度、度数）(第26题) (第27题) (第28题) (第30题)27．如图，在菱形ABCD 中，∠BAD=80°，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，E 为垂足，连结DF ，则∠CDF 等于（ ）（A ）80° （B ）70° （C ）65° （D ）60°28．如图，顺次连接凸四边形ABCD 的中点，得到四边形EFGH ．要使四边形EFGH•是正方形，应补充的条件是（ ）（A ）四边形ABCD 是等腰梯形 （B ）四边形ABCD 是平行四边形（C ）四边形ABCD 是菱形 （D ）AC=BD ，且AC ⊥BD29．将一把折扇逐渐打开，会发现打开部分的扇形面积随圆心角的变化而变化，•那么能正确描述这种变化的函数是（ ）（A ）正比例函数 （B ）反比例函数（C ）一次函数y=kx+b （b ≠0） （D ）以上都不是30．如图是一间卧室地面瓷砖的图案，在这间卧室地下藏有一宝物，•则藏在白色瓷砖和灰色瓷砖下的可能性是（ ）（A ）藏在白色瓷砖下的可能性大（B ）藏在灰色瓷砖下的可能性大（C ）藏在两种瓷砖下的可能性一样大（D ）藏在灰色瓷砖下与藏在白色瓷砖下的可能性之比是3：2二、填空题31．计算：20082+20072+20062-2008×2007-2007×2006-2006×2008=________．32．已知则x 2007=2，则（x 2006+x 2005+x 2004+…+x+1）（x-1）=__________．33．设a ，b ，c 是实数，则能使（a+b+c ）（1a +1b +1c ）=1成立的条件是______或_______．（•写出两个满足条件即可）34．Ifm and n are positive integers satisfying m 2+27mn+n 2=729 and m+•n>mn ，then the value of m+n is_________．（英汉词典：positive integer 正整数；to satisfy 满足；value 值、数值）35．计算：（+2=________．36．已知A=××，B=（2007×2008×2009）2007200820093++，则A•与B•的大小关系是A_____B ．（填“>”、“<”或“＝”）QQ ：- 7 -37．设B =，则A_______B ．（填“>”、“<”或“＝”） 38．39．If a and •b •are •constant ．•and •the •set •of •solutions •of •theinequality ax+b>0 is x<13，then the set of solutions of the inequalityba<0 is________． （英汉词典：constant 常数；set 集合；solution 解、解答；inequality 不等式）40．一次智力测试有25道题，答对一题得4分，不答扣2分，答错扣4分，小明要想在这次智力测试中的得分不低于60分，他至少要答对________道题．41．设正数a ，b ，c ，x ，y 满足：a ≠c ，22222222221,x xy y x xy y a b c c b a++=++=1，则代数式222111a b c++的值为________． 42．若以x 为未知数的方程42ax x -+=3无解，则a=_______． 43．已知m 与n 使m m m n m n ++-的值等于-14，则n m的值是_________． 44．当x=2时，多项式75312a b c d x x x x ++++的值是3，那么当x=-2时，多项式的值是_______． 45．若实数a ，b 满足1a -1b -1a b +=0，则2222b a a b-的值等于________． （拟题：夏建平 江苏省江阴市要塞中学）46．如果以x ，y 为元的二元一次方程12ax y x ay +=⎧⎨+=⎩有解，那么a 不等于________．52．如图，△P1OA1，△P2A1A2是等腰直角三角形，点P1，P2在函数y=4x（x>0）的图象上，•斜边OA，AA都在x轴上，则点A的坐标是________．(第52题) (第53题) (第55题) 53．In the following traffic marks，the number of marks whose•figuresaxially-symmetric is___________．（英汉词典：traffic交通；•mark•标志；•number•个数；•figure•图形；•axially-symmetric（轴对称）54．仅将两个全等的非等腰的直角三角形的一条边重合，拼接成新的图形，•拼成的图形可能是下列各种图形中的一种或几种：①矩形；②菱形；③直角梯形；④平行四边形；⑤等腰三角形；⑥等腰梯形．则正确结论的序号是_______．（把所有正确的图形的序号都填上）55．如图所示，平行四边形ABCD中，过BD的中点O的直线交AB、CD于M、N，•交DA、BC 延长线于E、F，则图中有全等三角形________对．56．如图，在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中，•阴影部分面积与正方形ABCDQQ ：- 9 -的面积比是_______；周长的比是________．(第56题) (第58题) (第59题) (第60题)57．在平面直角坐标系内点A 、B 的坐标分别为（-3，-2），（3，a ），点B 在第一象限，•且A 、B 两点间的距离为10，那么a 等于______．58．在建筑工地上，工人用如图所示的装置能将重物运往高处：•绳子绕过定滑轮，一端系着重物，在地面的工人手拿绳子的另一端，沿着垂直于滑轮轴的方向，向前走一段距离，重物便上升到定滑轮外，被高处的工人卸下，已知重物上升的距离是5米，则地面上的工人向前行走的距离为________米．59．图中的两个滑块A 、B 由一个连杆连接，可以在竖直和水平的滑道内滑动，•开始时，滑块A 距0点15厘米，滑块B 距0点20厘米，A 、B 的距离为25厘米，那么滑块B 滑到C 点时，滑块A 共滑动了_________厘米．60．如图，△ABC 的边AB 长为2，AB 边上的中线CD 长为1，AC 、BC，则△ABC 的面积为_________．61．a 、b 、c 是三角形的三边，它们满足ac 2+b 2c-b 3=abc ，若三角形的一个内角是120°，那么a ：b ：c=_______．62．设a ，b ，c 是△ABC 的三条边，满足c a b a b c b c a c a b <<+-+-+-，则三边中最长的边是________．63．如图，0是△ABC 外部一点，AO 交BC 于A 点，BO ，CO 的延长线分别交AC ，AB•的延长线于点B ，C ，则111AO BO CO AA BB CC ++的值为_________．(第63题) (第64题) (第65题) (第66题)64．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，E为CD的中点，BE=132，梯形ABCD•的面积为30，则AB+BC+DA的值为________．65．如图，边长为2的正方形ABCD中，若∠PAQ=45°，则△PCQ的周长是_____．66．如图，A，B两个平行四边形草坪有公共部分（阴影处），A，B•草坪面积之和为160m2，A的面积为120m2，B的面积为74m，则重叠部分的面积是_______m2．67．若凸4n+2边形AA…A（A为正整数）的每个内角都是30°的整数倍，且∠A=∠A=∠A=90°，则n的值是________．？68．服装店进了某款式的时装，开始按比进价提高30%的价格销售，但是无人问津，•于是决定打折降价销售．•如果要使利润率不低于10%，••那么打折的幅度不能低于_________．（保留两位有效数字）69．红光中学去年有120人参加“希望杯”全国数学邀请赛，•今年的参赛人数增加了50%，考场数比去年多了3个，而且平均每个考场安排的考生增加了2人，今年安排的考场有_________个．70．直角三角形三边长均为整数，其中一条直角边长为35，•则它的周长的最大值是________，最小值是_______．（拟题：刘朝晖广东省中山市第一中学初中部）71．生产某种产品，原需a小时，现在由于提高了工效，可以节约时间8%至15%，•若现在所需要的时间为b小时，则_______<b<______．（用关于a的表达式表示）72．1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，QQ ：- 11 -……从中找出一般规律是________．73．一种商品的进价为90元，原售价定为m 元，售出一半之后，剩余的一半按8折出售，全部售出后共获利10%，则原售价定为m=________元．74．某学校八年级的数学竞赛小组进行了一次数学测验，如图所示是反映这次测验情况的频率分布直方图，那么该小组共有______人；70.5～90.5这一分数段的频率是______．(第74题) (第76题) (第77题) 75．用[a ，b]表示自然数a ，b 的最小公倍数，（a ，b ）表示□，b 的最大公约数，若[•a ，b]=1085-（a ，b ），那么当a>b 时，a-b 的最小值是________． 76．如图,△ABC 中，∠C=90°，EC=13AC ，CD=13BC ，BE=8，AD=EC+CD=6，则S △BCD =______． （拟题：刘朝晖 广东省中山市第一中学初中部）77．如图，E 是平行四边形ABCD 的边CD 上任一点，AE 的延长线与BC 的延长线交于点F ，连结BE 、DF ，则S △BCE _______S △DEF ．（填“>”、“<”或“＝”） （拟题：李廷江 贵州省修文县第二中学）78．若4x 2+1+kx 是关于x 的完全平方式，则k 2-2k+2的值为________． （拟题：窦桐生 吉林省磐石市明城中学 ） 79．解方程：20052007200820042004200620072003x x x x x x x x +++++=+++++得x=_________．（拟题：钟金子 福建省安溪恒兴中学） 三、解答题80．某班有语文、数学两个课外兴趣小组，•其中参加语文组的人数是全班人数的23，既参加语文组又参加数学组的人数是参加数学组人数的23，另外有4•位同学既不参加语文组，也不参加数学组，如果这4位同学参加语文组，•那么参加数学组与参加语文组的人数恰好相等，问全班有多少同学？既参加语文组又参加数学组的人数是多少？81．某工厂计划生产A、B两种产品，为取得最大生产利润，事先做了市场调查，根据厂内实际情况和市场需要得到有关数据如下表：现在工厂可以筹集到的资金用于原料及消耗的是元/月，用于工资支出的是元/月，问如何确定两种产品的月产量，可以使工厂得到的总利润达到最大？并求这个最大利润值．82．如图，从直线COD上一点O引两条射线OE，OF，使∠GOF=∠FOE=∠EOD=60°，•在射线QQ：OF，OG，OE上各取一点A，B，C，使∠CAB=60°，若OA=m，求△ABC面积的最大值．83．从2006年元旦起，公民的月工资、薪金个人所得税的起征点由原来的800•元调整为1600元，如果公民的月工资、薪金超过1600元，则税款按下表累加计算：根据上表，请：（1）写出所纳款税y（元）与该月收入x（元）之间的函数关系式；（2）作出所纳款税y（元）与该月收入x（元）之间的函数图象；（3）若李先生月薪金4000元，他应交纳的个人所得税是多少元？84．用红色刻度线将一根木棍分成135等份，•再用黑色刻度线将这根木棍分成40等份，沿- 13 -两种刻度线将这一木棍锯成短木棍．问共有多少种不同长度的短木棍？85．100条线段的长度分别为1，2，3，…，99，100，从中取出一些线段，•要使取出的线段中的任意三条都能构成一个三角形，问最多能取出多少条线段？第十八届（2007年）“希望杯”全国数学邀请赛初二培训题（1～85题）QQ：答案．解析一、选择题- 15 -。
历届1-24“希望杯”全国数学邀请赛八年级-真题及答案
5．如图7按同心圆分成面积相等的四部分．在最外面一部分中显然可以找到三个点， 组成边长大于1的正三角形．如果三个圆换成任意的封闭曲线，只要符合分成的 四部分面积相等，那么最外面部分中，仍然可以找到三个点，使得组成边长大于 1的正三角形．故选(D)． 二、填空题
12.如果 2x 3x 1, 那么 3 (x 2)3 (x 3)2 等于[ ]
A．2x+5 B．2x-5; C．1 D．1
9.已知 x2 2xy 2y 1
y2 1
y 1 等于一个固定的值，
x2 1
2y2 xy y x 1 x 1
则这个值是( ) A．0. B．1.
C．2.
D．4.
把f1990化简后，等于 ( )
A． x . B.1-x. C. 1 . D.x.
x 1
x
二、填空题（每题1分，共10分）
1. 1302 662 ________.
