2020绍兴市名校高考数学教学质量检测试题

2019-2020学年高考数学模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ B ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n C ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥ D ．若m α⊥，//m n ，//n β，则αβ⊥
2．过抛物线22(0)y px p =>的焦点作直线交抛物线于A B ，两点，若线段AB 中点的横坐标为3，且
8AB =，则抛物线的方程是( )
A ．22y x =
B ．24y x =
C ．28y x =
D ．210y x =
3．已知复数z 满足0z z -=，且9z z ⋅=，则z =（ ） A ．3
B ．3i
C ．3±
D ．3i ±
4．已知3log 74a =，2log b m =，5
2
c =，若a b c >>，则正数m 可以为（ ） A ．4
B ．23
C ．8
D ．17
5．已知非零向量,a b 满足a b λ=，若,a b 夹角的余弦值为19
30
，且()()
23a b a b -⊥+，则实数λ的值为（ ） A ．49
-
B ．
23
C ．
3
2
或49-
D ．
3
2
6．已知函数13()4sin 2,0,63f x x x π⎛⎫⎡⎤=-
∈π ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
，若函数()()3F x f x =-的所有零点依次记为123,,,...,n x x x x ，且123...n x x x x <<<<，则123122...2n n x x x x x -+++++=（ ）
A ．
503
π
B ．21π
C ．
1003
π
D ．42π
7．已知3sin 2cos 1,(,
)2παααπ-=∈，则
1tan
21tan 2α
α-=+（ ） A ．12
-
B ．2-
C ．12
D ．2
8．已知函数2()e (2)e x x f x t t x =+--（0t ≥），若函数()f x 在x ∈R 上有唯一零点，则t 的值为（ ） A ．1
B ．
1
2
或0 C ．1或0 D ．2或0
9．已知3ln 3,log ,log a b e c e π===，则下列关系正确的是（ ） A ．c b a << B ．a b c <<
C ．b a c <<
D ．b c a <<
10．若0,0a
b >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
11．下列几何体的三视图中，恰好有两个视图相同的几何体是（ ） A ．正方体 B ．球体
C ．圆锥
D ．长宽高互不相等的长方体
12．若实数,x y 满足不等式组2,36,0,x y x y x y +≥⎧⎪
-≤⎨⎪-≥⎩
则3x y +的最小值等于（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知平面向量a ，b 的夹角为
3
π
,(3,1)a =，且||3a b -=，则||b =____ 14．直线20+-=mx ny （0m >，0n >）过圆C ：222210x y x y +---=的圆心，则24
m n
+的最小值是______.
15．已知函数f （x ）=axlnx ﹣bx （a ，b ∈R ）在点（e ，f （e ））处的切线方程为y=3x ﹣e ，则a+b=_____. 16．若函数()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+>>的图像与直线y m =的三个相邻交点的横坐标分别是6π,3π,23
π,则实数ω的值为________． 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知椭圆22:12x C y +=的左、右焦点分别为12,,F F 直线l 垂直于x 轴，垂足为T ，与抛物线2
4y x =交
于不同的两点,P Q ，且125,
F P F Q ⋅=-过2F 的直线m 与椭圆C 交于,A B 两点，设22,F A F B λ=且[]2,1λ∈-- .
（1）求点T 的坐标； （2）求TA TB +的取值范围.
18．选修4-4：坐标系与参数方程：在平面直角坐标系xoy 中，曲线1C ：2cos 2sin x y α
α=⎧⎨
=⎩
（α为参数），在
以平面直角坐标系的原点为极点、x 轴的正半轴为极轴，且与平面直角坐标系xoy 取相同单位长度的极坐标系中，曲线2C ：sin()16
π
ρθ-
=.
（1）求曲线1C 的普通方程以及曲线2C 的平面直角坐标方程；
（2）若曲线
1
C上恰好存在三个不同的点到曲线
2
C的距离相等，求这三个点的极坐标.
19．（6分）已知函数3
()3,()1ln
f x x ax e
g x x
=-+=-，其中e为自然对数的底数.
（1）讨论函数()
f x的单调性；
（2）用max{,}
m n表示,m n中较大者，记函数()max{(),()},(0)
h x f x g x x
=>.若函数()
h x在()
0,∞
+上恰有2个零点，求实数a的取值范围.
20．（6分）已知{}n a为等差数列，{}n b为等比数列，{}n a的前n项和为n S，满足13
a=，
1
1
b=，
22
10
b S
+=，
523
2
a b a
-=.
（1）求数列{}n a和{}n b的通项公式；
（2）令
2
,
,
n
n
n
n
S
c
b n
⎧
⎪
=⎨
⎪
⎩
为奇数
为偶数
，数列{}n c的前n项和n T，求2n T.
21．（6分）已知函数()|1||1|2
f x x x
=-++-.
（1）求不等式()1
f x的解集；
（2）若关于x的不等式2
()2
f x a a
--在R上恒成立，求实数a的取值范围.
