2015年高考数学全国卷2(超完美)

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2015年高考全国新课标卷Ⅱ理科数学真题含答案解析(超完美版)

2015年高考全国新课标卷Ⅱ理科数学真题(青海;西藏;甘肃;贵州;内蒙古;新疆;宁夏;吉林;黑龙江;云南;辽宁;广西;海南)一、选择题1.已知集合A={-2,-1,0,1,2}，B={X|（X-1）（X+2）<0}，则AB=（） A ．{-1,0} B ．{0,1} C ．{-1,0,1} D ．{0,1,2}2.若a 为实数，且（2+ai ）（a-2i ）= - 4i ，则a=（）A ．-1B ．0C ．1D ．23.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C ．2006年以来我国二氧化硫排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化硫排放量与年份正相关4.已知等比数列{a n } 满足a 1=3，a 1+a 3+a 5=21，则a 3+a 5+a 7=（）A ．21B ．42C ．63D ．845.设函数f （x ）=f (x )={1+log 2,(2−x ),x <12x−1,x ≥1则f （-2）+f （log 212）=（）A ．3B ．6C ．9D ．12 6.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A ．18B ．17C ．16D ．157.过三点A （1,3），B （4,2），C （1，-7）的圆交y 轴于M ，N 两点，则IMNI=（）A ．2√6B ．8C ．4√6D ．108.下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。

执行该程序框图，若输入的a , b 分别为14 ，18，则输出的a=（）A ．0B ．2C ．4D ．149.已知A,B 是球O 的球面上两点，∠AOB=90o ，C 为该球上的动点，若三棱锥O-ABC 的体积最大值为36，则球O 的表面积为（）A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π10.如图，长方形ABCD 的边2AB =，1BC =，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记BOP x ∠=，将动点P 到,A B 两点距离之和表示为x 的函数，则()y f x =的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．11.已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（）A B ．2 C D 12.设函数f ’(x)是奇函数f(x)(x ∈R)的导函数，f(-1)=0，当x>0时，x f ’(x)- f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x 的取值范围是（）A ．（−∞，-1）∪（0,1）B ．（−1，0）∪（1,+∞）C ．（−∞，-1）∪（-1,0）D ．（0，1）∪（1,+∞）二、填空题13.设向量a,b 不平行，向量λ a+b 与a+2b 平行，则实数 λ =14.若x ，y 满足约束条件，则z=x+y 的最大值为 15.4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a=16.设S n 是数列｛a n ｝的前n 项和，且1111,n n n a a s s ++=-=，则S n =三、解答题17.△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍（I ）求Csin B sin ∠∠ （II ）若AD=1，DC=22，求BD 和AC 的长18.某公司为了了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机抽查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：记事件C ：“A 地区用户的满意等级高于B 地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的评价结果互相独立。

2015年高考全国2卷文科数学试题(含解析)

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14．若x,y满足约束条件
2xy10
x2y10
,则z=2x+y的最大值为．
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（Ⅱ）若
C与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求
1
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请
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24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式证明选讲
设a,b,c,d均为正数,且abcd.证明：
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2015年全国统一高考(理科)数学试卷2

78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82
93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
• （1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；
• 【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC 的体积最大，设球O的半径为R，此时 VO﹣ABC＝ VC﹣AOB=1/3×1/2×R^2×R=1/6 R^3=36，故R＝6，则球O的表面积为4πR2＝144π，
• 故选：C．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
（a2﹣4）i＝﹣4i， • 4a＝0，并且a2﹣4＝﹣4， • 所以a＝0； • 故选：B．
3．（5分）根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）
A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效 C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
• 【分析】（1）根据茎叶图的画法，以及有关茎叶图的知识，比较即可；
• 【解答】解：（1）两地区用户满意度评分的茎叶图如下
• 通过茎叶图可以看出，A地区用户满意评分的平均值高于B地区用户满意评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散；
19．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中， AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1， D1C1上，A1E＝D1F＝4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．

2015年全国新课标2卷高考文科数学试题及答案

2015年全国新课标2卷高考文科数学试题及答案2015普通高等学校招生全国统一考试II卷文科数学第一卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合 $A=x-1<x<2$，$B=x<x<3$，则 $A\cup B=$A。

$(-1,3)$ B。

$(-1,0)$ C。

$(0,2)$ D。

$(2,3)$2.若 $a$ 是实数，且 $\frac{2+ai}{1+i}=3+i$，则 $a=$A。

$-4$ B。

$-3$ C。

$3$ D。

$4$3.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是此处删除明显有问题的段落）4.已知向量 $a=(1,-1)$，$b=(-1,2)$，则 $(2a+b)\cdot a=$A。

$-1$ B。

$0$ C。

$1$ D。

$2$5.设 $S_n$ 是等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和。

若$a_1+a_3+a_5=3$，则 $S_5=$A。

$5$ B。

$7$ C。

$9$ D。

$11$6.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为A。

$\frac{1}{1111}$ B。

$\frac{1}{8576}$ C。

$\frac{2}{1254}$ D。

$\frac{1}{333}$7.已知三点 $A(1,-1)$，$B(2,3)$，$C(2,3)$，则 $\triangle ABC$ 外接圆的圆心到原点的距离为A。

$\sqrt{5}$ B。

$3$ C。

$2\sqrt{5}$ D。

$3\sqrt{2}$8.右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。

执行该程序框图，若输入的$a,b$ 分别为14,18，则输出的 $a$ 为开始输入a,ba>b是a≠b 否输出a是否结束a=a-b b=b-aA。

2015年高考文科数学全国2卷(含详细解析)

绝密★启用前2015年高考全国2卷文科数学注意事项：1．本试卷分第I 卷（阅读题）和第Ⅱ卷（表达题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12道小题,每小题5分,共60分. 1．已知集合,,则（）A ．B ．C ．D ．【答案】A考点：集合运算. 2. 若为实数,且,则( ) A ． B ． C ． D ．【答案】D 【解析】试题分析：由题意可得 ,故选D. 考点：复数运算.3. 根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图,以下结论中不正确的是（）{}|12A x x =-<<{}|03B x x =<<A B =()1,3-()1,0-()0,2()2,3a 2i3i 1ia +=++a =4-3-34()()2i 1i 3i 24i 4a a +=++=+⇒=A ．逐年比较,2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化碳排放显现成效C ．2006年以来我国二氧化碳年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关【答案】 D 考点：柱形图4. 已知,,则（） A ． B ． C ． D ．【答案】C 【解析】试题分析：由题意可得 , 所以.故选C.考点：向量数量积.5. 设是等差数列的前项和,若,则（） A ． B ． C ． D ．【答案】A 【解析】试题解析：,.故选A. 考点：等差数列6. 一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）()1,1=-a ()1,2=-b (2)+⋅=a b a 1-01222=a 3,⋅=-a b ()222431+⋅=+⋅=-=a b a a a b n S {}n a n 1353a a a ++=5S =5791113533331a a a a a ++==⇒=()15535552a a S a +===【答案】D 【解析】试题分析：截去部分是正方体的一个角,其体积是正方体体积的,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为 ,故选D.考点：三视图7. 已知三点,则△外接圆的圆心到原点的距离为（）【答案】B考点：直线与圆的方程.8. 右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”,执行该程序框图,若输入的分别为14,18,则输出的为（）1A.81B.71C.61D.51615(1,0),A B C ABC 5A.33 C.34D.3,a b a A.0 B.2 C.4 D.14【答案】B 【解析】试题分析：由题意输出的a 是18,14的最大公约数2,故选B. 考点：1. 更相减损术；2.程序框图. 9．已知等比数列满足,,则（）【答案】C 【解析】试题分析：由题意可得,所以,故 ,选C.考点：等比数列.10. 已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为（）A. B. C. D. 【答案】C考点：球与几何体的切接.11. 如图,长方形的边AB =2,BC =1,O 是AB 的中点,点P 沿着边BC ,CD 与DA 运动,记{}n a 114a =()35441a a a =-2a =A.2 B.11C.21D.8()235444412a a a a a ==-⇒=34182a q q a ==⇒=2112a a q ==B A ,O ︒=∠90AOBC ABC O -O π36π64π144π256,将动点P 到A ,B 两点距离之和表示为x 的函数 ,则的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B考点：函数图像12. 设函数,则使得成立的的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】试题分析：由可知是偶函数,且在是增函数,所以 .故选A.BOP x ∠=()f x 21()ln(1||)1f x x x =+-+()(21)f x f x >-x 1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭11,33⎛⎫-⎪⎝⎭11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21()ln(1||)1f x x x =+-+()f x [)0,+∞()()()()121212113f x f x f x f x x x x >-⇔>-⇔>-⇔<<考点：函数性质二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分13. 已知函数的图像过点（-1,4）,则a = ．【答案】-2 【解析】试题分析：由可得 .考点：函数解析式14. 若x ,y 满足约束条件 ,则z =2x +y 的最大值为．【答案】8考点：线性规划15. 已知双曲线过点,且渐近线方程为,则该双曲线的标准方程为．【答案】考点：双曲线几何性质16. 已知曲线在点处的切线与曲线相切,则()32f x ax x =-()32f x ax x =-()1242f a a -=-+=⇒=-50210210x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪-+≤⎩(12y x =±2214x y -=ln y x x =+()1,1()221y ax a x =+++a = ．【答案】8 【解析】试题分析：由可得曲线在点处的切线斜率为2,故切线方程为,与联立得,显然,所以由.考点：导数的几何意义. 三、解答题17（本小题满分12分）△ABC 中D 是BC 上的点,AD 平分BAC ,BD =2DC . （I ）求；（II ）若,求. 【答案】（I ）；.考点：解三角形试题解析：（I ）由正弦定理得因为AD 平分BAC ,BD =2DC ,所以.（II ）因为所以由（I ）知, 11y x'=+ln y x x =+()1,121y x =-()221y ax a x =+++220ax ax ++=0a ≠2808a a a ∆=-=⇒=∠sin sin BC∠∠60BAC ∠=B ∠1230,,sin sin sin sin AD BD AD DCB BADC CAD==∠∠∠∠∠sin 1.sin 2B DC C BD ∠==∠()180,60,C BAC B BAC ∠=-∠+∠∠=()1sin sin sin .2C BAC B B B ∠=∠+∠=∠+∠2sin sin B C ∠=∠所以考点：解三角形18. （本小题满分12分）某公司为了了解用户对其产品的满意度,从A ,B 两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对其产品的满意度的评分,得到A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频率分布表.A 地区用户满意度评分的频率分布直方图（I ）在答题卡上作出B 地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度.（不要求计算出具体值,给出结论即可）B 地区用户满意度评分的频率分布直方图tan 30.B B ∠=∠=（II ）根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级：估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由.【答案】（I ）见试题解析（II ）A 地区的用户的满意度等级为不满意的概率大. 考点：1.频率分布直方图；2.概率估计.19. （本小题满分12分）如图,长方体中AB =16,BC =10,,点E ,F 分别在上,过点E ,F 的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.（I ）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）；（II ）求平面把该长方体分成的两部分体积的比值. 【答案】（I ）见试题解析（II ）或1111ABCD A B C D -18AA =1111,A B D C 11 4.A E D F ==αα9779考点：1.几何体中的截面问题；2.几何体的体积20. （本小题满分12分）已知椭圆的离心率为,点在C 上.（I ）求C 的方程；（II ）直线l 不经过原点O ,且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 中点为M ,证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值.【答案】（I ）（II ）见试题解析()2222:10x y C a b a b+=>>2(2222184x y +=考点：直线与椭圆21. （本小题满分12分）已知.（I ）讨论的单调性；（II ）当有最大值,且最大值大于时,求a 的取值范围.【答案】（I ）,在是单调递增；,在单调递增,在单调递减；（II ）. 【解析】()()ln 1f x x a x =+-()f x ()f x 22a -0a ≤()f x ()0,+∞0a >()f x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()0,1考点：导数的应用.请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图O是等腰三角形AB C内一点,圆O与△ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点.（I ）证明；（II ）若AG 等于圆O 半径,且,求四边形EBCF 的面积.【答案】（I ）见试题解析；（II考点：1.几何证明；2.四边形面积的计算.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中,曲线（t 为参数,且）,其中,在以O为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线（I ）求与交点的直角坐标；（II ）若与相交于点A ,与相交于点B ,求最大值.EF BC AE MN ==xOy 1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩0t ≠0απ≤<23:2sin ,:.C C ρθρθ==2C 3C 1C 2C 1C 3C AB【答案】（I ）；（II ）4. 【解析】试题分析：（I ）把与的方程化为直角坐标方程分别为,,联立解考点：参数方程、直角坐标及极坐标方程的互化.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式证明选讲设均为正数,且.证明：（I ）若 ,（II ）的充要条件.【答案】【解析】 ()30,0,2⎫⎪⎪⎝⎭2C 3C 2220x y y +-=22230x y x +-=,,,a b c d a b c d +=+ab cd >>>a b c d -<-试题分析：（I ）由及,可证明,开方即得（II ）本小题可借助第一问的结论来证明,但要分必要性与充分性来证明.试题解析：解：（I ）因为考点：不等式证明.a b c d+=+abcd>22>>22a b c d =++=++。

2015年高考全国卷2文科数学试题和答案解析

2015年高考全国卷2文科数学试题及答案（word精校版）含详细解析一、选择题：本大题共12道小题，每小题5分1.已知集合A={x|-l<x<2},B={x|0<x<3},则A B=A.（-1,3）B.（-1,0）C.（0,2）D.（2,3）【答案】A【解析】试题分析：因为彳={x|-l<x<2},3={x|0<x<3},所以火汕={*|一1<*<3}.故选人.考点：集合运算.【名师点睛】本题属基础题，主要考查数列的交集运算。

2.若为a实数，且?+=3+i,则a=1+iA.-4B.-3C.3D.4【答案】D【解析】试题分析：由题意可得2+tri=（l+i）（3+i）=2+4ina=4,故选D.考点：复数运算.【名师点睛】本题主要考查复数的乘除运算，及复数相等，难度不大，但要注意运算的准确性。

