反比例函数与几何综合(同步)

模块一 反比例函数k 的几何意义1.反比例函数k 的几何意义：如图，在反比例函数图象上任选一点，向两坐标轴作垂线，垂线与坐标轴所围成矩形的面积为k 。

如图二，所围成三角形的面积为2k2.如图，四条双曲线1C 、2C 、3C 、4C 对应的函数解析式分别为：1k y x =、2k y x =、3k y x =、4ky x=，那么1k 、2k 、3k 、4k 的大小顺序为1234k k k k <<<模块二反比例函数与面积的综合1.若所求图形面积是规则图形，则可以按照相应图形的面积公式直接计算2.若所求图形面积是不规则图形，则采用割补法3.转化面积时，注意观察是否需要使用反比例函数k 的几何意义模块三反比例函数与其他几何问题1.反比例函数与等腰三角形（1）.涉及一般等腰三角形存在性的问题，注意需要分类讨论， （2）.如果有等腰直角三角形或者等边三角形，注意考虑它的特殊性质 2.利用k 的几何意义进行面积转化 （1）.如图直线AB 与反比例函数ky x=（0k ≠）交于A 、B 两点，与x 、y 轴的交点分别为C 、D ，那么OAB OCD OBD OAC S S S S ∆∆∆∆=--，此方法是绝大部分学生选用的方法。

但是，从效率来讲，就比较低Oy xBAABx y OC 4C 3C 2C 1G F E D CB A Oyx反比例函数与几何综合 新知学习（2）.如图，过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为E 、F ，则根据k 的几何意义可得，OBF OAE S S ∆∆=，而OBF OAB OAE ABFE S S S S ∆∆∆+=+梯形，所以OAB ABFE S S ∆=梯形，此方法的好处，在于方便，快捷，不易出错。

3.k 的几何意义与双曲线的对称性 （1）.如图一，直线AB 与反比例函数ky x=（0k ≠）交于A 、B 两点，与x 、y 轴的交点分别为C 、D ，那么OAB OCA OCB ODB ODA S S S S S ∆∆∆∆∆=+=+，此两种方法是绝大部分学生选用的方法。

