平面向量的概念及线性运算课件-2025届高三数学一轮复习

自主诊断
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b.( × ) (2)单位向量都相等.( × ) (3)任一非零向量都可以平行移动.( √ ) (4)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量.( √ )
自主诊断
2.下列命题正确的是 A.零向量是唯一没有方向的向量 B.若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b
7 A.6
B.1
5 C.6
√D.13
由A→M－B→M＝A→B，
得A→B＝12A→B＋μA→C－13B→A－λB→C， 所以16A→B＝μA→C－λB→C， 即A→B＝6μA→C－6λB→C＝6μA→C＋6λC→B， 又A→B＝A→C＋C→B， 故 μ＝λ＝16，故 λ＋μ＝13.
题型三 共线定理及其应用
C.若 a∥b，b∥c，则 a∥c
√D.与非零向量 a 共线的单位向量为±|aa|
对于A，由相等向量的定义知，A正确； 对于 B，因为A→B＝D→C，所以 AB∥DC 且 AB＝DC，则四边形 ABCD 是平行四边形，故 B 正确； 对于C，若b＝0，则由a∥b，b∥c，无法得到a∥c，故C错误； 对于 D，由单位向量和共线向量定义可知与非零向量 a 共线的单位向
√C.向量A→B与B→A是平行向量
D.平行向量不一定是共线向量
自主诊断
A项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误； B项，|a|＝|b|说明a，b的长度相等，不能判断它们的方向，故B错误； C 项，向量A→B与B→A方向相反，是平行向量，故 C 正确； D项，平行向量就是共线向量，故D错误.
例5 (1)(2023·徐州模拟)已知向量a，b不共线，向量8a－kb与－ka＋b共 线，则k＝__±_2__2___.
因为向量a，b不共线，向量8a－kb与－ka＋b共线， 所以8a－kb＝t(－ka＋b)＝－kta＋tb，t∈R， 故8－＝k＝－tk，t， 解得 k＝±2 2.
(2)已知△ABC 的重心为 G，经过点 G 的直线交 AB 于点 D，交 AC 于点 E， 若A→D＝λA→B，A→E＝μA→C，则1λ＋1μ＝____3____.
跟踪训练 3 (1)(2023·绵阳模拟)已知平面向量 a，b 不共线，A→B＝4a＋6b， B→C＝－a＋3b，C→D＝a＋3b，则
A.A，B，D三点共线 C.B，C，D三点共线
B.A，B，C三点共线
√D.A，C，D三点共线
对于 A，B→D＝B→C＋C→D＝－a＋3b＋(a＋3b)＝6b，则A→B，B→D不共线，
C.B→D与E→H共线
√D.C→D＝F→G
由四边形 ABCD，CEFG，CGHD 是全等的菱形， 知|A→B|＝|E→F|，即 A 正确； 由图形可知A→B与F→H的方向相反，C→D与F→G的方向 相同且长度相等，即A→B与F→H共线，C→D＝F→G，故 B，D 正确； 而∠BDE 与∠DEH 不一定相等，B→D与E→H不一定共线，故 C 错误.
题型二 平面向量的线性运算
命题点1 向量加、减法的几何意义 例 2 若|A→B|＝7，|A→C|＝4，则|B→C| 的取值范围是
A.[3,7]
√C.[3,11]
B.(3,7) D.(3,11)
由题意知|A→B|＝7，|A→C|＝4，且|B→C|＝|A→C－A→B|， 当A→C，A→B同向时，|B→C|取得最小值，|B→C|＝|A→C－A→B|＝||A→C|－|A→B||＝
跟踪训练 2 (1)如图所示，在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，
E 是 OD 的中点，AE 的延长线交 CD 于点 F.若A→B＝a，A→D＝b，则A→F等于
A.14a＋b
√B.13a＋b
C.14a＋13b
D.13a＋13b
在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是OD的中点，AE的延
λ(μa)＝ (λμ)a ； (λ＋μ)a＝ λa＋μa ；
λ(a＋b)＝_λ_a_＋__λ_b_
知识梳理
3.向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使 b＝λa .
