第七节曲率

（ | MN | ）2 [1 ( y )2]
| MN |
x
s
x

| MN |
| MN |
1 ( y )2 x
N T R
x x x
y
令 x 0 取极限，得
N
s lim x0 x
lim | MN | lim
x0 | MN | x0
o
(1)C : y f ( x),函数 y f ( x)二阶可导,
tan y arctan y,
d

1 1 y2

y' ' dx

y'' 1 y2
dx
又 ds 1 y2dx

d
1
y'' y'2
dx
ds
1 y2dx

y''
3
(1 y2 )2
曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。
1
2
M2
s2
M3
s1
M1
弧段弯曲程度越大 转角越大
s1
M
M
N
s2 N

转角相同
弧段越短 弯曲程度越大
设曲线C是光滑的，
y
M0 是基点. MM s ,
从M到M 的切线转角为
o
C
.M
M0
s
S
M

.)

x
定义 弧段 MM' 的平均曲率
第七节 曲 率
一、弧微分
y C : y f (x)
N
设函数f ( x)在区间(a,b) 内具有连续导数.
AM
T R
取基点 : A( x0 , y0 ) C
o
x0
x
M( x, y)为曲线C上任意一点,
x x x
规定： 曲线的正向与x增大的方向一致;
定义 有向弧段 AM 的值
s

| AM |

K
d
ds

y''
3
(1 y2 )2
y''

3
(1 y2 )2
即
y''
K
3 (4)
(1 y2 )2
注: 在实际中, 当 y' 1 时,
K
y''
3 y''
(1 y2 )2
即
K y''
(2)曲
线C
:
x

y

(t) (t)
(t), (t)二阶可导,
若 lim
s0 s
K | |
| s | s
存在, 则称此极限值为曲线 C在 M 点
的曲率, 记为 K 即

K

lim
s0
s
(2)
注 若 d 存在,则有
ds
K d
ds
(3)
特例:
1.若曲线 C 为直线, 则 C 上任一点处的曲率K 0
即: 直线是不弯的.
D 曲率中心, 曲率半径.
注意:
1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的 曲率互为倒数.
即 1,k 1 . k
2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点 处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲 率越大(曲线越弯曲).
3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附 近的曲线弧
例3 飞机沿抛物线 y x2
y
4000
(单位为米)俯冲飞行,在原
Q
点O处速度为v 400米 / 秒,
飞行员体重70千克.求俯冲

o
x
到原点时,飞行员对座椅的
P
压力.
解 如图,受力分析 F Q P,
视飞行员在点o作匀速圆周运动, F mv 2 .

O点处抛物线轨道的曲率半径
y
四、小结
基本概念: 弧微分,曲率,曲率圆.
描述曲线弯曲程度的量——曲率 局部上,曲线弧可以用曲率圆(弧)近似代替.
五、作业
P177,习题3-7 1，3，4, 5
f in
轨 道 的 半 径).
通常用三次抛物线
y

1 6Rl
x 3，x
[0,
x0 ]．作为
缓冲段 OA，其中 l 为 OA 的长度，验证缓冲段
OA 在始端 O 的曲率
为零,并且当 l 很小 R
y
B
( l 1) 时，在终端 R A的曲率近似为 1 .
R
R
l
A( x0 , y0 )
o
C( x0,0) x
2a
2a 4a
即:抛物线的顶点
抛物线在顶点处的曲率最大.
例2 铁轨由直道转入圆弧弯道时，若接头处 的 曲 率 突 然 改 变, 容 易 发 生 事 故 ， 为 了 行驶 平 稳 ， 往 往 在 直 道 和 弯 道之 间 接 入 一 段 缓 冲 段
(如图),使曲率连续地由零过渡到 1 (R为圆弧 R
证 如图 x的负半轴表示直道，
OA是缓冲段, AB是圆弧轨道.
在缓冲段上,
y 1 x2 , y 1 x.
2Rl
Rl
y
B
R
l
A( x0 , y0 )
o
C( x0,0) x
在x 0处, y 0, y 0, 故缓冲始点的曲率 k0 0.
实际要求 l x0 ,
有
y
,
得
kA

1. R
三、曲率圆与曲率半径
定义 设曲线 y f ( x) 在点 y
M( x, y) 处的曲率为k(k 0). 在点 M 处的曲线的法线上,
D 1
k
y f (x)
在凹的一侧取一点D, 使 DM
o
1 .以 D 为圆心, 为半径
k
M
x
作圆(如图),称此圆为曲线在点M 处的曲率圆.
x0

x 2000
x0
0,
y
x0

1. 2000
得曲率为 k
x0

1 . 即：曲率半径为 2000


2000 米.
F 70 4002 5600(牛) 571.4(千克), 2000
Q 70(千克力) 571.4(千克力),
641.5(千克力).
即:飞行员对座椅的压力为641.5千克力.
设 参 数 方 程
x y

(t) (t)
确定了函数: y y( x)
由参数方程的求导法,可求出
dy (t) , dx (t)
d2y dx2

(t )
(t) (t) 3(t)
(t) .
代入(4)式得:
(t) (t) (t) (t)

s x 0
|MN | 2 (x)2 (y)2
|MN | 2 1 ( y )2
(x)2
x
N T R
x x x
y
( s )2 x

(s)2 (x)2
AM
o
x0 x

| MN | 2
|
MN
|
2

| MN |2
(x)2
| MN |2 (x)2
1 ( y )2 x
AM
T R
x0 x
x x x
1 1 y'2
即 s s( x) 在 x 处可导，且
s'( x) 1 y'2 ds s'( x) dx 1 y'2 dx
即
ds 1 y'2 dx
弧微分公式
（1）
二、曲率及其计算公式
1.曲率的定义
2.若曲线 C 是半径为 a 的圆, 则 C 上任一点处的
曲率
K1 a
y
o
M0
s
M
s
M'


x
| | | | 1 s | s | a | | a
lim lim 1 1
s0 s
s0 a a
即 K 1
a
2.曲率的计算公式
K
3
(5)
[ 2(t) 2(t)]2
例1 抛物线 y ax2 bx c 上哪一点的曲率最大?
解 y 2ax b, y 2a,
k
2a
3
[1 (2ax b)2]2
显然, 当x b 时, k最大. 2a
x b 时, 对应于抛物线上的点( b , 4ac b2 )
x x0

1 2Rl
x02

1 l2 2Rl
l, 2R
y
B
y
x x0

1 Rl
x0
1l Rl
1, R
故在终端A的曲率为
1
kA
y

3
(1 y2 )2
x x0

(1

R l2
4R2
3
)2
R
l
A( x0 , y0 )
o
C( x0,0) x
l 1, R
略去二次项 l2 4R2
, x x0
| AM | , x x0
s(x)
y
则 s s( x) 单调递增
任给 x 一个增量 x 0 相应地，s 有增量
AM
s s( x x) s( x) o x0 x


| MN |
,x 0
| MN | ,x 0
s s( x) 单调递增