2024年沧州市高三数学第二次模拟联考试卷附答案解析

2024年沧州市高三数学第二次模拟联考试卷
试卷满分150分，考试用时120分钟
2024.05
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知()2
1i 2i z +=+，则z 的虚部为（
）A ．1B ．i C ．1
2
D ．1i
2
2．若点()2,1A 在圆222250x y mx y +--+=（m 为常数）外，则实数m 的取值范围为（）
A ．()
,2-∞B ．()
2,+∞C ．()
,2-∞-D ．()
2,-+∞3．化简cos20sin30cos40sin40cos60-=
（）
A ．1
B
C ．2
D 4．随着“一带一路”经贸合作持续深化，西安某地对外贸易近几年持续繁荣，2023年6月18日，该地很多商场都在搞“618⋅”促销活动.市物价局派人对某商品同一天的销售量及其价格进行调查，得到该商品的售价x （单位：元）和销售量y （单位：百件）之间的一组数据：
x
2025303540y
5
7
8
9
11
用最小二乘法求得y 与x 之间的经验回归方程是ˆˆ0.28y
x a =+，当售价为45元时，预测该商品的销售量件数大约为（）（单位：百件）
A ．11.2
B ．11.75
C ．12
D ．12.2
5．在6(23)x y z -+的展开式中，23xy z 项的系数为（）
A ．6480
B ．2160
C ．60
D ．2160
-
6．若()28log 3,ln sin 2024a b c ===，则下列大小关系正确的是（
）A ．b a c
<<B ．c b a
<<C ．a b c
<<D ．c a b
<<7．已知四面体ABCD 满足π11
,cos ,cos ,2,3,2334
BAC CAD DAB AB AC AD ∠∠∠======，则点A 到平面BCD 的距离为（）
A
B ．
3
2
C D
8．若函数()e ln 2x
f x x x x a =--+-有两个零点，则实数a 的取值范围是（
）
A ．(],1-∞
B ．(],0-∞
C ．(),0∞-
D ．()
,1-∞二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知实数,a b 满足,1a b a b >+=，则（）
A ．2a ab ＞
B ．2ab b >
C ．14
ab ≤
D ．221
a b +≥10．已知F 为抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，直线l 过F 且与C 交于,A B 两点，
O 为坐标原点，()02,P y 为C 上一点，且3PF =，则（
）
A ．过点()2,3M -且与抛物线C 仅有一个公共点的直线有3条
B ．当AOB 的面积为
9
4
AF BF ⋅=C ．AOB 为钝角三角形
D ．2AF BF +
的最小值为3+11．已知()f x 是定义在[)0,∞+上的单调递增且图象连续不断的函数，若[),0,x y ∀∈+∞，恒有()()()()()
1f x f y f x y f x f y ++=
+成立，设121x x >>，则（
）
A ．()00
f =B ．[)()000,,1x f x ∞∃∈+=C ．
()()
121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪
⎝⎭D ．
()()121222f x f x x x f ++⎛⎫
< ⎪⎝⎭
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知集合{}
()21,{}A x
x B x x a a =<=>∈R ∣∣，若A B ⋂≠∅，则a 的取值范围为.
