数据结构讲义(严蔚敏版)第六章 树和二叉树

2i-1 … … 2i-1
2层：21 … i层：2i-1 …
2k-1
2k-1 k层：2k-1
满二叉树和完全二叉树
满二叉树：一棵深度为k且有2k-1个结点的二叉树。 完全二叉树：若深度为k、有n个结点的二叉树中各结
点能与深度为k的顺序编号的满二叉树编号从1到n的结 点相对应。
所有的叶结点都出现在第k层或k－1层。 若任一结点右子树最大层次为l，其左子树最大层
{ if(visit(T->data))//访问当前的根结点 if(PreorderTraverse(T->lchild,visit))//先序遍历左子树 if(PreorderTraverse(T->rchild,visit))//先序遍历右子树 return OK;
return ERROR;//若访问不到当前根结点值，出错 } else return OK;//树空 } 时间复杂度：n个结点的二叉树先序遍历时间复杂度O(n)
} ADT Tree
6．1树的定义和基本术语（续）
结点的度：分支的个数 树的度：树中所有结点的度的最大值 树的深度（高度）：树中叶子结点所在的最大层次
6．1树的定义和基本术语（续）
双亲(结点)： 孩子(结点)：结点子树的根称为该结点的孩子 祖先(结点) ：从根到该结点所经分支上的所有结点。 子孙(结点) ：以某结点为根的子树的任一结点 兄弟(结点) ：同一双亲的孩子互称兄弟。 堂兄弟(结点) ：双亲在同一层的结点互称堂兄弟
typedef struct BiTNode {
TElemType data; struct BiTNode *lchild,*rchild;
lChild rChild
} BiTNode,*BiTree;
三叉链表: 二叉树的三叉链表C语言描述
typedef struct ThiTNode {
lChild data parent rChild parent
} ADT BinaryTree
6.2.2 二叉树的性质
性质1：在二叉树的第i层上至多有2i-1个结点(i>=1)。
性质2：深度为k的二叉树至多有2k－1个结点（k>=1).
性质3：对任一棵二叉树，若其终端结点数为n0，度为 2的结点数为n2，则n0＝n2＋1。
1
1层：20
23
…………………
6．1树的定义和基本术语
树：n（n≥0）个结点的有限集。在任一棵非空树中： 1.有且仅有一个特定称为根的结点 2.n>1时,其余结点可分为m(m>0)个互不相交的 有限集T1,T2,…,Tn，Ti称为树的子树。
树的性质： 递归性 层次性
基本术语： 树的结点：数据元素及若干指向其子树的分支 叶子（终端结点）：度（分支的个数）为零的结点 分支结点（非终端结点）：度大于零的结点
KL
M
6、结点K的双亲是 。
7、结点F的堂兄弟是 。
树的表示法
A
E
A
BF
G
H J
C
K
ID
A
(a)嵌套集合表示法
BCD
E FGHJ I
KL
M
(d)树形表示法
B E F
C G
D H I K J
(b)凹入表示法
(A(B(E,F),C(G),D(H,J,I(K)))) (c)广义表表示法
6.2 二叉树
学习二叉树的目的 二叉树存储结构和基本操作实现简单
二叉树中序遍历递归算法改非递归算法(1)
void InorderTraverse(BiTree T,int (*visit)(char e)) { if(T)//树不空
{ InorderTraverse(T->lchild,visit);//中序遍历左子树 visit(T->data);//访问根结点 InorderTraverse(T->rchild,visit);//中序遍历右子树
遍历二叉树有DLR、LDR、LRD、DRL、RDL、 RLD六种方案。若规定先左后右，则只有三种：
DLR—先（根）序遍历，
D
LDR—中（根）序遍历，
LRD—后（根）序遍历。
6.3.1遍历二叉树
先序遍历
访问根结点；
A
先序遍历左子树；
先序遍历右子树；
中序遍历
中序遍历左子树； 访问根结点； 中序遍历右子树；