9．方程x2+|x|+1=0有[ ]个实数根．
A．4; B．2; C．1; D．0 10．一个两位数，用它的个位、十位上的两个数之和的3倍减去-2，仍得原数，这个两
位数是[ ] A．26; B．28; C．36; D．38 11．若11个连续奇数的和是1991，把这些数按大小顺序排列起来，第六个数是[ ] A．179; B．181; C．183; D．185
∠A＇BE=∠A＇CF=45°． 又，当A＇B＇与A＇B重合时，必有A＇D＇与A＇C重合，故知∠EA＇B=∠FA＇C． 在△A＇FC和△A＇EB中，
∴SA＇EBF=S△A＇BC．
∴两个正方形的重合部分面积必然是一个定值． 3．可能的四位数有9种：
第 27届“希望杯”全国数学邀请赛初二1试解析
第27届“希望杯”全国数学邀请赛初二1试解析一、选择题1、【解析】A ，B 选项SSA 不能判定全等；C 明显不是判定全等的条件，D 项正确，选D .2、【解析】由3-=x y 与k kx y -=，得ky k x -+-=-+=122121，，∵交点为整点，∴k 可取1-，0，2，3，共计4个不同的值，故选B .3、【解析】由题可得混合后男女生的比为23:22)1112(:)1210(=++，故选D .4、【解析】解不等式2|1|＞+x ，得1＞x 或3-＜x ；解不等式)0(||≥≤a a x ，得a x a ≤≤-，∵它们的解集没有公共部分，∴1≤a 且3-≥-a ，∴10≤≤a ，故选A .5、【解析】解不等式组，得5＜x 且21m x -＞，∵要满足不等式组只有四个整数解，∴需要满足以下关系：1210＜m -≤，解得11≤-m ＜，故选C .6、【解析】∵ED AE =，∴A EDA ∠=∠，∴A A EDA DEB ∠=∠+∠=∠2；∵DB ED =，∴A DEB DBE ∠=∠=∠2，∴A DBE A CDB ∠=∠+∠=∠3；∵CD BC =，∴A CBD CDB ∠=∠=∠3，∴A CBD DBE ABC ∠=∠+∠=∠5；∵AC AB =，∴A ABC C ∠=∠=∠5，∴︒=∠=∠+∠+∠18011A ABC C A ，∴11180︒=∠A ，故选D .7、【解析】当0=n 时，4205==A ；当1=n 时，44411==A ；当2=n 时，47619==A ；当3=n 时，411629==A ……，要使得p A +的平方根是有理数，需满足p A +是一个平方数，观察发现，有且仅有各项的分子加上5，就使各数均成为平方数，故45=p ，答案是D .8、【解析】∵504201625.0=⨯，63)42(504=⨯÷，∴动点p 回到A 点；∵7251820151⋯=÷⨯，即动点p 再从A 往原方向移动7个单位到AD 中点，故选D .9、【解析】不妨从1开始，取1，2，3，5，8，13共六个数，其中没有任何3条线段可以构成三角形，如果往其中加入任意一个141-的其它数，那么必有3可以构成一个三角形；故n 最小可取值为7，选A .10、【解析】不妨设)(2x k a C ，)00(＞，＞k a ，则ak BC BC a OB 2'===，，设'AA 的中点为D ，延长'AA 交'BC 于E ；∵A 点在xy 1=上，∴1=⋅DO AD ；易证CBO Rt ODA Rt △∽△，∴有22a k OB BC AD DO ==，∴222ak DO =，∴a k DO =，k a D A AD =='，∴k a a D A OB E A -=-=''，a k a OB AD AE +=+=，a k a k BC DO BC EB EC 2+=+=+=，ak a k EB BC EC -=-=2''；∴10'=+ECA AEC S S △△，即10))((21))((2122=--+++a k a k k a a a k a k a k a ，整理得20222=+k ，∴92=k ，∵0＞k ，∴3=k ，∴6)(21)(212122=+=+⋅=⋅=k k a k a a k AE BC S ABC△，故选B .二、A 组填空题11、【解析】∵1＞ab ，1＞bc ，1＞ca ，∴1)(2＞abc ，∴1＞abc 或1-＜abc ，∴1)(2016＞abc A =，故1＞A .12、【解析】∵A ，B 关于原点对称，∴21x x -=，21y y -=，∴221221253y x y x y x =-；∵422=y x ，∴8222=y x ，即8531221=-y x y x .13、【解析】∵0)11()3()12(=--+--k y k x k ，∴0)113()12(=-+---y x y x k ∴⎩⎨⎧=-+=--0113012y x y x ，解得⎩⎨⎧==32y x ，∵无论k 取何值，当32==y x ，时，关于x 的一次函数的值恒为零，∴不论k 取何值，关于x 的一次函数0)11()3()12(=--+--k y k x k 的图象必经过点)32(，.14、【解析】设a =+⋯⋯+++2016131211，原式20161)201611()20161)(1(=-----=a a a a .15、【解析】根据题意，三角形三边长可以有以下情形：16153，，，16144，，，15145，，，16135，，，15136，，，16126，，，14137，，，15127，，，16117，，，14128，，，15118，，，16108，，，13129，，，14119，，15109，，，131110，，，故有16个.16、【解析】原式2223223)1)(1()1)(1(1)1(+-+=+-+=+-++-=a a a a a a a a a a a ，∵31131=+-=+a ，33663)113324()1(222-=++--=+-a a ，∴108363)33663(3)1)(1(22-=-=+-+a a a ，∴10836312345-=+-++-a a a a a .17、【解析】易证BCE Rt AFE Rt △≌△，∴1==CE FE ，∴2222=-==AE AF AE BE ，∴122+=+=CE AE AC ，∴2422)122(2121+=⨯+⨯=⋅=BE AC S ABC △.18、【解析】40722⋯=÷，617)32(22⋯=÷+，147)432(222⋯=÷++，577)5432(2222⋯=÷+++，6127)65432(22222⋯=÷++++677)765432(222222⋯=÷+++++，297)8765432(2222222=÷++++++4407)98765432(22222222⋯=÷+++++++，∵62877)12016(⋯=÷-，∴a 除以7所得的余数是6.19、【解析】设梯形两条对角线分别为a ，b ，根据题意有16=+b a ，14422=+b a ，∴56=ab ∴28562121=⨯==ab S 梯形.20、【解析】∵20162016)2016)(2016(2222=-+=-+++x x x x x x ，∴y y x x ++=-+2016201622，∴y x -=，∴0=+y x .三、B 组填空题21、【解析】如图，易证BEC Rt ADB Rt △≌△，∴2==AD BE ，1==DB EC ，∴)25(，C ；∴)25(')32('--，，，C A ，设直线''C A 的解析式为b kx y +=，则有⎩⎨⎧-=+-=+2532b x b x ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==31131b k ，∴直线''C A 的解析式为31131-=x y .22、【解析】所有多边形的内角和是︒=︒⨯+36000360)199(；边数最多的多边形最多有103499=+条边.23、【解析】依题意有⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++4141664313927212481d c b a d c b a d c b a d c b a ，解得241-=a ，125=b ，∴83=+b a ，∴85)(1=+-=+b a d c .24、【解析】∵ABC △是△Rt ，∴①222c b a =+，∵0111=+--ba b a ，∴②ab a b =-22，②①+得③ab c b +=222，①②-得④ab c a -=222；④③⨯得2222245210(b a b a =-+，∴252+=ab 或252--=ab 舍去，将252+=ab 代入④解得2=a 或2-=a 舍去；∴1521+==ab S ABC △.25、【解析】如图，将CDM △绕点D 顺时针旋转︒60得到EDN △，连接AM ，MN ，则EN CM =，∵ND MD =，︒=∠60MDN ，∴MDN △是等边三角形，∴MN MD =；∵CM 与AM 关于BD 对称，∴CM AM =，∴当E 、N 、M 、A 共线时，AE NE AM MN MC MD =++=+2(最小)，此时︒=∠=∠=∠60DMN BMA BMC ，作DA EF ⊥交AD 的延长线于F ，则︒=∠90F ，由旋转可得︒=∠60CDE ，2==ED CD ，∴︒=︒-︒=∠306090EDF ，∴在DEF Rt △中，2221==DE FE ，∴2622=-=EF DE DF ，∴262+=+=DF AD AF ；∴AEF Rt △中，22EF AF AE +=22)22()262(++=13+=.故答案为：13+，︒60.。
第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛 初二(八年级)第2试试题及答案
第24届“希望杯”全国数学邀请赛初二 第二试2013年4月15日 上午8：30至10：30一、 选择题（本大题共10小题，每小题4分，菜40分。
）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内。
1、红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志，人胶将红丝带剪成小段，并用别针将折叠好的红丝带加紧在胸前，如图1所示，红丝带重叠部分形成的图形是（ ） （A ）正方形 （B ）矩形 C ）菱形 （D ）梯形2、设a 、b 、C 是不为零的实数，那么||||||a b c x a b c =+-的值有（ ） （A ）3种 （B ）4种 （C ）5种 （D ）6种3、ABC ∆的边长分别是21a m =-，21b m =+，()20c m m =>，则ABC ∆是（ ） （A ）等边三角形 （B ）钝角三角形 （C ）直角三角形 （D ）锐角三角形4、古人用天干和地支记序，其中天干有10个；甲乙丙丁戊己庚辛壬癸，地支有12个；子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥，将天干的10个汉字和地支的12个汉字对应排列成如下两行； 甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁…… 子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥……从左向右数，第1列是甲子，第2列是乙丑，第3列是丙寅……，我国的农历纪年就是按这个顺序得来的，如公历2007年是农历丁亥年，那么从今年往后，农历纪年为甲亥年的那一年在公历中（ ）（A ）是2019年， （B ）是2031年， （C ）是2043年， （D ）没有对应的年号5、实数 a 、b 、m 、n 满足a<b, -1<n<m, 若1a mb M m +=+，1a nbN n+=+，则M 与N 的大小关系是（ ）（A ）M>N (B)M=N (C)M<N (D)无法确定的。
6、若干个正方形和等腰直角三角形拼接成如图2所示的图形，若最大的正方形的边长是7cm ，则正方形A 、B 、C 、D 的面积和是（ ）（A ）214cm （B ）242cm （C ）249cm （D ）264cm7、已知关于x 的不等式组230320a x a x +>⎧⎨-≥⎩恰有3个整数解，则a 的取值范围是（ ）（A ）23≤a ≤32 (B)43≤a ≤32 (C)43＜a ≤32 (D)43≤a ＜328 、The number of intersection point of the graphs of function||k y x=and function (0)y kx k =≠ is( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)0 or 2.9、某医药研究所开发一种新药，成年人按规定的剂量限用，服药后每毫升血液中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系近似满足如图3所示曲线，当每毫升血液中的含药量不少于0.25毫克时治疗有效，则服药一次治疗疾病有效的时间为（ ） （A ）16小时 （B ）7158小时 （C ）151516小时 （D ）17小时 )10、某公司组织员工一公园划船，报名人数不足50人，在安排乘船时发现，每只船坐6人，就剩下18人无船可乘；每只船坐10人，那么其余的船坐满后内参有一只船不空也不满，参加划船的员工共有（ ）（A ）48人 （B ）45人 （C ）44人 （D ）42人二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）11、已知a b c ⋅⋅o 为ABC ∆三边的长，则化简|a b c -+|+2()a b c -+的结果是＿＿＿ 12、自从扫描隧道显微镜发明后，世界上便诞生了一间新科学，这就是“纳米技术”，已知1毫米微米，1微米纳米，那么2007纳米的长度用科学记数法表示为＿＿米。
“希望杯”数学邀请赛培训题(初二年级)附答案
“希望杯”数学邀请赛培训题初中二年级选择题（以下每个题的四个选择支中，仅有一个是正确的）1，已知,0〉-a b 且0≥a ，那么||222b a b ab a +-+- （ ） （A ）化简为0 （B ）化简为－b 2（C ）化简为－a 2 （D ）不能再化简2．已知a 是任意实数，有4个不等式：①a a 〉2；②a a 〉2；③22〉+a a ；④a a 〉+12，那么不等式关系一定成立的有（ ）个。
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）43．已知关于x 的方程4)2(3)32(2-++=++m x x m m 有唯一解，那么m 的值的情况是（ ）。
（A ）2-=m （B ）0=m （C ）2-≠m 或0≠m （D ）2-≠m 且0≠m4．已知关于x 的方程22)1(a ax x a -=+的解是负数，那么a 的值的情况是（ ）（A ）1-≠a （B ）1〈a （C ）1〈a 且0≠a （D ）1〉a5．已知寻于任意有理数b a ,，关于y x ,的二元一次方程b a y b a x b a +=+--)()(都有一组公共解，则公共解为（ ） （A ）⎩⎨⎧==00y x （B ）⎩⎨⎧-==10y x （C ）⎩⎨⎧=-=01y x （D ）⎩⎨⎧==11y x6．设,2002200120012002,2001200020002001==N M 则N M 与的关系是（ ）（A ）N M ＝ （B ）N M 〉 （C ）N M 〈 （D ）1＝MN7．若b a ,为有理数且满足,322〈b a 那么22)()3(b a b a ++与3的大小关系是（ ）（A ）3)()3(22〈++b a b a （B ）3)()3(22〉++b a b a（C ）3)()3(22=++b a b a （D ）无法确定的8．已知a 为正数，且[],1)(=+++b b b a a a 则b a +的值是（ ） （A ）43 （B ）2 （C ）1 （D ）219．5个有理数中，若其中任意4个数的和都大于另一个数，那么这5个有理数中（ ）（A ）最多有4个是0 （B ）最多有2个是0（C ）最多有3个是0 （D ）最多有1个是010．把自然数n 的各位数字之和记为),(n S如++===+===42)(,247;1183)(,38n S n n S n 7＝13，若对于某些自然数满足 ,2007)(=-n S n 则n 的最大值是（ ）（A ）2025 （B ）2023 （C ）2021 （D ）201911．已知四个方程①0232=++x ；②0234=-x ；③03514=-+-x x ；④24=+-x x ，其中有实数解的方程的个数是（ ）个。