常规方法，费时、费力、而且还易计算出错。

（2）.如图二，我们知道反比例函数的图象是双曲线，关于原点成中心对称，那么延长BO 交双曲线于点E ，连接AE 、则OB OE =，OAB OAE S S ∆∆=，因此可以将OAE ∆的面积转化为梯形的面积一．反比例函数k 的几何意义1．利用k 的几何意义求参数的数值或比较参数大小【例1】 如图，点P 在反比例函数的图像上，过P 点作PA x ⊥轴于A 点，作PB y ⊥轴于B 点，矩形OAPB 的面积为9，则该反比例函数的解析式为yxABOCDyx DC FEO B ADCBAOyxExyOABCDOA B Pxy基础演练【练一练】反比例函数xky =的图像如图所示，点M 是该函数图像上一点，MN 垂直于x 轴，垂足是点N ，如果2MON S ∆=，则k 的值为（）A. 2B. 2-C. 4D. 4-【例2】 如图，在Rt AOB ∆中，点A 是直线y x m =+与双曲线my x=在第一象限的交点，且2AOB S ∆=，则m 的值是_____.【例3】 如图，正比例函数y kx =和y ax =(0a >)的图像与反比例函数ky x=(0k >)的图像分别相交于A 点和C 点．若Rt AOB ∆和Rt COD ∆的面积分别为1S 和2S ，则1S 与2S 的关系是（）A ．12S S >B ．1S =2SC ．1S <2SD ．不能确定【练一练】在函数ky x=(0x >)的图像上取三点A 、B 、C ，由这三点分别向x 轴、y 轴作垂线，设矩形12AA OA 、12BB OB 、12CC OC 的面积分别为A S 、B S 、C S ，试比较三者大小.NM Oxy OCBAyxOyxDBCAy xOC 1B 1A 1C 2B 2A 2CBA【解析】设点A 的坐标为(a ，b )，因为点A 在双曲线k y x =上，所以k b a =，即ab k =.因为A 在第一象限内，所以11A S OA A A ab k=⋅==，同理可得A B C S S S k===.由此我们可以得到一个结论： 在反比例函数ky x =(0k ≠)中，具有矩形面积的不变性，即121212AA OA BB OB CC OC S S S k ===.在此基础上可以推得：梯形面积的不变性，即2211AA B B AA B BS S =由上题结论可推得：梯形面积与三角形面积的不变性：AOBABFE S S ∆=梯形1122ABFOC ACOE ABFOC ACOE BDOF ABFOC ACO BOF AOBABFE S S S S S S S S S S ∆=-=--=--=梯形 【答案】A B C S S S == 2.反比例函数与方程的思想 【例4】 已知点(1,3)在函数ky x=(0x >)的图像上，矩形ABCD 的边BC 在x 轴上，E 是对角线BD 的中点，函数ky x=(0x >)的图像经过A 、E 两点，若45ABD ∠=︒，求E 点的坐标.【解析】方程的思想无处不在，涉及到函数问题的时候，主要是通过等量关系去建立方程，本题方法不唯一【答案】点(1，3)在函数ky x =的图像上，3k =.又E 也在函数k y x =的图像上，故设E 点的坐标为(m ，3m ).过E 点作EF x ⊥轴于F ，则3EF m =.又E 是对角线BD 的中点，62AB CD EF m ===.故A 点的纵坐标为6m ，代入3y x =中，得A 点坐标为 (2m ，6m ). 因此22m m BF OF OB m =-=-=.由45ABD ∠=︒，得45EBF ∠=︒，BF EF =.即有32m m =.解得6m =±.而0m >，故6m =.则E 点坐标为 (6，62).ED xyA BC OF EDxyA B C O二．反比例函数与面积的综合1.一般面积问题【例5】 在平面直角坐标系中，函数ky x=(0x >，常数0k >)的图象经过点A (1，2)，B (m ，n )，(1m >)，过点B 作y 轴的垂线，垂足为C ．若ABC ∆的面积为2，求点B 的坐标．【练一练】如图，直线y kx b =+与反比例函数()10k y x x=<′的图象相交于点A 、点B ，与x 轴交于点C ，其中点A 的坐标为()24-，，点B 的横坐标为4-． （1）试确定反比例函数的关系式； （2）求AOC ∆的面积．【例6】 如图，点A 、B 是双曲线3y x=上的点，分别经过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段，若1S =阴影，则12S S +=【练一练】如图，在反比例函数2y x=(0x >)的图象上，有点1P ，2P ，3P ，4P 它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为1S ，2S ，3S ，求123S S S ++．xyAB C OCB A Oxy S 2S 1OBA yx S 3S 2S 1yx4312P 4P 3P 2P 1y =2x【练一练】已知A B C D E，，，，是反比例函数16yx=()0x>图象上五个整数点（横、纵坐标均为整数），分别以这些点向横轴或纵轴作垂线段，由垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成如图5所示的五个橄榄形，则这五个橄榄形的面积总和是（用含π的代数式表示）【例7】如图，已知正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B在函数kyx=(0k>，0x>)的图像上，点P(m，n)为其双曲线上的任一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，并设矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面积为S．