22．（8分）设数列{}n a是等比数列，121
(1)2
n n n
T na n a a a
-
=+-+++，已知
12
1,4
T T
==, (1)求数列
{}
n
a的首项和公比；（2）求数列{}n T的通项公式．
23．（8分）已知矩形ABCD中，24
AB BC
==，E，F分别为AB，CD的中点.沿EF将矩形AEFD折起，使135
AEB
∠=︒，如图所示.设P、Q分别为线段DF，BC的中点，连接PQ.
（1）求证：//
PQ平面DEB；
（2）求二面角A BE D
--的余弦值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．D 【解析】 试题分析：
m α⊥，,n βαβ∴⊥,故选D.
考点：点线面的位置关系. 2．B 【解析】 【分析】
利用抛物线的定义可得,12||||||22
p p
AB AF BF x x =+=+++,把线段AB 中点的横坐标为3,||8AB =代入可得p 值,然后可得出抛物线的方程. 【详解】
设抛物线2
2(0)y px p =>的焦点为F,设点()()1122,,,A x y B x y ，
由抛物线的定义可知()1212||||||22
p p
AB AF BF x x x x p =+=+
++=++， 线段AB 中点的横坐标为3，又||8AB =，86p ∴=+，可得2p =， 所以抛物线方程为2
4y x =. 故选：B. 【点睛】
本题考查抛物线的定义、标准方程,以及简单性质的应用,利用抛物线的定义是解题的关键. 3．C 【解析】 【分析】
设z a bi =+,则z a bi =-,利用0z z -=和9z z ⋅=求得a ,b 即可. 【详解】
设z a bi =+,则z a bi =-,
因为0z z -=,则()()20a bi a bi bi +--==,所以0b =, 又9z z ⋅=,即29a =,所以3a =±, 所以3z =±, 故选:C 【点睛】
本题考查复数的乘法法则的应用,考查共轭复数的应用.
4．C 【解析】 【分析】
首先根据对数函数的性质求出a 的取值范围，再代入验证即可； 【详解】
解：∵3333log 27log 74log 814a =<=<=，∴当8m =时，2log 3b m ==满足a b c >>，∴实数m 可以为8. 故选：C 【点睛】
本题考查对数函数的性质的应用，属于基础题. 5．D 【解析】 【分析】
根据向量垂直则数量积为零，结合a b λ=以及夹角的余弦值，即可求得参数值. 【详解】
依题意，得()()
230a b a b -⋅+=，即2
2
3520a a b b -⋅-=.
将a b λ=代入可得，21819120λλ--=， 解得32
λ=（4
9λ=-舍去）.
故选：D. 【点睛】
本题考查向量数量积的应用，涉及由向量垂直求参数值，属基础题. 6．C 【解析】 【分析】 令()26
2x k k Z π
π
π-
=
+∈，求出在130,3⎡⎤
π⎢⎥⎣⎦
的对称轴，由三角函数的对称性可得122315232,2,...,2366
n n x x x x x x -πππ+=
⨯+=⨯+=⨯，将式子相加并整理即可求得123122...2n n x x x x x -+++++的值.
【详解】 令()26
2
x k k Z π
π
π-
=
+∈，得()123x k k Z π=
π+∈，即对称轴为()123
x k k Z π
=π+∈.
函数周期T π=，令
113233k ππ+=π，可得8k .则函数在130,3x ⎡⎤
∈π⎢⎥⎣⎦
上有8条对称轴. 根据正弦函数的性质可知122315232,2,...,2366
n n x x x x x x -πππ
+=⨯+=⨯+=⨯， 将以上各式相加得：
12312582322...2...26666n n x x x x x -ππππ⎛⎫+++++=++++⨯ ⎪⎝⎭()2238100323
+⨯ππ=⨯= 故选:C. 【点睛】
本题考查了三角函数的对称性，考查了三角函数的周期性，考查了等差数列求和.本题的难点是将所求的式子拆分为1223341...n n x x x x x x x x -++++++++的形式. 7．B 【解析】 【分析】
结合22sin cos 1αα+=求得sin ,cos αα的值，由此化简所求表达式，求得表达式的值. 【详解】
由22
sin 2cos 1sin cos 1αααα-=⎧⎨+=⎩
，以及3(,)2παπ∈，解得34sin ,cos 55αα=-=-. 1tan 21tan
2
αα
-=+2
22sin
2
1cos sin cos cos sin 12cos sin 2222
222sin cos
sin
cos sin cos sin cos sin 22
2
2222221cos
2
ααααααααα
α
α
ααααααα
-⎛⎫--- ⎪
⎝⎭===
⎛⎫⎛⎫+--+ ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭+3
11sin 524cos 5
αα+
-==
=--. 故选：B 【点睛】
本小题主要考查利用同角三角函数的基本关系式化简求值，考查二倍角公式，属于中档题. 8．C 【解析】 【分析】
求出函数的导函数，当0t >时，只需(ln )0f t -=，即1ln 10t t -+=，令1()ln 1g t t t
=-+，利用导数求
其单调区间，即可求出参数t 的值，当0t =时，根据函数的单调性及零点存在性定理可判断； 【详解】 解：∵2()e (2)e x
