2015年高考数学全国卷2(超完美)
2015年高考全国新课标卷Ⅱ理科数学真题含答案解析(超完美版)
2015年高考全国新课标卷Ⅱ理科数学真题(青海;西藏;甘肃;贵州;内蒙古;新疆;宁夏;吉林;黑龙江;云南;辽宁;广西;海南)一、选择题1.已知集合A={-2,-1,0,1,2},B={X|(X-1)(X+2)<0},则AB=( ) A .{-1,0} B .{0,1} C .{-1,0,1} D .{0,1,2}2.若a 为实数,且(2+ai )(a-2i )= - 4i ,则a=( )A .-1B .0C .1D .23.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论中不正确的是( )A .逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B .2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C .2006年以来我国二氧化硫排放量呈减少趋势D .2006年以来我国二氧化硫排放量与年份正相关4.已知等比数列{a n } 满足a 1=3,a 1+a 3+a 5=21,则a 3+a 5+a 7=( )A .21B .42C .63D .845.设函数f (x )=f (x )={1+log 2,(2−x ),x <12x−1,x ≥1则f (-2)+f (log 212)=( )A .3B .6C .9D .12 6.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A .18B .17C .16D .157.过三点A (1,3),B (4,2),C (1,-7)的圆交y 轴于M ,N 两点,则IMNI=( )A .2√6B .8C .4√6D .108.下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。
执行该程序框图,若输入的a , b 分别为14 ,18,则输出的a=( )A .0B .2C .4D .149.已知A,B 是球O 的球面上两点,∠AOB=90o ,C 为该球上的动点,若三棱锥O-ABC 的体积最大值为36,则球O 的表面积为( )A .36πB .64πC .144πD .256π10.如图,长方形ABCD 的边2AB =,1BC =,O 是AB 的中点,点P 沿着边BC ,CD 与DA 运动,记BOP x ∠=,将动点P 到,A B 两点距离之和表示为x 的函数,则()y f x =的图像大致为( )A .B .C .D .11.已知A ,B 为双曲线E 的左,右顶点,点M 在E 上,△ABM 为等腰三角形,且顶角为120°,则E 的离心率为( )A B .2 C D 12.设函数f ’(x)是奇函数f(x)(x ∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,x f ’(x)- f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x 的取值范围是( )A .(−∞,-1)∪(0,1)B .(−1,0)∪(1,+∞)C .(−∞,-1)∪(-1,0)D .(0,1)∪(1,+∞)二、填空题13.设向量a,b 不平行,向量λ a+b 与a+2b 平行,则实数 λ =14.若x ,y 满足约束条件,则z=x+y 的最大值为 15.4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32,则a=16.设S n 是数列{a n }的前n 项和,且1111,n n n a a s s ++=-=,则S n =三、解答题17.△ABC 中,D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC ,△ABD 面积是△ADC 面积的2倍(I )求Csin B sin ∠∠ (II )若AD=1,DC=22,求BD 和AC 的长18.某公司为了了解用户对其产品的满意度,从A ,B 两地区分别随机抽查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下:A 地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B 地区:73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可)(Ⅱ)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级:记事件C :“A 地区用户的满意等级高于B 地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的评价结果互相独立。
2015年高考全国2卷文科数学试题(含解析)
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14.若x,y满足约束条件
2xy10
x2y10
,则z=2x+y的最大值为.
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(Ⅱ)若
C与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求
1
AB
最大值.
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请
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24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式证明选讲
设a,b,c,d均为正数,且abcd.证明:
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2015年全国统一高考(理科)数学试卷2
93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
• (1)根据两组数据完成两地区用户满意 度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地 区满意度评分的平均值及分散程度(不要 求计算出具体值,给出结论即可);
• 【解答】解:如图所示,当点C位于垂直 于面AOB的直径端点时,三棱锥O﹣ABC 的体积最大,设球O的半径为R,此时 VO﹣ABC= VC﹣AOB=1/3×1/2×R^2×R=1/6 R^3=36, 故R=6,则球O的表面积为4πR2=144π,
• 故选:C.
二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)
(a2﹣4)i=﹣4i, • 4a=0,并且a2﹣4=﹣4, • 所以a=0; • 故选:B.
3.(5分)根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年 排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论中不正确的是 ()
A.逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效 C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
• 【分析】(1)根据茎叶图的画法,以及 有关茎叶图的知识,比较即可;
• 【解答】解:(1)两地区用户满意度评 分的茎叶图如下
• 通过茎叶图可以看出,A地区用户 满意评分的平均值高于B地区用户 满意评分的平均值;A地区用户满 意度评分比较集中,B地区用户满 意度评分比较分散;
19.(12分)如图,长方体ABCD﹣A1B1C1D1中, AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1, D1C1上,A1E=D1F=4,过点E,F的平面α与此 长方体的面相交,交线围成一个正方形.
2015年全国新课标2卷高考文科数学试题及答案
2015年全国新课标2卷高考文科数学试题及答案2015普通高等学校招生全国统一考试II卷文科数学第一卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 $A=x-1<x<2$,$B=x<x<3$,则 $A\cup B=$A。
$(-1,3)$ B。
$(-1,0)$ C。
$(0,2)$ D。
$(2,3)$2.若 $a$ 是实数,且 $\frac{2+ai}{1+i}=3+i$,则 $a=$A。
$-4$ B。
$-3$ C。
$3$ D。
$4$3.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论中不正确的是此处删除明显有问题的段落)4.已知向量 $a=(1,-1)$,$b=(-1,2)$,则 $(2a+b)\cdot a=$A。
$-1$ B。
$0$ C。
$1$ D。
$2$5.设 $S_n$ 是等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和。
若$a_1+a_3+a_5=3$,则 $S_5=$A。
$5$ B。
$7$ C。
$9$ D。
$11$6.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为A。
$\frac{1}{1111}$ B。
$\frac{1}{8576}$ C。
$\frac{2}{1254}$ D。
$\frac{1}{333}$7.已知三点 $A(1,-1)$,$B(2,3)$,$C(2,3)$,则 $\triangle ABC$ 外接圆的圆心到原点的距离为A。
$\sqrt{5}$ B。
$3$ C。
$2\sqrt{5}$ D。
$3\sqrt{2}$8.右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。
执行该程序框图,若输入的$a,b$ 分别为14,18,则输出的 $a$ 为开始输入a,ba>b是a≠b 否输出a是否结束a=a-b b=b-aA。
2015年高考文科数学全国2卷(含详细解析)
绝密★启用前2015年高考全国2卷文科数学注意事项:1.本试卷分第I 卷(阅读题)和第Ⅱ卷(表达题)两部分。
答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.作答时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本大题共12道小题,每小题5分,共60分. 1.已知集合,,则( )A .B .C .D . 【答案】A考点:集合运算. 2. 若为实数,且,则( ) A . B . C . D . 【答案】D 【解析】试题分析:由题意可得 ,故选D. 考点:复数运算.3. 根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论中不正确的是( ){}|12A x x =-<<{}|03B x x =<<A B =()1,3-()1,0-()0,2()2,3a 2i3i 1ia +=++a =4-3-34()()2i 1i 3i 24i 4a a +=++=+⇒=A .逐年比较,2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著B .2007年我国治理二氧化碳排放显现成效C .2006年以来我国二氧化碳年排放量呈减少趋势D .2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关 【答案】 D 考点:柱形图4. 已知,,则( ) A . B . C . D . 【答案】C 【解析】试题分析:由题意可得 , 所以.故选C.考点:向量数量积.5. 设是等差数列的前项和,若,则( ) A . B . C . D . 【答案】A 【解析】试题解析:,.故选A. 考点:等差数列6. 一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )()1,1=-a ()1,2=-b (2)+⋅=a b a 1-01222=a 3,⋅=-a b ()222431+⋅=+⋅=-=a b a a a b n S {}n a n 1353a a a ++=5S =5791113533331a a a a a ++==⇒=()15535552a a S a +===【答案】D 【解析】试题分析:截去部分是正方体的一个角,其体积是正方体体积的,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为 ,故选D.考点:三视图7. 已知三点,则△外接圆的圆心到原点的距离为( )【答案】B考点:直线与圆的方程.8. 右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”,执行该程序框图,若输入的分别为14,18,则输出的为( )1A.81B.71C.61D.51615(1,0),A B C ABC 5A.33 C.34D.3,a b a A.0 B.2 C.4 D.14【答案】B 【解析】试题分析:由题意输出的a 是18,14的最大公约数2,故选B. 考点:1. 更相减损术;2.程序框图. 9.已知等比数列满足,,则( )【答案】C 【解析】试题分析:由题意可得,所以,故 ,选C.考点:等比数列.10. 已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为( )A. B. C. D. 【答案】C考点:球与几何体的切接.11. 如图,长方形的边AB =2,BC =1,O 是AB 的中点,点P 沿着边BC ,CD 与DA 运动,记{}n a 114a =()35441a a a =-2a =A.2 B.11C.21D.8()235444412a a a a a ==-⇒=34182a q q a ==⇒=2112a a q ==B A ,O ︒=∠90AOBC ABC O -O π36π64π144π256,将动点P 到A ,B 两点距离之和表示为x 的函数 ,则的图像大致为( )A .B .C .D .【答案】B考点:函数图像12. 设函数,则使得成立的的取值范围是( )A .B .C .D .【答案】A 【解析】试题分析:由可知是偶函数,且在是增函数,所以 .故选A.BOP x ∠=()f x 21()ln(1||)1f x x x =+-+()(21)f x f x >-x 1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭11,33⎛⎫-⎪⎝⎭11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21()ln(1||)1f x x x =+-+()f x [)0,+∞()()()()121212113f x f x f x f x x x x >-⇔>-⇔>-⇔<<考点:函数性质二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分13. 已知函数的图像过点(-1,4),则a = .【答案】-2 【解析】试题分析:由可得 .考点:函数解析式14. 若x ,y 满足约束条件 ,则z =2x +y 的最大值为 .【答案】8考点:线性规划15. 已知双曲线过点,且渐近线方程为,则该双曲线的标准方程为 .【答案】考点:双曲线几何性质16. 已知曲线在点 处的切线与曲线 相切,则()32f x ax x =-()32f x ax x =-()1242f a a -=-+=⇒=-50210210x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪-+≤⎩(12y x =±2214x y -=ln y x x =+()1,1()221y ax a x =+++a = . 【答案】8 【解析】试题分析:由可得曲线在点处的切线斜率为2,故切线方程为,与联立得,显然,所以由.考点:导数的几何意义. 三、解答题17(本小题满分12分)△ABC 中D 是BC 上的点,AD 平分BAC ,BD =2DC . (I )求;(II )若,求. 【答案】(I );.考点:解三角形试题解析:(I )由正弦定理得因为AD 平分BAC ,BD =2DC ,所以.(II )因为 所以 由(I )知, 11y x'=+ln y x x =+()1,121y x =-()221y ax a x =+++220ax ax ++=0a ≠2808a a a ∆=-=⇒=∠sin sin BC∠∠60BAC ∠=B ∠1230,,sin sin sin sin AD BD AD DCB BADC CAD==∠∠∠∠∠sin 1.sin 2B DC C BD ∠==∠()180,60,C BAC B BAC ∠=-∠+∠∠=()1sin sin sin .2C BAC B B B ∠=∠+∠=∠+∠2sin sin B C ∠=∠所以 考点:解三角形18. (本小题满分12分)某公司为了了解用户对其产品的满意度,从A ,B 两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对其产品的满意度的评分,得到A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频率分布表.A 地区用户满意度评分的频率分布直方图(I )在答题卡上作出B 地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度.(不要求计算出具体值,给出结论即可)B 地区用户满意度评分的频率分布直方图tan 30.B B ∠=∠=(II )根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级:估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由.【答案】(I )见试题解析(II )A 地区的用户的满意度等级为不满意的概率大. 考点:1.频率分布直方图;2.概率估计.19. (本小题满分12分)如图,长方体中AB =16,BC =10,,点E ,F 分别在 上,过点E ,F 的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(I )在图中画出这个正方形(不必说明画法与理由); (II )求平面把该长方体分成的两部分体积的比值. 【答案】(I )见试题解析(II )或1111ABCD A B C D -18AA =1111,A B D C 11 4.A E D F ==αα9779考点:1.几何体中的截面问题;2.几何体的体积20. (本小题满分12分)已知椭圆 的离心率为,点在C 上.(I )求C 的方程;(II )直线l 不经过原点O ,且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 中点为M ,证明:直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值.【答案】(I )(II )见试题解析()2222:10x y C a b a b+=>>2(2222184x y +=考点:直线与椭圆21. (本小题满分12分)已知.(I )讨论的单调性;(II )当有最大值,且最大值大于时,求a 的取值范围.【答案】(I ),在是单调递增;,在单调递增,在单调递减;(II ). 【解析】()()ln 1f x x a x =+-()f x ()f x 22a -0a ≤()f x ()0,+∞0a >()f x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()0,1考点:导数的应用.请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号22. (本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图O是等腰三角形AB C内一点,圆O与△ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点.(I )证明;(II )若AG 等于圆O 半径,且,求四边形EBCF 的面积.【答案】(I )见试题解析;(II考点:1.几何证明;2.四边形面积的计算.23. (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系中,曲线 (t 为参数,且 ),其中,在以O为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 (I )求与交点的直角坐标;(II )若与 相交于点A ,与相交于点B ,求最大值.EF BC AE MN ==xOy 1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩0t ≠0απ≤<23:2sin ,:.C C ρθρθ==2C 3C 1C 2C 1C 3C AB【答案】(I );(II )4. 【解析】 试题分析:(I )把与的方程化为直角坐标方程分别为,,联立解考点:参数方程、直角坐标及极坐标方程的互化.24. (本小题满分10分)选修4-5:不等式证明选讲设 均为正数,且.证明:(I )若 ,(II )的充要条件.【答案】【解析】 ()30,0,2⎫⎪⎪⎝⎭2C 3C 2220x y y +-=22230x y x +-=,,,a b c d a b c d +=+ab cd >>>a b c d -<-试题分析:(I )由及,可证明,开方即得(II )本小题可借助第一问的结论来证明,但要分必要性与充分性来证明.试题解析:解:(I )因为考点:不等式证明.a b c d+=+abcd>22>>22a b c d =++=++。
