指数函数及其性质(解析版)

微专题15 指数函数及其性质
【方法技巧与总结】
知识点一、指数函数的图象及性质：
x y a =
01a <<时图象 1a >时图象
图象
性质
①定义域R ，值域(0,)+∞
②01a =，即0x =时，1y =，图象都经过()0,1点 ③x a a =，即1x =时，y 等于底数a ④在定义域上是单调减函数 ④在定义域上是单调增函数 ⑤0x <时，1x a >
0x >时，01x a <<
⑤0x <时，01x a <<
0x >时，1x a >
⑥既不是奇函数，也不是偶函数
（1）当底数大小不定时，必须分“1a >”和“01a <<”两种情形讨论． （2）当01a <<时，x →+∞，0y →；当1a >时x →-∞，0y →． 当1a >时，a 的值越大，图象越靠近y 轴，递增速度越快． 当01a <<时，a 的值越小，图象越靠近y 轴，递减的速度越快． （3）指数函数x
y a =与1x
y a ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
的图象关于y 轴对称．
知识点二、指数函数底数变化与图像分布规律 （1）
①x y a =，②x y b =，③x y c =，④x y d =，则：01b a d c <<<<<
又即：,()0x ∈+∞时，x x x x b a d c <<<（底大幂大） ,0()x ∈∞－时，x x x x b a d c >>>
（2）特殊函数
2x y =，3x y =，1()2x y =，1
()3
x y =的图像：
【题型归纳目录】
题型一：指数函数的图象基本性质：定点、对称性、单调性 题型二：指数 (型) 函数的单调性应用(1): 复合函数的值域问题 题型三：指数 (型) 函数的单调性应用(2): 复合函数的单调问题 题型四：指数(型) 函数中的奇偶性及与单调性的综合 【典型例题】
题型一：指数函数的图象基本性质：定点、对称性、单调性 例1．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()2x a
f x -=的图象关于直线2x =对称，则a ＝（ ）
A ．1
B ．2
C ．0
D ．-2
【答案】B
【解析】函数2x
y =的图象关于y 轴对称，
将函数2x y =的图象向右平移2个单位长度可得函数2
2x y -=的图象，
所以函数2
2x y -=的图象关于直线2x =对称，故2a =．
故选：B
例2．（2022·福建·莆田二中高一期中）已知函数()21,2
4,2
x
x f x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若实数,,a b c 满足a b c <<，且
()()()f a f b f c ==，则22a c b c +++的取值范围为（ ）
A ．()4,8
B ．()4,16
C ．()8,32
D ．()16,32
【答案】D
【解析】作出函数()f x 的图象，如图，
当0x <时，()()21120,1x x
f x =-=-∈，
由图可知，()()()()0,1f a f b f c ==∈，即()40,1c -∈ 得34c <<，则8216c <<，
由()()f a f b =，即2121a b
-=-，得1221a b -=-，求得222a b +=，
∴()
()2
22222216,32a c
b c c a b c +++=+=⨯∈，
故选：D
例3．（2022·全国·高一课时练习）若222log x
x x >>，则x 的取值范围为（ ）
A ．()3,4
B ．()4,+∞
C ．()0,2
D ．()1,2
【答案】D
【解析】在同一平面直角坐标系中作出函数2y x =，2x y =，2log y x =的图象如下图所示，
数形结合可知：当12x <<时，222log x
x x >>，x 的取值范围为()1,2.
故选：D.
变式1．（多选题）（2022·全国·高一单元测试）已知()2102,0
x x f x x x x ⎧->=⎨--≤⎩，，则方程()
220()x
f a a R --=∈的
根个数可能是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
【答案】ABD
【解析】令()221x
t t -=≥-，在同一坐标系中作出函数()(1)y f t t =≥-和直线y a =的图象，分析
()0f t a -=的根：
①当1a >时，方程()0f t a -=有一个根1t ，且12t >，方程122x
t -=，对应2个x ，故方程
(
)
220()x
f a a R --=∈有2个根；
②当a ＝1时，方程()0f t a -=有两个根11t =-，22t =，方程122x
t -=，对应1个x ，方程222x t -=对应2个x ，故方程()
220()x
f a a R --=∈有3个根.
③当0＜a ＜1时，方程()0f t a -=有三个根110t -<<，201t <<，312t <<，方程122x
t -=，对应2个
x ，方程222x t -=对应2个x ，方程322x t -=对应2个x ，故方程()
220()x f a a R --=∈有6个根.
④当a ＝0时，方程()0f t a -=有两个根10t =，21t =，方程122x
t -=，对应2个x ，方程222x t -=对应2个x ，故方程()
220()x
f a a R --=∈有4个根.
故选：ABD.
变式2．（多选题）（2022·全国·高一期末）(多选)已知函数()x f x a b =-的图象如图所示，则（ ）
A ．a >1
B ．0<a <1
C ．b >1
D ．0<b <1
【答案】BD
【解析】观察图象得，函数()x f x a b =-是单调递减的，因此，01a <<，
图象与y 轴交点纵坐标0y 有：001y <<，而0x =时，1y b =-，于是得011b <-<，解得01b <<， 所以01a <<，01b <<.
故选：BD
变式3．（多选题）（2022·全国·高一课时练习）已知函数()21x
f x =-，实数a ，b 满足()()
f a f b =()a b <，则（ ）
A ．222a b +>
B ．a ∃，b ∈R ，使得01a b <+<
C ．222a b +=
D ．0a b +<
【答案】CD
【解析】画出函数()21x
f x =-的图象，如图所示．由图知1221a b -=-，则222a b +=，故A 错，C 对．
由基本不等式可得22222222a b a b a b +=+>⋅=21a b +<，则0a b +<，故B 错，D 对．
故选：CD ．
变式4．（2022·全国·高一单元测试）函数11x y a -=+图象过定点A ，点A 在直线()31,0mx ny m n +=>>上，则
12
1m n
+-最小值为___________. 【答案】9
2
【解析】当1x =时，012y a =+=，11x y a -∴=+过定点()1,2A ，
又点A 在直线3mx ny +=上，23∴+=m n ，即()122m n -+=， 1m >，0n >，10m ∴->，
()()()21121121212512121m n m n m n m n m n -⎛⎫⎛⎫∴
+=+-+=++≥ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭()21129
52212m n m n ⎛- +⋅= -⎝（当且仅当()2121m n
m n -=-，即53m =，23n =时取等号），
121m n ∴
+-的最小值为9
2
. 故答案为：92
.
