结构力学的试卷

一、对图示体系进行几何构造分析，并指出有无多余约束，若有，指出其数量。

（答题时应有必要的分析过程）（ 10 分 )
（5分×2）解：a.几何瞬变体系（用三刚片法则，三铰共线）； b.几何不变体系且无多余约束（体系内部用三刚片法则，三铰不共线）；
二、画出图示结构弯矩图的形状。

其中图 c 各杆件长相等， EI ＝常数（ 15 分）
参考答案：
三、计算题（应有主要计算过程和步骤）
参考答案：3. 大小、方向和作用位置随时间改变，有机械振动、风、地震
和爆炸力
1.（ 16 分）对于图示体系，试求：
（ 1 ） R C 、 Q CL 的影响线；
（ 2 ）在图示移动荷载作用下，利用 R C 、 Q CL 的影响线，求（正
号最大值）和（负号最小值）的荷载最不利位置，并计算其大小。

设 P ＝ 30kN ，q ＝ 30kN/m ，并设均布荷载的长度可以任意选取
.
参考答案：
RC影响线（3分）QCL的影响线（3分）
:将均布荷载布置在BC段，集中荷载布置在D点。

（2分）
=90KN
:将均布荷载布置在BC段，集中荷载布置在D点。

（2分）
=60KN
2 、如图所示，各杆件长 L ， EI ＝常数，计算 D 点的水平位移△ DH 。

（ 12 分）
参考答案：（12分）解：取一半结构计算：
△DH＝
3 、用力法计算图示，并作 M 图（各杆 EI ＝常数）。

（ 16 分）
参考答案：（16分）解：取四分之一结构计算：
计算简图（2分）图（2分）图（2分M图（3分
(1分)；
（2分）；M=MP+ 1X1 （2分）
4 、已知图示结构的荷载 P ＝ 10kN ， q ＝ 12kN/m ， m ＝ 50kN.m ， L ＝
4m ，结构在荷载作用下结点 A 产生的角位移= （顺时针转动）；线位移，画出结构 M 图，并求 E 点得水平支反力 F Ex 。

（各杆线刚度 i ＝常数）（ 17 分）
参考答案：（17分）解：BCDG部分为静定体系，可直接作内力图。

（1分）
AE杆：KN.m
KN.M
BF杆：KN.M;;
AB杆：;
作M图：（5分）
即FEx＝5.4kN（←）（3分）
5 、用力矩分配法计算图示结构，并画出弯矩图和求 D 支座的竖向反力。

（ 14 分）
参考答案：
5 、（ 14 分）解：①计算固端弯矩：；
将 E 点竖向荷载 10kN 向 D 点简化为向下的竖向荷载 10kN 和顺时针的弯矩 10kN.m ，因
此（ 3 分）
②计算分配系数： S CA ＝； S CD ＝；μ CA ＝μ CD ＝
0.5 （ 2 分）
③分配及传递：（ 4 分）
（ 1 ）作 M 图：（ 3 分）
R Dy ＝ 10 ＋ 15.83 ＝ 25.83 kN （↑）（ 2 分）
一、对图示体系进行几何构造分析，并指出有无多余约束，若有，指出其数量。

（答题时应有必要的分析过程）（ 10 分）
参考答案： a. 体系内部用二刚片法则，若三个链杆交于一点，则为几何瞬变体系；若三个链杆不交于一点，则为几何不变体系。

b.几何不变体系且无多余约束（体系内部用三刚片法则，三铰不共线）；
二、画出图示结构弯矩图的形状。

其中图 b 各杆件长相等， EI ＝常数（ 15 分）
a. b. c.
参考答案：
三、计算题（应有主要计算过程和步骤）
参考答案：3. 大小、方向和作用位置随时间改变，有机械振动、风、地震
和爆炸力
1.（ 16 分）对于图示体系，试求：
（ 1 ） M E 、 Q E 的影响线（设 R C 向上为正）；
（ 2 ）在图示移动荷载作用下，利用 M E 、 Q E 的影响线，求（正
号最大值）和（负号最小值）的荷载最不利位置，并计算其大小。

设 P ＝ 30kN ，q ＝ 30kN/m ，并设均布荷载的长度可以任意选取
.
参考答案：
ME影响线（3分）QE的影响线（3分）
:将P布置在ME影响线的E点处，均布荷载q布置在EB段。

