反比例函数常见几何模型

反比例函数常见模型

一、知识点回顾

1..反比例函数的图像是双曲线，故也称双曲线y=k x

（k≠0）．其解析式有三种表示方法：①x

k

y =

（0≠k ）；②1-=kx y （0≠k ）；③k xy = 2．反比例函数y=k x

（k≠0）的性质

（1）当k>0时⇔函数图像的两个分支分别在第一，三象限内⇔在每一象限内，y 随x 的增大而减小．

（2）当k<0时⇔函数图像的两个分支分别在第二，四象限内⇔在每一象限内，y 随x 的增大而增大．

（3）在反比例函数y=k x

中，其解析式变形为xy=k ，故要求k 的值(也就是求其图像上一点横坐标与纵坐标之积).

（4）若双曲线y=k x

图像上一点（a ，b ）满足a ，b 是方程Z 2－4Z －2=0的两根，求双曲线的解析式．由根与系数关系得ab=－2，又ab=k ，∴k=－2，故双曲线的解析式是y=

2

x

-． （5）由于反比例函数中自变量x 和函数y 的值都不能为零，所以图像和x 轴，y 轴都没有交点，但画图时要体现出图像和坐标轴无限贴近的趋势． 二、新知讲解与例题训练

模型一：

如图，点A 为反比例函数x

k y =图象上的任意一点，且AB 垂直于x 轴，则有2|

|k S OAB =

∆ 例1：如图ABC Rt ∆的锐角顶点是直线y=x+m 与双曲线y=

x

m

在第一象限的交点，且3=∆AOB S ,（1）求m 的值 （2）求ABC ∆的面积

变式题

1、如图所示，点1A ,2A ,3A 在x 轴上，且O 1A =21A A =32A A ,分别过1A ,2A ,3A 作y 轴平行线，与反比例函数y=x

8(x>0)的图像交于点1B ,2B ,3B ，分别过点1B ,2B ,3B 作x 轴的平行线，分别与y 轴交于点1C ,2C ,3C ,连结321,,OB OB OB ,那么图中阴影部分的面积之和为__________

2、 如图，点A 在双曲线1y x

=上，点B 在双曲线3

y x

=

上，且AB ∥x 轴，C 、D 在x 轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为 . 模型二：

如图：点A 、B 是双曲线)0(≠=k x

k y 任意不重合的两点，直线AB 交x 轴于M 点，交

y 轴于N 点，再过A 、B 两点分别作y AD ⊥轴于D 点，x BF ⊥轴于F 点，再连结DF

两点，则有：AB DF ||且BM ＝AN

例2：如图，一次函数y a x b =+的图象与x 轴，y 轴交于A ，B 两

F

点，与反比例函数k

y x

=

的图象相交于C ，D 两点，分别过C ，D 两点作y 轴，x 轴的垂线，垂足为E ，F ，连接CF ，DE ．有下列四个结论：①DEF CEF S S ∆∆=；②AOB ∆相似于FOE ∆；③△DCE ≌△CDF ；④A C B D =其中正确的结论是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）

例3：一次函数y ax b =+的图象分别与x 轴、y 轴交于点,M N ，与反比例函数k

y x

=

的图象相交于点,A B ．过点A 分别作AC x ⊥轴，AE y ⊥轴，垂足分别为,C E ；过点B 分

别作BF x ⊥轴，BD y ⊥轴，垂足分别为F D ，，

AC 与BD 交于点K ，连接CD ． （1）若点A B ，在反比例函数k

y x

=

的图象的同一分支上，如图1，试证明： ①AEDK CFBK S S =四边形四边形；②AN BM =． （2）若点A B ，分别在反比例函数k

y x

=的图象的不同分支上，如图2，则AN 与BM 还相等吗？试证明你的结论．

模型三：

如图，已知反比例函数k y x

=（k ≠0，x>0）上任意两点P 、C ，过P 做PA ⊥x 轴，交

x 轴于点A ，过C 做CD ⊥x 轴，交x 轴于点D ，则OPC PADC S S ∆=梯形.

例4：如图，在直角坐标系中，一次函数y =k 1x+b 的图象与反比例函数2

k y x

=

的图象交于A (1,4)、B (4，1)两点，图1

则△AOB 的面积是______.

例5：如图，在直角坐标系中，一次函数1y k x b =+的图象与反比例函数2

k y x

=的图象交于A （1,4）、B （3，m ）两点，则△AOB 的面积是______. 例6：如图1，已知直线12y x =与双曲线(0)k y k x

=>交于A 、B 两点，且点A 的横坐标为4． （1）求k 的值；

（2）如图2，过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)k y k x

=>于C 、D 两点（点C 在第一象限且在点A 的左边），当四边形ACBD 的面积为24时，求点C 的坐标． 模型四：

在矩形AOBC 中，OB =a ，OA =b ，分别以OB ，OA 所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是BC 上的一个动点（不与B 、C 重合），过F 点的反比例函数(0)k y x x

=>的图象与AC 边交于点E ，则

CE a

CF b

=. 例7：两个反比例函数k

y x

=和1y x

=在第一象限内的图象如图所示，点P 在k y x

=的图

象上，PC ⊥x 轴于点C ，交1y x

=的图象于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交1y x

=的图象于点B ，当点P 在k

y x

=的图象上运动时，以下结论：

①△ODB 与△OCA 的面积相等；②四边形PAOB 的面积不会发生变化；③PA 与PB 始终相等；④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点．其中一定正确的是 _________（把你认为正确结论的序号都填上）． 课堂练习：