2015年高考全国卷2文科数学试题和答案解析
2015年高考全国卷2文科数学试题及答案(word精校版)含详细解析一、选择题:本大题共12道小题,每小题5分1.已知集合A={x|-l<x<2},B={x|0<x<3},则A B=A.(-1,3)B.(-1,0)C.(0,2)D.(2,3)【答案】A【解析】试题分析:因为彳={x|-l<x<2},3={x|0<x<3},所以火汕={*|一1<*<3}.故选人.考点:集合运算.【名师点睛】本题属基础题,主要考查数列的交集运算。
2.若为a实数,且?+=3+i,则a=1+iA.-4B.-3C.3D.4【答案】D【解析】试题分析:由题意可得2+tri=(l+i)(3+i)=2+4ina=4,故选D.考点:复数运算.【名师点睛】本题主要考查复数的乘除运算,及复数相等,难度不大,但要注意运算的准确性。
3.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论中不正确的是A.逐年比较,2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著B.2007年我国治理二氧化碳排放显现成效C.2006年以来我国二氧化碳年排放量呈减少趋势D.2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关【答案】D【解析】试题分析:由柱形图可知2006年以来,我国二氧化碳排放童基本成i走诚趋势,所以二氧化碳援放童与年份负相关,故选D.考点:柱形图【名师点睛】本题考查学生对柱形图的理解,要求学生能从图中读出有用信息,背景比较新颖。
4,己知«=(0,-1),*=(-1,2),贝i](2a+6)-a=A.-1B.0C.1D.2【答案】B【解析】试题分析:由题意可得«2=1,a b=-2,所以(2a+b)a=2a1+a b=2-2=0.考点:向量数量积。
【名师点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算,属于基础题。
5.设&是等差数列{%}的前"项和,若tZ]+O,+a5=3,则S5=A.5B.7C.9D.11【答案】A【解析】试题解析:%+%+%= 3% = 3 => % = 1,S)=---------= 5角=5.考点:等差数列【名师点睛】本题主要考查等差数列性质及前〃项和公式,具有小、巧、活的特点。
2015年度全国2卷(理数)
2015年普通高等学校招生全国统一考试课标全国Ⅱ理科数学注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2015课标全国Ⅱ,理1)已知集合A={-2,-1,0,1,2},B={x|(x-1)(x+2)<0},则A∩B=()A.{-1,0}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{0,1,2}答案:A解析:∵B={x|-2<x<1},∴A∩B={-1,0}.2.(2015课标全国Ⅱ,理2)若a为实数,且(2+a i)(a-2i)=-4i,则a=()A.-1B.0C.1D.2答案:B解析:∵(2+a i)(a-2i)=4a+(a2-4)i=-4i,∴{4a=0,解之得a=0.a2−4=−4,3.(2015课标全国Ⅱ,理3)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论中不正确的是()A.逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 答案:D解析:由柱形图知,2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势,故其排放量与年份负相关,故D 错误. 4.(2015课标全国Ⅱ,理4)已知等比数列{a n }满足a 1=3,a 1+a 3+a 5=21,则a 3+a 5+a 7=( ) A.21 B.42 C.63 D.84答案:B 解析:由题意知a 1+a 3+a 5a 1=1+q 2+q 4=213=7,解得q 2=2(负值舍去).∴a 3+a 5+a 7=(a 1+a 3+a 5)q 2=21×2=42.5.(2015课标全国Ⅱ,理5)设函数f (x )={1+log 2(2−x),x <1,2x−1, x ≥1,则f (-2)+f (log 212)=( )A.3B.6C.9D.12答案:C解析:∵f (-2)=1+log 24=3,f (log 212)=2log 212−1=2log 21221=122=6,∴f (-2)+f (log 212)=9.6.(2015课标全国Ⅱ,理6)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.18B.17C.16D.15答案:D解析:由题意知该正方体截去了一个三棱锥,如图所示,设正方体棱长为a ,则V 正方体=a 3,V 截去部分=16a 3,故截去部分体积与剩余部分体积的比值为16a 3∶56a 3=1∶5.7.(2015课标全国Ⅱ,理7)过三点A (1,3),B (4,2),C (1,-7)的圆交y 轴于M ,N 两点,则|MN|=( )A.2√6B.8C.4√6D.10答案:C解析:设圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,将点A ,B ,C 代入,得{D +3E +F +10=0,4D +2E +F +20=0,D −7E +F +50=0,解得{D =−2,E =4,F =−20.则圆的方程为x 2+y 2-2x+4y-20=0.令x=0得y2+4y-20=0,设M(0,y1),N(0,y2),则y1,y2是方程y2+4y-20=0的两根,由根与系数的关系,得y1+y2=-4,y1y2=-20,故|MN|=|y1-y2|=√(y1+y2)2−4y1y2=√16+80=4√6.8.(2015课标全国Ⅱ,理8)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入的a,b分别为14,18,则输出的a=()A.0B.2C.4D.14答案:B解析:由程序框图,得(14,18)→(14,4)→(10,4)→(6,4)→(2,4)→(2,2),则输出的a=2.9.(2015课标全国Ⅱ,理9)已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36,则球O的表面积为()A.36πB.64πC.144πD.256π答案:C解析:由△AOB面积确定,若三棱锥O-ABC的底面OAB的高最大,则其体积才最大.因为高最大为半径R,所以V O-ABC=13×12R2×R=36,解得R=6,故S球=4πR2=144π.10.(2015课标全国Ⅱ,理10)如图,长方形ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的中点.点P沿着边BC,CD与DA 运动,记∠BOP=x.将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数f(x),则y=f(x)的图像大致为()答案:B解析:①当点P在线段BC上时,如图,x∈[0,π4].PB=OB tan x=tan x ,PA=√PB 2+AB 2=√tan 2x +4, 所以f (x )=PB+PA=tan x+√tan 2x +4. 显然函数f (x )在[0,π4]内单调递增,故f (0)≤f (x )≤f (π4),即2≤f (x )≤1+√5.②取线段CD 的中点E ,当点P 在线段CE 上时,x ∈(π4,π2).如图,过点P 作PH ⊥AB ,垂足为H. 则OH=1tanx ,BH=1-1tanx.所以PB=√PH 2+BH 2=√12+(1−1tanx)2, PA=√PH 2+AH 2=√12+(1+1tanx )2. 所以f (x )=PB+PA=√1+(1−1tanx)2+√1+(1+1tanx)2.所以f (x )在(π4,π2)上单调递减.③当点P 在点E 处,f (x )=PB+PA=2√2<1+√5. ④当点P 在线段DE 上时,x ∈(π2,3π4).由图形的对称性可知,此时函数图像与当点P 在线段CE 上时的图像关于x=π2对称.⑤当点P 在线段DA 上时,x ∈[3π4,π].由图形的对称性可知,此时的函数图像与当点P 在线段BC 上时的图像关于x=π2对称.综上选B .11.(2015课标全国Ⅱ,理11)已知A ,B 为双曲线E 的左、右顶点,点M 在E 上,△ABM 为等腰三角形,且顶角为120°,则E 的离心率为( ) A.√5B.2C.√3D.√2答案:D解析:设双曲线的标准方程为x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0),点M 在右支上,如图所示,∠ABM=120°,过点M 向x 轴作垂线,垂足为N ,则∠MBN=60°.∵AB=BM=2a ,∴MN=2a sin 60°=√3a ,BN=2a cos 60°=a.∴点M 坐标为(2a ,√3a ),代入双曲线方程x 2a 2−y 2b2=1,整理,得a 2b2=1,即b2a 2=1.∴e2=1+b2a 2=2,∴e=√2.12.(2015课标全国Ⅱ,理12)设函数f'(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数,f (-1)=0,当x>0时,xf'(x )-f (x )<0,则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( ) A.(-∞,-1)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1,+∞) C.(-∞,-1)∪(-1,0) D.(0,1)∪(1,+∞)答案:A解析:当x>0时,令F (x )=f(x)x,则F'(x )=xf ′(x)−f(x)x 2<0,∴当x>0时,F (x )=f(x)x为减函数. ∵f (x )为奇函数,且由f (-1)=0,得f (1)=0,故F (1)=0. 在区间(0,1)上,F (x )>0;在(1,+∞)上,F (x )<0,即当0<x<1时,f (x )>0; 当x>1时,f (x )<0.又f (x )为奇函数,∴当x ∈(-∞,-1)时,f (x )>0; 当x ∈(-1,0)时,f (x )<0.综上可知,f (x )>0的解集为(-∞,-1)∪(0,1).故选A .第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(2015课标全国Ⅱ,理13)设向量a ,b 不平行,向量λa +b 与a +2b 平行,则实数λ= . 答案:12解析:由题意知存在常数t ∈R ,使λa +b =t (a +2b ),得{λ=t,1=2t,解之得λ=12.14.(2015课标全国Ⅱ,理14)若x ,y 满足约束条件{x −y +1≥0,x −2y ≤0,x +2y −2≤0,则z=x+y 的最大值为 .答案:32解析:由约束条件画出可行域,如图中的阴影部分所示.由可行域可知,目标函数z=x+y 过点B 取得最大值. 联立{x −2y =0,x +2y −2=0,得B (1,12).∴z max =12+1=32.15.(2015课标全国Ⅱ,理15)(a+x )(1+x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32,则a= . 答案:3解析一:∵(1+x )4=x 4+C 43x 3+C 42x 2+C 41x+C 40x 0=x 4+4x 3+6x 2+4x+1,∴(a+x )(1+x )4的奇数次幂项的系数为4a+4a+1+6+1=32,∴a=3. 解析二:设(a+x )(1+x )4=b 0+b 1x+b 2x 2+b 3x 3+b 4x 4+b 5x 5.令x=1,得16(a+1)=b 0+b 1+b 2+b 3+b 4+b 5, ① 令x=-1,得0=b 0-b 1+b 2-b 3+b 4-b 5, ②由①-②,得16(a+1)=2(b 1+b 3+b 5). 即8(a+1)=32,解得a=3.16.(2015课标全国Ⅱ,理16)设S n 是数列{a n }的前n 项和,且a 1=-1,a n+1=S n S n+1,则S n = . 答案:-1n解析:由a n+1=S n+1-S n =S n S n+1,得1S n−1S n+1=1,即1Sn+1−1S n =-1,则{1S n }为等差数列,首项为1S 1=-1,公差为d=-1,∴1S n=-n ,∴S n =-1n . 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅱ,理17)△ABC 中,D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC ,△ABD 面积是△ADC 面积的2倍. (1)求sin ∠B sin ∠C;(2)若AD=1,DC=√22,求BD 和AC 的长.解:(1)S △ABD =12AB ·AD sin ∠BAD ,S △ADC =12AC ·AD sin ∠CAD.因为S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD, 所以AB=2AC.由正弦定理可得sin∠Bsin∠C =ACAB=12.(2)因为S△ABD∶S△ADC=BD∶DC,所以BD=√2.在△ABD和△ADC中,由余弦定理知AB2=AD2+BD2-2AD·BD cos∠ADB,AC2=AD2+DC2-2AD·DC cos∠ADC.故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由(1)知AB=2AC,所以AC=1.18.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅱ,理18)某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下:A地区:6273819295857464537678869566977888827689B地区:7383625191465373648293486581745654766579(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可);(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级:记事件C:“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的评价结果相互独立.根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求C的概率.解:(1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下:通过茎叶图可以看出,A 地区用户满意度评分的平均值高于B 地区用户满意度评分的平均值;A 地区用户满意度评分比较集中,B 地区用户满意度评分比较分散.(2)记C A 1表示事件:“A 地区用户的满意度等级为满意或非常满意”;C A 2表示事件:“A 地区用户的满意度等级为非常满意”; C B 1表示事件:“B 地区用户的满意度等级为不满意”; C B 2表示事件:“B 地区用户的满意度等级为满意”,则C A 1与C B 1独立,C A 2与C B 2独立,C B 1与C B 2互斥,C=C B 1C A 1∪C B 2C A 2.P (C )=P (C B 1C A 1∪C B 2C A 2)=P (C B 1C A 1)+P (C B 2C A 2)=P (C B 1)P (C A 1)+P (C B 2)P (C A 2). 由所给数据得C A 1,C A 2,C B 1,C B 2发生的频率分别为1620,420,1020,820, 故P (C A 1)=1620,P (C A 2)=420,P (C B 1)=1020,P (C B 2)=820,P (C )=1020×1620+820×420=0.48.19.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅱ,理19)如图,长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=16,BC=10,AA 1=8,点E ,F 分别在A 1B 1,D 1C 1上,A 1E=D 1F=4,过点E ,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形. (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由); (2)求直线AF 与平面α所成角的正弦值. 解:(1)交线围成的正方形EHGF 如图:(2)作EM ⊥AB ,垂足为M , 则AM=A 1E=4,EM=AA 1=8.因为EHGF 为正方形,所以EH=EF=BC=10. 于是MH=√EH 2−EM 2=6,所以AH=10.以D 为坐标原点,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz , 则A (10,0,0),H (10,10,0),E (10,4,8),F (0,4,8),FE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(10,0,0),HE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-6,8). 设n =(x ,y ,z )是平面EHGF 的法向量, 则{n ·FE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·HE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{10x =0,−6y +8z =0,所以可取n =(0,4,3). 又AF⃗⃗⃗⃗⃗ =(-10,4,8), 故|cos <n ,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|n·AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||n||AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=4√515. 所以AF 与平面EHGF 所成角的正弦值为4√515.20.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅱ,理20)已知椭圆C :9x 2+y 2=m 2(m>0),直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 的中点为M. (1)证明:直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值;(2)若l 过点(m 3,m),延长线段OM 与C 交于点P ,四边形OAPB 能否为平行四边形?若能,求此时l 的斜率;若不能,说明理由.解:(1)设直线l :y=kx+b (k ≠0,b ≠0),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x M ,y M ).将y=kx+b 代入9x 2+y 2=m 2得(k 2+9)x 2+2kbx+b 2-m 2=0,故x M =x 1+x 22=−kbk 2+9,y M =kx M +b=9bk 2+9.