2017年辽宁省丹东市高考数学一模试卷(理科) 有答案

2017年辽宁省丹东市、鞍山市、营口市高考数学一模试卷（理科）
一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，四个选项中只有一个正确）
1．设P={x|x＜4}，Q={x|x2＜4}，则（）
A．P⊆Q B．Q⊆P C．P⊆∁R Q D．Q⊆∁R P
2．复数，且A+B=0，则m的值是（）
A．B．C．﹣D．2
3．设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若y i=x i+a（a为非零常数，i=1，2，…，10），则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为（）
A．1+a，4 B．1+a，4+a C．1，4 D．1，4+a
4．公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n．若a4是a3与a7的等比中项，S8=32，则S10等于（）
A．18 B．24 C．60 D．90
5．设F1和F2为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，若F1，F2，P（0，2b）是正三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是（）
A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x
6．设a=log23，，c=log34，则a，b，c的大小关系为（）
A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a
7．圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上的点到直线x+y﹣8=0的最大距离与最小距离的差是（）
A．18 B．C．D．
8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．B．3πC．D．6π
9．4的展开式共（）项．
A．10 B．15 C．20 D．21
10．为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求∠ACB=60°，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米，为了稳固广告牌，要求AC越短越好，则AC最短为（）
A．（1+）米B．2米C．（1+）米D．（2+）米
11．已知函数f（x）在R上满足f（x）=2f（2﹣x）﹣x2+8x﹣8，则曲线y=f（x）在点（1，f （1））处的切线方程是（）
A．y=﹣2x+3 B．y=x C．y=3x﹣2 D．y=2x﹣1
12．已知椭圆的左焦点为F1，有一小球A从F1处以速度v开始沿直线运动，经椭圆壁反射（无论经过几次反射速度大小始终保持不变，小球半径忽略不计），若小球第一次回到F1时，它所用的最长时间是最短时间的5倍，则椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．等比数列{a n}的公比q＞0．已知a2=1，a n
+2+a n
+1
=6a n，则{a n}的前4项和S4=．
14．如图所示，输出的x的值为．
15．已知四面体ABCD，AB=4，AC=AD=6，∠BAC=∠BAD=60°，∠CAD=90°，则该四面体外接球半径为．
16．设点P在曲线y=e x上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|的最小值为．
三、解答题（本大题共5小题，共70分）
17．（12分）已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx+a，且当x∈[0，]时，f（x）的最小值
为2．
（1）求a的值，并求f（x）的单调递增区间；
（2）先将函数y=f（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再将所得图象向右
平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求方程g（x）=4在区间[0，]上所有根之和．18．（12分）某校举行“庆元旦”教工羽毛球单循环比赛（任意两个参赛队只比赛一场），共有
高一、高二、高三三个队参赛，高一胜高二的概率为，高一胜高三的概率为，高二胜高三的概率为P，每场胜负独立，胜者记1分，负者记0分，规定：积分相同者高年级获胜．
（Ⅰ）若高三获得冠军概率为，求P．
（Ⅱ）记高三的得分为X，求X的分布列和期望．
19．（12分）如图所示，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1C1C，AB=BC=1，BB1=2，∠BCC1=60°．
（Ⅰ）求证：C1B⊥平面ABC；
（Ⅱ）E是棱CC1所在直线上的一点，若二面角A﹣B1E﹣B的正弦值为，求CE的长．
20．（12分）已知抛物线C：y=2x2，直线l：y=kx+2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线C于点N．
（1）证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；
（2）是否存在实数k使以AB为直径的圆M经过点N，若存在，求k的值，若不存在，说明理由．
21．（12分）已知函数f（x）=x2++alnx．