15到20届希望杯初二第一试试题及培训题
第十五届希望杯初二第1试试题一、选择题:（每小题4分，共40分）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在下面的表格内。
1、小伟自制了一个孔成像演示仪，如图1所示，在一个圆纸筒的两端分别用半秀明纸和黑纸封住，并用针在黑纸的中心刺出一个小孔。
小伟将有黑纸的一端正对着竖直放置的“”形状的光源，则他在半透明纸上观察到的像的形状是( )（A）（B）（C）（D）2、代数式的化简结果是( )（A）（B）（C）（D）3、已知是实数，且，那么( )（A）31（B）21（C）13（D）13或21或314、已知（＞）是两个任意质数，那么下列四个分数( )①；②；③；④中总是最简分数的有( )（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个5、Given are real numbers, and , then the valueof is ( )（A）4（B）6（C）3（D）4or66、某出版社计划出版一套百科全书，固定成本为8万元，每印制一套需增加成本20元。
如果每套定价100元，卖出后有3成给承销商，出版社要盈利10%，那么该书至少应发行（精确到千位）( )（A）2千套（B）3千套（C）4千套（D）5千套7、△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C，满足3∠A＞5∠B，3∠C≤∠B，则这个三角形是( )（A）锐角三角形（B）直角三角形（C）钝角三角形（D）等边三角形8、如图2，正方形ABCD的面积为256，点E在AD上，点F在AB的延长线上，EC⊥FC，△CEF的面积是200，则BF的长是( )（A）15（B）12（C）11（D）109、如图3，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，点E、F分别是对角线AC、BD的中点，则( )（A）（B）（C）（D）10、表示不大于的最大整数，如[3.15]=3，[－2.7]=－3，[4]=4，则( )( )（A）1001（B）2003（C）2004（D）1002二、A组填空题（每小题4分，共40分。
第14届“希望杯”全国数学邀请赛试卷(初二1)试题和详解
6，midline for hypotenuse（斜边）is 1，then
AC•BC= _________ ． 17、如图，两点 A、B 在直线 MN 外的同侧，A 到 MN 的距离 AC=8，B 到 MN 的距离 BD=5， CD=4，P 在直线 MN 上运动，则|PA﹣PB|的最大值等于 _________ ．
18、如图，等腰梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠DAB=60°，AC 平分∠DAB，且 AC=2 ABCD 的周长等于 _________ ．
3边形 ABCDEF、 PQRSTU， 其中点 P 位于正六边形 ABCDEF 的中心， 如果它们的面积均为 1，则阴影部分的面积是 _________ ．
1 2
）
A、90° B、100° C、110° D、120° 10、2002 年 9 月 28 日，“希望杯”组委会第二次赴俄考查团启程，途经哈巴罗夫斯克和莫斯 科，两地航程约 9000 千米，往返飞行所用的时间并不相同，这是因为在北半球的高纬度地 区，有一股终年方向恒定的西风，人们称它为“高空西风带”．已知往返飞行的时间相差 1.5 小时，飞机在无风天气的平均时速为每小时 1000 千米，那么西风速度最接近（ ） A、60 千米/小时 B、70 千米/小时 C、80 千米/小时 D、90 千米/小时 二、填空题（共 15 小题，满分 100 分） 11、设 0＜x＜1＜y＜2，则
������﹣������ ≥ 0 ������﹣������ ≥ 0
，
1 ������﹣1 1 ������﹣������ + ������﹣������ + ������﹣ ������ =0+0+ ������ =1﹣������．
故选 A． 点评：本题主要考查了二次根式的意义和性质．
第20届希望杯全国数学邀请赛初二年级组第2试试题及答案解析
第19届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试试题一、选择题（以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内．）1．篆刻是中国独特的传统艺术，篆刻出来的艺术品叫印章，印章的文字刻成凸状的称为“阳文”，刻成凹状的称为“阴文”．如图1的“希望”即为阳文印章在纸上盖出的效果，此印章是下列选项中的（阴影表示印章中的实体部分，白色表示印章中镂空的部分） A 。
B 。
C 。
D 。
2．如果1x y <<-，那么代数式11y yx x+-+的值是（） A ．0B ．正数C ．负数D ．非负数 图1 3．将x 的整数部分记为[]x ，x 的小数部分记为()x ，易知[]{}{}()01x x x x =+<<．若3535x =--+，那么[]x 等于（） A ．-2 B ．-1C ．0D ．14．某种产品由甲、乙、丙三种元件构成．根据图2，为使生产效率最高，在表示工人分配的扇形图中，生产甲、乙、丙元件的工人的数量所对应的扇形的圆心角的大小依次是（）组装一件成品需要的元件的数量1名工人1小时生产某种元件的数量202040305050种类丙乙甲数量A ．12018060︒︒︒，，B ．108144108︒︒︒，，C ．9018090︒︒︒，，D ．7221672︒︒︒，，5．面积是48的矩形的边长和对角线的长都是整数，则它的周长等于（ ）A ．20B ．28C ．36D ．406．In the rectangular coordinates ，abscissa and ordinate of the intersection point of the lines y x k =- and 2y kx =+ are integers for integer k ，then the number of the possible values of k is （）A ．4B ．5C ．6D ．7（英汉词典：abscissa 横坐标，ordinate 纵坐标，intersection point 交点，integer 整数） 7．将一张四边形纸片沿两组对边的中点连线剪开，得到四张小纸片，如图3所示．用这四张小纸片一定可拼成一个（ ） A ．梯形 B ．矩形 C ．菱形D ．平行四边形8．若不等式组4101x m x x m -+<+⎧⎨+>⎩，的解集是4x >，则（）A ．92m ≤B ．5m ≤C ．92m =D ．5m =9．如图4所示，四边形ABCD 中，90A C ∠=∠=︒，60ABC ∠=︒，410AD CD ==，，则BD 的长等于（）A ．413B ．83C ．12D ．10310．任何一个正整数n 都可以写成两个正整数相乘的形式，对于两个乘数的差的绝对值最小的一种分解()n p q p q =⨯≤可称为正整数n 的最佳分解，并规定()pF n q=.如：12=1⨯12=2⨯6=3⨯4，则3(12)4F =． 则以下结论图3104DCBA图4①1(2)2F =； ②3(24)8F =；③若n 是一个完全平方数，则()1F n =；④若n 是一个完全立方数，即3n a =（a 是正整数），则1()F n a=．中，正确的结论有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题11．将一根钢筋锯成a 段，需要b 分钟，按此速度将同样的钢筋锯成c 段（a b c ，，都是大于1的自然数），需要__________________分钟．（用a b c ，，表示）12．给机器人下一个指令[]()00s A s A ︒︒，，≥≤≤180，它将完成下列动作： ①先在原地向左旋转角度A ；②再朝它面对的方向沿直线行走s 个单位长度的距离．现以机器人站立的位置为坐标原点，取它面对的方向为x 轴的正方向，取它的左侧为y 轴的正方向．要想让机器人移动到点（-5，5）处，应下指令：___________________． 13．已知实数x y z ，，满足1233x y z x y zx y z ++===+++，则x y z ++=_________________或______________．14．已知实数x y ，满足234x y -=，并且01x y ，≥≤，则x y -的最大值是_____________，最小值是_________________．15．汽车燃油价税费改革从2009年元旦起实施：取消养路费，同时汽油消费税每升提高0．8元．若某车一年的养路费是1440元，百千米耗油8升，在“费改税”前后该车的年支出与年行驶里程的关系分别如图5中的12l l 、所示，则1l 与2l 的交点的横坐标m =___________．（不考虑除养路费和燃油费以外的其他费用）16．Given 32()f x ax bx cx d =+++，if when x takes the value of its inverse number ，theOl 1l 2m 图5年支出/元1440年行驶里程/千米corresponding value of ()f x is also the inverse number ，and (2)f =0，thenc da b+=+_______________． （英汉词典：inverse number 相反数）17．8人参加象棋循环赛，规定胜1局得2分，平1局得1分，败者不得分，比赛结果是第二名的得分与最后4名的得分之和相同，那么第二名得__________________分． 18．若正整数a b ，使等式()()12a b a b a ++-+=2009成立，则a =____________，b =_____________．19．如图6所示，长为2的三条线段'AA ，''BB CC ，交于O 点，并且'''60B OA C OB A OC ∠=∠=∠=︒，则三个三角形的面积的和123S S S ++_______________3．（填“<”、“=”或“>”） 20．已知正整数x y ，满足2249x y +=，则x =_____________，y=________________．三、解答题（每题都要写出推算过程．）21．在分母小于15的最简分数中，求不等于25但与25最接近的那个分数．22．如图7哀兵必胜示，一次函数33y x =-+的图像与x 轴、y 轴分别交于点A B ，，以线段AB 为直角边在第一象限内作Rt ABC △，且使30ABC ∠=︒．⑴求ABC △的面积；图6S 3S 2S 1O C'C AB'BA'yxPO CBA30°图7⑵如果在第二象限内有一点32P m ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，， 试用含m 的代数式表示四边形AOPB 的面积，并求当APB △与ABC △面积相等时m 的值； ⑶是否存在使QAB △是等腰三角形并且在坐标轴上的点Q ？若存在，请写出点Q 所有可能的坐标；若不存在，请说明理由．23．点(40)(03)A B ，，，与点C 构成边长分别是3，4，5的直角三角形，如果点C 在反比例函数ky x=的图像上，求k 可能取的一切值．参考答案一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 DCABBADCAC提 示1．印章在纸上盖出的效果与印章的图形成镜面对称，如图8所示，右侧的印章图形沿轴翻转180︒后，将与左侧的效果重合．故选D ．2．因为 1x y <<-， 所以 0100x x x y <+<-<，，， 则101(1)(1)y y xy x xy y x yx x x x x x ++----==<+++， 即该代数式的值是负数，选C ．3．因为()2516255135222±±±±===，所以 515122 1.41222x -+-=-==-≈-，所以 []2x =-，选A ．4．为使生产效率最高，在相同的时间内生产甲、乙、两两件的数量之比是5：4：2，而1名工人在单位时间内生产这三种元件的数量之比是5：3：2，所以生产甲、乙、丙元件的工人数量之比是542::532，即41::13，也即3：4：3，在扇形图中对应的扇形的圆心角依次是108︒，144︒，108︒．故选B ．5．5．设矩形的边长分别是a b ，，对角线的长是c ，则222a b c +=已知矩形的面积是44832ab ==⨯，a b ，都是整数，不妨设a b ，≤则()a b ，可能是 （1，48），（2，24），（3，16），（4，12），（6，8），分别代入222a b c +=，只有当68a b ==，时，c 才是整数10，其他情况得到的c 的值都不是整数． 所以，矩形的边长分别是6，8，周长是28，选B ．。
2018年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛初二培训题(含答案)
