116高斯公式

3 2 R3 0 2 R3
3
P247 题4(2) 同样可利用高斯公式计算.
2020/9/26
15
例3 设Σ是空间一有界闭区域Ω的整个边界曲面,
u( x, y, z),v( x, y, z) C (2)(Ω), u , v 分别表示u( x, y, z), n n
v( x, y, z)沿的外法线方向的方向导数,证明:
2
1hh
o
y
x
2020/9/26
13
练习 计算 ( x y)dydz ( y z)dzdx (z x)dxdy,
其中是以原点为中心,边长为a的轴向正方体的整
个表面的外侧.
解 P x y, Q y z, R z x, 根据高斯公式
原式
P x
Q y
R z
dv
(1 1 1)dv
Q y
R z
dv
Σ
Pdydz
Qdzdx
Rdxdy.
2020/9/26
7
Ω
P x
Q y
R z
dv
Σ
Pdydz
Qdzdx
Rdxdy.
由两类曲面积分之间的关系知
Ω
P x
Q y
R z
dv
高斯公式
(P cos Q cos Rcos )dS.
Σ
高斯公式是微积分基本公式在三重积分情形下
的推广,它将空间区域上的三重积分与定向边界曲面
在式两边同除以 的体积 V, 并令 以
任意方式缩小至点 M
则有
lim
M V
P x
Q y
R z
M
分此别式反反映应在了该流点速有场流在体点涌M出的, 吸特入点, :或其没值有为任正何,负变或化0. ,
2020/9/26
23
定义: 设有向量场
A(x, y, z) P(x, y, z)i Q(x, y, z) j R(x, y, z) k
y2
cos
z2
பைடு நூலகம்
cos
)d
S
2 ( x y z)d x d y d z Dxy h2 d x d y
2020/9/26
12
I 2 ( x y z)d xdydz Dx y h2 d x d y
利用三重积分的对称性
z
2 z d x d ydz h4
2
h 0
z
z2
dz
h4
1 h4
Dxy
所以
Ω
R z
dv
Σ
R(
x,
y,
z)dxdy.
2020/9/26
6
同理当Ω是 yz 型空间区域时, 有
Ω
P x
dv
Σ
P
(
x,
y,
z
)dydz
.
当Ω是 zx 型空间区域时,有
Ω
Q y
dv
Σ
Q(
x,
y,
z
)dzdx.
当Ω同时为这三种类型的区域(称为简单区域)时,
上面三式同时成立, 相加可得
Ω
P x
连通域G内具有连续一阶偏导数, 为G内任一闭曲面, 则
P d y d z Q d z d x R d x d y 0
①
的充要条件是:
P Q R 0 , (x, y, z) G
②
x y z
2020/9/26
20
*三、通量与散度
引例. 设稳定流动的不可压缩流体的密度为1, 速度场为
v(x, y, z) P(x, y, z)i Q(x, y, z) j R(x, y, z) k 设 为场中任一有向曲面, 则由对坐标的曲面积分的物 理意义可知, 单位时间通过曲面 的流量为
uvdxdydz
u
v n
dS
(u
v
)dxdydz
,
其中符号
2 x 2
2 y2
2 z 2
为三维拉普拉斯算子.
证 v n
v
en
v cos v cos
x
y
v cos ,
y
根据高斯公式,可将 u v dS表示为
2020/9/26
n
16
u
v n
dS
u
v x
cos
v cos
y
v cos
z
dS
第十一章
第六节 高斯公式
一、高斯公式 *二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 *三、通量与散度
2020/9/26
1
回顾:格林公式
D
(
Q x
p)d y
L
P(
x,
y)dx
Q(
x,
y)dy
一个重要的数学关系——区域内部的问题与边界
问题之间的联系
Green公式的推广-- Gauss公式
函数：二元函数
三元函数
E
q r3
r
q r3
(x,
y,
z)
(r 0)
求 div E .
解:
div
E
q
x
x r3
y
y r3
z
z r3
q
r2 3x2 r5
r2
3 r5
y
2
r
2
3z r5
2
0
(r 0)
计算结果与仅原点有点电荷的事实相符.
