高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第3课简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词文

第3课 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
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1.(选修1-1P13习题3改编)若命题p ：2是质数；q ：不等式x 2
-2x-3<0的解集为(-1，3)，则命题“p 且q ”是 命题.(填“真”或“假”) 【答案】真
【解析】因为2是质数，故p 为真命题；q 也是真命题，故p 且q 为真命题.
2.(选修1-1P15例1改编)命题“∀x ∈R ，x 2
+x+1>0”的否定是 .
【答案】∃x ∈R ，x 2
+x+1≤0
3.(选修1-1P16习题4改编)命题“∃x ∈N ，x 2
≤0”的否定是 .
【答案】∀x ∈N ，x 2
>0
4.(选修1-1P21本章测试6改编)命题“对于函数f (x )=x 2
+a x (a ∈R )，存在a ∈R ，使得f (x )是偶
函数”为 命题.(填“真”或“假”) 【答案】真
【解析】当a=0时，函数是偶函数，故为真命题.
5.(选修1-1P21本章测试10改编)已知命题p ：∀x ∈R ，sin x+cos x>m 是真命题，那么实数m 的取值范围是 . 【答案】(-∞，
【解析】∀x ∈R ，sin x+cos
π4x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭∈[
，所以
1.全称量词
我们把表示全体的量词称为全称量词.
对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任给”、“对每一个”等词，用符号“∀”表示.含有全称量词的命题，叫作全称命题.如“对任意实数x∈M，都有p(x)成立”简记成“∀x∈M，p(x)”.
2.存在量词
我们把表示部分的量词称为存在量词.
对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有∃”表示.含有存在量词的命题，叫作存在性命题.“存在实数x0∈M，使的”等词，用符号“
p(x0)成立”简记成“∃x0∈M，p(x0)”.
3.简单逻辑联结词有或(符号为∨)，且(符号为∧)，非(符号为¬).
4.命题的否定：“∀x∈M，p(x)”与“∃x∈M，¬p(x)”互为否定.
5.复合命题的真假：对“p且q”而言，当p，q均为真时，其为真；当p，q中有一个为假时，其为假.对“p或q”而言，当p，q均为假时，其为假；当p，q中有一个为真时，其为真.当p为真时，¬p为假，当p为假时，¬p为真.
6.常见词语的否定如下表所示：
【要点导学】
要点导学各个击破
判断复合命题的真假
例1已知命题p：存在x∈R，使tan x=1；命题q：x2-3x+2<0的解集是{x|1<x<2}，给出下列复合命题：
①p∧q；②p∧¬q；③¬p∨q；④¬p∨¬q.
其中真命题是.(填序号)
【思维引导】先判断命题p，q的真假，然后对用逻辑联结词构成的复合命题进行真假判断.
【答案】①③
【解析】命题p：存在x∈R，使tan x=1是真命题，命题q：x2-3x+2<0的解集是{x|1<x<2}也是真命题.①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧¬q”是假命题；③命题“¬p∨q”是真命题；④命题“¬p∨¬q”是假命题.故答案为①③.
【精要点评】若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”——一真即真，“且”——一假即假，“非”——真假相对，做出判断即可.
变式写出由下列命题构成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的新命题，并指出所构成的这些新命题的真假.
(1)p：连续的三个整数的乘积能被2整除，q：连续的三个整数的乘积能被3整除；
(2)p：矩形的对角线相等，q：矩形的对角线互相平分；
(3)p：方程x2+x-1=0的两个实数根的符号相同，q：方程x2+x-1=0的两个实数根的绝对值相等.
【思维引导】逐个判断每个命题的真假，根据p，q的真假及真值表确定新命题的真假.
【解答】(1)p或q：连续的三个整数的乘积能被2整除或能被3整除，真命题；
p且q：连续的三个整数的乘积能被2整除且能被3整除，真命题；
非p ：连续的三个整数的乘积不能被2整除，假命题. (2)p 或q ：矩形的对角线相等或互相平分，真命题；
p 且q ：矩形的对角线相等且互相平分，真命题；
非p ：矩形的对角线不相等，假命题.