变式5．（2022·江苏·高一专题练习）函数27x y a -=+（0a >，且
1a ≠）的图象恒过定点P ，P 在幂函数
()f x x α=的图象上，则(3)f =_______；
【答案】27
【解析】因为函数27x y a -=+（0a >，且1a ≠）的图象恒过定点P ， 所以由指数型函数性质得()2,8P ， 因为P 在幂函数()f x x α=的图象上 所以28α=，解得3α=，
所以()3
f x x =，()327f =.
故答案为：27
变式6．（2022·全国·高一课时练习）函数()1
20.58x y -=-的定义域为______．
【答案】(),3-∞- 【解析】因为()
1
2
0.580.58
x
x
y -=-=
-0.580x ->，则322x ->，
即3x ->，解得3x <-，
故函数()1
20.58x y -=-的定义域为(),3-∞-．
故答案为：(),3-∞-.
变式7．（2022·全国·高一单元测试）已知函数()2x f x a -[)2,+∞，则=a _________． 【答案】4
【解析】由题意可知，不等式20x a -≥的解集为[)2,+∞，则220a -=，解得4a =， 当4a =时，由240x -≥，可得2242x ≥=，解得2x ≥，合乎题意. 故答案为：4.
变式8．（2022·全国·高一专题练习）已知函数f (x )＝ax ＋b (a >0，a ≠1)．
(1)若f (x )的图象如图①所示，求a ，b 的取值范围；
(2)若f (x )的图象如图②所示，|f (x )|＝m 有且仅有一个实数解，求出m 的范围． 【解析】（1）由f (x )为减函数可知a 的取值范围为(0，1)，
又f (0)＝1＋b <0，所以b 的取值范围为(－∞，－1)； （2）()f x 的图象过点(2,0)，(0,2)-，
所以2002a b a b ⎧+=⎨+=-⎩，
解得3,3a b ==-， 所以()(3)3x f x =-，
在同一个坐标系中，画出函数|()|y f x =和y m =的图象， 观察图象可知，当0m =或3m ≥时，两图象有一个交点， 若|()|f x m =有且仅有一个实数解，m 的范围是：0m =或3m ≥.
题型二：指数 (型) 函数的单调性应用(1): 复合函数的值域问题 例4．（2022·全国·高一专题练习）函数1423x x y +=++的值域为____. 【答案】()3,+∞ 【解析】令2(0)x t t =>，
∴函数()1423x x y x R +=++∈化为()()2
22312(0)f t t t t t =++=++>，
()3f t ∴>，即函数1423x x y +=++的值域为()3,+∞．
故答案为：()3,+∞
例5．（2022·全国·高一单元测试）函数221()2
x x
y -+=的值域为（ ）
A ．1
[,)2+∞
B ．1
(,]2
-∞
C ．(,2]-∞
D ．(0,2]
【答案】A
【解析】函数221()2x x y -+=定义域为R ，222(1)11x x x -+=--+≤，又函数1()2
x
在R 上单调递减，则
221(2
21
)x x -+≥， 所以函数221()2x x y -+=的值域为1[,)2
+∞.
故选：A
例6．（2022·黑龙江·佳木斯一中高一期末）已知()212221x x x
f x a +=+-+（其中a R ∈且a 为常数）有两个
零点，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】()4,+∞
【解析】设()20,x
t =∈+∞，
由()212221x x x
f x a +=+-+有两个零点， 即方程()2
210t a t +-+=有两个正解，
所以()21212Δ2402010a t t a t t ⎧=-->⎪
+=->⎨⎪=>⎩，解得4a >，
即()4,a ∈+∞， 故答案为：()4,+∞.
变式9．（2022·河南·登封市第一高级中学高一阶段练习）函数1
13
()934
x x
f x --⎛⎫
=++ ⎪
⎝⎭
在[1,)-+∞上的值域为___________. 【答案】375,44⎛⎤
⎥⎝⎦
【解析】2
1
13113()9334334x x x
x f x --⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭+
⎝⎭
∵[1,)x ∈-+∞则令(],3130x
t ⎛⎫
⎪⎭∈= ⎝
23
34y t t =++在(]0,3递增
∴375,44y ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦
故答案为：375,44⎛⎤
⎥⎝⎦
．
变式10．（2022·陕西渭南·高一期末）方程23x x k +=的解在()1,2内，则k 的取值范围是___________. 【答案】()5,10
【解析】令()23,1,2x
y x x =+∈，显然该函数为增函数，122315,23210+⨯=+⨯=，值域为()5,10，故
510k <<. 故答案为：()5,10.
变式11．（2022·河南·洛宁县第一高级中学高一阶段练习）函数()()420x x
f x x --=+>的值域是______．
【答案】()0,2
【解析】令()20,1x
t -∈=，则2y t t =+，
因为函数2y t t =+在0,1上单调递增，
所以()2
0,2y t t =+∈，故()f x 的值域为()0,2．
故答案为：()0,2.