x f x t t x =+--（0t ≥），
∴()()2()2e
(2)e 1e 12e 1x
x x x f x t t t '=+--=-+，∴当0t >时，由()0f x '=得ln x t =-，
则()f x 在(),ln t -∞-上单调递减，在()ln ,t -+∞上单调递增， 所以(ln )f t -是极小值，∴只需(ln )0f t -=， 即1ln 10t t -+=.令1()ln 1g t t t =-+，则2
11
()0g t t t
'=+>，∴函数()g t 在(0,)+∞上单 调递增.∵(1)0g =，∴1t =；
当0t =时，()2e x f x x =--，函数()f x 在R 上单调递减，∵(1)2e 10f =--<，2
(2)22e 0f --=->，
函数()f x 在R 上有且只有一个零点，∴t 的值是1或0. 故选：C 【点睛】
本题考查利用导数研究函数的零点问题，零点存在性定理的应用，属于中档题. 9．A 【解析】 【分析】
首先判断,,a b c 和1的大小关系，再由换底公式和对数函数ln y x =的单调性判断,b c 的大小即可. 【详解】
因为ln3ln 1a e =>>，311log ,log ln 3ln b e c e ππ
==
==，1ln3ln π<<，所以1c b <<，综上可得c b a <<.
故选：A 【点睛】
本题考查了换底公式和对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 10．A 【解析】 【分析】
本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取,a b 的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 【详解】
当0, 0a >b >时，a b +≥，则当4a b +≤时，有4a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；
当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件. 【点睛】
易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取,a b 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果. 11．C 【解析】 【分析】
根据基本几何体的三视图确定． 【详解】
正方体的三个三视图都是相等的正方形，球的三个三视图都是相等的圆，圆锥的三个三视图有一个是圆，另外两个是全等的等腰三角形，长宽高互不相等的长方体的三视图是三个两两不全等的矩形． 故选：C ． 【点睛】
本题考查基本几何体的三视图，掌握基本几何体的三视图是解题关键． 12．A 【解析】 【分析】
首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求z 的最小值． 【详解】
解：作出实数x ，y 满足不等式组2
360x y x y x y +≥⎧⎪
-≤⎨⎪-≥⎩
表示的平面区域（如图示：阴影部分）
由20
0x y x y +-=⎧⎨
-=⎩
得(1,1)A ，
由3z x y =+得3y x z =-+，平移3y x =-， 易知过点A 时直线在y 上截距最小， 所以3114min z =⨯+=． 故选：A ．
【点睛】
本题考查了简单线性规划问题，求目标函数的最值先画出可行域，利用几何意义求值，属于中档题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．1 【解析】 【分析】
根据平面向量模的定义先由坐标求得a ，再根据平面向量数量积定义求得a b ⋅；将a b -化简并代入即可求得||b . 【详解】
(3,1)a =，则()
2
2312a =
+=，
平面向量a ，b 的夹角为
3π
，则由平面向量数量积定义可得1cos 232
a b a b b b π⋅=⋅=⨯⨯=， 根据平面向量模的求法可知22
23a b a a b b -=-⋅+=，
2
423b b -+=，
解得1b =， 故答案为：1. 【点睛】
本题考查了平面向量模的求法及简单应用，平面向量数量积的定义及运算，属于基础题. 14．322+ 【解析】 【分析】
求出圆心坐标，代入直线方程得,m n 的关系，再由基本不等式求得题中最小值． 【详解】
圆C ：2
2
2210x y x y +---=的标准方程为22
(1)(1)3x y -+-=，圆心为(1,1)C ，
由题意20m n +-=，即2m n +=，
∴
24122()()333m n m n m n m n n m +=++=++≥+=+2m n n m = ，即
1),2(2m n ==-时等号成立，
故答案为：3+ 【点睛】
本题考查用基本不等式求最值，考查圆的标准方程，解题方法是配方法求圆心坐标，“1”的代换法求最小值，目的是凑配出基本不等式中所需的“定值”． 15．0 【解析】 【分析】
由题意()()'
2,3f e e f e ==，列方程组可求,a b ，即求+a b .
【详解】
∵在点()()
,e f e 处的切线方程为3y x e =-，
()2f e e ∴=，代入()ln f x ax x bx =-得2a b -=①.
又
()()()''1ln ,23f x a x b f e a b =+-∴=-=②.
联立①②解得：1,1a b ==-.
0a b ∴+=.