2020/9/26
27
内容小结
1. 高斯公式及其应用
公式: P d y d z Q d z d x R d x d y
2020/9/D26xy
5
R( x, y, z)dxdy
Σ
( )R( x, y, z)dxdy
Σ1 Σ2 Σ3
( )R( x, y, z)dxdy
Σ2 Σ1
z
2
3 1
x Dxy y
{R[ x, y, z2( x, y)] R[ x, y, z1( x, y)]}dxdy.
f
y2 z2
z
y2 z2 1
n
y jzk
(1,1,0)
O
y
x1
在 上 A n y2z z3 z( y2 z2 ) z
(1,1,0)
故所求通量为
A nd S z d S 1 y2
Dxy
2020/9/26
1 1
y2
dxd
y
2
26
例5. 置于原点, 电量为 q 的点电荷产生的场强为
故
Ω
uvdxdydz
Σ
u
v n
dS
Ω
(u
v)dxdydz.
2020/9/26
18
*二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件
1. 连通区域的类型 设有空间区域 G , • 若 G 内任一闭曲面所围成的区域全属于 G, 则称 G 为空间二维单连通域 ;
• 若 G 内任一闭曲线总可以张一片全属于 G 的曲面, 则称 G 为空间一维单连通域 .
(u
v x
)cos
(u v )cos
y
(u v )cos
z
dS
(u
v )dydz x
(u
v )dzdx y
(u
v )dxdy z
Ω
x
(u
v x
)
y
(u
v y
)
z
(u
v z
)dxdydz
(
u x
v x
u
2v x 2
)
(u y
v y
u
2v y2
)
(u z
v z
u
2v z 2
)dxdydz,
2020/9/26
17
Ω
u
2v x 2
u
2v y2
u
2v z 2
dxdydz
Ω
u x
v x
u y
v y
u z
v z
dxdydz
v
2v x 2
2v y2
2v z 2
,u
(u x
,
u y
,
u),v z
( v x
,
v y
,
v z
).
uvdxdydz (u v)dxdydz,
Ω
Ω
格林第一公式
例2. 利用Gauss 公式计算积分
其中 为锥面 x2 y2 z2 介于 z = 0 及 z = h 之间部分的下侧.
解: 作辅助面
z
1h
h
o
y
x
1: z h, ( x, y) Dxy : x2 y2 h2 , 取上侧
记 ,1所围区域为, 则
在 1 上
2
,
0
I
(
1
1
)( x2 cos
其中P, Q, R 具有连续一阶偏导数, 是场内的一片有向
曲面, 其单位法向量 n, 则称 A n d S 为向量场 A 通过
有向曲面 的通量(流量) .
在场中点 M(x, y, z) 处
P Q R 记作 div A x y z
称为向量场 A 在点 M 的散度.
显然 div A A
2020/9/26
P x
Q y
R z
d
xd
yd
z
应用: (1) 计算曲面积分
(非闭曲面时注意添加辅助面的技巧)
(2) 推出闭曲面积分为零的充要条件:
2020/9/26
P d y d z Q d z d x R d x d y 0 P Q R 0 x y z 28
2020/9/26
4
证 设Ω是xy型空间区域,即
Ω : z1( x, y) z z2( x, y),( x, y) Dxy . Ω的定向边界曲面包括 : 下曲面1 : z z1( x, y),( x, y) Dxy; 上曲面2 : z z2( x, y),( x, y) Dxy;
z
2
P d y d z Q d z d x Rdx d y
由两类曲面积分的关系, 流量还可表示为
P cos Q cos R cos d S
v nd S
2020/9/26
21
若 为方向向外的闭曲面, 则单位时间通过 的流量为
P d y d z Q d z d x Rdx d y
3 1
x Dxy y
侧柱面3 : z1( x, y) z z2( x, y),( x, y) Dxy的边界.
Σ1取下侧, Σ2取上侧, Σ3取外侧.
R dv dxdy z2( x, y) R dz
Ω z
Dxy
z1( x, y) z
{R[ x, y, z2( x, y)] R[ x, y, z1( x, y)]}dxdy.