13．已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛
⎫=+>>< ⎪⎝
⎭的部分图象如图所示，将函数()f x 图象上所有点
的横坐标缩短为原来的π
4，纵坐标伸长到原来的2倍，再把得到的图象向左平移π12
个单位长度，可得到
()
y g x
=的图象．若方程()
g x m
=在
π,0
2
⎡⎤
-⎢⎥
⎣⎦
上有两个不相等的实数根，则m的取值范围为
．14．已知12,F F为椭圆
22
22
:1(0)
x y
E a b
a b+=>>的左､右焦点，过1
F的直线与E交于,M N两点，若121
34
MF MF NF
==，则E的离心率为.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15．已知数列{}
ln
n
a为等差数列，且2
31342
6,8
a a a a a
-==．
(1)求数列{}n a的通项公式；
(2)若数列{}n b满足2
2log1
n n
b a
=-，记
1
1
n
n i n i
i
T a b
+-
=
=∑，求n T．
16．由教育部､体育总局､共青团中央共同主办，广西壮族自治区人民政府承办的中华人民共和国第一届学生（青年）运动会于2023年11月5日至15日在广西壮族自治区举办，这是全国青年运动会和全国学生运动会合并后的首届赛事.来自全国各地的学生青年运动健儿们共赴青春之约，在八桂大地挥洒汗水写就华章.青运会结束后，某学校组织学生参加与本届青运会有关的知识竞赛，为了解该校学生对本届青运会有关赛事知识的掌握情况，采用随机抽样的方法抽取600名学生进行调查，成绩全部分布在40~100分之间，根据调查结果绘制的学生成绩的频率分布直方图如图所示
.
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)估计这600名学生成绩的中位数；
(3)由频率分布直方图可以认为，这次竞赛成绩X近似服从正态分布()2,
Nμσ，其中μ为样本平均数（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表），9
σ≈，试用正态分布知识解决下列问题：
①若这次竞赛共有2.8万名学生参加，试估计竞赛成绩超过86.8分的人数（结果精确到个位）；
②现从所有参赛的学生中随机抽取10人进行座谈，设其中竞赛成绩超过77.8分的人数为Y ，求随机变量Y 的期望和方差.
附：若随机变量X 服从正态分布()2
,N μσ
，则
()0.6827,(22)0.9545,(33)0.9973P X P X P X μσμσμσμσμσμσ-<≤+≈-<≤+≈-<≤+≈.
17．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC 是边长为2的等边三角形，四边形11BCC B 为菱形，160CBB ∠= ，三棱柱111ABC A B C -的体积为3．
(1)证明：平面ABC ⊥平面11BCC B ；
(2)若D 为棱11A C 的中点，求平面1CDB 与平面1AB D 的夹角的正切值．
18．已知双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>一个焦点F 2．
(1)求双曲线C 的标准方程；
(2)设,M N 分别是双曲线C 左、右两支上的动点，A 为双曲线C 的左顶点，若直线,AM AN 的斜率分别为
12,k k ，且122,k k MN ⋅=-=MN 的方程．
19．若函数()(),f x g x 与()h x 在区间D 上恒有()()()f x h x g x ≥≥，则称函数()h x 为()f x 和()g x 在区间D 上的隔离函数.
(1)若()()()[]211
,,23,1,22
f x x
g x
h x x D =
=-=+=，判断()h x 是否为()f x 和()g x 在区间D 上的隔离函数，并说明理由；
(2)若()()e 1,x
f x h x kx =-=，且()()f x h x ≥在R 上恒成立，求k 的值；(3)若()()()()()ln 1
e ,1,,,0,x
x f x g x h x kx b k b D x
∞+==
+=+∈=+R ，证明：1=-b k 是()h x 为()f x 和()g x 在()0,∞+上的隔离函数的必要条件.
1．A
【分析】利用复数的乘方及复数除法运算求出复数z ，再求出z 即可得解.【详解】由()2
1i 2i z +=+，得22i 2i (2i)i)12i 1
i (1i)2i i ((2i )22
z +++-=====+⋅---，则1
i 2
z =
+，所以z 的虚部为1.故选：A 2．C
【分析】由点A 在圆外代入圆的方程可得2m <，再由圆的一般方程中2240D E F +->可得2m <-，最后求交集即可.
【详解】由题意知22214250m +--+>，故2m <，
又由圆的一般方程220x y Dx Ey F ++++=，
可得2240D E F +->，即22(2)(2)450m -+--⨯>，即2m <-或2m >，所以实数m 的范围为2m <-.故选：C.3．B
【分析】将式中的非特殊角通过两角和与差的三角函数转变为特殊角和40︒角即可进行化简.