故答案为：0. 【点睛】
本题考查导数的几何意义，属于基础题. 16．4 【解析】 【分析】
由题可分析函数()f x 与y m =的三个相邻交点中不相邻的两个交点距离为T ,即2236T πππ
ω
=-=,进而求解即可 【详解】
由题意得函数()f x 的最小正周期2236T πππω
=-=,解得4ω= 故答案为：4 【点睛】
本题考查正弦型函数周期的应用,考查求正弦型函数中的ω
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）()2,0T ；（2
）⎡⎢⎣⎦
.
【解析】 【分析】
（1）设出,P Q 的坐标，代入125F P F Q ⋅=-，结合,P Q 在抛物线2
4y x =上，求得,P Q 两点的横坐标，进而求得T 点的坐标.
（2）设出直线m 的方程，联立直线m 的方程和椭圆方程，写出韦达定理，结合11F A F B λ=，求得2
TA TB +的表达式，结合二次函数的性质求得TA TB +的取值范围. 【详解】
（1）可知()()121
,0,1,0F F -， 设()()0000,,,P x y Q x y -
则()()002
2
10020051
,1,1F P F Q x y x y x y ⋅=-=+--=--⋅， 又2
4y x =，
所以2
00514x x -=--
解得02,x = 所以()2,0T .
（2）据题意，直线m 的斜率必不为0,
所以设:1,m x ty =+将直线m 方程代入椭圆C 的方程中， 整理得(
)
2
2
2210t y ty ++-=， 设()()1122,,,,A x y B x y 则122
22
t
y y t +=-
+① 122
1
2
y y t =-
+② 因为11,F A F B λ= 所以12,y y λ=且0,x <
将①式平方除以②式得
2
12221422
y y t y y t ++=-+
所以2
2
1
422
t t λλ++=-+ []2,1,λ∈--又解得22
07
t ≤≤
又()12124,TA TB x x y y +=+-+，()()212122
41422
t x x t y y t ++-=+-=-+
所以()()()2
2
2
1212222288
41622TA TB x x y y t t +=+-++=-
+
++
令21
2n t =
+， 则71,162n ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣
⎦ 所以2
2
2
7171698281684,4232TA TB n n n ⎛⎫⎡⎤+=-+=--∈ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
2,8TA TB ⎡+∈⎢⎣
⎦
【点睛】
本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查直线和椭圆的位置关系，考查向量数量积的坐标运算，考查向量模的坐标运算，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于难题.
18．（1）22
4x y +=， 20x +=;（2）22,
3
A π⎛
⎫ ⎪⎝
⎭，2,6B π⎛⎫ ⎪⎝⎭，72,
6
C π
⎛⎫
⎪⎝⎭
. 【解析】 【分析】
(1)把曲线1C 的参数方程与曲线2C 的极坐标方程分别转化为直角坐标方程；(2)利用图象求出三个点的极径与极角. 【详解】
解：（1）由22x cos y sin αα
=⎧⎨=⎩消去参数α得224x y +=，
即曲线1C 的普通方程为2
2
4x y +=， 又由sin 16πρθ⎛⎫
-
= ⎪
⎝
⎭得sin cos cos sin 166ππρθθ⎛
⎫-= ⎪⎝⎭
即为20x +=，即曲线2C 的平面直角坐标方程为20x -+=
（2）
∵圆心O 到曲线2C ：320x y -+=的距离
()
2
2
2
11213d r =
==
+
，
如图所示，所以直线340x y -+=与圆的切点A 以及直线30x y -=与圆的两个交点B ，C 即为所求．
∵OA BC ⊥，则3OA k =-OA l 的倾斜角为23
π
， 即A 点的极角为
23π，所以B 点的极角为2326πππ-=，C 点的极角为27326
πππ
+=，
所以三个点的极坐标为22,3
A π⎛
⎫ ⎪⎝⎭，2,6B π⎛⎫ ⎪⎝⎭，72,
6
C π
⎛⎫
⎪⎝⎭
. 【点睛】
本题考查圆的参数方程和普通方程的转化、直线极坐标方程和直角坐标方程的转化，消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法，极坐标方程化为直角坐标方程，只要将cos ρθ和sin ρθ换成y 和x 即可.
