厦门市人教版七年级下册数学期末压轴难题试卷及答案-百度文库

厦门市人教版七年级下册数学期末压轴难题试卷及答案-百度文库
一、选择题
1．如图所示，B 与2∠是一对（ ）
A ．同位角
B ．内错角
C ．同旁内角
D ．对顶角 2．下列图形中，可以由其中一个图形通过平移得到的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 3．平面直角坐标系中，点()1,0A -在（ ）
A ．x 轴的正半轴
B ．x 轴的负半轴
C ．y 轴的正半轴
D ．y 轴的负半轴 4．下列四个命题：①对顶角相等；②内错角相等；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．其中真命题的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
5．如图，AB ∥CD ，∠1＝∠2，∠3＝130°，则∠2等于（ ）
A ．30°
B ．25°
C ．35°
D ．40° 6．下列各式中,正确的是( ) A ．16=±4 B ．±16=4 C ．3273-=- D ．2(4)4-=- 7．如图，直线//a b ，三角板ABC 的直角顶点C 在直线b 上，126∠=︒，则2∠=（ ）
A ．26°
B ．54°
C ．64°
D ．66°
8．如图，点()11,1A ，点1A 向上平移1个单位，再向右平移2个单位，得到点2A ；点2A 向
上平移2个单位，再向右平移4个单位，得到点3A ；点3A 向上平移4个单位，再向右平移8个单位，得到点4A ，…，按这个规律平移得到点2021A ，则点2021A 的横坐标为（ ）
A ．202121-
B ．20212
C ．202221-
D ．20222
二、填空题
9．若8x -+2y -=0，则xy =__________．
10．已知点P （3，﹣1）关于x 轴的对称点Q 的坐标是（a ＋b ，1﹣b ），则a ＝___，b ＝___．
11．如图，已知在四边形ABCD 中，∠A =α，∠C =β，BF ，DP 为四边形ABCD 的∠ABC 、∠ADC 相邻外角的角平分线．当α、β满足条件____________时，BF ∥DP ．
12．如图所示，直线AB ，BC ，AC 两两相交，交点分别为A ，B ，C ，点D 在直线AB 上，过点D 作DE ∥BC 交直线AC 于点E ，过点E 作EF ∥AB 交直线BC 于点F ，若∠ABC ＝50°，则∠DEF 的度数___．
13．如图，将一张长方形纸片沿EF 折叠后，点C ，D 分别落在C '，D 的位置，若65EFB ∠=︒，则AED '∠的度数为______．
14．已知,a b 为两个连续的整数，且 15a b <<，则 a b +=_______ 15．如图，直线BC 经过原点O ，点A 在x 轴上，AD BC ⊥于D ．若A （4，0），B （m ，3），C （n ，-5），则AD BC =______．
16．在平面直角坐标系中，已知点A （﹣4，0），B （0，3），对△AOB 连续作图所示的旋转变换，依次得到三角形（1），（2），（3），（4）…，那么第（2013）个三角形的直角顶点坐标是______
三、解答题
17．计算下列各题:
(1)2213-12;
(2)-318
×16; (3)-3216+3125+
()2-3. 18．求下列各式中实数的x 值．
（1）25x 2﹣36＝0
（2）|x+2|＝π
19．完成下列证明过程，并在括号内填上依据．
如图，点E 在AB 上，点F 在CD 上，∠1＝∠2，∠B ＝∠C ，求证AB ∥CD ．
证明：∵∠1＝∠2（已知），∠1＝∠4
∴∠2＝ （等量代换）， ∴ ∥BF （ ），
∴∠3＝∠ （ ）．
又∵∠B ＝∠C （已知），
∴∠3＝∠B
∴AB ∥CD （ ）．
20．如图，在平面直角坐标系中，三角形OBC 的顶点都在网格格点上，一个格是一个单位长度．
（1）将三角形OBC 先向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度（点1C 与点C 是对应点），得到三角形111O B C ，在图中画出三角形111O B C ；
（2）直接写出三角形111O B C 的面积为____________．
21．阅读下面的文字，解答问题，例如：
479<<,即273<<,
