培优提能5 三角形中的中线、高线、角平分线问题

处理与三角形中线有关的问题的常用方法:
(1)利用互补角(如本例中∠ADB与∠CDB互补,其余弦值互为相反数)及余弦定理
求解.
(2)利用中线长定理求解,但要书写其证明过程.
(3)利用向量法求解.
触类旁通 1

在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,已知 b=acos C+ csin A,点 M

是 BC 的中点.
(1)求A的值;

解:(1)因为 b=acos C+ csin A,

根据正弦定理得 sin B=sin Acos C+ sin Csin


A,所以 sin(A+C)=sin Acos C+ sin Csin A,


所以 sin Acos C+cos Asin C=sin Acos C+ sin Csin

( + - )
.

(2)若∠A=,∠ACB 的平分线 CE 与边 AB 相交于点 E,延长 CE 至点 D,使得 CE=DE,求
cos∠ADB.

解:(2)不妨令 AC=3,因为∠ACB= ,可得 AB=3 ,BC=6,又因为 CE 为∠ACB 的平分线,


所以∠ACE=∠BCE=,
·

,联立可得 AM2=(AB2+AC2)
-≤-=,即当且仅当 b=c= 时,中线 AM 的长度可取得最大值.
法二
因为 AM 是 BC 边上的中线,
→
所以=
→
→
+

→
2

2

2
2
2
,两边平方得|| =(b +c +bc)≤(b +c +

且仅当 b=c= 时,中线 AM 的长度取得最大值 .
培优点1
典例 1
三角形的中线问题


在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 cos C= - .

(1)求角B;


解:(1)由 cos C=-,得 2bcos C=2a-c,
利用正弦定理得 2sin Bcos C=2sin A-sin C,
即 2sin Bcos C=2sin(B+C)-sin C,


,
因为 AE 平分∠BAC,sin∠BAE=sin∠CAE,




由正弦定理得∠=∠,∠=∠,


其中 sin∠AEB=sin∠AEC,所以 = =2⇒S△AEC=S△ABC,






因为 AD 为 BC 边的中线,所以 S△ADC= S△ABC,所以 S△ADE=S△ADC-S△AEC= S△ABC=


因为 sin C≠0,所以 tan A= .又 0<A<π,所以 A= .


A,所以 cos Asin C= sin Csin A.


触类旁通 1
在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,已知 b=acos C+ csin A,点 M

是 BC 的中点.
(2)若 a= ,求中线 AM 长度的最大值.

=bcsin ∠BAC,
,
(角平分线长公式).
三、高线






1.h1,h2,h3 分别为△ABC 边 a,b,c 上的高,则 h1∶h2∶h3=∶∶ =∶∶.
2.求高一般采用等面积法,即求某底边上的高,需要求出面积和底边长度.
3.高线的两个作用:(1)产生直角三角形;(2)与三角形的面积相关.
sin 2C=sin B,且AD为BC边上的中线,AE为∠BAC的平分线.
(1)求cos C及线段BC的长;

解:(1)因为 sin 2C=sin B,所以 2sin Ccos C=sin B,所以 2ccos C=b,所以 cos C=.
由余弦定理得 cos C=
+-

=⇒a=6(负值舍去),即 BC=6.
→
→ → →
+ +||·||·cos∠ADB,解得


cos∠ADB=.
三角形的角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比,
再结合共线定理的推论,就可以转化为向量.一般地,涉及三角形中“定比”
类问题,运用向量知识解决起来都较为简捷.
触类旁通2 如图,在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=3,c=6,
由余弦定理 b2=c2+a2-2accos B,可得 9=c2+a2-ac,即 ac=8,

由三角形的面积公式得 S△ABC=acsin B=2 ,
又(a+c)2=a2+c2+2ac=17+2×8=33,所以 a+c= ,所以△ABC 的周长为 3+ .
法二
→
→
→
利用向量的加法法则得 2=+,


a,S△ABC=
解决与三角形的高线有关的问题常用等积法得到边的关系,进而用正弦定理、
余弦定理解决.

触类旁通 3
在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 a=7,b=8,A=.
(1)求sin B的值;

解:(1)在△ABC 中,因为 a=7,b=8,A= ,

解:(2)由正弦定理得

=2 ⇒b=3,





设 D 为 AC 边上的中点,则 AD=CD= ,BD= .
法一
在△BCD 中,cos∠CDB=

+ -


× ×

,在△ABD 中,cos∠ADB=
2

+ -


× ×

,
2
因为∠ADB+∠CDB=π,所以 cos∠ADB+cos∠CDB=0,所以 a +c =17,
1.利用角度的倍数关系:∠BAC=2∠BAD=2∠CAD.

2.内角平分线定理:AD 为△ABC 的内角∠BAC 的平分线,则 = .

