高考数学一轮复习第8章平面解析几何第2讲两直线的位置关系增分练

【2019最新】精选高考数学一轮复习第8章平面解析几何第2讲两直线的位置关系增分练
板块四模拟演练·提能增分
[A级基础达标]
1.[2018·四川模拟]设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y －1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案A
解析若两直线平行，则a(a＋1)＝2，即a2＋a－2＝0，∴a＝1或－2，故a＝1是两直线平行的充分不必要条件.
2.若直线mx＋4y－2＝0与直线2x－5y＋n＝0垂直，垂足为(1，p)，则实数n的值为( )
A.－12 B．－2 C．0 D．10
答案A
解析由2m－20＝0得m＝10.由垂足(1，p)在直线mx＋4y－2＝0上，得10＋4p－2＝0，∴p＝－2.
又垂足(1，－2)在直线2x－5y＋n＝0上，则解得n＝－12.
3.[2018·启东模拟]不论m为何值时，直线(m－1)x＋(2m－1)y ＝m－5恒过定点( )
A. B．(－2,0)
C.(2,3) D．(9，－4)
答案D
解析由(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5，得(x＋2y－1)m－(x＋y－5)＝0，由得定点坐标为(9，－4)，故选D.
4.P点在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为，则P点坐标为( )
A.(1,2) B．(2,1)
C.(1,2)或(2，－1) D．(2,1)或(－1,2)
答案C
解析设P(x,5－3x)，则d＝＝，化简得|4x－6|＝2，即4x－6＝±2，解得x＝1或x＝2，故点P的坐标为(1,2)或(2，－1).
5.[2018·绵阳模拟]若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为( )
A. B. C. D.29
5
答案C
解析因为＝≠，所以两直线平行，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即＝，所以|PQ| 的最小值为.
6.[2018·合肥模拟]已知直线l：x－y－1＝0，l1：2x－y－2＝
0.若直线l2与l1关于l对称，则l2的方程是( )
A.x－2y＋1＝0 B．x－2y－1＝0
C.x＋y－1＝0 D．x＋2y－1＝0
答案B
解析因为l1与l2关于l对称，所以l1上任一点关于l的对称点都在l2上，故l与l1的交点(1,0)在l2上．又易知(0，－2)为l1上一点，设它关于l的对称点为(x，y)，则解得即(1,0)，(－1，－1)为l2上两点，可得l2的方程为x－2y－1＝0.
7.若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB 的中点M到原点的距离的最小值为( )
A.3 B．2 C．3 D．4 2
答案A
解析∵l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0是平行直线，∴可判断AB所在直线过原点且与直线l1，l2垂直时，中点M到原点的距离最小．∵直线l1：x＋y－7＝0，l2：x＋y－5＝0，∴两直线的距离
为＝，又原点到直线l2的距离为，∴AB的中点M到原点的距离的最小值为＋＝3.故选A.
8.设点A(－1,0)，B(1,0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是________．
答案[－2,2]
解析b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，
如图，当直线y＝－2x＋b过点A(－1,0)和点B(1,0)时，b分别取得最小值和最大值．
∴b的取值范围是[－2,2].
9.已知直线l1：ax－y＋2a＝0，l2：(2a－1)x＋ay＋a＝0互相垂直，则实数a的值是________．
答案0或1
解析因为直线l1：ax－y＋2a＝0，l2：(2a－1)x＋ay＋a＝0互相垂直，故有a(2a－1)＋a(－1)＝0，可知a的值为0或1.
10.[2018·银川模拟]点P(2,1)到直线l：mx－y－3＝0(m∈R)的最大距离是________．
答案2 5
解析直线l经过定点Q(0，－3)，如图所示．由图知，当PQ⊥l 时，点P(2,1)到直线l的距离取得最大值|PQ|＝＝2，所以点P(2，1)到直线l的最大距离为2.