⑴求B点的坐标和k的值；⑵当92S=时，求P点坐标；⑶写出S关于m的函数关系式．【练一练】如图，反比例函数8yx=的图象过矩形OABC的顶点B，OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，:2:1OA OC=．（1）设矩形OABC的对角线交于点E，求出E点的坐标；（2）若直线2y x m=+平分矩形OABC面积，求m的值．y=16xEDCBAyx OyxEPBFCAOyxBAOC2.利用k 的几何意义进行面积转化【例8】 如图，在x 轴的正半轴上依次截取112233445OA A A A A A A A A ====，过点12345A A A A A ，，，，分别作x 轴的垂线与反比例函数()20y x x=≠的图象相交于点12345P P P P P ，，，，，得直角三角形1112233344455OP A A P A A P A A P A A P A 2，，，，，并设其面积分别为12345S S S S S ，，，，，则5S 的值为．【例9】 两个反比例函数k y x =和1y x =在第一象限内的图象如图所示，点P 在ky x =的图象上，PC x ⊥轴于点C ，交1y x =的图象于点A ，PD y ⊥轴于点D ，交1y x =的图象于点B ，当点P 在ky x=的图象上运动时，以下结论：①ODB ∆与OCA ∆的面积相等； ②四边形PAOB 的面积不会发生变化； ③PA 与PB 始终相等；④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点．其中一定正确的是（把你认为正确结论的序号都填上，少填或错填不给分）．【练一练】如图，点A 、B 在反比例函数ky x=(0k >)的图象上，且点A 、B 的横坐标分别为a 和2a (0a >)AC x ⊥轴，垂足为C ，AOC ∆的面积为2．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点(a -，1y )，(2a -，2y )也在反比例函数的图象上，试比较1y 与2y 的大小； （3）求AOB ∆的面积．y=2xA 5A 4A 3A 2A 1O yxP5P 4P 3P 2P 1y xy=k xy=1xDBP ACO BAOyxDCEBAOyx【练一练】如图，已知双曲线()0ky k x=>经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ．若OBC ∆的面积为3，则k =__________．3.k 的几何意义与双曲线的对称性 【例10】 直线y kx =（0k >）与双曲线4y x=交于11(,)A x y 、22(,)B x y 两点，则122127x y x y -的值等于_____________【练一练】已知反比例函数8y x=上两点A ，B 的横坐标分别为2-，8，则OAB ∆的面积为三．反比例函数与其他几何问题【例11】 如图，已知反比例函数12k y x=的图象与一次函数2y k x b =+的图象交于A B ，两点，()1122A n B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，，．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）在x 轴上是否存在点P ，使AOP ∆为等腰三角形？若存在，请你直接写出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．【例12】 如图，11POA ∆、212P A A ∆都是等腰直角三角形，点1P 、2P 在函数4y x=(0x >)的图像上，斜边1OA 、12A A 、都在x 轴上，求点2A 的坐标.OEDCBAxyOyxBAA 2A 1P 2P 1Oxy【题1】 （2013•六盘水）下列图形中，阴影部分面积最大的是（）A ．C ．D ．A B. C.D.【题2】 （2013•南宁）如图，直线y=与双曲线y=（k ＞0，x ＞0）交于点A ，将直线y=向上平移4个单位长度后，与y 轴交于点C ，与双曲线y=（k ＞0，x ＞0）交于点B ，若OA=3BC ，则k 的值为（）A 3B. 6 C. D.【题3】 如图，正方形OABC ，ADEF 的顶点A 、D 、C 在坐标轴上，点F 在AB 上，点B 、E 在函数1(0)y x x=>的图象上，则点E 的坐标是【题4】 （2013•自贡）如图，在函数的图象上有点P1、P2、P3…、Pn 、Pn+1，点P1的横坐标为2，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2，过点P1、P2、P3…、Pn 、Pn+1分别作x 轴、y 轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为S1、S2、S3…、Sn ，则S1=_________，Sn=___________．（用含n 的代数式表示）F EOCA BD xy 课后作业【题5】 （2013•娄底）如图，已知A 点是反比例函数的图象上一点，AB⊥y 轴于B ，且△ABO 的面积为3，则k 的值为___________．【题6】 （2013•内江）如图，反比例函数（x ＞0）的图象经过矩形OABC 对角线的交点M ，分别于AB 、BC 交于点D 、E ，若四边形ODBE 的面积为9，则k 的值为（）A 1B. 2 C.3D. 4【题7】 已知反比例函数2ky x=和一次函数21y x =-，一次函数的图象经过(,)a b 、(1,)a b k ++两点 ⑴求反比例函数的解析式⑵如图，已知A 点在第一象限且同时在上述两个函数的图象上，求A 点坐标；⑶利用⑵的结果，请问：在x 轴上是否存在点P ，使AOP ∆为等腰三角形？若存在，把符合条件的P 点坐标都求出来；若不存在，请说明理由。