变式12．（2022·全国·高一课时练习）已知函数f （x ）＝ax +b （a ＞0，a ≠1），其中a ，b 均为实数． (1)若函数f （x ）的图象经过点A （0，2），B （1，3），求函数()
1
y f x =的值域； (2)如果函数f （x ）的定义域和值域都是[﹣1，0]，求a +b 的值． 【解析】（1）函数f （x ）＝ax +b （a ＞0，a ≠1），其中a ，b 均为实数，
函数f （x ）的图象经过点A （0，2），B （1，3），∴12
3b a b +=⎧⎨+=⎩，
∴2
1a b =⎧⎨=⎩
，∴函数f （x ）＝2x +1＞1，函数()1121x
y f x ==+＜1． 又()1121x f x =+＞0，故函数()
1
y f x =的值域为（0，1）． （2）如果函数f （x ）的定义域和值域都是[﹣1，0]，
若a ＞1，函数f （x ）＝ax +b 为增函数，∴1
1
10
b a b ⎧+=-⎪⎨⎪+=⎩，求得a 、b 无解．
若0＜a ＜1，函数f （x ）＝ax +b 为减函数，∴10
11b a b ⎧+=⎪⎨⎪+=-⎩，求得122a b ⎧
=⎪⎨
⎪=-⎩， ∴a +b 3
2
=-．
变式13．（2022·河南·洛宁县第一高级中学高一阶段练习）已知函数()2
42
2ax x f x ++=.
(1)当1a =时，求()f x 的值域； (2)若()f x 有最大值16，求a 的值. 【解析】(1)当1a =时，
()2
42
2x
x f x ++=.
因为2t y =在R 上单调递增，且()2
242222y x x x =++=+-≥-， 可得242
212
24x x ++-≥=
，所以()2
124
f x -≥=， 故()f x 的值域为1,4⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
.
(2)令242t ax x =++，因为函数2t y =在其定义域内单调递增， 所以要使函数()f x 有最大值16，则242t ax x =++的最大值为4，
故20,44424,22a a a a <⎧⎪⎨⎛⎫⎛⎫
-+⨯-+=
⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩解得2a =-. 故a 的值为2-.
变式14．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()x f x a =（0a >且1a ≠）的图象经过点()2,16-． (1)求a ，并比较27
()4
f m +与1()4f m -的大小；
(2)求函数2
24
()x
x g x a -+-=的值域．
【解析】（1）由已知得：2
16a -=，解得
14a =，所以()14x
f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 因为()14x
f x ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
在R 上单调递减，2227117()()2()04424m m m m m +--=-+=-+>，
所以271()()44
f m f m +<-；
（2）因为22
24(1)33x x x -+-=----≤，
所以224
3
116444x x -+--⎛⎫
⎛⎫
≥= ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
，故()g x 的值域是[64,)+∞； 变式15．（2022·全国·高一专题练习）求下列函数的定义域、值域： (1)51
3
x y -=
(2)223
1.2x x y --⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
【解析】(1)由函数解析式可知：1
5105x x -≥⇒≥
，所以函数的定义域为：1|5x x ⎧⎫≥⎨⎬
⎩
⎭； 510x -≥，所以51
03
31x -≥=，因此函数的值域为：[1,)+∞；
(2)由函数的解析式可知：函数的定义域为R ，
22
23
23
122x x x
x y ---++⎛⎫== ⎪⎝⎭
，因为2223(1)44x x x -++=--+≤，
所以2
23
402216x
x -++<≤=，因此函数的值域为：
（0，16]. 变式16．（2022·山东·嘉祥县第一中学高一期中）设函数()()()10,1x x
f x a k a a a -=-->≠是定义域R 的奇
函数． (1)求k 值；
(2)若()10f >，试判断函数单调性并求使不等式()()2
210f x tx f x +++>在定义域上恒成立的t 的取值范
围；
(3)若()813
f =，且()()222x x
g x a a mf x -=+-在[)1,+∞上最小值为2-，求m 的值．
【解析】（1）
()
f x 是定义域为R 的奇函数，
()00f ∴=，即()110k --=，
解得2k =；经检验成立 （2）因为函数()x x
f x a a -=-（0a >且1a ≠），
又()10f >，
1
0a a
∴-
>，又0a >， 1a ∴>，
由于x y a =单调递增，x y a -=单调递减，故()f x 在R 上单调递增，
不等式化为()()2
21f x tx f x +>--．
221x tx x ∴+>--，即()2
210x t x +++>恒成立，
()2
240t ∴∆=+-<，解得40t -<<；
（3）由已知
()8
13f =
，得183a a -=，即2
3830a a --=，解得3a =，或13a =-（舍去），
()()()()2
2233333333222x x x x x x x x g x m m ----∴=+----=+-，
令()33x x
t f x -==-，是增函数，
1x ≥，()8
13
t f ∴≥=，
则()22282223y t mt t m m t ⎛
⎫=-+=-+-≥ ⎪⎝⎭
，
若83m ≥，当t m =时，2
min 22y m =-=-，解得823m =<,不成立；
若83m <，当83t =时，min 6416
2293
y m =
-+=-，解得258123m =<，成立； 所以2512
m =
． 题型三：指数 (型) 函数的单调性应用(2): 复合函数的单调问题
例7．（2022·全国·高一单元测试）若函数241()3x ax
f x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭
在区间()1,2上单调递增，则a 的取值范围为
_________．
【答案】1,2⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦
【解析】因为函数13x
y ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
是实数集上的减函数，
所以由复合函数的单调性可知，函数24y x ax =-+在区间()1,2上单调递减， 函数24y x ax =-+的对称轴为2x a =，且开口向下，所以有21a ≤， 解得a 的取值范围为1,2⎛
⎤-∞ ⎥⎝⎦，
故答案为：1,2⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦．
例8．（2022·北京·牛栏山一中高一阶段练习）写出一个满足函数()+1221,>=+2,x x a
g x x x x a ≤⎧-⎨-⎩在(),-∞+∞上单调递
增的a 值_____________. 【答案】1（答案不唯一）
【解析】因为()+1221,>=+2,x x a
g x x x x a ≤⎧-⎨-⎩，
当>x a 时()+1
2
1x g x -=在定义域上单调递增，
当x a ≤时()()2
2+211x x g x x --==+-， 画出+121x y -=，2+2y x x -=的图象如下所示：
要使函数()g x 在(),-∞+∞上单调递增，
由图可知当1a ≤时均可满足函数()g x 在(),-∞+∞上单调递增； 故答案为：1（答案不唯一）
例9．（多选题）（2022·江苏·无锡市市北高级中学高一期中）函数2(65)
1()()2
x x f x -+-=在下列哪些区间内单调
递减（ ） A ．(3),-∞ B ．(3,5)
C ．(1,3)
D ．(2,3)
【答案】ACD
【解析】由题意，函数1()2
x
y =在R 上单调递减，
又由函数265y x x =-+-在(3),-∞上单调递增，在(3,)+∞上单调递减， 由复合函数的单调性可知，函数()f x 在(3),-∞上单调递减， 结合选项，可得选项ACD 符合题意. 故选：ACD.