常用结论
1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后 一个向量终点的向量，即A—1→A2＋A—2→A3＋A—3→A4＋…＋—A—n－—1A→n ＝A—1→An，特别地， 一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量. 2.在△ABC 中，D 为 BC 的中点，则A→D＝12(A→B＋A→C). 3.在△ABC 中，点 P 满足P→A＋P→B＋P→C＝0⇔P 为△ABC 的重心，A→P＝13(A→B ＋A→C). 4.对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
自主诊断
因为 M，N，P 三点共线，所以存在实数 k 使得M→N＝kN→P， 即2e1－3e2＝k(λe1＋6e2)， 又e1，e2为平面内两个不共线的向量， 可得2－＝3＝ kλ，6k， 解得 λ＝－4.
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第二部分
探究核心题型
题型一 平面Байду номын сангаас量的基本概念
例1 (1)(多选)下列说法正确的是
√A.若 a＝b，b＝c，则 a＝c √B.若四边形 ABCD 满足A→B＝D→C，则四边形 ABCD 是平行四边形
|4－7|＝3； 当A→C，A→B反向时，|B→C|取得最大值，|B→C|＝|A→C－A→B|＝||A→C|＋|A→B||＝
|4＋7|＝11； 当A→C，A→B不共线时，3＝||A→C|－|A→B||<|B→C|<||A→C|＋|A→B||＝11， 故|B→C| 的取值范围是[3,11].
命题点2 向量的线性运算
第五章
§5.1 平面向量的概念及线性运算
课标要求
1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义. 2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线 的含义. 3.了解向量线性运算的性质及其几何意义.
内容索引
第一部分 落实主干知识 第二部分 探究核心题型
课时精练
第一部分
落实主干知识
知识梳理
自主诊断
3.(必修第二册P10T4改编)(多选)下列各式化简结果正确的是 A.A→B＋A→C＝B→C
√B.A→M＋M→B＋B→O＋O→M＝A→M √C.A→B＋B→C－A→C＝0
D.A→B－A→D－D→C＝B→C
自主诊断
4.(必修第二册 P16T3 改编)已知 e1，e2 为平面内两个不共线的向量，M→N＝ 2e1－3e2，N→P＝λe1＋6e2，若 M，N，P 三点共线，则 λ＝___－__4___.
例 3 (2022·新高考全国Ⅰ)在△ABC 中，点 D 在边 AB 上，BD＝2DA.记
C→A＝m，C→D＝n，则C→B等于
A.3m－2n C.3m＋2n
√B.－2m＋3n
D.2m＋3n
因为 BD＝2DA，所以A→B＝3A→D，所以C→B＝C→A＋A→B＝C→A＋3A→D＝C→A ＋3(C→D－C→A)＝－2C→A＋3C→D＝－2m＋3n.
量为±|aa|，故 D 正确.
(2)如图，在等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在
两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式中成立的是
A.A→D＝B→C
B.A→C＝B→D
C.P→E＝P→F
√D.E→P＝P→F
方法一(排除法) A→D，B→C不共线，A→C，B→D不共线，故 A，B 错误； P→E，P→F方向相反，C 错误；故选 D. 方法二 在等腰梯形 ABCD 中，A→D，B→C不平行，A→C，B→D不平行，故
思维升华
平行向量有关概念的四个关注点 (1)非零向量的平行具有传递性. (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关. (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量. (4)|aa|是与非零向量 a 同方向的单位向量.
跟踪训练1 (1)(多选)下列关于向量的说法正确的是
√A.若|a|＝0，则 a＝0
∴D→E＝12D→A＋12D→A＋12D→C＝34D→A＋14D→C＝14A→B－34A→D， ∴λ＝14，μ＝－34， ∴λ2－μ2＝116－196＝－12.
思维升华
平面向量线性运算的解题策略 (1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义. (2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来进行比较，求参数的值.