(3)p 或q ：方程x 2
+x-1=0的两个实数根的符号相同或绝对值相等，假命题；
p 且q ：方程x 2+x-1=0的两个实数根的符号相同且绝对值相等，假命题；
非p ：方程x 2
+x-1=0的两个实数根的符号不相同，真命题.
【精要点评】常用逻辑用语中的“或”、“且”、“非”与日常生活用语中的意义不尽相同，主要体会“p 或q ”、“p 且q ”、“非p ”这三个新命题的构成方法.
含有一个量词的命题的否定
例2 写出下列命题的否定，并判断其真假.
(1)p ：∀x ∈R ，x 2
-x+14≥0；
(2)q ：所有的正方形都是矩形； (3)r ：有的实数没有平方根；
(4)s ：所有末位数字是0或5的整数都能被5整除； (5)t ：菱形的对角线互相垂直平分.
【思维引导】 本题考查命题的否定形式，要分析其是全称命题还是存在性命题，要抓住本质，然后根据其否定形式来判断其真假.
【解答】(1)¬p ：∃x ∈R ，x 2
-x+14<0，假命题.
(2)¬q ：至少存在一个正方形不是矩形，假命题. (3)¬r ：所有的实数都有平方根，假命题.
(4)¬s ：存在一个末位数字是0或5的整数，但它不能被5整除，假命题. (5)¬t ：存在一个菱形，它的对角线互相不垂直或互相不平分，假命题.
【精要点评】在含有一个量词的命题的否定中，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，一般命题的否定则是直接否定结论即可.判断一个命题是全称命题还是存在性命题时，要抓住其本质含义是全部还是部分.对于特称命题的判断，只要能找到符合要求
的元素使命题成立，即可判断该命题成立，对于全称命题的判断，必须对任意元素证明这个命
题为真，而只要找到一个特殊元素使命题为假，即可判断该命题不成立.
变式已知命题p：∃x∈R，x2+2ax+a≤0，则命题p的否定是；若命题p为假命题，则实数a的取值范围是.
【思维引导】存在性命题的否定是全称命题，要判定一个全称命题为真，必须对限定集
合M中的每一个x验证p(x)成立→利用“三个二次”之间的联系求解.
【答案】∀x∈R，x2+2ax+a>0(0，1)
【解析】由存在性命题的否定是全称命题，知¬p：∀x∈R，x2+2ax+a>0.因为命题p为假命题，所以¬p是真命题，即关于x的不等式x2+2ax+a>0恒成立，从而Δ=4a2-4a<0，解得0<a<1.
【精要点评】要写一个命题的否定，得先分清其是全称命题，还是存在性命题，注意命
题的否定与否命题的区别.对于真假，可以直接判定，也可以先判定原命题，再判定其否定.
与逻辑有关的参数范围问题
例3已知命题p：“∀x∈[1，2]，x2-a≥0”，命题q：“∃x0∈R，
2
x
+2ax0+2-
a=0”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是.
【思维引导】由命题p是真命题，则命题是一个恒成立问题，可以得出a≤1，由命题q为真命题，则说明方程有解，从而可得出a≥1或a≤-2.再由真值表分析可得，“p且q”是真命题，即说明命题q和命题p都是真命题，由此可得a的取值范围.
【答案】{a|a≤-2或a=1}
【解析】由“p且q”是真命题，知p为真命题，q也为真命题.
若p为真命题，则a≤x2恒成立，
因为x∈[1，2]，所以a≤1.
若q为真命题，即x2+2ax+2-a=0有实数根，
则Δ=4a2-4(2-a)≥0，
即a≥1或a≤-2.
综上，实数a的取值范围为{a|a≤-2或a=1}.
【精要点评】复合命题的真假：对p 且q 而言，当q ，p 均为真时，其为真；当p ，q 中有一个为假时，其为假.对p 或q 而言，当p ，q 均为假时，其为假；当p ，q 中有一个为真时，其为真.利用真值表，可以先行对命题进行判断，然后对多个命题进行判断.
变式1 已知命题p ：方程2x 2
+ax-a 2
=0在[-1，1]上有解；命题q ：只有一个实数x 0满足
不等式20x +2ax 0+2a ≤0，若命题“p ∨q ”是假命题，求实数a 的取值范围.