于是直线OM 的斜率k OM =y M x M =-9k,即k OM ·k=-9. 所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值. (2)四边形OAPB 能为平行四边形. 因为直线l 过点(m3,m),所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是k>0,k ≠3. 由(1)得OM 的方程为y=-9kx. 设点P 的横坐标为x P .由{y =−9k x,9x 2+y 2=m 2得x P 2=k 2m 29k 2+81,即x P =3√k +9.将点(m 3,m)的坐标代入l 的方程得b=m(3−k)3, 因此x M =k(k−3)m 3(k 2+9).四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分,即x P =2x M . 于是3√k +9=2×k(k−3)m 3(k 2+9),解得k 1=4-√7,k 2=4+√7. 因为k i >0,k i ≠3,i=1,2,所以当l 的斜率为4-√7或4+√7时,四边形OAPB 为平行四边形. 21.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅱ,理21)设函数f (x )=e mx +x 2-mx. (1)证明:f (x )在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增;(2)若对于任意x 1,x 2∈[-1,1],都有|f (x 1)-f (x 2)|≤e -1,求m 的取值范围. 解:(1)f'(x )=m (e mx -1)+2x.若m ≥0,则当x ∈(-∞,0)时,e mx -1≤0,f'(x )<0; 当x ∈(0,+∞)时,e mx -1≥0,f'(x )>0.若m<0,则当x ∈(-∞,0)时,e mx -1>0,f'(x )<0; 当x ∈(0,+∞)时,e mx -1<0,f'(x )>0.所以,f (x )在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增.(2)由(1)知,对任意的m,f(x)在[-1,0]单调递减,在[0,1]单调递增,故f(x)在x=0处取得最小值.所以对于任意x1,x2∈[-1,1],|f(x1)-f(x2)|≤e-1的充要条件是{f(1)−f(0)≤e−1,f(−1)−f(0)≤e−1,①即{e m−m≤e−1,e−m+m≤e−1.设函数g(t)=e t-t-e+1,则g'(t)=e t-1.当t<0时,g'(t)<0;当t>0时,g'(t)>0.故g(t)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增.又g(1)=0,g(-1)=e-1+2-e<0,故当t∈[-1,1]时,g(t)≤0.当m∈[-1,1]时,g(m)≤0,g(-m)≤0,即①式成立;当m>1时,由g(t)的单调性,g(m)>0,即e m-m>e-1;当m<-1时,g(-m)>0,即e-m+m>e-1.综上,m的取值范围是[-1,1].请考生在第22、23、24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分,做答时请写清题号.22.(本小题满分10分)(2015课标全国Ⅱ,理22)选修4—1:几何证明选讲如图,O为等腰三角形ABC内一点,☉O与△ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高AD交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点.(1)证明:EF∥BC;(2)若AG等于☉O的半径,且AE=MN=2√3,求四边形EBCF的面积.解:(1)由于△ABC是等腰三角形,AD⊥BC,所以AD是∠CAB的平分线.又因为☉O分别与AB,AC相切于点E,F,所以AE=AF,故AD⊥EF.从而EF∥BC.(2)由(1)知,AE=AF,AD⊥EF,故AD是EF的垂直平分线.又EF为☉O的弦,所以O在AD上.连结OE,OM,则OE⊥AE.由AG等于☉O的半径得AO=2OE, 所以∠OAE=30°.因此△ABC和△AEF都是等边三角形.因为AE=2√3,所以AO=4,OE=2.因为OM=OE=2,DM=12MN=√3, 所以OD=1.于是AD=5,AB=10√33.所以四边形EBCF的面积为12×(10√33)2×√32−12×(2√3)2×√32=16√33.23.(本小题满分10分)(2015课标全国Ⅱ,理23)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,曲线C1:{x=tcosα,y=tsinα,(t为参数,t≠0),其中0≤α<π.在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=2sin θ,C3:ρ=2√3cos θ.(1)求C2与C3交点的直角坐标;(2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值.解:(1)曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,曲线C3的直角坐标方程为x2+y2-2√3x=0.联立{x 2+y2−2y=0,x2+y2−2√3x=0,解得{x=0,y=0,或{x=√32,y=32.所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和(√32,3 2 ).(2)曲线C1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其中0≤α<π.因此A的极坐标为(2sin α,α),B的极坐标为(2√3cos α,α).所以|AB|=|2sin α-2√3cos α|=4|sin(α−π3)|.当α=5π6时,|AB|取得最大值,最大值为4.24.(本小题满分10分)(2015课标全国Ⅱ,理24)选修4—5:不等式选讲设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明:(1)若ab>cd,则√a+√b>√c+√d;(2)√a+√b>√c+√d是|a-b|<|c-d|的充要条件.解:(1)因为(√a+√b)2=a+b+2√ab,(√c+√d)2=c+d+2√cd, 由题设a+b=c+d,ab>cd得(√a+√b)2>(√c+√d)2.因此√a+√b>√c+√d.(2)①若|a-b|<|c-d|,则(a-b)2<(c-d)2,即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd.因为a+b=c+d,所以ab>cd.由(1)得√a+√b>√c+√d.②若√a+√b>√c+√d,则(√a+√b)2>(√c+√d)2,即a+b+2√ab>c+d+2√cd.因为a+b=c+d,所以ab>cd.于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2.因此|a-b|<|c-d|.综上,√a+√b>√c+√d是|a-b|<|c-d|的充要条件.。
2015年普通高等学校招生全国统一考试 全国卷2 数学试卷含答案(理科)
2015年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅱ)理 数本卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={-2,-1,0,1,2},B={x|(x-1)(x+2)<0},则A∩B=( ) A.{-1,0}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{0,1,2}2.若a 为实数,且(2+ai)(a-2i)=-4i,则a=( ) A.-1B.0C.1D.23.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论中不正确的是( )A.逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4.已知等比数列{a n }满足a 1=3,a 1+a 3+a 5=21,则a 3+a 5+a 7=( ) A.21B.42C.63D.845.设函数f(x)={1+log 2(2-x ), x <1,2x -1,x ≥1,则f(-2)+f(log 212)=( )A.3B.6C.9D.126.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如图所示,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.18B.17C.16D.157.过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=( )A.2√6B.8C.4√6D.108.下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入的a,b分别为14,18,则输出的a=( )A.0B.2C.4D.149.已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为( )A.36πB.64πC.144πD.256π10.如图,长方形ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的中点.点P沿着边BC,CD与DA运动,记∠BOP=x.将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数f(x),则y=f(x)的图象大致为( )11.已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则E的离心率为( )A.√5B.2C.√3D.√212.设函数f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf'(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x 的取值范围是( ) A.(-∞,-1)∪(0,1)B.(-1,0)∪(1,+∞)C.(-∞,-1)∪(-1,0)D.(0,1)∪(1,+∞)第Ⅱ卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.设向量a,b 不平行,向量λa+b 与a+2b 平行,则实数λ= . 14.若x,y 满足约束条件{x -y +1≥0,x -2y ≤0,x +2y -2≤0,则z=x+y 的最大值为 .15.(a+x)(1+x)4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32,则a= . 16.设S n 是数列{a n }的前n 项和,且a 1=-1,a n+1=S n S n+1,则S n = .三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)△ABC 中,D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC,△ABD 面积是△ADC 面积的2倍. (Ⅰ)求sin∠Bsin∠C; (Ⅱ)若AD=1,DC=√22,求BD 和AC 的长.18.(本小题满分12分)某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下:A地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区: 73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79(Ⅰ)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可);A地区B地区456789(Ⅱ)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级:满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记事件C:“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的评价结果相互独立.根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求C的概率.19.(本小题满分12分)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4.过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);(Ⅱ)求直线AF与平面α所成角的正弦值.20.(本小题满分12分)已知椭圆C:9x2+y2=m2(m>0),直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.(Ⅰ)证明:直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值;,m),延长线段OM与C交于点P,四边形OAPB能否为平行四边形?若能,求此(Ⅱ)若l过点(m3时l的斜率;若不能,说明理由.21.(本小题满分12分)设函数f(x)=e mx+x2-mx.(Ⅰ)证明:f(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增;(Ⅱ)若对于任意x1,x2∈[-1,1],都有|f(x1)-f(x2)|≤e-1,求m的取值范围.请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,O为等腰三角形ABC内一点,☉O与△ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高AD交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点.(Ⅰ)证明:EF∥BC;(Ⅱ)若AG等于☉O的半径,且AE=MN=2√3,求四边形EBCF的面积.23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线C 1:{x =tcosα,y =tsinα(t 为参数,t≠0),其中0≤α<π.在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ=2sinθ,C 3:ρ=2√3cosθ. (Ⅰ)求C 2与C 3交点的直角坐标;(Ⅱ)若C 1与C 2相交于点A,C 1与C 3相交于点B,求|AB|的最大值.24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲 设a,b,c,d 均为正数,且a+b=c+d,证明: (Ⅰ)若ab>cd,则√a +√b >√c +√d ;(Ⅱ)√a +√b >√c +√d 是|a-b|<|c-d|的充要条件.2015年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅱ)一、选择题1.A 因为B={x|(x-1)(x+2)<0}={x|-2<x<1},A={-2,-1,0,1,2},故A ∩B={-1,0}.选A.2.B ∵(2+ai)(a -2i)=-4i ⇒4a+(a 2-4)i=-4i, ∴{4a =0,a 2-4=-4,解得a=0. 3.D 由柱形图可知:A 、B 、C 均正确,2006年以来我国二氧化硫年排放量在逐渐减少,所以排放量与年份负相关,∴D 不正确.4.B 设{a n }的公比为q,由a 1=3,a 1+a 3+a 5=21得1+q 2+q 4=7,解得q 2=2(负值舍去).∴a 3+a 5+a 7=a 1q 2+a 3q 2+a 5q 2=(a 1+a 3+a 5)q 2=21×2=42.5.C ∵-2<1,∴f(-2)=1+log 2[2-(-2)]=3;∵log 212>1, ∴f(log 212)=2log 212-1=2log 26=6.∴f(-2)+f(log 212)=9.6.D 如图,由已知条件可知,截去部分是以△ABC 为底面且三条侧棱两两垂直的正三棱锥D-ABC.设正方体的棱长为a,则截去部分的体积为16a 3,剩余部分的体积为a 3-16a 3=56a 3.它们的体积之比为15.故选D.评析 本题主要考查几何体的三视图和体积的计算,考查空间想象能力. 7.C 设圆心为P(a,b),由点A(1,3),C(1,-7)在圆上,知b=3-72=-2.再由|PA|=|PB|,得a=1.则P(1,-2),|PA|=√(1-1)2+(3+2)2=5,于是圆P 的方程为(x-1)2+(y+2)2=25.令x=0,得y=-2±2√6,则|MN|=|(-2+2√6)-(-2-2√6)|=4√6. 8.B 开始:a=14,b=18,第一次循环:a=14,b=4; 第二次循环:a=10,b=4; 第三次循环:a=6,b=4; 第四次循环:a=2,b=4; 第五次循环:a=2,b=2. 此时,a=b,退出循环,输出a=2.评析 熟悉“更相减损术”对理解框图所确定的算法有帮助. 9.C ∵S △OAB 是定值,且V O-ABC =V C-OAB ,∴当OC ⊥平面OAB 时,V C-OAB 最大,即V O-ABC 最大.设球O 的半径为R,则(V O-ABC )max =13×12R 2×R=16R 3=36,∴R=6,∴球O 的表面积S=4πR 2=4π×62=144π.评析 点C 是动点,如果以△ABC 为底面,则底面面积与高都是变量,因此转化成以△OAB 为底面(S △OAB 为定值),这样高越大,体积越大.10.B 当点P 与C 、D 重合时,易求得PA+PB=1+√5;当点P 为DC 的中点时,有OP ⊥AB,则x=π2,易求得PA+PB=2PA=2√2.显然1+√5>2√2,故当x=π2时, f(x)没有取到最大值,则C 、D 选项错误.当x ∈[0,π4)时, f(x)=tan x+√4+tan 2x ,不是一次函数,排除A,故选B.11.D 设双曲线E 的标准方程为x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0),则A(-a,0),B(a,0),不妨设点M 在第一象限内,则易得M(2a,√3a),又M 点在双曲线E 上,于是(2a)2a 2-(√3a)2b2=1,解得b 2=a 2,∴e=√1+b 2a 2=√2.12.A 令g(x)=f(x)x,则g'(x)=xf '(x)-f(x)x 2,由题意知,当x>0时,g'(x)<0,∴g(x)在(0,+∞)上是减函数.∵f(x)是奇函数, f(-1)=0,∴f(1)=-f(-1)=0, ∴g(1)=f(1)1=0,∴当x ∈(0,1)时,g(x)>0,从而f(x)>0; 当x ∈(1,+∞)时,g(x)<0,从而f(x)<0.又∵g(-x)=f(-x)-x=-f(x)-x=f(x)x=g(x),∴g(x)是偶函数,∴当x ∈(-∞,-1)时,g(x)<0,从而f(x)>0; 当x ∈(-1,0)时,g(x)>0,从而f(x)<0. 综上,所求x 的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1).评析 出现xf '(x)+f(x)>0(<0)时,考虑构造函数F(x)=xf(x),出现xf '(x)-f(x)>0(<0)时,考虑构造函数g(x)=f(x)x.二、填空题 13.答案12解析 由于a,b 不平行,所以可以以a,b 作为一组基底,于是λa+b 与a +2b 平行等价于λ1=12,即λ=12.14.答案32解析 作出可行域,如图:由z=x+y 得y=-x+z,当直线y=-x+z 过点A (1,12)时,z 取得最大值,z max =1+12=32.15.答案 3解析 设f(x)=(a+x)(1+x)4,则其所有项的系数和为f(1)=(a+1)·(1+1)4=(a+1)×16,又奇数次幂项的系数和为12[f(1)-f(-1)],∴12×(a+1)×16=32,∴a=3.评析 二项展开式问题中,涉及系数和的问题,通常采用赋值法. 16.答案 -1n解析∵a n+1=S n+1-S n,∴S n+1-S n=S n+1S n,又由a1=-1,知S n≠0,∴1S n -1S n+1=1,∴{1S n}是等差数列,且公差为-1,而1S1=1a1=-1,∴1S n=-1+(n-1)×(-1)=-n,∴S n=-1n.三、解答题17.