1.2两条直线平行与垂直的判定
平行线和垂直线的判定
平行线和垂直线的判定平行线和垂直线是我们在几何学中经常遇到的概念，它们在解决和理解各种几何问题时起着重要的作用。
在本文中，我们将探讨如何判定两条线段是否平行或垂直，并介绍相应的判定方法。
平行线的判定方法：判定两条直线是否平行的方法有多种，下面我们将介绍其中的几种常见方法。
1. 通过斜率判定法：对于两条直线来说，如果它们的斜率相等，并且不相交，则可以确定它们是平行线。
斜率可以通过以下公式来计算：斜率 = (y2-y1)/(x2-x1)。
通过计算两条直线的斜率，并且比较它们的斜率是否相等，即可判断两条直线是否平行。
2. 通过向量判定法：向量判定法也是一种常见的方法用于判定两条直线是否平行。
对于两条直线来说，如果它们的方向向量是平行的，则可以确定它们是平行线。
可以通过找到两条直线上的点，以及连接这两个点所形成的向量，然后比较这两个向量是否平行来进行判断。
垂直线的判定方法：判断两条直线是否垂直的方法与判断平行线的方法类似，下面我们将介绍其中的几种常见方法。
1. 通过斜率判定法：对于两条直线来说，如果它们的斜率之积为-1，则可以确定它们是垂直线。
这是因为两条互相垂直的线段的斜率之积等于-1。
因此，通过计算两条直线的斜率，并且比较它们的乘积是否为-1，即可判断两条直线是否垂直。
2. 通过向量判定法：向量判定法同样适用于判断两条直线是否垂直。
对于两条直线来说，如果它们的方向向量之间的内积等于0，则可以确定它们是垂直线。
可通过找到直线上的两个点，然后连接这两个点所形成的向量，并计算这两个向量的内积，来进行判断。
在几何学中，判定平行线和垂直线是非常重要的基础知识，它们不仅能够帮助我们解决各种几何问题，还能够应用于其他学科领域。
通过上述介绍的判定方法，我们可以准确判断两条线段的关系，进一步深化对平行线和垂直线的理解。
总结：在本文中，我们详细讨论了平行线和垂直线的判定方法。
对于平行线的判定，可以通过斜率判定法和向量判定法来进行；而对于垂直线的判定，同样可以使用斜率判定法和向量判定法。
平行线与垂直线的判定
平行线与垂直线的判定平行线和垂直线是几何学中重要的概念，它们的判定方法对于解决各种几何问题至关重要。
本文将介绍判定平行线和垂直线的几种常见方法，帮助读者更好地理解和应用这些概念。
一、平行线的判定方法1. 两条直线的斜率相等：对于直线上任意两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，如果直线AB的斜率等于另一条直线CD的斜率，即（y2 - y1）/（x2 -x1）=（y4 - y3）/（x4 - x3），那么直线AB与直线CD平行。
2. 直线的方程：对于直线的方程y = mx + b，如果两条直线的斜率相等，且截距b也相等，即m1 = m2且b1 = b2，那么这两条直线是平行的。
3. 平行向量的判定：如果两条直线的向量方向相同或相反，那么这两条直线是平行的。
设两条直线的向量分别为a（x1, y1）和b（x2,y2），如果a = λb（λ为常数），那么两条直线平行。
二、垂直线的判定方法1. 两条直线的斜率乘积为-1：对于直线上任意两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，如果直线AB的斜率与另一条直线CD的斜率之乘积为-1，即（y2 - y1）/（x2 - x1）*（y4 - y3）/（x4 - x3）= -1，那么直线AB与直线CD垂直。
2. 垂直向量的判定：如果两条直线的向量垂直，即两条向量的点积等于0，那么这两条直线是垂直的。
设两条直线的向量分别为a（x1, y1）和b（x2, y2），如果 a · b = 0，那么两条直线垂直。
三、实际问题中的应用平行线和垂直线的判定方法在实际问题中有广泛的应用。
以下是一些典型的例子：1. 建筑设计：在建筑设计中，需要确保墙壁、地板、天花板等构件之间的相互关系。
使用平行线和垂直线的判定方法可以帮助设计师正确布局，确保建筑结构的稳定性和美观性。
2. 道路规划：在道路规划中，需要确保道路的平行与垂直关系，以提供交通的便利性和安全性。
通过使用平行线和垂直线的判定方法，可以辅助道路设计师进行合理规划，避免交通拥堵和事故发生。
3.1.2两条直线平行与垂直的判定
思考1、两条直线互相垂直，它们的斜率之 积等于-1吗？
有可能一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在
y
l2
若一条直线的倾斜角为90°,
l1
另一条直线的倾斜角为0°
则两直线互相垂直.
o
x
思考2、如果两条直线的斜率之积等于-1， 它们垂直吗？ 一定垂直
练习
下列哪些说法是正确的（ C ）
A 、两直线l1和l2的斜率相等，则 l1 ∥ l2；
巩固提高
试确定m的值，使过点A（m，1），B(–1, 2m)的直线与经过点P（1，2），Q（-5，0）的直 线 解： （由直线的斜率公式可得 1）平行；（2）垂直。 ( 2) PQ AB
k AB k PQ y2 y1 2m 1 1 2m , x2 x1 1 m 1 m y2 y1 0 2 1 x2 x1 5 1 3
y
C B
O
x
A
练习. 判断下列各小题中的直线 L1 和 L 2 是否垂直？ （1）. L1 经过 A(4，5)，B(1,2)， L 2 经过 M(－2, －1),N(2,1)。 (2). L1 的斜率为-10， L 2 经过 M(10,2),N(20,3)
（3）. L1 经过 A（3，4)，B(3,100)， L 2 经过 M(－10,40),N(10,40)。
问题探究二：两直线垂直与它们斜率有何关系？ 设两条直线l1、l2的倾斜角分别为α1、α2 （α1,α2≠ 90°），且α1<α2，其斜率分别 为k 1，k 2。
类比： l1 /k /l 1时， 2 l tan 1 tan 2 k1 k2 l1⊥l2 思考 2 当 k 12 2=-1 1与l2的位置关系如何？
两条直线平行与垂直的判定
(2)由题意知直线 CD 的斜率存在. kAB=-1,kCD
3 = , 3 m
∵AB⊥CD,
3 ∴-1× =-1,m=-6. 3 m
答案:(1)C (2)-6
两条直线的平行关系
【例 1】 判断下列各小题中的直线 l1 与 l2 是否平行:
(1)l1 经过点 A(-1,-2),B(2,1),l2 经过点 M(3,4), N(-1,-1); (2)l1 的斜率为 1,l2 经过点 A(1,1),B(2,2); (3)l1 经过点 A(-1,1),B(1,3),l2 经过点 M(-1,3),N(2,0); (4)l1 经过点 A(-3,2),B(-3,10),l2 经过点 M(5,-2),N(5,5).
1 2 1 2
综上可知 BC 边上的高所在直线的斜率不存在;
4 AB 边上的高所在直线的斜率为- ; 5 1 AC 边上的高所在直线的斜率为- . 5
直线平行与垂直关系的应用
【例 3】 (12 分)已知
A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四点,若顺次连 接 A、B、C、D 四点,试判定图形 ABCD 的形状. 名师导引:判定图形 ABCD 的形状的程序是什 么?(先根据点的坐标画出大致图形,并猜测形状, 然后利用斜率之间的关系完成证明)
kBC
.……………………(8 分)
∴kAB=kCD,由图可知 AB 与 CD 不重合, ∴AB∥CD. …………………………(10 分) 由 kAD≠kBC,∴AD 与 BC 不平行. 又 kAB·kAD
1 = ×(-3)=-1, 3
∴AB⊥AD. 故四边形 ABCD 为直角梯形.………(12 分)
【质疑探究 2】 若两条直线互相垂直,它们 的斜率之积一定是-1 吗? (不一定.若两条直线斜率均存在,则两条直 线垂直,斜率之积为-1.若一条直线斜率不 存在,同时另一条直线斜率为零,两条直线 也垂直)
【课件】2.1.2 两条直线平行和垂直的判定(PPT)-(新教材人教A版选择性必修第一册)
探究题 2 将上题中 A，B 两点的坐标分别改为 A(2，a)，B(a －1，3)，则结论将是如何？
探究题 3 直线 l 的倾斜角为 30°，点 P(2，1)在直线 l 上，直 线 l 绕点 P(2，1)按逆时针方向旋转 30°后到达直线 l1 的位置，此时 直线 l1 与 l2 平行，且 l2 是线段 AB 的垂直平分线，其中 A(1，m－1)， B(m，2)，试求 m 的值.
类题通法 1．判定两直线是否平行时，应先看两直线的斜率是否存在，若 都不存在，则平行(不重合的情况下)；若存在，再看是否相等，若相 等，则平行(不重合的情况下). 2．若已知两直线平行，求某参数值时，也应分斜率存在与不存 在两种情况求解．
定向训练 已知 A(－2，m)，B(m，4)，M(m＋2，3)，N(1，1)，若直线 AB∥ 直线 MN，则 m 的值为________．
第二阶段 课堂探究评价
关键能力 素养提升
一两直线平行 典例示范
【例 1】判断下列各题中的直线 l1 与 l2 是否平行： (1)l1 经过点 A(－1，－2)，B(2，1)，l2 经过点 M(3，4)，N(－1， －1);
(2)l1 的斜率为 1，l2 经过点 A(1，1)，B(2，2); (3)l1 经过点 A(0，1)，B(1，0)，l2 经过点 M(－1，3)，N(2，0); (4)l1 经过点 A(－3，2)，B(－3，10)，l2 经过点 M(5，－2)，N(5， 5). 解：(1)k1＝12－ －（ （－ －21） ）＝1，k2＝－ －11－ －43＝54， k1≠k2，l1 与 l2 不平行.
预习验收 衔接课堂
1．已知过 A(－2，m)和 B(m，4)两点的直线与斜率为－2 的直
两条直线平行和垂直的判定
两条直线平行和垂直的判定以两条直线平行和垂直的判定为题，我们来探讨一下如何判断两条直线的关系。
在几何学中，直线的平行和垂直是两种重要的关系，它们的判定方法可以通过几何性质和特定条件来得出。
我们先来讨论两条直线平行的判定方法。
在平面几何中，有以下三种常见的判定方法。
1. 通过斜率判定：两条直线平行的条件是它们的斜率相等。
斜率是直线上两个不同点的纵坐标之差与横坐标之差的比值。
如果两条直线的斜率相等，那么它们就是平行的。
例如，直线y = 2x + 3和直线y = 2x - 1的斜率都是2，所以它们是平行的。
2. 通过法向量判定：两条直线平行的条件是它们的法向量平行。
法向量是垂直于直线的向量，可以通过直线的一般式方程求得。
如果两条直线的法向量平行，那么它们就是平行的。
例如，直线2x - 3y + 4 = 0和直线2x - 3y - 2 = 0的法向量都是(2, -3)，所以它们是平行的。
3. 通过截距判定：两条直线平行的条件是它们的截距比相等。
截距是直线与坐标轴的交点的纵坐标或横坐标。
如果两条直线的截距比相等，那么它们就是平行的。
例如，直线3x + 2y - 1 = 0和直线6x + 4y - 2 = 0的截距比都是1/2，所以它们是平行的。
接下来，我们来讨论两条直线垂直的判定方法。
在平面几何中，有以下两种常见的判定方法。
1. 通过斜率判定：两条直线垂直的条件是它们的斜率的乘积为-1。
即如果直线L1的斜率为k1，直线L2的斜率为k2，那么k1 * k2 = -1，则直线L1和直线L2垂直。
例如，直线y = 2x + 3和直线y = -1/2x + 1的斜率分别为2和-1/2，而2 * (-1/2) = -1，所以它们是垂直的。
2. 通过方向向量判定：两条直线垂直的条件是它们的方向向量垂直。
方向向量是直线的一个向量，可以通过直线的一般式方程求得。
如果两条直线的方向向量垂直，那么它们就是垂直的。
例如，直线2x - 3y + 4 = 0和直线3x + 2y - 1 = 0的方向向量分别为(2, -3)和(3, 2)，而(2, -3)·(3, 2) = 0，所以它们是垂直的。
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
,
������ -1 ������ -0
=
3-0 4-1
,
解得
������ = 3, ������ = 4.
