专题20 解决直线与圆问题-2021年高考数学二轮复习核心考点微专题(苏教版)(解析版)

1.直线l ：y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2－2a －4＝0恒有交点，则实数a 的取值范围是________． 【答案】－1≤a ≤3
【解析】圆方程为(x －a )2＋y 2＝2a ＋4，则a >－2，又直线l 过定点(0,1)，故只需点(0,1)在圆内或圆上，即－1≤a ≤3，综上，实数a 的取值范围是－1≤a ≤3.
2.若圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)上有且只有两个点到直线x －y －2＝0的距离为1，则实数r 的取值范围是________． 【答案】2－1<r <2＋1.
3.若对圆M ：(x －1)2＋(y －1)2＝1上任意一点P (x ，y )，|3x －4y ＋a |＋|3x －4y －9|的取值与x ，y 无关，则实数a 的取值范围是________． 【答案】a ≥6.
【解析】设直线l 1：3x －4y ＋a ＝0，直线l 2：3x －4y －9＝0，则|3x －4y ＋a |＋|3x －4y －9|＝5(dP －l 1＋dP －l 2)，因为|3x －4y ＋a |＋|3x －4y －9|的取值与x 无关，所以，圆M 恰完全在直线l 1和直线l 2所夹带状区域内，所以，直线l 1：3x －4y ＋a ＝0在圆M 的上方，dM －l 1＝|－1＋a |5＝a －15
≥1，所以，a ≥6.
4.已知圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r >0)及圆上的点A (0，－r )，过点A 的直线l 交圆于另一点B ，交x 轴于点C ，若OC ＝BC ，则直线l 的斜率为________．
【解析】设直线l 的斜率为k ，则直线l ：y ＝kx －r ，与
x 2＋y 2＝r 2联立解得
B (2kr k 2＋1，(k 2－1)r k 2＋1
)，而C (r
k ，0)，
由OC ＝BC 得(r k )2＝(2kr k 2＋1－r k )2＋[(k 2－1)r k 2＋1
]2
即k ＝±3.学&科网
【考向分析】
直线与圆的位置关系是高考常考的知识内容．对它们的研究，既可以从几何的角度来探索它们的位置关系，又可以从方程角度来解决一些度量问题(如类似阿氏圆一类问题)，体现用代数方法研究几何问题的思想．对这类问题的考查，一般会涉及弦长、距离的计算、圆的切线及与点(直线、圆)的位置关系判定问题等，解答此类问题，注重“圆的特征直角三角形”是关键.
（一）直线与圆基本问题盘点 例1. 直线tx ＋y ＋3＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于
A 、
B 两点，若|OA →＋OB →|>|AB →
|，则实数t 的范围________．
【答案】－
142<t <－52或52<t <142
.
变式1若直线l 1：y ＝x ＋a 和直线l 2：y ＝x ＋b 将圆(x －1)2＋(y －2)2＝8分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝________. 【答案】18
【解析】由题意得直线l 1：y ＝x ＋a 和直线l 2：y ＝x ＋b 截得圆的弦所对圆周角相等，皆为直角，因此圆心到两直线距离皆为
2
2r ＝2，即|1－2＋a |2＝|1－2＋b |2
＝2，所以a 2＋b 2＝(22＋1)2＋(－22＋1)2＝18. 变式2 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋(y －1)2＝4.若等边△P AB 的一边AB 为圆C 一条弦，则PC 的最大值为________． 【答案】4
【解析】由△P AB 为等腰三角形，故PC 与AB 垂直，设PC 与AB 交于点H ，记AH ＝BH ＝x ，PH ＝y ，PC ＝t ，则CH ＝3x ，
满足⎩⎨⎧
x 2＋y 2＝4(x ，y >0)
t ＝3x ＋y
求PC 的最小值．
记直线l ：y ＝－3x ＋t ，利用线性规划作图，可知当直线l 与圆弧x 2＋y 2＝4(x ，y >0)相切时，则t 取最大值，求得t max ＝4，即PC 的最大值为4.
（二）圆与圆的位置关系应用
例2. 设集合A ＝{(x ，y )|m
2≤(x －2)2＋y 2≤m 2，x ，y ∈R }，B ＝{(x ，y )|2m ≤x ＋y ≤2m ＋1，x ，y ∈R }．若A ∩B ≠∅，
则实数m 的取值范围是________． 【答案】1
2
≤m ≤2＋ 2.
变式1 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________． 【答案】－13<c <13.
【解析】圆半径为2，圆心(0,0)到直线12x －5y ＋c ＝0的距离小于1，即|c |
13
<1，解得：－13<c <13.