解析(Ⅰ)S△ABD=12AB·ADsin∠BAD,S△ADC=12AC·ADsin∠CAD.因为S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD,所以AB=2AC.由正弦定理可得sin∠Bsin∠C =ACAB=12.(Ⅱ)因为S△ABD∶S△ADC=BD∶DC,所以BD=√2.在△ABD和△ADC中,由余弦定理知AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB,AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC.故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由(Ⅰ)知AB=2AC,所以AC=1.评析本题考查正弦定理,余弦定理的应用,以及三角形的面积公式.属常规题,中等偏易.18.解析(Ⅰ)两地区用户满意度评分的茎叶图如下:A地区B地区4 6 83 5 1 3 6 46 4 2 6 2 4 5 56 8 8 64 3 73 34 699 2 8 65 18 3 2 17 5 5 2 9 1 3通过茎叶图可以看出,A 地区用户满意度评分的平均值高于B 地区用户满意度评分的平均值;A 地区用户满意度评分比较集中,B 地区用户满意度评分比较分散.(Ⅱ)记C A1表示事件:“A 地区用户的满意度等级为满意或非常满意”;C A2表示事件:“A 地区用户的满意度等级为非常满意”;C B1表示事件:“B 地区用户的满意度等级为不满意”;C B2表示事件:“B 地区用户的满意度等级为满意”,则C A1与C B1独立,C A2与C B2独立,C B1与C B2互斥,C=C B1C A1∪C B2C A2.P(C)=P(C B1C A1∪C B2C A2)=P(C B1C A1)+P(C B2C A2)=P(C B1)P(C A1)+P(C B2)P(C A2).由所给数据得C A1,C A2,C B1,C B2发生的频率分别为1620,420,1020,820,故P(C A1)=1620,P(C A2)=420,P(C B1)=1020,P(C B2)=820,P(C)=1020×1620+820×420=0.48.19.解析 (Ⅰ)交线围成的正方形EHGF 如图:(Ⅱ)作EM ⊥AB,垂足为M,则AM=A 1E=4,EM=AA 1=8.因为EHGF 为正方形,所以EH=EF=BC=10.于是MH=√EH 2-EM 2=6,所以AH=10.以D 为坐标原点,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则A(10,0,0),H(10,10,0),E(10,4,8),F(0,4,8),FE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(10,0,0),HE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-6,8). 设n =(x,y,z)是平面EHGF 的法向量,则{n ·FE ⃗⃗⃗⃗ =0,n ·HE⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{10x =0,-6y +8z =0, 所以可取n =(0,4,3).又AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-10,4,8),故|cos<n ,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|n ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗||n||AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4√515. 所以AF 与平面EHGF 所成角的正弦值为4√515. 评析 本题背景常规,设问新颖,鼓励动手试验、创新尝试、独立思考.对空间想象力有较高要求.20.解析 (Ⅰ)设直线l:y=kx+b(k ≠0,b ≠0),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),M(x M ,y M ).将y=kx+b 代入9x 2+y 2=m 2得(k 2+9)x 2+2kbx+b 2-m 2=0,故x M =x 1+x 22=-kb k 2+9,y M =kx M +b=9b k 2+9.于是直线OM 的斜率k OM =y M x M =-9k ,即k OM ·k=-9.所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值.(Ⅱ)四边形OAPB 能为平行四边形.因为直线l 过点(m 3,m),所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是k>0,k ≠3. 由(Ⅰ)得OM 的方程为y=-9k x.设点P 的横坐标为x P .由{y =-9k x,9x 2+y 2=m 2得x P 2=k 2m 29k 2+81,即x P =3√k 2+9. 将点(m 3,m)的坐标代入l 的方程得b=m(3-k)3,因此x M =k(k -3)m 3(k 2+9). 四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分,即x P =2x M .于是3√k 2+9=2×k(k -3)m3(k 2+9),解得k 1=4-√7,k 2=4+√7. 因为k i >0,k i ≠3,i=1,2,所以当l 的斜率为4-√7或4+√7时,四边形OAPB 为平行四边形.评析 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系,设问常规,但对运算能力要求较高,考查学生的思维能力.21.解析 (Ⅰ)f '(x)=m(e mx -1)+2x.若m ≥0,则当x ∈(-∞,0)时,e mx -1≤0, f '(x)<0;当x ∈(0,+∞)时,e mx -1≥0, f '(x)>0.若m<0,则当x ∈(-∞,0)时,e mx -1>0, f '(x)<0;当x ∈(0,+∞)时,e mx -1<0, f '(x)>0.所以, f(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,对任意的m, f(x)在[-1,0]单调递减,在[0,1]单调递增,故f(x)在x=0处取得最小值.所以对于任意x 1,x 2∈[-1,1],|f(x 1)-f(x 2)|≤e-1的充要条件是{f(1)-f(0)≤e -1,f(-1)-f(0)≤e -1,即{e m -m ≤e -1,e -m +m ≤e -1.① 设函数g(t)=e t -t-e+1,则g'(t)=e t -1.当t<0时,g'(t)<0;当t>0时,g'(t)>0.故g(t)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增.又g(1)=0,g(-1)=e -1+2-e<0,故当t ∈[-1,1]时,g(t)≤0.当m ∈[-1,1]时,g(m)≤0,g(-m)≤0,即①式成立;当m>1时,由g(t)的单调性,g(m)>0,即e m -m>e-1;当m<-1时,g(-m)>0,即e -m +m>e-1.综上,m 的取值范围是[-1,1].22.解析 (Ⅰ)由于△ABC 是等腰三角形,AD ⊥BC,所以AD 是∠CAB 的平分线.又因为☉O 分别与AB,AC 相切于点E,F,所以AE=AF,故AD ⊥EF.从而EF ∥BC.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,AE=AF,AD ⊥EF,故AD 是EF 的垂直平分线.又EF 为☉O 的弦,所以O 在AD 上. 连结OE,OM,则OE ⊥AE.由AG 等于☉O 的半径得AO=2OE,所以∠OAE=30°.因此△ABC 和△AEF 都是等边三角形.因为AE=2√3,所以AO=4,OE=2.因为OM=OE=2,DM=12MN=√3,所以OD=1.于是AD=5,AB=10√33.所以四边形EBCF 的面积为12×(10√33)2×√32-12×(2√3)2×√32=16√33.23.解析 (Ⅰ)曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2-2y=0,曲线C 3的直角坐标方程为x 2+y 2-2√3x=0. 联立{x 2+y 2-2y =0,x 2+y 2-2√3x =0,解得{x =0,y =0,或{x =√32,y =32. 所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和(√32,32). (Ⅱ)曲线C 1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R ,ρ≠0),其中0≤α<π.因此A 的极坐标为(2sin α,α),B 的极坐标为(2√3cos α,α).所以|AB|=|2sin α-2√3cos α|=4|sin (α-π3)|.当α=5π6时,|AB|取得最大值,最大值为4.24.解析 (Ⅰ)因为(√a +√b )2=a+b+2√ab ,(√c +√d )2=c+d+2√cd ,由题设a+b=c+d,ab>cd得(√a+√b)2>(√c+√d)2. 因此√a+√b>√c+√d.(Ⅱ)(i)若|a-b|<|c-d|,则(a-b)2<(c-d)2,即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd.因为a+b=c+d,所以ab>cd.由(Ⅰ)得√a+√b>√c+√d.(ii)若√a+√b>√c+√d,则(√a+√b)2>(√c+√d)2,即a+b+2√ab>c+d+2√cd.因为a+b=c+d,所以ab>cd.于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2.因此|a-b|<|c-d|.综上,√a+√b>√c+√d是|a-b|<|c-d|的充要条件.。
2015高考数学全国2卷试题及答案(清晰版)
2015年普通高等学校招生全国统一考试试题及答案理科数学注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至5页。
2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效。
4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合{}21012,,,,--=A ,()(){}021<+-=x x x B ,则=B A A、{}0,1-B、{}1,0C、{}101,,-D、{}210,,2、若a 为实数,且()()i i a ai 422-=-+,则=a A、-1B、0C、1D、23、根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论中不正确的是A、逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最明显B、2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C、2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D、2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4、已知等比数列{}n a 满足31=a ,21531=++a a a ,则=++753a a aA、21B、42C、63D、845、设函数()()⎩⎨⎧-+=-1222log 1x x x f ,11≥<x x ,则()()=+-12log 22f f A、3B、6C、9D、126、一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如图所示,则截去部分体积与所剩部分体积的比值为A、81B、71C、61D、517、过三点()31,A ,()24,B ,()7,1-C 的圆与y 轴交于M 、N 两点,则=MN A、62B、8C、64D、108、右边程序框图的算法思路源于我国古代算术名著《九章算术》中的“更相减损术”,执行该程序框图,若输入的a ,b 分别为14,18,则输出的=a A、0B、2C、4D、149、已知A ,B 是球O 的球面上两点, 90=∠AOB ,C 为该球面上的动点。
2015年高考理科数学全国卷2-答案
2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷2)理科数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】A【解析】由已知得{|21}B x x =-<<,故,}10{AB -=,故选A .【提示】解一元二次不等式,求出集合B ,然后进行交集的运算即可. 【考点】集合的交集运算和一元二次方程求根. 2.【答案】B【解析】由已知得24+(4)i 4i a -=-,所以40a =,244a -=-,解得0a =,故选B .【提示】首先将坐标展开,然后利用复数相等解之. 【考点】复数的四则运算. 3.【答案】D【解析】解:A .从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明显减少,且减少的最多,故A 正确;B .2004~2006年二氧化硫排放量越来越多,从2007年开始二氧化硫排放量变少,故B 正确;C .从图中看出,2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少,故C 正确;D .2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少,而不是与年份正相关,故D 错误. 故选:D【提示】A .从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量减少的最多,故A 正确; B .从2007年开始二氧化硫排放量变少,故B 正确;C .从图中看出,2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少,故C 正确;D .2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少,与年份负相关,故D 错误. 【考点】柱形图信息的获得. 4.【答案】B【解析】设等比数列公比为q ,则24111++21a a q a q =,又因为13a =,所以42+60q q -=,解得22q =,所以2357135++(++)42a a a a a a q ==,故选B .【提示】由已知,13a =,135++21a a a =,利用等比数列的通项公式可求q ,然后在代入等比数列通项公式53261)(0,1),故选())f x x=为减函数,,0)(0,+)∞上的偶函数,根据函数0等价于x g【解析】(Ⅰ)两地区用户满意度评分的茎叶图如下:122B A C C ,12212))+()B A A B C C P C 1,2A C ,C 108【解析】(Ⅰ)交线围成的正方形EHGF 如图:uuu r 即可求出法向量n,AF。
2015年高考全国卷2理科数学试题及答案解析(word精校版)
2015年高考全国卷2理科数学试题及答案解析(word 精校版)注意事项:1.本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。
答卷前,考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。
2.回答第I 卷时,选出每小题的答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第II 卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1) 已知集合A={-2,-1,0,1,2},B={x|(X-1)(x+2)<0},则A∩B=( )(A ){--1,0} (B ){0,1} (C ){-1,0,1} (D ){,0,,1,2}【答案】A【解析】由已知得{}21B x x =-<<,故{}1,0AB =-,故选A(2)若a 为实数且(2+ai )(a-2i )=-4i,则a=( ) (A )-1 (B )0 (C )1 (D )2 【答案】B(3)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位:万吨)柱形图。
以下结论不正确的是( )(A ) 逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 (B ) 2007年我国治理二氧化硫排放显现(C ) 2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 (D ) 2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 【答案】D【解析】由柱形图得,从2006年以来,我国二氧化硫排放量呈下降趋势,故年排放量与年份负相关.(4)等比数列{a n }满足a 1=3,135a a a ++ =21,则357a a a ++= ( )(A )21 (B )42 (C )63 (D )84 【答案】B(5)设函数211log (2),1,()2,1,x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩,2(2)(log 12)f f -+=( )(A )3 (B )6 (C )9 (D )12 【答案】C【解析】由已知得2(2)1log 43f -=+=,又2log 121>,所以22log 121log 62(log 12)226f -===,故2(2)(log 12)9f f -+=.(6)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为(A )81 (B )71 (C )61 (D )51 【答案】D【解析】由三视图得,在正方体1111ABCD A B C D -中,截去四面体111A A B D -,如图所示,,设正方体棱长为a ,则11133111326A A B D V a a -=⨯=,故剩余几何体体积为3331566a a a -=,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为51.CBADD 1C 1B 1A 1(7)过三点A (1,3),B (4,2),C (1,-7)的圆交于y 轴于M 、N 两点,则MN =(A )26 (B )8(C )46 (D )10 【答案】C(8)右边程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。
2015年全国卷2(理科数学)含答案
绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(全国Ⅱ卷)注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至5页.2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效.4. 考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1) 已知集合A={-2,-1,0,2},B={x|(x-1)(x+2)<0},则A∩B=【A】(A){-1,0}(B){0,1}(C){-1,0,1}(D){0,1,2}(2) 若a为实数且(2+ai)(a-2i)=-4i,则a=【B】(A)-1 (B)0 (C)1 (D)2(3) 根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论不正确的是【D】(A)逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著.(B)2007年我国治理二氧化硫排放显现成效.(C)2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势.(D)2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关.(4)等比数列{a n }满足a 1=3,a 1+ a 3+ a 5=21,则a 3+ a 5+ a 7 =【B 】(A )21 (B )42 (C )63 (D )84(5)设函数则【C 】(A )3 (B )6 (C )9 (D )12(6)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为【D 】 (A )(B ) (C ) (D ) (7)过三点A (1,3),B (4,2),C (1,-7)的圆交于y 轴于M 、N 两点,则=【C 】(A )2 (B )8 (C )4 (D )10(8)右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入a ,b 分别为14,18,则输出的a =【B 】(A )0 (B )2 (C )4(D )14(9)已知A ,B 是球O 的球面上两点,∠AOB =90°,C 为该球面上的动点,若三棱锥O -ABC 体积的最大值为36,则球O的表面积为【C 】A .36πB .64πC .144πD .256π211log (2),1(),2,1x x x f x x -+-⎧=⎨≥⎩2(2)(og 12)f f l -+=81716151MN 66(10).如图,长方形ABCD 的边AB =2,BC =1,O 是AB 的中点,点P 沿着边BC ,CD 与DA 运动,∠BOP =x.将动点P 到A ,B 两点距离之和表示为x 的函数f (x ),则f (x )的图像大致为【B 】(11)已知A ,B 为双曲线E 的左,右顶点,点M 在E 上,∆ABM 为等腰三角形,且顶角为120°,则E 的离心率为【D 】AB .2C D (12)设函数是奇函数的导函数,,当x >0时,<0,则使得f (x ) >0成立的x 的取值范围是【A 】 A . B . C .D .第Ⅱ卷二、填空题本大题共四个小题,每小题5分。
