第二章 地图的数学基础4-9b1
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第二章 地图的数学基础
地图与测量
电 子 教 案
第 2 章 地图的数学基础
§1 地球的形状及大小 §2 坐标系与大地控制点
§3 地图投影
§4 地图比例尺 §5 地图分幅与编号
§2.1地球的形状及大小 2.1.1 地球体
浩瀚宇 宙中 : 地球是 一个表 面光滑、 蓝色美 丽的正 球体。
事实是：
地球不是一个正球体，而是一个极半径略短、 赤道半径略长，北极略突出、南极略扁平，近于 梨形的椭球体。
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1:5千-1：50万地形图的行、列划分和编号
×××D006011 ×××C002003 ×××E018016
001 001 002 003 001 004 002 005 006 007 001 002 003 004 005 006 007 008 009 010 011 012 013 014 015 016 017 018 019 020 021 022 023 024 001 001 001
电 子 教 案
第 2 章 地图的数学基础
§1 地球的形状及大小 §2 坐标系与大地控制点
§3 地图投影
§4 地图比例尺 §5 地图分幅与编号
§2.1地球的形状及大小 2.1.1 地球体
浩瀚宇 宙中 : 地球是 一个表 面光滑、 蓝色美 丽的正 球体。
事实是：
地球不是一个正球体，而是一个极半径略短、 赤道半径略长，北极略突出、南极略扁平，近于 梨形的椭球体。
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1:5千-1：50万地形图的行、列划分和编号
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001 001 002 003 001 004 002 005 006 007 001 002 003 004 005 006 007 008 009 010 011 012 013 014 015 016 017 018 019 020 021 022 023 024 001 001 001
地图学 第2章地图的数学基础汇总
二、墨卡托投影
墨卡托投影中，面积变形最大，在纬度60度地区，经纬线
比都扩大了2倍，面积比P=m*n=2*2=4，扩大了4倍，愈
接近两极，经纬线扩大的越多，在φ=80度时，经纬线都 扩大了近6倍，面积比扩大了33倍，所以墨卡托投影在80
度以上高纬通常不绘。
该投影被广泛应用于航海和航空方面，因为等角航线（或 称斜航线），在此投影中表现为直线，等角航线是地球表 面上与经线相交的相同角度的曲线，或者说地球上两点间 的一条等方位线，船只要按等角航线航行，不用改变方位 角就能从起点到达终点。
三、横轴方位投影
平面与球面相切，其切点位于赤道上的任意点。特点：通 过投影中心的中央经线和赤道投影为直线，其他经纬线都 是对称于中央经线和赤道的曲线。
三、横轴方位投影
横轴等距方位投影：中央经线上
从中心向南北，纬线间隔相等； 赤道上，自投影中心向东西， 经线间隔逐渐扩大。
横轴等积方位投影：中央经线上
切圆锥投影，视点在球心，纬线投影到圆锥面上是互相平行的 圆，经线投影为相交于圆锥顶点的一束直线，将圆锥沿一条母 线剪开展为平面，则呈扇形，顶角小于360度，纬线不再是圆， 而是以圆锥顶点为圆心的同心圆弧，经线为由顶点向外放射的 直线束，经线间的夹角与相应经差成正比但比经差小。 圆锥面与球面相切的一条纬线投影后是不变形的线，叫标准纬 线，通常位于制图区域中间。切线向南北，变形渐增。
等变形线都是以投影中心为圆 心的同心圆。 包括等角、等积、 等距三种变形性质，主要用于 制作两极地区图。
1.正轴等角方位投影