变式17．（2022·全国·高一单元测试）已知()()321,1,1x
a x x f x a x ⎧-+≤=⎨>⎩
是定义域为R 上的减函数，则a 的取值范围是（ ） A ．20,3⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭
C ．()1,+∞
D ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭
【答案】B
【解析】由题意，132001321a a a a -<⎧⎪<<⎨⎪-+≥⎩，故230121
a a a ⎧<⎪⎪<<⎨⎪≥⎪
⎩
，解得12,23a ⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
故选：B
变式18．（2022·全国·高一单元测试）若2233x y x y ---<-，则（ ） A ．x y < B ．||||x y < C ．x y > D ．||||x y >
【答案】A
【解析】设函数()23x x f x -=-，因为函数2,3x x y y -==-都是实数集上的增函数， 所以函数()23x x f x -=-也是实数集上的增函数，
由22332323()()x y x y x x y y f x y x y -----<-⇒-<-⇒<⇒<， 故选：A
变式19．（2022·河南·登封市第一高级中学高一阶段练习）函数2
43
5x x y -+-=的单调递减区间是（ ）
A ．[2,)+∞
B ．(,2]-∞
C ．(,1]-∞
D ．[1,)+∞
【答案】A
【解析】设243x x μ=-+-，在(,2]-∞单调递增，在[2,)+∞单调递减，5y μ=在(,)-∞+∞单调递增，根据“同增异减”可得，函数2
43
5x x y -+-=的单调递减区间是[2,)+∞.
故选：A.
题型四：指数(型) 函数中的奇偶性及与单调性的综合
例10．（2022·浙江温州·高一期中）已知函数()()21R 2x x f x x a
-=∈+为奇函数；
(1)求实数a 的值； (2)求()f x 的值域；
(3)若关于x 的方程()()1
21001t f x b b ---=<<无实数解，求实数t 的取值范围．
【解析】（1）由函数
()21
2x x
f x a -=+是定义域为R 的奇函数， 则()()f x f x -=-，
即212122x x x x a a
----=-++，即1221
122x x x x
a a --=-+⋅+， 所以122x x a a +⋅=+，即()()1210x
a --=在R x ∈上恒成立，
解得1a =；
（2）由（1）得1a =，
则()212122
1212121
x x x x x f x -+-===-+++，
又函数2x y =单调递增，且20x >， 所以211x +>，2
0221
x
<
<+， 所以()11f x -<<，
即函数()f x 的值域为()1,1-； （3）由
()()
121001t f x b b ---=<<无实数解，
即()1
21t f x b -=+无实数解，
又()()22,2f x ∈-，
所以112t b -+≤-或112t b -+≥， 即13t b -≤-（不成立），或11t b -≥， 又01b <<，所以10t -≤， 即1t ≤.
例11．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()()240,12x x
a a f x a a a a
-+=>≠+是定义在R 上的奇函数． (1)求a 的值；
(2)求函数()f x 的值域；
(3)当()1,2x ∈时，()220x
mf x +->恒成立，求实数m 的取值范围．
【解析】（1）因为
()
f x 是定义在R 上的奇函数，
所以()002420022
a a a f a a a -+-===++，解得2a =，
当2a =时，()2121x x f x -=+，此时()()21122112x x
x x f x f x -----===-++，
所以2a =时，()21
21
x x f x -=+是奇函数.
所以2a =；
（2）由（1）可得
()2121221212121x x x x
x
f x -+-===-+++， 因为20x >，可得211x +>，所以1
0121
x <<+， 所以2
2021
x
-<-
<+， 所以2
11121
x -<-
<+， 所以函数()f x 的值域为()1,1-； （3）由
()220
x mf x +->可得
()22
x mf x >-，
即122221x x x
m ->+-⋅，可得()()21
2122x x
x m +->-对于()1,2x ∈恒成立， 令()211,3x
t -=∈，
则()()2121t t t
t m t
-=-++>
，
函数2
1y t t
=-+在区间()1,3单调递增，
所以2210
13133
t t -+<-+=，
所以10
3
m ≥
， 所以实数m 的取值范围为10,3⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
．
例12．（2022·贵州·黔西南州金成实验学校高一期末）已知函数4
()12x
f x a a
=-+（0a >且1a ≠）为定义
在R 上的奇函数.
(1)利用单调性的定义证明函数()f x 在R 上单调递增；
(2)求不等式()2
2(4)0f x x f x ++->的解集.
(3)若函数()()1g x kf x =-有零点，求实数k 的取值范围.