2015理科数学全国2卷(可编辑修改word版)
⎩2015 年高考理科数学试卷全国卷Ⅱ一、选择题:本大题共 12 道小题,每小题 5 分1.已知集合 A ={- 2,-1, 0,1, 2}, B = {x (x-1)(x + 2 < 0},则 A B = ()A . A = {-1, 0}B .{0,1}C .{-1, 0,1}D .{0,1, 2}2.若a 为实数且(2 + ai )(a - 2i ) = -4i ,则a = ()A. -1B. 0 C .1 D . 2 3. 根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫排放量(单位:万吨)柱形图。
以下结论不正确的是( )A .逐年比较,2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著B .2007 年我国治理二氧化硫排放显现C .2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D .2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4. 已知等比数列{a n } 满足 a 1=3,a 1 + a 3 + a 5 =21,则 a 3 + a 5 + a 7 = ()A .21B .42C .63D .845.设函数 f (x ) = ⎧1+ log 2 (2 - x ), x < 1,, f (-2) + f (log 12) = ()⎨2x -1, x ≥ 1, 2 A .3 B .6 C .9 D .126.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )1 1 1 1 A .B .C .D .87656653 7.过三点 A (1, 3) , B (4, 2) , C (1, -7) 的圆交 y 轴于 M ,N 两点,则| MN |= ( )A .2B .8C .4D .108. 右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入 a , b 分别为 14,18,则输出的a = ()A .0B .2C .4D .149. 已知 A , B 是球 O 的球面上两点, ∠AOB = 90 , C 为该球面上的动点,若三棱锥O - ABC 体积的最大值为 36,则球O 的表面积为( )A . 36 B. 64 C.144 D. 25610. 如图,长方形 ABCD 的边 AB = 2 , BC = 1, O 是 AB 的中点,点 P 沿着边 BC ,CD 与 DA 运动,记∠BOP = x .将动 P 到 A 、 B 两点距离之和表示为 x 的函数 f (x ) ,则 y = ()f (x ) 的图像大致为11. 已知 A ,B 为双曲线E 的左,右顶点,点 M 在E 上,∆ABM 为等腰三角形,且顶角为 120°,则 E 的离心率为()A .B . 2C .D .12. 设函数 f' (x ) 是奇函数f (x )(x ∈ R ) 的导函数, f (-1) = 0 , 当 x > 0 时,xf ' (x ) - f (x ) < 0 ,则使得 f (x ) > 0成立的x 的取值范围是()2⎨ ⎩ A. (-∞, -1) (0,1) C . (-∞, -1) (-1, 0)B. (-1, 0) (1, +∞) D . (0,1) (1, +∞)二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分13.设向量a , b 不平行,向量a + b 与 a + 2b 平行,则实数=.⎧x - y +1 ≥ 0,14.若 x ,y 满足约束条件⎪x - 2 y ≤ 0, ,则 z = x + y 的最大值为.⎪x + 2 y - 2 ≤ 0,15. (a + x )(1+ x )4 的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32,则a =. 16. 设S n 是数列{a n } 的前n 项和,且 a 1 = -1 , a n +1 = S n S n +1 ,则 S n = .三、解答题17.(本题满分 12 分) ∆ABC 中, D 是 BC 上的点, AD 平分∠BAC , ∆ABD 面积是 ∆ADC 面积的 2 倍. sin ∠B(Ⅰ) 求;sin ∠C(Ⅱ)若 AD = 1 , DC =2 ,求 BD 和 AC 的长.218.(本题满分 12 分)某公司为了解用户对其产品的满意度,从 A , B 两地区分别随机调查了 20 个用户,得到用户对产品的满意度评分如下: A 地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B 地区:73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79(Ⅰ)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,得出结论即可);E B 1D(Ⅱ)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级: 满意度评分 低于 70 分 70 分到 89 分 不低于 90 分 满意度等级不满意满意非常满意记时间 C :“A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的评价结果相互独立.根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率, 求 C 的概率.19.(本题满分 12 分)如图,长方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中, AB =16 , BC =10 , AA 1 = 8 ,点 E , F 分别在 A 1B 1 , C 1D 1 上, A 1E = D 1F = 4 .过点 E , F 的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.D 1F C 1A 1CAB(Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由); (Ⅱ)求直线 AF 与平面所成角的正弦值.20.(本题满分 12 分)已知椭圆C : 9x 2 + y 2 = m 2 (m > 0) ,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴, l 与C 有两个交点 A , B ,线段 AB 的中点为 M . (Ⅰ)证明:直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值;(Ⅱ)若l 过点 m( , m ) 3,延长线段OM 与C 交于点 P ,四边形OAPB 能否为平行四边形?若能,求此时l 的斜率,若不能,说明理由.21.(本题满分 12 分)设函数 f (x ) = e mx + x 2 - mx .(Ⅰ)证明: f (x ) 在(-∞, 0) 单调递减,在(0, +∞) 单调递增;(Ⅱ)若对于任意 x 1 , x 2 ∈[-1,1] ,都有 f (x 1 ) - f (x 2 ) ≤ e -1,求m 的取值范围.22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲如图, O 为等腰三角形 ABC 内一点,圆O 与∆ABC 的底边 BC 交于 M 、 N 两点与底边上的高 AD 交于点G ,与 AB 、 AC 分别相切于 E 、 F 两点.a b c d b c ⎨y = t sin ,AGEFOB MD NC(Ⅰ)证明: EF / / BC ;(Ⅱ) 若 AG 等于 O 的半径,且 AE = MN =2,求四边形 EBCF 的面积.23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系 xoy 中,曲线C 1 : ⎧x = t cos ,( t 为参数, t ≠ 0 ),其中0 ≤< ,在 ⎩以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中, 曲线 C 2 : = 2 sin , 曲线C 3 : = 2 3 cos.(Ⅰ).求C 2 与C 1 交点的直角坐标;(Ⅱ).若C 2 与C 1 相交于点 A , C 3 与C 1 相交于点 B ,求 AB 的最大值.24.(本小题满分 10 分)选修 4-5 不等式选讲设a ,b ,c ,d 均为正数,且 a + b = c + d ,证明:(Ⅰ)若 ab > cd ,则 + > + ;(Ⅱ) + > + 是 a - b < c - d 的充要条件.3 a d2 2参考答案1.A【解析】由已知得 B = {x - 2 < x < 1},故 A B = {-1, 0} ,故选 A . 考点:集合的运算. 2.B【解析】由已知得4a + (a 2 - 4)i = -4i ,所以4a = 0, a 2 - 4 = -4 ,解得 a = 0 ,故选 B .考点:复数的运算. 3.D【解析】由柱形图得,从 2006 年以来,我国二氧化硫排放量呈下降趋势,故年排放量与年份负相关,故选 D . 考点:正、负相关. 4.B【解析】设等比数列公比为q ,则 a + a q 2 + a q 4 = 21,又因为 a = 3,所以 q 4 + q 2 - 6 = 0 ,1111解得 q 2 = 2 ,所以 a + a + a = (a + a + a )q 2 = 42 ,故选 B .357135考点:等比数列通项公式和性质. 5.C【 解 析 】 由 已 知 得f (-2) = 1+ log 2 4 = 3 , 又 log 2 12 > 1, 所 以f (log 12) = 2log 2 12-1= 2log 2 6 = 6 ,故 f (-2) + f (log 12) = 9 ,故选 C . 考点:分段函数. 6.D【解析】由三视图得,在正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中,截去四面体 A - A 1B 1D 1 ,如图所示,,设正方体棱长为aD 1C 1,则VA - A 1B 1D 1= 1 ⨯ 1 a 3 = 1 a 3,故剩余几何体体积为 A 1B 13 2 6Da 3 - 1 a 3 = 5 a 3 ,所以截去部分体积与剩余部分体积C6 61的比值为 ,故选 D .5考点:三视图.AB7.C【解析】由已知得 k3 - 21 = = - , k= 2 + 7 = -3 ,所以 k k = -1 ,所以 AB ⊥ CB AB 1- 4 3 CB 4 -1AB CB, 即 ∆ABC 为直角三角形, 其外接圆圆心为 (1, -2) , 半径为 5 , 所以外接圆方程为(x -1)2 + ( y + 2)2 = 25 ,令 x = 0 ,得 y = ±2 - 2 ,所以 MN = 4 ,故选 C .6 6( 1 tan x -1)2 +1 , x - = > > 考点:圆的方程. 8.B【解析】程序在执行过程中, a , b 的值依次为 a = 14 , b = 18 ; b = 4 ; a = 10 ; a = 6 ; a = 2 ; b = 2 ,此时 a = b = 2 程序结束,输出a 的值为 2,故选 B . 考点:程序框图. 9.C【解析】如图所示,当点 C 位于垂直于面 AOB 的直径端点时,三棱锥O - ABC 的体积最大, 设球O 的半径为 R ,此时V= V= 1 ⨯ 1 R 2 ⨯ R = 1R 3 = 36 ,故 R = 6 ,则球O O - ABCC - AOB的表面积为 S = 4R 2 = 144,故选 C .3 2 6考点:外接球表面积和椎体的体积.C10.B【 解 析 】 由 已 知 得 , 当 点 P 在 BC 边 上 运 动 时 , 即0 ≤ x ≤ 时 ,4PA + PB = + tan x ;当点 P 在 CD 边上运动时,即 ≤ x ≤ 3≠ 时,4 4 2PA + PB = + ,当 x = 时, PA + PB = 2 2;当点 P在 AD 边上运动时,即 3≤ x ≤ 时, PA + PB = 4- tan x ,从点 P 的运动过程可以看出,轨迹关于直线 x = 对称,且 f ( ) > f ( ) ,且轨迹非线型,故选 B .2 4 2考点:函数的图象和性质.11.Dx 2 【解析】设双曲线方程为 a 2 y 2b 21(a 0, b 0) ,如图所示, AB = BM , ∠ABM = 1200 ,过点 M 作MN ⊥ x 轴,垂足为 N ,在 Rt ∆BMN 中, BN = a ,OABtan 2 x + 4 ( 1tan x +1)2 +1 2 tan 2 x + 4MN = 3 a ,故点 M 的坐标为 M (2a , 3a ) ,代入双曲线方程得 a 2 = b 2 = a 2 - c 2 ,即c 2 = 2a 2 ,所以e = ,故选 D .考点:双曲线的标准方程和简单几何性质.12.A【 解 析 】 记 函 数g (x ) =f (x ), 则 xg '(x ) =xf ' (x ) - f (x ) x 2, 因 为 当x > 0 时 ,xf ' (x ) - f (x ) < 0 ,故当 x > 0 时, g ' (x ) < 0,所以 g (x ) 在(0, +∞) 单调递减;又因为函数f (x )(x ∈ R ) 是奇函数, 故函数g (x ) 是偶函数, 所以 g (x ) 在 (-∞, 0) 单调递减, 且g (-1) = g (1) = 0 .当0 < x < 1时, g (x ) > 0 ,则 f (x ) > 0 ;当 x < -1时, g (x ) < 0 ,则 f (x ) > 0 ,综上所述,使得 f (x ) > 0 成立的 x 的取值范围是(-∞, -1) (0,1) ,故选A . 考点:导数的应用、函数的图象与性质. 1 13.2⎧= k ,1【解析】因为向量考点:向量共线. 3 14.2a +b 与 a + 2b 平行,所以a + b = (k a + 2b ),则⎨ ⎩1 = 2k , 所以= .2【解析】画出可行域,如图所示,将目标函数变形为 y = -x + z , 当 z 取到最大时, 直线y = -x + z 的纵截距最大,故将直线尽可能地向上平移到1D (1, ) 2 ,则 z = x + y 的最大值为 3 . 2考点:线性规划.15. 3 【解析】试题分析:由已知得(1+ x )4 = 1+ 4x + 6x 2 + 4x 3 + x 4 ,故(a + x )(1+ x )4 的展开式中 x 的奇数次幂项分别为 4ax , 4ax 3 , x , 6x 3 , x 5 ,其系数之和为 4a + 4a +1+6+1=32 ,解得2 4 y 32 B1Dx–4–3–2–1O–1 1234C–2–3–4a = 3 .考点:二项式定理.1 16. -n11 【解析】由已知得 a n +1 = S n +1 - S n = S n +1 ⋅ S n ,两边同时除以 S n +1 ⋅ S n ,得 S-n +1S n= -1,⎧ 1 ⎫ 1故数列 ⎨ ⎩ 1 ⎬ 是以 -1为首项, -1为公差的等差数列, 则 n ⎭= -1- (n -1) = -n , 所以n S n = - n.考点:等差数列和递推关系.1 117. 【解析】(Ⅰ) S ∆ABD = 2 AB ⋅ AD sin ∠BAD , S ∆ADC = 2AC ⋅ AD sin ∠CAD ,因为S = 2S, ∠BAD = ∠CAD ,所以 AB = 2 A C .由正弦定理可得 sin ∠B = AC = 1∆ABD.∆ADCsin ∠C AB 2(Ⅱ)因为 S ∆ABD : S ∆ADC = BD : DC ,所以 BD = 理得.在∆ABD 和∆ADC 中,由余弦定AB 2 = AD 2 + BD 2 - 2 AD ⋅ BD cos ∠ADB , AC 2 = AD 2 + DC 2 - 2 AD ⋅ DC cos ∠ADC.AB 2 + 2 AC 2 = 3AD 2 + BD 2 + 2DC 2 = 6 .由(Ⅰ)知 AB = 2 AC ,所以 AC = 1 .18. 【解析】(Ⅰ)两地区用户满意度评分的茎叶图如下通过茎叶图可以看出,A 地区用户满意度评分的平均值高于 B 地区用户满意度评分的平均值; A 地区用户满意度评分比较集中,B 地区用户满意度评分比较分散.2 S SEH 2 - EM 2 A 2 B 1 B 2⨯ ⨯ = DA = ⎩ ⋅(Ⅱ)记C A 1 表示事件:“A 地区用户满意度等级为满意或非常满意”;C A 2 表示事件:“A 地区用户满意度等级为非常满意”;C B 1 表示事件:“B 地区用户满意度等级为不满意”;C B 2 表示事件:“B 地区用户满意度等级为满意”.则C A 1 与C B 1 独立, C A 2 与C B 2 独立, C B 1 与C B 2 互斥, C = C B 1C A 1 C B 2C A 2 .P (C ) = P (C B 1C A 1 C B 2C A 2 ) = P (C B 1C A 1 ) + P (C B 2C A 2 )= P (C B 1 )P (C A 1 ) + P (C B 2 )P (C A 2 ) .由所给数据得C A 1 , C A 2 , C B 1 , C B 2 发生的概164 10 8 率分别为20,20,20,20.故 P (C A 1 )16 = , 20P (C )= 4 , P (C )= 10 , P (C ) = 820 20 20 10 16 8 4,故 P (C )= + 0.48 .20 20 20 2019. 【解析】(Ⅰ)交线围成的正方形 EHGF如图:( Ⅱ ) 作 EM ⊥ AB , 垂 足 为 M , 则AM = A 1E = 4 , EM = AA 1 = 8 , 因 为EHGF 为正方形, 所以 EH = EF = BC = 10 . 于是 MH = = 6 , 所以AH = 10 .以 D 为坐标原点,的方向为 x 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D - xyz , 则 A (10, 0, 0) ,H (10,10, 0) , E (10, 4,8) ,F (0, 4,8) , ⎧FE (10, 0, 0) ,HE = (0, -6,8) .设 n = (x , y , z ) 是平面 EHGF 的法向量,则⎪n ⋅ FE = 0, 即⎧10x = 0,⎨ ⎪⎩n ⋅ HE = 0,⎨-6 y + 8z = 0, n ⋅ AF 4 5所以可取 n = (0, 4, 3) .又 AF = (-10, 4,8) ,故 cos < n , AF > =线 AF 与平面所成角的正弦值为4 5 .15= n AF .所以直D 1 F C 1A 1E B 1 CAM HBG D157 7 9 OM20.【解析】(Ⅰ)设直线l : y = kx + b (k ≠ 0, b ≠ 0) , A (x 1 , y 1 ) , B (x 2 , y 2 ) , M (x M , y M ) .