第十八届（2018年）“希望杯”全国数学邀请赛培训题“希望杯”命题委员会（未署名的题，均为命题委员会命题）初中二年级一、选择题（以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母填在每题后的圆括号内）1．有下面的四个叙述：①整式加整式还是整式；②整式减整式还是整式；③整式乘整式还是整式；④整式除整式还是整式．其中正确叙述的个数为（）．（A）4 （B）3 （C）2 （D）12．若x是有理数，分式1||2x-的值为正整数，则x的个数为（）（A）2 （B）4 （C）6 （D）无数个3．将分式2aa b+中的a扩大2倍，6扩大4倍，而分式的值不变，则（）（A）a=0 （B）b=0 （C）a=0，且b=0 （D）a=0或b=04．已知x与y+2成反比例，当x=1时，y=4，那么y=1时，x的值是（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）45．若实数a，b，c满足a2+b2≠0，a3+a2c-ab c+b2c+b3=0，则a+b+c的值是（）（A）-1 （B）0 （C）1 （D）26．若实数a，b，c满足1a+1b+1c=1a b c++，则a+b，b+c，c+a中等于零的（）（A）有且只有1个（B）至少有1个（C）最多有1个（D）不可能有2个7．设f=2x-3x-2，g=x-2，考察下面四个叙述：①f+g是整式；②f-g是整式；③f×g是整式；④当x≠2时，f÷g是整式．其中正确叙述的个数为（）（A）4 （B）3 （C）2 （D）18．如果≠0成立，那么下列各式中正确的是（）（A）a+b≥0 （B）a+b>0 （C）a+b≤0 （D）a+b<09．甲、乙两人从A地出发，骑自行车在同一条路上行驶到B地，他们离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（时）之间的函数关系的图象如图，根据图中提供的信息，•有下列叙述：①他们都行驶了18千米；②甲在途中停留了0.5小时；③乙比甲晚出发了0.5小时；④相遇后，甲的速度小于乙的速度；⑤甲、乙两人同时到达目的地．其中，符合图象的叙述有（）个．（A）2 （B）3 （C）4 （D）5(第9题) (第10题) (第15题)10．已知直线y=2x+a与y=2a-x的图象的交点在如图所示的阴影长方形区域内（•含长方形边界），则a的取值范围是（）（A）0≤a≤32（B）65≤a≤95（C）65≤a≤32（D）0≤a≤9511．甲车追超过前方的乙车，经过时间t后在A处追上，若甲、乙各提速a%，则（）（A）甲车追上乙车所用的时间增加了a%; （B）甲车追上乙车所用的时间减少了a% （C）甲车仍在A处追上乙车; （D）甲车驶过A处后才追上乙车12．某人用1000元钱购进一批货物，第二天售出，获利10%，•过几天后又以上次售出的价格的90%购进一批同样的货物，由于卖不出去，•两天后他将其按第二次购进价的九价再出售，这样他在两次交易中（）（A）刚好盈亏平衡（B）盈利1元（C）盈利9元（D）亏损1．1元13．某足球赛，记分规律如下：胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分，A队经过12场比赛后，积19分，若队员出赛一场的出场费为500元/人，胜一场奖金1000元/人，•平一场奖金500元/人，那么A队队员在12场比赛后的最高收益可能是（）（A）13500元/人（B）14000元/人（C）13000元/人（D）12500元/人14．小明和小刚用掷两枚骰子的方法来确定点P（x，y）在坐标系上的位置，他们规定：小明掷得的点数为x，小刚掷得的点数为y，•那么他们各掷一次所确定的点落在已知直线y=-2x+6上的概率为（）（注：骰子是骨制的一个白色小正方体，它的六个面上分别刻有1个，2个，3个，4个，5个，6个红色小圆点，将其随意掷放于一个平面上，骰子必有一面向上，•这个面上红色圆点的个数就叫做点数）．（A）16（B）112（C）118（D）1915．如图，晴朗的夏天，太阳当空，•一只小鸟以不变的速度水平地飞过一个斜坡上空，则小鸟在斜坡上的影子移动的速度（）（A）越来越大（B）越来越小（C）不变（D）一定和小鸟的飞行速度一样大16．当5个整数从小到大排列时，中位数是4，如果这5个整数的惟一众数是6，则这5个整数的和最大是（）．（A）20 （B）21 （C）22 （D）2317．某市出租车的起步价为12元（行程在3公里以内），行程到达3公里之后，•每增加1公里需加付m元（不足1公里亦按1公里计价），•张老师坐这种出租车从学校到离学校n 公里的教育局开会，沿途未遇红灯，下车时付车费28元，则m与n的关系是m=（）（注：[n]表示不大于n的最大整数，如[3，2]=3，[4]=4．）（A ）16162828()()3()3[]3[]2[]3[]2B C D n n n n ------ 18．用200元钱买A 、B 、C 、D 四种商品共10件，若A 、B 、C 、D 的单价依次是13元，17元，22元，35元，则（ ）（A ）A 、B 、C 、D 各买了2，3，4，1件 （B ）A 、B 、C 、D 各买了4，2，2，2件（C ）以上两种情况都可能 （D ）以上三种情况都不可能19．如图，直线AE ∥BF ，点P 在AE 上方，点M 、N 分别在AE 、BF 上，若PC 平分∠MPN 交AE 、BF 于C 、D 两点，∠PCE=α，则∠1=∠2的大小为（ ）（A ）α （B ）2α （C ）3α （D ）4α(第19题) (第22题) (第25题)20．周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形的个数为（ ）（A ）11 （B ）12 （C ）7 （D ）821．如果△ABC 的垂心G （三条高的交点）在△ABC 的内部，并且在BC 边的中线AD 上，那么△ABC 一定是（ ）（A ）直角三角形 （B ）等腰三角形（C ）等边三角形 （D ）等腰直角三角形22．如图5，△ABC 中，∠A=60°，AC=16，S △ABC AB=（ ）（A ）554（B ）55 （C ）45 （D ）23．有下面四个判断性语句：①平行四边形的四个内角之和为360°；②有两个内角相等的四边形是平行四边形；③平行四边形的四个内角中有两对是相等的；④四个内角中有两对相等的四边形是平行四边形．（A）4 （B）3 （C）2 （D）124．对凸四边形ABCD，给出下列4个条件：①AB∥CD；②AD∥BC；③AB=CD；④∠BAD=∠DCB．现从以上4个条件中任选2个条件为一组，能推出四边形ABCD•为平行四边形的概率是（）（A）13（B）12（C）23（D）5625．如图，以Rt△ABC的两直角边AB、BC为边，•在△ABC•外部作等边△ABE•和△BCF，EA、FC的延长线交于M点，则点B一定是△EMF的（（A）垂心（B）重心（C）内心（D）外心26．Assume that in Fig． 7 ABCD is a square，and •point •E •is •on •theline BC，CE=AC．we connect A and E，AE intersects CD at point •F，•then •thedegree of ∠AFC is（）（A）150°（B）125°（C）135°（D）112.5°（英汉词典：Fig．是figure（图、图形）的缩写；to cormect连接；to intersect…at相交于；degree度、度数）(第26题) (第27题) (第28题) (第30题)27．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连结DF，则∠CDF等于（）（A）80°（B）70°（C）65°（D）60°28．如图，顺次连接凸四边形ABCD的中点，得到四边形EFGH．要使四边形EFGH•是正方形，应补充的条件是（）（A）四边形ABCD是等腰梯形（B）四边形ABCD是平行四边形（C）四边形ABCD是菱形（D）AC=BD，且AC⊥BD29．将一把折扇逐渐打开，会发现打开部分的扇形面积随圆心角的变化而变化，•那么能正确描述这种变化的函数是（）（A）正比例函数（B）反比例函数（C）一次函数y=kx+b（b≠0）（D）以上都不是30．如图是一间卧室地面瓷砖的图案，在这间卧室地下藏有一宝物，•则藏在白色瓷砖和灰色瓷砖下的可能性是（）（A）藏在白色瓷砖下的可能性大（B）藏在灰色瓷砖下的可能性大（C）藏在两种瓷砖下的可能性一样大（D）藏在灰色瓷砖下与藏在白色瓷砖下的可能性之比是3：2二、填空题31．计算：20082+20072+20062-2008×2007-2007×2006-2006×2008=________．32．已知则x2007=2，则（x2006+x2005+x2004+…+x+1）（x-1）=__________．33．设a，b，c是实数，则能使（a+b+c）（1a+1b+1c）=1成立的条件是______或_______．（•写出两个满足条件即可）34．Ifm and n are positive integers satisfying m2+27mn+n2=729 and m+•n>mn，then the value of m+n is_________．（英汉词典：positive integer正整数；to satisfy满足；value值、数值）35．计算：（+2=________．36．已知A=20072007×20082008×20092009，B=（2007×2008×2009）2007200820093++，则A•与B•的大小关系是A_____B．（填“>”、“<”或“＝”）37．设B =，则A_______B ．（填“>”、“<”或“＝”）38．39．If a and •b •are •constant ．•and •the •set •of •solutions •of •theinequality ax+b>0 is x<13，then the set of solutions of the inequalityba<0 is________． （英汉词典：constant 常数；set 集合；solution 解、解答；inequality 不等式）40．一次智力测试有25道题，答对一题得4分，不答扣2分，答错扣4分，小明要想在这次智力测试中的得分不低于60分，他至少要答对________道题．41．设正数a ，b ，c ，x ，y 满足：a ≠c ，22222222221,x xy y x xy y a b c c b a++=++=1，则代数式222111a b c++的值为________． 42．若以x 为未知数的方程42ax x -+=3无解，则a=_______． 43．已知m 与n 使m m m n m n ++-的值等于-14，则n m的值是_________． 44．当x=2时，多项式75312a b c d x x x x ++++的值是3，那么当x=-2时，多项式的值是_______． 45．若实数a ，b 满足1a -1b -1a b +=0，则2222b a a b-的值等于________． （拟题：夏建平 江苏省江阴市要塞中学214432）46．如果以x ，y 为元的二元一次方程12ax y x ay +=⎧⎨+=⎩有解，那么a 不等于________．52．如图，△P1OA1，△P2A1A2是等腰直角三角形，点P1，P2在函数y=4x（x>0）的图象上，•斜边OA，AA都在x轴上，则点A的坐标是________．(第52题) (第53题) (第55题) 53．In the following traffic marks，the number of marks whose•figuresaxially-symmetric is___________．（英汉词典：traffic交通；•mark•标志；•number•个数；•figure•图形；•axially-symmetric（轴对称）54．仅将两个全等的非等腰的直角三角形的一条边重合，拼接成新的图形，•拼成的图形可能是下列各种图形中的一种或几种：①矩形；②菱形；③直角梯形；④平行四边形；⑤等腰三角形；⑥等腰梯形．则正确结论的序号是_______．（把所有正确的图形的序号都填上）55．如图所示，平行四边形ABCD中，过BD的中点O的直线交AB、CD于M、N，•交DA、BC 延长线于E、F，则图中有全等三角形________对．56．如图，在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中，•阴影部分面积与正方形ABCD 的面积比是_______；周长的比是________．(第56题) (第58题) (第59题) (第60题)57．在平面直角坐标系内点A 、B 的坐标分别为（-3，-2），（3，a ），点B 在第一象限，•且A 、B 两点间的距离为10，那么a 等于______．58．在建筑工地上，工人用如图所示的装置能将重物运往高处：•绳子绕过定滑轮，一端系着重物，在地面的工人手拿绳子的另一端，沿着垂直于滑轮轴的方向，向前走一段距离，重物便上升到定滑轮外，被高处的工人卸下，已知重物上升的距离是5米，则地面上的工人向前行走的距离为________米．59．图中的两个滑块A 、B 由一个连杆连接，可以在竖直和水平的滑道内滑动，•开始时，滑块A 距0点15厘米，滑块B 距0点20厘米，A 、B 的距离为25厘米，那么滑块B 滑到C 点时，滑块A 共滑动了_________厘米．60．如图，△ABC 的边AB 长为2，AB 边上的中线CD 长为1，AC 、BC，则△ABC 的面积为_________．61．a 、b 、c 是三角形的三边，它们满足ac 2+b 2c-b 3=abc ，若三角形的一个内角是120°，那么a ：b ：c=_______．62．设a ，b ，c 是△ABC 的三条边，满足c a b a b c b c a c a b <<+-+-+-，则三边中最长的边是________．63．如图，0是△ABC 外部一点，AO 交BC 于A 点，BO ，CO 的延长线分别交AC ，AB•的延长线于点B ，C ，则111AO BO CO AA BB CC ++的值为_________．(第63题) (第64题) (第65题) (第66题)64．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，E为CD的中点，BE=132，梯形ABCD•的面积为30，则AB+BC+DA的值为________．65．如图，边长为2的正方形ABCD中，若∠PAQ=45°，则△PCQ的周长是_____．66．如图，A，B两个平行四边形草坪有公共部分（阴影处），A，B•草坪面积之和为160m2，A的面积为120m2，B的面积为74m，则重叠部分的面积是_______m2．67．若凸4n+2边形AA…A（A为正整数）的每个内角都是30°的整数倍，且∠A=∠A=∠A=90°，则n的值是________．？68．服装店进了某款式的时装，开始按比进价提高30%的价格销售，但是无人问津，•于是决定打折降价销售．•如果要使利润率不低于10%，••那么打折的幅度不能低于_________．（保留两位有效数字）69．红光中学去年有120人参加“希望杯”全国数学邀请赛，•今年的参赛人数增加了50%，考场数比去年多了3个，而且平均每个考场安排的考生增加了2人，今年安排的考场有_________个．70．直角三角形三边长均为整数，其中一条直角边长为35，•则它的周长的最大值是________，最小值是_______．（拟题：刘朝晖广东省中山市第一中学初中部528400）71．生产某种产品，原需a小时，现在由于提高了工效，可以节约时间8%至15%，•若现在所需要的时间为b小时，则_______<b<______．（用关于a的表达式表示）72．1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，……从中找出一般规律是________．73．一种商品的进价为90元，原售价定为m 元，售出一半之后，剩余的一半按8折出售，全部售出后共获利10%，则原售价定为m=________元．74．某学校八年级的数学竞赛小组进行了一次数学测验，如图所示是反映这次测验情况的频率分布直方图，那么该小组共有______人；70.5～90.5这一分数段的频率是______．(第74题) (第76题) (第77题) 75．用[a ，b]表示自然数a ，b 的最小公倍数，（a ，b ）表示□，b 的最大公约数，若[•a ，b]=1085-（a ，b ），那么当a>b 时，a-b 的最小值是________． 76．如图,△ABC 中，∠C=90°，EC=13AC ，CD=13BC ，BE=8，AD=EC+CD=6，则S △BCD =______． （拟题：刘朝晖 广东省中山市第一中学初中部528400）77．如图，E 是平行四边形ABCD 的边CD 上任一点，AE 的延长线与BC 的延长线交于点F ，连结BE 、DF ，则S △BCE _______S △DEF ．（填“>”、“<”或“＝”） （拟题：李廷江 贵州省修文县第二中学550200）78．若4x 2+1+kx 是关于x 的完全平方式，则k 2-2k+2的值为________． （拟题：窦桐生 吉林省磐石市明城中学 132301） 79．解方程：20052007200820042004200620072003x x x x x x x x +++++=+++++得x=_________．（拟题：钟金子 福建省安溪恒兴中学362400） 三、解答题80．某班有语文、数学两个课外兴趣小组，•其中参加语文组的人数是全班人数的23，既参加语文组又参加数学组的人数是参加数学组人数的23，另外有4•位同学既不参加语文组，也不参加数学组，如果这4位同学参加语文组，•那么参加数学组与参加语文组的人数恰好相等，问全班有多少同学？