投影条件：视点位于球面上，投影面切于极点。 纬线投影为以极点为圆心的同心圆，纬线方向上的长度比大于 1。赤道上的长度变形比原来扩大1倍。 经线投影为以极点为圆心的放射性直线束，经线夹角等于相应 的经差，沿经线方向上的长度比大于1，赤道上各点沿经线方 向上的长度变形比原来扩大1倍。
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对地球形状 a，b，f 测定后，还必须确定大地水准面与椭球 体面的相对关系。即确定与局部地区大地水准面符合最好的一个 地球椭球体 —— 参考椭球体，这项工作就是参考椭球体定位。
通过数学方法将地球 椭球体摆到与大地水准面 最贴近的位置上，并求出 两者各点间的偏差，从数 学上给出对地球形状的三 级逼近。
新编地图学教程 第2章 地图的数学基础
2.2 中国的大地坐标系统
1.中国的大地坐标系 1980年以前：参见电子教案本章第十三页； 1980年选用1975年国际大地测量协会推荐的参考 椭球： ICA-75椭球参数 a = 6 378 140m b = 6 356 755m f = 1/298.257
陕西省泾阳县永乐镇 北洪流村为 “1980 西安坐标系” 大地 坐标的起算点——大 地原点。
新编地图学教程 第2章 地图的数学基础
§2 地球坐标系与大地定位
地球表面上的定位问题，是与人类的生产活动、科学 研究及军事国防等密切相关的重大问题。具体而言，就 是球面坐标系统的建立。
2.1 地理坐标
—— 用经纬度表示地面点位的球面坐标。
① 天文经纬度 ② 大地经纬度 ③ 地心经纬度
新编地图学教程 第2章 地图的数学基础
2.1 地理坐标 ① 天文经纬度：表示地面点在大地水准面上的位
置，用天文经度和天文纬度表示。
天文经度：观测点天顶子午面与格林尼治天顶 子午面间的两面角。
在地球上定义为本初子午面与观测点之间 的两面角。 天文纬度： 在地球上定义为铅垂线与赤道平面 间的夹角。
椭球体 三要素: 长轴 a（赤道半径）、短轴 b（极半径）和椭球的扁率 f
WGS [world geodetic system] 84 ellipsoid:
地图学课件第二章地图的数学基础
等距离投影是指投影前后，地图上的线段 长度保持不变的投影方式。
等方位投影
任意投影
等方位投影是指投影前后，地图上的方向 保持不变的投影方式。
任意投影是指根据实际需要，选择不同的 投影方式进行投影的过程，可以满足各种 不同的需求和应用场景。
02
常用地图投影
方位投影
总结词
方位投影是一种将地球表面投影到平 面上的方法，其特点是投影后各方向 保持相对方位不变。
多面投影
总结词
多面投影是一种将地球表面分割成多个部分，然后将每个部分分别投影到平面上 的方法。这种投影的特点是能够较好地保留地理特征的形状和面积。
详细描述
多面投影常用于制作大比例尺地图，尤其适用于制作特定地区的地图，如国家或 地区地图。由于多面投影可以针对特定区域进行优化，因此它能够更好地保留地 理特征的形状和面积，但制作过程相对复杂。
数字地图的坐标系
地理坐标系
以经纬度为基准，用于表示地球表面任意点的位置。
投影坐标系
将地球表面投影到平面上，形成二维坐标系，用于地图制作和地理信息系统。
数字地图的精度与比例尺
精度
地图上地理要素的详细程度和准确度， 与地图的制作技术和测量技术有关。
VS
比例尺
地图上的长度与实际地物长度之间的比例 关系，用于表示地图的缩放程度。
详细描述
方位投影通常用于制作小比例尺地图 ，因为它能够保持地理特征的相对方 向和距离。然而，方位投影在投影过 程中可能会产生较大的面积变形。
圆柱投影
总结词
圆柱投影是将地球表面投影到圆柱体表面，然后将圆柱体展 开成平面。这种投影的特点是投影后经度线保持等距离，而 纬度线则逐渐缩短。
详细描述
圆柱投影广泛应用于世界地图的制作，因为它在保持经度线 等距的同时，相对较好地保留了纬度方向的形状和面积。然 而，在靠近极点的区域，纬度线会变得非常密集，导致地图 扭曲。
地图的数学基础