（Ⅰ）若f（x）在区间[2，3]上单调递增，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）设f（x）的导函数f′（x）的图象为曲线C，曲线C上的不同两点A（x1，y1）、B（x2，y2）所在直线的斜率为k，求证：当a≤4时，|k|＞1．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）选修4﹣4；坐标系与参数方程
已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D
依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．
（1）求点A，B，C，D的直角坐标；
（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．
[选修4-5：不等式选讲]
23．设不等式﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0的解集为M，a、b∈M，
（1）证明：|a+b|＜；
（2）比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|的大小，并说明理由．
2017年辽宁省丹东市、鞍山市、营口市高考数学一模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，四个选项中只有一个正确）
1．设P={x|x＜4}，Q={x|x2＜4}，则（）
A．P⊆Q B．Q⊆P C．P⊆∁R Q D．Q⊆∁R P
【考点】子集与真子集．
【分析】此题只要求出x2＜4的解集{x|﹣2＜x＜2}，画数轴即可求出．
【解答】解：P={x|x＜4}，Q={x|x2＜4}={x|﹣2＜x＜2}，如图所示，
可知Q⊆P，
故选：B．
【点评】此题需要学生熟练掌握子集、真子集和补集的概念，主要考查了集合的基本运算，属容易题．
2．复数，且A+B=0，则m的值是（）
A．B．C．﹣D．2
【考点】复数相等的充要条件．
【分析】复数方程两边同乘1+2i，利用复数相等求出A、B，利用A+B=0，求出m的值．
【解答】解：因为，所以2﹣mi=（A+Bi）（1+2i），
可得A﹣2B=2，2A+B=m 解得5（A+B）=﹣3m﹣2=0
所以m=
故选C．
【点评】本题考查复数相等的充要条件，考查计算能力，是基础题．
3．设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若y i=x i+a（a为非零常数，i=1，2，…，10），则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为（）
A．1+a，4 B．1+a，4+a C．1，4 D．1，4+a
【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．
【分析】方法1：根据变量之间均值和方差的关系直接代入即可得到结论．
方法2：根据均值和方差的公式计算即可得到结论．
【解答】解：方法1：∵y i=x i+a，
∴E（y i）=E（x i）+E（a）=1+a，
方差D（y i）=D（x i）+E（a）=4．
方法2：由题意知y i=x i+a，
则=（x1+x2+…+x10+10×a）=（x1+x2+…+x10）=+a=1+a，
方差s2= [（x1+a﹣（+a）2+（x2+a﹣（+a）2+…+（x10+a﹣（+a）2]= [（x1﹣）2+
（x2﹣）2+…+（x10﹣）2]=s2=4．
故选：A．
【点评】本题主要考查样本数据的均值和方差之间的关系，若变量y=ax+b，则Ey=aEx+b，Dy=a2Dx，利用公式比较简单或者使用均值和方差的公式进行计算．
4．公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n．若a4是a3与a7的等比中项，S8=32，则S10等于（）
A．18 B．24 C．60 D．90
【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．
【分析】由等比中项的定义可得a42=a3a7，根据等差数列的通项公式及前n项和公式，列方程解出a1和d，进而求出s10．
【解答】解：∵a4是a3与a7的等比中项，
∴a42=a3a7，
即（a1+3d）2=（a1+2d）（a1+6d），
整理得2a1+3d=0，①
又∵，
整理得2a1+7d=8，②
由①②联立，解得d=2，a1=﹣3，
∴，
故选：C．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式和等比中项的定义，比较简单．
5．设F1和F2为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，若F1，F2，P（0，2b）是正三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是（）
A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】设F1（﹣c，0），F2（c，0），则|F1P|=，由F1、F2、P（0，2b）是正三角
形的三个顶点可知|F1P|==2c，由此可求出b==a，进而得到双曲线的渐近线方程．
【解答】解：若F1，F2，P（0，2b）是正三角形的三个顶点，
设F1（﹣c，0），F2（c，0），则|F1P|=，
∵F1、F2、P（0，2b）是正三角形的三个顶点，
∴=2c，∴c2+4b2=4c2，
∴c2+4（c2﹣a2）=4c2，
∴c2=4a2，即c=2a，
b==a，
∴双曲线的渐近线方程为y=±x，