3.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是A.逐年比较，2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著B.2007年我国治理二氧化碳排放显现成效C.2006年以来我国二氧化碳年排放量呈减少趋势D.2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关【答案】D【解析】试题分析：由柱形图可知2006年以来，我国二氧化碳排放童基本成i走诚趋势，所以二氧化碳援放童与年份负相关，故选D.考点：柱形图【名师点睛】本题考查学生对柱形图的理解，要求学生能从图中读出有用信息，背景比较新颖。

4,己知«=(0,-1),*=(-1,2),贝i](2a+6)-a=A.-1B.0C.1D.2【答案】B【解析】试题分析：由题意可得«2=1,a b=-2,所以(2a+b)a=2a1+a b=2-2=0.考点：向量数量积。

【名师点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算，属于基础题。

5.设&是等差数列｛%｝的前"项和，若tZ]+O,+a5=3,则S5=A.5B.7C.9D.11【答案】A【解析】试题解析：％+%+%= 3% = 3 => % = 1，S)=---------= 5角=5.考点：等差数列【名师点睛】本题主要考查等差数列性质及前〃项和公式，具有小、巧、活的特点。

2015年度全国2卷(理数)

2015年普通高等学校招生全国统一考试课标全国Ⅱ理科数学注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2015课标全国Ⅱ,理1)已知集合A={-2,-1,0,1,2},B={x|(x-1)(x+2)<0},则A∩B=()A.{-1,0}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{0,1,2}答案:A解析:∵B={x|-2<x<1},∴A∩B={-1,0}.2.(2015课标全国Ⅱ,理2)若a为实数,且(2+a i)(a-2i)=-4i,则a=()A.-1B.0C.1D.2答案:B解析:∵(2+a i)(a-2i)=4a+(a2-4)i=-4i,∴{4a=0,解之得a=0.a2−4=−4,3.(2015课标全国Ⅱ,理3)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论中不正确的是()A.逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关答案:D解析:由柱形图知,2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势,故其排放量与年份负相关,故D 错误. 4.(2015课标全国Ⅱ,理4)已知等比数列{a n }满足a 1=3,a 1+a 3+a 5=21,则a 3+a 5+a 7=( ) A.21 B.42 C.63 D.84答案:B 解析:由题意知a 1+a 3+a 5a 1=1+q 2+q 4=213=7,解得q 2=2(负值舍去).∴a 3+a 5+a 7=(a 1+a 3+a 5)q 2=21×2=42.5.(2015课标全国Ⅱ,理5)设函数f (x )={1+log 2(2−x),x <1,2x−1, x ≥1,则f (-2)+f (log 212)=( )A.3B.6C.9D.12答案:C解析:∵f (-2)=1+log 24=3,f (log 212)=2log 212−1=2log 21221=122=6,∴f (-2)+f (log 212)=9.6.(2015课标全国Ⅱ,理6)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.18B.17C.16D.15答案:D解析:由题意知该正方体截去了一个三棱锥,如图所示,设正方体棱长为a ,则V 正方体=a 3,V 截去部分=16a 3,故截去部分体积与剩余部分体积的比值为16a 3∶56a 3=1∶5.7.(2015课标全国Ⅱ,理7)过三点A (1,3),B (4,2),C (1,-7)的圆交y 轴于M ,N 两点,则|MN|=( )A.2√6B.8C.4√6D.10答案:C解析:设圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,将点A ,B ,C 代入,得{D +3E +F +10=0,4D +2E +F +20=0,D −7E +F +50=0,解得{D =−2,E =4,F =−20.则圆的方程为x 2+y 2-2x+4y-20=0.令x=0得y2+4y-20=0,设M(0,y1),N(0,y2),则y1,y2是方程y2+4y-20=0的两根,由根与系数的关系,得y1+y2=-4,y1y2=-20,故|MN|=|y1-y2|=√(y1+y2)2−4y1y2=√16+80=4√6.8.(2015课标全国Ⅱ,理8)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入的a,b分别为14,18,则输出的a=()A.0B.2C.4D.14答案:B解析:由程序框图,得(14,18)→(14,4)→(10,4)→(6,4)→(2,4)→(2,2),则输出的a=2.9.(2015课标全国Ⅱ,理9)已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36,则球O的表面积为()A.36πB.64πC.144πD.256π答案:C解析:由△AOB面积确定,若三棱锥O-ABC的底面OAB的高最大,则其体积才最大.因为高最大为半径R,所以V O-ABC=13×12R2×R=36,解得R=6,故S球=4πR2=144π.10.(2015课标全国Ⅱ,理10)如图,长方形ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的中点.点P沿着边BC,CD与DA 运动,记∠BOP=x.将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数f(x),则y=f(x)的图像大致为()答案:B解析:①当点P在线段BC上时,如图,x∈[0,π4].PB=OB tan x=tan x ,PA=√PB 2+AB 2=√tan 2x +4, 所以f (x )=PB+PA=tan x+√tan 2x +4. 显然函数f (x )在[0,π4]内单调递增,故f (0)≤f (x )≤f (π4),即2≤f (x )≤1+√5.②取线段CD 的中点E ,当点P 在线段CE 上时,x ∈(π4,π2).如图,过点P 作PH ⊥AB ,垂足为H. 则OH=1tanx ,BH=1-1tanx.所以PB=√PH 2+BH 2=√12+(1−1tanx)2, PA=√PH 2+AH 2=√12+(1+1tanx )2. 所以f (x )=PB+PA=√1+(1−1tanx)2+√1+(1+1tanx)2.所以f (x )在(π4,π2)上单调递减.③当点P 在点E 处,f (x )=PB+PA=2√2<1+√5. ④当点P 在线段DE 上时,x ∈(π2,3π4).由图形的对称性可知,此时函数图像与当点P 在线段CE 上时的图像关于x=π2对称.⑤当点P 在线段DA 上时,x ∈[3π4,π].由图形的对称性可知,此时的函数图像与当点P 在线段BC 上时的图像关于x=π2对称.综上选B .11.(2015课标全国Ⅱ,理11)已知A ,B 为双曲线E 的左、右顶点,点M 在E 上,△ABM 为等腰三角形,且顶角为120°,则E 的离心率为( ) A.√5B.2C.√3D.√2答案:D解析:设双曲线的标准方程为x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0),点M 在右支上,如图所示,∠ABM=120°,过点M 向x 轴作垂线,垂足为N ,则∠MBN=60°.∵AB=BM=2a ,∴MN=2a sin 60°=√3a ,BN=2a cos 60°=a.∴点M 坐标为(2a ,√3a ),代入双曲线方程x 2a 2−y 2b2=1,整理,得a 2b2=1,即b2a 2=1.∴e2=1+b2a 2=2,∴e=√2.12.(2015课标全国Ⅱ,理12)设函数f'(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数,f (-1)=0,当x>0时,xf'(x )-f (x )<0,则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( ) A.(-∞,-1)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1,+∞) C.(-∞,-1)∪(-1,0) D.(0,1)∪(1,+∞)答案:A解析:当x>0时,令F (x )=f(x)x,则F'(x )=xf ′(x)−f(x)x 2<0,∴当x>0时,F (x )=f(x)x为减函数. ∵f (x )为奇函数,且由f (-1)=0,得f (1)=0,故F (1)=0. 在区间(0,1)上,F (x )>0;在(1,+∞)上,F (x )<0,即当0<x<1时,f (x )>0; 当x>1时,f (x )<0.又f (x )为奇函数,∴当x ∈(-∞,-1)时,f (x )>0; 当x ∈(-1,0)时,f (x )<0.综上可知,f (x )>0的解集为(-∞,-1)∪(0,1).故选A .第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(2015课标全国Ⅱ,理13)设向量a ,b 不平行,向量λa +b 与a +2b 平行,则实数λ= . 答案:12解析:由题意知存在常数t ∈R ,使λa +b =t (a +2b ),得{λ=t,1=2t,解之得λ=12.14.(2015课标全国Ⅱ,理14)若x ,y 满足约束条件{x −y +1≥0,x −2y ≤0,x +2y −2≤0,则z=x+y 的最大值为 .答案:32解析:由约束条件画出可行域,如图中的阴影部分所示.由可行域可知,目标函数z=x+y 过点B 取得最大值. 联立{x −2y =0,x +2y −2=0,得B (1,12).∴z max =12+1=32.15.(2015课标全国Ⅱ,理15)(a+x )(1+x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32,则a= . 答案:3解析一:∵(1+x )4=x 4+C 43x 3+C 42x 2+C 41x+C 40x 0=x 4+4x 3+6x 2+4x+1,∴(a+x )(1+x )4的奇数次幂项的系数为4a+4a+1+6+1=32,∴a=3. 解析二:设(a+x )(1+x )4=b 0+b 1x+b 2x 2+b 3x 3+b 4x 4+b 5x 5.令x=1,得16(a+1)=b 0+b 1+b 2+b 3+b 4+b 5, ① 令x=-1,得0=b 0-b 1+b 2-b 3+b 4-b 5, ②由①-②,得16(a+1)=2(b 1+b 3+b 5). 即8(a+1)=32,解得a=3.16.(2015课标全国Ⅱ,理16)设S n 是数列{a n }的前n 项和,且a 1=-1,a n+1=S n S n+1,则S n = . 答案:-1n解析:由a n+1=S n+1-S n =S n S n+1,得1S n−1S n+1=1,即1Sn+1−1S n =-1,则{1S n }为等差数列,首项为1S 1=-1,公差为d=-1,∴1S n=-n ,∴S n =-1n . 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅱ,理17)△ABC 中,D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC ,△ABD 面积是△ADC 面积的2倍. (1)求sin ∠B sin ∠C;(2)若AD=1,DC=√22,求BD 和AC 的长.解:(1)S △ABD =12AB ·AD sin ∠BAD ,S △ADC =12AC ·AD sin ∠CAD.因为S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD, 所以AB=2AC.由正弦定理可得sin∠Bsin∠C =ACAB=12.(2)因为S△ABD∶S△ADC=BD∶DC,所以BD=√2.在△ABD和△ADC中,由余弦定理知AB2=AD2+BD2-2AD·BD cos∠ADB,AC2=AD2+DC2-2AD·DC cos∠ADC.故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由(1)知AB=2AC,所以AC=1.18.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅱ,理18)某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下:A地区:6273819295857464537678869566977888827689B地区:7383625191465373648293486581745654766579(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可);(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级:记事件C:“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的评价结果相互独立.根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求C的概率.解:(1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下:通过茎叶图可以看出,A 地区用户满意度评分的平均值高于B 地区用户满意度评分的平均值;A 地区用户满意度评分比较集中,B 地区用户满意度评分比较分散.(2)记C A 1表示事件:“A 地区用户的满意度等级为满意或非常满意”;C A 2表示事件:“A 地区用户的满意度等级为非常满意”; C B 1表示事件:“B 地区用户的满意度等级为不满意”; C B 2表示事件:“B 地区用户的满意度等级为满意”,则C A 1与C B 1独立,C A 2与C B 2独立,C B 1与C B 2互斥,C=C B 1C A 1∪C B 2C A 2.P (C )=P (C B 1C A 1∪C B 2C A 2)=P (C B 1C A 1)+P (C B 2C A 2)=P (C B 1)P (C A 1)+P (C B 2)P (C A 2). 由所给数据得C A 1,C A 2,C B 1,C B 2发生的频率分别为1620,420,1020,820, 故P (C A 1)=1620,P (C A 2)=420,P (C B 1)=1020,P (C B 2)=820,P (C )=1020×1620+820×420=0.48.19.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅱ,理19)如图,长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=16,BC=10,AA 1=8,点E ,F 分别在A 1B 1,D 1C 1上,A 1E=D 1F=4,过点E ,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形. (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由); (2)求直线AF 与平面α所成角的正弦值. 解:(1)交线围成的正方形EHGF 如图:(2)作EM ⊥AB ,垂足为M , 则AM=A 1E=4,EM=AA 1=8.因为EHGF 为正方形,所以EH=EF=BC=10. 于是MH=√EH 2−EM 2=6,所以AH=10.以D 为坐标原点,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz , 则A (10,0,0),H (10,10,0),E (10,4,8),F (0,4,8),FE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(10,0,0),HE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-6,8). 设n =(x ,y ,z )是平面EHGF 的法向量, 则{n ·FE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·HE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{10x =0,−6y +8z =0,所以可取n =(0,4,3). 又AF⃗⃗⃗⃗⃗ =(-10,4,8), 故|cos <n ,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|n·AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||n||AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=4√515. 所以AF 与平面EHGF 所成角的正弦值为4√515.20.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅱ,理20)已知椭圆C :9x 2+y 2=m 2(m>0),直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 的中点为M. (1)证明:直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值;(2)若l 过点(m 3,m),延长线段OM 与C 交于点P ,四边形OAPB 能否为平行四边形?若能,求此时l 的斜率;若不能,说明理由.解:(1)设直线l :y=kx+b (k ≠0,b ≠0),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x M ,y M ).将y=kx+b 代入9x 2+y 2=m 2得(k 2+9)x 2+2kbx+b 2-m 2=0,故x M =x 1+x 22=−kbk 2+9,y M =kx M +b=9bk 2+9.于是直线OM 的斜率k OM =y M x M =-9k,即k OM ·k=-9. 所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值. (2)四边形OAPB 能为平行四边形. 因为直线l 过点(m3,m),所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是k>0,k ≠3. 由(1)得OM 的方程为y=-9kx. 设点P 的横坐标为x P .由{y =−9k x,9x 2+y 2=m 2得x P 2=k 2m 29k 2+81,即x P =3√k +9.将点(m 3,m)的坐标代入l 的方程得b=m(3−k)3, 因此x M =k(k−3)m 3(k 2+9).四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分,即x P =2x M . 于是3√k +9=2×k(k−3)m 3(k 2+9),解得k 1=4-√7,k 2=4+√7. 因为k i >0,k i ≠3,i=1,2,所以当l 的斜率为4-√7或4+√7时,四边形OAPB 为平行四边形. 21.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅱ,理21)设函数f (x )=e mx +x 2-mx. (1)证明:f (x )在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增;(2)若对于任意x 1,x 2∈[-1,1],都有|f (x 1)-f (x 2)|≤e -1,求m 的取值范围. 解:(1)f'(x )=m (e mx -1)+2x.若m ≥0,则当x ∈(-∞,0)时,e mx -1≤0,f'(x )<0; 当x ∈(0,+∞)时,e mx -1≥0,f'(x )>0.若m<0,则当x ∈(-∞,0)时,e mx -1>0,f'(x )<0; 当x ∈(0,+∞)时,e mx -1<0,f'(x )>0.所以,f (x )在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增.(2)由(1)知,对任意的m,f(x)在[-1,0]单调递减,在[0,1]单调递增,故f(x)在x=0处取得最小值.所以对于任意x1,x2∈[-1,1],|f(x1)-f(x2)|≤e-1的充要条件是{f(1)−f(0)≤e−1,f(−1)−f(0)≤e−1,①即{e m−m≤e−1,e−m+m≤e−1.设函数g(t)=e t-t-e+1,则g'(t)=e t-1.当t<0时,g'(t)<0;当t>0时,g'(t)>0.故g(t)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增.又g(1)=0,g(-1)=e-1+2-e<0,故当t∈[-1,1]时,g(t)≤0.当m∈[-1,1]时,g(m)≤0,g(-m)≤0,即①式成立;当m>1时,由g(t)的单调性,g(m)>0,即e m-m>e-1;当m<-1时,g(-m)>0,即e-m+m>e-1.综上,m的取值范围是[-1,1].请考生在第22、23、24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分,做答时请写清题号.22.(本小题满分10分)(2015课标全国Ⅱ,理22)选修4—1:几何证明选讲如图,O为等腰三角形ABC内一点,☉O与△ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高AD交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点.(1)证明:EF∥BC;(2)若AG等于☉O的半径,且AE=MN=2√3,求四边形EBCF的面积.解:(1)由于△ABC是等腰三角形,AD⊥BC,所以AD是∠CAB的平分线.又因为☉O分别与AB,AC相切于点E,F,所以AE=AF,故AD⊥EF.从而EF∥BC.(2)由(1)知,AE=AF,AD⊥EF,故AD是EF的垂直平分线.又EF为☉O的弦,所以O在AD上.连结OE,OM,则OE⊥AE.由AG等于☉O的半径得AO=2OE, 所以∠OAE=30°.因此△ABC和△AEF都是等边三角形.因为AE=2√3,所以AO=4,OE=2.因为OM=OE=2,DM=12MN=√3, 所以OD=1.于是AD=5,AB=10√33.所以四边形EBCF的面积为12×(10√33)2×√32−12×(2√3)2×√32=16√33.23.(本小题满分10分)(2015课标全国Ⅱ,理23)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,曲线C1:{x=tcosα,y=tsinα,(t为参数,t≠0),其中0≤α<π.在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=2sin θ,C3:ρ=2√3cos θ.(1)求C2与C3交点的直角坐标;(2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值.解:(1)曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,曲线C3的直角坐标方程为x2+y2-2√3x=0.联立{x 2+y2−2y=0,x2+y2−2√3x=0,解得{x=0,y=0,或{x=√32,y=32.所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和(√32,3 2 ).(2)曲线C1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其中0≤α<π.因此A的极坐标为(2sin α,α),B的极坐标为(2√3cos α,α).所以|AB|=|2sin α-2√3cos α|=4|sin(α−π3)|.当α=5π6时,|AB|取得最大值,最大值为4.24.(本小题满分10分)(2015课标全国Ⅱ,理24)选修4—5:不等式选讲设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明:(1)若ab>cd,则√a+√b>√c+√d;(2)√a+√b>√c+√d是|a-b|<|c-d|的充要条件.解:(1)因为(√a+√b)2=a+b+2√ab,(√c+√d)2=c+d+2√cd, 由题设a+b=c+d,ab>cd得(√a+√b)2>(√c+√d)2.因此√a+√b>√c+√d.(2)①若|a-b|<|c-d|,则(a-b)2<(c-d)2,即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd.因为a+b=c+d,所以ab>cd.由(1)得√a+√b>√c+√d.②若√a+√b>√c+√d,则(√a+√b)2>(√c+√d)2,即a+b+2√ab>c+d+2√cd.因为a+b=c+d,所以ab>cd.于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2.因此|a-b|<|c-d|.综上,√a+√b>√c+√d是|a-b|<|c-d|的充要条件.。