7∴的整数部分是2，小数部分是72-； （1）试解答：17的整数部分是____________，小数部分是________
（2）已知917-小数部分是m ，917+小数部分是n ，且()2
1x m n +=+，请求出满足条件的x 的值． 二十二、解答题
22．如图所示的正方形纸板是由两张大小相同的长方形纸板拼接而成的，已知一个长方形纸板的面积为162平方厘米，求正方形纸板的边长．
二十三、解答题
23．如图，直线//PQ MN ，点C 是PQ 、MN 之间（不在直线PQ ，MN 上）的一个动点．
（1）如图1，若1∠与2∠都是锐角，请写出C ∠与1∠，2∠之间的数量关系并说明理由； （2）把直角三角形ABC 如图2摆放，直角顶点C 在两条平行线之间，CB 与PQ 交于点D ，CA 与MN 交于点E ，BA 与PQ 交于点F ，点G 在线段CE 上，连接DG ，有BDF GDF ∠=∠，求AEN CDG
∠∠的值； （3）如图3，若点D 是MN 下方一点，BC 平分PBD ∠， AM 平分CAD ∠，已知25PBC ∠=︒，求ACB ADB ∠+∠的度数．
24．综合与探究
综合与实践课上，同学们以“一个含30角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动，如图，已知两直线a ，b ，且//a b ，三角形ABC 是直角三角形，90BCA ∠=︒，30BAC ∠=︒，60ABC ∠=︒
操作发现：
（1）如图1．148∠=︒，求2∠的度数；
（2）如图2．创新小组的同学把直线a 向上平移，并把2∠的位置改变，发现
21120∠-∠=︒，请说明理由．
实践探究：
（3）填密小组在创新小组发现的结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，AC 平分BAM ∠，此时发现1∠与2∠又存在新的数量关系，请写出1∠与2∠的数量关系并说明理由．
25．在ABC 中，射线AG 平分BAC ∠交BC 于点G ，点D 在BC 边上运动（不与点G 重合），过点D 作//DE AC 交AB 于点E .
（1）如图1，点D 在线段CG 上运动时，DF 平分EDB ∠.
①若100BAC ︒∠=，30C ︒∠=，则AFD ∠=_____；若40B ︒∠=，则AFD ∠=_____； ②试探究AFD ∠与B 之间的数量关系？请说明理由；
（2）点D 在线段BG 上运动时，BDE ∠的角平分线所在直线与射线AG 交于点F .试探究AFD ∠与B 之间的数量关系，并说明理由.
26．如图，△ABC 中，∠ABC 的角平分线与∠ACB 的外角∠ACD 的平分线交于A 1．
（1）当∠A 为70°时，
∵∠ACD -∠ABD =∠______
∴∠ACD -∠ABD =______°
∵BA 1、CA 1是∠ABC 的角平分线与∠ACB 的外角∠ACD 的平分线
∴∠A 1CD -∠A 1BD =12
（∠ACD -∠ABD ） ∴∠A 1=______°；
（2）∠A 1BC 的角平分线与∠A 1CD 的角平分线交于A 2，∠A 2BC 与A 2CD 的平分线交于A 3，如此继续下去可得A 4、…、A n ，请写出∠A 与∠A n 的数量关系______；
（3）如图2，四边形ABCD 中，∠F 为∠ABC 的角平分线及外角∠DCE 的平分线所在的直线构成的角，若∠A +∠D =230度，则∠F =______．
（4）如图3，若E 为BA 延长线上一动点，连EC ，∠AEC 与∠ACE 的角平分线交于Q ，当E 滑动时有下面两个结论：①∠Q +∠A 1的值为定值；②∠Q -∠A 1的值为定值．其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值．
【参考答案】
一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
根据“同位角、内错角、同旁内角”的意义进行判断即可．
【详解】
解：∠B与∠2是直线DE和直线BC被直线AB所截得到的内错角，
故选：B．
【点睛】
本题考查“同位角、内错角、同旁内角”的意义，理解和掌握“同位角、内错角、同旁内角”的特征是正确判断的前提．
2．C
【分析】
根据平移的性质，结合图形对选项进行一一分析，选出正确答案．
【详解】
解：∵只有C的基本图案的角度，形状和大小没有变化，符合平移的性质，属于平移得到；