将 y = kx + b 代 入9x 2 + y 2 = m 2 得 (k 2 + 9)x 2 + 2kbx + b 2 - m 2 = 0 , 故x =x 1 + x 2= - M2kb,k 2+ 9y = kx + b =9b .于是直线OM 的斜率 k= y M= - ,即 k⋅ k = -9 .所以直MMk 2+ 9x k M线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值.(Ⅱ)四边形OAPB 能为平行四边形.因为直线l 过点 m( , m ) 3,所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是 k > 0 , k ≠ 3 .9 ⎧ y = - 9 x , 由( Ⅰ ) 得 OM 的方程为 y = - k x . 设点 P 的横坐标为 x P ⎪. 由 ⎨ k得2k 2m2±km m ⎪⎩9x 2 + y 2 = m 2 ,m (3 - k ) x P= 9k 2 + 81 , 即 x P = .将点( , m ) 的坐标代入直线l 的方程得b = ,3 k 2 + 93 3 因此 x M =mk (k - 3) .四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段 AB 与线段OP 互相平分,3(k 2 + 9)±km即 x P = 2x M .于是=3 k 2+ 92 ⨯ mk (k - 3) .解得 k = 4 - , k = 4 + .因为 k > 0, k ≠3 , i = 1 , 2 ,所以当l3(k 2 + 9) 1 2 i i的斜率为4 - 或4 + 时,四边形OAPB 为平行四边形.21.【解析】(Ⅰ) f ' (x ) = m (e mx -1) + 2x .若 m ≥ 0 ,则当 x ∈(-∞, 0) 时, e mx -1 ≤ 0 , f ' (x ) < 0;当 x ∈(0, +∞) 时, e mx-1 ≥ 0 ,f ' (x ) > 0 .若 m < 0 ,则当 x ∈(-∞, 0) 时, e mx -1 > 0 , f ' (x ) < 0;当 x ∈(0, +∞) 时, e mx-1 < 0 ,f ' (x ) > 0 .所以, f (x ) 在(-∞, 0) 单调递减,在(0, +∞) 单调递增.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,对任意的m , f (x ) 在[-1, 0] 单调递减,在[0,1] 单调递增,故 f (x ) 在7 7 OM3 3 16 3⎩ ⎩10 3 2 1 22 3⎩x = 0 处取得最小值.所以对于任意x1, x2∈[-1,1] ,f (x1) -f (x2) ≤ e -1的充要条件是:⎧f (1) -f (0) ≤ e -1,⎨f (-1) -f (0) ≤ e -1,⎧⎪e m-m ≤ e -1,即⎨⎪e-m+m ≤ e -1,①,设函数g(t) = e t-t - e +1 ,则g ' (t) = e t-1 .当t < 0 时,g ' (t) <0;当t >0 时,g ' (t) >0.故g(t) 在(-∞,0) 单调递减,在(0,+∞)单调递增.又g(1) = 0 ,g(-1) = e-1+ 2 -e < 0 ,故当t ∈[-1,1] 时,g(t) ≤ 0 .当m ∈[-1,1] 时,g(m) ≤ 0 ,g(-m) ≤ 0 ,即①式成立.当m > 1时,由g(t) 的单调性,g(m) > 0 ,即e m-m > e -1 ;当m <-1时,g(-m) > 0 ,即e-m+m > e -1.综上,m 的取值范围是[-1,1] .2.【解析】(Ⅰ)由于∆ABC 是等腰三角形,AD ⊥BC ,所以AD 是∠CAB 的平分线.又因为 O 分别与AB 、AC 相切于E 、F 两点,所以AE =AF ,故AD ⊥EF .从而EF / / BC .(Ⅱ)由(Ⅰ)知,AE =AF , AD ⊥EF ,故AD 是EF 的垂直平分线,又EF 是 O 的弦,所以O 在AD 上.连接OE ,OM ,则OE ⊥AE .由AG 等于 O 的半径得AO = 2OE ,所以∠OAE = 300.所以∆ABC 和∆AEF 都是等边三角形.因为AE = 2,OE = 2 .,所以AO = 4 因为OM =OE = 2 ,DM =1MN =2,所以OD = 1 .于是AD = 5 ,AB =10 33 .所以四边形EBCF 的面积1⨯( ) ⨯-⨯(2 3) ⨯=.2 3 2 2 2 323.【解析】(Ⅰ)曲线C 的直角坐标方程为x2+y2- 2 y = 0 ,曲线C 的直角坐标方程为⎧⎧⎪x2+y2- 2 y = 0,x2+y2- 2 3x = 0 .联立⎨ ⎪⎩x2+y2- 2 3x = 0,⎧x = 0,解得⎨y = 0,⎪x =或⎨⎪ 3,所以C2与C1 交⎪⎩y =2,33323 cb c d a b c d b c ab b c d3点的直角坐标为(0, 0) 和( , ) .2 2(Ⅱ)曲线C 1 的极坐标方程为=(∈ R ,≠ 0) ,其中0 ≤< .因此 A 得到极坐标为(2 s in ,) , B 的 极 坐 标 为 (2 3 cos,) . 所 以 AB = 2 sin - 2 3 cos= 4 s in(- 3,当=5时, AB 取得最大值,最大值为4 .624.【解析】(Ⅰ)因为(+ b )2 = a + b + 2, (+ d )2 = c + d + 2 ,由题设a +b =c +d , ab > cd ,得( + b )2 > ( + d )2 .因此 + > + .(Ⅱ)(ⅰ)若 a - b < c - d ,则(a - b )2 < (c - d )2 .即(a + b )2 - 4ab < (c + d )2 - 4cd.因为 a + b = c + d ,所以 ab > cd ,由(Ⅰ)得 + > + .( ⅱ ) 若 + > + , 则 ( + b )2 > (+ d )2 , 即 a + b + 2 >c +d + 2 . 因 为 a + b = c + d , 所 以 ab > cd , 于 是 (a - b )2 = (a + b )2 - 4ab< (c + d )2 - 4cd = (c - d )2 . 因 此 a - b < c - d , 综 上 , + > + 是a -b <c -d 的充要条件.a abcda c a a d a c cd a )。
(完整word版)(3)2015年(全国卷II)(含答案)高考理科数学,推荐文档
CA1A 2015年高考理科数学试卷全国卷Ⅱ(3)参考答案1.A【解析】由已知得{}21B x x =-<<,故{}1,0A B =-I ,故选A . 考点:集合的运算. 2.B【解析】由已知得24(4)4a a i i +-=-,所以240,44a a =-=-,解得0a =,故选B . 考点:复数的运算. 3.D【解析】由柱形图得,从2006年以来,我国二氧化硫排放量呈下降趋势,故年排放量与年份负相关,故选D . 考点:正、负相关. 4.B【解析】设等比数列公比为q ,则2411121a a q a q ++=,又因为13a =,所以4260q q +-=,解得22q =,所以2357135()42a a a a a a q ++=++=,故选B .考点:等比数列通项公式和性质. 5.C【解析】由已知得2(2)1log 43f -=+=,又2log 121>,所以22log 121log 62(log 12)226f -===,故2(2)(log 12)9f f -+=,故选C .考点:分段函数. 6.D【解析】由三视图得,在正方体1111ABCD A B C D -中,截去四面体111A A B D -,如图所示,,设正方体棱长为a ,则11133111326A AB D V a a -=⨯=,故剩余几何体体积为3331566a a a -=,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为51,故选D .考点:三视图. 7.C【解析】由已知得321143AB k -==--,27341CB k +==--,所以1AB CB k k =-,所以AB CB ⊥,即ABC ∆为直角三角形,其外接圆圆心为(1,2)-,半径为5,所以外接圆方程为22(1)(2)25x y -++=,令0x =,得2y =±,所以MN =C .考点:圆的方程.8.B【解析】程序在执行过程中,a ,b 的值依次为14a =,18b =;4b =;10a =;6a =;2a =;2b =,此时2a b ==程序结束,输出a 的值为2,故选B . 考点:程序框图. 9.C【解析】如图所示,当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时,三棱锥O ABC -的体积最大,设球O 的半径为R ,此时2311136326O ABC C AOB V V R R R --==⨯⨯==,故6R =,则球O 的表面积为24144S R ππ==,故选C . 考点:外接球表面积和椎体的体积.10.B【解析】由已知得,当点P 在BC 边上运动时,即04x π≤≤时,tan PA PB x +=;当点P 在CD 边上运动时,即3,442x x πππ≤≤≠时,PA PB +=,当2xπ=时,PA PB +=当点P 在AD 边上运动时,即34x ππ≤≤时,tan PA PB x +=,从点P 的运动过程可以看出,轨迹关于直线2x π=对称,且()()42f f ππ>,且轨迹非线型,故选B .考点:函数的图象和性质.【解析】设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>,如图所示,AB BM =,0120ABM ∠=,过点M 作MN x ⊥轴,垂足为N ,在Rt BMN ∆中,BN a =,3MN a =,故点M 的坐标为(2,3)M a a ,代入双曲线方程得2222a b a c ==-,即222c a =,所以2e =,故选D .考点:双曲线的标准方程和简单几何性质.12.A【解析】记函数()()f x g x x =,则''2()()()xf x f x g x x -=,因为当0x >时,'()()0xf x f x -<,故当0x >时,'()0g x <,所以()g x 在(0,)+∞单调递减;又因为函数()()f x x R ∈是奇函数,故函数()g x 是偶函数,所以()g x 在(,0)-∞单调递减,且(1)(1)0g g -==.当01x <<时,()0g x >,则()0f x >;当1x <-时,()0g x <,则()0f x >,综上所述,使得()0f x >成立的x 的取值范围是(,1)(0,1)-∞-U ,故选A .考点:导数的应用、函数的图象与性质. 13.12【解析】因为向量a b λ+r r 与2a b +r r平行,所以2a b k a b λ+=+r r r r (),则12,k k λ=⎧⎨=⎩,所以12λ=.考点:向量共线. 14.32【解析】画出可行域,如图所示,将目标函数变形为y x z =-+,当z 取到最大时,直线y x z =-+的纵截距最大,故将直线尽可能地向上平移到1(1,)2D ,则z x y =+的最大值为32. 考点:线性规划.xy–1–2–3–41234–1–2–3–41234DCBO【解析】试题分析:由已知得4234(1)1464x x x x x +=++++,故4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项分别为4ax ,34ax ,x ,36x ,5x ,其系数之和为441+6+1=32a a ++,解得3a =. 考点:二项式定理. 16.1n-【解析】由已知得111n n nn n a S S S S +++=-=⋅,两边同时除以1n n S S +⋅,得1111n nS S +=--,故数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1-为首项,1-为公差的等差数列,则11(1)n S n n =---=-,所以1n S n=-. 考点:等差数列和递推关系. 17.【解析】(Ⅰ)1sin 2ABD S AB AD BAD ∆=⋅∠,1sin 2ADC S AC AD CAD ∆=⋅∠,因为2ABDADC S S ∆∆=,BAD CAD ∠=∠,所以2AB AC =.由正弦定理可得sin 1sin 2B AC C AB ∠==∠.(Ⅱ)因为::ABD ADC S S BD DC ∆∆=,所以2BD =.在ABD ∆和ADC ∆中,由余弦定理得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠,2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠. 222222326AB AC AD BD DC +=++=.由(Ⅰ)知2AB AC =,所以1AC =.18.【解析】(Ⅰ)两地区用户满意度评分的茎叶图如下通过茎叶图可以看出,A 地区用户满意度评分的平均值高于B 地区用户满意度评分的平均值;A 地区用户满意度评分比较集中,B 地区用户满意度评分比较分散. (Ⅱ)记1A C 表示事件:“A 地区用户满意度等级为满意或非常满意”;2A C 表示事件:“A 地区用户满意度等级为非常满意”; 1B C 表示事件:“B 地区用户满意度等级为不满意”; 2B C 表示事件:“B 地区用户满意度等级为满意”.则1A C 与1B C 独立,2A C 与2B C 独立,1B C 与2B C 互斥,1122B A B A C C C C C =U .1122()()B A B A P C P C C C C =U 1122()()B A B A P C C P C C =+1122()()()()B A B A P C P C P C P C =+.由所给数据得1A C ,2A C ,1B C ,2B C 发生的概率分别为1620,420,1020,820.故1()A P C 16=20, 2()=A P C 420,1()=B P C 1020,2()B P C 8=20,故101684()=+0.4820202020P C ⨯⨯=.19.【解析】(Ⅰ)交线围成的正方形EHGF 如图:(Ⅱ)作EM AB ⊥,垂足为M ,则14AM A E ==,18EM AA ==,因为EHGF 为正方形,所以10EH EF BC ===.于是6MH ==,所以10AH =.以D为坐标原点,DA u u u r的方向为x 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -,则(10,0,0)A ,(10,10,0)H ,(10,4,8)E ,(0,4,8)F ,(10,0,0)FE =u u u r ,(0,6,8)HE =-u u u r.设(,,)n x y z =r是平面EHGF 的法向量,则0,0,n FE n HE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r 即100,680,x y z =⎧⎨-+=⎩所以可取(0,4,3)n =r .又(10,4,8)AF =-u u u r,故cos ,n AF n AF n AF ⋅<>==⋅r u u u r r u u u r r u u u r .所以直线AF 与平面αA 1AB 1BD 1DC 1CFE HGM20.【解析】(Ⅰ)设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠,11(,)A x y ,22(,)B x y ,(,)M M M x y . 将y kx b =+代入2229x y m +=得2222(9)20k x kbx b m +++-=,故12229M x x kbx k +==-+, 299M M by kx b k =+=+.于是直线OM 的斜率9M OM M y k x k ==-,即9OM k k ⋅=-.所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值.(Ⅱ)四边形OAPB 能为平行四边形. 因为直线l 过点(,)3mm ,所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >,3k ≠. 由(Ⅰ)得OM 的方程为9y x k =-.设点P 的横坐标为P x .由2229,9,y x kx y m ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩得2222981Pk m x k =+,即P x =.将点(,)3m m 的坐标代入直线l 的方程得(3)3m k b -=,因此2(3)3(9)M mk k x k -=+.四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分,即2P M x x ==2(3)23(9)mk k k -⨯+.解得14k =24k =0,3i i k k >≠,1i =,2,所以当l的斜率为4-4+OAPB 为平行四边形. 21.【解析】(Ⅰ)'()(e1)2mxf x m x =-+.若0m ≥,则当(,0)x ∈-∞时,e 10mx -≤,'()0f x <;当(0,)x ∈+∞时,e 10mx -≥,'()0f x >.若0m <,则当(,0)x ∈-∞时,e 10mx ->,'()0f x <;当(0,)x ∈+∞时,e 10mx -<,'()0f x >.所以,()f x 在(,0)-∞单调递减,在(0,)+∞单调递增.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,对任意的m ,()f x 在[1,0]-单调递减,在[0,1]单调递增,故()f x 在0x =处取得最小值.所以对于任意12,[1,1]x x ∈-,12()()e 1f x f x -≤-的充要条件是:(1)(0)e 1,(1)(0)e 1,f f f f -≤-⎧⎨--≤-⎩即e e 1,e e 1,m mm m -⎧-≤-⎪⎨+≤-⎪⎩①,设函数()e e 1t g t t =--+,则'()e 1t g t =-.当0t <时,'()0g t <;当0t >时,'()0g t >.故()g t 在(,0)-∞单调递减,在(0,)+∞单调递增.又(1)0g =,1(1)e 2e 0g --=+-<,故当[1,1]t ∈-时,()0g t ≤.当[1,1]m ∈-时,()0g m ≤,()0g m -≤,即①式成立.当1m >时,由()g t 的单调性,()0g m >,即e e 1m m ->-;当1m <-时,()0g m ->,即e e 1m m -+>-.综上,m 的取值范围是[1,1]-.22.【解析】(Ⅰ)由于ABC ∆是等腰三角形,AD BC ⊥,所以AD 是CAB ∠的平分线.又因为O e 分别与AB 、AC 相切于E 、F 两点,所以AE AF =,故AD EF ⊥.从而//EF BC .(Ⅱ)由(Ⅰ)知,AE AF =,AD EF ⊥,故AD 是EF 的垂直平分线,又EF 是O e 的弦,所以O 在AD 上.连接OE ,OM ,则OE AE ⊥.由AG 等于O e 的半径得2AO OE =,所以030OAE ∠=.所以ABC ∆和AEF ∆都是等边三角形.因为23AE =,所以4AO =,2OE =.因为2OM OE ==,132DM MN ==,所以1OD =.于是5AD =,1033AB =.所以四边形EBCF 的面积221103313163()(23)232223⨯⨯-⨯⨯=.23.【解析】(Ⅰ)曲线2C 的直角坐标方程为2220x y y +-=,曲线3C 的直角坐标方程为2230x y x +-=.联立222220,230,x y y x y x ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩解得0,0,x y =⎧⎨=⎩或33,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以2C 与1C 交点的直角坐标为(0,0)和3)2. (Ⅱ)曲线1C 的极坐标方程为(,0)R θαρρ=∈≠,其中0απ≤<.因此A 得到极坐标为(2sin ,)αα,B 的极坐标为,)αα.所以2sin AB αα=-4in()3s πα=-,当56πα=时,AB 取得最大值,最大值为4.24.【解析】(Ⅰ)因为2a b =++2c d =++a b c d +=+,ab cd >,得22>>(Ⅱ)(ⅰ)若a b c d -<-,则22()()a b c d -<-.即22()4()4a b ab c d cd +-<+-.因为a b c d +=+,所以ab cd >>(ⅱ)若>,则22>,即a b ++>c d ++.因为a b c d +=+,所以ab cd >,于是22()()4a b a b ab -=+-2()4c d cd <+-2()c d =-.因此a b c d -<-,综上,>a b c d -<-的充要条件.。