2015年普通高等学校招生全国统一考试全国卷2 数学试卷含答案(理科)

2015年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅱ)理数本卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={-2,-1,0,1,2},B={x|(x-1)(x+2)<0},则A∩B=( ) A.{-1,0}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{0,1,2}2.若a 为实数,且(2+ai)(a-2i)=-4i,则a=( ) A.-1B.0C.1D.23.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论中不正确的是( )A.逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4.已知等比数列{a n }满足a 1=3,a 1+a 3+a 5=21,则a 3+a 5+a 7=( ) A.21B.42C.63D.845.设函数f(x)={1+log 2(2-x ), x <1,2x -1,x ≥1,则f(-2)+f(log 212)=( )A.3B.6C.9D.126.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如图所示,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.18B.17C.16D.157.过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=( )A.2√6B.8C.4√6D.108.下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入的a,b分别为14,18,则输出的a=( )A.0B.2C.4D.149.已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为( )A.36πB.64πC.144πD.256π10.如图,长方形ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的中点.点P沿着边BC,CD与DA运动,记∠BOP=x.将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数f(x),则y=f(x)的图象大致为( )11.已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则E的离心率为( )A.√5B.2C.√3D.√212.设函数f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf'(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x 的取值范围是( ) A.(-∞,-1)∪(0,1)B.(-1,0)∪(1,+∞)C.(-∞,-1)∪(-1,0)D.(0,1)∪(1,+∞)第Ⅱ卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.设向量a,b 不平行,向量λa+b 与a+2b 平行,则实数λ= . 14.若x,y 满足约束条件{x -y +1≥0,x -2y ≤0,x +2y -2≤0,则z=x+y 的最大值为 .15.(a+x)(1+x)4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32,则a= . 16.设S n 是数列{a n }的前n 项和,且a 1=-1,a n+1=S n S n+1,则S n = .三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)△ABC 中,D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC,△ABD 面积是△ADC 面积的2倍. (Ⅰ)求sin∠Bsin∠C; (Ⅱ)若AD=1,DC=√22,求BD 和AC 的长.18.(本小题满分12分)某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下:A地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区: 73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79(Ⅰ)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可);A地区B地区456789(Ⅱ)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级:满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记事件C:“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的评价结果相互独立.根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求C的概率.19.(本小题满分12分)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4.过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);(Ⅱ)求直线AF与平面α所成角的正弦值.20.(本小题满分12分)已知椭圆C:9x2+y2=m2(m>0),直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.(Ⅰ)证明:直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值;,m),延长线段OM与C交于点P,四边形OAPB能否为平行四边形?若能,求此(Ⅱ)若l过点(m3时l的斜率;若不能,说明理由.21.(本小题满分12分)设函数f(x)=e mx+x2-mx.(Ⅰ)证明:f(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增;(Ⅱ)若对于任意x1,x2∈[-1,1],都有|f(x1)-f(x2)|≤e-1,求m的取值范围.请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,O为等腰三角形ABC内一点,☉O与△ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高AD交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点.(Ⅰ)证明:EF∥BC;(Ⅱ)若AG等于☉O的半径,且AE=MN=2√3,求四边形EBCF的面积.23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线C 1:{x =tcosα,y =tsinα(t 为参数,t≠0),其中0≤α<π.在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ=2sinθ,C 3:ρ=2√3cosθ. (Ⅰ)求C 2与C 3交点的直角坐标;(Ⅱ)若C 1与C 2相交于点A,C 1与C 3相交于点B,求|AB|的最大值.24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲设a,b,c,d 均为正数,且a+b=c+d,证明: (Ⅰ)若ab>cd,则√a +√b >√c +√d ;(Ⅱ)√a +√b >√c +√d 是|a-b|<|c-d|的充要条件.2015年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅱ)一、选择题1.A 因为B={x|(x-1)(x+2)<0}={x|-2<x<1},A={-2,-1,0,1,2},故A ∩B={-1,0}.选A.2.B ∵(2+ai)(a -2i)=-4i ⇒4a+(a 2-4)i=-4i, ∴{4a =0,a 2-4=-4,解得a=0. 3.D 由柱形图可知:A 、B 、C 均正确,2006年以来我国二氧化硫年排放量在逐渐减少,所以排放量与年份负相关,∴D 不正确.4.B 设{a n }的公比为q,由a 1=3,a 1+a 3+a 5=21得1+q 2+q 4=7,解得q 2=2(负值舍去).∴a 3+a 5+a 7=a 1q 2+a 3q 2+a 5q 2=(a 1+a 3+a 5)q 2=21×2=42.5.C ∵-2<1,∴f(-2)=1+log 2[2-(-2)]=3;∵log 212>1, ∴f(log 212)=2log 212-1=2log 26=6.∴f(-2)+f(log 212)=9.6.D 如图,由已知条件可知,截去部分是以△ABC 为底面且三条侧棱两两垂直的正三棱锥D-ABC.设正方体的棱长为a,则截去部分的体积为16a 3,剩余部分的体积为a 3-16a 3=56a 3.它们的体积之比为15.故选D.评析本题主要考查几何体的三视图和体积的计算,考查空间想象能力. 7.C 设圆心为P(a,b),由点A(1,3),C(1,-7)在圆上,知b=3-72=-2.再由|PA|=|PB|,得a=1.则P(1,-2),|PA|=√(1-1)2+(3+2)2=5,于是圆P 的方程为(x-1)2+(y+2)2=25.令x=0,得y=-2±2√6,则|MN|=|(-2+2√6)-(-2-2√6)|=4√6. 8.B 开始:a=14,b=18,第一次循环:a=14,b=4; 第二次循环:a=10,b=4; 第三次循环:a=6,b=4; 第四次循环:a=2,b=4; 第五次循环:a=2,b=2. 此时,a=b,退出循环,输出a=2.评析熟悉“更相减损术”对理解框图所确定的算法有帮助. 9.C ∵S △OAB 是定值,且V O-ABC =V C-OAB ,∴当OC ⊥平面OAB 时,V C-OAB 最大,即V O-ABC 最大.设球O 的半径为R,则(V O-ABC )max =13×12R 2×R=16R 3=36,∴R=6,∴球O 的表面积S=4πR 2=4π×62=144π.评析点C 是动点,如果以△ABC 为底面,则底面面积与高都是变量,因此转化成以△OAB 为底面(S △OAB 为定值),这样高越大,体积越大.10.B 当点P 与C 、D 重合时,易求得PA+PB=1+√5;当点P 为DC 的中点时,有OP ⊥AB,则x=π2,易求得PA+PB=2PA=2√2.显然1+√5>2√2,故当x=π2时, f(x)没有取到最大值,则C 、D 选项错误.当x ∈[0,π4)时, f(x)=tan x+√4+tan 2x ,不是一次函数,排除A,故选B.11.D 设双曲线E 的标准方程为x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0),则A(-a,0),B(a,0),不妨设点M 在第一象限内,则易得M(2a,√3a),又M 点在双曲线E 上,于是(2a)2a 2-(√3a)2b2=1,解得b 2=a 2,∴e=√1+b 2a 2=√2.12.A 令g(x)=f(x)x,则g'(x)=xf '(x)-f(x)x 2,由题意知,当x>0时,g'(x)<0,∴g(x)在(0,+∞)上是减函数.∵f(x)是奇函数, f(-1)=0,∴f(1)=-f(-1)=0, ∴g(1)=f(1)1=0,∴当x ∈(0,1)时,g(x)>0,从而f(x)>0; 当x ∈(1,+∞)时,g(x)<0,从而f(x)<0.又∵g(-x)=f(-x)-x=-f(x)-x=f(x)x=g(x),∴g(x)是偶函数,∴当x ∈(-∞,-1)时,g(x)<0,从而f(x)>0; 当x ∈(-1,0)时,g(x)>0,从而f(x)<0. 综上,所求x 的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1).评析出现xf '(x)+f(x)>0(<0)时,考虑构造函数F(x)=xf(x),出现xf '(x)-f(x)>0(<0)时,考虑构造函数g(x)=f(x)x.二、填空题 13.答案12解析由于a,b 不平行,所以可以以a,b 作为一组基底,于是λa+b 与a +2b 平行等价于λ1=12,即λ=12.14.答案32解析作出可行域,如图:由z=x+y 得y=-x+z,当直线y=-x+z 过点A (1,12)时,z 取得最大值,z max =1+12=32.15.答案 3解析设f(x)=(a+x)(1+x)4,则其所有项的系数和为f(1)=(a+1)·(1+1)4=(a+1)×16,又奇数次幂项的系数和为12[f(1)-f(-1)],∴12×(a+1)×16=32,∴a=3.评析二项展开式问题中,涉及系数和的问题,通常采用赋值法. 16.答案 -1n解析∵a n+1=S n+1-S n,∴S n+1-S n=S n+1S n,又由a1=-1,知S n≠0,∴1S n -1S n+1=1,∴{1S n}是等差数列,且公差为-1,而1S1=1a1=-1,∴1S n=-1+(n-1)×(-1)=-n,∴S n=-1n.三、解答题17.解析(Ⅰ)S△ABD=12AB·ADsin∠BAD,S△ADC=12AC·ADsin∠CAD.因为S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD,所以AB=2AC.由正弦定理可得sin∠Bsin∠C =ACAB=12.(Ⅱ)因为S△ABD∶S△ADC=BD∶DC,所以BD=√2.在△ABD和△ADC中,由余弦定理知AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB,AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC.故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由(Ⅰ)知AB=2AC,所以AC=1.评析本题考查正弦定理,余弦定理的应用,以及三角形的面积公式.属常规题,中等偏易.18.解析(Ⅰ)两地区用户满意度评分的茎叶图如下:A地区B地区4 6 83 5 1 3 6 46 4 2 6 2 4 5 56 8 8 64 3 73 34 699 2 8 65 18 3 2 17 5 5 2 9 1 3通过茎叶图可以看出,A 地区用户满意度评分的平均值高于B 地区用户满意度评分的平均值;A 地区用户满意度评分比较集中,B 地区用户满意度评分比较分散.(Ⅱ)记C A1表示事件:“A 地区用户的满意度等级为满意或非常满意”;C A2表示事件:“A 地区用户的满意度等级为非常满意”;C B1表示事件:“B 地区用户的满意度等级为不满意”;C B2表示事件:“B 地区用户的满意度等级为满意”,则C A1与C B1独立,C A2与C B2独立,C B1与C B2互斥,C=C B1C A1∪C B2C A2.P(C)=P(C B1C A1∪C B2C A2)=P(C B1C A1)+P(C B2C A2)=P(C B1)P(C A1)+P(C B2)P(C A2).由所给数据得C A1,C A2,C B1,C B2发生的频率分别为1620,420,1020,820,故P(C A1)=1620,P(C A2)=420,P(C B1)=1020,P(C B2)=820,P(C)=1020×1620+820×420=0.48.19.解析 (Ⅰ)交线围成的正方形EHGF 如图:(Ⅱ)作EM ⊥AB,垂足为M,则AM=A 1E=4,EM=AA 1=8.因为EHGF 为正方形,所以EH=EF=BC=10.于是MH=√EH 2-EM 2=6,所以AH=10.以D 为坐标原点,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则A(10,0,0),H(10,10,0),E(10,4,8),F(0,4,8),FE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(10,0,0),HE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-6,8). 设n =(x,y,z)是平面EHGF 的法向量,则{n ·FE ⃗⃗⃗⃗ =0,n ·HE⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{10x =0,-6y +8z =0, 所以可取n =(0,4,3).又AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-10,4,8),故|cos<n ,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|n ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗||n||AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4√515. 所以AF 与平面EHGF 所成角的正弦值为4√515. 评析本题背景常规,设问新颖,鼓励动手试验、创新尝试、独立思考.对空间想象力有较高要求.20.解析 (Ⅰ)设直线l:y=kx+b(k ≠0,b ≠0),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),M(x M ,y M ).将y=kx+b 代入9x 2+y 2=m 2得(k 2+9)x 2+2kbx+b 2-m 2=0,故x M =x 1+x 22=-kb k 2+9,y M =kx M +b=9b k 2+9.于是直线OM 的斜率k OM =y M x M =-9k ,即k OM ·k=-9.所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值.(Ⅱ)四边形OAPB 能为平行四边形.因为直线l 过点(m 3,m),所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是k>0,k ≠3. 由(Ⅰ)得OM 的方程为y=-9k x.设点P 的横坐标为x P .由{y =-9k x,9x 2+y 2=m 2得x P 2=k 2m 29k 2+81,即x P =3√k 2+9. 将点(m 3,m)的坐标代入l 的方程得b=m(3-k)3,因此x M =k(k -3)m 3(k 2+9). 四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分,即x P =2x M .于是3√k 2+9=2×k(k -3)m3(k 2+9),解得k 1=4-√7,k 2=4+√7. 因为k i >0,k i ≠3,i=1,2,所以当l 的斜率为4-√7或4+√7时,四边形OAPB 为平行四边形.评析本题考查直线与圆锥曲线的位置关系,设问常规,但对运算能力要求较高,考查学生的思维能力.21.解析 (Ⅰ)f '(x)=m(e mx -1)+2x.若m ≥0,则当x ∈(-∞,0)时,e mx -1≤0, f '(x)<0;当x ∈(0,+∞)时,e mx -1≥0, f '(x)>0.若m<0,则当x ∈(-∞,0)时,e mx -1>0, f '(x)<0;当x ∈(0,+∞)时,e mx -1<0, f '(x)>0.所以, f(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,对任意的m, f(x)在[-1,0]单调递减,在[0,1]单调递增,故f(x)在x=0处取得最小值.所以对于任意x 1,x 2∈[-1,1],|f(x 1)-f(x 2)|≤e-1的充要条件是{f(1)-f(0)≤e -1,f(-1)-f(0)≤e -1,即{e m -m ≤e -1,e -m +m ≤e -1.① 设函数g(t)=e t -t-e+1,则g'(t)=e t -1.当t<0时,g'(t)<0;当t>0时,g'(t)>0.故g(t)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增.又g(1)=0,g(-1)=e -1+2-e<0,故当t ∈[-1,1]时,g(t)≤0.当m ∈[-1,1]时,g(m)≤0,g(-m)≤0,即①式成立;当m>1时,由g(t)的单调性,g(m)>0,即e m -m>e-1;当m<-1时,g(-m)>0,即e -m +m>e-1.综上,m 的取值范围是[-1,1].22.解析 (Ⅰ)由于△ABC 是等腰三角形,AD ⊥BC,所以AD 是∠CAB 的平分线.又因为☉O 分别与AB,AC 相切于点E,F,所以AE=AF,故AD ⊥EF.从而EF ∥BC.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,AE=AF,AD ⊥EF,故AD 是EF 的垂直平分线.又EF 为☉O 的弦,所以O 在AD 上. 连结OE,OM,则OE ⊥AE.由AG 等于☉O 的半径得AO=2OE,所以∠OAE=30°.因此△ABC 和△AEF 都是等边三角形.因为AE=2√3,所以AO=4,OE=2.因为OM=OE=2,DM=12MN=√3,所以OD=1.于是AD=5,AB=10√33.所以四边形EBCF 的面积为12×(10√33)2×√32-12×(2√3)2×√32=16√33.23.解析 (Ⅰ)曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2-2y=0,曲线C 3的直角坐标方程为x 2+y 2-2√3x=0. 联立{x 2+y 2-2y =0,x 2+y 2-2√3x =0,解得{x =0,y =0,或{x =√32,y =32. 所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和(√32,32). (Ⅱ)曲线C 1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R ,ρ≠0),其中0≤α<π.因此A 的极坐标为(2sin α,α),B 的极坐标为(2√3cos α,α).所以|AB|=|2sin α-2√3cos α|=4|sin (α-π3)|.当α=5π6时,|AB|取得最大值,最大值为4.24.解析 (Ⅰ)因为(√a +√b )2=a+b+2√ab ,(√c +√d )2=c+d+2√cd ,由题设a+b=c+d,ab>cd得(√a+√b)2>(√c+√d)2. 因此√a+√b>√c+√d.(Ⅱ)(i)若|a-b|<|c-d|,则(a-b)2<(c-d)2,即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd.因为a+b=c+d,所以ab>cd.由(Ⅰ)得√a+√b>√c+√d.(ii)若√a+√b>√c+√d,则(√a+√b)2>(√c+√d)2,即a+b+2√ab>c+d+2√cd.因为a+b=c+d,所以ab>cd.于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2.因此|a-b|<|c-d|.综上,√a+√b>√c+√d是|a-b|<|c-d|的充要条件.。

