【文库精品】九年级数学下册 第26章 26.2.2.5 最值的应用同步练习 (新版)华东师大版

26．2 二次函数的图象与性质
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质
第5课时二次函数最值的应用
知|识|目|标
1．经过阅读、探究、讨论交流，能列出几何图形中两个变量之间的二次函数关系，并求出其最大值或最小值．
2．在理解二次函数性质的基础上，通过对具体问题的分析、操作，能用二次函数知识求出实际问题中的最值．
3．通过对实际问题中二次函数图象的绘制、观察与分析，能求出自变量取值受限制的二次函数的最值．
目标一能用二次函数模型解决几何图形中的最值
例1 教材补充例题如图26－2－4，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝8，点D在斜边AB上，过点D作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，得到四边形DECF，设DE＝x，DF＝y.
(1)用含y的代数式表示AE；
(2)求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；
(3)设四边形DECF的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求出S的最大值．
图26－2－4
【归纳总结】用二次函数模型解决几何最值问题的“三部曲”：
(1)认真审题，联想几何图形的性质(包括图形面积、体积、周长，以及等腰三角形、直角三角形、全等三角形、相似三角形的性质等)；
(2)用已知条件和图形的性质列出问题中两个变量之间的二次函数关系式；
(3)根据二次函数的性质求出所列关系式的最值，从而解决原问题．
目标二能用二次函数模型解决实际问题中的最值
例2 高频考题某杂技团用68米长的幕布围成一个矩形临时场地，并留出2米作为出入口，设矩形的长为x米，面积为y平方米．
(1)求y与x之间的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)；
(2)由于表演需要，矩形的长不小于18 米，求能围成的矩形的最大面积．
【归纳总结】用二次函数求实际问题中的最值：
(1)在实际问题中，列出函数关系式后，一般要考虑自变量的取值范围； (2)先确定二次函数图象的顶点的横坐标是否在自变量的取值范围内，再应用二次函数的性质确定最值．
目标三 能求自变量的取值受限制的二次函数的最值
例3 教材补充例题 (1)已知0≤x ≤1，那么函数y ＝－2x 2
＋8x －6的最大值是( ) A ．－6 B ．0 C ．2 D ．4
(2)函数y ＝x 2
＋2x －3(－2≤x ≤2)的最大值和最小值分别是( ) A ．4和－3 B ．－3和－4 C ．5和－4 D ．－1和－4
【归纳总结】确定自变量的取值受限制的二次函数的最值： (1)根据函数关系式求最值：当自变量在某个范围内取值时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，并结合自变量的取值范围，从而得出最值．(2)根据图象求最值：可以画出此函数完整的图象(虚线)，将在自变量的取值范围内的部分画成实线，函数在实线的最高点处取得最大值，在最低点处取得最小值．
知识点 二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 的最值
(1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最值有两种求法：①配方法：将y ＝ax 2
＋bx ＋c 配方后整理为y ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2
＋4ac －b 24a ，则顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，4ac －b 2
4a ，可知当x ＝________时，函数取得
最值，y 最值＝________；②公式法：二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 在x ＝－b 2a 时取得最值，y 最值＝
________．
(2)如果自变量的取值范围受限制，即x 1≤x ≤x 2，那么首先要看－b
2a 是否在自变量的取值范
围内，若在此范围内，则当x ＝－b 2a 时，y 有最大值或最小值为________；若－b
2a 不在自变量
的取值范围内，则需考虑函数在x 1≤x ≤x 2范围内函数值的变化情况，如果y 随x 的增大而增
大，则当x ＝________时，y 取得最大值，当x ＝________时，y 取得最小值．而这种最大值、
最小值的计算只需把自变量的取值代入关系式中就可以求得．
某水果超市销售进价为40元/箱的苹果，按照物价部门规定，该种苹果每箱售价不得高于55元，经市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．求销售该苹果每天能获得的最大利润是多少．
解：设销售该苹果每天获得的利润为y元，每箱苹果的售价为x元，则y＝(x－40)[90－3(x －50)]＝－3x2＋360x－9600＝－3(x－60)2＋1200.∵a＝－3＜0，∴抛物线开口向下，y有最大值，最大值为1200，∴销售该苹果每天能获得的最大利润是1200元．
上面的解答过程正确吗？如果不正确，错在哪里？请你写出正确的解答过程．
教师详解详析
【目标突破】
例1 解：(1)由题意可知，四边形DECF 为矩形， 因此AE ＝AC －EC ＝AC －DF ＝8－y.
(2)由DE ⊥AC ，∠C ＝90°得DE ∥BC ，所以DE BC ＝AE AC ，即x 4＝8－y
8
，
所以y ＝8－2x ，x 的取值范围是0＜x ＜4.
(3)S ＝xy ＝x(8－2x)＝－2x 2＋8x ＝－2(x －2)2
＋8，当x ＝2时，S 有最大值8. 例2 [解析] 先列出函数关系式，再用配方法求最值．
解：(1)由矩形的长为x 米，可知矩形的宽为1
2
×(68＋2)－x ＝(35－x)米，
∴y ＝(35－x)x ＝－x 2
＋35x.
(2)由于矩形的长不小于18米，故18≤x ＜35.∵y ＝－x 2＋35x ＝－(x －17.5)2
＋306.25，当
x>17.5时，y 随x 的增大而减小，∴当x ＝18时，y 有最大值，为－182
＋35×18＝306，∴能围成的矩形的最大面积为306平方米． 例3 [解析] (1)B (2)C
(1)∵y ＝－2x 2＋8x －6＝－2(x －2)2
＋2.
∴该抛物线的对称轴是直线x ＝2，且当x ＜2时，y 随x 的增大而增大． 又∵0≤x ≤1，
∴当x ＝1时，y 取得最大值，y 最大值＝－2×(1－2)2
＋2＝0. (2)先将一般式化为顶点式就可以求出最小值，再根据函数的增减性及自变量的取值范围就可以求出最大值．
∵y ＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2
－4(－2≤x ≤2)， ∴抛物线的对称轴为直线x ＝－1， ∴当x ＝－1时，y 有最小值－4.
∵－2≤x ≤2，∴当x ＝2时，y 有最大值5.
∴当－2≤x ≤2时，函数的最大值为5，最小值为－4. 【总结反思】
[小结] 知识点 (1)－b 2a 4ac －b 24a 4ac －b 24a (2)4ac －b
2
4a
x 2 x 1
[反思] 不正确，忽略了自变量的取值范围．
正解：设销售该苹果每天获得的利润为y 元，每箱苹果的售价为x 元，则y ＝(x －40)[90－
3(x －50)]＝－3x 2＋360x －9600＝－3(x －60)2
＋1200.∵a ＝－3＜0，∴抛物线开口向下，∴当x ＜60时，y 随x 的增大而增大．∵物价部门规定，该种苹果每箱售价不得高于55元，∴当x ＝55时，y 取得最大值，最大值为1125，∴销售该苹果每天能获得的最大利润是1125元．。