第二章：地图的数学基础§2-1 地球体1.1 地图的自然表面极不规则凸凹不平极其复杂难于描述地球的大小和形状球的形状近似于一个两级略扁平,赤道略鼓,北极略长,南极略短的象倒放的梨。
称“梨状体”（图 6）.1．2地球的物理表面设想当海水完全处于静止状态时,将这个静止的海水面延伸到大陆内部,包围整个地球,形成一个封闭的曲面,这个静止的海水面,称之为水准面，通过平均海水面的一个称之为大地水准面，由它所包围的球体成之为大地球体。
大地水准面的意义1.大地体是地球形状的很好近似,表达了自然表面的基本形状,大地体多出的陆地质量基本上就是陆地下缺少的质量2.大地体表面的波动对大地测量和地球物理学具研究价值.但对制图无影响3.大地水准面是等势面,可测得海拔高程.1.3地球的数学表面地球体是一个有起伏的复杂曲面,不规则，无法建立数学模型。
数学表面：椭圆绕其短轴旋转而成的椭球体,称之为地球椭球体.a=6378140mb=6356755me=1:289.257§2-2 地球坐标系与大地定位2.1地理坐标用经纬度表示点位的球面坐标在大地测量中的三种提法:1)天文经纬度，其纬度为铅垂线与赤道面的夹角2)大地经纬度，其纬度为参考椭球面上某点的法线与赤道面的夹角。
3)地心经纬度，其纬度是指参考图球面上任一点和椭球中心连线与赤道面之间的夹角。
天文、大地、地心经纬度的关系用经纬度表示点位的球面坐标：2.2球心坐标系：以椭球体球心O为坐标原点，用三维立体坐标X、Y、Z表示空间点位置。
2.3 我国的大地坐标系统历史上，一个国家或地区，可能采用过不同的坐标系；在使用其成果时，对坐标系的状况必须注意。
我国沿用了两个大地坐标系；即:(1) 1954年北京坐标系;我国于1954年以前苏联采用的克拉索夫斯基椭球元素(其坐标原点为苏联西部的普尔科夫42年定位)作为参考椭球体，以北京为原点，联测、平差后引伸到全国，这个过渡性的大地坐标系，称1954年北京坐标系。
02_地图数学基础
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三、地图投影的变形
（五）面积比与面积变形
（2）面积变形
就是(dF’-dF)与dF之比，以VP表示面积变形， dF dF dF 则： VP 1 P 1 dF dF 面积变形表明了面积变形的程度，是衡量面积 变形的一个相对指标。它是一个>0,＝0,<0的 数，通常用百分比表示，如VP=-2%，即表示
(1)
等角投影 等积投影
地 图 投 影
(2)
(3) 任意投影
43
四、地图投影的分类
（3）任意投影（Aphylactic Projection）
概念：它是一种既不等角也不等积，长度、角 度和面积三种变形并存但变形都不大的投影类 型。
特点：角度变形：＜等积投影； 面积变形：＜等角投影； 是一种变形较为适中的投影。
研究各种投影的变形规律是通过把投影后的经纬线网与地 球仪上经纬线网格比较而实现的。地球仪是地球的真实缩 小。通过比较就会发现地球仪上的经纬网形状与投影后经 纬网的形状是不相同的。为了研究变形，首先让我们分析 一下地球仪上经纬网的特点： 1.所有经线都是通过两极的大圆且长度相等；所有纬 线都是圆，圆半径由赤道向两极递减，极地成为一点。 2.经线表示南北方向；纬线表示东西方向。 3.经线和纬线是相互垂直的。 4.纬差相等的经线弧长相等；同一条纬线上经差相等 的纬线弧长相等，在不同的纬线上，经差相等的纬线弧长 不等，由赤道向两极递减。 5.同一纬度带内，经差相同的经纬线网格面积相等， 同一经度带内，纬差相同的经纬线网格面积不等，纬度越 高，梯形面积越小（由低纬向高纬逐渐缩小）。
试验：
投影变形示意图
20
变形椭圆
21
三、地图投影的变形
（三）长度比和长度变形
三、地图投影的变形
（五）面积比与面积变形
（2）面积变形
就是(dF’-dF)与dF之比，以VP表示面积变形， dF dF dF 则： VP 1 P 1 dF dF 面积变形表明了面积变形的程度，是衡量面积 变形的一个相对指标。它是一个>0,＝0,<0的 数，通常用百分比表示，如VP=-2%，即表示