2015高考数学全国2卷试题及答案(清晰版)

2015年普通高等学校招生全国统一考试试题及答案理科数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合{}21012，，，，--=A ,()(){}021<+-=x x x B ,则=B A A、{}0,1-B、{}1,0C、{}101，，-D、{}210，，2、若a 为实数，且()()i i a ai 422-=-+，则=a A、-1B、0C、1D、23、根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是A、逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最明显B、2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C、2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D、2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4、已知等比数列{}n a 满足31=a ，21531=++a a a ，则=++753a a aA、21B、42C、63D、845、设函数()()⎩⎨⎧-+=-1222log 1x x x f ,11≥<x x ,则()()=+-12log 22f f A、3B、6C、9D、126、一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则截去部分体积与所剩部分体积的比值为A、81B、71C、61D、517、过三点()31，A ，()24，B ，()7,1-C 的圆与y 轴交于M 、N 两点，则=MN A、62B、8C、64D、108、右边程序框图的算法思路源于我国古代算术名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14,18，则输出的=a A、0B、2C、4D、149、已知A ，B 是球O 的球面上两点， 90=∠AOB ，C 为该球面上的动点。

2015年高考理科数学全国卷2-答案

2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷2)理科数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】A【解析】由已知得{|21}B x x =-<<，故,}10{AB -=，故选A ．【提示】解一元二次不等式，求出集合B ，然后进行交集的运算即可．【考点】集合的交集运算和一元二次方程求根． 2.【答案】B【解析】由已知得24+(4)i 4i a -=-，所以40a =，244a -=-，解得0a =，故选B ．【提示】首先将坐标展开，然后利用复数相等解之．【考点】复数的四则运算． 3.【答案】D【解析】解：A ．从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明显减少，且减少的最多，故A 正确；B ．2004~2006年二氧化硫排放量越来越多，从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B 正确；C ．从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C 正确；D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，而不是与年份正相关，故D 错误．故选：D【提示】A ．从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量减少的最多，故A 正确； B ．从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B 正确；C ．从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C 正确；D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，与年份负相关，故D 错误．【考点】柱形图信息的获得． 4.【答案】B【解析】设等比数列公比为q ，则24111++21a a q a q =，又因为13a =，所以42+60q q -=，解得22q =，所以2357135++(++)42a a a a a a q ==，故选B ．【提示】由已知，13a =，135++21a a a =，利用等比数列的通项公式可求q ，然后在代入等比数列通项公式53261)(0,1)，故选())f x x=为减函数，,0)(0,+)∞上的偶函数，根据函数0等价于x g【解析】（Ⅰ）两地区用户满意度评分的茎叶图如下：122B A C C ，12212))+()B A A B C C P C 1，2A C ，C 108【解析】（Ⅰ）交线围成的正方形EHGF 如图：uuu r 即可求出法向量n，AF。

2015年高考全国卷2理科数学试题及答案解析(word精校版)

2015年高考全国卷2理科数学试题及答案解析（word 精校版）注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。

2．回答第I 卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合A=｛-2，-1,0，1,2｝，B=｛x|（X-1）（x+2）＜0｝,则A∩B=（）（A ）｛--1,0｝（B ）｛0,1｝（C ）｛-1,0,1｝（D ）｛,0,，1，2｝【答案】A【解析】由已知得{}21B x x =-<<，故{}1,0AB =-，故选A（2）若a 为实数且（2+ai ）（a-2i ）=-4i,则a=（）（A ）-1 （B ）0 （C ）1 （D ）2 【答案】B（3）根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。

以下结论不正确的是( )（A ）逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著（B ） 2007年我国治理二氧化硫排放显现（C ） 2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势（D ） 2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关【答案】D【解析】由柱形图得，从2006年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年份负相关．（4）等比数列｛a n ｝满足a 1=3，135a a a ++ =21，则357a a a ++= ( )（A ）21 （B ）42 （C ）63 （D ）84 【答案】B（5）设函数211log (2),1,()2,1,x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩,2(2)(log 12)f f -+=( )（A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）12 【答案】C【解析】由已知得2(2)1log 43f -=+=，又2log 121>，所以22log 121log 62(log 12)226f -===，故2(2)(log 12)9f f -+=．（6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（A ）81 （B ）71 （C ）61 （D ）51 【答案】D【解析】由三视图得，在正方体1111ABCD A B C D -中，截去四面体111A A B D -，如图所示，，设正方体棱长为a ，则11133111326A A B D V a a -=⨯=，故剩余几何体体积为3331566a a a -=，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为51．CBADD 1C 1B 1A 1（7）过三点A （1,3），B （4,2），C （1,-7）的圆交于y 轴于M 、N 两点，则MN =（A ）26 （B ）8（C ）46 （D ）10 【答案】C（8）右边程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。

2015年全国卷2(理科数学)含答案

绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国Ⅱ卷）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1) 已知集合A=｛-2，-1，0，2｝，B=｛x|（x-1）（x+2）＜0｝，则A∩B=【A】（A）｛-1，0｝（B）｛0，1｝（C）｛-1，0，1｝（D）｛0，1，2｝(2) 若a为实数且（2+ai）（a-2i）=-4i,则a=【B】（A）-1 （B）0 （C）1 （D）2(3) 根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论不正确的是【D】（A）逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著.（B）2007年我国治理二氧化硫排放显现成效.（C）2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势.（D）2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关.（4）等比数列｛a n ｝满足a 1=3，a 1+ a 3+ a 5=21，则a 3+ a 5+ a 7 =【B 】（A ）21 （B ）42 （C ）63 （D ）84（5）设函数则【C 】（A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）12（6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为【D 】（A ）（B ）（C ）（D ）（7）过三点A （1,3），B （4,2），C （1,-7）的圆交于y 轴于M 、N 两点，则=【C 】（A ）2 （B ）8 （C ）4 （D ）10（8）右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入a ,b 分别为14,18，则输出的a =【B 】（A ）0 （B ）2 （C ）4（D ）14（9）已知A ,B 是球O 的球面上两点，∠AOB =90°，C 为该球面上的动点，若三棱锥O -ABC 体积的最大值为36，则球O的表面积为【C 】A ．36πB .64πC .144πD .256π211log (2),1(),2,1x x x f x x -+-⎧=⎨≥⎩2(2)(og 12)f f l -+=81716151MN 66(10).如图，长方形ABCD 的边AB =2，BC =1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，∠BOP =x.将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f （x ），则f （x ）的图像大致为【B 】（11）已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为【D 】AB ．2C D （12）设函数是奇函数的导函数，，当x >0时，＜0，则使得f (x ) >0成立的x 的取值范围是【A 】 A ． B ． C ．D ．第Ⅱ卷二、填空题本大题共四个小题，每小题5分。

2015理科数学全国2卷(可编辑修改word版)

⎩2015 年高考理科数学试卷全国卷Ⅱ一、选择题：本大题共 12 道小题，每小题 5 分1．已知集合 A =｛- 2，-1, 0，1, 2｝， B = {x (x-1)(x + 2 < 0},则 A B = （）A ． A = {-1, 0}B ．{0,1}C ．{-1, 0,1}D ．{0,1, 2}2．若a 为实数且(2 + ai )(a - 2i ) = -4i ，则a = （）A. -1B. 0 C ．1 D ． 2 3. 根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。