【解析】（1）由题意得：
()4
0102f a =-
=+，解得：2a =，
1
42
()112221
x x f x +=-
=-++， 任取12,x x R ∈，且12x x <，
则()()()()()
1212122121211111
122222222222()112121212121212121
x x x x x x x x x x x x f x f x +++++----=--+=-==++++++++因为12,x x R ∈，
且12x x <，
所以1211220x x ++-<，1
2
210,210x x +>+>，
所以()()()
122
111
1222()02121
x x x x f x f x ++--=<++，故()12()f x f x < 所以函数()f x 在R 上单调递增； （2）
()22(4)0
f x x f x ++->，
即()2
2(4)f x x f x +>--，
因为2
()121
x f x =-
+为定义在R 上的奇函数， 所以()2
2(4)(4)f x x f x f x +>--=-，
因为2
()121
x f x =-
+为定义在R 上单调递增， 所以224x x x +>-， 解得：1x >或4x <-， 所以解集为：()
(),41,-∞-+∞；
（3）
()()2111
21x g x kf x k ⎛
⎫=-=-- ⎪+⎝⎭有零点， 当0k =时，()()11g x kf x =-=-，没有零点，不合题意，舍去； 当0k ≠时，即21121x k
-
=+有根， 其中当0x >时，21x >，212x +>，2
0121
x
<<+， 故()2
()10,121
x f x =-
∈+， 又因为2
()121
x f x =-
+在R 上为奇函数， 所以当0x <时，()2
()11,021
x f x =-∈-+， 且()00f =，
所以2
()121
x f x =-
+在R 上的值域为()1,1-， 故()()1
1,00,1k
∈-⋃， 解得：()(),11,k ∈-∞-+∞，
所以实数k 的取值范围为()
(),11,k ∈-∞-+∞.
变式20．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数与奇函数，且
()()+22.x f x g x =
(1)求()f x 与()g x 的解析式；
(2)若对()1,2x ∀∈，不等式()()()2220f x m g x -++恒成立，求实数m 的最大值． 【解析】（1）由题意
()()+22x
f x
g x = ①，
所以()()22x
f x
g x --+-= ，
函数()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数与奇函数， 所以()()()(),f x f x g x g x =--=-
所以()()22x
f x
g x --= ②，
由①②解得()222
x x
f x -+=，22()4x x
g x --=；
（2）对
()
1,2x ∀∈，不等式
()()()2220
f x m
g x -++恒成立，
即()22222222024
x x x x
m --+--++，
令22x x t -=-，315,24t ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，则222222x x t -+=+，
不等式等价于
()2222024
t t
m +-++在315,24t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立， 所以min 622m t t ⎛⎫
++ ⎪⎝⎭，
因为6
0,0t t
>>，
所以66
26t t t t
+
⋅= 当且仅当6t t =
即3156,24t ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
时取等号， 所以246,462m m +-，
即m 的最大值为46 2.
变式21．（2022·辽宁·高一阶段练习）设函数()()212x x
k f x k -=+-⋅（x ∈R ，k ∈Z ）．
(1)若()k f x 是偶函数，求实数k 的值；
(2)若存在[]1,2x ∈，使得()()014f mf x x +≤成立，求实数m 的取值范围． 【解析】(1)（1）若
()
k f x 是偶函数，则
()()
k k f x f x -=，
即()()212212x x x x
k k --+-⋅=+-⋅，
即()()()()221212122x x x x x x
k k k ----=-⋅--⋅=--，
则11k -=，即2k =．
(2)（2）存在[]1,2x ∈，使得()()014f mf x x +≤成立， 即2422x x x m -⋅≤-+，
则()2
42242212x x x x x
m ----+≤=⋅+-，
设2x t -=，因为12x ≤≤，所以
1142
t ≤≤， 所以()2
2422141x x t t --⋅+-=+-， 令()2
24125y t t t =+-=+-， 因为
11
42t ≤≤，所以当12
t =时，函数取得最大值152144y =+-=，
则5
4
m ≤
， 所以实数m 的取值范围为5,4⎛
⎤
-∞ ⎥⎝
⎦．
变式22．（2022·河北沧州·高一期末）已知函数()22x
x
f x a -=+⋅为偶函数()a ∈R . (1)判断()f x 在[0,2]上的单调性并证明；
(2)求函数()2()44x x g x mf x a -=-++⋅在[1,2]-上的最小值. 【解析】(1)()f x 为偶函数，()()f x f x ∴=-， 即2222x x x x a a --+⋅=+⋅，
()()1212x x a a --⋅=-⋅，则10,1a a -==.
所以()22x x
f x -=+.
()f x 在[0,2]为增函数,证明如下：
任取1x ，2x ，且1202x x ≤<≤，
()()()1122122222x x x x f x f x ---=+-+
211
2
12
121211222222222
x x x x x x x x x x +-=-+-=-+
()()12121
21212
1212
1222121222212222
2x x x x x x x x x x x x x x x x ++++--⎛
⎫=--=--=-⋅ ⎪⎝⎭
，
1202x x ≤<≤，12220x x ∴-<，12210x x +->， ()121
2
1221
2202
x x x x x x ++-∴-⋅<.
即()()12f x f x <，∴()f x 在[0,2]上单调递增.
(2)()
()22244x x x x
g x m --=-+++，
令1222([1,2])2x x x
x t x -=+=+
∈-，结合题意及（1）的结论可知172,4t ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
. ()2
2442222x x x x t --+=+-=-，
22217()()22()22,4g x h t t mt t m m t ⎛⎫
⎡⎤∴==--=---∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭.
①当174m ≥
时，min 1725717
()4162h t h m ⎛⎫==
- ⎪⎝⎭； ②当1724
m <<
时，2
min ()()2h t h m m ==--； ③当2m ≤时，min ()(2)24h t h m ==-.
综上，()2min
24,2172,2425717
17,16
24m m g x m m m m ⎧
⎪-≤⎪
⎪
=--<<⎨⎪
⎪-≥⎪⎩.
变式23．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()()2
42
2ax x f x a ++=∈R ．当1a =时，()f x 的值域为
______；若()f x 的最大值为16，则a 的值为______． 【答案】 1,4⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
【解析】当1a =时，()2
42
2x
x f x ++=，
设242t x x =++，则()2
222t x =+-≥-，因为2x y =在R 上是增函数，所以242
21
224
x x ++-≥=
，即()14f x ≥
，所以函数的值域是1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
；
要使函数()f x 的最大值为16，则242t ax x =++的最大值为4，故2042444a a a <⎧⎪
⎨⨯-=⎪
⎩，解得2a =-．
故答案为：1,4⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
；2-
【过关测试】 一、单选题
1．（2022·河南南阳·高一期中）已知函数()32,1,
12,1,x x f x x x -⎧<-=⎨-≥-⎩若()()20f f a -+=，则实数=a （ ）
A ．2-
B ．2
C ．4
D ．6
【答案】B
【解析】由题知()()
222422f --===-，()()20f f a -+=
所以()4f a =-，
因为1x <-时，()22x
f x -=>，所以，1a ≥-， 所以()3
124f a a =-=-，解得2a =.