(1)
等角投影 等积投影
地 图 投 影
(2)
(3) 任意投影
43
四、地图投影的分类
（3）任意投影（Aphylactic Projection）
概念：它是一种既不等角也不等积，长度、角 度和面积三种变形并存但变形都不大的投影类 型。
特点：角度变形：＜等积投影； 面积变形：＜等角投影； 是一种变形较为适中的投影。
研究各种投影的变形规律是通过把投影后的经纬线网与地 球仪上经纬线网格比较而实现的。地球仪是地球的真实缩 小。通过比较就会发现地球仪上的经纬网形状与投影后经 纬网的形状是不相同的。为了研究变形，首先让我们分析 一下地球仪上经纬网的特点： 1.所有经线都是通过两极的大圆且长度相等；所有纬 线都是圆，圆半径由赤道向两极递减，极地成为一点。 2.经线表示南北方向；纬线表示东西方向。 3.经线和纬线是相互垂直的。 4.纬差相等的经线弧长相等；同一条纬线上经差相等 的纬线弧长相等，在不同的纬线上，经差相等的纬线弧长 不等，由赤道向两极递减。 5.同一纬度带内，经差相同的经纬线网格面积相等， 同一经度带内，纬差相同的经纬线网格面积不等，纬度越 高，梯形面积越小（由低纬向高纬逐渐缩小）。
试验：
投影变形示意图
20
变形椭圆
21
三、地图投影的变形
（三）长度比和长度变形
地图学第二章地图的数学基础
பைடு நூலகம்
2、按投影面与地球关系: 切投影—Gauss-Kruger 割投影—UTM 3、按投影变形性质分：（图3-7） a.等角投影（投影后经线长度比，纬线长度比同等变形） 适用于航海、洋流和风向图等 b.等积投影：P=1=ab, a=1/b或b=1/a 适用于面积精度要求较高的自然和经济图 c.任意投影：（即有长度，面积，角度变形） 等距离投影是任意投影的一个特例 八、地图投影判别与选择 1、地图用途 航海、天气、军事等，要求方位准确—等角投影 面积量算（经济类地图）--等积投影 地理挂图（相似于实地）--面积变形小，角度变形小
（2）我国曾经或正在采用的椭球体
第一节 地球的形状与大小
第一节 地球的形状与大小
Natural surfaces
Physical surfaces Mathematical surfaces 三级逼近： （椭球体定位操作） 将地球椭球体与一个局部大地水准 面最优拟合状态下的椭球体，叫做 参考椭球体. 椭球体及其定位 按一定的条件将具有确定元素的 地球椭球同大地体的相关位臵固定 下来，从而获得大地测量计算基础 面和大地起算数据。 椭球体定位的条件: 椭球短轴与地轴相平行 椭球面与大地水准面充分接近
第二节 地球坐标与大地定位
一、地理坐标
大地纬度、大地经度、东 经、西经、南纬、北纬 （具体看图）、本初子午 线（首子午线L, prime meridian） A
经纬度λ，β
L
二、我国的大地坐标系 本初子午线 1.大地坐标系发展 1）1954北京坐标系：简称54坐标系。该坐标系是1942年苏联普尔科沃 坐标系（Pulkovo 1942）的延伸，它的真正坐标原点不是北京而是苏联 普尔科沃，相应的参考椭球体为克拉索夫斯基椭球体。
2、按投影面与地球关系: 切投影—Gauss-Kruger 割投影—UTM 3、按投影变形性质分：（图3-7） a.等角投影（投影后经线长度比，纬线长度比同等变形） 适用于航海、洋流和风向图等 b.等积投影：P=1=ab, a=1/b或b=1/a 适用于面积精度要求较高的自然和经济图 c.任意投影：（即有长度，面积，角度变形） 等距离投影是任意投影的一个特例 八、地图投影判别与选择 1、地图用途 航海、天气、军事等，要求方位准确—等角投影 面积量算（经济类地图）--等积投影 地理挂图（相似于实地）--面积变形小，角度变形小
（2）我国曾经或正在采用的椭球体
第一节 地球的形状与大小
第一节 地球的形状与大小
Natural surfaces