既参加语文组又参加数学组的人数是多少？81．某工厂计划生产A、B两种产品，为取得最大生产利润，事先做了市场调查，根据厂内实际情况和市场需要得到有关数据如下表：现在工厂可以筹集到的资金用于原料及消耗的是300000元/月，用于工资支出的是110000元/月，问如何确定两种产品的月产量，可以使工厂得到的总利润达到最大？并求这个最大利润值．82．如图，从直线COD上一点O引两条射线OE，OF，使∠GOF=∠FOE=∠EOD=60°，•在射线OF，OG，OE上各取一点A，B，C，使∠CAB=60°，若OA=m，求△ABC面积的最大值．83．从2006年元旦起，公民的月工资、薪金个人所得税的起征点由原来的800•元调整为1600元，如果公民的月工资、薪金超过1600元，则税款按下表累加计算：根据上表，请：（1）写出所纳款税y（元）与该月收入x（元）之间的函数关系式；（2）作出所纳款税y（元）与该月收入x（元）之间的函数图象；（3）若李先生月薪金4000元，他应交纳的个人所得税是多少元？84．用红色刻度线将一根木棍分成135等份，•再用黑色刻度线将这根木棍分成40等份，沿两种刻度线将这一木棍锯成短木棍．问共有多少种不同长度的短木棍？85．100条线段的长度分别为1，2，3，…，99，100，从中取出一些线段，•要使取出的线段中的任意三条都能构成一个三角形，问最多能取出多少条线段？第十八届（2007年）“希望杯”全国数学邀请赛初二培训题（1～85题）答案．解析一、选择题1．①②③正确，④错误，如整式（x+2）除以整式（2x+1），得到21x +，它不是整式，故选（B ）． 2．原分式即12||x -，要使该式的值为正整数，只须2-│x │的值为1，12，13，…，1n （n是正整数）即可，•所以x 的值有无数个，故选（D ） 3．将分式2a a b+中的a 扩大2倍，b 扩大4倍，得到424a a b +，由题意知424a a b +=2aa b +，所以a=0，或2a+2b=2a+4b ，•解得b=0，故选（D ）． 4．由已知得x=2ky +，因为x=1时，y=4，所以1=42k +，解得k=6，则当y=1时，x=612+=2．故选（C ）． 5．a 3+a 2c -a bc+b 2c+b 3=（a 3+b 3）+a 2c-a bc+b 2c=（a+6）（a 2-ab+b 2）+c （a 2-a b+b 2）=（a 2-ab+b 2）（•a+b+c ）=0．因为a 2-a b+b 2=a 2-ab+b 2+24b -24b =（a -2b ）2+34b 2≥0，因为题设a2+b2≠0，即a，b不同时为零，所以a2-ab+b2>0，从而只能是a+b+c=0，•故选（B）．6．由已知1a+1b=1a b c++-1c=()(),()()a b a b a bc a b c ab c a b c-++-+=++++即，所以a+b=0或ab=-c（a+b+c）．由ab=-c（a+b+c），得c2+c（a+b）+ab=0，即（c+a）（c+b）=0，所以c+a=0或c+b=0．因此，a+b=0或c+a=0或c+b=0，即三个式子中至少有1个成立，故选（B）．另解验证法．当a+c=0且b+c=0时，得a=-c，b=-c，代入到原式左侧，得1a+1b+1c=1a．代入原式右侧得1a b c++=1a，所以a+b，b+c，c+a中有可能有2个式子同时为零，排除（A），（C），（D），故选（B）．7．①②③正确．因式分解f，得f=2x2-3x-2=（2x+1）（x-2），f÷g=2x+1，即f÷g是整式，④正确，故选（A）．8．令a=b=-1，则成立，所以排除（A）和（B）．令a=-1，b=1，则D）．当a<0，b<0时，a+b<0．当a<0，b>0时，因为≥0，所以a+b≤0．当a>0，b>0时，当a>0，b<0时，≠故选（C）．9．①，②，③，④正确，⑤错误，故选（C）．10．先求直线y=2x+a与y=2a-x的图象的交点．解方程组2,3253a x y x a y a xa y ⎧=⎪=+⎧⎪⎨⎨=-⎩⎪=⎪⎩得 因为，交点在长方形区域范围内，所以10325233a a ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪≤≤⎪⎩解得65≤a ≤32，故选（C ）． 11．设开始时甲、乙的速度分别为v 1、v 2，它们相距s ，则t=12sv v -，A 处到乙车出发点的距离为S=v 2t ．若甲、乙各提速a%，则甲车追上乙车的时间为 t ′=12(1%)(1%)1%s ta v a v a =+-++ 此时乙车行驶的距离为S ′=（1+a%）v 2t′=v 2t =s ． 故选（C ）．12．以1000元购货，售出后获利10%，即获利100•元；•第二次以上次售出的价格的90%购进一批同样的货物，即花费1100元的90%，即990元购货，这次售出是按990•元的九折出售，亏损990元的10%，即亏损99元，两次交易合计盈利1元，故选（B ）．13．设A 队胜x 场，平y 场，负z 场，则12319x y z x y ++=⎧⎨+=⎩由y=19-3x 代入①，得x+19-3x+z=12，7=2x-z ，所以z 是奇数． 当z=1，x=4，y=7时，收益为12×500+4×1000+7×500=13500（元）； 当z=3，x=5，y=4时，收益为12×500+5×1000+4×500=13000（元）； 当z=5，x=6，y=1时，收益为12×500+6×1000+1×500=12500（元）．所以当A 队胜4场，平7场，负1场时，队员收益最高为13500元/人，故选（A ）．14．两枚骰子确定的点P （x ，y ）共有36种，能落在直线y=2x+6上的有2种，即x=1，y=4；x=2，y=2．所以P 能落在直线y=2x+6上的概率为213618=，故选（C ）． 15．太阳光是平行光，如图所示，假设小鸟从A →B 和从B →C 的时间相同，•则AB=BC ，由平行线截线段成比例如A ′B ′=B ′C ′，所以小鸟在斜坡上的影子移动的速度不变．若=A ′B ′=AB ，则影子移动的速度将等于小鸟飞行的速度，•但这与太阳光照射角度有关，故选（C ）．16．设这5个整数从小到大排列依次是a ，b ，c ，d ，e ，已知中位数是4，则c=4，•又这5个数的惟一众数是6，则d=e=6，a ≠b ，所以a<b<4．要使5个整数的和最大， 则应取a=•2，b=3．所以这5个整数可能的最大和是2+3+4+6+6=21．故选（B ）． 17．由题意知 28-12=m （[n]+1-3），所以m=16[]2n -，故选（B ）．18．设A 买了x 件，B 买了y 件，c 买了z 件，D 买了w 件，依题意有10,131********.x y z w x y z w +++=⎧⎨+++=⎩由②得13（x+y+z+w ）+4y+9z+22w=200．将①代入上式，得4+9+22w ≤4y+9z+22w=70，所以22w ≤57，于是w ≤2，当w=1时，4y+9z=48．显然y 是3的倍数，z 是4的倍数，令y=3y ′，z=4z ′，则12y ′+36z ′=48， 所以y•′+3z ′=4，y ′=z ′=1，y=3，z=4，于是得到一组答案：x=2，y=3，z=4，w=1，当w=2时，4y+9z=26， 显然，z 是偶数．令z=2z ′，则4y+18z ′=26，即2y+9z ′=13，显然z ′是整数，所以z ′=1，y=2， 于是得到另一组答案：x=4，y=2，z=2，w=2，故选（C ）．19．如图，由AE ∥BF ，角平分线性质及三角形外角的性质知道:∠1+∠2=∠1+•∠3=∠1+（a+β）=（∠1+β）+a=a+a=2a ．故选（B ）．20．不妨设a<b<c ，则由a+b+c=30，知a+b=30-c ，又由三角形边的性质知a+b>c ，•于是30-c>c ，得c<15．又c>3033a b c ++==10，所以10<c<15， 又因为c 为整数，所以c=11，12，13，14． 当c=11时，b=10，a=9．当c=12时，b=11，a=7；b=10，a=8．当c=13时，B=12，a=5，b=11，a=6；•B=10，a=7；b=9，a=8．当c=14时，b=13，a=3；b=12，a=4；b=11，a=5；b=10，a=6；b=9，a=7． 满足条件的三角形共有12个，故选（B ）．21．已知点G 在△ABC 内部，所以△ABC 不是直角三角形．由于G 点是△ABC 的垂心，•所以AB ⊥BC ，又G 点在BC 的中线AD 上，所以AD ⊥BC ，即BC 边的中线与高重合，△ABC 是等腰三角形．故选（B ）．22．从C 作CH ⊥AB ，H 为垂足，在Rt △ACH 中，∠A=60°，∠1=30°，AC=16，•所以AH=12AC=8．所以ABC 的面积S △ABC所以12·AB · 解得AB=55，故选（B ）．23．①和③是正确的，②和④是错误的，故选（C）．24．从4个条件中任选2个条件，共有6种选法，其中①②，①③，①④，②④这4种组合都可以推出四边形ABCD是平行四边形，而选②③，③④，四边形ABCD•不一定是平行四边形，所以概率P=46=23．故选（C）．25．连结EC、AF，如图?所示，由于△ABE，△BCF是等边三角形，并且∠ABC=90°，易证△EFB≌△ECB≌△AFB，于是CE=AF=EF，所以△CEF和△FAE是等腰三角形，•且EB平分∠FEC，FB平分∠AFE，所以FB⊥AE，EB⊥CF，所以B是△EMF的垂心，故选（A）．26．译文：如图7所示，四边形ABCD是正方形，点E在BC上，且CE=AC，连结A，E交CD 于点F，则∠AFC的度数是（）（A）150°（B）125°（C）135°（D）112.5°因为ABCD为正方形，AC是对角线，则∠1=45°，∠2=135°，•因为CE=•CA，•所以△ACE 是等腰三角形，∠E=22.5°，所以∠3=∠FCE+∠E=112.5°，故选（D）．27．连结FB，如图，因为EF垂直平分AB，ABCD是菱形，•所以AF=•FB=•FD．•在菱形ABCD中，∠1=∠2=∠3=12∠BAD=40°，又因为AB∥CD，所以∠CDA=180°-80°=100°，所以∠CDF=100°-40°=60°，故选（D）．28．连结AC，BD，如图所示，由E，F，G，H是所在边的中点，得EH∥FG•∥BD，•且EH=FG=12 BD，及EF∥HG∥AC，且EF=HG=12AC，•可知四边形EFGH•是平行四边形．•要使四边形EFGH是正方形，则必须：①EF=EH，即AC=BD；②EF⊥EH，即AC⊥BD．故选（D）．29．扇形面积S随圆心角的增大而增大，且扇形面积是圆的一部分，设扇形的圆心角为x°，则扇形面积S=22360260x R R x ππ=，其中，变量x 前面的2360R π是常数，故选（A ）． 30．因为白色瓷砖和灰色瓷砖面积相同，所以宝物藏在两种瓷砖下的可能性一样大，故选（D ）． 二、填空题31．3 32．1 33．答案不惟一 34．9 35．14 36．> 37．> 38．0 39．x<-340．20 41．1200742．-3 43．±3 44．-2 45．±1 47．1000048．5 49．．±．252．（0） 53．354．①④⑤ 55．5 56．5；8 4 57．6 58．．35 60611；1 62．b 63．2 64．17 65．4 66．34 67．1 68．8.5折 69．18或15 70．1260；84 71．0.85a ；0.92a72．n+(n+1)+…+(3n-2)=(2n-1)2(n 是正整数) 73．110 74．25;0.64 75．216.5 76．6.5 77． 78．10或26 79．-2005解析:31．令a=2008，b=2007，c=2006，则原式=a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca=12[（a-b ）2+（b-c ）2+（c-a ）2]=3 32．根据：当n 是正整数时，（x n +x n-1+…+x 2+x+1）（x-1）=x n+1-1，知原式=x 2007-1=1． 33．a+b ，b+c ，c+a 中有一个或两个是0即可，如：a=-b ；或a=c=1，b=-1．34．译文：如果m ，n 是正整数，满足m 3+27mn+n 3=729，m+n>mn ，则m+n 的值是_____．因为m+n>mn ，所以m+n-mn-1>-1，即（m-1）（n-1）<1，而m ，n 是正整数， 所以（m-1）（n-1）=0，m=1或n=1，若m=n=1，不符合题意，舍去．所以m ，n 中有且只有一个是1，不妨设n=1，则m 3+27m+1=729，得m 2+27m-728=0， 即（m-512）+（27m-216）=0，（m-8）（m+8m+64）+•27（m-8）=0，（m-8）（m 2+8m+91）=0，所以m=8或m 2+8m+91=0，而m 2+8m+91=0无实根，故只能m=8，于是m+n=9． 35则原式+22-2+2（）+2=1436．可以构造商式比较大小，由于A>0，B>0，所以20072008200920092007200820092009(200720082009)2007A B ⨯⨯==⨯⨯>1，所以A>B ．37.20082008011A A B =+=+==-=<<<即又A>0，B>0， 所以A>B 38．原式=0 39．译文：如果a ，b 为常数，且不等式ax+b>0的解集是x<13，则不等式bx-a<0•的解集为不等式ax+b>0，即ax>-b 题设它的解是：x<13，所以a<0，且-b a =13即a=-3b ，所以b>0 则不等式bx-a<0的解集为x<ab=-3，即x<-3 40．考虑极端情况，假设小明答题只有答对和答错两种情况，且他答对x 道题，•由题设条件可得4x-4（25-x ）≥60， 解得x ≥20，所以他至少要答对20道题． 41．由题设的22222222221,1x xy y x xy y a b c c b a++=++=，两式相减，得222222x y y x a c --+=0． 所以（x 2-y 2）（2211a c-）=0 因为a ≠c ，且a ，c 为正数 所以2211a c -≠0， 所以x 2-y 2=0．由x ，y 均为正数，且将222111a b c ++=12007． 42．若方程42axx -+=3有解，则应有x ≠-2， 于是有4-ax=3x+6， x=-23a+．显然，必须a ≠-3．因此，当a=-3时，方程无解． 43．题设，m m m n m n ++-=-14， 即2222m m n-=-14， 也即222m n m -=-8，即1-（n m ）2=-8， （n m ）2=9，nm=±3．44．当x=2时，753753113222222a b c d a b c d x x x x ++++=++++=所以7532222a b c d +++=52，753753753121(2)(2)(2)(2)21()2222a b c d x x x x a b c d a b c d ++++=++++----=++++当x=2时, =-2． 45．在1a -1b =1a b+的两边同乘以（a+b ），得a b a ba b ++-=1， 即（1+b a ）-（a b +1）=1，也即b a -ab=1．又b a +a b =4a b=2222b a a b -=（b a -a b ）（ba +ab ）=46．由ax+y=1得y=1-ax ，代入x+ay=2，得x+a （1-ax ）=2，（1-a 2）x=2-a ，因为方程组有解，所以此方程有解，所以1-a 2≠0，这时，方程组有解x=22212,11a a y a a--=--，又，•若a 2=1时，如果方程组有解，则在ax+y=1两边同乘以a ，得到a 2x+ay=a ，即x+ay=a ，所以a=2，与a 2=1矛盾，综上，知：仅当a ≠±1时，原方程组有解 47．