【解答】因为命题“p ∨q ”是假命题，所以p ，q 均为假命题. 当p 为真命题时，由2x 2
+ax-a 2
=0，
得(2x-a )(x+a )=0，所以x=2a
或x=-a ， 所以2a
≤1或|-a|≤1，所以|a|≤2.
所以当p 为假命题时，a>2或a<-2.
当q 为真命题时，问题转化为抛物线y=x 2
+2ax+2a 与x 轴只有一个交点，所以Δ=4a 2
-8a=0，所以a=0或a=2.
所以当命题q 为假命题时，a ≠0且a ≠2.
综上，实数a 的取值范围为(-∞，-2)∪(2，+∞).
变式2 (2014·西安模拟)给定两个命题，命题p ：对任意实数x ，都有ax 2
>-ax-1恒成
立，命题q ：关于x 的方程 x 2
-x+a=0有实数根.若“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求实数a 的取值范围.
【思维引导】若p 为真命题，求出参数a 的取值范围；若q 为真命题，求出参数a 的取值范围.由“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，得p ，q 中有且仅有一个为真命题，从而可列出关于a 的不等式组，即可得a 的取值范围.
【解答】若p 为真命题，则a=0或2
0-40a a a >⎧⎨<⎩，，
即0≤a<4；
若q 为真命题，则(-1)2
-4a ≥0，即a ≤1
4.
因为“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，
所以p，q中有且仅有一个为真命题.
若p真q假，则1
4<a<4；
若p假q真，则a<0.
综上，实数a的取值范围为(-∞，0)∪
1
4
4
⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
.
【精要点评】解决此类问题的关键是准确地把每个条件所对应的参数的取值范围求解出来，然后转化为集合交、并、补的基本运算.
1.(2014·湖南卷)已知命题p：若x>y，则-x<-y，命题q：若x>y，则x2>y
2.在命题①p∧q；
②p∨q；③p∧(¬q)；④(¬p)∨q中，真命题为.(填序号)
【答案】②③
【解析】依题意可知，命题p为真命题，命题q为假命题.由真值表可知p∧q为假，p∨q为真，p∧(¬q)为真，(¬p)∨q为假.
2.(2015·全国卷)设命题p：∃n∈N，n2>2n，则¬p为.
【答案】∀n∈N，n2≤2n
【解析】由存在性命题的否定知，命题p的否定是“∀n∈N，n2≤2n”.
3.已知命题p：∀x∈[0，1]，a≥e x，命题q：“∃x∈R，x2+4x+a=0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是.
【答案】[e，4]
【解析】因为命题“p∧q”是真命题，所以p，q同为真.因为对任意x∈[0，1]，a≥e x，所以a≥e.由“∃x∈R，x2+4x+a=0”，可得判别式Δ=16-4a≥0，即a≤4.综上，e≤a≤4.
4.(2015·山东卷)若“∀x∈
π
4
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
，
，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为.
【答案】1
【解析】若“∀x∈
π
4
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
，
，tan x≤m”是真命题，则m大于或等于函数y=tan x在
π
4
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
，
上
的最大值.因为函数y=tan x在
π
4
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
，
上为增函数，所以函数y=tan x在
π
4
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
，
上的最大值为
1，所以m≥1，即实数m的最小值为1.
【融会贯通】
融会贯通能力提升
已知命题p：∀x∈(0，+∞)，
1
2
x
⎛⎫
⎪
⎝⎭+m-1<0，命题q：∃x∈(0，+∞)，mx2+4x-1=0.若“p
且q”为真命题，求实数m的取值范围.
【思维引导】
【规范解答】命题p是真命题⇔
1
2
x
⎛⎫
⎪
⎝⎭+m-1<0对x>0恒成立⇔m-1<-
1
2
x
⎛⎫
⎪
⎝⎭对x>0恒成立.
………………………………………………………………………………………………2分
当x>0时，0<
1
2
x
⎛⎫
⎪
⎝⎭<1，从而-1<-
1
2
x
⎛⎫
⎪
⎝⎭<0，
所以m-1≤-1，即m≤0 (6)
分
命题q是真命题
⇔关于x的方程mx2+4x-1=0有正实数根.