Physical surfaces Mathematical surfaces 三级逼近： （椭球体定位操作） 将地球椭球体与一个局部大地水准 面最优拟合状态下的椭球体，叫做 参考椭球体. 椭球体及其定位 按一定的条件将具有确定元素的 地球椭球同大地体的相关位臵固定 下来，从而获得大地测量计算基础 面和大地起算数据。 椭球体定位的条件: 椭球短轴与地轴相平行 椭球面与大地水准面充分接近
第二节 地球坐标与大地定位
一、地理坐标
大地纬度、大地经度、东 经、西经、南纬、北纬 （具体看图）、本初子午 线（首子午线L, prime meridian） A
经纬度λ，β
L
二、我国的大地坐标系 本初子午线 1.大地坐标系发展 1）1954北京坐标系：简称54坐标系。该坐标系是1942年苏联普尔科沃 坐标系（Pulkovo 1942）的延伸，它的真正坐标原点不是北京而是苏联 普尔科沃，相应的参考椭球体为克拉索夫斯基椭球体。
第2章 地图的数学基础
面积比与面积变形
• 面积比P就是投影面上的微分面积与球面上相应的微分 面积之比，即投影面上的变形椭圆的面积与球面上微分 圆的面积之比。 • P=a·b P=a·b=m·n P=m·n·sinθ • 面积比也是一个变量，在地图上会因点的位置不同而不 同。 • 面积变形（Vp）指面积比与1的差值，Vp = P－1 • 面积比同长度比一样，也是一个只有大于1或小于1（个 别地方等于1）而没有负值的相对数量，而面积变形则 有正有负。 • 面积比大于1，面积变形为正，表示投影后面积增大； 面积比小于1，面积变形为负，表示投影后面积缩小； 面积比等于1，面积变形为零，表示投影后面积不变。
2.2我国的大地坐标系统
大 地 控 制 网 平面控制网(由三角测量或导线测量完成 )
大地原点 大地坐标系 三角点△、导线点□ 地理坐标 1980中国国家大地坐标系 平面位置
高程控制网(由水准测量或三角高程测量完成)
高 绝对高程 水准原点 水准点 程 相对高程 高程系 1985年国家高程基准 值
高程位置 地面点位
• 地理坐标，就是用经纬度表示地面 点位置的球面坐标。 1.天文经纬度
2.大地经纬度 3.地心经纬度
大地体
地球椭球体 地球椭球体
天文经纬度：
天文经度
天文测量法
天文纬度（铅垂线与赤道面 的夹角）
大地体
测有天文经纬度坐标的地面点， 称为天文点，它是一种地面控制 点。如大地坐标原点。符号为☆
大地水准面 铅 垂 线
§4 地图投影的应用
制图区 域范围
地图比例尺 教学内容 投影方法
1：100万
中 小
等角圆锥投影
4.1 地形图投影
大中比例尺
高斯—克吕格投影
地图学第二章地图的数学基础
新编地图学教程 第2章 地图的数学基础
ρ = f(ϕ) δ = c·λ
3.5 地图投影分类
1. 按地图投影的构成方法分类 （1）几何投影 将椭球面上的经纬线网投影到几 ）几何投影: 何面上，然后将几何面展为平面。
方位投影: 以平面作投影面，使平面与球面相切或相 割，将球面上的经纬线投影到平面上而成。 圆柱投影: 以圆柱面作投影面，使圆柱面与球面相切 或相割，将球面上的经纬线投影到圆柱面上，然后将圆 柱面展为平面而成。 圆锥投影: 以圆锥面作投影面，使圆锥面与球面相切 或相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后将圆 锥面展为平面而成。
新编地图学教程 第2章 地图的数学基础
2.3 全球定位系统 - GPS
授时与测距导航系统/全球定位系统 (Navigation Satellite Timing and Ranging/Global Positioning System--GPS)：是以人造 卫星为基础的无线电导航系统，可提供高精度、全天候、实时 动态定位、定时及导航服务。
新编地图学教程 第2章 地图的数学基础
3.投影变形的性质和大小
长度比和长度变形： 长度比 长度变形： 投影面上一微小线段（变 形椭圆半径）和球面上相应微小线段（球面上微小 圆半径，已按规定的比例缩小）之比。
µ表示长度比 长度比，Vµ表示长度变形 长度比 长度变形
ds ' µ= ds
Vµ = µ − 1