以下结论不正确的是（）A ．逐年比较，2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著B ．2007 年我国治理二氧化硫排放显现C ．2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D ．2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4. 已知等比数列{a n } 满足 a 1=3，a 1 + a 3 + a 5 =21，则 a 3 + a 5 + a 7 = （）A ．21B ．42C ．63D ．845．设函数 f (x ) = ⎧1+ log 2 (2 - x ), x < 1,, f (-2) + f (log 12) = （）⎨2x -1, x ≥ 1, 2 A ．3 B ．6 C ．9 D ．126．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）1 1 1 1 A ．B ．C ．D ．87656653 7．过三点 A (1, 3) ， B (4, 2) ， C (1, -7) 的圆交 y 轴于 M ，N 两点，则| MN |= （）A ．2B ．8C ．4D ．108. 右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入 a , b 分别为 14,18，则输出的a = （）A ．0B ．2C ．4D ．149. 已知 A , B 是球 O 的球面上两点， ∠AOB = 90 , C 为该球面上的动点，若三棱锥O - ABC 体积的最大值为 36，则球O 的表面积为（）A ． 36 B. 64 C.144 D. 25610. 如图，长方形 ABCD 的边 AB = 2 ， BC = 1， O 是 AB 的中点，点 P 沿着边 BC ，CD 与 DA 运动，记∠BOP = x ．将动 P 到 A 、 B 两点距离之和表示为 x 的函数 f (x ) ，则 y = （）f (x ) 的图像大致为11. 已知 A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点 M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为 120°，则 E 的离心率为（）A ．B ． 2C ．D ．12. 设函数 f' (x ) 是奇函数f (x )(x ∈ R ) 的导函数， f (-1) = 0 ，当 x > 0 时，xf ' (x ) - f (x ) < 0 ，则使得 f (x ) > 0成立的x 的取值范围是（）2⎨ ⎩ A． (-∞, -1) (0,1) C ． (-∞, -1) (-1, 0)B． (-1, 0) (1, +∞) D ． (0,1) (1, +∞)二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13.设向量a ， b 不平行，向量a + b 与 a + 2b 平行，则实数=．⎧x - y +1 ≥ 0，14.若 x ，y 满足约束条件⎪x - 2 y ≤ 0, ，则 z = x + y 的最大值为．⎪x + 2 y - 2 ≤ 0,15. (a + x )(1+ x )4 的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32，则a =． 16. 设S n 是数列{a n } 的前n 项和，且 a 1 = -1 ， a n +1 = S n S n +1 ，则 S n = ．三、解答题17．（本题满分 12 分） ∆ABC 中， D 是 BC 上的点， AD 平分∠BAC ， ∆ABD 面积是 ∆ADC 面积的 2 倍． sin ∠B（Ⅰ）求；sin ∠C（Ⅱ）若 AD = 1 ， DC =2 ，求 BD 和 AC 的长．218．（本题满分 12 分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从 A ， B 两地区分别随机调查了 20 个用户，得到用户对产品的满意度评分如下： A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；E B 1D（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于 70 分 70 分到 89 分不低于 90 分满意度等级不满意满意非常满意记时间 C ：“A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级”．假设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求 C 的概率．19．（本题满分 12 分）如图，长方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中, AB =16 ， BC =10 ， AA 1 = 8 ，点 E ， F 分别在 A 1B 1 ， C 1D 1 上， A 1E = D 1F = 4 ．过点 E ， F 的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．D 1F C 1A 1CAB（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）；（Ⅱ）求直线 AF 与平面所成角的正弦值．20．（本题满分 12 分）已知椭圆C : 9x 2 + y 2 = m 2 (m > 0) ,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴， l 与C 有两个交点 A ， B ，线段 AB 的中点为 M ．（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（Ⅱ）若l 过点 m( , m ) 3，延长线段OM 与C 交于点 P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由．21．（本题满分 12 分）设函数 f (x ) = e mx + x 2 - mx ．（Ⅰ）证明： f (x ) 在(-∞, 0) 单调递减，在(0, +∞) 单调递增；（Ⅱ）若对于任意 x 1 , x 2 ∈[-1,1] ，都有 f (x 1 ) - f (x 2 ) ≤ e -1，求m 的取值范围．22．（本小题满分 10 分）选修 4—1：几何证明选讲如图， O 为等腰三角形 ABC 内一点，圆O 与∆ABC 的底边 BC 交于 M 、 N 两点与底边上的高 AD 交于点G ，与 AB 、 AC 分别相切于 E 、 F 两点．a b c d b c ⎨y = t sin ,AGEFOB MD NC（Ⅰ）证明： EF / / BC ；（Ⅱ）若 AG 等于 O 的半径，且 AE = MN =2，求四边形 EBCF 的面积．23．（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xoy 中，曲线C 1 : ⎧x = t cos ,（ t 为参数， t ≠ 0 ），其中0 ≤< ，在 ⎩以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 2 : = 2 sin ，曲线C 3 : = 2 3 cos．（Ⅰ）．求C 2 与C 1 交点的直角坐标；（Ⅱ）．若C 2 与C 1 相交于点 A ， C 3 与C 1 相交于点 B ，求 AB 的最大值．24．（本小题满分 10 分）选修 4-5 不等式选讲设a ,b ,c ,d 均为正数，且 a + b = c + d ，证明：（Ⅰ）若 ab > cd ，则 + > + ；（Ⅱ） + > + 是 a - b < c - d 的充要条件．3 a d2 2参考答案1．A【解析】由已知得 B = {x - 2 < x < 1}，故 A B = {-1, 0} ，故选 A ．考点：集合的运算． 2．B【解析】由已知得4a + (a 2 - 4)i = -4i ，所以4a = 0, a 2 - 4 = -4 ，解得 a = 0 ，故选 B ．考点：复数的运算． 3．D【解析】由柱形图得，从 2006 年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年份负相关，故选 D ．考点：正、负相关． 4．B【解析】设等比数列公比为q ，则 a + a q 2 + a q 4 = 21，又因为 a = 3，所以 q 4 + q 2 - 6 = 0 ，1111解得 q 2 = 2 ，所以 a + a + a = (a + a + a )q 2 = 42 ，故选 B ．357135考点：等比数列通项公式和性质． 5．C【解析】由已知得f (-2) = 1+ log 2 4 = 3 ，又 log 2 12 > 1，所以f (log 12) = 2log 2 12-1= 2log 2 6 = 6 ，故 f (-2) + f (log 12) = 9 ，故选 C ．考点：分段函数． 6．D【解析】由三视图得，在正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中，截去四面体 A - A 1B 1D 1 ，如图所示，，设正方体棱长为aD 1C 1，则VA - A 1B 1D 1= 1 ⨯ 1 a 3 = 1 a 3，故剩余几何体体积为 A 1B 13 2 6Da 3 - 1 a 3 = 5 a 3 ，所以截去部分体积与剩余部分体积C6 61的比值为，故选 D ．5考点：三视图．AB7．C【解析】由已知得 k3 - 21 = = - ， k= 2 + 7 = -3 ，所以 k k = -1 ，所以 AB ⊥ CB AB 1- 4 3 CB 4 -1AB CB，即 ∆ABC 为直角三角形，其外接圆圆心为 (1, -2) ，半径为 5 ，所以外接圆方程为(x -1)2 + ( y + 2)2 = 25 ，令 x = 0 ，得 y = ±2 - 2 ，所以 MN = 4 ，故选 C ．6 6( 1 tan x -1)2 +1 , x - = > > 考点：圆的方程． 8．B【解析】程序在执行过程中， a ， b 的值依次为 a = 14 ， b = 18 ； b = 4 ； a = 10 ； a = 6 ； a = 2 ； b = 2 ，此时 a = b = 2 程序结束，输出a 的值为 2，故选 B ．考点：程序框图． 9．C【解析】如图所示，当点 C 位于垂直于面 AOB 的直径端点时，三棱锥O - ABC 的体积最大，设球O 的半径为 R ，此时V= V= 1 ⨯ 1 R 2 ⨯ R = 1R 3 = 36 ，故 R = 6 ，则球O O - ABCC - AOB的表面积为 S = 4R 2 = 144，故选 C ．3 2 6考点：外接球表面积和椎体的体积．C10．B【解析】由已知得，当点 P 在 BC 边上运动时，即0 ≤ x ≤ 时，4PA + PB = + tan x ；当点 P 在 CD 边上运动时，即 ≤ x ≤ 3≠ 时，4 4 2PA + PB = + ，当 x = 时， PA + PB = 2 2；当点 P在 AD 边上运动时，即 3≤ x ≤ 时， PA + PB = 4- tan x ，从点 P 的运动过程可以看出，轨迹关于直线 x = 对称，且 f ( ) > f ( ) ，且轨迹非线型，故选 B ．2 4 2考点：函数的图象和性质．11．Dx 2 【解析】设双曲线方程为 a 2 y 2b 21(a 0, b 0) ，如图所示， AB = BM ， ∠ABM = 1200 ，过点 M 作MN ⊥ x 轴，垂足为 N ，在 Rt ∆BMN 中， BN = a ，OABtan 2 x + 4 ( 1tan x +1)2 +1 2 tan 2 x + 4MN = 3 a ，故点 M 的坐标为 M (2a , 3a ) ，代入双曲线方程得 a 2 = b 2 = a 2 - c 2 ，即c 2 = 2a 2 ，所以e = ，故选 D ．考点：双曲线的标准方程和简单几何性质．12．A【解析】记函数g (x ) =f (x )，则 xg '(x ) =xf ' (x ) - f (x ) x 2，因为当x > 0 时，xf ' (x ) - f (x ) < 0 ，故当 x > 0 时， g ' (x ) < 0，所以 g (x ) 在(0, +∞) 单调递减；又因为函数f (x )(x ∈ R ) 是奇函数，故函数g (x ) 是偶函数，所以 g (x ) 在 (-∞, 0) 单调递减，且g (-1) = g (1) = 0 ．当0 < x < 1时， g (x ) > 0 ，则 f (x ) > 0 ；当 x < -1时， g (x ) < 0 ，则 f (x ) > 0 ，综上所述，使得 f (x ) > 0 成立的 x 的取值范围是(-∞, -1) (0,1) ，故选A ．考点：导数的应用、函数的图象与性质． 1 13．2⎧= k ，1【解析】因为向量考点：向量共线． 3 14．2a +b 与 a + 2b 平行，所以a + b = （k a + 2b ），则⎨ ⎩1 = 2k , 所以= ．2【解析】画出可行域，如图所示，将目标函数变形为 y = -x + z ，当 z 取到最大时，直线y = -x + z 的纵截距最大，故将直线尽可能地向上平移到1D (1, ) 2 ，则 z = x + y 的最大值为 3 ． 2考点：线性规划．15． 3 【解析】试题分析：由已知得(1+ x )4 = 1+ 4x + 6x 2 + 4x 3 + x 4 ，故(a + x )(1+ x )4 的展开式中 x 的奇数次幂项分别为 4ax ， 4ax 3 ， x ， 6x 3 ， x 5 ，其系数之和为 4a + 4a +1+6+1=32 ，解得2 4 y 32 B1Dx–4–3–2–1O–1 1234C–2–3–4a = 3 ．考点：二项式定理．1 16． -n11 【解析】由已知得 a n +1 = S n +1 - S n = S n +1 ⋅ S n ，两边同时除以 S n +1 ⋅ S n ，得 S-n +1S n= -1，⎧ 1 ⎫ 1故数列 ⎨ ⎩ 1 ⎬ 是以 -1为首项， -1为公差的等差数列，则 n ⎭= -1- (n -1) = -n ，所以n S n = - n．考点：等差数列和递推关系．1 117. 【解析】（Ⅰ） S ∆ABD = 2 AB ⋅ AD sin ∠BAD ， S ∆ADC = 2AC ⋅ AD sin ∠CAD ，因为S = 2S， ∠BAD = ∠CAD ，所以 AB = 2 A C ．由正弦定理可得 sin ∠B = AC = 1∆ABD．∆ADCsin ∠C AB 2（Ⅱ）因为 S ∆ABD : S ∆ADC = BD : DC ，所以 BD = 理得．在∆ABD 和∆ADC 中，由余弦定AB 2 = AD 2 + BD 2 - 2 AD ⋅ BD cos ∠ADB ， AC 2 = AD 2 + DC 2 - 2 AD ⋅ DC cos ∠ADC．AB 2 + 2 AC 2 = 3AD 2 + BD 2 + 2DC 2 = 6 ．由（Ⅰ）知 AB = 2 AC ，所以 AC = 1 ．18. 【解析】（Ⅰ）两地区用户满意度评分的茎叶图如下通过茎叶图可以看出，A 地区用户满意度评分的平均值高于 B 地区用户满意度评分的平均值； A 地区用户满意度评分比较集中，B 地区用户满意度评分比较分散．2 S SEH 2 - EM 2 A 2 B 1 B 2⨯ ⨯ = DA = ⎩ ⋅（Ⅱ）记C A 1 表示事件：“A 地区用户满意度等级为满意或非常满意”；C A 2 表示事件：“A 地区用户满意度等级为非常满意”；C B 1 表示事件：“B 地区用户满意度等级为不满意”；C B 2 表示事件：“B 地区用户满意度等级为满意”．则C A 1 与C B 1 独立， C A 2 与C B 2 独立， C B 1 与C B 2 互斥， C = C B 1C A 1 C B 2C A 2 ．P (C ) = P (C B 1C A 1 C B 2C A 2 ) = P (C B 1C A 1 ) + P (C B 2C A 2 )= P (C B 1 )P (C A 1 ) + P (C B 2 )P (C A 2 ) ．由所给数据得C A 1 ， C A 2 ， C B 1 ， C B 2 发生的概164 10 8 率分别为20，20，20，20．故 P (C A 1 )16 = ， 20P (C )= 4 ， P (C )= 10 ， P (C ) = 820 20 20 10 16 8 4，故 P (C )= + 0.48 ．20 20 20 2019. 【解析】（Ⅰ）交线围成的正方形 EHGF如图：（ Ⅱ ）作 EM ⊥ AB ，垂足为 M ，则AM = A 1E = 4 ， EM = AA 1 = 8 ，因为EHGF 为正方形，所以 EH = EF = BC = 10 ．于是 MH = = 6 ，所以AH = 10 ．以 D 为坐标原点，的方向为 x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D - xyz ，则 A (10, 0, 0) ，H (10,10, 0) ， E (10, 4,8) ，F (0, 4,8) ， ⎧FE (10, 0, 0) ，HE = (0, -6,8) ．设 n = (x , y , z ) 是平面 EHGF 的法向量，则⎪n ⋅ FE = 0, 即⎧10x = 0,⎨ ⎪⎩n ⋅ HE = 0,⎨-6 y + 8z = 0, n ⋅ AF 4 5所以可取 n = (0, 4, 3) ．又 AF = (-10, 4,8) ，故 cos < n , AF > =线 AF 与平面所成角的正弦值为4 5 ．15= n AF ．所以直D 1 F C 1A 1E B 1 CAM HBG D157 7 9 OM20．【解析】（Ⅰ）设直线l : y = kx + b (k ≠ 0, b ≠ 0) ， A (x 1 , y 1 ) ， B (x 2 , y 2 ) ， M (x M , y M ) ．将 y = kx + b 代入9x 2 + y 2 = m 2 得 (k 2 + 9)x 2 + 2kbx + b 2 - m 2 = 0 ，故x =x 1 + x 2= - M2kb，k 2+ 9y = kx + b =9b ．于是直线OM 的斜率 k= y M= - ，即 k⋅ k = -9 ．所以直MMk 2+ 9x k M线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值．（Ⅱ）四边形OAPB 能为平行四边形．因为直线l 过点 m( , m ) 3，所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是 k > 0 ， k ≠ 3 ．9 ⎧ y = - 9 x , 由（ Ⅰ ）得 OM 的方程为 y = - k x ．设点 P 的横坐标为 x P ⎪．由 ⎨ k得2k 2m2±km m ⎪⎩9x 2 + y 2 = m 2 ,m (3 - k ) x P= 9k 2 + 81 ，即 x P = ．将点( , m ) 的坐标代入直线l 的方程得b = ，3 k 2 + 93 3 因此 x M =mk (k - 3) ．四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段 AB 与线段OP 互相平分，3(k 2 + 9)±km即 x P = 2x M ．于是=3 k 2+ 92 ⨯ mk (k - 3) ．解得 k = 4 - ， k = 4 + ．因为 k > 0, k ≠3 ， i = 1 ， 2 ，所以当l3(k 2 + 9) 1 2 i i的斜率为4 - 或4 + 时，四边形OAPB 为平行四边形．21．【解析】（Ⅰ） f ' (x ) = m (e mx -1) + 2x ．若 m ≥ 0 ，则当 x ∈(-∞, 0) 时， e mx -1 ≤ 0 ， f ' (x ) < 0；当 x ∈(0, +∞) 时， e mx-1 ≥ 0 ，f ' (x ) > 0 ．若 m < 0 ，则当 x ∈(-∞, 0) 时， e mx -1 > 0 ， f ' (x ) < 0；当 x ∈(0, +∞) 时， e mx-1 < 0 ，f ' (x ) > 0 ．所以， f (x ) 在(-∞, 0) 单调递减，在(0, +∞) 单调递增．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，对任意的m ， f (x ) 在[-1, 0] 单调递减，在[0,1] 单调递增，故 f (x ) 在7 7 OM3 3 16 3⎩ ⎩10 3 2 1 22 3⎩x = 0 处取得最小值．所以对于任意x1, x2∈[-1,1] ，f (x1) -f (x2) ≤ e -1的充要条件是：⎧f (1) -f (0) ≤ e -1,⎨f (-1) -f (0) ≤ e -1,⎧⎪e m-m ≤ e -1,即⎨⎪e-m+m ≤ e -1,①，设函数g(t) = e t-t - e +1 ，则g ' (t) = e t-1 ．当t < 0 时，g ' (t) <0；当t >0 时，g ' (t) >0．故g(t) 在(-∞,0) 单调递减，在(0,+∞)单调递增．又g(1) = 0 ，g(-1) = e-1+ 2 -e < 0 ，故当t ∈[-1,1] 时，g(t) ≤ 0 ．当m ∈[-1,1] 时，g(m) ≤ 0 ，g(-m) ≤ 0 ，即①式成立．当m > 1时，由g(t) 的单调性，g(m) > 0 ，即e m-m > e -1 ；当m <-1时，g(-m) > 0 ，即e-m+m > e -1．综上，m 的取值范围是[-1,1] ．2.【解析】（Ⅰ）由于∆ABC 是等腰三角形，AD ⊥BC ，所以AD 是∠CAB 的平分线．又因为 O 分别与AB 、AC 相切于E 、F 两点，所以AE =AF ，故AD ⊥EF ．从而EF / / BC ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AE =AF , AD ⊥EF ，故AD 是EF 的垂直平分线，又EF 是 O 的弦，所以O 在AD 上．连接OE ，OM ，则OE ⊥AE ．由AG 等于 O 的半径得AO = 2OE ，所以∠OAE = 300．所以∆ABC 和∆AEF 都是等边三角形．因为AE = 2，OE = 2 ．，所以AO = 4 因为OM =OE = 2 ，DM =1MN =2，所以OD = 1 ．于是AD = 5 ，AB =10 33 ．所以四边形EBCF 的面积1⨯( ) ⨯-⨯(2 3) ⨯=．2 3 2 2 2 323.【解析】（Ⅰ）曲线C 的直角坐标方程为x2+y2- 2 y = 0 ，曲线C 的直角坐标方程为⎧⎧⎪x2+y2- 2 y = 0,x2+y2- 2 3x = 0 ．联立⎨ ⎪⎩x2+y2- 2 3x = 0,⎧x = 0,解得⎨y = 0,⎪x =或⎨⎪ 3,所以C2与C1 交⎪⎩y =2,33323 cb c d a b c d b c ab b c d3点的直角坐标为(0, 0) 和( , ) ．2 2（Ⅱ）曲线C 1 的极坐标方程为=(∈ R ,≠ 0) ，其中0 ≤< ．因此 A 得到极坐标为(2 s in ,) ， B 的极坐标为 (2 3 cos,) ．所以 AB = 2 sin - 2 3 cos= 4 s in(- 3，当=5时， AB 取得最大值，最大值为4 ．624.【解析】（Ⅰ）因为(+ b )2 = a + b + 2， (+ d )2 = c + d + 2 ，由题设a +b =c +d ， ab > cd ，得( + b )2 > ( + d )2 ．因此 + > + ．（Ⅱ）（ⅰ）若 a - b < c - d ，则(a - b )2 < (c - d )2 ．即(a + b )2 - 4ab < (c + d )2 - 4cd．因为 a + b = c + d ，所以 ab > cd ，由（Ⅰ）得 + > + ．（ ⅱ ）若 + > + ，则 ( + b )2 > (+ d )2 ，即 a + b + 2 >c +d + 2 ．因为 a + b = c + d ，所以 ab > cd ，于是 (a - b )2 = (a + b )2 - 4ab< (c + d )2 - 4cd = (c - d )2 ．因此 a - b < c - d ，综上， + > + 是a -b <c -d 的充要条件．a abcda c a a d a c cd a )。