故选：C．
【点睛】
本题考查的
解析：C
【分析】
根据平移的性质，结合图形对选项进行一一分析，选出正确答案．
【详解】
解：∵只有C的基本图案的角度，形状和大小没有变化，符合平移的性质，属于平移得到；
故选：C．
【点睛】
本题考查的是利用平移设计图案，熟知图形平移后所得图形与原图形全等是解答此题的关键．
3．B
【分析】
根据坐标轴上点的坐标特征对点A（-1，0）进行判断．
【详解】
解：∵点A的纵坐标为0，
∴点A在x轴上，
∵点A的横坐标为-1，
∴点A在x轴负半轴上．
故选：B．
【点睛】
本题考查了点的坐标：直角坐标系中点与有序实数对一一对应；在x轴上点的纵坐标为0，在y轴上点的横坐标为0；记住各象限点的坐标特点．
4．B
【分析】
根据几何初步知识对命题逐个判断即可．
【详解】
解：①对顶角相等，为真命题；
②内错角相等，只有两直线平行时，内错角才相等，此为假命题；
③平行于同一条直线的两条直线互相平行，为真命题；
④如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或者互补，此为假命题；
⑤过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，为假命题；
①③命题正确．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了命题的判定，熟练掌握平行线、对顶角等几何初步知识是解答本题的关键．
5．B
【分析】
根据AB∥CD，∠3＝130°，求得∠GAB＝∠3＝130°，利用平行线的性质求得∠BAE＝180°﹣∠GAB＝180°﹣130°＝50°，由∠1＝∠2 求出答案即可．
【详解】
解：∵AB∥CD，∠3＝130°，
∴∠GAB＝∠3＝130°，
∵∠BAE+∠GAB＝180°，
∴∠BAE＝180°﹣∠GAB＝180°﹣130°＝50°，
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝1
2∠BAE＝1
2
×50°＝25°．
故选：B．
【点睛】
此题考查平行线的性质：两直线平行同位角相等，两直线平行同旁内角互补，熟记性质定理是解题的关键．
6．C
【分析】
根据算术平方根与平方根、立方根的定义逐项判断即可得．
【详解】
A4，此项错误；
B、
4±，此项错误；
C3-，此项正确；
D4，此项错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查了算术平方根与平方根、立方根，熟记各定义是解题关键．
7．C
【分析】
根据平角等于180°列式计算得到∠3，根据两直线平行，同位角相等可得∠3=∠2．
【详解】
解：如图，
∵∠1=26°，∠ACB =90°，
∴∠3=90°-∠1=64°，
∵直线a ∥b ，
∴∠2=∠3=64°，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，平角的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键． 8．A
【分析】
根据平移方式先求得的坐标，找到规律求得的横坐标，进而求得的横坐标．
【详解】
点的横坐标为，
点的横坐为标，
点的横坐标为，
点的横坐标为，
…
按这个规律平移得到点的横坐标为，
∴点
解析：A
【分析】
根据平移方式先求得1234,,,A A A A 的坐标，找到规律求得n A 的横坐标，进而求得2021A 的横坐标．
【详解】
点1A 的横坐标为1121=-，
点2A 的横坐为标2321=-，
点3A 的横坐标为3721=-，
点4A 的横坐标为41521=-，
…
按这个规律平移得到点n A 的横坐标为21n -，
∴点2021A 的横坐标为202121-，
故选A ．
【点睛】
本题考查了点的平移，坐标规律，找到规律是解题的关键．
二、填空题
9．16
【分析】
根据算术平方根的性质列式求出x 、y 的值，然后代入代数式进行计算即可求解．
【详解】
∵+=0，
∴x−8=0，y−2=0，
∴x=8，y=2，
∴xy=.
故答案为16.
【点睛】
解析：16
【分析】
根据算术平方根的性质列式求出x 、y 的值，然后代入代数式进行计算即可求解．
【详解】 ∵，
∴x −8=0，y −2=0，
∴x =8，y =2，
∴xy =8216⨯=.
故答案为16.
