广东省2020届高考数学一模试卷1 (含答案解析)

广东省2020届高考数学一模试卷1
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.已知全集U={1,2，3，4，5}，集合A={1,2，4}，集合B={1,5}，则A∩(∁U B)等于()
A. {2,4}
B. {1,2，4}
C. {2,3，4，5}
D. {1,2，3，4，5}
2.设i是虚数单位，复数7+4i
1+2i
=()
A. 3+2i
B. 3−2i
C. 2+3i
D. 2−3i
3.设向量a⃗=(1,2)，b⃗ =(m+1,−m)，a⃗⊥b⃗ ，则实数m的值为()
A. −1
B. 1
C. −1
3D. −2
3
4.设椭圆x2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B，若|BF2|=|F1F2|=2，
则该椭圆的方程为()
A. x2
4+y2
3
=1 B. x2
3
+y2=1 C. x2
2
+y2=1 D. x2
4
+y2=1
5.已知函数f(x)=4x−3ln|x|，则f(x)的图象大致为()
A. B.
C. D.
6.已知sin(α+π
3)=1
3
，则sin(2α−5π
6
)的值是()
A. −1
3B. 1
3
C. −7
9
D. 7
9
7.甲、乙两人掷骰子，若甲掷出的点数记为a，乙掷出的点数记为b，则|a−b|≤1的概率为()
A. 4
9B. 7
18
C. 2
9
D. 1
9
8.一个正三棱柱的侧棱长和底面边长都相等，它的俯视图如图所示，左视图是
一个矩形，棱柱的体积为2√3，则这个三棱柱的表面积为()
A. 2√3
B. 12
C. 2√3+12
D. 2√3+6
9.如图所示的程序框图，输出的结果是S=2017，则输入A的值为()
A. 2018
B. 2016
C. 1009
D. 1008
10.已知点F是双曲线x2
a2−y2
b2
=1(a>0,b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直
于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是直角三角形，则该双曲线的离心率e为()
A. √2
B. 2
C. √3
D. 1+√2
11.在△ABC中，sinA=√3
3
，点D在边AC上，且BD⊥AB，若BC=3√2，CD=√3，则△ABC的面积为()
A. 6√2
B. 6√3
C. 12
D. 9√2
2
12.已知函数f(x)=xsinx+cosx+1
2
x2，则不等式f(2x+3)−f(1)<0的解集为()
A. (−2,+∞)
B. (−1,+∞)
C. (−2,−1)
D. (−∞,−1)
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.设曲线y=lnx−1
2x2在点(1,−1
2
)处的切线与直线ax+y+1=0平行，则a=______ ．
14.若实数x,y满足约束条件{x+2y≥0
x−y≤0
x−2y+2≥0
，则z=3x−y的最小值等于______．
15.已知三棱锥A−BCD中，BC⊥面ABD，AB=3，AD=1，BD=2√2，BC=4，则三棱锥A−BCD
外接球的体积为______．
16.设函数f(x)=sin(ωx+π
3
)，其中ω>0.若函数f(x)在[0,2π]上恰有2个零点，则ω的取值范围________．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17.已知等差数列{a n}的公差d=2，前n项和为S n．
(1)若a2，a3，a6成等比数列，求a1；
(2)若S5>a1a13，求a1的取值范围．
18.某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：
(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y ̂=b ̂x +a ̂;
(2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量.(附：线性回归方程y ̂=b ̂x +a ̂中，b
̂=i=1∑
n (x i −x)(y i −y)
n ∑i=1
(x i −x)2
，a ̂=y −b
̂x)
19. 如图，在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，E ，F 分别为BB 1，AC 的中点．
(1)求证：BF//平面A 1EC ；
(2)若AB =AA 1=2，求点A 到平面A 1EC 的距离．
20. 已知圆C ：(x −2)2+(y−2)2=m ，点A(4,6)，B(s,t).若3s −4t =−12，且直线AB 被圆C 截得的
弦长为4，求m 的值．
21.已知函数f(x)=(x2−2x−5)e2x−1，求函数f(x)的极值．
22.在平面直角坐标系xOy中，曲线P的参数方程为{x=t2 4
y=t
(t为参数)，在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ2−8ρcosθ+15=0．
(1)求曲线P的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)点M为曲线P上的动点，N为曲线C上的动点，求|MN|的最小值．
23.设函数f(x)=|x+a|+|x−a|．
(1)当a=1时，解不等式f(x)≥4；
(2)若f(x)≥6在x∈R上恒成立，求实数a的取值范围．
-------- 答案与解析 --------1.答案：A
