高考数学一轮复习 专题4.1 弧度制及任意角的三角函数(

专题4.1 弧度制及任意角的三角函数

一、填空题

1．已知sin θ－cos θ>1，则角θ的终边在

【解析】由已知得(sin θ－cosθ)2>1，即1－2sin θcos θ>1，则sin θcos θ<0.又由sin θ－cos θ>1知sin θ>cos θ，所以sin θ>0>cos θ，所以角θ的终边在第二象限．

2．若α是第三象限角，则y

＝

sin

α

2

sin

α

2

＋

cos

α

2

cos

α

2

的值为

3．已知角α的终边经过一点P(x，x2＋1)(x>0)，则tan α的最小值为

【解析】tan α＝

x2＋1

x

＝x＋

1

x

≥2 x·

1

x

＝2，当且仅当x＝1时取等号，即tan α的最小值为2. 4．如图，在直角坐标系xOy中，射线OP交单位圆O于点P，若∠AOP＝θ，则点P的坐标是

【解析】由三角函数定义知，点P的横坐标x＝cos θ，纵坐标y＝sin θ.

5．已知角α的终边与单位圆x 2＋y 2＝1交于P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，y 0，则cos 2α＝ 【解析】∵角α的终边与单位圆x 2＋y 2＝1交于P ⎝ ⎛⎭

⎪⎫12，y 0， ∴⎝ ⎛⎭

⎪⎫122＋(y 0)2＝1，∴y 0＝±32， 则cos α＝12，sin α＝±32

， ∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝－12

. 6．(2017·连云港质检)已知角α的终边上一点的坐标为⎝

⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为 【解析】∵⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫32，－12， ∴角α为第四象限角，且sin α＝－12，cos α＝32

. ∴角α的最小正值为11π6

. 7．已知点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，则θ是第________象限角．

【答案】二

【解析】因为点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，

所以⎩⎪⎨⎪⎧ sin θcos θ<0，2cos θ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ>0，cos θ<0，

所以θ为第二象限角．

8．已知角α的终边上一点P (－3，m )(m ≠0)，且sin α＝

2m 4

， 则m ＝________.

【答案】± 5

9．一扇形的圆心角为120°，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为________．

【答案】(7＋43)∶9

10．在(0,2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围为________．

【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫π4

，5π4 【解析】如图所示，找出在(0,2π)内，使sin x ＝cos x 的x 值，sin π4＝cos π4＝22，sin 5π4＝cos 5π4

＝－22.根据三角函数线的变化规律可知，满足题中条件的角x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4

，5π4. 二、解答题

11．已知sin α＜0，tan α＞0.

(1)求角α的集合；

(2)求角α2终边所在的象限； (3)试判断 tan α2sin α2cos α

2

的符号． 解：(1)由sin α＜0，知角α的终边在第三、四象限或y 轴的非正半轴上；

由tan α＞0, 知角α的终边在第一、三象限，

故角α的终边在第三象限，其集合为

⎩⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪ 2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z .

(2)由2k π＋π＜α＜2k π＋3π

2，k ∈Z ，

12．已知扇形AOB 的周长为8.

(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；

(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB . 解：设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，

(1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2r ＋l ＝8，

1

2lr ＝3，

解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝3，

l ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1，

l ＝6，

∴α＝l r ＝23或α＝l r ＝6.

(2)∵2r ＋l ＝8，

∴S 扇＝12lr ＝12r (8－2r )＝r (4－r )＝－(r －2)2＋4≤4， 当且仅当r ＝2，l ＝4， 即α＝l r ＝2时，扇形面积取得最大值4. 此时弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1.