【详解】()
cos 6040sin30cos40cos20sin30cos40sin60sin40
tan60sin40cos60sin40cos60sin40cos60
---====
故选：B.4．D
【分析】求出x ，y ，根据回归直线方程必过样本中心点()
x y 求出ˆa
，即可得到回归直线方程，最后代入计算可得.【详解】因为()12025303540305x =
++++=，()1
57891185
y =++++=，所以回归直线ˆˆ0.28y
x a =+过点()30,8，故ˆ80.2830a =⨯+，解得ˆ0.4a =-，所以ˆ0.280.4y
x =-，将45x =代入ˆ0.280.4y x =-中，得0.28450.412.2ˆy =⨯-=，即当售价为45元时，该商品的销售量件数大约为12.2百件.
故选：D.5．A
【分析】根据条件，利用组合知识，即可求出结果.
【详解】6(23)x y z -+相当于6个因式()23x y z -+相乘，其中一个因式取x ，有1
6C 种取法，
余下5个因式中有2个取2y -，有25C 种取法，最后3个因式中全部取3z ，有3
3C 种取法，故6
(23)x y z -+展开式中23xy z 的系数为12233
653C 1C (2)C 36480⨯⨯⨯-⨯⨯=.
故选：A.6．B
【分析】根据题意，利用对数函数的单调性，以及正弦函数的性质，分别求得,,a b c 的取值范围，即可求解.
【详解】由对数函数单调性，可得881log log 3log 812
=<<=，所以1
12a <<；
因为1
1
3311110101082⎛⎛⎫⎛⎫<=<<= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，所以1012b a <<<<，
又因为20sin 20241<<，所以()2
ln sin 20240<，即0c <，所以c b a <<.
故选：B.7．D
【分析】设平面BCD 的一个法向量n x AB y AC z AD =++ ，列出方程组，求得n AB AD =+
，再求得
n = 且5AB n ⋅= ，结合AB n h n
⋅=
，即可求解.
【详解】因为四面体ABCD 满足π11
,cos ,cos ,2,3,2334
BAC CAD DAB AB AC AD ∠∠∠======，可得3,2,1AB AC AC AD AD AB ⋅=⋅=⋅=
，
设平面BCD 的一个法向量n x AB y AC z AD =++
，
则()()()()
60330n BC x AB y AC z AD AC AB x y z n BD x AB y AC z AD AD AB x y z ⎧⋅=++⋅-=-++=⎪
⎨⋅=++⋅-=--+=⎪⎩
，令1z =，解得1,0x y ==，所以n AB AD =+
，
所以415n AB n ==⋅=+=
，
设点A 到平面BCD 的距离为h
，则2AB n h n ⋅== .故选：D.8．D
【分析】进行合理换元和同构，转化为()e t
g t t =-的图象与直线2y a =-有两个交点，转化为交点问题，
再利用导数研究函数的单调性、最值，最后得到参数的取值范围即可.
【详解】令()e ln 20x
f x x x x a =--+-=，
所以()ln e ln e
ln 2x x x
x x x x x a +--=-+=-．令()()ln e
ln x x
F x x x +=-+，定义域为()0,,2y a ∞+=-，
令ln t x x =+，易知()t x 在()0,∞+上单调递增，且t ∈R ．
所以()()e t
F x g t t ==-，
则函数()f x 有两个零点转化为函数()e t
g t t =-的图象与直线2y a =-有两个交点．
则()e 1t
g t '=-，当0t <时，()0g t '<；当0t >时，()0g t '>，
即()e t
g t t =-在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，
所以()()0
0e 01g t g ≥=-=，当t →-∞时，()g t ∞→+；当t →+∞时，()g t ∞→+，
则21y a =->，解得1a <，即实数a 的取值范围是(),1∞-．故选：D ．9．AC
【分析】由不等式的性质可判断A,B ；由代入消元结合函数的最值可判断C ；由已知结合基本不等式及相关结论可判断D.