故选：B
2．（2022·天津·高一期末）设x ∈R ，则“|2|<1x -”是“3<27x ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由|2|<1x -可知，1<2<1x --，即1<<3x ，根据指数函数性质，3x y =是R 上递增的指数函数，3<27x 即33<3x ，故<3x ，显然1<<3x 可推出<3x ，但反之不成立，故“|2|<1x -”是“3<27x ”的充分不必要条
件. 故选：A
3．（2022·山东·嘉祥县第一中学高一期中）已知函数()f x 为R 上的奇函数，当0x <时，()133
x f x =-，则
()0f x ≥的解集为（ ）
A ．[)[)1,01,∞-⋃+
B ．[]1,1-
C ．[][)1,01,-⋃+∞
D ．[)
(]1,00,1-
【答案】C
【解析】因为函数()f x 为R 上的奇函数， 所以()00f =，
又当0x <时，()133
x
f x =-，
当0x >时，0x -<，则()()133
x
f x f x --=-=-，
所以0x >时，()1133x
f x ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，
则由()0f x ≥可得，011033x x >⎧⎪⎨⎛⎫-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩或01303x x <⎧⎪
⎨-≥⎪⎩或0x =，
解得1x ≥或10x -≤<或0x =，
综上可得，不等式()0f x ≥的解集为[][)1,01,-⋃+∞． 故选：C ．
4．（2022·全国·高一课时练习） 若存在正数x ，使得关于x 的不等式()31x
x a -<成立，则实数a 的取值范
围是（ ） A ．[)3,+∞ B ．[)1,-+∞
C ．()1,-+∞
D ．()0,+∞
【答案】C
【解析】由题意知13x x a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭成立，即13x
a x ⎛⎫
>- ⎪⎝⎭成立．
令()13x
f x x ⎛-⎫
⎪⎝⎭
=，显然()f x 在()0,+∞上单调递增，
所以0x ∀>，()()01f x f >=-， 所以实数a 的取值范围是()1,-+∞． 故选：C
5．（2022·全国·高一课时练习）若实数x ，y 满足2022202320222023x y y x --+<+，则（ ） A ．1x y
> B ．
1x y
< C ．0x y -< D ．0x y ->
【答案】C
【解析】令()20222023x x
f x -=-，由于2022x y =，2023x y -=-均为R 上的增函数，所以
()20222023x x f x -=-是R 上的增函数．
因为2022202320222023x y y x --+<+，所以2022202320222023x x y y ---<-，即()()f x f y <，所以x y <，所以0x y -<． 故选：C ．
6．（2022·全国·高一单元测试）在同一坐标系中，函数2y ax bx =+与函数x
y b =的图象可能为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】函数x y b =的是指数函数，0b >且1b ≠，排除选项C ，
如果0a >，二次函数的开口方向向上，二次函数的图象经过原点，并且有另一个零点：b x a
=-， 所以B 正确；
对称轴在x 轴左侧，C 不正确； 如果0a <，二次函数有一个零点0b
x a
=->，所以D 不正确． 故选：B ．
7．（2022·全国·高一专题练习）若2525x x y y ---≤-，则有（ ） A ．0x y +≥ B ．0x y +≤ C ．0x y -≤ D ．0x y -≥
【答案】B
【解析】构造函数()25x x
f x -=-，易得函数()f x 单调递增，由2525x x y y ---≤-，
可得()()f x f y ≤-，0x y x y ∴≤-⇒+≤， 故选：B.
8．（2022·云南·昆明市官渡区第一中学高一阶段练习）已知函数()33,0,0x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩若()()2
2f a f a -≥-，则
实数a 的取值范围是（ ） A ．[2,1]- B ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．(,1]-∞
D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
【答案】A
【解析】因为()33,0,0x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，当0x ≤时()3x
f x -=单调递减，且()1f x ≥，
当0x >时，3()f x x =-单调递减，且()0f x <，
所以函数()33,0,0x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩在定义域上单调递减，因为()2
2()f a f a -≥-，
所以22a a -≤-，解得21a -≤≤，即实数a 的取值范围为：[2,1]-. 故选：A. 二、多选题
9．（2022·山东·青岛二中高一期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x R ∈，用[]x 表示不超过的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如[]3.54-=-，[]2.12=．已知函数()()1112
x x
a f x a a =->+，则关于函数()()g x f x =⎡⎤⎣⎦的叙述中正确的是（ ） A ．()f x 是奇函数 B ．()g x 是偶函数 C ．()f x 在R 上是增函数 D ．()g x 的值域是{}1,0-
【答案】ACD
【解析】A 选项：()()()
1211
122121x x x x x x x
a a a a f x a a a ---=-==+++，
()()()
112121
x x
x
x a a f x a a -----==++，∴()()f x f x -=-， ∴()f x 为奇函数，故A 正确；
B 选项：∵()()g x f x =⎡⎤⎣⎦∴()()11g f ⎡⎤=⎣⎦，()()11g f ⎡⎤-=-⎣⎦，
∵()f x 为奇函数，∴()()f x f x =--，∴()()11f f =--，∴()()11g g ≠-，故B 错误；
C 选项：()()
11111111112121221x x x x x x
a a f x a a a a +-=-=-=--=-
++++， ∵1a >，∴x a 为增函数，∴1
1x
a +为减函数， ∴()1121x
f x a =
-+为增函数，故C 正确； D 选项：∵0x a >，∴11x a +>，∴
1
11x
a <+，∴()1122f x -<<． 又∵()()g x f x =⎡⎤⎣⎦，∴()g x 的值域为{}1,0-，故D 正确． 故选：ACD ．
10．（2022·河南南阳·高一期中）不等式34270x x +-+≥成立的一个充分不必要条件是（ ） A ．{}3,4x ∈ B ．0x ≤