因为x>0，由mx 2
+4x-1=0，得m=
2
1x -
4x
=2
1-2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭
-4∈[-4，
+∞).
因为“p 且q ”为真命题，所以p 和q 都是真命题. 所
以
m 的取值范围是[-4，
0].……………………………………14分
【精要点评】与不等式有关的全称命题或存在性命题常与函数的最值有关.如“对任意的
x ∈R ，f (x )>a 恒成立”通常的处理方法为：(1)构造函数g (x )=f (x )-a ，∀x ∈R ，f (x )>a ⇔g (x )min >0；(2)分离参数法，∀x ∈R ，f (x )>a ⇔t<h (x )恒成立，只要t<h (x )min 即可.
趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第5~6页.
【检测与评估】
第3课 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
一、 填空题
1.(2015·徐州模考)若命题p ：∀x ∈R ，2x 2
-1>0，则命题p 的否定是 .
2.若条件p ：|x +1|≤4，条件q ：2<x <3，则¬p 是¬q 的 条件.
3.(2014·金陵中学)已知命题p ：关于x 的方程x 2
-ax +4=0有实根；命题q ：关于x 的函数
y =2x 2+ax +4在[3，+∞)上是增函数.若“p ∨q ”是真命题，“p ∧q ”是假命题，则实数a 的取值
范围是 .
4.已知命题p：3-2
-1
x
x≥0，q：2x2-5x+3>0，那么¬p是q的条件.
5.(2015·苏州模考)已知命题p：关于x的函数y=x2-3ax+4在[1，+∞)上是增函数，命题q：关于x的函数y=(2a-1)x在R上为减函数，若p且q为真命题，则实数a的取值范围是.
6.若对任意的x0<a，都满足
2
x
-2x0-3>0，则实数a的最大值为.
7.已知命题p：“∃x∈R，2ax2+ax-3
8>0”，若命题p是假命题，则实数a的取值范围
为.
8.已知下列结论：
①若命题p：∃x∈R，tan x
=3，命题q：∀x∈R，x2-x+1>0，则命题“p∧¬q”是假命题；
②已知直线l1：ax+3y-1=0，l2：x+by+1=0，那么l1⊥l2的充要条件是a
b=-3；
③命题“若x2-3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2-3x+2≠0”.
其中正确的结论为.(填序号)
二、解答题
9.已知命题p：关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的负实数根；命题q：关于x的不等式
4x2+4(m-2)x+1>0的解集为R.若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围.
10.已知命题p：函数f(x)=x3+ax+5在区间(-2，1)上不单调，若命题p的否定是一个真命题，求实数a的取值范围.
11.已知命题p：(x+1)(x-5)≤0，q：1-m≤x≤1+m(m>0).
(1)若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；
(2)若m=5，“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数x的取值范围.
三、选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)
12.(2015·宜宾一诊)给出下列三个命题：①命题p：∃x∈R，使得x2+x-1<0，则¬p：
∀x∈R，使得x2+x-1≥0；②“x>5或x<-1”是“x2-4x-5>0”的充要条件；③若“p∨q”为真命题，则“p∧q”为真命题.
其中正确命题的个数为.
13.设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意的a，b∈P，都有a+b，a-b，ab，a
b∈P(除
数b≠0)，则称P是一个数域.例如有理数集Q是数域，数集F={a+
a，b∈Q}也是数域.有下
列命题：①整数集是数域；②若有理数集Q
⊆M，则数集M必为数域；③数域必为无限集；④存在无穷多个数域.
其中正确的命题是.(填序号)
【检测与评估答案】
第3课简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
1.∃x∈R，2x2-1≤0
2.充分不必要【解析】¬p：|x+1|>4⇒x<-5或x>3，¬q：x≤2或x≥3，所以¬p⇒¬q，但
¬q¬p，故¬p是¬q的充分不必要条件.
3.(-∞，-12)∪(-4，4) 【解析】若p 真，则Δ=a 2
-16≥0，即a ≤-4或a ≥4；若q 真，则-4a
≤3，即a ≥-12.由“p ∨q ”是真命题，“p ∧q ”是假命题，知命题p 和q 一真一假.若p 真q 假，则a<-12；若p 假q 真，则-4<a<4，故实数a 的取值范围是(-∞，-12)∪(-4，4).
