江苏省宿迁市宿豫中学高考数学二轮复习 导数与单调性专题检测(含解析)

15 导数与单调性
1．若函数h (x )＝2x －k x ＋k 3
在(1，＋∞)上是增函数，则实数k 的取值范围是________． 答案 [－2，＋∞) 解析 由条件得h ′(x )＝2＋k x 2＝2x 2＋k x 2≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k ≥－2x 2在(1，＋∞)上恒成立，所以k ∈[－2，＋∞)．
2．已知函数f (x )＝x 2
＋mx ＋ln x 是单调递增函数，则m 的取值范围是________． 答案 [－22，＋∞)
解析 依题意知，x >0，f ′(x )＝2x 2＋mx ＋1x
， 令g (x )＝2x 2＋mx ＋1，x ∈(0，＋∞)，
当－m 4
≤0时，g (0)＝1>0恒成立，∴m ≥0成立， 当－m 4
>0时，则Δ＝m 2－8≤0，∴－22≤m <0， 综上，m 的取值范围是m ≥－2 2.
3．若函数y ＝f (x )在R 上可导，且满足不等式xf ′(x )>－f (x )恒成立，且常数a ，b 满足a >b ，则下列不等式一定成立的是________．
①af (b )>bf (a ); ②af (a )>bf (b )；
③af (a )<bf (b ); ④af (b )<bf (a )．
答案 ②
解析 令F (x )＝xf (x )，
则F ′(x )＝xf ′(x )＋f (x )，由xf ′(x )>－f (x )，
得xf ′(x )＋f (x )>0，
即F ′(x )>0，
所以F (x )在R 上为递增函数．
因为a >b ，所以af (a )>bf (b )．
4．(2014·课标全国Ⅱ改编)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是________．
答案 [1，＋∞)
解析 由于f ′(x )＝k －1x ，f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增⇔f ′(x )＝k －1x
≥0
在(1，＋∞)上恒成立．
由于k ≥1x ，而0<1x
<1，所以k ≥1.即k 的取值范围为[1，＋∞)． 5．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (2)＝0，当x >0时，有
xf ′(x )－f (x )x 2<0恒成立，则不等式x 2f (x )>0的解集是________________．
答案 (－∞，－2)∪(0,2)
解析 x >0时⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )x ′<0，∴φ(x )＝f (x )x
为减函数， 又φ(2)＝0，∴当且仅当0<x <2时，φ(x )>0，
此时x 2f (x )>0.
又f (x )为奇函数，∴h (x )＝x 2f (x )也为奇函数．
故x 2f (x )>0的解集为(0,2)∪(－∞，－2)．
6．函数f (x )的定义域为(0，π2
)，f ′(x )是它的导函数，且f (x )<f ′(x )tan x 恒成立，则下列结论正确的是________． ①3f (π4)>2f (π3); ②f (1)<2f (π6
)sin 1； ③2f (π6)>f (π4); ④3f (π6)<f (π3
)． 答案 ④
解析 f (x )<f ′(x )tan x ⇔f (x )cos x <f ′(x )sin x ，
构造函数g (x )＝f (x )sin x
， 则g ′(x )＝f ′(x )sin x －f (x )cos x sin 2x
， 根据已知f (x )cos x <f ′(x )sin x ，
得g ′(x )>0，所以g (x )在(0，π2
)上单调递增， 所以g (π6)<g (π3
)， 即f (π6)12<f (π3)32
， 所以3f (π6)<f (π3
)． 7．函数f (x )＝e x －ln(x ＋1)的单调递增区间是________．
答案 (0，＋∞)
解析 f ′(x )＝e x －1x ＋1
，该函数单调递增且f ′(0)＝0，
所以当x >0时，f ′(x )>0，
所以函数f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)．
8．已知函数f (x )＝12
mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为________． 答案 [1，＋∞)
解析 f ′(x )＝mx ＋1x
－2≥0对一切x >0恒成立， m ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋2x
， 令g (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋2x ，则当1x
＝1时，函数g (x )取最大值1，故m ≥1. 9．设f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax .若f (x )在(23
，＋∞)上存在单调递增区间，则a 的取值范围为________．
答案 (－19
，＋∞) 解析 由已知得f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a
＝－(x －12)2＋14
＋2a . 当x ∈[23，＋∞)时，f ′(x )的最大值为f ′(23)＝29
＋2a . 令29＋2a >0，得a >－19
. 所以当a >－19时，f (x )在(23
，＋∞)上存在单调递增区间． 10．已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x (x ∈R ，e 为自然对数的底数)．
(1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调递增区间；
(2)函数f (x )是否为R 上的单调函数？若是，求出a 的取值范围；若不是，请说明理由． 解 (1)当a ＝2时，f (x )＝(－x 2＋2x )e x ，
∴f ′(x )＝(－2x ＋2)e x ＋(－x 2＋2x )e x
＝(－x 2＋2)e x .