【详解】因为,10a b a b >+=>，所以0,a b >的符号不确定，由不等式的性质知2a ab ＞成立，
但2ab b >不一定成立，故A 正确，B 错误；因()2
1111244ab a a a ⎛
⎫=-=--+≤ ⎪⎝
⎭，故C 正确；
因为a b >，所以2
2
2a b ab +>，所以22
2
()1
22
a b a b ++>=，故D 错误.
故选：AC.10．ACD
【分析】由抛物线的定义及点到准线的距离可求解抛物线的方程，判断点P 与抛物线C 的位置关系即可判断A ；联立直线与抛物线方程，得韦达定理，即可根据弦长公式求解面积，利用焦半径公式即可求解B ；根据数量积的坐标运算即可求解C ；根据焦半径公式，结合基本不等式即可求解D.【详解】如图①所示，因为3PF =，所以232
p
+=，解得2p =，所以抛物线C 的标准方程为24y x =.
对于A ，因为24y x =，当2x =
时，3y =<，故点()2,3M -在抛物线的外部，
所以与C 仅有一个公共点的直线有3条，故A 正确；
对于B ，由抛物线C 的方程可知，焦点()1,0F ，设l 的方程为()()11221,,,,x my A x y B x y =+，联立2
1,
4,
x my y x =+⎧⎨=⎩消去x ，
整理得2440y my --=，所以2
1212Δ16160,4,4m y y m y y =+>+==-，
又1OF =，所以
1211
22
AOB S OF y y OF =
⨯⨯-=⨯=
= 解得1m =±，则()()
2
1221212122426,116
y y x x m y y m x x +=++=+==
=，
则()()()1212121118AF BF x x x x x x ⋅=++=+++=，故B 错误；
对于C ，由选项B 可知12121,4x x y y ==-，所以12121430OA OB x x y y ⋅=+=-=-<
，故AOB ∠为钝角，
所以AOB 为钝角三角形，故C 正确；对于D ，由选项B 可知121=x x ，
所以()(
)1211
1221132AF BF x x x x +=+++=++
33≥+=+，当且仅当1112x x =
，即12x x =D 正确.故选：
ACD.
图①
11．AD
【分析】对于A ：令0y =，结合单调性分析即可判断；对于B ：假设存在0x 使得()01f x =，分析可知()f x 恒等于1，结合单调性分析判断；对于CD ：利用反证法证明[)()0,,1x f x ∞∀∈+<，结合基本不等式分
析可得
()()()
()()121221212f x f x f x x f x f x ++>
⎡⎤++⎢⎥
⎣⎦
，构建函数()221x
g x x =+，结合()g x 的单调性可知()()121222f x f x x x g f g ⎛⎫+⎛
⎫
+⎛⎫> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⎝⎭
，即可得结果.
【详解】对于选项A ：令0y =，得()()()
()()
0010f x f f x f x f ++=
+，即()()2
010f f x ⎡⎤-=⎣⎦，因为()f x 在[)0,∞+上单调递增，可知()f x 不恒等于1±，所以()00f =，故A 正确；
对于选项B ：若存在0x 使得()01f x =，令0y x =，得()()()
0111f x f x x f x ++=
=+，则()f x 恒等于1，
这与()f x 单调递增矛盾，故[)()0,,1x f x ∞∀∈+≠，故B 错误；对于选项CD ：若存在1x ，使得()11f x >，
因为()f x 的图象连续不断，()()11,001f x f >=<，故存在2x ，使得()21f x =，与上述()1f x ≠矛盾，
故[)()0,,1x f x ∞∀∈+<，可得12
12
x x
f +⎛⎫
< ⎪⎝⎭
，则
()()()()()
()()
()()1212122
1212112f x f x f x f x f x x f x f x f x f x +++=
≥
+⎡⎤++⎢⎥
⎣⎦
，当且仅当()()12f x f x =时取等号，
又因为()12,x x f x ≠单调递增，故不取等号，即
()()()()()12122
1212f x f x f x x f x f x ++>
⎡⎤++⎢⎥
⎣⎦
，
令0y x =≥时，可得()()()
2221f x f x f x =
+，
则()12122122212x x f f x x x x f +⎛⎫
⎪⎝⎭+=⎡⎤+⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
，当[)0,1x ∈时，令()2
21x g x x =+，则()()2
,0,11g x x x x
=∈+，
因为()1
,0,1y x x x
=
+∈单调递减且0y >，可知
()()
2
,0,11g x x x x
=
∈+单调递增，所以()1g x <，
又因为()00g =，则[)()[)2
20,1,0,11x
x g x x ∀∈=
∈+，且在[)0,1上单调递增，因为()()()()()()()121212121222121222,221122x x f f x f x f x f x x x g f f x x g x x f x f x f +⎛⎫ ⎪
⎛⎫++⎛⎫+⎛⎫⎝⎭==+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⎡⎤⎡⎤++⎛⎫⎝⎭
++ ⎪⎢⎥⎢⎥
⎝⎭⎣⎦⎣⎦
，可知()()121222f x f x x x g f g ⎛⎫+⎛
⎫
+⎛⎫> ⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⎝⎭
，所以
()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭
，故C 错误，D 正确.