2015年全国2卷(理数)
2015年全国2卷(理数)2015年普通高等学校招生全国统一考试课标全国Ⅱ理科数学注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2015课标全国Ⅱ,理1)已知集合A={-2,-1,0,1,2},B={x|(x-1)(x+2)<0},则A∩B=()A.{-1,0}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{0,1,2}答案:A解析:∵B={x|-2<x<1},∴A∩B={-1,0}.2.(2015课标全国Ⅱ,理2)若a为实数,且(2+a i)(a-2i)=-4i,则a=()A.-1B.0C.1D.2答案:B解析:∵(2+a i)(a-2i)=4a+(a2-4)i=-4i,∴{4a=0,a2−4=−4,解之得a=0.3.(2015课标全国Ⅱ,理3)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论中不正确的是()A.逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关解析:由柱形图知,2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势,故其排放量与年份负相关,故D 错误. 4.(2015课标全国Ⅱ,理4)已知等比数列{a n }满足a 1=3,a 1+a 3+a 5=21,则a 3+a 5+a 7=( ) A.21 B.42C.63D.84答案:B解析:由题意知a 1+a 3+a 5a 1=1+q 2+q 4=213=7,解得q 2=2(负值舍去).∴a 3+a 5+a 7=(a 1+a 3+a 5)q 2=21×2=42.5.(2015课标全国Ⅱ,理5)设函数f (x )={1+log 2(2−x),x <1,2x−1, x ≥1,则f (-2)+f (log 212)=( )A.3B.6C.9D.12答案:C解析:∵f (-2)=1+log 24=3,f (log 212)=2log 212−1=2log 21221=122=6,∴f (-2)+f (log 212)=9.6.(2015课标全国Ⅱ,理6)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( ) A.18 B.17C.16D.15答案:D解析:由题意知该正方体截去了一个三棱锥,如图所示,设正方体棱长为a ,则V 正方体=a 3,V 截去部分=16a 3,故截去部分体积与剩余部分体积的比值为16a 3∶56a 3=1∶5.7.(2015课标全国Ⅱ,理7)过三点A (1,3),B (4,2),C (1,-7)的圆交y 轴于M ,N 两点,则|MN|=( )A.2√6B.8C.4√6D.10解析:设圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,将点A ,B ,C 代入,得{D +3E +F +10=0,4D +2E +F +20=0,D −7E +F +50=0,解得{D =−2,E =4,F =−20.则圆的方程为x 2+y 2-2x+4y-20=0. 令x=0得y 2+4y-20=0,设M (0,y 1),N (0,y 2),则y 1,y 2是方程y 2+4y-20=0的两根,由根与系数的关系,得y 1+y 2=-4,y 1y 2=-20,故|MN|=|y 1-y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√16+80=4√6.8.(2015课标全国Ⅱ,理8)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入的a ,b 分别为14,18,则输出的a=( )A.0B.2C.4D.14答案:B解析:由程序框图,得(14,18)→(14,4)→(10,4)→(6,4)→(2,4)→(2,2),则输出的a=2.9.(2015课标全国Ⅱ,理9)已知A ,B 是球O 的球面上两点,∠AOB=90°,C 为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36,则球O 的表面积为( ) A.36π B.64πC.144πD.256π答案:C解析:由△AOB 面积确定,若三棱锥O-ABC 的底面OAB 的高最大,则其体积才最大.因为高最大为半径R ,所以V O-ABC =13×12R 2×R=36,解得R=6,故S球=4πR 2=144π.10.(2015课标全国Ⅱ,理10)如图,长方形ABCD 的边AB=2,BC=1,O 是AB 的中点.点P 沿着边BC ,CD 与DA 运动,记∠BOP=x.将动点P 到A ,B 两点距离之和表示为x 的函数f (x ),则y=f (x )的图像大致为( )答案:B解析:①当点P 在线段BC 上时,如图,x ∈[0,π4].PB=OB tan x=tan x ,PA=√PB 2+AB 2=√tan 2x +4, 所以f (x )=PB+PA=tan x+√tan 2x +4. 显然函数f (x )在[0,π4]内单调递增, 故f (0)≤f (x )≤f (π4),即2≤f (x )≤1+√5.②取线段CD 的中点E ,当点P 在线段CE 上时,x ∈(π4,π2).如图,过点P 作PH ⊥AB ,垂足为H. 则OH=1tanx ,BH=1-1tanx. 所以PB=√PH 2+BH 2=√12+(1−1tanx )2,PA=√PH 2+AH 2=√12+(1+1tanx )2.所以f (x )=PB+PA=√1+(1−1tanx)2+√1+(1+1tanx )2.所以f (x )在(π4,π2)上单调递减.③当点P 在点E 处,f (x )=PB+PA=2√2<1+√5.④当点P 在线段DE 上时,x ∈(π2,3π4).由图形的对称性可知,此时函数图像与当点P 在线段CE 上时的图像关于x=π2对称.⑤当点P 在线段DA 上时,x ∈[3π4,π]. 由图形的对称性可知,此时的函数图像与当点P 在线段BC 上时的图像关于x=π2对称. 综上选B .11.(2015课标全国Ⅱ,理11)已知A ,B 为双曲线E 的左、右顶点,点M 在E 上,△ABM 为等腰三角形,且顶角为120°,则E 的离心率为( ) A.√5 B.2C.√3D.√2答案:D解析:设双曲线的标准方程为x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0),点M 在右支上,如图所示,∠ABM=120°,过点M 向x 轴作垂线,垂足为N ,则∠MBN=60°.∵AB=BM=2a ,∴MN=2a sin 60°=√3a ,BN=2a cos 60°=a.∴点M 坐标为(2a ,√3a ),代入双曲线方程x 2a 2−y 2b 2=1,整理,得a 2b2=1,即b 2a 2=1.∴e 2=1+b 2a 2=2,∴e=√2.12.(2015课标全国Ⅱ,理12)设函数f'(x )是奇函数f (x )(x ∈R)的导函数,f (-1)=0,当x>0时,xf'(x )-f (x )<0,则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( ) A.(-∞,-1)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1,+∞) C.(-∞,-1)∪(-1,0) D.(0,1)∪(1,+∞)答案:A解析:当x>0时,令F (x )=f(x)x ,则F'(x )=xf′(x)−f(x)x 2<0,∴当x>0时,F (x )=f(x)x 为减函数. ∵f (x )为奇函数,且由f (-1)=0,得f (1)=0,故F (1)=0.在区间(0,1)上,F (x )>0;在(1,+∞)上,F (x )<0,即当0<x<1时,f (x )>0; 当x>1时,f (x )<0.又f (x )为奇函数,∴当x ∈(-∞,-1)时,f (x )>0; 当x ∈(-1,0)时,f (x )<0.综上可知,f (x )>0的解集为(-∞,-1)∪(0,1).故选A .第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(2015课标全国Ⅱ,理13)设向量a,b 不平行,向量λa +b 与a +2b 平行,则实数λ= . 答案:12解析:由题意知存在常数t ∈R,使λa +b =t (a +2b),得{λ=t,1=2t,解之得λ=12. 14.(2015课标全国Ⅱ,理14)若x ,y 满足约束条件{x −y +1≥0,x −2y ≤0,x +2y −2≤0,则z=x+y 的最大值为 .答案:32解析:由约束条件画出可行域,如图中的阴影部分所示.由可行域可知,目标函数z=x+y 过点B 取得最大值. 联立{x −2y =0,x +2y −2=0,得B (1,12). ∴z max =12+1=32.15.(2015课标全国Ⅱ,理15)(a+x )(1+x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32,则a= . 答案:3解析一:∵(1+x )4=x 4+C 43x 3+C 42x 2+C 41x+C 40x 0=x 4+4x 3+6x 2+4x+1,∴(a+x )(1+x )4的奇数次幂项的系数为4a+4a+1+6+1=32,∴a=3. 解析二:设(a+x )(1+x )4=b 0+b 1x+b 2x 2+b 3x 3+b 4x 4+b 5x 5.令x=1,得16(a+1)=b 0+b 1+b 2+b 3+b 4+b 5,①令x=-1,得0=b 0-b 1+b 2-b 3+b 4-b 5, ②由①-②,得16(a+1)=2(b 1+b 3+b 5). 即8(a+1)=32,解得a=3.16.(2015课标全国Ⅱ,理16)设S n 是数列{a n }的前n 项和,且a 1=-1,a n+1=S n S n+1,则S n = . 答案:-1n解析:由a n+1=S n+1-S n =S n S n+1,得1S n −1S n+1=1,即1S n+1−1S n =-1,则{1S n }为等差数列,首项为1S 1=-1,公差为d=-1,∴1S n=-n ,∴S n =-1n .三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅱ,理17)△ABC 中,D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC ,△ABD 面积是△ADC 面积的2倍. (1)求sin∠B sin∠C;(2)若AD=1,DC=√22,求BD 和AC 的长. 解:(1)S △ABD =12AB ·AD sin ∠BAD ,S △ADC =12AC ·AD sin ∠CAD. 因为S △ABD =2S △ADC ,∠BAD=∠CAD , 所以AB=2AC. 由正弦定理可得sin∠B sin∠C =AC AB =12. (2)因为S △ABD ∶S △ADC =BD ∶DC , 所以BD=√2.在△ABD 和△ADC 中,由余弦定理知 AB 2=AD 2+BD 2-2AD ·BD cos ∠ADB , AC 2=AD 2+DC 2-2AD ·DC cos ∠ADC. 故AB 2+2AC 2=3AD 2+BD 2+2DC 2=6. 由(1)知AB=2AC ,所以AC=1.18.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅱ,理18)某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B 两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下: A 地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B 地区:73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可);(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级:满意度评分 低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意 满意非常满意记事件C :“A 地区用户的满意度等级高于B 地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的评价结果相互独立.根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求C 的概率. 解:(1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下:通过茎叶图可以看出,A 地区用户满意度评分的平均值高于B 地区用户满意度评分的平均值;A 地区用户满意度评分比较集中,B 地区用户满意度评分比较分散.(2)记C A 1表示事件:“A 地区用户的满意度等级为满意或非常满意”; C A 2表示事件:“A 地区用户的满意度等级为非常满意”; C B 1表示事件:“B 地区用户的满意度等级为不满意”; C B 2表示事件:“B 地区用户的满意度等级为满意”,则C A 1与C B 1独立,C A 2与C B 2独立,C B 1与C B 2互斥,C=C B 1C A 1∪C B 2C A 2. P (C )=P (C B 1C A 1∪C B 2C A 2)=P (C B 1C A 1)+P (C B 2C A 2)=P (C B 1)P (C A 1)+P (C B 2)P (C A 2). 由所给数据得C A 1,C A 2,C B 1,C B 2发生的频率分别为1620,420,1020,820, 故P (C A 1)=1620,P (C A 2)=420,P (C B 1)=1020,P (C B 2)=820,P (C )=1020×1620+820×420=0.48.19.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅱ,理19)如图,长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=16,BC=10,AA 1=8,点E ,F 分别在A 1B 1,D 1C 1上,A 1E=D 1F=4,过点E ,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由); (2)求直线AF 与平面α所成角的正弦值. 解:(1)交线围成的正方形EHGF 如图:(2)作EM ⊥AB ,垂足为M , 则AM=A 1E=4,EM=AA 1=8.因为EHGF 为正方形,所以EH=EF=BC=10. 于是MH=√EH 2−EM 2=6,所以AH=10.以D 为坐标原点,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz , 则A (10,0,0),H (10,10,0),E (10,4,8),F (0,4,8),FE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(10,0,0),HE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-6,8). 设n =(x ,y ,z )是平面EHGF 的法向量, 则{n ·FE⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·HE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{10x =0,−6y +8z =0,所以可取n =(0,4,3). 又AF⃗⃗⃗⃗⃗ =(-10,4,8), 故|cos <n,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|n·AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n||AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4√515. 所以AF 与平面EHGF 所成角的正弦值为4√515.20.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅱ,理20)已知椭圆C :9x 2+y 2=m 2(m>0),直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 的中点为M. (1)证明:直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值; (2)若l 过点(m 3,m),延长线段OM 与C 交于点P ,四边形OAPB 能否为平行四边形?若能,求此时l 的斜率;若不能,说明理由.解:(1)设直线l :y=kx+b (k ≠0,b ≠0),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x M ,y M ).将y=kx+b 代入9x 2+y 2=m 2得(k 2+9)x 2+2kbx+b 2-m 2=0,故x M =x 1+x 22=−kb k 2+9,y M =kx M +b=9b k 2+9.于是直线OM 的斜率k OM =y M x M =-9k ,即k OM ·k=-9.所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值. (2)四边形OAPB 能为平行四边形. 因为直线l 过点(m 3,m), 所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是k>0,k ≠3.由(1)得OM 的方程为y=-9k x.设点P 的横坐标为x P .由{y =−9k x,9x 2+y 2=m 2得x P 2=k 2m 29k 2+81, 即x P =±km 3√k 2+9.将点(m 3,m)的坐标代入l 的方程得b=m(3−k)3, 因此x M =k(k−3)m 3(k 2+9). 四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分,即x P =2x M . 于是±km3√k 2+9=2×k(k−3)m 3(k 2+9), 解得k 1=4-√7,k 2=4+√7.因为k i >0,k i ≠3,i=1,2, 所以当l 的斜率为4-√7或4+√7时,四边形OAPB 为平行四边形.21.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅱ,理21)设函数f (x )=e mx +x 2-mx.(1)证明:f (x )在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增;(2)若对于任意x 1,x 2∈[-1,1],都有|f (x 1)-f (x 2)|≤e -1,求m 的取值范围.解:(1)f'(x )=m (e mx -1)+2x.若m ≥0,则当x ∈(-∞,0)时,e mx -1≤0,f'(x )<0;当x ∈(0,+∞)时,e mx -1≥0,f'(x )>0.若m<0,则当x ∈(-∞,0)时,e mx -1>0,f'(x )<0;当x ∈(0,+∞)时,e mx -1<0,f'(x )>0.所以,f (x )在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增.(2)由(1)知,对任意的m ,f (x )在[-1,0]单调递减,在[0,1]单调递增,故f (x )在x=0处取得最小值.所以对于任意x 1,x 2∈[-1,1],|f (x 1)-f (x 2)|≤e -1的充要条件是{f(1)−f(0)≤e −1,f(−1)−f(0)≤e −1,即{e m −m ≤e −1,e −m +m ≤e −1. ① 设函数g (t )=e t -t-e +1,则g'(t )=e t -1.当t<0时,g'(t )<0;当t>0时,g'(t )>0.故g (t )在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增.又g (1)=0,g (-1)=e -1+2-e <0,故当t ∈[-1,1]时,g (t )≤0.当m ∈[-1,1]时,g (m )≤0,g (-m )≤0,即①式成立;当m>1时,由g (t )的单调性,g (m )>0,即e m -m>e -1;当m<-1时,g (-m )>0,即e -m +m>e -1.