即为y=±x．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的性质，主要是渐近线方程的求法，在解题时要注意审题，由F1、F2、P（0，2b）是正三角形的三个顶点建立方程，考查运算能力，属于中档题．
6．设a=log23，，c=log34，则a，b，c的大小关系为（）
A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a
【考点】对数值大小的比较．
【分析】利用对数函数的单调性求解．
【解答】解：∵a=log23＞==b，
=＞log34=c，
∴a，b，c的大小关系为c＜b＜a．
故选：D．
【点评】本题主要考查了对数的大小判断，常常利用与1进行比较，属于基础题．
7．圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上的点到直线x+y﹣8=0的最大距离与最小距离的差是（）
A．18 B．C．D．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上的点到直线x+y﹣8=0的最大距离与最小距离分别是：d+r，d﹣r，其两者之差即为圆的直径，进而可得答案．
【解答】解：∵圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0，
∴（x﹣2）2+（y﹣2）2=18，
∴圆半径r=3．
圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上的点到直线x+y﹣8=0的最大距离与最小距离分别是：d+r，d﹣r，其两者之差即为圆的直径，
故圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上的点到直线x+y﹣8=0的最大距离与最小距离的差是，
故选：B
【点评】本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，明确圆上的点到直线的最大距离和最小距离的计算方法是解题的关键．
8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．B．3πC．D．6π
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据，求出几何体的体积即可．
【解答】解：由三视图可知几何体是圆柱底面半径为1高为6的圆柱，被截的一部分，如图
所求几何体的体积为：=3π．
故选B．
【点评】本题考查三视图与几何体的关系，正确判断几何体的特征是解题的关键，考查计算能力．
9．（x+y+z）4的展开式共（）项．
A．10 B．15 C．20 D．21
【考点】二项式系数的性质．
【分析】根据二项式定理的展开式即可的得出结论．
【解答】解：（x+y+z）4=（x+y）4+4（x+y）3z+6（x+y）2z2+4（x+y）z3+z4，
根据二项式定理：（x+y）n展示式中共有n+1项，所以上式中：共有5+4+3+2+1=15项．
故选：B．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
10．为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求∠ACB=60°，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米，为了稳固广告牌，要求AC越短越好，则AC最短为（）
A．（1+）米B．2米C．（1+）米D．（2+）米
【考点】余弦定理；基本不等式．
【分析】设BC的长度为x米，AC的长度为y米，依据题意可表示出AB的长度，然后代入到余弦定理中求得x和y的关系式，利用基本不等式求得y的最小值，并求得取等号时x的值．【解答】解：设BC的长度为x米，AC的长度为y米，则AB的长度为（y﹣0.5）米，
在△ABC中，依余弦定理得：AB2=AC2+BC2﹣2AC•BCcos∠ACB，
即（y﹣0.5）2=y2+x2﹣2yx×，化简，得y（x﹣1）=x2﹣，
∵x＞1，
∴x﹣1＞0，
因此y=，
y=
（x﹣1）++2≥+2，
当且仅当x﹣1=时，取“=”号，
即x=1+时，y有最小值2+．
故选：D．
【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用以及基本不等式求最值问题．考查了考生利用数学模型解决实际问题的能力，属于中档题．
11．已知函数f（x）在R上满足f（x）=2f（2﹣x）﹣x2+8x﹣8，则曲线y=f（x）在点（1，f （1））处的切线方程是（）
A．y=﹣2x+3 B．y=x C．y=3x﹣2 D．y=2x﹣1
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】先根据f（x）=2f（2﹣x）﹣x2+8x﹣8求出函数f（x）的解析式，然后对函数f（x）进行求导，进而可得到y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程的斜率，最后根据点斜式可求导切线方程．
【解答】解：∵f（x）=2f（2﹣x）﹣x2+8x﹣8，
∴f（2﹣x）=2f（x）﹣（2﹣x）2+8（2﹣x）﹣8．
∴f（2﹣x）=2f（x）﹣x2+4x﹣4+16﹣8x﹣8．
将f（2﹣x）代入f（x）=2f（2﹣x）﹣x2+8x﹣8
得f（x）=4f（x）﹣2x2﹣8x+8﹣x2+8x﹣8．
∴f（x）=x2，f′（x）=2x，
∴y=f （x ）在（1，f （1））处的切线斜率为y′=2．
∴函数y=f （x ）在（1，f （1））处的切线方程为y ﹣1=2（x ﹣1）， 即y=2x ﹣1． 故选：D ．
