辽宁省五校协作体2015-2016学年高二上学期期末考试理科数学试题 Word版含答案

2015—2016学年度上学期期末考试高二年级数学(理)科试卷 命题学校：大连八中 命题人：吴 岐 校对人：韩 璐
本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
(1) 已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，S n ＝n 2
＋1，则a 5＝
( )
(A) 7 (B) 9
(C) 11
(D) 12
(2) 已知命题p ：∀x ∈R ，x 2
≥0，则 ( )
(A) ¬p ：∃x 0∈R ，x 02
≤0 (B) ¬p ：∃x 0∈R ，x 02
＞0 (C) ¬p ：∃x 0∈R ，x 02＜0
(D) ¬p ：∀x ∈R ，x 2
≤0
(3) 设a ＞b ，则下列不等式成立的是 ( )
(A) a 2
＋b 2
＞ab
(B)
b －a
ab
＜0 (C) a 2
＞b 2
(D) 2a ＜2b
(4) 数列{}a n 、{}b n 满足b n ＝2a n (n ∈N *
)，则“数列{}a n 是等差数列”是“数列{}b n 是等比数 列”的
( )
(A) 充分但不必要条件 (B) 必要但不充分条件 (C) 充要条件
(D) 既不充分也不必要条件
(5) 在直角坐标平面内，满足方程()y 2
＋2||x ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x 2
16－y 2
9＝0的点(x , y )所构成的图
形为
( )
(A) 抛物线及原点 (B) 双曲线及原点 (C) 抛物线、双曲线及原点
(D) 两条相交直线
(6) 设公差不为零的等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，若a 4＝2(a 2＋a 3)，则S 7S 4
＝ ( )
(A) 7
4
(B) 145
(C) 7
(D) 14
(7) 设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，则有 ( )
(A) AB ―→²A 1C 1――→＝
(B) AC 1―→²BD 1―→＝0 (C) AB ―→²AC 1―→＝(D) BC ―→²DA 1
―→＝a 2
a 2
2a 2
(8) 若正实数x ，y 满足不等式2x ＋y ＜4，则x －y 的取值范围是 ( )
(A)
(B) (－4, 2)
(C) (－2, 2]
(D) [－2, 2)
(9) 已知点P 为抛物线C ：y 2
＝4x 上一点，记点P 到此抛物线准线l 的距离为d 1，点P 到圆 (x ＋2)2
＋(y ＋4)2
＝4上点的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为 ( )
(A) 6
(B) 1
(C) 5
(D) 3 (10) 设各项均为正数的数列{}a n 的前n 项之积为T n ，T n ＝2n 2＋n ，则a n ＋122
n 的最小值为 ( )
(A) 7 (B) 8
(C) 4 3 (D) 2 3
(11) 已知四面体ABCD 的顶点A 、B 、C 、D 在空间直角坐标系中的坐标分别为(1,0,0)，(0,1,0)， (0,0,1)，⎝ ⎛－13,－13,⎭⎪⎫
－13，O 为坐标原点，则在下列命题中，正确的是
( )
(A) OD ⊥平面ABC
(B) 直线OB ∥平面ACD (C) 直线AD 与OB 所成的角是45°
(D) 二面角D －OB －A 为45°
(12) 设双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(b ＞a ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且
||PF 1＝3||PF 2，则此双曲线的离心率的取值范围为
( )
(A) (1,2) (B) (2,2]
(C) (1,2]
(D) [2,+∞)
第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡的横线上．
(13) 已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0, b ＞0)的渐近线方程为y ＝±x ，且经过点(2, 1)，则该
双曲
线的方程为 ．
(14) 已知关于x 的不等式ax ＋b ＞0的解集为⎝⎛－∞ ,⎭⎪⎫－12，则关于x 的不等式bx 2
－a ＞0的解
集为 ．
(15) 已知集合A ＝{}(x , y )|||x ＋||y ≤4，B ＝{}
(x , y )|||y －||x ≤0，设集合C ＝A ∩B ，则集合C
所对应的平面区域的面积为 ．
C
(16) 设f (x )是定义域为R 的增函数，∀x , y ∈R ，f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )－1，若不等式f (x 2
－x －3)
＜3的解集为{}x |－2＜x ＜3，记a n ＝f (n )(n ∈N *
)，则数列{}a n 的前n 项和S n ＝ ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． (17) (本小题满分10分)
已知条件p ：∃m ∈使不等式a 2
－5a ＋5≥m ＋2成立；条件q ：x 2
＋ax ＋2＝0有两个负数根，若p ∨q 为真，且p ∧q 为假，求实数a 的取值范围． (18) (本小题满分12分)