变式2 已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝1，点P 在直线l ：x ＋y ＋1＝0上，若过点P 存在直线m 与圆C 交于A 、B 两点，且点A 为PB 的中点，则点P 横坐标x 0的取值范围是________． 【答案】－1≤x 0≤2.
【解析】数形结合法：设P (x 0,1－y 0)，由题意可得|CP |≤3，即(x 0－2)2＋(－1－x 0)2≤3，解之得－1≤x 0≤2. （三）阿波罗尼斯圆问题梳理
例3. 已知圆M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，直线l ：x ＋y －6＝0，A 为直线l 上一点．若圆M 上存在两点B ，C ，使得∠BAC ＝60°，则点A 横坐标的取值范围________． 【答案】[1,5]．
【解析】可判断出直线l 与圆M 相离，故点A 在圆外，由于圆M 上存在两点B ，C ，使得∠BAC ＝60°，则设直线AE ，AF 为过点 A 作圆M 的两条切线，切点分别为E ，F ，则∠EAF ≥∠MAN ＝60°，故∠MAC ≥30°且r ＝2，则CA ≤4，设A (a,6－a )，所以(a －1)2＋(5－a )2≤4，解得a ∈[1,5]．学科*网
变式1 满足条件AB ＝2，AC ＝2BC 的△ABC 的面积的最大值是________． 【答案】2 2.
变式2 已知点A (－2,0)，B (4,0)，圆C ：(x ＋4)2＋(y ＋b )2＝16，点P 是圆C 上任意一点，若P A
PB
为定值，则b ＝________. 【答案】0
【解析】设P (x ，y )，P A
PB
＝k ，则
(x ＋2)2＋y 2
(x －4)2＋y
2＝k ，整理得(1－k 2)x 2＋(1－k 2)y 2＋(4＋8k 2)x ＋4－16k 2＝0，又P 是圆C 上的任意一点，故k ≠1，圆C 的一般方程为x 2＋y 2＋8x ＋2by ＋b 2＝0，因此
2b ＝0，故4＋8k 2
1－k 2
＝8，
4－16k 21－k 2
＝b 2
，解得b ＝0.
1．设点M (x 0,1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是________． 【答案】[－1,1]．
【解析】如图，过点M 作⊙O 的切线，切点为N ，连结ON .M 点的纵坐标为1，MN 与⊙O 相切于点N ，设∠OMN ＝θ，则θ≥45°，即sin θ≥
22，即ON OM ≥2
2
.而ON ＝1，所以OM ≤ 2.因为M 为(x 0,1)，所以x 20＋1≤2，解得－1≤x 0≤1，所以x 0的取值范围为[－1,1]．
2．已知圆C ：(x －a )2＋(y －a )2＝a 2和直线l ：3x ＋4y ＋3＝0，若圆C 上有且仅有两个点到l 的距离等于1，则a 的取值范围________． 【答案】⎝⎛⎭⎫16，1∪⎝
⎛⎭⎫－4，2
3.
【解析】到直线l ：3x ＋4y ＋3＝0的点组成的轨迹为直线l 1：3x ＋4y －2＝0或直线l 2：3x ＋4y ＋8＝0，又圆C 圆心在直线y ＝x 上，且与两轴相切，由于圆C 上有且仅有两个点到l 的距离等于1，则直线l 1或l 2与圆C 相交，于是当a >0时，r ＝a ，则圆C 与l 1：3x ＋4y －2＝0相交，则d ＝|7a －2|5<a ，得a ∈(1
6，1)，当a <0时，
r ＝－a ，则圆C 与l 1：3x ＋4y ＋8＝0相交，则d ＝|7a ＋8|5
<a ，则a ∈⎝⎛⎭⎫－4，23，综上a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1
6，1∪⎝
⎛⎭⎫－4，23.学科#网
3．△ABC 中，BC ＝22，AB →·AC →＝1，则△ABC 面积的最大值为________．
4．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ，B 分别为x 轴，y 轴上一点，且AB ＝2，若点P (2，5)，则|AP →＋BP →＋OP →
|的取值范围是________． 【答案】[7,11]．
【解析】＋＋＝3－(＋)，由于⊥，且AB ＝2，设＋＝，则点M 的轨迹为以O 为圆心半径r ＝2的圆，记3＝＝(6,35)，于是|＋＋|＝|－|＝MQ ，即圆上一点M 到定点Q (6,35)的距离，其取值范围是[OQ －r ，OQ ＋r ]，即[7,11]．
1．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________． 【答案】255
5
.
【解析】圆心为(2，－1)，半径r ＝2.
圆心到直线的距离d ＝|2＋2×(－1)－3|1＋4
＝35
5，所以弦长为2r 2－d 2＝2
22－(355)2＝255
5
.
2．若直线3x ＋4y －m ＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋4＝0始终有公共点，则实数m 的取值范围是________． 【答案】0≤m ≤10.