【点评】本题主要考查求函数解析式的方法和函数的求导法则以及导数的几何意义，函数在某点处的导数值等于该点的切线方程的斜率．
12．已知椭圆的左焦点为F 1，有一小球A 从F 1处以速度v 开始沿直线运动，经椭圆壁反射（无论经过几次反射速度大小始终保持不变，小球半径忽略不计），若小球第一次回到F 1时，它所用的最长时间是最短时间的5倍，则椭圆的离心率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】由题意可得a +c=5（a ﹣c ），由此即可求得椭圆的离心率．
【解答】解：∵椭圆上的点到左焦点距离最小的点是左顶点，距离最大的点是右顶点，
∴由题意可得a +c=5（a ﹣c ），即4a=6c ，得．
∴椭圆的离心率为． 故选：D ．
【点评】本题考查椭圆的简单性质，明确椭圆上的点到左焦点距离最小的点是左顶点，距离最大的点是右顶点是关键，是基础题．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．等比数列{a n }的公比q ＞0．已知a 2=1，a n +2+a n +1=6a n ，则{a n }的前4项和S 4= ．
【考点】等比数列的前n 项和．
【分析】先根据：{a n }是等比数列把a n +2+a n +1=6a n 整成理q 2+q ﹣6=0求得q ，进而根据a 2求得a 1，最后跟等比数列前n 项的和求得S 4．
【解答】解：∵{a n }是等比数列，∴a n +2+a n +1=6a n 可化为 a 1q n +1+a 1q n =6a 1q n ﹣1， ∴q 2+q ﹣6=0． ∵q ＞0，∴q=2．
a 2=a 1q=1，∴a 1=．
∴S4===．
故答案为
【点评】本题主要考查等比数列前n项和公式和等比数列的通项公式．考查了学生对等比数列基础知识点的掌握．
14．如图所示，输出的x的值为17．
【考点】程序框图．
【分析】执行程序框图，写出每次循环得到的x的值，当a=b=17时满足条件a=b，输出x的值为17．
【解答】解：模拟程序的运行，可得
a=51，b=221
不满足条件a=b，满足b＞a，b=221﹣51=170，
不满足条件a=b，满足b＞a，b=170﹣51=119，
不满足条件a=b，满足b＞a，b=119﹣51=68，
不满足条件a=b，满足b＞a，b=68﹣51=17，
不满足条件a=b，满足a＞b，a=51﹣17=34，
不满足条件a=b，满足a＞b，a=34﹣17=17，
满足条件a=b，x=17，输出x的值为17．
故答案为：17．
【点评】本题主要考察了程序框图和算法，正确写出每次循环得到的x的值是解题的关键，属于基础题．
15．已知四面体ABCD，AB=4，AC=AD=6，∠BAC=∠BAD=60°，∠CAD=90°，则该四面体
外接球半径为2．
【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．
【分析】作出图形，利用勾股定理，求出四面体外接球半径．
【解答】解：如图所示，O′为△ACD的外心，O为球心，BE⊥平面ACD，BF⊥AC，则EF⊥
AC，∴AF=2，AE=2，BE==2．
设该四面体外接球半径为R，OO′=d，则2+（2+d）2=d2+（3）2，
∴d=，CD=6，
∴R==2，
故答案为：2．
【点评】本题考查四面体外接球半径，考查勾股定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
16．设点P在曲线y=e x上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|的最小值为．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；两点间距离公式的应用．
【分析】由于函数y=e x与函数y=ln（2x）互为反函数，图象关于y=x对称，要求|PQ|的最小
值，只要求出函数y=e x上的点P（x，e x）到直线y=x的距离为d=，设g（x）
=e x﹣x，求出g（x）min=1﹣ln2，即可得出结论．
【解答】解：∵函数y=e x与函数y=ln（2x）互为反函数，图象关于y=x对称
函数y=e x上的点P（x，e x）到直线y=x的距离为d=
设g（x）=e x﹣x，（x＞0）则g′（x）=e x﹣1
由g′（x）=e x﹣1≥0可得x≥ln2，
由g′（x）=e x﹣1＜0可得0＜x＜ln2
∴函数g（x）在（0，ln2）单调递减，在[ln2，+∞）单调递增
∴当x=ln2时，函数g（x）min=1﹣ln2，d min=
由图象关于y=x对称得：|PQ|最小值为2d min=．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了点到直线的距离公式的应用，注意本题解法中的转化思想的应用，根据互为反函数的对称性把所求的点点距离转化为点线距离，构造很好．
三、解答题（本大题共5小题，共70分）
17．（12分）（2017•营口一模）已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx+a，且当x∈[0，]时，f（x）的最小值为2．
（1）求a的值，并求f（x）的单调递增区间；
（2）先将函数y=f（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再将所得图象向右
平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求方程g（x）=4在区间[0，]上所有根之和．【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】（1）化简可得f（x）=2sin（2x+）+a+1，由题意易得﹣1+a+1=2，解方程可得a值，