19．（1）函数()f x 的单调递增区间为(,a -∞和,)a +∞，单调递减区间为(,)a a -；（2）21
3
e a +>
. 【解析】 【分析】
（1）由题可得()2
33f x x a '=-,结合a 的范围判断()f x '的正负,即可求解；
（2）结合导数及函数的零点的判定定理,分类讨论进行求解 【详解】
（1）()2
33f x x a '=-,
①当0a ≤时,0f
x （）≥, ∴函数()f x 在∞∞（-，+）
内单调递增； ②当0a >时,令()3()()0f x x a x a '=+-=,解得x a =x a =当x a <x a ,()0f x '>,则()f x 单调递增, 当a x a -<
,()0f x '<,则()f x 单调递减,
∴函数()f x 的单调递增区间为(,)a -∞和,)a +∞,单调递减区间为(,a a
（2）（Ⅰ）当(0,e)x ∈时,()0,()()0,g x h x g x >>所以()h x 在(0,)e 上无零点； （Ⅱ）当x e =时,3
()0,()3g e f e e ae e ==-+,
①若3
()30f e e ae e =-+,即213
e a +,则e 是()h x 的一个零点；
②若3
()30f e e ae e =-+>,即2e 13
a +<,则e
不是()h x 的零点
（Ⅲ）当(,)x e ∈+∞时,()0<g x ,所以此时只需考虑函数()f x 在(,)e +∞上零点的情况,因为
22()333e 3f x x a a '=->-,所以
①当2a e 时,()0,()f x f x '>在(,)e +∞上单调递增。

又3()3f e e ae e =-+，所以
（ⅰ）当2e 1
3
a +≤时,()0,()f e f x 在(,)e +∞上无零点；
（ⅱ）当22e 1
e 3
a +<≤时,()0f e <,又332(2)86860
f e e ae e e e e =-+-+>,所以此时()f x 在
(,)e +∞上恰有一个零点；
②当2a e >时,令()0f x '=,得x a =由()0f x '<,得e x a <<
由()0f x '>,得x a >所以()f x 在()e a 上单调递减,在,)a +∞上单调递增,
因为3
3
3
()330f e e ae e e e e =-+<-+<,3
2
2
2
2
(2)868620f a a a e a a e a e =-+>-+=+>,所以此时()f x 在(,)e +∞上恰有一个零点,
综上,21
3
e a +> 【点睛】
本题考查利用导数求函数单调区间,考查利用导数处理零点个数问题,考查运算能力,考查分类讨论思想 20．（1）21n a n =+，1
2
n n b -=；（2）222(41)
213
n n n T n -=+
+． 【解析】 【分析】
（1）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，由基本量法列式求出,d q 后可得通项公式； （2）奇数项分一组用裂项相消法求和，偶数项分一组用等比数列求和公式求和． 【详解】
（1）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，由2210b S +=，5232a b a -=.得：
61034232q d d q d ++=⎧⎨
+-=+⎩，解得2
2d q =⎧⎨=⎩
， ∴32(1)21n a n n =+-=+，12n n
b -=；
（2）由13a =，21n a n =+得(2)n S n n =+，
n 为奇数时，2112n n c S n n =
=-+，n 为偶数时，1
2n n c -=， ∴21321242()()n n n T c c c c c c -=++
++++
+
32111111
[(1)()(
)](222)
335
2121
n n n -=-+-+
+-++++-+12(14)22(41)
12114213
n n n n n --=-+=+
+-+． 【点睛】
本题考查求等差数列和等比数列的通项公式，考查分组求和法及裂项相消法、等差数列与等比数列的前n 项和公式，求通项公式采取的是基本量法，即求出公差、公比，由通项公式前n 项和公式得出相应结论．数列求和问题，对不是等差数列或等比数列的数列求和，需掌握一些特殊方法：错位相减法，裂项相消法，分组（并项）求和法，倒序相加法等等． 21．（1）3{|2x x 或3
}2
x ≥； （2）12a -≤≤. 【解析】 【分析】
（1）利用绝对值的几何意义，将不等式()1f x ，转化为不等式1
221x x ≤-⎧⎨--≥⎩或1101
x -<≤⎧⎨≥⎩或1221x x >⎧⎨
-≥⎩求解.
（2）根据2
()f x a a ≥--2在R 上恒成立，由绝对值三角不等式求得()f x 的最小值即可.
【详解】
（1）原不等式等价于
1
221x x ≤-⎧⎨
--≥⎩
或1101x -<≤⎧⎨≥⎩或1221x x >⎧⎨-≥⎩， 解得：32
x ≤-
或32x ≥，
∴不等式的解集为3{|2x x
或3}2
x ≥. （2）因为2
()f x a a ≥--2在R 上恒成立，
而()|1||1|2|(1)(1)|20f x x x x x =-++-≥--+-=， 所以220a a --≤，解得12a -≤≤， 所以实数a 的取值范围是12a -≤≤. 【点睛】
本题主要考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 22． (1)11{2
a q ==（2）1
22n n T n +=--
【解析】 【分析】 【详解】
本题主要考查了等比数列的通项公式的求解，数列求和的错位相减求和是数列求和中的重点与难点，要注意掌握．
（1）设等比数列{a n }的公比为q ，则q+q 2=6，解方程可求q
（2）由（1）可求a n =a 1•q n-1=2n-1，结合数列的特点，考虑利用错位相减可求数列的和 解：（1）112121
{
24T a T a a ===+=121
{2a a =⇒=2q ⇒=11{2a q =∴=
（2）12n n
a ，
2211(1)2(2)22212n n n T n n n --=⋅+-⋅+-⋅++⋅+⋅ 23122(1)2(2)22212n n n T n n n -=⋅+-⋅+-⋅+
+⋅+⋅
两式相减：1
22n n T n +=--
23．（1）证明见解析（
2【解析】 【分析】
(1) 取DE 中点R ，连接PR ，BR ,可知DEF ∆中,//PR FE 且1
=
2
PR FE ,由Q 是BC 中点,可得则有//BQ PR 且=BQ PR ,即四边形BQPR 是平行四边形,则有//PQ BR ,即证得//PQ 平面DEB .