所以顶点 D 的坐标为(3,4).
反思解决与平行有关的问题时,常借助于它们的斜率之间的关系 来解决,即不重合的两条直线l1与l2平行⇒k1=k2或k1与k2都不存在.
-14-
3.1.2 两条直线平行 与垂直的判定
关系 都不为零)⇔k1k2=-1
为 0⇒l1⊥l2
-6-
3.1.2 两条直线平行 与垂直的判定
12
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典例透析
【做一做2】 已知直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,且k1=5,l1⊥l2,则
k2=
.
解析:∵l1⊥l2,∴k1k2=-1.
∵k1=5,∴5k2=-1,∴k2=−
1.
-12-
3.1.2 两条直线平行 与垂直的判定
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典例透析
题型一 题型二 题型三 题型四
【变式训练1】 顺次连接A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四点所组
成的图形是( )
A.平行四边形 B.直角梯形
C.等腰梯形
D.以上都不对
解析:因为
kAB=
5-3 2-(-4)
=
13,kCD=
0-3 -3-6
=
1,
3
所以 AB∥CD.
又
kAD=
0-3 -3-(-4)
=
−3,kBC=
3-5 6-2
=
−
1,
2
所以 kAD≠kBC,kAD·kCD=-1,
小学数学中的平行线和垂直线
小学数学中的平行线和垂直线在小学数学课程中，平行线和垂直线是非常基础的概念。
理解并能够准确识别平行线和垂直线，对于学生建立起几何形状的准确概念和进行几何运算都非常重要。
本文将详细介绍小学数学中的平行线和垂直线的概念、性质以及相关应用。
一、平行线的概念与性质1.1 平行线的定义在平面上，如果两条直线不相交，并且在同一个平面上不存在其他直线与这两条直线相交，那么这两条直线就是平行线。
1.2 平行线的判定在小学数学中，我们通常使用以下三种方法来判定两条直线是否平行：（1）同位角相等法：如果两条直线被一条横截线所截，那么同位角相等的话，这两条直线就是平行线；（2）转角法：如果两条直线被一条截线所截，而转角相等的话，则这两条直线是平行线；（3）平行线的性质：如果两条直线分别与第三条直线平行，那么这两条直线也是平行线。
二、垂直线的概念与性质2.1 垂直线的定义在平面上，如果两条直线相交，并且相交的角度为90度，那么这两条直线就是垂直线。
2.2 垂直线的判定在小学数学中，我们通常使用以下两种方法来判定两条直线是否垂直：（1）两条互相垂直的直线上的线段互成直角；（2）如果两条直线的斜率乘积等于-1，那么这两条直线是垂直的。
三、平行线与垂直线的应用平行线和垂直线在几何学中有广泛的应用，下面我们介绍几个常见的应用例子。
3.1 矩形的性质矩形是一种特殊的四边形，其中每条边都是两两平行且相等的。
所以在矩形中，每条边上的线段都互相平行，并且对角线互相垂直。
3.2 平行线分割线段如果一条直线与两条平行线相交，那么它将会把这两条平行线分割成多段线段，这些线段的长度比例是相等的。
这个性质在我们进行几何运算和问题求解时非常有用。
3.3 垂直平分线在数学中，如果一条直线与另一条直线相交，并且把另一条直线的中点划分成两个相等的部分，那么这条直线就是垂直平分线。
垂直平分线与被分割的线段互相垂直。
结语平行线和垂直线是小学数学中的基础概念，对于建立几何概念和进行几何运算非常重要。
〖2021年整理〗《学案2.1.2两条直线平行和垂直的判定》优秀教案
两条直线平行和垂直的判定学习目标核心素养1理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件．2．能根据已知条件判断两直线的平行与垂直．3．能应用两条直线的平行或垂直解决实际问题通过对两条直线平行与垂直的学习，提升直观想象、逻辑推理和数学运算的数学素养魔术师的地毯有一天，著名魔术大师拿了一块长宽都是13分米的地毯去找地毯匠，要求把这块正方形的地毯改制成宽8分米，长21分米的矩形，地毯匠对魔术师说：这不可能吧，正方形的面积是169平方分米，而矩形的面积只有168平方分米，除非裁去1平方分米．魔术师拿出事先准备好的两张图，对地毯匠说：“你就按图1的尺寸把地毯分成四块，然后按图2的样子拼在一起缝好就行了，我不会出错的，你尽管放心做吧”．地毯匠照着做了，缝了一量，果真是宽8分米，长21分米．魔术师拿着改好的地毯得意洋洋地走了．而地毯匠还在纳闷哩，这是什么回事呢？1 2为了破解这个谜底，今天我们学习直线的平行与垂直．1．两条直线平行与斜率之间的关系类型斜率存在斜率不存在条件α1＝α2≠90°α1＝α2＝90°对应关系1∥2⇔1＝21∥2⇔两直线斜率都不存在图示思考：如果两条直线平行，那么这两条直线的斜率一定相等吗？[提示]不一定．只有在两条直线的斜率都存在的情况下斜率才相等．2．两条直线垂直与斜率之间的关系图示对应关系1⊥2两条直线的斜率都存在，且都不为零⇔12＝－11的斜率不存在，2的斜率为0⇒1⊥21．思考辨析正确的打“√”，错误的打“×”1平行的两条直线的斜率一定存在且相等．2斜率相等的两条直线两直线不重合一定平行．3只有斜率之积为－1的两条直线才垂直．4若两条直线垂直，则斜率乘积为－1．[提示]1×2√3×4×2．已知A2,0，B3,3，直线∥AB，则直线的斜率等于A．－3B．3C．－错误!D．错误!B[AB＝错误!＝3，∵∥AB，∴＝3]3．若直线1，2的方向向量分别为1，－3和1，，且1⊥2，则＝________错误![由于1⊥2，则1，－3·1，＝0，即1－3＝0，∴＝错误!]4．教材，当1⊥2时，m的值为________．－错误![由条件1⊥2得－错误!×错误!＝－1，解得m＝－错误!]两直线平行的判定及应用12①1经过点A2,3，B－4,0，2经过点M－3,1，N－2,2；②1的斜率为－错误!，2经过点A4,2，B2,3；③1平行于轴，2经过点的值，使过点Am＋1,0，B－5，m的直线与过点C－4,3，D0,5的直线平行．[思路探究]1先求出两直线的斜率，再利用斜率进行判断；2利用两直线平行的条件建立方程，解方程求得．[解]1①AB＝错误!＝错误!，MN＝错误!＝1，AB≠MN，所以1与2不平行．②1的斜率1＝－错误!，2的斜率2＝错误!＝－错误!，1＝2，所以1与2平行或重合．③由题意，知1的斜率不存在，且不与轴重合，2的斜率也不存在，且与轴重合，所以1∥2④由题意，知EF＝错误!＝1，GH＝错误!＝1，EF＝GH，所以1与2平行或重合．需进一步研究E，F，G，H四点是否共线，FG＝错误!＝1所以E，F，G，H四点共线，所以1与2重合．2由题意知CD的斜率存在，则与其平行的直线AB的斜率也存在，AB＝错误!，CD＝错误!＝错误!由于AB∥CD，所以AB＝CD，即错误!＝错误!解得m＝－2经验证m＝－2时，直线AB的斜率存在，故m的值为－2判断两条不重合直线是否平行的步骤[跟进训练]1．已知▱ABCD的三个顶点的坐标分别为A0,1，B1,0，C4,3，求顶点D的坐标．[解]设Dm，n，由题意，得AB∥DC，AD∥BC，则有AB＝DC，AD＝BC所以错误!解得错误!所以顶点D的坐标为3,4两直线垂直的判定及应用12①1经过点A－1，－2，B1,2；2经过点M－2，－1，N2,1；②1的斜率为－10；2经过点A10,2，B2021；③1经过点A3,4，B3,10；2经过点M－10,40，N10，40．2已知直线1经过点A3，a，Ba－2,3，直线2经过点C2,3，D1，a－2，如果1⊥2，求a的值．[思路探究]1判断两直线垂直，当斜率存在时，利用12＝－1，若有一条斜率不存在时，判断另一条斜率是否为02含字母的问题判断要分存在和不存在两种情况来解题．[解]1①1＝错误!＝2，2＝错误!＝错误!，＝1，∴1与2不垂直．12②1＝－10，2＝错误!＝错误!，12＝－1，∴1⊥2③由A，B的横坐标相等得的倾斜角为90°，则1⊥轴．1＝错误!＝0，则2∥轴，∴1⊥222因为直线2经过点C2,3，D1，a－2，所以2的斜率存在，设为2当2＝0，即a－2＝3，亦即a＝5时，A3,5，B3,3，显然直线1的斜率不存在，满足1⊥2；当2≠0，即a－2≠3，亦即a≠5时，显然1的斜率存在，设为1，要满足题意，则12＝－1，得错误!·错误!＝－1，解得a＝2综上可知，a的值为5或2利用斜率公式来判定两直线垂直的方法1一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在只需看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直，若不相等，则进行第二步．2二代：就是将点的坐标代入斜率公式．3三求：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论．[跟进训练]2．已知A－m－3,2，B－2m－4,4，C－m，m，D3,3m＋2，若直线AB⊥CD，求m的值．[解]∵A，B两点纵坐标不相等，∴AB与轴不平行．∵AB⊥CD，∴CD与轴不垂直，∴－m≠3，m≠－3①当AB与轴垂直时，－m－3＝－2m－4，解得m＝－＝－1时C，D两点的纵坐标均为－1∴CD∥轴，此时AB⊥CD，满足题意．②当AB与轴不垂直时，由斜率公式得＝错误!＝错误!，AB＝错误!＝错误!CD∵AB⊥CD，∴AB·CD＝－1，即错误!·错误!＝－1，解得m＝1综上，m的值为1或－1两直线平行与垂直的综合应用[探究问题]1．两直线1∥2⇔1＝2成立的前提条件是什么？[提示]1两条直线的斜率存在；2两直线不重合．2．对任意两条直线，如果1⊥2，一定有12＝－1吗？