由（n-2）a n-2-（n-1）a n-1+1=0，（2≤n ≤100）得a 1=1，a 3-2a 2=-1，2a 4-3a 3=-1，3a 5-4a 4=-1，……98100-9999=-1．以上各式相加，得98a 100-2（a 2+a 3+…+a 99）=98，以a 100=199代入，得a 2+a 3+…+a 99=9800，•于是a 1+a 2+…+a 100=1+9800+199=10000． 48．由题可知xy=1，x=1y，代入到题设的等式，得 19x 2+145+219x =2007， 19（x 2+21x ）=1862， x 2+21x =98， x 2+21x +2=100，（x+1x ）2=100，所以x+1x=±10，2()10,a ba b -+=±-也即=±10，±5（a-b ）=a+b ， 取正数5a-5b=a+b ，则2a=3b ，最小，a=3，b=2，a=b=5； 取负数-5a+5b=a+b ，则3a=2b ，最小，a=2，b=3，a+b=5． 49．由x 3+y 3+z 3=3xyz 得 x 3+y 3+z 3-3xyz=0， （x+y ）3+z 3-3x 2y-3xy 2=0．[（x+y ）+z]3-3（x+y ）2-3（x+y ）z 2-3x 2y-3x y 2-3xyz=0，（x+y+z ）3-3（x+y ）z （x+y+z ）-3xy （x+y+z ）=0， （x+y+z ）3-（x+y+z ）（3x+3xz+3yz ）=0， （x+y+z ）（x 2+y 2+z 2-xy-xz-yz ）=0， （x+y+z ）（2x+2y+2z-2xy-2xz-2yz ）=0． （x+y+z ）[（x-y ）2+（y-z ）2+（z-x ）2]=0． 因为x ，y ，z 互不相等， 所以x+y+z=0 ①又因为②①+②得①-②得所以（2x+z ）2（2y+z ）2=（2+（250．由条件得ab=2，则（a+b ）2=a 2+2ab+b 2=8，所以a+b=±51=2x，则=2x，则若比例式为1x ，则． 52．依题意，设P 1（m ，4m ），P 2（n ，4n ），则m=4m，m 2=4．所以m=2（m>0）， 所以OA 1=4， 所以4+4n=n ，n 2-4n=4， （n-2）2=8．所以，所以，所以OA 2=n+4n所以点A 的坐标是（0）．53．译文：在下列交通标志中，是轴对称图形的标志有_______个． 只有第三个不是轴对称图形，所以轴对称图形有3个． 54．如图，可得矩形、平行四边形和等腰三角形，填①④⑤．55．因为ABCD 是平行四边形，O 是BD 的中点，则△AEM ≌△CFN ，△DEO ≌△BFO ，△BMO ≌△DNO ，△ABD ≌△CDB ，△EDN ≌△FBM ，• 共有5对全等三角形．56．设小正方形的边长为1，则正方形ABCD 的面积为16，周长为16， •阴影部分的面积是16-4×12×3×1=10，周长是 所以，面积比=5：8，4．57．由条件得（a+2）2+62=102，所以（a+2）2=46，a+2=8，a=6． 58．如图所示，已知AC=2AB=10米，∠ABC=90°，•所以地面上的工人行走的距离是．59（厘米）．当滑块B 滑到0点时，滑块A 距0点25厘米，故滑块A 向上滑动了10厘米．当滑块B 由0点滑到C 点时，滑块A 由最高点滑到0点，即向下滑动了25厘米， 所以滑块A 共滑动了35厘米． 60．设AC=b ，BC=a ，AB=c ， 由AB=2，CD=1， 知∠ACB=90°， 于是a 2+b 2=c 2 所以（a+b ）2-2ab =c 2而，c=2所以2-2ab=22，得因此，S △ABC =12 61．由题设条件可知a c 2+bc 2-b 3-abc=b 2（c-b ）+ac （c-b ）=（c-b ）（b 2+ac ）=0 所以c=b ．因此三角形为等腰三角形，又一个内角是120°，所以其底角是30°，则a ：b ：2：1：1．62．因为a ，b ，c 是三角形的三条边，所以a ，b ，c 及a+b-c ，b+c-a ，c+a-b 均为正数， 所以111a b c b c a c a bc a b a b b c a cc a ba b b c a cc a ba b c a b c a b cc a b+++-+->>+++->->-+++>>++++++>>c<a<b ．即，三边中最长的边是b ． 63．可转化为面积求解．设△AA 2B ，△BOA 2，△BC 2O ，△B 2CO ，△OA 2C ，△AA 2C 的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，S 5，S 6，△ABC 的面积为S ，如图33所示，并利用以下三个结论：（1）等高三角形面积的比等于对应底边的比（如图34）．11212,S S AD ADS DB S S AB==+ （2）合比定理，若,a c a c a c b d b d b d+===+则 （3）分比定理． 若,a c a c a cb d b d b d-===-则 ？则（见扫描卷） 将上面三式相加，得1112AO BO CO SAA BB CC S++==2 64．延长BE 交AD 的延长线于F ，如图所示，因为AD ∥BC ，E•为CD•的中点，•所以△DFE ≌△CBE，于是BC=DF，BE=EF．？ S=S因为BE=132，所以BF=13，在Rt△ABF中，AB2+AF2=BF2=132？12AB·AF=S=30于是（AB+AF）2=AB2+AF2+2AB·AF=132+120=289=172 所以AB+BC+DA=AB+AF=1765．如图36，延长CB到M，使BM=DQ，连AM，因为AD=AB，∠D=∠ABM=90°，所以△ADQ≌△ABM，AM=AQ，∠MAB=∠DAQ，因为∠BAP+∠DAQ=45°，所以∠MAB+∠BAP=45°，所以∠MAP=∠PAQ又因为AP=AP所以△MAP≌△QAP，MP=PQ，所以△POQ周长=PC+CQ+PQ=PC+BP+CQ+DQ=4．66．设重叠部分的面积是xm2，则120+（74-x）=160，所以x=34．？ 67．由n是正整数，知道凸4n+2边形的边数至少是6．因为∠A，∠A，∠A都是90°，•所以此多边形的外角和是270°．因此，除了∠A ，∠A ，∠A 外，若存在某一角∠A ≤90°（i=4， 5，…，4n+2）， 则此多边形外角和大于360°，与“凸多边形外角和等于360•°”矛盾，又题设该多边形的内角都是30°的整数倍，所以除了∠A ，∠A 和∠A 外，•其余角只能是120°或150°．设∠A ，∠A ，…，∠A 中有k 个120°，t 个150°（k ，t 为非负整数），那么 k+t=（4n+2）-3=4n-1，t=4n-k-1，因为[（4n+2）-2]·180°=3×90°+k ·120°+（4n-k-1）·150°．整理得4n=4-k ，由于n 是正整数，k 非负，所以只能是k=0，n=1．68．设该时装的进价是a ，则原售价是（1+30%）a ，设后来打x 折销售，根据题意有 (130%)10x a a a+⨯-×100%≥10%解得x ≥11013≈8.5 所以打折的幅度不能低于8.5折．69．设今年安排考场x 个，则120120(150%)23x x++=- 解得x=18或x=15．经检验，x=18和x=15都是原方程的根，所以，今年安排的考场有18个或15个．70．设另一直角边和斜边长分别为y ，z ，则352+y 2=z2 即（z+y ）（z-y ）=52·72，设周长为1，则1=35+z+y，又z+y>35，所以z+y最大为52·72，最小为72．？所以1．5．7+35=1260，1=49+35=84．71．由题意，得（1-15%）a<b<（1-8%）a，即0.85a<b<0.92a．72．由于1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，……所以第n个式子从n开始，且有2n-1个连续自然数相加，即第n个式子为 n+（n+1）+…+（n+2n-2）=(32)(21)2n n n+--=（2n-1）2（n是正整数）．即一般规律为n+（n+1）+…+（3n-2）=（2n-1）2（n是正整数）．73．设商品共有a件，售出一半后，收入为12am元，其余的一半按m元的8折出售，即售价为0.8m元，收入为0.4am元，总收入为0.9am元，依题意有0.9am=1.1a×90，所以m=110．74．总人数是 4+6+10+5=25（人）．在70.5～90.5这一分数段的人数是16人，占25人的64%，所以频率为0.64．75．设a=（a，b）a，b=（a，b）b，（a，b）=1，则[a，b]=（a，b）ab，即（a，b）ab=1085-（a，b）．1085=5×7×31是（a，b）的倍数，所以（a，b）的可能值是1，5，7，31，35，•155，•217，1085．（1）当（a，b）=1时，?? a=a，b=b，ab=1085=271×4，a-b=267．（2）当（a，b）=5时，5ab=1085-5，ab=216=2×3，所以a=3，b=2，a-b=5（3-2）=95．（3）当（a，b）=7时，ab=154=11×7×2，当a=14，b=11时，a-b最小，a-b=21．由于a-b=（a，b）（a-b）≥（a，b），所以当（a，b）≥31时，a-b的值一定大于21，所以a-b的最小值为21．76．设EC=x，CD=y，则有AC=3x，BC=3y．在Rt△ACD中，有（3x）2+y2=62，①在Rt△BCE中，有（3y）2+x2=82．②①+②得10（x2+y2）=100，x 2+y 2=10，又x+y=6，所以xy=222()()361022x y x y +-+-==13 所以S △BCD =12xy=6.5 ? 77．连AC ，如图37所示，在梯形ABCE 中，S=S ，? 在梯形ACFD 中，S=S? 而S-S=S-S? 即S=S? 所以S=S78．因为4x 2+1+kx=（2x ）2+kx+1是关于x 的完全平方式，所以 ±2·2x ·1=kx ，解得 k=±4．当k=4时，k-2k+2=10；当k=-4时，k-2k+2=26．79．原方程可化为1111200420062007200311112006200720032004(2007)(2006)(2004)(2003)(2006)(2007)(2003)(2004)11(2006)(2007)(2003)(2004)x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +=+++++-=-+++++-++-+=++++=++++ =（x+2006）（x+2007）=（x+2003）（x+2004）x 2+4013x+4026042=x 2+4007x+40140126x=-12030x=-2005经检验，x=-2005是原方程的根．三、解答题80．设全班共有x 人，有y 人既参加语文组又参加数学组，则有23x 人参加语文组，•有32y 人参加数学组，依题意得 23()448322324432x y y xx y x y⎧+-+=⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪+=⎪⎩解得即全班有48人，既参加语文组又参加数学组的人数是24人．81．设A 和B 两种产品的月产量分别为x ，y 件，则最大利润z=600x+800y ，且x ，y 满足条件0300020003000005001000110000x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩由z=600x+800y=a （3000x+2000y ）+b （500x+1000y ）解得 a=110，b=35所以 z=110（3000x+2000y ）+35（500x+1000y ）≤96000此时3000200030000040500100011000090x y x x y y +==⎧⎧⎨⎨+==⎩⎩解得即 A 产品每月生产40件，B产品每月生产90件．每月可获得的最大利润是96000元．82．在射线OE上取一点M，使AO=AM，如图38所示，则△OAM为等边三角形，过C作CN∥AM，则∠NCO=∠NCB+∠2=60°，又因为∠1+∠NCB=60°，所以∠1=∠2，在△ACN和△BCO中，因为∠1=∠2，∠ANC=∠BOC=120°，NC=CO，所以△ACN≌△BCO．所以BC=AC，所以△ABC是等边三角形．当B、C点各在OG、OE射线上运动时，欲保证△ABC是等边三角形，只有AC或AB•与AO 重合时面积最大（△AOC中，∠ACO>∠AOC，AO>AC）．所以△ABC面积的最大值是△AOM m2．83．（1）当0≤x<1600时，y=0；当1600≤x<2100时，y=（x-1600）×5%；当2100≤x<3600时，y=（x-2100）×10%+500×5%；当3600≤x<6600时，y=（x-3600）×15%+1500×10%+500×5%；……（2）如图39所示．（3）当x=4000时，y=（4000-3600）×15%+1500×10%+500×5%=235（元）．84．（135，40）=5（最大公约数）．135=27×5，40=8×5．将木棍分成5个相等的截段，则每一截段上的红刻度线将它（截段）分成27等份，•黑刻度线将它分成8等份，且5个截段中的红、黑刻度线的分布完全相同，因此只需要考虑一个截段即可，不妨假定一个截段的长度为27×8，则相邻两红线的长度为8，•相邻两黑线的长度为27，注意到27=3×8+3，2×27=6×8+63×27=10×8+1，4×27=13×8+4，5×27=16×8+7，6×27=20×8+2，7×27=23×8+5，8×27=27×8+0．这8个等式表明，对于任意正整数k，0≤k≤7，我们可以找到两个正整数p，q，使得1≤p≤8，1≤q≤27，p×27=q×8=k．上式说明，在一个截段中锯下来的短木棍的长度有1，2，3，4，5，6，7，8共8种，而不可能有比8更长的短木棍（两红段间距为8），其它四个截段也一样．85．设取出一组线段，其中的任意三条都能构成一个三角形，•记这组线段中最短的两条长为x，y，最长的一条长为z，则1≤x<y<z≤100，由于x，y，z构成三角形，故z+y>z．。
新希望杯八年级数学试题及答案