如图，四棱锥P －ABCD 中，平面PCD ⊥平面ABCD ，△PCD 是
等边三角形，四边形ABCD 是梯形，BC ∥AD ，BC ⊥CD ，AD
＝2BC ＝22．
(Ⅰ)若AB ⊥PB ，求四棱锥P －ABCD 的体积； (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，求二面角P －AB －D 的大小．
(19) (本小题满分12分)
已知数列{}a n 的前n 项和S n 满足2S n ＝3a n －1，其中n ∈N *
．
(Ⅰ)求数列{}a n 的通项公式；
(Ⅱ)设a n b n ＝3n
n 2＋n ，数列{}b n 的前n 项和为T n ，若T n ＜c 2－2c 对n ∈N *
恒成立，求实数c 的
取值范围．
(20) (本小题满分12分)
已知圆G ：x 2
＋y 2
－x －3y ＝0经过椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F 及上顶点B ，过圆外
一点(m , 0)(m ＞a )的倾斜角为3π
4的直线l 交椭圆与C 、D 两点．
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)若右焦点F 在以线段CD 为直径的圆E 的内部，求m 的取值范围． (21) (本小题满分12分)
已知数列{}a n ＋1是等比数列，a 3＝3，a 6＝31，数列{}b n 的前n 项和为S n ，b 1＝1，且nS n +1－(n ＋1)S n ＝1
2
n (n ＋1)．
(Ⅰ)求数列{}a n 、{}b n 的通项公式； (Ⅱ)设c n ＝
b n
a n ＋1，数列{}c n 的前n 项和为T n ，若不等式T n ≥m －92
n 对于n ∈N *
恒成立，求实数m 的最大值． (22) (本小题满分12分)
已知双曲线C ：x 2
－y 2
2＝1的左、右两个顶点分别为A 、B ．曲线M 是以A 、B 两点为短轴端点，
离心率为
2
2
的椭圆．设点P 在第一象限且在曲线C 上，直线AP 与椭圆M 相交于另一点T ． (Ⅰ)设点P 、T 的横坐标分别为x 1、x 2，证明：x 1x 2＝1；
(Ⅱ)设△TAB 与△POB (其中O 为坐标原点)的面积分别为S 1与S 2，且PA ―→²PB ―→≤9，求S 1²S 2的最大值．
2015—2016学年度上学期期末考试高二年级数学(理)科试卷
参考答案及评分标准
一、选择题
二、填空题 13．x 2
－y 2
＝1 14．(－2, )2 15．16 16．S n ＝
n (n ＋4)
3
三、解答题 17．解：
∵p ∨q 为真，p ∧q 为假，∴p ，q 一真一假． 由题设知，对于条件p ∵m ∈，∴m ＋2∈
∵不等式a 2
－5a ＋5≥1成立， ∴
a 2
－5a ＋4≥0，解得a ≤1或a ≥
4 ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²4分
对于条件q
∵x 2
＋ax ＋2＝0有两个负数解， ∴⎩⎨
⎧Δ＝a 2
－8≥0x 1＋x 2＝－a ＜0
，∴a ≥
2
2 ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²
²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²8分
若p 真q 假，则a ≤1；若p 假q 真，则22≤a ＜4 ∴
a 的取值范围是：a ≤1或22≤a ＜
4 ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²
²²²²²²²²²²²²²²10分 18．解：
(Ⅰ)∵平面PCD ⊥平面ABCD ， 平面PCD ∩平面ABCD ＝CD ，
BC ⊥CD ，BC ⊂平面ABCD
∴BC ⊥平面PCD ， 又PC ⊂平面PCD ∴BC ⊥PC ， 同
理
AD ⊥
PD ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²2
分
设等边△PCD 的边长为x ，
则Rt △PBC 中，||PB 2
＝||PC 2
＋||BC 2
＝x 2
＋(2)2
＝x 2
＋2
Rt △PAD 中，||PA 2
＝||PD 2
＋||AD 2
＝x 2
＋(22)2
＝x 2
＋8
直角梯形ABCD 中，||AB 2
＝||CD 2
＋(||AD －||BC ) 2
＝x 2
＋(2)2
＝x 2
＋2
∵AB ⊥PB ，∴||PA 2
＝||AB 2
＋||PB 2
∴
x 2
＋8＝(x
2
＋2)＋(x
2
＋2) 解得x ＝
2 ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²4分
作PE ⊥CD ，垂足为E ，连接AE
∵△PCD 是等边三角形，所以PE ＝3，且E 为CD 中点 由平面PCD ⊥平面ABCD ，同理可得PE ⊥平面ABCD ∴V P
－
ABCD
＝
13²PE ²S ABCD ＝13
²3²
1
2
(2＋22)²2＝
6 ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²6分
(Ⅱ)如图，以D 为原点，DA ―→的方向为x 轴的正方向建立空间直角坐标系D －xyz ，则A (22, 0, 0)，B (2, 2, 0)，P (0, 1, 3)
设平面PAB 的一个法向量为n →＝(x , y , z )，
由⎩⎨⎧n →²PA ―→＝0n →²AB ―→＝0 得⎩⎨⎧n →²(22,－1,－3)＝0
