平稳序列的时间序列分析

Ft1,t2Ltm (x1 , x2 ,L, xm ) = Ft1+τ ,t2+τ Ltm+τ (x1 , x 2 ,L, xm )
n 满足如下条件的序列称为宽平稳序列
1)
EX2 t
<
∞
,
∀t
∈
T
2) EXt = µ, µ为常数，∀t ∈ T
3) γ (t, s) = γ (k ,k + s − t)，∀t,s,k且k + s − t ∈ T
n AR模型（Auto Regression Model） n MA模型（Moving Average Model） n ARMA模型（Auto Regression Moving
Average model）
AR模型的定义
n 具有如下结构的模型称为 p 阶自回归模 型，简记为 AR( p)
xt = φ0 + φ1xt −1 + φ2 xt −2 + L + φ p xt − p + εt
第一章 平稳序列的时间序列分析
第一节 时间序列的预处理
本节结构
n 平稳性检验 n 纯随机性检验
1.1平稳性检验
n 特征统计量 n 平稳时间序列的定义 n 平稳时间序列的统计性质 n 平稳时间序列的意义 n 平稳性的检验
概率分布
n 概率分布的意义
n 随机变量族的统计特性完全由它们的联合分布函数 或联合密度函数决定
φp ≠ 0
E
(ε
t
)
=
0，Var(ε
t
)
=
σ
2 ε
,
E (ε
tε
s
)
=
0,
s
≠
t
Exsε t = 0,∀s < t
n 特别当φ0 = 0 时，称为中心化AR( p) 模型
AR(P)序列中心化变换
n 称{yt }为{xt } 的中心化序列 ，令
µ=
φ0
1 − φ1 − L− φ p
yt = xt − µ
n 齐次线性差分方程
zt + a1 zt −1 + a2 zt −2 + L + a p zt − p = 0
齐次线性差分方程的解
n 特征方程 λp + a1λp−1 + a 2λp−2 + L+ ap = 0
n 特征方程的根称为特征根，记作λ1, λ2 ,L,λ p n 齐次线性差分方程的通解
n 不相等实数根场合
(
ρˆ2k
) ~ χ 2 (m)
k=1 n − k
判别原则
n 拒绝原假设 n 当量检的验P值统小计于量α大时于，χ1则2−α (可m)分以位以点1−，α 或的该置统信计水
平拒绝原假设，认为该序列为非白噪声序列
n 接受原假设 n 当量检的验P值统大计于量α小时于，χ1则2−α (认m)分为位在点1−，α 或的该置统信计水
平下无法拒绝原假设，即不能显著拒绝序列 为纯随机序列的假定
例2.4：
标准正态白噪声序列纯随机性检验
样本自相关图
检验结果
延迟
延迟6期 延迟12期
QLB统计量检验 QLB 统计量值
2.36 5.35
P值 0.8838 0.9454
由于P 值显著大于显著性水平 α，所以该序列不能拒
绝纯随机的原假设。
5
例2.5
zt
=
c1λt1
+
c
2λ
t 2
+L + cp λtp
n 有相等实根场合
zt
=
(c1
+ c2t
+L+ cd td −1)λ1t
பைடு நூலகம்
+
cd
λt
+1 d+1
+
L+ cp λtp
n 复根场合
zt = rt ( c1eitϖ + c2e− itϖ ) + c3λt3 +L + cpλtp
非齐次线性差分方程的解
n 非齐次线性差分方程的特解
n 延迟ｋ自相关系数
ρk
==
γ γ
(k) (0)
自相关系数的性质
n 规范性 n 对称性 n 非负定性 n 非唯一性
平稳时间序列的意义
n 时间序列数据结构的特殊性
n 可列多个随机变量，而每个变量只有一个样 本观察值
n 平稳性的重大意义
n 极大地减少了随机变量的个数，并增加了待 估变量的样本容量
n 极大地简化了时序分析的难度，同时也提高 了对特征统计量的估计精度
标准正态白噪声序列时序图
白噪声序列的性质
n 纯随机性 γ(k) = 0，∀k ≠ 0
n 各序列值之间没有任何相关关系，即 为 “没有记忆” 的序列
n 方差齐性 DX t = γ (0) = σ 2
n 根据马尔可夫定理，只有方差齐性假定成立时，用 最小二乘法得到的未知参数估计值才是准确的、有 效的
纯随机性检验
n 推导出