(完整word版)(3)2015年(全国卷II)(含答案)高考理科数学,推荐文档

CA1A 2015年高考理科数学试卷全国卷Ⅱ(3)参考答案1．A【解析】由已知得{}21B x x =-<<，故{}1,0A B =-I ，故选A ．考点：集合的运算． 2．B【解析】由已知得24(4)4a a i i +-=-，所以240,44a a =-=-，解得0a =，故选B ．考点：复数的运算． 3．D【解析】由柱形图得，从2006年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年份负相关，故选D ．考点：正、负相关． 4．B【解析】设等比数列公比为q ，则2411121a a q a q ++=，又因为13a =，所以4260q q +-=，解得22q =，所以2357135()42a a a a a a q ++=++=，故选B ．考点：等比数列通项公式和性质． 5．C【解析】由已知得2(2)1log 43f -=+=，又2log 121>，所以22log 121log 62(log 12)226f -===，故2(2)(log 12)9f f -+=，故选C ．考点：分段函数． 6．D【解析】由三视图得，在正方体1111ABCD A B C D -中，截去四面体111A A B D -，如图所示，，设正方体棱长为a ，则11133111326A AB D V a a -=⨯=，故剩余几何体体积为3331566a a a -=，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为51，故选D ．考点：三视图． 7．C【解析】由已知得321143AB k -==--，27341CB k +==--，所以1AB CB k k =-，所以AB CB ⊥，即ABC ∆为直角三角形，其外接圆圆心为(1,2)-，半径为5，所以外接圆方程为22(1)(2)25x y -++=，令0x =，得2y =±，所以MN =C ．考点：圆的方程．8．B【解析】程序在执行过程中，a ，b 的值依次为14a =，18b =；4b =；10a =；6a =；2a =；2b =，此时2a b ==程序结束，输出a 的值为2，故选B ．考点：程序框图． 9．C【解析】如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最大，设球O 的半径为R ，此时2311136326O ABC C AOB V V R R R --==⨯⨯==，故6R =，则球O 的表面积为24144S R ππ==，故选C ．考点：外接球表面积和椎体的体积．10．B【解析】由已知得，当点P 在BC 边上运动时，即04x π≤≤时，tan PA PB x +=；当点P 在CD 边上运动时，即3,442x x πππ≤≤≠时，PA PB +=，当2xπ=时，PA PB +=当点P 在AD 边上运动时，即34x ππ≤≤时，tan PA PB x +=，从点P 的运动过程可以看出，轨迹关于直线2x π=对称，且()()42f f ππ>，且轨迹非线型，故选B ．考点：函数的图象和性质．【解析】设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，如图所示，AB BM =，0120ABM ∠=，过点M 作MN x ⊥轴，垂足为N ，在Rt BMN ∆中，BN a =，3MN a =，故点M 的坐标为(2,3)M a a ，代入双曲线方程得2222a b a c ==-，即222c a =，所以2e =，故选D ．考点：双曲线的标准方程和简单几何性质．12．A【解析】记函数()()f x g x x =，则''2()()()xf x f x g x x -=，因为当0x >时，'()()0xf x f x -<，故当0x >时，'()0g x <，所以()g x 在(0,)+∞单调递减；又因为函数()()f x x R ∈是奇函数，故函数()g x 是偶函数，所以()g x 在(,0)-∞单调递减，且(1)(1)0g g -==．当01x <<时，()0g x >，则()0f x >；当1x <-时，()0g x <，则()0f x >，综上所述，使得()0f x >成立的x 的取值范围是(,1)(0,1)-∞-U ，故选A ．考点：导数的应用、函数的图象与性质． 13．12【解析】因为向量a b λ+r r 与2a b +r r平行，所以2a b k a b λ+=+r r r r （），则12,k k λ=⎧⎨=⎩，所以12λ=．考点：向量共线． 14．32【解析】画出可行域，如图所示，将目标函数变形为y x z =-+，当z 取到最大时，直线y x z =-+的纵截距最大，故将直线尽可能地向上平移到1(1,)2D ，则z x y =+的最大值为32．考点：线性规划．xy–1–2–3–41234–1–2–3–41234DCBO【解析】试题分析：由已知得4234(1)1464x x x x x +=++++，故4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项分别为4ax ，34ax ，x ，36x ，5x ，其系数之和为441+6+1=32a a ++，解得3a =．考点：二项式定理． 16．1n-【解析】由已知得111n n nn n a S S S S +++=-=⋅，两边同时除以1n n S S +⋅，得1111n nS S +=--，故数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1-为首项，1-为公差的等差数列，则11(1)n S n n =---=-，所以1n S n=-．考点：等差数列和递推关系． 17．【解析】（Ⅰ）1sin 2ABD S AB AD BAD ∆=⋅∠，1sin 2ADC S AC AD CAD ∆=⋅∠，因为2ABDADC S S ∆∆=，BAD CAD ∠=∠，所以2AB AC =．由正弦定理可得sin 1sin 2B AC C AB ∠==∠．（Ⅱ）因为::ABD ADC S S BD DC ∆∆=，所以2BD =．在ABD ∆和ADC ∆中，由余弦定理得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠，2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠． 222222326AB AC AD BD DC +=++=．由（Ⅰ）知2AB AC =，所以1AC =．18．【解析】（Ⅰ）两地区用户满意度评分的茎叶图如下通过茎叶图可以看出，A 地区用户满意度评分的平均值高于B 地区用户满意度评分的平均值；A 地区用户满意度评分比较集中，B 地区用户满意度评分比较分散．（Ⅱ）记1A C 表示事件：“A 地区用户满意度等级为满意或非常满意”；2A C 表示事件：“A 地区用户满意度等级为非常满意”； 1B C 表示事件：“B 地区用户满意度等级为不满意”； 2B C 表示事件：“B 地区用户满意度等级为满意”．则1A C 与1B C 独立，2A C 与2B C 独立，1B C 与2B C 互斥，1122B A B A C C C C C =U ．1122()()B A B A P C P C C C C =U 1122()()B A B A P C C P C C =+1122()()()()B A B A P C P C P C P C =+．由所给数据得1A C ，2A C ，1B C ，2B C 发生的概率分别为1620，420，1020，820．故1()A P C 16=20， 2()=A P C 420，1()=B P C 1020，2()B P C 8=20，故101684()=+0.4820202020P C ⨯⨯=．19．【解析】（Ⅰ）交线围成的正方形EHGF 如图：（Ⅱ）作EM AB ⊥，垂足为M ，则14AM A E ==，18EM AA ==，因为EHGF 为正方形，所以10EH EF BC ===．于是6MH ==，所以10AH =．以D为坐标原点，DA u u u r的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则(10,0,0)A ，(10,10,0)H ，(10,4,8)E ，(0,4,8)F ，(10,0,0)FE =u u u r ，(0,6,8)HE =-u u u r．设(,,)n x y z =r是平面EHGF 的法向量，则0,0,n FE n HE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r 即100,680,x y z =⎧⎨-+=⎩所以可取(0,4,3)n =r ．又(10,4,8)AF =-u u u r，故cos ,n AF n AF n AF ⋅<>==⋅r u u u r r u u u r r u u u r ．所以直线AF 与平面αA 1AB 1BD 1DC 1CFE HGM20．【解析】（Ⅰ）设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M M M x y ．将y kx b =+代入2229x y m +=得2222(9)20k x kbx b m +++-=，故12229M x x kbx k +==-+， 299M M by kx b k =+=+．于是直线OM 的斜率9M OM M y k x k ==-，即9OM k k ⋅=-．所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值．（Ⅱ）四边形OAPB 能为平行四边形．因为直线l 过点(,)3mm ，所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >，3k ≠．由（Ⅰ）得OM 的方程为9y x k =-．设点P 的横坐标为P x ．由2229,9,y x kx y m ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩得2222981Pk m x k =+，即P x =．将点(,)3m m 的坐标代入直线l 的方程得(3)3m k b -=，因此2(3)3(9)M mk k x k -=+．四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即2P M x x ==2(3)23(9)mk k k -⨯+．解得14k =24k =0,3i i k k >≠，1i =，2，所以当l的斜率为4-4+OAPB 为平行四边形． 21．【解析】（Ⅰ）'()(e1)2mxf x m x =-+．若0m ≥，则当(,0)x ∈-∞时，e 10mx -≤，'()0f x <；当(0,)x ∈+∞时，e 10mx -≥，'()0f x >．若0m <，则当(,0)x ∈-∞时，e 10mx ->，'()0f x <；当(0,)x ∈+∞时，e 10mx -<，'()0f x >．所以，()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，对任意的m ，()f x 在[1,0]-单调递减，在[0,1]单调递增，故()f x 在0x =处取得最小值．所以对于任意12,[1,1]x x ∈-，12()()e 1f x f x -≤-的充要条件是：(1)(0)e 1,(1)(0)e 1,f f f f -≤-⎧⎨--≤-⎩即e e 1,e e 1,m mm m -⎧-≤-⎪⎨+≤-⎪⎩①，设函数()e e 1t g t t =--+，则'()e 1t g t =-．当0t <时，'()0g t <；当0t >时，'()0g t >．故()g t 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增．又(1)0g =，1(1)e 2e 0g --=+-<，故当[1,1]t ∈-时，()0g t ≤．当[1,1]m ∈-时，()0g m ≤，()0g m -≤，即①式成立．当1m >时，由()g t 的单调性，()0g m >，即e e 1m m ->-；当1m <-时，()0g m ->，即e e 1m m -+>-．综上，m 的取值范围是[1,1]-．22．【解析】（Ⅰ）由于ABC ∆是等腰三角形，AD BC ⊥，所以AD 是CAB ∠的平分线．又因为O e 分别与AB 、AC 相切于E 、F 两点，所以AE AF =，故AD EF ⊥．从而//EF BC ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AE AF =,AD EF ⊥，故AD 是EF 的垂直平分线，又EF 是O e 的弦，所以O 在AD 上．连接OE ，OM ，则OE AE ⊥．由AG 等于O e 的半径得2AO OE =，所以030OAE ∠=．所以ABC ∆和AEF ∆都是等边三角形．因为23AE =，所以4AO =，2OE =．因为2OM OE ==，132DM MN ==，所以1OD =．于是5AD =，1033AB =．所以四边形EBCF 的面积221103313163()(23)232223⨯⨯-⨯⨯=．23．【解析】（Ⅰ）曲线2C 的直角坐标方程为2220x y y +-=，曲线3C 的直角坐标方程为2230x y x +-=．联立222220,230,x y y x y x ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩解得0,0,x y =⎧⎨=⎩或33,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以2C 与1C 交点的直角坐标为(0,0)和3)2．（Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为(,0)R θαρρ=∈≠，其中0απ≤<．因此A 得到极坐标为(2sin ,)αα，B 的极坐标为,)αα．所以2sin AB αα=-4in()3s πα=-，当56πα=时，AB 取得最大值，最大值为4．24．【解析】（Ⅰ）因为2a b =++2c d =++a b c d +=+，ab cd >，得22>>（Ⅱ）（ⅰ）若a b c d -<-，则22()()a b c d -<-．即22()4()4a b ab c d cd +-<+-．因为a b c d +=+，所以ab cd >>（ⅱ）若>，则22>，即a b ++>c d ++．因为a b c d +=+，所以ab cd >，于是22()()4a b a b ab -=+-2()4c d cd <+-2()c d =-．因此a b c d -<-，综上，>a b c d -<-的充要条件．。