故选：AD.
【点睛】方法点睛：1.对于抽象函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称
性，在解题中根据问题的条件推证函数的性质，根据函数的性质解决问题；2.比较数式大小问题，往往利用函数图象或者函数的单调性．12．()
,1-∞【分析】求出集合A ，根据集合A B ⋂≠∅，即可求出.
【详解】由题意知{|11}A x x =-<<，又(){}B x
x a a =>∈R ∣且A B ⋂≠∅，故1a <，即a 的取值范围为(),1∞-.
故答案为：(),1∞-.
13．(
2,-【分析】易得1A =，再由点2101,1,,33
2⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在()f x 的图象上，代入函数解析式求得()π
πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，
再利用伸缩变换和平移变换得到()π2sin 23g x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，作出其图象，利用数形结合法求解．
【详解】解：由()f x 的部分图象，可得1A =．
由图可知点2101,1,,332⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在()f x 的图象上，则2sin 13ωϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，101sin 32ωϕ⎛⎫
⨯+=- ⎪⎝⎭
，
由五点作图法可得2π32ωϕ⨯+=，10π2π36ωϕ⨯+=-，解得ππ,26ωϕ==，则()π
πsin 2
6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．
将函数()f x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的π4，纵坐标伸长到原来的2倍得到π2sin 26y x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的
图象，
再把得到的图象向左平移
π12个单位长度，可得到()π2sin 23g x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象．
作出函数()g x 的部分图象如图所示，
由根据函数()g x 的图象知：
当2m -<≤y m =与函数()g x 在π,02⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的图象有两个交点，
即方程()g x m =在π,02⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上有两个不相等的实数根．
故答案为：(
2,3⎤--⎦14．
10
5
##1105【分析】利用给定条件，结合椭圆的定义、余弦定理建立关于,a c 的等式，即可求出离心率.【详解】由12134MF MF NF ==及122MF MF a +=，得22a MF =，1133,28
a
MF a NF ==，又122NF NF a +=，则2138
a
NF =
，设1212,2MF F F F c θ∠==，在12MF F △中，由余弦定理得，2
2
2
21211122cos MF F F MF MF F F θ=+-⋅，在12NF F △中，由余弦定理得，2
2
2
21211122cos NF F F NF NF F F θ=++⋅，
于是22293422cos 442a a a c c θ=+-⨯⨯，且222
16993422cos 64648a a a c c θ=++⨯⨯，
整理得2
2
23cos c a ac θ+=，且2
2
583cos a c ac θ-=，因此2225c a =，105
c a =
所以E 的离心率为10
5
e =.故答案为：
105
15．(1)2n
n a =(2)1
3246