µ=
φ0
1 −φ1 −L −φp
方差
n 平稳AR模型的传递形式
∞
∑ xt = G jε t −j j=0
n 两边求方差得
∞
∑ Var(xt ) =
G
j2σ
n 检验原理 n 假设条件 n 检验统计量 n 判别原则
4
Barlett定理
n 如果一个时间序列是纯随机的，得到一 个观察期数为n的观察序列，那么该序列 的延迟非零期的样本自相关系数将近似 服从均值为零，方差为序列观察期数倒 数的正态分布
ρˆk
~&
N (0, 1 ) n
, ∀k ≠ 0
假设条件
n 原假设：延迟期数小于或等于m期的序列 值之间相互独立
2
例题
n 例2.1
n 检 验1964年 — — 1999年中国纱年产量序列的平稳 性
n 例2.2
n 检 验1962年1月 — — 1975年12月平均每头奶牛月 产奶量序列的平稳性
n 例2.3
n 检 验１９４９ 年 — — １９９８年北京市每年最高气温序列的 平稳性
例2.1时序图
例2.1自相关图
例2.2时序图
例2.2 自相关图
例2.3时序图
3
例2.3自相关图
2.2 纯随机性检验
n 纯随机序列的定义 n 纯随机性的性质 n 纯随机性检验
纯随机序列的定义
n 纯随机序列也称为白噪声序列，它满足 如下两条性质
(1)EX t = µ , ∀t ∈T
σ 2, t = s
(2)γ
(t,
s)
=

0,
t
≠
s
, ∀t, s∈T
n 宽平稳
n 宽平稳是使用序列的特征统计量来定义的一种平稳 性 。它认为序列的统计性质主要由它的低阶矩决 定 ，所以只要保证序列低阶矩平稳（ 二阶） ，就能 保证序列的主要性质近似稳定 。
1
平稳时间序列的统计定义
n 满足如下条件的序列称为严平稳序列
∀正整数m, ∀t1,t2,L,tm ∈T，∀正整数τ，有
平稳性的检验（图检验方法）
n 时序图检验
n 根据平稳时间序列均值、方差为常数的性 质，平稳序列的时序图应该显示出该序列始 终在一个常数值附近随机波动，而且波动的 范围有界、无明显趋势及周期特征
n 自相关图检验
n 平稳序列通常具有短期相关性。该性质用自 相关系数来描述就是随着延迟期数的增加， 平稳序列的自相关系数会很快地衰减向零
−∞
−
µt
2
)
dFt
( x)
n 自协方差
γ( t, s ) = E( Xt − µt )( Xs − µs )
n 自相关系数
ρ(t ,s) = γ (t ,s) DXt ⋅ DXs
平稳时间序列的定义
n 严平稳
n 严平稳是一种条件比较苛刻的平稳性定义， 它认为 只有当序列所有的统计性质都不会随着时间的推移 而发生变化时， 该序列才能被认为平稳。
n
使得非齐次线性差分方程成立的任意一个解
z
′′
t
zt′′ + a1zt′−1 + a2 zt′−2 + L + ap z t′′− p = h(t)
n 非齐次线性差分方程的通解
n 齐次线性差分方程的通解和非齐次线性差分方程的
特解之和 zt zt = zt′ + zt′′
7
第三节 ARMA模型的性质
n 平稳域判别
n 平稳域 {φ1 ,φ2 ,L,φp 单位根都在单位圆内}
AR(1)模型平稳条件
n 特征根
λ =φ
n 平稳域
φ〈1
AR(2)模型平稳条件
n 特征根
n 平稳域
λ1 = φ1 +
φ12 + 4φ2 2
λ2 = φ1 −
φ12 + 4φ2 2
{φ1,φ 2 φ 2 < 1，且 φ2 ± φ1 < 1}
n 对1950年— — 1998年北京市城乡居民定 期储蓄所占比例序列的平稳性与纯随机 性进行检验
例2.5时序图
例2.5自相关图
例2.5白噪声检验结果
延迟阶数 6 12
L B统 计 量 检 验
L B检验统计 量的值
75.46
P值 <0.0001
82.57
<0.0001
第二节 方法性工具
n 差分运算 n 延迟算子 n 线性差分方程
xt−p = B p xt ,∀p ≥ 1
延迟算子的性质
n B0 =1
n B(c ⋅ xt ) = c ⋅ B(xt ) = c ⋅ xt −1, c为任意常数
n B(x t ± yt ) = xt−1 ± y t−1
n B n x t = x t−n
∑ ， n
n (1 − B )n =
(−
1)
n
C