2015年全国2卷(理数)

2015年全国2卷(理数)2015年普通高等学校招生全国统一考试课标全国Ⅱ理科数学注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2015课标全国Ⅱ,理1)已知集合A={-2,-1,0,1,2},B={x|(x-1)(x+2)<0},则A∩B=()A.{-1,0}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{0,1,2}答案:A解析:∵B={x|-2<x<1},∴A∩B={-1,0}.2.(2015课标全国Ⅱ,理2)若a为实数,且(2+a i)(a-2i)=-4i,则a=()A.-1B.0C.1D.2答案:B解析:∵(2+a i)(a-2i)=4a+(a2-4)i=-4i,∴{4a=0,a2−4=−4,解之得a=0.3.(2015课标全国Ⅱ,理3)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论中不正确的是()A.逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关解析:由柱形图知,2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势,故其排放量与年份负相关,故D 错误. 4.(2015课标全国Ⅱ,理4)已知等比数列{a n }满足a 1=3,a 1+a 3+a 5=21,则a 3+a 5+a 7=( ) A.21 B.42C.63D.84答案:B解析:由题意知a 1+a 3+a 5a 1=1+q 2+q 4=213=7,解得q 2=2(负值舍去).∴a 3+a 5+a 7=(a 1+a 3+a 5)q 2=21×2=42.5.(2015课标全国Ⅱ,理5)设函数f (x )={1+log 2(2−x),x <1,2x−1, x ≥1,则f (-2)+f (log 212)=( )A.3B.6C.9D.12答案:C解析:∵f (-2)=1+log 24=3,f (log 212)=2log 212−1=2log 21221=122=6,∴f (-2)+f (log 212)=9.6.(2015课标全国Ⅱ,理6)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( ) A.18 B.17C.16D.15答案:D解析:由题意知该正方体截去了一个三棱锥,如图所示,设正方体棱长为a ,则V 正方体=a 3,V 截去部分=16a 3,故截去部分体积与剩余部分体积的比值为16a 3∶56a 3=1∶5.7.(2015课标全国Ⅱ,理7)过三点A (1,3),B (4,2),C (1,-7)的圆交y 轴于M ,N 两点,则|MN|=( )A.2√6B.8C.4√6D.10解析:设圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,将点A ,B ,C 代入,得{D +3E +F +10=0,4D +2E +F +20=0,D −7E +F +50=0,解得{D =−2,E =4,F =−20.则圆的方程为x 2+y 2-2x+4y-20=0. 令x=0得y 2+4y-20=0,设M (0,y 1),N (0,y 2),则y 1,y 2是方程y 2+4y-20=0的两根,由根与系数的关系,得y 1+y 2=-4,y 1y 2=-20,故|MN|=|y 1-y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√16+80=4√6.8.(2015课标全国Ⅱ,理8)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入的a ,b 分别为14,18,则输出的a=( )A.0B.2C.4D.14答案:B解析:由程序框图,得(14,18)→(14,4)→(10,4)→(6,4)→(2,4)→(2,2),则输出的a=2.9.(2015课标全国Ⅱ,理9)已知A ,B 是球O 的球面上两点,∠AOB=90°,C 为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36,则球O 的表面积为( ) A.36π B.64πC.144πD.256π答案:C解析:由△AOB 面积确定,若三棱锥O-ABC 的底面OAB 的高最大,则其体积才最大.因为高最大为半径R ,所以V O-ABC =13×12R 2×R=36,解得R=6,故S球=4πR 2=144π.10.(2015课标全国Ⅱ,理10)如图,长方形ABCD 的边AB=2,BC=1,O 是AB 的中点.点P 沿着边BC ,CD 与DA 运动,记∠BOP=x.将动点P 到A ,B 两点距离之和表示为x 的函数f (x ),则y=f (x )的图像大致为( )答案:B解析:①当点P 在线段BC 上时,如图,x ∈[0,π4].PB=OB tan x=tan x ,PA=√PB 2+AB 2=√tan 2x +4, 所以f (x )=PB+PA=tan x+√tan 2x +4. 显然函数f (x )在[0,π4]内单调递增, 故f (0)≤f (x )≤f (π4),即2≤f (x )≤1+√5.②取线段CD 的中点E ,当点P 在线段CE 上时,x ∈(π4,π2).如图,过点P 作PH ⊥AB ,垂足为H. 则OH=1tanx ,BH=1-1tanx. 所以PB=√PH 2+BH 2=√12+(1−1tanx )2,PA=√PH 2+AH 2=√12+(1+1tanx )2.所以f (x )=PB+PA=√1+(1−1tanx)2+√1+(1+1tanx )2.所以f (x )在(π4,π2)上单调递减.③当点P 在点E 处,f (x )=PB+PA=2√2<1+√5.④当点P 在线段DE 上时,x ∈(π2,3π4).由图形的对称性可知,此时函数图像与当点P 在线段CE 上时的图像关于x=π2对称.⑤当点P 在线段DA 上时,x ∈[3π4,π]. 由图形的对称性可知,此时的函数图像与当点P 在线段BC 上时的图像关于x=π2对称. 综上选B .11.(2015课标全国Ⅱ,理11)已知A ,B 为双曲线E 的左、右顶点,点M 在E 上,△ABM 为等腰三角形,且顶角为120°,则E 的离心率为( ) A.√5 B.2C.√3D.√2答案:D解析:设双曲线的标准方程为x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0),点M 在右支上,如图所示,∠ABM=120°,过点M 向x 轴作垂线,垂足为N ,则∠MBN=60°.∵AB=BM=2a ,∴MN=2a sin 60°=√3a ,BN=2a cos 60°=a.∴点M 坐标为(2a ,√3a ),代入双曲线方程x 2a 2−y 2b 2=1,整理,得a 2b2=1,即b 2a 2=1.∴e 2=1+b 2a 2=2,∴e=√2.12.(2015课标全国Ⅱ,理12)设函数f'(x )是奇函数f (x )(x ∈R)的导函数,f (-1)=0,当x>0时,xf'(x )-f (x )<0,则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( ) A.(-∞,-1)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1,+∞) C.(-∞,-1)∪(-1,0) D.(0,1)∪(1,+∞)答案:A解析:当x>0时,令F (x )=f(x)x ,则F'(x )=xf′(x)−f(x)x 2<0,∴当x>0时,F (x )=f(x)x 为减函数. ∵f (x )为奇函数,且由f (-1)=0,得f (1)=0,故F (1)=0.在区间(0,1)上,F (x )>0;在(1,+∞)上,F (x )<0,即当0<x<1时,f (x )>0; 当x>1时,f (x )<0.又f (x )为奇函数,∴当x ∈(-∞,-1)时,f (x )>0; 当x ∈(-1,0)时,f (x )<0.综上可知,f (x )>0的解集为(-∞,-1)∪(0,1).故选A .第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(2015课标全国Ⅱ,理13)设向量a,b 不平行,向量λa +b 与a +2b 平行,则实数λ= . 答案:12解析:由题意知存在常数t ∈R,使λa +b =t (a +2b),得{λ=t,1=2t,解之得λ=12. 14.(2015课标全国Ⅱ,理14)若x ,y 满足约束条件{x −y +1≥0,x −2y ≤0,x +2y −2≤0,则z=x+y 的最大值为 .答案:32解析:由约束条件画出可行域,如图中的阴影部分所示.由可行域可知,目标函数z=x+y 过点B 取得最大值. 联立{x −2y =0,x +2y −2=0,得B (1,12). ∴z max =12+1=32.15.(2015课标全国Ⅱ,理15)(a+x )(1+x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32,则a= . 答案:3解析一:∵(1+x )4=x 4+C 43x 3+C 42x 2+C 41x+C 40x 0=x 4+4x 3+6x 2+4x+1,∴(a+x )(1+x )4的奇数次幂项的系数为4a+4a+1+6+1=32,∴a=3. 解析二:设(a+x )(1+x )4=b 0+b 1x+b 2x 2+b 3x 3+b 4x 4+b 5x 5.令x=1,得16(a+1)=b 0+b 1+b 2+b 3+b 4+b 5,①令x=-1,得0=b 0-b 1+b 2-b 3+b 4-b 5, ②由①-②,得16(a+1)=2(b 1+b 3+b 5). 即8(a+1)=32,解得a=3.16.(2015课标全国Ⅱ,理16)设S n 是数列{a n }的前n 项和,且a 1=-1,a n+1=S n S n+1,则S n = . 答案:-1n解析:由a n+1=S n+1-S n =S n S n+1,得1S n −1S n+1=1,即1S n+1−1S n =-1,则{1S n }为等差数列,首项为1S 1=-1,公差为d=-1,∴1S n=-n ,∴S n =-1n .三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅱ,理17)△ABC 中,D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC ,△ABD 面积是△ADC 面积的2倍. (1)求sin∠B sin∠C;(2)若AD=1,DC=√22,求BD 和AC 的长. 解:(1)S △ABD =12AB ·AD sin ∠BAD ,S △ADC =12AC ·AD sin ∠CAD. 因为S △ABD =2S △ADC ,∠BAD=∠CAD , 所以AB=2AC. 由正弦定理可得sin∠B sin∠C =AC AB =12. (2)因为S △ABD ∶S △ADC =BD ∶DC , 所以BD=√2.在△ABD 和△ADC 中,由余弦定理知 AB 2=AD 2+BD 2-2AD ·BD cos ∠ADB , AC 2=AD 2+DC 2-2AD ·DC cos ∠ADC. 故AB 2+2AC 2=3AD 2+BD 2+2DC 2=6. 由(1)知AB=2AC ,所以AC=1.18.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅱ,理18)某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B 两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下: A 地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B 地区:73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可);(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级:满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记事件C :“A 地区用户的满意度等级高于B 地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的评价结果相互独立.根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求C 的概率. 解:(1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下:通过茎叶图可以看出,A 地区用户满意度评分的平均值高于B 地区用户满意度评分的平均值;A 地区用户满意度评分比较集中,B 地区用户满意度评分比较分散.(2)记C A 1表示事件:“A 地区用户的满意度等级为满意或非常满意”; C A 2表示事件:“A 地区用户的满意度等级为非常满意”; C B 1表示事件:“B 地区用户的满意度等级为不满意”; C B 2表示事件:“B 地区用户的满意度等级为满意”,则C A 1与C B 1独立,C A 2与C B 2独立,C B 1与C B 2互斥,C=C B 1C A 1∪C B 2C A 2. P (C )=P (C B 1C A 1∪C B 2C A 2)=P (C B 1C A 1)+P (C B 2C A 2)=P (C B 1)P (C A 1)+P (C B 2)P (C A 2). 由所给数据得C A 1,C A 2,C B 1,C B 2发生的频率分别为1620,420,1020,820, 故P (C A 1)=1620,P (C A 2)=420,P (C B 1)=1020,P (C B 2)=820,P (C )=1020×1620+820×420=0.48.19.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅱ,理19)如图,长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=16,BC=10,AA 1=8,点E ,F 分别在A 1B 1,D 1C 1上,A 1E=D 1F=4,过点E ,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由); (2)求直线AF 与平面α所成角的正弦值. 解:(1)交线围成的正方形EHGF 如图:(2)作EM ⊥AB ,垂足为M , 则AM=A 1E=4,EM=AA 1=8.因为EHGF 为正方形,所以EH=EF=BC=10. 于是MH=√EH 2−EM 2=6,所以AH=10.以D 为坐标原点,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz , 则A (10,0,0),H (10,10,0),E (10,4,8),F (0,4,8),FE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(10,0,0),HE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-6,8). 设n =(x ,y ,z )是平面EHGF 的法向量, 则{n ·FE⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·HE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{10x =0,−6y +8z =0,所以可取n =(0,4,3). 又AF⃗⃗⃗⃗⃗ =(-10,4,8), 故|cos <n,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|n·AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n||AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4√515. 