(2) 建立空间直角坐标系,求得半平面的法向量: ()
2,0,1m =-,()0,0,1n =然后利用空间向量的相关结
论可求得二面角A BE D --的余弦值. 【详解】
（1）取DE 中点R ，连接PR ，BR ，
则在DEF ∆中，//PR FE ，且1
2PR FE =， 又Q 是BC 中点，所以11
22
BQ BC EF ==，
而且//BQ EF ，所以//BQ PR ， 所以四边形BQPR 是平行四边形， 所以//PQ BR ，
又PQ ⊄平面DEB ，BR ⊂平面DEB ， 所以//PQ 平面DEB .
（2）在平面ABE 内作EG BE ⊥交AB 于点G ，以E 为原点，EG ，EB ，EF 分别为x ，y ，x 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，
则各点坐标为()0,0,0E ，()0,2,0B ，)
2,2,2D -，
所以()0,2,0EB =，(
)
2,2,2ED =
-，
设平面BED 的一个法向量为(),,m x y z =，
则0,0,m ED m EB ⎧⋅=⎨⋅=⎩即2220
0x y z y ⎧+=⎪⎨=⎪
⎩，
取1z =，得()
2,0,1m =-，
又平面ABE 的一个法向量为()0,0,1n =， 所以3
cos ,3
31m n m n m n
⋅=
=
=⨯⋅. 因此，二面角A BE D --3【点睛】
本题考查线面平行的判定,考查利用空间向量求解二面角,考查逻辑推理能力及运算求解能力,难度一般.
2019-2020学年高考数学模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．i 是虚数单位，21i
z i
=-则||z =（ ） A ．1
B ．2
C ．2
D ．22
2．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，410S =，则6S =（ ） A ．21
B ．22
C ．11
D ．12
3．运行如图所示的程序框图，若输出的值为300，则判断框中可以填（ ）
A ．30i >?
B ．40i >?
C ．50i >?
D ．60i >?
4．棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -内有一个内切球O ，过正方体中两条异面直线AB ，11A D 的中点,P Q 作直线，则该直线被球面截在球内的线段的长为（ ）
A 2
B 21
C 2
D ．1
5．已知平面向量,a b 满足||||a b =，且2)a b b -⊥，则,a b 所夹的锐角为（ ） A ．
6
π B ．
4
π C ．
3
π D ．0
6．若复数5
2z i
=-（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．2i +
B ．2i -
C ．12i +
D ．12i -
7．已知椭圆C 的中心为原点O ，(5,0)F -为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足||||OP OF =且
||4PF =，则椭圆C 的方程为（ ） A ．221255
x y +=
B ．2213616
x y +=
C ．22
13010x y +=
D ．22
14525
x y +=
8．一只蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则在离三个顶点距离都大于2的区域内的概率为( )
A ．316
π-
B ．
34
C ．
36
π D ．
14
9．1777年，法国科学家蒲丰在宴请客人时，在地上铺了一张白纸，上面画着一条条等距离的平行线，而他给每个客人发许多等质量的，长度等于相邻两平行线距离的一半的针，让他们随意投放.事后，蒲丰对针落地的位置进行统计，发现共投针2212枚，与直线相交的有704枚.根据这次统计数据，若客人随意向这张白纸上投放一根这样的针，则针落地后与直线相交的概率约为（ ） A ．
12π
B ．
3π
C ．
2π
D ．
1π
10．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）
A ．
113 B ．4 C ．133
D ．5
11．已知函数()0,1
ln ,1
x f x x x <⎧=⎨≥⎩，若不等式()≤-f x x k 对任意的x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围
是（ ） A ．(],1-∞
B ．[)1,+∞
C ．[)0,1
D ．(]1,0-
12．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案种数是( ) A ．18种
B ．36种
C ．54种
D ．72种
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知函数3()sin f x x x =-+，若()f a M =，则()f a -=___________.
14．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落.小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中.己知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是
1
2
，则小球落入A 袋中的概率为__________．
15．抛物线24y x =的焦点F 到准线l 的距离为 ．
16．7(3)x -的展开式中，x 5的系数是_________．（用数字填写答案） 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．交通部门调查在高速公路上的平均车速情况，随机抽查了60名家庭轿车驾驶员，统计其中有40名男性驾驶员，其中平均车速超过90/km h 的有30人，不超过90/km h 的有10人；在其余20名女性驾驶员中，平均车速超过90/km h 的有5人，不超过90/km h 的有15人.