解不等式2kπ﹣≤2x+≤2kπ+可得单调区间；
（2）由函数图象变换可得g（x）=2sin（4x﹣）+3，可得sin（4x﹣）=，解方程可得
x=或x=，相加即可．
【解答】解：（1）化简可得f（x）=2cos2x+2sinxcosx+a
=cos2x+1+sin2x+a=2sin（2x+）+a+1，
∵x∈[0，]，
∴2x+∈[，]，
∴f（x）的最小值为﹣1+a+1=2，解得a=2，
∴f（x）=2sin（2x+）+3，
由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+可得kπ﹣≤x≤kπ+，
∴f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，（k∈Z）；
（2）由函数图象变换可得g（x）=2sin（4x﹣）+3，
由g（x）=4可得sin（4x﹣）=，
∴4x﹣=2kπ+或4x﹣=2kπ+，
解得x=+或x=+，（k∈Z），
∵x∈[0，]，
∴x=或x=，
∴所有根之和为+=．
【点评】本题考查三角函数和差角的公式和三角函数图象的变换，属中档题．
18．（12分）（2017•营口一模）某校举行“庆元旦”教工羽毛球单循环比赛（任意两个参赛队只
比赛一场），共有高一、高二、高三三个队参赛，高一胜高二的概率为，高一胜高三的概率
为，高二胜高三的概率为P，每场胜负独立，胜者记1分，负者记0分，规定：积分相同者高年级获胜．
（Ⅰ）若高三获得冠军概率为，求P．
（Ⅱ）记高三的得分为X，求X的分布列和期望．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．
【分析】（Ⅰ）由题意得到高三获得冠军的所有情况，然后利用相互独立事件及互斥事件的概
率公式求出概率，由概率为求得p值；
（Ⅱ）写出高三的得分为X的所有取值，求出相应的概率，则分布列及期望可求．
【解答】解：（Ⅰ）高三获得冠军有两种情况，高三胜两场，三个队各胜一场．
高三胜两场的概率为，
三个队各胜一场的概率为，
∴．
解得：；
（Ⅱ）高三的得分X的所有可能取值有0、1、2，
P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=．
∴X的分布列为：
故X的期望E（X）=．
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望，考查了相互独立事件及其概率计算公式，是中档题．
19．（12分）（2017•营口一模）如图所示，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1C1C，AB=BC=1，BB1=2，∠BCC1=60°．
（Ⅰ）求证：C1B⊥平面ABC；
（Ⅱ）E是棱CC1所在直线上的一点，若二面角A﹣B1E﹣B的正弦值为，求CE的长．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．
【分析】（Ⅰ）证明AB⊥BC1，在△CBC1中，由余弦定理求解B1C，然后证明BC⊥BC1，利用直线与平面垂直的判定定理证明C1B⊥平面ABC．
（Ⅱ）通过AB，BC，BC1两两垂直．以B为原点，BC，BA，BC1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．求出相关点的坐标，求出平面AB1E的一个法向量，平面的一个法向量通过向量的数量积，推出λ的方程，求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）证明：因为AB⊥平面BB1C1C，BC1⊆平面BB1C1C，所以AB⊥BC1，…（1分）
在△CBC1中，BC=1，CC1=BB1=2，∠BCC1=60°，
由余弦定理得：BC12=BC2+CC12﹣2BC•CC1•cos∠BCC1=12+22﹣2×1×2×cos60°=3，
所以B1C=，…（3分）
故BC2+BC12=CC12，所以BC⊥BC1，…
又BC∩AB=B，∴C1B⊥平面ABC．…
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，AB，BC，BC1两两垂直．以B为原点，BC，BA，BC1所在直线
为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
则，则B（0，0，0），A（0，1，0），C（1，0，0），C1（0，0，），B1（﹣1，0，）（7分）
，，令，∴
，
，
设平面AB1E的一个法向量为．
，令z=，则x=，y=，
∴，．∵AB⊥平面BB1C1C，是平面的一个法向量，
|cos＜＞|=，两边平方并化简得2λ2﹣5λ+3=0，所以λ=1或（舍去）．
∴CE=CC1=2．
【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，二面角的向量求解方法，考查空间想象能力计算能力以及逻辑推理能力．
20．（12分）（2017•营口一模）已知抛物线C：y=2x2，直线l：y=kx+2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线C于点N．
（1）证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；
（2）是否存在实数k使以AB为直径的圆M经过点N，若存在，求k的值，若不存在，说明理由．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；直线与圆的位置关系．