为什么？[提示]不一定．当两条直线的斜率都存在时，12＝－1，还有另一种情况就是，一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为零．【例3】△ABC的顶点A5，－1，B1,1，C2，m，若△ABC是以点A为直角顶点的直角三角形，求m的值．[思路探究]由A为直角顶点可得AB·AC＝－1[解]因为∠A为直角，则AC⊥AB，所以AC·AB＝－1，即错误!·错误!＝－1，得m＝－71．[变条件]本例中，将“C2，m”改为“C2,3”，你能判断三角形的形状吗？[解]如图，AB边所在的直线的斜率AB＝－错误!，BC边所在直线的斜率BC＝·BC＝－1，得AB⊥BC，即∠ABC＝90°∴△ABC是以点B为直角顶点的直角三角形．2．[变条件]本例中若改为∠A为锐角，其他条件不变，如何求解m的值？[解]由于∠A为锐角，故∠B或∠C为直角．若∠B为直角，则AB⊥BC，所以AB·BC＝－1，则错误!·错误!＝－1，得m＝3若∠C为直角，则AC⊥BC，所以AC·BC＝－1，即错误!·错误!＝－1，得m＝±2综上可知，m＝3或m＝±23．[变条件]若将本例中的条件“点A为直角顶点”去掉，改为若△ABC为直角三角形，如何求解m的值？[解]若∠A为直角，则AC⊥AB，所以AC·AB＝－1，即错误!·错误!＝－1，得m＝－7；若∠B为直角，则AB⊥BC，所以AB·BC＝－1，即错误!·错误!＝－1，得m＝3；若∠C为直角，则AC⊥BC，所以AC·BC＝－1，即错误!·错误!＝－1，得m＝±2综上可知，m＝－7或m＝3或m＝±2利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤1．两直线平行或垂直的判定方法斜率直线斜率均不存在平行或重合一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在垂直相等平行或重合斜率均存在积为－1垂直2在两条直线平行或垂直关系的判断中体会分类讨论的思想．1．下列说法正确的是A．若直线1与2倾斜角相等，则1∥2B．若直线1⊥2，则12＝－1C．若直线的斜率不存在，则这条直线一定平行于轴D．若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行D[对A，两直线倾斜角相等，可能重合；对B，若1⊥2，1与2中可能一条斜率不存在，另一条斜率为0；对C，若直线斜率不存在，可能与轴重合；对D，若两条直线斜率不相等，则两条直线一定不平行，综合可知D正确．]2．若直线1的斜率为a，1⊥2，则直线2的斜率为A．错误!B．aC．－错误!D．－错误!或不存在D[由1⊥2，当a≠0时，2＝－错误!，当a＝0时，2的斜率不存在，故应选D]3．若经过点Mm,3和N2，m的直线与斜率为－4的直线互相垂直，则m的值是________．错误![由题意知，直线MN的斜率存在，因为MN⊥，所以MN＝错误!＝错误!，解得m＝错误!]4．若两条直线1，2的方向向量分别为1,2和1，，当1∥2时，的值为________．2[1∥2时1＝2或斜率均不存在，由条件可知＝2]5．直线1经过点Am,1，B－3,4，直线2经过点C1，m，D－1，m＋1，当1∥2或1⊥2时，分别求实数m的值．[解]直线1的方向向量为－3－m,3，直线2的方向向量为－2,1．当1∥2时错误!＝错误!，得m＝3；当1⊥2时，－2－3－m＋3＝0得m＝－错误!，故1∥2时m＝3，1⊥2时m＝－错误!。
平行线和垂直线的判定
平行线和垂直线的判定在初中数学中，平行线和垂直线的判定是一个重要的知识点。
正确地判定平行线和垂直线，能够帮助我们解决很多几何问题，因此掌握这个技巧非常重要。
本文将详细介绍平行线和垂直线的判定方法，并通过实例进行说明。
一、平行线的判定平行线是指在同一个平面内永远不相交的两条直线。
那么，我们如何判断两条直线是否平行呢？下面将介绍两种常用的判定方法。
1.1 直线的斜率判定法对于两条直线，如果它们的斜率相等，那么这两条直线一定是平行线。
斜率是指直线上任意两点的纵坐标之差与横坐标之差的比值。
例如，对于直线上的两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，它们之间的斜率可以表示为：k = (y2 - y1) / (x2 - x1)。
如果两条直线的斜率相等，那么它们一定是平行线。
例如，我们来判断直线y = 2x + 3和直线y = 2x - 1是否平行。
这两条直线的斜率都是2，因此它们是平行线。
1.2 直线的平行线判定定理直线的平行线判定定理是指，如果两条直线分别与第三条直线相交，并且两组相交角相等，那么这两条直线是平行线。
例如，我们来判断直线y = 2x + 3和直线y = 2x - 1是否平行。
我们可以选择第三条直线y = x + 1，然后分别求出它们与第三条直线的交点。
直线y = 2x + 3与y = x + 1相交于点(-1, 2)，而直线y = 2x - 1与y = x + 1相交于点(0, 1)。
接下来，我们计算两组相交角的大小。
直线y = 2x + 3与y = x + 1的相交角为45度，而直线y = 2x - 1与y = x + 1的相交角也为45度。
因此，根据直线的平行线判定定理，这两条直线是平行线。
二、垂直线的判定垂直线是指在同一个平面内，两条直线相交时，相交角为90度的直线。
那么，我们如何判断两条直线是否垂直呢？下面将介绍两种常用的判定方法。
2.1 直线的斜率判定法对于两条直线，如果它们的斜率的乘积为-1，那么这两条直线一定是垂直线。
第3章 3.1.2两条直线平行与垂直的判定
填一填·知识要点、记下疑难点
3.1.2
2．两条直线垂直与斜率的关系
本 讲 栏 目
(1)如果直线 l1、l2 的斜率都存在，并且分别为 k1、k2， 那么 l1⊥l2⇔ k1k2＝－1 .
开 关
(2)如果两条直线 l1、l2 中的一条斜率不存在，另一个斜 率是零，那么 l1 与 l2 的位置关系是 垂直 .
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3.1.2
本 讲
小结 判定两条直线的位置关系时，一定要考虑特殊情况，
栏 目
如两直线重合，斜率不存在等．一般情况都成立，只有一
开 关
种特殊情况不成立．则该命题就是假命题．
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3.1.2
跟踪训练 1 试确定 m 的值，使过点 A(m＋1,0)，B(－5，
本
讲
k2 不存在，更谈不于两条不重合的直线 l1、l2，其斜率分别为 k1、
关
k2，有 l1∥l2⇔k1＝k2.若直线 l1 和 l2 可能重合时，我们得到
k1＝k2⇔l1∥l2 或 l1 与 l2 重合．
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3.1.2
例 1 已知 A(2,3)，B(－4,0)，P(－3,1)，Q(－1,2)，试判断
B(2，－1)，C(4,2)，D(2,3)，试判断四边形 ABCD 的形状，
并给出证明．
本
解 AB 边所在直线的斜率 kAB＝－12，
讲 栏 目
CD 边所在直线的斜率 kCD＝－12，
开 关
BC 边所在直线的斜率 kBC＝32，
DA 边所在直线的斜率 kDA＝32.
因为 kAB＝kCD，kBC＝kDA，所以 AB∥CD，BC∥DA.因此， 四边形 ABCD 是平行四边形．
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
公式成立的条件：
y
l1
l2
①两直线不重合；
②两直线的斜率均存在.
O
x
特别地，两直线的倾斜角都为90°时，它们互相平行
或重合.
两条直线平行与斜率之间的关系
类型 前提条件 对应关系
斜率存在 α 1=α 2≠90° l1∥l2⇔ _____ k 1=k2
斜率不存在 α 1=α 2=90° l1∥l2⇐两直线斜率都不存在
判断:(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若两条不重合的直线的倾斜角相等,则这两条直线必定平
行. ( ) ( ( ) )
(2)若两条直线平行,则两条直线的倾斜角一定相等. (3)若两条直线垂直,则它们的斜率的乘积一定等于-1.
提示:(1)正确.依据直线的倾斜角的定义可知. (2)正确.不论斜率存在还是不存在,只要平行,依据直线 的倾斜角的定义可知,则倾斜角必相等. (3)错误.只有斜率存在的情况下才成立.
答案：A
二、两条直线垂直的判定
设两条直线l1与l2的斜率分别为k1 ,k2，
y l2 l1
两直线的斜 率均存在.
O
x
l1 ⊥l2 k1k2 = -1.
特别地：一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的 倾斜角为0°，两直线互相垂直.
例3 已知A（-6，0），B（3，6），P（0，3）， Q（6，-6），试判断直线AB与PQ的位置关系.
④若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则 这两条直线平行． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：若k1＝k2，则这两条直线平行或重合，所以①错； 当两条直线垂直于x轴时，两条直线平行，但斜率不存在，所 以②错；若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的 斜率为0时，才有这两条直线垂直，所以③错；④正确．故选 A.