【点睛】
性：（1）被开方数a 是非负数，即a ≥0；（2． 10．0
【分析】
根据题意结合关于x 轴对称点的性质得出关于a ，b 的等式，进而求出答案．
【详解】
解：∵点P （3，-1）关于x 轴的对称点Q 的坐标是（a+b ，1-b ），
∴a+b=3，1-b=1，
解析：0
【分析】
根据题意结合关于x 轴对称点的性质得出关于a ，b 的等式，进而求出答案．
【详解】
解：∵点P （3，-1）关于x 轴的对称点Q 的坐标是（a +b ，1-b ），
∴a +b =3，1-b =1，
解得：a =3，b =0，
故答案为：3，0．
【点睛】
此题主要考查了关于x 轴对称点的性质，正确得出a ，b 的值是解题关键．
11．α=β
【详解】
试题解析：
当BF ∥DP 时，
即：
整理得：
故答案为
解析：α=β
【详解】
试题解析：360.ABC ADC A C ∠+∠+∠+∠=
360.ABC ADC CBM CDN ∠+∠+∠+∠=
.CBM CDN A C αβ∴∠+∠=∠+∠=+
当BF ∥DP 时，
()1,2
C PDC FBC CDN CBM ∠=∠+∠=∠+∠ 即：()1,2
βαβ=+ 整理得：.αβ=
故答案为.αβ=
12．130°．
【分析】
先求出∠ABC ＝∠ADE ＝50°，再求出∠DEF ＝180°﹣50°＝130°即可．
【详解】
解：∵DE ∥BC ，
∴∠ABC＝∠ADE＝50°（两直线平行，同位角相等），
∵E
解析：130°．
【分析】
先求出∠ABC＝∠ADE＝50°，再求出∠DEF＝180°﹣50°＝130°即可．
【详解】
解：∵DE∥BC，
∴∠ABC＝∠ADE＝50°（两直线平行，同位角相等），
∵EF∥AB，
∴∠ADE+∠DEF＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠DEF＝180°﹣50°＝130°．
故答案为：130°．
【点睛】
本题考查了平行线线段的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题关键．
13．50°
【分析】
先根据平行线的性质得出∠DEF的度数，再根据翻折变换的性质得出∠D′EF的度数，根据平角的定义即可得出结论．
【详解】
解：∵AD∥BC，∠EFB＝65°，
∴∠DEF＝65°，
解析：50°
【分析】
先根据平行线的性质得出∠DEF的度数，再根据翻折变换的性质得出∠D′EF的度数，根据平角的定义即可得出结论．
【详解】
解：∵AD∥BC，∠EFB＝65°，
∴∠DEF＝65°，
又∵∠DEF＝∠D′EF，
∴∠D′EF＝65°，
∴∠AED′＝50°．
故答案是：50°．
【点睛】
本题考查的是折叠的性质以及平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．
14．7
【分析】
由无理数的估算，先求出a、b的值，再进行计算即可．
【详解】
解：∵，
∴，
∵、为两个连续的整数，，
∴，，
∴；
故答案为：7．
【点睛】
本题考查了无理数的估算，解题的关键是正确
解析：7
【分析】
由无理数的估算，先求出a、b的值，再进行计算即可．
【详解】
解：∵
∴34
<，
∵a
、b为两个连续的整数，a b
<，
b=，
∴3
a=，4
a b+=+=；
∴347
故答案为：7．
【点睛】
本题考查了无理数的估算，解题的关键是正确求出a、b的值，从而进行解题．15．【分析】
作三角形的高线，根据坐标求出BE、OA、OF的长，利用面积法可以得出BC•AD=32．
【详解】
解：过B作BE⊥x轴于E，过C作CF⊥y轴于F，
∵B（m，3），
∴BE=3，
∵A
解析：32
【分析】
作三角形的高线，根据坐标求出BE、OA、OF的长，利用面积法可以得出BC•AD=32．【详解】
解：过B作BE⊥x轴于E，过C作CF⊥y轴于F，
∵B（m，3），∴BE=3，
∵A（4，0），∴AO=4，
∵C（n，-5），∴OF=5，
∵S△AOB=1
2AO•B E=1
2
×4×3=6，
S△AOC=1
2AO•OF=1
2
×4×5=10，
∴S△AOB+S△AOC=6+10=16，
∵S△ABC=S△AOB+S△AOC，
∴1
2
BC•AD=16，
∴BC•AD=32，
故答案为：32．
【点睛】
本题考查了坐标与图形性质，根据点的坐标表示出对应线段的长，面积法在几何问题中经常运用，要熟练掌握；本题根据面积法求出线段的积．
16．（8052，0）．
【分析】
观察图形不难发现，每3个三角形为一个循环组依次循环，用2013除以3，根据商和余数的情况确定出第（2013）个三角形的直角顶点到原点O的距离，然后写出坐标即可．
【详解
解析：（8052，0）．
【分析】
观察图形不难发现，每3个三角形为一个循环组依次循环，用2013除以3，根据商和余数的情况确定出第（2013）个三角形的直角顶点到原点O的距离，然后写出坐标即可．【详解】
解：∵点A（﹣4，0），B（0，3），
∴OA＝4，OB＝3，
∴AB
5，
∴第（3）个三角形的直角顶点的坐标是()12,0；
观察图形不难发现，每3个三角形为一个循环组依次循环，
∴一次循环横坐标增加12，
∵2013÷3＝671
∴第（2013）个三角形是第671组的第三个直角三角形，
其直角顶点与第671组的第三个直角三角形顶点重合，
∴第（2013）个三角形的直角顶点的坐标是()67112,0⨯即()8052,0．
故答案为：()8052,0．
【点睛】
本题考查了坐标与图形变化-旋转，勾股定理的应用，观察图形，发现每3个三角形为一个循环组依次循环是解题的关键．
三、解答题
17．(1)5;(2)-2;(3)2
【解析】
【分析】
根据实数的性质进行化简，再求值.