【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和中点坐标公式，可得M，N的坐标，再由y=2x2的导数，可得在点N处的切线斜率，由两直线平行的条件即可得证；
（2）假设存在实数k，使AB为直径的圆M经过点N．由于M是AB的中点，则|MN|=|AB|，运用弦长公式计算化简整理，即可求得k=±2，故存在实数k，使AB为直径的圆M经过点N．【解答】（1）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），
把y=kx+2代入y=2x2得2x2﹣kx﹣2=0，
得x1+x2=．
∵x N=x M==，∴N点的坐标为（，）．
∵y′=4x，∴y′|=k，
即抛物线在点N处的切线的斜率为k．
∵直线l：y=kx+2的斜率为k，
∴l∥AB；
（2）解：假设存在实数k，使AB为直径的圆M经过点N．
由于M是AB的中点，∴|MN|=|AB|．
由（Ⅰ）知y M=（y1+y2）=（kx1+2+kx2+2）
= [k（x1+x2）+4]=（4+）=2+，
由MN⊥x轴，则|MN|=|y M﹣y N|=2+﹣=，
∵|AB|=•
=•=•
由=•
∴k=±2，
则存在实数k=±2，使AB为直径的圆M经过点N．
【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义和两直线平行的条件，同时考查直线和圆的位置关系，考查运算能力，属于中档题．
21．（12分）（2017•营口一模）已知函数f（x）=x2++alnx．
（Ⅰ）若f（x）在区间[2，3]上单调递增，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）设f（x）的导函数f′（x）的图象为曲线C，曲线C上的不同两点A（x1，y1）、B（x2，y2）所在直线的斜率为k，求证：当a≤4时，|k|＞1．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）由函数单调性，知其导函数≥0在[2，3]上恒成立，将问题转化为在[2，3]上单调递减即可求得结果；
（2）根据题意，将写成，利用不等式的性质
证明，所以＞，即得．
【解答】解：（1）由，得．
因为f（x）在区间[2，3]上单调递增，
所以≥0在[2，3]上恒成立，
即在[2，3]上恒成立，
设，则，
所以g（x）在[2，3]上单调递减，
故g（x）max=g（2）=﹣7，
所以a≥﹣7；
（2）对于任意两个不相等的正数x1、x2有
＞
=
=，
∴，
而，
∴=
=＞，
故：＞，即＞1，
∴当a≤4时，．
【点评】本题考查导数及基本不等式的应用，解题的关键是利用不等式得到函数值的差的绝对值要大于自变量的差的绝对值．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）（2012•新课标）选修4﹣4；坐标系与参数方程
已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D
依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．
（1）求点A，B，C，D的直角坐标；
（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．
【考点】椭圆的参数方程；简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．
【分析】（1）确定点A，B，C，D的极坐标，即可得点A，B，C，D的直角坐标；
（2）利用参数方程设出P的坐标，借助于三角函数，即可求得|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．
【解答】解：（1）点A，B，C，D的极坐标为
点A，B，C，D的直角坐标为
（2）设P（x0，y0），则为参数）
t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2φ
∵sin2φ∈[0，1]
∴t∈[32，52]
【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查圆的参数方程的运用，属于中档题．
[选修4-5：不等式选讲]
23．（2015•天水校级模拟）设不等式﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0的解集为M，a、b∈M，
（1）证明：
|a
+b|＜；
（2）比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|的大小，并说明理由．【考点】不等式的证明；绝对值不等式的解法．
【分析】（1）利用绝对值不等式的解法求出集合M，利用绝对值三角不等式直接证明：
|a
+b|
＜；
（2）利用（1）的结果，说明ab的范围，比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|两个数的平方差的大小，即可得到结果．
【解答】解：（1）记f（x）=|x﹣1|﹣|x+2|
=，
由﹣2＜﹣2x﹣1＜0
解得﹣＜x
＜，则M=
（﹣
，）．…（3分）
∵a、b∈M ，∴
，
所以
|a
+b|≤|a
|+|b|
＜
×
+
×
=．…
（2）由（1）得a2
＜，b2
＜．
因为|1﹣4ab|2﹣4|a﹣b|2=（1﹣8ab+16a2b2）﹣4（a2﹣2ab+b2）
=（4a2﹣1）（4b2﹣1）＞0，…（9分）
所以|1﹣4ab|2＞4|a﹣b|2，故|1﹣4ab|＞2|a﹣b|．…（10分）
【点评】本题考查不等式的证明，绝对值不等式的解法，考查计算能力．。