[B级知能提升]
1.[2018·东城期末]如果平面直角坐标系内的两点A(a－1，a＋
1)，B(a，a)关于直线l对称，那么直线l的方程为( )
A.x－y＋1＝0 B．x＋y＋1＝0
C.x－y－1＝0 D．x＋y－1＝0
答案A
解析因为直线AB的斜率为＝－1，所以直线l的斜率为1，设
直线l的方程为y＝x＋b，由题意知直线l过点，所以＝＋b，解得b ＝1，所以直线l的方程为y＝x＋1，即x－y＋1＝0.故选A.
2.[2018·宜春统考]已知直线l过点P(3,4)且与点A(－2，2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程为( )
A.2x＋3y－18＝0
B.2x－y－2＝0
C.3x－2y＋18＝0或x＋2y＋2＝0
D.2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0
答案D
解析依题意，设直线l：y－4＝k(x－3)，
即kx－y＋4－3k＝0，
则有＝，
因此－5k＋2＝k＋6或－5k＋2＝－(k＋6)，
解得k＝－或k＝2，
故直线l的方程为2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0.
3.[2018·淮安调研]已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x －y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为________________．
答案6x－y－6＝0
解析设点M(－3,4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，
所以解得a＝1，b＝0.
又反射光线经过点N(2,6)，
所以所求直线的方程为＝，即6x－y－6＝0.
4.已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值：
(1)l1⊥l2，且l1过点(－3，－1)；
(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．
解 (1)由已知可得l2的斜率存在，且k2＝1－a.
若k2＝0，则1－a ＝0，a ＝1.
∵l1⊥l2，∴直线l1的斜率k1必不存在，即b ＝0.
又∵l1过点(－3，－1)，
∴－3a ＋4＝0，即a ＝(矛盾)，
∴此种情况不存在，∴k2≠0，
即k1，k2都存在．∵k2＝1－a ，k1＝，l1⊥l2，
∴k1k2＝－1，即(1－a)＝－1.①
又∵l1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0.②
由①②联立，解得a ＝2，b ＝2.
(2)∵l2的斜率存在且l1∥l2，∴直线l1的斜率存在，
k1＝k2，即＝1－a.③
又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，且l1∥l2，
∴l1，l2在y 轴上的截距互为相反数，即＝b ，④
联立③④，解得或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝23
，b ＝2.
∴a ＝2，b ＝－2或a ＝，b ＝2.
5.[2018·合肥模拟]已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A(－1，－
2)．求：
(1)点A 关于直线l 的对称点A′的坐标；
(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m′的方程；
(3)直线l 关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．
解 (1)设A′(x，y)，由已知条件得
⎩⎪⎨⎪⎧ y ＋2x ＋1×23＝－1，
2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3313，y ＝413.
∴A ′.
(2)在直线m 上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l 的对称
点M′必在直线m′上．
设对称点M′(a，b)，则
⎩⎪⎨⎪⎧ 2×a ＋22－3×b ＋02
＋1＝0，
b －0a －2×23＝－1，得M′.
设直线m 与直线l 的交点为N ，则
由得N(4,3)．
又∵m′经过点N(4,3)，
∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0.
(3)解法一：在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点，
如M(1,1)，N(4,3)，则M ，N 关于点A(－1，－2)的对称点M′，N′均在直线l′上，
易得M′(－3，－5)，N′(－6，－7)，
再由两点式可得l′的方程为2x －3y －9＝0.
解法二：∵l∥l′，
∴设l ′的方程为2x －3y ＋C ＝0(C ≠1)．
∵点A(－1，－2)到两直线l ，l ′的距离相等，
∴由点到直线的距离公式，得 |－2＋6＋C|
22＋32＝，解得C ＝－9，
∴l ′的方程为2x －3y －9＝0.
解法三：设P(x ，y)为l′上任意一点，
则P(x ，y)关于点A(－1，－2)的对称点为
P′(－2－x ，－4－y)．∵点P′在直线l 上，
∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，
即2x －3y －9＝0.。