【详解】
解:(1)==5;
(2)-× =-×4=-2;
(3)-++=-6+5+3=2.
【点睛】
此题主要
解析：(1)5;(2)-2;(3)2
【解析】
【分析】
根据实数的性质进行化简，再求值.
【详解】
解
12×4=-2;
【点睛】 此题主要考查实数的计算，解题的关键是熟知实数的性质.
18．（1）x ＝±；（2）x ＝﹣2﹣π或x ＝﹣2+π
【分析】
（1）先移项，再将两边都除以25，再开平方即可求解；（2）根据绝对值的性质即可求解．
【详解】
解：（1）25x2﹣36＝0，
25x2＝
解析：（1）x＝±6
5
；（2）x＝﹣2﹣π或x＝﹣2+π
【分析】
（1）先移项，再将两边都除以25，再开平方即可求解；（2）根据绝对值的性质即可求解．
【详解】
解：（1）25x2﹣36＝0，
25x2＝36，
x2＝36 25
，
x＝±6
5
；
（2）|x+2|＝π，
x+2＝±π，
x＝﹣2﹣π或x＝﹣2+π．
【点睛】
本题主要考查了绝对值及平方根，注意一个正数的平方根有两个，它们互为相反数．19．∠4；CE；同位角相等，两直线平行；C；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行
【分析】
根据平行线的判定和性质解答．
【详解】
解∵∠1＝∠2（已知），∠1＝∠4（对顶角相等），
∴∠2＝
解析：∠4；CE；同位角相等，两直线平行；C；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行
【分析】
根据平行线的判定和性质解答．
【详解】
解∵∠1＝∠2（已知），∠1＝∠4（对顶角相等），
∴∠2＝∠4（等量代换），
∴CE∥BF（同位角相等，两直线平行），
∴∠3＝∠C（两直线平行，同位角相等）．
又∵∠B ＝∠C （已知），
∴∠3＝∠B （等量代换），
∴AB ∥CD （内错角相等，两直线平行）．
故答案为：对顶角相等；CE ∥BF ；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行．
【点睛】
此题考查平行线的判定和性质，关键是根据平行线的判定和性质解答．
20．（1）见解析；（2）5
【分析】
（1）根据平移的性质先确定O 、B 、C 的对应点O1、B1、C1的坐标，然后顺次连接O1、B1、C1即可；
（2）根据的面积=其所在的长方形面积减去周围三个三角形的面积
解析：（1）见解析；（2）5
【分析】
（1）根据平移的性质先确定O 、B 、C 的对应点O 1、B 1、C 1的坐标，然后顺次连接O 1、B 1、C 1即可；
（2）根据111O B C 的面积=其所在的长方形面积减去周围三个三角形的面积进行求解即可．
【详解】
解：（1）如图所示，111O B C 即为所求；
（2）由题意得：11111143421313=5222
O B C S =⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯△． 【点睛】
本题主要考查了平移作图，三角形面积，解题的关键在于能够熟练掌握平移作图的方法． 21．（1）4，；（2）
【分析】
（1）根据夹逼法可求的整数部分和小数部分；
（2）首先估算出m ，n 的值，进而得出m+n 的值，可求满足条件的x 的值．
【详解】
（1）∵，即，
∴的整数部分是4，小数部分
解析：（1）44；（2）122,0x x =-=
【分析】
（1
（2）首先估算出m ，n 的值，进而得出m+n 的值，可求满足条件的x 的值．
【详解】
（1）∵
<45<， ∴44，
故答案是：44；
（2）∵45<<， ∴54-<-，
∴95994-<-，
∴94，小数部分是945m ==
∵45<，
∴94995+<+，
∴913，小数部分是
9134n ==，
∵
2(1)541x m n +=+==
所以11x +=±
解得：122,0x x =-=．
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小，无理数的整数部分及小数部分的确定方法：设无理数为m ，m 的整数部分a 为不大于m 的最大整数，小数部分b 为数m 减去其整数部分，即b=m-a ；理解概念是解题的关键．
二十二、解答题
22．正方形纸板的边长是18厘米
【分析】
根据正方形的面积公式进行解答．
【详解】
解：设小长方形的宽为x 厘米，则小长方形的长为厘米，即得正方形纸板的边长是厘米，根据题意得：
，