4. 必要不充分 【解析】¬p ：x ≤1或x>32，q ：x<1或x>3
2，所以¬p 是q 的必要不充分条件.
5.1223⎛⎤ ⎥⎝⎦， 【解析】命题p ：关于x 的函数y=x 2-3ax+4在[1，+∞)上是增函数，即32a ≤1，a ≤23.命题q ：关于x 的函数y=(2a-1)x 在R 上为减函数，即 0<2a-1<1，1
2<a<1.若p 且q 为真命
题，则有a ≤23且12<a<1，所以12<a ≤23，即实数a 的取值范围是1223⎛⎤ ⎥⎝⎦，.
6. -1 【解析】由20x -2x 0-3>0，得x 0>3或x 0<-1.又对任意的x 0<a ，不等式20x -2x 0-3>0恒成立，
故实数a 的最大值为-1.
7.[-3，0] 【解析】因为命题p ：“∃x ∈R ，2ax 2+ax-3
8>0”为假命题，所以对于任意的x ，
都有2ax 2+ax-3
8≤0，所以a=0显然成立.当a<0时，则Δ=a 2+3a ≤0，所以-3≤a<0.综上，实数a 的取值范围是[-3，0].
8. ①③ 【解析】①命题p 为真命题，命题q 为真命题，所以“p ∧¬q ”为假命题，故①正确；②当b=a=0时，有l 1⊥l 2，故②不正确；③正确.所以正确结论的序号为①③.
9.若p 为真命题，则有2-40-0m m ⎧∆=>⎨<⎩，，
所以m>2.
若q为真命题，则有Δ=[4(m-2)]2-4×4×1<0，所以1<m<3.
由“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，知命题p与q一真一假.
当p真q假时，由
2
13
m
m m
>
⎧
⎨
≤≥
⎩
，
或，
得m≥3；
当p假q真时，由
2
13
m
m
≤
⎧
⎨
<<
⎩
，
，
得1<m≤2.
综上，m的取值范围是(1，2]∪[3，+∞).
10.因为命题p的否定是一个真命题，
所以命题p是假命题，即函数f(x)=x3+ax+5在区间(-2，1)上单调. 因为f'(x)=3x2+a，
当a≥0时，f'(x)≥0，所以f(x)在(-2，1)上单调递增，满足题意；当a<0时，令f'(x)=3x2+a=0，
解得
由题意知
∉(-2，1)，
所以
1
-2
≥
⎪≤
⎪⎩
，
，
即
-3
-12
a
a
≤
⎧
⎨
≤
⎩
，
，
联立a<0，得a≤-12.
综上，a的取值范围为(-∞，-12]∪(0，+∞).
11.p：-1≤x≤5.
(1) 因为p是q的充分条件，
所以[-1，5]是[1-m，1+m]的子集，
所以
1--1
15
m
m
m
>
⎧
⎪
≤
⎨
⎪+≥
⎩
，
，
，
得m≥4，
所以实数m的取值范围为[4，+∞).
(2) 当m=5时，q：-4≤x≤6.
依题意知p与q一真一假.
当p真q假时，由
-15
-46
x
x x
≤≤
⎧
⎨
⎩
，
或，
得x∈∅.
当p假q真时，由
-15
-46
x x
x
⎧
⎨
≤≤
⎩
或，
，
得-4≤x<-1或5<x≤6.
所以实数x的取值范围为[-4，-1)∪(5，6].
12. 2【解析】若命题p：∃x∈R，使得x2+x-1<0，则¬p：∀x∈R，使得x2+x-1≥0，故①正确；“x2-4x-5>0”⇔“x>5或x<-1”，故“x>5或x<-1”是“x2-4x-5>0”的充要条件，故②正确；若“p∨q”为真命题，则p，q中至少存在一个真命题，若此时两个命题一真一假，则
“p∧q”为假命题，故③错误.故正确命题的个数为2.
13.③④【解析】要满足对四种运算的封闭，只有一个个来检验，如①对除法如1
2∉Z不满
足，所以排除；对②，当有理数集Q中多一个元素i(i是虚数单位)，则会出现1+i不属于该集合，所以它也不是一个数域；③④成立.。