八年级试题（A 卷）（时间：120分钟 满分：120分）一、选择题（每小题4分，共32分） 1.若()422015+=mA ，则A 的算术平方根是（ ）A.(m 2+2015)4B.(m 2+2015)2C.m 2+2015D.m+20152.已知等腰三角形的两边长分别为a 、b ，且0243163=-++-+b a b a ，则此三角形的周长是（ ）A.13B.17C.13或17D.14或163.将一副三角板如下图叠放在一起，则∠1的度数是（ ）A.105°B.110°C.115°D.120°4.如图，在3×4的正方形网格中，已有3个方格涂色，若再选择一个方格涂色，且使得4个涂色的方格组成轴对称图形，可选择的方格共有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个5.已知201531+n 是整数，若n 是正整数，则n 的最小值是（ ）A.31B.59C.65D.1246.某超市购进50千克的散装糖果，决定包装后出售，方式一：1.5千克/盒，包装成本1.2元/个；方式二：1千克/盒，包装盒成本1元/个.根据需要1千克装的糖果数量不能少于1.5千克装的一半，且糖果全部包装完，那么包装盒的总成本最低是（ ）A.43.4元B.43.1元C.42.8元D.42.5元7.如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，且BO=DO ，点P 在△BCD 内部，下列说法：①S △AOD=S △AOB ；②BC ＋CD ＞PB ＋PD ；③AC ＋BD ＞AB ＋CD ；④AC ＋BD ＞AD ＞CD ，其中正确的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个8.如图，等边三角形ABC 边长为6，点P 从B 点开始在BC 上向点C 运动，运动到点C 停止，以AP 为边在直线BC 的同侧作等边三角形APQ ，得到点Q ，则点Q 的运动路径长（ ） A.6 B.33 C.24 D.23π二、填空题：（每小题5分，共40分）9.化简：.________________)2015(201522=+--x x ）（10.已知正n 边形的一个内角是一个外角的5倍，则n=____________.11.如图，△ABC 是格点三角形，点D 是异于点A 的一个格点，则使△DBC 和△ABC 全等的D 点共有__________个.12.方程3100820151210071=+-+-xx x 的解是___________________.13.如图，等边三角形的边长为1，现将其各边n(n ＞2)等分，并以相邻分点为顶点向外作小等边三角形，再将相邻分点之间的线段去掉，得到一个锯齿图形，当n=k 时，锯齿图形的周长为___________.(用含k 的代数式表示).14.将1、2、3、4、5这五个数排成一列，要求第一个数和最后一个数都是偶数，且其中任意三个相邻的数之和都能被这三个数中的第一个数整除，这样的排列方法共有_____________种.15.对于实数m 、n ，定义运算m ※n=m(1-n)，下面是关于这种运算的几个结论：①2※3=-4；②若m ※n=0，则n=0；③m ※n=（1-n ）※(1-m)；④若m+n=1，则（m ※n ）-(n ※n)=0.其中正确的是___________. 16.如图，已知点A(1，1)，点B （7,3），点P 为x 轴上一个动点，当PA+PB 的值最小时，点P 的坐标为_______________.三、解答题（10+12+12+14=48分）17..)32(32,2,29的值）求（若+--==-y x xy y x18.如图，△ABC 为等边三角形，点D 是BC 延长线上一点，且CD ＜BC ，BD 的垂直平分线交AC 于E ，过点E 作EF ∥BC 交AB 于F.（1）求证：△AEF 为等边三角形； （2）若BC=3CD ，求ECAE的值.19.某数学俱乐部组织60名会员租车进行自驾游，共有两种车型可供选择，A 型车共有8个座位，B 型车有4个座位，要求租用的车不能空座，也不能超载. （1）共有多少种不同的租车方案？（2）若A 型车的租金是400元/天，B 型车的租金是260元/天，请设计最划算的租车方案，并说明理由.20.已知：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，如图1，在△ABC 中，∠CAB=90°，D 是BC 的中点，连接AD ，则AD=CD=BD.（1）如图2，过点D作DE⊥AB于E，以E为边作等边三角形AEF，以DF为边作等边三角形DFG，连接AG，求证：AG平分∠FAB.（2）如图3，过点C作CH⊥AF于H，连接DH，求证：DH=FG.1 2 3 4 5 6 7 8C B AD B C D A9 10 11 12 13 14 15 1610 1/2-8060X12 3 1008KK 66-6 ①③④⎪⎭⎫ ⎝⎛0,25。
希望杯试题及答案初二
希望杯试题及答案初二一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是正确的？A. 2的平方等于3B. 3的平方等于9C. 4的平方等于16D. 5的平方等于25答案：B2. 一个长方形的长是10厘米，宽是5厘米，那么它的周长是多少厘米？A. 30B. 40C. 50D. 60答案：B3. 一个数加上它的相反数等于多少？A. 0B. 1C. 2D. -1答案：A4. 下列哪个选项是二次方程？A. x + 2 = 0B. x^2 + 2x + 1 = 0C. 2x - 3 = 0D. x^3 - 4x^2 + 4x = 0答案：B5. 一个数的绝对值是5，那么这个数可能是？A. 5B. -5C. 3D. 以上都是答案：D6. 下列哪个选项是正确的不等式？A. 2x > 3B. 2x < 3C. 2x = 3D. 2x ≤ 3答案：A7. 一个圆的半径是3厘米，那么它的面积是多少平方厘米？A. 9πB. 18πC. 27πD. 36π答案：C8. 下列哪个选项是正确的分数？A. 3/2B. 2/3C. 1/2D. 4/5答案：D9. 一个等腰三角形的两个底角都是45度，那么它的顶角是多少度？A. 90B. 45C. 135D. 180答案：A10. 下列哪个选项是正确的函数关系？A. y = 2x + 3B. y = x^2 + 2x + 1C. y = x/2D. y = x^3 - 2x^2 + 3x答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 一个数的平方根是4，那么这个数是______。
答案：162. 一个数的立方根是2，那么这个数是______。
答案：83. 一个数的倒数是1/2，那么这个数是______。
答案：24. 一个数的绝对值是6，那么这个数可以是______。
答案：6或-65. 一个等腰三角形的顶角是120度，那么它的底角是______。
答案：30度三、解答题（每题10分，共50分）1. 解方程：3x - 5 = 10答案：x = 52. 计算：(2x^2 - 3x + 1) - (x^2 + 2x - 3)答案：x^2 - 5x + 43. 已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，求斜边的长度。
第希望杯初二第2试试题及答案
第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛初二第 2 试一、选择题（每题 4 分，共 40 分．）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题后边圆括号内．1．计算21259，得数是（）A．9 位数B．10 位数C． 11 位数D．12 位数2．若xy 1 ，则代数式9xy18的值（）239x y18A．等于7B．等于5C．等于5或不存在D．等于7或不存在57753( x a) 2 ≥ 2(1 2x a)3． The integer solutions of the inequalities about x ：x b b x are 1，2，332then the number of integer pairs（a，b）is（）A． 32B．35C． 40D．48（英汉字典： integer整数）4．已知三角形三个内角的度数之比为x : y : z ，且 x y z ，则这个三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形 D ．等腰三角形5．如图 1 ，三个凸六边形的六个内角都是120 ，六条边的长分别为 a ，b ，c ，d ，e， f ，则以下等式中建立的是（）bacf de图1A．a b c d e f B．a c e b d fB ． a b d eC ． a c b d6．在三边互不相等的三角形中，最长边的长为 a ，最长的中线的长为 m ，最长的高线的长为 h ，则（）A ． a m hB ． a h mC ． m a hD ． h m a7．某次足球竞赛的计分规则是：胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分，某球队参赛 15场，积 33 分，若不考虑竞赛次序，则该队胜、平、负的状况可能有（）A ．15 种B ．11 种C ．5 种D ．3 种8．若 xy0 ，x y0 ，11与 x y 成反比，则 x y2与 x 2 y 2 （）x yA ．成正比B ．成反比C ．既不可正比，也不可反比D ．关系不确立9．如图 2，已知函数 y2 k ，点 A 在正 y 轴上，过点 A 作 BC ∥ x 轴，交两个函( x 0) ，y(x 0)xx数的图象于点 B 和 C ，若 AB : AC 1:3 ，则 k 的值是（）yCABO x图2A ． 6B ．3C ． 3D ． 610 ．10 个人围成一圈做游戏，游戏的规则是：每一个人内心都想一个数，并把自己想的数告诉与他相邻的两个人， 而后每一个人将与他相邻的两个人告诉他的数的均匀数报出来，若报出来的数如图 3所示，则报出来的数是3 的人内心想的数是（ ）A ．2B ． 2C ．4D ． 4110 29384756图 3二、填空题（每题4 分，共 40 分）11 ．若 x 2 2 7 x 2 0 ， 则 x 4 24x 2．12 ．如图 4 ，已知点 A( a ，b) ， O 是原点， OAOA 1 ，OA OA 1 ，则点 A 1 的坐标是．yA （ a ，b ）A 1O x图 413 ．已知 ab0 ，而且 a b 0 ，则ab1 1 b 22____________．（填“ ”、“ ”、“≥ ”或“ ≤ ”）aab14 ．若 a 2b 2a 2 b2 0 ，则代数式 a a b b a b的值是．15 ．将代数式 x 3 2a 1 x 2 a 2 2a 1 x a 2 1 分解因式，得16 ． A 、B 、C 三辆车在同一条直路上同向行驶，某一时辰， A 在前， 10 分钟后， C 追上 B ；又过了 5 分钟， C 追上 A ．则再过．C 在后， B 在 A 、C 正中间，分钟， B 追上 A ．17 ．边长是整数，周长等于 20 的等腰三角形有 种，此中面积最大的三角形底边的长是．18 ．如图 5 ，在 △ ABC 中， AC BD ，图中的数听说明 ABC ．A30°B40° CD 图519 ．如图 6，直线 y31 与 x 轴、 y 轴分别交于 A 、B ，以线段 AB 为直角边在第一象限内作x3等腰直角 △ ABC ， BAC90 ．在第二象限内有一点P a ， 1，且 △ABP 的面积与 △ ABC 的面积2相等，则 △ ABC 的面积是； a ___________________yCBPO Ax 图 620 ．Given the area of△ ABC is S 1 ，and the length of its three sides are311，9 3，101313respectively ． And the perimeter of △ABCis 18 ，its area is S 2 ．Then the relationship between S 1 and S 2 isS 1S 2 ．（ fill in the blank with“ ”，“= ”or “ ”）（英汉字典： area 面积； length长度； perimeter 周长）三、解答题每题都要写出计算过程．21 ．（此题满分 10 分）解方程：2 x34 4 x 3 ．42 x 334 x【分析】 令2x 3a ，4xb ，43则a1 b 1 ，ab 整理得ab 10 ，aab所以 a b 或 ab1，即3x 34 x ， ①4 3或2 x3 4 x 1 ，②43由①得x7 ，10由②得 x0 或 x52经查验，知7 ，0，5都是原方程的解．10222．（此题满分15分）如图7，等腰直角△ABC 的斜边 AB 上有两点 M、N ，且知足MN 2BN 2AM 2，将△ABC绕着 C 点顺时针旋转90 后，点M、N的对应点分别为T、S ．⑴请画出旋转后的图形，并证明△MCN△MCS⑵求MCN 的度数．BBNN MC AM SC A r图 7【分析】⑴将△ ABC 绕着C点顺时针旋转90，如图．依据旋转前后的对应关系，可知BN AS ，CN CS ， NBC SAC45所以MAS MAC SAC90．由色股定理，得MS 2AM 2AS2AM 2BN 2MN2，所以M N．M S又因为CN CS ，CM 是公共边，所以△MCN △MCS ．⑵因为 CN 顺时针旋转 90后获得 CS ，所以NCS90，上边已证得△MCN △MCS ，故MCN MCS 145．NCS223 ．（此题满分 15 分）已知长方形的边长都是整数，将边长为 2 的正方形纸片放入长方形，要求正方形的边与长方形的边平行或重合，且随意两个正方形重叠部分的面积为0，放入的正方形越多越好．⑴假如长方形的长是4，宽是 3 ，那么最多能够放入多少个边长为 2 的正方形？长方形被覆盖的面积占整个长方形面积的百分比是多少？⑵假如长方形的长是 n(n ≥ 4) ，宽是 n 2 ，那么最多能够放入多少个边长为2 的正方形？长方形被覆盖的面积占整个长方形面积的百分比是多少？⑶关于随意知足条件的长方形，使长方形被覆盖的面积小于整个长方形面积的55% 求长方形边长的全部可能值．（已知0.55 0.74 ）【分析】 ⑴ 最多能够放入 2 个正方形，长方形被覆盖的面积占整个长方形面积的百分比是2 22 2 ．4 366.7%3⑵当 n 是偶数时， n 2 也是偶数，最多能够放入1 个正方形，长方形被覆盖的面n( n 2)4 积占整个长方形面积的百分比是 100% ．当 n 是奇数时， n2 也是奇数，最多能够放入1 3) 个正方形，长方形被覆盖的(n 1)(n4面积占整个长方形面积的百分比是 n 1 n 3n n2100% ．⑶设长方形的宽与长分别是x ，y ．若 x ，y 都是偶数，则长方形被覆盖的面积占整个长方形面积的100% ，不切合题意．若 x ，y 中一个是偶数 2a ，一个是奇数 2b 1 （ a ，b 是正整数），则4ab 4ab2b0.55 ．xy2a (2b 1) 2b 1解得 b 0.61．没有知足此结果的正整数b ，这类状况也不切合题意．所以， x ，y 都是奇数．x 2a 1 ，令 y 2b 1 ， a ≤ b ，a ，b 是正整数，则有4ab0.55 ．2a 1 2ba4ab4a4a2因为2a2a 1 2b a11，12a12a 12a22ba22a所以0. 55．2a 12a得0. 7 ，4a 1.，42a 1因为 a 是正整数，所以 a 1代入①式，得4b0. 55， 3 ( 2b1)解得 b 2.4 ，因为 b 是正整数，所以 b 1 或 2故有x 3 ，y3或 5．即长方形长为 5，宽为 3，或长与宽都是 3．第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛参照答案及评分标准初二第 2 试一、选择题（每题4 分．）题号1 21 3 4 5 6 7 8 9 10答案BDBCCADADB二、填空题（每题 4 分，第 17 、19 题，每空 2 分．）题号111213141516 17 1819 20答案 -4b ，a≥1x 1 x a 1 x a 115 4；6402；3421. 21259 23 109 8 109 ，∴得数是 10 位数．2.∵xy 1 ，∴ y 3 x 32 329x 33 189 x y 18 x21x42 7 x22将其代入代数式，得315x 30 5 x 29 x y 189x3 18x2当 x2 时，原式7；当 x 2 时，原式的值不存在．53x 3a 2 ≥ 4 x 2 2ax ≥ 1a113.原不等式7 b2 x 2b 3b 3x1 7a ≤ xx 5b5于是 01a ≤ 1 ， 31b≤ 4所以 a 有 7个不一样的取值， b 有 5 个不一样的取值，75于是整数对 a , b 共有7535个．4.∵x y z ，∴x y z 2 z ，即1802z，∴z90，三角形为钝角三角形．5.如图，补三个等边三角形，则 a b c c d e a f e ，于是a b d e．a b ca cdfee6.利用直角三角形中斜边大于直角边易得结论a m h ．