∴，
取正值，可得，
解析：正方形纸板的边长是18厘米
【分析】
根据正方形的面积公式进行解答．
【详解】
解：设小长方形的宽为x 厘米，则小长方形的长为2x 厘米，即得正方形纸板的边长是2x 厘米，根据题意得：
2162x x ⋅=，
∴281x =，
取正值9x =，可得218x =，
∴答：正方形纸板的边长是18厘米．
【点评】
本题考查了算术平方根的实际应用，解题的关键是熟悉正方形的面积公式．
二十三、解答题
23．（1）见解析；（2）；（3）75°
【分析】
（1）根据平行线的性质、余角和补角的性质即可求解．
（2）根据平行线的性质、对顶角的性质和平角的定义解答即可．
（3）根据平行线的性质和角平分线的定义以
解析：（1）见解析；（2）1
2；（3）75°
【分析】
（1）根据平行线的性质、余角和补角的性质即可求解．
（2）根据平行线的性质、对顶角的性质和平角的定义解答即可．
（3）根据平行线的性质和角平分线的定义以及三角形内角和解答即可．
【详解】
解：（1）∠C =∠1+∠2，
证明：过C 作l ∥MN ，如下图所示，
∵l ∥MN ，
∴∠4=∠2（两直线平行，内错角相等），
∵l ∥MN ，PQ ∥MN ，
∴l ∥PQ ，
∴∠3=∠1（两直线平行，内错角相等），
∴∠3+∠4=∠1+∠2，
∴∠C=∠1+∠2；
（2）∵∠BDF=∠GDF，
∵∠BDF=∠PDC，
∴∠GDF=∠PDC，
∵∠PDC+∠CDG+∠GDF=180°，
∴∠CDG+2∠PDC=180°，
∴∠PDC=90°-1
2
∠CDG，
由（1）可得，∠PDC+∠CEM=∠C=90°，∴∠AEN=∠CEM，
∴
1
90(90)
901
2
2
CDG
AEN CEM PDC
CDG CDG CDG CDG
︒-︒-∠
∠∠︒-∠
====
∠∠∠∠
，
（3）设BD交MN于J．
∵BC平分∠PBD，AM平分∠CAD，∠PBC=25°，
∴∠PBD=2∠PBC=50°，∠CAM=∠MAD，
∵PQ∥MN，
∴∠BJA=∠PBD=50°，
∴∠ADB=∠AJB-∠JAD=50°-∠JAD=50°-∠CAM，
由（1）可得，∠ACB=∠PBC+∠CAM，
∴∠ACB+∠ADB=∠PBC+∠CAM+50°-∠CAM=25°+50°=75°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、余角和补角的性质，解题的关键是根据平行找出角度之间的关系．
24．（1）；（2）理由见解析；（3），理由见解析．
【分析】
（1）由平角定义求出∠3＝42°，再由平行线的性质即可得出答案；
（2）过点B作BD∥a．由平行线的性质得∠2＋∠ABD＝180°，∠1＝∠
解析：（1）242
∠=︒；（2）理由见解析；（3）12
∠=∠，理由见解析．
【分析】
（1）由平角定义求出∠3＝42°，再由平行线的性质即可得出答案；
（2）过点B作BD∥a．由平行线的性质得∠2＋∠ABD＝180°，∠1＝∠DBC，则∠ABD＝∠ABC−∠DBC＝60°−∠1，进而得出结论；
（3）过点C 作CP∥a，由角平分线定义得∠CAM＝∠BAC＝30°，∠BAM＝2∠BAC＝60°，
由平行线的性质得∠1＝∠BAM ＝60°，∠PCA ＝∠CAM ＝30°，∠2＝∠BCP ＝60°，即可得出结论．
【详解】
解：（1）如图1 148∠=︒，90BCA ∠=︒，
3180142BCA ∴∠=︒-∠-∠=︒，
//a b ，
2342∴∠=∠=︒；
图1
（2）理由如下：如图2． 过点B 作//BD a ，
图2
2180ABD ∴∠+∠=︒，
//a b ，
//b BD ∴，
1∴∠=∠DBC ，
601ABD ABC DBC ∴∠=∠-∠=︒-∠，
2601180∴∠+︒-∠=︒，
21120∴∠-∠=︒；
（3）12∠=∠，
图3
理由如下：如图3，过点C 作//CP a ， AC 平分BAM ∠，
30CAM BAC ∴∠=∠=︒，
260BAM BAC ∠=∠=︒，
又//a b ，
//CP b ∴，
160BAM ∠=∠=︒，
30PCA CAM ∴∠=∠=︒，
903060BCP BCA PCA ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，
又//CP a ，
260BCP ∴∠=∠=︒，
12∠∠∴=．
【点睛】
本题是三角形综合题目，考查了平移的性质、直角三角形的性质、平行线的判定与性质、角平分线定义、平角的定义等知识；本题综合性强，熟练掌握平移的性质和平行线的性质是解题的关键．