C ．1x ≥
D ．02x ≤≤
【答案】AB
【解析】令20x t =>，
所以，不等式()()32
42787170x x t t t t +-+=-+=--≥，解得7t ≥或01t <≤
所以，27x ≥或021x <≤，解得2log 7x ≥或0x ≤， 所以，不等式34270x x +-+≥的解集为(]
[)2,0log 7,-∞+∞，
因为所求的是不等式34270x x +-+≥成立的一个充分不必要条件， 故只需满足是(]
[)2,0log 7,-∞+∞真子集即可，
所以，只有AB 选项满足，CD 选项不满足. 故选：AB
11．（2022·全国·高一课时练习）（多选）定义在[]1,1-上的函数()2943x x
f x =-⋅+⋅，则下列结论中正确的
是（ ）
A ．()f x 的单调递减区间是[]0,1
B ．()f x 的单调递增区间是[]1,1-
C ．()f x 的最大值是()02f =
D ．()f x 的最小值是()16f =-
【答案】ACD
【解析】设3x t =，[]1,1x ∈-，则3x t =是增函数，且1,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，
又函数()2
224212y t t t =-+=--+在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递增，在[]1,3上单调递减，
因此()f x 在[]1,0-上单调递增，在[]0,1上单调递减，故A 正确，B 错误；
()()max 02f x f ==，故C 正确；
()10
19
f -=
，()16f =-，因此()f x 的最小值是6-，故D 正确． 故选:ACD ． 三、填空题
12．（2022·山东省青岛第十九中学高一期中）若函数(),142,12x a x f x a x x ⎧>⎪
=⎨⎛⎫
-+≤ ⎪⎪⎝
⎭⎩ 对于R 上任意两个不相等实数12,x x ，不等式()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，则实数a 的取值范围为______． 【答案】[)4,8
【解析】若函数(),1
42,12x a x f x a x x ⎧>⎪
=⎨⎛⎫
-+≤ ⎪⎪⎝
⎭⎩对于R 上任意两个不相等实数12,x x ， 不等式()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，
则函数()f x 在R 上单调递增，则1402422a a
a a ⎧⎪>⎪⎪->⎨⎪
⎪≥-+⎪⎩，
解得：48a ≤<，故实数a 的取值范围为[)4,8, 故答案为：[)4,8．
13．（2022·内蒙古·北方重工集团第五中学高一阶段练习（文））已知函数()()1
0x f x a x -=≥的图象经过点
1
(2,),2
其中0a >且1a ≠，则函数()(0)y f x x =≥的值域是________． 【答案】(]02，
【解析】因为()()1
0x f x a x -=≥的图象经过点1(2,),2
所以21
12a -=，解得12a =，则()()1
102x f x x -⎛⎫=≥ ⎪
⎝⎭
，
因为0x ≥，所以11x -≥-，
所以1
2102x -⎛⎫
< ⎝⎭
≤⎪
，即函数()(0)y f x x =≥的值域是(]02，
， 故答案为：(]02，
14．（2022·四川·成都铁路中学高一阶段练习）已知函数()1
42
f x x x =+
-．若存在()2,x ∈+∞，使得()42a a f x ≤-成立，则实数a 的取值范围是______．
【答案】[2,)+∞
【解析】因为()2,x ∈+∞，所以20x ->， 所以()11
44(2)822
f x x x x x =+=-++-- 1
24(2)8122
x x ≥-⋅
=-， 当且仅当14(2)2
x x -=
-，即5
2x =时取等号，
所以min ()12f x =，
因为存在()2,x ∈+∞，使得()42a a
f x ≤-成立， 所以()min 42a a
f x ≤-，即1242a a ≤-，
所以()2
22120a a --≥，即23a ≤-（舍去），或24a ≥，
得2a ≥，
所以a 的取值范围为[2,)+∞， 故答案为：[2,)+∞
15．（2022·全国·高一课时练习）若函数()()2
213
3
x
a x f x +-+=在(),1-∞上单调递减，则实数a 的取值范围是
______．
【答案】1,2⎛
⎫-∞- ⎪⎝
⎭
【解析】因为3x y =是R 上的增函数，()2
213y x a x =+-+在21,2a -⎛⎫-∞- ⎪⎝
⎭上单调递减，
所以，根据复合函数单调性，要使()f x 在(),1-∞上单调递减，需2112
a --≥，解得1
2a ≤-，
所以，实数a 的取值范围是1,2⎛
⎫-∞- ⎪⎝
⎭．
故答案为：1,2⎛
⎫-∞- ⎪⎝
⎭
16．（2022·全国·高一课时练习）若函数1
()1x f x a -=-（0a >，且1a ≠）在区间()321,2a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递
减，则实数a 的取值范围是______． 【答案】35,46⎛⎤
⎥⎝⎦
【解析】函数11x y a -=-（0a >，且1a ≠）的图象是将函数x y a =（0a >，且1a ≠）的图象向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到的，
故函数1
()1x f x a -=-（0a >，且1a ≠）的图象恒过点()1,0．当01a <<时，结合函数()f x 的图象：
若函数()f x 在区间()321,2a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则()()
01321232112a a a a ⎧
⎪<<⎪
-⎪
<
⎨⎪
⎪-≤⎪
⎩
，解得3546
a <≤．
当1a >时，结合函数()f x 的图象：
若()f x 在区间()321,2a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则()()
1321232112a a a a ⎧⎪>⎪
-⎪
<⎨
⎪
⎪-≤⎪
⎩，无实数解． 综上，实数a 的取值范围为35,46⎛⎤
⎥⎝⎦
．
解法二： 若()32112a a x -<<<
，则110x a -->，所以()1
1x f x a -=-在区间()321,2a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递增，不符合题意；
当01a <<时，函数1x y a -=在区间()321,2a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，要使函数1()1x f x a -=-在区间()321,2a a -⎛⎫ ⎪
⎝⎭上单调递减，
则110x a -->在区间()321,2a a -⎛⎫
⎪⎝⎭
上恒成立，
所以()()
01321232112a a a a ⎧
⎪<<⎪
-⎪<⎨⎪
⎪-≤⎪
⎩，解得3546a <≤．故实数a 的取值范围是35,46⎛⎤ ⎥⎝⎦．
故答案为：35,46⎛⎤
⎥⎝⎦
.