n n T n +=⋅--【分析】（1）根据条件得出数列{}n a 为等比数列，再根据条件求出1,a q ，即可求出结果；（2）根据（1）得到21n b n =-，再利用错位相减法，即可求出结果.【详解】（1）设等差数列{}ln n a 的公差为d ，则1ln ln n n a a d +-=，即1ln
n n a d a +=，则1e d n n
a
a +=，则数列{}n a 为等比数列，设其公比为q ，由2
313426,8a a a a a -==，
得2116a q a -=且232
1118()a q a q a q ⋅=，解得122
a q =⎧⎨=⎩，所以2n n a =．
（2）由（1）可得22log 121n n b a n =-=-，
所以()()1211211212122323212n n
n n n n n T a b a b a b a b n n ---=++⋅⋅⋅++=-⋅+-⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅①，
()()23112212232523212n n n n T n n -+=-⋅+-⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅②，
①-②得：()()()()()12311
2122222222212
n n n n T n -+-=-⋅+-⋅+-⋅+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅-⋅()
231142222222n n n n -+=--⋅++⋅⋅⋅++-21
1
22422212
n n n ++-=--⋅--14632n n +=+-⋅，
所以1
3246n n T n +=⋅--．
16．(1)0.018a =；(2)中位数为80；
(3)①4442人；②()()55,2
E Y D Y ==
.【分析】（1）利用频率分布直方图中条形图的面积所表示的频率之和为1即可求得a ；（2）利用频率分布直方图计算中位数，即只需要求出频率累加到0.5时所对应的临界数值；
（3）可利用区间中点值和频率来估计平均数μ，发现(86.8)()P X P X μσ>=>+，从而转化为利用已知
()0.6827P X μσμσ-<≤+≈的概率来求解，然后利用二项分布的期望公式()E X np =，即可估计出竞赛
成频超过86.8分的人数为280000.158654442⨯≈人；同理从所有参赛的学生中随机抽取10人，我们把
这个事件看作伯努利事件，即随机变量110,2Y B ⎛⎫
~ ⎪⎝⎭
，因此利用(),()(1)E X np D X np P ==-很容易的就
求出期望和方差.【详解】（1）
由频率分布直方图中条形图的面积所表示的频率之和为1得：
()100.0040.0080.0120.0260.0321a ⨯+++++=，
解得0.018a =.
（2）由频率分布直方图，因为前4组的频率为()100.0040.0080.0120.0260.5⨯+++=，所以估计600名学生成绩的中位数为80.
（3）①由频率分布直方图，可利用区间中点值和频率来估计平均数μ，即
450.04550.08650.12750.26850.32950.1877.8μ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，
所以()
2
77.8,9X N ~，则1()10.6827
(86.8)()0.1586522
P X P X P X μσμσμσ--<≤+->=>+=
≈=，
题意中是把这个2.8万人看成一个总体，这里面每个人的成绩分布是服从正态分布，
为了便于计算，我们又可以把这个事件看成伯努利事件，每个人的成绩超过86.8分的概率约是0.15865，所以()28000,0.15865X B ~，此时()280000.158654442E X =⨯=，即估计竞赛成绩超过86.8分的人数约为4442人.
②由①得()
2
77.8,9X N ~，则1
(77.8)2
P X >=
，由于是从所有参赛的学生中随机抽取10人，所以我们把这个事件看作伯努利事件，即随机变量110,2Y B ⎛⎫
~ ⎪⎝⎭
，
所以()()1115
105,1012222
E Y D Y ⎛⎫=⨯==⨯⨯-= ⎪⎝⎭.