n →²(－2, 2, 0)＝0
∴⎩⎪⎨⎪⎧22x －y －3z ＝0 －2x ＋2y ＝0 ∴⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2y z ＝3y 令y ＝1，得
n
→＝(2,
1,3) ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²8分
又平面ABCD 的一个法向量p →＝(0, 0, 1) ∴
cos
<
n
→,
p
→>
＝
n →²p
→||n →²||
p
→＝
36
＝
2
2
²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²10分
结
合
图
形
可
知
，
二
面
角
P －AB －D 的大小为
π
4
²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²12分 19．解：
(Ⅰ)∵S n ＝32a n －12(n ∈N *
) ①
当n ＝1，S 1＝32a 1－1
2，∴a 1＝1
当n ≥2，∵S n -1＝32a n -1－1
2 ②
①
－
②
得
a n ＝
3
2
a n －
32
a n -1，即a n ＝3a n -1(n ≥
2) ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²4分
又∵a 1＝1，∴a n +1a n
＝3对n ∈N *
都成立，∴{}a n 是等比数列， ∴
a n
＝
3n -1
(n
∈
N *
) ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²6分
(Ⅱ)∵a n b n ＝3n
n 2＋n ，∴b n ＝3n 2＋n ，∴T n ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫
1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 ∴
T n ＝3
⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1－1n ＋1＝3－
3
n ＋1
²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²8分
∵
3n ＋1
＞
，
∴
T n ＜3对n ∈N
*
都成
立 ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²10分
∴3≤c 2
－2c ，∴c ≥3或c ≤－1
∴实数c 的取值范围为(－∞,－1]∪²＝x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2
． ∵
FC
―→＝
(x 1
－
1,
y 1)，
FD
―→＝(x 2－1,
y 2) ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²
²²²²²²²²²²²²²²²²²²8分
∴FC ―→²FD ―→＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2
＝
2x 1x 2－(m ＋1)(x 1＋x 2)＋1＋
m 2
＝
7m 2
－8m －17
7
²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²10分 ∵点F 在圆G 的内部，∴FC ―→²FD
―→＜0，即7m 2
－8m －177＜0， 解得4－3157＜m ＜4＋3157
由Δ＝64m 2
－28(4m 2
－12)＞0，解得－7＜m ＜7． 又
m ＞2，∴2＜m ＜
4＋315
7．²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²12分 21．解：
(Ⅰ)由a 3＝3，a 6＝31，得a 3＋1＝4，a 6＋1＝32， ∴
a n ＋1＝2
n -1
，∴a n ＝2
n -1
－
1 ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²2分
由nS n +1－(n ＋1)S n ＝12n (n ＋1)得，S n +1n ＋1－S n n ＝1
2
，
故⎩⎨⎧⎭
⎬⎫S n n 是以S 11＝1为首项，1
2为公差的等差数列，
则
S n n
＝1＋
12
(n －1)，∴S n ＝
n (n ＋1)
2
，²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²
²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²4分
当n ≥2时，b n ＝S n －S n -1＝n (n ＋1)2－
n (n －1)
2＝n ， ∵
b 1＝1满足
该
式
，
∴
b n ＝
n ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²
²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知c n ＝
b n
a n ＋1＝n 2n -1，∴不等式T n ≥m －92
n ， 即为1＋22＋322＋…＋n 2n -1≥m －9
2
n ，
令R n ＝1＋22＋322＋…＋n 2n -1，则12R n ＝12＋222＋323＋…＋n
2n ，