难点：
二叉树的二叉链表存储结构及其上的各种遍历算法实现
线性结构和树形结构的对比
1
春夏 秋 冬
2
3
456
第一个元素
最后一个元 素
其它数据元 素
线性结构
树结构
第一个数据元素
根结点
(无前驱)
(无前驱)
最后一个数据元 素(无后继)
多个叶子结点 (无后继)
一个直接前驱和
树中其它结点
一个直接后继 (一个直接前驱、多个直接后继)
任何树都可与二叉树相互转换，解决了树的存储结 构及运算复杂性的问题。
二叉树递归定义：由n(n>=0)个结点的有限集合，或 为空集，或由一个根结点及两棵互不相交的左右子树 组成，并且左右子树都是二叉树。
二叉树的五种不同形态
二叉树的抽象数据类型定义
ADT BinaryTree { 数据对象 D: D是具有相同特性的元素集合 数据关系R: 若D为空集, 则称空树;若D中只含一个数据元素,则R为空集,否 则R={H},H是如下二元关系: (1)在D中存在惟一的称为根的数据元素root,它在关系H下无前驱; (2)若D-{root}非空，则存在一个划分Dl,Dr, 且Dl Dr=, (HH3)中r若在;DH若l中≠Dr;≠,H则=,D则{<l存rDor在o存t,数x在l>据数,<元据ro素o元tx,素xlr>x,DrHl,l,D有Hrr,<}有;ro<ort,oxolt,>xr >H;且H存;且在存Ｄ在l上Ｄ关r上系关H系l在 (一3)棵(D符i,{合Hl本} )定是义一的棵二符叉合树本，定称义为的根二的叉右树子，树称。为根的左子树； (Dr,{Hr} )是 基本操作：InitBiTree(&T); DestroyBiTree(&T); CreateBiTree(&T,definition); ClearBiTree(&T); BiTreeEmpty(T); BiTreeDepth(T); Root(T); Value(T,e); Assign(T,&e, value); Parent(T, e); LeftChild(T, e); RightSibling(T, e); InsertChild(&T,p,LR,c); DeleteChild(&T,p,LR); PreOrderTraverse (T,visit()); InOrderTraverse (T,visit()); PostOrderTraverse (T,visit()); LevelOrderTraverse (T,visit());
有序树：树中结点的各子树从左到右有次序(不能互 换)。
无序树：树中结点的各子树从左到右无次序(能互换)。 森林：m（m≥0）棵互不相交的树的集合
6.1树的定义和基本术语（续）
举例：如图的树，回答以下问题： 1、树的根是 。
A
2、树的叶子是 。
BCD E FGHJ I
3、结点D的度是 。 4、结点B的孩子是 , 子孙 。 5、树的度是 ,深度是 。
}
}
将算法中第二个递归语句消去, 用循环实现 void InorderTraverse(BiTree T,int (*visit)(char e)) { if(T)//树不空
{ InorderTraverse(T->lchild,visit);//中序遍历左子树 visit(T->data);//访问根结点 T = T→rchild；
#define MAX_TREE_SIZE 100 typedef TElemType SqBiTree[MAX_TREE_SIZE]; SqBiTree bt;
6.2.3 二叉树的存储结构(2)
链式存储结构 二叉链表：
lChild data rChild
二叉树的二叉链表C语言描述
data
第六章 树和二叉树
非线性结构
第六章 树和二叉树
树是以分支关系定义的层次结构
树的定义、相关术语、存储结构 二叉树的定义、五个重要性质和存储结构 二叉树的遍历、线索化操作 树和森林与二叉树的转换 二叉树的应用-huffman编码和译码
重点：
1. 二叉树的性质及遍历算法 2. 理解二叉树的线索化过程 3. 掌握树和森林与二叉树的转换关系