两条直线平行和垂直的判定3种常见考法归类(50题)(教师版)2025学年高二数学(人教A版选修一)
专题2.1.2 两条直线平行和垂直的判定3种常见考法归类（50题）题型一 两条直线平行的判定及应用（一）两条直线平行的概念辨析（二）两条直线平行关系的判定（三）已知两条直线平行求参数题型二 两条直线垂直的判定及应用（一）两条直线垂直的概念辨析（二）两条直线垂直关系的判定（三）已知两直线垂直求参数题型三 直线平行、垂直的判定在几何中的应用对于两条不重合的直线12121212对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点(1)1212l l k k ⇔= 成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②1l 与2l 不重合．(2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，1l 与2l 的倾斜角都是90 ，则12l l .(3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是：1212l l k k ⇔=或1l ，2l 斜率都不存在.题型一 两条直线平行的判定及应用（一）两条直线平行的概念辨析1．（2024·高二课时练习）下列说法正确的是（ ）A ．两条直线的斜率相等是这两条直线平行的充要条件B ．两条直线的倾斜角不相等是这两条直线相交的充要条件C ．两条直线平行是这两条直线的倾斜角相等的充要条件D ．两条直线平行是这两条直线的法向量平行的充要条件【答案】B【分析】根据直线平行和相交的条件依次判断即可.【详解】当两条直线的斜率相等且截距也相等时，两直线重合，故A 错误；的倾斜角不相等，则两直线必定相交，反之也成立，故B 正确；倾斜角相等时，两直线可能重合，故C 错误；法向量平行时，两直线可能重合，故D 错误.故答案为：B2．（2024·北京·高二人大附中校考期中）若1l 与2l 为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为1a ，2a ，斜率分别为1k ，2k ，则下列命题①若12l l ∥，则斜率12k k =； ②若斜率12k k =，则12l l ∥；③若12l l ∥，则倾斜角12a a =；④若倾斜角12a a =，则12l l ∥，其中正确命题的个数是（ ）.A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【分析】根据两条直线平行的判定方法与结论即可判断．【详解】由于1l 与2l 为两条不重合的直线且斜率分别为1k ，2k ，所以1212l l k k ⇔= ，故①②正确；由于1l 与2l 为两条不重合的直线且倾斜角分别为1a ，2a ，所以12l l ∥⇔12a a =，故③④正确，所以正确的命题个数是4．故选：D ．3．【多选】（2024·新疆喀什·高二新疆维吾尔自治区喀什第六中学校考期中）若1l 与2l 为两条不重合的直线，则下列说法中正确的有（ ）A ．若12//l l ，则它们的斜率相等B ．若1l 与2l 的斜率相等，则12//l l C ．若12//l l ，则它们的倾斜角相等D ．若1l 与2l 的倾斜角相等，则12//l l 【答案】BCD【分析】由两直线斜率不存在可知A 错误；根据两直线平行与斜率和倾斜角的关系可知BCD 正确.【详解】对于A ，当1l 和2l 倾斜角均为2p 时，12//l l ，但两直线斜率不存在，A 错误；对于B ，若1l 和2l 斜率相等，则两直线倾斜角相等，可知12//l l ，B 正确；对于C ，若12//l l ，可知两直线倾斜角相等，C 正确；对于D ，若两直线倾斜角相等，则两直线斜率相等或两直线斜率均不存在，可知12//l l ，D 正确.故选：BCD.（二）两条直线平行关系的判定解题策略：1．判断两条不重合的直线是否平行的步骤2.两条直线平行的判定及应用k 1＝k 2⇔l 1∥l 2是针对斜率都存在且不重合的直线而言的，对于斜率不存在或可能不存在的直线，要注意利用图形． 4．（2024·江苏·高二假期作业）判断下列各题中直线1l 与2l 是否平行．(1)1l 经过点(1,2)A --，(2,1)B ，2l 经过点(3,4)M ，(1,1)N --；(2)1l 经过点(3,2)A -，(3,10)B -，2l 经过点(5,2)M -，(5,5)N ．【答案】(1)不平行(2)平行【分析】（1）求出1l k 、2l k ，即可判断；（2）求出1l 、2l 的方程，即可判断.【详解】（1）因为1l 经过点(1,2)A --，(2,1)B ，所以121112l k --==--，又2l 经过点(3,4)M ，(1,1)N --，所以2145134l k --==--，因为12l l k k ¹，所以1l 与2l 不平行；（2）直线1l 经过点(3,2)A -，(3,10)B -的方程为3x =-，直线2l 经过点(5,2)M -，(5,5)N 的方程为5x =，故直线1l 和直线2l 平行；5.（2023·江苏·高二假期作业）判断下列各组直线是否平行，并说明理由．(1)1l 经过点(2,3),(4,0)A B -，2l 经过点(3,1),(2,2)M N --；(2)1l 的斜率为10-，2l 经过点(10,2),(20,3)A B .【答案】(1)不平行，理由见解析(2)不平行，理由见解析【详解】（1）设直线1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，因为1l 经过点(2,3),(4,0)A B -，2l 经过点(3,1),(2,2)M N --，所以13012(4)2k -==--，21213(2)k -==---，所以12k k ¹，所以1l 与2l 不平行；（2）设直线1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，则110k =-，因为2l 经过点(10,2),(20,3)A B ，所以2321201010k -==-，所以12k k ¹，所以1l 与2l 不平行.6．（2024·高二课前预习）根据下列给定的条件，判定直线1l 与直线2l 是否平行或重合：（1）1l 经过点()2,3A ，()4,0B -；2l 经过点()3,1M -，()2,2N -；( )（2）1l 的斜率为12-，2l 经过点()4,2A ，()2,3B ；()（3）1l 平行于y 轴，2l 经过点()0,2P -，()0,5Q ；()（4）1l 经过点()0,1E ，()2,1F --，2l 经过点()3,4G ，()2,3H ．( )【答案】不平行平行或重合平行重合【分析】根据过两点的直线的斜率公式，计算直线的斜率，根据斜率的关系，并注意直线是否重合，可判断（1）（2）（4）；当两直线斜率都不存在时，看它们是否重合，即可判断（3）.【详解】（1）()301242AB k -==--，()21123MN k -==---，AB MN k k ¹，所以1l 与2l 不平行．（2）1l 的斜率112k =-，2l 的斜率2321242k -==--，即12k k =，无法判断两直线是否重合，所以1l 与2l 平行或重合．（3）由题意，知1l 的斜率不存在，且不是y 轴，2l 的斜率也不存在，恰好是y 轴，所以12l l //．（4）由题意，知11120EF k --==--，34123GH k -==-，所以1l 与2l 平行或重合．需进一步研究E ，F ，G ，H 四点是否共线，()()41132FG k --==--．所以E ，F ，G ，H 四点共线，所以1l 与2l 重合．7.（2023·全国·高二专题练习）判断下列不同的直线1l 与2l 是否平行.（1）1l 的斜率为2，2l 经过()1,2A ，()4,8B 两点；（2）1l 经过()3,3P ，()5,3Q -两点，2l 平行于x 轴，但不经过P ，Q 两点；（3）1l 经过()1,0M -，()5,2N --两点，2l 经过()4,3R -，()0,5S 两点．【答案】（1）平行；（2）平行；（3）平行.【详解】（1）2l 经过()1,2A ，()4,8B 两点，则282241l k -==-，则12l l k k =，可得两直线平行.（2）1l 经过()3,3P ，()5,3Q -两点，可得1l 平行于x 轴，2l 平行于x 轴，但不经过P ，Q 两点，所以12l l //；（3）1l 经过()1,0M -，()5,2N --两点，1021152l k +==-+，2l 经过()4,3R -，()0,5S 两点，则2351402l k -==--，所以12l l //.8.（23-24高二·江苏·课后作业）分别根据下列各点的坐标，判断各组中直线AB 与CD 是否平行：(1)()3,1A -，()1,1B -，()3,5C -，()5,1D ；(2)()2,4A -，()4B -，()0,1C ，()4,1D ；(3)()2,3A ，()2,1B -，()1,4C -，()11D -,；(4)()1,2--A ，()2,1B ，()3,4C ，()1,1D --．【答案】(1)平行(2)平行(3)平行(4)不平行【分析】（1）求出AB ，CD ，BC 斜率，再判断两直线不重合得平行；（2）由斜率相等，及不重合得结论；（3）由两直线斜率都不存在，且不重合得平行；（4）由斜率不相等得不平行．【详解】（1）1113(1)2AB k --==---，511352CD AB k k -==-=--，5123(1)BC k -==----，,,A B C 不共线，因此AB 与CD 平行．（2）0AB k =，0CD k =，又两直线不重合，直线AB 与CD 平行，（3）直线AB ，CD 的斜率都不存在，且不重合，因此平行；（4）21112AB k --==--,145134CD AB k k --==¹--，直线AB 与CD 不平行，9.（23-24高二上·福建泉州·期末）记平面直角坐标系内的直线1l 、2l 与x 轴正半轴方向所成的角的正切值分别为1k 、2k ，则“12l l //”是“12k k =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件【答案】A【分析】根据直线的位置关系结合充分、必要条件分析判断.【详解】由题意可知：12,k k 已经存在，若1l ∥2l ，则12k k =，即充分性成立；若12k k =，则12,l l 可能重合，即必要性均不成立；综上所述：“12l l //”是“12k k =”的充分不必要条件.故选：A ．10．（2024·高二课时练习）过点()1,2A 和点()1,2B -的直线与直线3y =的位置关系是（ ）A ．相交B ．平行C ．重合D ．以上都不对【答案】B【分析】先求出直线方程，再结合斜率直接判断两直线位置关系即可.【详解】过点()1,2A 和点()1,2B -的直线方程为2y =，斜率为0，又因为直线3y =斜率为0，所以两直线平行.故选：B11．（2024·全国·高二专题练习）判断(1,3),(3,7),(4,9)A B C 三点是否共线，并说明理由．【答案】共线，理由见解析.【分析】根据直线斜率公式进行求解即可.【详解】这三点共线，理由如下：由直线斜率公式可得：73932,23141AB AC k k --====--，直线,AB AC 的斜率相同，所以这两直线平行，但这两直线都通过同一点(1,3)A ，所以这三点共线.（三）已知两条直线平行求参数解题策略:利用斜率公式解决两直线平行问题解决这类问题的关键是充分利用几何图形的性质，并将该性质用式子表示出来，最后解决问题．这里就是利用两直线平行与斜率的关系求解的．12．（2024·广东广州·高二广州市培正中学校考期中）已知直线1l 的倾斜角为30°，直线12l l //，则直线2l 的斜率为（ ）A B ．C D ．【答案】C【分析】利用直线的斜率公式与直线平行的性质求解即可.【详解】因为直线1l 的倾斜角为30°，所以1tan 30l k =°=，又12l l //，所以21l l k k ==故选：C.13．（2024·江苏·高二假期作业）已知过(2,)A m -和(,4)B m 的直线与斜率为－2的直线平行，则m 的值是（ ）A ．－8B ．0C ．2D ．10【答案】A【分析】由两点的斜率公式表示出直线AB 的斜率AB k ，再由两直线平行斜率相等列出等式，即可解出答案.【详解】由题意可知，422AB mk m -==-+，解得8m =-．故选：A14.（2024秋·河南濮阳·高二校考阶段练习）若直线1l 与直线2l 平行，直线1l 的斜率为2l 的倾斜角为___________.【答案】56p【详解】解：因为直线1l 与直线2l 平行，直线1l 的斜率为所以直线2l 的斜率与直线1l 的斜率相等，即直线2l 的斜率为设直线2l 的倾斜角为()0a a p £<，则tan a =所以56p a =，即直线2l 的倾斜角为56p ，故答案为：56p.15．（2024·江苏·高二假期作业）已知直线1l 的倾斜角为45°，直线2l 的斜率为23k m =-，若1l ∥2l ，则m 的值为________．【答案】2±/2或2-/2-或2【分析】由直线倾斜角由斜率的关系可知直线1l 的斜率为1tan 45k =°，再由两直线平行，斜率相等列出等式，即可求出答案.【详解】由题意知23tan 45m -=°，解得2m =±.故答案为：2±16.（23-24高二上·全国·课后作业）已知A (－2，m )，B (m ，4)，M (m ＋2，3)，N (1，1)，若AB ∥MN ，则m 的值为 .【答案】0或1【分析】分当直线AB 的斜率不存在，直线MN 的斜率不存在及两直线的斜率都存在时进行求解即可，注意检验下两直线不重合.【详解】解：当m ＝－2时，直线AB 的斜率不存在，而直线MN 的斜率存在，MN 与AB 不平行，不合题意；当m ＝－1时，直线MN 的斜率不存在，而直线AB 的斜率存在，MN 与AB 不平行，不合题意；当m ≠－2，且m ≠－1时，k AB ＝44(-2)2m mm m ---+，k MN ＝312211m m -+-+.因为AB ∥MN ，所以k AB ＝k MN ，即4221m m m -++＝，解得m ＝0或m ＝1. 当m ＝0或1时，由图形知，两直线不重合. 综上，m 的值为0或1.故答案为：0或117.