综上,m 的取值范围是[-1,1].请考生在第22、23、24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分,做答时请写清题号.22.(本小题满分10分)(2015课标全国Ⅱ,理22)选修4—1:几何证明选讲如图,O 为等腰三角形ABC 内一点,☉O 与△ABC 的底边BC 交于M ,N 两点,与底边上的高AD 交于点G ,且与AB ,AC 分别相切于E ,F 两点.(1)证明:EF ∥BC ;(2)若AG 等于☉O 的半径,且AE=MN=2√3,求四边形EBCF 的面积.解:(1)由于△ABC 是等腰三角形,AD ⊥BC ,所以AD 是∠CAB 的平分线.又因为☉O 分别与AB ,AC 相切于点E ,F ,所以AE=AF ,故AD ⊥EF.从而EF ∥BC.(2)由(1)知,AE=AF ,AD ⊥EF ,故AD 是EF 的垂直平分线.又EF 为☉O 的弦,所以O 在AD 上.连结OE ,OM ,则OE ⊥AE.由AG 等于☉O 的半径得AO=2OE ,所以∠OAE=30°.因此△ABC 和△AEF 都是等边三角形.因为AE=2√3,所以AO=4,OE=2.因为OM=OE=2,DM=12MN=√3,所以OD=1.于是AD=5,AB=10√33. 所以四边形EBCF 的面积为12×(10√33)2×√32−12×(2√3)2×√32=16√33. 23.(本小题满分10分)(2015课标全国Ⅱ,理23)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线C 1:{x =tcosα,y =tsinα,(t 为参数,t ≠0),其中 0≤α<π.在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ=2sin θ,C 3:ρ=2√3cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标;(2)若C 1与C 2相交于点A ,C 1与C 3相交于点B ,求|AB|的最大值.解:(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2-2y=0,曲线C 3的直角坐标方程为x 2+y 2-2√3x=0.联立{x 2+y 2−2y =0,x 2+y 2−2√3x =0,解得{x =0,y =0,或{ x =√32,y =32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和(√32,32).(2)曲线C 1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其中0≤α<π.因此A 的极坐标为(2sin α,α),B 的极坐标为(2√3cos α,α).所以|AB|=|2sin α-2√3cos α|=4|sin (α−π3)|.当α=5π6时,|AB|取得最大值,最大值为4.24.(本小题满分10分)(2015课标全国Ⅱ,理24)选修4—5:不等式选讲 设a ,b ,c ,d 均为正数,且a+b=c+d ,证明:(1)若ab>cd ,则√a +√b >√c +√d ;(2)√a +√b >√c +√d 是|a-b|<|c-d|的充要条件.解:(1)因为(√a +√b )2=a+b+2√ab ,(√c +√d )2=c+d+2√cd ,由题设a+b=c+d ,ab>cd 得(√a +√b )2>(√c +√d )2.因此√a +√b >√c +√d .(2)①若|a-b|<|c-d|,则(a-b )2<(c-d )2,即(a+b )2-4ab<(c+d )2-4cd.因为a+b=c+d ,所以ab>cd.由(1)得√a +√b >√c +√d .②若√a +√b >√c +√d ,则(√a +√b )2>(√c +√d )2,即a+b+2√ab >c+d+2√cd .因为a+b=c+d,所以ab>cd.于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2.因此|a-b|<|c-d|.综上,√a+√b>√c+√d是|a-b|<|c-d|的充要条件.。
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2015年普通高等学校招生全国统一考试(2全国Ⅱ卷)数学(文)试题一、选择题 ( 本大题 共 12 题, 共计 60 分)1.已知集合A={}{}=<<=<<-B A x x B x x Y 则,30,21( ) A.( −1,3) B.( −1,0 ) C.(0,2) D.(2,3)2.若a 实数,且=+=++a i iai则,312( ) A.-4 B. -3 C. 3 D. 43.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论中不正确的是( )A.逐年比较,2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著;B.2007年我国治理二氧化碳排放显现成效;C.2006年以来我国二氧化碳排放量呈减少趋势;D.2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关。
4.已知向量=•+-=-=则(2),2,1(),1,0(( ) A. -1 B. 0 C. 1 D. 25.设{}项和,的前是等差数列n a S n n 若==++5531,3S a a a 则( )A. 5B. 7C. 9D. 116.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 ( )2700260025002400210020001900)A.81 B.71 C. 61D. 51 7.已知三点)32()30(),01(,,,,C B A ,则ABC ∆外接圆的圆心到原点的距离为( ) A. 35B. 321C. 352D. 348.右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。
执行该程序框图,若输入的a,b 分别为14,18,则输出的a 为( )A. 0B. 2C. 4D.149.已知等比数列{}=-==24531),1(4,41a a a a a a n 则满足( ) A. 2 B. 1 C. 21D. 8110.已知A,B 是球O 的球面上两点,为该球面上动点,C AOB ,90︒=∠若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36,则球O 的表面积为( )A. 36πB. 64πC. 144πD.256π11.如图,长方形的边AB=2,BC=1,O 是AB 的中点,点P 沿着边BC,CD,与DA 运动,记的图像大致为则数两点距离之和表示为函到将动点)(),(,,x f x f B A P x BOP =∠( )12.设函数的范围是成立的则使得x x f x f x x x f )12()(,11)1ln()(2->+-+= ( )A. )1,31(B. ),1()31,(+∞-∞YC. )31,31(-D. ),31()31,(+∞--∞Y二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分13.已知函数=-=a x ax x f ),则的图像过点(4,1-2)(3 。
2015年全国2卷数学试卷完美版
2015年高考理科数学全国2卷一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求。
(1)已知集合}2,1,0,1,2{-=A ,}0)2)(1/({<+-=x x x B ,则=⋂B A}0,1){(-A }1,0){(B }1,0,1){(-C }2,1,0){(D(2)若a 为实数且i i a ai 4)2)(2(-=-+则a =)(A -1 )(B 0 )(C 1 )(D 2(3)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位:万吨)柱形图。
以下结论不正确的是)(A 逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 )(B 2007年我国治理二氧化硫排放显现)(C 2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势)(D 2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关(4)等比数列}{n a 满足,21,35311=++=a a a a ,则=++753a a a)(A 21 )(B 42 )(C 63 )(D 84(5)设函数⎩⎨⎧≥<-+=-1,2,1),2(log 1)(12x x x x f x 则=+-)12(log )2(2f f)(A 3 )(B 6 )(C 9 )(D 12(6)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为)(A 81 )(B 71)(C 61 )(D 51(7)过三点A (1,3),B (4,2),C (1,7)的圆交于y 轴于M 、N 两点,则MN =)(A 26 )(B 8 )(C 46 )(D 10(8)右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。
执行该程序框图,若输入b a ,分别为14,18)(A 0 )(B 2 )(C 4 )(D 14(9)已知B A ,是球O 的球面上两点,C AOB ,90︒=∠为该球面上的动点,若三棱锥ABC O -体积的最大值为36,则球O 的表面积为)(A 36π )(B B.64π )(C 144π )(D 256π(10)如图,长方形ABCD 的边1,2==BC AB ,O 是AB 的中点,点P 沿着边CD BC ,与DA 运动,x BOP =∠,将动点P 到AB 两点距离之和表示为x 的函数)(x f ,则)(x f 的图像大致为Ox D C BA(D)(C)(B)(A)2xyO424π2xyO424π2xyO424ππ424Oyx2(11)已知B A ,为双曲线E 的左,右顶点,点M 在E 上,ABM ∆为等腰三角形,且顶角为120°,则E 的离心率为)(A 5 )(B 2 )(C 3 )(D 2(12)设函数)('x f 是奇函数))((R x x f ∈的导函数,0)1(=-f ,当0>x 时,0)()(,<-x f x xf ,则使得0)(>x f 成立的x 的取值范围是)(A )1,0()1,(⋃--∞ )(B ),1()0,1(+∞⋃- )(C )0,1()1,(-⋃--∞ )(D ),1()1,0(+∞⋃二、填空题(13)设向量b a ,不平行,向量b a +λ与b a 2+平行,则实数=λ___________.(14)若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥+-,022,02,01y x y x y x ,则y x z +=的最大值为____________.(15)4)1)((x x a ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32,则=a __________. (16)n S 是数列}{n a 的前n 项和,且11-=a ,11+=+n n n S S a ,则n S =__________. 三.解答题(17)(本小题满分12分)ABC ∆中,D 是BC 上的点,AD 平分BAC ∠,ABD ∆是ADC ∆面积的2倍。
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2015年普通高等学校招生全国统一考试理科
(新课标卷二Ⅱ)
第Ⅰ卷
一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A={-2,-1,0,2},B={x|(X-1)(x+2)<0},则A∩B=
(A){-1,0}(B){0,1}(C){-1,0,1}(D){0,1,2}2.若a为实数且(2+ai )(a-2i )=-4i,则a =
(A)-1 (B)0 (C)1 (D)2
3.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位:万吨)柱形图。
以下结论不正确的是
(A)逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
(B)2007年我国治理二氧化硫排放显现
(C)2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
(D)2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
4.等比数列{a n}满足a1=3,a1+ a3+ a5=21,则a3+ a5+ a7=
(A)21 (B)42 (C)63 (D)84
5.设函数f (x )=⎩⎨⎧≥++-1
,2,1),2(log 112x x x x <,则f (-2)+ f (log 212) =
(A )3 (B )6 (C )9 (D )12
6.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则
截去部分体积与剩余部分体积的与剩余部分体积的比值为
(A )81 (B )71 (C )61 (D )5
1
7.过三点A (1,3),B (4,2),C (1,7)的圆交于y 轴于M 、N 两点,则MN =
(A )26 (B )8 (C )46 (D )10
8.右边程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》
中的“更相减损术”。
执行该程序框图,若输入a,b 分别为14,18,
则输出的a=
(A )0 (B )2
(C )4 (D )14
9.已知A,B 是球O 的球面上两点,∠AOB=90,C 为该球面上的动点,若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36,则球O 的表面积为
(A )36π (B )64π (C )144π (D )256π
10.如图,长方形ABCD 的边AB=2,BC=1,O 是AB 的中点,点P 沿着边BC ,CD 与DA 运动,∠BOP=x 。
将动点P 到AB 两点距离之和表示为x 的函数f (x ),则f (x )的图像大致为
11.已知A ,B 为双曲线E 的左,右顶点,点M 在E 上,∆ABM 为等腰三角形,
且顶角为
120°,则E 的离心率为
(A)5 (B)2 (C)3 (D)2
12.设函数f ’(x)是奇函数f (x )(x ∈R)的导函数,f (-1)=0,当x>0时,x f ’(x )-f
(x )<0,则使得f (x ) >0成立的x 的取值范围是
(A) (-∞,-1)∪(0,1) (B) (-1,0)∪(1,+∞)
(C) (-∞,-1)∪(-1,0) (D) (0,1)∪(1,+∞)
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生必须做答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答。
二.填空题
13.设向量a ,b 不平行,向量λa +b 与a +2b 平行,则实数λ=________.(用数字填写答案)
14.若x ,y 满足约束条件⎪⎩
⎪⎨⎧≤-+≤-≥+-,022,02,01y x y x y x ,则z= x +y 的最大值为____________..
15.(a +x )(1+x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32,则a =__________.
16.设S n 是数列{a n }的前n 项和,且a 1=-1,a n +1=S n S n +1,则S n=________.
三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
(17)∆ABC 中,D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC ,∆ABD 是∆ADC 面积的2倍。
(Ⅰ) 求C
B ∠∠sin sin ; (Ⅱ) 若AD=1,DC=2
2,求BD 和AC 的长.
18. 某公司为了解用户对其产品的满意度,从A ,B 两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下:
A 地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 76
78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
B 地区:73 83 62 51 91 46 53 73 64 82
93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
(Ⅰ)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶
图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,得出结论即可);
(Ⅱ)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个不等级:
地区用户的评价结果相互独立。
根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求C 的概率
19. 如图,长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中AB=16,BC=10,AA 1=8,点E ,F 分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F 。
过带你E ,F 的平面α与此长方体的面相交,交线
围成一个正方形
(Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由)
(Ⅱ)求直线AF 与平面α所成角的正弦值
20. 已知椭圆C :9x 2+ y 2 = m 2 (m >0)错误!未找到引用源。
,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴,l 与C 有
两个交点A ,B ,线段AB 的中点为M.
(I )证明:直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值;
(II )若l 过点(3
m ,m ),延长线段OM 与C 交于点P ,四边形OAPB 能否平行四边行?若能,求此时l 的斜率,若不能,说明理由.
21. 设函数f(x)=e mx+x2-mx.
(Ⅰ)证明:f(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增;
(Ⅱ)若对于任意x1, x2∈[-1,1],都有|f(x1)- f(x2)|≤e-1,求m的取值范围请考生在第22、23、24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号.
(22).(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲
如图,O为等腰三角形ABC内一点,圆O与ABC的底边BC
交于M、N两点与底边上的高AD交于点G,且与AB、AC分别相
切于E、F两点.
(I)证明:EF平行于BC
(II)若AG等于圆O的半径,且AE=MN=,求四边形EBCF的面积。
(23)(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中,曲线C 1:)0(,sin ,cos ≠⎩
⎨⎧==t t t y t x 为参数,αα,其中0≤α<π ,在以O
为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ=2sin θ,曲线C 3:ρ=32cos θ .
(I ).求C 2与C 3交点的直角坐标
(II ).若C 1与C 2相交于点A ,C 1与C 3相交于点B ,求AB 的最大值
(24)(本小题满分10分)选修4-5不等式选讲 设a 、b 、c 、d 均为正数,且a+b=c+d,证明: (I )若ab >cd ,则d c b a ++>;
(II )d c b a ++>是d c b a --<的充要条件.。