(1)若i＝1，i无双亲，是二叉树的根；若i>1，其双亲是结点i/2
(2)若2i>n，i为叶子结点，无左孩子；否则，其左孩子是结点2i。
(3)若2i＋1>n，则i无右孩子；否则，其右孩子是结点2i＋1。
1
i/2
…… i
23 ……
i
i+1
i+1 … 2i
2i+1
i i+1 i+2 i+3 2i 完全二叉树
TElemType data;
data
struct ThiTNode *lchild,*rchild,*parent;
} ThiTNode,*ThiTree;
lChild
rChild
二叉树的链式存储结构示例
T
T
A
A^
A ^^
B CD
B ^ C^ D
B ^C ^ D
EF G
^E
^F^
^ G^
^E
^F ^
树的抽象数据类型定义
ADT Tree { 数据对象 D: D是具有相同特性的元素集合 数据关系R: 若D为空集, 则称空树;若D中只含一个数据元素,则R为空集,否则 R={H},H是如下二元关系: (1)在D中存在惟一的称为根的数据元素root,它在关系H下无前驱; (2)若D-{root}非空，则存在一个划分D1,D2,…,Dm(m>0),对任意jk(1j,k m)有Dj Dk=,且对任意的i (1i m),惟一存在数据元素xi Di, 有<root, xi > H; (3分) 对H1应,H于2,…D,-H{rmo(omt}>的0)划, 对分任，意H－jk｛(1<jr,okot,mx)1有> H，j… ,H<kr=oot,,且xm对>任｝意有的惟i (一1的i 一m个)，划 Hj是Di上的二元关系,( Di ,{ Hi })是一棵符合本定义的树，称为根root的子树。 基本操作：InitTree(&T); DestroyTree(&T); CreateTree(&T,definition); ClearTree(&T); TreeEmpty(T); TreeDepth(T); Root(T); Value(T,cur_e); Assign(T, cur_e, value); Parent(T, cur_e); LeftChild(T,cur_e); RightSibling(T,cur_e); InsertChild(&T,&p,i,c); DeleteChild(&T,&p,i); TraverseTree(T,visit());
B CD
先序序列：ABCDEGF
中序序列：CBEGDFA 后序序列：CGEFDBA 层序序列：ABCDEFG
后序遍历
后序遍历左子树；
EF
后序遍历右子树；
G
访问根结点
层序遍历
按从上到下，从左到右的顺序访问结点
先序遍历的递归算法
Status PreorderTraverse(BiTree T,int (*visit)(char e)) { if(T)//树不空
^G ^
二叉树T
T的二叉链表
T的三叉链表
6.3 遍历二叉树和线索二叉树
遍历二叉树:按某条搜索路径巡访树中的每一个结点， 使每一个结点均被访问一次且仅被访问一次。
在树中查找具有某种特征的结点；
对树中全部结点逐一进行某种处理；
寻找遍历二叉树的规律
二叉树基本组成：根结点D、左子树L和右子树R。
2i 2i+1 2i+2 2i+3 2i+2 2i+3
i和i+1结点在同一层
i和i+1结点不在同一层
6.2.3 二叉树的存储结构(1)
顺序存储结构:用一组地址连续的存储单元依次自上而下、 自左至右存储二叉树的结点。仅适用于完全二叉树。
缺点：可能对存储空间造成极大的浪费，比如单支树。 二叉树的顺序存储表示的C语言描述：
次为1或l＋1。
1
1
1
1
23Βιβλιοθήκη 2323
2
3
4 56 7 4
45
6
45
(a)满二叉树 (b)完全二叉树 (c)非完全二叉树 (d)非完全二叉树
性质4：有n个结点的完全二叉树的深度为log2n ＋1。
6.2.2 二叉树的性质
性质5： 若对一棵有n个结点的完全二叉树结点按层序编号(从 第有1：层到第log2n +1层，每层从左到右),对任一结点i（1≤i≤n),