（2分）
=60KN
:将P布置在QE影响线的E点左侧处，均布荷载q布置在ED段。

（2分）
=-20KN
2 、如图所示，各杆件长 L ，计算 D 点的水平位移△ DH 。

（ 14 分）
参考答案：（12分）解：将原结构体系分解为图1和图2。

其中图1中D点没有水平位移，图2取一半结构计算。

△DH＝
3 、用力法计算图示排架，已知 q ＝ 8kN/m ，并作 M 图。

（ 16 分）
参考答案：（16分）解：
MP图图（2分）M图（2分
(1分)；δ11＝( ×6×6) ×( ×6) ×2＝(3分)
△1p= [( ×6×18q) ×( ×6)= (3分)
X1=△1p/δ11=(－)∕( ) = －9（kN）； M=MP+ 1X1 (2分) （2分）
4 、已知图示结构的荷载 q ＝ 30kN/m ， L ＝ 4m ，结构在荷载作用下结
点 A 、 B 产生的角位移= （逆时针转动）；＝（逆时针转动），画出结构 M 图。

（各杆线刚度 i ＝常数）（ 16 分）
参考答案：（17分）解：各杆端弯矩：
AC杆：MCA＝0，MAC＝＝240kN.m；（2分）
AB杆：MAB＝=－124 kN.m，MBA＝＝－74 kN.m；（3分）
AD杆：MAD＝＝－116 kN.m，MDA＝＝－58 kN.m；（2分）
BE杆：MBE＝＝－102 kN.m，MEB＝0；（2分）
BF杆：MBF＝＝176 kN.m，MFB＝＝64 kN.m；（3分）
5 、用力矩分配法计算图示结构，其中 q ＝ 6kN/m ， a ＝ 4m ，各杆 EI ＝常数，并画出弯矩图和求 B 支座的竖向反力。

（ 13 分）
参考答案：
解：①计算固端弯矩：
；
；
（ 2 分）
②计算分配系数： S ab ＝ S ad ＝ 4i ； S ba ＝ 4i ， S bc ＝ i μ AB ＝μ AD ＝ 0.5 ；μ BA ＝ 0.8 ，μ BC ＝ 0.2 （ 2 分）③分配及传递：（ 5 分）
（ 1 ）作 M 图：（ 2 分）
（ 2 ） B 支座的竖向反力：（ 2 分）
Q BA ＝kN （↑）；
Q BC ＝kN （↑）
R B ＝ 19 ＋ 24.06 ＝ 43.06kN （↑）
一.简答题（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）
1. 写出结构振动的自由度（不考虑结构的轴向变形）。

图 1 为______ ；图 2 为________ 。

参考答案：1. 无穷
个；1个
2. 绘图 3 结构第 1 和第 2 振型的大致形状。

参考答案：
3. 动荷载的特点是什么，并举出四种动荷载的实例。

参考答案：3. 大小、方向和作用位置随时间改变，有机械振动、风、地震
和爆炸力
4. 某两个自由度系统， m1 =m2 ＝ m ，两个振型向量分别为：
和，试验算振型对质量矩阵具有正交性。

参考答案：
5.写出无阻尼单自由度体系在突加荷载作用下的动力系数和有阻尼单自由度体系在共振时的动力系数
参考答案：
二. 计算题（本大题共 4 小题，第 1 小题 15 分，其他每小题 20 分，共
75 分）。

（要求写出必要的步骤）
1. 图 4 结构，截面抗弯刚度 EI ，梁上有一个集中质量 m ，忽略梁自身的质量，求该体系的自振频率。

参考答案：
2.图 5 结构，截面抗弯刚度 EI ，梁上有一个集中质量 m ，忽略梁自身的质量，受到图示简谐荷载P(t)=sin0t 作用，求该体系振动时结构最大的侧移。

参考答案：
3.图 6 结构，截面抗弯刚度 EI ，梁上有两个集中质量，均为 m ，忽略梁自身的质量，试用柔度法写出该结构体系的特征方程
参考答案：
4. 图 7 结构，截面抗弯刚度 EI ，梁上有一个集中质量 m ，忽略梁自身的质量，其自由振动曲线为Y（x)=BSin( πx/a) 用瑞利法求结构的第一自振频率。

参考答案：
一.简答题（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）
1. 写出结构振动的自由度（不考虑结构的轴向变形）。

图 1 为______ ；图 2 为________ 。

参考答案：1个；
无穷个
2. 绘图 3 结构第 1 和第 2 振型的大致形状。

参考答案：
3. 试写出无阻尼单自由度振动系统杜哈梅积分的一般公式，并说明它被用于求解什么问题？
参考答案：，求初始为静止状态单自由度体系的一般
动荷载作用下的动力反应。