令f ′(x )>0，即(－x 2＋2)e x >0.
∵e x >0，∴－x 2＋2>0，解得－2<x < 2.
∴函数f (x )的单调递增区间是(－2，2)．
(2)若函数f (x )在R 上单调递减，
则f ′(x )≤0对x ∈R 都成立，
即[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x
≤0对x ∈R 都成立．
∵e x >0，∴x 2－(a －2)x －a ≥0对x ∈R 都成立．
∴Δ＝[－(a －2)]2＋4a ≤0，即a 2＋4≤0，这是不可能的．
故函数f (x )不可能在R 上单调递减．
若函数f (x )在R 上单调递增，
则f ′(x )≥0对x ∈R 都成立，
即[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ≥0对x ∈R 都成立，
∵e x >0，∴x 2－(a －2)x －a ≤0对x ∈R 都成立．
而Δ＝[－(a －2)]2＋4a ＝a 2＋4>0，
故函数f (x )不可能在R 上单调递增．
综上可知，函数f (x )不可能是R 上的单调函数．
11．已知函数f (x )＝ln x ＋a x (a ∈R )，g (x )＝1x
. (1)求f (x )的单调区间与极值；
(2)若函数f (x )的图象与函数g (x )的图象在区间(0，e 2]上有公共点，求实数a 的取值范围．
解 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－(ln x ＋a )x 2. 令f ′(x )＝0，得x ＝e
1－a ， 当x ∈(0，e
1－a )时，f ′(x )>0，f (x )是增函数； 当x ∈(e 1－a ，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )是减函数．
所以函数f (x )的单调递增区间为(0，e
1－a ]， 单调递减区间为[e 1－a ，＋∞)，
极大值为f (x )极大值＝f (e 1－a )＝e a －1，无极小值．
(2)令F (x )＝f (x )－g (x )＝ln x ＋a －1x
， 则F ′(x )＝－ln x ＋2－a x . 令F ′(x )＝0，得x ＝e
2－a ； 令F ′(x )>0，得x <e
2－a ； 令F ′(x )<0，得x >e 2－a ，
故函数F (x )在区间(0，e
2－a ]上是增函数， 在区间[e
2－a ，＋∞)上是减函数． ①当e 2－a <e 2，即a >0时，函数F (x )在区间(0，e
2－a ]上是增函数， 在区间[e 2－a ，e 2]上是减函数，F (x )max ＝F (e
2－a )＝e a －2
. 又F (e 1－a )＝0，F (e 2)＝a ＋1e 2>0，
由图象，易知当0<x <e
1－a 时，F (x )<0； 当e 1－a <x ≤e 2时，F (x )>0，
此时函数f (x )的图象与函数g (x )的图象在区间(0，e 2]上有1个公共点．
②当e 2－a ≥e 2
，即a ≤0时， F (x )在区间(0，e 2]上是增函数，
F (x )max ＝F (e 2)＝a ＋1e 2. 若F (x )max ＝F (e 2)＝a ＋1
e 2≥0，即－1≤a ≤0时，
函数f (x )的图象与函数g (x )的图象在区间(0，e 2]上只有1个公共点；
若F (x )max ＝F (e 2)＝a ＋1e 2<0，即a <－1时， 函数f (x )的图象与函数g (x )的图象在区间(0，e 2]上没有公共点．
综上，满足条件的实数a 的取值范围是[－1，＋∞)．
12．(2014·大纲全国)函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋3x (a ≠0)．
(1)讨论f (x )的单调性；
(2)若f (x )在区间(1,2)是增函数，求a 的取值范围．
解 (1)f ′(x )＝3ax 2＋6x ＋3，f ′(x )＝0的判别式Δ＝36(1－a )．
①若a ≥1，则f ′(x )≥0，且f ′(x )＝0当且仅当a ＝1，x ＝－1，故此时f (x )在R 上是增函数．
②由于a ≠0，故当a <1时，f ′(x )＝0有两个根
x 1＝－1＋1－a a ，x 2＝－1－1－a a
. 若0<a <1，则当x ∈(－∞，x 2)或x ∈(x 1，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )分别在(－∞，x 2)，(x 1，＋∞)是增函数；
当x ∈(x 2，x 1)时，f ′(x )<0，故f (x )在(x 2，x 1)是减函数；
若a <0，则当x ∈(－∞，x 1)或x ∈(x 2，＋∞)时，f ′(x )<0，故f (x )分别在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)是减函数；
当x ∈(x 1，x 2)时，f ′(x )>0，故f (x )在(x 1，x 2)是增函数．
(2)当a >0，x >0时，f ′(x )＝3ax 2＋6x ＋3>0，故当a >0时，f (x )在区间(1,2)是增函数．
当a <0时，f (x )在区间(1,2)是增函数当且仅当f ′(1)≥0且f ′(2)≥0，解得－54≤a <0. 综上，a 的取值范围是[－54，0)∪(0，＋∞)．。