把地图上和地球仪上的经纬线网进行比 较，可以发现变形表现在长度、面积和角度 三个方面。
2.变形椭圆
取地面上一个微分圆（小到可忽略地球曲面的 影响，把它当作平面看待），它投影到平面上通常 会变为椭圆，通过对这个椭圆的研究，分析地图投 影的变形状况。这种图解方法就叫变形椭圆。 影的变形状况。这种图解方法就叫变形椭圆。
ρ = f(ϕ) δ = c·λ
3.5 地图投影分类
1. 按地图投影的构成方法分类 （1）几何投影 将椭球面上的经纬线网投影到几 ）几何投影: 何面上，然后将几何面展为平面。
方位投影: 以平面作投影面，使平面与球面相切或相 割，将球面上的经纬线投影到平面上而成。 圆柱投影: 以圆柱面作投影面，使圆柱面与球面相切 或相割，将球面上的经纬线投影到圆柱面上，然后将圆 柱面展为平面而成。 圆锥投影: 以圆锥面作投影面，使圆锥面与球面相切 或相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后将圆 锥面展为平面而成。
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2.3 全球定位系统 - GPS
授时与测距导航系统/全球定位系统 (Navigation Satellite Timing and Ranging/Global Positioning System--GPS)：是以人造 卫星为基础的无线电导航系统，可提供高精度、全天候、实时 动态定位、定时及导航服务。
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3.投影变形的性质和大小
长度比和长度变形： 长度比 长度变形： 投影面上一微小线段（变 形椭圆半径）和球面上相应微小线段（球面上微小 圆半径，已按规定的比例缩小）之比。
µ表示长度比 长度比，Vµ表示长度变形 长度比 长度变形
ds ' µ= ds
Vµ = µ − 1
把地图上和地球仪上的经纬线网进行比 较，可以发现变形表现在长度、面积和角度 三个方面。
2.变形椭圆
取地面上一个微分圆（小到可忽略地球曲面的 影响，把它当作平面看待），它投影到平面上通常 会变为椭圆，通过对这个椭圆的研究，分析地图投 影的变形状况。这种图解方法就叫变形椭圆。 影的变形状况。这种图解方法就叫变形椭圆。
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4、多圆锥投影
特征（1）纬线投影为同轴圆弧，其圆心都在中央经线 的延长线上。 （2）中央经线为直线，其余经线投影为对称于中 央经线的曲线
第5节
方位投影
一、 方位投影的概念和种类
方位投影是以平面作为投影面，使平面与地球
表面相切或相割，将球面上的经纬线投影到平面上 所得到的图形。
二、正轴方位投影
①定义:既不等角也不等 积的投影。其中，等距投 影是在特定方向上没有长 度变形的任意投影。 ②投影条件：
a=1或b=1或m=1 ③变形椭圆 见右图 ④投影特点：面积变形、 角度变形都不大（面积变 形小于等角投影，角度变 形小于等积投影）。 ⑤用途：用于教学地图、 交通地图。
等角投影 等积投影
等距投影
1、伪方位投影
特征: (1）纬线为同心圆; （2）除中央经线为直线外，其余均投影为对称中 央经线的曲线。
2、伪圆柱投影 特征：（1）经线为任意曲线，纬线为平行直线。 （2）无等角投影，只有等积投影和任意投影。因 为，经线和纬线不正交。 （3）除中央经线为直线外，其余均投影为对称中 央经线的曲线 用途：主要应用于编制沿纬线分布的某些世界自然 地图。
开展成平面，就得到圆柱投影。
当圆柱面和地球体相切时，称为切圆柱投影，和 地球体相割时称为割圆柱投影。 由于圆柱和地球体相切相割的位置不同，圆柱投 影又分为正轴、横轴和斜轴圆柱投影三种。
正轴圆柱投影——圆柱的轴和地球的地轴一致； 横轴圆柱投影——圆柱的轴和地轴垂直并通过地心；
斜轴圆柱投影——圆柱的轴通过地心，和地轴不垂直 不重合。