4. 某两个自由度系统， m1=m2 ＝m ，两个振型向量分别为：
和，试求广义质量。

参考答案：
;
5. 将无限自有度体系简化为有限自由度体系的方法有哪两种，并说明它们各自的特点。

参考答案：5. 有集中质量法和广义坐标法。

集中质量法：将分布质量分解为几个集中质量；广义坐标法：利用形状函数求解。

二. 计算题（本大题共 4 小题，第 1 小题 15 分，其他每小题 20 分，共
75 分）。

（要求写出必要的步骤）
1. 图 4 结构，截面抗弯刚度 EI ，梁上有一个集中质量 m ，忽略梁自身的质量，受到图示简谐荷载
作用，求该体系振动时结构最大的侧移。

参考答案：
2. 图 5 结构，截面抗弯刚度 EI ，梁上有两个集中质量，均为 m ，忽略梁自身的质量，试用柔度法写出该结构体系的特征方程。

参考答案：
（ 4 分）
（ 4 分）
（ 4 分）
特征方程为：设；
3. 图 6 结构，截面抗弯刚度 EI ，梁的分布质量，其自由振动曲线为
，用瑞利法求结构的第一自振频率。

参考答案：
；
( )
；
4. 某结构自振频率为ω1、ω2，体系广义质量分别为、，广义
荷载分别为、，两个振型向量分别为：和，用主振型叠加法写出位移 y 1 （ t ）和 y 2 （ t ）的表达式。

参考答案：
同理：
一、判断题（在你认为正确的命题后面的括号内打√，错误的打×）（ 2 分× 5=10
分）
1. 结构体系自由度的数目与超静定的次数有关。

（）
2. 结构体系的自振频率与动荷载的大小有关。

（）
3. 具有集中质量的结构体系，其自由度的个数与集中质量的数目相等。

（）
4. 结构体系简化的自由度数目与计算结果的精度有关。

（）
5. 单自由度体系发生无阻尼自由振动时，若初始速度为零时，体系的振幅和初始位移大小相等。

（）
参考答案：1. × 2.
× 3. × 4. √ 5.√
二、简答题( 回答主要要点 ) （共 52 分）
1. 判断图示体系的动力计算自由度（忽略杆件的轴向变形和自重，杆件的抗弯刚度为 EI ）。

(2 ×3 分 )
参考答案：.(3分×2) 答：a. 3
个 b. 2个。

2. 结构自振频率和周期与结构的哪些因素有关 ? 有怎样的关系 ?(5 分 )
参考答案：结构的自振频率和周期与结构的刚度 k 和质量 m 有关。

自振频率ω＝，
所以与成正比，与成反比；周期 T=2π，所以与成反比，与成正比。

3. 无阻尼的单自由度体系在简谐荷载作用下的动力系数和哪些因素有关 ? 当
→0, 0 ＜＜ 1, →1, ＞ 1 时 , 的变化规律怎样 ?(5 分 )
参考答案：无阻尼的单自由度体系在简谐荷载作用下的动力系数β和（）有关。

当→
0 时， |β| →1 ；当 0 ＜＜ 1 时，随着（）的增大， |β| 增大；当→1 时， |β| →∞；
当＞ 1 时，随着（）的增大， |β| 减小。

4. 用杜哈梅积分计算突加荷载作用时动位移表达式和动力系数β（设体系开始时处于静止且为无阻尼状态）。

(5 分 )
参考答案： y(t)= = y st (1 － cos
ωt); β=2 。

5. 简述在低阻尼的自由振动情况下，阻尼对结构自振频率和振幅的影响。

(5 分 )
参考答案：在低阻尼的自由振动情况下，因ξ<1 ，所以ω r <ω；当ξ<0.2 时，阻尼对
自振频率的影响不大，可忽略。

振幅为，随时间推移振幅趋向于 0 。

6. 两个自由度体系发生共振的可能性有几个？为什么？（ 5 分）
参考答案：两个自由度体系发生共振的可能性有两个。

因为两个自由度体系有个自振频率，外荷载的频率θ与其中任一自振频率ωi相等，就可能发生共振。

7. 某单自由度体系自由振动时，测得开始时的振幅为 5mm ，振动 10 个周期后的振幅为 0.4mm 。

求：（ 6 分）
①结构的阻尼比ξ；
②结构在简谐荷载作用下发生共振时的β；
③振动 20 个周期后的振幅。

参考答案：
①结构的阻尼比ξ：
假设ξ<0.2 ，则<0.2 ，假设成立。

②结构在简谐荷载作用下发生共振时的β= 。

③振动 20 个周期后的振幅mm 。

8. 已知两个自由度体系的质量 m 1 =m 2 =m ，其主振型 {Y (1) } T ={1 1} ，{Y (2) } T ={1 － 1} ，利用主振型关于质量的正交性，判断主振型的计算是否正确？（ 5 分）
参考答案：(5分) 解：｛Y（1）｝T[M] ｛Y（2）｝=｛1 1｝[ ]｛｝=0 ；主振型计
算正确。