（2024高三上·广东·学业考试）已知直线12l l //，它们的斜率分别记作12,k k ，若12,k k 是方程2210x ax ++=的两个根，则a 的值（ ）A ．1B ．1-C ．1或1-D ．无法确定【答案】C【分析】利用直线平行得到12k k =，从而得到二次方程判别式为零，由此得解.【详解】因为12l l //，所以12k k =，因为12,k k 是方程2210x ax ++=的两个根，所以2440a D =-=，解得1a =±.故选：C.1-，那么它们互相垂直，即12121l l k k ⊥⇔⋅=-.对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点(1)12121l l k k ⊥⇔⋅=-成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②10k ¹且20k ¹.(2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直．(3)判定两条直线垂直的一般结论为：12121l l k k ⊥⇔⋅=-或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．题型二 两条直线垂直的判定及应用（一）两条直线垂直的概念辨析18．【多选】（2024·高二课时练习）下列说法中，正确的有（ ）A ．斜率均不存在的两条直线可能重合B ．若直线12l l ⊥，则这两条直线的斜率的乘积为1-C ．若两条直线的斜率的乘积为1-，则这两条直线垂直D ．两条直线12,l l ，若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为零，则12l l ⊥【答案】ACD【分析】利用直线重合与垂直的性质，同时考虑直线斜率不存在的情况，对选项逐一分析判断即可.【详解】对于A ，若12:0:2,0l l x x ==，则12,l l 斜率均不存在，但两者重合，故A 正确；对于BD ，若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为零，则这两条直线互相垂直，但此时乘积不为1-，故B 错误；D 正确；对于C ，根据直线垂直的性质可知，两直线的斜率存在，且乘积为1-时，这两条直线垂直，故C 正确.故选：ACD.19．【多选】（2024·高二课时练习）下列说法中正确的有（ ）A ．若两直线平行，则两直线的斜率相等B ．若两直线的斜率相等，则两直线平行C ．若两直线的斜率乘积等于1-，则两直线垂直D ．若两直线垂直，则两直线的斜率乘积等于1-【答案】BC【分析】根据直线斜率与位置关系的相关知识直接判断即可.【详解】对于A ，两直线平行，可以是斜率都不存在，所以A 错误；对于B ，若两直线的斜率相等，则两直线平行，所以B 正确；对于C ，若两直线的斜率乘积等于1-，则两直线垂直，故C 正确；对于D ，若两直线垂直，可能是一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在，则不是两直线的斜率乘积等于1-，故D 错误；故选：BC20．【多选】（2024·山东济南·高二校考期中）若1l 与2l 为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是12,a a ，斜率分别为12,k k ，则下列命题正确的是（ ）A ．若斜率12k k =，则 12l l ∥B ．若121k k =-，则12l l ⊥C ．若倾斜角12a a =，则 12l l ∥D ．若12πa a +=，则12l l ⊥【答案】ABC【分析】根据两直线倾斜角和斜率与直线平行和垂直的关系分别判断选项ABC ，举反例可判断D.【详解】对于A, 若两直线斜率12k k =，则它们的倾斜角12a a =，则12l l ∥，正确；对于B ，由两直线垂直的条件可知，若121k k =-，则12l l ⊥，正确；对于C,由两直线平行的条件可知，若倾斜角12a a =，则 12l l ∥，正确；对于D, 若12πa a +=，不妨取12π2π33,a a ==，则1122tan tan k k a a ====121k k =-，12,l l 不垂直，D 错误，故选：ABC21.（2024·上海长宁·高二上海市第三女子中学校考期中）“两条直线的斜率乘积为1-”是“两条直线互相垂直”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A【详解】当两条直线斜率乘积为1-时，两条直线互相垂直，充分性成立；当两条直线互相垂直时，其中一条直线可能斜率不存在，必要性不成立；\“两条直线的斜率乘积为1-”是“两条直线互相垂直”的充分不必要条件.故选：A.（二）两条直线垂直关系的判定解题策略：1.使用斜率判定两条直线垂直的注意事项(1)直线垂直只有两种情形，即一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为0和k 1k 2＝－1.(2)当点的坐标中含有参数时，需注意两点连线的斜率是否存在．2.利用斜率公式来判定两直线垂直的方法(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在只需看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直，若不相等，则进行第二步．(2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式．(3)三求：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论． 22．【多选】（2024·浙江杭州·高二杭师大附中校考期中）下列直线12,l l 互相垂直的是（ ）A ．1l 的斜率为23-，2l 经过点(1,1)A ，10,2B æö-ç÷èøB ．1l 的倾斜角为45°，2l 经过点(2,1),(3,6)P Q ---C ．1l 经过点(1,0),(4,5)M N -，2l 经过点(6,0),(1,3)R S --D ．1l 的斜率为2，2l 经过点(1,2),(4,8)U V 【答案】ABC【分析】由倾斜角与斜率的关系求出直线斜率，由两点坐标求出直线斜率，分别判断两直线斜率之积是否为1-，从而可选出正确答案.【详解】2l 的斜率为1132012k --==-，因为23132-´=-，所以12l l ⊥成立，故A 正确；1l 的斜率为1tan 451k =°=，2l 的斜率为()()26151325----===---k ，由121k k =-，则12l l ⊥成立，故B 正确；1l 的斜率为155413k -==--，2l 的斜率为()2303165k -==---，由121k k =-则12l l ⊥成立，故C 正确；2l 的斜率为82241k -==-，由221´¹-，所以12l l ⊥不成立，故D 错误.故选：ABC ．23．（2024·江苏·高二假期作业）判断下列各组直线是否垂直，并说明理由．(1)1l 经过点(3,4),(1,3),A B --2l 经过点(4,3),(3,1)M N --；(2)1l 经过点(3,4),(3,10),A B 2l 经过点(10,40),(10,40)M N -．【答案】(1)不垂直，理由见解析(2)垂直，理由见解析【分析】（1）由题知直线1l ，2l 的斜率存在，分别计算出1l 、2l 的斜率，即可判断（1）组直线不垂直；（2）由题知1l x ⊥轴，2l x 轴，即可判断（2）组直线垂直.【详解】（1）由题知直线1l ，2l 的斜率存在，分别设为12,k k ，()()1347134k --==--，()()2134347k --==--，121k k \⋅=，∴1l 与2l 不垂直．（2）由题意知1l 的倾斜角为90°，则1l x ⊥轴；由题知直线2l 的斜率存在，设为3k ，34040010(10)k -==--，则2l x 轴，∴12l l ⊥．24．（2024·广东·高二校联考阶段练习）判断下列直线1l 与2l 是否垂直：(1)1l 的倾斜角为2π3，2l 经过(4,M -，(5,N 两点；(2)1l 的斜率为32-，2l 经过()3,2P -，()6,4Q -两点；(3)1l 的斜率为13-，2l 的倾斜角为a ，a 为锐角，且3tan 24a =-.【答案】(1)12l l ⊥(2)1l 与2l 不垂直(3)12l l ⊥【分析】（1）1l 的斜率为2πtan3=2l 的斜率，判断斜率的乘积是否为1-即可；（2）根据过两点的斜率公式可求2l 的斜率，判断斜率的乘积是否为1-即可；（3）根据二倍角的正切公式求出tan a 的值，判断斜率的乘积是否为1-即可.（1）因为1l 的倾斜角为2π3，所以1l 的斜率为2πtan 3=.因为2l 经过(4,M -，(5,N 两点，所以2l =因为1=-，所以12l l ⊥.（2）因为2l 经过()3,2P -，()6,4Q -两点，所以2l 的斜率为()422633--=---.因为1l 的斜率为32-，且32123æö-´-¹-ç÷èø，所以1l 与2l 不垂直.（3）记2l 的斜率为k ，因为3tan 24a =-，所以22314k k =--，解得3k =或13k =-.因为a 为锐角，所以3k =.因为1l 的斜率为13-，且1313æö´-=-ç÷èø，所以12l l ⊥.25．（2024·福建三明·高二校联考期中）已知直线1l 经过()3,2A -，()1,2B -两点，直线2l 倾斜角为45°，那么1l 与2l （ ）A ．平行B ．垂直C ．重合D ．相交但不垂直【答案】B【分析】根据两点求出直线1l 的斜率，根据倾斜角求出直线2l 的斜率，可知斜率乘积为1-，从而得到垂直关系.【详解】由题意可得：直线1l 的斜率()122131k --==---，直线2l 的斜率2tan451k =°=，∵121k k =-，则1l 与2l 垂直.故选：B.26.【多选】（2024·广西柳州·高二校考阶段练习）若()4,2A -，()6,4B -，()12,6C ，()2,12D ，下面结论中正确的是（ ）A ．//AB CDB ．AB AD ⊥C ．AC BD =D ．//AC BD 【答案】ABC 【详解】423645AB k --==-+，12632125CD k -==--，且C 不在直线AB 上，∴//AB CD ，故A 正确；又∵1225243AD k -==+，∴1AB AD k k ⋅=-，∴AB AD ⊥，故B 正确；∵()16,4AC =uuu r ，()4,16BD =-uuu r ，∴AC =，BD =，∴AC BD =，故C 正确；又∵6211244AC k -==+，124426BD k +==--，∴1AC BD k k =-⋅∴AC BD ⊥，故D 错误．故选:ABC ．27．【多选】（2024·江苏·高二假期作业）以(1,1),(2,1),(1,4)A B C --为顶点的三角形，下列结论正确的有（ ）A ．23AB k =-B ．14BC k =-C ．以A 点为直角顶点的直角三角形D ．以B 点为直角顶点的直角三角形【答案】AC【分析】对于AB ，利用斜率公式计算判断，对于C ，通过计算AB AC k k ⋅判断，对于D ，通过计算AB BC k k ⋅判断.【详解】对于A ，因为(1,1),(2,1)A B --，所以1(1)2123AB k --==---，所以A 正确，对于B ，因为(2,1),(1,4)B C -，所以1415214BC k --==-¹--，所以B 错误，对于C ，因为23AB k =-，143112AC k -==--，所以22133AB AC k k ⋅=-´=-，所以AB AC ⊥，所以ABC V 以A 点为直角顶点的直角三角形，所以C 正确，对于D ，因为23AB k =-，5BC k =-，所以1AB BC k k ⋅¹-，所以D 错误，故选：AC28.（2024·全国·模拟预测）已知两条直线1l 和2l ，其斜率分别是一元二次方程220241k k +=的两不等实数根，则其位置关系是（ ）A ．平行B ．垂直C ．重合D ．异面【答案】B【分析】由斜率乘积判断两直线的位置关系可得．【详解】由题意，设两条直线1l 和2l 的斜率分别为12,k k ，且为一元二次方程22024 1 k k +=的两不等实数根，则211k k ⋅=-，所以12l l ⊥.故选：B 29．（2024·上海奉贤·高二校考阶段练习）已知直线12,l l 的斜率是方程220x px --=的两个根，则（ ）A ．12l l ⊥B ．12//l l C ．1l 与2l 相交但不垂直D ．1l 与2l 的位置关系不确定【答案】C【分析】由122k k =-可知两直线不垂直，且12k k ¹知两直线不平行，由此可得结论.【详解】设直线12,l l 的斜率为12,k k ，则122k k =-，121k k ¹-Q ，12,l l \不垂直，A 错误；若12k k =，则21210k k k =³，与122k k =-矛盾，12k k \¹，12,l l \不平行，B 错误；12,l l Q 不平行，也不垂直，12,l l \相交但不垂直，C 正确，D 错误.故选：C.（三）已知两直线垂直求参数解题策略：解决由垂直关系求参数问题的思路由两条直线垂直求参数的值，一般的解题思路是利用斜率的坐标公式表示出斜率，令斜率之积为-1求解,但在解题过程中要注意讨论直线与x 轴垂直的情况,此时一条直线的斜率为零，另一条直线的斜率不存在.对于斜率不存在的直线，可令直线上两点的横坐标相等,即可求解30.（2023·全国·高二专题练习）过点(,1)A m ，(1,)B m -的直线与过点(1,2)P ，(5,0)Q -的直线垂直，则m 的值为（ ）A ．2-B ．2C ．12D ．12-【答案】A【详解】两条直线垂直，则：120111(5)m m --´=-+--，解得2m =-，故选：A ．31．（2024·甘肃兰州·高二兰州五十九中校考开学考试）已知经过点()2,0A -和点()1,3B a 的直线1l 与经过点()0,1P -和点(),2Q a a -的直线2l 互相垂直，则实数a 的值为（ ）A ．0B ．1C ．0或1D ．1-或1【答案】C【分析】求出直线1l 的斜率为1k a =，分0a ¹、0a =两种情况讨论，在0a ¹时，由两直线斜率之积为1-可求得实数a 的值；在0a =时，直接验证12l l ⊥.