所以AF 与平面EHGF 所成角的正弦值为4√515.20.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅱ,理20)已知椭圆C :9x 2+y 2=m 2(m>0),直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 的中点为M. (1)证明:直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值; (2)若l 过点(m 3,m),延长线段OM 与C 交于点P ,四边形OAPB 能否为平行四边形?若能,求此时l 的斜率;若不能,说明理由.解:(1)设直线l :y=kx+b (k ≠0,b ≠0),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x M ,y M ).将y=kx+b 代入9x 2+y 2=m 2得(k 2+9)x 2+2kbx+b 2-m 2=0,故x M =x 1+x 22=−kb k 2+9,y M =kx M +b=9b k 2+9.于是直线OM 的斜率k OM =y M x M =-9k ,即k OM ·k=-9.所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值. (2)四边形OAPB 能为平行四边形. 因为直线l 过点(m 3,m), 所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是k>0,k ≠3.由(1)得OM 的方程为y=-9k x.设点P 的横坐标为x P .由{y =−9k x,9x 2+y 2=m 2得x P 2=k 2m 29k 2+81, 即x P =±km 3√k 2+9.将点(m 3,m)的坐标代入l 的方程得b=m(3−k)3, 因此x M =k(k−3)m 3(k 2+9). 四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分,即x P =2x M . 于是±km3√k 2+9=2×k(k−3)m 3(k 2+9), 解得k 1=4-√7,k 2=4+√7.因为k i >0,k i ≠3,i=1,2, 所以当l 的斜率为4-√7或4+√7时,四边形OAPB 为平行四边形.21.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅱ,理21)设函数f (x )=e mx +x 2-mx.(1)证明:f (x )在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增;(2)若对于任意x 1,x 2∈[-1,1],都有|f (x 1)-f (x 2)|≤e -1,求m 的取值范围.解:(1)f'(x )=m (e mx -1)+2x.若m ≥0,则当x ∈(-∞,0)时,e mx -1≤0,f'(x )<0;当x ∈(0,+∞)时,e mx -1≥0,f'(x )>0.若m<0,则当x ∈(-∞,0)时,e mx -1>0,f'(x )<0;当x ∈(0,+∞)时,e mx -1<0,f'(x )>0.所以,f (x )在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增.(2)由(1)知,对任意的m ,f (x )在[-1,0]单调递减,在[0,1]单调递增,故f (x )在x=0处取得最小值.所以对于任意x 1,x 2∈[-1,1],|f (x 1)-f (x 2)|≤e -1的充要条件是{f(1)−f(0)≤e −1,f(−1)−f(0)≤e −1,即{e m −m ≤e −1,e −m +m ≤e −1. ① 设函数g (t )=e t -t-e +1,则g'(t )=e t -1.当t<0时,g'(t )<0;当t>0时,g'(t )>0.故g (t )在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增.又g (1)=0,g (-1)=e -1+2-e <0,故当t ∈[-1,1]时,g (t )≤0.当m ∈[-1,1]时,g (m )≤0,g (-m )≤0,即①式成立;当m>1时,由g (t )的单调性,g (m )>0,即e m -m>e -1;当m<-1时,g (-m )>0,即e -m +m>e -1.综上,m 的取值范围是[-1,1].请考生在第22、23、24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分,做答时请写清题号.22.(本小题满分10分)(2015课标全国Ⅱ,理22)选修4—1:几何证明选讲如图,O 为等腰三角形ABC 内一点,☉O 与△ABC 的底边BC 交于M ,N 两点,与底边上的高AD 交于点G ,且与AB ,AC 分别相切于E ,F 两点.(1)证明:EF ∥BC ;(2)若AG 等于☉O 的半径,且AE=MN=2√3,求四边形EBCF 的面积.解:(1)由于△ABC 是等腰三角形,AD ⊥BC ,所以AD 是∠CAB 的平分线.又因为☉O 分别与AB ,AC 相切于点E ,F ,所以AE=AF ,故AD ⊥EF.从而EF ∥BC.(2)由(1)知,AE=AF ,AD ⊥EF ,故AD 是EF 的垂直平分线.又EF 为☉O 的弦,所以O 在AD 上.连结OE ,OM ,则OE ⊥AE.由AG 等于☉O 的半径得AO=2OE ,所以∠OAE=30°.因此△ABC 和△AEF 都是等边三角形.因为AE=2√3,所以AO=4,OE=2.因为OM=OE=2,DM=12MN=√3,所以OD=1.于是AD=5,AB=10√33. 所以四边形EBCF 的面积为12×(10√33)2×√32−12×(2√3)2×√32=16√33. 23.(本小题满分10分)(2015课标全国Ⅱ,理23)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线C 1:{x =tcosα,y =tsinα,(t 为参数,t ≠0),其中 0≤α<π.在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ=2sin θ,C 3:ρ=2√3cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标;(2)若C 1与C 2相交于点A ,C 1与C 3相交于点B ,求|AB|的最大值.解:(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2-2y=0,曲线C 3的直角坐标方程为x 2+y 2-2√3x=0.联立{x 2+y 2−2y =0,x 2+y 2−2√3x =0,解得{x =0,y =0,或{ x =√32,y =32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和(√32,32).(2)曲线C 1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其中0≤α<π.因此A 的极坐标为(2sin α,α),B 的极坐标为(2√3cos α,α).所以|AB|=|2sin α-2√3cos α|=4|sin (α−π3)|.当α=5π6时,|AB|取得最大值,最大值为4.24.(本小题满分10分)(2015课标全国Ⅱ,理24)选修4—5:不等式选讲设a ,b ,c ,d 均为正数,且a+b=c+d ,证明:(1)若ab>cd ,则√a +√b >√c +√d ;(2)√a +√b >√c +√d 是|a-b|<|c-d|的充要条件.解:(1)因为(√a +√b )2=a+b+2√ab ,(√c +√d )2=c+d+2√cd ,由题设a+b=c+d ,ab>cd 得(√a +√b )2>(√c +√d )2.因此√a +√b >√c +√d .(2)①若|a-b|<|c-d|,则(a-b )2<(c-d )2,即(a+b )2-4ab<(c+d )2-4cd.因为a+b=c+d ,所以ab>cd.由(1)得√a +√b >√c +√d .②若√a +√b >√c +√d ,则(√a +√b )2>(√c +√d )2,即a+b+2√ab >c+d+2√cd .因为a+b=c+d,所以ab>cd.于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2.因此|a-b|<|c-d|.综上,√a+√b>√c+√d是|a-b|<|c-d|的充要条件.。

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2015年普通高等学校招生全国统一考试（2全国Ⅱ卷）数学（文）试题一、选择题 ( 本大题共 12 题, 共计 60 分)1.已知集合A={}{}=<<=<<-B A x x B x x Y 则,30,21( ) A.( −1，3) B.( −1，0 ) C.(0，2) D.(2，3)2.若a 实数，且=+=++a i iai则,312( ) A.-4 B. -3 C. 3 D. 43.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是( )A.逐年比较，2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著；B.2007年我国治理二氧化碳排放显现成效；C.2006年以来我国二氧化碳排放量呈减少趋势；D.2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关。

4.已知向量=•+-=-=则（2),2,1(),1,0(( ) A. -1 B. 0 C. 1 D. 25.设{}项和，的前是等差数列n a S n n 若==++5531,3S a a a 则( )A. 5B. 7C. 9D. 116.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 ( )2700260025002400210020001900)A.81 B.71 C. 61D. 51 7.已知三点)32()30(),01(，，，，C B A ,则ABC ∆外接圆的圆心到原点的距离为( ) A. 35B. 321C. 352D. 348.右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。

执行该程序框图，若输入的a,b 分别为14,18，则输出的a 为( )A. 0B. 2C. 4D.149.已知等比数列{}=-==24531),1(4,41a a a a a a n 则满足( ) A. 2 B. 1 C. 21D. 8110.已知A,B 是球O 的球面上两点，为该球面上动点，C AOB ,90︒=∠若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )A. 36πB. 64πC. 144πD.256π11.如图，长方形的边AB=2，BC=1,O 是AB 的中点，点P 沿着边BC,CD,与DA 运动，记的图像大致为则数两点距离之和表示为函到将动点)(),(,,x f x f B A P x BOP =∠( )12.设函数的范围是成立的则使得x x f x f x x x f )12()(,11)1ln()(2->+-+= ( )A. )1,31(B. ),1()31,(+∞-∞YC. )31,31(-D. ),31()31,(+∞--∞Y二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分13.已知函数=-=a x ax x f ），则的图像过点（4,1-2)(3 。

2015年全国2卷数学试卷完美版

2015年高考理科数学全国2卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

（1）已知集合}2,1,0,1,2{-=A ，}0)2)(1/({<+-=x x x B ，则=⋂B A}0,1){(-A }1,0){(B }1,0,1){(-C }2,1,0){(D（2）若a 为实数且i i a ai 4)2)(2(-=-+则a =)(A -1 )(B 0 )(C 1 )(D 2（3）根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。

以下结论不正确的是)(A 逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 )(B 2007年我国治理二氧化硫排放显现)(C 2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势)(D 2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关（4）等比数列}{n a 满足,21,35311=++=a a a a ，则=++753a a a)(A 21 )(B 42 )(C 63 )(D 84（5）设函数⎩⎨⎧≥<-+=-1,2,1),2(log 1)(12x x x x f x 则=+-)12(log )2(2f f)(A 3 )(B 6 )(C 9 )(D 12（6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为)(A 81 )(B 71)(C 61 )(D 51（7）过三点A （1,3），B （4,2），C （1,7）的圆交于y 轴于M 、N 两点，则MN =)(A 26 )(B 8 )(C 46 )(D 10（8）右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。

执行该程序框图，若输入b a ,分别为14,18)(A 0 )(B 2 )(C 4 )(D 14（9）已知B A ,是球O 的球面上两点，C AOB ,90︒=∠为该球面上的动点，若三棱锥ABC O -体积的最大值为36，则球O 的表面积为)(A 36π )(B B.64π )(C 144π )(D 256π（10）如图，长方形ABCD 的边1,2==BC AB ,O 是AB 的中点，点P 沿着边CD BC ,与DA 运动，x BOP =∠，将动点P 到AB 两点距离之和表示为x 的函数)(x f ，则)(x f 的图像大致为Ox D C BA(D)(C)(B)(A)2xyO424π2xyO424π2xyO424ππ424Oyx2（11）已知B A ,为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，ABM ∆为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为)(A 5 )(B 2 )(C 3 )(D 2（12）设函数)('x f 是奇函数))((R x x f ∈的导函数，0)1(=-f ，当0>x 时，0)()(,<-x f x xf ，则使得0)(>x f 成立的x 的取值范围是)(A )1,0()1,(⋃--∞ )(B ),1()0,1(+∞⋃- )(C )0,1()1,(-⋃--∞ )(D ),1()1,0(+∞⋃二、填空题（13）设向量b a ,不平行，向量b a +λ与b a 2+平行，则实数=λ___________.（14）若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥+-,022,02,01y x y x y x ，则y x z +=的最大值为____________.（15）4)1)((x x a ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则=a __________. (16)n S 是数列}{n a 的前n 项和，且11-=a ，11+=+n n n S S a ，则n S =__________. 三．解答题（17）（本小题满分12分）ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD ∆是ADC ∆面积的2倍。