25．（1）①115°，110°；②，证明见解析；（2），证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）①根据角平分线的定义求得∠CAG=∠BAC=50°；再由平行线的性质可得∠EDG=∠C=30°，∠FMD=
解析：（1）①115°，110°；②1902
AFD B ︒∠=+∠，证明见解析；（2）1902
AFD B ︒∠=-∠，证明见解析. 【解析】
【分析】
（1）①根据角平分线的定义求得∠CAG=12
∠BAC=50°；再由平行线的性质可得∠EDG=∠C=30°，∠FMD=∠GAC=50°；由三角形的内角和定理求得∠AFD 的度数即可；已知
AG 平分∠BAC ，DF 平分∠EDB ，根据角平分线的定义可得∠CAG=12
∠BAC ，∠FDM=12
∠EDG ；由DE//AC ，根据平行线的性质可得∠EDG=∠C ，∠FMD=∠GAC ；即可得∠FDM +∠FMD=12∠EDG +∠GAC=12∠C+12∠BAC=12（∠BAC+∠C ）=12
×140°=70°；再由三角形的内角和定理可求得∠AFD=110°；
②∠AFD=90°+12
∠B ，已知AG 平分∠BAC ，DF 平分∠EDB ，根据角平分线的定义可得∠CAG=12∠BAC ，∠FDM=12
∠EDG ；由DE//AC ，根据平行线的性质可得∠EDG=∠C ，
∠FMD=∠GAC；由此可得∠FDM +∠FMD=1
2∠EDG +∠GAC=1
2
∠C+1
2
∠BAC=1
2
（∠BAC+∠C）=1
2
×（180°-∠B）=90°-
1
2
∠B；再由三角形的内角和定理可得
∠AFD=90°+1
2
∠B；
（2）∠AFD=90°-1
2
∠B，已知AG平分∠BAC，DF平分∠EDB，根据角平分线的定义可得
∠CAG=1
2∠BAC，∠NDE=1
2
∠EDB，即可得∠FDM=∠NDE=1
2
∠EDB；由DE//AC，根据平行
线的性质可得∠EDB=∠C，∠FMD=∠GAC；即可得到∠FDM=∠NDE=1
2
∠C，所以∠FDM
+∠FMD =1
2
∠C+1
2
∠BAC=1
2
（∠BAC+∠C）=
1
2
×（180°-∠B）=90°-
1
2
∠B；再由三角形外角
的性质可得∠AFD=∠FDM +∠FMD=90°-1
2
∠B.
【详解】
（1）①∵AG平分∠BAC，∠BAC=100°，
∴∠CAG=1
2
∠BAC=50°；
∵//
DE AC，∠C=30°，
∴∠EDG=∠C=30°，∠FMD=∠GAC=50°；
∵DF平分∠EDB，
∴∠FDM=1
2
∠EDG=15°；
∴∠AFD=180°-∠FMD-∠FDM=180°-50°-15°=115°；∵∠B=40°，
∴∠BAC+∠C=180°-∠B=140°；
∵AG平分∠BAC，DF平分∠EDB，
∴∠CAG=1
2∠BAC，∠FDM=1
2
∠EDG，
∵DE//AC，
∴∠EDG=∠C，∠FMD=∠GAC；
∴∠FDM +∠FMD=1
2∠EDG +∠GAC=1
2
∠C+1
2
∠BAC=1
2
（∠BAC+∠C）=
1
2
×140°=70°；
∴∠AFD=180°-（∠FDM +∠FMD）=180°-70°=110°；故答案为115°，110°；
②∠AFD=90°+1
2
∠B，理由如下：
∵AG平分∠BAC，DF平分∠EDB，
∴∠CAG=1
2∠BAC，∠FDM=1
2
∠EDG，
∵DE//AC，
∴∠EDG=∠C，∠FMD=∠GAC；
∴∠FDM +∠FMD=1
2∠EDG +∠GAC=1
2
∠C+1
2
∠BAC=1
2
（∠BAC+∠C）=
1
2
×（180°-∠B）
=90°-1
2
∠B；
∴∠AFD=180°-（∠FDM +∠FMD）=180°-（90°-1
2∠B）=90°+1
2
∠B；
（2）∠AFD=90°-1
2
∠B，理由如下：
如图，射线ED交AG于点M，
∵AG平分∠BAC，DF平分∠EDB，
∴∠CAG=1
2∠BAC，∠NDE=1
2
∠EDB，
∴∠FDM=∠NDE=1
2
∠EDB，
∵DE//AC，
∴∠EDB=∠C，∠FMD=∠GAC；
∴∠FDM=∠NDE=1
2
∠C，
∴∠FDM +∠FMD =1
2∠C+1
2
∠BAC=1
2
（∠BAC+∠C）=
1
2
×（180°-∠B）=90°-
1
2
∠B；
∴∠AFD=∠FDM +∠FMD=90°-1
2
∠B.