上的积分联系了起来.
2020/9/26
8
另外
若 不是 XY–型区域 , 则可引进辅助面 将其分割成若干个 XY–型区域, 在辅助面 正反两侧面积分正负抵消, 故上式仍成立 .
2020/9/26
9
例1. 用Gauss 公式计算
其中 为柱面
及平面 z = 0 , z = 3 所围空间
闭域 的整个边界曲面的外侧.
积分范围：平面闭区域D
边界: 曲线L
曲面
空间闭区域
2020/9/26
空间闭区域上的三重积分与其边 界曲面上的曲面积分之间的关系
2
一、高斯
(
Gauss
)公式
空间闭区域上的三重积分与其边 界曲面上的曲面积分之间的关系
定理1. 设空间闭区域 由分片光滑的闭曲
面 所围成, 的方向取外侧, 函数 P, Q, R 在
24
说明: 由引例可知, 散度是通量对体积的变化率, 且
div A 0 表明该点处有正源, div A 0 表明该点处有负源, div A 0 表明该点处无源,
散度绝对值的大小反映了源的强度.
若向量场 A 处处有 div A 0, 则称 A 为无源场. 例如, 匀速场 v (vx , vy , vz ) (其中vx , vy , vz 为常数),
z
解: 这里 P ( y z)x,Q 0, R x y
3
利用Gauss 公式, 得
原式 = ( y z)d x d y d z (用柱坐标) o
(r sin z)r dr d d z
x1
y
2
0
d
01rd
r
03(r
sin
z
)
dz
9
2
思考: 若 改为内侧, 结果有何变化?
若 为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算?
divv 0
故它是无源场.
2020/9/26
25
散度意义
例4.求向量场 A y z j z2k 穿过曲面 流向上侧的通量,
其中 为柱面 y2 z2 1 (z 0)被平面 x 0及 x 1截下的
有限部分.
解: 记f (x, y, z) y2 z2 1, 则 上侧的法向量为
n f y jzk
上有连续的一阶偏导数 , 则有
(Gauss 公式)
P d yd z Qd z d x Rdx d y
或 (P cos Qcos Rcos )dS
其中cos
,cos
,
cos
是
Σ 在点 ( x, y, z) 处的法向量的方向余弦.
2020/9/26
3
下面先证:
R
z d x d yd z Rd x d y
n
当 > 0 时, 说明流入 的流体质量少于
流出的, 表明 内有泉;
n
当 < 0 时, 说明流入 的流体质量多于流出的, 表明
内有洞 ;
当 = 0 时, 说明流入与流出 的流体质量相等 .
根据高斯公式, 流量也可表为
2020/9/26
22
为了揭示场内任意点M 处的特性, 设 是包含点 M 且
方向向外的任一闭曲面 , 记 所围域为 ,
例如, 球面所围区域 既是一维也是二维单连通区域 ; 环面所围区域 是二维但不是一维单连通区域 ; 立方体中挖去一个小球所成的区域 是一维但
不是二维单连通区 域.
2020/9/26
19
2. 闭曲面积分为零的充要条件
定理2. 设 P(x, y, z),Q(x, y, z), R(x, y, z)在空间二维单
2020/9/26
10
使用高斯公式时的注意事项 1.正确确定P,Q, R三个函数,并注意分别对哪个变 量求偏导数; 2.判断P,Q, R三个函数是否具有一阶连续偏导数;
3.注意曲面积分取封闭曲面的外侧.
Ω
P x
Q y
R z
dv
Σ
Pdydz
Qdzdx
Rdxdy.
2020/9/26
(P cos Q cos R cos )dS. Σ 11
Ω
3 (Ω的体积) 3a3.
2020/9/26
14
练习: P247 题4(3)
计算 x d yd z yd z d x z d x d y, 其中 为半球面
的上侧.
z
提示: 以半球底面 0为辅助面,
且取下侧 , 记半球域为 , 利用 高斯公式有
o
y
x 0
原式 =
3d x d y d z 0 xdydz ydzdx zdxdy