推导过程:在△ABD 中,
Байду номын сангаас
在△ACD 中,
=

=

∠ ∠


∠ ∠
⇒ =

,
,




联立两个方程可得 AB2+AC2=2(BD2+AD2),则 AD2= (AB2+AC2)- BC2.
[点睛]灵活运用同角的余弦定理,适用于解三角形的题型.
→

2.向量法: = (b2+c2+2bccos ∠BAC)

→

→
→
推导过程:由=(+),
→
→
→
→
→
→
2

.
培优点3
三角形中的高线问题
典例3 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(sin B-sin C)2=sin2Asin Bsin C.
(1)求A;
解:(1)因为(sin B-sin C)2=sin2A-sin Bsin
所以 sin2B+sin2C-sin2A=sin Bsin C,

,所以 (a2+b2-c2)=2absin ∠ACB,
由余弦定理 a2+b2-c2=2abcos ∠ACB,
得 sin ∠ACB= cos ∠ACB,所以 tan ∠ACB= ,

因为∠ACB∈(0,π),所以∠ACB= .

典例 2
已知△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且△ABC 的面积为
2
2
2
所以由正弦定理得 b +c -a =bc,
所以由余弦定理得 cos A=

+ -
因为 A∈(0,π),所以 A= .



==,
C,
典例3 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(sin B-sin C)2=sin2Asin Bsin C.
(2)若 b=5,BC 边上的高为
化简得 sin C=2sin Ccos B.

因为 C∈(0,π),sin C≠0,所以 cos B=,

又因为 B∈(0,π),所以 B=.
典例 1


在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 cos C=-.

(2)若△ABC 外接圆的半径为 ,且 AC 边上的中线长为,求△ABC 的面积和周长.


,求 c.






解:(2)设 BC 边上的高为 h,由三角形的面积公式得 S△ABC= ah= ×



bcsin A=×5c×sin=


c,所以


a=


c,即 a=
a=


c,
由余弦定理得 a2=25+c2-5c,
将 a=


c 代入上式得 c2+16c-80=0,解得 c=4 或-20(舍去),所以 c=4.
所以由正弦定理
得 sin B=





=

= × =

,


.
触类旁通 3

在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 a=7,b=8,A=.
(2)若△ABC是钝角三角形,求BC边上的高.

解:(2)由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A,得 49=64+c2-2×8×c×,
,
,
该结论也可以由两三角形面积之比得证,即
△
=
=
△
.
3.等面积法:因为 S△ABD+S△ACD=S△ABC,

所以c·ADsin
∠

+b·ADsin
所以(b+c)AD=2bccos
整理得 AD=
∠


+
∠

∠

由正弦定理,得
=

,

=

∠ ∠ ∠ ∠

,又 sin∠AEC=sin∠BEC,则 =

所以 AE= ,BE=CE=2 ,得 DE=2 ,

所以在△ACD 中,由余弦定理可得 AD2=CA2+CD2-2CA·CD·cos =21,即 AD= .

,

在△BDE 中,可得 ED=BE=2 ,∠BED= ,

所以△BDE 为等边三角形,所以 BD=2 .
法一
2
2
2
在△ABD 中,由余弦定理可得 AB =AD +BD -2AD·BD·cos∠ADB,

得 cos∠ADB= .

法二

→
→
→
→

→
→
因为 A,E,B 三点共线,=,易知= + ,则 =( + )2=
→

→

→
→
→

两边平方得 4 = + +2·,
2
2
2
2
2
2
2
即 25=c +a +ac,由余弦定理 b =c +a -2accos B,得 9=c +a -ac,
两式相减得 16=2ac,即 ac=8,

由三角形的面积公式得 S△ABC=acsin B=2 ,
由 25=c2+a2+ac,得(a+c)2-ac=25,a+c= ,所以△ABC 的周长为 3+ .

+



2
2

)=××(b +c )=,即当
培优点2
典例 2
三角形的角平分线问题
已知△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且△ABC 的面积为
( + - )

.
(1)求∠ACB;

解:(1)由题可知 S△ABC=absin ∠ACB=
( + - )


则 = (+) = + + ||||cos




→
→
∠BAC,

所以 = (b2+c2+2bccos ∠BAC).


[点睛]适用于已知中线求面积(已知 的值也适用).
二、角平分线
如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.
解:(2)在△ABC 中,由余弦定理得 b2+c2-bc=3.
因为 bc≤
法一

+

,当且仅当 b=c= 时取等号,所以 b2+c2≤6.
在△ABM 中,cos B=
+
2
2
BC
,则
AM
=


+ -

·
,在△ABC 中,cos B=
+ -
培优提能5
三角形中的中线、高线、
角平分线问题
一、中线
2
2
2
2
1.中线长定理:在△ABC 中,AD 是边 BC 上的中线,则 AB +AC =2(BD +AD )
推导过程:在△ABD 中,cos B=
在△ABC 中,cos B=
+ -
+ -
·
·
触类旁通2
如图,在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=3,c=6,sin 2C=
sin B,且AD为BC边上的中线,AE为∠BAC的平分线.
(2)求△ADE的面积.


解:(2)因为 cos C=>0,所以 C∈(0,),
所以 sin C=



,所以 S△ABC=CA·CB·sin C=