7.设该球队胜、平、负的场数分别为x 、y、 15 x y ，则 3x y33 ．x ≥ 0y ≥ 0 x ，于是 0 ≤ y ≤ 6 ，又y能整除 3 ，于是 y 0 , 3 , 6 ．y ≤ 153x y 33对应的 x 11 , 10 , 9 ，共3种状况．8.∵11与 x y 成反比，∴x y11m ，此中 m 为非零常数．x y x y于是yx m 2 ，所以y为定值．x y x2y2而 x y22y y1， x2y2x2 1 ，联合y为定值xxx x x所以 x y2与x2y2成正比．9. B 与 C 的纵坐标相等，即k2，∴k2AC6AC AB AB10.假定报出来的数是 3 的人内心想的数是 x ，则报出来的 12345678910数4 x x8 x 4 x12 x内心想的数于是 4x 12x20 ，解得 x2 ．11. x 4 24x 22 7 x 224 2 7 x 228 x 28 7 x4 48 7x 4828x 2 56 7x 5222 8 2 x7 25 6x 752．412. 过 A 、 A 1 作 x 轴的垂线，利用弦图简单获得A 1 b , a ．aba 2ba 211a b13.a bba b∵b 2a 2b 2aba 2，ab11ba2222而a2b2 ≥ 2 a 2 b 22bab a∴ab a b ≥1 1a b ，即ab1 1 ．b 2a 2a bb 2 a 2 ≥ a b14. ∵a 2 b 2a 2 b 2a 2b21 ， b 1110 ，∴a于是 a a b b a b 12 10 1 ．15.x 3 2 a 1 x 2 a 2 2 a 1 x2a 1x 3 2ax 2 a 2 1 x x 2 2ax a 2 1x 1 x 22axa1 a 1x 1 x a 1 x a116. 设当 B 在 A 、C 正中间是 ABBC1，则 C 相对 B 的速度为1，C 相对 A 的速度为 2 ，1015所以 B 相对 A 的速度为1，故 B 追上 A 需要时间为 30 分钟．30于是再过 15 分钟， B 追上 A ．17. 设等腰三角形的腰长为x ，则底边长为 20 2x ，于是 0 20 2xxx ，有 5 x 10 ，∴x 的可能取值有 6 , 7 , 8 , 9，共 4 种．其面积为10 1022 x10 ，∴当 x7 时三角形面积最大，此时底边长为6 ．x18. 在 BC 上取一点 E ，使得 CE CA ，简单证明 △ AEB ≌△ ADC ，于是 ABC 40 ．19. ∵ A 3 , 0 ，B 0,1，∴ AB 2于是 S △ ABC 12AB22∵S△ ABP1 1 1 a1 3 11 3 a 12 ，解得 a3 4 ．2 2222220. △ ABC 的面积不小于三边长分别为 3 , 9 , 10 的三角形面积，于是S △ABC ≥ 11 11 3 11 9 11 10262 ；而 △A B C 的面积不大于周长为 18 的正三角形面积，于是3 2S 2 ≤18243 ．49 33∴S 1 S 2 ．。
第十六届“希望杯”全国数学邀请赛初二 第2试
个循 环小数 ， 么 ａ的取值有 哪几 个 ？ 那 ２ ． 图 ６ 正三 角形 Ａ Ｃ的边长 为 ａ Ｄ ３如 ， Ｂ ，
Ｂ
图５
是Ｂ Ｃ的 中点， Ｐ是 Ａ Ｃ边上 的点 ， 连结 船 和
Ｐ Ｄ得到ＡＰ Ｄ． ： Ｂ 求
（） 点 Ｐ运 动 到 Ａ １当 Ｃ的 中 点 时 ， Ｂ 的 ＡＰ Ｄ
２ ． 果正整 数 有 以下 性质 ： 的八分之 ０如
一
是 平方 数 ， 的九分 之一是 立方数 ， 它的二 ．
十 五分之 一是五 次方数 ， 么 就 称为 “ 那 希望 数 ” 则 最小 的希望数 是 ，
出推 算过程 ． ）
三、 解答题 （ 每题 １ 分 ， ３ 分 ． ０ 共 ０ 要求 ： 写 ２． ５ １图 是一个 长为 ４ ０ 的环形 跑道 ， ０米 其
（ 中版 ） 初
维普资讯
数海泛舟
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７ ：
２．） ２１如果 是小于２ （ ０的质数， 且÷可化
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为一 个循环 小数 ， 么 的取 值有哪 几个 ？ 那
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一
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（ 如果 ２ ） 是小于２ 的 ０ 合数， 且÷可化为
所 以Ｐ ｇ的最 小值 为 ｇ＝ ２ Ｐ＝ ４ ， ， ． 此时， 乙跑 过 的路 程 为 ２ ０×４＋ ２ ０＝ １０ （ ） ５ ０ ２０米 ． 所 以乙跑 了 １０ ２ ０米后 ， 两人 首次在 点处相遇 ． ２． ） ２（ 小于 ２ １ ０的质数有 ２ ３、， ， １ １ ，７ １ ． ， ， ７ １ ，３ １ ，９除了 ２和 ５以外 ， 余各数 的倒 数均可化 为 ５ 其 循环 小数 ．
数海泛舟
｛ｙｖｌ— ２一。。 ＩＹ ＋ Ｘ ＋ Ｉ ＋ ｌ ． Ｚ ｘ ｌ一 ｚ ｌ ＋ 一 —， ＋ｂ 一 Ｌｚ 一 ２
【精品】八年级希望杯决赛真题与标准答案.doc
4.已知三角形三个内角的度数之比为x ： y ： z ,且x+yvz, 则这个三角形是（）（A ）锐角三角形. （B ）直角三角形. （C ）钝角三角形. （D ）等腰三角形.5.如图1, 一个凸六边形的六个内角都是120。
，六条边的长分a, b, c, d, e, f,则下列等式中成立的是）(D)a+c=b+d.（英汉词典：integer 整数)(A)a+b+c=d+e+f .(B)a+c+e=b+d+f . (C)a+b=d+e.6. 在三边互不相等的三角形中，最长边的长为a,最长的中线的长为m,最长的高线的长 为h,则（） （A ）a>m>h .（B ）a>h>m .（C ）m>a>h.（D ）h>m>a .7. 某次足球比赛的计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得O 分，某球队参赛15场，积33分，若不考虑比赛顺序，则该队胜、平、负的情况可能有（）（A ） 15 种.（B ） 11 种.（C ）5 种.（D ）3 种.第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛初二 第2试(2010 年 4 月 11 U 上午 9:00 至 11:00)得分—一、选择题（每小题4分，共40分.）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将 表示正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内. 1 .计算2,2X 59,得数是（）（A ）9位数. （B ） 10位数. （C ） 11位数.(D) 12位数.2.若三=1,Or + v — ]8则代数式 一的值（）9x-y-\S 7 （A ）等于；・55 7（B ）等于+（C ）等写或不存在.（D ）等专或不存在.3. The integer solutions of the inequalities about x3(x — q) + 22 2(1 — 2x — ci)x b b — xarcl,2,3,--- < -----then the number of integer pairs (a,b) (A)32.(B)35.(C)40.(D)48.(A)2.(B)— 2. (C)4.(D) 一4.8.若 xy *O,x+y *0,—+ —与 x+y 成反比,则(x + y)2与亍+)=()工 )'（A ）成正比.（B ）成反比.（C ）既不成正比，也不成反比. （D ）的关系不 确定.2k9.如图2,已知函数y - —（X > 0）,y = —（x < 0）,点A 在正y 轴上，过点A 作BC//x 轴, x x交两个函数的图象于点B 和C,若AB:AC = 1:3,则k 的值是（）（A ）6.（B ）3.（C ）— 3.（D ）— 6.10. 10个人围成一圈做游戏.游戏的规则是：每个人心里都想一个数，并把目己想的数告许与他相邻的两个人，然后每个人将与他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来，若报出来的数如图3所示，则报出来的数是3的人心里想的数是（）110 2 9 3二、填空题（每小题4分，共40分.） 11 .若 了 _ 2A /7X + 2 = 0,则 X 4—24X 2=12. 如图4,已知点A （a, b ）, 0是原点，OA=OA|, OA ± OA },则点A 〕的坐标是 13.已 知 ab + 0 , 并 且 a + b >。
第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛_初二_1试试题及答案.doc
第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛初二 第1试2012年3月11日 上午8：30至10：00 得分_______一、选择题(每小题4分，共40分．)以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将正确答案前的英文字母写在下面的表格内．1．如果0＜m ＜1，那么m 一定小于它的( )(A)相反数 (B)倒数 (C)绝对值 (D)平方2．在277,355,544,633这四个数中，最大的数是( )(A)277 (B)355 (C)544 (D)6333．若a+b=2012,b ≠a 十1，则ba b a b b a ++--+-222212的值等于( ) (A)2012 (B)2011 (C)20112012 (D)20122011 4.方程3112112=---x x （ ） (A)只有一个根x=1 (B)只有一个根x=2 (C)有两个根x 1=l ，x 2=2 (D)无解． rz+，+o=10，5．方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+=++40250310y x z y x z y x ( )(A)无解 (B)有1组解 (C)有2组解 (D)有无穷多组解．6. As in the figure 1, there are four circle with radius of 2. The four circles are apart from each other. Link their centers to form a quadrilateral, thenthe total area of the shaded parts in the figure is( )(A) 2π (B) 4π (C) 6π (D) 8π7．在平面直角坐标系中．先将直线y=3x －2关于x 轴作轴对称变换，再将所得直线关于y 轴作轴对称变抉，则经两次变换后所得直线的表达式是( )(A)y=2x 一3 (B)y=3x 一2 (C)y=2x ＋3 (D)y=3x ＋28．一次函数y=(m 2一4)x ＋(1一m)和y=(m+2)x+(m 2—3)的图象分别与y 轴交于点P 和Q ，这两点关于x 轴对称，则m 的值是( ) (A)2 (B)2或一1 (C)l 或一1 (D)－19．如图2，在周长是lOcm 的□ABCD 中，AB≠AD，AC 、BD 相交于点O ，点E 在AD 边上，且OE ⊥BD ，则△ABE 的周长是( )(A)2cm (B)3cm (C)4cm (D)5cm10．x 1,x 2,x 3,…,x 100是自然数，且x 1＜x 2＜x 3＜…x 100,若x 1＋x 2＋…＋x 100=7001，那么x 1＋x 2＋…＋x 50的最大值是( )(A)2225 (B)2226 (C)2227 (D)2228二．A 组填空题(每小题4分，共40分)11.有下列命题：①矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形； ②平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形；④等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形；④有一个锐角是30°的直角三角形不是中心对称图形，也不是轴对称图形．其中正确命题的序号是______________．(把所有正确的命题的序号都填上)12．若n 是正整数，且x 2n =5 , 则()()nn x x 22342÷=______________． 13．已知整数a ，b 满足6ab=9a 一10b ＋16．则a ＋b 的值是____________.14. The original railway from A to B is 310 km, and now a 280km long high-speed railwayis built. The train speed on the high -speed railway is twice the original speed, so the traveling time from A to B is 2 hours shorter. Then the original train speed on the original railway is_________km/hottr.15．如图3，已知△ABC 中，AD 平分∠BAC ．∠C=20°，AB ＋BD=AC ，则∠B 的度数是____________．16．若△ABC 的三个内角满足3∠A ＞5∠B ，3∠C ＜2∠B ，则△ABC 必是___________三角形．(填“锐角”、“直角”或“钝角”)17．若关于x 的分式方程22121=-+--xx mx 有整数解,m 的值是_____________________. 18．已知a 十x 2=2011，b ＋x 2=2012,c ＋x 2=2013，且abc=24，则c b a ab c ac b bc a 111---++=______________. 19．若x 是自然数,x ＋13和x －76都是完全平方数，那么x=_____________．20．如图4，在□ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点,点P 在线段GF 上，则△PHE 与□ABCD 的面积的比值是_____________．三、B 组填空趣(每小题8分，共40分．)21．直线y=3x+k+2与直线y=-x+2k 的交点在第二象限，且k 是正整数，则k 的值是_____________；交点的坐标是__________．22．一个三角形的三条边的长分别是5,7,10，另一个三角形的三条边的长分别是5，3x 一2，2y ＋1，若这两个三角形全等,则x ＋y 的值是__________或_____________.23．点A 和B 在直线643+-=x y 上，点A 的横坐标是2，且AB=5．当线段AB 绕点A 顺时针旋转90°后，点B 的坐标是____________或____________．24．等腰直角△ABC 中，∠ACB=90°，点D 和E 在AB 边上，AD=3，BE=4，∠DCE=45°，则DE=_______或_________．25．袋中有红、黄、黑三种颜色的球各若干个，黄色球上标有数字5，黑色球上标有数字6，红色球上标的数字看不清．现从袋中拿出8个球，其中黄色球和黑色球的个数分别少于红色球的个数．已知8个球上的数字和是39，那么红色球上标的数字是______________；拿出黑色球的个数是_________________．。