9. 应用能量法时，所假设的位移函数应满足什么条件才能提高计算精度？（ 5 分）
参考答案：(5分) 答：应用能量法时，所假设的位移函数应满足位移边界条件和力的边界条件才能提高计算精度。

其中位移边界条件，弯矩边界条件尽量满足，剪力边界条件可不满足。

10. 简述达朗贝尔原理？（ 5 分）
参考答案：：在质体运动任一瞬间，作用于质体上的所有外力（包括支反力和外荷载）与假想加在质体上的惯性力互相平衡。

三、计算题（共 38 分）
1. 图示悬臂梁端部有一集中质量 W ＝ 10kN ， EI ＝
2.26×10 6 N.m 3 ，在集中质量上沿竖向作用有一简谐荷载 P(t)=P·Sinθt ，其中 p ＝ 2.5kN ，转速 n ＝ 550rad/min ，求简谐荷载作用下悬臂梁的最大竖向位移和 A 端弯矩幅值。

（ 13 分）
参考答案：
(13 分 ) 解： (6 分 ) （ 1 ）计算ω：δ＝；（ 2 分）
ω＝＝＝＝ 44.37 （）（ 4 分）
(3 分 ) （ 2 ）计算β：θ = =2 × 3.14 × 550/60=57.57 （）（ 1 分）
β = = = － 1.46 ，取 |β| ＝ 1.46 （ 2 分）
(2 分 ) （ 3 ）计算最大位移 y max
y max =(W ＋βF)δ=(10×10 3 ＋ 1.46×2.5×10 3 )×
= 0.0068m = 6.8mm
2. 计算图示体系的自振频率和主振型。

（ 13 分）
参考答案：
（ 13 分）解：（ 5 分）（ 1 ）作图，计算δ：
图
图
δ 11 ＝，δ 22 ＝δ 11
δ 12 ＝δ 21 ＝
（ 5 分）（ 2 ）计算ω：，
，
（ 3 分）（ 3 ）计算振型：
，
3. 用瑞利法求图示等截面简支梁的第一频率，要求取均布荷载 q 作用下的挠曲线作为振型函数 Y （ x ）。

（ 12 分）
参考答案：
解：= - ( ), =- (2 分 )
y(x)= ( ); (2 分 )
由边界条件得=0; 由边界条件得
(2 分 )
(2 分 ) (2 分 ) (2 分 )
一、判断题（在你认为正确的命题后面的括号内打√，错误的打×）（ 2 分× 5=10 分）
1. 有阻尼的单自由度体系在简谐荷载作用下发生强迫振动时，在共振区以外，阻尼对β的影响很小，可近似按无阻尼的情形来计算。

（）
2. 结构体系简化的自由度数目与计算结果的精度无关。

（）
3. 用能量法计算结构自振频率时，频率的精度与假设的位移函数是否满足位移边界条件和力的边界条件无关。

（）
4. 两个自由度体系同一质点的位移动力系数和内力动力系数相同。

（）
5. 结构和质量对称的多自由度体系，其振型是正对称或反对的。

（）
参考答案：1. √ 2. × 3. × 4. × 5.√
二、简答题( 回答主要要点 ) （共 52 分）
1. 画出图示结构体系的第一、第二主振型曲线的形状（忽略杆件自重， EI= 常数）。

（ 6 分
参考答案：
第一振型曲
线第二振型曲线
第一振型曲
线第二振型曲线
2. 两个自由度体系有多少个发生共振的可能性？为什么？。

（ 5 分）
参考答案： (5分) 答：两个自由度体系发生共振的可能性有两个。

因为两个自由度体系有个自振频率，外荷载的频率θ与其中任一自振频率ωi相等，就可能发生共振。

3. 结构动力计算中的自由度概念与结构几何构造分析中的自由度概念有何异同？（ 5 分）
参考答案：共同点：都是确定一个体系所需的独立坐标的个数；不同点：结构动力计算中的自由度研究的对象是弹性体系，而结构几何构造分析中的自由度研究的对象是刚体体系。