两式相减得⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12R n ＝1＋12＋122＋123＋…＋12n -1－n 2n ＝2－n ＋2
2n ，
∴
R n ＝4－
n ＋2
2
n -1
²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²
²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²8分
由R n ≥m －92n 恒成立，即4－2n －5
2n ≥m 恒成立，
又⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2n －32n +1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫4－2n －52n ＝2n －7
2n +1， 故当n ＜3时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫4－2n －52n 单调递减；当n ＝3时，4－2³3－523
＝318； 当n ≥4时，⎩
⎨⎧⎭⎬⎫4－2n －52n 单调递增；当n ＝4时，4－2³4－524
＝61
16； 则4－2n －52n 的最小值为61
16，
∴
实
数
m 的最大值是
61
16
²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²
²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²12分 22．解：
(Ⅰ)依题意可得A (－1, 0)，B (1, 0)．
设椭圆M 的方程为x 2
＋y 2
b
2＝1(b ＞1)，
因为椭圆M 的离心率为22，所以b 2
－1b ＝22，即b 2
＝2．
所
以
椭
圆
M 的方程为x
2
＋
y 2
2
＝
1．²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²2分
证法一：设点P (x 1, y 1)，T (x 2, y 2)(x i ＞0，y i ＞0，i ＝1, 2)，直线AP 的斜率为k (k ＞0)， 则直线AP 的方程为y ＝k (x ＋1)，联立方程组
⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)x 2＋y 2
2＝1整理，得(2＋
k 2)x 2
＋2k 2
x
＋
k 2
－2＝
0，²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²4分
解得x ＝－1或x ＝2－k 2
2＋k 2．所以x 2＝2－k 2
2＋k 2．
同理
可
得
，
x 1＝
2＋k
2
2－k
2
．∴x 2＝
1
x 1
．²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²
²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²6分
证法二：设点P (x 1, y 1)，T (x 2, y 2)(x i ＞0，y i ＞0，i ＝1, 2)， 则k AP ＝y 1x 1＋1，k AT ＝y 2
x 2＋1．∵k AP ＝k AT ， ∴
y 1x 1＋1＝
y 2
x 2＋1
，即
y 12
(x 1＋1)
2
＝
y 22
(x 2＋1)
2
．
因为点P 和点T 分别在双曲线和椭圆上，所以x 12
－
y 12
2
＝1，x 22
＋
y 22
2
＝1．
即y 12
＝2(x 1
2
－1)，y 22
＝2(1－x 22
)．所以2(x 12
－1)(x 1＋1)2＝2(1－x 22
)
(x 2＋1)2，
即x 1－1
x 1＋1
＝
1－x 2x 2＋1
．∴x 2＝
1
x 1
．²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²
²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²6分
- 11 - (Ⅱ)解：设点P (x 1, y 1)，T (x 2, y 2)(x i ＞0，y i ＞0，i ＝1, 2)，
则PA ―→＝(－1－x 1,－y 1)，PB ―→＝(1－x 1,－y 1
)． 因为PA ―→²PB ―→≤9，∴(－1－x 1)(1－x 1)＋y 12≤9，即x 12＋y 1
2≤10． 因为点P 在双曲线上，则x 12－
y 122＝1， 所以x 12＋2x 12－2≤10，即x 12≤4．
因为点P 是双曲线在第一象限内的一点，
∴1＜x 1≤
2．²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²8分
因为S 1＝12||AB ||y 2＝||y 2，S 2＝12||OB ||y 1＝12
||y 1， ∴S 12²S 22＝y 22²14y 12＝(2－2x 22)(x 12
－1)2＝(1－x 22)(x 12－1)． 由(Ⅰ)知，x 2＝1x 1．设t ＝x 12，则1＜t ≤4，S 12²S 22＝t ＋1t
－2． 因为f (t )＝t ＋1t
在区间(1, 4]上单调递增，f (t )max ＝f (4)． 所以S 12²S 22＝t ＋1t －2≤94
即当x 1＝2时，(S 1²S 2)max ＝32
²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²12分。