综合可得结果.【详解】直线1l 的斜率()13012a k a -==--．①当0a ¹时，直线2l 的斜率()221120a a k a a----==-．因为12l l ⊥，所以121k k =-，即121a a a -⋅=-，解得1a =．②当0a =时，()0,1P -、()0,0Q ，此时直线2l 为y 轴，又()2,0A -、()10B ,，则直线1l 为x 轴，显然12l l ⊥．综上可知，0a =或1.故选：C.32.（2024·黑龙江佳木斯·高二富锦市第一中学校考阶段练习）已知直线1l 经过()3,7A ，()2,8B 两点，且直线21l l ⊥，则直线2l 的倾斜角为（ ）A ．30°B ．45°C ．135°D ．150°【答案】B【详解】设直线2l 的倾斜角为a ，因为直线1l 的斜率178132l k -==--，由12l l ⊥，得121l l k k ⋅=-，所以21l k =，即tan 1a =，又0180a °£<°，则45a =°，所以直线2l 的倾斜角为45°．故选：B ．33．（2024·高二课时练习）已知直线l 的倾斜角为135°，直线1l 经过点(3,2)A ，(,1)B a -，且1l 与l 垂直，直线22:1l y x b=-+与直线1l 平行，则a b +等于（ ）A ．4-B ．2-C ．0D ．2【答案】B【分析】由直线l 的倾斜角为135°，1l 与l 垂直可得1l k ，再由直线2l 与直线1l 平行求得b ，由1l 过,A B 求得a ，进而求a b +.【详解】由题意知：tan1351l k =°=-，而1l 与l 垂直，即11l k =，又直线22:1l y x b =-+与直线1l 平行，则21b-=，故2b =-，又1l 经过点(3,2)A ，(,1)B a -，则11213l k a --==-，解得0a =，所以2a b +=-.故选：B.34.（23-24高二上·甘肃兰州·阶段练习）若直线1l 与2l 的斜率1k 、2k 是关于k 的方程224k k b --=的两根，若12l l ⊥，则b =（ ）A ．2B ．－2C ．0D ．－4【答案】B【分析】由直线垂直得121k k =-，结合韦达定理得参数值．【详解】12121l l k k ⊥Þ=-，方程224k k b --=为2240k k b ++=，所以1212b k k ==-，2b =-，此时1680b D =->满足题意．故选：B ．35．（2024·青海海东·高二校考期中）已知点()2,2A -，()6,4B ，()5,2H ，H 是ABC V 的垂心．则点C 的坐标为（ ）A ．()6,2B ．()2,2-C ．()4,2--D ．()6,2-【答案】D【分析】先设点C 的坐标,再求出直线BH AH ，的斜率，则可求出直线AC 的斜率和直线BC 的倾斜角，联立方程组求出C 的坐标；【详解】设C 点标为(),x y ，直线AH 斜率22052AH k -==+，∴BC AH ⊥，而点B 的横坐标为6，则6x =，直线BH 的斜率42265BH k -==-，∴直线AC 斜率21622AC y k -==-+，∴=2y -，∴点C 的坐标为(6,2)-．故选:D .36.（2024·甘肃武威·高二民勤县第一中学校考开学考试）已知三角形三个顶点的坐标分别为()4,2A ，()1,2B -，()2,4C -，则BC 边上的高的斜率为（ ）A ．2B ．2-C ．12D ．12-【答案】C【详解】()1,2B -Q ，()2,4C -，()42221BC k --\==---设BC 边上的高的斜率为k ，则1BC k k ⋅=-，12k \=故选：C37.（2024·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中学校考期末）已知点()1,1A 和()2,4B ，点P 在y 轴上，且APB Ð为直角，则点P 坐标为（ ）A ．()0,2B ．()0,2或()0,3C ．()0,2或()0,4D ．()0,3【答案】B【详解】由题意，设点()0,P y ，APB ÐQ 为直角，AP BP \⊥，由141,12AP BP y y k y k --==-=，()4112AP BP y k k y -æö\⋅=-=-ç÷èø，解得3y =或2，所以点P 的坐标为()0,2或()0,3故选：B38．（2024·江苏·高二假期作业）已知两点(2,0)A ，(3,4)B ，直线l 过点B ，交y 轴于点(0,)C y ，O 是坐标原点，且O ，A ，B ，C 四点共圆，那么y 的值是________．【答案】194/4.75【分析】由题易知OC OA ⊥，即AC 为圆的直径，即AB BC ⊥,由1AB BC k k ⋅=-列出方程，即可求出答案.【详解】由题易知OC OA ⊥，即AC 为圆的直径，即AB BC ⊥,∴1AB BC k k ⋅=-，即40413230y--´=---，解得194y =．故答案：194.39．（2024·江苏·高二假期作业）已知()1,1M -，()2,2N ，()3,0P ．(1)求点Q 的坐标，满足PQ MN ⊥，PN MQ ∥；(2)若点Q 在x 轴上，且NQP NPQ Ð=Ð，求直线MQ 的倾斜角．【答案】(1)()0,1Q (2)90°【分析】（1）根据两直线的垂直关系和平行关系即可求出结果；（2）根据条件可得NQ NP k k =-即可求出结果.【详解】（1）设(,)Q x y ，由已知得2(1)321MN k --==-，又PQ MN ⊥，可得1MN PQ k k ⋅=-，即31(3)3yx x ´=-¹-． ①由已知得02232PN k -==--，又PN MQ ∥，可得PN MQ k k =，即()1211y x x +=-¹-． ②联立①②解得0,1x y ==，∴(0,1)Q ．（2）设(,0)Q x ，∵NQP NPQ Ð=Ð，∴NQ NP k k =-，又∵22NQ k x =-，2NP k =-，∴222x=-，解得1x =．∴(1,0)Q ，又∵(1,1)M -，∴MQ x ⊥轴，故直线MQ 的倾斜角为90°．40．【多选】（2024·广西贵港·高二校考阶段练习）已知等腰直角三角形ABC 的直角顶点为()3,3C ，点A 的坐标为()0,4，则点B 的坐标可能为（ ）A ．()2,0B ．()6,4C ．()4,6D ．()0,2【答案】AC【分析】根据三角形ABC 为等腰直角三角形列方程组，即可求解.【详解】设(),B x y ，由题意可得=，可化为()()22360 3310x y x y --=ìïí-+-=ïî，解得:20x y =ìí=î或46x y =ìí=î，即()2,0B 或()4,6B ．故选：AC题型三 直线平行、垂直的判定在几何中的应用解题策略：1.利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤2.平行和垂直的综合应用(1)利用直线的斜率判定平面图形的形状一般要运用数形结合的方法，先由图形作出猜测，然后利用直线的斜率关系进行判定．(2)由几何图形的形状求参数(一般是点的坐标)时，要根据图形的特征确定斜率之间的关系，既要考虑斜率是否存在，又要考虑到图形可能出现的各种情形．41．（2024·全国·高二期中）已知5,111(),()2)3,(A B C -，，三点，则△ABC 为__________ 三角形.【答案】直角【分析】根据直线斜率关系即得.【详解】如图，猜想,AB BC ABC ⊥V 是直角三角形，由题可得边AB 所在直线的斜率12AB k =-,边BC 所在直线的斜率2BC k =，由1AB BC k k =-，得,AB BC ⊥即90ABC Ð= ，所以ABC V 是直角三角形.故答案为：直角.42．（2024·河南商丘·高二校联考期中）若()5,1A -，()1,1B ，()2,3C ，则ABC V 的外接圆面积为______．【答案】254p【分析】由斜率得AB BC ⊥，从而可得AC 是直角三角形的斜边，也是ABC V 的外接圆的直径，求得AC 长后得圆半径，从而得圆面积．【详解】111512--==--AB k ，31221BC k -==-，1AB BC k k ⋅=-，∴AB BC ⊥，AC 是直角三角形的斜边，也是ABC V 的外接圆的直径，5=，外接圆半径为522AC r ==，圆表面积为22544()252S r p p p ==´=．故答案为：254p ．43．（2024·高二课时练习）以(2,1),(4,2),(2,6),(3,1)A B C D ---为顶点的四边形是（ ）A ．平行四边形，但不是矩形B ．矩形C ．梯形，但不是直角梯形D ．直角梯形【答案】D【分析】先在坐标系内画出ABCD 点，再根据对边和邻边的位置关系判断四边形ABCD 的形状.【详解】在坐标系中画出ABCD 点，大致如上图，其中11622,2,,//3224AD BC AD BC k k k k AD BC +-==-==-\=-+-，211,1,422AB AB BC k k k AB BC +===-⊥+g ，==所以四边形ABCD 是直角梯形；故选：D.44.（2024高二上·全国·专题练习）已知四边形MNPQ 的顶点()()()()1,1,3,1,4,0,2,2M N P Q -，则四边形MNPQ 的形状为.【答案】矩形【分析】分别求出直线,,,MN PQ MQ NP 的斜率，根据斜率判断对应直线得位置关系，即可得出结论.【详解】解：()11201,11324MN PQ k k ---==-==---Q ，且P 不在直线MN 上，//MN PQ \.又()01211,12143MQ NP k k ---====--Q ，且N 不在直线上，//MQ NP \，\四边形MNPQ 为平行四边形.又1,MN MQ k k MN MQ ⋅=-\⊥Q .\平行四边形MNPQ 为矩形.故答案为：矩形.45.（2024·山东滨州·高一校考阶段练习）已知点()4,3A -，()2,5B ，()6,3C ，()3,0D -，试判定四边形ABCD的形状．【答案】直角梯形【详解】由斜率公式可得：5312(4)30313630333(4)351622AB CDADBC k k k k -==---==---==-----==--AB CD k k =，//AD BCAB CDk k \¹Q AD \与BC 不平行又1(3)13AB AD k k ⋅=´-=-Q ，AB AD \⊥，故四边形ABCD 是直角梯形．46．（2024·高二课时练习）（拓广探索）在平面直角坐标系中，四边形OPQR 的顶点坐标按逆时针顺序依次为(0,0)O ，(1,)P t ，(12,2)Q t t -+，(2,2)R t -，其中0t >．则四边形OPQR 的形状为______.【答案】矩形【分析】根据点的坐标计算斜率，利用斜率相等得到直线平行，再根据矩形的判定，即可得到答案；【详解】由斜率公式得010Op t k t -==-，RQ 2(2)2(12)1t t k t t t -+-===----，20120OR k t t-==---，PQ 2211212t t k t t t +-===----，所以OP RQ k k =，QR PQ k k =，从而//OP RQ ，//OR PQ ．所以四边形OPQR 为平行四边形．又1OP QR k k ⋅=-，所以OP OR ⊥，故四边形OPQR 为矩形．故答案为：矩形.47．（2024·江苏·高二假期作业）已知ABC V 的顶点为(5,1)A -，(1,1)B ，(2,)C m ，是否存在R m Î使ABC V 为直角三角形，若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．【答案】存在，7m =-或3m =或2m =±【分析】对ABC V 的直角进行讨论，利用两直线垂直的斜率关系即可求出结果.【详解】若A 为直角，则AC AB ⊥，∴1AC AB k k ⋅=-，即11112515m ++⋅=---，解得7m =-；若B 为直角，则BC AB ⊥，∴1BC AB k k ⋅=-，即11112115m -+⋅=---，解得3m =；若C 为直角，则AC BC ⊥，∴1AC BC k k ⋅=-，即1112521m m +-⋅=---，解得2m =±．综上所述，存在7m =-或3m =或2m =±，使ABC V 为直角三角形．48．（2024·高二课时练习）已知(1,3),(5,1),(3,7)A B C ，A ，B ，C ，D 四点构成的四边形是平行四边形，求点D 的坐标.【答案】(7,5)或(1,9)-或(3,3)-.【分析】由题意分类讨论，根据直线的斜率即可求出点D 的坐标.【详解】由题，(1,3),(5,1),(3,7)A B C ，所以kAC =2，12AB k =-，kBC =－3，设D 的坐标为（x ，y ），分以下三种情况：①当BC 为对角线时，有kCD =kAB ，kBD =kAC ，所以，125BD y k x -==-，71=32CD y x k -=--，得x =7，y =5，即(7,5)D ②当AC 为对角线时，有kCD =kAB ，kAD =kBC ，所以，331AD y k x -==--，71=32CD y x k -=--得x =－1，y =9，即(1,9)D -③当AB 为对角线时，有kBD =kAC ，kAD =kBC 所以132351BD AD y y k k x x --====---，，得x =3，y =－3，即(3,3)D -所以D 的坐标为(7,5)或(1,9)-或(3,3)-.49．（2024·全国·高二专题练习）用坐标法证明：菱形的对角线互相垂直.【答案】证明见解析【分析】建立坐标系，根据AB AD =得出1AC BD k k =-⋅，从而证明菱形的对角线互相垂直.【详解】以AB 为x 轴，过A 作AB 的垂线为y 轴，如图，建立平面直角坐标系，设各点坐标分别为(0,0),(,0),(,),(,),,,AC BD c c A B b D a c C a b c k k a b a b+==+-。
3.1.2两条直线平行与垂直的判定
当一条直线的倾斜角为900,另一条直线的倾斜角为0° 两直线互相垂直
l1 l2 k1 k2 1或l1,l2一斜率不存在另一斜率 为0
例题讲解
例5、已知A（-6，0），B（3，6），P（0，3） Q（6，-6），判断直线AB与PQ的位置关系。
A
因此ABC是直角三角形.