（墨卡托Mercator投影）
一、按变形性质分类
根据变形特征可分为：等角投影、等积投影和 任意投影三种。
（一）等角投影（正形投影）
①定义:投影以后角度没有变形
的投影。 ②投影条件： w=0或a=b，m=n ③变形椭圆 见右图
④投影特点：面积变形大。等角
投影在同一点任何方向的长度比 都相等，但在不同地点长度比是 不同的。 ⑤用途：多用于编制航海图、洋 流图、风向图等地图。
投影中心为极点，纬线 为同心圆，经线为同心圆 的半径，两条经线间的夹 角与实地相等。 等变形线都是以投影中 心为圆心的同心圆。 包括 等角、等积、等距三种变 形性质
主要用于制作两极地区 图。
（一）等角正轴方位投影
①投影条件：投影面---平面 w=0 Ψ0=90º ②经纬线形式：纬线是以极点为圆心的同心圆，经线 是同心圆的半径。在中央经线上纬线间隔自投影中 心向外逐渐增大。经线夹角等于相应的经差. ③变形分布规律： ⅰ 投影中心无变形，离开投影中心愈远面积、长度变 形增大。
③变形分布规律：
ⅰ投影中心无变形，离开投影中心愈远角度、长度
变形增大,角度等变形呈同心圆。。 ⅱ没有面积变形，但角度变形较大。
（三）等距斜轴方位投影
等距方位投影属于任意投影，它既不等积也不 等角。 ①投影条件：投影面---平面 μ1= 1 0º< Ψ 0
< 90º
②经纬线形式：中央经线为直线，其它经纬线 均是曲线。
三、横轴方位投影
平面与球面相切，其切点位于赤道上。
特点：通过投影中心的中央经线和赤道为直线，其
他经纬线投影后都是对称于中央经线和赤道的曲线。
（一）等角横轴方位投影（Transverse Azimuthal Orthomorphic Projection） 又名球面投影、
平射投影
①投影条件：投影面---平面 w=0 Ψ0=0º ②经纬线形式：中央经线为直线，其它经线是对称于 中央经线的曲线。中央纬线为直线，其它纬线是对 称于中央纬线的曲线。
①投影条件：投影面---平面 p=1 Ψ0=0º
②经纬线形式：中央经线为直线，其它经线是对称于 中央经线的曲线。中央纬线为直线，其它纬线是对称
于中央纬线的曲线。
在中央经线上纬线间隔自投影中心向外逐渐减小。 在中央纬线上经线间隔自投影中心向东、向西方向逐 渐减小。
③变形分布规律： ⅰ投影中心无变形，离开投影中心愈远角度、长度变
3. 投影特点：
①在墨卡托投影中，面积变形最大。
在纬度60度地区，经线和纬线比都扩大了2倍，面 积比P=m*n=2*2=4，扩大了4倍，愈接近两极，经纬 线扩大的越多，在φ=80度时，经纬线都扩大了近6
倍，面积比扩大了33倍，所以墨卡托投影在80度以
（二）等积投影
①定义:投影以后面积没有 变形的投影。 ②投影条件： Vp=p―１＝０ p=1 或a=1/b或b=1/a ③变形椭圆 见右图 ④投影特点：角度变形大。 这类投影可以保持面积没 有变形，故有利于在图上 进行面积对比。 ⑤用途：一般用于绘制对 面积精度要求较高的自然 地图和经济地图。
（三）任意投影
在中央经线上纬线间隔自投影中心向外逐渐增
大。在中央纬线上经线间隔自投影中心向东、向西 方向逐渐增大。
③变形分布规律：
ⅰ投影中心无变形，离开投影中心愈远面积、长度
变形增大，，面积等变形线呈同心圆。 ⅱ没有角度变形，但面积变形较大。
（二） 等积横轴方位投影（Lambert，s Azimuthal Equivalent Projection）
（二）等积斜轴方位投影（Oblique Equalarea Projection ）
①投影条件：投影面--平面 p=1 0º< Ψ0 < 90º
②经纬线形式：中央经线为直线，其它经纬线均 是曲线；其余经线为凹向对称于中央经线的曲线； 纬线为凹向极地的曲线。 在中央经线上纬线间隔自投影中心向外逐渐减 小。
ⅱ 没有角度变形，但面积变形较大。
ⅲ 面积等变形线为以投影中心为圆心的同心圆。
（二）等积正轴方位投影
①投影条件：投影面---平面 p=1 Ψ0=90º ②经纬线形式：纬线是以极点为圆心的同心圆，经线 是同心圆的半径。在中央经线上纬线间隔自投影中心 向外逐渐减小。