解析：解：全集U={1,2，3，4，5}，集合A={1,2，4}，集合B={1,5}，所以∁U B={2,3，4}，
所以A∩(∁U B)={2,4}．
故选：A．
根据补集与交集的定义，进行运算即可．
本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题目．
2.答案：B
解析：解：复数7+4i
1+2i =(7+4i)(1−2i)
(1+2i)(1−2i)
=15−10i
5
=3−2i．
故选：B．
利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．
本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．
3.答案：B
解析：解：∵a⃗⊥b⃗ ，
∴a⃗⋅b⃗ =m+1+2(−m)=0，
解得m=1．
故选：B．
由a⃗⊥b⃗ ，可得a⃗⋅b⃗ =0．
本题考查了向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.答案：A
解析：
本题主要考查椭圆的基本性质，属基础题．
由定义得出c，利用勾股定理求出b，再求出a．
解：因为|BF2|=|F1F2|=2，
所以c=1，b=√22−12=√3,
所以a2=b2+c2=4,
所以x2
4+y2
3
=1．
故选A．
5.答案：A
解析：
本题考查函数的图象，利用函数的性质的判断与应用，单调性表述了图象的变化趋势，属基础题．解析：
解：当x<0时，f(x)=4x−3ln(−x)是增函数，故排除B，D；
易知当x>0时，f(x)=4x−3lnx，f′(x)=4−3
x ，在(0,3
4
)递减，在(3
4
,+∞)上递增，从而利用排除
C;
故选A．6.答案：D
解析：解：∵sin(α+π
3)=1
3
，∴sin(2α−5π
6
)=sin[2(α+π
3
)−3π
2
]=sin[2(α+π
3
)+π
2
]=cos2(α+π
3
)
=1−2sin2(α+π
3)=1−2×(1
3
)2=7
9
，
故选：D．
利用诱导公式、二倍角公式求得sin(2α−5π
6)=sin[2(α+π
3
)−3π
2
]的值．
本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，属于基础题．
7.答案：A
解析：
本题考查概率的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，是基础题．
基本事件总数n=36，利用列举法求出|a−b|≤1包含的基本事件(a,b)有16个，由此能求出|a−b|≤1的概率．
解：甲、乙两人掷骰子，若甲掷出的点数记为a，乙掷出的点数记为b，
基本事件总数n=36，
|a−b|≤1包含的基本事件(a,b)有16个，分别为：
(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,5)，(6,6)，
∴|a−b|≤1的概率为16
36=4
9
．
故选A．8.答案：C
解析：解：一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为2√3，
设高为：x，所以√3
4
x3=2√3，
解得：x=2，
故这个三棱柱的表面积为：(3+√3
2
)x2=2√3+12，
故选：C
通过正三棱柱的体积，求出正三棱柱的高，棱长，进而可得答案．
本题考查的知识点是棱柱的体积和表面积，简单几何体的三视图，方程思想，难度中档．9.答案：D
解析：解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出S=2A+1的值，
由题意，可得：2017=2A+1，解得：A=1008．
故选：D．
根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出正的确答案．
本题主要考查了程序框图的应用，属于基础题．
10.答案：B
解析：解：∵△ABE是直角三角形，∴∠AEB为直角
∵双曲线关于x轴对称，且直线AB垂直x轴
∴∠AEF=∠BEF=45°
∴|AF|=|EF|
∵F为左焦点，设其坐标为(−c,0)
∴|AF|=b2 a
∴|EF|=a+c
∴b2
a
=a+c
∴c2−ac−2a2=0
∴e2−e−2=0
∵e>1，
∴e=2．
故选B．
利用双曲线的对称性及直角三角形，可得∠AEF=45°，从而|AF|=|EF|，求出|AF|，|EF|得到关于a，b，c的等式，即可求出离心率的值．
本题考查双曲线的对称性、考查双曲线的三参数关系：c2=a2+b2、考查双曲线的离心率，属于中档题．
11.答案：D
解析：解：∵BD⊥AB，故△ABD为直角三角形，
则cos∠ADB=sinA=√3
3
，
cos∠BDC=−√3
3
，
在△BCD中
cos∠BDC=BD2+CD2−BC2 2BD⋅CD
即−√3
3=2
2√3BD
解得：BD=3，
∵sinA=√3
3
，
∴AD=3√3，AB=3√2
△ABC的面积S=9√2
2
故选：D．
由已知可得△ABD为直角三角形，结合sinA=√3
3，可得cos∠BDC=−√3
3
，由余弦定理得到BD=3，
进而可得AD，AB长，最后求出△ABC的面积
本题考查的知识点是余弦定理，同角三角函数的基本关系，三角形面积公式，难度中档．12.答案：C
解析：
【分析】本题考查函数奇偶性，考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题．
先判断函数的奇偶性，然后求导得出函数的单调性，求解即可．
【解答】解：f(−x)=xsinx+cosx+1
2
x2=f(x)，
所以函数f(x)为偶函数．。