（1）完成下面的22⨯列联表，并据此判断是否有99.9%的把握认为，家庭轿车平均车速超过90/km h 与驾驶员的性别有关；
（2）根据这些样本数据来估计总体，随机调查3辆家庭轿车，记这3辆车中，驾驶员为女性且平均车速不超过90/km h 的人数为ξ，假定抽取的结果相互独立，求ξ的分布列和数学期望.
参考公式：22
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b
d -=++++其中n a b c d =+++
临界值表：
18．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，2
2181a a =+，公差0d >，1S 、4S 、16S 成等比数列，数列{}
n b 满足()22log 1log n
n b a =-（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）已知1
1
n n n c a a +=
，求数列{}n n c b +的前n 项和n T . 19．（6分）已知数列{}n a 满足
123123
252525
253
n n n
a a a a ++++
=----.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设数列11n n a a +⎧⎫⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和为n T ，证明：1
6n
T <. 20．（6分）有甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪80元，送餐员每单制成4元；乙公司无底薪，40单以内（含40单）的部分送餐员每单抽成6元，超过40单的部分送餐员每单抽成7元.现从这两家公司各随机选取一名送餐员，分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数分布表：
（1）从记录甲公司的50天送餐单数中随机抽取3天，求这3天的送餐单数都不小于40单的概率； （2）假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同，将频率视为概率，回答下列两个问题： ①求乙公司送餐员日工资的分布列和数学期望；
②小张打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，小张应选择哪家公司应聘？说明你的理由.
21．（6分）百年大计，教育为本.某校积极响应教育部号召，不断加大拔尖人才的培养力度，为清华、北大等排名前十的名校输送更多的人才.该校成立特长班进行专项培训.据统计有如下表格.（其中x 表示通过自主招生获得降分资格的学生人数，y 表示被清华、北大等名校录取的学生人数）
（1）通过画散点图发现x 与y 之间具有线性相关关系，求y 关于x 的线性回归方程；（保留两位有效数字） （2）若已知该校2019年通过自主招生获得降分资格的学生人数为61人，预测2019年高考该校考人名校的人数；
（3）若从2014年和2018年考人名校的学生中采用分层抽样的方式抽取出5个人回校宣传，在选取的5个人中再选取2人进行演讲，求进行演讲的两人是2018年毕业的人数x 的分布列和期望.
参考公式：1
2
2
1ˆ==-⋅=-∑∑n
i i
i n
i i x y nx y
b
x nx ，ˆˆa
y bx =- 参考数据：53x =，103y =，
5
1
27797i i
i x y
==∑，5
21
14325i i x ==∑
22．（8分）已知圆C 的极坐标方程是4cos ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半
轴，建立平面直角坐标系，直线l
的参数方程是2
(x m t y ⎧=+⎪⎪
⎨
⎪=⎪⎩
是参数），若直线l 与圆C 相切，求实数m 的值.
23．（8分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a=4，tan tan tan tan A B c b
A B c
--=+.
（1）求A 的余弦值； （2）求△ABC 面积的最大值．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。

1．C 【解析】 【分析】
由复数除法的运算法则求出z ，再由模长公式，即可求解. 【详解】
由2
2(1)
1,||1i i z i z i +=
=-+=-故选:C. 【点睛】
本题考查复数的除法和模，属于基础题. 2．A 【解析】 【分析】
由题意知24264,,S S S S S --成等差数列，结合等差中项，列出方程，即可求出6S 的值. 【详解】
解：由{}n a 为等差数列，可知24264,,S S S S S --也成等差数列，
所以()422642S S S S S -=+- ，即()62103310S ⨯-=+-，解得621S =. 故选:A. 【点睛】
本题考查了等差数列的性质，考查了等差中项.对于等差数列，一般用首项和公差将已知量表示出来，继而求出首项和公差.但是这种基本量法计算量相对比较大，如果能结合等差数列性质，可使得计算量大大减少. 3．B 【解析】 【分析】
由30020010203040=++++，则输出为300，即可得出判断框的答案 【详解】
由30020010203040=++++，则输出的值为300，401050i =+=，故判断框中应填40i >？ 故选：B ． 【点睛】
本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题． 4．C 【解析】 【分析】