4. 简述刚度法、柔度法求频率的原理和适用范围。

（ 5 分）
参考答案：刚度法是通过建立力的平衡方程求解，而柔度法是通过建立位移协调方程求解。

当刚度系数好求时用刚度法，当柔度系数好求时用柔度法。

5. 已知两个自由度体系的质量 m 1 =m 2 =m ，其主振型 {Y (1) } T ={1 1.618} ，{Y (2) } T ={1 － 0.618} ，利用主振型关于质量的正交性，判断主振型是否正确？（ 5 分
参考答案：解：｛ Y （ 1 ）｝ T [M] ｛ Y （ 2 ）｝ = ｛ 1 1.618 ｝ [ ] ｛｝=0 ；主振型计算正确。

6. 已知结构的自振周期 T=0.35s ，阻尼比ξ =0.12 ，初始位移 y 0 = 10mm ，求：（ 6 分）
（ 1 ）经过几个周期后，振幅衰减为 y k = 0.5mm （以整周计）？
（ 2 ）结构在简谐荷载作用下发生共振时的β？
参考答案：
（ 6 分）解：（ 1 ）因为ξ =0.12<0.2 ，所以ξ = ln n=3.97 ，
取 n=4
（ 2 ）β＝＝ 4.17 。

7. 简述自由振动和强迫振动的概念。

（ 5 分）
参考答案：（5分）结构体系因某种干扰引起振动，在此后的振动过程中无动荷载的作用，这样的振动形式为自由振动。

结构体系因某种干扰引起振动，在此后的振动过程中有动荷载的作用，这样的振动形式为强迫振动。

8. 瑞利法可用来求解结构的第几频率？集中质量法可用来求解结构的第几频率？（ 5 分）
参考答案：（5分）瑞利法可用来求结构的第一频率，集中质量法可用来求结构的低阶频率和
较高阶频率。

参考答案：(5分) 答：应用能量法时，所假设的位移函数应满足位移边界条件和力的边界条件才能提高计算精度。

其中位移边界条件，弯矩边界条件尽量满足，剪力边界条件可不满足。

参考答案：：在质体运动任一瞬间，作用于质体上的所有外力（包括支反力和外荷载）与假想加在质体上的惯性力互相平衡。

三、计算题（共 38 分）
1. 如图示一等截面简支梁，在梁跨中有一集中质量 m=
100kg ，集中质量上作用简谐荷载， P （ t ） =P 0 · sin θ t ，其中
n=1200r/min ， P 0 =5kN ， EI=5.05 × 10 5 N · m 2 （梁的自重不计），求梁的最大弯矩和最大挠度。

（ 18 分）
参考答案：
(18 分 ) 解：（ 7 分）（ 1 ）、计算ω：
δ＝（×1 ×）×（×）＝（ 2 分）
＝ 1/ （ 6 × 5.05 × 10 5 ）＝ 3.3 × 10 -7 m /N （ 2 分）
ω = =1/ =174.1 （）（ 3 分）
（ 5 分）（ 2 ）、计算β：θ = =2 × 3.14 × 1200/60=125.6 （）（ 2 分）
β = = =2.08 （ 3 分）
（ 6 分）（ 3 ）、 M max = + ×β = =5.7kN · m （ 3 分）
f max = （ m
g ）δ＋（ p 0 δ）β = （ 1 ＋ 5 × 2.08 ）× 2 × 10 3 × 3.3 × 10 -7
= 0.00752m = 7.52mm （ 3 分）
2. 计算图示体系的自振频率和主振型。

（ 18 分）
参考答案：
（ 18 分）解 :(1) （ 6.5 分）作图，计算δ：
δ 11 = （ 1.5 分）
δ 22 = （ 1.5 分）
δ 12 =δ 21 = （ 1.5 分）
图（ 1
分）图（ 1 分）
（ 7.5 分）（ 2 ）计算ω：
D= =0 （ 2.5 分）
=0 ( 其中) ＝ 0 （ 2 分）
λ 1 ＝ 1.5405δ；λ 2 ＝ 0.1262δ（ 1 分）
（ 1 分）
（ 1 分）
（ 4 分）（ 3 ）计算振型：
3. 图示简支梁具有均布质量，试用集中质量法将其简化为单自由度体系，并求第一自振频率近似值。

（ 12 分）
参考答案：
解：简化为
δ = ×××2= （ 3 分）
ω = = = （ 4 分）
计算简图（ 3 分）（ 2 分）。