17．(1)证明见解析
(2)9
【分析】（1）取BC 的中点O ，连接1B O ，由已知得出1B O =1B 到平面ABC 的距离，即可得出1B O ⊥平面ABC ，即可证明；
（2）建立空间直角坐标系，由面面夹角的向量公式及同角三角函数的关系求解即可．【详解】（1）证明：取BC 的中点O ，连接1B O ，
因为112,60BB BC CBB ∠===
，
所以1BCB △为等边三角形，
因为O 为BC 中点，所以1B O BC ⊥，1B O 因为三棱柱111ABC A B C -的体积为3，设1B 到平面ABC 的距离为h ，
所以12232⨯⨯⨯=，所以h =1B O ⊥平面ABC ，
又1B O ⊂平面11BCC B ，所以平面ABC ⊥平面11BCC B ．
（2）连接AO ，由（1）知1B O ⊥平面ABC ，又AO ⊂平面ABC ，所以1AO B O ⊥，因为O 为BC 的中点，AC AB =，所以AO BC ⊥
，且AO =所以1,,OA OB OB 两两垂直，以O 为坐标原点，1,,OA OB OB 所在直线分别为x 轴，
y 轴，z 轴建立空间直角坐标系（如图所示），
则)(),0,1,0A
B
，(
(()11,0,,0,1,0B C C --，
因为(1110,AA BB CC ===-
，
所以1
A -，因为D 为11A C
的中点，所以32D ⎫
-⎪⎪⎝⎭
，则1B D =
(
(113,0,0,1,,2B C AB ⎫-=-=⎪⎪⎝⎭
，
设平面1CDB 的一个法向量(),,n x y z = ，则1
100n B D n B C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
，即3020x y y -=⎨⎪-=⎩
，
令1y =
，解得3x z ==-
，故n =⎭
，设平面1AB D 的一个法向量(),,m a b c = ，则1
100m B D m AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
，即3020b -=⎨⎪=⎩，
令a =
1,b c ==
m =
，
设平面1CDB 与平面1AB D 的夹角为θ，
所以cos cos<,>m n m n m n θ⋅====⋅
所以sin θ=
tan 9θ=．
18．(1)2
2
1
3
y x -=(2)50x y --=或50
x y +-=【分析】（1）首先得到渐近线方程，由点到直线的距离公式求出b ，再由离心率公式求出2a ，即可得解；（2）首先判断直线MN 的倾斜角不为零，设直线MN 的方程为x my n =+，()11,M x y ，()22,N x y ，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，由斜率的关系求出n ，由弦长公式求出m ，即可得解.【详解】（1）由题知双曲线C 的渐近线方程为0bx ay ±=，不妨设(),0F c ，则焦点F 到渐近线的距离22
3bc bc
d b c
a b =
=
==+C 的离心率为22222222,2,4,33,1c
c a b c a a a a
∴
=∴=∴=-==∴=，故双曲线C 的标准方程为2
2
13
y x -=．
（2）由（1）可得()1,0A -，
当直线MN 的倾斜角为零时，由92MN =MN 的方程为92
2
y =±，代入双曲线方程可得29
2x =2992,22M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，2992,22N ⎫⎪⎪⎭
，则129292
2229292311
2k k -++⋅=
=-，不符合题意，则直线MN 的倾斜角不为零，∴设直线MN 的方程为x my n =+，()11,M x y ，()22,N x y ，
联立2
213
y x x my n ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩
，消去x 整理得()()
222
316310m y mny n -++-=，2310m ∴-≠，()()
2222
Δ36123110m n m n =--->，22310m n ∴+->，
()
2121222316,3131
n mn y y y y m m -∴+=-=
--．1111
y k x ∴=
+，2221y k x =+，
122k k ⋅=- ，1212211
y y
x x ∴
⋅=-++，()()12122110y y x x ∴+++=，
()()12122110y y my n my n ∴+++++=，
()
()()()2
212122121210m y y m n y y n ∴++++++=，
即()(
)()()22
22231
6212121031
31
n mn m m n n m m -+⋅
-+⋅
++=--，()()()()
2222231211212(1)310n m m n n n m ∴-+-+++-=，
2450n n ∴--=，
5n ∴=或1n =-．
当1n =-时，120y y =，不符合题意，5n ∴=．122
3031m y y m -∴+=
-，12272
31
y y m =-，
12231
MN y y m ∴-⋅-解得1m =±，故直线MN 的方程为5x y =±+．综上，直线MN 的方程为50x y --=或50x y +-=．
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式；（5）代入韦达定理求解.