自回归系数多项式
n 引进延迟算子，中心化AR( p) 模型又可 以简记为
Φ(B)xt = ε t
n 自回归系数多项式 Φ(B) = 1− φ1B − φ2 B2 −L − φp B p
AR模型平稳性判别
n 判别原因
n AR模型是常用的平稳序列的拟合模型之一， 但并非所有的AR模型都是平稳的
n 判别方法
n 单位根判别法 n 平稳域判别法
例3.1:考察如下四个模型的平稳性
(1)xt = 0.8xt−1 + εt (2) xt = −1.1xt−1 + εt (3) xt = xt −1 − 0.5xt−2 + εt (4)xt = xt−1 + 0.5xt−1 + ε t
8
例3.1平稳序列时序图
例3.1非平稳序列时序图
非 平稳
9
平稳AR模型的统计性质
n 均值 n 方差 n 协方差 n 自相关系数 n 偏自相关系数
均值
n 如果AR(p)模型满足平稳性条件，则有
Ext = E(φ0 +φ1xt −1 +L+φ p xt − p + εt ) n 根据平稳序列均值为常数，且{ε t}为白噪声序
列，有 Ext = µ, E(εt ) = 0 ,∀t ∈T
差分运算
n 一阶差分
∇xt = xt − xt−1
n p阶差分
∇ p xt
= ∇ p−1 xt
−∇
x p−1 t −1
n k 步差分
∇ k = xt − xt−k
6
延迟算子
n 延迟算子类似于一个时间指针，当前序 列值乘以一个延迟算子，就相当于把当 前序列值的时间向过去拨了一个时刻
n 记B为延迟算子，有
i n
B
i
i =0
其中
C
i n
=
n! i!(n − i)!
用延迟算子表示差分运算
n p 阶差分
p
∑ ∇ p xt = (1− B) p xt =
(
−1)
p
C
i p
xt
−i
i=0
n k 步差分
∇k = xt − xt−k = (1 − B k )xt
线性差分方程
n 线性差分方程 z t + a1 zt −1 + a 2 zt −2 + L + a p z t− p = h(t)
严平稳与宽平稳的关系
n 一般关系
n 严平稳条件比宽平稳条件苛 刻，通常情况下，严平稳（低 阶矩存在）能推出宽平稳成 立，而宽平稳序列不能反推严 平稳成立
平稳时间序列的统计性质
n 常数均值
n 自协方差函数和自相关函数只依赖于时 间的平移长度而与时间的起止点无关
n 延迟ｋ自协方差函数
γ ( k ) = γ (t,t + k ),∀k 为整数
n 时间序列概率分布族的定义 {F ( t1,t2,L,tm x1,x2,L,xm )} ∀m∈(1,2,L,m),∀t1,t2 ,L,tm∈T
n 实际应用的局限性
特征统计量
n 均值 n 方差
∞
∫ µt = EX t = −∞ xdFt (x)
∫ DX t = E (X t − µt )2 =
∞
(x
(1)xt = 0.8xt−1 + εt
(3)xt = xt−1 − 0.5xt−2 +εt
(2)xt = −1.1xt−1 + εt
( 4) xt = xt−1 + 0.5xt−1 + ε t
AR模型平稳性判别方法
n 特征根判别
n ＡＲ（ｐ）模型平稳的充要条件是它的ｐ 个特征根都在单 位圆内
n 根据特征根和自回归系数多项式的根成倒数的性 质，等价判别条件是该模型的自回归系数多项式的 根都在单位圆外
H0：ρ1 = ρ2 = L = ρm = 0, ∀m ≥1
n 备择假设：延迟期数小于或等于 m 期的 序列值之间有相关性
H1：至少存在某个ρk ≠ 0,∀m ≥ 1，k ≤ m
检验统计量
n Q统计量
m
∑ Q = n ρˆ2k ~ χ 2 (m) k =1
n LB统计量
∑m
LB = n(n + 2)
例3.1平稳性判别
模 型
特征根判别
(1)
λ1 = 0.8
(2)
λ1 = −1.1
(3)
λ1
=
1+ 2
i
λ2
=
1− 2
i
(4)
λ1
=
1+ 2
3
λ2
=
1− 2
3
平稳域判别
结 论
φ = 0.8
平稳
φ = −1.1
非 平稳
φ2 = 0.5,φ2 +φ1 = 0.5,φ2 −φ1 = −1.5
平稳
φ2 = 0.5,φ2 + φ1 = 1.5,φ2 −φ1 = −0.5