四、解答题
17．（2022·山东·青岛二中高一期中）已知函数()()2
,R f x x bx c b c =++∈，且()0f x ≤的解集为[]1,2-.
(1)求函数()f x 的解析式；
(2)解关于x 的不等式()()21mf x x m >--（其中0m
>）；
(3)设()()
2
32x
f x
g x --=，若对任意的1x ，[]21,2x ∈，都有()()12g x g x t -≤，求t 的取值范围.
【解析】（1）由()0f x ≤的解集为[1,2]-可得1,2-是方程2
0x bx c ++=的两个根，
所以122b c -+=-⎧⎨-=⎩，解得1,2b c =-=-，
所以2()2f x x x =--； （2）
()
()21mf x x m >--，化简有
()
222(1)
m x x x m -->--即
()2220
mx m x -++>，
可整理得()()()2100mx x m -->>， ①当2m =时，
2
1m
=，不等式的解集为()(),11
-∞⋃+∞，； ②当02m <<时，21m
>，不等式的解集为()2,1,m ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭；
③当2m >时，21m
<，不等式的解集为()2,1,m ⎛
⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭；
（3）由题意，
()()
2
1
322x
x f x g x ---==，
对任意的[]12,1,2x x ∈，都有12|()()|g x g x t -≤， 则当[]1,2x ∈时，max min ()()g x g x t -≤，
因为当[]1,2x ∈时，()g x 单调递增，所以()max 22()g x g ==，()0
min 1()21g x g ===，
所以max min 2)1(1()g x g x =--=， 所以1t ≥，即t 的取值范围为[)1,+∞
18．（2022·广东·深圳外国语学校高一期中）已知函数()f x 对任意的实数,m n 都有
()()()1f m n f m f n +=+-，且当0x >时，有()1f x >．
(1)求证：()f x 在R 上为增函数；
(2)若()()923292x x x
f f k -⋅+⋅->对任意[)0,x ∈+∞恒成立，求实数k 的取值范围．
【解析】（1）设
12
x x <，
令2m n x +=，1n x =，()()()22111f x f x x f x ∴=-+-， 则()()()21211f x f x f x x -=--；
210x x ->，()211f x x ∴->，()()210f x f x ∴->，
()f x ∴在R 上为增函数.
（2）由题意得：
()()()92329392312
x x x x x f f k f k -⋅+⋅-=⋅-⋅-+>，
()39231x x f k ∴⋅-⋅->，
令0m n ==，则()()0201f f =-，解得：()01f =，
()f x 为R 上的增函数，39230x x k ∴⋅-⋅->，3923x x k ∴<⋅-⋅，
令31x t =≥，设()()2
321g t t t t =-≥，()()min 11g t g ∴==，1k ∴<，
即实数k 的取值范围为(),1-∞.
19．（2022·福建省福州高级中学高一期末）已知函数()421x x f x k =+⋅+，()421x x g x =++． (1)若对于任意的R x ∈，()0f x >恒成立，求实数k 的取值范围； (2)若()
()()
f x h x
g x =
，且()h x 的最小值为2-，求实数k 的值． 【解析】（1）由()0f x >，得4210x x
k +⋅+>恒成立，
所以22x x k ->--对于任意的R x ∈，恒成立，
因为()22222222x x x x x x -----=-+≤-⋅-，当且仅当22x x -=，即=0x 时取等号， 所以2k >-，
即实数k 的取值范围为(2,)-+∞
（2）()421221
()111()421421212x x x x x x x x x x f x k k k h x g x +⋅+⋅--===+=+
++++++，
令1121221322x x
x x
t =++≥⋅=，当且仅当122x x =，即=0x 时取等号，
则1
1(3)k y t t
-=+
≥， 当1k 时，11(3)k y t t -=+
≥为减函数，则21,3k y +⎛⎤
∈ ⎥⎝
⎦无最小值，舍去， 当=1k 时，=1y 最小值不是2-，舍去， 当1k <时，11(3)k y t t -=+≥为增函数，则2,13k y +⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
，最小值为223k +=-，解得=8k -，
综上，=8k -
20．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()x
f x ba =（其中a ，b 为常数，且0a >，1a ≠）的图象经过点
()1,1M ，()3,9N ．
(1)求a b +的值；
(2)当3x ≤-时，函数11
x
y a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象恒在函数2y x t =+图象的上方，求实数t 的取值范围．
【解析】（1）∵函数
()x
f x ba =（其中a ，b 为常数，且0a >，1a ≠）的图象经过点
()
1,1M ，
()
3,9N ，
∴319
ba ba =⎧⎨=⎩∴29a =，∴3a =-（舍）或3a =，13b =，
∴103
a b +=
； （2）由（1）得当3x ≤-时，函数133x
y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象恒在函数2y x t =+图象的上方， 即当3x ≤-时，不等式13203x
x t ⎛⎫
+--> ⎪⎝⎭恒成立，
亦即当3x ≤-时，min 1323x t x ⎡⎤
⎛⎫<+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
．
设()()13233x
g x x x ⎛⎫
=+-≤- ⎪⎝⎭
，
∵13x
y ⎛⎫
= ⎪⎝⎭在(],3-∞-上单调递减，2y x =-在(],3-∞-上单调递减，
∴()1323x
g x x ⎛⎫
=+- ⎪⎝⎭
在(],3-∞-上单调递减，
∴()()min 336g x g =-=， ∴36t <．。