命题点3 根据向量线性运算求参数 例 4 (2024·安阳模拟)已知矩形 ABCD 的对角线交于点 O，E 为 AO 的中
点，若D→E＝λA→B＋μA→D(λ，μ 为实数)，则 λ2－μ2 等于
√A.－12
7 B.9
3－2 2 C. 2
1＋ 2 D. 2
如图，
在矩形ABCD中， D→O＝12(D→A＋D→C)， 在△DAO中， D→E＝12(D→A＋D→O)，
B.若向量A→B与C→D是共线向量，则 A，B，C，D 四点必在同一条直线上
√C.对于任意向量 a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|
D.若 a∥b，则存在唯一实数 λ，使 a＝λb
对于A，若|a|＝0，则a＝0，故A正确； 对于 B，若向量A→B与C→D是共线向量，则 A，B，C，D 四点不一定在 一条直线上，故 B 错误； 对于C，若a，b方向相同，则|a＋b|＝|a|＋|b|，若a，b方向相反，则|a ＋b|<|a|＋|b|， 若a，b不共线，根据向量加法的三角形法则及两边之和大于第三边 可知|a＋b|<|a|＋|b|.
故 A 不正确； 对于 B，A→B与B→C不共线，故 B 不正确； 对于 C，B→C与C→D不共线，故 C 不正确； 对于 D，A→C＝A→B＋B→C＝4a＋6b＋(－a＋3b)＝3a＋9b＝3C→D，即A→C
A，B 错误； ∵AB∥CD， ∴PPDB ＝CADB ＝PPAC，
∴PPDB＝PPAC，则PBP＋DPD＝PAP＋CPC，
即BPDD＝APCC，即PBDD＝PACC，
∵EF∥AB，
∴PAEB＝PBDD＝PACC＝PAFB， ∴PE＝PF，即P为EF的中点， ∴E→P＝P→F，故 C 错误，D 正确.
长线交CD于点F， 则△DEF∽△BEA，所以DBAF＝DBEE＝13， 则DBAF＝DDCF＝13， 所以D→F＝13D→C＝13A→B， 则A→F＝A→D＋D→F＝13A→B＋A→D＝13a＋b.
(2)(2023·聊城模拟)M 是△ABC 内的一点，若B→M＝13B→A＋λB→C，A→M＝12A→B ＋μA→C，则 λ＋μ 等于
1.向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有 方向的量叫做向量，向量的大小称为向量的_长__度_ (或称 模 ). (2)零向量：长度为 0 的向量，记作 0 . (3)单位向量：长度等于 1个单位长度 的向量. (4)平行向量：方向相同或 相反 的非零向量，也叫做共线向量，规定： 零向量与任意向量 平行 . (5)相等向量：长度相等且方向 相同 的向量. (6)相反向量：长度相等且方向 相反 的向量.
如图，延长AG交BC于点F，则F为BC的中点， A→G＝23A→F＝13(A→B＋A→C)， 又A→B＝1λA→D，A→C＝1μA→E， ∴A→G＝31λA→D＋31μA→E， 又G，D，E三点共线， ∴31λ＋31μ＝1，即1λ＋1μ＝3.
思维升华
利用向量共线定理解题的策略 (1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据. (2)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0. (3)已知 O，A，B 是不共线的三点，且O→P＝mO→A＋nO→B(m，n∈R)，则 A， P，B 三点共线的充要条件是 m＋n＝1.
综上可知对于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|，故C正确； 对于D，若a≠0，b＝0，则a∥b，此时不存在实数λ，使a＝λb，故D 错误.
(2)(多选)如图所示，四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，则下 列结论中一定成立的是
√A.|A→B|＝|E→F| √B.A→B与F→H共线
知识梳理
2.向量的线性运算
向量 运算
法则(或几何意义)
加法
运算律
交换律： a＋b＝ b＋a ； 结合律： (a＋b)＋c＝_a_＋__(_b_＋__c)_
知识梳理
向量 运算
减法
法则(或几何意义)
运算律 a－b＝a＋(－b)
知识梳理
向量 运算
法则(或几何意义)
运算律
数乘
|λa|＝ |λ||a| ，当λ>0时，λa的方向与a的 方向 相同 ； 当λ<0时，λa的方向与a的方向 相反 ； 当λ＝0时，λa＝__0_