练习：
1.已知直线 m1 经过点 A(3，a)，B(a－2,3)，直线 m2 经过点 M(3， a)，N(6,5)，若 m1⊥m2，求 a 的值．
错解中忽略了利用斜率间关系判断两条直线的位置关 系的前提条件：两条直线的斜率存在．应对直线 AB 斜率是否 存在进行分类讨论，即分 a－2＝3 与 a－2≠3 两种情况讨论．
kDA
3 2
kAB kCD , kBC kDA
AB∥ CD, BC∥ DA
y
D
C
A
O
x
B
因此四边形ABCD是平行四边形.
【变式 1】 已知直线 l1 经过点 A(3，a)，B(a－1,2)，另一条 直线 l2 经过点 C(1,2)，D(－2，a＋2)．若 l1∥l2，求 a 的值．
a 1或a 6
b4 a3
40
,解得
a 1
b
6
,
a 1 35
∴D(－1,6)．
A．(3,0)
B．(－3,0)
C．(0，－3)
D．(0,3)
解析 设P(0，y)，∴k2＝y－1， ∵l1∥l2，∴y－1＝2，∴y＝3，故选D. 答案 D
8．若点P(a，b)与Q(b－1，a＋1)关于直线l对称， 则l的倾斜角为( )． A．135° B．45° C．30° D．60°
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
(2)依据直线的斜率的定义可知: ①若不重合的两条直线l1,l2的斜率都存在,分别为k1,k2,倾斜角分别为 α 1,α 2,则l1∥l2⇔α1=α 2⇔k1=k2; ②当不重合的两条直线的斜率都不存在时,由于它们的倾斜角都是 90°,故它们也互相平行.
2.对两条直线平行的判定条件的理解 l1∥l2⇔k1=k2成立的前提条件有两个: (1)两条直线的斜率都存在.(2)这两条直线不重合.
综上,m的值为1或-1.
【误区警示】解答本题易漏掉直线斜率不存在的情况.
【补偿训练】直线l1的斜率k1= l1⊥l2,求实数a的值.
3 ,直线l2经过点A(3a,2),B(0,a),且 4 3 a－2 －1， 4 0－3a
【解析】由l1⊥l2可知k1k2=-1,即 解得a= － 2 .
3
4.已知点A(2,-1),B(3,2),则线段AB的垂直平分线的斜率为 【解析】直线AB的斜率为kAB= 2－(－1) =3,由于线段AB的垂直平分线
3－2
.
与直线AB垂直,故两直线的斜率乘积等于-1,则线段AB的垂直平分线的 斜率为 － 1 . 答案: － 1
3 3
5.已知直线l1经过两点(-1,-2),(-1,4),直线l2经过两点(2,1),(x,6), 且l1∥l2,则x= .
3 ).
2.(2015·通辽高一检测)已知P(-2,m),Q(m,4),M(m+2,3),N(1,1),若 直线PQ∥直线MN,求m的值.
【解题探究】1.典例1中判断直线l1与直线l2是否平行要从哪两个方面 分析? 提示:一是判断两条直线的斜率是否相等,二是判断两条直线是否重合. 2.典例2中由直线PQ∥直线MN,需要讨论直线PQ,MN斜率的存在性吗? 如何讨论? 提示:分当m=-2或m=-1以及m≠-2且m≠-1时进行讨论.
两条直线平行和垂直的判定(人教A版2019选修一)高二数学
解析：(1)①k1＝12－－－－12＝2，k2＝12－－－－12＝12，
k1k2＝1，∴l1与l2不垂直． ②k1＝－10，k2＝230－－210＝110，k1k2＝－1，
∴l1⊥l2. ③由A，B的横坐标相等得 l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴． k2＝104－0－－4100＝0，则l2∥x轴，
若AD是直角梯形的直角腰， 则AD⊥AB，AD⊥CD.∵kAD＝y－x 3，kCD＝x－y 3， 由于AD⊥AB，∴y－x 3·3＝－1.① 又AB∥CD，∴x－y 3＝3.②
解①②两式可得xy＝＝5195.8，
此时AD与BC不平行．
若DC为直角梯形的直角腰， 则DC⊥BC，且AD∥BC. ∵kBC＝0， ∴DC的斜率不存在． 故x＝3，又AD∥BC，则y＝3. 故D点坐标为(3,3)． 综上可知，使四边形ABCD斜率为 k1＝aa－－21，直线 l2 的斜率为 k2＝
1－a ，若 2a2－3
l1
与
l2
互相垂直，则实数
a
的值为(
)
A．－1
B．1
或－1 2
C．±1 D．－1
2
解析：由题意，得k1k2＝
a－2 a－1
×
1－a 2a2－3
＝－1，解得a＝－
1 2
或a
＝1(舍去)．
答案：D
由斜率公式可得 kAB＝2－5－－34＝13，kCD＝－0－3－36＝13， kAD＝－30－－3－4＝－3，kBC＝36－－52＝－12. 所以kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合， 所以AB∥CD.由kAD≠kBC，所以AD与BC不平行． 又因为kAB·kAD＝13×(－3)＝－1，所以AB⊥AD， 故四边形ABCD为直角梯形．
平行线与垂直线的判定
平行线与垂直线的判定在几何学中，平行线与垂直线的判定是一个重要的概念。
平行线指的是两条直线在同一平面中永远不相交的情况，而垂直线则是指两条直线相交，且交角为90度的情况。
本文将详细介绍平行线与垂直线的判定方法，并且讨论它们在实际生活中的应用。
1. 平行线的判定平行线的判定是几何学中的基本概念之一。
以下是几种常见的判定方法：1.1 同位角判定法同位角判定法是判定平行线的一种常用方法。
当两条直线被一条横截线所交，同位角相等时，这两条直线是平行的。
这个方法的原理在于，同位角是同位线以同位点为端点所夹的角，在平行线中同位角恒等。
1.2 斜率判定法斜率判定法是另一种常用的判定平行线的方法。
当两条直线的斜率相等时，它们是平行的。
两条直线的斜率可以通过选取两个点计算得出，如果斜率相等，则这两条直线是平行的。
2. 垂直线的判定垂直线是指两条直线相交，交角为90度的情况。
以下是几种常见的判定方法：2.1 垂直角判定法垂直角判定法是判定垂直线的一种常用方法。
当两条直线相交，且交角为90度时，这两条直线是垂直的。
这个方法的原理在于，垂直角是同位线以交点为端点所夹的角，在垂直线中垂直角的度数恒为90度。
2.2 斜率判定法斜率判定法也可以用于判定垂直线。
当两条直线的斜率乘积为-1时，它们是垂直的。
如果两条直线的斜率分别为m1和m2，且满足方程m1 * m2 = -1，则这两条直线是垂直的。
3. 平行线与垂直线的应用平行线与垂直线的概念在几何学中有着广泛的应用。
以下是一些实际生活中应用平行线与垂直线的例子：3.1 建筑设计在建筑设计中，平行线与垂直线的运用是非常常见的。
建筑师需要借助这些线条来确保建筑物的结构稳定，墙壁平整，窗户垂直等等。
3.2 道路规划道路规划中也需要考虑平行线和垂直线的概念。
为了确保道路交叉口的安全，交通规划师需要设计出平行线和垂直线相交的形状，如十字路口等。
3.3 绘画与设计绘画和设计中平行线和垂直线的运用可以帮助艺术家们营造出整洁美观的视觉效果。
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定高一数学教材配套教学课件(人教A版必修二)
【解题指南】(1)显然斜率存在，根据kPQ=kMN，求m 的值. (2)斜率存在的直线求出斜率，利用l1∥l2⇔k1=k2进行 判断(注意两直线重合的情况).两直线斜率都不存在的， 可通过观察并结合图形得出结论.
【解析】(1)当m=-2时，直线PQ的斜率不存在，而直线
MN的斜率存在，MN与PQ不平行，不合题意；
(2)根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平 行： ①l1经过点A(2，1)，B(-3，5)，l2经过点C(3，-3)， D(8，-7)； ②l1的倾斜角为60°，l2经过点M(1， 3 )，N(-2， -2 3 )；
③l1平行于y轴，l2经过点P(0，-2)，Q(0，5)； ④l1经过点E(0，1)，F(-2，-1)，l2经过点G(3，4)， H(2，3).
综上，m的值为0或1.