【解析】因为(x ＋1)2＋(y －2)2＝1，所以由题意得：|－3＋4×2－m |
5≤1，化简得|m －5|≤5即0≤m ≤10.
3．在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________． 【答案】(x －1)2＋y 2＝2.
【解析】由直线mx －y －2m －1＝0得m (x －2)－(y ＋1)＝0，故直线过点(2，－1)．当切线与过(1,0)，(2，－1)两点的直线垂直时，圆的半径最大，此时有r ＝1＋1＝2，故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2. 4.在平面直角坐标系xOy 中，A (2,0)，O 是坐标原点，若在直线x ＋y ＋m ＝0上总存在点P ，使得P A ＝3PO ，则实数m 的取值范围是________． 【答案】1－6≤m ≤1＋ 6.
5. 已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；
(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求MN 的长． 【答案】（1）(4－73，4＋73
)（2）2
【解析】(1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1.因为l 与C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2<1.解得
4－7
3<k <4＋73.所以k 的取值范围为(4－73，4＋7
3)．
(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．
将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0.所以x 1＋x 2＝4(1＋k )1＋k 2，x 1x 2＝
71＋k 2
. ·＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k (1＋k )
1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，所以l 的方程是y ＝x ＋1.故圆心C
在l 上，所以MN 的长为2.
6. 在平面直角坐标系xOy 中，若直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝16相交于A ，B 两点，且△ABC 为直角三角形，则实数a 的值是________． 【答案】a ＝－1
【解析】圆心C (1，a )，半径r ＝4，因为△ABC 为直角三角形，所以圆心C 到直线AB 的距离d ＝2 2.
7. 在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4.设圆C 的半径为1，圆心在l 上．若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围． 【答案】⎣
⎡⎦⎤0，125.
8. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________． 【答案】0≤k ≤4
3
.
【解析】将圆C 的方程整理为标准方程得：(x －4)2＋y 2＝1，所以圆心(4,0)，半径r ＝1，因为直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，只需圆C ′(x －4)2＋y 2＝4与y ＝kx －2有公共点，即
|4k －2|
k 2＋1
≤2，解得：0≤k ≤4
3.
9. 已知直线kx －y ＋1＝0与圆
C ：x 2＋y 2＝4
相交于A ，B 两点，若点M 在圆C 上，且有OM →＝OA →＋OB →
(O
为坐标原点)，则实数k ＝________. 【答案】0
【解析】设AB 的中点为D ，有＝＋＝2，因为||＝2||＝2，所以||＝1，故|0－0＋1|
k 2＋1＝1解得k ＝0. 学#科网
10. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2＋y 2＝1，O 1：(x －4)2＋y 2＝4，动点P 在直线x ＋3y －b ＝0上，过P 分别作圆O ，O 1的切线，切点分别为A ，B ，若满足PB ＝2P A 的点P 有且只有两个，则实数b 的
取值范围是________． 【答案】－20
3<b <4.
11. 已知A (0,1)，B (1,0)，C (t,0)，点D 是直线AC 上的动点，若AD ≤2BD 恒成立，则最小正整数t 的值为________． 【答案】4
【解析】由A (0,1)，C (t,0)，得l ：y ＝－1
t
x ＋1，D ⎝⎛⎭⎫x ，－1t x ＋1.又AD ≤2BD ，故x 2
＋x 2
t 2≤2
(x －1)2＋⎝⎛⎭
⎫1－x t 2
，化简得⎝⎛⎭⎫3＋3t 2x 2－⎝⎛⎭⎫8＋8t x ＋8≥0对任意x 恒成立，则⎝⎛⎭⎫8＋8t 2
－4×8×⎝⎛⎭⎫3＋3t 2≤0，化简得t 2－4t ＋1≥0，解得t ≥2＋3或0<t ≤2－3，因此最小正整数t 的值为4.
12.在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，D 在线段AC 上，AD ＝kAC (k 为常数，且0<k <1)，BD ＝l 为定长，则△ABC 的面积最大值为________．
【解析】如图，以B 为原点，BD 为x 轴建立直角坐标系xBy . 设A (x ，y )，y >0.
因AD ＝kAC ＝kAB ，故AD 2＝k 2AB 2， 于是(x －l )2＋y 2＝k 2(x 2＋y 2)．
所以，y 2＝
－(1－k 2)x 2＋2lx －l 2
1－k 2
＝
－(1－k 2)(x －
l 1－k 2)2＋k 2l 2
1－k 21－k 2≤k 2l 2
(1－k 2)2
，
于是，y max ＝kl 1－k 2，(S △ABD )max ＝kl 22(1－k 2)，所以，(S △ABC )max ＝1k (S △ABD )max ＝l 2
2(1－k 2)
.。