19．(1)()h x 是()f x 和()g x 在区间D 上的隔离函数，理由见解析(2)1k =.(3)证明见解析.
【分析】（1）根据隔离函数定义依次证明()()0f x h x -≥和()()0h x g x -≥在[]1,2x ∀∈上是否恒成立即可得解.
（2）依据()00ϕ=，得到0x =是()x ϕ的极小值点，也是最小值点，从而求出1k =，再进行检验即可.
（3）构造函数()()ln 1e 1,0,x x F x x x ∞+⎛⎫=-+∈+ ⎪⎝⎭并求出其隐零点，结合题意得到001e x x =，00e x
kx b +=与0e x k =，进而得到0,,x k b 的关系，从而得证.
【详解】（1）()h x 是()f x 和()g x 在区间D 上的隔离函数.因为()(
)()211
,,232
f x x
g x
h x x =
=-=+，所以()()()
2
21111252322832f x h x x x x ⎛
⎫-=-+=--+ ⎪⎝⎭
，
()()f x h x -在111,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递增，在11,28⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上单调递减，
又()()()()1
11,2202
f h f h -=-=，
当2x =时，()()f x h x -在D 上取到最小值0，故[]()()1,2,x f x h x ∀∈≥.又()(
)2
22320h x g x x x ⎛-=++=+≥ ⎝⎭
，所以()()h x g x ≥.综上，()h x 是()f x 和()g x 在区间D 上的隔离函数.
（2）设()e 1,x x kx x ϕ=--∈R ，则()e x
x k ϕ'=-，
因为()()00x ϕϕ≥=，则0x =是()x ϕ的极小值点，也是最小值点，所以()010k ϕ='-=，即1k =.
当1k =时，()()e 1,e 1x x
x x x ϕϕ'=--=-，
当0x >时，()0x ϕ'>；当0x <时，()0x ϕ'<，
所以()()00x ϕϕ≥=，即e 1x x ≥+恒成立（当且仅当0x =时取等号），故1k =.
（3）证明：设()()ln 1e 1,0,x
x F x x x ∞+⎛⎫=-+∈+
⎪⎝⎭
，由（2）得e 1x x ≥+（当且仅当0x =时取等号），
所以()()()ln ln 111e 1e ln 1e ln 1x
x x x x F x x x x x x x x
x ++⎛⎫⎡⎤⎡⎤=-+=-++=-++ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭()1ln 1ln 10x x x x x ⎡⎤≥++-++=⎣
⎦，当且仅当ln 0x x +=时取等号，设()()ln ,0,G x x x x ∞=+∈+，则()1
10G x x
=+
>'，所以()G x 在()0,∞+上单调递增，又()()1
1
110,e e
10G G --=>=-<，
所以存在()
1
0e ,1x -∈使得()00G x =，即00ln 0x x +=，则0000
11ln ,e x x x x ==，又()00F x =，则0
00
ln 1
e 1x x x +=
+，由隔离函数定义可得0
0000
ln 1
e 1e x x x kx b x +≥+≥
+=，所以00e x kx b +=，设()()e ,0,x
H x kx b x ∞=--∈+，
则()()000e 0,e x x
H x kx b H x k =--==-'，
又()()00H x H x ≥=，则0x 是()H x 的极小值点，
所以()00e 0x
H x k ='-=，即0e x k =，结合0
000
1
e ,e x x kx b x =
+=，得1b k +=，故1=-b k ，所以1=-b k 是()h x 为()f x 和()g x 在()0,∞+上的隔离函数的必要条件.
【点睛】关键点点睛：证明1=-b k 是()h x 为()f x 和()g x 在()0,∞+上的隔离函数的必要条件的关键是
构造函数()()ln 1e 1,0,x
x F x x x ∞+⎛⎫=-+∈+
⎪⎝⎭
并求出其隐零点，从而得到0,,x k b 的关系，从而得证.。