【点睛】
本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、三角形的内角和定理及三角形外角的性质，
根据角平分线的定义、平行线的性质、三角形的内角和定理及三角形外角的性质确定各角之间的关系是解决问题的关键.
26．（1）∠A；70°；35°；
（2）∠A=2n∠An
（3）25°
（4）①∠Q+∠A1的值为定值正确，Q+∠A1=180°．
【分析】
（1）根据角平分线的定义可得∠A1BC=∠ABC，∠A1CD
解析：（1）∠A；70°；35°；
（2）∠A=2n∠A n
（3）25°
（4）①∠Q+∠A1的值为定值正确，Q+∠A1=180°．
【分析】
（1）根据角平分线的定义可得∠A1BC=1
2∠ABC，∠A1CD=1
2
∠ACD，再根据三角形的一个
外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，整理即可得解；
（2）由∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∠ACD=∠ABC+∠A，而A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD，得到∠ACD=2∠A1CD，∠ABC=2∠A1BC，于是有∠BAC=2∠A1，同理可得∠A1=2∠A2，即
∠A=22∠A2，因此找出规律；
（3）先根据四边形内角和等于360°，得出∠ABC+∠DCB=360°-（α+β），根据内角与外角的关系和角平分线的定义得出∠ABC+（180°-∠DCE）=360°-（α+β）=2∠FBC+（180°-
2∠DCF）=180°-2（∠DCF-∠FBC）=180°-2∠F，从而得出结论；
（4）依然要用三角形的外角性质求解，易知2∠A1=∠AEC+∠ACE=2（∠QEC+∠QCE），利用三角形内角和定理表示出∠QEC+∠QCE，即可得到∠A1和∠Q的关系．
【详解】
解：（1）当∠A为70°时，
∵∠ACD-∠ABD=∠A，
∴∠ACD-∠ABD=70°，
∵BA1、CA1是∠ABC的角平分线与∠ACB的外角∠ACD的平分线，
∴∠A1CD-∠A1BD=1
2
（∠ACD-∠ABD）
∴∠A1=35°；
故答案为：A，70，35；
（2）∵A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD，
∴∠ACD=2∠A1CD，∠ABC=2∠A1BC，
而∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∠ACD=∠ABC+∠BAC，
∴∠BAC=2∠A1=80°，
∴∠A1=40°，
同理可得∠A1=2∠A2，
即∠BAC=22∠A2=80°，
∴∠A2=20°，
∴∠A=2n∠A n，
故答案为：∠A=2∠A n．
（3）∵∠ABC+∠DCB=360°-（∠A+∠D），
∴∠ABC+（180°-∠DCE）=360°-（∠A+∠D）=2∠FBC+（180°-2∠DCF）=180°-2（∠DCF-∠FBC）=180°-2∠F，
∴360°-（α+β）=180°-2∠F，
2∠F=∠A+∠D-180°，
∴∠F=1
2
（∠A+∠D）-90°，
∵∠A+∠D=230°，
∴∠F=25°；
故答案为：25°．
（4）①∠Q+∠A1的值为定值正确．
∵∠ACD-∠ABD=∠BAC，BA1、CA1是∠ABC的角平分线与∠ACB的外角∠ACD的平分线∴∠A1=∠A1CD-∠A1BD=
1
2
∠BAC，
∵∠AEC+∠ACE=∠BAC，EQ、CQ是∠AEC、∠ACE的角平分线，
∴∠QEC+∠QCE=1
2（∠AEC+∠ACE）=1
2
∠BAC，
∴∠Q=180°-（∠QEC+∠QCE）=180°-1
2
∠BAC，
∴∠Q+∠A1=180°．
【点睛】
本题主要考查三角形的外角性质和角平分线的定义的运用，根据推导过程对题目的结果进行规律总结对解题比较重要．。