③变形分布规律：
ⅰ投影中心无变形，离开投影中心愈远角度、长度变 形增大。 ⅱ没有面积变形，但角度变形较大。 ⅲ角度等变形线为以投影中心为圆心的同心圆。
（三）等距正轴方位投影（Postel’s
Projection）
①投影条件：投影面---平面 μ1= 1 Ψ0=90º ②经纬线形式：纬线是以极点为圆心的同心圆，经线是 同心圆的半径。在中央经线上纬线间隔自投影中心向外 不变即相等。 ③变形分布规律： ⅰ 投影中心无变形，离开投影中心愈远角度、面积变形 增大。 ⅱ 角度、面积等变形线为以投影中心为圆心的同心圆。 ⅲ 面积变形、角度变形都不大。
正轴投影，其纬线为以投影中 心为圆心的同心圆，经线为交
于投影中心的放射状直线，夹
角相等。
横轴投影，赤道与中央经线为 垂直的直线，其他经纬线为曲 线。
斜轴投影，除中央经线为直线 外，其余的经纬线均为曲线。
②然后根据中央经线上经纬线间隔的变化，判别 变形性质。 等角方位投影，在中央经线上，纬线间隔从投影 中心向外逐渐增大； 等积方位投影，逐渐缩小； 等距方位投影，间隔相等。
2、圆柱投影 以圆柱面作为投影面，使圆柱面与球 面相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆柱面上， 然后将圆柱面展为平面而成。
3、圆锥投影
以圆锥面作为投影面，使圆锥面与球面
相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后
将圆锥面展为平面而成。
（二）非几何投影
按照经纬线性质，可将非几何投影分为伪方位 投影、伪圆柱投影、伪圆锥投影、多圆锥投影。
任意投影
通过比较可以看出： ①等积投影不能保持等角特性，等角投影不能保持等 积特性。 ②任意投影不能保持等积、等角特性。 ③等积投影的形状变化比较大，等角投影的面积变形 比较大。
二、 按构成方法分类
（一）几何投影
根据几何面的形状，可进一步分为如下几类： 方位投影，圆柱投影和圆锥投影。
1、方位投影 以平面作为投影面，使平面与球面相 切或相割，将球面上的经纬线投影到平面上而成。
（一）等角斜轴方位投影
①投影条件：投影面---平面 w=0 0º < Ψ0 < 90º
②经纬线形式：中央经线为直线，其它经纬线均是
曲线。在中央经线上纬线间隔自投影中心向外逐渐增 大。
③变形分布规律：
ⅰ投影中心无变形，离开投影中心愈远面积、长度 变形增大,面积等变形呈同心圆。 ⅱ没有角度变形，但面积变形较大。
地图投影学习要求
1. 2. 3. 4. 5. 有关地图投影的基本概念 常见地图投影的经纬网特征 常见地图投影的经纬距变化规律 常见地图投影的变形规律 判别地图投影的一般方法
第4节 地图投影的分类
按变形性质分为：等积投影、等角投影、任意投影 按承影面的形状分为：方位投影（平面投影）、圆锥
投影、圆柱投影
在上述三种投影方式中，最常用的是正轴圆柱投影，假定 视点在球心，正轴圆柱投影中，经纬线网的特点是：
1、经线投影为平行直线，平行 线间的距离和经差成正比。 2、纬线投影成为一组与经线 正交的平行直线，平行线间的距 离视投影条件而异。 3、和圆柱面相切的赤道弧长 或相割的两条纬线的弧长为正长 无变形。 圆柱投影按变形性质可分为等 角圆柱投影、等积圆柱投影和任 意圆柱投影。
在中央经线上纬线间隔相等。
③变形分布规律： ⅰ 投影中心无变形，离开投影中心愈远角度、
面积变形增大。
ⅱ 角度、面积等变形线与等高圈一致。 ⅲ 面积变形、角度变形都不大
五、几种方位投影变形性质的图形判别
①方位投影经纬线形式具有共同的特征，判 别时先看构成形式（经纬线网），判别是正轴、 横轴、斜轴方位投影。
等面积伪圆柱投影
3、伪圆锥投影 特征：（1）纬线形状类似于同心圆弧，圆心位于中央 经线上
（2）除中央经线为直线外，其余均投影为对称 中央经线的曲线。
（3）无等角投影，只有等积和任意投影。因为 经纬不正交。