答案：0或1
(2)①由题意知，k1
5 1 3 2
4 5
，k
2
7 3 83
4， 5
因为k1=k2，且A，B，C，D四点不共线，所以l1∥l2.
②由题意知，k1=tan 60°= 3，k2= 2 3 3 3，
2 1
因为k1=k2，所以l1∥l2或l1与l2重合.
③由题意知，l1的斜率不存在，且不是y轴，l2的斜率
3.设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，若k1=k2，则直线 l1，l2一定平行吗？ 提示：若k1=k2，则l1∥l2.
结论：两直线平行的等价条件
如果两条直线的斜率存在，设这两条直线的斜率分别 为k1，k2.若两条直线平行，则它们的斜率_相__等__；反 之，若两条直线的斜率相等，则它们_平__行__，即l1∥l2 ⇔_k_1=_k_2_.
4 1 3 m
两条直线平行和垂直的判定ppt课件
所以 l1∥l2.
－1－1
3－4
(4)由题意知，k1＝
＝1，k2＝
＝1，所以 l1 与 l2 重合或平行，
－2－0
2－3
4－（－1）
因为 kFG ＝
＝1，所以 E，F，G，H 四点共线．
3－（－2）
所以 l1 与 l2 重合．
√
3
0，－
1
2
C．l1 的倾斜角为 30°，l2 过点 P(3， 3)，Q(4，2 3)
D．l1 过点 M(1，0)，N(4，－5)，l2 过点 P(－6，0)，Q(－1，3)
√
两条直线垂直
3.已知A（5，-1），B（1，1），C（2，3）三点，试判
断△ABC的形状.
分析
结合图形可猜想AB⊥BC，△ABC为直角三角形.
l1//l2 ⇔ k1=k2.
注：若没有特别说明，
说“两条直线l1，l2”时，
显然，当α1=α2=90o时，直线l1与直线l2的斜率不存在，此时l1∥l2． 指两条不重合的直线.
两条直线平行
两条直线平行的判定
类型
斜率存在
斜率不存在
前提条件
α1＝α2≠90°
α1＝α2＝90°
对应关系
l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在
图示
用斜率证Байду номын сангаас三点共线时，常常用到这个结论。
两条直线平行
例 1 根据下列给定的条件，判断直线 l1 与直线 l2 是否平行．
(1)l1 经过点 A(2，1)，B(－3，5)，l2 经过 C(3，－3)，D(8，－7)；
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1.如图，判断哪一个是倾斜角？ 2.斜率是如何定义的？
设直线的倾斜角为 有
1
，则
0
tan（ 90 ） k 0 不存在（ 90 ）
已知倾斜角
3.斜率的求法？
y2 y1 y1 y2 已知直线上的两点k x x x x (x1 x2) 2 1 1 2
2 2 42 设D(x，y)，则kAB＝ ＝1，kBC＝ ＝－ ， 3 03 y4 y 3 1
x 10 ，解得 ， y 6
即D(10，－6)．
7．直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(－1,1)且 与y轴交于点P，则P点坐标为( )． A．(3,0) B．(－3,0) C．(0，－3) D．(0,3) 解析 设P(0，y)，∴k2＝y－1， ∵l1∥l2，∴y－1＝2，∴y＝3，故选D. 答案 D
学.科.网
思考3：反之，当 时，
k1k 2 1
2 =90 +1
1 tan 2 tan 1
o
k1k2 1
1 k2 k1 o tan 90 +1
l1与l2 垂直吗？
2 1 90 l1 l2 即k1k2 -1 l1 l2
创新49页
知识探究（二）:两条直线垂直的判定
y
y
y
l2
l1 2
O
l2 1
x
l1
l1 1
x
O
l2 2
x
1
O
2
甲
乙
丙
2 =90 +1
1 90 ) 思考2：利用公式 tan( ，你能得出 tan
图①所示的两条垂直直线斜率的关系吗？
学科网
l1 l2 k1k2 1
4 (1) ∴k2＝ ＝1. 3 (2)
∴k1＝k2，∴l1与l2平行或重合． 答案 平行或重合
5．直线l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根， 则l1与l2的位置关系是________．
解析 ∵l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根， 不妨设斜率分别为k1，k2，则k1·k2＝－1，∴l1⊥l2. 答案 垂直
用这个结论的时候有什么注意 事项？
例题讲解
例3. 已知A(2,3), B(-4,0), P(-3,1), Q(-1,2), 试判断直线AB与PQ的位置关系， 并证明你的结论．
分析：直线 BA , P Q 的斜率
30 1 k BA 2 (4) 2
2 1 1 k PQ 1 (3) 2
误区警示
忽略对字母参数的分类讨论致误
【示例】 已知直线 m1 经过点 A(3，a)，B(a－2,3)，直线 m2 经 过点 M(3，a)，N(6,5)，若 m1⊥m2，求 a 的值． 3－a a－5 3－a a－5 [错解] m1⊥m2⇔k1· k2＝－1，k1＝ ，k ＝ ，即 · a－5 2 －3 a－5 －3 ＝－1，所以 a＝0.
练习
（3）如图，直线l1的倾斜角α1=300，
直线l1⊥l2，求l1、l2的斜率.
α1
y
α2
x
应用一：求范围
例题3
已知M（2,2）、N（-8,3），点P在线段MN 上移动，求直线OP的斜率的范围。
y
N(-8,3)
2 -2 O
M(2,2)
2
x
例 2：已知实数 x, y 满足 2 x y 8 ，当
8．若点P(a，b)与Q(b－1，a＋1)关于直线l对称， 则l的倾斜角为( )． A．135° B．45° C．30° D．60°
解析
a 1 b 由题意知，PQ⊥l，∵kPQ＝ ＝－1， b 1 a
∴kl＝1，即tan α＝1，∴α＝45°. 答案 B
11．(创新拓展)已知在▱ABCD中，A(1,2)，B(5,0)， C(3,4)． (1)求点D的坐标；
k BC 1 2
．
k CD
3 3 k DA 2 2
1 2
因为 k AB kCD k BC k DA
所以 AB // CD BC // DA 所以,四边形 ABCD 是平行四边形.
法二： 利用向量判断！
AB (2,1)
DC (2,1)
即有 所以
AB DC
// DC AB
y 2 x 3 时，求 x 的最大值与最小值？
链接
应用二：判定三点共线
已知三点A(－1，4)、B(2，1)、 C(－2，5)，判断这三点是否共线？ 解： k AB
1 4 1, 2 ( 1)
k AC
54 1 2 ( 1)
故A ， B ， C 三点共线. 变式：若三点A(1，2) ， B(3，m) ， C(7，m+2)共线，则m＝________.
∴D(－1,6)．
60 42 (2)∵kAC＝ ＝1，kBD＝ ＝－1， 1 5 3 1
∴kAC·kBD＝－1， ∴AC⊥BD.∴▱ABCD为菱形．
小结
l1 // l2 k1 k2且b1 b2或l1 , l2斜率都不存在且不重合
l1 l2 k1 k2 1或l1 , l2一斜率不存在另一斜率 为0
由k1·k2＝－1，得 · 解得a＝－6. 综上可知，a的值为5或－6.
3 a a 23
a 23 ＝－1， 1 2
3．若直线l经过点(a－2，－1)和(－a－2,1)，且与 2 经过点(－2,1)，斜率为－ 的直线垂直，则实数a 3 的值是( )． 2 3 2 3 A．－ B．－ C. D. 3 2 3 2 2 解析 由于直线l与经过点(－2,1)且斜率为－ 的 3 直线垂直，可知a－2≠－a－2.
即 kBA kPQ （BA与PQ平行或者重合）
3 1 2 k AP 2 (3) 5
k BA（A、B、P、Q四点不共线）
即有 AB // PQ
例4．已知四边形 ABCD 的四个顶点分别为
A(0,0) ， B(2,1) ， D(2,3) ， C (4,2) ，
试判断四边形 ABCD 的形状，并给出证明 法一： AB 边所在直线的斜率 k AB 同理
l1 l2 k1 k2 1或l1 , l2一斜率不存在另一斜率 为0
例3.已知
A(5,1) ，B(1,1) ， C (2,3)
1 2
三点，试判断 ABC 的形状．
解： AB 边所在直线的斜率 k AB
BC 边所在直线的斜率 k BC 2
所以 ABC 是直角三角形．
思路：先求斜率，再判定，注意斜率不存在情况。
作业：P90:8、1、2、
l1 //l2 1 = 2
反之，当1 2， l1 // l2一定成立吗？
1 2 l1 //l2
结论：l1 //l2 1 2
若两条直线l1 // l2，那么它们的斜率又有什么关系？
设两条直线l1、l2的斜率分别为k1、k2. 结论1：对于两条不重合的直线l1、l2，其 斜率分别为k1、k2，有 l1∥l2 k1＝k2.
1 (1) 1 ∵kl＝ =－ ， a 2 (a 2) a
1 2 2 ∴－ · （－ ）＝－1，∴a＝－ . a 3 3
答案 A
4．直线l1的倾斜角为45°，直线l2过A(－2，－1)， B(3,4)，则l1与l2的位置关系为________． 解析 ∵直线l1的倾斜角为45°， ∴k1＝1. 又∵直线l2过A(－2，－1)，B(3,4)，
6．(2012·威海高一检测)已知A(1,0)，B(3,2)，C(0,4)，点D 满足AB⊥CD，且AD∥BC，过求点D的坐标． 解 kCD＝ ，kAD＝ . x x 1 因为AB⊥CD，AD∥BC，所以kAB·kCD＝－1，kAD＝kBC，
y4 1 x 1 所以 y 2 3 x 1
思路：先求斜率，再判定，注意斜率不存在情况。
[正解] 由题意可知直线 m2 的斜率一定存在， 直线 m1 的斜率则 可能不存在． (1)当直线 m1 的斜率不存在时，a＝5，此时直线 m2 的斜率 k2＝ 0，所以两直线垂直． 3－a a－5 (2)当直线 m1 的斜率存在时，m1⊥m2⇔k1· k2＝－1，即 · a－5 －3 ＝－1，解得 a＝0.所以 m1⊥m2 时，a 的值为 0 或 5.
练习．已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2，－3)， 直线l2经过点C(2，3)，D(－1，a－2)，如果l1⊥l2， 求a的值． 解 设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2. ∵直线l2经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，且2≠－1， ∴l2的斜率存在． 当k2＝0时，k1不存在，a－2＝3，则a＝5； 当k2≠0时，即a≠5，此时k1≠0，
k AB k BC 1
AB BC
1向量垂直；2勾股定理
ห้องสมุดไป่ตู้
B(3,6)， A(6,0) ， Q(6,6) ， P(0,3)， 试判断直线 AB 与 PQ 的位置关系．
练习.已知
分析： k AB 由于 所以
2 3
k PQ
3 2
k ABkPQ 1
AB PQ
练习:P89:1、2
练习:已知P 1 (1,2), P 2 ( x,3), P 3 (3,1)在一条
直线上, 求x的值.
解: P 1, P 2, P 3在一条直线上
kP1P2 kP2 P3
3 2 1 3 即 x 1 3 x
7 x . 3
知识探究（一）:两条直线平行的判定
思考1：在平面直角坐标系中，若两条直线l1//l2，那么它 们的倾斜角有什么关系？请同学们画图表示。