连结并延长PO ，交对棱C 1D 1于R ，则R 为对棱的中点，取MN 的中点H ，则OH ⊥MN ，推导出OH ∥RQ ，且OH ＝
12RQ ＝2
，由此能求出该直线被球面截在球内的线段的长． 【详解】 如图，
MN 为该直线被球面截在球内的线段 连结并延长PO ，交对棱C 1D 1于R ，
则R 为对棱的中点，取MN 的中点H ，则OH ⊥MN ， ∴OH ∥RQ ，且OH ＝
12RQ ＝2
2
， ∴MH 22OM OH -2
2212⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
＝2
2，
∴MN ＝
2MH =
故选：C ． 【点睛】
本题主要考查该直线被球面截在球内的线段的长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 5．B 【解析】 【分析】
根据题意可得)0b b -⋅=，利用向量的数量积即可求解夹角. 【详解】
因为)(2)0b b a b b -⊥⇒-⋅=
2||b b ⋅= 而2
2
cos ,2||||||
a b a b a b a b b ⋅⋅=
==⋅ 所以,a b 夹角为4
π
故选：B 【点睛】
本题考查了向量数量积求夹角，需掌握向量数量积的定义求法，属于基础题. 6．B 【解析】 【分析】
根据复数的除法法则计算z ，由共轭复数的概念写出z . 【详解】
55(2)10522(2)(2)5
i i z i i i i ++=
===+--+, ∴2z i =-,
故选：B 【点睛】
本题主要考查了复数的除法计算，共轭复数的概念，属于容易题. 7．B 【解析】
由题意可得c=25，设右焦点为F′，由|OP|=|OF|=|OF′|知， ∠PFF′=∠FPO ，∠OF′P=∠OPF′， 所以∠PFF′+∠OF′P=∠FPO+∠OPF′， 由∠PFF′+∠OF′P+∠FPO+∠OPF′=180°知， ∠FPO+∠OPF′=90°，即PF ⊥PF′．
在Rt △PFF′中，由勾股定理，得|PF′|=()
2
222PF 4548FF -=
-='，
由椭圆定义，得|PF|+|PF′|=2a=4+8=12，从而a=6，得a 2=36， 于是 b 2=a 2﹣c 2=36﹣
=16，
所以椭圆的方程为22
13616
x y +=．
故选B ．
点睛：椭圆的定义：到两定点距离之和为常数的点的轨迹，当和大于两定点间的距离时，轨迹是椭圆，当和等于两定点间的距离时，轨迹是线段（两定点间的连线段），当和小于两定点间的距离时，轨迹不存在． 8．A 【解析】 【分析】
求出满足条件的正ABC ∆的面积，再求出满足条件的正ABC ∆内的点到顶点A 、B 、C 的距离均不小于
2的图形的面积，然后代入几何概型的概率公式即可得到答案．
【详解】
满足条件的正ABC ∆如下图所示：
其中正ABC ∆的面积为2
3443ABC S ∆=
= 满足到正ABC ∆的顶点A 、B 、C 的距离均不小于2的图形平面区域如图中阴影部分所示， 阴影部分区域的面积为21
222
S ππ=
⨯⨯=. 则使取到的点到三个顶点A 、B 、C 的距离都大于2的概率是31143
P π
==. 故选：A.
【点睛】
本题考查几何概型概率公式、三角形的面积公式、扇形的面积公式的应用，考查计算能力，属于中等题． 9．D 【解析】 【分析】
根据统计数据，求出频率，用以估计概率. 【详解】
7041
2212π
≈. 故选:D. 【点睛】
本题以数学文化为背景，考查利用频率估计概率，属于基础题. 10．B 【解析】 【分析】
还原几何体的直观图，可将此三棱锥1A CD E -放入长方体中, 利用体积分割求解即可. 【详解】
如图，三棱锥的直观图为1A CD E -，体积
11111111BB E A A CD E E AB A F A C E CC D E AD F D ADC C V V V V V V V ------=-----长方体 12121
242222422222423232
=⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=.
故选:B.
【点睛】
本题主要考查了锥体的体积的求解,利用的体积分割的方法,考查了空间想象力及计算能力,属于中档题. 11．A 【解析】 【分析】
先求出函数()f x 在(1,0)处的切线方程，在同一直角坐标系内画出函数()0,1
ln ,1
x f x x x <⎧=⎨
≥⎩和
()g x x k =-的图象，利用数形结合进行求解即可.
【详解】
当1x ≥时，()'
'1
ln ,()(1)1f x x f x f x
=⇒=
⇒=，所以函数()f x 在(1,0)处的切线方程为：1y x =-，令()g x x k =-，它与横轴的交点坐标为(,0)k . 在同一直角坐标系内画出函数()0,1
ln ,1x f x x x <⎧=⎨
≥⎩
和()g x x k =-的图象如下图的所示：
利用数形结合思想可知：不等式()≤-f x x k 对任意的x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围是1k ≤. 故选：A 【点睛】
本题考查了利用数形结合思想解决不等式恒成立问题，考查了导数的应用，属于中档题. 12．B 【解析】 【分析】
把4名大学生按人数分成3组，为1人、1人、2人，再把这三组分配到3个乡镇即得. 【详解】
把4名大学生按人数分成3组，为1人、1人、2人，再把这三组分配到3个乡镇，
则不同的分配方案有23
4336C A =种.
故选：B . 【点睛】
本题考查排列组合，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。